最新精编高中人教A版必修五高中数学强化习题2.2.1等差数列和答案

课时训练7 等差数列
一、等差数列通项公式的应用
1.等差数列{a n }中,a 2=-5,d=3,则a 5为( )
A.-4
B.4
C.5
D.6
答案:B
解析:a 5=a 1+4d=(a 1+d )+3d=a 2+3d=-5+3×3=4.
2.在数列{a n }中,a 1=2,2a n+1=2a n +1,则a 101的值为( )
A.49
B.50
C.51
D.52
答案:D
解析:∵2a n+1=2a n +1,∴a n+1=a n + .
∴a n+1-a n = .
∴数列{a n }是首项为2,公差为 的等差数列.
∴a 101=a 1+(101-1)d=2+ =52.
3.(2015福建厦门高二期末,2)已知数列{a n }满足a 1=1,a n =a n-1+3(n ≥ ),则a 100等于(
) A.297 B.298 C.299 D.300
答案:B
解析:由a n =a n-1+3(n ≥ ),得a n -a n-1=3(n ≥ ),
即数列{a n }是以3为公差的等差数列.
又a 1=1,∴a 100=1+(100-1)×3=298.
4.若等差数列{a n }的公差为整数,首项为19,从第6项开始为负值,则公差为( )
A.-5
B.-4
C.-3
D.-2
答案:B
解析:设等差数列{a n }的公差为d (d ∈Z ),
依题意得a 6=a 1+5d=19+5d<0,
即d<- ,a 5=a 1+4d=19+4d ≥ ,
即d ≥- ,所以- ≤d<- ,
又d ∈Z ,所以d=-4.
5.等差数列{a n }中,a 2=5,a 4=a 6+6,则a 1= .
答案:8
解析:由a 4=a 6+6,得2d=a 6-a 4=-6,∴d=-3.
又∵a 1=a 2-d=5-(-3)=8,∴a 1=8.
二、等差中项的应用
6.(2015福建宁德五校联考,1)已知实数m 是1和5的等差中项,则m 等于( )
A.
B.±
C.3
D.±3 答案:C
解析:因为实数m 是1和5的等差中项,
所以2m=1+5=6,则m=3.故选C .
7.已知m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5,则m 和n 的等差中项是( )
A.2
B.3
C.6
D.9 答案:B
解析:依题意可得m+2n=8,2m+n=10,故3m+3n=18⇒m+n=6,故m 和n 的等差中项是3. 8.若lg 2,lg(2x -1),lg(2x +3)成等差数列,则x 的值为
( ) A.1
B.0或32
C.32
D.log 25 答案:D
解析:由题意得lg2+lg(2x +3)=2lg(2x -1),
所以2(2x +3)=(2x -1)2,
解得2x =5或2x =-1(舍去),所以x=log 25.
三、等差数列的判断与证明
9.(2015山东威海高二期中,21)数列{a n}中,a1=1,a2=2,且a n+2-a n=1+(-1)n(n∈N*).令b n=a2n,求证{b n}是等差数列,并求{b n}的通项公式.
解:当n≥ 时,b n-b n-1=a2n-a2n-2=2,
∴{b
}是等差数列,且b1=a2=2,
n
=2n.
∴b
n
10.已知成等差数列,求证:a2,b2,c2成等差数列.
证明:∵是等差数列,
∴.
∴(a+b)(c+a)+(b+c)(c+a)=2(a+b)(b+c).
∴(c+a)(a+c+2b)=2(a+b)(b+c).
∴2ac+2ab+2bc+a2+c2=2ab+2ac+2bc+2b2.
∴a2+c2=2b2.∴a2,b2,c2成等差数列.
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1.数列{a n}的通项公式a n=4n-7,则此数列是()
A.公差为4的等差数列
B.公差为-7的等差数列
C.首项为-7的等差数列
D.公差为n的等差数列
答案:A
解析:a n+1-a n=4(n+1)-4n=4.故选A.
2.等差数列1,-1,-3,…,-89的项数是()
A.45
B.46
C.47
D.92
答案:B
解析:由题可知,等差数列的首项a 1=1,公差d=-2,且a n =-89.
由a n =a 1+(n-1)d ,解得n=46.故选B .
3.{a n }为等差数列,且a 7-2a 4=-1,a 3=0,则公差d=
( ) A.-2
B.-
C.
D.2 答案:B 解析: - 3 ) - , ,
即 , - 4.等差数列的相邻4项是a+1,a+3,b ,a+b ,那么a ,b 的值分别是( )
A.2,7
B.1,6
C.0,5
D.无法确定 答案:A
解析:由等差中项知识得 , 3,解得 ,
5.首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差d 的取值范围为( )
A.d> 3
B.d<3
C. 3≤d<3
D. 3<d ≤3 答案:D
解析:设公差为d ,a n =-24+(n-1)d ,
∴ , , - ,- , ∴ 3<d ≤3.
6.已知等差数列{a n }中,a 1<a 2<…<a n ,且a 3,a 6为x 2-10x+16=0的两个实根,则此数列的通项公式是
答案:a n =2n-4
解析:由题意得 3 , 3 ,
又a 1<a 2<…<a n ,所以解得a 3=2,a 6=8,
所以 , ,
a 1=-2,d=2. 从而a n =-2+2(n-1),即a n =2n-4.
7.已知a ,b ,c 成等差数列,那么二次函数y=ax 2+2bx+c 的图象与x 轴的公共点的个数是 .
答案:1或2
解析:∵a ,b ,c 成等差数列,∴2b=a+c.
二次函数y=ax 2+2bx+c 的判别式Δ=4b 2-4ac=(a+c )2-4ac=(a-c )2≥ ,
∴图象与x 轴有一个或两个公共点.
8.若x ≠y ,且x ,a 1,a 2,y 和x ,b 1,b 2,b 3,y 各自都成等差数列,则 -
- = . 答案: 3
解析:由题知a 2-a 1=d 1= - 3,b 2-b 1=d 2= - , ∴ -
- 3. 9.某公司经销一种数码产品,第1年可获利200万元.从第2年起,由于市场竞争等方面的原因,其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?
解:由题设可知第1年获利200万元,第2年获利180万元,第3年获利160万元,…,每年获利构成等差数列{a n },且当a n <0时,该公司会出现亏损.
设从第1年起,第n 年的利润为a n ,则a 1=200,a n -a n-1=-20(n ≥ ,n ∈N *),
所以每年的利润a n 可构成一个等差数列{a n },且公差d=-20,
从而a n =a 1+(n-1)d=220-20n.
若a n <0,则该公司经销这一产品将亏损,
所以由a n =220-20n<0,得n>11,
即从第12年起,该公司经销此产品将亏损.
10.如果一个数列的各项都是实数,且从第二项开始,每一项与它前一项的平方差是相同的常数,则称该数列为等方差数列,这个常数叫做这个数列的公方差.
(1)设数列{a n}是公方差为p的等方差数列,求a n和a n-1(n≥ )的关系式;
(2)若数列{a n}既是等方差数列,又是等差数列,证明该数列为常数列.
解:(1)由等方差数列的定义可知:
-
=p(n≥ ).
(2)∵{a n}是等差数列,设公差为d,
则a n-a n-1=a n+1-a n=d(n≥ ).
又{a n}是等方差数列,
∴
-
(n≥ ),
∴(a
n +a
n-1
)(a n-a n-1)=(a n+1+a n)(a n+1-a n),
即d(a n+a n-1-a n+1-a n)=-2d2=0.∴d=0,即{a
n
}是常数列.。