高一函数部分查缺补漏及考试预测
查缺补漏、重点加强、优化思维
查缺补漏、重点加强、优化思维——高考复习建议华南师范大学附中罗碎海luosh@高考数学复习不是简单的知识重复，而是知识再认识、能力再提高、思维再升华的过程。
每一次的复习都要有新感觉。
高考复习一般分三轮：单元复习、专题复习、综合练习讲评。
复习过程中要善于：知识归纳、题型归类、联系比较、错漏分析。
高考数学第二轮复习一般都是在广州市第一次模拟考前后开始，所选用的资料一般是市数学中心组编写的《专题评析》，但许多学校都是自己编写专题。
主要目标是：查缺补漏、重点加强、优化思维。
第三轮主要是学生做模拟题，老师重点讲评。
所谓查缺补漏就是高中数学学习中学生经常出错的、容易搞混的知识、不易纠正的问题。
重点提高主要是面向高考试卷中占比重较大和解答题的主要内容（函数与导数、不等式、数列、立体几何、解析几何）进行提高性复习。
优化思维就是通过综合题进一步提高学生综合分析问题和解决问题的能力和方法。
三轮复习是互有穿插，循环上升的过程，在复习中，老师和学生要做好以下几方面的工作。
一、回归课本、比较分析课本上的基本概念、基本题型、基本方法是学生要清晰、熟练掌握的内容。
由于高三复习学生太注重做练习，往往对一些基本的知识有些忽略，而高考数学试卷中大多数题目是源于课本知识的中、低档题，所以在后期复习中重新分析课本上的基本概念、基本题型、基本方法是很有必要的。
一般的做法是：个别概念要加强比较理解；课本上的重点题目归类分析（见附1）。
[示例1]三角函数与三角形问题1． =sin=sin2． <是sin<sin的既不充分也不必要条件3． ,(0,) , <sin<sin;4． ,(0,) , <是sin<sin的既不充分也不必要条件5． ,(0,) , <cos>cos而在△ABC中1．A=B sinA=sinB2．A<B sinA<sinB3．锐角△ABC中，sinA>cosB.从而得sinA+sinB+sinC>cosA+cosBcosC.[示例2]奇函数的对称性及引申对于奇函数，有以下性质性质1：函数y=f(x)的图象关于(0,0)对称函数y=f(x)是奇函数点(x,y)满足y=f(x)，则点(-x,-y)也满足y=f(x)f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0 f(x)=-f(-x).引申推广，又可得到以下性质性质2：函数y=f(x)的图象关于(a,0)对称函数y=f(x+a)是奇函数点(x,y)满足y=f(x)，则点(2a-x,-y)也满足y=f(x)f(-x+ a)=-f(x + a)f(a-x)+f(a+x)=0 f(x)=-f(2a+x).性质3：函数f(x)的图象关于(0,b)对称点(x,y)满足y=f(x)，则点(-x,2b-y)也满足y=f(x)，点(-x,b-y)满足y=f(x)，则点(x,b+y)也满足y=f(x)f(-x)+f(x)=2b f(x)=2b-f(x)性质4：函数y=f(x)的图象关于(a,b)对称点(x,y)满足y=f(x)，则点(2a-x,2b-y)也满足y=f(x)点(a-x,b-y)满足y=f(x)，则点(a+x,b+y)也满足y=f(x)f(a-x)+f(a+x)=2b f(x)=2b-f(2a-x).[示例3]一个函数与两个函数的对称性比较函数f（x）满足f（a x）=f（a+x），则函数f（x）的图象关于x=a对称；函数f（x）满足f（x+a）=f（x a），则函数f（x）是以2a为周期的函数；而函数y=f(a x)与函数y=f(a+x)的图象关于y轴对称，而不是关于x=a对称。
高一基本函数综合测试题及答案解析
实用文档高一基本函数综合测试题及答案解析高二数学教师XXX提醒大家，成功不是凭梦想和希望，而是凭努力和实践过关检测。
一、选择题1.函数y=2-x+1(x>1)的反函数是：A。
y=log2(x-1)，x∈(1,2)B。
y=-1og2(x-1)，x∈(1,2)XXX(x-1)，x∈(1,2]D。
y=-1og2(x-1)，x∈(1,2]2.已知f(x)={ (3a-1)x+4a。
x1 }是(负无穷,正无穷)上的减函数，那么a的取值范围是：A。
(0,1)B。
[,1)C。
(0,)D。
[1,)实用文档3.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x1,x2(x1≠x2)，只有|f(x1)-f(x2)|<|x2-x1|恒成立”的是：A。
f(x)=1/xB。
f(x)=|x|xC。
f(x)=2xD。
f(x)=6/(3x+1)+lg(3x+1)4.已知f(x)是周期为2的奇函数，当|x|<1时，f(x)=lgx。
设a=f(5/4)。
b=f(3/4)。
c=f(-1/2)，则：A。
a<b<cB。
b<a<cC。
c<b<aD。
c<a<b5.函数f(x)=(x-1)/(x+1)lgx的定义域是：A。
(-∞,∞)B。
(-∞,-1)∪(0,∞)C。
(-∞,1)∪(-1,0)∪(0,1)∪(1,∞)D。
(-∞,-1)∪(1,∞)实用文档6.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是：A。
y=1/x。
x∈RB。
y=-x。
x∈RC。
y=sin(x)。
x∈RD。
y=3x^3-2x。
x∈R7.函数y=f(x)的反函数y=f^-1(x)的图像与y轴交于点P(0,2)，则方程f(x)=3x-1在[1,4]上的根是：A。
4B。
3C。
2D。
18.设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是：A。
f(x)f(-x)是奇函数B。
f(x)f(-x)是偶函数C。
f(x)-f(-x)是奇函数实用文档D。
2014淮北一中数学查缺补漏检测 一 含答案
淮北一中2014高考 第 页 查缺补漏1 淮北一中2014高三查缺补漏检测 一 答案：一选择题1．D 看清集合的代表元。
2．B 3． A∵f （x ）=log 2（1+x ），g （x ）=log 2（1﹣x ）， ∴f （x ）﹣g （x ）的定义域为（﹣1，1） 记F （x ）=f （x ）﹣g （x ）=log 2， 则F （﹣x ）=log 2=log 2（）﹣1=﹣log 2=﹣F （x ）故f （x ）﹣g （x ）是奇函数． 4． B 5． A 6． B在△ABC 中，由cos （2B+C ）+2sinAsinB ＜0可得，cos （B+B+C ）+2sinAsinB ＜0．∴cosBcos （B+C ）﹣sinBsin （B+C ）+2sinAsinB ＜0，即 cosBcos （π﹣A ）﹣sinBsin （π﹣A ）+2sinAsinB ＜0． ∴﹣cosBcosA ﹣sinBsinA+2sinAsinB ＜0，﹣cosBcosA+sinBsinA ＜0． 即﹣cos （A+B ）＜0，cos （A+B ）＞0． ∴A+B ＜，∴C ＞，故△ABC 形状一定是钝角三角形，故有 a 2+b 2＜c 2 ．7．A 8．A 9．B 10．B【解析】222201320132013（2014-1）2014-22014+11=，===201420142014201420142014⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⨯⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭, 33442013（2014-1）20132013（2014-1）1==，==201420142014201420142014⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭,… 所以原式=1007 二．填空题 11．2721或 12． 2 13． 4π 14． 22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭∵f′(x)＝3x 2＋1>0恒成立， ∴f(x)在R 上是增函数．又f(－x)＝－f(x)，∴y ＝f(x)为奇函数．由f(mx －2)＋f(x)<0得f(mx －2)<－f(x)＝f(－x)， ∴mx －2<－x ，即mx －2＋x<0在m ∈[－2,2]上恒成立．淮北一中2014高考 第 页 查缺补漏2 记g(m)＝xm －2＋x ，15． ①③④ 三．解答题16． 解：(1)由)(x f 图像与2y =图像交点的最小距离为3π知()f x 最小正周期为3π ……2分 所以23ππω=……………………………………………………3分得6ω= ………………………………………………………4分(2) 若4=ω，则()2sin 4f x x = …………………………………………………………5分依题意可得()()12sin(4)1123g x f x x ππ=-+=-+ ……………………………………7分 因为5012x π<< 所以44333x πππ-<-<…………………………………………………8分所以sin(4)13x π<-≤ ………………………10分所以12sin(4)133x π<-+≤ ……………………………………………………11分所以值域为(1- ……………………………………………………12分17．18． 解：（1）依题意得，数列{}n p 是以163为首项，以2为公比的等比数列， 所以121(12)6312n n n S p p p -=+++=-=1 1分 解得n=6。
高一期中考试复习计划
高一期中考试复习计划高一期中考试复习计划1制订一个切实可行的复习计划可以使复习达到目的明确、按部就班、保证充分合理利用时间的目的。
还可以使各门功课的复习彼此协调起来，让学生成为复习活动的主宰。
否则，复习就带有一定的盲目性。
为了弥补和防止在复习过程中走马观花或出现杂乱无章现象，家教老师在制订考前复习计划时必须要在了解学生的实际情况下，以学生为中心合理制订。
具体应做到以下几点：一，准备工作1．对学生的层次水平要有一个清醒的认识，以学生“定位”来制定计划，要量力而行，切忌好高骛远2．研究考试的性质、考试的要求、考试的内容、考试的形式及试卷结构各方面的要求，准确掌握哪些内容是了解，哪些是理解和掌握，哪些是灵活和综合运用。
既要明了知识系统的全貌，又要知晓知识体系的主干及重点内容。
并以此为复习备考的依据，做到复习不超纲，3。
仔细剖析对能力的要求和考查的思想与方法有哪些？常见的题型有哪些？有什么要求？明确一般的方法，普遍的思想。
（即通性通法）二，教学过程中教师应做到1．复习、梳理、建构知识系统以章为一个单元，在学生复习课本知识（可以让学生提前完成）的.基础上，由师生共同串讲梳理，从而建构既以本章为主线又广涉有关各章的知识网络系统，2．题型训练（1）教师要做到精选题、练得法、引得当、讲到位。
夯实“三基”与能力培养都离不开解题训练，因而在复习的全过程中，我们必须做到选题恰当、训练科学、引伸创新、讲解到位。
（2）不依靠题海取胜，要注重题目的质量和处理水平。
不提倡采取题海战术、猜题押题等手段来应付考试，其结果是步入“低效率、重负担、低质量”的恶性循环的怪圈。
我们应该控制总题量，不依靠题海取胜。
当处理的题目达到一定的数量后，决定复习效果的关键性因素就不再是题目的数量，而在于题目的质量和处理水平。
（3）对立意新颖、结构精巧的新题予以足够的重视，要保证有相当数量的这类题目，但也不一味排斥一些典型的所谓“新题”、“热题”。
传统的好题，包括课本上的一些例、习题应成为我们的保留节目。
2024学年济宁市重点中学高三数学试题查缺补漏试题
2024学年济宁市重点中学高三数学试题查缺补漏试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，,2,BD DC AP PD BP AB AC λμ===+，则λμ+= （ ）A ．13- B ．13 C ．12- D ．122．复数()(1)2z i i =++的共轭复数为（ ）A ．33i -B ．33i +C ．13i +D ．13i - 3．若a R ∈，则“3a =”是“()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论不正确的是（ ）A ．()y f x =的图像关于点(),0π中心对称B ．()y f x =既是奇函数，又是周期函数C ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称 D ．()y f x =5．设过抛物线()220y px p =>上任意一点P (异于原点O )的直线与抛物线()280y px p =>交于,A B 两点，直线OP 与抛物线()280y px p =>的另一个交点为Q ，则ABQ ABO SS =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）A ．10000立方尺B ．11000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺7．已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为( ) A 317 B ．210C ．132 D ．3108．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<9．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -- D ．1i -+10．已知集合{}A m =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ）A ．03B ．0或3C ．13D ．1或3 11．已知命题2:21,:560p x m q x x -<++<，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ）A ．12m >B ．12m ≥ C ．1m D ．m 1≥ 12．已知函数()2121f x ax x ax =+++-（a R ∈）的最小值为0，则a =（ ）A ．12B ．1-C ．±1D ．12± 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
最后的查缺补漏--学生版含答案
例4 命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是()
A．若x，y都是偶数，则x＋y是奇数
B．若x，y都不是奇数，则x＋y不是偶数
C．若x＋y不是偶数，则x，y都不是奇数
D．若x＋y不是偶数，则x，y不都是奇数
例11 已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则a＋b＝________.
补偿练习11已知函数f(x)＝＋x3－x2＋2ax在点x＝1处取极值，且函数g(x)＝＋x3－x2－ax在区间(a－6,2a－3)上是减函数，求实数a的取值范围．
易错点12导数与函数单调性关系不准致误
例12 函数f(x)＝x3－ax2－3x在[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
补偿练习17在正三角形ABC中，D是边BC上的点，AB＝3，BD＝1，则·＝________.
易错点18忽视向量共线致误
例18 已知a＝(2,1)，b＝(λ，1)，λ∈R，a与b的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是__________．
三、数列与不等式
易错点19运用公式“an＝Sn－Sn－1”不当致误
补偿练习12已知函数f(x)＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为
__________．
易错点13定积分几何意义不明致误
例13 由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的平面图形的面积为()
A.B．2－ln3
C．4＋ln3D．4－ln3
补偿练习13如图，直线y＝2x与抛物线y＝3－x2所围成的阴影部分的面积是()
C．(－∞，0)∪{1}D．(－∞，1)
专题03：函数(原卷版)-备战2021年高考数学(理)三轮复习查缺补漏特色专题
专题3：函数知识点和精选提升题（原卷版）知识点一、函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．注：1．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。
(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；（3)对数式对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5指数为零底不可以等于零， 2.相同函数的判断：①定义域一致 ②表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关） 3.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法1方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点． 2、函数零点的求法：○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．3、二次函数的零点：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．（1）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个零点．（3）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数 无零点．1.函数的单调性 （1）设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. （2）单调性性质：①增函数+增函数=增函数； ②减函数+减函数=减函数； ③增函数-减函数=增函数； ④减函数-增函数=减函数；注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。
2021年高考数学专题复习 考前查缺补漏
2021年高考数学专题复习考前查缺补漏1.若，，，其中，若A、B、D共线，求x的值
解：
∵A、B、D共线，
∴，
∴即
2.（1）若与同向，求k的值
（2）若与反向，求k的值
解：（1）若与同向，则，
使，
即，
∴，
∴当时，与同向
（2）若与反向，则，
使，
∴，
∴，
∴当时，与反向
3.从圆外，点向圆作两条切线，切点为A、B，求直线AB的方程解：∵，
∴，
∴圆心半径，中点，，
∴以为直径的圆为，即
∴，求解得：为直线AB方程
4.在内任取两个实数，则这两个实数之和小于0.8的概率为
答案：0.32
解：设内任取两个数x，y，
则，总区域，
若，
则所求事件区域，
.
5.数列中，
（1）求数列的通项公式（2）求证：当时，有.
解：（1）由已知，得①
∴②
由①-②得：
又，∴
∴，
而，
∴
（2）由（1）知，当时，
∴，
∴
231
21111...22211(1)22112
1122n n n ++<
+++-=-=- 即h24750 60AE 悮31447 7AD7 竗34573 870D 蜍20901 51A5 冥psP25196 626C 扬v
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2022北京海淀区高三数学查漏补缺题新人教版
海淀区高三数学查漏补缺题一、函数部分： 1．已知函数ln ()()x af x a x+=∈R （Ⅰ）求的极值；（Ⅱ）若函数的图象与函数()1g x =的图象在区间],0(2e 上有公共点，求实数a 的取值范围2．设3244()2 ()333f x x x m m =-+-≤≤ （I ）求的单调区间与极值；（II ）求方程()0f x =的实数解的个数3．如图，矩形ABCD 内接于由函数1,0y y x y ==-=图象围成的封闭图形，其中顶点C ，D 在上，求矩形ABCD 面积的最大值二、数列部分：1．设数列的前项和32n n S a =-(1,2,)n =（Ⅰ）证明数列是等比数列； （Ⅱ）若1(1,2,)n n n b a b n +=+=，且13b =-，求数列的前项和．2．数列满足112,(3)2n n n a a a λ+==-+，（1,2,3n =）（Ⅰ） 当21a =-时，求及；（Ⅱ）是否存在实数，使得数列为等差数列或等比数列若存在，求出其通项公式，若不存在，说明理由；三、统计与概率部分： 1．（理科学生做）某班级举行一次知识竞赛活动，活动分为初赛和决赛两个阶段、现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．（Ⅰ）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；（Ⅱ）决赛规则如下：参加决赛的每位同学依次口答4道小题，答对2道题就终止答题，并获得一等奖如果前三道题都答错，就不再答第四题某同学进入决赛，每道题答对的概率的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同． ①求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；②记该同学决赛中答题个数为，求的分布列及数学期望．2．（理科学生做）袋子里有大小相同的3个红球和4个黑球，今从袋子里随机取球（Ⅰ）若有放回地取3次，每次取1个球，求取出1个红球2个黑球的概率； （Ⅱ）若无放回地取3次，每次取1个球，①求在前2次都取出红球的条件下，第3次取出黑球的概率； ②求取出的红球数X 的分布列和数学期望 3．（文科、理科学生做）已知(1,2),(,)a b x y =-=，（Ⅰ）若是从2,1,0,1-四个数中任取的一个数，是从1,0,1-三个数中任取的一个数，求a b ⊥的概率．（Ⅱ）若是从区间]2,1[-中任取的一个数， 是从区间]1,1[-中任取的一个数，求 的夹角是锐角的概率．4．（文科学生做）一个袋中装有大小相同的黑球和红球，已知袋中共有5个球，从中任意摸出1个球，得到黑球的概率是52现将黑球和红球分别从数字1开始顺次编号 （Ⅰ）若从袋中有放回地取出两个球，每次只取出一个球，求取出的两个球上编号为相同数字的概率（Ⅱ）若从袋中取出两个球，每次只取出一个球，并且取出的球不放回求取出的两个球上编号之积为奇数的概率．5．（文科学生做）据统计，从5月1日到5月7号参观上海世博会的人数如下表所示：其中，5月1日到5月3日为指定参观日，5月4日到5月7日为非指定参观日（Ⅰ）把这7天的参观人数看成一个总体，求该总体的平均数（精确到）；（Ⅱ）用简单随机抽样方法从非指定参观日中抽取2天，它们的参观人数组成一个样本求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过2万的概率四、解析几何部分1．如图，椭圆22:13620x yC+=的左顶点、右焦点分别为，直线的方程为，为上一点，且在轴的上方，与椭圆交于点（1）若是的中点，求证：MFMA⊥（2）过,,A F N三点的圆与轴交于两点，求的范围2．（理科学生做）已知圆()22:11F x y +-=，动圆与定圆在轴的同侧且与轴相切,与定圆相外切（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）已知()0,2M ，是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．3．（理科学生做）已知是抛物线24x y =上两个动点，且直线与直线的倾斜角之和为4π，试证明直线过定点4．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形 （Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）设()4,0P -，过点的直线与椭圆C 相交于,M N 两点，当线段的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围参考答案1．解：（Ⅰ）2)(ln 1)(),,0()(x a x x f x f +-='+∞的定义域为令a e x x f -=='10)(得当)(,0)(,),0(1x f x f e x a >'∈-时是增函数 当)(,0)(,),(1x f x f e x a <'+∞∈-时是减函数 ∴111)()(,)(---===a a ae ef x f e x x f 极大值处取得极大值在（Ⅱ）（i ）当21e ea<-时，时1->a ，由（Ⅰ）知),0()(1a e x f -在上是增函数，在],(21e e a -上是减函数1max ()a f x e -= 又当],(.0)(],0(,0)(,2e e x x f e x x f e x a a a ---∈<∈==当时当时时，1()(0,]a f x e -∈所以，1)()(=x g x f 与图象的图象在],0(2e 上有公共点，等价于11≥-a e解得1,1,1≥->≥a a a 所以又 （ii ）当121-≤≥-a e ea即时，],0()(2e x f 在上是增函数，∴2222)(],0()(e ae f e x f +=上的最大值为在,所以原问题等价于.2,1222-≥≥+e a ea解得 又1-≤a ∴无解说明：此题主要考查学生研究函数方法的运用：给函数解析式之后，能否通过研究函数的工具导数研究函数的变化趋势，通过研究函数在区间的端点处的函数值或符号进一步了解函数的准确的变化状态此题也可以做如下引申：“若函数的图象与函数()1g x =的图象在区间2(0,]e 上有两个公共点，求实数a 的取值范围”2．解：（I ）2()22f x x '=-，由2()220f x x '=-= 得 1-=x 或所以，的单调递增区间为)1,(--∞和),1(+∞，单调递减区间为)1,1(-；极大值为4(1)3f m -=+，极小值为4(1)3f m =-． （II ）由于4433m -≤≤，所以4(1)03f m -=+≥，4(1)03f m =-≤．① 当43m =-时，(1)0f -=，即1x =-是方程()0f x =的一个解又因为448244(1)0,(3)276120333333f f =--=-<=⨯--=->，所以,方程()0f x =在内至少有一个解根据函数单调性可知，方程()0f x =有两个不同的解②当43m =时，4(1)03f m =-=，即是方程()0f x =的一个解 又因为4484(1)0,(3)1203333f f -=+=>-=-+<，所以方程()0f x =在(3,1)--内至少有一个解根据函数单调性可知，方程()0f x =有两个不同的解③当4433m -<<时，4(1)03f m -=+>，4(1)03f m =-<，所以方程()0f x =在)1,1(-内至少有一个解．又由(3)120f m -=-<，知方程()0f x =在)1,3(--内至少有一个解；由(3)120f m =+>，知方程()0f x =在内至少有一个解根据函数单调性可知，方程()0f x =有三个不同的解 说明：通过本题考查学生几个方面的能力：（1）能否将“求方程()0f x =的实数解的个数”问题转化为函数的零点问题； （2）对于函数问题，是否能够主动运用导数这一工具来研究函数整体的状态、性质3．解：由图，设A 点坐标为(x ,x ∈,则(1B ，由图可得1x ，记矩形ABCD 的面积为S ，易得32(1S AB AD x =⋅==--+令t t =∈，得32S t t t =--+ 所以'2321(31)(1)S t t t t =--+=--+，令，得113t t ==-或，因为t ∈，所以说明：本题主要是帮助学生经历根据问题的条件和要求建立函数的解析式及确定定义域再研究函数的变化状态的思维过程 二、数列部分：1．（Ⅰ）证：因为 32n n S a =-(1,2,)n =， 1132n n S a --=-(2,3,)n =，所以当时，1133n n n n n a S S a a --=-=-，整理得132n n a a -= 由32n n S a =-，令，得1132a a =-，解得11a = 所以是首项为，公比是32的等比数列 （Ⅱ）解：由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得1(1,2,)n n n b b a n +-==所以21132211,,,n n n b b a b b a b b a ---=-=-=从而 1111213132[]3253212n n n n b b a a a ---⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=++++=-+=- ⎪⎝⎭-2133332[1()......()]54()542222n n n T n n -=++++-=⨯-- 说明：数列的与问题是数列的基本问题，通过两者之间的转化达到解决问题的目的是学生应该落实的本题的第一问也可以改为“求数列的通项”或“求数列的前n 项和”，提高思维的强度 2．解：Ⅰ12212,1,(3)2,(1,2,3)a a a a n λ==-=-+=32λ∴=，故232322a a =-+，所以3112a = （Ⅱ）112,(3)2n n n a a a λ+==-+，21(3)224a a λλ∴=-+=- ，232(3)421016a a λλλ=-+=-+，若数列为等差数列，则213227130a a a λλ+=∴-+=494130∆=-⨯<∴方程没有实根，故不存在，使得数列为等差数列若数列为等比数列，则2132a a a =，即222(21016)(24)λλλ-+=-解得：4λ=12n n n a a +∴=+21232343112222n n n a a a a a a a a --∴-=-=-=-= 将个式子相加，211222n n a a --=+++，12(12)2212n n n a --∴=+=- (2,)n n N ≥∈又11,2n a ==符合条件，2n n a ∴= *()n N ∈11222n n n n a a ++∴==，故数列为等比数列．通项公式为2n n a = 说明： 本题给出的是数列与两项之间的递推形式在第二问中，通过特殊方法，得到的值，要注意引导学生理解结果并非充要条件，而是必要不充分条件，所以需要进一步的验证，而且在验证过程中，使用了叠加法，可以为学生说明其结构形式和解题策略要让学生掌握归纳的思想，学会从特殊到一般的思考数学问题的思维过程 三、统计与概率部分： 1．（理科学生做）解：（Ⅰ） ① 8 ② ③ 6 ④ （Ⅱ）由（Ⅰ）得，1230.40.60.40.1728C ⨯⨯⨯=2(2)0.40.16,P X ===132123(3)0.40.60.40.60.408,(4)0.40.60.432.P X C P X C ==⨯⨯+===⨯=20.1630.40840.432 3.272.EX =⨯+⨯+⨯=12334144()()()77343P A C =⨯=144343321()767P B ⨯==⨯3244()76535P BC ⨯⨯==⨯⨯4()435(|).1()57P BC P C B P B ===()3244(|).()3255n BC p C B n B ⨯⨯===⨯⨯453343374(0)35C A P X A ⋅===2134333718(1)35C C A P X A ⋅===1234333712(2)35C C A P X A ⋅===3333371(3)35C A P X A ⋅===418121459012335353535357EX =⨯+⨯+⨯+⨯==a b ⊥a b ⊥02=-y x )}1,2(),0,2(),1,2(),1,1(),0,1(),1,1(),1,0(),0,0(),1,0(),1,1(),0,1(),1,1{(-------=Ω)}1,2(),0,0{(=A 61122)(==A P 0>⋅b a 02>-y x 2y x≠-{(,)|12,11}x y x y Ω=-≤≤-≤≤{(,)12,11,20,2}B x y x y x y y x =-≤≤-≤≤-≥≠-11(2)3522()328B P B μμΩ⨯+⨯===⨯a b⊥16525=n )}(),(),()()(),(),(),()()(),(),(,(({(332313,22,13322212,22,12312111,21,11，红红，红红，红红，黑红，黑红，红黑，红黑，红黑，黑黑，黑黑，红黑，红黑），红黑），黑黑），黑黑 =Ω9()25P A =)}(),()()(),(),(),()(),(),(,({(2313,22,13322212,12312111,21，红红，红红，黑红，黑红，红黑，红黑，红黑，黑黑，红黑，红黑），红黑），黑黑 =Ω}(),(),()(){(1)3(1),33111,31,11，红红，黑红，红红，黑红，红黑，红黑=B 103206==)(B P 2591033.15)1412915132321(71≈++++++3162)(==A P)0,4(),0,6(F A -9N x =32M x ∴=235=My 15535(,),(,2227575044MA MF MA MF MA MF∴=--=∴⋅=-+=∴⊥),9(t N NF A ,,),1(b -2222)(()91()41(t b b r -+--=+--=)75(212752t t t t b +=+=∴2421222+=-=b r PQ 0>t 3575=⋅≥∴t t b ,75tt =35=t 116992=≥∴PQ PQ ∴),116[+∞),9(t N NF A ,,022=++++F Ey Dx y x ⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++=+-0981041606362F tE D t F D F D 24,75,2-=--==F tt E D )),75(21,1(tt +-2)75(4125t t ++=22)75(4124212tt r PQ ++=-=0>t 31075275=⋅≥+∴tt t t ,75t t =35=t 116992=≥∴PQ PQ ∴),116[+∞1PF r=+(),P x y 0r y =>1y=+24x y=()240x y y =>2,4PP x P x ⎛⎫⎪⎝⎭2,128P Px x Q ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2PM r ==y a=218Px a +-2222128Px l r a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()()()22222222222422222184444P P P P P x x x l r a x a x a a a ⎛⎫⎛⎫=-+-=+--+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0>y y kx m =+24x y =2440x kx m --=()11,A x y ()22,B x y 12124,4,x x k x x m +=⎧⎨=-⎩αβ+=4π112212tan ,tan 44y x y x x x αβ====()()12124tan tan 1641tan 1tan tan 161644x x k kx x m mαβαβαβ++=+====--++44m k =-44y kx k =+-()44y k x +=+()4,4--y 28,,a b c ==221 4.2b a ==22184x y +=(y k x = 线段MN 的中点为G 00(,)x y ，由22(4),184y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)163280k x k x k +++-=．由2222(16)4(12)(328)0k k k ∆=-+->解得k <<． 因为是方程①的两根，所以21221612k x x k +=-+，于是 1202x x x +==22812k k -+，0024(4)12k y k x k =+=+ 因为2028012k x k =-≤+，所以点G 不可能在轴的右边， 又直线,方程分别为2,2,y x y x =+=-- 所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为000022y x y x ≤+⎧⎨≥--⎩ 即222222482,1212482,1212k k k k k k k k ⎧≤-+⎪⎪++⎨⎪≥-⎪++⎩ 亦即222210,2210.k k k k ⎧+-≤⎪⎨--≤⎪⎩ 解得k ≤≤，此时②也成立．2 故直线斜率的取值范围是11[,].22-说明：本题通过正方形的面积转化为边长，要求学生能通过椭圆的定义，得到椭圆的相关基本量第二问对于“线段的中点落在正方形内（包括边界）”是学生的思维难点，进行有效的代数化是解题的关键可以让学生回忆数学中关于平面区域中位置的判断方法，找到它的充要条件。
北师大版高中数学必修一课件函数查漏补缺1
5a2 1, a 0
g
a
a2 1,0 a 1
5a2 8a 5,a 1
6.函数 y kx2 4x 8 在区间5, 20上是减少的，
求实数k的取值范围.
分析：当k=0时，函数 f x 4x 8 在区间5, 20
距离/km 80
①骑自行车者比骑摩托车者早 出发了3h,晚到1h;
②骑自行车者做变速运动，骑
摩托车做匀速运动；
4.5
③骑摩托车者在出发了1.5h后，
0
3 4 5 6 时间/h 追上了骑自行车者.
其中正确的序号是 ①,②,③
4.已知
x2 8x 14,5 x 2
f
x
x2 x1 x1x2
x2
x1
x2
x1
x2
x1
1 x1x2
x1
x2
0
即f x1 f x2
3.如图表示一位自行车者和一位骑摩托车者在相距80
km的两城镇间旅行的函数图像，由图可知，骑自行车 者用了6h,骑摩托车者用了2h,根据这个函数图像，提出 关于这两个旅行者的如下信息： （《名师》P13）
x
证明：设 x1, x2 , 0 ,且x1 x2 ,
f
x1
1 x1
x12 ,
f
x2
1 x2
x22 ,
高考数学查缺补漏,清除得分障碍
回扣——回扣教材，查缺补漏，清除得分障碍1.集合与常用逻辑用语1.集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性.[回扣问题1]集合A＝{a，b，c}中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是()A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形答案 A2.描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如：{x|y ＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集.[回扣问题2]若集合A＝{x∈R|y＝lg(2－x)}，B＝{y∈R|y＝2x－1，x∈A}，则∁R(A∩B)＝()A.RB.(－∞，0]∪[2，＋∞)C.[2，＋∞)D.(－∞，0]答案 B3.遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况.[回扣问题3]集合A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，且A∪B＝B，则实数a＝________.答案0或1或1 24.对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2.[回扣问题4]集合A＝{1，2，3}的非空子集个数为()A.5B.6C.7D.8答案 C5.要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A. [回扣问题5]“10a＞10b”是“lg a＞lg b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B2.函数与导数1.求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏.[回扣问题1]函数f(x)＝12x－1＋ln(x－1)的定义域是()A.(0，＋∞)B.(1，＋∞)C.(0，1)D.(0，1)∪(1，＋∞)答案 B2.求函数解析式的主要方法：(1)代入法；(2)待定系数法；(3)换元(配凑)法；(4)解方程法等.用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题. [回扣问题2]已知f(x)＝x＋2x，则f(x)＝________.答案x2＋2x(x≥0)3.分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数.[回扣问题3] 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x，x ＜0，ln x ，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝________.答案 1e 4.函数的奇偶性若f (x )的定义域关于原点对称， f (x )是偶函数⇔f (－x )＝f (x )＝f (|x |); f (x )是奇函数⇔f (－x )＝－f (x )；定义域含0的奇函数满足f (0)＝0；定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分的条件；判断函数的奇偶性，先求定义域，若其定义域关于原点对称，再找f (x )与f (－x )的关系.[回扣问题4] (1)若f (x )＝2x ＋2－x lg a 是奇函数，则实数a ＝________.(2)已知f (x )为偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )＞f (1)，则x 的取值范围是________.答案 (1)110 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫110，105.函数的周期性由周期函数的定义“函数f (x )满足f (x )＝f (a ＋x )(a ≠0)，则f (x )是周期为a 的周期函数”得：①函数f (x )满足－f (x )＝f (a ＋x )，则f (x )是周期T ＝2a 的周期函数； ②若f (x ＋a )＝1f （x ）(a ≠0)成立，则T ＝2a ； ③若f (x ＋a )＝－1f （x ）(a ≠0)恒成立，则T ＝2a . [回扣问题5] 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，若f (1)＝2，则f (2 015)等于( ) A.2 B.－2 C.2 015D.－2 015答案 B 6.函数的单调性(1)定义法：设x 1，x 2∈[a ，b ]，x 1≠x 2那么(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数.(2)导数法：注意f ′(x )＞0能推出f (x )为增函数，但反之不一定.如函数f (x )＝x 3在 (－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0；∴f ′(x )＞0是f (x )为增函数的充分不必要条件.(3)复合函数由同增异减的判定法则来判定.(4)求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接，或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.[回扣问题6] (1)函数f (x )＝1x 的单调减区间为________.(2)已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 答案 (1)(－∞，0)，(0，＋∞) (2)D 7.求函数最值(值域)常用的方法：(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数； (2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数； (3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数； (4)导数法：适合于可导函数； (5)换元法(特别注意新元的范围)； (6)分离常数法：适合于一次分式；(7)有界函数法：适用于含有指、对数函数或正、余弦函数的式子.无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域.[回扣问题7]函数y＝2x2x＋1的值域为________.答案(0，1)8.函数图象的几种常见变换(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移——“上加下减”.(2)翻折变换：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|).(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；②函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；③函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0(y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y ＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称.[回扣问题8](1)函数y＝3x－1x＋2的图象关于点________对称.(2)函数f(x)＝|lg x|的单调递减区间为________.答案(1)(－2，3)(2)(0，1)9.二次函数问题(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合.二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系.(2)二次函数解析式的三种形式：①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).(3)一元二次方程实根分布：先观察二次项系数，Δ与0的关系，对称轴与区间的关系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图.尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形.[回扣问题9]关于x的方程ax2－x＋1＝0至少有一个正根的充要条件是________. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1410.指数与对数的运算性质：(1)指数运算性质：a r a s ＝a r ＋s ，(a r )s ＝a rs ，(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ，s ∈Q ). (2)对数运算性质：已知a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，M ＞0，N ＞0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N ， log a MN ＝log a M －log a N ， log a M n ＝n log a M ，对数换底公式：log a N ＝log b Nlog ba .推论：log am N n ＝n m log a N ；log a b ＝1log ba .[回扣问题10] 设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( ) A.10 B.10 C.20 D.100答案 A11.指数函数与对数函数的图象与性质：可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y ＝a x 的图象恒过定点(0，1)，对数函数y ＝log a x 的图象恒过定点(1，0).[回扣问题11] (1)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A.a ＞b ＞cB.a ＞c ＞bC.c ＞b ＞aD.c ＞a ＞b(2)函数y ＝log a |x |的增区间为________.答案 (1)D (2)当a ＞1时，(0，＋∞)；当0＜a ＜1时，(－∞，0) 12.函数与方程(1)对于函数y ＝f (x )，使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点.事实上，函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根.(2)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续曲线，且有f (a )f (b )＜0，那么函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，此时这个c 就是方程f (x )＝0的根；反之不成立.[回扣问题12] 设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在区间是( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)答案 B13.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数是曲线y ＝f (x )在P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率f ′(x 0)，相应的切线方程是y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 注意 过某点的切线不一定只有一条.[回扣问题13] 已知函数f (x )＝x 3－3x ，过点P (2，－6)作曲线y ＝f (x )的切线，则此切线的方程是____________. 答案 3x ＋y ＝0或24x －y －54＝0 14.常用的求导方法 (1)(x m)′＝mxm －1，(sin x )′＝cos x ，(cos x )′＝－sin x ，(e x)′＝e x，(ln x )′＝1x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2.(2)(u ±v )′＝u ′±v ′；(u v )′＝u ′v ＋u v ′；⎝ ⎛⎭⎪⎫u v ′＝u ′v －u v ′v 2(v ≠0).[回扣问题14] 已知f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝________；已知f (x )＝e xx ，则f ′(x )＝________.答案 ln x ＋1 e x （x －1）x 215.利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f (x )在某个区间内可导，如果f ′(x )＞0，那么f (x )在该区间内为增函数；如果f ′(x )＜0，那么f (x )在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f ′(x )＝0，那么f (x )在该区间内为常函数.注意 如果已知f (x )为减函数求字母取值范围，那么不等式f ′(x )≤0恒成立，但要验证f ′(x )是否恒等于0.增函数亦如此.[回扣问题15] 函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A.[3，＋∞)B.[－3，＋∞)C.(－3，＋∞)D.(－∞，－3)答案 B16.导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f (x )＝x 3，有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点.[回扣问题16] 函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x －a 的极值点的个数是( ) A.2 B.1 C.0 D.由a 确定答案 C3.三角函数、解三角形、平面向量1.α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2＞0，那么sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝yx (x ≠0)，三角函数值只与角的终边位置有关，而与终边上点P 的位置无关. [回扣问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________. 答案 －152.同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限[回扣问题2] 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪2＋α＝15，则sin α的值为( )A.15B.－15 C.±265 D.25 6答案 C3.三角函数的图象与性质 (1)五点法作图；(2)对称轴：y ＝sin x ，x ＝k π＋π2，k ∈Z ；y ＝cos x ，x ＝k π，k ∈Z ；对称中心：y ＝sin x ，(k π，0)，k ∈Z ；y ＝cos x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ；y ＝tan x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z . (3)单调区间：y ＝sin x 的增区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )，减区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )；y ＝cos x 的增区间：[]－π＋2k π，2k π(k ∈Z )， 减区间：[2k π，π＋2k π](k ∈Z )；y ＝tan x 的增区间：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z ). (4)周期性与奇偶性：y ＝sin x 的最小正周期为2π，为奇函数；y ＝cos x 的最小正周期为2π，为偶函数；y ＝tan x 的最小正周期为π，为奇函数.易错警示 求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，容易出现以下错误： (1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反； (2)忘掉写＋2k π，或＋k π等，忘掉写k ∈Z ；(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起，如[0，90°]应写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.[回扣问题3] (1)把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为( ) A.x ＝－π2 B.x ＝－π4 C.x ＝π8D.x ＝π4(2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的递减区间是________. 答案 (1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β――→令β＝αsin 2α＝2sin αcos α.cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β――→令β＝α cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α. [回扣问题4] (1)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________. (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，17π12＜x ＜7π4，则sin 2x ＋2sin 2 x1－tan x ＝________.答案 (1)1 (2)－28755.在三角恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如： α＝(α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)； α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4. [回扣问题5] 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. 答案 －5665 6.解三角形(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(ⅱ)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R ， sin C ＝c2R ；(ⅲ)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍.(2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a22bc 等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.[回扣问题6] (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.(2)在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝________，sin A ＝________. 答案 (1)π3或2π3 (2)21587.有关三角形的常见结论(1)面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B.(2)三个等价关系：△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 对边，则a ＞b ⇔sin A ＞sin B ⇔A ＞B .[回扣问题7] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A.3 B.932 C.332D.3 3答案 C8.平面向量的基本概念及线性运算(1)加、减法的平行四边形与三角形法则：AB →＋BC →＝AC →；AB →－AC →＝CB →. (2)向量满足三角不等式：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.(3)实数λ与向量a 的积是一个向量，记为λa ，其长度和方向规定如下： ①|λa |＝|λ||a |；②λ＞0，λa 与a 同向；λ＜0，λa 与a 反向；λ＝0，或a ＝0时，λa ＝0.(4)平面向量的两个重要定理①向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . ②平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底.[回扣问题8] 设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.BC →B.12AD →C.AD →D.12BC →答案 C9.向量的平行与垂直设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ≠0，则a ∥b ⇔b ＝λa ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.a ⊥b (a ≠0，b ≠0)⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.0看成与任意向量平行，特别在书写时要注意，否则有质的不同.[回扣问题9] 已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(2，0)，c ＝(1，－1)，若向量(λa ＋b )∥c ，则实数λ＝________. 答案 －2 10.向量的数量积设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则|a |2＝a 2＝a ·a ， a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2，cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22， a 在b 上的投影＝|a |cos 〈a ，b 〉＝a ·b |b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 22＋y 22， 注意 〈a ，b 〉为锐角⇔a ·b ＞0且a 、b 不同向； 〈a ，b 〉为直角⇔a ·b ＝0且a 、b ≠0； 〈a ，b 〉为钝角⇔a ·b ＜0且a 、b 不反向.易错警示 投影不是“影”，投影是一个实数，可以是正数、负数或零. [回扣问题10] (1)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( ) A.2 3 B. 3 C.0D.－ 3(2)已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________.答案 (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞11.几个向量常用结论：①P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心； ②P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →⇔P 为△ABC 的垂心；③向量λ(AB→|AB →|＋AC→|AC →|)(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心； ④|P A →|＝|PB →|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的外心.[回扣问题11] 若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为______. 答案 直角三角形4.数列、不等式1.等差数列的有关概念及运算(1)等差数列的判断方法：定义法a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)或a n ＋1－a n ＝a n － a n －1(n ≥2).(2)等差数列的通项：a n ＝a 1＋(n －1)d 或a n ＝a m ＋(n －m )d . (3)等差数列的前n 项和：S n ＝n （a 1＋a n ）2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d . [回扣问题1] 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A.8 B.10 C.12 D.14答案 C2.等差数列的性质(1)当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n 是关于n 的二次函数且常数项为0.(2)若公差d ＞0，则为递增等差数列；若公差d ＜0，则为递减等差数列；若公差d ＝0，则为常数列.(3)当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ＋a n ＝2a p .(4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列.[回扣问题2] 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9答案 A3.等比数列的有关概念及运算(1)等比数列的判断方法：定义法a n ＋1a n ＝q (q 为常数)，其中q ≠0，a n ≠0或a n ＋1a n ＝a na n －1(n ≥2).(2)等比数列的通项：a n ＝a 1q n －1或a n ＝a m q n －m .(3)等比数列的前n 项和：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q.(4)等比中项：若a ，A ，b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项.值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为±ab .如已知两个正数a ，b (a ≠b )的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为A ＞B .[回扣问题3] 等比数列{a n }中，a 3＝9，前三项和S 3＝27，则公比q 的值为________. 答案 1或－12 4.等比数列的性质(1)若{a n }，{b n }都是等比数列，则{a n b n }也是等比数列.(2)若数列{a n }为等比数列，则数列{a n }可能为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列.(3)等比数列中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m a n ＝a p a q .[回扣问题4] 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 4a 5a 6＝8，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 9＝( ) A.9 B.6 C.4 D.3答案 A5.数列求和的常见方法：公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构.(1)分组法求数列的和：如a n ＝2n ＋3n ；(2)错位相减法求和：如a n ＝(2n －1)2n ；(3)裂项法求和：如求1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n；(4)倒序相加法求和. [回扣问题5] 若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n 为( ) A.2n ＋n 2－1 B.2n ＋1＋n 2－1 C.2n ＋1＋n 2－2 D.2n ＋n 2－2答案 C6.求数列通项常见方法(1)已知数列的前n 项和S n ，求通项a n ，可利用公式a n ＝⎩⎨⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）.由S n求a n 时，易忽略n ＝1的情况.(2)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )可采用累加求和法，例如{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n ，求a n ；(3)形如a n ＋1＝ca n ＋d 可采用构造法，例如a 1＝1，a n ＝3a n －1＋2，求a n .(4)归纳法，例如已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2n －(a n ＋2)S n ＋1＝0，求S n ，a n .[回扣问题6] 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，则数列{a n }的通项公式为________. 答案 a n ＝13n7.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负或是否为零.两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行. [回扣问题7] 若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a d ＞b c B.a d ＜bc C.a c ＞bd D.a c ＜b d答案 B8.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示.[回扣问题8] 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是{x |x ＜－2，或x ＞ －12}，则ax 2－bx ＋c ＞0的解集为________. 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜2 9.基本不等式：a ＋b2≥ab (a ，b ＞0) (1)推广：a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ，b ∈R ＋).(2)用法：已知x ，y 都是正数，则①若积xy 是定值p ，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2p ； ②若和x ＋y 是定值s ，则当x ＝y 时，积xy 有最大值14s 2.利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件. [回扣问题9] (1)已知x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为________. (2)已知x ＞0，y ＞0且x ＋y ＝1，且3x ＋4y 的最小值是________. 答案 (1)5 (2)7＋4 310.解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负.[回扣问题10]若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( ) A.5 B.6 C.7 D.8答案 B5.立体几何1.一个几何体的三视图的排列规则是俯视图放在正(主)视图下面，长度与正(主)视图一样，侧(左)视图放在正(主)视图右面，高度与正(主)视图一样，宽度与俯视图一样，即“长对正，高平齐，宽相等”.在画一个几何体的三视图时，一定注意实线与虚线要分明.[回扣问题1] 一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )答案 B2.在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x 轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y 轴的线段平行性不变，长度减半.”[回扣问题2] 如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是________.答案2 23.简单几何体的表面积和体积(1)S直棱柱侧＝c·h(c为底面的周长，h为高).(2)S正棱锥侧＝12ch′(c为底面周长，h′为斜高).(*)(3)S正棱台侧＝12(c′＋c)h′(c与c′分别为上、下底面周长，h′为斜高).(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式S圆柱侧＝2πrl(r为底面半径，l为母线)，S圆锥侧＝πrl(同上)，(*)S圆台侧＝π(r′＋r)l(r′，r分别为上、下底的半径，l为母线).(5)体积公式V柱＝S·h(S为底面面积，h为高)，V锥＝13S·h(S为底面面积，h为高)，(*)V台＝13(S＋SS′＋S′)h(S，S′为上、下底面面积，h为高).(6)球的表面积和体积S球＝4πR2，V球＝43πR3.注带(*)的不需记忆.[回扣问题3](1)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________.(2)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()A.32π3 B.4πC.2πD.4π3答案 (1)12 (2)D 4.空间中的平行关系(1)线面平行：⎭⎬⎫a ∥bb ⊂αa ⊄α⇒a ∥α；⎭⎬⎫α∥βa ⊂β⇒a ∥α；⎭⎬⎫α⊥βa ⊥βa ⊄α⇒a ∥α； (2)面面平行：⎭⎬⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝O a ∥βb ∥β⇒α∥β； ⎭⎬⎫a ⊥αa ⊥β⇒α∥β；⎭⎬⎫α∥βγ∥β⇒α∥γ； (3)线线平行：⎭⎬⎫a ∥αa ⊂βα∩β＝b ⇒a ∥b ；⎭⎬⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ；⎭⎬⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b ；⎭⎬⎫a ∥cb ∥c ⇒a ∥b .[回扣问题4] 下列条件能得出平面α∥平面β的是( ) A.α内有无穷多条直线都与β平行 B.直线a ∥α，a ∥β，且a ⊄α，a ⊄β C.直线a ⊂α，直线b ⊂β，且a ∥β，b ∥α D.α内的任何直线都与β平行 答案 D5.空间中的垂直关系(1)线面垂直：⎭⎬⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝O l ⊥a ，l ⊥b⇒l ⊥α；⎭⎬⎫α⊥βα∩β＝l a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β；⎭⎬⎫α∥βa ⊥α⇒a ⊥β；⎭⎬⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α； (2)面面垂直：二面角90°； ⎭⎬⎫a ⊂βa ⊥α⇒α⊥β；⎭⎬⎫a ∥βa ⊥α⇒α⊥β；(3)线线垂直：⎭⎬⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b . [回扣问题5] 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( )A.若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥αB.若m ∥β，β⊥α，则m ⊥αC.若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α，则m ⊥αD.若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α 答案 C6.空间向量在立体几何中的应用设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为u ，v . (1)空间位置关系：l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0； l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ； α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ，k ∈R ； α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0.(2)空间角：①设异面直线l ，m 的夹角θ，则cos θ＝|a ·b ||a |·|b |； ②设直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|a ·u ||a |·|u |； ③设平面α，β所成锐二面角为θ，则cos θ＝|u ·v ||u |·|v |.(3)空间距离：设A 是平面α外一点，O 是α内一点，则A 到平面α的距离d ＝|AO →·u ||u |. 易错警示 (1)①求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，容易误以为是线面角的余弦.②求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析. (2)用空间向量求A 到平面α的距离：可表示为d ＝|n ·AB →||n |.[回扣问题6] 已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于________. 答案 647.三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)⇔顶点在底面射影为底面外心；侧棱两两垂直(两相对棱垂直)⇔顶点在底面射影为底面垂心；斜高相等(侧面与底面所成角相等)⇔顶点在底面射影为底面内心；正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ，则S 侧cos θ＝S 底.[回扣问题7] 过△ABC 所在平面α外一点P ，作PO ⊥α，垂足为O ，连接P A ，PB ，PC .(1)若P A ＝PB ＝PC ，∠C ＝90°，则点O 是AB 边的________点. (2)若P A ＝PB ＝PC ，则点O 是△ABC 的________心.(3)若P A ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥P A ，则点O 是△ABC 的________心. (4)若P 到AB ，BC ，CA 三边距离相等，则点O 是△ABC 的________心. 答案 (1)中 (2)外 (3)垂 (4)内6.解析几何1.直线的倾斜角α与斜率k (1)倾斜角α的范围为[0，π). (2)直线的斜率①定义：k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)；③直线的方向向量a＝(1，k ).[回扣问题1] 直线x sin α－y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B.(0，π)C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－π4，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 答案 D 2.直线的方程(1)点斜式：y－y0＝k(x－x0)，它不包括垂直于x轴的直线.(2)斜截式：y＝kx＋b，它不包括垂直于x轴的直线.(3)两点式：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1，它不包括垂直于坐标轴的直线.(4)截距式：xa＋yb＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.(5)一般式：任何直线均可写成Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的形式.[回扣问题2]已知直线过点P(1，5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________.答案5x－y＝0或x＋y－6＝03.两直线的平行与垂直①l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.②l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则有l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. [回扣问题3]设直线l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m＝________时，l1∥l2；当m＝________时，l1⊥l2；当________时，l1与l2相交；当m＝________时，l1与l2重合.答案－112m≠3且m≠－1 34.点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2；(2)两平行线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝|C1－C2| A2＋B2.[回扣问题4]已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离为()A.1710 B.8C.2D.17 5答案 C 5.圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，只有当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0才表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径为12D 2＋E 2－4F 的圆. [回扣问题5] 已知圆C 经过A (5，1)，B (1，3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的标准方程为________. 答案 (x －2)2＋y 2＝10 6.直线、圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)有相交、相离、相切三种位置关系.可从代数和几何两个方面来判断；①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ＞0⇔相交；Δ＜0⇔相离；Δ＝0⇔相切；②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d ，则d ＜r ⇔相交；d ＞r ⇔相离；d ＝r ⇔相切. (2)圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，则①当|O 1O 2|＞r 1＋r 2时，两圆外离；②当|O 1O 2|＝r 1＋r 2时，两圆外切；③当|r 1－r 2|＜|O 1O 2|＜r 1＋r 2时，两圆相交；④当|O 1O 2|＝|r 1－r 2|时，两圆内切；⑤当0≤|O 1O 2|＜|r 1－r 2|时，两圆内含. [回扣问题6] (1)已知点M (1，0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________.(2)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A.21 B.19 C.9D.－11答案 (1)x ＋y －1＝0 (2)C7.对圆锥曲线的定义要做到抓住关键词，例如椭圆中定长大于两定点之间的距离，双曲线定义中是到两定点距离之差的“绝对值”，否则只是双曲线的其中一支，在抛物线的定义中必须注意条件：F ∉l ，否则定点的轨迹可能是过点F 且垂直于直线l 的一条直线.[回扣问题7] (1)椭圆x 225＋y 216＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，过焦点F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为( ) A.10 B.2 C.16D.20(2)已知双曲线x 24－y 221＝1上的一点P 到双曲线的一个焦点的距离为6，则点P 到另一个焦点的距离为________.(3)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，点A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( ) A.1 B.2 C.4D.8答案 (1)D (2)10 (3)A8.求椭圆、双曲线及抛物线的标准方程，一般遵循先定位，再定型，后定量的步骤，即先确定焦点的位置，再设出其方程，求出待定系数.(1)椭圆标准方程：焦点在x 轴上，x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)；焦点在y 轴上，y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0).(2)双曲线标准方程：焦点在x 轴上，x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)；焦点在y 轴上，y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0).(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)具有共同渐近线的双曲线系为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0). (4)抛物线标准方程焦点在x 轴上：y 2＝±2px (p ＞0)； 焦点在y 轴上：x 2＝±2py (p ＞0).[回扣问题8] (1)过点(2，－2)，且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( ) A.x 24－y 22＝1 B.y 24－x 22＝1 C.x 22－y 24＝1D.y 22－x 24＝1(2)y ＝4x 2的焦点坐标是________. 答案 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 9.(1)在把圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系.有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切. (2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]或|P 1P 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]. (3)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的直线l 交抛物线于C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则①焦半径|CF |＝x 1＋p 2；②弦长|CD |＝x 1＋x 2＋p ；③x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.[回扣问题9] 已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________. 答案 167.概率与随机变量及其分布1.互斥事件有一个发生的概率P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ). (1)公式适合范围：事件A 与B 互斥. (2)P (A )＝1－P (A ).[回扣问题1] 某射手射击一次击中10环、9环、8环的概率分别是0.3，0.3，0.2，那么他射击一次不够8环的概率是________. 答案 0.2 2.古典概型P (A )＝mn (其中，n 为试验中可能出现的结果总数，m 为事件A 在试验中包含的基本事件个数).[回扣问题2] 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率为________. 答案 133.解排列、组合问题的依据是：分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合. 解排列、组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配分步法；综合问题先选后排法；至多至少问题间接法. (1)排列数公式A m n ＝n (n －1)(n －2)…[n －(m －1)]＝n ！（n －m ）！，其中m ，n ∈N *，且m ≤n .当m＝n 时，A nn ＝n ·(n －1)·…·2·1＝n ！，规定0！＝1.(2)组合数公式C mn ＝A mn A m m＝n （n －1）（n －2）…[n －（m －1）]m ！＝n ！m ！（n －m ）！.(3)组合数性质C m n ＝C n －m n ，C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1，规定C 0n ＝1，其中m ，n ∈N *，m ≤n .[回扣问题3] (1)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为________.(2)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答).答案 (1)24 (2)590 4.二项式定理(1)定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n －1n ab n －1＋C n n b n (n ∈N *).通项(展开式的第r ＋1项)：T r ＋1＝C r n a n －r b r ，其中C r n (r ＝0，1，…，n )叫做二项式系数.(2)二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，C 2n ＝C n －2n ，…，C r n ＝C n －r n .②二项式系数的和等于2n (组合数公式)，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .③二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1.特别提醒 二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念，在求法上也有很大的差别，往往因为概念不清导致出错.[回扣问题4] 设⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6的展开式中x 3的系数为A ，二项式系数为B ，则A ∶B＝________. 答案 4∶15.求分布列，要检验概率的和是否为1，如果不是，要重新检查修正.还要注意识别独立重复试验和二项分布，然后用公式.如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k. [回扣问题5] 若随机变量ξ的分布列如下表，则E (ξ)的值为________.答案 209。
高一、二暑假补缺_72
必修1抽象总结：基础：概念公式定理图像(包括文字表述，物理量表述，实例表述)解题：对象状态过程条件（包括常用二级结论，常见特殊情形）对象：单个物体，多个物体，一个系统条件：明确已知条件注意隐含条件判断模糊条件状态：力，能量过程：功，直线（），曲线（）生活经验为前提，题设情景为根据，概念规律为准则，数学计算为路径，规范解答多得分，物理意义来检验。
（概念串讲+课后习题+教材+知识点+典例+变式+教材中各版块）1．关于速度和加速度的关系，下列说法正确的是( )A．加速度方向为正时，速度一定增加B．速度变化得越快，加速度就越大C．加速度方向保持不变，速度方向也保持不变D．加速度大小不断变小，速度大小也不断变小2．做直线运动的物体，其v－t图象如图所示，试根据v－t图象判断：(1)第1秒内，物体的加速度为多大？(2)第2秒和第4秒内的加速度是否相同？(3)在第4秒内，物体做什么运动？3．有一个物体做直线运动，其速度——时间图像如图所示，从图中可以看出，物体加速度方向和速度方向相同的时间段是（）A．0＜t＜2sB．2s＜t＜4sC．0＜t＜2s和6s＜t＜8sD．0＜t＜2s和5s＜t＜6s4．物体在一直线上运动,用正、负号表示方向的不同,根据给出速度和加速度的正负,下列对运动情况判断错误的是（）A．v0>0，a<0, 物体的速度越来越大 B．v0<0， a<0, 物体的速度越来越大C．v0<0，a>0, 物体的速度越来越小D．v0>0，a>0, 物体的速度越来越大5．如图所示是甲、乙两物体做直线运动的v－t图象．下列表述正确的是()A．乙做匀加速直线运动B．0～1 s内甲和乙的位移相等C．甲和乙的加速度方向相同D．甲的加速度比乙的小6. 如图所示为某物体做直线运动的图象，关于这个物体在4s内运动的情况，下列说法中正s /mt /s s 0 t 0 tO甲 乙确的是( )A. 物体始终向同一方向运动；B. 加速度大小不变，方向与初速度方向相同；C. 4s 末物体离出发点最远；D. 4s 内通过的路程为4m ，位移为零。
高一数学高效课堂资料期中查漏补缺(二)
高一数学高效课堂资料高一数学期中查漏补缺（二）一、选择题： 1．已知，则f （3）=A ．3B ．2C ．1D ．42.下列函数中，在区间(0,)+∞上不是增函数的是A ．2x y =B ．|1|y x =+C ．2y x= D ．221y x x =++3.下列四组函数，表示同一函数的是 A ． f （x ）=|x|，B ．，C ． ，g （x ）=x+1D ． ，4. 若的结果是 AC ．D ．5.用二分法求函数的一个零点,依次计算得到下列函数值:则方程的一个近似根在下列哪两数之间A ． 1.25～ 1.375B ．1.375～1.4065C ．1.4065～1.438D ．1.438～1.5 6.函数y=a x ﹣（a ＞0，a ≠1）的图象可能是A ．B ．C ．D ．7.已知函数 ,且,那么 等于A.-10B.-18C.-26D.108.已知函数1,1,12)(2≥<⎩⎨⎧++=x x ax x x f x 若，()[]a f f 40=，则实数a 等于A.21 B. 54C. 2D. 9 9.已知函数221(20)()3(0)ax x x f x ax x ⎧++-<≤=⎨->⎩有三个零点，则实数a 的取值范围是A. 3(,1)4 B.1(,1)4C . (0,1) D. (,1)-∞10.设f （x ）是定义在实数集R 上的函数，且y=f （x+1）是偶函数，当x ≥1时，f （x ）=2x ﹣1，则f （），f （），f （）的大小关系是 A ．f （）＜f （）＜f （） B ．f （）＜f （）＜f （）C ．f （）＜f （）＜f （）D ．f （）＜f （）＜f （）二、填空题：11．含有三个实数的集合既可表示成{a ，，1}，又可表示成{a 2，a+b ，0}，则a 2014+b 2015__________． 12.函数()()021312-+-=x x x f x 的定义域是 .13.给出下列说法：已知函数是定义在上的奇函数，给出下列四个结论：①； ②若在上有最小值，则在上有最大值1； ③若在上为增函数，则在上为减函数；④若时，则时，.14a <32()22f x x x x =+--32220x x x +--=53()8f x x ax bx =++-(2)10f -=(2)f )(x f R 0)0(=f )(x f ),0[+∞1-)(x f (,0]-∞)(x f ),1[+∞)(x f ]1,(--∞0>x ,2)(2x x x f -=0<x x x x f 2)(2--=2其中正确结论的序号为___________.(请将所有正确结论的序号都填上)三．解答题：14.（1）若0,0>>b a ,计算：5354215658b a ba ÷⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--. （2）化简：()()()1313232250.008833-+--+⎪⎭⎫⎝⎛----;。
北京市海淀区2020届高三数学查缺补漏题高考预测
2020 年海淀区高三数学查漏补缺题1. 数学思想方法的落实高三复习的最后目标是要让学生能够用数学的思想理解问题和解决问题. 假如在学生近一年的大批练习的基础上，教师帮助学生从数学思想的角度进行梳理，对每一个单元知识的思想特点与方法进行归纳，将会使学生对数学的认识提升一个层次.例 1：设函数 f ( x)( x2ax a)e x有极值.（Ⅰ）若极小值是0，试确立 a ；（Ⅱ）证明：当极大值为 3 时，只限于 a3的状况.解：（Ⅰ） f '( x)(2 x a)e x( x2ax a)e x x( x a2)e x ,由 f ( x) 0 得x0或 x 2 a .①当 a2时， f '( x)x2e x0 ，f (x)单一递减，函数 f ( x) 无极值，与题意不符，故 a2；②当 a2时， x2 a 为极小值点.故 f ( x) 极小值 f (2a)(4a)e a2 ，当极小值为0 时，a4；③当 a 2 时，同理可得f( x)极小值 f (0) a ，当极小值为0时， a 0 .由①②③知： a0或a4.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当a 2 时， f ( x)在 x0处取极大值f(0) a ，当a 3时，f ( x) 的极大值为 3 ；当 a 2 时， f (x)在 x2 a 处取极大值 f (2a)(4a)e a 2 .3 时能否a3？此刻的问题是当(4a)e a23，得 (4 a )e a230 ，即 e a2 (4a3e2a ) 0（ * ）解方程 (4a)e a2设 g ( a) 4 a3e2a ( a2) 则 g (a)13e2 a0，所以， g( a) 在 (,2) 上单一递加，则有 g( a)g(2)1，此时方程（*）无解，故当a 2时， f ( x) 的极大值不行能为 3 .依据（Ⅰ）和（Ⅱ）知：函数 f ( x) 的极大值为 3 时，只限于 a = 3.说明：本题主要考察学生研究函数方法的运用，即给函数分析式以后，可否经过导数这一研究函数的工具来研究函数的变化趋向，经过研究导函数的符号进一步认识函数的正确的变化状态 .例 2. 已知函数f ( x)1a x3x2 2 x 1.(a 0)3（Ⅰ）求函数 f (x) 在 (0, f (0)) 处的切线方程；（Ⅱ）若函数 f (x) 在 ( 2,1) 上单一减，且在 (0,1) 上单一增，务实数 a 的取值范围；（Ⅲ）当 a 1 时，若x0(t,0] ，函数 f (x)的切线中总存在一条切线与函数 f ( x) 在x0处的切线垂直，求的最小值 .解：（ I ）由已知f (0) 1，f '(x) ax22x2，所以f'(0) 2 ，所以函数 f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线方程为y2x 1（ II ）解 1: ①当a0 时， f '( x) 2x 2 ，知足在 ( 2,1) 上 f '( x)0 ，且在 (0,1) 上f '( x)0 ，所以当a0 时知足题意；②当 a0 时， f '(x)ax22x 2 是恒过点(0, 2)，张口向下且对称轴 x10 的抛物线，a由二次函数图象剖析可得在(2, 1) 上 f '(x)0 ，且在 (0,1) 上 f '(x)0的充要条件是f '(1)0解得 4 a 0 ，即 4 a0.f '( 1)0综上议论可得 4 a0.解 2：由已知可得在( 2, 1) 上 f '( x) 0，且在 (0,1) 上 f '( x)0 ，即a 2( x1)2(11) 在(2,1)上成立且 a2(x1)11 x2x2x x22(2) 在(0,1)成x x立；因为在 (2,1)上2( 12 1 )0 ，在(0,1) 上2(12 1 )4,4a0.x x x x所以（ III）当 a1时， f '( x)x22x2 3 (x1)23,由题意可得x0(t ,0] ，总存在 x R使得 f '(x0 ) f '(x)1成立，即f '( x0 )1成立，因为f 1(,1] U (0,) ，当x0(t,0]时，f '( x)'( x)3f '(x0 )(3(t1)2 , 2] ，所以3 (t1)20，解得 13t1 3.所以的最小值为1 3.例 3. 如图，矩形 ABCD 内接于由函数 yyx, y 1x, y0 图象围成的关闭图形，其中顶点 C ，D 在 y 0 上，求矩形 ABCD 面积的最大值 .ABO DCx解：由图，设 A 点坐标为 ( x, x ) , x (0,32 5) ,则B (1 x, x) ， 由 图 可 得 1 x x ， 记 矩 形 ABCD 的面积为 S ，易得：S ABAD (1x x) x ( x)3( x )2x令 tx, t (0, 5 1 )，得 S t 32tt2所以 S '3t22t1(3t1)(t 1)，令 S0 ，得 t1或 t1 ，3因为 t(0, 51) ，所以 t1 .23S , S 随 t 的变化状况以下表：t(0, 11(1,5 1))3332 S +-SZ极大值5]27由上表可知，当t1，即 x1时， S 获得最大值为5，所以矩形 ABCD 面积的最大值3927为 5.27说明：本题主假如帮助学生经历依据问题的条件和要求成立函数的分析式及确立定义域再研究函数的变化状态的思想过程.例 4.已知 f ( x)x ln x ax ， ( ) x 22 ，g x（Ⅰ）对全部 x (0, ), f (x)g(x) 恒成立，务实数a 的取值范围；（Ⅱ）当 a1时，求函数 f ( x)在[ m, m 3] ( m 0 ) 上的最小值 .解：（Ⅰ）对全部 x (0,), f (x)g( x) 恒成立，即 x ln x axx 2 2恒成立 .也就是 a ln xx2在 x (0,)恒成立.x令 F ( x) ln x x2 ，则 F( x)1 12 x 2 x 2 (x 2)( x 1)，x xx2x2x2在 (0，1) 上 F (x) 0 ，在 (1， ) 上 F ( x) 0 ，所以， F (x) 在 x 1 处取极小值，也是最小值，即 F (x)(x)F (1)3，所以a 3 .min min（Ⅱ）当 a 1时， f (x) x ln x x ，f (x)ln x 2 ，由 f( x) 0 得 x12 .11 e1①当 0m时，在 x [ m,( x) 0 ，在 x 3] 上 f ( x) 0 2 2 )上 f( 2 , me ee所以， f ( x) 在 x1f ( x) min f ( 1 1 e 2 处获得极小值，也是最小值， 2 ) 2 ,e e ②当 m1 时 ， f ' ( x) 0 ，所以 f ( x)在[ m,m 3] 上单一递加，e 2所以 f f min (x)(min x) f (m)m(ln m 1) .例 5. 已知数列a n 知足 a 1 a ， a nan 12 ．定义数列 b n ，使得 b n1 ， n N * ．若a n4 a 6 ，则数列 b n 的最大项为（ B ）A ． b 2B ． b 3C ． b 4D ． b 5例 6.假定实数a 1 ,a 2 , a 3 , a 4 是一个等差数列﹐且知足a 1 2 及 a 34 ﹒若定义函数f n (x) a n x ，此中 n 1,2,3,4 ﹐则以下命题中错误 的是（ B）．．A. f 2 (a 2 ) 4B.f 1(a 2 ) 1 C. 函数 f 2 ( x) 为递加函数D.x (0,) ，不等式 f 1( x) f 2 (x)f 3 ( x) f 4 (x) 恒成立 .说明：数列是函数，用函数的看法对待数列；用研究函数的方法解决数列问题是在数列复习中的重要方面 .2. 理解数学看法的实质的落实学生在考试中出现的问题好多时候都是出在看法上. 落实基本看法，不可以简单图解为就是做基础题，教师要能够针对学生的实质提出有效的较为深刻的问题检查学生的掌握状况，帮助学生理解数学看法的实质 .例 7.函数( ) 3sin 2x π的图象为C，以下结论中不正确的是（ D ）．．．f x3（写出全部正确结论的编号）A. 图象C对于直线x11 π对称12B. 图象 C 对于点2，0对称3C. 函数 f (x) 在区间5内是增函数12，12D. 由y3sin 2x 的图象向右平移 3 个单位长度能够获得图象C例 8．定义在R上的偶函数 f ( x)，对随意的x R 均有 f ( x 4) f ( x) 成立，当 x [ 0, 2]时， f (x)x 3 ，则直线 y 9f (x) 的图像交点中最近两点的距离等与函数 y．答案： 1.2于例 9．已知实数a, b,c, d成等比数列，且对函数y ln( x2)x ，当x b时取到极大值c，则 ad 等于（A）A． 1B． 0C． 1D． 2例 10．已知：数列a n知足 a116 ，a n 1a n2n ，则an的最小值为（ B ）nA. 8B.7C. 6 D . 5例 11．两条分别平行于x 轴和y轴的直线与椭圆C： x2y 21交于A、B、C、D四点，259则四边形 ABCD 面积的最大值为答案： 30.3.解决数学识题的一般思路的落实怎样剖析函数的问题？假如是数列乞降问题，应当先想什么？拿到一个分析几何的题目，怎样剖析？立体几何的问题要思虑什么？等等，近似这样的问题，要让学生多想一想，经过不一样的问题，让学生多思虑，过去讲过的、做过的好多的经典的题目换个视角让学生再思考！我们要教给学生思虑的方法而不是题型套路. 查漏补缺关注遗漏的知识点只是是一个方面，更重要的是学生的数学的思想方法能否是还有衰败实的地方.例 12．已知P是直线3x 4 y 8 0上的动点，PA, PB是圆x2y22x2y 10 的两条切线， A, B 是切点，C是圆心，那么当四边形PACB面积取最小值时，弦AB.分析：过圆心 C （ 1， 1）作直线 3x 4 y 8 0 的垂线，垂足为 P, 这时四边形PACB面积的最小值为2 2 ，四边形 PACB 中AB CP, CP3, AB4 2 .3例 13．已知点 M 1, a 和 Na,1 在直线 l : 2 x 3 y1 0 的双侧，则a 的取值范围是.分析： Q M , N 两点位于直线的双侧，2 3a 1 2a3 1 0,故1a 1例 14. 已知点 A( 1,0) 、 B(1,0) ， P( x 0 , y 0 ) 是直线 y x 2 上随意一点，以 A 、 B 为焦点的椭圆过点 P . 记 椭 圆 离 心 率 e 关 于 x 0 的 函 数 为 e(x 0 ) ， 那 么 下 列 结 论 正 确 的 是( B )A. e 与 x 0 一一对应B. 函数 e( x 0 ) 无最小值，有最大值C. 函数 e( x 0 ) 是增函数D. 函数 e( x 0 ) 有最小值，无最大值 分析：依照椭圆定义|PA||PB|2a ，c1e3aa2.5当点 P 在 A' B （ A', A 对于直线对称）上时， 2a 获得最小值，1.5此时，右图剖析可适当点 P 向左或向右挪动时，a 都在A' P1增大。
2021高考数学查缺补漏集中营 椭圆、双曲线、抛物线(1)
2021高考数学查缺补漏集中营：椭圆、双曲线、抛物线一、选择题(每题5分，共25分)1．以双曲线x23－y2＝1的左核心为核心，极点在原点的抛物线方程是( )．A ．y2＝4xB ．y2＝－4xC ．y2＝－42x D ．y2＝－8x2．双曲线x2m －y2n ＝1(m ＞0，n ＞0)的离心率为2，有一个核心与抛物线y2＝4mx 的核心重合，那么n 的值为( )．A ．1B ．4C ．8D ．123．已知A1，A2别离为椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右极点，椭圆C 上异于A1，A2的点P 恒知足kPA1·kPA2＝－49，那么椭圆C 的离心率为( )．4．已知长方形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝1，假设以A 、B 为核心的双曲线恰好于点C 、D ，那么此双曲线的离心率e ＝( )． B ．2(5－1)－1＋15．设F 一、F2别离是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右核心，假设在直线x ＝a2c 上存在P ，使线段PF1的中垂线过点F2，那么椭圆离心率的取值范围是 ( )．二、填空题(每题5分，共15分) 6．假设双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线与圆(x －2)2＋y2＝3相切，那么此双曲线的离心率为________．7．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x225＋y29＝1的左、右核心别离是F 一、F2，P 为椭圆C 上的一点，且PF1⊥PF2，那么△PF1F2的面积为________．8．已知抛物线x2＝4y 的核心F 和点A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，18，P 为抛物线上一点，那么|PA|＋|PF|的最小值是________．三、解答题(此题共3小题，共35分)9．(11分)如图，设P 是圆x2＋y2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD|＝45|PD|.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．10．(12分)已知椭圆C1：x24＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．(1)求椭圆C2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 别离在椭圆C1和C2上OB →＝2OA →，求直线AB 的方程． 11． (12分)设抛物线C ：x2＝2py(p ＞0)的核心为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)假设∠BFD＝90°，△ABD的面积为4 2，求p的值及圆F的方程；(2)假设A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．参考答案1．D [由题意知：抛物线的核心为(－2,0)．又极点在原点，因此抛物线方程为y2＝－8x.] 2．D [抛物线核心F(m,0)为双曲线一个核心，∴m ＋n ＝m2，又双曲线离心率为2，∴1＋nm ＝4，即n ＝3m ，因此4m ＝m2，可得m ＝4，n ＝12.]3．D [设P(x0，y0)，那么y0x0＋a ×y0x0－a ＝－49，化简得x20a2＋y204a29＝1能够判定b2a2＝49，e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－49＝53.]4．A [由题意可知c ＝1，5－1＝2a ，因此e ＝2c2a＝25－1＝5＋12.] 5．D [设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2c ，y ，F1P 的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b22c ，y 2，那么kF1P ＝cyb2＋2c2，kQF2＝cyb2－2c2.由kF1P·kQF2＝－1， 得y2＝4c4－b4c2＝2c2－b22c2＋b2c2.因为y2≥0，但注意b2＋2c2≠0， 因此2c2－b2＞0， 即3c2－a2＞0. 即e2＞13.故33＜e ＜1.当b2－2c2＝0时，y ＝0，现在kQF2不存在，现在F2为中点，a2c －c ＝2c ，得e ＝33.综上得，33≤e＜1.]6．解析 依题意得：双曲线的渐近线方程为：bx±ay＝0，则|2b|a2＋b2＝3，即：b2＝3a2，又c2＝a2＋b2，∴c2＝4a2，∴e ＝2. 答案 27．解析 ∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，由椭圆方程知a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF1|2＋|PF2|2＝4c2＝64，|PF1|＋|PF2|＝2a ＝10，解得|PF1||PF2|＝18，∴△PF1F2的面积为12|PF1|·|PF2|＝12×18＝9.答案 98．解析 点A 在抛物线的外部，因此当P 、A 、F 三点共线时，|PA|＋|PF|最小，其中核心F的坐标为(0,1)，故|PA|＋|PF|的最小值为|AF|＝1138.答案11389．解 (1)设M 的坐标为(x ，y)，P 的坐标为(xP ，yP)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧xP ＝x ，yP ＝54y ，∵P 在圆上，∴x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54y 2＝25，即轨迹C 的方程为x225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A(x1，y1)，B (x2，y2)， 将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x225＋x －3225＝1，即x2－3x －8＝0. ∴x1＝3－412，x2＝3＋412.∴线段AB 的长度为|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1625x1－x22＝ 4125×41＝415. 10．解 (1)由已知可设椭圆C2的方程为y2a2＋x24＝1(a ＞2)，其离心率为32，故a2－4a＝32，那么a ＝4， 故椭圆C2的方程为y216＋x24＝1.(2)法一 A ，B 两点的坐标别离记为(xA ，yA)，(xB ，yB)，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx. 将y ＝kx 代入x24＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，因此x2A ＝41＋4k2.将y ＝kx 代入y216＋x24＝1中，得(4＋k2)x2＝16，因此x2B ＝164＋k2，又由OB →＝2 OA →，得x2B ＝4x2A ，即164＋k2＝161＋4k2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x. 法二 A ，B 两点的坐标别离记为(xA ，yA)，(xB ，yB)，由OB →＝2 OA →及(1)知， O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为y ＝kx.将y ＝kx 代入x24＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，因此x2A ＝41＋4k2，由OB →＝2 OA →，得x2B ＝161＋4k2，y2B ＝16k21＋4k2，将x2B ，y2B 代入y216＋x24＝1中，得4＋k21＋4k2＝1，那么4＋k2＝1＋4k2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x.11．解 (1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，|BD|＝2p ，圆F 的半径|FA|＝2p.由抛物线概念可知A 到l 的距离d ＝|FA|＝ 2p. 因为△ABD 的面积为4 2，因此12|BD|·d＝42，即12·2p· 2p ＝4 2，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2.因此F(0,1)，圆F 的方程为x2＋(y －1)2＝8.(2)因为A ，B ，F 三点在同一直线m 上，因此AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°.由抛物线概念知|AD|＝|FA|＝12|AB|.因此∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33.当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x2＝2py 得x2－2 33px －2pb ＝0.由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p2＋8pb ＝0，解得b ＝－p6.因为m 的纵截距b1＝p 2， |b1||b|＝3，因此坐标原点到m ，n 距离的比值为3.当m 的斜率为－33时，由图形对称性可知，坐标原点到m ，n 距离的比值为3.综上，坐标原点到m ，n 距离的比值为3.。
2021-2022年高三查缺补漏数学试卷含解析
2021-2022年高三查缺补漏数学试卷含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．设集合A={1，2，3，5}，B={2，3，6}，则A∪B=______．2．复数z满足iz=i+1，则z共轭复数为______．3．已知一组数据3，5，4，7，6，那么这组数据的标准差为______．4．如图是一个算法流程图，则输出k的值是______．5．袋中有形状、大小都相同的5只球，其中有2只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为______．6．底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为______．7．已知圆（x+1）2+y2=4与抛物线y2=2px（p＞0）的准线交于A、B两点，且AB=2，则p的值为______．8．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），如果存在实数x，使得对任意的实数x，都有f（x0）≤f（x）≤f（x+xxπ）成立，则ω的最小值为______．9．在正项等比数列{an }中，若3a1，成等差数列，则=______．10．若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则的值等于______．11．已知函数f（x）=（k∈R），若函数y=|f（x）|+k有三个零点，则实数k的取值范围是______．12．已知直角△AOB的面积为1，O为直角顶点．设向量=， =， =+2，则的最大值为______．13．已知实数x，y满足，则的最小值为______．14．已知函数f（x）=ax﹣x2﹣lnx，若函数f（x）存在极值，且所有极值之和小于5+ln2，则实数a的取值范围是______．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（tanA+tanC，），=（tanAtanC﹣1，1），且∥．（1）求角B；（2）若b=2，求△ABC的面积的最大值．16．在三棱锥P﹣ABC中，D为AB的中点．（1）与BC平行的平面PDE交AC于点E，判断点E在AC上的位置并说明理由如下：（2）若PA=PB，且△PCD为锐角三角形，又平面PCD⊥平面ABC，求证：AB⊥PC．17．如图，景点A在景点B的正北方向2千米处，景点C在景点B的正东方向千米处．（Ⅰ）游客甲沿CA从景点C出发行至与景点B相距千米的点P处，记∠PBC=α，求sinα的值；（Ⅱ）甲沿CA从景点C出发前往景点A，乙沿AB从景点A出发前往景点B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时．若甲乙两人之间通过对讲机联系，对讲机在该景区内的最大通话距离为3千米，问有多长时间两人不能通话？（精确到0.1小时，参考数据：）18．已知椭圆C：的上顶点M与左、右焦点F1、F2构成三角形MF1F2面积为，又椭圆C 的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C的下顶点为N，过点T（t，2）（t≠0）的直线TM，TN分别与椭圆C交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．19．已知函数f（x）=x﹣1﹣a（x﹣1）2﹣lnx（a∈R）．（1）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x+1有一个极小值点和一个极大值点，求a的取值范围；（3）若存在k∈（1，2），使得当x∈（0，k]时，f（x）的值域是[f（k），+∞），求a的取值范围．注：自然对数的底数e=2.71828…20．数列{a n}的前n项和记为S n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称{a n}是“G数列”．（1）若数列{a n}的通项公式a n=2n，判断{a n}是否为“G数列”；（2）等差数列{a n}，公差d≠0，a1=2d，求证：{a n}是“G数列”；（3）设S n与a n满足（1﹣q）S n+a n+1=r，其中a1=2t＞0，q≠0．若{a n}是“G数列”，求q，r满足的条件．[选修4-2：矩阵与变换]21．求曲线|x|+|y|=1在矩阵M=对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），且曲线C上的点M（2，）对应的参数φ=，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的普通方程；（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C上的两点，求+的值．23．在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛．（1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X，求随机变量X 的数学期望；（2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？24．已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），点R（1，2）在抛物线C上．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（1，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B．若直线AR，BR分别交直线l：y=2x+2于M，N两点，求线段MN最小时直线AB的方程．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．设集合A={1，2，3，5}，B={2，3，6}，则A∪B={1，2，3，5，6} ．【考点】并集及其运算．【分析】直接利用集合的并集的定义求解即可．【解答】解：集合A={1，2，3，5}，B={2，3，6}，则A∪B={1，2，3，5，6}．故答案为：{1，2，3，5，6}．2．复数z满足iz=i+1，则z共轭复数为1+i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的有关概念进行计算即可得到结论．【解答】解：由iz=i+1得z=，故=1+i，故答案为：1+i3．已知一组数据3，5，4，7，6，那么这组数据的标准差为．【考点】极差、方差与标准差．【分析】先求出这组数据的平均数，再求出这组数据的方差，由此能求出这组数据的标准差．【解答】解：∵一组数据3，5，4，7，6，∴这组数据的平均数=（3+5+4+7+6）=5，∴这组数据的方差为：S2= [（3﹣5）2+（5﹣5）2+（4﹣5）2+（7﹣5）2+（6﹣5）2]=2，∴这组数据的标准差S=．4．如图是一个算法流程图，则输出k的值是6．【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序是计算S的值，输出满足S≤0时k的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；k=1，S=40，S≤0？，N，S=40﹣2=38；k=2，S≤0？N，S=38﹣22=34；k=3，S≤0？，N，S=34﹣23=26；k=4，S≤0？，N，S=26﹣24=10；k=5，S≤0？，N，S=10﹣25=﹣22；k=6，S≤0？Y，输出k=6．故答案为：6．5．袋中有形状、大小都相同的5只球，其中有2只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出这2只球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出这2只球颜色不同的概率．【解答】解：袋中有形状、大小都相同的5只球，其中有2只红球，3只白球，从中随机一次摸出2只球，基本事件总数n==10，这2只球颜色不同包含的基本事件个数m=，∴这2只球颜色不同的概率p==．故答案为：．6．底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为4+4．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由已知中正四棱锥的底面边长为2，高为2，求出棱锥的侧高，进而求出棱锥的侧面积，加上底面积后，可得答案．【解答】解：如下图所示：正四棱锥S﹣ABCD中，AB=BC=CD=AD=2，S0=2，E为BC 中点，在Rt△SOE中，OE=AB=1，则侧高SE==，故棱锥的表面积S=2×2+4×（×2×）=4+4．故答案为：4+4．7．已知圆（x+1）2+y2=4与抛物线y2=2px（p＞0）的准线交于A、B两点，且AB=2，则p 的值为4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出抛物线的准线方程，代入到圆（x+1）2+y2=4中，求出y的值，再根据|AB|=|y2﹣y1|即可求出答案．【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线为x=﹣，设A、B两点坐标为（﹣，y1），（﹣，y2），∴（﹣+1）2+y2=4，即y2=4﹣（﹣+1）2，∴y=±，∴|AB|=|y2﹣y1|=2=2，∴4﹣（﹣+1）2=3，解得p=4，故答案为：4．8．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f （x0）≤f（x）≤f（x0+xxπ）成立，则ω的最小值为．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据条件f（x0）≤f（x）≤f（x1+xxπ）成立得到函数的最大值和最小值，结合三角函数的周期的性质建立不等式关系即可得到结论．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+xxπ）成立，则f（x0）为函数的最小值，f（x0+xxπ）为函数的最大值，则x0+xxπ﹣x0=n•=xxπ，∵T=，∴=xxπ，即ω=×=，∵n∈N•，∴当n=1时，ω=为最小值，故答案为：．9．在正项等比数列{a n}中，若3a1，成等差数列，则=．【考点】等比数列的通项公式．【分析】设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，根据3a1，成等差数列，可得：2×=3a1+2a2，即=3a1+2a1q，解出q，再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵3a1，成等差数列，∴2×=3a1+2a2，即=3a1+2a1q，∴q2﹣2q﹣3=0，q＞0，解得q=3．则==．故答案为：．10．若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则的值等于．【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用两角和差的余弦公式、二倍角的余弦公式、同角三角函数的基本关，求得要求式子的值．【解答】解：∵点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，∴sinα=﹣2cosα，即tanα=﹣2，∴=cos2α﹣sin2α=•﹣•=•﹣•=•﹣•=，故答案为：．11．已知函数f（x）=（k∈R），若函数y=|f（x）|+k有三个零点，则实数k的取值范围是k≤﹣2．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得|f（x）|=﹣k≥0，进而可得k≤0，作出图象，结合图象可得答案．【解答】解：由y=|f（x）|+k=0得|f（x）|=﹣k≥0，所以k≤0，作出函数y=|f（x）|的图象，由图象可知：要使y=﹣k与函数y=|f（x）|有三个交点，则有﹣k≥2，即k≤﹣2，故答案为：k≤﹣2．12．已知直角△AOB的面积为1，O为直角顶点．设向量=，=，=+2，则的最大值为1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设=x，=y，用表示出，得出关于x，y的函数，利用基本不等式得出最值．【解答】解：设OA=x，OB=y，则xy=2，=x，=y，∵OA⊥OB，∴．∵=，=，∴==1．∴==（x﹣1）﹣2.==﹣+（y﹣2）．∴=[（x﹣1）﹣2]•[﹣+（y﹣2）]=（1﹣x）﹣2（y﹣2）=5﹣（x+2y）．∵x+2y≥2=4．∴5﹣（x+2y）≤1．故答案为：1．13．已知实数x，y满足，则的最小值为．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用换元法，结合分式函数的性质，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则x＞0，y＞0，则==1+=1+，设k=，（k＞0），则y=kx则1+=1+=1+，设y=2k+，由由图象知当直线y=kx和AB：y=x重合时，k取得最大值，此时k=1，当y=kx与y=x2+相切时，直线y=kx的斜率最小，由y=x2+=kx，即x2﹣4kx+1=0，则判别式△=16k2﹣4=0，得k2=，得k=或k=﹣（舍），即≤k≤1，y=2k+的导数y′=2﹣=，则由y′＞0得＜k≤1，即函数y=2k+为增函数，由y′＜0得≤k＜，即函数y=2k+为减函数，故当k=时，y取得极小值同时也是最小值y=×2+==2，当k=1时，y=2+1=3，当k=时，y=2×+2=3，即y的最大值为3，则2≤y≤3，要求1+=1+的最小值，即求y的最大值，即当y=3时，1+取得最大值1+=1+=1+=，故的最小值为，故答案为：14．已知函数f（x）=ax﹣x2﹣lnx，若函数f（x）存在极值，且所有极值之和小于5+ln2，则实数a的取值范围是（2，4）．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由f（x）存在极值，得到其导数值在（0，+∞）上有根，设出方程的根，由根与系数的关系，得到不等式解出即可．【解答】解：f（x）=﹣，∵f（x）存在极值，∴f′（x）=0在（0，+∞）上有根，即方程2x2﹣ax+1=0在（0，+∞）上有根．设方程2x2﹣ax+1=0的两根为x1，x2，由韦达定理得：，所以方程的根必为两不等正根．f（x1）+f（x2）=a（x1+x2）﹣（x12+x22）﹣（lnx1+lnx2）=﹣+1﹣ln＜5﹣ln，∴a2＜16，﹣4＜a＜4，由△=a2﹣8＞0，解得：a＞2，故所求a的取值范围为（2，4），故答案为：（2，4）二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（tanA+tanC，），=（tanAtanC ﹣1，1），且∥．（1）求角B；（2）若b=2，求△ABC的面积的最大值．【考点】正弦定理；基本不等式．【分析】（1）通过两向量平行，求得tanA和tanC的关系，求得tanB，进而求得B．（2）利用余弦定理求得a和c的关系式，利用基本不等式的性质求得ac的最大值，进而利用三角形面积公式求得其最大值．【解答】解：（1）∵m∥n，∴，∴，即，∴，∵B∈（0，π），∴．（2）在△ABC中，由余弦定理有，，∴a2+c2=ac+4，∵a2+c2≥2ac，∴ac≤4，当且仅当a=c=2时，取等，∴△ABC的面积，故△ABC的面积的最大值为．16．在三棱锥P﹣ABC中，D为AB的中点．（1）与BC平行的平面PDE交AC于点E，判断点E在AC上的位置并说明理由如下：（2）若PA=PB，且△PCD为锐角三角形，又平面PCD⊥平面ABC，求证：AB⊥PC．【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】（1）根据线面平行的性质进行判断即可：（2）根据面面垂直的性质定理进行证明．【解答】（1）解：E为AC中点．理由如下：平面PDE交AC于E，即平面PDE∩平面ABC=DE，而BC∥平面PDF，BC⊂平面ABC，所以BC∥DE，在△ABC中，因为D为AB的中点，所以E为AC中点；（2）证：因为PA=PB，D为AB的中点，所以AB⊥PD，因为平面PCD⊥平面ABC，平面PCD∩平面ABC=CD，在锐角△PCD所在平面内作PO⊥CD于O，则PO⊥平面ABC，因为AB⊂平面ABC，所以PO⊥AB又PO∩PD=P，PO，PD⊂平面PCD，则AB⊥平面PCD，又PC⊂平面PCD，所以AB⊥PC．17．如图，景点A在景点B的正北方向2千米处，景点C在景点B的正东方向千米处．（Ⅰ）游客甲沿CA从景点C出发行至与景点B相距千米的点P处，记∠PBC=α，求sinα的值；（Ⅱ）甲沿CA从景点C出发前往景点A，乙沿AB从景点A出发前往景点B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时．若甲乙两人之间通过对讲机联系，对讲机在该景区内的最大通话距离为3千米，问有多长时间两人不能通话？（精确到0.1小时，参考数据：）【考点】解三角形的实际应用．【分析】（Ⅰ）在Rt△ABC中，求出∠C=30°，在△PBC中，由余弦定理，求得PC，在△PBC中，由正弦定理求sinα的值；（Ⅱ）设甲出发后的时间为t小时，①当1≤t≤4时，乙在景点B处，甲在线段PA上，甲乙间的距离d≤BP＜3，此时不合题意；…②当0≤t＜1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，在△AMQ中，由余弦定理可得结论．【解答】解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，，∴∠C=30°在△PBC中，由余弦定理得BC2+PC2﹣2BC•PC•cos30°=BP2，即化简，得PC2﹣6PC+5=0，解得PC=1或PC=5（舍去）…在△PBC中，由正弦定理得，即∴…（Ⅱ）Rt△ABC中，设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0≤t≤4，设甲在线段CA上的位置为点M，AM=4﹣t在△PBC中，由余弦定理得BC2+PC2﹣2BC•PC•cos30°=BP2，即，化简得PC2﹣6PC+5=0解得PC=1或PC=5（舍去）①当1≤t≤4时，乙在景点B处，甲在线段PA上，甲乙间的距离d≤BP＜3，此时不合题意；…②当0≤t＜1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，则AQ=2t在△AMQ中，由余弦定理得，MQ2=（4﹣t）2+（2t）2﹣2×2t×（4﹣t）×cos60°=7t2﹣16t+16 令MQ＞3即MQ2＞9，得7t2﹣16t+7＞0，解得或∴…综上，当时，甲、乙间的距离大于3米．又，故两人不能通话的时间大约为0.6小时…18．已知椭圆C：的上顶点M与左、右焦点F1、F2构成三角形MF1F2面积为，又椭圆C 的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C的下顶点为N，过点T（t，2）（t≠0）的直线TM，TN分别与椭圆C交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的上顶点M与左、右焦点构成三角形面积为，离心率为，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）S△TMN=|MN||t|=|t|，直线TM的方程为：y=，直线TN的方程为：y=，求出E、F、E到直线TN：3x﹣ty﹣t=0的距离和TF，从而得到k==，由此能求出k的最大值．【解答】解：（1）椭圆离心率e==，又，a2=b2+c2，解得a=2，b=1，∴椭圆C的方程为．（2）∵S△TMN=|MN||t|=|t|，直线TM的方程为：y=，联立，得，∴E（，），直线TN的方程为：y=，联立，得，∴F（，），∵E到直线TN：3x﹣ty﹣t=0的距离：d==，TF====，∴S△TEF===，∴S△TEF===，∴k==，令t2+12=n＞12，则k==1+≤，当且仅当n=24，即t=时，等号成立，∴k的最大值为．19．已知函数f（x）=x﹣1﹣a（x﹣1）2﹣lnx（a∈R）．（1）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x+1有一个极小值点和一个极大值点，求a的取值范围；（3）若存在k∈（1，2），使得当x∈（0，k]时，f（x）的值域是[f（k），+∞），求a的取值范围．注：自然对数的底数e=2.71828…【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出g（x）的导数，得到关于a的不等式组，解出验算即可；（3）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围确定函数的单调区间，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．当a=0时，．…f'（x）＜0⇔0＜x＜1；f'（x）＞0⇔x＞1．所以，函数f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．…（2）g（x）=﹣a（x﹣1）2﹣lnx，则．…令h（x）=2ax2﹣2ax+1（x＞0），若函数g（x）有两个极值点，则方程h（x）=0必有两个不等的正根，设两根为x1，x2，于是…解得a＞2．…当a＞2时，h（x）=0有两个不相等的正实根，设为x1，x2，不妨设x1＜x2，则．当0＜x＜x1时，h（x）＞0，g'（x）＜0，g（x）g'（x）＞0在（0，x1）上为减函数；当x1＜x＜x2时，h（x）＜0，g（x）在（x1，x2）上为增函数；当x＞x2时，h（x）＞0，g'（x）＜0，函数g（x）在（x2，+∞）上为减函数．由此，x=x1是函数g（x）的极小值点，x=x2是函数g（x）的极大值点．符合题意．综上，所求实数a的取值范围是（2，+∞）．…（3）．…①当a≤0时，．当0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）在（0，1）上为减函数；当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上为增函数．所以，当x∈（0，k]（1＜k＜2）时，f（x）min=f（1）=0＜f（k），f（x）的值域是[0，+∞）．不符合题意．…②当a＞0时，．（i）当，即时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：x 1 （1，+∞）f'（x）﹣0 +0 ﹣f（x）减函数极小值增函数极大值减函数若满足题意，只需满足，即．整理得．…令，当时，，所以F（a）在上为增函数，所以，当时，．可见，当时，恒成立．故若，当x∈（0，k]（1＜k＜2）时，函数f（x）的值域是[f（k），+∞）．所以满足题意．…（ii）当，即时，，当且仅当x=1时取等号．所以f（x）在（0，+∞）上为减函数．从而f（x）在（0，k]上为减函数．符合题意．…（iii）当，即时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x （0，1）1f'（x）﹣0 +0 ﹣f（x）减函数极小值0 增函数极大值减函数若满足题意，只需满足f（2）＜f（1），且（若，不符合题意），即a＞1﹣ln2，且．又，所以a＞1﹣ln2．此时，．综上，a＞1﹣ln2．所以实数a的取值范围是（1﹣ln2，+∞）．…20．数列{a n}的前n项和记为S n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称{a n}是“G数列”．（1）若数列{a n}的通项公式a n=2n，判断{a n}是否为“G数列”；（2）等差数列{a n}，公差d≠0，a1=2d，求证：{a n}是“G数列”；（3）设S n与a n满足（1﹣q）S n+a n+1=r，其中a1=2t＞0，q≠0．若{a n}是“G数列”，求q，r满足的条件．【考点】等差数列的前n项和．【分析】（1）通过n=1，a1=S1=2，然后求解数列的S n，利用新定义判断即可．（2）求出S n，对任意n∈N*，存在m∈N*使S n=a m，利用新定义判断即可．（3）n≥2时，推出a n+1=qa n，求出，通过q=1时，推出{a n}不是“G数列”，q≠1时，求出S n，利用新定义推出q=2，r=0，t＞0的正实数【解答】解：（1）n=1，a1=S1=2，当n≥2时，S n==2n﹣1∴2n﹣1是奇数，2m是偶数，∴2n﹣1≠2m，∴{a n}不是“G数列”（2）S n=na1+n（n﹣1）d=2dn+n（n﹣1）d=n（n+3）d，a m=a1+（m﹣1）d=（m+1）d对任意n∈N*，存在m∈N*使S n=a m，即n（n+3）d=（m+1）d，∵公差d≠0，∴n（n+3）=2（m+1），∵n，n+3是一奇一偶，∴m一定是自然数，∴{a n}是“G数列”；+a n=r（1﹣q）a n+a n+1﹣a n=0，（3）n≥2时（1﹣q）S n+a n+1=r，（1﹣q）S n﹣1∴a n+1=qa n，（1﹣q）×2t+a2=ra2=r+2qt﹣2t=p，∴a n=．q=1时，a n=，S n=2t+（n﹣1）r=r不恒成立显然{a n}不是“G数列”，q≠1时，S n=2t+=2t+﹣，n=1，S1=a1，{a n}是“H数列”，所以对任意n≥2时，存在m∈N*成立，∴S n=2t+﹣=pq m﹣2可得=pq m﹣2，即q n﹣1=（q﹣1）q m﹣2，解得q=2，∴q=2，由2t+，得p=2t，由r+2qt﹣2t=p，∴r+4t﹣2t=2t，r=0，∴q=2，r=0，t＞0的正实数．[选修4-2：矩阵与变换]21．求曲线|x|+|y|=1在矩阵M=对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】将曲线|x|+|y|=1在矩阵M=对应的变换作用进行化简，作出表示的曲线所围成的图形即可得到结论．【解答】解：设曲线|x|+|y|=1上（x0，y0）在矩阵M=对应的变换作用下得到的曲线对应点为（x，y），∴ []=[]，即x0=x，y0=3y，代入|x|+|y|=1中得：|x|+|3y|=1，当x≥0，y≥0时，方程等价于x+3y=1；当x≥0，y≤0时，方程等价于x﹣3y=1；当x≤0，y≥0时，方程等价于﹣x+3y=1；当x≤0，y≤0时，方程等价于﹣x﹣3y=1，其图象为菱形ABCD，则曲线|x|+|y|=1在矩阵M=对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积为×2×=．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），且曲线C上的点M（2，）对应的参数φ=，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的普通方程；（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C上的两点，求+的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由题意可得：，解得a，b，即可得出椭圆的标准方程．（2）A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C上的两点，可得，，化简整理即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：，解得a=4，b=2．∴曲线C的普通方程为=1．（2）A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C上的两点，可得直角坐标（ρ1cosθ，ρ1sinθ），（﹣ρ2sinθ，ρ2cosθ），代入椭圆标准方程可得：，．∴+=+==．23．在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛．（1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X，求随机变量X 的数学期望；（2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？【考点】离散型随机变量的期望与方差；排列、组合的实际应用．【分析】（1）由题意知随机变量X的取值是0、1、2、3、4、5，当X=0时，表示主力队员参加比赛的人数为0，当X=1时，表示主力队员参加比赛的人数为1，当X=2时，表示主力队员参加比赛的人数为2，以此类推，写出概率和分布列求出期望．（2）上场队员有3名主力，方案有：（C63﹣C41）（C52﹣C22）=144（种）；上场队员有4名主力，方案有：（C64﹣C42）C51=45（种）；上场队员有5名主力，方案有：（C65﹣C43）C50=C44C21=2（种）．列出三种情况，相加得到结论．【解答】解：（1）由题意知随机变量X的取值是0、1、2、3、4、5，∵当X=0时，表示主力队员参加比赛的人数为0，以此类推，∴P（X=0）=；P（X=1）=；P（X=2）=；P（X=3）=；P（X=4）=；P（X=5）=．∴随机变量X的概率分布如下表：E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+5×=≈2.73（2）由题意知①上场队员有3名主力，方案有：（C63﹣C41）（C52﹣C22）=144（种）②上场队员有4名主力，方案有：（C64﹣C42）C51=45（种）③上场队员有5名主力，方案有：（C65﹣C43）C50=C44C21=2（种）教练员组队方案共有144+45+2=191种．24．已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），点R（1，2）在抛物线C上．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（1，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B．若直线AR，BR分别交直线l：y=2x+2于M，N两点，求线段MN最小时直线AB的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由点R（1，2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，求出p=2，由此能求出抛物线C的方程．（2）设A（x1，y1），B（x2y2），设直线AB的方程为x=m（y﹣1）+1，m≠0，设直线AR 的方程为y=k1（x﹣1）+2，由已知条件推导出x M=﹣，x N=﹣，由此求出|MN|=2，再用换元法能求出|MN|的最小值及此时直线AB的方程．【解答】解：（1）∵点R（1，2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，∴4=2p，解得p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x．（2）设A（x1，y1），B（x2y2），直线AB的方程为x=m（y﹣1）+1，m≠0，由，消去x，并整理，得：y2﹣4my+4（m﹣1）=0，∴y1+y2=4m，y1•y2=4（m﹣1），设直线AR的方程为y=k1（x﹣1）+2，由，解得点M的横坐标x M=，又k1==，∴x M==﹣，同理点N的横坐标x N=﹣，|y2﹣y1|==4，∴|MN|=|x M﹣x N|=|﹣+|=2||，=8=2，令m﹣1=t，t≠0，则m=t=1，∴|MN|=2≥，即当t=﹣2，m=﹣1时，|MN|取最小值为，此时直线AB的方程为x+y﹣2=0xx9月10日34271 85DF 藟#29806 746E 瑮22216 56C8 囈)24895 613F 愿35164 895C 襜VB23640 5C58 屘40522 9E4A 鹊精品文档21769 5509 唉O24979 6193 憓实用文档。