2020-2021-2—长沙市第一中学高二数学第一次阶段性检测

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2020-2021学年湖南省长沙市第一中学高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案

2020-2021学年湖南省长沙市第一中学上学期期末考试高二数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.命题()()","n N f n N f n n **∀∈∉≤且的否定形式是 A. ()(),n N f n N f n n **∀∈∉>且 B. ()(),n N f n N f n n **∀∈∉>或 C. ()()0000,n N f n N f n n **∃∈∉>且 D. ()()0000,n N f n N f n n **∃∈∉>或 2.若复数2a i i b i+=--（其中,a b 是实数），则复数a bi +在复平面内所对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设实数:p 实数1,1,:x y q >>实数,x y 满足2x y +>，则p 是q 的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知曲线3y x =在点(),a b 处的切线与直线310x y ++=垂直，则a 的值是A. 1-B. 1±C. 1D.3±5.我们把平面内与直线的方向向量垂直的非零向量称为直线的法向量.在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点()3,4A -，且法向量为()1,2n =-的直线（点法式）方程为：()()()13240x y ⨯++--=，化简得2110x y -+=.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点()1,2,3A ，且法向量为()1,2,1n =--的平面的方程为A.220x y z +--=B. 220x y z ---=C. 220x y z ++-=D.220x y z +++=6.将数字1,1,2,2,3,3排成三行两列，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种7.如图所示，已知四面体,,,,ABCD E F G H 分别为,,,AB BC CD AC 的中点，则化简()12AB BC CD ++的结果为 A. BF B. EH C. HG D. FG8.32212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 A. 20 B. -20 C. 15 D. -159.如图，在长方形OABC 内任取一点(),P x y ，则点P 落在阴影部分的概率为A. 312e -B. 112e -C. 21e -D.11e- 10.函数()()22x f x x x e =-的大致图像是11.某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示.若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是A. 甲只能承担第四项工作B. 乙不能承担第二项工作C. 丙可以不承担第三项工作D.丁可以承担第三项工作12.如图，已知抛物线的方程为()220x py p =>，过点()0,1A -作直线l 与抛物线相交于,P Q 两点，点B 的坐标为()0,1，连接,BP BQ ，设,QB BP 与x 轴分别相交于,M N 两点，如果QB 的斜率与PB 的斜率的乘积为-3，则MBN ∠的大小等于A.6π B. 4π C. 3π D. 512π第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：由该五组数据解得y 关于t 的线性回归方程为ˆ0.850.25yt =-，则实验数据中m 的值为 . 14.若双曲线221x y -=的右支上一点(),P a b 到直线y x =2，则a b +的值为 .15.在直角坐标系xoy 中，曲线1C 上的点均在圆()222:59C x y -+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值，则曲线1C 的方程为 .16.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品的零售价为p 元，销量Q （单位：件）与零售价p （单位：元）有如下关系：28300170Q p p =-=，则该商品零售价定为元时利润最大.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）设函数()1111231f n n n n =++++++，其中n N *∈，若有()24a f n >都有成立. （1）求正整数a 的最大值0a ；（2）证明不等式()024a f n >（其中n N *∈）.18.（本题满分12分）设():1p f x ax =+，在(]0,2上()0f x ≥恒成立，q 函数()2ln a g x ax x x=-+在其定义域上存在极值.（1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）如果“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围.19.（本题满分12分）根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如下图：（1）已知[)[)[)30,40,40,50,50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求,a b 的值；（2）该电子商务平台将年龄在[)30,50之间的人群定义为高消费人群，其他年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元代金券，潜在消费人群每人发放80元代金券.已经采用分层抽样的方法从参与调查的1000位上网购物者中抽取了10人，现在要在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X 的分布列.20.（本题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11BCC B 都是菱形，11160, 2.ACC CC B AC ∠=∠==（1）求证：（2）若16AB =求二面角11C AB A --的余弦值.21.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为12，椭圆E 和抛物线294y x =交于,M N 两点，且直线MN 恰好通过椭圆E 的右焦点2F .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知椭圆E 的左焦点为1F ，左、右顶点分别为,A B ，经过点1F 的直线l 与椭圆E 交于,C D 两点，记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为12,S S ，求12S S -的最大值.22.（本题满分12分）已知函数()()()2,a x f x xea R e -=∈为自然对数的底数.（1）讨论()g x 的单调性；（2）若函数()()2ln f x g x ax =-的图象与直线()y m m R =∈交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：()00f x '<（()0f x '为函数()f x 的导函数）.。

湖南省长沙市一中高二数学上学期第一次月考(理)

长沙市一中09-10学年上学期第一次阶段性考试高二数学（理科）试卷（本试卷共21题，满分150分，时量120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知双曲线,19422=-y x 那么其焦点坐标为（）A ．(0,,B ．,(C ．(0,,D ．, ( 2. 命题“∃0x ∈R ，02x ≤0”的否定是（）A ．∃0x ∉R, 02x>0 B ．∃0x ∈R, 02x >0C ．∀x ∈R, 2x≤0 D ．∀x ∈R, 2x>03. 已知P 是△ABC 所在平面外一点，点O 是点P 在平面ABC 上的射影．若PA ＝PB ＝PC ，则O是△ABC 的A.外心B.内心C.重心D.垂心 4.平面内有定点A 、B 及动点P ，设命题甲是“|PA |+|PB |是定值”，命题乙是“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（）A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂B ．若//,//l ααβ，则l β⊂C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥6．设P 为椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上一点，F 1、F 2为焦点，如果∠PF 1F 2=60º,∠PF 2F 1=30º,则椭圆的离心率为( )A ．22 B ．23 C D 17. 若关于x 320kx k -+=有且只有一个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 A ．5(,]12-∞ B ．53(,]124 C ．3(,)4+∞ D ．53{}(,)124⋃+∞8．已知a ≠b ，且a 2sin θ+a cos θ－4π=0 ，b 2sin θ+b cos θ－4π=0，则连接（a ，a 2），（b ，b 2）两点的直线与单位圆221x y +=的位置关系是（） A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分,把答案填在对应题号后的横线上．9. 命题“若f(x)正弦函数，则f(x)是周期函数”的逆命题是命题（填“真”或“假”）．10.椭圆71622y x +=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为．11．已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于A B ，两点，则直线AB 的一般式方程是．12．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = ．13．以椭圆221133x y +=的焦点为焦点，以直线12y x =±为渐近线的双曲线方程为．14．设1F 、2F 分别是椭圆22154x y +=的左、右焦点. 若P 是该椭圆上的一个动点，则21PF ⋅的最大值为．15．已知椭圆42x +32y =1上有n 个不同的P 1,P 2,P 3,……P n ,设椭圆的右焦点为F ，数列{|FP n |}的公差不小于11004的等差数列，则n 的最大值为．长沙市一中2009-2010年度上学期第一次阶段性考试高二数学（理科）答卷（本试卷共21题，满分150分，时量120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分,把答案填在对应题号后的横线上．9.10. 11. 12.13. 14. 15.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. (本小题满分12分) 设F1、F2分别为椭圆C：22221x ya b+=（a>b>0）的左、右焦点，若椭圆C 上的点A（1，32）到F1，F2两点的距离之和等于4，求椭圆C的方程和焦点坐标、离心率.17．(本小题满分12分)一个圆切直线0106:1=--y x l 于点)1,4(-P ，且圆心在直线035:2=-y x l 上．（Ⅰ）求该圆的方程；（Ⅱ）求经过原点的直线被圆截得的最短弦的长．18．(本小题满分12分) 焦点在x 轴上的双曲线过点P （- 3），且点Q （0，5）与两焦点的连线互相垂直，（Ⅰ）求此双曲线的标准方程;（Ⅱ）过双曲线的右焦点倾斜角为45º的直线与双曲线交于A 、B 两点，求|AB|的长．19．(本小题满分13分)设命题p ：函数21()lg()16f x ax x a =-+的定义域为R ；命题q ：不a x <+对一切正实数x 均成立，若“p q ∨”为真命题,“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．20．(本小题满分13分)已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且PA=AD=DC=21AB=1，M 是PB 的中点．（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ；（Ⅱ）求PC 与面PAD 所成的角的正切；（Ⅲ）求二面角M-AC-B 的正切．21．(本小题满分13分) 已知定点)01(，-C 及椭圆5322=+y x ，过点C 的动直线与椭圆相交于A B ，两点．（Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标是12-，求直线AB 的方程；（Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使M A MB --→--→⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．附加题（5分）：椭圆22162x y +=的左焦点为F ，过左准线与x 轴的交点M 任作一条斜率不为零的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，点A 关于x 轴的对称点为C .（Ⅰ）求证：CF FB λ--→--→= (λ∈R )；（Ⅱ）求MBC ∆面积S 的最大值.湖南省长沙市第一中学高二上学期第一次阶段性考试数学（理科）答卷（本试卷共21题，满分150分，时量120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分,把答案填在对应题号后的横线上．9.假 10. 16 11. x+3y=0 12. 14- 13.22182x y -=14. 4 15. 2009三、解答题：本大题共6小题，共75分。

湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次阶段性检测数学试题

湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次阶段性检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．已知复数2i1iz =+，则||z =（）A B ．2 C D ．52．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为5，弧长为8π的扇形，则此圆锥的体积是（） A ．12π B ．16πC ．48πD ．64π3．“1a a<”是“1a <-”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 的直线l 与双曲线的渐近线交于A 、B 两点，满足A ，B 均在y 轴右侧，且1ABF V 为正三角形，则双曲线E 的渐近线方程为（）A ．x y =B ．y =C ．y =D ．x =5．在等比数列{}n a 中，已知12323421,7a a a a a a ++=++=-，那么456a a a ++等于（） A ．79-B ．79C ．73-D ．736．将5个相同的白球和5个相同的红球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有红球，则不同的放球方法共有( ) A ．18种B ．24种C ．36种D ．48种7．如图，已知圆O 的半径为2，弦长2,AB C =为圆O 上一动点，则2AC AC BC -⋅uu u r uu u r uu u r的取值范围为（）A ．[2,3]-B ．[3,3]-C ．[6,2]-D ．[2,6]-8．已知函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x >时，()2()0xf x f x '+>，则下列四个判断正确的为（） A ．(2)4(1)f f -< B ．(2)4(1)f f -> C ．(1)(2)4f f -<D ．(1)(2)4f f ->二、多选题9．为了解高二学生是否喜爱物理学科与性别的关联性，某学校随机抽取了200名学生进行统计．得到如图所示的列联表，则下列说法正确的是（）参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．附表：A ．喜爱物理学科的学生中，男生的频率为34B ．女生中喜爱物理学科的频率为14C ．依据小概率值0.001α=的独立性检验，可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为学生是否喜爱物理学科与性别无关10．函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且它的最小正周期是2，已知()()()()1,0,2,R 11,,12x x f x g x f x a a x x ⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦==+∈⎨⎛⎤⎪-∈ ⎥⎪⎝⎦⎩．下列四个判断中，正确的有（）A ．函数()5xy f x =-有5个零点B ．当1a =时，()g x 为偶函数C ．当4a =时，函数()()f x g x +的值域为[1,1]-D ．当12a =时，函数()()f x g x 关于(1,0)对称 11．已知函数()sin()(0,0,0)f x x λωϕλωϕπ=+>><<图象如图1所示，A ，B 分别为图象的最高点和最低点，过A ，B 作x 轴的垂线，分别交x 轴于,A B ''，点C 为该部分图象与x 轴的交点，()f x 与y轴的交点为D ，此时135AA B '∠=︒．将绘有该图象的纸片沿x 轴折成60︒的二面角OC αβ--，如图2所示，折叠后||AB =个结论正确的有（）A ．3πϕ=B ．()f x 的图象在(2,3)上单调递增C ．在图2中，()f x 上存在唯一一点Q ，使得//DQ 面ABCD ．在图2中，若12,P P 是()f x 上两个不同的点，且满足,1,2i AP BB i '⊥=，则12PP 的最小值为43三、填空题12．已知02a <<，则212a a+-的最小值为．13．已知直线22y x =+与抛物线22(0)x py p =>交于A ，B 两点，抛物线的焦点为F ，O 为原点，且OA OB ⊥，则||||+=AF BF ．14．《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”，现有阳马P ABCD -（如图），PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，6AD =，点E ，F 分别在AB ，BC 上，当空间四边形PEFD 的周长最小时，三棱锥P ADF -外接球的表面积为.四、解答题15．已知函数2()2cos 2f x x x =． (1)求()f x 的最小正周期；(2)设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()3,sin 2sin 2Aa f B C ===，求ABC V 的面积．16．已知平面内的一动点(,)P x y (1)求动点P 的轨迹C 的标准方程；(2)已知点1(0,1)F -，过2(0,1)F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点，若222AF F B =u u u u r u u u u r，求1ABF V 的面积．17．在如图所示的直三棱柱111ABC A B C -中，12,,AB BC AA D E ===分别是线段11,BC A B 上的动点．(1)若//DE 平面11ACC A ，求证：1110B E BC B A BD ⋅-⋅=;(2)若ABC V 为正三角形，E 是11A B 的中点，求二面角B AE D --余弦值的最小值．18．已知函数()e ,(0,)x f x mx x =-∈+∞． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若函数()()ln 1g x f x x x =--有两个零点12,x x ，（一）求m 的取值范围；（二）求证：121x x <．19．某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由()*n n ∈N 位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束．已知A 团队每位成员闯过第一关和第二关的概率均为12，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响．(1)用随机变量X 表示A 团队第2*,2()n n ∈≥N 位成员的闯关数，求X 的分布列； (2)已知A 团队第6*,6()n n ∈>N 位成员上场并闯过第二关，求恰好是第3位成员闯过第一关的概率；(3)记随机变量n Y 表示A 团队第()1,2,,n n Y Y n =L 位成员上场并结束闯关活动，证明()n E Y 单调递增，并求使()114n E Y ≤的n 的最大值．。

【全国百强名校】长沙市一中高二第2次阶段性考试试卷-数学(附答案)

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数学参考答案
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长沙市第一中学高二数学第一学期第一次阶段性检测试卷

长沙市第一中学高二第一学期第一次阶段性检测数学（理科）时间：120分钟满分：150分一、选择题1.命题“02≥+∈∀x x R x ，”的否定是A.0x ,2000<+∈∃x R xB.0x ,2000≥+∈∃x R xC.0x ,2000<+∈∀x R xD.0x ,2000≤+∈∀x R x2.已知两定点F 1（﹣2，0），F 2（2，0），在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中，是双曲线的是（）A ．||PF 1|﹣|PF 2||=0B ．||PF 1|﹣|PF 2||=±3C ．|PF 1|﹣|PF 2|=±4D ．||PF 1|﹣|PF 2||=±53.已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是（）A ．1y 422=+x B ．14y 1622=+xC ．1x 4y 22=+ D ．14x 1622=+y 4.“1<m<2”是“方程1m-3y 1222=+-m x 表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知直线l ：y=kx+k ，椭圆C 1x 422=+y ，则直线与椭圆的位置关系式（） A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交6.经过椭圆1222=+y x 的有焦点F 作斜率为2的直线l ，直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，则AB =A.32B.322 C.928 D.9210 7.有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子有钥匙，金盒子上写有命题P ：钥匙在这盒子里；银盒子上写有命题q ：钥匙不在这盒子里；铅盒子上写有命题r:钥匙不在金盒子里.p 、q 、r 中有且只有一个是真命题，则钥匙在A.金盒子B.银盒子C.铅盒子D.不能确定8.若有，则1a 11-+<a a A.最小值为3 B.最大值为3C.最小值为-1D.最大值为-19．关于x 的不等式x 2﹣2ax +a>0对x ∈R 恒成立的一个充分不必要条件是（）A ．0＜a ＜1B ．0≤a ≤1C ．0＜a ≤21D ．a ≥1或a ≤010. 已知两点A （1,0），B （-1,0），点p 为平面内一动点，过点p 作y 轴的垂线，垂足为Q ，若2=•，则动点P 的轨迹方程A.122=-x y B.122=-y x B. 1222=-x y D.1222=-y x11. 有下列命题；①“若x+y>0，则x>0且y>0”的否命题；②；）（、βαβαβαcos cos cos ,+=+∈∃R ③;x 1log 21)31,0(x 2x <∈∀），（ ④设222111c b a c b a 、、，、、均为非零实数，不等式和01121>++c x b x a 02222>++c x b x a 的解集分别为M 、N ，那么“212121c c b b a a ==”是“M=N ”的充分不必要条件.其中是真命题的个数是A.1B.2C.3D.412．已知A 、B 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2≠0．若|k 1|+|k 2|的最小值为2，则椭圆的离心率（）A ．B ．C ．D ．42 二．填空题13.与双曲线13422=-y x 有共同的渐近线，且经过点M （6,24-）的双曲线的标准方程________________.14.已知x>0,y>0，且291=+yx 则x+y 的最小值_______. 15.设F 1,F 2分别是椭圆1152522=+y x 的左右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为（7，-3），则1PF PM +的最大值____________.16.已知直线l ：x+y=1与双曲线C ：)0(1222>=-a y ax ，若l 与C 有两个不同的交点，则双曲线C 的焦点的焦距的取值范围___________.三．解答题17．设命题p ：函数f （x ）=lg （x 2﹣4x +a 2）的定义域为R ；命题q ：∀m ∈[﹣1，1]，不等式a 2﹣5a ﹣3≥恒成立．如果命题“p ∨q”为真命题，且“p ∧q”为假命题，求实数a 的取值范围．18．已知P:012:3122≤-++≤m x x q x ；－（m ＞0）；（1）若m=1，问p 是q 的什么条件？（2）若¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．19．已知E 与椭圆12622=+y x 有公共焦点，且离心率为2. （1）求双曲线E 的标准方程；（2）过A （2,1）能否作一条直线l ，与双曲线E 交于点P ，Q 两点，且点A 是线段PQ 中点？若能，求出l 的方程；若不能，请说明理由．20．已知一动圆M 与圆内切）（外切，与圆）（121313222221=+-=++y x C y x C . （1）求动圆圆心M 的轨迹方程；（2）求△C 1C 2M 的重心G 的轨迹.21．某单位建造一间地面面积为48m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为600元/m2，房屋侧面的造价为400元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为25200元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．（1）把房屋总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域；（2）当侧面的长度x为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？22．已知F 1，F 2为椭圆E ：=1（a ＞b ＞0）的左右焦点，P （5541，）为椭圆E 上一点，且椭圆E 的离心率为55．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过P 1的直线l 1与椭圆E 交于A 、B 两点，过F 2与l 1平行的直线l 2与椭圆E 交于C 、D 两点，求四边形ABCD 的面积的最大值.。

湖南省长沙市开福区长沙市第一中学2019-2020学年高二上学期第一次阶段性考试数学试题 Word版含解析

长沙市第一中学2019—2020学年度高二第一学期第一次阶段性检测数学一、选择题1.已知命题:p x R ∃∈， 210x x -+>，则（） A. :p x R ⌝∃∈， 210x x -+≤ B. :p x R ⌝∃∈， 210x x -+< C. :p x R ⌝∀∈， 210x x -+≤ D. :p x R ⌝∀∈， 210x x -+<【答案】C 【解析】命题:p x R ∃∈，210x x -+>的否定是特称命题，故可知其否定为:p x R ⌝∀∈，210x x -+≤故选C2.在ABC 中， ()2,4AB =， ()1,3AC =，则CB = ( ) A. ()3,7 B. ()3,5C. ()1,1D. ()1,1--【答案】C 【解析】()()()2,41,311CB AB AC =-=-=，，故选C3.等差数列{}n a 中，2491136a a a a +++=，则58a a +的值为（） A. 12 B. 18C. 9D. 20【答案】B 【解析】由等差数列的性质得到，4921158a a a a a a +=+=+，由条件知2491136a a a a +++=58582()18a a a a =+⇒+=．故答案为B ．4. 一枚硬币连续投掷三次，至少出现一次正面向上的概率为( ) A.78B. 38C. 18D.13【答案】A【解析】【详解】连掷三次硬币，所有情况共8种：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正，)，(反，正，反，)，(反，反，正)，(反，反，反)，其中至少出现一次正面向上的情况共7种．故所求概率为：78P=.故选：A.5.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图如图所示，则该样本中的中位数、众数、极差分别是（）1 2 52 0 23 33 1 24 4 8 94 5 5 5 7 7 8 8 95 0 0 1 1 4 7 96 17 8A. 46，45，56B. 46，45，53C. 47，45，56.D. 45，47，53【答案】A【解析】【分析】直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差，即可.【详解】解：中位数为45和47平均数，即4547462+=，众数为45，极差为681256-=，故选：A.【点睛】本题考查该样本的中位数、众数、极差，茎叶图的应用，考查计算能力. 6.设x ，y ∈R ，则“1x ≠或1y ≠”是“1xy ≠”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】因为“1xy =” 是“11x y ==且”的必要而不充分条件，所以“1x ≠或1y ≠”是“1xy ≠”的必要而不充分条件，选B. 7.为了得到函数sin(2)6y x π=+的图象，可以将函数cos2y x =的图象（） A. 向右平移6π个单位 B. 向右平移3π个单位 C. 向左平移6π个单位 D. 向左平移3π个单位【答案】A 【解析】【详解】sin(2)cos(2)cos(2)cos(2)62633y x x x x πππππ=+=--=-=-，设x x ϕ→+ ，cos 2()cos(22)y x x ϕϕ=+=+ ，令2,36ππϕϕ=-=-，把函数cos2y x =的图象向右平移6π个单位得到函数sin(2)6y x π=+的图象.选A. 8.已知单位向量1e 与2e 的夹角为3π，则向量122e e +在向量12e e -方向上的投影为（）A. 12-B.12C. 【答案】A 【解析】【分析】直接利用向量的数量积，向量的模和向量的夹角运算求出结果. 【详解】解：∵单位向量1e 与2e 的夹角为3π，∴121cos32e eπ⋅==，∴()212121e e e e -=-=，∴向量122e e +在向量12e e -方向上的投影为：()()()()221212121221211221222e e e e e e e e e e e e e e +⋅=---+⋅=+⋅-=-，故选: A.【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积和向量的模及向量的夹角运算的应用. 9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）A.31326B.213C.926D.413【答案】D 【解析】【分析】通过余弦定理求出AB ，即可得DF AB ，进而可得2DEF ABC D A S B S F ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，根据几何概型的概率公式可得结果.【详解】解：在ABC 中，3AD =，1BD =，120ADB ∠=︒, 由余弦定理，得222cos12013AB AD BD AD BD =+-⋅︒=所以13DF AB =，所以所求概率为2413DEF ABC S S ==△△.故选：D.【点睛】本题考查了几何概型的概率公式应用问题，是基础题. 10.已知sin cos sin cos θθθθ+=，则角θ所在的区间可能是（） A. (,)42ππB. 3(,)24ππC. (,)24ππ-- D. 5(,)4ππ 【答案】C 【解析】令sin cos sin cos aθθθθ+==，则111sin 2,222a θ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，又由()2sin cos 2sin cos 10θθθθ+--=，得2210a a --=，解得1a =(1，则sin cos 10θθ=，θ在第二或第四象限，排除A 和D，又sin cos 10θθ+=<而sin cos 4πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，当3,24ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos 04πθθθ⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭排除B ，只有C 答案满足，故选C.点睛：本题主要考查了三角恒等式的应用，三角函数在各象限内的符号，以及排除法在选择题中的应用，具有一定难度；令sin cos sin cos a θθθθ+==，可将已知等式转化为关于a 的一元二次方程，结合三角函数的有界性可得1a =sin θ和cos θ的符号相反，可排除A 和D ，当3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可求出sin cos 04πθθθ⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭与所求矛盾，排除B.11.已知椭圆()222210,0x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是( )A. 2⎤⎥⎣⎦B. 12⎤⎢⎥⎣⎦C. 22⎣⎦D. 33⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）焦点在x 轴上，四边形AFF 1B 为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AF 1|=2a ，∠ABF=α，则∠AF 1F=α．椭圆的离心率e=22c a =1sin cos αα+=14πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，α∈[6π， 4π]，)14≤sin （α+4π）≤114πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭1，即可求得椭圆离心率e 的取值范围．【详解】椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）焦点在x 轴上，椭圆上点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为F 1，连接AF ，AF 1，BF ， BF 1，∴四边形AFF 1B 为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AF 1|=2a ， ∠ABF=α，则：∠AF 1F=α． ∴2a=2ccosα+2csinα椭圆的离心率e=22c a =1sin cos αα+=14πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，α∈[6π，4π]， ∴512π≤α+4π≤2π，则：)14≤sin （α+4π）≤1，∴22≤124sinπα⎛⎫+⎪⎝⎭≤3﹣1，∴椭圆离心率e的取值范围：2312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，故答案为B【点睛】本题考查椭圆的定义，三角函数关系式的恒等变换，利用定义域求三角函数的值域，离心率公式的应用，属于中档题型．(2) 求离心率的取值范围常用的方法有以下三种：①利用圆锥曲线的变量的范围，建立不等关系；②直接根据已知中的不等关系，建立关于离心率的不等式；③利用函数的思想分析解答.12.在锐角ABC中，A，B，C分别为ABC三边a，b，c所对的角，若cos32B B+=，且满足关系式cos cos2sin sin3sinB C A Bb c C+=，则a c+的取值范围是（）A. 3,23B.323⎝⎦C.323⎝⎭D.(3,23【答案】D 【解析】【分析】先通过cos 2B B =，利用辅助角公式可得3B π=，再根据条件cos cos 2sin sin 3sin B C A Bb c C+=，利用正弦定理边化角，可得b =a c +利用正弦定理边化角可得6a c A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，进而可得取值范围.【详解】解：cos 2B B =得sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又2663B πππ<+<，所以3B π=. 在锐角ABC 中，62A ππ<<，由正弦定理得：cos cos cos cos sin cos sin cos sin 2sin sin sin sin 3sin B C c B b C C B B C A A Bb c bc b C b C C+++====所以32sin b B== 所以()2sin sin 2sin 2sin sin 36b a c A C A A A B ππ⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为2363A πππ<+<，sin 16A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以(a c +∈. 故选：D.【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查三角形中的最值问题，是中档题. 二、填空题13.在约束条件下010221x y y x ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-≥⎩，则()221z x y =-+的最小值为______.【答案】45【解析】【分析】根据题意先做出可行域，要求()221z x y =-+的最小值，也就是()1,0这个点到可行域的最小距离的平方，过这个点向可行域做垂线，垂线的长度就是距离. 【详解】解：作出可行域：可行域为一个直角梯形ABCD ，其中10,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,2B ，()1,2C ，()1,1D ，()221z x y =-+，表示两点间距离PQ的平方，其中P 为可行域内任一点，()1,0Q ，因此PQ 最小值为()1,0Q 到直线210x y -+=的距离：112555+=. 故答案为：45. 【点睛】本题考查线性规划的问题，是一个线性规划的基础题，在解题时注意要求的距离在哪里，这是解题的关键，注意选择出来，是基础题.14.已知函数()()()sin 0,02f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则ϕ=______.【答案】43π 【解析】【分析】由函数()f x 的部分图象，求出最小正周期T 得ω；由506f π⎛⎫=⎪⎝⎭，结合ϕ的范围，由正弦函数的图象和性质可求出ϕ的值.【详解】解：由函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象知，152632T πππ=-=， T π∴=，22Tπω∴==；又55sin 2066f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴由正弦函数的图象和性质可得：5226k πϕππ⨯+=+，即52,3k k Z πϕππ=+-∈，且02ϕπ<<， 43πϕ∴=. 故答案为：43π.【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，考查了数形结合思想，属于基础题.15.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了100人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，则估计这100人的月平均收入为__________元．【答案】2400 【解析】由频率分布直方图估计这100人的月平均收入为：12500.000250017500.000450022500.000550027500.000550032500.000350037500.00015002400⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故答案为2400.16.数列cos3n n n b a π=的前n 项和为n S ，已知20175710S =，20184030S =，若数列{}n a 为等差数列，则2019S =______．【答案】666 【解析】【分析】求得数列{}n b 的前6项之和，再由20175710S =，20184030S =，表示数列{}n a 的项的和，结合等差数列的通项公式，解方程即可得到所求通项公式，进而得到所求和【详解】解：设数列{}n a 为公差d 的等差数列，123456245cos coscos cos cos cos 23333a a a a a a ππππππ+++++ ()()1254363611= (22)a a a a a a a a -+--+=-+，由20175710S =，20184030S =，可得()()39201361220102016201715710=-......2a a a a a a a a +++++++++()()3920136122010201620172018114030=-......-22a a a a a a a a a +++++++++两式相减可得2018=3360a ，由()15710=100833602d d +-，解得4d = ，则()20182018444712n a a n n =+-⨯=-可得()20192019=4030-=4030-42019-4712=666S a ⨯ 故答案为666【点睛】本题考查等差数列的通项公式与求和公式、三角函数求值，考查推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题17.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为xm ，宽为ym .（1）若菜园面积为272m ，则,x y 为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为30m ，求12x y+的最小值. 【答案】(1)长x 为12m ，宽y 为6m 时，可使所用篱笆总长最小.(2)310. 【解析】试题分析：(1)由题意可得72xy =，而篱笆总长为2x y +，利用均值不等式的结论可得菜园的长x 为12m ，宽y 为6m 时，可使所用篱笆总长最小.(2)由已知得230x y +=，利用均值不等式可得()1229x y x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，则12x y +的最小值是310. 试题解析：（1）由已知可得72xy =，而篱笆总长为2x y +；又因为2224x y xy +≥=，当且仅当2x y =，即12,6x y ==时等号成立.所以菜园的长x 为12m ，宽y 为6m 时，可使所用篱笆总长最小. （2）由已知得230x y +=，又因为()12222225529y x y x x y x y x y x y ⎛⎫+++=++≥+⋅=⎪⎝⎭，所以12310x y +≥，当且仅当x y =，即10,10x y ==时等号成立.所以12x y +的最小值是310. 18.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2222()(cos cos )b c a c a C c A +-=+．（Ⅰ）求cos A ；（Ⅱ）若3a =，ABC 的面积为2，求b c +的值．【答案】（Ⅰ）1cos 4A =；（Ⅱ）b c +=【解析】【分析】（Ⅰ）由题意结合余弦定理可得()4bccosA c acosC ccosA =+，然后边化角可得4sinBcosA sinB =，据此确定cosA 的值即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得4sinA =．结合面积公式可知4bc =．然后利用余弦定理求得a 的值，最后求解b c +的值即可. 【详解】（Ⅰ）因为()()2222b c ac acosC ccosA +-=+，所以()4bccosA c acosC ccosA =+，所以4bcosA acosC ccosA =+，所以()4sinBcosA sinAcosC sinCcosA sin A C =+=+，又A B C π++=，所以4sinBcosA sinB =，因为()0,B π∈，所以0sinB ≠，所以41cosA =，所以14cosA =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知14cosA =，所以4sinA ==．因为ABC 的面积为2，所以112242bcsinA bc =⋅⋅=，所以4bc =．由余弦定理可得()()2222252102a b c bccosA b c bc b c =+-=+-=+-，因为3a =，所以()2910b c =+-，所以b c +=【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．19.一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本y （万元）与该月产量x （万件）之间有如下一组数据：（1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）①建立月总成本y 与月产量x 之间的回归方程；②通过建立的y 关于x 的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，此时产品的总成本为多少万元？（均精确到0.001）附注：①参考数据：101i i x =∑=14.45，101i i y =∑=27.31，b =1.222．②参考公式：相关系数：r nx y nxy-．回归方程y =b x +a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =1221ni i i n i i x y nxy x nx==--∑∑，a =y -b x【答案】（1）见解析；（2）① 1.22206ˆ.95yx =+；②3.385万元．【解析】【分析】（1）由已知条件利用公式ˆr b=，求得r 的值，再与0.75比较大小即可得结果；（2）根据所给的数据，做出变量,x y 的平均数，根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出a 的值，写出线性回归方程；将 1.98x =代入所求线性回归方程求出对应的y 的值即可.【详解】（1）由已知条件得：1022110221100.8501.2220.9970.751.04210ˆiiiix xr by y==-=⋅=⨯=>-∑∑，这说明y与x正相关，且相关性很强．（2）①由已知求得 1.445, 2.731, 2.731 1.222 1.445ˆˆ0.965x y a y bx===-=-⨯=，所以所求回归直线方程为 1.22206ˆ.95y x=+．②当 1.98x=时， 1.222 1.980.965 3.385y=⨯+=（万元），此时产品的总成本为3.385万元．【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算211,,,n ni i ii ix y x x y==∑∑的值；③计算回归系数ˆˆ,a b；④写出回归直线方程为ˆˆˆy bx a=+；回归直线过样本点中心(),x y是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20.如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角A CD F--为60︒，DE CF∥，,2CD DE AD⊥=，3DE DC==，6CF=．（1）求证：BF∥平面ADE；（2）在线段CF上求一点G，使锐二面角B EG D--的余弦值为14．【答案】（1）详见解析；（2）点G满足32CG=.【解析】【分析】（1）先证明//BC平面ADE，//CF平面ADE，可得平面//BCF平面ADE，从而可得结果；（2）作AO DE⊥于点O，则AO⊥平面CDEF，以平行于DC的直线为x轴，DE所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设()3,,0,15G t t -≤≤，利用向量垂直数量积为零列方程组求得平面BEG 的法向量，结合面DEG 的一个法向量为()0,0,1n =，利用空间向量夹角余弦公式列方程解得12t =，从而可得结果. 【详解】（1）因为ABCD 是矩形，所以BC ∥AD ，又因为BC 不包含于平面ADE ，所以BC ∥平面ADE ，因为DE ∥CF ，CF 不包含于平面ADE ，所以CF ∥平面ADE ，又因为BC ∩CF ＝C ，所以平面BCF ∥平面ADF ，而BF ⊂平面BCF ，所以BF ∥平面ADE ．（2）∵CD⊥AD，CD⊥DE∴∠ADE 为二面角A-CD-F 的平面角 ∴∠ADE=60° ∵CD⊥面ADE∴平面CDEF ⊥平面ADE ，作AO DE ⊥于点O ，则AO ⊥平面CDEF ，由2,3AD DE ==，得1,2DO EO ==，以O 为原点，平行于DC 的直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(()()()()3,3,1,0,0,1,0,0,2,0,3,5,0A C D E F --，(3OB OA AB OA DC =+=+=，设()3,,0,15G t t -≤≤，则()(3,2,3,0,,BE BG t =--=，设平面BEG 的法向量为(),,m x y z =，则由00m BEm BG ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得320x yty ⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩，取23x ty z ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩，得平面BEG 的一个法向量为()2m t =-，又面DEG 的一个法向量为()0,0,1n =，23cos ,4m n t m n m n t ⋅∴==，214413t =-+，解得12t =或1322t =-（舍去），此时14CG CF =，得1342CG CF ==，即所求线段CF 上的点G 满足32CG =. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、空间向量的应用，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 21.设数列{}n a 满足1n na q a +=，且0q ≠，数列{}nb 满足()1231(1)(22*)n n n b na n a n a a a n N -=+-+-+++∈，已知1232mb m b ==，，其中0m ≠；（Ⅰ）当1m =时，求n a 和n b ；（Ⅱ）设n s 为数列{}n a 的前n 项和，若对于任意的正整数n ，都有2430n n s s -+≤恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，162(2)9nn n b -++-=；（Ⅱ）[]2,3.【解析】【分析】（I ）求出1a m =，22a m=-可得公比12q =-，利用等比数列的通项公式可得n a ；利用错位相减法，结合等比数列的求和公式可求得n b ；（II ）利用等比数列求和公式可得n 21132nm S ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由2430n n s s -+≤得[]1,3n S ∈，从而1233111122nnm≤≤⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求得112n⎛⎫-- ⎪⎝⎭最大值为32，最小值为34，进而可得结果. 【详解】（I ）由已知11b a =， ∴1a m =，又∵2122b a a =+， ∴12322m a a +=，解得22a m=-， ∴数列{}n a 的公比12q =-，当1m =时，112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，121(1)2n n n b na n a a a -=+-+++, ①()23111 (22)n n n b na n a a a +-=+-+++，② ②-①得23132n n n n a a a a b +-=-+++++,111223111123212nn nb n n ⎡⎤⎛⎫---⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦∴-=-+=----⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，1222162(2)39929nnn n n b -++-⎛⎫=+--=⎪⎝⎭；（II ）n11221113212n nm m S ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭, 由2430n n s s -+≤得[]1,3n S ∈，1102n⎛⎫--> ⎪⎝⎭所以1233111122nnm≤≤⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当n 为奇数时，1311,22n⎛⎫⎛⎤--∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦；当n 为偶数时，131,124n⎛⎫⎡⎫--∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭， 112n⎛-∴⎫- ⎪⎝⎭最大值为32，最小值为34，因为对于任意的正整数n ，都有1233111122nnm≤≤⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 42233m ∴≤≤，解得23m ≤≤，即所求实数m 的取值范围是[]2,3.【点睛】本题主要考察一元二次不等式的解法、“错位相减法”求数列的和，以及不等式恒成立问题，属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.22.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为2(1,0)F ，点210(2,)H 在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）点M 在圆222x y b +=上，且M 在第一象限，过M 作222x y b +=的切线交椭圆于,P Q 两点，问：2PF Q ∆的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．【答案】（1）；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）要求椭圆标准方程，就是要确定,a b 的值，题中焦点说明1c =，点H 在椭圆上，把H 坐标代入标准方程可得,a b 的一个方程，联立后结合222a b c =+可解得,a b ；（2）定值问题，就是让切线绕圆旋转，求出2PF Q ∆的周长，为此设直线PQ 的方程为y kx m =+（0,0)k m ，由它与圆相切可得,m k 的关系，2221m k =+，下面来求周长，设()()1122,,,P x y Q x y ，把直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后得一元二次方程，可得1212,x x x x +，由弦长公式2121PQ k x =+-得弦长，再求得22,PF QF （这也可由焦半径公式可得），再求周长22+PF QF PQ +，可得定值．试题解析：（1）由题意得222222219{{440891a b c a b a b -===∴=+= 所以椭圆方程为22198x y（2）由题意，设PQ方程为()0,0y kx m k m =+PQ 与圆228x y +=相切，2221m k=+2221m k =+由()22222{89189720198y kx mk x kmx m x y =+∴+++-=+= 设()()1122,,,P x y Q x y ，则212122218972,8989km m x x x x k k--+==++12PQ x ∴=-=2689km k -==+ 又()()()22222212111111181999x PF x y x x ⎛⎫=-+=-+-=- ⎪⎝⎭ ()211119333PF x x ∴=-=-，同理()222119333QF x x =-=- ()221221666389km PF QF x x k∴+=-+=++ 222266+668989km km PF QF PQ k k ∴+=+-=++（定值）考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交综合．【名师点睛】若直线y kx b =+与椭圆相交于两点1122(,),(,)A x y B x y ，则12AB x =-12y y =-，由直线方程与椭圆方程联立方程组消元后，应用韦达定理可得1212,x x x x +（或1212,y y y y +），这实质上解析几何中的是“设而不求”法．。

长沙市第一中学2018-2019学年度高二第二学期第一次阶段性检测理科数学参考答案

设在抽取的" 从离开本部到返回本部共用时间不超过" $ +名领导中 # +分钟的人数为 2 2服从二项分布3 " + + ! * " 4 2 0 " + : + ! * " : + ! + * 0 + ! ) " * ! 解析又1 " * ! " ;3 -) 平面 + 1 4 4* 平面 + 1 4 91 4)3 - 又 ; ++ 1 4 为正三角形 - 为1 4 的中点 91 4)+ - 又 ;+ 又四边形 1 -,3 -0- 91 4) 平面 + 3 3 5 4 为菱形 91 4-3 5 93 5) 平面 + 3 又3 5* 平面 + 3 5 9 平面 + 3 5) 平面 + 3! 如图所示建立空间直角坐标系 -! # " 6 ' 设菱形 1 则1 3 5 4 的边长为# -040 " + -030槡 $ 5 ! # $ + 4 ! " + + + + + $ 槡槡 /. /. 4 50 ! " $ + 4 +0 " + $ ! 槡槡
长沙市第一中学学年度高二第二学期第一次阶段性检测数学理科参考答案
一选择题题号答案二填空题 " $ ! + ! % $ # # " % ! & " & ! " " "$或" ##" ! $ $ $# " ' 三解答题 # 槡 & "0! 1 & 2 3 4 # # 槡 # 解析圆的参数方程为可得圆心为 !槡 " ( ! " % % ! # # # 槡 & 4 5 6 '0! 1 ' " , # $ , % , & . ' . ( ) / * , " + " " / " # .

【全国百强名校】长沙市一中高二入学考试试卷-数学(附答案)

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三解答题本大题共&小题共2$分!解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤并写在答题卷相应的位置上
!(!将一枚骰子连续掷两次则点数之和为0的概率为!!!!!!
!0!)已知数列(-满足(!'!(-.!'((-.0则(- 等于!!!!! !%!))已知椭圆+%"#.&##'!与圆 .%#.&#.#槡#%/0槡#&.!$//#
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湖南省长沙市2023-2024学年高二上学期第一阶段性检测数学试题含答案

长沙市2023－2024学年度高二第一学期第一次阶段性检测数学（答案在最后）时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}{}-1,0,1,2,32,3,0,1U A B ===，，则()U C A B = （）A.∅ B.{}0,1 C.{}0 D.{}1【答案】B 【解析】【分析】求出{1,0,1}AU C =-，即得解.【详解】由题得{1,0,1}A U C =-，所以(){0,1}U C A B =.故选：B2.24x <的一个必要不充分条件是（）A.02x <≤B.20x -<< C.22x -≤≤ D.13x <<【答案】C 【解析】【分析】可根据命题特点进行转化，因为24x <化简后为22x -<<，题设需要寻找24x <的一个必要不充分条件，所以相当于寻找x 取值范围比22x -<<更大的范围即可【详解】24x <即22x -<<，因为22x -<<能推出22x -≤≤，而22x -≤≤不能推出22x -<<，所以24x <的一个必要不充分条件是22x -≤≤．答案选C【点睛】本题考查命题条件的推导，需注意两种不同的说法：A 是B 的充分不必要条件⇔B 的必要不充分条件是A ，同理A 是B 的必要不充分条件⇔B 的充分不必要条件是A3.如图，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 为所在棱的中点，则直线AB 与平面MNP 的位置关系为（）A.平行B.垂直C.相交D.直线在平面内【答案】A 【解析】【分析】根据图形，连接CD ，由M 、N 、P 为所在棱的中点结合正方体的结构特征，易得//AB MP ，然后利用线面平行的判定定理判断.【详解】如图所示：连接CD ，则//AB CD ，又因为M 、N 、P 为所在棱的中点，所以//CD MP ，所以//AB MP ，又AB ⊄平面MNP ，MP ⊂平面MNP ，所以直线AB //平面MNP ，故选：A【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及正方体的结构特征，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于基础题.4.已知平面向量(2,3)a x =，(1,9)b = ，如果a b ∥，则x =（）A.16B.16-C.13D.13-【答案】A 【解析】【分析】根据向量平行满足的坐标关系即可求解.【详解】由a b ∥可得1830x -=，所以16x =，故选：A5.下列一组数据的25%分位数是（）2.8,3.6,4.0,3.0,4.8,5.2,4.8,5.7,5.8,3.3A.3.0B.4C.4.4D.3.3【答案】D 【解析】【分析】先把这组数据按从小到大的顺序排列，根据百分位数的定义可得答案.【详解】把该组数据按照由小到大排列，可得：2.8,3.0,3.3,3.6,4.0,4.8,4.8,5.2,5.7,5.8，由1025% 2.5⨯=，不是整数，则第3个数据3.3是25%分位数．故选：D.6.已知1F ，2F 是椭圆2212516x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，则12PF PF ⋅的最大值是（）A.254B.9C.16D.25【答案】D 【解析】【分析】利用椭圆的定义及基本不等式可求答案.【详解】因为1210PF PF +=，所以21212252PF PF PF PF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当125PF PF ==时，12PF PF ⋅取到最大值.故选：D.7.实数,x y 满足2220x y x ++=,则1y xx --的取值范围是（）A.40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.4(,0],3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭C.11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.1(,1],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】先对1y x x --化简,令11y t x -=-,则10tx y t -+-=与圆()2211x y ++=有交点，根据点到直线的距离小于等于半径解不等式即可.【详解】()22222011x y x x y ++=⇒++=,()1111111y x y x y x x x -----==----,令11y t x -=-,化简得10tx y t -+-=,所以10tx y t -+-=与圆()2211x y ++=有交点,1≤,解得403t ≤≤,所以111113y x --≤-≤-.故选:C.8.在正四棱锥P ABCD -中，若23PE PB = ，13PF PC =，平面AEF 与棱PD 交于点G ，则四棱锥P AEFG -与四棱锥P ABCD -的体积比为（）A.746B.845 C.745D.445【答案】B 【解析】【分析】利用A 、E 、F 、G 四点共面，25PG PD = ，由锥体体积公式，求出P AEFP ABCD V V --和P AGF P ABCD V V --的值，即可得P AEFGP ABCDV V --的值.【详解】如图所示，设PG PD λ=，由A 、E 、F 、G 四点共面，设AF xAE y AG =+ ，则()()AP PF x AP PE y AP PG +=+++ ，即()12()()33x AP AB AD AP xAP AB AP y AP y AD AP λλ++-=+-++-，得2120133333x x y y AP AB y AD λλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又AP ，AB ，AD 不共面，则203312033103x y y xy λλ⎧--+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得：2=5λ，即25PG PD = ，设1h ，2h 分别是点F 到平面PAE 和点C 到平面PAB 的距离，则12h PF h PC=，所以1229P AEF F PAE PAE PAE P ABC C PAB PAB PAB V S PF PA h P S E V V V S h S P C A PB PF PE P PB F PC P PC ----⋅===⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅ ，12P ABCP ABCD V V --=，19P AEF P ABCD V V --=，同理，215P AGF F PAG P ADC C PAD PA V PG PF PG PF PC P V V V PA P C D PD ----=⋅=⋅=⋅⋅=，12P ADC P ABCD V --=，115P AGF P ABCD V V --=，11891545P AEFG P AGF P AEF P ABCD P ABCD V V V V V -----+=+==则四棱锥P AEFG -与四棱锥P ABCD -的体积比为845.故选：B【点睛】方法点睛：点共面问题可转化为向量共面问题；求几何体的体积，要注意分割与补形；利用锥体体积公式，棱锥的体积比最终转化为棱长之比.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个3选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论不正确的是（）．A.过点()1,3A ，()3,1B -的直线的倾斜角为30︒B.直线()()34330m x y m m ++-+=∈R 恒过定点()3,3--C.直线240x y +-=与直线2410x y ++=之间的距离是2D.已知()2,3A ，()1,1B -，点P 在x 轴上，则PA PB +的最小值是5【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项，求出过点()1,3A ，()3,1B -的直线的斜率，进而得到倾斜角不为30︒；B 选项，变形后得到方程组，求出恒过点()3,3-；C 选项，直线240x y +-=变形为2480x y +-=，利用两平行线间距离公式求出答案；D 选项，在坐标系中画出点的坐标，利用对称性求出PA PB +的最小值.【详解】A 选项，过点()1,3A ，()3,1B -的直线的斜率为()311132-=--，设直线倾斜角为θ，则1tan 2θ=，由于tan 303︒=，故过点()1,3A ，()3,1B -的直线的倾斜角不为30︒，A 错误；B 选项，直线()()34330m x y m m ++-+=∈R 变形得到()()34330x y x m m +-++=∈R ，令343030x y x +-=⎧⎨+=⎩，解得33x y =-⎧⎨=⎩，故直线()()34330m x y m m ++-+=∈R 恒过点()3,3-，B 错误；C 选项，直线240x y +-=变形为2480x y +-=，故与直线2410x y ++=10==，故C 错误；D 选项，在平面直角坐标系中画出()2,3A ，()1,1B -，两点都在x 轴上方，画出()1,1B -关于x 轴的对称点()1,1D --，连接AD ，与x 轴交于点P ，则AD 即为PA PB +的最小值，则()min5PA PB+==，D 正确.故选：ABC10.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（其中0,(π,π)ωϕ>∈-）相邻的两个零点为π5π,36，则（）A.函数()f x 的图象的一条对称轴是π6x =B.函数()f x 的图象的一条对称轴是π12x =C.ϕ的值可能是π3D.ϕ的值可能是5π6【答案】BC 【解析】【分析】由5π262π3πT =-=，得到周期，再由1π5π7π23612x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得到对称轴方程，然后由π3是零点得到2ππ,Z 3k k ϕ=-∈判断即可.【详解】由5π262π3πT =-=，得2ππT ω==，则2ω=，则1π5π7π23612x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以7π12x =为()f x 的一条对称轴，故()f x 的对称轴可表示为7ππ,Z 122x k k =+⋅∈，故A 错误，B 正确；∵π3是零点，故2ππ,Z 3k k ϕ+=∈，则2ππ,Z 3k k ϕ=-∈（k ∈Z ）.故C 正确，D 错误.故选：BC.11.如图，在三棱锥-P ABC 中，2PA AB AC BC ====，若三棱锥-P ABC 的体积为233V =，则下列说法正确的有（）A.PA BC⊥B.直线PC 与面PAB 所成角的正弦值为64C.点A 到平面PBC 的距离为233D.三棱锥-P ABC 的外接球表面积28π3S =【答案】ABD 【解析】【分析】A.由体积公式，计算点P 到平面ABC 的距离，即可判断；B.根据垂直关系，构造线面角，即可判断；C.利用等体积转化，即可求解并判断；D.根据外接球的半径公式，即可求解并判断.【详解】设点P 到平面ABC 的距离为h ，三棱锥的体积1133223223V h =⨯⨯⨯⨯=，得2h =，因为2PA =，所以PA ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，故A 正确；因为PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面ABC ，且平面PAB ⋂平面ABC AB =，取AB 的中点D ，连结,PD CD ，因为ABC 是等边三角形，所以CD ⊥平面PAB ，CPD ∠为直线PC 与面PAB 所成角，3CD =，2222PC PA AC =+=所以6sin 4CD CPD PC ∠==,故B 正确；PBC 中，22PB PC ==，2BC =，所以BC ()22217-=，12772=⨯=PBC S △,设点A 到平面PBC 的距离为h '，则13733h '=，得2217h '=，故C 错误；如图，过ABC 的中心H 作平面ABC 的垂线，过线段PA 的中点M 作PA 的垂线，两条垂线交于点O ，则点O 到四点,,,P A B C 的距离相等，即点O 是三棱锥外接球的球心，ABC 外接圆的半径3232233r HA ==⨯=，12PA OH ==,所以三棱锥外接球的半径222123PA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以外接球的表面积228π34πS R ==，故D 正确.故选：ABD12.已知定义在R 上的函数()f x ，对于给定集合A ，若12,R x x ∀∈，当12x x A -∈时都有()()12f x f x A -∈，则称()f x 是“A 封闭”函数，则下列命题正确的是（）A.()3f x x =是“[]1,1-封闭”函数B.定义在R 上函数()f x 都是“{}0封闭”函数C.若()f x 是“{}1封闭”函数，则()f x 一定是“{}k 封闭”函数()*N k ∈D.若()f x 是“[],a b 封闭”函数()*,N a b ∈，则()f x 在区间[],a b 上单调递减【答案】BC 【解析】【分析】特殊值122,1x x ==判断A ；根据定义及函数的性质判断B ；根据定义得到R x ∀∈都有(1)()1f x f x +=+，再判断所给定区间里是否有22()()f x k f x k +-=成立判断C ；举例说明判断D 作答.【详解】对于A ：当122,1x x ==时，121[1,1]x x -=∈-，而12()()817[1,1]f x f x -=-=∉-，A 错误；对B ：对于集合{}0，12,R x x ∀∈使120x x -=，即12x x =，必有12()()0f x f x -=，所以定义在R 上的函数()f x 都是“{}0封闭”函数，B 正确；对C ：对于集合{}1，12,R x x ∀∈使{}121x x -∈，则121x x =+，而()f x 是“{}1封闭”函数，则22(1)()1f x f x +-=，即R x ∀∈都有(1)()1f x f x +=+，对于集合{}k ，12,R x x ∀∈使{}12x x k -∈，则12x x k =+，*N k ∈，而22()(1)1f x k f x k +=+-+，22(1)(2)1f x k f x k +-=+-+，…，22(1)()1f x f x +=+，所以()()()()()()2222221112f x k f x k f x f x k f x k f x k +++-+++=+-++-+++ ，即22()()f x k f x k +=+，故21()()f x f x k -=，()f x 一定是“{}k 封闭”函数()*N k ∈，C 正确；对D ，函数()f x x =，集合[1,2]A =，12,R x x ∀∈，当[]121,2x x m -=∈时，()()[]12121,2f x f x x x m -=-=∈，则函数()f x 是“[1,2]封闭”函数，而函数()f x x =是R 上的增函数，D 错误.故选：BC【点睛】关键点睛：对于C ，根据给定的条件得到R x ∀∈都有(1)()1f x f x +=+，R x ∀∈有()()f x a f x b +=+恒成立，利用递推关系及新定义判断正误.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知i 是虚数单位，化简2i1i-+的结果为__________.【答案】13i 22-【解析】【分析】利用复数的除法化简可得结果.【详解】()()()()2i 1i 2i 13i 13i 1i 1i 1i 222----===-++-.故答案为：13i 22-.14.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译的概率分别为23和35，则密码被成功破译的概率为________．【答案】1315【解析】【分析】根据题意，结合相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.【详解】设事件A =“甲能破译密码”，事件B =“乙能破译密码”，则事件A 与B 相互独立，且23(),()35P A P B ==，则密码被成功破译的概率为：()()()()()()()()()P P AB P AB P AB P A P B P A P B P A P B =++=++23232313(1)(1)35353515=⨯+-⨯+⨯-=.故答案为：1315.15.已知圆22:(3)(4)9C x y -+-=和两点(,0),(,0) (0)A m B m m ->，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为_____________．【答案】8【解析】【分析】根据给定条件可得点P 是动圆222x y m +=与圆C 的公共点，再借助两圆的位置关系列式求解即得.【详解】因点P 满足90APB ∠=︒，则点P 在以线段AB 为直径的圆上(除点A ，B 外)，即点P 在以原点O 为圆心，m 为半径的圆上，于是得点P 的轨迹方程为：222(0)x y m y +=≠，又圆22:(3)(4)9C x y -+-=的圆心(3,4)C ，半径为3，而点P 在圆C 上，即圆O 与圆C 有公共点，因此有|3|||3m OC m -≤≤+，而||5OC ==，即3535m m +≥⎧⎨-≤⎩，解得28m ≤≤，当且仅当圆O 与圆C 内切时，m =8，圆O 与圆C 外切时，m =2，所以m 的最大值为8.故答案为：816.设函数π()sin (0)4f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ωω在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有两个零点，且()f x 的图象在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有两个最高点，则ω的取值范围是____________．【答案】516925,,3522⎛⎫⎡⎤⋃ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【解析】【分析】结合三角函数的图象，可找到满足条件的π4x ω+所在的区间，解不等式组，可求得结果.【详解】πππππππ(,0(,6446444x x ωωωω∈>∴+∈++ ,()f x 在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有两个零点，恰有两个最高点，πππ2π2π642,Z 5πππ2π+2π3π244k k k k k ωω⎧≤+<+⎪⎪∴∈⎨⎪<+≤+⎪⎩即331212,Z 228+9811k k k k k ωω⎧-≤<+⎪∈⎨⎪<≤+⎩，当0k <时，不符合题意,当0k =时，不等式组为3322911ωω⎧-≤<⎪⎨⎪<≤⎩，不等式无解，当1k =时,不等式组为2127221719ωω⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，不等式无解，当2k =时，4551,222527.ωω⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩得51252ω<<，当3k =时，6975223335ωω⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，得69352ω≤≤，当4k ≥时,不等式无解.ω∴∈516925,,3522⎛⎫⎡⎤⋃ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故答案为：516925,,3522⎛⎫⎡⎤⋃ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线1l ：2340x y -+=与直线2l ：30x y +-=的交点为M ．（1）求过点M 且与直线1l 垂直的直线l 的方程；（2）求过点M 且与直线3l ：250x y -+=平行的直线l '的方程．【答案】（1）3270x y +-=；（2）230x y -+=．【解析】【分析】（1）先求两条直线的交点,设所求直线斜率k ，利用点斜式设出直线方程，由点到直线的距离公式求出k ，从而确定直线方程；（2）根据直线平行求出直线的斜率,利用点斜式方程求解即可.【详解】（1）由234030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，∴1l ，2l 交点M 坐标为()1,2，∵1l l ⊥，∴直线l 的斜率32k =-，直线l 的方程为()3212y x -=--，即3270x y +-=．（2）∵3//'l l ，∴直线l '的斜率12k =，又l '经过点()1,2M ，∴直线l '的方程为()1212y x -=-，即230x y -+=．18.移动公司在国庆期间推出4G 套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐1的客户可获得优惠200元，选择套餐2的客户可获得优惠500元，选择套餐3的客户可获得优惠300元．国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．（1）求从中任选1人获得优惠金额不低于300元的概率；（2）若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出2人，求这2人获得相等优惠金额的概率．【答案】（1）56；（2）415.【解析】【分析】（1）选择套餐2和套餐3的客户数除以选择套餐1，2，3的总数即可求解；（2）按照分层抽样计算优惠200元的有1人，获得优惠500元的有3人，获得优惠300元的有2人，再按照古典概型计算即可求解.【详解】（1）设事件A 为“从中任选1人获得优惠金额不低于300元”，则()1501005501501006P A +==++.（2）设事件B 为“从这6人中选出2人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的有1人，获得优惠500元的有3人，获得优惠300元的有2人，分别记为：1a ，1b ，2b ，3b ，1c ，2c ，从中选出2人的所有基本事件如下：11a b ，12a b ，13a b ，11a c ，12a c ，12b b ，13b b ，11b c ，12b c ，23b b ，21b c ，22b c ，31b c ，32b c ，12c c ，共15个．其中使得事件B 成立的有12b b ，13b b ，23b b ，12c c ，共4个．则()415P B =.故这2人获得相等优惠金额的概率为415.19.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2a c C b b =-．（1）求角B ；（2）已知21b a c =-=，，求ABC 的面积．【答案】（1）π3（2）4【解析】【分析】（1）结合正弦定理及三角恒等变换，化简cos 2a c C b b=-可得cos B 的值，讨论即可得角B （2）结合余弦定理及完全平方公式，可求得ac ，即可由面积公式求得结果【小问1详解】cos ,2cos 22a c C b C a c b b=-∴=- ，由正弦定理可得，2sin cos 2sin sin B C A C =-，即2sin cos 2sin()sin B C B C C =+-，化简可得，sin 2sin cos C C B =，又1πsin 0,cos ,(0,π),23C B B B ≠∴=∈∴= ．【小问2详解】在ABC 中，由余弦定理可得，2222cos b c a ac B =+-⋅，2222π()22cos ()3b c a ac ac b c a ac ∴=-+-⋅∴=-+，112,1,3,sin 32224ABC b a c ac S ac B =-=∴=∴=⋅=⨯⨯= ．20.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点，OCD 是边长为1的等边三角形，且6A BCD V -=.（1）证明:OA CD ⊥;（2）若2ED AE =，求二面角B EC D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）4214-【解析】【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明AO ⊥平面BCD 即可;（2）取CD 的中点G ，BC 的中点F ，连接,OF OG ，根据条件证明,,OA OF OG 两两垂直，分别以,,OF OG OA 为x 轴，y 轴，z 轴建立坐标系，求出平面BEC 和平面ECD 的法向量，根据公式求解即可.【小问1详解】因为AB AD =，O 为BD 的中点，所以AO BD ⊥，又因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，AO ⊂平面ABD ，所以AO ⊥平面BCD ，因为CD ⊂平面BCD ，所以OA CD ⊥.【小问2详解】取CD 的中点G ，BC 的中点F ，连接,OF OG ，因为OCD 是边长为1的等边三角形，所以OG CD ⊥，因为//OF CD ，所以OF OG ⊥，由（1）知AO ⊥平面BCD ，所以,,OA OF OG 两两垂直，分别以,,OF OG OA 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示坐标系，因为OCD 是边长为1的等边三角形，O 为BD 的中点，所以1,120OB OC BOC ==∠= ，则30CBD ∠= ，所以BCD △为直角三角形，BC =，因为6A BCD V -=，所以1111326A BCDV AO AO-=⨯⨯=⇒=，则111,,,,,222222B C D⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为2ED AE=，即13AE AD=，设(),,E x y z，(),,1AE x y z=-，1,,122AD⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭，得132,,663E⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭，设平面BEC的法向量为()1,,n x y z=，()2232,,,0,333BE BC⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭，则11002200333n BC yx zn BE x y z=⎧⋅==⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨=⋅=⎩-++=⎪⎪⎩⎩，令1x=，则()11,0,1n=，设平面ECD的法向量为()2,,b cn a=，()22,,,1,0,0333EC CD⎛⎫=-=-⎪⎪⎝⎭，则22002322333a an CDca b cn EC-=⎧⎧=⎧⋅=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨=+-=⋅=⎪⎪⎩⎩，令2b=，则(20,n=，所以121212cos,14n nn nn n⋅===⋅，由图可知二面角B EC D--为钝角，则二面角B EC D--的余弦值为14-. 21.已知函数()2()log1(0,1)xaf x a kx a a=++>≠为偶函数．（1）求k的值；（2）设函数()()25f x x xg x a a+=-，若[1,2]x∀∈-，()0g x≤恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）1k=-（2）(,12⎫⎪⎢⎪⎣⎭U 【解析】【分析】（1）由函数()f x 为R 上的偶函数可得()()11f f -=，即可得解；（2）由（1）得2252()x x g x a a -+=，令x t a =，则2252y t t =-+，则要使[1,2]x ∀∈-，()0g x ≤恒成立，只需要函数x t a =的值域是不等式22520t t -+≤的解集的子集即可，再分01a <<和1a >两种情况讨论即可.【小问1详解】函数()f x 的定义域为R ，因为函数()2()log 1(0,1)x a f x a kx a a =++>≠为偶函数，所以()()11f f -=，即()221log 1log 1a a k a k a ⎛⎫+-=++ ⎪⎝⎭，所以()22222111log 1log 1log 221a a a a a a ak a ⎛⎫⎛⎫+-+=⋅=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎭+=⎝，解得1k =-，经检验，符合题意，所以1k =-；【小问2详解】由（1）得()2()log 1x a f x ak =+-，则()2log 12252()25x a x a x x g x a a a a +=--+=，令x t a =，则2252y t t =-+，令22520y t t =-+≤，解得122t ≤≤，要使[1,2]x ∀∈-，()0g x ≤恒成立，只需要函数x t a =的值域是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的子集即可，当01a <<时，因为[1,2]x ∈-，所以21,x t a a a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则2121201a aa ⎧≥⎪⎪⎪≤⎨⎪<<⎪⎪⎩，解得12a ≤<，当1a >时，则21,x t a a a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则211221a a a ⎧≥⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎩，解得1a <≤综上所述，a的取值范围为(2,12⎫⎪⎢⎪⎣⎭U ．【点睛】关键点点睛：将[1,2]x ∀∈-，()0g x ≤恒成立，转化为函数x t a =的值域是不等式22520t t -+≤的解集的子集，是解决本题的关键.22.已知圆O 的方程为2216x y +=，直线l 与圆O 交于,R S两点．（1）若坐标原点O 到直线的距离为32，且l 过点(3,0)M ，求直线l 的方程；（2）已知点(4,0)P -，Q 为RS 的中点，若,R S 在x 轴上方，且满足π4OPR OPS ∠+∠=，在圆O 上是否存在定点T ，使得PQT △的面积为定值？若存在，求出PQT △的面积；若不存在，说明理由．【答案】（1）30x -=；（2）存在点(0,4)T ，使PQT S △为定值8.【解析】【分析】（1）设直线l 的方程为：3x my =+，根据原点O 到直线的距离为32，解出m 的值即可；（2）设1122(,),(,)R x y S x y ，直线RS 的方程为：y kx b =+，利用韦达定理及π4OPR OPS ∠+∠=，可得1k =-，(,)(0)22b b Q b >，从而得点Q 的轨迹为(0y x x =<<，设T ππ(4cos ,4sin ),[0,)(,π)(π,2π)44θθθ∈⋃⋃，可得PQT S =π|1]8sin |4b θθ++-，再根据三角函数的性质即可得解.【小问1详解】解：设直线l 的方程为：3x my =+，因为原点O 到直线的距离为32，32=，解得m =，所以直线l的方程为30x ±-=；【小问2详解】解：设1122(,),(,)R x y S x y ，直线RS 的方程为：y kx b =+，由2216x y y kx b⎧+=⎨=+⎩，可得222(1)2160k x kbx b +++-=，则22222244(1)(16)4(1616)0k b k b k b ∆=-+-=-+>，2121222216,11kb b x x x x k k -+=-=++，所以12121222()21b y y kx b kx b k x x b k +=+++=++=+，因为,R S 在x 轴上方，所以120y y +>，所以0b >，又因为Q 为RS 的中点，所以22(,)11kb b Q k k -++，又因为11tan 4y OPR x ∠=+，22tan 4y OPS x ∠=+，所以πtan()tan14OPR OPS ∠+∠==，即12121212441144y y x x y y x x +++=-⋅++，整理得：12211212(4)(4)(4)(4)y x y x x x y y +++=++-，又因为1122,y kx b y kx b =+=+，整理得：221212(21)(44)()8160k k x x k b kb x x b b +-++-++++-=，代入2121222216,11kb b x x x x k k -+=-=++，化简得(1)4(1)b k k k +=+，所以4b k =或1k =-，当4b k =时，直线RS 过定点(4,0)-不符题意，所以1k =-，所以(,0)22b b Q b >，所以点Q 在直线y x =上，即点Q的轨迹为(02y x x =<<，所以直线:PQ 2(4)42by x b =++，即(4)8b y x b =++，(8)40bx b y b -++=且||PQ =，假设存在满足条件的点T ，其坐标为ππ(4cos ,4sin ),[0,(,π)(π,2π)44θθθ∈⋃⋃，则点T 到直线PQ的距离d ==，所以1||2PQT S PQ d =⋅⋅12=1|4cos 4(8)sin 4|24b b b θθ-++==|cos sin 8sin ||(cos sin 1)8sin |b b b b θθθθθθ=--+=-+-π|)1]8sin |4b θθ=++-，π104θ++=，即πcos()42θ+=-，π3π44θ+=，π2θ=时，PQT S △为定值8，此时T 的坐标为(0,4)，所以存在点(0,4)T ，使PQT S △为定值8.【点睛】关键点睛：本题的关键是得出点Q的轨迹，为后面设点Q的坐标和求Q的坐标作好铺垫.。

湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期阶段性检测(一)数学试题(含答案)

湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期阶段性检测（一）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A={x||x|<1}，集合B={x|y=x}，则A∩B=( )A. (−1,1)B. (0,1)C. [0,1)D. (1,+∞)2.已知复数z满足iz=−1+2i，则复数z在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件A有6个样本点，事件B有4个样本点，事件A+B有8个样本点，则P(AB)=( )A. 23B. 12C. 13D. 164.已知等差数列{a n}的前5项和S5=35，且满足a5=13a1，则等差数列{a n}的公差为( )A. −3B. −1C. 1D. 35.已知(1x+my)(2x−y)5的展开式中x2y4的系数为80，则m的值为( )A. −2B. 2C. −1D. 16.如图，正方形ABCD中，DE=2EC，P是线段BE上的动点，且AP=x AB+y AD(x>0,y>0)，则1x +1y的最小值为( )A. 22B. 23C. 4+233D. 47.设a=3103，b=ln1.03，c=e0.03−1，则下列关系正确的是( )A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b8.已知(1tanα−β2−tanα−β2)[1+tan(α−β)tanα−β2]=6，tanαtan(π2−β)=3，则cos(4α+4β)=( )A. −7981B. 7981C. −4981D. 4981二、多选题：本题共3小题，共15分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lg E =4.8+1.5M ，则下列说法正确的是( )A. 地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级B. 八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C. 八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D. 记地震里氏震级为n(n =1,2,⋯,9,10)，地震释放的能量为a n ，则数列{a n }是等比数列10.已知双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，点P 在双曲线的右支上，现有四个条件：①PF 1⋅PF 2=0;②∠F 1F 2P =60∘;③PO 平分∠F 1PF 2；④点P 关于原点对称的点为Q ，且|PQ |=|F 1F 2|，能使双曲线C 的离心率为1+ 3的条件组合可以是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④11.如图，矩形ABCD 是底面直径为2，高为1的圆柱OO 1的轴截面，四边形OO 1DA 绕OO 1逆时针旋转θ(0≤θ≤π)到四边形OO 1D 1A 1，则( )A. 圆柱OO 1的侧面积为4πB. 当0<θ<π时，DD 1⊥A 1CC. 当θ=π3时，异面直线A 1D 与OO 1所成的角为π4D. ▵A 1CD 面积的最大值为3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

【全国百强名校】长沙市一中高二第1次阶段性考试试卷-数学(附答案)

１．已知命题狆：狓∈犚，狓２－狓＋１＞０，则
密封线内不要答题
Ａ．瓙狆：狓∈犚，狓２－狓＋１≤０
Ｃ．瓙狆：狓∈犚，狓２－狓＋１≤０
Ｂ．瓙狆：狓∈犚，狓２－狓＋１＜０Ｄ．瓙狆：狓∈犚，狓２－狓＋１＜０
２．在△犃犅犆中，犃→犅＝（２，４），犃→犆＝（１，３），则犆→犅＝
２（犪５＋犪８）犪５＋犪８＝１８，故答案为Ｂ．４．Ｄ５．Ａ【解析】中位数在４５到４７之间，众数为４５，极差为６８－１２＝５６，所以选Ａ．６．Ｂ【解析】因为“狓狔＝１”是“狓＝１且狔＝１”的必要而不充分条件，所以“狓≠１或狔≠１”是“狓狔≠１”
的必要而不充分条件，选Ｂ．
６０°，犇犈∥犆犉，犆犇⊥犇犈，犃犇＝２，犇犈＝犇犆＝３，犆犉＝６．
（１）求证：犅犉∥平面犃犇犈；
（２）在
线段
犆犉
上求
一
点犌，使
锐
角
二面
角
犅－犈犌－犇
的
余
弦
值
为
１４
．
数学试题（一中版）第６页（共８页）
２１．（本小题满分１２分）
设
数
列
｛犪狀
｝满
足犪狀＋１犪狀
＝狇，且狇≠０，数
用篱笆总长最小？
（２）若
使用
的
篱
笆
总
长
度
为
３０
ｍ，求
１狓
＋
２狔
的
最
小值
．
数学试题（一中版）第３页（共８页）
１８．（本小题满分１２分）在△犃犅犆中，角犃，犅，犆的对边分别为犪，犫，犮，已知２（犫２＋犮２－犪２）＝犮（犪ｃｏｓ犆＋犮ｃｏｓ犃）（１）求ｃｏｓ犃；（２）若犪＝３，△犃犅犆的面积为槡２１５，求犫＋犮的值．

2020-2021学年湖南省长沙一中高一上学期第一次阶段性检测数学试题(解析版)

【解析】根据分断函数的解析式先求，再求即可得答案.
【详解】
解：根据题意得：，，
故 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查分段函数求函数值，考查运算能力，是基础题.
14．已知集合，，若，则实数的所有可能的取值组成的集合为________.
【答案】
【解析】确定集合中的元素，由得，由子集的定义求解．
A．，
B．，若，则
C．，
D．不等式的解集为或
【答案】BCD
【解析】通过反例可得A错误，根据取整函数的定义可证明BC成立，求出不等式的解后可得不等式的解集，从而可判断D正确与否.
【详解】
对于A，，则，故，故A不成立.
对于B，，则，
故，所以，故B成立.
对于C，设，其中，
对D：令，定义域为
所以函数为偶函数且在单调递增，故D正确
故选：D
【点睛】
本题考查函数的性质，熟练掌握函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等，属基础题.
4．命题“ ， ”的否定是（）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】由命题的否定的定义判断．
【详解】
命题“ ， ”的否定是“ ， ”．
则，，
若，则，，故；
若，则，，故，故C成立.
对于D，由不等式可得或，
故或，故D正确.
故选：BCD
【点睛】
本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部分和小数部分的关系，本题属于较难题.
三、填空题
13．已知函数，则 ________.
【答案】8

2020-2021学年湖南师大附中、长沙一中高二上学期期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年湖南师大附中、长沙一中高二上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合M={x|(x+4)(x+1)=0}，N={x|(x−4)(x−1)=0}，则M∩N=()A. {1,4}B. {−1,−4}C. {0}D. ⌀2.下列结论正确的个数是()①cosα≠0是a≠2kπ+π2(k∈Z)的充分必要条件；②若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数，则样本的方差不变；③先后抛两枚硬币，用事件A表示“第一次抛硬币出现正面向上”，用事件B表示“第二次抛硬币出现反面向上”，则事件A和B相互独立且P(AB)=P(A)P(B)=12×12=14；④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0)，若ξ位于区域(0,1)内的概率为0.4，则ξ位于区域(1,+∞)内的概率为0.6．A. 4B. 3C. 2D. 13.将函数f(x)=sin3x−√3cos3x+1的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，给出下列关于g(x)的结论：①它的图象关于直线x=5π9对称；②它的最小正周期为2π3③它的图象关于点(11π18,1)对称；④它在[5π3,19π9]上单调递增．其中所有正确结论的编号是()A. ①②B. ②③C. ①②④D. ②③④4.若实数a，b满足a>b，则下列不等式成立的是()A. |a|>|b|B. a3>b3C. 1a <1bD. ab2>b35.已知函数f(x)=e x sinx，则它在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为()A. 0B. 锐角C. π2D. 钝角6.平面向量a⃗=(1,m)，b⃗ =(−1,√3)，且|a⃗−b⃗ |=|a⃗+b⃗ |，则|a⃗|=()A. 2√33B. √33C. √3D. 3√37.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1，且f(x)的导函数f′(x)≥12，则f(x)<x2+12的解集为()A. {x|x<1}B. {x|x>1}C. {x|x<−1}D. {x|x>−1}8.已知椭圆C：x212+y23=1，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M(−2,1)，则直线l的斜率为()A. 13B. 32C. 12D. 19.给出下列命题：①底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；②若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直；④一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直；⑤所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．其中正确的命题是()A. ①②③B. ①③C. ②③④D. ④10.设a⃗,b⃗ 是非零向量，则“a⃗,b⃗ 共线”是“|a⃗−b⃗ |=|a⃗|−|b⃗ |”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件11.当点P在曲线y=sinx(x∈(0,π))上移动时，曲线在P处切线的倾斜角的取值范围是()A. [0,π2) B. (−π4,π4) C. (π4,3π4) D. [0,π4)∪(3π4,π)12.命题“若一个数是偶数，则它能被2整除”的逆命题是()A. “若一个数是偶数，则它不能被2整除”B. “若一个数能被2整除，则它是偶数”C. “若一个数不是偶数，则它不能被2整除”D. “若一个数不能被2整除，则它不是偶数”二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知点A(2,2，1)，B(1,4，3)，C(4,x，y)三点共线，则x−y=______．14.若双曲线x29−y216=1上一点到左焦点的距离是7，则该点到双曲线右准线的距离是______ ．15.若函数f(x)=x3−ax(a>0)的零点都在区间[−10,10]上，则使得方程f(x)=1000有正整数解的实数a的取值的个数为______．16.《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径d，公式为d=3169V.根据“开立圆术”的方法求出圆周率π为______(结果用分数表示)．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列{a n}的前9项和为153，且点P(a n,a n+1)(n∈N∗)在直线x−y+3=0上．(1)求数列{a n}通项公式：(2)从数列{a n}中，依次取出第2项、第8项、第24项，……，第n·2n项，按原来的顺序组成一个新的数列{b n}，求数列{b n}的前n项和S n．(3)求证：1b1+1b2+1b3+⋯+1b n<13(n∈N∗)．18. 已知函数f(x)=cosx(2√3sinx+2cosx)−1．(1)求f(x)的最小正周期；(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f(C)=1，c=√7，a=1，求边b．19. 某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表(假设该区域空气质量指数不会超过300)：该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率．(Ⅰ)请估算2017年(以365天计算)全年空气质量优良的天数(未满一天按一天计算)；(Ⅱ)该校2017年6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用为X元，求X的分布列及数学期望．20. 如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =1，D ，E 分别为AA 1，B 1C 的中点．AA 1=√2． (1)证明：DE ⊥平面BCC 1B 1；(2)求二面角D −BC −B 1的余弦值．21. 已知函数f(x)=x 2+2xsinθ−1,x ∈[−√32,12]． (1)若θ=π6，求f(x)的最大值和最小值．(2)若f(x)在[−√32,12]上是单调函数，且θ∈[0,2π)，求θ的取值范围．22. 如图，已知定点D(1,0)，点P 是圆C ：(x +1)2+y 2=16上任意一点，线段PD 的垂直平分线与半径CP 相交于点M ．(I)当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹方程；(II)过定点Q(0,1)且斜率为k 的直线l 与M 的轨迹交于A 、B 两点，若OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2，求点O 到的直线l 的距离．。

湖南省长沙市开福区长沙市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段性考试数学试题

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6
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7
8
A．46，45，56B．46，45，53
C．47，45，56.D．45，47，53
6．设，，则“ 或 ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）
22．已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）点在圆上，且在第一象限，过作的切线交椭圆于两点，问：的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
参考答案
1．C
【解析】
命题，的否定是特称命题，故可知其否定为
，
故选
2．D
【解析】
【分析】
由向量的减法及坐标运算即可得解.
A． B． C． D．
二、填空题
13．在约束条件下，则的最小值为______.
14．已知函数的部分图象如图所示，则 ______.
15．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，则估计这人的月平均收入为__________元．
16．数列的前n项和为，已知，，若数列为等差数列，则 =______．
【详解】
解：因为，
故选D.
【点睛】
本题考查了向量差的坐标运算，属基础题.
3．B
【解析】
由等差数列的性质得到，，由条件知．