反比例函数易错点疑难点

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反比例函数专题知识点归纳常考(典型)题型重难点题型(含详细答案)

反比例函数专题知识点归纳+常考（典型）题型+重难点题型（含详细答案）一、目录一、目录 (1)二、基础知识点 (2)1.知识结构 (2)2.反比例函数的概念 (2)3.反比例函数的图象 (2)4.反比例函数及其图象的性质 (2)5.实际问题与反比例函数 (4)三、常考题型 (6)1.反比例函数的概念 (6)2．图象和性质 (6)3．函数的增减性 (8)4．解析式的确定 (10)5．面积计算 (12)6．综合应用 (17)三、重难点题型 (22)1.反比例函数的性质拓展 (22)2.性质的应用 (23)1.求解析式 (23)2.求图形的面积 (23)3. 比较大小 (24)4. 求代数式的值 (25)5. 求点的坐标 (25)6. 确定取值范围 (26)7. 确定函数的图象的位置 (26)二、基础知识点1.知识结构2.反比例函数的概念（k≠0）可以写成y=x−1（k≠0）的形式，注意自变量x 1．y=kx的指数为－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k≠0这一限制条件；（k≠0）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反2．y=kx比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；的自变量x≠0，故函数图象与x轴、y轴无交点．3．反比例函数y=kx3.反比例函数的图象的图象时，应注意自变量x的取值在用描点法画反比例函数y=kx不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．4.反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：y=k（k≠0）x2．自变量的取值范围：x≠03．图象：（1）图象的形状：双曲线．|k|越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．|k|越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：①与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．②当k＞0时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；③当k＜0时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（－a，－b）在双曲线的另一支上．②图象关于直线y=±x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）和（－b，－a）在双曲线的另一支上．（4）k的几何意义图1上任意一点，作PA⊥x①如图1，设点P（a，b）是双曲线y=kx轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO|k|）．和三角形PBO的面积都是12图2②如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|．（5）说明：①双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．的关系：②直线y=k1x与双曲线y=k2x当k1k2＜0时，两图象没有交点；当k1k2＞0时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．5.实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．三、常考题型1.反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3x B．y－3=2x C．3xy=1 D．y=x2答案：A为正比例函数B为一次函数C变型后为反比例函数D为二次函数（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=14x B．y=−1x2C．y=1x−1D．y=1+1x答案：A为反比例函数，k为14B、C、D都不是反比例函数2．图象和性质（1）已知函数y=（k+1）x k2+k−3是反比例函数。

初中数学反比例函数易错题汇编附解析

初中数学反比例函数易错题汇编附解析一、选择题1．已知反比例函数k y x=的图象分别位于第二、第四象限，()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上，下列命题：①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足，连接OA .若ACO ∆的面积为3，则6k=-；②若120x x <<，则12y y >；③若120x x +=，则120y y +=其中真命题个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数的性质，由题意可得k ＜0，y 1=,,sin cos 22x x x ππ⎡⎤∃∈-≤⎢⎥⎣⎦，y 2=2k x ，然后根据反比例函数k 的几何意义判断①，根据点位于的象限判断②，结合已知条件列式计算判断③，由此即可求得答案.【详解】 ∵反比例函数k y x =的图象分别位于第二、第四象限， ∴k<0，∵()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上，∴y 1=,,sin cos 22x x x ππ⎡⎤∃∈-≤⎢⎥⎣⎦，y 2=2k x ， ∴x 1y 1=k ，x 2y 2=k ，①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足，∴S △AOC =1OC?AC 2=11x ?y k =322=， ∴6k =-，故①正确；②若120x x <<，则点A 在第二象限，点B 在第四象限，所以12y y >，故②正确； ③∵120x x +=， ∴()121212120k x x k k y y x x x x ++=+==，故③正确，故选D.【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.2．ABC ∆的面积为2，边BC 的长为x ，边BC 上的高为y ，则y 与x 的变化规律用图象表示大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】根据三角形面积公式得出y 与x 的函数解析式，根据解析式作出图象进行判断即可．【详解】根据题意得 122xy = ∴4y x=∵00x y >>，∴y 与x 的变化规律用图象表示大致是故答案为：A ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象问题，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．3．下列函数中，当x ＞0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是（）A ．y ＝x 2B ．y ＝xC ．y ＝x+1D ．1y x= 【答案】D【解析】【分析】需根据函数的性质得出函数的增减性，即可求出当x ＞0时，y 随x 的增大而减小的函数．【详解】解：A 、y ＝x 2是二次函数，开口向上，对称轴是y 轴，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，错误；B、y＝x是一次函数k＝1＞0，y随x的增大而增大，错误；C、y＝x+1是一次函数k＝1＞0，y随x的增大而减小，错误；D、1yx是反比例函数，图象无语一三象限，在每个象限y随x的增大而减小，正确；故选D．【点睛】本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．4．如图，点A是反比例函数y＝kx（x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上．已知平行四边形ABCD的面积为8，则k的值为（）A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4【答案】B【解析】【分析】作AE⊥BC于E，由四边形ABCD为平行四边形得AD∥x轴，则可判断四边形ADOE为矩形，所以S平行四边形ABCD=S矩形ADOE，根据反比例函数k的几何意义得到S矩形ADOE=|k|．【详解】解：作AE⊥BC于E，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥x轴，∴四边形ADOE为矩形，∴S平行四边形ABCD=S矩形ADOE，而S矩形ADOE=|k|，∴|k|=8，而k＜0∴k=-8．故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数y=k x （k≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y=k x （k≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．5．已知点()11,A y -、()22,B y -都在双曲线32m y x +=上，且12y y >，则m 的取值范围是（）A ．0m <B ．0m >C ．32m >-D ．32m <- 【答案】D【解析】【分析】根据已知得3+2m ＜0，从而得出m 的取值范围．【详解】∵点()11,A y -、()22,B y -两点在双曲线32m y x+=上，且y 1＞y 2， ∴3+2m ＜0， ∴32m <-，故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，当k ＞0时，该函数图象位于第一、三象限，当k ＜0时，函数图象位于第二、四象限．6．一次函数y=ax+b 与反比例函数a b y x-=，其中ab ＜0，a 、b 为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（） A ． B ．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据一次函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab<0，计算a-b确定符号，确定双曲线的位置．【详解】A. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，满足ab<0，∴a−b>0，∴反比例函数y=a bx-的图象过一、三象限，所以此选项不正确；B. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y轴正半轴，则b>0，满足ab<0，∴a−b<0，∴反比例函数y=a bx-的图象过二、四象限，所以此选项不正确；C. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，满足ab<0，∴a−b>0，∴反比例函数y=a bx-的图象过一、三象限，所以此选项正确；D. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y轴负半轴，则b<0，满足ab>0，与已知相矛盾所以此选项不正确；故选C.【点睛】此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，解题关键在于确定a、b的大小7．函数kyx=与y kx k=-（0k≠）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】分k>0和k<0两种情况确定正确的选项即可.【详解】当k:>0时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交 y轴于负半轴，y 随着x的增大而增大，A选项错误，C选项符合；当k<0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交y轴于正半轴，y 随着x的增大而增减小，B. D均错误，故选：C.【点睛】此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，熟记函数的性质是解题的关键.8．如图，,A B是双曲线kyx=上两点，且,A B两点的横坐标分别是1-和5,ABO-∆的面积为12，则k的值为（）A．3-B．4-C．5-D．6-【答案】C【解析】【分析】分别过点A、B作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，根据S△AOB=S梯形ABED+S△AOD- S△BOE =12，故可得出k的值．【详解】分别过点A、B作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，∵双曲线k y x =的图象的一支在第二象限 ∴k<0， ∵A ，B 两点在双曲线k y x=的图象上，且A ，B 两点横坐标分别为：-1，-5， ∴A （-1，-k ），B （-5， 5k -） ∴S △AOB =S 梯形ABED +S △AOD - S △BOE=1||11||(||)(51)1||525225k k k k ⨯+⨯-+⨯⨯-⨯⨯=12||5k =12，解得，k=-5故选：C ．【点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．9．如图，反比例函数y ＝2x的图象经过矩形OABC 的边AB 的中点D ，则矩形OABC 的面积为（）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】【分析】由反比例函数的系数k 的几何意义可知：2OA AD =g ，然后可求得OA AB g 的值，从而可求得矩形OABC 的面积．【详解】解：Q 反比例函数2y x=， 2OA AD ∴=g ． D Q 是AB 的中点，2AB AD ∴=．∴矩形的面积2224OA AB AD OA ===⨯=g g ．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是反比例函数k 的几何意义，掌握反比例函数系数k 的几何意义是解题的关键．10．下列函数：①y=-x ；②y=2x ；③1y x=-；④y=x 2 ．当x<0时，y 随x 的增大而减小的函数有（）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】B【解析】【分析】分别根据一次函数、反比例函数及二次函数的性质进行逐一判断即可．【详解】一次函数y ＝－x 中k ＜0，∴y 随x 的增大而减小，故本选项正确；∵正比例函数y ＝2x 中，k ＝2，∴当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，故本选项错误； ∵反比例函数1y x-＝中，k ＝－1＜0，∴当x ＜0时函数的图像在第二象限，此时y 随x 的增大而增大，故本选项错误； ∵二次函数y ＝x 2，中a ＝1＞0，∴此抛物线开口向上，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，故本选项正确．故选B ．【点睛】本题考查的是一次函数、反比例函数及二次函数的性质，解题关键是根据题意判断出各函数的增减性．11．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，90ABC ∠=︒，CA x ⊥轴，点C 在函数()0k y x x=>的图象上，若1AB =，则k 的值为（）A ．1B ．22C 2D ．2【答案】A【解析】【分析】根据题意可以求得 OA 和 AC 的长，从而可以求得点 C 的坐标，进而求得 k 的值，本题得以解决．【详解】Q 等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，90ABC ∠=︒，CA ⊥x 轴，1AB =，45BAC BAO ︒∴∠=∠=，22OA OB ∴==，2AC =， ∴点C 的坐标为222⎛ ⎝，Q 点C 在函数()0k y x x=>的图象上， 2212k ∴==，故选：A ．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．12．如图，若点M 是x 轴正半轴上任意一点，过点M 作PQ ∥y 轴，分别交函数1(0)k y x x =>和2(0)k y x x=>的图象于点P 和Q ，连接OP 和OQ ．则下列结论正确的是（）A ．∠POQ 不可能等于90°B ．12PM QM k k =C ．这两个函数的图象一定关于x 轴对称D ．△POQ 的面积是()1212k k + 【答案】D【解析】【分析】【详解】解：根据反比例函数的性质逐一作出判断： A ．∵当PM=MO=MQ 时，∠POQ=90°，故此选项错误；B ．根据反比例函数的性质，由图形可得：1k ＞0，2k ＜0，而PM ，QM 为线段一定为正值，故12PM QM k k =，故此选项错误； C ．根据1k ，2k 的值不确定，得出这两个函数的图象不一定关于x 轴对称，故此选项错误；D ．∵|1k |=PM•MO ，|2k |=MQ•MO ，∴△POQ 的面积=12MO•PQ=12MO （PM+MQ ）=12MO•PM+12MO•MQ=()1212k k +．故此选项正确．故选D ．13．如图，Rt △AOB 中，∠AOB=90°，AO=3BO ，OB 在x 轴上，将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转至△RtA'OB'，其中点B'落在反比例函数y=﹣2x 的图象上，OA'交反比例函数y=k x 的图象于点C ，且OC=2CA'，则k 的值为（）A ．4B ．72C ．8D ．7【答案】C【解析】【详解】解：设将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转至Rt △A'OB'的旋转角为α，OB=a ，则OA=3a ，由题意可得，点B′的坐标为（acosα，﹣asinα），点C 的坐标为（2asinα，2acosα）， ∵点B'在反比例函数y=﹣2x 的图象上， ∴﹣asinα=﹣2acos α，得a 2sinαcosα=2，又∵点C 在反比例函数y=k x 的图象上， ∴2acos α=k 2asin α，得k=4a 2sinαcosα=8. 故选C.【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题，解此题的关键在于先设旋转角为α，利用旋转的性质和三角函数设出点B'与点C 的坐标，再通过反比例函数的性质求解即可.14．如图所示，已知()121,,2,2A y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为反比例函数1y x =图象上的两点，动点(),0P x 在x 轴正半轴上运动，当AP BP -的值最大时，连结OA ，AOP ∆的面积是（）A．12B．1 C．32D．52【答案】D【解析】【分析】先根据反比例函数解析式求出A，B的坐标，然后连接AB并延长AB交x轴于点P'，当P 在P'位置时，PA PB AB-=,即此时AP BP-的值最大，利用待定系数法求出直线AB的解析式，从而求出P'的坐标，进而利用面积公式求面积即可．【详解】当12x=时，2y=，当2x=时，12y=，∴11(,2),(2,)22A B．连接AB并延长AB交x轴于点P'，当P在P'位置时，PA PB AB-=,即此时AP BP-的值最大．设直线AB的解析式为y kx b=+，将11(,2),(2,)22A B代入解析式中得122122k bk b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得152kb=-⎧⎪⎨=⎪⎩，∴直线AB解析式为52y x=-+．当0y=时，52x=，即5(,0)2P'，115522222AOP AS OP y'∴=⋅=⨯⨯=V．故选：D．【点睛】本题主要考查一次函数与几何综合，掌握待定系数法以及找到AP BP-何时取最大值是解题的关键．15．如图，点A，B是双曲线18yx=图象上的两点，连接AB，线段AB经过点O，点C为双曲线kyx=在第二象限的分支上一点，当ABCV满足AC BC=且:13:24AC AB=时，k的值为（）．A．2516-B．258-C．254-D．25-【答案】B【解析】【分析】如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．首先证明△CFO∽△OEA，推出2()COFAOES OCS OA∆∆=，因为CA：AB＝13：24，AO＝OB，推出CA：OA＝13：12，推出CO：OA＝5：12，可得出2()COFAOES OCS OA∆∆=＝25144，因为S△AOE＝9，可得S△COF＝2516，再根据反比例函数的几何意义即可解决问题．【详解】解：如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．∵A、B关于原点对称，∴OA＝OB，∵AC＝BC，OA＝OB，∴OC⊥AB，∴∠CFO＝∠COA＝∠AEO＝90°，∴∠COF ＋∠AOE ＝90°，∠AOE ＋∠EAO ＝90°，∴∠COF ＝∠OAE ，∴△CFO ∽△OEA ， ∴2()COF AOE S OC S OA∆∆=， ∵CA ：AB ＝13：24，AO ＝OB ，∴CA ：OA ＝13：12，∴CO ：OA ＝5：12， ∴2()COF AOE S OC S OA ∆∆=＝25144， ∵S △AOE ＝9，∴S △COF ＝2516， ∴||25216k =， ∵k ＜0， ∴258k =- 故选：B ．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的特征、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．16．点（2，﹣4）在反比例函数y=k x 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（） A ．（2，4）B ．（﹣1，﹣8）C ．（﹣2，﹣4）D ．（4，﹣2）【答案】D【解析】【详解】∵点（2，-4）在反比例函数y=k x 的图象上， ∴k =2×（-4）=-8．∵A 中2×4=8；B 中-1×（-8）=8；C 中-2×（-4）=8；D 中4×（-2）=-8，∴点（4，-2）在反比例函数y=k x的图象上．故选D ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出反比例系数k ，解决该题型题目时，结合点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k 值是关键．17．如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB ＝90°，△AOB 的两边分别与函数12,y y x x=-=的图象交于B 、A 两点，则等于（）A 2B ．12C ．14D 3【答案】A【解析】【分析】过点A,B 作AC ⊥x 轴,BD ⊥x 轴,垂足分别为C,D.根据条件得到△ACO ∽△ODB.根据反比例函数比例系数k 的几何意义得出2()S OBD OB S AOC OA ∆=∆＝121＝12利用相似三角形面积比等于相似比的平方得出2OB OA =【详解】 ∵∠AOB ＝90°，∴∠AOC +∠BOD ＝∠AOC +∠CAO ＝90°，∠CAO ＝∠BOD ，∴△ACO ∽△BDO ，∴2()S OBD OB S AOC OA∆=∆ , ∵S △AOC ＝12 ×2＝1，S △BOD ＝12×1＝12， ∴2()OB OA ＝121＝12 ， ∴2OB OA = 故选A ．【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和相似三角形的判定与性质，解题关键在于做辅助线，然后得到相似三角形再进行求解18．已知反比例函数y＝﹣2x的图象上有三个点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1＞x2＞0＞x3，则下列关系是正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1【答案】B【解析】【分析】根据函数的解析式得出图象所在的象限和增减性，再进行比较即可．【详解】解：∵反比例函数y＝﹣2x，∴函数图象在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，∵函数的图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2）、（x3，y3），且x1＞x2＞0＞x3，∴y2＜y1＜0，y3＞0∴. y2＜y1＜y3故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和函数的图象和性质，能灵活运用函数的图象和性质进行推理是解此题的关键．19．如图，直线y＝k和双曲线y＝kx相交于点P，过点P作PA0垂直于x轴，垂足为A0，x轴上的点A0，A1，A2，…A n的横坐标是连续整数，过点A1，A2，…A n：分别作x轴的垂线，与双曲线y＝kx（k＞0）及直线y＝k分别交于点B1，B2，…B n和点C1，C2，…C n，则n nn nA BC B的值为（）A ．11n +B ．11n -C ．1nD ．11n- 【答案】C【解析】【分析】由x 轴上的点A 0，A 1，A 2，…，A n 的横坐标是连续整数，则得到点An （n +1，0），再分别表示出∁n （n +1，k ），B n （n +1，k n 1+），根据坐标与图形性质计算出A n B n ＝k n 1+，B n ∁n ＝k ﹣k n 1+，然后计算n n n nA B B C ．【详解】∵x 轴上的点A 0，A 1，A 2，…，A n 的横坐标是连续整数，∴An （n +1，0），∵∁n A n ⊥x 轴，∴∁n （n +1，k ），B n （n +1，k n 1+）， ∴A n B n ＝k n 1+，B n ∁n ＝k ﹣k n 1+， ∴n n n n A B B C ＝11k n k k n +-+＝1n ．故选：C ．【点睛】考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是抓住了反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．20．对于反比例函数2y x=-，下列说法不正确的是( ) A ．图象分布在第二、四象限B ．当0x >时，y 随x 的增大而增大C ．图象经过点（1,-2）D ．若点()11,A x y ，()22,B x y 都在图象上，且12x x <，则12y y <【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A. k=−2<0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；B. k=−2<0，当x>0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；C.∵221-=-,∴点(1,−2)在它的图象上，故本选项正确；D. 若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，,若x1<0< x2,则y2<y1，故本选项错误.故选:D.【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键.。

反比例函数易错点

反比例函数易错点一、反比例函数的定义反比例函数是指形如y=k/x（k≠0）的函数，其中x≠0。

二、易错点1：定义域和值域1. 定义域：反比例函数的定义域是所有不为0的实数，即D={x|x≠0}。

2. 值域：当x趋近于正无穷大或负无穷大时，y趋近于0。

因此，值域为所有不等于0的实数集合R*。

三、易错点2：图像特征1. 对称轴：反比例函数的对称轴为y=x。

2. 渐近线：当x趋近于正无穷大或负无穷大时，y趋近于0。

因此，反比例函数有两条渐近线，分别为x轴和y轴。

四、易错点3：变形公式1. y=k/x+b（k≠0）：在原来的反比例函数上平移b个单位。

2. y=k/(x-h)（k≠0）：在原来的反比例函数上左右平移h个单位。

3. y=-k/x（k≠0）：将原来的反比例函数关于y轴翻转。

五、易错点4：应用题1. 求解问题时需要注意题目中给出的条件，并根据条件列出方程式。

2. 在解方程式时需要注意分母不能为0，若分母为0则无解。

3. 在求解过程中需要注意单位的转换，例如长度、面积、体积等。

六、完整函数：/*** 反比例函数易错点* @param {number} k - 比例系数* @param {number} x - 自变量* @returns {number} y - 函数值*/function inverseProportion(k, x) {if (x === 0) {throw new Error(''定义域为所有不为0的实数'');}const y = k / x;return y;}/*** 变形公式：y=k/x+b（k≠0）* @param {number} k - 比例系数* @param {number} x - 自变量* @param {number} b - 平移量* @returns {number} y - 函数值*/function inverseProportionWithB(k, x, b) {if (x === 0) {throw new Error(''定义域为所有不为0的实数''); }const y = k / x + b;return y;}/*** 变形公式：y=k/(x-h)（k≠0）* @param {number} k - 比例系数* @param {number} x - 自变量* @param {number} h - 平移量* @returns {number} y - 函数值*/function inverseProportionWithH(k, x, h) {if (x === h || x === 0) {throw new Error(''定义域为所有不为0的实数，且x≠h''); }const y = k / (x - h);return y;}/*** 变形公式：y=-k/x（k≠0）* @param {number} k - 比例系数* @param {number} x - 自变量* @returns {number} y - 函数值*/function inverseProportionNegative(k, x) {if (x === 0) {throw new Error(''定义域为所有不为0的实数'');}const y = -k / x;return y;}/*** 应用题：已知反比例函数y=k/x，当x=2时，y=3，求k。

反比例易错点分析

反比例函数易错点分析（一）易错点一：在反比例函数xky =（0≠k ）中，忽略0≠k 这一条件例1、已知函数()221--=m x m y 是反比例函数，求该函数的解析式。

例2、已知函数521m -+=m xy 是反比例函数，求该函数的解析式易错点二：用待定系数法求函数解析式例1．已知函数212y y y +=，1y 与1-x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当1x =时，4y =；当2x =时，5y =．（1）求y 与x 的函数关系式;（2）当4x =时，求y 的值．例2．已知函数21y y y -=，1y 与11-x 成正比例，2y 与x -2成反比例，且当43==y x 时，；当106==y x 时，．（1）求y 与x 的函数关系式;（2）当5=x 时，求y 的值．易错点三：在运用面积求K 的值例1．如图，反比例函数图象上一点A ，过A 作AB ⊥x 轴于B ，若S △AOB =3，求该函数的解析式。

例2．A 是函数y=xk图像上任意一点，过A 作x 轴垂线，垂足为B ，连接OA ，若AB O ∆的面积为4,求该函数的解析式。

例3．函数x y -=与4y x=-的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为C ，画出这两个函数的图像并求出△BOC 的面积．易错点综合例．如图，Rt △ABO 的顶点A 是双曲线ky x=与直线()1y x k =--+在第二象限的交点，AB ⊥x 轴于B 且S △ABO =32. （1）求这两个函数的解析式;（2）若OB=1，OA=OC 求直线与双曲线的两个交点A ，C 的坐标和△AOCO P Q xy 图4【随堂练习】1.如图1,点P 是x 轴上的一个动点,过点P 作x 轴的垂线PQ 交双曲线于点Q,连结OQ, 当点P 沿x 轴正半方向运动时,Rt △QOP 面积( )A.逐渐增大B.逐渐减小C.保持不变D.无法确定 2.如图2，点A 是xy 4=图象上一点，AB ⊥y 轴于点B ，则△AOB 的面积是（） A.1 B.2 C.3 D.4图13.如图3所示的函数图象的解析式可能是（）Ａ．x y = Ｂ．x y 1=Ｃ．xy 1= Ｄ．2x y = 4．如图4所示，A 、C 是函数y=1x的图象上的任意两点，过A 点作AB ⊥x 轴于点B ，过C •点作CD ⊥y 轴于点D ，记△AOB 的面积为S 1，△COD 的面积为S 2，则（） A ．S 1>S 2 B ．S 1<S 2 C ．S 1=S 2 D ．无法确定 5．若函数y=（m+2）x |m|-3是反比例函数，则m 的值是（） A ．2 B ．-2 C ．±2 D ．3 6.若函数mxm y 1+=为反比例函数，则m=7.若反比例函数22)12(-+=kx k y 在每个象限内y 随x 的增大而增大，则k=8．已知y ＝y 1－y 2，y 1y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝－14，x ＝4时，y ＝7．求：（1）y 与x 之间的函数关系式．（2）自变量x 的取值范围．（3）当x ＝14时，y 的值．xx9．反比例函数y=kx中，当x 的值由4增加到6时，y 的值减小3，求这个反比例函数的解析式．10.等腰三角形OAB 在直角坐标系中的位置如图，点A的坐标为（-），点B 的坐标为（－6，0）.（1）若三角形OAB 关于y 轴的轴对称图形是三角形O A B ''，请直接写出A 、B 的对称点A 'B '、的坐标；（2）若三角形OAB 沿x 轴向右平移a 个单位，点A 恰好落在反比例函数y =的图像上，求a 的值；11.如图，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4．（1）求k 的值；（2）若双曲线(0)ky k x=>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积；（3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求∆AOP 的面积．。

反比例函数易错题汇编含解析

反比例函数易错题汇编含解析一、选择题1．如图，在某温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后气缸内气体的体积(mL)V 与气体对气缸壁产生的压强(kPa)P 的关系可以用如图所示的函数图象进行表示，下列说法正确的是（）A ．气压P 与体积V 的关系式为(0)P kV k =>B ．当气压70P =时，体积V 的取值范围为70<V<80C ．当体积V 变为原来的一半时，对应的气压P 也变为原来的一半D ．当60100V 剟时，气压P 随着体积V 的增大而减小【答案】D【解析】【分析】A ．气压P 与体积V 表达式为P=k V ,k ＞0，即可求解； B ．当P=70时，600070V =,即可求解； C ．当体积V 变为原来的一半时，对应的气压P 变为原来的两倍，即可求解； D ．当60≤V≤100时，气压P 随着体积V 的增大而减小，即可求解．【详解】解：当V=60时，P=100，则PV=6000，A ．气压P 与体积V 表达式为P=k V ，k ＞0，故本选项不符合题意； B ．当P=70时，V=600070＞80，故本选项不符合题意； C ．当体积V 变为原来的一半时，对应的气压P 变为原来的两倍，本选项不符合题意； D ．当60≤V≤100时，气压P 随着体积V 的增大而减小，本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用．现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，进而根据字母代表的意思求解．2．如图，反比例函数y ＝2x的图象经过矩形OABC 的边AB 的中点D ，则矩形OABC 的面积A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】【分析】由反比例函数的系数k 的几何意义可知：2OA AD =g ，然后可求得OA AB g 的值，从而可求得矩形OABC 的面积．【详解】解：Q 反比例函数2y x=， 2OA AD ∴=g ． D Q 是AB 的中点，2AB AD ∴=．∴矩形的面积2224OA AB AD OA ===⨯=g g ．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是反比例函数k 的几何意义，掌握反比例函数系数k 的几何意义是解题的关键．3．ABC ∆的面积为2，边BC 的长为x ，边BC 上的高为y ，则y 与x 的变化规律用图象表示大致是（）A ．B ．C ．D ．【解析】【分析】根据三角形面积公式得出y 与x 的函数解析式，根据解析式作出图象进行判断即可．【详解】根据题意得 122xy = ∴4y x=∵00x y >>，∴y 与x 的变化规律用图象表示大致是故答案为：A ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象问题，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．4．如图，反比例函数11k y x=的图象与正比例函数22y k x =的图象交于点（2，1），则使y 1＞y 2的x 的取值范围是（）A ．0＜x ＜2B ．x ＞2C ．x ＞2或-2＜x ＜0D ．x ＜－2或0＜x ＜2【答案】D【解析】【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B 点坐标，由函数图象即可得出结论.【详解】∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，∴A 、B 两点关于原点对称.∵A （2，1），∴B （－2，－1）.∵由函数图象可知，当0＜x ＜2或x ＜－2时函数y 1的图象在y 2的上方，∴使y 1＞y 2的x 的取值范围是x ＜－2或0＜x ＜2.故选D.5．给出下列函数：①y ＝﹣3x +2：②y ＝3x ；③y ＝﹣5x：④y ＝3x ，上述函数中符合条件“当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而增大”的是（）A ．①③B ．③④C ．②④D ．②③【答案】B【解析】【分析】分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数的增减性分析得出答案．【详解】解：①y ＝﹣3x +2，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而减小，故此选项不符合题意； ②y ＝3x，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而减小，故此选项不符合题意； ③y ＝﹣5x，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而增大，故此选项符合题意； ④y ＝3x ，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而增大，故此选项符合题意；故选：B ．【点睛】此题考查一次函数、正比例函数、反比例函数，正确把握相关性质是解题关键． 6．已知点()1,3M -在双曲线k y x =上，则下列各点一定在该双曲线上的是（） A ．()3,1-B ．()1,3--C ．()1,3D ．()3,1 【答案】A【解析】【分析】先求出k=-3，再依次判断各点的横纵坐标乘积，等于-3即是在该双曲线上，否则不在.【详解】∵点()1,3M -在双曲线k y x=上， ∴133k =-⨯=-，∵3(1)3⨯-=-，∴点(3，-1)在该双曲线上，∵(1)(3)13313-⨯-=⨯=⨯=，∴点()1,3--、()1,3、()3,1均不在该双曲线上，故选：A.【点睛】此题考查反比例函数解析式，正确计算k 值是解题的关键.7．已知1122(,),,)A x y Bx y （均在反比例函数2y x =的图像上，若120x x <<，则12,y y 的大小关系是（）A ．120y y <<B ．210y y <<C ．120y y <<D ．210y y << 【答案】D【解析】【分析】先根据反比例函数的性质判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质即可作出判断．【详解】解：∵反比例函数2y x=中k=2＞0， ∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小，∵0＜x l ＜x 2，∴点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）均在第一象限，∴0＜y 2＜y l ．故选：D ．【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象的增减性是解题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 在第一象限内，边BC 与x 轴平行，A ，B 两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y k x=（x ＞0）的图象经过A ，B 两点，若菱形ABCD 的面积为25，则k 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】【分析】过点A 作x 轴的垂线，交CB 的延长线于点E ，根据A ，B 两点的纵坐标分别为4，2，可得出横坐标，即可求得AE ，BE 的长，根据菱形的面积为25，求得AE 的长，在Rt △AEB 中，即可得出k 的值．【详解】过点A 作x 轴的垂线，交CB 的延长线于点E ，∵A ，B 两点在反比例函数y k x =（x ＞0）的图象，且纵坐标分别为4，2， ∴A （4k ，4），B （2k ，2）， ∴AE ＝2，BE 12=k 14-k 14=k ， ∵菱形ABCD 的面积为25，∴BC×AE ＝25，即BC 5=， ∴AB ＝BC 5=，在Rt △AEB 中，BE 22AB AE =-=1 ∴14k ＝1， ∴k ＝4．故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键．9．如图, 在同一坐标系中（水平方向是x 轴），函数k y x=和3y kx =+的图象大致是（） A ． B ．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．【详解】解：A、由函数y=kx的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0一致，正确；B、由函数y=kx的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0，与3＞0矛盾，错误；C、由函数y=kx的图象可知k＜0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误；D、由函数y=kx的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误．故选A．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．10．反比例函数kyx在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是（）A．3 B．5 C．6 D．8【答案】B【解析】【分析】根据点（1，3）在反比例函数图象下方，点（3，2）在反比例函数图象上方可得出k 的取值范围，即可得答案.【详解】∵点（1，3）在反比例函数图象下方，∴k>3，∵点（3，2）在反比例函数图象上方， ∴3k <2，即k<6， ∴3<k<6，故选：B.【点睛】本题考查了反比例函数的图象的性质，熟记k=xy 是解题关键.11．已知反比例函数b y x=与一次函数y ax c =+有一个交点在第四象限，该交点横坐标为1，抛物线2y ax bx c =++与x 轴只有一个交点，则一次函数b c y x a a=+的图象可能是（） A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】【分析】根据题意得b ＜0，a+c ＜0，240b ac =>，可得a ＜0，c ＜0，进而即可判断一次函数b c y x a a=+的图象所经过的象限．【详解】 ∵反比例函数b y x=与一次函数y ax c =+有一个交点在第四象限， ∴反比例函数的图象在二、四象限，即b ＜0，∵该交点横坐标为1，∴y=a+c ＜0，∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴只有一个交点， ∴240b ac -=，即：240b ac =>，∴a ＜0，c ＜0，∴0b a>，0c a >， ∴b c y x a a=+的图象过一、二、三象限．故选B ．【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的图象和性质，掌握函数图象上点的坐标特征以及函数解析式的系数的几何意义，是解题的关键．12．已知反比例函数k y x=的图象分别位于第二、第四象限，()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上，下列命题：①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足，连接OA .若ACO ∆的面积为3，则6k=-；②若120x x <<，则12y y >；③若120x x +=，则120y y +=其中真命题个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数的性质，由题意可得k ＜0，y 1=,,sin cos 22x x x ππ⎡⎤∃∈-≤⎢⎥⎣⎦，y 2=2k x ，然后根据反比例函数k 的几何意义判断①，根据点位于的象限判断②，结合已知条件列式计算判断③，由此即可求得答案.【详解】 ∵反比例函数k y x=的图象分别位于第二、第四象限， ∴k<0，∵()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上， ∴y 1=,,sin cos 22x x x ππ⎡⎤∃∈-≤⎢⎥⎣⎦，y 2=2k x ， ∴x 1y 1=k ，x 2y 2=k ，①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足，∴S △AOC =1OC?AC 2=11x ?y k =322=， ∴6k =-，故①正确；②若120x x <<，则点A 在第二象限，点B 在第四象限，所以12y y >，故②正确； ③∵120x x +=，∴()121212120k x x k k y y x x x x ++=+==，故③正确，故选D. 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.13．如图，若点M 是x 轴正半轴上任意一点，过点M 作PQ ∥y 轴，分别交函数1(0)k y x x =>和2(0)k y x x=>的图象于点P 和Q ，连接OP 和OQ ．则下列结论正确的是（）A ．∠POQ 不可能等于90°B ．12PM QM k k =C ．这两个函数的图象一定关于x 轴对称D ．△POQ 的面积是()1212k k + 【答案】D【解析】【分析】【详解】解：根据反比例函数的性质逐一作出判断： A ．∵当PM=MO=MQ 时，∠POQ=90°，故此选项错误；B ．根据反比例函数的性质，由图形可得：1k ＞0，2k ＜0，而PM ，QM 为线段一定为正值，故12PM QM k k =，故此选项错误； C ．根据1k ，2k 的值不确定，得出这两个函数的图象不一定关于x 轴对称，故此选项错误；D ．∵|1k |=PM•MO ，|2k |=MQ•MO ，∴△POQ 的面积=12MO•PQ=12MO （PM+MQ ）=12MO•PM+12MO•MQ=()1212k k +．故此选项正确．故选D ．14．如图，已知在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，AOB V 是直角三角形，90AOB ∠=︒，2OB OA =，点B 在反比例函数2y x =上，若点A 在反比例函数k y x=上，则k 的值为( )A ．12B ．12-C ．14D ．14- 【答案】B【解析】【分析】通过添加辅助线构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质可求得1,2x A x ⎛⎫-⎪⎝⎭，然后由点的坐标即可求得答案．【详解】解：过点B 作BE x ⊥于点E ，过点A 作AF x ⊥于点F ，如图：∵点B 在反比例函数2y x =上 ∴设2,B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴OE x =，2BE x=∵90AOB ∠=︒ ∴90AOD BOD ∠+∠=︒∴90BOE AOF ∠+∠=︒∵BE x ⊥，AF x ⊥∴90BEO OFA ∠=∠=︒∴90OAF AOF ∠+∠=︒∴BOE OAF ∠=∠∴BOE OAF V V ∽∵2OB OA = ∴12OF AF OA BE OE BO === ∴121122OF BE x x =⋅=⋅=，11222x AF OE x =⋅=⋅= ∴1,2x A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵点A 在反比例函数k y x=上 ∴12x k x=- ∴12k =-．故选：B【点睛】本题考查了反比例函数与相似三角形的综合应用，点在函数图象上则点的坐标就满足函数解析式，结合已知条件能根据相似三角形的性质求得点A 的坐标是解决问题的关键．15．反比例函数k y x=的图象在第二、第四象限，点()()()1232,,4,,5,A y B y C y -是图象上的三点，则123,,y y y 的大小关系是（）A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．312y y y >>D ．231y y y >> 【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数图像在第二、四象限，反比例函数图像在第二、四象限，y 随x 的增大而增大，再根据三点横坐标的特点即可得出结论.【详解】解：∵反比例函数k y x=图象在第二、四象限， ∴反比例函数图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，∵-2<4<5，∴点B 、C 在第四象限，点A 在第二象限，∴23y y <<0，10y > ，∴132y y y ＞＞.故选B.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答本题的关键.16．矩形ABCO 如图摆放，点B 在y 轴上，点C 在反比例函数y k x=(x ＞0)上，OA ＝2，AB ＝4，则k 的值为（）A ．4B ．6C ．325D ．425 【答案】C【解析】【分析】根据矩形的性质得到∠A=∠AOC=90°，OC=AB ，根据勾股定理得到OB 22OA AB =+=5C 作CD ⊥x 轴于D ，根据相似三角形的性质得到CD 85=，OD 45= 求得8545，)于是得到结论．【详解】解：∵四边形ABCO 是矩形，∴∠A ＝∠AOC ＝90°，OC ＝AB ，∵OA ＝2，AB ＝4，∴过C 作CD ⊥x 轴于D ，∴∠CDO ＝∠A ＝90°，∠COD+∠COB ＝∠COB+∠AOB ＝90°，∴∠COD ＝∠AOB ，∴△AOB ∽△DOC ， ∴OB AB OA OC CD OD ==， 2542CD OD==，∴CD855 =，OD455=，∴C(455，855)，∴k325=，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．17．如图，点A，B是双曲线18yx=图象上的两点，连接AB，线段AB经过点O，点C为双曲线kyx=在第二象限的分支上一点，当ABCV满足AC BC=且:13:24AC AB=时，k的值为（）．A．2516-B．258-C．254-D．25-【答案】B【解析】【分析】如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．首先证明△CFO∽△OEA，推出2()COFAOES OCS OA∆∆=，因为CA：AB＝13：24，AO＝OB，推出CA：OA＝13：12，推出CO：OA＝5：12，可得出2()COFAOES OCS OA∆∆=＝25144，因为S△AOE＝9，可得S△COF＝2516，再根据反比例函数的几何意义即可解决问题．【详解】解：如图作AE ⊥x 轴于E ，CF ⊥x 轴于F ．连接OC ．∵A 、B 关于原点对称，∴OA ＝OB ，∵AC ＝BC ，OA ＝OB ，∴OC ⊥AB ，∴∠CFO ＝∠COA ＝∠AEO ＝90°，∴∠COF ＋∠AOE ＝90°，∠AOE ＋∠EAO ＝90°，∴∠COF ＝∠OAE ，∴△CFO ∽△OEA ， ∴2()COF AOE S OC S OA∆∆=， ∵CA ：AB ＝13：24，AO ＝OB ，∴CA ：OA ＝13：12，∴CO ：OA ＝5：12， ∴2()COF AOE S OC S OA ∆∆=＝25144， ∵S △AOE ＝9，∴S △COF ＝2516， ∴||25216k =， ∵k ＜0， ∴258k =- 故选：B ．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的特征、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．18．当0x <时，反比例函数2y x=-的图象（）A ．在第一象限，y 随x 的增大而减小B ．在第二象限，y 随x 的增大而增大C ．在第三象限，y 随x 的增大而减小D ．在第四象限，y 随x 的增大而减小【答案】B【解析】【分析】反比例函数2y x =-中的20k =-<，图像分布在第二、四象限；利用0x <判断即可．【详解】解：Q 反比例函数2y x=-中的20k =-<， ∴该反比例函数的图像分布在第二、四象限；又0x <Q ，∴图象在第二象限且y 随x 的增大而增大．故选：B ．【点睛】本题主要考查的是反比例函数的性质，对于反比例函数()0k y k x=≠，（1）0k >，反比例函数图像分布在一、三象限；（2）k 0< ，反比例函数图像分布在第二、四象限内．19．反比例函数y=的图象如图所示，则一次函数y=kx+b （k≠0）的图象的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】先由反比例函数的图象得到k ，b 同号，然后分析各选项一次函数的图象即可.【详解】∵y=的图象经过第一、三象限，∴kb ＞0，∴k ，b 同号，选项A 图象过二、四象限，则k ＜0，图象经过y 轴正半轴，则b ＞0，此时，k ，b 异号，故此选项不合题意；选项B 图象过二、四象限，则k ＜0，图象经过原点，则b=0，此时，k ，b 不同号，故此选项不合题意；选项C 图象过一、三象限，则k ＞0，图象经过y 轴负半轴，则b ＜0，此时，k ，b 异号，故此选项不合题意；选项D 图象过一、三象限，则k ＞0，图象经过y 轴正半轴，则b ＞0，此时，k ，b 同号，故此选项符合题意；故选D ．考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．20．如图，过点()1,2C 分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线5y x =-+于A 、B 两点，若反比例函数(0)k y x x=>的图象与ABC V 有公共点，则k 的取值范围是（）A ．2524k ≤≤B ．26k ≤≤C ．24k ≤≤D ．46k ≤≤【答案】A【解析】【分析】由点C 的坐标结合直线AB 的解析式可得出点A 、B 的坐标，求出反比例函数图象过点C 时的k 值，将直线AB 的解析式代入反比例函数解析式中，令其根的判别式△≥0可求出k 的取值范围，取其最大值，找出此时交点的横坐标，进而可得出此点在线段AB 上，综上即可得出结论．【详解】解：令y ＝−x ＋5中x ＝1，则y ＝4，∴B （1，4）；令y ＝−x ＋5中y ＝2，则x ＝3，∴A（3，2），当反比例函数kyx=（x＞0）的图象过点C时，有2＝1k，解得：k＝2，将y＝−x＋5代入kyx=中，整理得：x2−5x＋k＝0，∵△＝（−5）2−4k≥0，∴k≤254，当k＝254时，解得：x＝52，∵1＜52＜3，∴若反比例函数kyx=（x＞0）的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是2≤k≤254，故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出反比例函数图象过点A、C时的k值以及直线与双曲线有一个交点时k的值．。

人教版初三数学9年级下册第26章(反比例函数)易错题型(附答案)

A.y=- 4 x
B.y=- 8 x
C.y= 8 x
D.y= 16 x
2.如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的面积为 10，反比例函数 y= k （x＞0）与 AB， x
BC 分别交于点 D，E，若 AD=2BD，则 k 的值为（）
5
10
20
5
A.
B.
C.
D.
3
3
3
2
易错点 2 反比例函数与一次函数的综合运用时易出错
A.当 x＞0 时，y＞0
B.图象在第二、四象限
C.y 随 x 的增大而减小
D.y 随 x 的增大而增大
5.在函数
y=
y
a2 x
1
（a
为常数）的图象上有三点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），且
x1＜
x2＜0＜x3，则函数 y1，y2，y3 的大小关系为（ D ）
A.y2＜y3＜y1
B.y3＜y2＜y1
x
4.直线 y=-x+2 与反比例函数 y= k （k≠0）相交于 A，B 两点，其中点 A 的横坐标为-1，则 k x
的值是（ A ）
A.-3
B.-1
C.1
D.3
26.2 实际问题与反比例函数
易错点实际问题中，忽略反比例函数自变量的取值范围 1.已知圆柱的侧面积是 100 cm2，若圆柱底面半径为 r（单位：cm），高线长为 h（单位： cm），则 h 关于 r 的函数的图象大致是（ B ）
易错点忽略反比例函数在不同象限内的增减性
1.若反比例函数 y= k （k＜0）的图象如图所示，则 k 的值可以是（ C ） x

A.-1

反比例函数解题技巧与方法及难点剖析

【反比例函数难点剖析】 1.反比例函数概念的理解注意两点：（1）自变量x 的次数是－1，且自变量x 不能为0；（2）比例系数k 为常数，且k ≠0. 2.反比例函数图象的画法注意：其图象为双曲线，它的两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴，这是由自变量的取值决定的.3.反比例函数性质的理解（1）一个反比例函数具有下列条件之一，可推出其他两条：①k>0；②图象位于一三象限；③每个象限内，y 随x 的增大而减小（k<0时，要作类似理解）（2）反比例函数的增减性，一定要强调“在每一个象限内”这一前提。

在记忆反比例函数的性质时，必须结合图象记忆。

（3）双曲线是中心对称图形，对称中心为原点；双曲线也是轴对称图形，对称轴为 y=x 或y= - x. 4.确定反比例函数的解析式只需一组x,y 的对应值或只需知道图象上任一点的坐标，即可用待定系数法求出其解析式. 5.与反比例函数图象有关的面积问题我们知道,过反比例函数y = kx ( k≠0)图象上的任一点分别向两坐标轴作垂线,则两垂线与坐标轴所围成的矩形的面积不变,等于| k |.如图1,点P ( a, b) 是反比例函数y = kx ( k≠0)图象上的一点,则有a ・b = k.过点P 作PA⊥x 轴于A,作PB⊥y 轴于点B ,则S 矩形PAOB = PA ・PB = | b |・a | = | b ・a |= | k | 据此的相关应用： (1)比较面积大小例如图2，在函数（x>0）的图象上有三点A 、B 、C 。

过这三点分别向x 轴、y 轴作垂线。

过每一点所作的两条垂线与x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为，则（）。

A 、 B 、C 、D 、(2)求面积例若函数与函数的图象相交于A 、C 两点，AB 垂直x 轴于B ，则△ABC 的面积为（）。

A 、1B 、2C 、kD 、(3)确定解析式例如图4，反比例函数y = kx 与一次函数的图象相交于A 点，过A 点作AB ⊥x 轴于点B 。

中考数学反比例函数(大题培优易错难题)含答案解析

中考数学反比例函数(大题培优易错难题)含答案解析一、反比例函数1．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线y= （k≠0）（x＞0）相交于点A、C，与x轴相交于点B、D，连接AC．已知点A、B的刻度分别为5，2（单位：cm），直尺的宽度为2cm，OB=2cm．（1）求k的值；（2）求经过A、C两点的直线的解析式；（3）连接OA、OC，求△OAC的面积．【答案】（1）解：∵AB=5﹣2=3cm，OB=2cm，∴A的坐标是（2，3），代入y= 得3= ，解得：k=6（2）解：OD=2+2=4，在y= 中令x=4，解得y= ．则C的坐标是（4，）．设AC的解析式是y=mx+n，根据题意得：，解得：，则直线AC的解析式是y=﹣ x+（3）解：直角△AOB中，OB=2，AB=3，则S△AOB= OB•AB= ×2×3=3；直角△ODC中，OD=4，CD= ，则S△OCD= OD•CD= ×4× =3．在直角梯形ABDC中，BD=2，AB=3，CD= ，则S梯形ABDC= （AB+DC）•BD= （3+ ）×2= ．则S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD=3+ ﹣3=【解析】【分析】（1）首先求得A的坐标，然后利用待定系数法求得函数的解析式；（2）首先求得C的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式；（3）根据S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD利用直角三角形和梯形的面积公式求解．2．如图，点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数图象C1与C2上的任一点．当a≤x≤b 时，有﹣1≤y1﹣y2≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤x≤b 上是“非相邻函数”．例如，点P（x，y1）与Q （x，y2）分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点，当﹣3≤x≤﹣1时，y1﹣y2=（3x+1）﹣（2x﹣1）=x+2，通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质，得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立，因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”．（1）判断函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是否为“相邻函数”，并说明理由；（2）若函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围；（3）若函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值．【答案】（1）解：是“相邻函数”，理由如下：y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1，∵y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大，∴当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1，∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”（2）解：y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a，∵y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1），∴顶点坐标为：（1，a﹣1），又∵抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上，∴当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a，∵函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即，∴0≤a≤1（3）解：y1﹣y2= ﹣（﹣2x+4）= +2x﹣4，构造函数y= +2x﹣4，∵y= +2x﹣4∴当x=1时，函数有最小值a﹣2，当x=2时，函数有最大值，即a﹣2≤y≤ ，∵函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即，∴1≤a≤2；∴a的最大值是2，a的最小值1【解析】【分析】（1）y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1，因为y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大，所以当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1，即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”；（2）y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a，因为y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1），所以顶点坐标为：（1，a﹣1），又抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上，所以当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a，因为函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，所以﹣1≤y1﹣y2≤1，即0≤a≤1；（3）当x=1时，函数有最小值a﹣2，当x=2时，函数有最大值，因为函数y=与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，﹣1≤y1﹣y2≤1，即1≤a≤2，所以a的最大值是2，a 的最小值1.3．已知一次函数y=kx+b与反比例函数y= 交于A（﹣1，2），B（2，n），与y轴交于C 点．（1）求反比例函数和一次函数解析式；（2）如图1，若将y=kx+b向下平移，使平移后的直线与y轴交于F点，与双曲线交于D，E两点，若S△ABD=3，求D，E的坐标．（3）如图2，P为直线y=2上的一个动点，过点P作PQ∥y轴交直线AB于Q，交双曲线于R，若QR=2QP，求P点坐标．【答案】（1）解：点A（﹣1，2）在反比例函数y= 的图象上，∴m=（﹣1）×2=﹣2，∴反比例函数的表达式为y=﹣，∵点B（2，n）也在反比例函数的y=﹣图象上，∴n=﹣1，即B（2，﹣1）把点A（﹣1，2），点B（2，﹣1）代入一次函数y=kx+b中，得，解得：k=﹣1，b=1，∴一次函数的表达式为y=﹣x+1，答：反比例函数的表达式是y=﹣，一次函数的表达式是y=﹣x+1；（2）解：如图1，连接AF，BF，∵DE∥AB，∴S△ABF=S△ABD=3（同底等高的两三角形面积相等），∵直线AB的解析式为y=﹣x+1，∴C（0，1），设点F（0，m），∴AF=1﹣m，∴S△ABF=S△ACF+S△BCF= CF×|x A|+ CF×|x B|= （1﹣m）×（1+2）=3，∴m=﹣1，∴F（0，﹣1），∵直线DE的解析式为y=﹣x+1，且DE∥AB，∴直线DE的解析式为y=﹣x﹣1①．∵反比例函数的表达式为y=﹣②，联立①②解得，或∴D（﹣2，1），E（1，﹣2）；（3）解：如图2由（1）知，直线AB的解析式为y=﹣x﹣1，双曲线的解析式为y=﹣，设点P（p，2），∴Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣），PQ=|2+p+1|，QR=|﹣p﹣1+ |，∵QR=2QP，∴|﹣p﹣1+ |=2|2+p+1|，解得，p= 或p= ，∴P（，2）或（，2）或（，2）或（，2）．【解析】【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式可求得m的值，从而可得到反比例函数的解析式；把点A和点B的坐标代入一次函数的解析式可求得一次函数的解析式；（2）依据同底等高的两个三角形的面积相等可得到S△ABF=S△ABD=3，再利用三角形的面积公式可求得点F的坐标，即可得出直线DE的解析式，即可求出交点坐标；（3）设点P（p，2），则Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣），然后可表示出PQ与QR的长度，最后依据QR=2QP，可得到关于p的方程，从而可求得p的值，从而可得到点P的坐标.4．已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y= 的图象交于点C（3，1）（1）试确定上述比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）点D（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点C作直线AC⊥x 轴于点A，交OD的延长线于点B；若点D是OB的中点，DE⊥x轴于点E，交OC于点F，试求四边形DFCB的面积．【答案】（1）解：将点C（3，1）分别代入y= 和y=ax，得：k=3，a= ，∴反比例函数解析式为y= ，正比例函数解析式为y= x；（2）解：观察图象可知，在第二象限内，当0＜x＜3时，反比例函数值大于正比例函数值；（3）解：∵点D（m，n）是OB的中点，又在反比例函数y= 上，∴OE= OA= ，点D（，2），∴点B（3，4），又∵点F在正比例函数y= x图象上，∴F（，），∴DF= 、BC=3、EA= ，∴四边形DFCB的面积为 ×（ +3）× = ．【解析】【分析】（1）利用待定系数法把C坐标代入解析式即可；（2）须数形结合，先找出交点，在交点的左侧与y轴之间，反比例函数值大于正比例函数值.（3）求出DF、BC、EA，代入梯形面积公式即可.5．如图1，经过原点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为点C；与双曲线y= 相交于点A，B；直线AB与分别与x轴、y轴交于点D，E．已知点A的坐标为（﹣1，4），点B在第四象限内且到x轴、y轴的距离相等．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC的面积；（3）如图2，将抛物线平移至顶点在原点上时，直线AB随之平移，试判断：在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PAB的内切圆的圆心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：把点A的坐标代入双曲线的解析式得：k=﹣1×4=﹣4．所以双曲线的解析式为y=﹣．设点B的坐标为（m，﹣m）．∵点B在双曲线上，∴﹣m2=﹣4，解得m=2或m=﹣2．∵点B在第四象限，∴m=2．∴B（2，﹣2）．将点A、B、C的坐标代入得：，解得：．∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x．（2）解：如图1，连接AC、BC．令y=0，则x2﹣3x=0，∴x=0或x=3，∴C（3，0），∵A（﹣1，4），B（2，﹣2），∴直线AB的解析式为y=﹣2x+2，∵点D是直线AB与x轴的交点，∴D（1，0），∴S△ABC=S△ADC+S△BDC= ×2×4+ ×2×2=6；（3）解：存在，理由：如图2，由原抛物线的解析式为y=x2﹣3x=（x﹣）2﹣，∴原抛物线的顶点坐标为（，﹣），∴抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，而平移前A（﹣1，4），B（2，﹣2），∴平移后点A（﹣，），B（，），∴点A关于y轴的对称点A'（，），连接A'B并延长交y轴于点P，连接AP，由对称性知，∠APE=∠BPE，∴△APB的内切圆的圆心在y轴上，∵B（，），A'（，），∴直线A'B的解析式为y=3x﹣，∴P（0，﹣）．【解析】【分析】（1）首先将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得k的值，然后再求得B的值，最后根据点A的坐标求出双曲线的解析式，进而得出点B的坐标，最后，将点A、B、O三点的坐标代入抛物线的解析式，求得a、b、c的值即可；（2）由点A和点B的坐标可求得直线AB的解析式，然后将y=0可求得点D的横坐标，最后用三角形的面积和求解即可；（3）先确定出平移后点A，B的坐标，进而求出点A关于y轴的对称点的坐标，求出直线BA'的解析式即可得出点P的坐标.6．如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折现”）（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；（2）如图2，双曲线y= 与新函数的图象交于点C(1，a)，点D是线段AC上一动点(不包括端点)，过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．①试求△PAD的面积的最大值；②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形?若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）解：如图1，新函数的性质：1.函数的最小值为0；2.函数图象的对称轴为直线x=3.由题意得，点A的坐标为（-3，0），分两种情况：①当x-3时，y=x+3；②当x<-3时，设函数解析式为y=kx+b，在直线y=x+3中，当x=-4时，y=-1，则点（-4，-1）关于x轴的对称点为（-4，1），把点（-4，1），（-3，0），代入y=kx+b中，得：，解得：，∴y=-x-3.综上，新函数的解析式为y=.（2）解：如图2，①∵点C（1，a）在直线y=x+3上，∴a=4，∵点C（1，4）在反比例函数y=上，∴k=4，∴反比例函数的解析式为y=.∵点D是线段AC上一动点，∴设点D的坐标为（m，m+3），且-3<m<1，∵DP∥x轴，且点P在双曲线上，∴点P的坐标为（，m+3），∴PD=-m，∴S△PAD=（-m）（m+3）=m2-m+2=（m+）2+，∵a=<0，∴当m=时，S有最大值，最大值为，又∵-3<<1，∴△PAD的面积的最大值为.②在点D的运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形，理由如下：当点D为AC的中点时，其坐标为（-1，2），此时点P的坐标为（2，2），点E的坐标为（-5，2），∵DP=3，DE=4，∴EP与AC不能互相平分，∴四边形PAEC不能为平行四边形.【解析】【分析】（1）根据一次函数的性质，结合函数图象写出新函数的两条性质；利用待定系数法求新函数解析式，注意分两种情况讨论；（2）①先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，设出点D的坐标，进而得到点P的坐标，再根据三角形的面积公式得出函数解析式，利用二次函数的性质求解即可；②先求出A的中点D的坐标，再计算DP、DE的长度，如果对角线互相平分，则能成为平行四边形，如若对角线不互相平分，则不能成为平行四边形.7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y= （m≠0）交于点A（2，﹣3）和点B（n，2）．（1）求直线与双曲线的表达式；（2）对于横、纵坐标都是整数的点给出名称叫整点．动点P是双曲线y= （m≠0）上的整点，过点P作垂直于x轴的直线，交直线AB于点Q，当点P位于点Q下方时，请直接写出整点P的坐标．【答案】（1）解：∵双曲线y= （m≠0）经过点A（2，﹣3），∴m=﹣6．∴双曲线的表达式为y=﹣．∵点B（n，2）在双曲线y=﹣上，∴点B的坐标为（﹣3，2）．∵直线y=kx+b经过点A（2，﹣3）和点B（﹣3，2），∴解得，∴直线的表达式为y=﹣x﹣1（2）解：符合条件的点P的坐标是（1，﹣6）或（6，﹣1）．【解析】【分析】（1）把A的坐标代入可求出m，即可求出反比例函数解析式，把B点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n，把A，B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；（2）根据图象和函数解析式得出即可．8．如图，已知，A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），D为B点关于AC的对称点，反比例函数y= 的图象经过D点．（1）证明四边形ABCD为菱形；（2）求此反比例函数的解析式；（3）已知在y= 的图象（x＞0）上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形ABMN是平行四边形，求M点的坐标．【答案】（1）解：∵A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），∴OA=4，OB=3，OC=2，∴AB= =5，BC=5，∴AB=BC，∵D为B点关于AC的对称点，∴AB=AD，CB=CD，∴AB=AD=CD=CB，∴四边形ABCD为菱形（2）解：∵四边形ABCD为菱形，∴D点的坐标为（5，4），反比例函数y= 的图象经过D点，∴4= ，∴k=20，∴反比例函数的解析式为：y=（3）解：∵四边形ABMN是平行四边形，∴AN∥BM，AN=BM，∴AN是BM经过平移得到的，∴首先BM向右平移了3个单位长度，∴N点的横坐标为3，代入y= ，得y= ，∴M点的纵坐标为：﹣4= ，∴M点的坐标为：（0，）【解析】【分析】（1）由A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），利用勾股定理可求得AB=5=BC，又由D为B点关于AC的对称点，可得AB=AD，BC=DC，即可证得AB=AD=CD=CB，继而证得四边形ABCD为菱形；（2）由四边形ABCD为菱形，可求得点D 的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数的解析式；（3）由四边形ABMN 是平行四边形，根据平移的性质，可求得点N的横坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点N的坐标，继而求得M点的坐标．9．如图，已知二次函数的图象与y轴交于点A(0，4），与x 轴交于点B，C，点C坐标为(8，0），连接AB，AC.（1）请直接写出二次函数的解析式.（2）判断△ABC的形状，并说明理由.（3）若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标.【答案】（1）解：∵二次函数的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B.C,点C坐标(8,0),∴解得∴抛物线表达式：（2）解：△ABC是直角三角形.令y=0,则解得x1=8,x2=-2,∴点B的坐标为(-2,0),由已知可得,在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20,在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80,又∴BC=OB+OC=2+8=10,∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2∴△ABC是直角三角形（3）解：∵A(0,4),C(8,0),AC= =4 ,①以A为圆心,以AC长为半径作圆,交轴于N,此时N的坐标为(-8,0),②以C为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为( ,0)或( ,0)③作AC的垂直平分线,交g轴于N,此时N的坐标为(3,0),综上,若点N在轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,点N的坐标分别为(-8,0)、( ,0)、(3,0)、 ,0)【解析】【分析】(1)根据待定系数法即可求得;(2)根据拋物线的解析式求得B的坐标,然后根据勾股定理分别求得AB2=20,AC2=80,BC=10然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形(3)分别以A.C两点为圆心,AC长为半径画弧,与m轴交于三个点,由AC的垂直平分线与c轴交于一个点,即可求得点N的坐标10．综合实践问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动. 他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒.操作探究：（1）若准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图1，下面的哪个图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？（2）如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的是哪个字？（3）如图3，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体形纸盒.①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕.②若四角各剪去了一个边长为xcm的小正方形，用含x的代数式表示这个纸盒的高为________cm，底面积为________cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为________cm3.【答案】（1）解：A．有田字，故A不能折叠成无盖正方体；B．只有4个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体；C．可以折叠成无盖正方体；D．有6个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体．故答案为：C．（2）解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，所以与“保”字相对的字是“卫”（3）x；（20﹣2x）2；576【解析】【解答】（3）解：①如图，②设剪去的小正方形的边长为x（cm），用含字母x的式子表示这个盒子的高为xcm，底面积为（20﹣2x）2cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为=x（20﹣2x）2=4×（20﹣2×4）2=576（cm3）．故答案为：x，（20﹣2x）2， 576【分析】（1）由平面图形的折叠及正方体的展开图解答本题；（2）正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答；（3）①根据题意，画出图形即可；②根据正方体底面积、体积，即可解答．11．【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线l平行于AB.∠EDF=90°，点D 在直线l上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系.（1）【探究发现】如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D 移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP=DB，请写出证明过程；（2）【数学思考】如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP=DB，请完成证明过程；（3）【拓展引申】如图4，在（1）的条件下，M是AB边上任意一点（不含端点A、B），N是射线BD上一点，且AM=BN，连接MN与BC交于点Q，这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验，发现点M在某一位置时BQ的值最大.若AC=BC=4，请你直接写出BQ的最大值.【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，AC=BC∴∠CAB=∠CBA=45°∵CD∥AB∴∠CBA=∠DCB=45°，且BD⊥CD∴∠DCB=∠DBC=45°∴DB=DC即DB=DP（2）解：∵DG⊥CD，∠DCB=45°∴∠DCG=∠DGC=45°∴DC=DG，∠DCP=∠DGB=135°，∵∠BDP=∠CDG=90°∴∠CDP=∠BDG，且DC=DG，∠DCP=∠DGB=135°，∴△CDP≌△GDB（ASA）∴DB=DP（3）解：如图4，过点M作MH⊥MN交AC于点H，连接CM，HQ，∵MH⊥MN，∴∠AMH+∠NMB=90°∵CD∥AB，∠CDB=90°∴∠DBM=90°∴∠NMB+∠MNB=90°∴∠HMA=∠MNB，且AM=BN，∠CAB=∠CBN=45°∴△AMH≌△BNQ（ASA）∴AH=BQ∵∠ACB=90°，AC=BC=4，∴AB=4 ，AC-AH=BC-BQ∴CH=CQ∴∠CHQ=∠CQH=45°=∠CAB∴HQ∥AB∴∠HQM=∠QMB∵∠ACB=∠HMQ=90°∴点H，点M，点Q，点C四点共圆，∴∠HCM=∠HQM∴∠HCM=∠QMB，且∠A=∠CBA=45°∴△ACM∽△BMQ∴∴∴BQ= +2∴AM=2 时，BQ有最大值为2.【解析】【分析】（1）DB=DP，理由如下：根据等腰直角三角形的性质得出∠CAB=∠CBA=45°，根据二直线平行，内错角相等得出∠CBA=∠DCB=45°，根据三角形的内角和得出∠DCB=∠DBC=45°，最后根据等角对等边得出 DB=DC ，即DB=DP；（2）利用ASA判断出△CDP≌△GDB ，再根据全等三角形的对应边相等得出DB=DP；（3）如图4，过点M作MH⊥MN交AC于点H，连接CM，HQ，利用ASA判断出△AMH≌△BNQ 根据全等三角形的对应边相等得出AH=BQ，进而判断出点H，点M，点Q，点C四点共圆，根据圆周角定理得出∠HCM=∠HQM ，然后判断出△ACM∽△BMQ ，根据相似三角形的对应边成比例得出,根据比例式及偶数次幂的非负性即可得出求出答案.12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx＋m－1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．【答案】（1）解：将抛物线表达式变为顶点式，则抛物线顶点坐标为（1，-1）；（2）解：①m=1时，抛物线表达式为，因此A、B的坐标分别为（0，0）和（2，0），则线段AB上的整点有（0，0），（1，0），（2，0）共3个；②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；又有抛物线表达式，令y=0，则，得到A、B两点坐标分别为（，0），（，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到，∴．【解析】【分析】（1）将抛物线表达式变为顶点式，即可得到顶点坐标；（2）①m=1时，抛物线表达式为，即可得到A、B的坐标，可得到线段AB上的整点个数；②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；令y=0，则，解方程可得到A、B两点坐标分别为（，0），（，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到，即可得到结论．。

中考数学复习指导：反比例函数的易错点分析

反比例函数的易错点分析由于反比例函数的解析式、图像及性质的特殊性，而且极易与一次函数的性质混淆，所以它一直是考试的一个重点，以下举例说明部分易错点．一．利用反比例函数的性质确定k 的取值．例1．已知（x 1，y 1），(x 2，y 2)为反比例函数xky =图象上的点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2，则k 的一个值可为（只需写出符号条件的一个．．k 的值）解：∵当x 1＜x 2＜0时， y 1＜y 2 ∴在同一象限内函数y 随x 增大而增大 ∴k <0，∴写出任意一个负数即可．易错点：误认为当反比例函数y 随x 增大而增大时，k >0．评注：注意区别反比例函数与一次函数的性质．当k >0（k <0）时，反比例函数xky =随x 增大而减小（增大），一次函数y =kx +b 随x 增大而增大（减小）．而且反比例函数的性质强调是在同一象限内．二．利用反比例函数的性质比较大小．例2 若M （21-，y 1）、N （41-，y 2）、P （21，y 3）三点都在函数y =x k （k <0）的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系为（）A. y 2>y 3>y 1 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 3>y 1>y 2 D ．y 3>y 2>y 1 解：由题可知点M 、N 在第二象限 ∵k <0， ∴函数y 随x 增大而增大 ∵21-<41-， ∴y 2>y 1>0 ∵点P 在第四象限， ∴y 3<0 ∴y 2>y 1>y 3易错点：没有考虑所给的这三个点是否在同一象限内．评注：利用反比例函数的性质比较大小时，要特别注意这两个点必须在同一象限内，数形结合是这类问题常用的方法．三．利用反比例函数的解析式求解面积问题．例3．如图，A 、B 是函数xy 1=的图像上关于原点O 对称的任意两点，AC 平行于y 轴，交轴于点C ，BD 平行于y 轴，交x 轴于点D ，设四边形ACBD 的面积为S ，则（）A ．S =1B ．1<S <2C ．S =2D ．S >2 解：设A 点的坐标为（x ，y ），则 AC =y ，OC =x ，由题可得ADBC 是平行四边形 ∴CD =2x∵xy 1=，∴xy =1∴S =2S △ADC =2×21×2x ×y =2xy =2，故选C ．例4．如图，点P 是反比例函数2y x=-上的一点，PD ⊥x 轴于点D ，则△POD 的面积为．解：设点P 的坐标为（x ，y ）则PD =y ，OD = -x∵2y x=-，∴xy = -2 ∴△POD 的面积为21×(-x )×y =1．易错点：用坐标表示线段长度时忽略了坐标的符号．评注：关于反比例函数有一个一般性结论：若P 是反比例函数xky =上一点，P A ⊥x 轴于点A ，则△POA 的面积为2k ．x。

反比例函数易错点剖析

反比例函数错解示例一、忽视隐含条件“k ≠0”出错例1.当m =————————时，函数2m y (m 3)x -=+是反比例函数. 错解：∵此函数是反比例函数， ∴ 2－m =－1，解得3±=m ，当3±=m 时，此函数是反比例函数. 错解分析：要特别注意把反比例函数k xy=（k ≠0）的形式写成类似整式形式1y kx -=，这是因为有k ≠0这个必备条件，而错解忽视了这个隐含条件.正解：由题意，得⎩⎨⎧≠+-=-0312m m , 解得⎩⎨⎧-≠±=33m m ,因此m =3，即当m=3时此函数是反比例函数.二、忽视实际问题中自变量的取值范围出错例2.三角形的面积为82cm ，这时底边上的高y(cm )与底边x （cm ）之间的函数关系的图象大致是（）错解：选B.由三角形的面积公式，得821=xy ,∴16y =，故选B.错解分析：错解忽视了实际问题中自变量的取值范围（x>0）正解：选D.由三角形的面积公式，得12xy 8=∴16x y =（x>0），故选D.三、忽视比例系数的不同出错例3.已知y 与2x 成正比例，2x 与1z成反比例，求y 与z 的函数关系式.错解： y 与2x 成正比例，∴2y kx =，又2x与z 1成反比例，∴12k x = ，即 2x kz(k 0,z 0)=≠≠， z k kz k kx y 22=⋅==∴(k 0,z 0)≠≠.错解分析：2y kx =和1z2k x =是两个不同函数关系式，它们的比例系数是不同的，不能将两个关系式的比例系数都用k 表示，要区分开来.正解： y 与2x 成正比例，2x 与1z 成反比例∴21y k x = ， 22x k z =（12k ,k 均不等于0，z 0≠）， z k k y 21=∴（12k k 0z 0≠，≠）.四、忽视反比例函数的性质成立的条件出错例4.在函数2m 1xy --=（m为常数）的图象上有三点(-3,1y ),(-1 ,2y ) ,(3 ,3y )则函数值的大小关系是（）A.321y y y <<B.123y y y <<C.132y y y <<D.213y y y << 错解：0)1(122<+-=--m m ，∴ y 随x 的增大而增大，于是有321y y y << ，故应选A.错解分析：讨论反比例函数y 随x 的变化关系时，一定要根据图象所在的象限讨论，不能一概而论. 正解： 22m 1(m 1)0--=-+<，∴图象分布在第二、四象限内，且在各象限内，y 随x 的增大而增大，由题知点(-3,1y ),(-1 ,2y ) 在第二象限分支上，又因为 -3<-1,所以210y y <<，而点(3 ,3y )在第四象限的分支上，所以3y <0，因此有213y y y << ，故应选D.说明:本题宜采用数形结合法求解，即画出函数x m y 12--=的图象，然后大致描出这三点，即可判断其大小关系. 五、忽视分类讨论出错例5．已知反比例函数k xy(k 0)=<的图象上有两点A （11,y x ） ,B （22,y x ），且21x x <，则21y y -的值是（）A. 正数B.负数C. 非负数D.不能确定错解：因为k<0 所以反比例函数k x y(k 0)=<的图象分布在第二、四象限，又21x x <，由反比例函数的性质知 12y y <，所以21y y -<0 , 即21y y -是负数，选B.错解分析：本题条件给出k<0，且21x x <，但1x 与2x 的正负情况并未确定，故需分情况讨论正解：（1）当021<<x x 时，如图1，则有21y y <，所以21y y -<0，即21y y -是负数.（2）当210x x <<时，如图2，则有21y y >，所以21y y ->0，即21y y -是正数. （3）当210x x <<时，如图3，则有21y y <，所以21y y -<0，即21y y -是负数. 综合（1），（2），（3）应选D.。

(易错题精选)初中数学反比例函数难题汇编含解析

（易错题精选）初中数学反比例函数难题汇编含解析一、选择题1．如图，一次函数1y ax b =+和反比例函数2k y x=的图象相交于A ，B 两点，则使12y y >成立的x 取值范围是( )A ．20x -<<或04x <<B ．2x <-或04x <<C ．2x <-或4x >D ．20x -<<或4x >【答案】B【解析】【分析】根据图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可.【详解】观察函数图象可发现：2x <-或04x <<时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴使12y y >成立的x 取值范围是2x <-或04x <<，故选B ．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，函数与不等式，利用数形结合思想是解题的关键.2．已知点A （﹣2，y 1），B （a ，y 2），C （3，y 3）都在反比例函数4y x =的图象上，且﹣2＜a ＜0，则（）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 1＜y 3 【答案】D【解析】【分析】根据k ＞0，在图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，双曲线在第一三象限，逐一分析即可．【详解】∵反比例函数y=4x中的k=4＞0， ∴在图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，双曲线在第一三象限，∵-2＜a ＜0，∴0＞y 1＞y 2，∵C （3，y 3）在第一象限，∴y 3＞0，∴213y y y <<，故选D ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练地应用反比例函数的性质是解题的关键．3．如图，在平面直角坐标系中，点A 是函数()0k y x x=>在第一象限内图象上一动点，过点A 分别作AB x ⊥轴于点B AC y ⊥、轴于点C ，AB AC 、分别交函数()10y x x=>的图象于点E F 、，连接OE OF 、．当点A 的纵坐标逐渐增大时，四边形OFAE 的面积（）A ．不变B ．逐渐变大C ．逐渐变小D ．先变大后变小【答案】A【解析】【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义得出矩形ACOB 的面积为k ，BOE S V COF S =V 12=，则四边形OFAE 的面积为定值1k -．【详解】 ∵点A 是函数(0k y x x =>)在第一象限内图象上，过点A 分别作AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，∴矩形ACOB 的面积为k ，∵点E 、F 在函数1y x =的图象上， ∴BOE S V COF S =V 12=， ∴四边形OFAE 的面积11122k k =--=-，故四边形OFAE 的面积为定值1k -，保持不变，故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数中系数k 的几何意义，根据反比例函数系数k 的几何意义可求出四边形和三角形的面积是解题的关键．4．在同一直角坐标系中，函数y=k(x －1)与y=(0)k k x<的大致图象是 A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】【分析】【详解】解：k<0时，y=(0)k k x<的图象位于二、四象限， y=k(x －1)的图象经过第一、二、四象限，观察可知B 选项符合题意，故选B.5．已知点()11,A y -、()22,B y -都在双曲线32m y x +=上，且12y y >，则m 的取值范围是（）A ．0m <B ．0m >C ．32m >-D ．32m <- 【答案】D【解析】【分析】根据已知得3+2m ＜0，从而得出m 的取值范围．【详解】∵点()11,A y -、()22,B y -两点在双曲线32m y x+=上，且y 1＞y 2， ∴3+2m ＜0， ∴32m <-，故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，当k ＞0时，该函数图象位于第一、三象限，当k ＜0时，函数图象位于第二、四象限．6．如图，点A 、B 在函数k y x=（0x >，0k >且k 是常数）的图像上，且点A 在点B 的左侧过点A 作AM x ⊥轴，垂足为M ，过点B 作BN y ⊥轴，垂足为N ，AM 与BN 的交点为C ，连结AB 、MN ．若CMN ∆和ABC ∆的面积分别为1和4，则k 的值为（）A ．4B ．2C 522D ．6【答案】D【解析】【分析】设点M （a ，0），N （0，b ），然后可表示出点A 、B 、C 的坐标，根据CMN ∆的面积为1可求出ab ＝2，根据ABC ∆的面积为4列方程整理，可求出k ．【详解】解：设点M （a ，0），N （0，b ），∵AM ⊥x 轴，且点A 在反比例函数k y x =的图象上， ∴点A 的坐标为（a ，k a ）， ∵BN ⊥y 轴，同理可得：B （k b ，b ），则点C （a ，b ）， ∵S △CMN ＝12NC•MC ＝12ab ＝1， ∴ab ＝2，∵AC ＝k a −b ，BC ＝k b−a ， ∴S △ABC ＝12AC•BC ＝12(k a −b)•(k b −a)＝4，即8k ab k ab a b--⋅=， ∴()2216k -=，解得：k ＝6或k ＝−2（舍去），故选：D ．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积计算等，解答本题的关键是明确题意，利用三角形的面积列方程求解．7．如图，反比例函数11k y x=的图象与正比例函数22y k x =的图象交于点（2，1），则使y 1＞y 2的x 的取值范围是（）A ．0＜x ＜2B ．x ＞2C ．x ＞2或-2＜x ＜0D ．x ＜－2或0＜x ＜2【答案】D【解析】【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B 点坐标，由函数图象即可得出结论.【详解】∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，∴A 、B 两点关于原点对称.∵A （2，1），∴B （－2，－1）.∵由函数图象可知，当0＜x ＜2或x ＜－2时函数y 1的图象在y 2的上方，∴使y 1＞y 2的x 的取值范围是x ＜－2或0＜x ＜2.故选D.8．在平面直角坐标系xoy 中，函数()20y x x =<的图象与直线1l ：()103y x b b =+<交于点A ，与直线2l ：x b =交于点B ，直线1l 与2l 交于点C ，记函数()20y x x =<的图象在点A 、B 之间的部分与线段AC ，线段BC 围城的区域（不含边界）为W ，当4233b -≤≤-时，区域W 的整点个数为（） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．没有【答案】D【解析】【分析】根据解析式画出函数图象，根据图形W 得到整点个数进行选择.【详解】 ∵()20y x x =<，过整点（-1，-2），（-2，-1），当b=43-时，如图：区域W 内没有整点，当b=23-时，区域W 内没有整点，∴4233b -≤≤-时图形W 增大过程中，图形内没有整点，故选：D.【点睛】此题考查函数图象，根据函数解析式正确画出图象是解题的关键.9．如图，ABDC Y 的顶点,A B 的坐标分别是()(), 0,3 1, 0A B -，顶点,C D 在双曲线k y x=上，边BD 交y 轴于点E ,且四边形ACDE 的面积是ABE ∆面积的3倍，则k 的值为:（）A ．6-B ．4-C ．3-D ．12-【答案】A【解析】【分析】过D 作DF//y 轴，过C 作//CF x 轴，交点为F ，利用平行四边形的性质证明,DCF ABO ∆≅∆利用平移写好,C D 的坐标，由四边形ACDE 的面积是ABE ∆面积的3倍，得到2,DB BE =利用中点坐标公式求横坐标，再利用反比例函数写D 的坐标，列方程求解k ．【详解】解：过D 作DF//y 轴，过C 作//CF x 轴，交点为F ，则,CF DF ⊥ABDC QY ，,CDF BAO ∴∠∠的两边互相平行，,AB DC =CDF BAO ∴∠=∠，90,DFC BOA ∠=∠=︒Q,DCF ABO ∴∆≅∆,,CF BO DF AO ∴== 设(,),k C m m由()(), 0,3 1, 0A B -结合平移可得：(1,3)k D m m ++， Q 四边形ACDE 的面积是ABE ∆面积的3倍，11()322BD BE DE CA h h BE ∴+=⨯⨯， ,,BD BE h h AC BD ==Q3DE AC BE ∴+=，4,DE BD BE BE ∴++=2,DB BE ∴=(1,3),(1,0),0,E k D m B x m++=Q ∴ 由中点坐标公式知：110,2m ++= 2m ∴=- ，(1,)1k D m m ++Q ， 3212k k ∴=+-+-， 6.k ∴=-故选A ．【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质，平行四边形的性质，平移性质，中点坐标公式，掌握以上知识点是解题关键．10．函数k y x=与y kx k =-（0k ≠）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】【分析】分k>0和k<0两种情况确定正确的选项即可.【详解】当k:>0时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交 y 轴于负半轴，y 随着x 的增大而增大，A 选项错误，C 选项符合；当k<0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交y 轴于正半轴，y 随着x 的增大而增减小，B. D 均错误，故选：C.【点睛】此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，熟记函数的性质是解题的关键.11．函数y =1-k x 与y =2x 的图象没有交点,则k 的取值范围是( ) A ．k<0B ．k<1C ．k>0D ．k>1【答案】D【解析】【分析】由于两个函数没有交点，那么联立两函数解析式所得的方程无解．由此可求出k 的取值范围．【详解】令1-k x =2x ，化简得：x 2=1-2k ；由于两函数无交点，因此1-2k ＜0，即k ＞1．故选D ．【点睛】函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．如果两函数无交点，那么联立两函数解析式所得的方程（组）无解．12．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数b y x=在同平面直角坐标系中的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，∴a＜0，∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点，∴c=0，∵二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴在y轴左侧，∴a，b同号，∴b＜0，∴一次函数y=ax+c，图象经过第二、四象限，反比例函数y=bx图象分布在第二、四象限，故选D．【点睛】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．13．如图，在平面直角坐标系中，函数y =kx 与y =-2x的图象交于 A、B 两点，过 A 作 y轴的垂线，交函数4yx=的图象于点 C，连接 BC，则△ABC 的面积为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】【分析】连接OC，根据图象先证明△AOC与△COB的面积相等，再根据题意分别计算出△AOD与△ODC的面积即可得△ABC的面积.【详解】连接OC，设AC⊥y轴交y轴为点D，如图，∵反比例函数y=-2x为对称图形， ∴O 为AB 的中点，∴S △AOC =S △COB ， ∵由题意得A 点在y=-2x 上，B 点在y=4x 上， ∴S △AOD =12×OD×AD=12xy=1； S △COD =12×OC×OD=12xy=2； S △AOC = S △AOD + S △COD =3，∴S △ABC = S △AOC +S △COB =6.故答案选C.【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积公式，解题的关键是熟练的掌握一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积运算.14．若反比例函数()2221my m x -=-的图象在第二、四象限，则m 的值是（） A ．-1或1B ．小于12的任意实数C ．-1D ．不能确定【答案】C【解析】【分析】根据反比例函数的定义列出方程221m -=-且210m -<求解即可．【详解】解：22(21)m y m x -=-Q 是反比例函数，∴221m -=-，210m -≠，解之得1m =±．又因为图象在第二，四象限，所以210m -<，解得12m <，即m 的值是1-．故选：C ．【点睛】对于反比例函数()0k y k x=≠．（1）0k >，反比例函数图像分布在一、三象限；（2）k 0< ，反比例函数图像分布在第二、四象限内．15．如图，点A 在反比例函数3(0)y x x =-<的图象上，点B 在反比例函数3(0)y x x=>的图象上，点C 在x 轴的正半轴上，则平行四边形ABCO 的面积是（）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】【分析】因为四边形ABCO 是平行四边形，所以点A 、B 纵坐标相等，即可求得A 、B 横坐标，则AB 的长度即可求得，然后利用平行四边形面积公式即可求解．【详解】解：∵四边形ABCO 是平行四边形∴点A 、B 纵坐标相等设纵坐标为b ，将y=b 带入3(0)y x x =-<和3(0)y x x=>中，则A 点横坐标为3b -，B 点横坐标为3b ∴AB=336()b b b--= ∴66ABCO S b b=⨯=Y 故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数以及平行四边形面积公式，本题关键在于两点间距离的求法．16．如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，反比例函数(0)k y k x=≠的图象过D 点和边BC的中点E ，连接DE ，若△CDE 的面积是1，则k 的值是（）A ．3B ．4C ．25D ．6 【答案】B 【解析】【分析】设E 的坐标是m n k mn =（，），，则C 的坐标是2m n （，），求得D 的坐标，然后根据三角形的面积公式求得mn 的值，即k 的值．【详解】设E 的坐标是m n k mn =（，），，，则C 的坐标是（m ，2n ），在mn y x = 中，令2y n =，解得：2m x =， ∵1CDE S =V ，∴111,12222m m n m n -=⨯=g 即 ∴4mn =∴4k =故选：B【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，利用mn 表示出三角形的面积是关键．17．如图，点A 是反比例函数2(0)y x x=>的图象上任意一点，AB x P 轴交反比例函数3y x=-的图象于点B ，以AB 为边作ABCD Y ，其中C 、D 在x 轴上，则ABCD S Y 为（）A ．2.5B ．3.5C ．4D ．5【答案】D【解析】【分析】过点B 作BH ⊥x 轴于H ，根据坐标特征可得点A 和点B 的纵坐标相同，由题意可设点A 的坐标为（2a ，a ），点B 的坐标为（3a -，a ），即可求出BH 和AB ，最后根据平行四边形的面积公式即可求出结论．【详解】解：过点B 作BH ⊥x 轴于H∵四边形ABCD 为平行四边形∴//AB x 轴，CD=AB∴点A 和点B 的纵坐标相同由题意可设点A 的坐标为（2a ，a ），点B 的坐标为（3a -，a ） ∴BH=a ，CD=AB=2a －（3a -）=5a∴ABCD S Y =BH·CD=5 故选D ．【点睛】此题考查的是反比例函数与几何图形的综合题，掌握利用反比例函数求几何图形的面积是解决此题的关键．18．已知反比例函数b y x=与一次函数y ax c =+有一个交点在第四象限，该交点横坐标为1，抛物线2y ax bx c =++与x 轴只有一个交点，则一次函数b c y x a a=+的图象可能是（） A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】【分析】根据题意得b ＜0，a+c ＜0，240b ac =>，可得a ＜0，c ＜0，进而即可判断一次函数b c y x a a=+的图象所经过的象限．【详解】 ∵反比例函数b y x=与一次函数y ax c =+有一个交点在第四象限， ∴反比例函数的图象在二、四象限，即b ＜0，∵该交点横坐标为1，∴y=a+c ＜0，∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴只有一个交点， ∴240b ac -=，即：240b ac =>，∴a ＜0，c ＜0， ∴0b a>，0c a >， ∴b c y x a a=+的图象过一、二、三象限．故选B ．【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的图象和性质，掌握函数图象上点的坐标特征以及函数解析式的系数的几何意义，是解题的关键．19．若点A （﹣4，y 1）、B （﹣2，y 2）、C （2，y 3）都在反比例函数1y x =-的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 3＞y 2＞y 1C ．y 2＞y 1＞y 3D ．y 1＞y 3＞y 2 【答案】C【解析】【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y 1、y 2、y 3的值，比较后即可得出结论.【详解】∵点A(﹣4，y 1)、B(﹣2，y 2)、C(2，y 3)都在反比例函数1y x =-的图象上， ∴11144y =-=-，21122y =-=-，312y =-，又∵﹣12＜14＜12， ∴y 3＜y 1＜y 2，故选C.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数值的大小比较，熟知反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数的解析式是解题的关键.20．若一个圆锥侧面展开图的圆心角是270°，圆锥母线l与底面半径r之间的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长得到2πr=270180lπ⋅⋅，整理得l=43r（r＞0），然后根据正比例函数图象求解．【详解】解：根据题意得2πr=270180lπ⋅⋅，所以l=43r（r＞0），即l与r为正比例函数关系，其图象在第一象限．故选A．【点睛】本题考查圆锥的计算；函数的图象．。

反比例函数易错剖析(数学人教九年级下册)

第 1 页共 1 页反比例函数易错剖析反比例函数是继一次函数之后同学们学习的又一新型函数，有些同学对反比例函数概念理解不到位，性质把握不准确，从而在解题过程中出现了这样或那样的错误.现就同学们在反比例函数中常出现的错误举例说明如下，以便同学们参考借鉴.一、忽视比例系数不为零导致出错例1 若函数y=（k-2）25k x-为反比例函数，则k=_______.错解：±2 剖析：错解忽略了反比例函数y=k x 中k≠0这一条件.本题的m 不仅满足k 2-5=-1，更要满足k-2≠0. 正解： .二、对反比例函数的性质理解不透导致出错例2 在函数y=2m x-（m≠0，m 为常数）的图象上有三个点（-2，y 1），（-1，y 2），（3，y 3），则函数值的大小关系是（）A. y 1＜y 2＜y 3B. y 3＜y 2＜y 1C. y 2＜y 3＜y 1D. y 3＜y 1＜y 2错解：A剖析：当k<0时，反比例函数的图象在第二、四象限内，且在每一象限内，y 的值随x 值的增大而增大，而点（-2，y 1），（-1，y 2）与（3，y 3）不在同一象限内，故需分象限讨论.正解： .三、忽视实际问题中自变量的取值范围导致出错例3 已知一矩形的面积是10，则这个矩形的一组邻边长y 与x 的函数关系的图象大致是（）A B C D错解：C剖析：已知矩形的面积10，两邻边长分别是x ，y ，所以xy=10，即y=x10（x ＞0），可知此函数是反比例函数.由于自变量x 的取值范围是x ＞0，所以函数的图象只有一个分支，且在第一象限．错解忽视了实际问题中自变量的取值范围．正解： .四、忽略y=xk (k≠0)中x 的次数是1次这一限制条件例4 已知y 与x 2成反比例，且当x=3时，y=4 ，则y 是x 的（）A. 正比例函数B. 一次函数C. 反比例函数D. 以上都不是错解：C剖析：要确定y 是x 的哪种函数，需要根据已知条件求出y 与x 之间的函数解析式.因为y 与x 2成反比例，故设y=2x k ，将x=3，y=4代入可求得k=36，即y=236x，根据反比例函数的定义可知，形如 y=x k （k≠0）时，y 是x 的反比例函数，但这里的分母中x 的指数是1次的，而y=236x 分母中的x 的指数是2次的，所以满足y=236x 的y 不是x 的反比例函数，也不是一次函数.正解： .答案：例1 -2 例2 D 例3 D 例4 D。

[名校]中考数学易错题考点详解：反比例函数

中考数学易错题考点详解：反比例函数
考点一：反比例函数
1.反比例函数有三种表现形式，注意不要忽视系数不为零这个条件
2.反比例函数的增减性的应用注意观察两点是否在同一象限
3.注意灵活应用k的几何意义
易错1：反比例函数的概念
易错2：反比例函数的增减性
易错3：对k 的符号考虑不周
易错4：取值范围不完整
易错5：反比例函数与一次函数的图象综合
考点二反比例函数的应用
1.反比例函数的应用一般会和物理、化学等其他学科综合应用，注意熟练掌握这些学科中含有反比例函数的公式
2.在反比例函数的实际应用中，写完函数解析式以后，不要忘记自变量的取值范围。

易错1：与其它学科综合
易错2：反比例函数的应用
考点三：反比例函数与几何综合
反比例函数和几何综合题一般难度较大，一定要注意培养自己的几何思维。

重点把握特殊三角形（等腰三角形、直角三角形）的存在性问题、平行四边形的存在性问题和函数的综合应用，学会分类讨论。

易错1：反比例函数中的几何问题。

专题01 反比例函数(重难点突破)(解析版)

专题01 反比例函数重点用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的图象和性质难点反比例函数中比例系数k 的几何意义易错反比例函数解析式的条件忽略k ≠0一、反比例函数的概念识别一个函数是不是反比例函数，可对照反比例函数的基本形式k y x=或变形形式xy =k （k 是常数，k ≠0），1y kx -=（k 是常数，k ≠0）进行筛选．【例1】下列函数中，y 是x 的反比例函数的有（）个．①1y x -＝；②3y x ＝；③1xy -＝；④3y x ＝；⑤21y x =-；⑥11y x -＝．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【详解】根据反比例函数的定义可得：①1y x -＝；②3y x＝；③1xy -＝；是反比例函数，④3y x ＝；⑤21y x =-；⑥11y x -＝不是反比例函数，故选：B ．二、用待定系数法求反比例函数的解析式确定反比例函数解析式的方法是待定系数法，由于在反比例函数(0)k y k x=¹中只有一个待定系数，因此只需要一对对应的x ，y 值或图象上一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式．【例2】已知y 与x 成反比例函数，且2x =时，3y =，则该函数表达式是（）A ．6y x =B ． 16y x =C ． 6y x =D ． 16y x -=-【答案】C【详解】解：∵y 与x 成反比例函数，∴设k y x=，把23x y ==，代入k y x=得6k =，所以该函数表达式是6y x =．故选：C ．三、反比例函数的图象和性质（1）对于反比例函数(0)k y k x=¹，因为x ≠0，y ≠0，所以它的图象不经过原点．反比例函数的图象由两个分支组成，分别位于第一、第三象限或第二、第四象限．（2）反比例函数的增减性不是连续的，因此在谈反比例函数的增减性时，必须强调在“每一个象限内”，不能笼统地说，“当k >0时，y 随x 的增大而减小”，这样就会出现与事实不符的矛盾．（3）反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数太的符号决定的；反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号．【例3】函数k y x=与y ＝ax 2﹣bx +c 的图象如图所示，则函数y ＝kx +b 的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】解：根据反比例函数的图象位于一、三象限知k ＞0，根据二次函数的图象可知a ＜0，-b ＜0，即b ＞0，∴函数y ＝kx +b 的大致图象经过一、二、三象限，故选：D ．四、反比例函数ky x =中比例系数k 的几何意义在一个反比例函数图象上任取两点P ，Q ，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1；过点Q 分别作x 轴、y 轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积为S 2，则S 1=S 2．【例4】如图，矩形的中心为直角坐标系的原点O ，各边分别与坐标轴平行，其中一边AB 交x 轴于点C ，交反比例函数图象于点P ．当点P 是AC 的中点时，求得图中阴影部分的面积为8，则该反比例函数的表达式是（）A ．2y x =B ．4y x =C ．8y x =D ．16y x=【答案】B【详解】解：如下图所示，设矩形与y 轴交于点D ，∵矩形的中心为直角坐标系的原点O ，反比例函数的图象是关于原点对称的中心对称图形，且图中阴影部分的面积为8，∴矩形OCAD 的面积是8，设()A x y ，，则8xy =，∵点P 是AC 的中点，∴12P x y æöç÷èø，，设反比例函数的解析式为k y x =，∵反比例函数图象于点P ，∴11422k x y xy =´==，∴反比例函数的解析式为4y x =．故选：B ．一、单选题1．下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（）A ．y x=-B ．2y x =-C ．21y x =D ．221y x x =-+【答案】B【详解】A 、y x =-，不符合一般式()0k y k x =¹，故此选项错误．B 、2y x =-，符合一般式()0k y k x=¹，故此选项正确．C 、21y x =，不符合一般式()0k y k x =¹，故此选项错误．D 、221y x x =-+，不符合一般式()0k y k x =¹，故此选项错误．故选：B ．2．如果反比例函数2k y x -=的图象位于第二、四象限，那么k 的取值范围是（）A ． 2k <B ．2k -＜C ．2k ＞ D ．2k -＞【答案】A 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，∴20k -<，∴2k <，故选：A ．3．下列说法中不正确的是（）A ．函数3y x =的图象经过原点B ．函数1y x =的图象位于第一、三象限C ．函数21y x =-的图象不经过第二象限D ．函数3y x=-的值随x 的值的增大而增大【答案】D【详解】解：A 、函数3y x =的图象经过原点，故本选项正确，不符合题意；B 、函数1y x =的图象位于第一、三象限，故本选项正确，不符合题意；C 、函数21y x =-的图象不经过第二象限，故本选项正确，不符合题意；D 、在每一象限内，函数3y x=-的值随x 的值的增大而增大，故本选项错误，符合题意；故选：D4．已知正比例函数0y kx k =¹（），y 的值随x 的值的增大而减小，那么它和反比例函数()0k y k x=-¹在同一直角坐标平面内的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【详解】解：∵函数0y kx k =¹（）中y 随x 的增大而减小，∴0k <，该函数图象经过第二，四象限；∴函数k y x=-的图象经过第一、三象限，故C 正确．故选：C ．5．反比例函数1y x=-上图象上有三个点()()()112233,,,,,x y x y x y ，其中1230x x x ＜＜＜，则123,,y y y 的大小关系是（）A ．123y y y ＜＜B ．231y y y ＜＜C ．132y y y ＜＜D ．321y y y ＜＜【答案】B 【详解】解：∵反比例函数1y x=-的图象在二，四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大，而1230x x x ＜＜＜，∴123320,0,0,,y y y y y ＞＜＜＞∴231,y y y ＜＜故选B ．6．如图，正比例函数1y k x =与反比例函数2k y x =的图像交于(1,)A m 、B 两点，当21k k x x£时，x 的取值范围是（）A ．10x -£<或1x ³B ．1x £-或01x <£C ．1x £-或1x ³D ．10x -£<或01x <£【答案】A 【详解】解析：Q 正比例函数1y k x =与反比例函数2k y x=的图像交于(1,)A m 、B 两点，(1,)B m \--，由图像可知，当21k k x x £时，x 的取值范围是10x -£<或1x ³，故选：A ．二、填空题7．若点()1,1A x -，()2,2B x ，()3,3C x 都在反比例函数6y x =的图象上，则1x ，2x ，3x 的大小关系是______．【答案】132x x x <<##231x x x >>【详解】解：∵60>，∴反比例函数6y x =的图象在一三象限，在在每一象限内，y 随x 的增大而减小，∵1023-<<<，∴132x x x <<．故答案为：132x x x <<．8．反比例函数k y x=的图象如图所示，点A 在该函数图象上，AB 垂直于x 轴，垂足为点B ，如果2AOB S =△，那么k =________．【答案】4-【详解】设()00,A x y ，由2AOB S D =可知00.122x y = ，所以00.4x y =而点A 在第二象限，则00 . 4x y =-，因为点A 是函数图象上的一点，所以00k y x =，则004k x y =×=-故答案为：4-．三、解答题9．已知12y y y =+，1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当=1x -时，4y =- ；当3x =时，4y =．(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)当2x =-时，求y 的值．【答案】(1)3y x x=+(2)72-【详解】（1）解：（1）设12,n y mx y x==，则n y mx x =+，根据题意得4343m n n m --=-ìïí+=ïî，解得13m n =ìí=î．所以y 与x 的函数表达式为3y x x =+．（2）把2x =-代入得，37222y =-+=--．10．如图，一次函数()10y k x b k =+¹与反比例函数()20k y x x=>的图像交于()1,6A ，()3,B m 两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式：(2)根据图象直接写出21k k x b x +<时，x 的取值范围：(3)求AOB V 的面积．【答案】(1)28y x =-+，6y x =(2)01x <<或3x >(3)8【详解】（1）(1,6)A Q ，(3,)B m 在2k y x=的图象上，26k \=，\反比例函数的解析式是6y x=．2m \=．(1,6)A Q ，(3,2)B 在函数1y k x b =+的图象上，\11632k b k b +=ìí+=î，解得：128k b =-ìí=î．则一次函数的解析式是28y x =-+．所以一次函数的解析式是28y x =-+，反比例函数的解析式是6y x=；（2）由图象得：当01x <<或3x >时，21k k x b x +<；（3）Q 直线28y x =-+与y 轴相交于点C ，C \的坐标是(0,8)．ΔΔΔ18(31)82AOB BOC AOC S S S \=-=´´-=．一、单选题1．已知反比例函数1a y x -=的图象位于第一、三象限，则a 的取值范围是（）A ．1a =B ．1a ¹C ．1a >D ．1a <【答案】C【详解】解：∵反比例函数1a y x -=的图象位于第一、三象限，∴10a -＞，解得：1a >，故选：C ．2．点()11,y ，()22,y ，()33,y ，()44,y 在反比例函数4y x =图象上，则1y ，2y ，3y ，4y 中最小的是（）A ．1yB ．2yC ．3yD ．4y 【答案】D【详解】解：∵ 40k =＞，∴在第一象限内，y 随x 的增大而减小，∵()11,y ，()22,y ，()33,y ，()44,y 在反比例函数4y x =图象上，且1＜2＜3＜4，∴4y 最小．故选：D ．3．对于反比例函数5y x =-，下列说法正确的是（）A ．图象经过点()2,3-B ．图象位于第一、三象限C ．当0x <时，y 随x 的增大而减小D ．当0x >时，y 随x 的增大而增大【答案】D【详解】解：A 、()2365k ´-=-¹=-Q ，点()2,3-不满足关系式，因此A 选项不符合题意；B 、50k =-<Q ；\它的图象在第二、四象限，因此B 选项不符合题意；C 、50k =-<Q ；\它的图象在第二、四象限，当0x <时，y 随x 的增大而增大，因此C 选项不符合题意；D 、50k =-<Q ；\它的图象在第二、四象限，当0x >时，y 随x 的增大而增大，因此D 选项符合题意．故选：D ．4．函数()0k y k x=¹与函数y kx k =-在同一坐标系中的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【详解】解：Q 函数y kx k =-的图像经过点(1,0)，\选项B 、选项D 不符合题意；由A 、C 选项可知：0k >，\反比例函数()0k y k x=¹的图像在第一、三象限，故选项A 符合题意，选项C 不符合题意；故选：A ．5．如图，在平面直角坐标系内，正方形OABC 的顶点A ，B 在第二象限内，且点A ，B 在反比例函数()0k y k x =¹的图象上，点C 在第三象限内．其中，点A 的纵坐标为3，则2k 的值为（）A ．9-B ．9-C ．27-D ．27-【答案】B【详解】解：过点A 作AE x ^轴于E ，过点B 作BF x P 轴，交AE 于F ，∵90OAE BAF OAE AOE Ð+Ð=°=Ð+Ð，∴BAF AOE Ð=Ð，在AOE △和BAF △中90AOE BAF AEO BFA OA AB Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î∴()AAS AOE BAF ≌△△，∴OE AF AE BF ==，，∵点A ，B 在反比例函数()0k y k x=¹的图象上，点A 的纵坐标为3，∴33k A æöç÷èø，∴33k AE OE ==-，，∴3333k k B æö-+ç÷èø，，∴3333k k k æöæö=-+ç÷ç÷èøèø，∴29k -解得k =（正数舍去），∴29k =-故选B ．6．定义：一次函数y ax b =+的特征数为[],a b ．一次函数2y x m =+的图像向上平移3个单位长度后与反比例函数3y x=的图像交于点A ，B ．若点A ，B 关于原点对称，则一次函数2y x m =+的特征数是( )A ．[]2,0B ．[]2,3C ．[]2,3-D ．[]2,6-【答案】C【详解】将一次函数2y x m =+向上平移3个单位长度后得到23y x m =++，设 ()()12,0, ,0,A x B x 联立233y x m y x =++ìïí=ïî22(3)30x m x \++-=，12,x x Q 是方程的两根，1232m x x +\+=-，又A Q ，B 两点关于原点对称，302m +\-=，3m \=-根据定义，一次函数2y x m =+的特征数是[]2,3-故选：C ．7．如图，点A 是反比例函数4y x=图像上的一动点，连接AO 并延长交图像的另一支于点B ．在点A 的运动过程中，若存在点(),C m n ，使得AC BC ^，AC BC =，则m ，n 满足（）A ．mn 2=-B ．4mn =-C ．2n m =-D ．4n m=-【答案】B 【详解】解：连接OC ，过点A 作AE x ^轴于点E ，过点C 作CF y ^轴于点F，如图所示：Q 由直线AB 与反比例函数4y x=的对称性可知A 、B 点关于O 点对称，AO BO \=，又AC BC ^Q ，AC BC =，CO AB \^，12CO AB OA ==，90AOE AOF Ð+Ð=°Q ，90AOF COF Ð+Ð=°，AOE COF \Ð=Ð，又90AEO Ð=°Q ，90CFO Ð=°，()AOE COF AAS \D @D ，OE OF \=，AE CF =，Q 点(,)C m n ，CF m \=-，OF n =，AE m \=-，OE n =，(),A n m \-，Q 点A 是反比例函数4y x=图像上，4mn \-=，即4mn =-，故选：B ．8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 的坐标为（﹣1，2），点B 在x 轴正半轴上，点D 在第三象限的双曲线15y x=上，过点C 作CE ∥x 轴交双曲线于点E ，则CE 的长为（）A ．245B ．236C ．437D ．214【答案】C 【详解】解：设点15,D m m æöç÷èø，如图所示，过点D 作x 轴的垂线交CE 于点G ，过点A 过x 轴的平行线交DG 于点H ，过点A 作AN ⊥x 轴于点N ，∵∠GDC +∠DCG =90°，∠GDC +∠HDA =90°，∴∠HDA =∠GCD ，在△DHA 和△CGD 中，90HDA GCDDHA CGD AD DCÐ=ÐìïÐ=Ð=°íï=î ，∴△DHA ≌△CGD (AAS)，∴HA =GD ，DH =CG ，同理可证得△ANB ≌△DGC (AAS)，∴AN =DG =2=AH ，则点15,2G m m æö-ç÷èøG ，CG =DH ，AH =−1−m =2，解得：m =−3，故点G (−3,−7)，D (−3,−5)，H (−3,2)，则点15,77E æö--ç÷èø，156377GE =-=，DH=5+2=7，643777CE CG GE DH GE =-=-=-=，故选：C ．二、填空题9．如图，点A 在反比例函数my x =的图象上，AB x ^轴于点B ，点C 在x 轴上，且CO OB =，ABC V 的面积为2，则m 的值为______．【答案】2-【详解】解：设||CO BO a ==，则||||m AB a =，∵ABC V 的面积为2，∴1||2||22||m a a ´´=，∵0m <解得：2m =- ．故答案为：2-．10．在反比例函数4y x=中，已知四边形ABDC 与四边形BOFE 都是正方形，则点C 的坐标为_________．【答案】1)+【详解】解：设,OB a AB b ==，则点,E a a （），点(),C b a b +，∵反比例函数4y x=的图像过点C E 、，∴24()·4a a b b ì=í+=î，解得：1b ìïí=-ïî或1a b ìïí=-ïî（舍去）或1a b =ìïí=+ïî1a b =ìïí=ïî∴1AB AC b ===，21AO =，故点C 的坐标为1)+．故答案为：1)-．三、解答题11．已知反比例函数(0)k y k x=¹，当3x =-时，4y =.(1)求y 关于x 的函数表达式；(2)当43y £且0y ¹时，求自变量x 的取值范围.【答案】(1)12y x =-(2)9x £-或0x >【详解】（1）解：∵反比例函数(0)k y k x =¹，当3x =-时，4y =.∴3412k =-´=∴12y x=-,（2）当43y =时，9x =-，∵12y x=-的图象在第二、四象限，∴当43y £且0y ¹时，9x £-或0x >．12．如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x =的图象交于()()4,,2,4A n B -- 两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)设点()()1122,,,M x y N x y 是反比例函数m y x =图象上的两个点，若12x x <，试比较1y 与2y 的大小；(3)求AOB V 的面积．【答案】(1)8y x =-，2y x =--(2)见解析(3)6【详解】（1）解：（1）将点()2,4B -代入反比例函数m y x=，得2(4)8m =´-=-，∴反比例函数解析式：8y x =-，将点()4,A n -代入8y x=-，得48n -=-，解得2n =，∴()4,2A -，将A ，B 点坐标代入一次函数y kx b =+，得4224k b k b -+=ìí+=-î，解得12k b =-ìí=-î，∴一次函数解析式：2y x =--；（2）∵8y x=-，80k =-<，∴图象过二，四象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大，若12x x <，分三种情况：①12120,x x y y <<<，②12120,x x y y <<>，③12120,x x y y <<<；（3）设一次函数与y 轴的交点为D ，则D 点坐标为(0,2)-，∴2OD =，∵(4,2),(2,4)A B --，∴112422622AOB AOD BDD S S S D D D =+=´´+´´=，∴AOB V 的面积为6．13．如图，直线6y ax =+经过点()30A -,，交反比例函数()0ky x x=>的图象于点()1,B m ．(1)求k 的值；(2)点D 为第一象限内反比例函数图象上点B 下方的一个动点，过点D 作DC y ^轴交线段AB 于点C ，连接AD ，求ACD V 的面积的最大值．【答案】(1)8(2)254【详解】（1）解：把()30A -,代入6y ax =+，得360a -+=，解得2a =，∴直线的函数表达式为26y x =+，∴当1x =时，2168y =´+=，∴()1,8B ，把()1,8B 代入反比例函数k y x=，得188k =´=．（2）解：设点C 的坐标为(),26x x +，由于DC y ^轴，所以点D 的纵坐标为26x +，∴点8,2626D x x æö+ç÷+èø，∴()()22118325262634222624ACD S CD x x x x x x x æöæö=´+=-´+=--+=-++ç÷ç÷+èøèø△，∴当 1.5x =-时，254ACD S =△最大值，答：ACD S V 的最大值为254．14．如图，函数y ＝k x（x ＞0）的图像过点A （n ，2）和B （85，2n −3）两点．(1)求n 和k 的值；(2)将直线OA 沿x 轴向左移动得直线DE ，交x 轴于点D ，交y 轴于点E ，交y ＝k x （x ＞0）于点C ，若ACO S V ＝6，求直线DE 解析式；(3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F ，使得△DEF 为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)4,8n k ==；(2)132y x =+；(3)(9,6)-或(3,9)-或99(,22-．【详解】（1）解：Q 函数=k y x （x ＞0）的图像过点A （n ，2）和B （85，2n −3）两点，2=8(23)=5n k n k \-ìïíïî，解得=4=8n k ìíî，故n 和k 的值分别为4，8．（2）解：4,8n k ==Q ，8(4,2),(,5)5A B \，直线OA 的解析式为：12y x =，过点C 作CG x ^轴于点G ，交直线OA 于点H ，设8(,0)C m m m>，1(,)2H m m \，162AOC A S CH x D \=×=，181()4622m m \-´=，2m \=或=8m（不符合题意舍去）(2,4)C \，DE OA ∥Q ，\设直线DE 的解析式为：12y x b =+，Q 点C 在直线DE 上，1422b \=´+即=3b ，\直线DE 的解析式为：132y x =+．（3）解：根据题意，分三种情况进行讨论：①以DE 为直角边，D 为直角顶点；如图，过F 做FK x ^轴于点K ，易知：90FKD DOE Ð=Ð=°，90FDE Ð=°Q ，90FDK EDO \Ð+Ð=°，又90DEO EDO Ð+Ð=°Q ，FDK DEO \Ð=Ð，又FD =DE ，FKD DOE \D D ≌，\FK =DO =6，KD =OE =3，故点D 到点F 的平移规律是：D 向左移3个单位，向上移6个单位得点1F 坐标，(6,0)D -Q ，且F 在第二象限，1(63,06)F \--+即1(9,6)F -；②以DE 为直角边，E 为直角顶点；同①理，将E 点向左移3个单位，向上移6个单位得点F 坐标，得2(3,9)F -；③以DE 为斜边边时．同理，将ED 中点3(3,2-向左移32个单位，向上移3个单位得点F 坐标，得399(,)22F -；综上所述，点F 的坐标为：(9,6)-或(3,9)-或99(,)22-．。

例析反比例函数的易错点

例析反比例函数的易错点反比例函数是数学中的重要内容之一，更是历年中考的热点。

但初学者由于概念理解上的偏差、研究增减性时不分象限（笼统地说：当0 k 时，y 随x 的增大而减小，或当0 k 时，y 随x 的增大而增大）和数形分离（不会在函数图像中发现并采集相关信息）等现象，经常会出现一些不必要的错误，不知你是否也犯过下面的错误：一、忽视反比例函数x k y =成立的条件“k 是常数，且0≠k ”例1．若函数322)(--+=k k x k k y 是反比例函数，则k 的值为（）A ．2=mB ．1-=mC ．2=m 或1-=mD ．2-=m 或1-=m错解：∵322)(--+=k k x k k y 是反比例函数，∴132-=--k k ，解得21=k ，12-=k ．故选C ．剖析：根据反比例函数定义可知，反比例函数x k y =（或1-=kx y ）中存在着隐含条件“0≠k ”．本题的错误原因是只考虑到反比例满足132-=--k k 这一条件，而忽视了隐含条件“02≠+k k ”．正解：由题意得，132-=--k k ，解得21=k ，12-=k ．当21=k 时，062222≠=+=+k k （符合题意）当12-=k 时，0)1()1(22=-+-=+k k （不符合题意，舍去）所以2=k 时，322)(--+=k kx k k y 是反比例函数，故选C ．二、数形分离，顾此失彼例2．如图（1），P 是反比例函数x k y =的图象上一点，过P 向x 轴，y 轴引垂线，若S 阴影=5，则此函数图象的解析式为．错解：设P 点的坐标为（x 0，y 0），则500===k y x S 阴影，解得5±=k ．∴x y 5=或xy 5-=．剖析：上述解题过程中没有考虑到图像信息而导致错误．仔细观察图像，不难发现双曲线在第二、四象限，所以0 k ．正解：由阴影部分的面积等于5，得500===k y x S 阴影，解得5±=k ． ∵x k y =的图像在第二、四象限，∴0 k ，即xy 5-=．三、实际问题中忽视自变量的取值范围例3．甲、乙两地相距100千米，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽车到达乙地所用的时间t （小时）表示汽车速度v （千米/时）的函数，并画出图象。

反比例函数易错点分析及处理办法

反比例函数易错点分析及处理办法反比例函数是在学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，让学生进一步理解函数的内涵，感受现实世界存在的各种函数以及如何应用函数解决实际问题。

本章重点是反比例函数的概念、图象和性质。

难点是对反比例函数及其图象和性质的理解和掌握。

本章学生不易掌握的知识：由反比例函数图归纳其性质，反比例函数与正比例函数结合进行综合运用，以及反比例函数知识在实际中的应用。

学生易犯的错误：1、利用反比例函数定义求待定系数值时，容易漏掉系数（K ≠0）不等于零的情况。

如，当m 为______时，函数132)1(+++=m mx m y 是反比例函数。

学生容易仅以1132-=++m m ，解得11-=m ，22-=m 。

教学时老师要注意强调1-=kx y 中的K ≠0是反比例函数定义的重要组成部分。

本题的m 不仅满足1132-=++m m 而且要满足m+1≠0.2、已知图象上的两点的横坐标（或纵坐标）的大小情况，判定其纵坐标（或横坐标）的大小情况。

如在函数xy 3-=的图象上有三点（x 1,y 1）,(x 2,y 2),(x 3,y 3),且x 1＜x 2＜x 3 ，则函数y 1,y 2,y 3 的关系为___________.学生容易错解为：y 随x 增大而增大，所以y 1＜y 2＜y 3。

老师教学时要强调反比例函数的性质：K ＜0时，图象在第二、四象限内，且在每一象限内，y 随x 增大而增大，当点不在一个象限内时，不能用该性质进行判断。

3、求解析式时，既有正比例函数又有反比例函数，出现两个比例系数，学生往往不能加以区别。

如，已知y=y 1+y 2,y 1与x+1成正比例，y 2与x 成反比例，当x=4时，y=5；当x=1时，y=0,求y 与x 的关系式。

学生容易写成：y 1=k(x+1),y 2=xk .导致错误的原因是对正比例函数与反比例函数的学习比较不够全面。

在教学时要注意：1、注意处理好新旧知识的衔接。

反比例函数易错

图1反比例函数易错一、忽略反比例函数表达式成立的条件致错例1若函数()221a ya x-=-是反比例函数，则a 的值为（）.A ．1a = B. 1a =- C. 1a =或1a =- D. 1a =且1a =- 错解：由反比例函数的定义知，221a-=-，解得1a =或1a =-. 故选C.剖析：上面的解答只考虑到x 的指数221a -=-，却忽视了反比例函数表达式成立的条件0k ≠，即比例系数10a -≠，所以1a ≠，故只取1a =-. 正解：B.二、错误理解反比例函数关系致错例2 若y 与2x 成反比例，且当1x =-时，3y =，则y 与x 之间是（）.A ．正比例函数 B. 反比例函数 C. 一次函数 D. 以上都不是错解：B.剖析：在这个关系中，把2x 整体看成一个自变量，y 与2x 是反比例函数关系.但是如果把x 看成自变量，那么y 与x 不是反比例函数关系.正解：∵y 与2x 成反比例，∴2k yx =. 代入1x =-，3y =得3k =.∴23y x=. 显然满足23y x=的y 不是x 的一次函数和反比例函数. 故选D. 三、错误理解反比例函数的性质致错例3（2007年绵阳市）若A （a 1，b 1），B （a 2，b 2）是反比例函数xy 2-=图象上的两个点，且a 1＜a 2，则b 1与b 2的大小关系是（）.A ．b 1＜b 2B ．b 1 = b 2C ．b 1＞b 2D ．大小不确定错解：∵0k =，∴y 随x 的增大而增大. 又∵a 1＜a 2，∴12b b <. 故选A.剖析：当0k<时，在每个象限内，y 随x 的增大而增大. 注意“在每个象限内”指的是两点必须在同一象限内，才有性质“y 随x 的增大而增大”，而不在一个象限内的点，则不满足此性质.正解：由于题目没有指明A （a 1，b 1），B （a 2，b 2）是否在同一象限内，虽然有a 1＜a 2，但却不能确定b 1与b 2的大小关系. 故选D.四、忽视隐含条件致错例4（2007年大连市）如图1，A B ，是双曲线ky x =且点()B a b ，在点A 的右侧，则b 的取值范围是．剖解：观察图象知，A 点的纵坐标为2，又因为点()B a b ，在点A 的右侧，所以2b <. 故填2b <.分析：做数学题要细心，考虑问题要全面，注意隐含条件. 由于双曲线的分支不可能与坐标轴相交，所以点()B a b ，只能在第一象限内，即本题隐含着0b >这个条件正解：由于2b <，且0b >，所以b 的取值范围是02b <<.故填02b <<. 五、忽视自变量的取值范围致错例5（2007年佳木斯市）在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m 的某种气体，当改变容积v 时，气体的密度ρ也随之改变，ρ与v 在一定范围内满足mvρ=，当7kg m =时，它的函数图象是（）.错解：由题意得7vρ=，由于此函数是反比例函数，所以其图象是双曲线. 故选A. 剖析：在利用描点法画反比例函数的图象时，一定要注意自变量的取值范围. 错解产生的原因在于没有根据实际问题去确定函数自变量的取值范围，由于本题的自变量v 表示密闭容器的容积，故0v >. 所以函数的图象只能是双曲线在第一象限的部分.正解：选D.A ．)B ．)C ．)D ．)。

反比例函数高频考点重难点总结

反比例函数高频考点重难点总结一、反比例函数的概念：一般地，形如 y = k/x ( k是常数, k ≠ 0 ) 的函数叫做反比例函数。

二、反比例函数的图象和性质：1、形状：图象是双曲线。

2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第一、三象限内；（2）当k<0时,>3、增减性：（1）当k>0时,在每个象限内，y随x的增大而减小；（2）当k<>在每个象限内，y随x的增大而增大。

4、变化趋势：双曲线无限接近于x、y轴，但永远不会与坐标轴相交。

5、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点中心对称；（2）对于k取互为相反数的两个反比例函数（如：y = 6/x 和y = -6/x）来说，它们是关于x轴，y轴对称。

三、反比例函数中比例系数k的几何意义：1、反比例函数与矩形面积：若P(x，y)为反比例函数y=k/x(k≠0)图像上的任意一点如图1所示，过P作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，求矩形PMON的面积.分析：S矩形PMON=PM·PN=│y│·│x│=│xy│∵y=k/x,∴ xy=k,∴S =│k│.2、反比例函数与三角形面积：若Q(x，y)为反比例函数y=k/x(k≠0)图像上的任意一点如图2所示，过Q作QA⊥x轴于A(或作QB⊥y轴于B)，连结QO，则所得三角形的面积为：S△QOA=│k│/2（或S△QOB=│k│/2）.说明：以上结论与点在反比例函数图像上的位置无关.四、反比例函数图像与一次函数图像的交点（难点）求两个函数图像的交点，往往把两个函数的表达式联立组成方程组，方程组的解就是交点的坐标。

（1）正比例函数y=k₁x(k₁≠0)与反比例函数y=k₂/x(k₂≠0),当k₁与k₂同号时，正比例函数图像与反比例函数图像有两个交点，即对应方程组的解，且两个交点关于原点对称；当k₁与k₂异号时，两个函数图像没有交点。