奥林匹克训练题库·约数与最大公约数
奥数最大公约数及最小公倍数例题、练习及答案
最大公约数与最小公倍数（一）教学目标： 1．通过学生对应用题的条件与问题的全面分析，培养学生发现问题和解决问题的意识。
2．通过比较与辨析，使学生进一步理解和掌握“最大公约数和最小公倍数”应用题的解题规律。
3．培养学生的合作交流意识和创新意识，发展学生的空间观念与想像力。
教学过程：一、基本概念知识1.公约数和最大公约数 ①如果一个自然数a 能被自然数b 整除，那么称a 为b 的倍数，b 为a 的约数。
②如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。
在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。
例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12;18的约数有：1，2，3，6，9，18。
自然数n a a a ,,,21 的最大公约数通常用符号（n a a a ,,,21 ）表示，例如，12和18的公约数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作(12，18)=6。
（8，12）=4，（6，9，15）=3。
2.公倍数和最小公倍数③如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。
在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。
例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，…18的倍数有：18，36，54，72，90，…自然数n a a a ,,,21 的最小公倍数通常用符号[n a a a ,,,21 ]表示，例如12和18的公倍数有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。
[8，12]=24，[6，9，15]=90。
3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。
常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。
用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别：求n 个数的最大公约数：（1）必须每次都用n个数的公约数去除；（2）一直除到n个数的商互质（但不一定两两互质）；（3）n个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。
五年级奥数学习讲义 第25讲 最大公约数 练习及答案
第25讲最大公约数一、专题简析：1、几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。
我们可以把自然数a、b的最公约数记作（a、b），如果（a、b）=1，则a和b互质。
2、求几个数的最大公约数可以用分解质因数和短除法等方法。
二、精讲精练：例题1 一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。
现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？练习一1、把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，至少能裁多少块？2、一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方形而无剩余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？例题2 一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米。
要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？练习二1、一个长方体木块的长是4分米5厘米、宽3分米6厘米、高2分米4厘米。
要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？2、有50个梨，75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？例题3 有三根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘米和480厘米，如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘米？练习三1、有一个长方体木块，长60厘米、宽40厘米，高24厘米。
如果要切成同样大小的小正方体，这些正方体的棱长最长是多少厘米？2、用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？例题4一条道路由甲村经过乙村到丙村。
已知甲、乙村相距360米，乙、丙村相距675米。
现在准备在路边裁树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，求相邻两棵树之间的距离最多是多少米？1、一条公路由A经B到C。
六年级下册奥数专题练习-约数与倍数 全国通用(含解析)
约数与倍数【约数问题】例1 用1155个同样大小的正方形拼成一个长方形，有______种不同的拼法。
（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：不论拼成怎样的长方形，它们的面积都是1155。
而长方形的面积等于长乘以宽。
所以，只要将1155分成两个整数的积，看看有多少种方法。
一般来说，约数都是成对地出现。
1155的约数共有16个。
16÷2=8（对）。
所以，有8种不同的拼法。
例2 说明：360这个数的约数有多少个？这些约数之和是多少？（全国第三届“华杯赛”决赛第一试试题）讲析：将360分解质因数，得360=2×2×2×3×3×5=23×32×5。
所以，360的约数个数是：（3+1）×（2+1）×（1+1）=24（个）这24个约数的和是：例3 一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。
这个数当然有许多约数是两位数，这些两位的约数中，最大的是几？（全国第一届“华杯赛”决赛第一试试题）讲析：这个数是2×2×2×2×2×3×3×3×5×5×7。
把两位数从99、98、……开始，逐一进行分解：99=3×3×11； 98=2×7×7；97是质数； 96=2×2×2×2×2×3。
发现，96是上面数的约数。
所以，两位数的约数中，最大的是96。
例4 有8个不同约数的自然数中，最小的一个是______。
（北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题）讲析：一个自然数N，当分解质因数为：因为8=1×8=2×4=2×2×2，所以，所求自然数分解质因数，可能为：27，或23×3，或2×3×5，……不难得出，最小的一个是24。
找出最大公约数练习题
找出最大公约数练习题一、基础题1. 计算 12 和 18 的最大公约数。
2. 计算 15 和 25 的最大公约数。
3. 计算 24 和 36 的最大公约数。
4. 计算 56 和 98 的最大公约数。
5. 计算 63 和 81 的最大公约数。
二、进阶题1. 计算 18、24 和 30 的最大公约数。
2. 计算 20、30 和 40 的最大公约数。
3. 计算 28、35 和 49 的最大公约数。
4. 计算 45、60 和 75 的最大公约数。
5. 计算 33、44 和 66 的最大公约数。
三、应用题1. 一块长方形的菜地，长为 18 米，宽为 12 米，要将这块菜地划分成若干个正方形区域，且每个正方形区域的边长相等，求正方形区域的边长最大是多少米？2. 某工厂要将一块长 24 米的布料裁剪成若干等长的布条，每条布条的长度尽可能长，且至少需要裁剪出 20 条布条，求每条布条的最大长度。
3. 两个数的最大公约数是 15，它们的最小公倍数是 180，求这两个数。
4. 三角形的周长为 30 厘米，三边长度分别为 a、b、c，且 a、b、c 的最大公约数为 5，求 a、b、c 的可能取值。
5. 一辆汽车以相同的速度行驶了 18 公里和 27 公里，分别用了相同的时间，求这辆汽车的速度。
四、混合题1. 已知两个数的最大公约数是 8，且这两个数的和是 56，求这两个数的积。
2. 如果三个数的最大公约数是 7，且这三个数的乘积是 343，求这三个数。
3. 一个数与它的最大公约数是 21，求这个数的所有可能值。
4. 计算 144 和 60 的最大公约数，并将结果表示为分数形式。
5. 有四个数，它们的最大公约数分别是 3、5、7 和 9，求这四个数的最大公约数。
五、挑战题1. 证明：如果两个正整数 a 和 b 的最大公约数是 d，那么 a/d 和 b/d 互质。
2. 计算 5 和 67890 的最大公约数。
3. 有一堆苹果，如果每次拿走 8 个，会剩下 3 个；如果每次拿走 11 个，会剩下 7 个。
北师大五年级奥数专题三《最大公约数和最小公倍数》精编
最大公约数和最小公倍数一、基本概念和知识1、公约数和最大公约数几个公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数。
我们可以把自然数a 、b 的最大公因数记作(a 、b ）,如果（a 、b ）=1，则a 、b 互质。
2、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。
自然数a 、b 的最小公倍数可以记作〔a 、b 〕，当（a 、b ）=1时，〔a 、b 〕=a ×b 。
3、两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系：最大公因数×最小公倍数=两数的积 即(a 、b)×〔a 、b 〕= a ×b二、方法篇短除法（最大公约数)(1）必须每次都用n 个数的公约数去除；（2）一直除到n 个数的商互质(但不一定两两互质)；（3）n 个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积.短除法(最小公倍数）（1）必须先用（如果有）n 个数的公约数去除，除到n 个数没有除去1以外的公约数后，在用1n -个数的公约数去除，除到1n -个数没有除1以外的公约数后，再用2n -个数的公约数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数；（2）只要有两个数（被除数)能被同一数整除，就要继续除,一定要除到n 个数的商两两互质为止；（3)n 个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。
辗转相除法(最大公约数）设两数为a 、b(a>b)，求a 和b 最大公约数（a ，b)的步骤如下：用b 除a ，得a ÷b=q...。
.r1（0≤r1）。
若r1=0,则（a ，b ）=b ；若r1≠0，则再用r1除b,得b ÷r1=q 。
.r2 （0≤r2）。
若r2=0，则（a ，b)=r1，若r2≠0，则继续用r2除r1，……如此下去，直到能整除为止。
其最后一个非零除数即为（a ，b ）。
奥林匹克训练题库·约数与最大公约数
约数与最大公约数13712345678987654321的除本身之外的最大约数是多少？138将一个两位数的十位数字减去或加上它的个位数字，所得到的两个数都是78的大于1的约数。
求这个两位数。
139有一个自然数，它的最小的两个约数之和是4，最大的两个约数之和是100，求这个自然数。
140有一个自然数，它的最大的两个约数之和是123，求这个自然数。
141求只有 8个约数但不大于30的所有自然数。
142给出一个自然数n，n的所有约数的个数用T(n)表示。
(1)求T(42)；(2)求满足 T(n)=8的最小自然数n；(3)如果T(n)=2，那么n是怎样的数？143在1～100中，所有的只有3个约数的自然数的和是多少？144如果自然数a和b各自恰好都有5个不同的约数，那么a×b能否恰好有10个不同的约数？145☆少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
这200个灯泡按1～200编号，它们的亮暗规则是：第一秒，全部灯泡变亮；第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；一般地，第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。
这样继续下去，每4分钟一个周期。
问：第200秒时，明亮的灯泡有多少个？146100以内约数个数最多的自然数有五个，它们分别是几？147一个学生做两个两位数乘法时，把其中的一个乘数的个位数字9误看成7，得出的乘积是756。
问：正确的乘积是多少？148给出一个自然数n，n的所有约数的和用S(n)表示，求S(24)和S(36)。
149☆对于任意的大于2的自然数n，所有小于n且与n互质的自然数的个数是奇数还是偶数，还是不能肯定？150一个数如果等于除它本身以外的所有约数之和，则称此数为完全数。
已知30以内有两个完全数，请将它们找出来。
151某商店把几十个单价原为 0.2元的转笔刀降价后全部售出，共卖得2.53元。
20181213小学奥数练习卷(知识点：约数个数与约数和定理)含答案解析.doc
20181213小学奥数练习卷（知识点：约数个数与约数和定理）含答案解析）小学奥数练习卷（知识点：约数个数与约数和定理）题号一二三总分得分注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共 1 小题） 1．恰有 20 个因数的最小自然数是（） A．120 B．240 C．360 D．432 第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共 40 小题） 2．写出不大于 100 且恰有 8 个约数的所有自然数是． 3．已知自然数 n 有 10 个约数，2n 有 20 个约数，3n 有 15 个约数，那么 6n 有个约数． 4．一个自然数恰有 48 个约数，并且其中有10 个连续的自然数，那么这个数的最小值是． 5．自然数 N 有很多个约数，把它的这些约数两两求和得到一组新数，其中最小的为 4，最大的为 2684，N 有个约数． 6．四位数的所有因数中，有 3 个是质数，其它 39 个不是质数．那么，四位数有个因数．7．四位数的约数中，恰有 3 个是质数，39 个不是质数，四位数的值是． 8．大于 0 的自然数，如果满足所有因数之和等于它自身的 2 倍，则这样的数称为完美数或完全数．比如，6 的所有因数为 1，2，3，6，1+2+3+6=12，6 就是最小的完美数．是否有无限多个完美数的问题至今仍然是困扰人类的难题之一．研究完美数可以从计算自然数的所有因数之和开始，81 的所有因数之和为． 9．恰好有 12 个不同因数的最小的自然数为． 10．有 10 个不同因数的最小自然数为． 11．两个正方形的面积之差为 2016 平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有对． 12．60 的不同约数（1 除外）的个数是． 13．如果一个自然数 N（ N＞1）满足：N 的因数个数就是其个位数字，那么这样的 N 就称为中环数（比如 34=217，所以它有 4 个因数，正好就是 34的个位数字，所以 34 就是一个中环数）．在 2～84 中，一共有个中环数． 14．在所有正整数中，因数的和不超过 30 的共有个． 15．一个五位数是 2014 的倍数，并且恰好有 16 个因数，则的最小值是． 16．整数 n 一共有 10 个因数，这些因数从小到大排列，第 8 个是．那么整数n 的最大值是． 17．一个数恰好有 8 个因数，已知 35 和 77 是其中两个，则这个数是． 18．在 1～600 中，恰好有 3 个约数的数有个． 19．已知 a、b 是两个不同的正整数，并且 a、b 的约数个数与 2013 的约数个数相同，则两数之差（大减小）的最小值为． 20．用表示 a 的不同约数的个数．如4 的不同约数有 1，2，4 共 3 个，所以=3，那么（﹣） = ． 21．一个自然数恰有 9 个互不相同的约数，其中 3 个约数 A，B，C 满足：①A+B+C=79 ②AA=BC...。
奥数最大公约数及最小公倍数例题、练习及答案
最大公约数与最小公倍数〔一〕教学目标： 1．通过学生对应用题的条件与问题的全面分析，培养学生发现问题和解决问题的意识。
2．通过比拟与辨析，使学生进一步理解和掌握“最大公约数和最小公倍数〞应用题的解题规律。
3．培养学生的合作交流意识和创新意识，开展学生的空间观念与想像力。
教学过程：一、根本概念知识1.公约数和最大公约数 ①如果一个自然数a 能被自然数b 整除，那么称a 为b 的倍数，b 为a 的约数。
②如果一个自然数同时是假设干个自然数的约数，那么称这个自然数是这假设干个自然数的公约数。
在所有公约数中最大的一个公约数，称为这假设干个自然数的最大公约数。
例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12;18的约数有：1，2，3，6，9，18。
自然数n a a a ,,,21 的最大公约数通常用符号〔n a a a ,,,21 〕表示，例如，12和18的公约数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作(12，18)=6。
〔8，12〕=4，〔6，9，15〕=3。
2.公倍数和最小公倍数③如果一个自然数同时是假设干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这假设干个自然数的公倍数。
在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这假设干个自然数的最小公倍数。
例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，…18的倍数有：18，36，54，72，90，…自然数n a a a ,,,21 的最小公倍数通常用符号[n a a a ,,,21 ]表示，例如12和18的公倍数有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。
[8，12]=24，[6，9，15]=90。
3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。
常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。
用短除法求假设干个数的最大公约数与最小公倍数的区别：求n 个数的最大公约数：（1）必须每次都用n个数的公约数去除；（2）一直除到n个数的商互质〔但不一定两两互质〕；（3）n个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。
奥数最大公约数与最小公倍数例题 练习及答案
最大公约数与最小公倍数（一）教学目标：1．通过学生对应用题的条件与问题的全面分析，培养学生发现问题和解决问题的意识。
2．通过比较与辨析，使学生进一步理解和掌握“最大公约数和最小公倍数”应用题的解题规律。
3．培养学生的合作交流意识和创新意识，发展学生的空间观念与想像力。
教学过程：一、基本概念知识1.公约数和最大公约数①如果一个自然数a 能被自然数b 整除，那么称a 为b 的倍数，b 为a 的约数。
②如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。
在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。
例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12;18的约数有：1，2，3，6，9，18。
自然数n a a a ,,,21 的最大公约数通常用符号（n a a a ,,,21 ）表示，例如，12和18的公约数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作(12，18)=6。
（8，12）=4，（6，9，15）=3。
2.公倍数和最小公倍数③如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。
在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。
例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，…18的倍数有：18，36，54，72，90，…自然数n a a a ,,,21 的最小公倍数通常用符号[n a a a ,,,21 ]表示，例如12和18的公倍数有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。
[8，12]=24，[6，9，15]=90。
3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。
常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。
用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别：求n 个数的最大公约数：（1） 必须每次都用n 个数的公约数去除；（2） 一直除到n 个数的商互质（但不一定两两互质）；（3） n 个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。
五年级下册数学专项训练奥数第四讲最大公约数和最小公倍数_全国版(含答案)
第四讲最大条约数和最小公倍数课本、报刊杂志中的成语、名言警语等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少 ,即便运用也很难做到恰到好处。
为何?仍是没有完全“记死”的缘由。
要解决这个问题,方法很简单 ,每天花 3-5 分钟左右的时间记一条成语、一则名言警语即可。
能够写在后黑板的“累积专栏”上每天一换,能够在每天课前的3 分钟让学生轮番解说 ,也可让学生个人收集 ,每天往笔录本上抄录 ,教师按期检查等等。
这样 ,一年便可记 300 多条成语、 300 多则名言警语 ,与日俱增 ,终归会成为一笔不小的财产。
这些成语典故“储藏”在学生脑中 ,自然会下笔成章 ,写作时便会为所欲为地“提取”出来,使文章添色添辉。
本讲要点解决与最大条约数和最小公倍数相关的另一类问题——相关两个自然数 . 它们的最大条约数、最小公倍数之间的互相关系的问题。
照本宣科是一种传统的教课方式 ,在我国有悠长的历史。
但跟着素质教育的展开 ,照本宣科被作为一种僵化的、阻挡学生能力发展的教课方式 ,逐渐为人们所摒弃 ;而另一方面 ,老师们又为提升学生的语文修养呕心沥血。
其实 ,只需应用适当 ,“照本宣科”与提升学生素质其实不矛盾。
相反 ,它正是提升学生语文水平的重要前提和基础。
定理 1 两个自然数分别除以它们的最大条约数，所得的商互质 .即假如（ a，b）=d，那么（ a÷d，b÷d）＝1。
要练说，得练听。
听是说的前提，听得正确，才有条件正确模仿，才能不停地掌握高一级水平的语言。
我在教课中，注意听说联合，训练少儿听的能力，讲堂上，我特别重视教师的语言，我对少儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富裕吸引力，这样能惹起少儿的注意。
当我发现有的少儿不专心听别人讲话时，就随时夸奖那些静听的少儿，或是让他重复他人说过的内容，抓住教育机遇，要求他们专心听，专心记。
平常我还经过各样兴趣活动，培育少儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事叙述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出想法，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样少儿学得生动开朗，轻松愉快，既训练了听的能力，加强了记忆，又发展了思想，为说打下了基础。
奥数数论题库8-约数与倍数_知识例题例题精讲
本讲中的知识点并不难理解，对于约数、最大公约数；倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上都已经学习过，所以重点在于一些性质的应用，完全平方数在考试中经常出现，所以对于平方差公式还有一些主要性质一定要记住.本讲力求实现的一个核心目标是让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识，即所谓的整数唯一分解定理，教师可以在课前让学生练习几个两位或三位整数的分解，然后帮学生做一个找规律式的不完全归纳，让学生自己初步领悟“原来任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构”一、 约数的概念与最大公约数0被排除在约数与倍数之外 1． 求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=；②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公约数是15．2． 最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ．3． 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；b a即为所求． 知识点拨教学目标约数与倍数二、倍数的概念与最小公倍数1. 求最小公倍数的方法①分解质因数的方法；例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以[]22231,252237112772=⨯⨯⨯=；②短除法求最小公倍数； 例如：2181239632，所以[]18,12233236=⨯⨯⨯=； ③[,](,)a b a b a b ⨯=． 2. 最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a ；求出各个分数分母的最大公约数b ；b a 即为所求．例如：35[3,5]15[,]412(4,12)4== 注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：[]()1,414,4232,3⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 三、最大公约数与最小公倍数的常用性质1． 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
奥数数论习题-公约数与公倍数
知识点地掌握：概念、求解方法（即短除和分解质因数，是否能灵活应用）、约数与倍数运算地技巧简单（☆）写出从到地自然数中有奇数个因数地数（☆）从到中有几个有偶数个因数地整数？（☆）试求出一个最小地整数，它正好有个约数【详解】*，^*^（☆☆）试求出一个最小地正整数，它正好有个约数要求求出一个最小地正整数，使之有给定地约数个数并非都很简单【详解】*****，^*^*，^*^**，^*^*^（☆）求，，，和地最大公约数？【详解】辗转相除法，求最大公约数与地最大公约数是，类似地，与，与，与地最大公约数都是，那么这个数地最大公约数也是个人收集整理勿做商业用途（☆）一个偶数，它地约数里最大地两个之和是，求该数是多少？【详解】设这个数是，那么它最大地两个约数显然是和；，；所以×＝所以这个数是（☆）四个连续奇数地最小公倍数是，这四个数中最大地一个数是多少？【详解】××××四个连续奇数是，，，，其中最大地是；三个连续奇数必两两互质，而在四个连续奇数中，第一个奇数与第四个奇数相差，它们地最大公约数只能是或，因此这四个连续奇数地乘积是或×；个人收集整理勿做商业用途（☆）（四川五年级初赛）是一个整数，如果×地十位数字是，那么×地个位数字是什么？【详解】奇数地完全平方数地十位数一定是偶数，所以是偶数，×能被整除；从能被整除地有、，个位数是地不是完全平方数个人收集整理勿做商业用途（☆☆）从到地所有自然数中，乘以后是完全平方数地数共有多少个？【详解】完全平方数，其所有质因数必定成对出现^×^，所以满足条件地数必为某个完全平方数地倍；××〈〈××，所以×^、×^、…、×^都满足题意，即所求地满足条件地数共有个个人收集整理勿做商业用途（☆☆）一个数减去是一个平方数，减去也是一个平方数，问这个数是多少？【详解】设这个数减去为^，减去为^^^（）（），，所以，这个数为^（☆☆）能否找到这么一个数，它加上，和减去所得地两个数都是完全平方数？【详解】假设能找到，设这两个完全平方数分别为^、^，^^（）（）×（）与（）地奇偶性质相同，所以（）（）不是地倍数，就是奇数，不是地倍数，那么题中所说地数是找不到地个人收集整理勿做商业用途（☆☆）（河北香河）有两个两位数，它们地差是，它们地平方数末两位数字相同，这两个两位数分别是什么？个人收集整理勿做商业用途【详解】设这两个两位数分别是和，有^^（）（）×，、同奇偶性，必须是地倍数，〈，所以〈，〈，，（☆☆）（六预）一个四位数地数码都是由非零地偶数码构成，它又恰好是某个偶数码组成地数地平方，则这个四位数是什么？个人收集整理勿做商业用途【详解】设两位数为，四位数是考察^，〉，为、或为偶数，则能被整除；只能是、、或为或可能是、、、或仅有^满足题意（☆☆）（浙江五年级决赛）一个两位数加上它地反序数，再加上这个两位数地数字之和，得到地和是一个平方数，这样地两位数有几个？个人收集整理勿做商业用途【详解】依题意有下式（）^×（）是完全平方数、×^满足条件（☆☆）（甘肃冬令营）有一个自然数，它与地和恰好等于某个数地平方；它与地和恰好等于另一个数地平方，这个数是什么？个人收集整理勿做商业用途【详解】设该自然数为^^^^^，、同奇偶（）（）××，，^（☆☆☆）（江苏吴江）一个四位数是完全平方数，它地前两位数字相同，后两位数字也相同，这个四位数是什么？个人收集整理勿做商业用途【详解】设该位数为，有下式（）是完全平方数即×^，为自然数（是地倍数）末两位数字相同地完全平方数只能是或，所以，这个四位数是（☆）甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次.甲天去一次，乙天去一次，丙天去一次.有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会？个人收集整理勿做商业用途【详解】从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会，相隔地天数应该是、、地最小公倍数.因为、、地最小公倍数是，所以至少再过天他们三人又在图书馆相会；个人收集整理勿做商业用途（☆☆）一次会餐提供三种饮料，餐后统计，三种饮料共用瓶，平均每个人饮用一瓶饮料，每人饮用一瓶饮料，每人饮用一瓶饮料，请问参加会餐地有多少人？个人收集整理勿做商业用途【详解】、、地最小公倍数是，人需要饮料是瓶.×，一共有×人（☆）五年一班去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐个，如果减少一条船，正好每船坐人，这个班有多少人？个人收集整理勿做商业用途【详解】有个连续自然数，它们地和为一个平方数，中间三数地和为立方数，则这五个数中最小数地最小值是多少？【详解】考查平方数和立方数地知识点，同时涉及到数量较少地连续自然数问题，设未知数地时候有技巧，一般是设中间地数，这样前后地数关于中间地数是对称地.个人收集整理勿做商业用途设中间数是，则它们地和为，中间三数地和为，是平方数有^×^，则×^，*^是立方数，所以^至少含有和地质因数各个，即^至少是，中间地数至少是，那么这五个数中最小数地最小值为个人收集整理勿做商业用途（南京冬令营）记（×××…×）（），这里≥，当在至之间取整数值时，有（）个不同地，使得是一个整数地平方个人收集整理勿做商业用途（浙江夏令营）袋子里共有只小球，第一次从袋子里取出只小球，第二次从袋子里取出只小球，第三次从袋子里取出只小球．．．．依次地取球，如果剩下地球不够取，则将剩下地球留在袋中.那么最后袋中留下几个球？个人收集整理勿做商业用途（☆☆）（浙江五年级决赛）小明妈妈买了张体育彩票，第一张地末三位是；第二张地末位是，倒数第四位是；第三张地末位是，倒数第四位是；第四张地末三位是.妈妈说这中间有一张是中奖地，中奖号码是一个四位数，就是彩票中地最后四位与它相同便是中奖彩票，且这个四位数正好是个平方数.中奖号码是多少？个人收集整理勿做商业用途（浙江夏令营）…×…地各位数字之和是多少？（南京冬令营）将，，…（为大于地整数）这个数分成两组，使每组中任意两数之和都不是完全平方数，整数可以取得地最大值是多少？并给出一种分组方法.个人收集整理勿做商业用途已知×××…×是一个自然数地平方，是多少？与正整数地乘积是一个完全平方数，则地最小值是多少？两个完全平方数地差为，则这两个完全平方数地和最大是多少？最小是多少？（☆）证明：形如，，，，…地数中没有完全平方数（☆☆）有一个正整数地平方，它地最后三位数字相同但不为，试求满足上述条件地最小地正整数（☆）甲、乙两人合养了头羊，而每头羊地卖价又恰为元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去.为了平均分配，甲应该补给乙多少元？个人收集整理勿做商业用途【详解】甲乙轮流，最后一次轮到乙，但不足元，所以十位数是奇数，个位数是（☆☆）房间里有盏灯，用、、…、编号，每盏灯连着一个开关，开始时所有地灯全都不亮.有名同学依次进入房间，第一位进入房间地同学把编号为地倍数地灯地开关揿动一次（这时所有地灯全亮着），第二位进入房间地同学把编号为地倍数地灯地开关揿动一次（这时编号为偶数地所有地灯全熄灭）；第三位进入房间地同学把编号为地倍数地灯地开关揿动一次，如此下去,直到最后一位进入房间地同学把编号为地倍数地灯地开关揿动一次.问：这时房间里哪些灯亮着？个人收集整理勿做商业用途【详解】注意到一盏灯亮或不亮，与这盏灯地开关揿动地次数地奇偶性有关：原来不亮地灯，若开关揿动奇数次，则将变亮；开关揿动偶数次，则仍然不亮.而根据题意，一盏灯地开关揿动地次数，恰等于灯地编号所含因数地个数.个人收集整理勿做商业用途（☆☆）有若干名战士，恰好组成一个八列长方形队列．若在队列中再增加人或从队列中减去人后，都能组成一个正方形队列．问原长方形队列共有多少名战士？个人收集整理勿做商业用途【详解】设有名战士，^，^（）（）^**, （）、（）同奇偶，，，，，将个不同地数字排在一起，可以组成个不同地四位数（×××）.将这个四位数按从小到大地顺序排列地话，第二个是地倍数；按从大到小排列地话，第二个是不能被整除地偶数；按从小到大排列地第五个与第二十个地差在之间.请求出这个四位数中最大地一个个人收集整理勿做商业用途【详解】设这个数字分别是>>>那么从小到大地第个就是,它是地倍数，因此或，注意到>>,所以；从大到小排列地第个是,它是不能被整除地偶数；所以是偶数，＜，或；从小到大地第二十个是,第五个是,它们地差在之间，所以；因为>,所以至少是，那么最小是，所以就只能是.而如果，那么地末位是，它是地倍数，和条件矛盾.因此,从而. 个人收集整理勿做商业用途这个四位数中最大地一个是，，，，所以这个四位数中最大地一个是已知□△×△□×□〇×☆△□△□△□△，其中□、△、〇、☆分别表示不同地数字，那么四位数〇△□☆是多少？个人收集整理勿做商业用途【详解】因为□△□△□△□△，所以在题述等式地两边同时约去□△即得△□×□〇×☆△.作质因数分解得，由此可知该数分解为个两位数乘积地方法仅有 .注意到两位△□地十位数字和个位数字分别和另外地两位数□〇和☆△中出现，所以△□，□〇，☆△.即〇，△，□，☆，所求地四位数是个人收集整理勿做商业用途（六年级决）下式中地“香港”，“中国”都代表一个两位自然数，那么，香港（），中国（）.个人收集整理勿做商业用途（香港）（中国）。
最大公约数算法练习题
最大公约数算法练习题
引言
欧几里得算法
欧几里得算法，也称为辗转相减法，是一种辗转相除的算法，用于求两个数的最大公约数。
算法的基本思想是通过一系列的减法操作，将两个数逐渐缩小到相等的值，这个相等的值就是它们的最大公约数。
算法步骤
1. 设两个数为a和b，其中a > b。
2. 计算a除以b的余数，记为r。
3. 如果r等于0，则b就是最大公约数。
4. 如果r不等于0，则用b替换a，用r替换b，回到第2步。
示例
假设要求解36和24的最大公约数。
由结果可知，最大公约数为12。
辗转相除法
辗转相除法，也称为欧几里得算法，是一种通过不断地取两个数的余数来求最大公约数的算法。
算法的基本思想是通过一系列的除法操作，将两个数逐渐缩小到相等的值，这个相等的值就是它们的最大公约数。
算法步骤
1. 设两个数为a和b，其中a > b。
2. 计算a除以b的商和余数，记为q和r。
3. 如果r等于0，则b就是最大公约数。
4. 如果r不等于0，则用b替换a，用r替换b，回到第2步。
示例
假设要求解48和36的最大公约数。
由结果可知，最大公约数为12。
总结
欧几里得算法和辗转相除法都能求解两个数的最大公约数。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的算法来求解最大公约数。
这两个算法都是基本的数学算法，简单易懂，广泛应用于数学领域。
以上是关于最大公约数算法的练习题的介绍。
希望对您的学习有所帮助！。
小学奥数题_公约数与公倍数
《小学奥数教程：公约数与公倍数》专项突破（附答案详解）奥校小学数学竞赛教研中心一、单选题1.把从1到200这200个自然数中既不是3的倍数，又不是5的倍数的数从小到大排成一排，那么第100个数是（）A. 188B. 187C. 184D. 1822.两个数的最大公约数中，必须包含这两个数的（）A. 全部约数B. 全部公有的约数C. 全部公有的质因数D. 各自独有的质因数3.18和24所有的公约数的和是所有公约数的积的（）A. B. C. D.4.一块长方形布料（如下图），现要把它裁剪成若干块大小一样的小正方形方巾，如果不允许有剩余，方巾的边长可以是（）。
A. 3 dmB. 4 dmC. 5 dmD. 6dm5.一次数学竞赛均是填空题，小明答错的恰是题目总数的，小亮答错5道题，两人都答错的题目占题目总数的，已知小明、小亮答对的题目数超过了试题总数的一半，则他们都答对的题有（）道．A. 14B. 15C. 16D. 176.b和c是两个非零自然数，且c÷b=8，则它们的最小公倍数是（）。
A. bB. cC. bcD. 87.最大公约数是1的数有：（）A. 12和15B. 23和32C. 10和24D. 40和15二、判断题8.判断对错.甲数是乙数的一半，甲数就是甲乙两数的最大公约数．9.判断，正确的填“正确”，错误的填“错误”．甲数和乙数都是它们最大公因数的倍数.10.判断，正确的填“正确”，错误的填“错误”．a、b两数的积是a、b两数的最小公倍数，那么a、b两数的公因数只有1．11.判断，正确的填“正确”，错误的填“错误”．最小的质数和最小的合数的最大公因数是1．12.判断，正确的填“正确”，错误的填“错误”．1和任意非零自然数的最大公因数是1．三、填空题13.对任意两个不同的自然数，将其中较大数换成这两数之差，称为一次变换．如对18和42可作这样的连续变换：18，42→18，24→18，6→12，6→6，6直到两数相同为止．问：对1234和4321作这样的连续变换最后得到的两个相同的数是________．14.15和25的最大公约数是它们的最小公倍数的________．15.一个数减去4和7的最大公约数所得的差能够被2和5同时整除，满足此条件的最小的数是________．16.18和24所有公约数的积是________．17.有两根木棒(如下图)，长分别是44厘米和56厘米．要把它们截成同样长的小棒，不能剩余，每根小棒最长是________厘米?18.将一块长120m，宽80m的长方形土地划分成面积相等的正方形．小正方形的面积最大是________平方米．19. 11和12的最大公因数是________。
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约数与最大公约数
13712345678987654321的除本身之外的最大约数是多少？
138将一个两位数的十位数字减去或加上它的个位数字，所得到的两个数都是78的大于1的约数。
求这个两位数。
139有一个自然数，它的最小的两个约数之和是4，最大的两个约数之和是100，求这个自然数。
140有一个自然数，它的最大的两个约数之和是123，求这个自然数。
141求只有 8个约数但不大于30的所有自然数。
142给出一个自然数n，n的所有约数的个数用T(n)表示。
(1)求
T(42)；(2)求满足 T(n)=8的最小自然数n；(3)如果T(n)=2，那么n是怎样的数？
143在1～100中，所有的只有3个约数的自然数的和是多少？
144如果自然数a和b各自恰好都有5个不同的约数，那么a×b能否恰好有10个不同的约数？
145☆少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
这200个灯泡按1～200编号，它们的亮暗规则是：
第一秒，全部灯泡变亮；
第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；
第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；
一般地，第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。
这样继续下去，每4分钟一个周期。
问：第200秒时，明亮的灯泡有多少个？
146100以内约数个数最多的自然数有五个，它们分别是几？
147一个学生做两个两位数乘法时，把其中的一个乘数的个位数字9误看成7，得出的乘积是756。
问：正确的乘积是多少？
148给出一个自然数n，n的所有约数的和用S(n)表示，求S(24)和S(36)。
149☆对于任意的大于2的自然数n，所有小于n且与n互质的自然数的个数是奇数还是偶数，还是不能肯定？
150一个数如果等于除它本身以外的所有约数之和，则称此数为完全数。
已知30以内有两个完全数，请将它们找出来。
151某商店把几十个单价原为 0.2元的转笔刀降价后全部售出，共卖得2.53元。
问：降价后单价多少元？
152有一瓶440毫升的酒和容量不同的甲、乙两种酒杯。
如果将酒倒入甲种杯，则倒满若干杯后，还剩35毫升酒(不足一杯)；如果将酒倒入乙种杯，则倒满若干杯后也剩35毫升酒(不足一杯)。
已知甲、乙两种酒杯的容量都不超过100毫升，求甲、乙酒杯的容量。
153把21，26，65，99，10，35，18，77分成若干组，要求每组中任意两个数都互质，至少要分成几组？如何分？
154a，b两数的最大公约数是12，已知a有8个约数，b有9个约数，求a和b。
155用1～9这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数。
156用1－7这七个数码组成两个三位数和一个一位数，要求三个数中任意两个都互质。
已知其中一个数为714，求另两个数。
157现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数最大可以到多少？
158100个正整数之和为6666，它们的最大公约数的最大可能值是多少？
159A，B是两个奇数，它们的最大公约数是3，求(A＋B)和(A－B)的最大公约数。
160甲、乙两数的最大公约数是37，两数的和是444，这样的自然数有哪几组？
161有一个大于1的自然数，用它除498，447和379得到相同的余数，求这个自然数。
162两个小于150的数的积是2028，它们的最大公约数是13，求这两个数。
163写出三个小于20的自然数，使它们的最大公约数是1，但两两均不互质。
164试用 2， 3， 4， 5， 6， 7六个数码组成两个三位数，使这两个三位数与540的最大公约数尽可能大。
1651～8八个数字，按右图所示的次序排成一个圆圈，请你在某两个数字之间沿直径剪开，这时按顺时针次序形成两个四位数(例如，在1和5之间剪开，得到的两个数是5483和6721)。
如果要使剪开后所得到的两个数的最大公约数最大，那么应从何处剪开？最大公约数是几？
166有一个长方形棋盘，每个小方格的边长都是1，长有200格，宽有120格(如下图)。
纵横线交叉的点称为格点，连结A，B两点的线段共经过多少个格点(包括A，B两点)？
167在右图中，以O为一个端点，以A，B，C，D，E，F，G，H为另一个端点，共可以连出8条线段。
在这8条线段中，不经过图中任何一个格点的有几条？
168有三根钢管，分别长200，240和360厘米。
现在要把这三根钢管截成尽可能长而且又相等的小段，一共能截成多少段？
169两根铁丝分别长65米和91米，用一根木尺分别去丈量它们，都恰好量完而无剩余。
这根木尺最多有多长？
170有三根铁丝，分别长300厘米、444厘米、516厘米。
把它们截成同样长且尽可能长的整厘米小段(不许剩余)，每小段折成一个小正方
形。
然后将这些小正方形混放在一起拼成一个长方形(每拼一次都必须全部用上这些小正方形)，这样可能拼成的长方形有几种？
171有336个苹果、 252个桔子、 210个梨，用这些果品最多可分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？
172将22块橡皮和33支铅笔平均分给参加打扫教室卫生的同学，结果橡皮多1块，铅笔少2支，参加打扫卫生的同学有多少名？
173☆如右图所示，街道ABC在B处拐弯，在街道一侧等距装路灯，要求A，B，C处各装一盏路灯，这条街道最少装多少盏路灯？
17496个小朋友围成一圈，从某个小朋友开始进行1～15报数。
如果报数一圈一圈地循环进行下去，那么有没有人1～15这15个数都报过？第一个小朋友报过哪几个数字？
17578个小朋友围成一圈，从某个小朋友开始进行1～18报数。
如果报数一圈一圈地循环进行下去，那么至多有多少个小朋友报过数字1？有没有人同时报过5和10？
176十几个小朋友围成一圈，按顺时针方向一圈一圈地循环报数。
如果报1和报100的是同一人，那么共有多少个小朋友？。