考研提高-2020考研数学一试卷分析
2020年考研数学一真题及答案解析
1
（ ） （A ）
2
e
1d .x
t t
（B ）
30
ln 1d .x
t t
（C ）
sin 2
sin d .x
t t
（D ）
1cos 20
sin d .x
t t
（1）【答案】（D ）.
【解析】因为
2
2
+
++20
3
22000e 1d e 11
lim
lim lim ,333
x t x x x x t x x x x 故0x
时，
2
e
1d x
t t
是x 的3阶无穷小；
因为
+
+
+
33
30
5
3
3
00
02
22ln 1d ln 12lim
lim lim
,52
x x x x t t
x x x
x 故0x 时，
3
ln 1d x t t 是x 的52
阶无穷小；
因为 +
+sin 22
320
0sin d sin sin cos lim
lim 3x
x x x t t x x x x 故0x 时，
sin 20
sin d x
t t
是x 的3阶无穷小；
2020考研数学一真题及解析【完整版】
P(BAC) P(B AUC) P(B) P[B(AUC)] P(B) P(BA) P(BC) P(ABC) 1 0 1 0 1
4 12 6
P(CBA) P(C BUA) P(C) P[CU (BUA)] P(C) P(CB) P(CA) P(ABC) 1 1 1 0 1
1 2
S(x)
1 xS(x) 1 S(x) 2
则
(1
x)S
(
x)
1 2
S(
x)
1
即
S
(
x)
1 2(1
x)
S
(
x)
1
1
x
解得 S(x) 1 2 1 x c 1 x
又 S (0) 0 故 c 2 因此 S (x)
2 2. 1 x
18.（本题满分 10 分）
设 为 曲 面 Z x2 y2 x2 y2 4 的 下 侧 ， f (x) 是 连 续 函 数 ， 计 算
1
2 f y 2
48y
当 x 0, y 0时.A 0.B 1.C 0
AC B2 0 故不是极值.
当x1y 1 时 6 12
A 1.B 1.C 4.
AC
B2
0.A
1
0故
1, 6
1 12
是极小值点
极小值
f
历年考研数学一真题及解析
历年考研数学一真题及解析
历年考研数学一真题及解析
考研数学一是研究生入学考试中的一门重要科目，也是许多考生最为关注和担
心的科目之一。为了帮助考生更好地备考数学一，下面将对历年考研数学一真
题进行解析和分析。
首先，我们先来了解一下历年考研数学一的考试形式。数学一的考试时间为
150分钟，总分为150分，共有12道大题，其中包括选择题、填空题和计算题。考试内容主要涵盖高等数学、线性代数和概率论与数理统计等方面的知识。
接下来，我们来看一道历年考研数学一的选择题。假设题目如下：
已知函数f(x)满足f'(x)=2x，且f(1)=3，则f(2)的值为多少？
对于这道题目，我们可以通过积分的方法来求解。由题意可知，f'(x)是f(x)的导
函数，所以我们可以得到f(x)的原函数为f(x)=x^2+C。根据已知条件f(1)=3，我们可以将x=1代入原函数中，得到C=2。因此，f(x)=x^2+2。
接下来，我们将x=2代入f(x)中，得到f(2)=2^2+2=6。所以，f(2)的值为6。
通过这道题目的解析，我们可以看出在考研数学一中，对于函数的导数和积分
的运算是非常重要的。掌握好这些基本的运算规则，可以帮助我们更好地解答
选择题。
除了选择题，填空题也是考研数学一中常见的题型。下面我们来看一道历年考
研数学一的填空题。假设题目如下：
已知矩阵A=[a,0;b,c]，其中a、b、c为实数，且矩阵A的行列式为4，则a+c
的值为多少？
对于这道题目，我们可以通过计算矩阵A的行列式来求解。根据矩阵的行列式
的计算公式可知，A的行列式为ac-0b=4。由此得到ac=4。
2020年考研数学(一)真题及解析
2020年考研数学（一）真题
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。 1. +→0x 时，下列无穷小量中最高阶是（ ）
A.()⎰-x
t dt e 0
12
B.0
ln(1x dt +
⎰
C.
⎰
x
dt t sin 0
2sin D.⎰
-x
dt t cos 10
3sin
【答案】D
【解析】
()A 2
2
+
+
3
2
00(1)(1)1lim lim
33x
x
t t x x e dt e dt x x →→--==⎰⎰，可知0x +→，2
301(1)~3
x t e dt x -⎰， ()
B +
+5
002
2
2lim
lim ln(155
x
x x x
x dt
→→==+⎰
，可知5202ln(1~5x dt x +⎰，0x +→ ()C +
++s 3
in 22000
20sin sin(sin )co cos 1lim
lim lim 333s x x x x
x x t dt x x x →→→===⋅⎰，可知sin 2
301sin ~3
x t dt x ⎰，0x +→
()
D +
+1co 5
0s 0
lim
lim x x x →→-===⎰，
可知1cos 50
~
x -⎰
，0x +→ 通过对比，⎰
-x
dt t cos 10
3sin 的阶数最高，故选()D
2. 设函数()x f 在区间()1,1-内有定义，且()0lim 0
=→x f x ，则（ ）
A. 当()0lim
=→x
x f x ，()x f 在0=x 处可导.
B. 当()0lim
2020考研数学(一)答案解析
π
1
2
π
E ( XY ) E ( X sin X )2π
x sin x
dx
02x sin xdx
π
π
2
2
π
2
π
π
02xd cos x
x cos x|0202cos xdx
π
π
2
sin x|
π
2
.
02
π
π
9
故 cov( X , Y )2π0π2.
三、解答题
（15）（本题满分10分）
求f ( x , y ) x38 y3xy的极值.
（15）【解析】
因为f 3 x2y , f 24 y2x,
x
y
2
x
1
,
3x
y0,
x 0,
6
fx
解得
联立方程组
f
24y
2
x
0,
y
0,
1
y
y
12
.
1
1
故驻点为0, 0 ,
,
.
6
12
在点0, 0处：
A fxx0, 0 0,
B fxy
0, 01, C fyy0, 0 0,
lim
sin sin x2cos x
lim
2020年考研数学一真题及答案解析(完整版)
2020年考研数学一真题及答案解析（完整版）
一、选择题：1~8小题，第小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.
1.0x +→时，下列无穷小量中最高阶是（ ）
A.()2
01x t e dt -⎰
B.0ln(1)x ⎰
C.sin 20sin x
t dt ⎰
D.1cos 0-⎰
2.设函数()f x 在区间（-1，1）内有定义，且0lim ()0,x f x →=则（ ）
A.当
00,()0x f x x →==在处可导.
B.当
00,()0x f x x →==在处可导.
C.当
0()00.x f x x →==在处可导时,
D.当
0()00.x f x x →==在处可导时,
3.设函数()f x 在点（0，0）处可微，(0,0)
(0,0)0,,,1f
f
f n x y ⎛⎫∂∂==- ⎪∂∂⎝⎭非零向量d 与n 重直，则（
）
A.
(,)lim 0x y →=存在 B.
(,)lim 0x y →=存在
C.(,)lim 0x y →=存在
D.(,)lim 0x y →=
4.设R 为幂级数1n n
n a x ∞=∑的收敛半径，r 是实数，则（ ）
A.1n n
n a x ∞=∑发散时，||r R ≥
B.1n n
n a x ∞=∑发散时，||r R ≤
C.||r R ≥时，1n n
n a x ∞=∑发散
D.||r R ≤时，1n n
n a x ∞=∑发散
5.若矩阵A 经初等变换化成B ，则（ ）
A.存在矩阵P ，使得P A =B
B.存在矩阵P ，使得BP =A
2020考研数学一真题解析
（C）当 r R 时， a2nr2n 发散
n 1
（D）当 r R 时， a2nr2n 收敛
n 1
【答案】（A）
【解析】因为 R 为幂级数 an xn 的收敛半径，所以
n1
第2页
R 为幂级数 a2n x2n 的收敛半径，
n 1
当 a2nr2n 发散时，由阿贝尔定理得 r R ，选（A）。
x0
x0 x
第1页
f x
为
x
的高阶无穷小量），所以
lim
x0
0 ，选（C）。 x
Born to win
（3）设函数
f
x, y 在点 0, 0 处可微， f
0,
0
0,
n
f
f ,
,
1
，非零向量
（0,0）
与n
x y
垂直，则（ ）
n x, y, f x, y
（A） lim
0 存在
Born to win
2020 全国硕士研究生入学统一考试数学一试题详解
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
（1）当 x 0 时，下列无穷小量中最高阶是（ ）
（A） x et2 1 dt 0
2020考研数学一真题及答案解析
M 0 时,不妨设在点 c( (0, 2)) 处取得最大值 | f (c) | M .
由拉格朗日中值定理得,存在 1 (0,c) ,使得 |f (1)|
f
(c) f (0) c0
=
M c
;
存在 2 (c, 2) ,使得 |f (2 ) |
f (2) f (c) M
2c
2c ;
旺旺id 河北师大研胜教育
（2） 证明随机变量 Y 服从标准正态分布。
【详解】（Ⅰ）
F x, y PX1 x,Y y
AC A
1
B2 =3>0 0
x y
1 6 1 12
，为极小值点
f (1 , 1 ) 1 极小值为 6 12 216
（16）（本题满分 10 分）
I
计算
L
4x 4x2
y y
2
dx
x y 4x2 y2
dy
,其中
L为
x2
y2
2
,方向为逆时针方向.
【详解】补曲线 L1 : 4x2 y2 2 ，逆时针方向
sin
X
,则 Cov X ,Y
．
2 【答案】 ．
旺旺id 河北师大研胜教育
三、解答题：15～23 小题，共 94 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答．题．纸．指定位置
2020年考研数学一答案+解析
x, y0,0
x2 y2
n x, y, f x, y
（B） lim
0 存在
x, y0,0
x2 y2
x, y, f x, y
（C） lim
0 存在
x, y0,0
x2 y2
n x, y, f x, y
（D） lim
0 存在
x, y0,0
x2 y2
【答案】（A）
【解析】由题意可知，
n 1
（5）若矩阵 A 经初等变换化成 B ,则（ ） （A）存在矩阵 P ，使得 PA B （B）存在矩阵 P ，使得 BP A （C）存在矩阵 P ，使得 PB A （D）方程组 Ax 0 与 Bx 0 同解
【答案】（B）
Born to win
【解析】由题意可知，对于矩阵 A 进行列变换得到矩阵 B ，则存在初等矩阵 Q1, Q2 ,, Qt ，
n 1
（C）当 r R 时， a2nr2n 发散
n 1
（D）当 r R 时， a2nr2n 收敛
n 1
【答案】（A）
【解析】因为 R 为幂级数 an xn 的收敛半径，所以
n1
第2页
R 为幂级数 a2n x2n 的收敛半径，
n 1
当 a2nr2n 发散时，由阿贝尔定理得 r R ，选（A）。
2
2
x 0 y 0
2020年考研数学一真题及答案解析(完整版)
2020年考研数学一真题及答案解析(完整版)
、选择题：1~8小题，第小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要 求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上 1. x 0时，下列无穷小量中最高阶是(
)
x
t 2
e 0
B. ：ln(1 、t 3dt)
sin x 2
C. sint dt
2.设函数f (x)在区间(-1，1)内有定义，且p 叫f (x) 0,则(
0, f (x)在x 0处可导.
A lim |n(x ，y ，f(x ，y))|
A. (x,y) (0,0)
B.jn ,0)|n (x ；y ,f (x ,y))| 0存在
A.
1 dt
0, f (x)在x 0处可导.
C.当 f (x)在x
0处可导时 ,lim -f(x)
x 0
Jx|
0. D.当 f (x)在x 0处可导时 ,lim 」凶0.
x 0 2
V x 3•设函数f (x)在点(0，0)
处可微，f(0,0) 0,n
非零向量d 与n 重直，则(
(0,0)
0存在
代
Hx
4•设R 为幕级数
a n X n 的收敛半径，r 是实数，则(
n 1
A.
a n X n 发散时， n 1
|r| R
B.
a n X n 发散时， n 1
|r| R
C. |r | R 时，
a n x n 发散
n 1
D. | r | R 时，
a n X n 发散
n 1
5•若矩阵A 经初等变换化成 B ，则( )
A. 存在矩阵P ,使得FA=B
B. 存在矩阵P ,使得BP=A
C. 存在矩阵P ,使得PB=A
D. 方程组Ax=0与Bx=0同解
, x a 2
2020考研数学一真题及答案解析
n1
n0
n1
=
n1
(n
1) 2
an
x
n
1
n1
nan xn
1 2
n1
an x n
1
= xS '(x) 1 S(x) 1 2
(1 x)S '(x) 1 2 S(x)
2
dS (x) 2 S(x)
dx 2(1
x)
ln
2
S( x)
1 ln 2
1 x
ln C1
2 S( x) C 1 x
来自总体
X
的简单随机样本，其中
P{x
0}
P{x
1}
1 2
， (x)
表示标准正态分布函
新东方网考研频道
http://kaoyan..xdf.cn/
100
P{ x 55}
数，则由中心极限定理可知， i1
的近似值为（ ）
新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/
（A）1 (1)
（B） (1)
【详解】
f
' x
=3x2
y
0
f
' y
=24y 2
x
0
x
y
0 0
或
x y
1 6
1 12
f '' xx
2020年考研数学一真题详细答案解析
一、选择题
(1)【答案】D
【解析】（方法一）
利用结论：若f(x)和g(x)在x
=
O某邻域内连续，且当x-o时，f位）～
g(x)'则J
勹(t)dt �r g(t)dt.
(A)『(/-l)dt� 『
t 2dt =气
3
(B)
『
ln(l +万）dt �rt 令dt=气
5
(C) f"工
s int 2dt �
厂r t 2
dt�f c 2
d t =丘。
。。3
(D)
J :-co sx /忒臣了d t -
I -c os r
t i d t �I :''l令d t
=岊（占）寺x
故应选CD).（方法二）
设J(x)和<p (x)在x =O某邻域内连续，且当x-0时，f(x)和<p (x)分别是x 的
m阶和n阶无穷小，则『(
,-)J(t)dt 是x -0时的n(m+ 1)阶无穷小．
。
CA)
r C / -1) d t , m = 2 , n = 1 , 则n(m+ 1) = 3. 。
ln(l + #)dt,m =立，n
= 1, 则n(m+l)=
立
。2 2.
CC)厂sint 2
dt, m =
2, n =
1 , 则n(m+ 1)
=
3.。
1一cos,·
3
叫产t,m=一，n
= 2, 则n(m+l)=
5.
。2
故应选(D).
(2)【答案】C
【解析】（方法
一
）直接法
若f(x)在x=O处可导，则f(x)在x
=
O处连续，且f(O)
=
lim f(x) = 0.
工
-o
故应选(C).f(x) -f(O) = lim
f(x)
j'(O) = Jim
;-0
X
r•O
X
f(x)
f(x) lim
=
lim ——•
X =
j'(0)• 0 = 0
2020考研数学一真题及解析
1cos x
D.
sin3 tdt
0
1.答案：D
解析：A. x et2 1 dt ~ x t 2dt x3
0
0
3
B.
x
ln
1
t3 dt ~
x3
t 2dt
2
x
5 2
0
0
5
C.
sin x sin t 2dt ~
0
x t2dt 1 x3
0
3
D. 1cos x 0
sin3 tdt ~
∴
100 P
i1
Xi
55
P
100 i 1
X i 55 5
55
5
50
(1)
故选择 B
二、填空题：9—14 小题，每小题 2 分，共 24 分。请将解答写在答题纸指定位置上.
9.
lim
x0
1 ex 1
1 ln(1
x)
9. 解析：
lim
x0
1 ex 1
1 ln(1
x)
lim
0
2
0
sin
x
2 0
2
三、解答题：15~23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答写出文字说明、证
明过程或演算步骤. 15.（本题满分 10 分）
考研真题 精品推荐 2020年全国硕士研究生招生考试(数学一)--答案解析
x0 x
x0 x
x x0 x x0 x
3.A
函数 f (x, y) 在点（0,0）处可微，,则有
f (x, y)- f (0, 0)- f x -
lim ( x , y)®(0,0)
x (0,0) x2 + y2
fy y (0,0)
f (x, y)-
lim = (x, y)®(0,0)
f xx (0,0) x2 + y2
(2) 若对任意的 x (0,2) 有 f (x) M ，则必有 M 0 ，
假设 M 0 ，则由题及第一问可知
存在
f ' (x1)
=
M x0
£M
，
f ' (x2 )
=
2
M - x0
£M
，所以 x0
1 ，因此
f (1)
M
1
1
1
而 M f (1) f (x)dx f (x) dx Mdx M，
y
1 2
p{X
x}
1 (x)( y) 2
1 (x) 2
当
x
y
时，
F (x,
y)
1 2
pX1
x,
X2
y
1 2
p{X
y}
1 2
(x)( y)
1 2
2020年考研数学一真题及答案解析(完整版)
2020年考研数学一真题及答案解析（完整版）
一、选择题：1~8小题，第小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.
1.0x +→时，下列无穷小量中最高阶是（ ）
A.()2
01x t e dt -⎰
B.0ln(1)x ⎰
C.sin 20sin x
t dt ⎰
D.1cos 0-⎰
2.设函数()f x 在区间（-1，1）内有定义，且0lim ()0,x f x →=则（ ）
A.当
00,()0x f x x →==在处可导.
B.当
00,()0x f x x →==在处可导.
C.当
0()00.x f x x →==在处可导时,
D.当
0()00.x f x x →==在处可导时,
3.设函数()f x 在点（0，0）处可微，(0,0)
(0,0)0,,,1f
f
f n x y ⎛⎫∂∂==- ⎪∂∂⎝⎭非零向量d 与n 重直，则（
）
A.
(,)lim 0x y →=存在 B.
(,)lim 0x y →=存在
C.(,)lim 0x y →=存在
D.(,)lim 0x y →=
4.设R 为幂级数1n n
n a x ∞=∑的收敛半径，r 是实数，则（ ）
A.1n n
n a x ∞=∑发散时，||r R ≥
B.1n n
n a x ∞=∑发散时，||r R ≤
C.||r R ≥时，1n n
n a x ∞=∑发散
D.||r R ≤时，1n n
n a x ∞=∑发散
5.若矩阵A 经初等变换化成B ，则（ ）
A.存在矩阵P ，使得P A =B
B.存在矩阵P ，使得BP =A
2020考研数学一真题参考1999答案解析
2020年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分。把正确答案填写在题中横线上。)
(1) 2011lim tan x x x x →⎛⎫-=
⎪⎝⎭ (2) 2
0sin()x d x t dt dx
-=⎰ (3) 2"4x
y y e -= 的通解为y =
(4) 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是
(5) 设两两相互独立的三事件A , B 和C 满足条件：
1,()()(),2ABC P A P B P C φ===<9
(),16
P A B C ⋃⋃=
则()P A =
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。)
(1)设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则 ( )
(A) 当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数。 (B) 当()f x 是偶函数时，()F x 必是奇函数。 (C) 当()f x 是周期函数时，()F x 必是周期函数。 (D) 当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数。
(2)
设20()(),0x f x x g x x >=≤⎩
其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处 ( ) (A)极限不存在 (B)极限存在，但不连续 (C)连续，但不可导 (D)可导
(3) 设01
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2020考研数学一试卷分析
随着考研数学考试的结束，2020考研也慢慢地落下了它的帷幕。从整体上来看，今年的考研数学试卷依旧延续了以往的特点：覆盖广泛、重点突出，着重考查了“三基与五能力”。即对基本概念、基本原理、基本方法、数学计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、利用数学知识分析并解决实际问题的能力、概括能力的考查。从难度上看，2020年数学一与2019年稍难，特色特别鲜明。下面我们来具体分析:
选择题，高等数学考查了无穷小的比较、导数定义、多元函数可微定义、阿贝尔定理等知识点难度适中，但灵活性较强，对学生的基本功要求较高。
线性代数涉及了线性表出、初等变换两个考查对象，其中线性表示与空间直线进行关联，有一定的难度。
概率与统计考查了中心极限定理，这个考点有点意料之外，但如果知道中心极限定理的意义还是比较简单的。
填空题，高等数学涉及了∞-∞极限计算、参数方程求导、反常积分计算、偏导计算都属于常规考点，比较简单。
线性代数考查了四阶行列式的计算，难度不大。
概率考到了协方差的计算，属于概念题，容易上手。总的来说，填空题没有难度。
解答题部分主要考查综合考查了计算能力、分析和解决问题的能力，突出了综合性和计算量大的特点，其中高等数学有二元函数极值的计算、第二类曲线积分的计算、第二类曲面积分的计算、无穷级数的求和问题和中值定理的相关证明。中值定理的证明一直都是考生的弱项，得分率会比较低；第二类曲面积分的计算难度较大，考生们的计算方法主要来自高斯公式，但今年的题目却要求利用原始定义、即化为二重积分计算，许多考生没想到，得分率
会低一些；其他的题目都在可控范围内，由此可发现2020考研数学一较2019难一点。
线性代数比较简单，第20考查了矩阵的可逆性判定及相似对角化的判定问题，属于常规考点，难度不大。第21题考查了二次型的标准型问题，属于常规题型，较易完成。
概率论与数理统计第22题考查了分布函数的求解，主要是利用全概率公式，这在以往的真题中比较常见；第23依旧考查最大似然估计，极为常见，难度不大。
综上，2020年数学一，高等数学难度稍大于2019，出高分比较难。
结合2020年考研数学特点，我们建议备考2021年考研的考生注意以下几个问题：（1）重视基础。研究生入学考试是个选拔性考试但同时也是一个面向大众化的考试，不是竞赛，所以普通题目肯定占了绝大多数，考生们只要抓住“三基”就可做到以不变应万变。建议考生从当年1至6月认真读书，整理笔记、打牢基础。
（2）重视计算，眼界放宽，突出特色。数学一难的就是综合性强，覆盖面广，考生摸不清考试方向。建议考生可在7-10月强化学习中，认真总结和归纳重点题型和方法，通过练习和常见结论迅速提高运算能力,同时能明确考纲中数学一的特色知识，例如空间解析几何与向量代数、曲线曲面积分、空间曲线的切法与法平面、空间曲面的切平面与法线、傅里叶级数等。
（3）重视真题。考研数学已经历30多年，其中产生的规律、套路不容抹杀，考生应有效利用。建议考生在11月至考前认真对待真题，反复研究，搞清楚是什么，用什么，为什么方能真正笑傲考场。
最后，祝愿2020考生都能如愿进入理想学府！