2013年兰州一中高考三模数学理科参考答案
甘肃省兰州一中2013届高三12月月考数学(理)试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设a R ∈，且2()a i i +为正实数，则a =.A 2 .B 1 .C 0 .1D -2.已知随机变量ξ服从正态分布N σ2（1，）,ξ≤P(4)=0.79，则-ξ≤≤P(21)= A .0.21 B . 0.58 C . 0.42 D . 0.293.下列说法正确的是.A 有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱， .B 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形，.C 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台，.D 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥.4.51()(2)ax x x x+-展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为 A .40- B .20- C .20 D .405.若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23x y z +=的最小值为.A 0 .B 1 .C .D 96. 函数ln x x y x=的图像可能是7.已知函数()sin cos f x a x b x =+，（,a b 为常数，0,a x R ≠∈）在4x π=处取得最小值，C M NOB A则函数3()4y f x π=- .A 是偶函数，且它的图像关于(,0)π对称 .B 是偶函数，且它的图像关于3(,0)2π对称 .C 是奇函数，且它的图像关于3(,0)2π对称 .D 是奇函数，且它的图像关于(,0)π对称 8．在数列{}n a 中，若对任意的n 均有12n n n a a a ++++为定值（*n N ∈）， 且79982,3,4a a a ===，则数列{}n a 的前100项的和100S = A ．132B ．299C ．68D ．999．设f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,()()()()0f x g x f x g x ''+> 且g(3)=0.则不等式()()0f x g x <的解集是A ．（－3,0)∪(3,+∞)B ．(－3,0)∪(0, 3)C ．(－∞,- 3)∪(3,+∞)D ．(－∞,－ 3)∪(0, 3)10.如图所示，两个不共线向量OA ,OB的夹角为θ，,M N 分别为OA 与OB 的中点，点C 在直线MN 上，且(,)OC xOA yOB x y R =+∈ ，则22x y +的最小值为.A .B 18 .C 2 .D 1211.设()f x 是定义在R 上的增函数，且对任意x ，都有()()0f x f x -+=恒成立，如果实数,m n 满足不等式22(621)(8)0f m m f n n -++-<，那么22m n +的取值范围是.A （9，49） .B （13，49） .C （9，25） .D （3，7）12.对于定义在D 上的函数()f x ，若存在距离为d 的两条直线1y kx m =+和2y kx m =+，使得对任意x D ∈都有12()kx m f x kx m +≤≤+恒成立，则称函数()()f x x D ∈有一个宽度为d 的通道.给出下列函数：①1()f x x=，②()sin f x x =，③()f x =，其中在区间[1,)+∞上通道宽度可以为1的函数有：.A ①② .B ①③ .C ① .D ③第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.从如图所示的长方形区域内任取一个点(,)M x y ，则点M 取自阴影部分的概率为______.14．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_______________.15.等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表中的同一列，则数列{}n a 的通项公式n a =______________.16.已知函数22()f x x x =+，1()2xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若1[1,2]x ∀∈,2[1,1]x ∃∈-使12()()f x g x ≥,则实数m 的取值范围是________________.选择、填空题答案：1—5：DDBDB 6—10：BDBDB, 11—12：AB13.13; 14. ;15. 123n -⨯;16. 5[,)2-+∞三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．如图，A,B 是海面上位于东西方向相距5(33)+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45 ，B 点北偏西60 的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60 且与B 点相距C 点救援船立即前往营救，其航行速度为 30海里/小时,该救援船到达D 点需要多长时间？ 解：DB18.已知函数23(),3x f x x +=数列{}n a 满足*1111,(),n na a f n N a +==∈， （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令12233445221,n n n T a a a a a a a a a a +=-+-+- 求n T ； （3）若2n mT ≤对*n N ∈恒成立，求m 的最小值. 解：(1)因为2321()33x f x x x +==+，又112()3n n n a f a a +==+，即{}n a 是以1为首项，以23为公差的等差数列，所以2133n a n =+. （2）12233445221n n n T a a a a a a a a a a +=-+-+-21343522121()()()n n n a a a a a a a a a -+=-+-++- 2424()3n a a a =-+++ 24(23)9n n =-+ （3）由*n N ∈，{}n T 递减，所以1n =，n T 取最大值209-，由2n mT ≤时，*n N ∈恒成立，所以，max 40(2),9n m T ≥=-所以，min 409m =-. 19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为的菱形，120BAD∠= 且PA ABCD ⊥面，PA =，,M N 分别为,PB PD 的中点.(1)证明://MN ABCD 面(2)过点A 作AQ PC ⊥,垂足为点Q ,求二面角A MN Q --的余弦值. 19.20.现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （1）求这4个人中恰好有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件i A ，(0,1,2,3,4)i =，则4412()()()33i i ii P A C -=.（1）这4个人中恰好有2人去参加甲游戏的概率22224128()()()3327P A C ==（2）设“这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，34B A A =⋃，故，334434441211()()()()()()3339P B P A P A C C =+=+=. 所以，这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.（3）ξ的所有可能取值为0,2,4.28(0)()27P P A ξ===，1340(2)()(),81P P A P A ξ==+=0417(4)()(),81P P A P A ξ==+= 所以，ξ的分布列是14881E ξ=. 21.已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-， （1）讨论()f x 的单调性， （2）设0a >，证明：当10x a <<时，11()()f x f x a a+>-， （3）若函数()y f x =的图像与x 轴交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：0'()0f x <解：(1) f (x)的定义域为(0,+∞)1(21)(1)()2(2)x ax f x ax a x x+-'=-+-=-(ⅰ) 若0a ≤时, ()0f x '>,所以f (x)在(0,+∞)内单调递增(ⅱ) 若0a >时, 由()0f x '= 得 1x a =, 且1(0,)x a∈内单调递增 1(,)x a∈+∞时f (x)单调递减(2) 设11()()()g x f x f x a a =+--()ln(1)ln(1)2g x ax ax ax ∴=+---32222()2111a a a x g x a ax ax a x -'=--=+--当10x a<<时，()0g x '>，而(0)0g = ∴()0g x >即10x a <<时 11()()f x f x a a+>- (3) 由(1)可得，当0a ≤，f (x)单调递增，所以f (x)与x 轴至多有一个交点，不合题意. 故a >0,从而max 1()()f x f a =, 且1()0f a>不妨设1212(,0),(,0),0A x B x x x <<，则1210x x a<<< 由(2)知1111221111()()()()0()f x f x f x f x f x aa a a a -=+->-+=== 即12210021()02x x x x x f x a a+'>-∴=>∴<22．选考题（本小题10分）请从下列三道题当中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，请在答题卷上注明题号。
2013年甘肃省兰州市高考数学一模试卷(理科数学)(解析版)
2013年甘肃省兰州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集{}1,2,3,4,5U =，已知U 的子集M 、N 满足集{}1,4M =，{}1M N ⋂，{}()3,5U N M C M ⋂=，则N =（ ）A. {}1,3B. {}3,5C. {}1,3,5D.{}1,2,3,52．（5分）设i 为虚数单位，复数12ai i+-为纯虚数，则实数a 为（ ） A. 1- B. 2- C. 1 D. 2 根据复数为纯虚数，可得==3．（5分）（2013•兰州一模）曲线311y x =+在点(1,12)P 处的切线与两坐标轴围成三角形的面积是（ ）A. 75B. 75C. 27D. 27S=4．（5分）（2008•四川）若点(2,0)P 到双曲线22221x y a b-=则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.）到此渐近线的距离为α5．（5分）已知命题： 1:p 函数1()(1)1f x x x x =+>+的最小值为3 2:p 不等式11x>的解集是{}1x x < 3:p ,R αβ∃∈，使得sin()sin sin αβαβ+=+成立4:p tan tan ,,tan()1tan tan R αβαβαβαβ+∀∈+=-⋅成立 其中的真命题是（ ） A. 1p B. 13,p p C. 24,p p D. 134,,p p p ，因为当且仅当时，，此时正切无意义，所以6．（5分）数列{}n a 满足11a =，223a =，且11112(2)n n n n a a a -++=≥，则n a =（ ） A. 2 B. 2 C. 2()n D. 12()n - =（{{（（}，=}=1+=（7．（5分）（2013•兰州一模）执行右面的程序框图，若输入的6,4n m ==那么输出的p 是（ ）A. 120B. 240C. 360D. 7208．（5分）（2013•兰州一模）有一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.16B. 20C. 24D. 32××9．（5分）（2013•兰州一模）已知动点P到两定点,A B的距离和为8，且AB AB的中点为O，过点O的所有直线与点P的轨迹相交而形成的线段中，长度为整数的有（）A.5条B. 6条C. 7条D. 8条．根据椭圆的几何性质，过点＜2c=4=210．（5分）将函数()2sin()(0)3f x x πωω=->的图象向左平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图象．若()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1个单位，得到函数]≥））的图象向左平移个单位，，≥，即： 11．（5分）（2013•兰州一模）已知函数()f x 是R 上的偶函数，且满足(5)(5)f x f x +=-，在[]0,5上有且只有(1)0f =，则()f x 在[]2003,2003-上的零点个数为（ ）A. 808B. 806C. 805D. 80412．（5分）定义：{},min ,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩．在区域0206x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ，则,x y 满足{}22min 2,42x x y x y x x y ++++=++的概率为（ ）A. 5B. 4C. 1D. 2 （x |=，P=．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（2013•兰州一模）已知向量(,2),(2,2),a k b a b =-=+为非零向量，若()a a b ⊥+，则k = ． 可得，14．（5分）三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去2个人，则不同的分配方法有 种．×=36 15．（5分）（2013•兰州一模）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在以O 为球心的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，若三棱锥S ABC -的体积为6，则球O 的表面积为 ． 【分析】×==，=2，××=16．（5分）已知各项为正的数列{}n a 中，122121,2,log log ()n n a a a a n n N ++==+=∈，则10081220132a a a +++-= ． ，得==2三、解答题：本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．17．（12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，222a b c bc =++．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =2b =，求c 的值． cosA=∴）由正弦定理．可得．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2AB =，60BAD ∠=︒ （Ⅰ）求证：BD PC ⊥；（Ⅱ）若PA AB =，求二面角A PD B --的余弦值．∴．19．（12分）某售报亭每天以每份0.4元的价格从报社购进若干份报纸，然后以每份1元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的报纸以每份0.1元的价格卖给废品收购站．∈）的函（Ⅰ）若售报亭一天购进270份报纸，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量x（单位：份，x N数解析式．（Ⅱ）售报亭记录了100天报纸的日需求量（单位：份），整理得下表：以100天记录的需求量的频率作为各销售量发生的概率．（1）若售报亭一天购进270份报纸，ξ表示当天的利润（单位：元），求ξ的数学期望；（2）若售报亭计划每天应购进270份或280份报纸，你认为购进270份报纸好，还是购进280份报纸好？说明理由．20．（12分）已知点P 为y 轴上的动点，点M 为x 轴上的动点，点(1,0)F 为定点，且满足102PN NM +=，0PM PF ⋅=．（Ⅰ）求动点N 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）过点F 且斜率为k 的直线l 与曲线E 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点C ，使得222||||||CA CB AB +=成立，请说明理由．，得，由．，， ．的方程有解．21．（12分）已知函数22()2,()3ln (2f x x ex g x e x b x R +=+=+∈，e 为常数），且这两函数的图象有公共点，并在该公共点处的切线相同．（Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）若1x e ≤≤时，222[()2][2()](2)a f x ex g x e a x -++≤+恒成立，求实数a 的取值范围． 与）知．．22．（10分）选修4﹣1：《几何证明选讲》∆的外接圆，直线l为O的切线，切点为B，直线AD l，交BC于D、交O于E，已知：如图，O为ABCF为AC上一点，且EDC FDC∠=∠，求证：（Ⅰ）2=⋅；AB BD BC（Ⅱ）点A、B、D、F共圆．23．（2013•丰南区）在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩． （1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4,)2π，判断点P 与直线l 的位置关系； （2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． ，，的极坐标为，4sin ）：24．（2013•贵阳二模）选修4﹣5：不等式选讲 已知函数()|2||5|f x x x =---．（1）证明：3()3f x -≤≤；（2）求不等式2()815f x x x ≥-+的解集． ﹣。
甘肃省兰州一中三模(理)
甘肃省兰州第一中学高三第三次模拟考试试题数学（理科）一、选择题1. 已知复数z 满足2(3)(1i z i i+=+为虚数单位), 则复数z 所对应的点在第( )象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 2.已知命题:,2p x x ∃∈->R 2:,0q x x ∀∈>R ，则( ) A. 命题)(q p ⌝∧是真命题 B. 命题q p ∧是真命题 C. 命题q p ∨是假命题 D. 命题)(q p ⌝∨是假命题 3. 向量,a b 均为非零向量，(2),(2)a b a b a b -⊥-⊥，则,a b 的夹角为（ ） A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π 4．函数21()1x f x x-=-的图象的对称中心是（ ） A ．(0,0) B ．(1,2)- C ．(2,1)- D ．(1,1)- 5.直线m ，n 均不在平面α，β内，给出下列命题：①若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α； ②若m ∥β，α∥β，则m ∥α； ③若m ⊥n ，n ⊥α，则m ∥α； ④若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α. 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 6．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可 自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有( )A ．16种B ．18种C ．37种D ．48种7. 已知点P 的坐标(,)x y 满足：430,3525,10,x y x y x -+≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩(2,0)A ，则||OP OAOA ⋅的最大值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6 8. 如图，当输入a 4=5, a 3=4, a 2=3, a 1=2, a 0=1, x = -1时, 程序框图中输出的是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．19. 若直线2000mx ny m n ++=（＞，＞）截得圆22311x y +++=（）（）的弦长为2，则13m n +的最小值为（ ） A. 4 B. 12 C. 16 D. 6 10. 已知当x ＝π4时，函数f (x)＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f (3-4x π)满足( )A ．是奇函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称 D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称11. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积是（ ）A.4πB.6πC.12πD.24π12. 已知)(x f 是定义在R 上的减函数，其导函数()f x '满足()2()f x x f x +>'，则下 列结论正确的是( )A.对于任意R ∈x ,)(x f <0B.对于任意R ∈x ,)(x f >0C.当且仅当()1,∞-∈x ,)(x f <0D.当且仅当()+∞∈,1x ,)(x f >0第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若随机变量ξ～)1,2(N ，且)3(>ξP ＝0.1587，则=>)1(ξP __________. 14. 二项式(ax3（a >0）的展开式的第二项的系数为22a x dx -⎰的值是____.15. 在∆ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.若sin sin C A =2，b 2-a 2=32ac ，则cos B = .16．设F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点，O 为坐标原点，点A ，B 分别在双曲线的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，BF ∥OA ，AB OB ⋅=0，则该双曲线的离 心率为 ． 三、解答题17. (本小题满分12分)在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12,a =且1322,,3a a a 成等差数列． （Ⅰ）求等比数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足2log n n b a =，数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T . 求证：2n T <. 18．（本小题满分12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对入院的50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知在调查的50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为35．（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；（Ⅱ）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由； （Ⅲ）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病．现在从患心肺疾病的10位女性中，抽取3名进行其他方面的排查，记抽取患胃病的女性人数为X ，求X 的分布列及数学期望．下面的临界值表供参考：（参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ，其中n a b c d =+++）19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且AD CD ==BC =P A =2，点M 在PD 上.（Ⅰ）求证：AB ⊥PC ；（Ⅱ）若二面角M -AC -D 的大小为45，求BM 与平面P AC 所成角的正弦值. 20. (本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点和短轴的两. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过点(2,0)Q 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，点(3,2)P ，记直线P A ，PB 的斜率分别为12,k k ，当12k k ⋅最大时，求直线l 的方程. 21. (本小题满分12分) 设l 为函数ln ()xf x x=在点(1，0)处的切线. (Ⅰ)求l 的方程；(Ⅱ)证明：当1x >时，3(1)ln(1)0x x e x ----≥.选考题:（请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分; 做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.） 22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为cos()4πρθ+= (0,02)ρθπ><<．（Ⅰ）求C 1与C 2交点的极坐标；（Ⅱ）P 是C 1上的任意一点，过P 点作与C 2的夹角为45的直线交C 2于点A ． 求∣P A ∣的最大值.23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f （x ）＝｜x －3｜．（Ⅰ）若不等式f （x －1）＋f （x ）＜a 的解集为空集，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若｜a ｜＜1，｜b ｜＜3，且a ≠0，判断()f ab a 与f （ba）的大小，并说明理由．甘肃省兰州第一中学高三第三次模拟考试（理）参考答案一、选择题二、填空题13. 0.8413 14. 3 15.1416．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分)解（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，1322,,3a a a 成等差数列，123232a a a ∴+=，2111232a a q a q +=， 22320q q ∴--=，解得2q =或12q =-，0q >，2q ∴= ∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =. ……6分（Ⅱ）2log n n b a n ==， 1()2n n n b n a ∴=⨯， 121111()2()()222n n T n ∴=⨯+⨯++⨯，23111111()2()()2222n n T n +∴=⨯+⨯++⨯.相减得12111111()()()()22222n n n T n +=+++-⨯ 1111[1()]1122()1(2)()12212n n n n n ++-=-⨯=-+⨯-.12(2)()22n n T n =-+⨯<. …….12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）列联表补充如下……2分（Ⅱ）因为22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，所以28.333K ≈>7.789又2(7.789)0.0050.5%P k ≥==．所以，有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．…4分 （Ⅲ）解： X 的所有可能取值：0，1，2，3P (X =0)=37310C 357==C 12024; P (X =1)=1237310C C 6321==C 12040;P (X =2)=2137310C C 217==C 12040;P (X =3)=33310C 1=C 120; ……8分分布列如下：……10分则E (X )=7217190+1+2+3=24404012010⨯⨯⨯⨯. ………12分 19．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）取BC 中点E ，连结AE , 则EC AD EC AD //,=，所以四边形AECD 为平行四边形，故BC AE ⊥， 又22===EC BE AE , 所以 45=∠=∠ACB ABC ,故AC AB ⊥,又PA AB ⊥，A PA AC =⋂, 所以PAC AB 平面⊥,故有 PC AB ⊥ ………………5分 （Ⅱ）方法一：如图建立空间直角坐标系xyz A - 则()()()(),2,0,0,0,22,22,0,22,22,0,0,0P C B A -中资设()()102,22,0≤≤-==λλλλPD PM ,易得()λλ22,22,0-M设平面AMC 的一个法向量为()z y x n ,,1=，则()⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅=+=⋅022220222211z y AM n y x AC n λλ 令12,2,2-=-==λλz x y 得，即⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12,2,21λλn …………8分又平面ACD 的一个法向量为 ()1,0,02=n ，45cos 12412cos 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-λλλλ，解得21=λ，即()1,2,0M ，()1,23,22-=BM ，而()0,22,22-=AB 是平面PAC 的一个法向量，设直线BM 与平面P AC 所成的角为θ，则8sin cos ,BM AB θ-==故直线BM 与平面P AC 所成的角的正弦值为935 .…………12分 方法二：如图建立空间直角坐标系xyz A -.则()()()(),2,0,0,0,22,22,0,22,22,0,0,0P C B A - 过点M作MN ⊥AD 于点D ，则MN ⊥平面ABCD ,过点N 作NH ⊥AC 于点H ，则∠MHN 为二面角M -AC -D 的平面角,…8分 ∴∠MHN =45º, ∴MN =NH, 则AN NH ，则可设M （0，z ）， 由//PM PD ，得z =1，∴M （0，1）， ……10分()1,23,22-=BM，而()0,22,22-=AB 是平面PAC 的一个法向量， 设直线BM 与平面P AC 所成的角为θ，则8sin cos ,BMAB θ-==故直线BM 与平面P AC 所成的角的正弦值为935.…………………12分 20. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）由题意可得a b ===所以椭圆C 的方程是22163x y +=． ．．．4分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，易得123k k ⋅=． ．．．5分当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为1122(2),(,),(,)y k x A x y B x y =-. 联立22(2)26y k x x y =-⎧⎨+=⎩，消y 得2222(21)8860,k x k x k +-+-=22121222886,2121k k x x x x k k -∴+==++， ．．．．．．6分12121224(2)(2)()421ky y k x k x k x x k k -∴+=-+-=+-=+， 221212121222(2)(2)[2()4]21k y y k x k x k x x x x k -=-⋅-=-++=+,21212121222121212222()4684853333()92323y y y y y y k k k k k x x x x x x k k ---++++-∴⋅=⋅===+---++++.．．．．8分 令85k t -=，则58t k +=，12232310121tk k t t ⋅=+++． 只考虑0t >的情形，123232334121221010k k t t⋅=+≤+=+++，．．．．．10分当且仅当11t =时，等号成立，此时11528k +==， 故所求直线l 的方程为2(2)y x =-，即240x y --=． ．．．．．12分另解提示：求212268423k k k k k ++⋅=+，令t =2268423k k k +++，则(2t -6)k 2-8k +3t -4=0. 由∆=64-4(2t -6)(3t -4)≥0，得143t ≤≤，即12k k ⋅的最大值为4，此时由2k 2-8k +2=0得k =2， 故所求直线l 的方程为2(2)y x =-， 即240x y --=． 21. (本小题满分12分)解：(Ⅰ) ()f x 的定义域为21ln {|0},(),(1)1xx x f x f x-''>== ….1分 ()f x ∴在点(1,0)处的切线l 的方程为01(1)y x -=⨯-,即10x y --=.…4分(Ⅱ)令()(1)x g x e x =-+，则()1x g x e '=-，由()0g x '≥得0x ≥，()g x ∴在区间(,0)-∞上单调递增，在区间[0,)+∞上单调递减，min ()(0)0g x g ∴==，∴对[0,)x ∀∈+∞,有1x e x ≥+成立，用3x -替换x 得32x e x -≥-，故当1x >时，不等式3(1)(1)(2)x x e x x --≥--恒成立. ① ….8分设()(1)(2)ln(1),1h x x x x x =---->. 故12()(2)2(),1x x h x x --'=-1,()02,x h x x '>∴≥⇔≥()h x ∴在区间(1,2)上单调递减，在区间[2,)+∞上单调递增，min ()(2)0h x h ∴==，故对1x ∀>， 不等式(1)(2)ln(1)0x x x ----≥恒成立，即对1x ∀>，不等式(1)(2)ln(1)x x x --≥-恒成立. ②综合①、②得，对1x ∀>，3(1)ln(1)x x e x --≥-，即3(1)ln(1)0x x e x ----≥恒成立. …..12分22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程解：（Ⅰ）将错误!不能通过编辑域代码创建对象。
2013届兰州一中高三第三次模拟考试理综卷(2013.05)
甘肃省兰州一中2013届高三第三次模拟考试理科综合试题注意事项：1、本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，总分300分，考试时间150分钟。
其中第II卷第33-44题为选考题，其他题为必答题。
2、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定的位置上。
3、答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案方框涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案方框，写在本试卷上无效。
4、答第II卷时，必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答。
超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效。
5、考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 F-19 Na-23 S-32 Cu-64第Ⅰ卷（选择题，共126分）一、选择题（本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1、下列关于真核细胞的叙述，错误的是A．衰老细胞中溶酶体的活动相对活跃B．细胞癌变受环境影响，不受基因控制C．高等植物细胞可通过胞间连丝进行信息交流D．细胞凋亡是由基因所决定的细胞自动结束生命的过程2、下图为某激素蛋白的合成与分泌过程示意图，其中a、b、c、d、e表示细胞结构。
下列说法正确的是A．具有分泌功能的细胞才有c结构B．携带物质X到a的是rRNAC．此过程说明生物膜在结构和功能上具有密切联系D．在e结构内可将葡萄糖彻底氧化分解产生CO2和H2O3、下列关于生物实验的叙述，错误的是A．探究培养液中酵母菌种群数量变化时，利用血细胞计数板进行计数B．绿叶中色素的提取和分离实验结果表明，叶绿素b的溶解度最小C．探究酵母菌细胞呼吸方式时采用的对比实验法是科学研究常用的方法之一D．调查人群中红绿色盲的发病率时，应选择有红绿色盲病史的家系进行调查统计4、如图为细胞核内某基因(15N标记)局部结构示意图，该基因中A占全部碱基的20%，下列说法正确的是A．该基因彻底水解后可生成6种产物B．该基因转录形成的mRNA中U占全部碱基的20%C．解旋酶作用于①部位，DNA聚合酶作用于②部位D．将该细胞置于14N培养液中完成一个细胞周期，含15N的子细胞占50%5、下列调节过程不属于负反馈调节的是A．血糖浓度升高时，胰岛素的作用结果会反过影响胰岛素的分泌B．在一些酶促反应中，反应终产物大量积累会导致酶促反应速率下降C．害虫数量增加会引起食虫鸟类数量增多，进而抑制害虫种群的增长D．向湖泊中大量排放污染物引起鱼类死亡，鱼类尸体腐烂又加剧了湖中鱼类的死亡6、在太空和地球上利用燕麦胚芽鞘进行如右图所示实验，下列说法正确的是A．生长素浓度：d＞a＞b＞c，④生长最快B．生长素浓度：a＞c＝d＞b，①生长最快C．生长素浓度：a＞d＞c＝b，②③生长快D．生长素浓度：a＝b＝c＝d，①②③④长势基本相同7、化学与生活密切相关。
甘肃省兰州一中2013届上学期高三期中考试数学(理)试题(附答案)
兰州一中2013届高三上学期期中考试数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分， 考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，在试卷上答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合M ＝{x |(x ＋3)(x －1)＜0}，N ＝{x |x ≤－3}，则C R (M ∪N )＝（ ） A ．{x |x ≤1} B ． {x |x ≥1} C ． {x |x ＞1} D ． {x |x ＜1} 【答案】B2．若复数12z =-+，则z 2=（ ）A ．12-B ．12-C 12i -D 12i【答案】B3．已知向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ，则a +b 等于（ ） A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-【答案】A4. 条件甲“a ＞1”是条件乙“a ＞a ”成立的 （ ） A ．既不充分也不必要条件 B ．充要条件 C ．充分不必要条件 D ．必要不充分条件 【答案】B5. 函数2()log f x x =与11()()2x g x -=在同一直角坐标系中的图象是( )【答案】D6．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出 16人参加一项活动，则一班和二班分别被抽取的人数是 ( )A 8，8B 9，7C 10，6D 12，4【答案】B7．函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到x y ωsin =的图象，只需把)(x f y = 的图象上所有点 ( ) A . 向左平移12π个单位长度 B . 向右平移12π个单位长度 C . 向左平移6π个单位长度 D . 向右平移6π个单位长度 【答案】D8.函数)(x f 在定义域R 上不是常数函数，且)(x f 满足条件：对任意x R ∈ ，都有)()1(),2()2(x f x f x f x f -=+-=+,则)(x f 是( )A . 奇函数但非偶函数B . 偶函数但非奇函数C . 既是奇函数又是偶函数D . 是非奇非偶函数【答案】B9．如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲，乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中M 为数字0—9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数依次为12,a a ，则一 定有 ( )A ．12a a >B ．21a a >C ．12a a =D ．12,a a 的大小不确定【答案】B10．设123log 2,ln 2,5a b c -===，则 ( )A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a << 【答案】C11. 设)0(25)(,12)(2>-+=+=a a ax x g x x x f ，若对于任意]1,0[1∈x ，总存在]1,0[0∈x ，使得)()(10x f x g =成立，则a 的取值范围是 ( )A ． ),4[+∞B ．]25,0(C ．]4,25[D ．),25[+∞ 【答案】C12. 设α是锐角，若3tan()64πα+=，则sin(2)12πα+的值为 ( )A B C D 【答案】B第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数()2log ,0,3,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩则18f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ____ ____． 【答案】12714．函数()sin f x x x =在区间[,]63ππ-上的最大值是_______________．答案：215．若,,a b c 均为正数, 且346a b c ==, 则2c ca b+的值是_______________． 【答案】216．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩．设函数()()()221f x x x =-⊗-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 . 【答案】(](]2,11,2--．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分10分) 已知A ，B ，C 为ABC ∆三内角，其对边分别为a 、b 、c ，若1cos cos sin sin 2B C B C -=. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若4a b c =+=，求ABC ∆的面积． 解：（Ⅰ）1cos cos sin sin 2B C B C -=，1cos()2B C ∴+=……………………………3分 又0B C π<+<，3B C π∴+=. A B C π++=，23A π∴=.…………………6分（Ⅱ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅，得 222()22cos3b c bc bc π=+--⋅ ，…………………………………………8分 即：1121622()2bc bc =--⋅-， 4bc ∴=. (10)分11sin 422ABC S bc A ∆∴=⋅=⋅=. …………………………………………12分18．（本小题共12分）已知向量(1,7)OA =，(5,1)OB =，(2,1)OP =，点Q 为直线OP 上一动点.（Ⅰ）当QA OP ⊥时，求OQ 的坐标； （Ⅱ）当QA QB ⋅取最小值时，求OQ 的坐标.所以OQ 的坐标是189(,).55……………………………………..6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得22520125(2)8QA QB t t t ⋅=-+=--, ………………………..9分,t ∈∴R 当2t =时, QA QB ⋅取得最小值.此时OQ 的坐标是(4, 2) . …………………… …..12分19. （本题满分12分）为迎接我校建校110周年，某班开展了一次“校史知识”竞赛活动，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩（满分为100分，分数为均匀整数）进行统计，制成如右图的频率分布表：（Ⅰ）求,,,a b c d 的值；（Ⅱ）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备四道题目，选手对其依次作答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对一道，则获得二等奖.某同学进入决赛，每道题答对的概率P 的值恰好与频率分布表中不少于90分的频率的值相同.设该同学决赛中答题个数为X ，求X 的分布列以及X 的数学期望.解：(Ⅰ)15500.15,0.3,10,0.250a b c d =⨯===== ………………………4分 (Ⅱ)X 的可能取值为2，3，4. 12(2)0.20.20.04,(3)0.20.80.20.064,P X P X C ==⨯===⨯⨯=1233(4)0.20.80.80.896P X C ==⨯+=所以分布列为：()20.0430.06440.896 3.856E X =⨯+⨯+⨯= ……………………………12分 20. (本小题满分14分) 已知()sin f x =x+a x ． (Ⅰ) 若=2a ，求()f x 在[]0,π上的单调递减区间； （Ⅱ）当常数0a ≠时，设()()f xg x x =，求()g x 在566ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值.（Ⅱ）()sin ()1f x a x g x x x ==+， ∴2(cos sin )()a x x x g x x -'=，……………6分 记()cos sin (0)h x x x x x π=-∈，，，则()sin 0h x x x '=-<对(0)x π∈，恒成立，∴()h x 在(0)x π∈，上是减函数，∴()(0)0h x h <=，即()0g x '<， ……………………8分① 当0a >时，()()f x g x x =在()π0，上是减函数，得()g x 在5 66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数. ∴当6x π=时，()g x 取得最大值31a π+. ……13分② 当<0a 时，()()f x g x x =在()π0，上是增函数，得()g x 在5 66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数. ∴当6x π=时，()g x 取得最大值315a π+. …………………12分21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1af x x x=+-（a 是常数， 2.71828e ≈）.（Ⅰ）若2x =是函数()f x 的极值点，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）当1a =时,方程()f x m =在∈x 21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两解，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）求证: 1ln1n n n>-1(>n ，且)*N n ∈． 解：（Ⅰ） 2()x af x x -'=．切线方程为10x y +-=． ………….4分 （Ⅱ）当1=a 时，211()lg 1,()x f x x f x xx -'=+-=，其中21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 当⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,1e x 时，0)(<'x f ；(21,x e ⎤∈⎦时，0)(>'x f ， ∴1=x 是)(x f 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上唯一的极小值点，∴[]0)1()(min ==f x f ． 又2222111()2,()lg 11,f e f e e e e e=-=+-=+ 2211()210f f e e e e ⎛⎫-=---< ⎪⎝⎭，综上，所求实数m 的取值范围为{|02}m m e <≤-. …………8分（Ⅲ）若1=a 时，由（2）知x xxx f ln 1)(+-=在[)+∞,1上为增函数， 当1>n 时，令1-=n nx ，则1>x ，故0)1()(=>f x f ， 即01ln 11ln 1111>-+-=-+---=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n n n n n n n n n n f ，∴1ln n >．…….12分 四．选考题:（请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.请在答题卷上注明题号；满分10分.）22. （本小题满分10分） 《选修4—1：几何证明选讲》如图，在Rt △ABC 中，C 90∠=, BE 平分∠ABC 交AC 于点E ， 点D 在AB 上，DE EB ⊥．(Ⅰ)求证：AC 是△BDE 的外接圆的切线；(Ⅱ)若6AD AE ==，求EC 的长．解： （Ⅰ）设线段DB 的中点为O ，连接EO ，DE EB ⊥∴点O 是圆心，,OB OE OEB OBE ∴=∴∠=∠ (2)分又BE 平分,,//ABC CBE OBE OEB CBE OE BC ∠∴∠=∠∴∠=∠∴.又90,90C AEO ∠=︒∴∠=︒.AC ∴是△BDE 的外接圆的切线 (5)分(Ⅱ) 由（Ⅰ）知AC 是圆O 的切线,222,AE AE AD AB AB AD ∴=⋅∴===BD AB AD ∴=-==OB OD ∴==. ………………8分又由（Ⅰ）知//,AE AOOE BC EC OB∴=.3AE OB EC AO ⋅∴===. ………………10分 23．（本小题满分10分）《选修4-4：坐标系与参数方程》在直角坐标系中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线θθρc o s 2s i n :2a C =)0(>a ，已知过点)4,2(--P 的直线l 的参数方程为：直线错误！未找到引用源。
2013年兰州一中高考三模数学理科参考答案
2013年兰州一中高考三模参考答案数学理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分．13. 40 14. 2y = 15. -2 16. 45 三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 17. （本题满分12分）解：（Ⅰ）22222233,cos 224a b c a b c ab C ab +-+-=∴== ()21cos 1cos 7,sin 2228A B A B C A B C π-++++=-∴=== …………６分（Ⅱ）ab ，b a ，c ab c b a 2342,2322222=-+∴==-+且 又2232,24,82a b ab ab ab ab +≥∴≥-∴≤3cos ,sin 44C C =∴===,7s i n 21≤=∴∆C ab S ABC 当且仅当22==b a 时，△ABC 面积取最大值，最大值为7. …………12分 18.（本小题满分12分）解：（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有100.2540÷=人所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯=………………3分(II ) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=……7分（Ⅲ）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，202621015(16)45C P C ξ===， 116221012(17)45C C P C ξ=== 11262222101013(18)45C C C P C C ξ==+=， 11222104(19)45C C P C ξ=== 222101(20)45C P C ξ===所以ξ的分布列为所以161718192045454545455E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以ξ的数学期望为865.………………12分19. (本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为11ABB A 是矩形，D 为1AA 中点，1AB =，1AA =2AD =, 所以在直角三角形1ABB 中,11tan 2AB AB B BB ∠==, 在直角三角形ABD 中,1tan 2AD ABD AB ∠==, 所以1AB B ∠=ABD ∠,又1190BAB AB B ∠+∠= ， 190BAB ABD ∠+∠=， 所以在直角三角形ABO 中，故90BOA ∠=，即1BD AB ⊥， ………………………4分 又因为11CO ABB A ⊥侧面，111AB ABB A ⊂侧面, 所以1CO AB ⊥所以，1AB BCD ⊥面,BC BCD ⊂面, 故1BC AB ⊥…………………………6分 （Ⅱ）解法一：如图，由（Ⅰ）可知，,,OA OB OC 两两垂直，分别以,,OA OB OC 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -. 在Rt ∆ABD中，可求得OB =OD =,OC OA ==，在Rt ∆ABB 1中，可求得1OB =，故0,,06D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,0,3B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,0,0,3C ⎛ ⎝⎭,13B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以BD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,BC ⎛= ⎝⎭,1BB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭可得，11BC BC BB ⎛=+= ⎝⎭……………………………8分 设平面1BDC 的法向量为(),,x y z =m ，则 10,0BD BC ⋅=⋅=m m ，即03330x y z y ⎧-++=⎪⎪=， 取1,0,2x y z ===，则()1,0,2=m ，…10分 又BCD 面()1,0,0=n ，故cos ,==m n ，所以，二面角1C BD C --…………………………………12分 解法二：连接1CB 交1C B 于E ,连接OE ，因为11CO ABB A ⊥侧面，所以BD OC ⊥，又1BD AB ⊥， 所以1BD COB ⊥面，故BD OE ⊥所以EOC ∠为二面角1C BD C --的平面角 ……………………8分BD =，1AB =，1112AD AO BB OB ==，1123OB AB ==1133OC OA AB ===， 在Rt ∆COB 1中，13B C === ， …………10分 又EOC OCE ∠=∠1c o sOC EOC CB ∠== 故二面角1C BD C --的余弦值为. …………12分 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，直线AB 的斜率存在，设其方程为(1)y k x =+．将其代入22143x y +=， 整理得 2222(43)84120k x k x k +++-=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 所以 2122843k x x k -+=+．…………4分 故点G 的横坐标为21224243x x k k +-=+． 依题意，得2241434k k -=-+，解得 12k =±． ………………6分 （Ⅱ）解：假设存在直线AB ，使得 12S S =，显然直线AB 不能与,x y 轴垂直．由（Ⅰ）可得 22243(,)4343k kG k k -++．因为 DG AB ⊥，所以 2223431443Dk k k kx k +⨯=---+， 解得 2243D k x k -=+， 即 22(,0)43k D k -+． 因为 △GFD ∽△OED ，所以 12||||S S GD OD =⇔=． 所以2243k k -=+， 整理得 2890k +=． 因为此方程无解，所以不存在直线AB ，使得 12S S =． …………12分 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题21[ln(1)]10,()0,x x x f x x+++'>=-< 故()f x 在区间(0,)+∞上是减函数; …………3分 （Ⅱ）当0x >时，()1kf x x >+恒成立， 即1[1ln(1)]x k x x+<++在(0,)+∞上恒成立， 取1()[1ln(1)]x h x x x +=++，则′()21ln(1)(x x h x x--+=，…………………5分 再取()1ln(1),g x x x =--+则1()10,11xg x x x '=-=>++故()g x 在(0,)+∞上单调递增，而(1)ln 20,(2)1ln 30,(3)22ln 20g g g =-<=-<=->， 故()0g x =在(0,)+∞上存在唯一实数根(2,3),1ln(1)0a a a ∈--+=， 故(0,)x a ∈时，()0;(,)g x x a <∈+∞时，()0,g x > 故[]min 1()1ln(1)1(3,4),3,a h x a a k a +=++=+∈≤故max 3k =…………………7分（Ⅲ）由（Ⅱ）知：1ln(1)3333(0)ln(1)122111x x x x x x x x x++>>⇒+>-=->-+++令311(1),ln[1(1)]223()(1)1x n n n n n n n n =+++>-=--++，又ln[(112)(123)(134)(1(1))]n n +⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++ln(112)ln(123)ln(1(1))n n =+⨯++⨯+++⨯+ 1111123[(1)()()]2231n n n >--+-++-+1323(1)232311n n n n n =--=-+>-++ 即：23(112)(123)(134)(1(1))n n n e -+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++> ………………12分22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 （I ）∵EC EF DE ⋅=2，∴C EDF ∠=∠，又∵C P ∠=∠，∴P EDF ∠=∠， ∴EDF ∆∽PAE ∆ ∴EP EF ED EA ⋅=⋅ 又∵EB CE ED EA ⋅=⋅，∴EP EF EB CE ⋅=⋅ ………………5分 （II ）29=CE ，3=BE ，415=BP PA 是⊙O 的切线，PC PB PA ⋅=2，4315=PA ………………10分 23. (本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程解：(Ⅰ)由)4πρθ=+得：ρ=cos θ+sin θ两边同乘以ρ得：ρ2=ρcos θ+ρsin θ ∴x 2+y 2-x -y =0 即(x -12)2+(y -12)2=12………………5分 (Ⅱ) 将直线参数方程代入圆C 的方程得: 5t 2-21t +20=0 ∴t 1+t 2=215, t 1t 2=4 ∴∣MN ∣=∣t 1-t 2∣=5………………10分 24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲． 解：(Ⅰ)∵ f (x )=|2x -1|+|2x -3| , f (x )≤5∴有12445x x ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩ 或132225x ⎧≤≤⎪⎨⎪≤⎩或32445x x ⎧>⎪⎨⎪-≤⎩ 解得：11,42x -≤<或13,22x ≤≤或39,24x <≤∴不等式的解集为：{x ∣19,44x -≤≤}. ………………5分(Ⅱ) 若mx f x g +=)(1)(的定义域为R ，则f (x )+m ≠0恒成立，即f (x )+m =0在R 上无解.又f (x )=|2x -1|+|2x -3|≥|2x -1-2x +3|=2， ∴f (x )最小值为2,∴m >-2 ………………10分。
甘肃省兰州一中2013届高三第三次模拟考试理综试题_Word版含答案
兰州一中2013届高三第三次模拟考试理综试题二、选择题（本题共8小题，每小题6分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，14、15、16、17只有一项符合题目要求，18、19、20、21有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不选的得0分）14、汽车由静止开始在平直的公路上行驶，0～50s内汽车的加速度随时间变化的图线如图所示。
下面的有关说法正确的是( )A．汽车的行驶的最大速度为20m/sB．汽车在40～50s内的速度方向和在0～10s内的速度方向相反C．汽车在50s末的速度为零D．在0～50s内汽车行驶的总位移为900m15、一电子在电场中由a点运动到b点的轨迹如图中虚线所示，图中平行实线是等势面。
则下列说法中正确的是( )A．a点的电势比b点低B．电子在a点的加速度方向向右C．电子从a点到b点动能减小D．电子从a点到b点电势能减小16、如图所示，滑轮A可沿倾角为θ的足够长光滑轨道下滑，滑轮下用轻绳挂着一个重为G的物体B，下滑时，物体B相对于A静止，则下滑过程中( )A．B的加速度为g sinθB．绳的拉力为G/cosθC．绳的方向保持竖直D．绳的拉力为G17、升降机底板上放一质量为100 kg的物体，物体随升降机由静止开始竖直向上移动5m 时速度达到4m/s，g取10m/s2，则此过程中( )A．升降机对物体做功5800J B．合外力对物体做功5800JC．物体的重力势能增加500J D．物体的机械能增加800J18、某电厂要将电能输送到较远的用户，输送的总功率为100kW，电厂输出电压仅为200V，为减少输送功率损失，先用一理想升压变压器将电压升高再输出，到达目的地后用理想降压变压器降压。
已知输电线路的总电阻为120Ω，若在输电线路上消耗的功率为输送功率的12%，用户所需电压为220V，则( )A．理想升压变压器的原、副线圈的匝数比为1∶50B．理想降压变压器的原、副线圈的匝数比为35∶1C．理想升压变压器的原、副线圈中的电流分别为400A和10AD．理想降压变压器的原、副线圈中的电流分别为10A和400A19、发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示。
2013年三校生高考数学真题
2013年甘肃省对口招生基础课数学全真试卷一、 单项选择题（每小题3分，共3×12=36分）1．集合{}{}13,15A x x B x x =-<≤=<<则AB ⋃=（ ） A ．{}15x x -<< B.{}35x x << C. {}11x x -<< D. {}13x x <≤ 2.不等式24210x x --+≥的解集是（ ）A ．(,7][3,)-∞-⋃+∞B ．[7,3]-C ．(,3][7,)-∞-⋃+∞D ．[3,7]- 3．下列函数既是奇函数又是增函数的是（ ）A ．3y x =B ．1y x= C ．22y x = D ．13y x =- 4．已知log 2=则x=( )A ．3B ．9C ．27D ．81 5．已知{}n a 是等比数列，252,6a a ==则8a =（ ） A ． 12 B ．18 C ． 24 D ．36 6．已知(5,7),(2,1)AB CD ==--，则23AB CD -=（ ）A ．（16，4）B ．（16，17）C ．（-16，11）D ．（4，11） 7．一个袋子中有7个球，其中3个绿球，4个红球，问从中摸出一个球是红球的概率是（ ）A ．14B ．13C ．112 D ．478．如右图，O 为正六边形对角线的交点，则 与OA 共线的向量有（ ）个A ．2B ．3C ．7D ．99．已知直线2310x y +-=，则斜率和在y 轴上的截距是（ ） A ．21,33- B ．21,33- C ．21,33D ．21,33-- 10．已知球的大圆周长为6π，求该球的表面积和体积（ ） A ．9,18ππ B ．9,36ππ C ．18,36ππ D ．36,36ππ11．甘肃省3家省属单位被安排某县4个材开展“联村联户，为民富民”活动，要求每家单位至少对口帮助其中1个村且每村只受1家单位帮扶，则不同的安排方法总数是 （ ） A ．7 B ．12 C ．36 D ．72 12．如图为1500辆汽车通过某路段 时的速度频率分布直方图，在速度为[60，70]的车辆约有（ ）辆 A ．450 B ．600 C ．800 D ．1000AO40 50 60 70 80二、多项选择题（每小题3分，共3×5=15分）13．已知cos0θ>，则θ在第几象限（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限14．已知直线l与4610x y-+=平行，下列方程不可能的是（）A．230x y-= B．2410x y-+= C．81250x y-+= D．4610x y+-=15.已知函数()31f x x=-，下列正确的是（）A．()31f x x=-是直线方程 B．()31f x x=-的定义域是R C．(1)4f-=- D．()f x是减函数16．已知两点坐标A（-1，2），B（1，-2），则下列各式正确的是（）A．5OA OB= B．OA BO= C．(2,4)AB=- D．10AB= 17．下列命题正确的是（）A．平行于同一平面的两直线平行B.平行于同一平面的两平面平行C．垂直于同一平面的两直线平行D.垂直于同一直线的两平面平行三、解答题（共19分，18、19每题6分，20题7分）18．（6分）解不等式358x-<.19．(6分)已知等差数列{}na中，3915,9a a==-求1a和20S的值. 20．（7分）求经过点M（3，2），圆心在直线2y x=圆的标准方程 .。
2013届高三模拟试卷(01)数学(理)参考答案
2013届高三模拟试卷（01） 数学（理）试卷参考答案11、34π12、 13、[1,3] 14、①④ 15、A ：21-≤m ；B ：2或8- 三、解答题16．解：（Ⅰ）由题意知：243ππω=，解得：32ω=， ………………………2分ACB AC B cos cos -cos -2sin sin sin =+Θ A C A B A A C A B sin cos -sin cos -sin 2cos sin cos sin =+∴ A A C A C A B A B sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin =+++∴A C AB A sin 2)(sin )(sin =+++∴………………………………………4分a cb A B C 2sin 2sin sin =+⇒∴=+∴……………………………………6分 （Ⅱ）因为2bc a b c +==，，所以a b c ==，所以ABC △为等边三角形21sin 2OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅ …………8分435cos 3-sin +=θθ2sin (-)3πθ=，……………10分 (0)θπ∈Q ，,2--333πππθ∴∈(，)，当且仅当-32ππθ=，即56πθ=时取最大值,OACB S 的最大值为2+分17．解：（1）设四层下到三层有n 个出口，恰好被三楼的警员抓获，说明五层及四层的警员均没有与他相遇。
9141)11)(311(=⨯--∴n ，解得3=n ………………………3分（2）ξ可能取值为0,1,2,3,4,5 9231)311()1(,31)0(=⨯-====ξξp p 9141)311)(311()2(=⨯--==ξp12141)411)(311)(311()3(=⨯---==ξp24161)411)(411)(311)(311()4(=⨯----==ξp 2452411219192311)5(=-----==ξp ………………………8分 所以，分布列为………………………………………………………………………………10分72137245524141213912921310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ………………………12分18．解：（1）解法1：因为平面⊥ABE 平面ABCD ，且BC AB ⊥所以BC ⊥平面ABE ，则CEB ∠即为直线EC 与平面ABE 所成的角………2分 设BC=a ，则AB=2a则直角三角形CBE即直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值为………………………6分解法2：因为平面⊥ABE 平面ABCD ，且 AB EO ⊥， 所以⊥EO 平面ABCD ，所以OD EO ⊥．由OE OD OB ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -． 因为三角形EAB 为等腰直角三角形，所以OE OD OB OA ===，设1=OB ，则(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C D E -．所以 )1,1,1(-=EC ，平面ABE 的一个法向量为(0,1,0)OD =u u u r．…………3分 设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ，所以即直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值为…………………………6分 （2）存在点F ，且时，有EC // 平面FBD ． 证明如下：由设平面FBD 的法向量为v ),,(c b a =，则有0,0.BD FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rv v 所以 取1=a ，得)2,1,1(=v ．………………………………9分 因为 ⋅EC v 0)2,1,1()1,1,1(=⋅-=，且⊄EC 平面FBD ，所以 EC // 平面FBD ． 即点F 满足时，有EC // 平面FBD ．……………………………………12分 19．解：2)1(3n n d -+=Θ,∴1232n n a d d d d =+++⋅⋅⋅+3232n n ⨯== …………………3分 又由题知：令1m = ，则22212b b ==,33312b b ==L 12n nn b b == ……………5分若2n n b =，则2m nm n b =，2n mn m b =，所以m nn m b b =恒成立若2n n b ≠,当1m =,m nn m b b =不成立,所以2n n b = …………………………………6分（Ⅱ）由题知将数列{}n b 中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{}n c 中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是12b =，24b =公比均是,8 …………9分201313520132462012()()T c c c c c c c c =+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+1007100610062(18)4(18)208618187⨯-⨯-⨯-=+=--………………………………………12分20．解：(Ⅰ) 设F2(c ，0)，则1212c c -+＝13，所以c ＝1．因为离心率e2，所以a．所以椭圆C 的方程为2212x y +=． …………………………………………4分(Ⅱ) 当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 方程为x ＝－12，……………………6分 此时P(2-，0)、Q(2,0) ，221F P F Q ⋅=-u u u u r u u u u r．不合；当直线AB 不垂直于x 轴时，设存在点M(－12，m ) (m ≠0)，直线AB 的斜率为k ， ),(11y x A ， ),(22y x B ．由 221122221,21,2x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得12112212()2()0y y x y x y x x -+++⋅=-，则 －1＋4mk ＝0， 故k ＝14m．此时，直线PQ 斜率为m k 41-=，PQ 的直线方程为)21(4+-=-x m m y ．即 m mx y --=4．联立⎪⎩⎪⎨⎧=+--=12422y x mmx y 消去y ，整理得 2222(321)16220m x m x m +++-=． 所以212216321m x x m +=-+，212222321m x x m -=+．………………………………8分由题意=⋅F F 220，于是=⋅Q F P F 22(x1－1)(x2－1)＋y1y2)4)(4(1)(212121m mx m mx x x x x +++++-=22122121))(14()161(m x x m x x m +++-++=2222222(116)(22)(41)(16)1321321m m m m m m m +---=+++++22191321m m -=+=0．1919±=∴m 因为M 在椭圆内，872<∴m 1919±=∴m 符合条件；……………………12分 综上，存在两点M 符合条件，坐标为)1919,21(±-M ．……………………13分 21．解：（Ⅰ）∵()ln()f x a x b =+，∴()af x x b'=+， 则()f x 在点(0,ln )A a b 处切线的斜率(0)ak f b'==，切点(0,ln )A a b ， 则()f x 在点(0,ln )A a b 处切线方程为ln ay x a b b=+，……………………2分 又()e 1x g x a =-，∴()e x g x a '=，则()g x 在点(0,1)B a -处切线的斜率(0)k g a '==，切点(0,1)B a -，则()g x 在点(0,1)B a -处切线方程为1y ax a =+-，…………………………4分 由,ln 1,a a b a b a ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得1a =，1b =．…………………………………………6分（Ⅱ）由()1x m g x ->+得ex x m-e x m x <在[0,)+∞上有解，令()e x h x x =-，只需max ()m h x <．……………………………………8分 ①当0x =时，()e 0x h x x =-=，所以0m <；………………………………10分 ②当0x >时，∵()1e )1x x x h x '=-=-+，∵0x >，e 1x >，∴x >故()10x h x '=-<，即函数()e x h x x =在区间[0,)+∞上单调递减，所以max ()(0)0h x h ==，此时0m <．…………………………………………13分 综合①②得实数m 的取值范围是(,0)-∞．……………………………………14分。
【名校试卷】甘肃省兰州一中2013届高三上学期12月月考数学(理)试题 Word版含答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设a R ∈，且2()a i i +为正实数，则a =.A 2 .B 1 .C 0 .1D -【答案】D【KS5U 解析】()()222()1221a i i a ai i a a i +=-+=-+-，因为2()a i i +为正实数，所以210120a a a ⎧-==-⎨->⎩，解得。
2.已知随机变量ξ服从正态分布N σ2（1，）,ξ≤P(4)=0.79，则-ξ≤≤P(21)=A .0.21B . 0.58C . 0.42D . 0.29 【答案】D【KS5U 解析】因为ξ≤P(4)=0.79，所以ξ>P(4)=0.21，所以4ξ≤≤P(1)=0.29，所以-ξ≤≤P(21)=0.29.3.下列说法正确的是.A 有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱， .B 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形，.C 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台，.D 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥.【答案】B【KS5U 解析】选项A 不正确，如图：棱台是由棱锥截来的，故要求梯形的腰延长后要交与一点，故C 不正确；以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥，故D 不正确。
4.51()(2)a x x x x+-展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为 A .40- B .20- C .20 D .40 【答案】D【KS5U 解析】令1x =,得12a +=，所以1a =，所以55111()(2)()(2)ax x x x x x x x+-=+-，51(2)x x-的展开通项为：()()5552551212rrr r r r r C x C x x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，由521,2,52r r r r -==-==得由得所以51(2)x x-展开式中x 项的系数为80，51(2)x x -展开式中1x -项的系数为-40，所以511()(2)x x x x+-的展开式中常数项为80-40=40。
甘肃省兰州一中2013届高三数学考前冲刺模拟测试试题(二)理 新人教A版
甘肃兰州一中2013届高三考前冲刺模拟测试（二）数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间120分钟，请将答案填在答题卡上。
第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并确认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，在试卷上答案无效。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集{1,2,3,4,5},{2,4}UU M N MN ===，则N=A ． {1，4，5}B ．{1，3，5}C ．{1，2，3}D ．{2，3，4}2． 已知复数z 满足2(3)(1i z i i+=+为虚数单位），则复数z 所对应的点所在象限为 （ ）A ．第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ．第四象限3．F 1、F 2是两个定点，122F F =，动点P 满足128PF PF +=，则动点P 的轨迹是A ． 随圆B ．圆C ．直线D ．线段4．已知点P 在曲线41x y e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是A ． 0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ． ,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．3,4ππ⎛⎤⎥⎝⎦5．若212sin ,cos x a xdx b xdx ==⎰⎰，则a 与b 的关系是A ．a b <B ．a b >C ．a b =D ． 0a b +=6．某校安排5个班到3个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法有 A ．150种 B ．300种 C ．60种 D ．90种7．设变量x ，y 满足10,020,015,x y x y y -≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩则23x y +的最大值为A ． 20B ． 35C ． 45D ． 558．设定义在区间(0,)2π上的函数y=6cosx 的图象与y=5tanx 的图象交于点P ，过点P 作x轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y=sinx 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为A ．13B ．23C ．43D ． 29．若某多面体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此多面体的体积是 A ．316cmB ． 312cmC ．313cmD ．323cm10．已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B ，为两切点，那么PA ·PB 的最小值为A ． 42-．32-． 322-+D ． 422-+11．已知F 1，F 2，为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，满足212PF F F =，直线PF 1与圆222x y a +=相切，则双曲线的离心率为A ．35B 5C ．13D ．5212．已知三棱锥D —ABC 的项点都在球 O 的球面上，∠AC=90°AB=6，AC=8，平面DAB ⊥面ABC ，DA=DB ，∠DB=120°则球O 的表面积是A ．2083πB ．76πC ．100πD ． 112π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案在答题卡上，答在试卷上的答案无效。
甘肃省兰州一中2013届高三9月月考数学(理)试题
甘肃省兰州一中2013届高三9月月考数学（理）试题参考公式一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}2,3,4A =，{}2,5B =，则)(A C B U =（ ）A .{}5B . {}125，，C . {}12345，，，，D .∅2. 已知随机变量 2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ ） A ．0.16B ．0.32C ．0.68D . 0.843．9名乒乓球运动员，男5名，女4名，现要从中选出2名男队员、2名女队员进行混合双打比赛，不同的配对方法共有（ ） A ．60种B ．84种C ．120种D ．240种4. ”“22≤≤-a 是“实系数一元二次方程012=++ax x 有虚根”的（ ） A .必要不充分条件 B .充分不必要条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 5．若 B (2, p )，且49D η=，则(01)P η≤≤=（ ） A ． 59 B ． 49 C ．5499或 D ．5899或6．给出下列结论：在回归分析中可用（1）可用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好； （2）可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好； （3）可用相关系数r 的值判断模型的拟合效果，r 越大，模型的拟合效果越好； （4）可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高． 以上结论中，正确的是（ ）A ．（1）（3）（4）B ．（1）（4）C ．（2）（3）（4）D ．（1）（2）（3）7. 已知命题p : m ∈R,sin m =，命题01,:2>++∈∀mx x R x q 恒成立.若q p ∧为假命题，则实数m 的取值范围为（ ）A .2≥mB .2-≤mC .22≥-≤m m 或D .22≤≤-m8． 5()a x x+（x R ∈）展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于（ ）A ．-1B ．12C ． 1D ． 2 9．已知函数⎩⎨⎧≥+-<=)0(4)3()0()(x a x a x a x f x 满足对任意21x x ≠，都有0)]()()[(2121<--x f x f x x 成立，则a 的取值范围为（ ）A . ]41,0(B . (0,1)C . )1,41[ D . (0,3) 10．若函数m y x +=-|1|)21(的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是（ ）A ．1m ≤-B ．10m -≤<C ．1m ≥D ．01m <≤11.若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin 5c =，则（ ） A ．a >b>cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．b >c >a12．若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．)1,41[B ． ),49(+∞C ．)1,43[ D ．)49,1( 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效. 二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．计算:021231)12()972()71()027.0(--+----= .14. 在求两个变量x 和y 的线性回归方程过程中, 计算得51i i x =∑=25, 51ii y=∑=250,521ii x=∑=145,51i ii x y=∑=1380, 则该回归方程是 .15. 设定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +3)=-f (1-x )，若f (3)=2，则f (2013) = .·3·16. 关于函数)0(||1lg)(2≠+=x x x x f ，有下列命题： ①其图象关于y 轴对称；②当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )是减函数； ③f (x )的最小值是lg2；④f (x )在区间（－1，0）、（2,+∞）上是增函数； ⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）某班主任对班级22名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：在喜欢玩电脑游戏的12中，有10人认为作业多，2人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有3人认为作业多，7人认为作业不多. （1）根据以上数据建立一个22⨯列联表；（2）试问喜欢电脑游戏与认为作业多少是否有关系？ 18．（本小题满分12分）已知，如图，AB 是⊙O 的直径，G 为AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AB 的垂线，交直线AC 于点E ，交AD 于点F ，过G 作⊙O 的切线，切点为H .求证： (1)C ，D ，F ，E 四点共圆； (2)GH 2＝GE ·GF .19.（本小题满分12分）已知集合A ={x ∣x 2-3(a +1)x +2(3a +1)<0},B =2<0(1)2x -a x x -a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭, （1）当a =2时，求A ∩B ；（2）求使B A 的实数a 的取值范围. 20．(本小题满分12分)袋中装有35个球，每个球上都标有1到35的一个号码，设号码为n 的球重15522+-n n 克，这些球等可能地从袋中被取出.(1)如果任取1球，试求其重量大于号码数的概率；(2)如果不放回任意取出2球，试求它们重量相等的概率；(3)如果取出一球，当它的重量大于号码数，则放回，搅拌均匀后重取；当它的重量小于号码数时，则停止取球.按照以上规则，最多取球3次，设停止之前取球次数为ξ，求E ξ.21. (本小题满分12分)函数f (x )=log a (x 2－4ax +3a 2), 0<a <1, 当x ∈[a +2,a +3]时，恒有|f (x )|≤1，试确定a 的取值范围.22．（本小题满分12分）已知,],0(,ln 2)(2e x x ax x f ∈-=其中e 是自然对数的底 . (1)若)(x f 在1=x 处取得极值，求a 的值； (2)求)(x f 的单调区间； (3)设a xx g e a ln 5)(,1+-=>，存在],0(,21e x x ∈，使得9|)()(|21<-x g x f 成立，求a 的取值范围.兰州一中2012-2013学年高三第一次月考数学试卷参考答案（理科）三、解答题（共6小题，共70分）17．（本小题满分10分）解：（1）根据题中所给数据，得到如下列联表：…………4分（2）2222(10732)6.4181210139k⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，5.024<6.418<6.635 …………8分∴有97.5%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关. …………10分18．（本小题满分12分）证明：(1)连接CB，∵∠ACB＝90°，AG⊥FG，又∵∠EAG＝∠BAC，∴∠ABC＝∠AEG.∵∠ADC＝180°－∠ABC＝180°－∠AEG＝∠CEF，∴∠ADC＋∠FDC＝∠CEF＋∠FDC＝180°，∴C，D，F，E四点共圆．…………6分(2)由C，D，F，E四点共圆，知∠GCE＝∠AFE，∠GEC＝∠GDF，∴△GCE∽△GFD，故GCGF＝GEGD，即GC·GD＝G E·GF.·5·∵GH 为圆的切线，GCD 为割线，∴GH 2＝GC ·GD ，∴GH 2＝GE ·GF . …………12分20．(本小题满分12分)解：（1）由15522+-n n >n 可得212300,n n -+>……………………1分66n n ><所以由于35,,13,12,11,10,9,3,2,1,*⋅⋅⋅∈可取所以n N n 共30个数，…………3分 故7635301==P ， ……………………4分 （2）因为是不放回任意取出2球，故这是编号不相同的两个球，设它们的编号分别为12,n n 和由222121515515,22n n n n -+=-+ 2212125(),2n n n n -=-得 ………5分 12n n ≠因为 所以1210,n n +=·7·19283746从而满足条件的球有（，），（，），（，），（，）…………7分 故概率为59542=P …………………………………8分 （3）1(1)7P ξ==(2)P ξ=＝6167749⨯=；(3)P ξ=＝66367749⨯=；∴E ξ.=11636127⨯+2⨯+3⨯=7494949. ……………………12分22．（本小题满分12分）解： (Ⅰ) 2222()2ax f x ax x x-'=-=.由已知(1)220f a '=-=, 解得1a =. 经检验, 1a =符合题意. ………… 3分 (Ⅱ) 2222()2ax f x ax x x-'=-=.1) 当0a ≤时，()0,()f x f x '<∴在(0,]e 上是减函数.2)当0a >时，2()()()a x x a a f x x'=.① e <，即21a e>，则()f x 在(0,上是减函数，在,]e 上是增函数；② e ≥ ，即210a e <≤，则()f x 在(0,]e 上是减函数. 综上所述，当21a e ≤时，()f x 的减区间是(0,]e ，当21a e >时，()f x 的减区间是(0,，增区间是,]e . ……… 7分。
甘肃省高三数学第一次诊断考试试题 理(含解析)新人教A版
甘肃省2013年第一次高考诊断测试数学（理）试题注意事项：1．本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．2．回答第1卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．i 是虚数单位，复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭A ．-3－4iB ．-3 +4iC ．3－4iD ．3+4i【答案】A【解析】()()()22234338634121i i i i i i i i i i i --⋅--⎛⎫====-- ⎪+⋅⎝⎭+。
2．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f （x ）=2x 2－x ，则f （1）=A ．3B ．-1C ．1D ．-3 【答案】D【解析】因为当x ≤0时，f （x ）=2x 2－x ，所以()13f -=，又因为f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以()13f =-。
3．某程序框图如图所示，若输出的S =57，则判断框内为 A ．k>4？ B ．k>5? C ．k>6？ D ．k>7？ 【答案】A【解析】第一次循环：12,24k k S S k =+==+=，此时应不满足条件，再次循环；第二次循环：13,211k k S S k =+==+=，此时应不满足条件，再次循环；第三次循环：14,226k k S S k =+==+=，此时应不满足条件，再次循环；第四次循环：15,257k k S S k =+==+=，此时应满足条件结束循环，输出S 的值为57，所以判断框里的条件应该是k>4？。
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2013年兰州一中高考三模参考答案数学理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分．13. 40 14. 2y = 15. -2 16. 45 三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 17. （本题满分12分）解：（Ⅰ）22222233,cos 224a b c a b c ab C ab +-+-=∴== ()21cos 1cos 7,sin 2228A B A B C A B C π-++++=-∴=== …………６分（Ⅱ）ab ，b a ，c ab c b a 2342,2322222=-+∴==-+且 又2232,24,82a b ab ab ab ab +≥∴≥-∴≤3cos ,sin 44C C =∴===,7s i n 21≤=∴∆C ab S ABC 当且仅当22==b a 时，△ABC 面积取最大值，最大值为7. …………12分 18.（本小题满分12分）解：（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有100.2540÷=人所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯=………………3分(II ) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=……7分（Ⅲ）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，202621015(16)45C P C ξ===， 116221012(17)45C C P C ξ=== 11262222101013(18)45C C C P C C ξ==+=， 11222104(19)45C C P C ξ=== 222101(20)45C P C ξ===所以ξ的分布列为所以161718192045454545455E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以ξ的数学期望为865.………………12分19. (本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为11ABB A 是矩形，D 为1AA 中点，1AB =，1AA =2AD =, 所以在直角三角形1ABB 中,11tan 2AB AB B BB ∠==, 在直角三角形ABD 中,1tan 2AD ABD AB ∠==, 所以1AB B ∠=ABD ∠,又1190BAB AB B ∠+∠= ， 190BAB ABD ∠+∠=， 所以在直角三角形ABO 中，故90BOA ∠=，即1BD AB ⊥， ………………………4分 又因为11CO ABB A ⊥侧面，111AB ABB A ⊂侧面, 所以1CO AB ⊥所以，1AB BCD ⊥面,BC BCD ⊂面, 故1BC AB ⊥…………………………6分 （Ⅱ）解法一：如图，由（Ⅰ）可知，,,OA OB OC 两两垂直，分别以,,OA OB OC 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -. 在Rt ∆ABD中，可求得OB =OD =,OC OA ==，在Rt ∆ABB 1中，可求得1OB =，故0,,06D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,0,3B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,0,0,3C ⎛ ⎝⎭,13B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以BD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,BC ⎛= ⎝⎭,1BB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭可得，11BC BC BB ⎛=+= ⎝⎭……………………………8分 设平面1BDC 的法向量为(),,x y z =m ，则 10,0BD BC ⋅=⋅=m m ，即03330x y z y ⎧-++=⎪⎪=， 取1,0,2x y z ===，则()1,0,2=m ，…10分 又BCD 面()1,0,0=n ，故cos ,==m n ，所以，二面角1C BD C --…………………………………12分 解法二：连接1CB 交1C B 于E ,连接OE ，因为11CO ABB A ⊥侧面，所以BD OC ⊥，又1BD AB ⊥， 所以1BD COB ⊥面，故BD OE ⊥所以EOC ∠为二面角1C BD C --的平面角 ……………………8分BD =，1AB =，1112AD AO BB OB ==，1123OB AB ==1133OC OA AB ===， 在Rt ∆COB 1中，13B C === ， …………10分 又EOC OCE ∠=∠1c o sOC EOC CB ∠== 故二面角1C BD C --的余弦值为. …………12分 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，直线AB 的斜率存在，设其方程为(1)y k x =+．将其代入22143x y +=， 整理得 2222(43)84120k x k x k +++-=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 所以 2122843k x x k -+=+．…………4分 故点G 的横坐标为21224243x x k k +-=+． 依题意，得2241434k k -=-+，解得 12k =±． ………………6分 （Ⅱ）解：假设存在直线AB ，使得 12S S =，显然直线AB 不能与,x y 轴垂直．由（Ⅰ）可得 22243(,)4343k kG k k -++．因为 DG AB ⊥，所以 2223431443Dk k k kx k +⨯=---+， 解得 2243D k x k -=+， 即 22(,0)43k D k -+． 因为 △GFD ∽△OED ，所以 12||||S S GD OD =⇔=． 所以2243k k -=+， 整理得 2890k +=． 因为此方程无解，所以不存在直线AB ，使得 12S S =． …………12分 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题21[ln(1)]10,()0,x x x f x x+++'>=-< 故()f x 在区间(0,)+∞上是减函数; …………3分 （Ⅱ）当0x >时，()1kf x x >+恒成立， 即1[1ln(1)]x k x x+<++在(0,)+∞上恒成立， 取1()[1ln(1)]x h x x x +=++，则′()21ln(1)(x x h x x--+=，…………………5分 再取()1ln(1),g x x x =--+则1()10,11xg x x x '=-=>++故()g x 在(0,)+∞上单调递增，而(1)ln 20,(2)1ln 30,(3)22ln 20g g g =-<=-<=->， 故()0g x =在(0,)+∞上存在唯一实数根(2,3),1ln(1)0a a a ∈--+=， 故(0,)x a ∈时，()0;(,)g x x a <∈+∞时，()0,g x > 故[]min 1()1ln(1)1(3,4),3,a h x a a k a +=++=+∈≤故max 3k =…………………7分（Ⅲ）由（Ⅱ）知：1ln(1)3333(0)ln(1)122111x x x x x x x x x++>>⇒+>-=->-+++令311(1),ln[1(1)]223()(1)1x n n n n n n n n =+++>-=--++，又ln[(112)(123)(134)(1(1))]n n +⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++ln(112)ln(123)ln(1(1))n n =+⨯++⨯+++⨯+ 1111123[(1)()()]2231n n n >--+-++-+1323(1)232311n n n n n =--=-+>-++ 即：23(112)(123)(134)(1(1))n n n e -+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++> ………………12分22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 （I ）∵EC EF DE ⋅=2，∴C EDF ∠=∠，又∵C P ∠=∠，∴P EDF ∠=∠， ∴EDF ∆∽PAE ∆ ∴EP EF ED EA ⋅=⋅ 又∵EB CE ED EA ⋅=⋅，∴EP EF EB CE ⋅=⋅ ………………5分 （II ）29=CE ，3=BE ，415=BP PA 是⊙O 的切线，PC PB PA ⋅=2，4315=PA ………………10分 23. (本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程解：(Ⅰ)由)4πρθ=+得：ρ=cos θ+sin θ两边同乘以ρ得：ρ2=ρcos θ+ρsin θ ∴x 2+y 2-x -y =0 即(x -12)2+(y -12)2=12………………5分 (Ⅱ) 将直线参数方程代入圆C 的方程得: 5t 2-21t +20=0 ∴t 1+t 2=215, t 1t 2=4 ∴∣MN ∣=∣t 1-t 2∣=5………………10分 24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲． 解：(Ⅰ)∵ f (x )=|2x -1|+|2x -3| , f (x )≤5∴有12445x x ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩ 或132225x ⎧≤≤⎪⎨⎪≤⎩或32445x x ⎧>⎪⎨⎪-≤⎩ 解得：11,42x -≤<或13,22x ≤≤或39,24x <≤∴不等式的解集为：{x ∣19,44x -≤≤}. ………………5分(Ⅱ) 若mx f x g +=)(1)(的定义域为R ，则f (x )+m ≠0恒成立，即f (x )+m =0在R 上无解.又f (x )=|2x -1|+|2x -3|≥|2x -1-2x +3|=2， ∴f (x )最小值为2,∴m >-2 ………………10分。