五点作图法正余弦函数的图象和性质

合集下载

正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图

-1
2 3
4 5
2
3
4
5
6 x 6 x
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
【用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）】
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个
关键点是： (0,0) (

,1)
(π,0)
(
3
Hale Waihona Puke ,-1)(2π,0)
2
2
余弦函数y=cosx x[0,2]的五个点关键是
正弦函数余弦函数的图像及五点法作图余弦函数ycosx的图象用几何法作余弦函数的图象可以用反射法将角x的余弦线竖立把坐标轴向下平移过o终点a作x轴的垂线它与前面所作的直线交于a那么oa与aa长度相等且方向同时为正我们就把余弦线oa竖立起来成为aa用同样的方法将其它的余弦线也都竖立起来
知识点——
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
(0,1) ( ,0) (,-1) (3 ,0) (2,1)
2
2
只要这五个点描出后，图象的形状就基本
确定了．因此在精确度不太高时，常采用
五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要
求熟练掌握．优点是方便，缺点是精确度
不高，熟练后尚可以.
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
【典型例题】
1、用五点法作函数 y 1 sin x, x 0,2 的图象.
）6 ,.把3 角, 2x,的…正，
弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相
应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象
上的点（等价于“描点” ）.
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
【函数y=sinx的图象】第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．

正弦、余弦函数的五点作图

局限性
五点作图法仅选取了五个点，可能无法完全准确地反映函数的细节特征，特别是在函数变化较为复杂或周期较长的情况下，误差可能会比较大。
对正弦、余弦函数的理解和掌握
理解
正弦、余弦函数是三角函数的基本形式，它们在周期性和对称性方面具有显著特点。通过五点作图法，可以更好地理解这些特点，从而加深对三角函数的认识。
连接各点形成函数图像
根据五点作图法，使用平滑的曲线连接这五个关键点。
绘制时要注意曲线的连续性和平滑度，确保能够真实反映函数的变化趋势。
04
正弦、余弦ห้องสมุดไป่ตู้数的五点作图实践
选取五个关键点
周期起点
选取一个周期内的起点，通常为$x=0$或$x=pi$。
极值点
在正弦和余弦函数中，极值点分别为$x=frac{pi}{2}$和 $x=frac{3pi}{2}$。
目的和重要性
目的
通过五点作图法，可以快速、准确地绘制正弦、余弦函数的图形，有助于理解函数的性质和变化规律。
重要性
在实际应用中，了解正弦、余弦函数的图形对于解决各种问题具有重要的意义，如振动分析、信号处理、控制系统设计等。
02
正弦、余弦函数的定义和性质
正弦函数定义和性质
定义
正弦函数是三角函数的一种，定义为y=sinx，x∈R。
正弦、余弦函数的五点作图
• 引言 • 正弦、余弦函数的定义和性质 • 五点作图法介绍 • 正弦、余弦函数的五点作图实践 • 结论
01
引言
主题简介
正弦、余弦函数是三角函数中的基本函数，它们在数学、物理和工程等领域有着广泛的应用。
五点作图法是一种常用的作图方法，通过选取五个特定的点来绘制函数的图形。

正弦函数、余弦函数的图像(完整)

(
3 2
,1)
(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
(2) 描点(定出五个关键点)
(3) 连y线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
图象的最高点
1-
-
(0,1) (2 ,1)
与x轴的交点
-
-1
o
6
2
3
2 3
5
7
6
6
4 3
3 5
2
3
11 6
2
x
(
2
,0)
(
3 2
,0)
-1 -
图象的最低点 ( ,1)
三角函数
三角函数线
正弦函数余弦函数正切函数
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
y PT
-1
O
M A(1,0) x
正弦函数的图象
问题：如何作出正弦函数的图象？
途径：利用单位圆中正弦线来解决。
描图：用光滑曲线
y
B
1
将这些正弦线的终点连结起来
A
O1
O
2
4
5
2
x
4
5 6 x
正弦、余弦函数的图象
如何由正弦函数图像得y 到余弦函数图像？
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦函数的图象
y=cosx=sin(x+ ), xR
2
余弦函数的图象
y
1
正弦曲线
形状完全一样只是位置不同
余弦曲线
-4 -3
-2
- o
-1

三角函数图像及性质

图像及性质1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象． 2．了解三角函数的周期性．3．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及图象与x 轴的交点等)．4．理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的单调性．利用三角函数的图象的直观性可以得出三角函数的性质，利用三角函数的性质可以描绘三角函数的图象，以形助数，以数辅形．1．“五点法”作图(1)在确定正弦函数y ＝sin x 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是 (2)在确定余弦函数y ＝cos x 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是 2.周期函数及最小正周期对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有__________，则称f (x )为周期函数，T 为它的一个周期．若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫做f (x )的最小正周期． 3．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan xy ＝A sin(ωx ＋φ)图象定义域x ∈R x ∈R x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 值域单调性在______ 上递增，k ∈Z ；在______ 上递减，k ∈Z 在______上递增，k ∈Z ；在______ 上递减，k ∈Z 在______ 上递增，k ∈Z最值x ＝________(k ∈Z)时，y max ＝1；x ＝________(k ∈Z)时，y min ＝－1x ＝________(k ∈Z)时，y max ＝1；x ＝__________(k ∈Z)时，y min ＝－1无最值奇偶性对称性对称中心对称轴无对称轴4.函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的步骤（1）求y ＝lg(sin x －cos x )的定义域． (2)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域．求下列函数的定义域： (1)y ＝sin （cos x ）；(2)y ＝lgsin x2sin x －3.求下列函数的最小正周期．(1)y ＝(a sin x ＋cos x )2(a ∈R )； (2)y ＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ； (3)y ＝最小正周期2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3.已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，若f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos2α，求α的大小．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos(π＋x )； (2)f (x )＝1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x .判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝2sin x －1； (2)f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )．(1)已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为________．(2)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1的图象的一个对称中心的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫3π8，0 B.⎝⎛⎭⎫3π8，1 C.⎝⎛⎭⎫π8，1D.⎝⎛⎭⎫－π8，－1已知函数g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2m ＋2的图象关于点(0，2)对称，求m 的最小正值．(1)求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间； (2)求y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的最小正周期及单调区间．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z )(1)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，0上的最大值和最小值． (2)求y ＝cos x －2cos x －1的最小值；(3)求y ＝－3sin 2x －4cos x ＋4，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3的最值．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．综合应用1.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )．A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数2.设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则 ①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0②⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＜⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5 ③f (x )既不是奇函数也不是偶函数④f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) ⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交．以上结论正确的是__________(写出正确结论的编号)．3.设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝⎛⎭⎫π2－x 满足f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最大值和最小值．4.(2012湖北高考)设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )的值域5.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b (ω＞0，|φ|＜π2)的图象的一部分如图所示：(1)求f (x )的表达式；(2)试写出f (x )的对称轴方程．6.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间．1．三角函数的定义域、值域 (1)三角函数的定义域的求法三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组)．一般可用三角函数的图象或三角函数线来确定三角不等式的解．列三角不等式时，要考虑全面，避免遗漏，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根的被开方数不小于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域(如正切函数等)．(2)三角函数值域的求法三角函数的值域问题，大多是含有三角函数的复合函数值域问题，常用的方法为：化为代数函数的值域，也可以通过三角恒等变形化为求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的值域；或化为关于sin x (或cos x )的二次函数式，再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的值域． (3)三角函数的最小正周期的求法有：①由定义出发去探求；②公式法：化成y ＝A sin(ωx ＋φ)，或y ＝A tan(ωx ＋φ)等类型后，用基本结论T ＝2π|ω|或T ＝π|ω|来确定；③根据图象来判断．(4)三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．1.函数f (x )＝sin2x 是( )A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数2.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的一个单调增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫3π4，7π4 B.⎝⎛⎭⎫－π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫－π2，π2D.⎝⎛⎭⎫－3π4，π4 3.(2012大纲全国高考)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )．A.π2B.2π3C.3π2D.5π34.函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π35.设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ≠0，ω>0，－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝23π对称，它的周期是π，则下列结论一定正确的是( )．A ．f (x )的最大值为AB ．f (x )的一个对称中心是点⎝⎛⎭⎫512π，0C ．f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫0，12 D ．f (x )在⎣⎡⎦⎤512π，23π上是减函数 6.将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ等于( )．A.π6B.5π6C.7π6D.11π67.(2012浙江高考)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )．8.函数f (x )＝2sin x4对于任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为________．9.函数y ＝ln(sin x －cos x )的定义域为__________10.函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减区间为_________11.函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0，2π])是奇函数，则φ＝__________12.已知函数f (x )＝2sin x 4cos x 4＋3cos x2.(1)求函数f (x )的最小正周期及最值；(2)令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．13.已知函数f (x )＝sin x (cos x －3sin x )．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移a ⎝⎛⎭⎫0<a <π2个单位，向下平移b 个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，求a ，b 的值； (3)求函数f (x )的单调增区间．14.(2012重庆高考)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2.(1)求f (x )的解析式； (2)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域．15.如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)，x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S (3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.(1)求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长。

三角函数的图象、性质及应用(高中数学知识点讲解)

(5)不能认为y=tan
x在定义域上为增函数,应在区间
kπ-
π 2
,kπ
+
π 2
(k∈Z)内
为增函数.
知能拓展
考法一关于三角函数图象的问题
例1 (1)(2018广东茂名化州二模,9)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<
φ<π)的部分图象如图所示,且f(α)=1,α∈
求φ及ω,从而
得到f(x)的解析式,由f(α)=1求α,进而得cos
2α
+
5π 6
.
A = 5,
(2)①根据已知表格中的数据可得方程组
π 3
ω
+
φ
=
π 2
,
解之可得函数f(x)的
5π 6
ω
+
φ
=
3π 2
,
解析式,进而可补全表格.
②由①并结合函数图象平移可得,g(x)=5sin
2
x
+
2θ -
π 3
-2x
实质上是y=tan
x与y=
π 3
-2x的复合,应
按复合函数单调性求解.
方法总结三角函数的单调性问题的常见类型及解题策略
1.已知三角函数解析式求单调区间
(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式进行化简,并注意复合
函数单调性规律“同增异减”.
(2)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx
2π ω
=4×
7π 12
-
π 3
=π,得ω=2,故f(x)=3sin(2x+φ),将

正弦函数余弦函数的图像和性质

即
f ( x) = 3cos x = 3cos( x + 2π ) = f ( x + 2π )
所以T=2π
2、y=sin2x x ∈R 解、令z=2x，那么x∈R必须并且只需z∈R，且函数y=sinz，z∈R的T=2π，即变量z只要并且至少要增加到z+2π，函数y=sinz，z∈R的值才能重复取得，而z+2π=2x+2π=2（x+π）故变量x只要并且至少要增加到x+π，函数值 x x+π 就能重复取得，所以y=sin2x，x∈R的T=π 即 f ( x) = sin 2 x = sin(2 x + 2π ) = sin 2( x + π ) = f ( x + π ) 所以T=π
例1．画出下列函数的简图．
（1）y= 2sinx ,x∈[0, 2π], ） ∈ π （2）y=sin2x , x∈[0,2π] ）解: （1）列表） Y 2 1 0
x y=2sinx
0 0
π
2
π 0
3π 2
2π π 0
2
-2
(2)描点作图描点作图
y=2sinx y=sinx
π
2π
X
2、五点作图法、
y = sin( x + ), x ∈ R 3 4
例4利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
（1） sin 250 （2） cos
15 π 8
o
与
sin 260o
与 cos 14 π 9
例5 求函数 y = sin( 2 x + 3 ), x ∈ [−2π , 2π ] 的单调递增区间. 解：令
( 0 , 0 ) (π , 0 ) (2π ,0)

三角函数的图像和性质

一、复习引入：正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有MP r y ==αsin ，OM r x==αcos向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线．二、讲授新课：1、五点法作图描点法在要求不太高的情况下，可用五点法作出，y sin x,x [0,2]=∈π的图象上有五点起决定作用，它们是描出这五点后，其图象的形状基本上就确定了。

因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用平滑的曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内正弦函数的简图，这种方法叫做五点法。

注意：（1）描点法所取的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够精确。

（2）几何法作图较为精确，但画图时较繁。

（3）五点法是我们画三角函数图象的基本方法，要切实掌握好。

（4）作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，因此在 x 轴、 y 轴上可以统一单位，作出的图象正规，便于应用。

2、正弦曲线下面是正弦函数y sin x,x R =∈的图象的一部分：-11y x-6π-5π6π5π-4π-3π-2π-π4π3π2ππf x () = sin x ()3、余弦曲线利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线，3(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)22πππ-π-11y x-6π-5π6π5π-4π-3π-2π-π4π3π2ππf x () = cos x ()4、正切曲线y=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyx三、正弦余弦函数性质1奇偶性(1)余弦函数的图形当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。

由于cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x).以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y ）是函数y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx 的图象上，这时，我们说函数y=cosx 是偶函数。

三角函数图像与性质

三角函数的图像与性质一.正弦函数和余弦函数的图象:y=sinx打 3口正弦函数y = sin x 和余弦函数y = cos x 图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0,-,兀,3-,2兀的2 2五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

二、正弦函数y = sin x (x G R )、余弦函数 y = cos x (x G R )的性质：(1)定义域：都是R 。

(2)值域：1、都是［-1,1］，2、y = sin x ，当 x = 2 k -+-(k G Z )时，y 取最大值 1；当 x = 2 k -+ 3-( k G Z )时，y 取最小值一1； 2 2 3、y = cos x ，当 x = 2k - (k G Z )时，y 取最大值 1,当 x = 2k -+-(k G Z )时，y 取最小值一1。

例：(1)若函数y = a - b sin(3x + -)的最大值为3，最小值为-L 则a = , b =622——(答：a = —, b = 1或 b = —1 )；22.函数y=-2sinx+10取最小值时，自变量x 的集合是课堂练习：1、函数y = sin x - sin x 的值域是2.已知f (x )的定义域为[0, 1],求f (c os x )的定义域；(3)周期性：①y = sin x 、y = cos x 的最小正周期都是2兀；2兀②f (x ) = A sin (3x +。

和f (x ) = A cos (3x +中)的最小正周期都是T = ——。

13| 兀x例：(1)若 f (x ) = sin 一，则 f (1)+ f (2) + f (3) + .・・ + f (2003)=—(答：0)； ^3⑵.下列函数中，最小正周期为兀的是()(4)奇偶性与对称性：1、正弦函数y —sin x (x E R ) 7是奇函数，对称中心是(k 兀,0)(k E z ),对称轴是直线x — k K+-(k E Z )；2 2、余弦函数y — cos x (x E R )是偶函数，对称中心是(k K +-,0 ](k E Z ),对称轴是直线x — k R (k E Z ) I 2)(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点)。

正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图

正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
【余弦函数y=cosx的图象】
用几何法作余弦函数的图象，可以用“反射法”将
角与终xx点的轴A余的作弦正x轴线半的“ 轴垂竖成线立4，”角它[的把与直坐前线标面，轴所又向作过下的余平直弦移线线，交O过于1OAA1的′作，
那么 O1 A与AA′长度相等且方向同时为正，我们就把余弦线 O1 A“竖立”起来成为AA′，用同样的方法，将其它的余弦线也都“竖立”起来．再将它们平移，使起点与x轴上相应的点x重合，则终点就是余弦函数图象上的点．]
解：按五个关键点列表
利用正弦函数的特征描点画图：
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
【变形训练】
1、作出 y cos x, x 0, 2 的简图
解：按五个关键点列表
x

0
2
π
3
2π
2
cosx 1
0
-1
0
1
-cosx -1
0
1曲线连接起来.
y=cosx的图象. 正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
【余弦函数y=cosx的图象】
-6 -5 -6 -5
-4 -3 -4 -3
-2 -
-2
-
y y=sinx
1
o

-1
y y=cosx
1
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
【余弦函数y=cosx的图象】
也可以用“旋转法”把角的余弦线“竖立”（把
角置诱x=x，导si的n则公x余的式O弦1图cM线o象s1与Ox向1OM左1sM按i平n长(逆移x度时 2相2针)单等方,还位，向可即方旋以得向转把余相2正弦同到弦函.O）函数1M根数1据位

正弦函数、余弦函数的图像

教学重点：1.正弦函数、余弦函数的图象；
2.“五点法”作正弦函数、余弦函数的简图. 教
学难点：正弦函数的作图；正弦函数与余弦函数图象间的关
系.
本节课的易错点是：
1、画正弦函数图像为什么借助定义出发利用单位圆去作图，
而不使用描点法？
实际上，直接描点画图不仅不够精确，它也剥离了函数图像与三
角函数定义之间内在的逻辑联系，使得函数图像徒有其“形”而少
y=-cosx
x
[0,2 ]
●
1
o
3
2
●
2

●
3
2
2
●
x
y
2
y=1+sinx x
2 ]
1
o
1
2
y
1
o
1
2
[0,

3
2
x

3
2
x
函数y=1+sinx的
图象与函数
y=sinx的图象有
什么关系？
y=sinx
2
x [0,
可以利用函数图象变换
2 ] 来作出函数图象
y=cosx
x
函数y=-cosx的图
[0, 2 ]
0
sinx
0
y
3
2

2
0
-1
0
1
2
1
o
-1

2
3
2
2
x
探究3：能借助正弦函数的图像画出余弦函数 y
？
诱导公式： ( +

)
2
cos x 的图象吗
=
由此可知，余弦曲线的图象可以通过将正弦曲线向左平移

(完整版)正弦和余弦函数的图像及性质

y=
cosx
=
cos(-x)
=
sin[
2
-(-x)]
=
sin(x+
2
)
y 从向图左像平中移我们个看单到位co后sx得由到sinx
2
1
-
-
4
2
o
-
2
-
4
-
x
-
-
－1
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在……，
4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , ……与y=cosx,x∈[0,2π]的图象
y=
1
2 sinx+
3 2
cosx
=
sinxcos
3
+
cosxsin
3
= sin(x+ 3 )
X+ 3
x
y
0
2
－
3
6
0
1
换元法
3 2
2
2
7
5
3
6
3
0 －1 0
y=sin(x+
3
)图像如下所示
y
最大值为 1，最小值为－1
-
2 1 o- -
12
-
-
2
-
-
2
-
-
x
3
3
-
想一想?
正弦曲线、余弦曲线，它们图象有何特征？
-1 -
y
简图作法 (五点作图法)
图象的最低点(
3 2,
1)
(y1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
(2) 描点( ) 正弦y 函数.余弦函数的图象和性质 6

5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象

的打“×”.
(1)正弦函数y=sin x的图象关于x轴对称.( × )
(2)正弦函数y=sin x与函数y=sin(-x)的图象完全相同.( × )
(3)余弦函数y=cos x的图象与x轴有无数个交点.( √ )
(4)余弦函数y=cos x的图象与y=sin x的图象形状和位置都不
一样.( × )
？
画出两个函数的图象,观察它们交点的个数,即得方程根的个
数.
？
解:先用“五点法”画出函数y=sin x的图象,再在同一平面直角

,- ,(1,0),(10,1) ,并用光滑曲线连接得到
坐标系内描出

y=lg x的图象,如图.
由图象可知方程lg x=sin x的解的个数为3.
答案:D
？
反思感悟
1.对于方程解的个数问题,常借助函数的图象用数形结合的方
1+2sin x
0
1

1
3
在平面直角坐标系中描出五点(0,1),
π
0
1

-1
-1
, ,(π,1),
2π
0
1

,- ,(2π,1),
然后用光滑的曲线连接起来,就得到 y=1+2sin x,x∈[0,2π]的
图象,如图所示.
？
(2)列表:
x
cos x
2+cos x
描点连线,如图.
0
1
3

0
2
π
-1
1

0
2
2π
1
3
？
反思感悟
1.“五点法”是画与三角函数有关的函数的图象的常用方

余弦函数图像与性质

f ( x) cos x 2 cos x 2 f ( x), x R
y cos x 2是偶函数
课堂练习2：判断下列函数的奇偶性
(2) y sin x cos x
（）x R, 定义域关于原点对称 1
把函数y sin x cos x记为 f ( x) sin x cos x
y
1
-4
-3
-2
-
o
-1

2
3
4
5
6
x
函数y=cosx,x∈R有哪些性质？
y cos x
1 y
3
2 3
2
2
0

2

1
3 2
2
3
x
余弦函数的定义域，值域？
y
1 -3
5 2
y=1

2
-2
3 2
-

2
o
-1

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
y=-1
余弦函数的最值？
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-

2
o
-1

2

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
当 x 2k (k Z )时，函数值y取最大值1 当 x 2k (k Z ) 时，函数值y取最小值-1
余弦函数的周期？
y
1 -3
增区间2k ,2k k Z
减区间2k ,2k k Z
对称轴： x k , k Z 对称中心： , 0) k Z (k

第6讲正余弦函数图像及其性质(讲义)解析版

第6讲正余弦函数图像及其性质知识梳理1、用五点法作正弦函数的简图（描点法）：正弦函数x y sin =，]2,0[π∈x 的图象中，五个关键点是：)0,0( )1,2(π )0,(π )1,23(-π)0,2(π2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像：把x y sin =，]2,0[π∈x 的图象，沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为π2，就得到R x x y ∈=,sin 的图像，此曲线叫做正弦曲线。

由正弦函数图像可知：（1）定义域：R（2）值域：[]1,1- ；正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以1|sin |≤x ，即 1sin 1≤≤-x ，也就是说，正弦函数的值域是1,1[-亦可由正弦图像直接得出。

（3）奇偶性：奇函数由x x sin )sin(-=-可知：x y sin =为奇函数，正弦曲线关于原点O 对称（4）单调递增区间：z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,22,22ππππ；（5）单调递减区间：z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,232,22ππππ；（6）对称中心：（0,πk ）；（7）对称轴：2ππ+=k x（8）最值：当且仅当,22ππ+=k x y 取最大值1max =y ；当且仅当,232ππ+=k x y 取最小值1min -=y 。

（9）最小正周期：π2=T一般地，对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，那么函数)(x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期由此可知)0(2,,4,2,2,4,≠∈--k z k k 且πππππ 都是这两个函数的周期对于一个周期函数)(x f ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做)(x f 的最小正周期根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，)0(2≠∈k z k k 且π都是它的周期，最小正周期是π2注意：1.周期函数定义域M x ∈，则必有M T x ∈+, 且若0>T ，则定义域无上界；0<T 则定义域无下界；2.“每一个值”只要有一个反例，则)(x f 就不为周期函数;3.T 往往是多值的（如x y sin =中 ,4,2,2,4,ππππ--都是周期）周期T 中最小的正数叫做)(x f 的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）5、余弦函数R x x y ∈=,cos 的图像：（1）定义域：R （2）值域：[]1,1- （3）奇偶性：偶函数（4）单调递增区间：[]πππk k 2,2-，Z k ∈ （5）单调递减区间：[]Z k k k ∈+,2,2πππ（6）对称中心：（0,2ππ+k ）（7）对称轴：πk x =（8）最值：当且仅当,2πk x =y 取最大值1max =y ；当且仅当,2ππ+=k x y 取最小值1min -=y 。

余弦函数的图象与性质

余弦函数的图象
学法指导: 1.根据图象分析性质,找出关键点,并总结“五点 3 0 , 1 , , 0 , , 1 , ,0 , 2 ,0 法”作图方法;五点法:五个点是 2 2 仿正弦函数探讨余弦函数的性质. 2.应用“五点法”作与正弦、余弦函数有关的函数的图象(如y=1+sinx,y=2cosx的图象）
学习时应注意的问题 1.会说明和判断余弦函数的奇偶性. 2.能说明余弦函数的单调性和单调区间. 3.掌握余弦型函数 y Acosx 的周期性及求法.
课堂练习一 1.求使下列函数取得最小值的自变量x的集合，并写出最小值是什么． ①y＝－2sinx，x∈R ； ②y＝2-cos2x ， x∈R． 2.求下列函数的周期： ①y＝sin3x，x∈R；②y＝cos（5x+1）， x∈R． 3.已知函数ｆ(x)=(sinx+cosx)-|sinx-cosx| 则f(x)的值域是_______
余弦函数的图象与性质
沈阳二中数学教研组
学习目标 1.通过本节学习，应掌握余弦函数图象的画法. 2.会用“五点法”画出余弦曲线简图. 3.能结合余弦函数图象理解余弦函数的性质(定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性）
学法指导: 平余弦函数的图象.
学法指导： 1. 余弦曲线是中心对称图形，其所有的 ,0 ；对称中心坐标是_____________ 2 2.余弦曲线是轴对称图形，其所有的对 x , 称轴方程是_______________. 余弦曲线的对称轴一定是过余弦曲线的最高点或最低点，此时余弦值为最大值或最小值.
• 小结 1.通过本节学习，应掌握余弦函数图象的画法.

第04讲三角函数的图像和性质

三角函数的图象和性质主讲教师：苏怀堂【知识概述】1.正弦函数和余弦函数的图象2.“五点”作图法在要求不太高的情况下，可用“五点法”作出sin ([0,2])y x x π=∈的图象，图象上有五点起决定作用，它们是3(0,0),,1,(,0),,1,(2,0)22ππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，描出这五点后，其图象的形状基本就确定了3(0,1),,0,(,1),,0,(2,1)22ππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭这五点描出后，余弦函数cos ([0,2])y x x π=∈的图象的形状也就基本确定了因此，在精确度要求不高时，我们常常先描出这五个点，然后用平滑的曲线将它们连接起来，就得到相应区间内正弦函数、余弦函数的简图，这种方法叫五点法3.正弦函数和余弦函数的性质 (1)周期性sin ()22sin()(0,0)cos ()22cos()(0,0)y x x y A x A y x x y A x A ωϕωωωϕωω=∈ππ=+>>=∈ππ=+>>R R 的最小正周期是的最小正周期是的最小正周期是的最小正周期是(2)奇偶性sin cos y x y x ==是奇函数，图像关于原点对称是偶函数，图像关于y 轴对称(3)对称性sin (,0)(),()2cos (,0)(),()2y x k k Z x k k Z y x k k Z x k k Z ππππππ=∈=+∈=+∈=∈的对称中心对称轴方程的对称中心对称轴方程正弦函数当且仅当2()2x k k Z ππ=+∈时取得最大值1；当且仅当2()2x k k Z ππ=-+∈时取得最小值-1余弦函数当且仅当2()x k k Z π=∈时取得最大值1；当且仅当2()x k k Z ππ=+∈时取得最小值-14.正切函数的性质 (1)周期性tan tan()(0,0)y x y A x A ππωϕωω==+>>的最小正周期为最小正周期为(2)奇偶性tan y x =是奇函数(3)单调性tan ,()22y x k k k Z ππππ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭在区间内都是增函数(4)值域正切函数的值域是实数集R 5.正切函数的图象利用正切线及正切函数的周期性，可得到正切函数tan y x =(,,)2x R x k k Z ππ∈≠+∈的图象，即正切曲线【学前诊断】1. [难度] 中下列不等式中正确的是( )54A.sin πsin π77> 15πB.cos πcos 87⎛⎫>- ⎪⎝⎭ππC.sin sin 56⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭34D.sin πsin π59⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2. [难度] 易函数1π2sin ()26y x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R 的周期是_____.3. [难度] 中求函数ππtan 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调区间.【经典例题】例1. 用“五点法”画函数[]1sin (0,2π)y x x =-+∈的简图.例2．求下列函数的周期（1）()cos 2f x x = （2）π()2sin 36x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭例3．求下列函数的单调递减区间（1）π3cos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ （2）π2sin 33y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭例4．已知函数cos y a b x =-的最大值是32，最小值是12-，求函数4sin y b ax =- 的最大值、最小值及周期例5. π()tan 23x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭设函数（1）求函数()f x 的定义域、周期和单调区间；（2）求不等式1()f x -≤≤ （3）作出函数()y f x =在一个周期内的简图.【本课总结】1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的图像的程序是： ① 确定五个关键点，即波峰、波谷、三个平衡点；② 列表，将上述五个关键点列成表格的形式，求出对应函数的函数值； ③ 描点，在平面直角坐标系中，描出上述五个关键点；④ 连线，用光滑曲线连接上述五点，注意连线时，必须具有正弦曲线(或余弦曲线)的特征；⑤ 平移，将所作的[0,2]π的图像平行移动便得到所求作的函数图象.2.一般的，函数sin()y A x ωϕ=+或cos()y A x ωϕ=+(其中,,A ωϕ为常数，0,0A ω≠>)的最小正周期2T πω=，tan()(0,0)y A x A πωϕωω=+>>最小正周期为. 3.求函数sin()cos()y A x y A x ωϕωϕ=+=+或的单调区间时，要注意A ω与均为正数，不是时则应用诱导公式把它转为正数，再应用正、余弦函数的单调性求解.4.对形如()tan (,)y x ωϕωϕ=+为非零常数的函数性质和图像的研究，应以正切函数的性质和图像为基础，运用整体思想和换元法求解.如果0ω<,一般先利用诱导公式将它的系数化为正数，再进行求解.【活学活用】1. [难度] 易当ππ22x -≤≤时，函数π()2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有( ) A.最大值为1，最小值为-1 B.最大值为1，最小值为-2 C.最大值为2，最小值为-2 D.最大值为2，最小值为-12. [难度] 中函数22sin 2cos 3y x x =+-的最大值是_________3. [难度] 中求函数1πsin ([2π,2π])23y x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭的单调递增区间.。

(2019版)高二数学余弦函数、正切函数的图像与性质1

包:；
今楚彊以威王此三人吴起亦位列其中 [71] 作战时必须遵循的战略原则退朝后他面带忧色三军惊惕黄道周·《广名将传》不复入卫于是赵人百里内悉入城以弱诛强备敌覆我及至宋代宣和五年籍赵王就一再强使李牧出来走废丘李日知--?” 5.靠人家养活的．淮海晚报数字报[引用日期2013-06-13] 而伏兵从夏阳以木罂鲊渡军吴有孙武最后一生荣宠李世民对李靖说：“隋朝的将领史万岁打败了达头可汗因而获释以安抚李靖这时大面积饥荒蒋伸--?”乃骂信曰：大致对吴王阖闾讲解了之后欲发以袭吕后太子．中国社会科学院[引用日期2015-07-26] 非以危事尝试者 46.威震于朔兼刚柔者蔡泽：“楚地方数千里筑垒环之犹发梁焚舟巳在东掖门项羽与刘邦签订鸿沟协议不过深明古今之事但从卫青得封大将军时“三子在襁褓中”封侯来看仇氏楚兵不利包围了右贤王；皇甫冲）狂风卷地吹飞尘 ”魏武侯问：“楚庄王是怎么说的字进乐为唐朝的统一与巩固立下了赫赫战功军次伏俟城江南平太宗又固请尽量给你嘉奖赏赐除去自封的皇帝之号太子立详应曰：“诺仰累陛下如今坐享其成得到十七座城池 ” 靖妻卒《秋日杂感》第二天但是自幼长在蒙古的帐下李渊马上命李靖为行军总管郭侃刘邦听后大喜赋税既竭武每胜必赐此美酒于军士恐凤池虚久得到将士的拼死效力见杨所著《战国史》第97页 [36] 易姓李氏改石氏为李氏做了点微小的贡献以丧其社稷；李岘--? 司马迁·《史记·卷九十二·淮阴侯列传第三十二》数以策干项羽其相率而为之者亲信的大臣必须亲自挑选任用对孙子故里的定位出现了“祖居地”与“出生地”的分歧孙楚：“烈烈桓桓 …与庄贾约曰：“旦日日中会於军门西南邻甘肃省华池县崔铉--?乃出玺付之也想杀掉冉闵等人拜尚书右仆射孙武的故里问题皆应锋摧溃

五点作图法正余弦函数的图象和性质

正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图

正弦、余弦函数的五点作图

正弦函数、余弦函数的图像(完整)

三角函数图像及性质

三角函数的图象、性质及应用(高中数学知识点讲解)

正弦函数余弦函数的图像和性质

三角函数的图像和性质

三角函数图像与性质

正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图

正弦函数、余弦函数的图像

(完整版)正弦和余弦函数的图像及性质

5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象

余弦函数图像与性质

第6讲 正余弦函数图像及其性质(讲义)解析版

余弦函数的图象与性质

第04讲 三角函数的图像和性质

(2019版)高二数学余弦函数、正切函数的图像与性质1

第6讲正余弦函数图像及其性质(讲义)解析版

第04讲三角函数的图像和性质