回归教材变式专题九圆锥曲线与方程

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第二章圆锥曲线与方程

第二章圆锥曲线与方程[课标研读]［课标要求］ 1.圆锥曲线① 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. ② 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. ③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.④ 了解圆锥曲线的简单应用. ⑤ 理解数形结合的思想. 2.曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. [命题展望]本章内容是高中数学的重要内容之一,也是高考常见新颖题的板块,各种解题方法在本章得到了很好的体现和充分的展示,尤其是在最近几年的高考试题中,平面向量与解析几何的融合,提高了题目的综合性,形成了题目多变,解法灵活的特点,充分体现了高考中以能力立意的命题方向。

通过对近几年的高考试卷的分析，可以发现选择题、填空题与解答题均可涉及本章的知识，分值高达30分左右。

主要呈现以下几个特点：1．考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等知识及基本技能、基本方法，常以选择题与填空题的形式出现；2．直线与二次曲线的位置关系、圆锥曲线的综合问题常以压轴题的形式出现，这类问题视角新颖，常见的性质、基本概念、基础知识等被附以新的背景，以考查学生的应变能力和解决问题的灵活程度；3．在考查基础知识的基础上，注意对数学思想与方法的考查，注重对数学能力的考查，强调探究性、综合性、应用性，注重试题的层次性，坚持多角度、多层次的考查，合理调控综合程度；4．对称问题、轨迹问题、多变量的范围问题、位置问题及最值问题也是本章的几个热点问题，但从最近几年的高考试题本看，难度有所降低，有逐步趋向稳定的趋势。

第一讲椭圆[知识梳理]［知识盘点］一．椭圆的基本概念1．椭圆的定义：我们把平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（ |,|21F F ）的点的轨迹叫做椭圆，用符号表示为。

这两个定点叫椭圆的，两个焦点之间的距离叫做椭圆的。

2．椭圆的第二定义：平面内，到定点)0,(c F 的距离与到定直线:l 的距离之比是常数a c （即）的动点的轨迹叫做椭圆，其中常数ac叫做椭圆的。

2018高考数学100弹之第91弹：回归教材之圆锥曲线与方程

2018高考数学100弹之第91弹：回归教材之圆锥曲线与方程一.曲线与方程(理科)要搞清曲线的方程、方程的曲线的定义，教材思考与讨论给了两个例题对这个定义进行了说明.要把求曲线的方程的步骤以及通过曲线的方程研究曲线性质的步骤搞清楚.二.椭圆椭圆的标准方程的推导必须得会，我在椭圆标准方程推导的三个重要节点中对方程推导的重要性做了详细的说明.椭圆的性质(范围、对称性、顶点、长轴短轴、离心率等)必须牢牢掌握，教材有道应用题直接说了椭圆长轴的两个端点是到焦点距离最近最远的点，我觉得不够严密，在大题中必须给出证明.课后习题研究了椭圆的一个性质：椭圆上一点和长轴两个端点连线的斜率之积为定值.其实该结论的更一般的形式是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上一点P和椭圆上关于原点对称的两个点的连线的斜率(如果存在的话)之积为-b2/a2.用点差法证明很简单，希望大家记住这个结论，小题直接用，大题用点差法说明一下，说不定能起到简化计算的作用.课后还有一道习题：椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上动弦AB的中点为M，O为原点，AB的斜率和OM的斜率(斜率存在)之积也为-b2/a2.三.双曲线双曲线的标准方程也得会推导，要把双曲线和椭圆的方程对照着复习一遍，特别是焦点在不同的轴上方程的区别.双曲线的高频考点是渐近线，教材给了渐近线的证明，用到了极限的知识，了解即可.要把渐近线方程的求法牢牢掌握.区分焦点在不同轴上时的渐近线方程.给了渐近线方程，要会快速设出双曲线方程.同椭圆一样，习题上也研究了双曲线的一个性质：双曲线上一点和实轴两个端点连线的斜率之积为定值.其实该结论的更一般的形式是双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0，b>0)上一点P和双曲线上关于原点对称的两个点的连线的斜率(如果存在的话)之积为b2/a2.也是用点差法证明很简单，也希望大家记住这个结论.四.抛物线抛物线的定义也是抛物线最重要的性质，准线是其高频考点，而且以小题居多，所以一定要将其定义放在首要位置.要将抛物线标准形式的四种形式区分开，特别是开口向上的，我们容易受二次函数干扰，写错其焦点和准线.五.直线与圆锥曲线直线和圆锥曲线位置关系的判断(判别式法)、弦长公式等需要牢牢把握，计算能力就别指望通过看教材提高了.教材上有道求椭圆内接矩形面积最大值的题，用的是构造二次函数的方法，其实直接均值不等式法或参数方程法更简单，当然教材的做法体现了消元构造函数的思想，是很重要的方法.六.有必要做做的题1.(1)已知F1、F2是椭圆x2/9+y2/5=1的焦点，点P在椭圆上且∠F1PF2=π/3，求△F1PF2的面积.(2)已知F1、F2是双曲线3x2-5y2=15的焦点，点P在双曲线上且△F1PF2的面积等于2√2，求∠F1PF2的大小.2.已知点A(1,1)，F是椭圆x2/9+y2/5=1的左焦点，P是椭圆上任意一点，求|PF|+|PA|的最小值和最大值.3.已知F1、F2是椭圆x2/9+y2/4=1的焦点，点P在椭圆上且△F1PF2是直角三角形，求点P的坐标.4. 已知F1、F2是椭圆x2/4+y2=1的焦点，点P在椭圆上：(1)求|PF1|×|PF2|的最大值；(2)求|PF1|2+|PF2|2的最小值.5.求双曲线x2/4-y2/36=1上任意一点M到两条渐近线的距离乘积的值，试把这个结论推广到一般的双曲线x2/a2+y2/b2=1.6.已知直线l1:5x+3y=0和l2:5x-3y=0:(1)写出两个以直线l1和l2为渐近线的双曲线的标准方程;(2)如果以直线l1和l2为渐近线的双曲线经过点M(1,3)，求此双曲线的标准方程.7.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线与它交于P，Q两点，过点P和此抛物线顶点的直线与准线交于点M，求证直线MQ平行于此抛物线的对称轴.8.已知抛物线y2=4x，P是抛物线上一点：(1)设F为焦点，一个定点A(6,3)，求|PA|+|PF|的最小值，并指出此时P的坐标；(2)设点M的坐标为(m,0)，m∈R，求|PM|的最小值(用m表示），并指出此时点P的坐标.9.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为π/4的直线，交抛物线于A，B两点，点A在x轴的上方，求|AF|/|BF|的值.10.已知椭圆x2/36+y2/9=1，弦AB的中点是M(3,1)，求弦AB所在直线的方程.11.过抛物线的顶点O作两条互相垂直的的弦OA和OB,求证：弦AB与抛物线的对称轴交于定点.12.已知点A是椭圆x2+2y2=4的长轴的左端点，以点A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形ABC，求斜边BC的长.13.设A、B分别是直线y=2√5x/5和y=-2√5x/5上的动点，且|AB|=2√5，设O为坐标原点，动点P满足：向量OP等于向量OA加上向量OB，求动点P的轨迹方程.。

(精品讲义)第2部分复习课(二)圆锥曲线与方程word版含答案2

复习课(二) 圆锥曲线与方程圆锥曲线的定义及标准方程会涉及，是高考解析几何的必考内容．椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1或 y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)x 2a 2－y 2b 2＝1或 y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2＝2px 或 y 2＝－2px 或 x 2＝2py 或 x 2＝－2py (p >0)关系式a 2－b 2＝c 2a 2＋b 2＝c 2[典例] (1)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A ．x 23＋y 24＝1B ．x 24＋y 23＝1C ．x 24＋y 22＝1D ．x 24＋y 23＝1(2)已知抛物线y 2＝8x的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________________．[解析] (1)右焦点为F (1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1．又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，故选D ． (2)由题意可知抛物线的准线方程为x ＝－2，∴双曲线的半焦距c ＝2．又双曲线的离心率为2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1． [答案] (1)D (2)x 2－y 23＝1 [类题通法]求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤． (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)．(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小． 1．(天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A ．x 221－y 228＝1B ．x 228－y 221＝1C ．x 23－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解析：选D 由双曲线的渐近线y ＝ba x 过点(2，3)，可得3＝ba×2．①由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得 a 2＋b 2＝7．②由①②解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1．2．(全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，?4－m ?2＝r 2，解得⎩⎨⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254．答案：⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝2543．方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示曲线C ，给出以下命题：①曲线C 不可能为圆； ②若1<t <4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则t <1或t >4；④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52．其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．解析：显然当t ＝52时，曲线为x 2＋y 2＝32，方程表示一个圆；而当1<t <4，且t ≠52时，方程表示椭圆；当t <1或t >4时，方程表示双曲线；而当1<t <52时，4－t >t －1>0，方程表示焦点在x 轴上的椭圆，故③④为真命题．答案：③④圆锥曲线的几何性质试卷中一般以选择题或者填空题的形式考查圆锥曲线的几何性质(主要是椭圆和双曲线的离心率)，在解答题中与圆锥曲线方程的其他知识一起进行综合考查．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质椭圆双曲线抛物线标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0) x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2＝2px (p >0)关系式 a 2－b 2＝c 2 a 2＋b 2＝c 2图形封闭图形无限延展，有渐近线无限延展，没有渐近线对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率 0<e <1 e >1 e ＝1 准线方程x ＝－p 2决定形状的因素e 决定扁平程度e 决定开口大小2p 决定开口大小[典例] (1)(山东高考)已知双曲线E ：x a 2－y b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．(2)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________． [解析] (1)如图，由题意知|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ．又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a ＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．(2)设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a ．因为e 1·e 2＝32，所以a 4－b 4a 2＝32，即⎝⎛⎭⎫b a 4＝14，∴b a ＝22．故双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，即x ±2y ＝0．[答案] (1)2 (2)x ±2y ＝0 [类题通法]求解离心率三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝ca ，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．1．如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．其四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A ． 2B ． 3C ．32D ．62解析：选D 焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|＋|AF 2|＝4， |AF 1|2＋|AF 2|2＝12，所以可解得|AF 2|－|AF 1|＝22，故a ＝2，所以双曲线的离心率e ＝32＝62，选D ． 2．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．解析：不妨设A 在x 轴上方，由于AB 过F 2且垂直于x 轴，因此可得A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ，由OD ∥F 2B ，O 为F 1F 2的中点可得D ⎝⎛⎭⎫0，－b 22a ，所以AD ＝⎝⎛⎭⎫－c ，－3b 22a ，F B 1＝⎝⎛⎭⎫2c ，－b2a ，又AD ⊥F 1B ，所以AD ·F B 1＝－2c 2＋3b 42a 2＝0，即3b 4＝4a 2c 2，又b 2＝a 2－c 2，所以可得3(a 2－c 2)＝2ac ，两边同时除以a 2，得3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33或－3，又e ∈(0,1)，故椭圆C 的离心率为33．答案：333．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ．若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|FA |＝c ，则双曲线的渐近线方程为________．解析：c 2＝a 2＋b 2，①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c 知，双曲线过点⎝⎛⎭⎫c ，－p 2，即c 2a 2－p24b2＝1．② 由|FA |＝c ，得c 2＝a 2＋p 24，③ 由①③得p 2＝4b 2．④ 将④代入②，得c 2a 2＝2．∴a 2＋b 2a2＝2，即ba ＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0．答案：x ±y ＝0直线与圆锥曲线的位置关系这使得解析几何试题具有广泛的命题背景，当直线与圆锥曲线问题综合时就产生了如：直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离)，直线与曲线交汇产生的一些几何量的范围和最值，动直线(或曲线)过定点等一系列热点问题，这些热点问题都是高考所重视的．直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0?直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0?直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0?直线与圆锥曲线无交点．(2)直线l 截圆锥曲线所得的弦长|AB |＝?1＋k 2??x 1－x 2?2或⎝⎛⎭⎫1＋1k 2?y 1－y 2?2，其中k 是直线l 的斜率，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线与圆锥曲线的两个交点A ，B 的坐标，且(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，x 1＋x 2，x 1x 2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．[典例] 已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M ，N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围． [解] (1)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2＝1(a >1)，则右焦点F (a 2－1，0)，由题设，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1．(2)设点P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个交点，所以Δ>0，即m 2<3k 2＋1， ① 所以x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，所以k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk ，又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1， ②把②代入①得2m >m 2，解得0<m <2，由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故所求m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，2． [类题通法]有关直线与圆锥曲线综合问题的求解方法(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：①相交：Δ>0?直线与椭圆相交；Δ>0?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ>0?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．②相切：Δ＝0?直线与椭圆相切；Δ＝0?直线与双曲线相切；Δ＝0?直线与抛物线相切． ③相离：Δ<0?直线与椭圆相离；Δ<0?直线与双曲线相离；Δ<0?直线与抛物线相离．(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．1．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．解析：设机器人所在位置为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x ．过点P (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k 得ky 2－4y ＋4k ＝0．当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12．(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1，由此可得b 2?x 2＋x 1?a 2?y 2＋y 1?＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1．因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2．又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3．因此a 2＝6，b 2＝3．所以M 的方程为x 26＋y 23＝1．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1解得⎩⎨⎧x ＝433，y ＝－33或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463．由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝⎛⎭⎫－533<n <3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0．于是x 3,4＝－2n ±2?9－n 2?3．因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2．由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2．当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863．所以四边形ACBD 面积的最大值为863．1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是( )A ．2B ． 3C ． 2D ．32解析：选C 由题可知y ＝b a x 与y ＝－b a x 互相垂直，可得－b a ·ba ＝－1，则a ＝b ．由离心率的计算公式，可得e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝2，e ＝2． 2．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选B 由题可知抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－a 2，所以S △OAF ＝12×|a |4×|a |2＝4，得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x ．3．已知一动圆P 与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，而与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，则动圆的圆心P 的轨迹是( )A ．双曲线的一支B ．椭圆C ．抛物线D ．圆解析：选A 由题意，知圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1，则圆C 与圆O 相离，设动圆P 的半径为R ．∵圆P 与圆O 外切而与圆C 内切，∴R >1，且|PO |＝R ＋1，|PC |＝R －1．又|OC |＝3，∴|PO |－|PC |＝2<|OC |，即点P 在以O ，C 为焦点的双曲线的右支上．4．我们把由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆y 2b 2＋x 2c 2＝1(x <0)合成的曲线称作“果圆”(其中a 2＝b 2＋c 2，a >b >c >0)，如图所示，其中点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点．若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，则a ，b 的值分别为( )A ．72，1 B ．3，1 C ．5,3D ．5,4解析：选A ∵|OF 2|＝b 2－c 2＝12，|OF 0|＝c ＝3|OF 2|＝32，∴b ＝1，∴a 2＝b 2＋c 2＝1＋34＝74，得a＝72． 5．已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A ．522＋2 B ．522＋1C ．522－2 D ．522－1 解析：选D 因为抛物线的方程为y 2＝4x ，所以焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1．因为点P 到y 轴的距离为d 1，所以到准线的距离为d 1＋1．又d 1＋1＝|PF |，所以d 1＋d 2＝d 1＋1＋d 2－1＝|PF |＋d 2－1．焦点F 到直线l 的距离记为d ，则d ＝|1－0＋4|2＝52＝522，而|PF |＋d 2≥d ＝522，所以d 1＋d 2＝|PF |＋d 2－1≥522－1，即d 1＋d 2的最小值为522－1．6．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为( ) A ．y 2－3x 2＝36 B ．x 2－3y 2＝36 C ．3y 2－x 2＝36 D ．3x 2－y 2＝36解析：选A 由4x 2＋y 2＝64得x 216＋y 264＝1， c 2＝64－16＝48， ∴c ＝43，e ＝438＝32． ∴双曲线中，c ′＝43，e ′＝23＝c ′a ′． ∴a ′＝32c ′＝6，b ′2＝48－36＝12． ∴双曲线方程为y 236－x 212＝1，即y 2－3x 2＝36．7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其上一点P (3，y )到两焦点的距离分别是6．5和3．5，则该椭圆的标准方程为________．解析：由椭圆的定义，知2a ＝6．5＋3．5＝10，a ＝5．又⎩⎪⎨⎪⎧?3＋c ?2＋y 2＝6.52，?3－c ?2＋y 2＝3.52，解得c ＝52，从而b 2＝a 2－c 2＝754，所以椭圆的标准方程为x 225＋4y 275＝1．答案：x 225＋4y 275＝18．已知直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OA ·OB ＝－4，则直线l 恒过的定点M 的坐标是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＋y 1y 2＝－4．当直线l 的斜率不存在时，设其方程为x ＝x 0(x 0>0)，则x 20－4x 0＝－4，解得x 0＝2；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0，得y 1y 2＝4b k ，则x 1x 2＝y 21y 2216＝b 2k 2，得b 2k2＋4b k ＝－4，∴b k ＝－2，有b ＝－2k ，直线y ＝kx －2k ＝k (x －2)恒过定点(2,0)．又直线x ＝2也恒过定点(2,0)，得点M 的坐标为(2,0)．答案：(2,0)9．已知A (0，－4)，B (3,2)，抛物线y 2＝x 上的点到直线AB 的最短距离为________．解析：直线AB 为2x －y －4＝0，设抛物线y 2＝x上的点P (t ，t 2)，d ＝|2t －t 2－4|5＝t 2－2t ＋45＝?t －1?2＋35≥35＝355．答案：35510．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长、短轴端点分别为A ，B ，F 1，F 2分别是点F 1，且AB其左、右焦点．从椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦与OM 是共线向量．(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F 1QF 2的取值范围．解：(1)∵F 1(－c,0)，则x M ＝－c ，y M ＝b 2a ， ∴k OM ＝－b 2ac ．由题意，知k AB ＝－b a， ∵OM 与AB 是共线向量，∴－b 2ac ＝－b a ，∴b ＝c ，得e ＝22． (2)设|F 1Q |＝r 1，|F 2Q |＝r 2，∠F 1QF 2＝θ，∴r 1＋r 2＝2a ．又|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理，得cos θ＝r 21＋r 22－4c 22r 1r 2＝?r 1＋r 2?2－2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝a 2r 1r 2－1≥a 2⎝⎛⎭⎫r 1＋r 222－1＝0，当且仅当r 1＝r 2时等号成立，∴cos θ≥0，∴θ∈⎝⎛⎦⎤0，π2． 11．如图，焦距为2的椭圆E 的两个顶点分别为A ，B ，且AB 与n＝(2，－1)共线．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线y ＝kx ＋m 与椭圆E 有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．解：(1)因为2c ＝2，所以c ＝1，又AB ＝(－a ，b )，且AB ∥n ，所以2b ＝a ，所以2b 2＝b 2＋1，所以b 2＝1，a 2＝2，所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1． (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，把直线方程y ＝kx ＋m 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1， Δ＝16k 2－8m 2＋8>0，即m 2<2k 2＋1，(*)因为原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，所以OP ·OQ <0，即x 1x 2＋y 1y 2<0，又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 22k 2＋1，由2m 2－22k 2＋1＋m 2－2k 22k 2＋1<0得m 2<23k 2＋23，依题意且满足(*)得m 2<23，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－63，63． 12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4． (1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ．已知点A 的坐标为(－a,0)，点Q (0，y 0)在线段AB 的垂4，求y 0的值．解：(1)由e ＝c a ＝32，得3a 2＝4c 2．再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b ．由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，ab ＝2，得a ＝2，b ＝1．所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1． (2)由(1)可知A (－2,0)．设B 点的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ?x ＋2?，x 24＋y 2＝1消去y 并整理，得 (1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0．由－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，得x 1＝2－8k 21＋4k 2．从而y 1＝4k 1＋4k 2．设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－8k 21＋4k 2，2k 1＋4k 2．以下分两种情况：①当k ＝0时，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，(－2，－y 0)(2，－y 0)．4，得y 0＝±22．②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为y －2k 1＋4k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋8k 21＋4k 2．令x ＝0，解得y 0＝－6k 1＋4k 2．由＝(－2，－y 0)，＝(x 1，y 1－y 0)． ·＝－2x 1－y 0(y 1－y 0)＝－2×?2－8k 2?1＋4k 2＋6k 1＋4k 2⎝⎛⎭⎫4k 1＋4k 2＋6k 1＋4k 2 ＝4×?16k 4＋15k 2－1??1＋4k 2?2＝4，整理得7k 2＝2，故k ＝±147．所以y 0＝±2145．综上，y 0＝±22或y 0＝±2145．。

利用圆锥曲线的参数方程解题

利用圆锥曲线的参数方程解题圆锥曲线是数学中常见的曲线类型，它可以通过参数方程来进行描述和求解。

利用圆锥曲线的参数方程，我们可以解决各种与这类曲线相关的问题。

本文将介绍圆锥曲线的参数方程及其解题方法。

一、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

它们的参数方程可以分别表示如下：1. 椭圆的参数方程设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，则椭圆的参数方程为：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，t为参数，范围为[0, 2π)。

2. 双曲线的参数方程双曲线有两种类型：横双曲线和纵双曲线。

它们的参数方程分别为：横双曲线：x = a * sec(t)y = b * tan(t)纵双曲线：x = a * tan(t)y = b * sec(t)其中，t为参数，范围为(-∞, +∞)。

3. 抛物线的参数方程设抛物线的焦点为F，准线为l，焦点到准线的距离为p，则抛物线的参数方程为：x = 2 * p * ty = p * t^2其中，t为参数，范围为(-∞, +∞)。

二、利用圆锥曲线的参数方程解题方法利用圆锥曲线的参数方程解题时，一般需要根据题目给出的条件来确定参数的具体取值范围，并通过参数方程的形式将曲线转化为参数的函数。

然后，可以利用参数方程进行曲线的绘图、求解焦点、顶点、直线与曲线的交点等问题。

下面以一个具体的例子来说明如何利用圆锥曲线的参数方程解题。

例题：已知椭圆的长半轴为2，短半轴为1，求椭圆上与直线y=x+1相交的点的坐标。

解：根据椭圆的参数方程可知：x = 2 * cos(t)y = sin(t)将直线方程代入参数方程中，得：sin(t) = 2 * cos(t) + 1经过一系列的化简与变形，可求得参数t的解。

然后，将参数t的解代入参数方程，即可求得与直线相交的点的坐标。

三、实例分析通过以上的介绍，我们可以看到，利用圆锥曲线的参数方程解题需要对参数方程进行化简、求解方程等操作。

圆锥曲线与方程学习课件

由于解得k=- .故所求弦所在直线方程为x+2y-4=0. x+2y-4=0 x2+4y2=16 所以y1=0,y2=2.所以弦长
由
得y2-2y=0，
如图所示，已知A,B,C是椭圆E：(a>b>0)上的三点，其中A点的坐标为（2 ，0），BC过椭圆的中心O,且AC⊥BC,
(Ⅰ)求点C的坐标及椭圆E的方程； (Ⅱ)若椭圆E上存在两点P,Q,使得∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，试判断向量PQ与AB是否共线，并给出证明.
5.椭圆：的两个焦点F1,F2,点P在椭圆上，如果线段PF1的中点恰在y轴上，则 = . 由已知椭圆方程得a=2 ，b= ，c=3，F1（-3,0）,F2（3,0）.
7
因为焦点F1和F2关于y轴对称，所以,则P（3，），所故填7.
1.椭圆的定义及其标准方程(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
已知P为椭圆 +y2=1上的动点，F1,F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2=θ,求当θ取最大值时，点P的位置. 设则m+n=4，
在△F1PF2中，由余弦定理得因为m+n=4,m>0,n>0，所以mn≤当且仅当m=n时“=”取得，所以cosθ≥- .所以当θ取得最大值时，点P在短轴的两个顶点处.
在椭圆x2+4y2=16中，求通过点M(2,1)且被这点平分的弦所在的直线的方程和弦长. 当直线斜率不存在时，M不可能为弦的中点，所以可设直线方程为y=k(x-2)+1，代入椭圆方程，整理得：(1+4k2)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-12=0，显然1+4k2≠0，Δ=16(12k2+4k+3)>0.

高三数学回归课本知识总结--圆锥曲线

(三)圆锥曲线1、椭圆 ①方程22221x y a b +=(a >b>0)参数方程cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩②定义:||PF d 相应=e<1; |PF 1|+|PF 2|=2a>2c③e=c a 2=b 2+c 2 ④长轴长为2a ，短轴长为2b⑤焦半径左PF 1=a+ex,右PF 2=a-ex;左焦点弦2()A B AB a e x x =++,右焦点弦2()A B AB a e x x =-+⑥准线x =2a c ±、通径(最短焦点弦)22b a,焦准距p=2b c ⑦12PF F S ∆=2tan 2b θ；当P 为短轴端点时，∠F 1PF 2最大；近地a-c 远地a+c;如：（1）中心在原点，离心率为12，焦点到相应准线距离是3的椭圆方程是（答：22221,14334x y x y +=+=）（2）椭圆221123x y +=的焦点为F 1,F 2，若P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的倍（答：7）（3）P 为曲线2212516x y +=上一动点，F 为右焦点，设点A 4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭，则3||5||PA PF +的最小值为 ___ （答：21）（4）若直线10()y kx k R --=∈与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是（答：[1,5)(5,)+∞ ）（5）直线0Ax By C ++=与圆224x y +=，相交于1122(,),(,)M x y N x y 。

若222C A B =+，则1212x x y y +的值为（答：2-）（6）已知12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过1F 作垂直于x 轴的直线交椭圆于,A B 两点，若2ABF ∆为锐角三角形，则椭圆的离心率e 的范围是_____________ （答:1,1)）（7）设,A F 分别是椭圆2221x y a b+=(0)a b >>的左顶点与右焦点，若在其右准线上存在点P ，使得线段PA 的垂直平分线恰好经过点F ，则该椭圆的离心率的取值范围是__________ （答：1[,1)2）2、双曲线： ①方程22221x y a b-=(a,b>0) ②定义:||PF d 相应=e>1;|PF 1-PF 2|=2a<2c③e=c a =,c 2=a 2+b 2 ④四点坐标？x,y 范围?实虚轴、渐近线交点为中心⑤焦半径、焦点弦用第二定义推(注意左右支及左右焦点不同);到焦点距离常化为到准线距离⑥准线x=2a c ±、焦准距p=2b c⑦渐近线22220x y a b -=或b y x a=±;焦点到渐近线距离为b; 如：（1）过双曲线228x y -=的左焦点1F 的直线与双曲线的左支交于P 、Q 两点，且弦长|PQ|=7，2F 是双曲线的右焦点，则2PF Q ∆的周长是（答：14+（2）已知两点A （－3，0）B （3，0），若|PA|－|PB|=2，则点P 的轨迹方程为（答：221(1)18x y x -=≥）（3）双曲线2212x y m+=的离心率(1,2)e ∈,则实数m 的取值范围是（答：(6,0)-）（4）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是（答：2e >）3、抛物线：①方程y 2=2px ②焦半径2A p AF x =+；焦点弦AB ＝x 1+x 2+p ；y 1y 2=－p 2,x 1x 2=24p ，其中A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)4、相交弦问题：①用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后,注意用判别式、韦达定理、弦长公式;注意二次项系数为0的讨论;注意对参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用;注意焦点弦可用焦半径公式,其它用弦长公式21AB x x =-=21y y =-=②涉及弦中点与斜率问题常用“点差法”.7、解题注意:①考虑圆锥曲线焦点位置,抛物线还应注意开口方向,以避免错误②求圆锥曲线方程常用待定系数法、定义法、轨迹法③焦点、准线有关问题常用圆锥曲线定义来简化运算或证明过程④运用假设技巧以简化计算.如:中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆(双曲线)方程可设为Ax 2+Bx 2＝1;共渐进线b y x a =±的双曲线标准方程可设为2222(x y a b λλ-=为参数,λ≠0);抛物线y 2=2px 上点可设为(202y p ,y 0);直线的另一种假设为x=my+a; ⑤解焦点三角形常用正余弦定理及圆锥曲线定义.8、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1）给出直线的方向向量()1,u k = 或(),u m n =；（2）给出OA OB + 与AB 相交,等于已知OA OB + 过AB 的中点;（3）给出0PM PN += ,等于已知P 是MN 的中点;（4）给出()AP AQ BP BQ λ+=+ ,等于已知,A B 与PQ 的中点三点共线;（5）给出以下情形之一：①//AB AC ；②存在实数,AB AC λλ= 使；③若存在实数,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+ 且使,等于已知,,A B C 三点共线.（6）给出0MA MB ⋅= ,等于已知M A M B ⊥,即AMB ∠是直角,给出0MA MB m ⋅=< ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0MA MB m ⋅=> ,等于已知AMB ∠是锐角,（7）给出MA MB MP MA MB λ⎛⎫ ⎪+= ⎪⎝⎭,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ （8）在平行四边形ABCD 中，给出()()0AB AD AB AD +⋅-= ，等于已知ABCD 是菱形;（9）在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=- ，等于已知ABCD 是矩形;（10）在ABC ∆中，给出222OA OB OC == ，等于已知O 是ABC ∆的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（11）在ABC ∆中，给出0OA OB OC ++= ，等于已知O 是ABC ∆的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（12）在ABC ∆中，给出OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅ ，等于已知O 是ABC ∆的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（13）在ABC ∆中，给出OP OA =+ ()||||AB AC AB AC λ+ ()R λ+∈等于已知AP 通过ABC ∆的内心；（14）在ABC ∆中，给出0,a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅= 等于已知O 是ABC ∆的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（15）在ABC ∆中，给出()12AD AB AC =+ ,等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线;。

回归本源用定义求解圆锥曲线问题

已３）求拿Ｉ最知（，．ｌｌｌ１Ｐ＋Ｐ的ＡＦ
小值．网３
２．求面积
２
例如１ＦＦ是圆２图，－椭去没，
分析根据题设条件画出图３这是发现解题思路的前，
提， √ ，。＝３ｂ＝１．ｃ２ｅ，．＝，＝｛． ‘
中运用余弦定理，ｃｓ０＝ — ＝。６。１
（１＋ｒ）ｒ２一２ｌ２一（ｃｒｒ２）
２２ｌ
＋；（ｃｒ一２）
２２ｌ
点Ｐ的轨迹．
（若双曲线的两个分支分别过Ａ，两点，以ｃ为２）口且
一
１０—２ｌ２—６０ｒｒ４
２１２
个焦点，另一个焦点９的轨迹．求
故Ｓｍ，＝ √ ．，３３
３．求最值
例３（０９年四川卷－第９题）２０如图２，知直线ｆ４已：ｘ一３＋６＝０和ｙ直线Ｚ＝一ｌ抛物线Ｙ：，＝４上一动ｘ
义，ｌＰＩＩＣＩＩＰｌＩ得Ｊ＋Ａ＝＋ＢＣＩ，
即ＩＢＰＩ— ｌＩ＝【ＡＰＡＣＩ— １日ＣＩ．
’ ．
点Ｐ到直线ｚ直线Ｚ距离之和的和，的
最小值是（分析）．
图２
‘
ＩＣＩ— ＩＡＢＣＩ＝２．
ｃｓ０。：—１。６
：
２１２
利用给

圆锥曲线与方程课件 (共59张PPT)

（2）、已知点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 l：x＋5＝0 的距离小 1，求点 M 的轨迹方程.
解析：如图，设点 M 的坐标为(x， y)，由于点 M 到点 F(4,0) 的距离比它到直线 l：x＋5 ＝0 的距离小 1，则点 M 到点 F(4,0) 的距离与它到直线 l′：x＋4＝0 的距离相等，根据抛物线的定义可知点 M 的轨迹是以 F 为焦点，直线 l′为准线的抛物线， p 且＝4，即 p＝8. ∴点 M 的轨迹方程为 y2＝16x. 2
归纳总结
求轨迹方程时，如果能够准确把握一些曲线的定义，先判断曲线类型再求方程，往往对解题起到事半功倍的效果．
学以致用
x2 y2 P 是椭圆上任 F2 是椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的两焦点， (1)F1、 a b 垂足为点 Q，从任一焦点引∠F1PF2 的外角平分线的垂线，一点，则点 Q 的轨迹为( A．圆 C．双曲线 ) B．椭圆 D．抛物线
问题探究探究2：直线与圆锥曲线的位置关系
例 2、（1）设直线 l ：y ＝kx ＋1，抛物线 C：y2＝4x，当 k 为何值时，l 与 C 相切、相交、相离.
y＝kx＋1 解析联立方程组 2 y ＝4x 整理得 k2x2＋(2k－4)x＋1＝0. 当 k≠0 时，方程 k2x2＋(2k－4)x＋1＝0 为一元二次方程． ∴Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．，消去 y，
∵|BC|＝6，∴|BM|＋|CM|＝6. 又∵动圆过点 A，∴|CM|＝|AM|，则|BM|＋|AM|＝6>4. 根据椭圆的定义知，点 M 的轨迹是以点 B(－2,0) 和点 A(2,0)为焦点的椭圆，其中，2a＝6,2c＝4，∴a＝3，c＝2. ∴b2＝a2－c2＝5. x2 y2 故所求圆心的轨迹方程为＋＝1. 9 5

高中数学_圆锥曲线的方程与性质教学课件设计

因为 cos 2θ＝1－2sin2θ，所以13＝1－21a2，得 a2＝3. 又 c2＝1，所以 b2＝a2－c2＝2，椭圆 C 的方程为x32＋y22＝1，故选 B.
2.(2018·全国Ⅱ，文，11)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为
值范围是
√A.[ 5， 6]
C.54，32
B.
25，
6
2
D.52，3
x＋y＝1，解析联立ax22＋by22＝1，得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， Δ＝4a4－4(a2＋b2)(a2－a2b2)>0，化为a2＋b2>1. x1＋x2＝a22＋a2b2，x1x2＝aa2－2＋ab2b2 2. ∵OP⊥OQ， ∴O→P·O→Q＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－1)(x2－1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
∴椭圆长轴的取值范围是[ 5， 6].
跟踪演练 3 (1)(2019·合肥质检)已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，
F2，右顶点为 A，上顶点为 B，以线段 F1A 为直径的圆交线段 F1B 的延长线于点 P，
若 F2B∥AP，则该椭圆的离心率是
3 A. 3
2 B. 3
当直线AB的斜率不存在时，2t1＋2t2＝0，此时t1＝－t2，则 AB 的方程为 x＝2，焦点 F 到直线 AB 的距离为 2－12＝32， ∵kAB＝22tt112－－22tt222＝t1＋1 t2，得直线 AB 的方程为 y－2t1＝t1＋1 t2(x－2t21). 即x－(t1＋t2)y－2＝0. 令y＝0，解得x＝2. ∴直线AB恒过定点D(2，0). ∴抛物线的焦点 F 到直线 AB 的距离小于32，综上，焦点 F 到直线 AB 距离的最大值为32.

第九章圆锥曲线与方程第一课时

2．点P(x0，y0)在椭圆上⇔________________________；
3．点P(x0，y0)在椭圆内⇔________________________.
答案：三、1. ax202＋by022 ＞1 2. ax202＋by022 ＝1 3. ax202＋by022 ＜1
基础自测
点．若1．F1(，20F121是年椭上圆海的闸两北个区焦模点拟，)设则P|是PF椭1|＋圆|PF2x522|＋等1y于62 (
2
思路分析：涉及椭圆上的点到焦点的距离时，通常可
以根据定义进行转化．
解析：如右图所示，设椭圆的另一个焦点为F2，由椭圆的定义得
|MF1|＋|MF2| ＝2a＝10，
所以 |MF2|＝10－|MF1|＝10－2＝8，
又因为ON为△MF1F2的中位线，
所以 |ON|＝12|MF2|＝4，
故答案为A.
答案：8
4．已知方程围为________．
3＋x2 k＋2－y2 k
＝1表示椭圆，则k的取值范
答案：－3，－21∪－12，2
椭圆 2x52 ＋y92 ＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N
为MF1的中点，则 |ON| (O为坐标原点)的值为( )
A．4
B．2
C．8
D. 3
变式探究
圆上，2．如椭果圆线1段x22 ＋ PFy312的＝中1点的在左y、轴右上焦，点那分么别|P为F1F|是1和|PFF22，|的点__P7_在_ 椭倍．
设F1，F2是椭圆 44x92＋y62 ＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，求△PF1F2的面积．
思路分析：由椭圆方程可求出2a与2c，且由|PF1|∶|PF2| ＝4∶3知可求出|PF1|，|PF2|的长度，从而可求三角形的面积．

2024年中考重点之圆锥曲线的方程与象

2024年中考重点之圆锥曲线的方程与象圆锥曲线是数学中的重要概念，通常指二次方程的图像，包括椭圆、双曲线和抛物线。

在2024年中考中，圆锥曲线的方程与象是一个重要的考点。

本文将介绍圆锥曲线的方程以及它们的图像特点。

一、椭圆椭圆是圆锥曲线中的一种，它的方程可以表示为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中，(h,k)为椭圆的中心坐标，a为椭圆的长半轴，b为椭圆的短半轴。

椭圆的图像具有以下特点：1. 椭圆是中心对称的，中心为坐标(h,k)。

2. 长半轴和短半轴分别决定了椭圆在x轴和y轴上的长度。

3. 椭圆上的点满足到焦点的距离之和等于常数。

二、双曲线双曲线也是圆锥曲线中的一种，它的方程可以表示为：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1其中，(h,k)为双曲线的中心坐标，a为双曲线的横轴的一半长度，b为双曲线的纵轴的一半长度。

双曲线的图像具有以下特点：1. 双曲线是中心对称的，中心为坐标(h,k)。

2. 横轴和纵轴分别决定了双曲线在x轴和y轴上的长度。

3. 双曲线上的点满足到焦点的距离之差等于常数。

三、抛物线抛物线也是圆锥曲线中的一种，它的方程可以表示为：y = ax² + bx + c其中，a、b和c为常数。

抛物线的图像具有以下特点：1. 抛物线在x轴上的焦点为（-b/2a, 0）。

2. 抛物线的开口方向取决于常数a的正负，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

3. 抛物线与y轴相交于点(0, c)。

综上所述，圆锥曲线是数学中重要的概念之一。

在2024年中考中，学生需要熟练掌握圆锥曲线的方程与图像特点，以便顺利解答相关题目。

通过掌握椭圆、双曲线和抛物线的方程，学生可以准确地画出它们的图像，并根据图像特点判断方程的类型和性质。

希望本文的介绍对学生在中考中掌握圆锥曲线的方程与象有所帮助。

高中数学总复习教学案09：圆锥曲线与方程

高中数学总复习题组法教学案编写体例第9章圆锥曲线与方程本章知识结构本章的重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程及标准方程表示的圆锥曲线的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。

本章的难点：求圆锥曲线的方程及利用几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系综合问题。

◆本章学习中应当着重注意的问题理解椭圆、双曲线、抛物线的概念，准确掌握标准方程所表示曲线的几何性质，特别注重函数与方程不等式的思想、转化思想、数形结合思想在本单元解题中的应用。

◆本章高考分析及预测本章内容是高中数学的重要内容之一,也是高考常见新颖题的板块,各种解题方法在本章得到了很好的体现和充分的展示,尤其是在最近几年的高考试题中,平面向量与解析几何的融合,提高了题目的综合性,形成了题目多变,解法灵活的特点,充分体现了高考中以能力立意的命题方向。

通过对近几年的高考试卷的分析，可以发现选择题、填空题与解答题均可涉及本章的知识，分值20分左右。

§椭圆① 了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．本节的重点是椭圆的定义、标准方程和几何性质。

本节的难点是椭圆标准方程两种形式的应用及解决椭圆问题所涉及的思想方法。

高中数学第九章圆锥曲线与方程(教师用书)理

第九章圆锥曲线与方程高考导航考试要求重难点击命题展望1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质；4.了解圆锥曲线的简单应用；5.理解数形结合的思想；6.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.本章重点：1.椭圆、双曲线、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系问题；3.求曲线的方程或曲线的轨迹；4.数形结合的思想，方程的思想，函数的思想，坐标法.本章难点：1.对圆锥曲线的定义及性质的理解和应用；2.直线与圆锥曲线的位置关系问题；3.曲线与方程的对应关系.圆锥曲线与函数、方程、不等式、三角形、平面向量等知识结合是高考常考题型.极有可能以一小一大的形式出现，小题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法运用；解答题常作为数学高考的把关题或压轴题，综合考查学生在数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等方面的能力.知识网络9.1 椭圆典例精析题型一求椭圆的标准方程[例1]点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. [解析]由椭圆的定义知，2a ＝453＋253＝25，故a ＝5，由勾股定理得，(453)2－(253)2＝4c 2，所以c 2＝53，b 2＝a 2－c 2＝103，故所求方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y25＝1.[点拨](1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )； (2)在求椭圆中的a 、b 、c 时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.[变式训练1]椭圆C 1的中心在原点、焦点在x 轴上，抛物线C 2的顶点在原点、焦点在xC 1，C 2上各取假设干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x ，y ).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C 1上，也不在抛物线C 2上.小明的记录如下：据此，可推断椭圆C 1的方程为.[解析]方法一：先将题目中的点描出来，如图，A (－2,2)，B (－2，0)，C (0，6)，D (2，－22)，E (22，2)，F (3，－23).通过观察可知道点F ，O ，DA ，C ，E 是椭圆上的点，这时正好点B 既不在椭圆上，也不在抛物线上.显然半焦距b ＝6，那么不妨设椭圆的方程是x 2m ＋y 26＝1，那么将点A (－2,2)代入可得m ＝12，故该椭圆的方程是x 212＋y 26＝1.方法二：欲求椭圆的解析式，我们应先求出抛物线的解析式，因为抛物线的解析式形式比椭圆简单一些.不妨设有两点y 21＝2px 1，①y 22＝2px 2，②y 21y 22＝x 1x 2，那么可知B (－2，0)，C (0，6)不是抛物线上的点. 而D (2，－22)，F (3，－23)正好符合.又因为椭圆的交点在x 轴上，故B (－2，0)，C (0，6A (－2,2)，E (22，2)这两个点代入，可得椭圆的方程是x 212＋y 26＝1.题型二椭圆的几何性质的运用[例2]F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的X 围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关.[解析](1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，在△F 1PF 2中，由余弦定理可知4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°，因为m ＋n ＝2a ，所以m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn ＝4a 2－2mn ，所以4c 2＝4a 2－3mn ，即3mn ＝4a 2－4c 2. 又mn ≤(m ＋n2)2＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)，所以4a 2－4c 2≤3a 2，所以c 2a 2≥14，即e ≥12，所以e 的取值X 围是[12，1).(2)由(1)知mn ＝43b 2，所以21F PF S ＝12mn sin 60°＝33b 2，即△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关.[点拨]椭圆中△F 1PF 2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求X 围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2，|PF 1|≥a －c .[变式训练2]P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的一点，Q ，R 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝14和圆(x －4)2＋y 2＝14上的点，那么|PQ |＋|PR |的最小值是.[解析]设F 1，F 2为椭圆左、右焦点，那么F 1，F 2分别为两圆的圆心，那么|PQ |＋|PR |≥(|PF 1|－12)＋(|PF 2|－12)＝|PF 1|＋|PF 2|－1＝9.所以|PQ |＋|PR |的最小值为9. 题型三有关椭圆的综合问题[例3](2010全国新课标)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列.(1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程. [解析](1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a .l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么A ，B 两点坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=.1,2222b y a x c x y化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，那么x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b 2. 因为直线AB 斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]，即43a ＝4ab 2a 2＋b2，故a 2＝2b 2，所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22.(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－23c ，y 0＝x 0＋c ＝c3. 由|PA |＝|PB |⇒k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1⇒c ＝3. 从而a ＝32，b ＝3，故E 的方程为x 218＋y 29＝1.[变式训练3]椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，两焦点为F 1，F 2，抛物线以F 1为顶点，F 2为焦点，P 为两曲线的一个交点，假设|PF 1||PF 2|＝e ，那么e 的值是( )A.32B.33C.22D.63[解析]设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x 0，y 0)，那么椭圆左准线x ＝－a 2c，抛物线准线为x ＝－3c ，x 0－(－a 2c )＝x 0－(－3c )⇒c 2a 2＝13⇒e ＝33.应选B.总结提高1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定a 、 b的值(即定量)，假设定位条件不足应分类讨论，或设方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )求解.2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的X 围.9.2 双曲线典例精析题型一双曲线的定义与标准方程[例1]动圆E 与圆A ：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆B ：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心E 的轨迹方程.[解析]设动圆E 的半径为r ，那么由|AE |＝r ＋2，|BE |＝r －2，所以|AE |－|BE |＝22，又A (－4,0)，B (4,0)，所以|AB |＝8,22＜|AB |. 根据双曲线定义知，点E 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的右支. 因为a ＝2，c ＝4，所以b 2＝c 2－a 2＝14，故点E 的轨迹方程是x 22－y 214＝1(x ≥2).[点拨]利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E 点满足的几何条件，结合双曲线定义求解，要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.[变式训练1]P 为双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M ，N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，那么|PM |－|PN |的最大值为( )B.7[解析]选D.题型二双曲线几何性质的运用[例2]双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，x 轴上有一点Q (2a,0)，假设C 上存在一点P ，使PQ AP •＝0，求此双曲线离心率的取值X 围.[解析]设P (x ，y )，那么由PQ AP •＝0，得AP ⊥PQ ，那么P 在以AQ 为直径的圆上，即 (x －3a 2)2＋y 2＝(a 2)2，①又P 在双曲线上，得x 2a 2－y 2b2＝1，②由①②消去y ，得(a 2＋b 2)x 2－3a 3x ＋2a 4－a 2b 2＝0，即[(a 2＋b 2)x －(2a 3－ab 2)](x －a )＝0，当x ＝a 时，P 与A 重合，不符合题意，舍去；当x ＝2a 3－ab 2a 2＋b 2时，满足题意的点P 存在，需x ＝2a 3－ab 2a 2＋b 2＞a ，化简得a 2＞2b 2，即3a 2＞2c 2，ca ＜62，所以离心率的取值X 围是(1，62). [点拨]根据双曲线上的点的X 围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值X 围的常用方法.[变式训练2]设离心率为e 的双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，那么直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是( )A.k 2－e 2＞1B.k 2－e 2＜1C.e 2－k 2＞1D.e 2－k 2＜1[解析]由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率k 只需满足－b a ＜k ＜ba，即k 2＜b 2a 2＝c 2－a 2a2＝e 2－1，应选C.题型三有关双曲线的综合问题[例3](2010某某)双曲线x 22－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P (x 1，y 1)，Q (x 1，－y 1)是双曲线上不同的两个动点.(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程；(2)假设过点H (0，h )(h ＞1)的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点，且l 1⊥l 2，求h 的值.[解析](1)由题意知|x 1|＞2，A 1(－2，0)，A 2(2，0)，那么有直线A 1P 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，①直线A 2Q 的方程为y ＝－y 1x 1－2(x －2).②方法一：联立①②解得交点坐标为x ＝2x 1，y ＝2y 1x 1，即x 1＝2x ，y 1＝2yx，③那么x ≠0，|x |＜ 2.而点P (x 1，y 1)在双曲线x 22－y 2＝1上，所以x 212－y 21＝1.将③代入上式，整理得所求轨迹E 的方程为x 22＋y 2＝1，x ≠0且x ≠± 2.方法二：设点M (x ，y )是A 1P 与A 2Q 的交点，①×②得y 2＝－y 21x 21－2(x 2－2).③又点P (x 1，y 1)在双曲线上，因此x 212－y 21＝1，即y 21＝x 212－1.代入③式整理得x 22＋y 2＝1.因为点P ，Q 是双曲线上的不同两点，所以它们与点A 1，A 2A 1和A 2均不在轨迹E 上.过点(0,1)及A 2(2，0)的直线l 的方程为x ＋2y －2＝0.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+12,02222y x y x 得x ＝2，yl 与双曲线只有唯一交点A 2.故轨迹E 不过点(0,1).同理轨迹E 也不过点(0，－1). 综上分析，轨迹E 的方程为x 22＋y 2＝1，x ≠0且x ≠± 2.(2)设过点H (0，h )的直线为y ＝kx ＋h (h ＞1)，联立x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4khx ＋2h 2－2＝0.令Δ＝16k 2h 2－4(1＋2k 2)(2h 2－2)＝0，得h 2－1－2k 2＝0，解得k 1＝h 2－12，k 2＝－h 2－12.由于l 1⊥l 2，那么k 1k 2＝－h 2－12＝－1，故h ＝ 3.过点A 1，A 2分别引直线l 1，l 2通过y 轴上的点H (0，h )，且使l 1⊥l 2，因此A 1H ⊥A 2H ，由h2×(－h2)＝－1，得h ＝ 2.此时，l 1，l 2的方程分别为y ＝x ＋2与y ＝－x ＋2，它们与轨迹E 分别仅有一个交点(－23，223)与(23，223). 所以，符合条件的h 的值为3或 2.[变式训练3]双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，过F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，假设△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，那么e 2等于( )A.1＋22B.3＋2 2C.4－22D.5－2 2[解析]此题考查双曲线定义的应用及基本量的求解. 据题意设|AF 1|＝x ，那么|AB |＝x ，|BF 1|＝2x . 由双曲线定义有|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a⇒(|AF 1|＋|BF 1|)－(|AF 2|＋|BF 2|)＝(2＋1)x －x ＝4a ，即x ＝22a ＝|AF 1|. 故在Rt △AF 1F 2中可求得|AF 2|＝|F 1F 2|2－|AF 1|2＝4c 2－8a 2.又由定义可得|AF 2|＝|AF 1|－2a ＝22a －2a ，即4c 2－8a 2＝22－2a ，两边平方整理得c 2＝a 2(5－22)⇒c 2a2＝e 2＝5－22，应选D.总结提高1.要与椭圆类比来理解、掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质，但应特别注意不同点，如a ，b ，c 的关系、渐近线等.2.要深刻理解双曲线的定义，注意其中的隐含条件.当||PF 1|－|PF 2||＝2a ＜|F 1F 2|时，P 的轨迹是双曲线；当||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝|F 1F 2|时，P 的轨迹是以F 1或F 2为端点的射线；当||PF 1|－|PF 2||＝2a ＞|F 1F 2|时，P 无轨迹.3.双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要掌握以下两个问题：(1)双曲线方程，求它的渐近线； y ＝±b a x ，可将双曲线方程设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)，再利用其他条件确定λ的值，求法的实质是待定系数法.9.3 抛物线典例精析题型一抛物线定义的运用[例1]根据以下条件，求抛物线的标准方程. (1)抛物线过点P (2，－4)；(2)抛物线焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5. [解析](1)设方程为y 2＝mx 或x 2＝ny . 将点P 坐标代入得y 2＝8x 或x 2＝－y .(2)设A (m ，－3)，所求焦点在x 轴上的抛物线为y 2＝2px (p ≠0)，由定义得5＝|AF |＝|m ＋p2|，又(－3)2＝2pm ，所以p ＝±1或±9，所求方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .[变式训练1]P 是抛物线y 2＝2x 上的一点，另一点A (a,0) (a ＞0)满足|PA |＝d ，试求d 的最小值.[解析]设P (x 0，y 0) (x 0≥0)，那么y 20＝2x 0，所以d ＝|PA |＝(x 0－a )2＋y 20＝(x 0－a )2＋2x 0＝[x 0＋(1－a )]2＋2a －1. 因为a ＞0，x 0≥0，所以当0＜a ＜1时，此时有x 0＝0，d min ＝(1－a )2＋2a －1＝a ；当a ≥1时，此时有x 0＝a －1，d min ＝2a －1. 题型二直线与抛物线位置讨论[例2](2010某某)一条曲线C 在y 轴右侧，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FB FA •＜0？假设存在，求出m 的取值X 围；假设不存在，请说明理由.[解析](1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足： (x －1)2＋y 2－x ＝1(x ＞0). 化简得y 2＝4x (x ＞0).(2)设过点M (m,0)(m ＞0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎨⎧=+=,4,2x y m ty x 得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )＞0，于是⎩⎨⎧-==+.4,42121m y y t y y ①又FA ＝(x 1－1，y 1)，FB ＝(x 2－1，y 2).FA•FB ＜0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＜0.②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－(y 214＋y 224)＋1＜0⇔(y 1y 2)216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1＜0.③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1＜4t 2.④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1＜0，即3－22＜m ＜3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA ·FB ＜0，且m 的取值X 围是(3－22，3＋22).[变式训练2]抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 所在直线与y 轴的交点坐标为(0,2)，那么1y 1＋1y 2＝.[解析]⎩⎨⎧=-=xy y m x 4),2(2⇒y 2－4my ＋8m ＝0，所以1y 1＋1y 2＝y 1＋y 2y 1y 2＝12.题型三有关抛物线的综合问题[例3]抛物线C ：y ＝2x 2，直线y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N .(1)求证：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；(2)是否存在实数k 使NA ·NB ＝0？假设存在，求k 的值；假设不存在，说明理由. [解析](1)证明：如图，设A (x 1,2x 21)，B (x 2,2x 22)，把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2，得2x 2－kx －2＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝k2，x 1x 2＝－1，所以x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k 4，所以点N 的坐标为(k 4，k 28).设抛物线在点N 处的切线l 的方程为y －k 28＝m (x －k4)，将y ＝2x 2代入上式，得2x 2－mx ＋mk 4－k 28＝0，因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝m 2－8(mk 4－k 28)＝m 2－2mk ＋k 2＝(m －k )2＝0，所以m ＝k ，即l ∥AB .(2)假设存在实数k ，使NA ·NB ＝0，那么NA ⊥NB ，又因为M 是AB 的中点，所以|MN |＝21|AB |. 由(1)知y M ＝12(y 1＋y 2)＝12(kx 1＋2＋kx 2＋2)＝12[k (x 1＋x 2)＋4]＝12(k 22＋4)＝k24＋2.因为MN ⊥x 轴，所以|MN |＝|y M －y N |＝k 24＋2－k 28＝k 2＋168.又|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·(k 2)2－4×(－1)＝12k 2＋1·k 2＋16. 所以k 2＋168＝14k 2＋1·k 2＋16，解得k ＝±2.即存在k ＝±2，使NA ·NB ＝0.[点拨]直线与抛物线的位置关系，一般要用到根与系数的关系；有关抛物线的弦长问题，要注意弦是否过焦点，假设过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，假设不过焦点，那么必须使用一般弦长公式.[变式训练3]P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，过点P 作圆(x －3)2＋y 2＝1的切线，切点分别为M 、N ，那么|MN |的最小值是.[解析]455.总结提高1.在抛物线定义中，焦点F 不在准线l 上，这是一个重要的隐含条件，假设F 在l 上，那么抛物线退化为一条直线.2.掌握抛物线本身固有的一些性质：(1)顶点、焦点在对称轴上；(2)准线垂直于对称轴；(3)焦点到准线的距离为p ；(4)过焦点垂直于对称轴的弦(通径)长为2p .3.抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应关系.求抛物线方程时，假设由条件可知曲线的类型，可采用待定系数法.4.抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握.但由于抛物线的离心率为1，所以抛物线的焦点有很多重要性质，而且应用广泛，例如：过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么有以下性质：|AB |＝x 1＋x 2＋p 或|AB |＝2p sin 2α(α为AB 的倾斜角)，y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p24等.9.4 直线与圆锥曲线的位置关系典例精析题型一直线与圆锥曲线交点问题[例1]假设曲线y 2＝ax 与直线y ＝(a ＋1)x －1恰有一个公共点，某某数a 的值. [解析]联立方程组⎩⎨⎧=-+=,,1)1(2ax y x a y(1)当a ＝0时，方程组恰有一组解为⎩⎨⎧==;0,1y x(2)当a ≠0时，消去x 得a ＋1ay 2－y －1＝0， ①假设a ＋1a＝0，即a ＝－1，方程变为一元一次方程－y －1＝0，方程组恰有一组解⎩⎨⎧-=-=;1,1y x②假设a ＋1a ≠0，即a ≠－1，令Δ＝0，即1＋4(a ＋1)a ＝0，解得a ＝－45，这时直线与曲线相切，只有一个公共点.综上所述，a ＝0或a ＝－1或a ＝－45.[点拨]此题设计了一个思维“陷阱〞，即审题中误认为a ≠0，解答过程中的失误就是不讨论二次项系数aa 1+＝0，即a ＝－1的可能性，从而漏掉两解.此题用代数方法解完后，应从几何上验证一下：①当a ＝0时，曲线y 2＝ax ，即直线y ＝0，此时与直线y ＝x －1 恰有交点(1,0)；②当a ＝－1时，直线y ＝－1与抛物线的对称轴平行，恰有一个交点(代数特征是消元后得到的一元二次方程中二次项系数为零)；③当a ＝－45时直线与抛物线相切.[变式训练1]假设直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4有且只有一个公共点，那么实数k 的取值X 围为( )A.{1，－1，52，－52}B.(－∞，－52]∪[52，＋∞)C.(－∞，－1]∪[1，＋∞)D.(－∞，－1)∪[52，＋∞)[解析]由⎩⎨⎧=--=4,122y x kx y ⇒(1－k 2)x 2－2kx －5＝0，⎩⎨⎧=≠-0,112Δk ⇒k ＝±52，结合直线过定点(0，－1)，且渐近线斜率为±1，可知答案为A. 题型二直线与圆锥曲线的相交弦问题[例2](2010某某)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF ＝2FB .(1)求椭圆C 的离心率；(2)如果|AB |＝154，求椭圆C 的方程.[解析]设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＜0，y 2＞0. (1)直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝a 2－b 2.联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,1),(32222b y ax c x y得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2(c －2a )3a 2＋b2. 因为AF ＝2FB ，所以－y 1＝2y 2，即3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(c －2a )3a 2＋b2. 解得离心率e ＝c a ＝23.(2)因为|AB |＝1＋13|y 2－y 1|，所以23·43ab 23a 2＋b2＝154. 由c a ＝23得b ＝53a ，所以54a ＝154，即a ＝3，b ＝ 5. 所以椭圆的方程为x 29＋y 25＝1.[点拨]此题考查直线与圆锥曲线相交及相交弦的弦长问题，以及用待定系数法求椭圆方程.[变式训练2]椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，那么ab的值为. [解析]设直线与椭圆交于A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，弦中点坐标为(x 0，y 0)，代入椭圆方程两式相减得a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋b (y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0⇒2ax 0＋2by 0y 1－y 2x 1－x 2＝0⇒ax 0－by 0＝0. 故a b ＝y 0x 0＝32. 题型三对称问题[例3]在抛物线y 2＝4x 上存在两个不同的点关于直线l ：y ＝kx ＋3对称，求k 的取值X 围.[解析]设A (x 1，y 1)、B (x 2、y 2)是抛物线上关于直线l 对称的两点，由题意知k ≠0.设直线AB 的方程为y ＝－1kx ＋b ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=x y b x ky 4,12消去x ，得14ky 2＋y －b ＝0，由题意有Δ＝12＋4·14k ·b ＞0，即b k ＋1＞0.(*)且y 1＋y 2＝－4k .又y 1＋y 22＝－1k ·x 1＋x 22＋b .所以x 1＋x 22＝k (2k ＋b ).故AB 的中点为E (k (2k ＋b )，－2k ).因为l 过E ，所以－2k ＝k 2(2k ＋b )＋3，即b ＝－2k －3k2－2k . 代入(*)式，得－2k －3k 3－2＋1＞0⇔k 3＋2k ＋3k3＜0 ⇔k (k ＋1)(k 2－k ＋3)＜0⇔－1＜k ＜0，故k 的取值X 围为(－1,0).[点拨](1)此题的关键是对称条件的转化.A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线l 对称，那么满足直线l 与AB 垂直，且线段AB 的中点坐标满足l 的方程；(2)对于圆锥曲线上存在两点关于某一直线对称，求有关参数的X 围问题，利用对称条件求出过这两点的直线方程，利用判别式大于零建立不等式求解；或者用参数表示弦中点的坐标，利用中点在曲线内部的条件建立不等式求参数的取值X 围.[变式训练3]抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于x ＋y ＝0对称的两点A ，B ，那么|AB |等于( )B.42 2[解析]设AB 方程：y ＝x ＋b ，代入y ＝－x 2＋3，得x 2＋x ＋b －3＝0，所以x A ＋x B ＝－1，故AB 中点为(－12，－12＋b ).它又在x ＋y ＝0上，所以b ＝1，所以|AB |＝32，应选C.总结提高1.本节内容的重点是研究直线与圆锥曲线位置关系的判别式方法及弦中点问题的处理方法.2.直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解的讨论，即联立方程组⎩⎨⎧==++,0),(,0y x f C By Ax 通过消去y (也可以消去x )得到x 的方程ax 2＋bx ＋ca ＝0和a ≠0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况除a ≠0，Δ＝0外，直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时，都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情况).由此可见，直线与圆锥曲线只有一个公共点，并不是直线与圆锥曲线相切的充要条件.3.弦中点问题的处理既可以用判别式法，也可以用点差法；使用点差法时，要特别注意验证“相交〞的情形.9.5 圆锥曲线综合问题典例精析题型一求轨迹方程[例1]抛物线的方程为x 2＝2y ，F 是抛物线的焦点，过点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作抛物线的两条切线l 1和l 2，记l 1和l 2交于点M .(1)求证：l 1⊥l 2； (2)求点M 的轨迹方程.[解析](1)依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12.联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=22121x y kx y 消去y 整理得x 2－2kxA 的坐标为(x 1，y 1)，B 的坐标为(x 2，y 2)，那么有x 1x 2＝－1，将抛物线方程改写为y ＝12x 2，求导得y ′＝x .所以过点A 的切线l 1的斜率是k 1＝x 1，过点B 的切线l 2的斜率是k 2＝x 2. 因为k 1k 2＝x 1x 2＝－1，所以l 1⊥l 2.(2)直线l 1的方程为y －y 1＝k 1(x －x 1)，即y －x 212＝x 1(x －x 1).同理直线l 2的方程为y －x 222＝x 2(x －x 2).联立这两个方程消去y 得x 212－x 222＝x 2(x －x 2)－x 1(x －x 1)，整理得(x 1－x 2)(x －x 1＋x 22)＝0，注意到x 1≠x 2，所以x ＝x 1＋x 22.此时y ＝x 212＋x 1(x －x 1)＝x 212＋x 1(x 1＋x 22－x 1)＝x 1x 22＝－12. 由(1)知x 1＋x 2＝2k ，所以x ＝x 1＋x 22＝k ∈R .所以点M 的轨迹方程是y ＝－12.[点拨]直接法是求轨迹方程最重要的方法之一，此题用的就是直接法.要注意“求轨迹方程〞和“求轨迹〞是两个不同概念，“求轨迹〞除了首先要求我们求出方程，还要说明方程轨迹的形状，这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形态的对应关系了如指掌.[变式训练1]△ABC 的顶点为A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，那么顶点C 的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x ＞3)D.x 216－y 29＝1(x ＞4) [解析]如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6，根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)，应选C.题型二圆锥曲线的有关最值 [例2]菱形ABCD 的顶点A 、C 在椭圆x 2＋3y 2＝4上，对角线BD ∠ABC ＝60°时，求菱形ABCD面积的最大值.[解析]因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥B D. 于是可设直线AC 的方程为y ＝－x ＋n .由⎩⎨⎧+-==+nx y y x ,4322得4x 2－6nx ＋3n 2－4＝0. 因为A ，C 在椭圆上，所以Δ＝－12n 2＋64＞0，解得－433＜n ＜433.设A ，C 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝3n 2，x 1x 2＝3n 2－44，y 1＝－x 1＋n ，y 2＝－x 2＋n .所以y 1＋y 2＝n2.因为四边形ABCD 为菱形，且∠ABC ＝60°，所以|AB |＝|BC |＝|CA |.所以菱形ABCD 的面积S ＝32|AC |2.又|AC |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝－3n 2＋162，所以S ＝34(－3n 2＋16) (－433＜n ＜433).所以当n ＝0时，菱形ABCD 的面积取得最大值4 3.n 的取值X 围，虽然也能得出答案，但是得分损失不少.[变式训练2]抛物线y ＝x 2－1上有一定点B (－1,0)和两个动点P 、Q ，假设BP ⊥PQ ，那么点Q 横坐标的取值X 围是.[解析]如图，B (－1,0)，设P (x P ，x 2P －1)，Q (x Q ，x 2Q －1)，由k BP ·k PQ ＝－1，得x 2P －1x P ＋1·x 2Q －x 2Px Q －x P＝－1.所以x Q ＝－x P －1x P －1＝－(x P －1)－1x P －1－1. 因为|x P －1＋1x P －1|≥2，所以x Q ≥1或x Q ≤－3. 题型三求参数的取值X 围及最值的综合题[例3](2010某某)m ＞1，直线l ：x －my －m 22＝0，椭圆C ：x 2m 2＋y 2＝1，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点.(1)当直线l 过右焦点F 2时，求直线l 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，△AF 1F 2，△BF 1F 2的重心分别为G ，H .假设原点O 在以线段GH 为直径的圆内，某某数m 的取值X 围.[解析](1)因为直线l ：x －my －m 22＝0经过F 2(m 2－1，0)，所以m 2－1＝m 22，解得m 2＝2，又因为m ＞1，所以m ＝ 2.故直线l 的方程为x －2y －1＝0. (2)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=1,22222y m x m my x 消去x 得2y 2＋my ＋m 24－1＝0，那么由Δ＝m 2－8(m 24－1)＝－m 2＋8＞0知m 2＜8，且有y 1＋y 2＝－m 2，y 1y 2＝m 28－12.由于F 1(－c,0)，F 2(c,0)，故O 为F 1F 2的中点，由AG ＝2GO ， BH ＝2HO ，得G (x 13，y 13)，H (x 23，y 23)，|GH |2＝(x 1－x 2)29＋(y 1－y 2)29.设M 是GH 的中点，那么M (x 1＋x 26，y 1＋y 26)，由题意可知，2|MO |＜|GH |，即4[(x 1＋x 26)2＋(y 1＋y 26)2]＜(x 1－x 2)29＋(y 1－y 2)29，即x 1x 2＋y 1y 2＜0.而x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋m 22)(my 2＋m 22)＋y 1y 2＝(m 2＋1)(m 28－12).所以m 28－12＜0，即m 2＜4.又因为m ＞1且Δ＞0，所以1＜m ＜2. 所以m 的取值X 围是(1,2).[点拨]此题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆、点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.[变式训练3]假设双曲线x 2－ay 2＝1的右支上存在三点A 、B 、C 使△ABC 为正三角形，其中一个顶点A 与双曲线右顶点重合，那么a 的取值X 围为.[解析]设B (m ，m 2－1a)，那么C (m ，－m 2－1a )(m ＞1)，又A (1,0)，由AB ＝BC 得(m －1)2＋m 2－1a＝(2m 2－1a)2，所以a ＝3m ＋1m －1＝3(1＋2m －1)＞3，即a 的取值X 围为(3，＋∞). 总结提高1.求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标法〞将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、待定系数法.2.最值问题的代数解法，是从动态角度去研究解析几何中的数学问题的主要内容，其解法是设变量、建立目标函数、转化为求函数的最值.其中，自变量的取值X围由直线和圆锥曲线的位置关系(即判别式与0的关系)确定.3.X围问题，主要是根据条件，建立含有参变量的函数关系式或不等式，然后确定参数的取值X围.其解法主要有运用圆锥曲线上点的坐标的取值X围，运用求函数的值域、最值以及二次方程实根的分布等知识.。