2018-2019学年数学高考(理)二轮专题复习：规范练5-2-1-含答案

大题规范练(一)

(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)

解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

1．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin 2Ccos C －sin 3C ＝3(1－cos C)．

(1)求角C ；

(2)若c ＝2，且sin C ＋sin(B －A)＝2sin 2A ，求△ABC 的面积． 解：(1)由2sin 2Ccos C －sin 3C ＝3(1－cos C)， 得sin 2Ccos C －cos 2Csin C ＝3－3cos C ， 化简得sin C ＝3－3cos C ，

即sin C ＋3cos C ＝3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝32，

又C 为△ABC 的内角，

所以C ＋π3＝2π3，故C ＝π

3

.

(2)由已知可得，sin(A ＋B)＋sin(B －A)＝2sin 2A ， 可得sin Bcos A ＝2sin Acos A. 所以cos A ＝0或sin B ＝2sin A.

当cos A ＝0时，A ＝π2，则b ＝23，S △ABC ＝12·b·c＝12×23

×2＝23

3.

当sin B ＝2sin A 时，由正弦定理得b ＝2a. 由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋4a 2－42·a·2a ＝12，得a 2＝4

3，

所以S △ABC ＝12·b·a·sin C＝12·2a·a·32＝32a 2＝23

3.

综上可知，S △ABC ＝23

3

.

2．(本小题满分12分)为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效改良玉米品种，为农民提供技术支援．现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图(单位：厘米)，设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米.

8 8 0 18 1 2 6 6 7

9 5 5 2 19 0 0 3 4 5 8 9 9 6 6 3

20

2 2 3

(1)列出2×2列联表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？

(2)(ⅰ)按照分层抽样的方法，在上述样本中，从易倒伏和抗倒伏两组中抽取9株玉米，设取出的易倒伏矮茎玉米株数为X ，求X 的分布列(概率用组合数算式表示)；

(ⅱ)若将频率视为概率，从抗倒伏的玉米试验田中再随机抽取50株，求取出的高茎玉米株数的数学期望和方差．

附：

(K 2

＝

＋＋

＋

＋

，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d)

解：(1)根据统计数据得2×2列联表如下：

由于K 2

＝

19×26×25×20

≈7.287＞6.635，因此可以在犯错误的概率不超过1%的前

提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．

(2)(ⅰ)按照分层抽样的方法抽到的易倒伏玉米共4株，则X 的可能取值为0,1,2,3,4.

P(X ＝0)＝C 416C 420，P(X ＝1)＝C 14·C 316C 420，P(X ＝2)＝C 24·C 216C 420，P(X ＝3)＝C 34·C 1

16C 420，P(X ＝4)＝C 44

C 420

，

所以X 的分布列为

(ⅱ)在抗倒伏的玉米样本中，高茎玉米有10株，占5，即每次取出高茎玉米的概率均为2

5，

设取出高茎玉米的株数为ξ，则ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫50，25，即E(ξ)＝np ＝50×25＝20，D(ξ)＝np(1－p)

＝50×25×3

5

＝12.

3．(本小题满分12分)如图(1)所示，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠BAD＝π

2，AB ＝BC ＝1，

AD ＝2，E 为AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，如图(2)所示．

(1)证明：CD⊥平面A 1OC ；

(2)若平面A 1BE⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 所成锐二面角的余弦值．

解：(1)证明：在直角梯形ABCD 中，因为AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，∠BAD＝π

2，

所以BE⊥AC，BE∥CD，故BE⊥OA 1，BE⊥OC，

从而BE⊥平面A 1OC. 又因为CD∥BE， 所以CD⊥平面A 1OC.

(2)如图，以O 为原点，OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．

则B ⎝

⎛⎭⎪⎫22，0，0，E ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－22，0，0， A 1⎝

⎛

⎭⎪⎫0，0，

22，C ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

0，22，0， 得BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，0，A 1C →＝⎝

⎛⎭⎪⎫0，22，－22，CD →＝BE →

＝(－2，0,0)．

设平面A 1BC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面A 1CD 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，平面A 1BC 与平面A 1CD 所成的锐二面角为θ，

则⎩⎨⎧

n 1·BC →

＝0n 1

·A 1

C →＝0

，得⎩

⎪⎨

⎪⎧

－x 1＋y 1＝0

y 1－z 1＝0，取x 1＝1得n 1＝(1,1,1)；