斯坦纳最小树
最小斯坦纳树算法

最小斯坦纳树算法
最小斯坦纳树算法是一种用于解决图论问题的算法,它的主要目的是找到一棵包含所有给定节点的最小生成树。
在实际应用中,最小斯坦纳树算法被广泛应用于网络设计、电路设计、图像处理等领域。
最小斯坦纳树算法的基本思想是将原图中的所有节点分成两类:必须包含的节点和可选节点。
然后,通过对可选节点进行枚举,找到一棵包含所有必须节点和当前可选节点的最小生成树。
最后,从所有可能的最小生成树中选择一棵权值最小的树作为最终结果。
最小斯坦纳树算法的实现过程可以分为以下几个步骤:
1. 将原图中的所有节点分成两类:必须包含的节点和可选节点。
2. 对可选节点进行枚举,找到一棵包含所有必须节点和当前可选节点的最小生成树。
3. 从所有可能的最小生成树中选择一棵权值最小的树作为最终结果。
在实际应用中,最小斯坦纳树算法的时间复杂度较高,因此需要采用一些优化策略来提高算法效率。
例如,可以使用动态规划的方法来减少重复计算,或者使用启发式算法来加速搜索过程。
最小斯坦纳树算法是一种非常重要的图论算法,它可以帮助我们解决许多实际问题。
在未来的研究中,我们可以进一步探索最小斯坦纳树算法的优化策略,以提高算法效率,并将其应用于更广泛的领
域。
【浙江省自然科学基金】_设计层次_期刊发文热词逐年推荐_20140813

科研热词 推荐指数 层次分析法 2 铁路集装箱 1 配置需求 1 遗传算法 1 资源描述框架 1 调度自动化 1 融合蛋白 1 自适应策略 1 脂联素 1 肿瘤坏死因子α 拮抗剂 1 网络化 1 网构软件 1 编码体系 1 结构对称性 1 系统评价 1 粒子群算法 1 神经网络技术 1 真核表达 1 流程设计 1 模糊多属性决策 1 模型驱动 1 机械对称性 1 景观栅格 1 拆卸熵 1 抽象状态机(asm) 1 对称性应用 1 多粒度 1 复杂产品 1 城市景观 1 可溶性肿瘤坏死因子受体ii 1 可拆卸性评价 1 原理对称性 1 动态自适应 1 功能对称性 1 公共信息模型 1 优先指数 1 仓单质押贷款 1 主成分分析法 1 peer-to-peer(p2p) 1 agent 1
推荐指数 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65
功能对称 内在属性特征 企业服务总线 人机交互 人事档案管理 产品族 云制造 一体化 laov网络 kronecker叉积 ifs aov网络 abo血型
科研热词 逻辑层次密钥 组密钥管理 产品设计 wsn tinyos 风格意象 风景园林 面向服务 非规则分形组织 非真实感渲染 设计过程 设计层次 血液病 腓肠动脉 聚合物 网格工作流 绿色街道 织物 细节设计 组织设计 穿支皮瓣 电子服务 灰度渐变 活动理论 水墨绘制 模块化 染色体 架构理论 架构创新 杂合性缺失 智能响应 景观设计 显微外科手术 时空对称 数字化解剖 效用对称 提花丝织物 拓扑排序 感性工学 微粒与细胞相互作用 微粒 广义功能 平纹组织模型 工业设计 层次 对称 多层次框架 复杂系统 基因/药物传递 基因 图像数据 单色显像
【浙江省自然科学基金】_地下工程_期刊发文热词逐年推荐_20140812

推荐指数 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 构 数值模拟 掘进参数 开挖 完全塑性 地面隆起 地下管线 土体损失 圆柱孔收缩 双圆盾构 区间隧道 位移 flac3d
推荐指数 1 1 1 1 1 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
科研热词 注浆 小波分析 基坑 雷达 隔振 软土 网络化 简化计算模型 空沟 盾构法 盾构出洞 灾害机制 渗流 格子法 有限元法 数据简化 探地雷达 基于特征建模 均质地基 地铁隧道 地表沉降 地下水有限元分析 土体变形 土体加固 协同安全
2014年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
科研热词 解析解 绝热边界 稳态温度场 盾构隧道 现场监测 数据分析 基坑开挖 势函数 冻结管 人工地层冻结法 上跨地铁隧道
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
加载次序 加载幅值 r-n模型
1 1 1
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
科研热词 高速公路 稳定性 潜在滑坡体 渗流 梯度幅度图 析出物 探地雷达 土石坝 双曲型特征 化学潜蚀 roi提取
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6
科研热词 阻越流系数 承压含水层 循环抽水模型 弱透水层 laplace变换 heaviside函数
53 54 55
2013年 科研热词 高压渗透试验 高压压水试验 隧道衬砌 隆起 附加荷载 阶跃荷载 轴力 裂隙岩体 耦合作用机制 粘土路基 稳定性 砂土震陷 盾构隧道 监测 瑞雷波法 独立基础 湿度演化 湿度模型 渗透特性 混凝土 深基坑 海塘 洞室群 注浆 水平位移 水利工程 正面附加推力 模拟植物生长算法 检测 桩基 框架结构 有限单元法 最优布局 斯坦纳最小树 断层 摩擦力 探地雷达 强柔性支护 开挖 应变控制循环单剪试验 平衡湿度 岩石力学 基质吸力 基坑 城市地下物流 地震荷载 地震映像法 地下连续墙 土水特征曲线 土体损失 双线盾构隧道 双圆盾构 推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
图的steiner最小树问题及其求解

图的steiner最小树问题及其求解作者:杨凌云来源:《电脑知识与技术》2009年第25期摘要:斯坦纳树问题是组合优化学科中的一个问题。
属于NP-难问题,即无法在多项式时间内得到最优解。
本文主要讨论了图的steiner最小树问题,并给出了近似算法,该算法是在破圈法的基础上进行了改进,并且引用了agent的思想。
最后对算法进行了分析。
关键词:Steiner最小树 NP-难题破圈法中图分类号:TP312文献标识码:A文章编号:1009-3044(2009)25-7312-02Graphical Steiner Minimum Tree Problem and SolusionYANG Ling-yun(College of Computer and Information Engineering, Henan University, Kaifeng 475001,China)Abstract: Steiner tree problem is one of the subject of combinatorial optimization problem. It belongs to NP-hard problems that cann’t find the optimal solution in polynomial time. This article discusses the minimum steiner tree problem in graphs, and gives the approximate algorithm, which is improved on loop damage method, and quoted the agent's thinking. Finally, an analysis of the algorithm.Key words: steiner minimum tree; NP-hard problem; loop damage method现实生活中经常要求解决这样的问题,即将若干给定点相连并使连线的总长最短。
斯坦纳树解法-概述说明以及解释

斯坦纳树解法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分是文章的开篇部分,用于介绍主题和问题背景。
下面是一个示例:概述斯坦纳树(Steiner Tree)是图论中的一个经典问题,旨在找到一个具有最小总权重的联通子图,以连接给定一组节点。
斯坦纳树问题在实际生活中有着广泛的应用,例如通信网络设计、电力系统规划和生物信息学等领域。
本文将详细介绍斯坦纳树的概念、应用领域以及解法的基本原理。
首先,我们将给出斯坦纳树的定义和问题描述,以便读者对该问题有一个清晰的认识。
然后,我们将探讨斯坦纳树在不同领域中的应用,以展示它在实际问题中的重要性。
接下来,我们将介绍一些经典的斯坦纳树解法,包括近似算法和精确算法,并详细讨论它们的基本原理和优缺点。
通过本文的阅读,读者将能够了解斯坦纳树问题的背景和意义,掌握不同领域中的应用案例,并对斯坦纳树解法的基本原理有一定的了解。
此外,我们还将对斯坦纳树解法的优点和局限性进行讨论,并展望未来在这一领域的发展方向。
接下来,在第二节中,我们将开始具体介绍斯坦纳树的概念和应用领域。
1.2 文章结构【文章结构】本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
下面将对每个部分进行详细介绍。
1. 引言引言部分主要包括概述、文章结构和目的三个方面的内容。
在概述部分,将简要介绍斯坦纳树解法的背景和重要性。
2. 正文正文部分是文章的核心部分,主要包括斯坦纳树的概念、应用领域和解法的基本原理三个方面的内容。
2.1 斯坦纳树的概念在本小节中,将详细解释什么是斯坦纳树,斯坦纳树的定义和特点。
2.2 斯坦纳树的应用领域本小节将介绍斯坦纳树的应用领域,包括网络通信、电力系统、交通规划等方面的应用案例。
2.3 斯坦纳树解法的基本原理在本小节中,将详细介绍斯坦纳树解法的基本原理和算法,包括构建斯坦纳树的思路和具体步骤。
同时,可以提及一些经典的斯坦纳树解法算法和优化方法。
3. 结论结论部分对斯坦纳树解法的优点和局限性进行总结,并对未来的发展方向进行展望。
最小树与最小树形图(数学建模)讲解

最小树与最小树形图(数学建模)讲解一、最小树的定义及性质1. 定义:最小树,又称最小树,是指在给定的带权无向图中,包含图中所有顶点的一个树形结构,且树中所有边的权值之和最小。
2. 性质:(1)最小树中不存在回路;(2)对于最小树中的任意两个顶点,它们之间有且仅有一条路径;(3)最小树中边的数量等于顶点数量减一;(4)在最小树中添加任意一条边,都会形成一条回路;(5)最小树不唯一,但权值之和相同。
二、求解最小树的方法1. Prim算法Prim算法是一种贪心算法,其基本思想是从图中的一个顶点开始,逐步添加边和顶点,直到形成最小树。
具体步骤如下:(1)初始化:选择一个顶点作为最小树的起点,将其加入最小树集合;(2)迭代:在最小树集合和非最小树集合之间,寻找一条权值最小的边,将其加入最小树集合;(3)重复步骤2,直到所有顶点都加入最小树集合。
2. Kruskal算法Kruskal算法同样是一种贪心算法,其基本思想是将图中的所有边按权值从小到大排序,然后依次选择权值最小的边,判断是否形成回路,若不形成回路,则将其加入最小树集合。
具体步骤如下:(1)初始化:将所有顶点视为独立的树;(2)按权值从小到大排序所有边;(3)迭代:选择权值最小的边,判断其是否形成回路,若不形成回路,则将其加入最小树集合;(4)重复步骤3,直到所有顶点都在同一棵树中。
三、最小树形图的定义及求解方法1. 定义:最小树形图,又称最优树形图,是指在给定的有向图中,找到一个包含所有顶点的树形结构,使得树中所有边的权值之和最小。
2. 求解方法:朱刘算法(Edmonds' Algorithm)朱刘算法是一种用于求解最小树形图的算法,其基本思想是通过寻找图中的最小权值环,进行收缩和扩展操作,最终得到最小树形图。
具体步骤如下:(1)寻找最小权值环;(2)对最小权值环进行收缩操作,将环中的顶点合并为一个新顶点;(3)在新图中寻找最小树形图;(4)将新图中的最小树形图扩展回原图,得到原图的最小树形图。
最小斯坦纳树例子

最小斯坦纳树例子最小斯坦纳树(Minimum Steiner Tree)是指在一个图中,连接所有给定点的最小代价生成树。
其实现方法有很多,其中一种比较经典的算法是基于动态规划的方法。
下面以一个简单的例子来说明最小斯坦纳树的求解过程:假设给定一个带权无向图,其中有四个点A、B、C、D,如下图所示:```5 DA --- B| |2 4| |C --- +3```我们需要找到一个最小代价的生成树,使得它包含给定的三个点A、B、D。
为了方便,我们先将不包含这些点的边都删除,得到以下的子图:```5 DA --- B|+```接着,我们对于每个给定点,都构建一个以该点为根节点的生成树,这样就得到了三棵以A、B、D为根节点的生成树,如下图所示: ```A B D| | |B A B/ | /C D C A C|D```对于每个给定点,我们可以通过动态规划来求解以该点为根节点的生成树的最小代价。
具体来说,我们可以定义一个二维数组f(i,S),表示以节点i为根节点,S集合中的点已经被包含在生成树中的最小代价。
其中,S是一个二进制数,每个二进制位表示该位置上的点是否被包含在S集合中。
我们可以通过以下递推式来计算f(i,S):```f(i,S) = 0, if S={i};f(i,S) = INF, if iS or |S|=1;f(i,S) = min{ f(i,T)+f(j,ST)+w(i,j) }, where TS and i∈T, j∈ST.```其中,INF表示正无穷大,w(i,j)表示节点i和j之间的边的权值。
按照上述递推式,我们可以依次计算出f(A,{A,B,D})、f(B,{A,B,D})和f(D,{A,B,D})。
例如,对于f(A,{A,B,D}),我们可以使用以下递推式:```f(A,{A,B,D}) = min{f(A,{A}) + f(B,{B,D}) + w(A,B),f(A,{A}) + f(D,{B,D}) + w(A,D)} = min{ 0+9+5, 0+8+3 } = 8```依此类推,我们可以得到f(A,{A,B,D})=8、f(B,{A,B,D})=7和f(D,{A,B,D})=11。
【浙江省自然科学基金】_最优决策_期刊发文热词逐年推荐_20140811

科研热词 推荐指数 闭环dna计算模型 1 约柬线性描述分析 1 白化变换 1 正交子空间投影 1 有目的的终止技术 1 支持(反对、中立)目标集 1 指派问题 1 投影法 1 批接入实验 1 奇异值分解 1 多属性决策 1 区间数 1 区间型理想点 1 动态多目标决策 1 人脸识别 1 vague集相似度 1 vague集 1
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
科研热词 衰减信道 绿色服装 神经网络 生产型企业 生产决策 正态分布 条件风险值 无线链路 无线传感器网络 多目标 信息融合 bp算法 6r
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
2014年 序号 1 2 3 4 5 6 7
53 lévy过程 54 levy过程 55 cvar
1 1 1
2014年 科研热词 最优决策 运输 订货 提前期 品牌资产 供应链 产品伤害危机 推荐指数 2 1 1 1 1 1 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2011年 科研热词 供应链管理 集值统计 网络方案 指标体系 投资决策 承诺契约 库存决策 层次分析法 客户战略选择行为 多目标 口碑 企业战略 交叉规划 s-最优联合解 推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
组合优化及算法

背包问题
• 给定n个容积分别为ai,价值分别为ci的物 品.设有一个容积为b的背包,如何以最大 的价值装包?
平行机排序问题
• M个完全相同的机器,n个相互独立的工件, 加工时间互不相同,每个工件只需在任一 台机器上不中断建工一次,如果安排加工 方案,才能使预定的加工时间最短?
定义 若存在一个多项式函数g(x)和一个验证算法H,对一类判 定问题A的任何一个“是” 实例I,都存在一个字符串S是I的 可行解,满足其输入长度d(S)不超过g(d(I)),其中d(I)为I的输 入长度,且算法H验证S为实例I的可行解的计算时间f(H)不超 过g(d(I)),则称判定问题A是非确定多项式的。
计算复杂性的概念
多项式时间算法 例 构造算法将n个自然数从小到大排列起来
算法 输入自然数a(1),a(2),…,a(n). for (i=1;i<n;i++) for (j=i+1;j<=n;j++) if (a(i)>a(j)){ k=a(i);a(i)=a(j);a(j)=k; }
基本运算的总次数(最坏情形):2n(n-1)=O(n2)
例 线性规划问题(LP)的判定形式——LP判定问题:
给定一个实数值z,(LP)是否有可行解使其目标值不超过z? 即:给定z,是否有 {x|cT x z, Ax b, x 0}?
对任何一个优化问题, 可以考虑其三种形式:
最优化形式(原形:最优解) 计值形式(最优值)
难度降低
判定形式(上界)
就有效算法的存在性而言,通常认为三种形式等价!
算法 – 定义
定义:算法是指一步步求解问题的通用程序,它是 解决问题的程序步骤的一个清晰描述.
斯坦纳树算法

斯坦纳树算法
斯坦纳树算法,也称为“终极斯坦纳树算法”,是一种用于解决带权图中的最小树形图问题的算法。
该算法具有时间复杂度为O(n^3 * 2^n)的特点,因此适用于小型图和中等规模的图,但在大型图上会出现运行时间过长的问题。
斯坦纳树算法的基本思想是将原图中的顶点集合划分成若干个
子集,然后对每个子集构建一棵最小树形图,最后将所有子集的最小树形图合并成一棵最终的最小树形图。
该算法的核心在于如何构建子集的最小树形图,这通常使用DP(动态规划)的方式进行求解。
具体而言,斯坦纳树算法的步骤如下:
1.将所有边的权值取对数,并对原图做一些预处理,以提高算法效率。
2.对于每个子集S,使用DP的方式计算S中所有点到S中某个点的最短距离,记为d(S,v),其中v是S中任意一个点。
3.对于每个子集S,将S中所有点连成一棵生成树,使得该树的根节点为S中某个点,且所有连边的权值之和等于d(S,v)。
4.通过枚举所有的子集S,计算每个子集的最小树形图,并记录下最小树形图的权值。
5.将所有子集的最小树形图合并成一棵最终的最小树形图。
需要注意的是,斯坦纳树算法只适用于有向图,且存在一些限制条件,如原图必须联通等。
此外,该算法在实际应用中,可能需要结合其他算法一起使用,以解决一些特殊情况下的问题。
组合数学课程介绍

12
• 斯坦福数学系的教授研究了这个问题, 设立了一个小小的奖项来征集答案, 100美金.
• 数学家和计算机学者都来参与了 • 谁赢了呢?
– 伊利诺大学计算机系的比尔.卡特勒借助计算机 得出的答案是17152种拼法
– 数学家用纸和笔对排列进行分类,共24个基本 族,基本解法是536种,考虑旋转32种,答案 也是17152种。
大禹(2205BC -2105BC)
492 357 816
10
• 组合数学中有许多象幻方这样精巧的结构。
• 1977年美国旅行者1号、2号宇宙飞船就带 上了幻方以作为人类智慧的信号。
2200BC
4 9 2神 3 5 7农
幻
8 1 6方
15世纪
1 15 14 4 4 12 6 7 9 阶
幻 8 10 11 5 方
31
• “6度分离” —对每个人来说,平均大约只需要通过6 个人就能将信寄到目的地。
• 研究无尺度网络,对于防备黑客攻击、防治流行病、和 开发新药等,都具有重要的意义。
• 在1999年,Barab´asi et al.发现在因特网上,任意两个 网页间的链接即网页之间的“距离”平均为18.59 。从 任意一个网页出发, 原则上可以通过不超过19次链接到 达互联网中的任何网页。 (Nature 401, 1999)
/zh-cn/%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6
Combinatorics: Combinatorics is a branch of pure mathematics concerning the study of discrete (and usually finite) objects. It is related to many other areas of mathematics, such as algebra, probability theory, ergodic theory and geometry, as well as to applied subjects in computer science and statistical physics.
组合图论图论及其算法课件

4. 实例:求下列赋权完全图的最优Hamilton回路.
A
解:ACEBDA: 权和 25 BACEDB: 权和 25 CABEDC: 权和 22 DACEBD: 权和 25 EACDBE: 权和 27
21 B
9 10
34 5E 7 6
C8D 所选初始点不同,得到的近似解也不同.
5. 修改方法:最邻近插入法
(2)不允许高速路在所研究的城市以外的某点 处连接.
最短网络问题: 如何用最短的线路将三部电话连起来?
A
B
C
此问题可抽象为设△ABC为等边三角形,,连接三 顶点的路线(称为网络)。这种网络有许多个, 其中最短路线者显然是二边之和(如AB∪AC).
❖ 但若增加一个周转站(新点P),连接4点的新网 络的最短路线为PA+PB+PC。最短新路径之长N 比原来只连三点的最短路径O要短。
3). 重复2)过程直到汇y被标号,或不再有顶点可以标号为止. 若y得到标号,说明存在一条x y增广路P,进入步骤2调整过程; 若y未得到标号,标号过程无法进行,说明f 即为最大流.
(2) 调整过程
1).
令
min{ min (vi ,v j )P
(Cij
f
ij
),
(
min
vi ,v j )P
f ji},调整增广路P中
三. 中国邮递员问题(1962,管梅谷)
1. 问题:邮递员每天从邮局选好邮件,送到他所管辖 的邮区的客户手中,再返回邮局,他每天必须走过每 条街道至少一次,问如何选择邮递路线,使得他走过 的投递总行程最短?
2. 模型:非负赋权图G: 顶点----交叉口或终端,边----街道,权-----街道长 度,此即求图的通过每条边至少一次的闭途径,称为G 的环游.
Flute斯坦纳最小树构造算法

HOW—最小线长计算加速
• 正常的计算POWVs线长 • 但是同一个group间的计算是有很多重复点的,
每个POWV单独计算浪费很多时间。 • POWV之间可以有依赖性的依次计算,其实这
是一个最小生长树的问题。 • 对于一个Group中q个POWVs,建立一个q+1个
节点的完全图,多出的一点对应于线长数组 (HPWL),图中边权为两个相邻线长数组的 边际距离。 • 从HPWL点开始宽搜建立最小生长树,叶子节 点为图中的node
堆边的集合,由此线长即可以由hi,vi组成的向 量表示。 • 右下图的线长可依次表示为(1, 2, 1, 1, 1, 2), (1, 1, 1, 1, 2, 3), (1, 2, 1, 1, 1, 1) • 虽然斯坦纳树数量是巨大的,但是上述的线长 向量数量要小很多,并且可以略过许多一定大 的向量,如a,c中a可以无视。 • 那么由此得到的最小的那些不可以被无视的向 量就组成了POWVs,对于一个端点很少的线网 而言,POWV是十分少的。
Chris Chu and Yiu-Chung Wong
Review By Carelife
What—FLUTE
• 基于快速查找表的矩形斯坦纳最小树构造算法 • 所有N点线网根据pin脚位置都可划分到n!个group中,每
个group中存有POWV,对于一个线网最优线长可由 POWV来获得,FLUTE算法首先会预计算这些POWV形成 一个查找表。与POWV一起存储的还有POST,一个 POWV对应多个POST,一个POST只有一个POWV。 • POWV:potentially optimal wirelength vectors • POST:potentially optimal Steiner tree • 基于此,要得到一颗RSMT,只需计算线网所在组对应 的POWV的线长,然后返回对应的POST即可。 • 上述查找表算法最高支持9点线网,对于9点以上的需要 递归的切分线网。 • FLUTE算法的复杂度依旧是O(nlogn)
第6章 图论简介 - 副本

Pollak-Gilbert猜想
1990年,中科院应用数学所研究员堵丁柱与美籍 华人黄光明合作,证明了Pollak-Gilbert猜想。 在美国离散数学界引起轰动,被列为1989— 1990年度美国离散数学界与理论计算机科学界的 两项重大成果之一。 在《不列颠百科全书1992年鉴》的数学评论中, 该成果被列为世界上当年六项数学成果首项。 该成果被我国列为1992年十大科技成就之一。
相识问题
对6个顶点的完全图K6任意进行红、蓝两边 着色,则图中一定存在一个同色三角形。
Ramsey数
推广为一般问题:给定任意正整数a和b, 总存在一个最小整数 r(a,b),使得r(a,b) 个人中或者有 a 个人互相认识,或者 有 b 个人互相不认识。称 r(a,b) 为 Ramsey数。
如果将基因看作网络中的顶点,将他们之间的作 用看作网络中的边,那么每一次大规模实验将给 我们带来关于基因交互作用网络的一些信息。这 个网络的拓扑性质是科学家们关心的焦点(如每 一个顶点的度和网络中的最小距离问题是两个初 步的问题)。
生物信息学
组合数学和概率统计在生物信息学中 有重要应用。 美国科学院院士Michael Waterman教授, 曾鼓励我们借助组合数学的优势,开 展生物信息学的研究。
网络流问题
随着中国经济快速的增长,城市化是未来中国的 发展方向。人大通过的“十五”规划,把物流业 作为战略重点列入要大力发展的新兴服务产业。 如何制定一个运输计划使生产地到销售地的产品 输送量最大。这就是一个网络最大流问题。
网络流问题
1956年Ford 和Fulkerson 提出了关于网络流问题的 一个重要定理。 最大流最小割定理:在任何网络中,最大流的值 等于最小割的容量。 由这个定理可以引出求网络最大流的一个算法— —标号法。 1970年,Edmonds和Karp 对标号程序加以改进, 使之成为一个好的算法。
斯坦纳最小树

(4)模拟退火法
这是一种通用的随机搜索法,是解决NPH 问题的比较有效的方法。 1)给定点集连同一些虚设点一起构成点集 Z,求Z的最小支撑树,其费用记为C,置 k=0; 2)产生新的点集S 从以下几种方式中随机选择一种: ·加入一个新的虚设点 ·去掉一个存在的虚设点 ·移动一个现有的虚设点到一个随机的允 许位置
结果
用穷举法可得到给定的9个通讯站的最 小Steiner树,共有5个,费用为94。 图13.9给出了这5个最小Steiner树, 其中每个Steiner树都含4个或5个 Steiner点。因此可按图13.9中任何一 个Steiner树来设计给定9个站的费用 最少的局部网络。
图13.9
在下述四类区域中不含Steiner点
D 1 {( x , y ) | x x 00 ( k ), y y k }; D 3 {( x , y ) | x x 10 ( k ), y y k }; D 2 {( x , y ) | x x 01 ( k ), y y k }; D 4 {( x , y ) | x x 11 ( k ), y y k };
用模拟退火法来求图13.4所给出的9个点的 最小Steiner树,在25MHz型386计算机上 运行,大约1.5分中便可得到了最优解。 对应于随机数产生器的不同种子的不同运 行,可给出全部五个不同的最优解。 在上百次运行中,模拟退火法都总是收敛 到五个最优解中的一个。 计算时间方面的优越性表明当该问题的规 模较大,穷举法不可行时,模拟退火法的 价值。
问题
假定要设计一个有9个通 讯站点的局部网络,使 其造价最低。这9个站的 直角坐标为: a(0,15), b(5,20), c(16,24), d(20,20), e(33,25), f(23,11), g(35,7), h(25,0), i(10,3)。 求出联结这9个通讯站的 最小Steiner树。
几类特殊的斯坦纳最小树问题

几类特殊的斯坦纳最小树问题【基金项目】2010 年度浙江省大学生科技创新活动计划 (新苗人才计划)【立项项目】“几类特殊斯坦纳最小树问题的研究”研究成果( 2010R424038).一、斯坦纳最小树的性质1.已知3 点的斯坦纳最小树关于斯坦纳最小树问题,17 世纪法国数学家费马曾有过类似的研究.他提出了费马点问题:“在平面上,任给△ ABC试求一点S,使它到A,B, C三点的距离之和最小•”这个问题在费马提出后不久就被托里拆利解决了,并得到了相关的结论:在△ ABC中,/A为其最大角,S是平面上的点.(1)当/A>xO=[0,1 : >>x=fminunc(f,x0)用MATLAB^件运行,得结果是:x1=1.9671 , x2=1.57,最小距离为5.393.对于4 个点的斯坦纳最小树,如果这4 个点构成凸四边形,类似于正方形,其斯坦纳最小树有2个斯坦纳点S1,S2;如果4个点构成凹四边形,当/ ADB h BDC h CDA=120时,连线段AD,DB,DC即为其斯坦纳最小树,不必添加斯坦纳点.而当/ ADB,Z BDC,Z CDA不全相等时,不妨设/ CDA最小,那么其斯坦纳最小树中斯坦纳点只有1个,该点必为△ ADC的费马点S.其实数学家已经证明了此类问题目前尚未找到有效的算法,即它是个“ NP问题” •例如寻找1个由4点构成的正方形的斯坦纳点的程序:f=(x)sqrt((x(1)-0)八2+(x(2)-0)八2)+sqrt((x(1)-0)八2+(x(2)-1)八2)+sqrt((x(3)-1)八2+(x(4)-0)八2)+sqrt((x(3)-1)八2+(x(4)-1)A2)+sqrt((x(1) -x(3))八2+(x (2)-x(4))A2);>>x0=[0,1,2,3 ]>>x=fminunc(f,x0)用MATLAB^件运行,得结果(即最优解)是:x1=0.2887,x2=0.5,x3=0.7113,x4=0.5 ,连线总长度最小为d=2.7321.上述研究仅是用初等方法给出了不多于4 个点的斯坦纳最小树及其算法,那么5 点甚至更多点的斯坦纳最小树及其算法值得我们进一步研究.。
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2)这两点的x坐标或y坐标相同,则将两点连接起 来,并把该路径上所有在 G中的点以及zi,zj加入T, 否则 a)构造过(xi,yj)的连接zi,zj的直角折线路径 path1,将path1上所有属于G的点以及zi,zj加入T; b)在Z-T中找到与当前树距离最近的顶点z,其 距离记为dist1,然后删掉树中的path1; c)构造过(xi,yj)的连接zi,zj的直角折线路径 path1, 将path1上所有属于G的点以及zi,zj加入T; d)在Z-T中找到与当前树距离最近的顶点z,其 距离记为dist2,然后删掉树中的path2;
(2)贪婪试探算法
图13.5的最小生成树如图13.8(a),顶点按 直角坐标之定位放置,右边的图是把边画成直 角折线,该图称为其三个点的最小直角折线支 撑树。若将图13.8的右边图中重边的端点d作 为虚设站加入,则4个点的最小生成树的权减 少了2。
图13.8
一般情况下,可把最小直角折线支撑树中重 边的端点作为Steiner点的侯选点。结合贪 婪法的思想,可构造出如下的试探法,能否 得到正确解,需要证明。 1)输入给定的n个通信站点的坐标; 2)计算最小直角折线支撑树; 3)找重边,则重边的端点便是Steiner点 的侯选点; 4)分别计算出每个侯选点作为Steiner点加 入后所减少的费用,该费用称为此点的价值; 5)把最大价值的侯选点也作为一个给定点, 重复2)到5)直到没有正价值的侯选点。
3)确定新点集S的最小支撑树,其费 用记为C1,
若C1≤C,则更新C为C1,更新当前点集 Z为S, 当k=M时停止,否则k=k+1,转2); 若C1>C,则仅以一定的概率(可取为 exp{-(C1-C)/T(k)},其中T为一控制参数, 称为温度,随k的增大而减小,比如取 T(k)=T(0)/k,称为冷却方案)接受S作为 当前点集Z,转2)。
(4)模拟退火法
这是一种通用的随机搜索法,是解决NPH 问题的比较有效的方法。 1)给定点集连同一些虚设点一起构成点集 Z,求Z的最小支撑树,其费用记为C,置 k=0; 2)产生新的点集S 从以下几种方式中随机选择一种: ·加入一个新的虚设点 ·去掉一个存在的虚设点 ·移动一个现有的虚设点到一个随机的允 许位置
(1)穷举法
求最小Steiner树问题是NP难题,点数较小 的问题可用穷举法,但若规模较大,应寻 求近似算法。 由于费用最少的Steiner树T*上最多只需引 入n-2个虚设点,因此可从m≤n(n-1)个可能 的Steiner点位置中任取s个点, s=0,1,2,…,n-2,连同给定的n个点一起, 用Kruskal算法,求由这n+s个点确定的赋 权完全图(图中边权取为两点间的直角折 线距离)的最小生成树Ts。 若m不大,此法可行,若m大,此法将无效。
问题
假定要设计一个有9个通 讯站点的局部网络,使 其造价最低。这9个站的 直角坐标为: a(0,15), b(5,20), c(16,24), d(20,20), e(33,25), f(23,11), g(35,7), h(25,0), i(10,3)。 求出联结这9个通讯站的 最小Steiner树。
图 13.5
图 13.6
“虚设站”(即Steiner点)的个数和位置是解决问 题的关键。 “Steiner点位于给定通信站点的 x坐标线,y坐标 线形成的格点上”,最多有n2-n=n(n-1)个Steiner 点的可能位置,这些位置就是 Steiner点的候选点. 当n=9时,有n(n-1)=72个Steiner点的可能位置 V0 :给定的n个通信站点的集合; Vp : Steiner点的候选点集合,设其点数为 p, Vp∩V0=φ; 以V= Vp∪V0为顶点集作一个加权完全图 Kp+n,其 中的边(u,v)的权取为点u与v之间的直角折线距离。 问题成为:求加权完全图Kp+n中包含V0(也允许包 含V中的其他点)的权最小的子树。此即求加权完 全图Kp+n中,V0的最小Steiner树问题。
用模拟退火法来求图13.4所给出的9个点的 最小Steiner树,在25MHz型386计算机上 运行,大约1.5分中便可得到了最优解。 对应于随机数产生器的不同种子的不同运 行,可给出全部五个不同的最优解。 在上百次运行中,模拟退火法都总是收敛 到五个最优解中的一个。 计算时间方面的优越性表明当该问题的规 模较大,穷举法不可行时,模拟退火法的 价值。
(5)修正的Prim启发式算法
受到求最小生成树的Prim算法的启发,根 据Prim算法的思想,构造出下面的求最小 直角折线Steiner树的方法。 先引入一些记号: Z: 给定的通讯站点集合; G: 给定通信站点的x坐标线,y坐标线 形成的格点全体构成的集合; T: 当前Steiner树的顶点集; S=G-Z; 算法步骤: 1)选取Z中距离最近的两点zi=(xi,yi), zj=(xj,yj);
2.假设
1)通信站点集合V0是整数坐标的平面 点集; 2)两点间的距离为直角折线距离,线 路费用正比于线路长度; 3)允许通讯线在非站点处连接。
3.问题分析及模型
给定n个通讯站点,用通讯线把这些站点联 结起来,允许通讯线在非站点处连接,如何 连接,可使连接通信站的线网费用最低? 允许通讯线在站点以外的点(即“虚设站” 或Steiner点)连接,这样可以使线网费用 降低,但问题要复杂得多。 如,有三个通讯站,直角坐标分别为a(0,0), b(4,3),c(6,0)
如图13.7,星号点是给定的9个通讯站点。共 有n(n-1)=72个Steiner点的可能位置,它们 位于过9个点的水平线与垂直线的交点上。 且由于区域D1,D2,D3和D4内不含Steiner点, 72个可能的Steiner点位置可减少到31个 (图4中小圆圈所示的31个位置)。 31 31 31 m=31,迭代次数减少到 0 1 7 3572224
次。假设每次迭代只需用1/60秒的时间, 3572224次迭代需要大约17个小时。
9个给定 点和31 个可能的 Steiner 点 a(0,15), b(5,20), c(16,24), d(20,20), e(33,25), f(23,11), g(35,7), h(25,0), i(10,3)
e)若dist1<dist2, 则加入path1, 若dist2<dist1, 则加入path2, 若dist1=dist2, 则对下一个最近点 重复(2)a到(2)e, 直到dist1¹ dist2, 或穷 尽了Z中所有顶点(此时任意选择); 3)取ziZ∩(G-T),zjT,使zi,zj尽可能 近; 4)重复2),3)直到Z中的顶点均在 T中。
提示: 最小Steiner树问题是NP难题。 前面介绍的方法,除穷举法之外,每个算 法都是有效算法,但不一定能得到最优解, 一般需要对解的近似程度进行分析。 对算法的好坏,可随机给出一些通讯站, 用这些方法来求解,对算法给出的解进行 比较,看哪个算法效果最佳。
编写贪婪试探算法、改进型试探算法 的MATLAB程序,求给定的9个通讯站 的最小Steiner树。 用手工操作的方式,由修正的Prim启 发式算法求给定的9个通讯站的最小 Steiner树,体会该算法的思想。
范例 2 通讯网络的最佳Steiner树
1.问题 2.假设 3.问题分析及模型 4.问题求解
穷举法 贪婪试探算法 改进型试探算法 模拟退火法 修正的Prim启发式算法
5.结果
1.问题
给定平面上若干通讯站,两通讯站之间的线 路长度为两点间的直角折线距离,即 d=|x1-x2|+|y1-y2| 两点间的线路费用正比于线路的长度。 ①如何布线使连接通信站的线网费用最低? ②如何构造最小Steiner树,即最低费用的 Steiner树?
求V0的最小Steiner树可分解为两个问题: 1)求Steiner点;2)求最小生成树。 根据提示“最小Steiner树最多只需n-2个虚 设站(Steiner点)”, Vs :表示Vp中任意s个点的集合。 ,以 对满足0≤s≤n-2的整数s和点集Vs Vp V= Vs∪V0为顶点集的加权完全图Ks+n的 最小生成树记为Ts, 所有Ts 中权最小者记为 T*,T*即为所要求的最小Steiner树。
Steiner树:
Steiner树——通过加入若干“虚设站”后,构造 出由原站点和虚设站生成的最小生成树。若虚设站 设置得恰当,就可降低由原站点生成的最小生成树 所需的费用。用这种方法可降低费用多达 13.4% 注意: 1)Steiner树允许线路在通讯站点以外连接,这种 连接点即为虚设站。 2)为构造一个有n个站的网络,最低费用的 Steiner树最多只需n-2个虚设站,这些虚设站称为 Steiner点。Steiner 点位于给定通信站点的 x坐标 线,y坐标线形成的格点上。
结果
用穷举法可得到给定的9个通讯站的最 小Steiner树,共有5个,费用为94。 图13.9给出了这5个最小Steiner树, 其中每个Steiner树都含4个或5个 Steiner点。因此可按图13.9中任何一 个Steiner树来设计给定9个站的费用 最少的局部网络。
图13.9
在下述四类区域中不含Steiner点
D1 {( x , y ) | x x00 ( k ), y yk }; D3 {( x , y ) | x x10 ( k ), y yk }; D2 {( x , y ) | x x01( k ), y yk }; D4 {( x , y ) | x x11( k ), y yk };
()改进型试探算法
如果每次迭代,都按照随意的顺序加入“虚设站”, 并使得到的最小生成树费用有所减少,直到已加入 n-2个“虚设站”,或加入任何一个剩余的可能的 Steiner点都不能使费用减少为止。按步骤描述如 下 1)求给定的n个点的最小生成树,记录其费用; 2)取一个可能的Steiner点加入,求最小生成树, 若该树的费用小于当前的费用,则记录此树并更新 费用; 3)重复2)直到已有n-2个Steiner点,或任何剩余 的Steiner点加入都不能减少费用。 贪婪试探算法和改进型试探算法都是近似算法,对 一般的问题未必能得到最优解。