(结构力学)位移法专题讲解
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结构力学 7.位移法
也称“先拆后搭”
§7-1 位移法的基本概念
2 位移法计算刚架的基本思路
（1）基本未知量——A 和。
（2）建立位移法基本方程 ■刚架拆成杆件，得出杆件的刚度方程。 ■杆件合成刚架，利用刚架平衡条件，建立位移法基本方程。
§7 – 2 等截面直杆的刚度方程 正负号规定
结点转角 A 、 B 、弦转角（ = / l ) 和杆端弯矩M AB
0
0
6
5ql
3ql
3l / 8
8
8
9ql2 / 128
（↑） （↑）
2ql
ql
7
5
10
（↑） （↑）
8
9ql
11ql
40
40
（↑） （↑）
§7-2 等截面杆件的刚度方程
表1：载常数表（续）
序号 计算图及挠度图
弯矩图及固端弯矩
9
10
5FPl / 32
11
12
固端剪力
FQAB
FQBA
FPb(3l 2 b2 ) 2l 3
M AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
（1）B端为固定支座 B 0
FQ AB FQ BA
6i l
A
6i l
B
12i l2
（2）B端为铰支座 MBA 0
M AB
4i A
6i
l
M BA
2i A
6i
l
M AB
3i A
3i
l
§7-2 等截面杆件的刚度方程
M AB
24
25
26
27
固端剪力
§7-1 位移法的基本概念
2 位移法计算刚架的基本思路
（1）基本未知量——A 和。
（2）建立位移法基本方程 ■刚架拆成杆件，得出杆件的刚度方程。 ■杆件合成刚架，利用刚架平衡条件，建立位移法基本方程。
§7 – 2 等截面直杆的刚度方程 正负号规定
结点转角 A 、 B 、弦转角（ = / l ) 和杆端弯矩M AB
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（↑） （↑）
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（↑） （↑）
§7-2 等截面杆件的刚度方程
表1：载常数表（续）
序号 计算图及挠度图
弯矩图及固端弯矩
9
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5FPl / 32
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固端剪力
FQAB
FQBA
FPb(3l 2 b2 ) 2l 3
M AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
（1）B端为固定支座 B 0
FQ AB FQ BA
6i l
A
6i l
B
12i l2
（2）B端为铰支座 MBA 0
M AB
4i A
6i
l
M BA
2i A
6i
l
M AB
3i A
3i
l
§7-2 等截面杆件的刚度方程
M AB
24
25
26
27
固端剪力
结构力学第8章位移法(f).
将系数和自由项代入典型方程并求解，可得
9 Fl 22 Fl 2 Z1 ， Z2 552 i 552 i
结构的最后弯矩图可由叠加法绘制： M
M1Z1 M 2 Z 2 M P
内力图校核同力法，略。
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
位移法计算步骤
（1）确定基本未知量：独立的结点角位移和线位移，加入附加
一个附加联系上的附加反力矩和附加反力都应等于零。
原结构的静力平衡条件
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
为求系数和自由项，绘弯矩图如图a、b、c。
r11 7i
6i r12 l
Fl R1P 8
6i r21 l
15i r22 2 l
F R2 P 2
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
§8-3 位移法的基本未知量和基本结构
确定独立的结点线位移另种一方法
把原结构的所有刚结点和固定支座均改为铰结点→铰结体系，如图b。 此铰结体系为几何不变，原结构无结点线位移。 此铰结体系为几何可变或瞬变，添加最少的支座链杆保证其几何不变， 添加的链杆数目既是原结构独立的结点线位移数目。如图b，加一个水 平支座链杆，体系成为几何不变的。
自由项 作
位移法基本方程
Z1 1 及荷载作用下的弯矩图，如图a、b。
由a图，取结点B为隔离体，由∑MB=0，可得r11=3i+3i=6i 由b图，取结点B为隔离体，由∑MB=0，可得R1P=-24kN· m
i
EI 8m
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
将 r11和R1P代入方程求出
R1P 4kN m Z1 r11 i
r11Z1 r1i Z i r1n Z n R1P 0 ri1Z1 rii Z i rin Z n RiP 0 rn1Z1 rni Z i rnn Z n RnP 0
9 Fl 22 Fl 2 Z1 ， Z2 552 i 552 i
结构的最后弯矩图可由叠加法绘制： M
M1Z1 M 2 Z 2 M P
内力图校核同力法，略。
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
位移法计算步骤
（1）确定基本未知量：独立的结点角位移和线位移，加入附加
一个附加联系上的附加反力矩和附加反力都应等于零。
原结构的静力平衡条件
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
为求系数和自由项，绘弯矩图如图a、b、c。
r11 7i
6i r12 l
Fl R1P 8
6i r21 l
15i r22 2 l
F R2 P 2
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
§8-3 位移法的基本未知量和基本结构
确定独立的结点线位移另种一方法
把原结构的所有刚结点和固定支座均改为铰结点→铰结体系，如图b。 此铰结体系为几何不变，原结构无结点线位移。 此铰结体系为几何可变或瞬变，添加最少的支座链杆保证其几何不变， 添加的链杆数目既是原结构独立的结点线位移数目。如图b，加一个水 平支座链杆，体系成为几何不变的。
自由项 作
位移法基本方程
Z1 1 及荷载作用下的弯矩图，如图a、b。
由a图，取结点B为隔离体，由∑MB=0，可得r11=3i+3i=6i 由b图，取结点B为隔离体，由∑MB=0，可得R1P=-24kN· m
i
EI 8m
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
将 r11和R1P代入方程求出
R1P 4kN m Z1 r11 i
r11Z1 r1i Z i r1n Z n R1P 0 ri1Z1 rii Z i rin Z n RiP 0 rn1Z1 rni Z i rnn Z n RnP 0
01-结构力学 位移法知识点小结
第8章 位移法（知识点小结）一、杆端内力正负号规定（图8-1）杆端弯矩AB M 、BA M ：以绕杆端顺时针为正，逆时针为负；对结点或支座而言，截面弯矩以逆时针为正。
杆端剪力SAB F 、SBA F ：以绕微段隔离体顺时针转动者为正，反之为负。
结点转角（杆端转角）A θ、B θ：顺时针转动为正。
两端垂直杆轴的相对线位移AB ∆：以使杆件顺时针转动为正，反之为负。
图8-1 杆端内力及杆端位移的正负号规定二、等截面直杆的转角位移方程—位移法计算的基础1、由杆端位移求杆端力——形常数考虑三种不同情况：两端固定直杆、一端固定另一端铰支的直杆及一端固定另一端滑动支承的直杆。
由杆端位移求杆端内力的公式（刚度方程），如表8-1所示，这里/i EI l =。
由杆端位移求出杆端弯矩后，杆端剪力可由平衡条件求出。
表8-1中，杆端内力是根据图示方向的位移方向求得的，当计算某一结构时，应根据其杆件所受的实际位移方向，判断其杆端内力的正负号及受拉侧。
2、由荷载求固定内力——载常数对三种等截面直杆，在荷载作用、温度改变作用下的杆端弯矩和剪力，称为固端弯矩和固端剪力（载常数）。
常见荷载作用下的载常数可查表所得。
3、等截面直杆的转角位移方程对等截面直杆，既有已知荷载作用，又有已知的杆端位移，可根据叠加原理，写出其杆端力的一般表达式，这即为等截面直杆的转角位移方程。
三、位移法的基本未知量包括独立的结点角位移和独立的结点线位移。
独立的结点角位移数目等于刚结点（包括组合结点、弹性抗转弹簧）的数目。
结点线位移的数目可通过增设支杆法（或铰化体系法）来确定。
铰化体系法就是将原结构中所有刚结点和固定支座均改为铰结点形成铰接体系，此铰接体系的自由度数就是原结构的独立结点线位移数。
然后分析该铰接体系的几何组成：如果它是几何不变的，说明结构无结点线位移；相反，如果铰接体系是几何可变的，再看最少需要增设几根附加支杆才能确保体系成为几何不变，或者说使此铰接体系成为几何不变而需添加的最少支杆数就等于原结构的独立结点线位移数目。
结构力学第五章位移法.ppt
NDA
NDB
2
2
NDC FNDB 2 FNDC 2 FNDA FP
建立力的 平衡方程
D Fp
EA(2 2L
2) FP
由方程解得： 2PL
(2 2)EA
位移法方程
把△回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力 ：
FNDB
2FP 2 2
FNDA
FNDC
P 2
发生一个顺时针的转角 A。
A
A EI,L B
由力法求得：
MAB
MBA
M AB
3
EI L
B
3iB
M BA 0
§8-3 杆端力与杆端位移的关系
5、一端固定一端铰结单元，在B端
发生一个向下的位移 。
A MAB
EI,L
B
△
由力法求得：
M
AB
3EI L2
3i L
MBA
M BA 0
两端固定单元在荷载、支座位移共同作用下的杆端
弯矩表达式：
M AB
4i A
2iB
6i
L
M
F AB
M BA
4iB
2i A
6i
L
M
F BA
§8-3 杆端力与杆端位移的关系
一端固定一端铰结单元在荷载、支座位移共同作用下 的杆端弯矩表达式：
M AB
3iA
6EI L2
BC
qL2 12
M AB
结构力学课件：第八章《位移法》解析
1
第八章 位 移 法
§8—1 概述 §8—2 等截面直杆的转角位移方程 §8—3 位移法的基本未知量和基本结构 §8—4 位移法的典型方程及计算步骤 §8—5 直接由平衡条件建立位移法基本方程 §8—6 对称性的利用
2
§8—1 概 述
力法和位移法是分析超静定结构的两种 基本方法。力法于十九世纪末开始应用，位 移法建立于上世纪初。
（2）确定以结构上的哪些位移作为基本未 知量。 （3）如何求出这些位移。
下面依次讨论这些问题。
返5回
§8—2 等截面直杆的转角位移方程
本节解决第一个问题。
用位移法计算超静定刚架时，每根杆件均视为单跨超静定梁。
计算时，要用到各种单跨超静定梁在杆端产生位移(线位移、角位
移)时,以及在荷载等因素作用下的杆端内力(弯矩、剪力)。为了应
1.位移法的基本未知量 在位移法中，基本未知量是各结点的角位移和线位移。计 算时，应首先确定独立的角位移和线位移数目。
(1) 独立角位移数目的确定 由于在同一结点处，各杆端的转角都是相等的，因此每一个 刚结点只有一个独立的角位移未知量。在固定支座处，其转角等 于零为已知量。至于铰结点或铰支座处各杆端的转角，由上节可 知，它们不是独立的，可不作为基本未知量。
单跨超静定梁(或可定杆件)。通常 的做法是，在每个刚结点上假想 1
2
3
地加上一个附加刚臂(仅阻止刚结
点转动),同时在有线位移的结点上
加上附加支座链杆(阻止结点移动)。
例如 (见图a) 基本未知量三个。4
5
6
3
4
(a)
1 2
又例如(见图b)
共有四个刚结点，结点线位移 数目为二，基本未知量为六个。 基本结构如图所示。
第八章 位 移 法
§8—1 概述 §8—2 等截面直杆的转角位移方程 §8—3 位移法的基本未知量和基本结构 §8—4 位移法的典型方程及计算步骤 §8—5 直接由平衡条件建立位移法基本方程 §8—6 对称性的利用
2
§8—1 概 述
力法和位移法是分析超静定结构的两种 基本方法。力法于十九世纪末开始应用，位 移法建立于上世纪初。
（2）确定以结构上的哪些位移作为基本未 知量。 （3）如何求出这些位移。
下面依次讨论这些问题。
返5回
§8—2 等截面直杆的转角位移方程
本节解决第一个问题。
用位移法计算超静定刚架时，每根杆件均视为单跨超静定梁。
计算时，要用到各种单跨超静定梁在杆端产生位移(线位移、角位
移)时,以及在荷载等因素作用下的杆端内力(弯矩、剪力)。为了应
1.位移法的基本未知量 在位移法中，基本未知量是各结点的角位移和线位移。计 算时，应首先确定独立的角位移和线位移数目。
(1) 独立角位移数目的确定 由于在同一结点处，各杆端的转角都是相等的，因此每一个 刚结点只有一个独立的角位移未知量。在固定支座处，其转角等 于零为已知量。至于铰结点或铰支座处各杆端的转角，由上节可 知，它们不是独立的，可不作为基本未知量。
单跨超静定梁(或可定杆件)。通常 的做法是，在每个刚结点上假想 1
2
3
地加上一个附加刚臂(仅阻止刚结
点转动),同时在有线位移的结点上
加上附加支座链杆(阻止结点移动)。
例如 (见图a) 基本未知量三个。4
5
6
3
4
(a)
1 2
又例如(见图b)
共有四个刚结点，结点线位移 数目为二，基本未知量为六个。 基本结构如图所示。
结构力学位移法的计算
3i
ql 2 48i
ql 2 16
,
M BC
3i B
ql 2 8
ql 2 16
ql 2 8
ql 2 。 16
ql 2 16
A B
C
M 图 3ql2 32
6
小结：
1）位移法的基本未知量是结构内部刚结点（不包括 支座结点）的转角位移或结点之间的相对线位移。
2）选取内部结点的位移作为未知量就已经满足了结 构的变形协调条件：位移法的典型方程是力（其中 包括力矩）的平衡方程，满足了结构中力的平衡条 件。
A AB
l
AB
l
B
AB
AB A
B
14
二.等截面直杆的刚度（转角位移）方程
1. 两端固定的梁:( i EI )
l
A
EI
B
A
AB
l B
M AB 4i A M BA 2i A
A
i
B
A
M AB 2iB M BA 4iB
MAB EI
MBA
A
B
A
l B
AB
A
i
B
B
A MAB i MBA B
30
3）建立位移法方程，并求解：
由结点B和结点D的平衡条件，可得：
B
MBD
MDB
D MDE
MBA
MB 0,
MBA MBD 0,
8iB 2iD 10.67 0, 1
MDC
MD 0,
M DB M DC M DE 0,
2iB 8iD 32.00 0，2
B 0.356 / i( )。
点之间的相对线位移。此时产生固端弯矩
M
《结构力学》第八章-位移法
4
⇁2 R2P
0
对R 于1P；系附数加是和链r1附1=自杆7加i由上,链项的杆可反上分力的为，反两可，力类分r：别2R11、P在=r附图22和加(a)R刚、2P臂(。b可上)、分的(c别反）在力中图矩用(a截r)11、面、(法rb1)2、割、(断和c)
两中柱取顶结端点，1为取隔柱离顶体端，以由上力横矩梁平部衡分方为程隔∑M离1体=0，求由得表：8r1—1=71i查, 出杆端
(b)
MAB
逆时针为正)。 图中所示均为正值。
B′ MBA
B
6
用力法解此问题，选取基本
A
结构如图。多余未知力为X1、X2。 力法典型方程为
EI
L
11X1+12X2+ △1△=A 21X1+22X2+ △2△=B
A
A′
AB
为计算系数，作 、 。
由图乘法算出：
X1
，
1
，
由图知
这里，AB称为弦转角，顺时针为
AB
独立的结点角位移
数目为2。
4
5
3
6
返10回
(2)独立线位移数目的确定
在一般情况下，每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。
但通常对受弯杆件略去其轴向变形，其弯曲变形也是微小的，于
是可以认为受弯直杆的长度变形后保持不变，故每一受弯直杆就
相当于一个约束，从而减少了结点的线位移数目，故结点只有一
个独立线位移(侧移)。例如(见图a）
（1）用力法算出单跨超静定梁在杆端发生
各种位移时以及荷载等因素作用下的内力。
（2）确定以结构上的哪些位移作为基本未 知量。
（3）如何求出这些位移。
下面依次讨论这些问题。
结构力学 8.位移法(李廉锟_结构力学)解析
结构力学
2. 基本结构的确定
Z2
Z2
1
Z1
Z2
Z11
Z1 q Z1
1
Z2
3
Z1
Z2
Z2
1
Z1
Z11
Z1
Z1
q
Z1
3
Z2
3
Z2
1
基本结构
31
3
基本结构
2
2
2
2
2
1) 附加刚臂 (用符号“ ”表示) 只控制结点转 动，不控制结点移动。
2)附加链杆，只控制结点沿某一方向的移动， 不控制结点转动。
中南大学
退出
二、位移法思路
B
B B
FC
l
A
l/ 2 l/ 2
结构力学
B
B B
A
B
F
B
θB为位移法基本未知量（规定顺时针转向为正）。
由变形协调条件知，各杆在结点B 端有共同的角位移θB。 将原结构视为两个单跨超静定梁的组合。各杆的杆
端弯矩为：
M BC
4EI l
B
Fl 8
M CB
2EI l
B
Fl 8
M BA
4EI l
杆端剪力的一般为
FSAB
6iAB l
( A
B
2
ΔAB l
)
FF SAB
FSBA
6iAB l
( A
B
2
ΔAB l
)
FF SBA
（8-3）
中南 等截面直杆的转角位移方程 结构力学
2、一端固定、一端铰支的等截面直杆
MAB
A
F
A
EI A
结构力学第5讲 位移法
二、基本未知量的确定 1.无侧移结构基本未知量：所有刚结点的转角
1
2
1
2.有侧移结构
1
2
3
例1.
B
C
例2.
B
C
A 只有一个刚结点B，由于忽 略轴向变形，B结点只有 B
A
只有一个刚结点B， 由于忽略轴向变形及C 结点的约束形式，B结 点有一个转角和水平位 移 B BH
例3. B
45o D
B 45o
C
结点位移与杆端位移分析 BD伸长：
2 2
△
DA伸长： DC伸长：
FP
2 2
杆 端 位 移 分 析
由材料力学可知：
FNDB EA EA 2 FNDA FNDC L 2L 2
杆端力与杆端 位移的关系
由结点平衡：
NDB
Y 0
2 2 建立力的 FNDB FNDC FNDA FP 2 2 平衡方程 NDA NDC EA(2 2) D FP 2L Fp 位移法方程 2 PL 由方程解得： (2 2) EA
1、基本未知量θB、θC
40 4m 4m
46.9 43.5 20kN/m 24.5 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 62.5 C A 4I i= 1 5I 1 B A C B 3.4 1 1
14.7
4I 1 9.8 1
D D
2、列杆端力表达式
ql 2 20 4 2 .m 40 kN mBA 8 ql 2 8 20 5 2 kN .m MBA 41.7 mBC 12 12 mCB 41.7 kN .m
3
2
1
结点转角的数目：7个独源自结点线位移的数目：3个DE
清华大学结构力学第8章位移法
12i
BA
l 2
以上就是弯曲杆件的刚度方程。
以上矩阵为刚度矩阵, 系数称为刚度系数, 该系 数只与截面尺寸和材料性质有关的常数, 称为形常 数.
清华大学结构力学第8章位移法
11
2. 一端固定、一端辊轴支座的梁
M AB
A
EI
A
B
l
i EI l
MAB 3iA
A
i
B
A
A
i
M
AB
3i l
B
MAB
3iA
2）若把杆件装配成结构，杆端弯矩又成为内
力，弯矩图仍画清华在大学受结构拉力学边第8。章位移法
7
2．结点转角
顺时针为正，逆时针为负。
Fp
A
B
C
D
B( )
3．杆件两端相对侧移
C( )
杆件两端相对侧移△，其与弦转角β 的正负 号一致。而β以顺时针方向为正，逆时针方向
为负。
A
l
B
l
A
清华大学结构力学第8章位移法
4
二．位移法计算刚架基本思路
分别分析杆AB和AC.
相对于杆AB和AC, A点分 别视为固定支座.
杆AB和AC分别受载荷和 支座位移作用.
基本未知量取为A点水平线位移和转角.
清华大学结构力学第8章位移法
5
结点位移是处于关键地位的未知量。
基本思路：
首先把刚架拆成杆件，进行杆件分析——杆件在已知 端点位移和已知荷载作用下的计算； 其次把杆件组合成刚架，利用平衡条件，建立位移法 基本方程，借以求出基本未知量。
3i l
清华大学结构力学第8章位移法
12
3. 一端固定、一端滑动支座的梁
BA
l 2
以上就是弯曲杆件的刚度方程。
以上矩阵为刚度矩阵, 系数称为刚度系数, 该系 数只与截面尺寸和材料性质有关的常数, 称为形常 数.
清华大学结构力学第8章位移法
11
2. 一端固定、一端辊轴支座的梁
M AB
A
EI
A
B
l
i EI l
MAB 3iA
A
i
B
A
A
i
M
AB
3i l
B
MAB
3iA
2）若把杆件装配成结构，杆端弯矩又成为内
力，弯矩图仍画清华在大学受结构拉力学边第8。章位移法
7
2．结点转角
顺时针为正，逆时针为负。
Fp
A
B
C
D
B( )
3．杆件两端相对侧移
C( )
杆件两端相对侧移△，其与弦转角β 的正负 号一致。而β以顺时针方向为正，逆时针方向
为负。
A
l
B
l
A
清华大学结构力学第8章位移法
4
二．位移法计算刚架基本思路
分别分析杆AB和AC.
相对于杆AB和AC, A点分 别视为固定支座.
杆AB和AC分别受载荷和 支座位移作用.
基本未知量取为A点水平线位移和转角.
清华大学结构力学第8章位移法
5
结点位移是处于关键地位的未知量。
基本思路：
首先把刚架拆成杆件，进行杆件分析——杆件在已知 端点位移和已知荷载作用下的计算； 其次把杆件组合成刚架，利用平衡条件，建立位移法 基本方程，借以求出基本未知量。
3i l
清华大学结构力学第8章位移法
12
3. 一端固定、一端滑动支座的梁
位移法 结构力学知识点概念讲解
位移法1.概述力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。
力法在19世纪末就已经应用于各种超静定结构的分析。
随后，由于钢筋混凝土结构的出现，大量高次超静定刚架逐渐增多，如果仍用力法计算将十分麻烦。
于是20世纪初又在力法的基础上建立了位移法。
力法的基本思路是先解除超静定结构上的多余约束，代之以多余未知力，以多余未知力为基本未知量，一般取静定结构为基本结构进行计算。
利用位移协调条件建立力法基本方程，求出多余未知力，然后进一步求出结构的内力。
位移法的基本思路和力法相反。
位移法是以结构的结点位移作为基本未知量，以单跨超静定梁为计算的基本单元。
先设法确定出单根杆件的杆端内力，用杆端位移来表示，这些杆端位移应与其所在结点的其他杆端位移相协调。
然后用力的平衡条件建立位移法基本方程，确定出未知的结点位移,从而进一步求出整个结构的内力。
为了说明位移法的基本概念，我们来分析图1a所示的刚架位移。
（a）原结构（b）基本结构图1在荷载作用下，刚架产生的变形如途中虚线所示，设结点B 的转角为1∆，根据变形协调条件可知，汇交于结点B 的BA 杆、BC 杆两杆端也该有同样的转角1∆。
为了简化计算，在受弯杆件中，忽略杆件的轴向变形和剪切变形的影响，假设弯曲变形很小，因此可以假定结构变形后受弯杆件的两端之间的距离不变。
根据这些假定，B 结点就只有角位移没有线位移。
这样1b B 我们将第一步和第二步的结果叠加，得到的基本结构的变形和原结构一致。
我们注意到原结构在B 点并没有附加刚臂，也不存在约束力矩，所以可得11F ＋P F 1＝0 （1）这里的11F 是基本结构在B 点发生转角1∆时，产生在附加刚臂中的反力矩。
用11k 来表示基本结构在B 点处发生单位转角1∆＝1时，产生在附加刚臂中的反力矩，则式（1）可以写成01111=+∆P F k （2）式(2)我们称为位移法基本方程。
11k 、P F 1我们可以用上一章学习的力法确定，然后我们可求出1∆，进而求出原结构的全部内力。
结构力学——位移法
15
75 105 180
45 180
135 45
165
135
M(kN m)
第四节 用位移法求解某些特殊问题
４支座变位问题
Z1
Z2
i3
i1
i2
如左图刚架体系所示，发生支座变位
1 ，2 ， ，求该体系在支座变位
情况下所产生的弯矩图
Z3
在 Z1 1 作用下所产生的弯矩图
1
2i3
3i1 4i3
2
M1
1 L
１、两端固支
M AB
4iA
2iB
6i
AB L
M
f A
6i
AB L
M
f BA
q B
EI
B AB
M BA
Q BA
QAB
MAB
MBA L
QfAB
6iA L
6iB L
12
i L2
AB
QfAB
QBA
MAB
MBA L
QfBA
6iA L
6iB L
12
i L2
AB
QfBA
结构力学
第三章 位移法
一、等直杆的转角位移方程 二、按基本结构建立典型方程 三、按节点和截面平衡条件建立位移法方程 四、用位移法求解某些特殊问题
第一节 等直杆的转角位移方程
P
一．等直杆的转角位移方程
A MAB
已知AB杆，杆端位移为
A
A B AB
下面根据杆端约束情况来确定等
QAB
直杆的转角位移方程
qL
L 2
MEB 0
M BE
Q BE
qL
QBE qL
《结构力学》第八章 位移法
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定练习
na 5 nl 2
na 2 nl 2
位移未知数确定练习
na 3 nl 4
na 0 nl 1
位移未知数确定练习
na 3 nl 1
na 3 nl 0
位移未知数确定练习
na 2 nl 3
基本思路
两种解法对比：
典型方程法和力法一样，直接对结构按统 一格式处理。最终结果由迭加得到。
平衡方程法对每杆列转角位移方程，视具 体问题建平衡方程。位移法方程概念清楚， 杆端力在求得位移后代转角位移方程直接可 得。
位移法方程：
两法最终方程都是平衡方程。整理后形式 均为：
K R 0
典型方程法基本概念
有一(A 点
转角,设为
).
位移法第一种基本思路
利用转角位移 方程可得:
M AD M
M AC
3i
ql 2 8
M AB
4i
FP l 8
M AE
i
FP l 2
在此基础上,由图示结点平衡得 M 0
第一种基本思路
位移法思路(平衡方程法)
以某些结点的位移为基本未知量 将结构拆成若干具有已知力-位移(转角-位移) 关系的单跨梁集合 分析各单跨梁在外因和结点位移共同作用下 的受力 将单跨梁拼装成整体 用平衡条件消除整体和原结构的差别,建立 和位移个数相等的方程 求出基本未知量后,由单跨梁力-位移关系可 得原结构受力
超静定单跨梁的力法结果(3) 载
载 载
1
超静定单跨梁的力法结果(4) 载 形 形 载
超静定单跨梁的力法结果(5) 载 载 载
结构力学龙驭球第7章 位移法讲解
⑵ 位移法的基本方程 是用位移表示的平衡方程（B 结点的竖向投影平衡 方程式）。
⑶ 建立基本方程的过程分两步： 第一步，把结构拆散成杆件，进行杆件分析，得到杆件的刚度方程。 第二步，再把杆件集合成结构，进行整体分析，得出基本方程。
⑷ 杆件分析是结构分析的基础，杆件刚度方程是位移法基本方程的基础。
2、位移法计算刚架的基本思路
?
?? ?
?
?
??
?
(1)
MAB
由平衡条件求杆端剪力FQAB 和FQBA ：
EI
?
? M B ? 0, FQAB l ? M AB ? M BA ? 0
FF QAB
?A
?B
MBA
l
FF QBA
M M
AB BA
? ?
4i? A 2i? A
? ?
2i? B 4i? B
? ?
6i 6i
? l ? l
?
?? ?
?
?
? ??
(1)
FQAB
?
?
M AB
?
l
M BA
?
?
6i l
?A
?
6i l
?
B
?
12i l2
?
刚度矩阵中的系数称为刚度系数，刚 度系数是只与杆件尺寸和材料性质有 关的常数，又称为形常数。
6i 6i 12i
FQAB ? FQBA ? ? l ? A ? l ?B ? l2 ? (2)
弯曲杆件刚度矩阵
增加荷载共同作用，叠加可得：
M AB
?
3i? A
?
3i l
?
?
M
F AB
FQAB
结构力学课件：第八章《位移法》解析
r11Z1+ ···+ r1iZi+ ···+ r1nZn+R1P=0 ····················································
ri 1Z1+ ···+ ri iZi+ ···+ ri nZn+Ri P=0
(8—6）
····················································
FP=20kN MBA
EI 3m 3m
M BA
M BC
(c)
q=2kN/m
EI
6m
(d)
(e)
M
BA
4i B
Pl 8
M BC
3i B
ql 2 8
M BA M BC 0 得:
B
6 7i
17
3)由结点B的平衡条件建立 位移法方程见图(e)
4)计算杆端总弯矩
M
AB
2i(
6) 7i
15
16.72(k N
这样，结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目。
1
2
例如图示刚架
独立的结点角位移
数目为2。
4
5
3
6
返10回
(2)独立线位移数目的确定
在一般情况下，每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。
但通常对受弯杆件略去其轴向变形，其弯曲变形也是微小的，于
是可以认为受弯直杆的长度变形后保持不变，故每一受弯直杆就
相当于一个约束，从而减少了结点的线位移数目，故结点只有一
单跨超静定梁(或可定杆件)。通常 的做法是，在每个刚结点上假想 1
结构力学第07章 位移法-3
•
Δ j=1时，附加约束i方向的反力（或反力
矩）。
•
可正，可负，可为零。由反力互等定理 ：
kij = kji • 自由项FiP ： • 荷载单独作用下，附加约束i方向上的反力
（或反力矩）。可正，可负，可为零。
2. 基本方程是按一定规则写出的，它不依结构 的形式不同而异。基本方程中每一个系数都 是由结构的结点单位位移引起的附加约束反 力。结构的刚度愈大，反力（或反力矩）数 值愈大。
分两步考虑：
第一步，控制附加约束，使结点位移全部为零，这时， 刚架处于锁住状态，即基本体系。施加荷载后，可求出基本 体系中的内力，同时，在附加约束上会产生约束力矩。
第二步，再控制附加约束，使基本结构发生结点位移， 这时，附加约束中的约束力将随之改变。如果控制结点，使 与原结构的实际值正好相等，则约束力即完全消失。这时基 本体系形式上虽然还有附加约束，但实际上它们已经不起作 用，基本体系实际上处于放松状态，与原结构完全相同。
A
D
基本体系
FQBA
FQCD
F11
B
Δ1
A
F1P B FP A
CF21
F12
B
CΔ2 F22
D
A
D
C F2P
F1=F11+F12+F1P=0 F2=F21+F22+F2P=0
D
k11 B Δ1=1
C k21
k12 B
Δ2=1 C
k22
M1 图
A
D
M2 图
A
D
FΔ1+k12Δ2+F1P=0
-6i/l
0
12i/l2
3i/l2
FP
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