第六章 对角互补模型

第六章对角互补模型
辅助线方法总结：作垂直截长补短法旋转法四点共圆
全等型之“90°”方法：求全等
例1：如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC 平分∠AOB,求证：
（1）CD=CE
（2）写出线段OD,OE 和OC 之间的数量关系，并说明理由
（3）S △OCD +S △OCE =2
1OC 2
全等型之“120°”方法：求全等
例2：如图，∠AOB=2∠DCE=120°，OC 平分∠AOB,求证：
（1）CD=CE
（2）写出线段OD,OE 和OC 之间的数量关系，并说明理由
（3）S △OCD +S △OCE =4
3OC 2
全等型之“任意角”方法：求全等
例3：如图，∠DCE+∠AOB=180°，OC 平分∠AOB,求证：CE=CD
相似型之“90°”方法：求相似
例4：如图，∠AOB=∠DCE=90°，点C 在直线y=21x 上，求CD
CE 的值
经典练习
1.已知：AB=AD,∠A=∠C=90°，连接AC ，
（1）求证：AC 平分∠BCD
（2）求证：CD+CB=2AC
2.如图1，将一个直角三角板的直角顶点P 放在正方形ABCD 的对角线BD 上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另一条直角边与BC 相交于点E．
（1）求证：PA=PE；
（2）若将（1）中正方形变为矩形，其余条件不变（如图2），且AD=10，DC=8，求AP：PE；
（3）在（2）条件下，当P 滑动到BD 的延长线上时（如图3），请直接写出AP：PE 比值．
3.（1）如图1，△ABC 为等边三角形，∠1+∠2=120°，求证：∠1=∠2=60°
（2）如图2，△ABC 为等腰直角三角形，∠1+∠2=90°，求证：∠1=∠2=45°
图1图2
4.（1）问题背景：如图甲，∠ADC=∠B=90°，DEAB于点E，且AD=CD,DE=5,求四边形ABCD的面积。

（2）类比迁移：如图乙，P为△ABC外一点，BP=1,CP=3,且∠BPC=120°，求四边形ABPC 的面积
（3）拓展延伸：如图丙，在五边形ABCDE中，BC=4,CD+AB=4,AE=DE=6,AE⊥AB,DE⊥CD,求五边形ABCDE的面积。

5.如图，△ABC为等边三角形，D是BC下方一点，连接AD，若∠ADB=60°，
求证：（1）DA=DB+DC
（2）∠ADC=60°
6.如图，△ABC为等边三角形，D是BC下方一点，连接AD，若∠BDC=120°，求证：（1）∠ADC=∠ADB=60°
（2）DA=DB+DC
(用至少三种方法解答）。