最新人教版高中数学选修2-2第二章《反证法》自我小测1

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人教版数学选修2-2第2章反证法学业分层测评

学业分层测评(十六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．实数a，b，c不全为0等价于()A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0【解析】“不全为0”的对立面为“全为0”，故“不全为0”的含义为“至少有一个不为0”．【答案】 D2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根【解析】依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.【答案】 A3．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线【解析】假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b 不可能是平行直线，故应选C.【答案】 C4．设a ，b ，c 大于0，则3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 的值( )【导学号：62952083】A ．都大于2B ．至少有一个不大于2C ．都小于2D ．至少有一个不小于2【解析】假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 三个数都小于2，则必有a ＋1b ＋b ＋1c ＋c＋1a <6，而⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥2a ·1a ＋2b ·1b＋2c ·1c ＝6，故二者相矛盾．所以假设不成立．【答案】 D5．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是( )A ．有两个内角是钝角B ．有三个内角是钝角C ．至少有两个内角是钝角D ．没有一个内角是钝角【解析】 “最多只有一个”的否定是“至少有两个”，故选C.【答案】 C二、填空题6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是__________________________________________________．【解析】 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是：没有一个面是三角形或四边形或五边形．【答案】没有一个面是三角形或四边形或五边形7．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＝1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2.其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．【解析】假设a ，b 均不大于1，即a ≤1，b ≤1.则①②④均有可能成立，故①②④不能推出“a ，b 中至少有一个大于1”，故选③.【答案】 ③8．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2分别是________．(填三角形的种类)【解析】由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧ A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1.那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，又显然△A 2B 2C 2不是直角三角形，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．【答案】锐角三角形，纯角三角形三、解答题9．已知f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明：方程f (x )＝0没有负数根．【证明】假设x 0是f (x )＝0的负数根，则x 0<0且x 0≠－1且a x 0＝－x 0－2x 0＋1，由0<a x 0<1⇒0<－x 0－2x 0＋1<1，解得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾，所以假设不成立，故方程f (x )＝0没有负数根．10．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于32.【导学号：62952084】【证明】假设a ，b ，c 都小于等于32，即a ≤32，b ≤32，c ≤32.∵abc ＝1，∴a ，b ，c 三数同为正或一正两负．又a ＋b ＋c ＝0，∴a ，b ，c 只能是一正两负，不妨设a ＞0，b ＜0，c ＜0.则b ＋c ＝－a ，bc ＝1a ，∴b ，c 为方程x 2＋ax ＋1a＝0的两根， ∴Δ＝a 2－4a ≥0，即a 3≥4.∴a ≥ 34＞3278＝32，这与a ≤32矛盾，∴a ，b ，c 中至少有一个大于32.[能力提升]1．下列命题运用“反证法”证明正确的是()A．命题：若a>b>0，则a>b.用反证法证明：假设a>b不成立，则a<b.若a<b，则a<b，与已知a>b矛盾．故假设不成立，结论a>b成立B．命题：已知二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，且a≠0)有实根，求证：Δ＝b2－4ac≥0.用反证法证明：假设Δ＝b2－4ac<0，则ax2＋bx＋c＝0无实根，与已知方程有实根矛盾，∴Δ≥0C．命题：已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，证明：关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实数根．用反证法证明：假设方程x2－2x＋5－p2＝0有实数根，由已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，解得－2<p<－12，而关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0的根的判别式Δ＝4(p2－4)，∵－2<p<－12，∴14<p2<4，∴Δ<0，即关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实数根D．命题：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.“若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0”．用反证法证明：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与已知相矛盾．∴原命题成立【解析】A．反证法中的反证不全面，“a>b”的否定应为“a≤b”．B．本题犯了“循环论证”的错误，实质上没有求出该题．C．在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法．【答案】 D2．设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”的()【导学号：62952085】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】首先，若P，Q，R同时大于0，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，且P，Q，R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，所以b<0，与b>0矛盾．故P，Q，R都大于0.【答案】 C3．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中一位获奖，有人采访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．【解析】若甲获奖，则甲、乙、丙、丁四位歌手说的都是假的，同理可推出乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．【答案】丙4．已知函数f(x)＝x22x－2，如果数列{a n}满足a1＝4，a n＋1＝f(a n)，求证：当n≥2时，恒有a n<3成立．【证明】假设a n≥3(n≥2)，则由已知得a n＋1＝f(a n)＝a2n2a n－2，所以当n≥2时，a n＋1a n＝a n2a n－2＝12·⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a n－1≤12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝34＜1(因为a n－1≥3－1)，又易证a n>0，所以当n≥2时，a n＋1<a n，所以当n＞2时，a n<a n－1<…<a2；而当n＝2时，a2＝a212a1－2＝168－2＝83＜3，所以当n≥2时，a n<3；这与假设矛盾，故假设不成立，所以当n≥2时，恒有a n<3成立.。

人教版数学高二A版选修2-2练习反证法 (2)

第二章推理与证明2.2 直接证明与间接证明2.2.2 反证法[A级基础巩固]一、选择题1．实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，则正确的说法是()A．a，b，c都是0B．a，b，c都不为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c不可能均为正数答案：D2．否定结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a，b，c中奇数、偶数的可能情况有：全为奇数，恰有一个偶数，恰有两个偶数，全为偶数．剔出结论即为反设．答案：D3．“实数a，b，c不全大于0”等价于()A．a，b，c均不大于0B．a，b，c中至少有一个大于0C．a，b，c中至多有一个大于0D．a，b，c中至少有一个不大于0解析：“不全大于零”即“至少有一个不大于0”，它包括“全不大于”．选项D正确．答案：D4．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号顺序为() A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.答案：B5．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①错：应为a≤b；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．答案：B二、填空题6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是___________________________________．解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是：没有一个面是三角形或四边形或五边形．答案：没有一个面是三角形或四边形或五边形7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．(填序号)答案：③①②8．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．答案：丙三、解答题9．若a、b、c均为实数，且a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.证明：设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，所以a ＋b ＋c ≤0.而a ＋b ＋c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2y ＋π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－2z ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 2－2x ＋π6＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π－3＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3≥π－3＞0.所以a ＋b ＋c ＞0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故a 、b 、c 中至少有一个大于0.10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a ，b ，c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数．求证：f (x )＝0无整数根．证明：假设f (x )＝0有整数根n ，则an 2＋bn ＋c ＝0，由f (0)为奇数，即c 为奇数，f (1)为奇数，即a ＋b ＋c 为奇数，所以a ＋b 为偶数，又an 2＋bn ＝－c 为奇数，所以n 与an ＋b 均为奇数，又a ＋b 为偶数，所以an －a 为奇数，即(n －1)a 为奇数，所以n －1为奇数，这与n 为奇数矛盾．所以f (x )＝0无整数根．B 级能力提升1．设a 、b 、c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( ) A ．都大于2 B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2解析：假设a ＋1b ＜2，b ＋1c ＜2，c ＋1a＜2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a＜6；因为a ＋1a ≥2，b ＋1b ≥2，c ＋1c≥2，所以a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a≥6. 所以假设错误，选项C 正确．答案：C2．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是________________．解析：若两方程均无实根，则Δ1＝(a －1)2－4a 2＝(3a －1)(－a －1)＜0，解得a ＜－1或a ＞13. Δ2＝(2a )2＋8a ＝4a (a ＋2)＜0，解得－2＜a ＜0，所以－2＜a ＜－1.所以，若两个方程至少有一个方程有实根，则有a≤－2或a≥－1.答案：{}a|a≤－2或a≥－13．求证：不论x，y取何非零实数，等式1x＋1y＝1x＋y总不成立．证明：假设存在非零实数x，y使得等式1x＋1y＝1x＋y成立．于是有y(x＋y)＋x(x＋y)＝xy，即x2＋y2＋xy＝0，即(x＋y2)2＋34y2＝0.由y≠0，得34y2＞0.又(x＋y2)2≥0，所以(x＋y2)2＋34y2＞0.与x2＋y2＋xy＝0矛盾，故原命题成立．。

2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：2.2.2反证法 Word版含解析

2.2.2反证法填一填1.反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．2．反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.判一判1.2．反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．(×)3．反证法的实质是否定结论导出矛盾．(√)4．反证法是通过证明逆否命题来证明原命题．(×)5．用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．(×)6．使用反证法证明时，可以不进行反设．(×)7．反证法是指将结论和条件同时否定．(×)8．“全为0”的对立面是“全不为0”．(×)想一想1.(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定”．(2)反证法属“间接解题方法”．2．“反证法”和“证明逆否命题”的区别与联系是什么？(1)联系：通过证明逆否命题成立来证明原命题成立和通过反证法说明原命题成立属于间接证明，都是很好的证明方法．(2)区别：证明逆否命题实际上就是从结论的反面出发，推出条件的反面成立，而反证法一般是假设结论的反面成立，然后通过推理导出矛盾．3．反证法中常用到的反设有哪些？反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n－1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个．4．反证法的适用对象有哪些？作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题：(1)直接证明需分多种情况的；(2)结论本身是以否定形式出现的一类命题——否定性命题； (3)关于唯一性、存在性的命题；(4)结论是含有“至多”“至少”等词语的命题；(5)条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，结论的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题．感悟体会练一练1.( )①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论． A ．①② B ．①②④ C ．①②③ D ．②③解析：反证法是指假设命题的反面成立，再从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾，得出假设命题不成立是错误的，从而所求的命题成立，故应用反证法推出矛盾的推导过程中，作为条件使用的通常有①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等，故选C.答案：C2．“实数a ，b ，c 不全大于0”等价于( ) A ．a ，b ，c 均不大于0B ．a ，b ，c 中至少有一个大于0C ．a ，b ，c 中至多有一个大于0D ．a ，b ，c 中至少有一个不大于0解析：“不全大于0”即“至少有一个不大于0”，它包括“全不大于0”，故选D. 答案：D3．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数)，且a >b ，那么两个数列中序号与数值均相同的项有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无穷多个解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n ∈N *，使得a n ＝b n ，由题意a >b ，n ∈N *， ∴an >bn ，从而an ＋2>bn ＋1恒成立，∴不存在n ∈N *使得a n ＝b n ，故选A. 答案：A4．下列命题适合用反证法证明的是________．①已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明：方程f (x )＝0没有负实数根．②若x ，y ∈R ，x >0，y >0，且x ＋y >2，求证：1＋x y 和1＋yx中至少有一个小于2.③关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)的解是唯一的．④同一平面内，分别与两相交直线垂直的两条直线必相交．解析：①是“否定性”命题；②是“至少”类命题；③是“唯一性”命题，且题中条件较少；④不易直接证明，因此，四个命题都适合用反证法证明．答案：①②③④知识点一用反证法证明否(肯)定性命题1.________________．解析：“a ＝b ＝1”的反面是“a ≠1或b ≠1”，所以应假设a ≠1或b ≠1. 答案：a ≠1或b ≠12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A ＝30°，a ＝3，b ＝3 3. (1)求B 和△ABC 的面积；(2)当B 是钝角时，证明：tan(B －118°)不可能是有理数．解析：(1)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即sin B ＝33sin30°3＝32.因为B 是三角形内角且B >A ，所以B ＝60°或B ＝120°，记△ABC 的面积为S ，当B ＝60°时，C ＝90°，S ＝12ab ＝12×3×33＝932；当B ＝120°时，C ＝30°，S ＝12ab sin 30°＝12×3×33×12＝934.(2)证明：因为B 是钝角，结合(1)的结论得tan(B －118°)＝tan 2°，假设tan 2°是有理数，则tan4°＝2tan 2°1－tan 22°为有理数；同理可证tan 8°，tan16°，tan 32°为有理数，所以tan 30°＝tan 32°－tan 2°1＋tan 32°tan 2°，等式左边＝33为无理数，等式右边为有理数，从而矛盾，则知识点二用反证法证明“至少”“至多”问题3.用反证法证明“若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，则1＋x y <2或1＋yx<2中至少有一个成立”时，应假设( )A.1＋x y ≥2且1＋y x ≥2B.1＋x y ≥2或1＋y x ≥2C.1＋x y ≥2且1＋y x <2D.1＋x y ≥2或1＋y x <2解析：假设1＋x y <2和1＋y x <2都不成立，即1＋x y ≥2且1＋y x≥2，故选A.答案：A4．用反证法证明：当m 为任何实数时，关于x 的方程x 2－5x ＋m ＝0与2x 2＋x ＋6－m ＝0至少有一个方程有实数根．证明：假设关于x 的方程x 2－5x ＋m ＝0与2x 2＋x ＋6－m ＝0都没有实数根，则有Δ＝25－4m <0，且Δ′＝1－8(6－m )＝8m －47<0，解得m >254，且m <478，矛盾，a ，b ，c 中存在偶数”时，假设应为( )A ．a ，b ，c 都是偶数B ．a ，b ，c 都不是偶数C ．a ，b ，c 中至多有一个是偶数D ．a ，b ，c 中至多有两个偶数解析：结合题意，得a ，b ，c 中存在偶数，即至少有一个偶数，其否定为：a ，b ，c 都不是偶数，故选B.答案：B6．若函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象连续，且f (a )<0，f (b )>0，f (x )在[a ，b ]上单调递增，求证：f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点．证明：由于f (x )在[a ，b ]上的图象连续，且f (a )<0，f (b )>0，即f (a )·f (b )<0，所以f (x )在(a ，b )内至少存在一个零点，设零点为m ，则f (m )＝0. 假设f (x )在(a ，b )内还存在另一个零点n ，即f (n )＝0，则n ≠m .若n >m ，则f (n )>f (m )，即0>0，矛盾；若n <m ，则f (n )< f (m )，即0<0，矛盾．7.(1)(2)已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下结论正确的是( ) A ．(1)与(2)的假设都错误 B ．(1)与(2)的假设都正确C ．(1)的假设正确；(2)的假设错误D ．(1)的假设错误；(2)的假设正确解析：(1)的假设应为p ＋q >2. (2)的假设正确，选D.8．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 且f (1)＝－a2，3a >2c >2b .(1)试用反证法证明：a >0；(2)证明：－32c >2b ，∴3a ≤0,2c <0,2b <0，将上述不等式相加，得3a ＋2c ＋2b <0. ∵f (1)＝－a2，∴3a ＋2c ＋2b ＝0，这与3a ＋2c ＋2b <0矛盾， ∴假设不成立，∴a >0.(2)∵f (1)＝a ＋b ＋c ＝－a 2，∴c ＝－32a －b ，∴3a >2c ＝－3a －2b ，∴3a >－b . ∵2c >2b ，∴－3a >4b .∵a >0，∴－3<b a <－34.基础达标一、选择题1．下列关于反证法的说法，正确的是( ) ①反证法的应用需要逆向思维；②反证法是一种间接证明方法，否定结论时，一定要全面否定； ③反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾；④使用反证法必须先否定结论，当结论的反面出现多种可能时，论证一种即可． A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．③④解析：反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾，故③不正确，从而排除选项BCD ，故选A. 答案：A2．“已知：△ABC 中，AB ＝AC ，求证：∠B <90°.”下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：(1)所以∠A ＋∠B ＋∠C >180°，这与三角形内角和定理相矛盾； (2)所以∠B <90°； (3)假设∠B ≥90°；(4)那么，由AB ＝AC ，得∠B ＝∠C ≥90°，即∠B ＋∠C ≥180°. 这四个步骤正确的顺序应是( ) A ．(1)(2)(3)(4) B ．(4)(3)(2)(1) C ．(3)(4)(1)(2) D ．(3)(4)(2)(1) 解析：根据反证法的步骤，可知正确的顺序应是(3)(4)(1)(2)，故选C. 答案：C3．有下列叙述：①“a >b ”的反面是“a y 或x <y ”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：①中，“a >b ”的反面是“a ＝b 或a <b ”，∴①不正确；②显然正确；③中“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内或三角形上”，∴③不正确；④中，“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形至少有两个钝角”，∴④不正确，故选B.答案：B 4．若△ABC 能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定解析：分△ABC 的直线只能过一个顶点与其对边相交，如直线AD (点D 在BC 上)，则∠ADB ＋∠ADC ＝π，若∠ADB 为锐角，则∠ADC 为钝角，而∠ADC >∠BAD ，∠ADC >∠ABD ，△ABD与△ACD 不可能相似，与已知矛盾，只有当∠ADB ＝∠ADC ＝∠BAC ＝π2时，才符合题意，故选B.答案：B5．下列四个命题中错误的是( ) A ．在△ABC 中，若∠A ＝90°，则∠B 一定是锐角 B.17，13，11不可能成等差数列 C ．在△ABC 中，若a >b >c ，则∠C >60° D ．若n 为整数且n 2为偶数，则n 是偶数解析：显然A 、B 、D 命题均为真，C 选项中，若a >b >c ，则A >B >C ，若∠C >60°，则∠A >60°，∠B >60°，∴A ＋B ＋C >180°，这与A ＋B ＋C ＝180°矛盾，故选C. 答案：C6．设a ，b ，c 是正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR >0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若“P ，Q ，R 同时大于零”则“PQR >0”成立， ∵a ，b ，c ∈R ＋，且PQR >0.∴若P >0，则Q <0，R <0或Q >0，R >0，若Q <0，R <0，则b ＋c －a <0，c ＋a －b <0，∴a >b ＋c ，a 0，∴b ＋c >b －c ，∴不等式a >b ＋c ，a 0，R >0，即P ，Q ，R 同时大于零成立，∴“PQR >0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的充要条件，故选C. 答案：C7．设p ，q ，r ∈(－∞，0)，x ＝p ＋1q ，y ＝q ＋1r ，z ＝r ＋1p，则x ，y ，z 三个数( )A ．都大于－2B ．至少有一个不大于－2C ．都小于－2D ．至少有一个不小于－2解析：(反证法)假设x ，y ，z 三个数均大于－2，即x >－2，y >－2，z >－2，则x ＋y ＋z >－6 ①.又∵x ＋y ＋z ＝p ＋1q ＋q ＋1r ＋r ＋1p ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－p )＋1－p －⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－q )＋1－q －⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－r )＋1－r ≤－2p ·1p－2q ·1q－2r ·1r＝－6，即x ＋y ＋z ≤－6 ②， ①②矛盾，∴假设不成立，∴x ，y ，z 三个数至少有一个不大于－2.故选B. 答案：B 二、填空题 8．用反证法证明命题“若a ，b ∈R ，且a 2＋|b |＝0，则a ，b 全为0”时，应假设____________．解析：用反证法证明命题“若a ，b ∈R ，且a 2＋|b |＝0，则a ，b 全为0”时，应假设“a ，b 中至少有一个不为0”．答案：a ，b 中至少有一个不为09．完成反证法证题的全过程．设a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则________________为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p 为偶数．解析：证明：假设p 为奇数，则a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数，因为奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0，但奇数≠偶数，0为偶数，这一矛盾说明假设错误，从而P 为偶数．答案：a 1－1，a 2－2，...，a 7－7 (a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7) (a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋ (7)10．△ABC 中，若AB ＝AC ，P 是△ABC 内的一点，∠APB >∠APC ，求证：∠BAP <∠CAP ，用反证法证明时的假设为____________．解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP <∠CAP 的对立面是∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP .答案：∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP11．和两条异面直线AB ，CD 都相交的两条直线AC ，BD 的位置关系是________．解析：假设AC ，BD 共面，均在平面α内，即AC ⊂α，BD ⊂α，∴A ∈α，B ∈α，C ∈α，D ∈α，∴AB ⊂α，CD ⊂α，这与AB 、CD 异面矛盾，∴AC 、BD 异面．答案：异面12．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；④ab >1.其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．解析：若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1，用反证法证明如下：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.答案：③ 三、解答题13．已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，但不成等差数列，求证： a ，b ，c 不成等差数列．解析：假设a ，b ，c 成等差数列则a ＋c ＝2b ， ∴a ＋c ＋2ac ＝4b ①， ∵a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2＝ac ，即b ＝ac ② 由①②得a ＝c ，∴b ＝a ＝c ，这与a 、b 、c 不成等差数列矛盾∴a ，b ，c 不成等差数列．14．已知直线m 与直线a 和b 分别交于A ，B 且a ∥b ，求证：过a 、b 、m 有且只有一个平面．证明：∵a ∥b ，∴过a 、b 有一个平面α. 又m ∩a ＝A ，m ∩b ＝B ， ∴A ∈a ，B ∈b ，∴A ∈α，B ∈α，又A ∈m ，B ∈m ，∴m ⊂α. 即过a 、b 、m 有一个平面α假设过a 、b 、m 还有一个平面β异于平面α.则a ⊂α，b ⊂α，a ⊂β，b ⊂β，这与a ∥b ，过a 、b 有且只有一个平面相矛盾．因此，过a 、b 、m能力提升15.已知方程x 2－4ax －4a ax －2a ＝0中至少有一个方程有实数，求实数a 的取值范围．解析：假设三个方程均没有实根，则 ⎩⎪⎨⎪⎧16a 2－4(3－4a )<0，(a －1)2－4a 2<0，4a 2＋8a <0，解得－32<a <－1，∴三个方程至少有一个方程有实根的a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ≤－32或a ≥－1. 16．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，a ，b ，c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数，求证：f (x )＝0无整数根．证明：假设f (x )＝0有整数根n ，则an 2＋bn ＋c ＝0(n ∈Z )而f (0)，f (1)均为奇数，即c 为奇数，a ＋b 为偶数，则a ，b ，c 同时为奇数，或a ，b 同时为偶数，c 为奇数，当n 为奇数时，an 2＋bn 为偶数；当n 为偶数时，an 2＋bn 也为偶数，即an 2＋bn ＋c 为奇数，与an 2＋bn ＋c ＝0矛盾．所以f (x )＝0无整数根．。

人教版高中数学选修2-22.2.2反证法练习

【成才之路】2015-2016 学年高中数学2.2.2 反证法练习新人教A版选修 2-2一、选择题1．(2014 微·山一中高二期中 )用反证法证明命题“假如 a>b>0，那么 a2>b2”时，假定的内容应是 ()22B． a 22A ． a ＝ b<bC．a2≤b2D． a2<b2，且 a2＝ b2[答案 ]C2．设实数 a、 b、 c 知足 a＋ b＋ c＝ 1，则 a、 b、 c 中起码有一个数不小于 ()1A ． 0B．31C．2D． 1[答案 ]B[分析 ]三个数 a、 b、 c 的和为 1，其均匀数为1，故三个数中起码有一个大于或等于1 33.假定 a、 b、 c 都小于1，则 a＋b＋ c<1，与已知矛盾．33．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋ bx＋ c＝ 0(a≠0)有有理根，那么a、b、 c 中起码有一个是偶数”时，以下假定中正确的选项是()A ．假定 a、b、 c 都是偶数B．假定 a、 b、 c 都不是偶数C．假定 a、 b、 c 至多有一个偶数D．假定 a、b、 c 至多有两个是偶数[答案 ]B[分析 ]“起码有一个”的对峙面是“一个都没有”．4．实数 a、 b、c 不全为 0 等价于 ()A ． a、 b、 c 均不为 0B．a、 b、 c 中至多有一个为0C．a、 b、 c 中起码有一个为0D． a、 b、 c 中起码有一个不为0[答案 ]D[分析 ]“不全为 0”的含义是起码有一个不为 0，其否认应为“全为 0”．[评论 ]要与“a、 b、 c 全不为0”加以差别，“a、b、 c 全不为 0”是指 a、 b、 c 中没有一个为 0，其否认应为“a、 b、 c 中起码有一个为 0”．5．设 a、 b、 c∈ (－∞， 0)，则 a＋1， b＋1， c＋1() b c aA ．都不大于－ 2B．都不小于－ 2C．起码有一个不大于－2 D．起码有一个不小于－2 [答案 ]C[分析 ]假定都大于－2，则 a＋1＋ b＋1＋ c＋1>－ 6，b c a但111 (a＋ )＋ (b＋)＋( c＋ )b c a＝111) ≤－ 2＋ (－ 2)＋ (－ 2)＝－ 6，矛盾．(a＋ )＋ (b＋ )＋( c＋a b c6．若 m、 n∈N*，则“a>b”是“a m＋n＋b m＋n>a n b m＋ a m b n”的 ()A ．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件[答案 ]D[分析 ]a m＋n＋ bm＋n n m m n n m m n m m m mn n－ a b － a b＝ a (a－ b ) ＋ b (b－ a )＝ (a－ b)( a－ b )>0 ?a m>b m或 a mb?/ a m＋n＋b m＋ n m n＋a n m，a m＋n＋b m＋ n m n＋b m n? / a>b.a n>b n a na b b>a b a二、填空题7．“x＝0 且 y＝ 0”的否认形式为 ________________ ．[答案 ]x≠0或 y≠0[分析 ]“p 且 q”的否认形式为“?p或 ?q”．8．和两条异面直线 AB、CD 都订交的两条直线AC、BD 的地点关系是 ________________ ．[答案 ]异面[分析 ]假定 AC 与 BD 共面于平面α，则 A， C， B， D 都在平面α内，∴ AB? α， CD ? α，这与 AB， CD 异面相矛盾，故AC 与 BD 异面．9．在空间中有以下命题：①空间四点中有三点共线，则这四点必共面；②空间四点，此中任何三点不共线，则这四点不共面；③垂直于同向来线的两直线平行；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．此中真命题是______________．[答案 ]①[分析 ]四点中如有三点共线，则这条直线与此外一点必在同一平面内，故①真；四点中任何三点不共线，这四点也能够共面，如正方形的四个极点，故②假；正方体交于同一顶点的三条棱所在直线中，一条与另两条都垂直，故③假；空间四边形ABCD 中，能够有AB＝CD ，AD ＝ BC，比如将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折起组成空间四边形，这时它的两组对边仍保持相等，故④假．三、解答题10．(2013 泰·州二中高二期中)已知 n≥0，试用剖析法证明：n＋ 2－n＋ 1<n＋ 1－ n.[证明 ]要证上式建立，需证n＋ 2＋ n<2n＋ 1，需证 (n＋ 2＋ n)2<(2n＋)2，需证n2＋ 2n<n＋1，需证 (n＋ 1)2>n2＋ 2n，22需证 n ＋2n＋ 1>n ＋ 2n，因为 1>0 明显建立，所以原命题建立．一、选择题＋11．设 a、b、 c∈R， P＝ a＋ b－ c， Q＝ b＋ c－ a， R＝ c＋ a－ b，则“PQR>0”是 P、Q、R 同时大于零的()A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充要条件D．既不充足又不用要条件[答案 ]C[分析 ]若 P>0， Q>0， R>0，则必有PQR>0；反之，若PQR>0，也必有P>0， Q>0 ，R>0. 因为当数，不如设PQR>0 时，若 P、 Q、 R 不一样时大于零，则 P、 Q、R 中必有两个负数，一个正＋P<0，Q<0，R>0，即 a＋ b<c，b＋c<a，两式相加得b<0，这与已知b∈R矛盾，所以必有P>0， Q>0， R>0.12．已知 a， b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b 的地点关系为 ()A ．必定是异面直线B．必定是订交直线C．不行能是平行直线D．不行能是订交直线[答案 ]C[分析 ]假定 c∥ b，而由 c∥a，可得 a∥b，这与 a，b 异面矛盾，故 c 与 b 不行能是平行直线．故应选 C.13．已知 a、 b、 c∈ (0,1)．则在 (1－a)b、 (1－ b)c、 (1－ c)a 中， ()11A ．不可以同时大于4B．都大于4C ．起码一个大于 1D ．至多有一个大于 144[答案 ]A1[分析 ]证法 1：假定 (1－ a)b 、(1－ b)c 、(1－ c)a 都大于 4.∵ a 、 b 、c 都是小于 1 的正数，－ a ＋b 1 1∴1－ a 、 1－ b 、 1－ c 都是正数 . 2 ≥ － a b ＞ 4＝ 2，－ b ＋c － c ＋ a同理 2 ＞ 1， 2 ＞ 1.2 2三式相加，得－ a ＋ b－ b ＋c－c ＋ a2＋2 ＋2＞3，233即 2＞2，矛盾．所以 (1－ a)b 、(1－ b)c 、 (1－ c)a 不可以都大于 14.1111证法 2：假定三个式子同时大于4，即 (1－ a)b>4， (1－b)c>4， (1－ c)a>4，三式相乘得(1－ a)b(1－ b)c(1－ c)a> 1 3①41－ a ＋ a 2 1因为 0<a<1，所以 0<a(1－ a) ≤2 ＝ .41 1同理， 0<b(1－ b) ≤，0<c(1－ c)≤.44所以 (1－ a)a(1－b) b(1 －c)c ≤ 14 3.②因为①与②矛盾，所以假定不建立，应选A.二、填空题14．用反证法证明命题： “一个三角形中不可以有两个直角 ”的过程概括为以下三个步骤：①∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝ 90°＋ 90°＋∠ C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠ A ＝∠B ＝ 90°不建立；②所以一个三角形中不可以有两个直角； ③假定∠A 、∠B 、∠ C中有两个角是直角，不如设∠A ＝∠B ＝90°.正确次序的序号摆列为____________________ ．[答案 ]③①②[分析 ]由反证法证明的步骤知，先反设即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，必定结论即②，即次序应为③①②.三、解答题15．求证： 1、 3、 2 不可以为同一等差数列的三项．[证明 ]假定 1、 3、 2 是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为 d ，则 1＝ 3－md,2＝ 3＋ nd ，此中 m ，n 为两个正整数，由上边两式消去 d ，得 n ＋ 2m ＝ 3(n ＋ m)．因为 n ＋ 2m 为有理数，而 3(n ＋ m)为无理数，所以 n ＋ 2m ≠ 3(n ＋ m)，矛盾，所以假定不建立，即 1， 3， 2 不可以为同一等差数列的三项．16.如下图，在△ ABC 中， AB>AC ，AD 为 BC 边上的高， AM 是BC 边上的中线，求证：点M 不在线段 CD 上．[证明 ] 假定点 M 在线段 CD 上，则 BD <BM ＝ CM<CD ，且 AB 2＝BD 2＋ AD 2， AC 2＝ AD 2＋ CD 2，所以 AB 2＝BD 2＋AD 2<BM 2＋ AD 2 <CD 2＋ AD 2＝ AC 2 ，即22，所以 AB<AC.这与 AB>AC 矛盾，故假定错误．所以点 M 不在线段 CD 上． AB <AC17．已知数列 { a n } 知足： a 1＝ 1， 2 22知足： b n ＝ a n ＋1－ a n (n ≥ 1)．(1)求数列 { a n } 、 { b n } 的通项公式；＋ a n ＋ 1 ＋a n＝， a n a n ＋ 1<0( n ≥ 1)；数列 { b n } 1－ a n 1－ a n ＋1(2)证明：数列 { b n } 中的随意三项不行能成等差数列．[分析 ](1)由题意可知，22 21－a n ＋ 1＝ (1－ a n )．3令 c n ＝ 1－a 2n ，则 c n ＋ 1＝2c n . 323 3 2的等比数列，即 3 2 ) n －1，又 c 1＝ 1－a 1＝，则数列 { c n } 是首项为 c 1＝，公比为3c n ＝ ·(444 32 32 n －1 23 2 n － 1故 1－a n ＝ ·( )? a n ＝ 1－·() .4 34 31又 a 1＝ 2>0， a n a n ＋1<0，故 a n ＝ (－ 1)n －13 2 n －11－ 4 3 .2 23 2 n3 2 n － 1 1 2 n － 1b n ＝ a n ＋1－ a n ＝ [1－·( ) ]－[1－ ·( )]＝4·() .4 34 33(2)用反证法证明．假定数列 { b n } 存在三项 b r ，b s ，b t (r<s<t)按某种次序成等差数列，因为数列 { b n } 是首项为1，公比为 2的等比数列，于是有 b r>b s>b t，则只可能有2b s ＝ b r ＋ b t 建立．431 2 s － 1 1 2 r － 1 ＋ 1 2 t －1∴2·( ) ＝ ( ) 4 ( ) ，4 3 4 3 3两边同乘以 3t －121－r ，化简得3t －r ＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s .因为 r <s<t ，∴上式左侧为奇数，右侧为偶数，故上式不行能建立，致使矛盾．故数列{ b n} 中随意三项不行能成等差数列．。

人教新课标版数学高二-人教B版选修2-2练习反证法

第二章 2.2 第2课时一、选择题1．设a 、b 、c 都是正数，则三个数a ＋1b 、b ＋1c 、c ＋1a( ) A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2Ca ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ＝a ＋1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c≥2＋2＋2＝6.故选C. 2．异面直线在同一个平面的射影不可能是( )A ．两条平行直线B ．两条相交直线C ．一点与一直线D ．同一条直线 D举反例的方法如图正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中A 1A 与B 1C 1是两条异面直线，它们在平面ABCD 内的射影分别是点A 和直线BC ，故排除C ；BA 1与B 1C 1是两条异面直线，它们在平面ABCD 内的射影分别是直线AB 和BC ，故排除B ；BA 1与C 1D 1是两条异面直线，它们在平面ABCD 内的射影分别是直线AB 和CD ，故排除A.故选D.3．已知x 、y ∈R ，且x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有( )A ．最小值34，而无最大值B ．最小值1，而无最大值C ．最小值12和最大值1 D ．最大值1和最小值34D设x ＝cos α，y ＝sin α，则(1－xy )(1＋xy )＝(1－sin αcos α)(1＋sin αcos α)＝1－sin 2αcos 2α＝1－14sin 22α∈34，1答案答案解析答案解析答案解析答案解析答案答案答案解析证明(x －2)2＋(y －2)2＋(z －2)2(x －2)2＋(y －2)2＋(z －2)2答案解析答案解析答案解析答案解析答案答案答案解析证明证明由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab，a >0，b >0，得ab ＝1. (1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2；(2)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则由a 2＋a <2及a >0得0<a <1，同理0<b <1，从而ab <1，这与ab ＝1矛盾，故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．。

【成才之路】高中数学 2、2-2-2反证法同步检测新人教版选修2-2

选修2-2 2.2.2反证法一、选择题1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )A．有一个解B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解[答案] C[解析] 在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为( )A．a、b、c都是奇数B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C．a、b、c都是偶数D．a、b、c中至少有两个偶数[答案] B[解析] a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故应选B.3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°[答案] B[解析] “至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”．故应选B.4．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )A．假设a，b，c都是偶数B．假设a、b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数D．假设a，b，c至多有两个偶数[答案] B[解析] “至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a ，b ，c 都不是偶数．5．命题“△ABC 中，若∠A >∠B ，则a >b ”的结论的否定应该是( ) A ．a b ”的否定应为“a ＝b 或a <b ”，即a ≤b .故应选B.6．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的位置关系为( ) A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线 D ．不可能是相交直线 [答案] C[解析] 假设c ∥b ，而由c ∥a ，可得a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾，故c 与b 不可能是平行直线．故应选C.7．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b c ＋1a ，b ＋1c中( )A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2 [答案] C[解析] ⎝⎛⎭⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1c＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c∵a ，b ，c ∈(－∞，0)， ∴a ＋1a＝－⎣⎡⎦⎤－a ＋⎝⎛⎭⎫－1a ≤－2b ＋1b ＝－⎣⎡⎦⎤－b ＋⎝⎛⎭⎫－1b ≤－2c ＋1c ＝－⎣⎡⎦⎤－c ＋⎝⎛⎭⎫－1c ≤－2∴⎝⎛⎭⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1c ≤－6∴三数a ＋1b、c ＋1a、b ＋1c中至少有一个不大于－2，故应选C. 8．若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则( ) A ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行 B ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直 C ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交 D ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面 [答案] B[解析] 对于A ，若存在直线n ，使n ∥l 且n ∥m则有l ∥m ，与l 、m 异面矛盾；对于C ，过点P 与l 、m 都相交的直线不一定存在，反例如图(l ∥α)；对于D ，过点P 与l 、m 都异面的直线不唯一．9．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 [答案] C[解析] 因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手．故应选C.10．已知x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n (x 2n ＋3)3x 2n ＋1(n ＝1,2…)，试证“数列{x n }或者对任意正整数n 都满足x n <x n ＋1，或者对任意正整数n 都满足x n >x n ＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为( )A ．对任意的正整数n ，都有x n ＝x n ＋1B ．存在正整数n ，使x n ＝x n ＋1C ．存在正整数n ，使x n ≥x n ＋1且x n ≤x n －1D ．存在正整数n ，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥0 [答案] D[解析] 命题的结论是“对任意正整数n ，数列{x n }是递增数列或是递减数列”，其反设是“存在正整数n，使数列既不是递增数列，也不是递减数列”．故应选D.二、填空题11．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．[答案] 没有一个是三角形或四边形或五边形[解析] “至少有一个”的否定是“没有一个”．12．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是________________．[答案] a，b都不能被5整除[解析] “至少有一个”的否定是“都不能”．13．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A ＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为____________．[答案] ③①②[解析] 由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.14．用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设______________．设全体质数为p1、p2、…、p n，令p＝p1p2…p n＋1.显然，p不含因数p1、p2、…、p n.故p要么是质数，要么含有______________的质因数．这表明，除质数p1、p2、…、p n之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．[答案] 质数只有有限多个除p1、p2、…、p n之外[解析] 由反证法的步骤可得．三、解答题15．已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.求证：a>0，b>0，c>0.[证明] 用反证法：假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，可得c>－(a＋b)，又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab即ab ＋bc ＋ca <－a 2－ab －b 2∵a 2>0，ab >0，b 2>0，∴－a 2－ab －b 2＝－(a 2＋ab ＋b 2)<0，即ab ＋bc ＋ca <0，这与已知ab ＋bc ＋ca >0矛盾，所以假设不成立．因此a >0，b >0，c >0成立．16．已知a ，b ，c ∈(0,1)．求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能同时大于14.[证明] 证法1：假设(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 都大于14.∵a 、b 、c 都是小于1的正数，∴1－a 、1－b 、1－c 都是正数.(1－a )＋b2≥(1－a )b ＞14＝12，同理(1－b )＋c 2＞12，(1－c )＋a 2＞12. 三式相加，得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2＞32，即32＞32，矛盾．所以(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 不能都大于14.证法2：假设三个式子同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘得(1－a )b (1－b )c (1－c )a >⎝⎛⎭⎫143①因为0<a <1，所以0<a (1－a )≤⎝⎛⎭1－a ＋a 22＝14.同理，0<b (1－b )≤14，0<c (1－c )≤14.所以(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤⎝⎛⎭⎫143.②因为①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立． 17．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R . (1)若a ＋b ≥0，求证：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )； (2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论． [解析] (1)证明：∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b . 由已知f (x )的单调性得f (a )≥f (－b )．又a ＋b ≥0⇒b ≥－a ⇒f (b )≥f (－a )．两式相加即得：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．(2)逆命题：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )⇒a ＋b ≥0.下面用反证法证之．假设a ＋b <0，那么：a ＋b <0⇒a <－b ⇒f (a )<f (－b )a ＋b <0⇒b <－a ⇒f (b )<f (－a )⇒f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．这与已知矛盾，故只有a ＋b ≥0.逆命题得证．18．(2010·湖北理，20改编)已知数列{b n }的通项公式为b n ＝14⎝⎛⎭⎫23n －1.求证：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．[解析] 假设数列{b n }存在三项b r 、b s 、b t (r <s <t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b t >b s >b r ，则只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立．∴2·14⎝⎛⎭⎫23s －1＝14⎝⎛⎭⎫23r －1＋14⎝⎛⎭⎫23t －1. 两边同乘3t －121－r，化简得3t －r＋2t －r＝2·2s －r3t －s，由于r <s <t ，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．。

高中数学选修2-2讲义：第二章 2 2 反证法含答案

2．2.2 反证法著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”问题1：王戎的论述运用了什么推理思想？提示：实质运用了反证法的思想．问题2：反证法解题的实质是什么？提示：否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确．1．反证法一般地，由证明p ⇒q 转向证明：綈q ⇒r ⇒…⇒t ，t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定綈q 为假，推出q 为真的方法，叫做反证法．2．应用反证法证明数学命题的一般步骤 (1)分清命题的条件和结论； (2)做出与命题结论相矛盾的假设；(3)由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；(4)断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．1．反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法．2．反证法常见的矛盾类型 (1)与假设矛盾；(2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾； (3)与公认的简单事实矛盾．[对应学生用书P42][对应学生用书P42][例1]设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．[思路点拨]此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法，证题的关键是根据f(0)，f(1)均为奇数，分析出a，b，c的奇偶情况，并应用之．[精解详析]假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)，而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n，an＋b均为奇数，又a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．∴f(x)＝0无整数根．[一点通](1)对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．(2)常见否定词语的否定形式如下表所示：1．用反证法证明，若a>b>0，那么a>b.证明：假设a不大于b，则a≤b.∵a>0，b>0，∴()a2≤()b2，即a≤b.这与已知条件a >b >0矛盾，所以a >b .2．已知正整数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2.求证a ，b ，c 不可能都是奇数．证明：假设a ，b ，c 都是奇数，则a 2，b 2，c 2都是奇数．左边＝奇数＋奇数＝偶数，右边＝奇数，得偶数＝奇数，矛盾．∴假设不成立，∴a ，b ，c 不可能都是奇数.[例2] 求证：两条相交直线有且只有一个交点． [思路点拨][精解详析] 设两直线为a 、b ，假设结论不成立，即有两种可能：无交点；不只有一个交点．(1)若直线a ，b 无交点，那么a ∥b 或a ，b 是异面直线，与已知矛盾；(2)若直线a ，b 不只有一个交点，则至少有两个交点设为A 和B ，这样同时经过点A ，B 就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．所以假设不成立，两条相交直线有且只有一个交点．[一点通] 证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．3．已知a ≠0，证明：关于x 的方程ax ＝b 有且只有一个根．证明：因为a ≠0，所以方程至少有一个根x ＝ba.假设方程不是一个根，那么不妨设x 1、x 2是它的两个不同根，即ax 1＝b ，① ax 2＝b ，②①－②得a (x 1－x 2)＝0.∵x 1≠x 2，∴x 1－x 2≠0，∴应有a ＝0，这与已知相矛盾．故假设不成立，∴当a≠0时，方程ax＝b有且只有一个根．4．已知a与b是异面直线，求证：过a且平行于b的平面只有一个．证明：①存在性，在a上任取一点A，过A作直线c∥b.∵a与b异面，∴c与a相交．过相交的a与c作平面α，则b∥α.②唯一性：假设过a还有平面β与b平行．过b与点A作一个平面γ，β∩γ＝d.由线面平行的性质有d∥b，又c∥b，∴c∥d.这与c，d相交于点A矛盾．∴过a与b平行的平面有且仅有一个.[例3](12分)已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx ＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．[精解详析]假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点．(2分)由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，且Δ2＝(2c)2－4ab≤0，且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.(5分)同向不等式相加得：4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，(7分)∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ≤0， ∴(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2≤0，(9分) ∴a ＝b ＝c .(10分)这与题设a ，b ，c 互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．(12分)[一点通](1)用反证法证明“至少”“至多”型命题，可减少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误．需仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意义．(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：5．若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.证明：假设a ，b ，c 都不大于0，则a ≤0，b ≤0，c ≤0，所以a ＋b ＋c ≤0，而a ＋b ＋c＝⎝⎛⎭⎫x 2－2y ＋π2＋⎝⎛⎭⎫y 2－2z ＋π3＋⎝⎛⎭⎫z 2－2x ＋π6 ＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π ＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3＞0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故a ，b ，c 中至少有一个大于0.6．用反证法证明：若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根．证明：假设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至少有两个实根，不妨设α，β为其两个实根，且α＜β，则f (α)＝f (β)＝0.因为函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，又α＜β，所以f(α)＜f(β)，这与假设f(α)＝f(β)＝0相矛盾．所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)推导出来的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与定理、公理相违背等，但推导出的矛盾必须是明显的．[对应课时跟踪训练(十五)]1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用()①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．A．①②B．②③C．①②③D．①②④解析：除原结论不能作为推理条件外其余均可．答案：C2．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”，则假设的内容是()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a不能被5整除D．a，b有1个不能被5整除解析：用反证法只否定结论即可，而“至少有1个”的反面是“一个也没有”，故B 正确．答案：B3．否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为()A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．”答案：D4．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2，(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1，以下结论正确的是()A．(1)与(2)的假设都错误B．(1)与(2)的假设都正确C．(1)的假设正确；(2)的假设错误D．(1)的假设错误；(2)的假设正确解析：(1)的假设应为p＋q＞2；(2)的假设正确．答案：D5．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．答案：③①②6．完成反证法证题的全过程．题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．证明：假设p为奇数，则________均为奇数．①因7个奇数之和为奇数，故有(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)为______．②而(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝______.③②与③矛盾，故p为偶数．解析：由假设p为奇数可知(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均为奇数，故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数矛盾．答案：①a 1－1，a 2－2，…，a 7－7 ②奇数 ③0 7．如果非零实数a 、b 、c 两两不相等，且2b ＝a ＋c ，证明：2b ＝1a ＋1c不成立．证明：假设2b ＝1a ＋1c 成立，则2b ＝a ＋c ac ＝2bac ，故b 2＝ac ，又b ＝a ＋c 2，所以(a ＋c 2)2＝ac ，即(a －c )2＝0，所以a ＝c .这与a ，b ，c 两两不相等矛盾，因此2b ＝1a ＋1c不成立．8．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和． (1)求证：数列{S n }不是等比数列． (2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？解：(1)证明：若{S n }是等比数列，则S 22＝S 1·S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1(1＋q ＋q 2)， ∵a 1≠0，∴(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，解得q ＝0，这与q ≠0相矛盾，故数列{S n }不是等比数列． (2)当q ＝1时，{S n }是等差数列．当q ≠1时，{S n }不是等差数列．假设q ≠1时，S 1，S 2，S 3成等差数列，即2S 2＝S 1＋S 3，则2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)．由于a 1≠0，∴2(1＋q )＝2＋q ＋q 2，即q ＝q 2， ∵q ≠1，∴q ＝0，这与q ≠0相矛盾．综上可知，当q ＝1时，{S n }是等差数列；当q ≠1时，{S n }不是等差数列．。

数学选修2-2自我小测：2.2.2反证法含解析

自我小测1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( )①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．②③2．用反证法证明命题“若实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个是偶数 3．如果两个数之和为正数，则这两个数( )A ．一个是正数，一个是负数B ．两个都是正数C ．至少有一个是正数D ．两个都是负数4．已知x 1＞0，x 1≠1且x n ＋1＝x n (x 2n ＋3)3x 2n ＋1(n ＝1,2，…)．试证：数列{x n }或者对任意正整数n 都满足x n ＜x n ＋1，或者对任意的正整数n 都满足x n ＞x n ＋1.当此题用反证法否定结论时，应为( )A ．对任意的正整数n ，有x n ＝x n ＋1B ．存在正整数n ，使x n ＝x n ＋1C ．存在正整数n ，使x n ≥x n －1且x n ≥x n ＋1D ．存在正整数n ，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥05．设x ，y ，z ∈(0，＋∞)，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三数( ) A ．至少有一个不小于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．都大于26．命题“a ，b 是实数，若|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1”用反证法证明时应假设为________．7．设实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于__________．8．已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd ＞1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．9．已知非零实数a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列，求证：1a ，1b ，1c不能构成等差数列．10．求证：过直线a 外一点P ，有且只有一条直线与这条直线平行．参考答案1．解析：原结论不能作为条件使用．答案：C2．解析：“至少有一个是偶数”的否定是“都不是偶数”．答案：B3．解析：这两个数中至少有一个数是正数，否则，若这两个数都不是正数，则它们的和一定是非正数，这与“两个数之和为正数”相矛盾．答案：C4．解析：“或者对任意正整数n 都满足x n ＜x n ＋1，或者对任意正整数n 都满足x n ＞x n ＋1”的否定是“存在正整数n ，使x n ＝x n ＋1”．答案：B5．解析：假设a ，b ，c 三个数均小于2，即x ＋1y ＜2，y ＋1z ＜2，z ＋1x＜2，于是有⎝⎛⎭⎫x ＋1y ＋⎝⎛⎭⎫y ＋1z ＋⎝⎛⎭⎫z ＋1x ＜6. 而又有⎝⎛⎭⎫x ＋1y ＋⎝⎛⎭⎫y ＋1z ＋⎝⎛⎭⎫z ＋1x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋⎝⎛⎭⎫y ＋1y ＋⎝⎛⎭⎫z ＋1z ≥2＋2＋2＝6，这与⎝⎛⎭⎫x ＋1y ＋⎝⎛⎭⎫y ＋1z ＋⎝⎛⎭⎫z ＋1x ＜6相矛盾，故假设错误，即a ，b ，c 中至少有一个不小于2. 答案：A6．解析：“a ＝b ＝1”即“a ＝1且b ＝1”，其否定为“a ≠1或b ≠1”．答案：a ≠1或b ≠17．解析：假设a ，b ，c 都小于13，则a ＋b ＋c ＜1. 故a ，b ，c 中至少有一个不小于13. 答案：138．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数，即a ≥0，b ≥0，c ≥0，d ≥0，由于a ＋b ＝c ＋d ＝1，所以(a ＋b )(c ＋d )＝(ac ＋bd )＋(ad ＋bc )＝1，于是ac ＋bd ＝1－(ad ＋bc )≤1，这与ac ＋bd ＞1相矛盾，故假设不成立，即a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．9．证明：假设1a ，1b ，1c能构成等差数列，则有2b ＝1a ＋1c，于是得bc ＋ab ＝2ac .①而由于a ，b ，c 构成等差数列，即2b ＝a ＋c .②所以由①②两式得(a ＋c )2＝4ac ，即(a －c )2＝0，于是得a ＝b ＝c ，这与a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列矛盾．故假设不成立，因此1a ，1b ，1c不能构成等差数列． 10．证明：∵点P 在直线a 外，∴点P 和直线a 确定一个平面，设该平面为α，在平面α内，过点P 作直线b ，使得b ∥a ，则过点P 有一条直线与a 平行．假设过点P 还有一条直线c 与a 平行．∵a ∥b ，a ∥c ，∴b ∥c ，这与b ，c 相交于点P 矛盾，故假设不成立．即过直线a 外一点P ，有且只有一条直线与a 平行．。

数学高二-选修2-2自我小测 1.3反证法

自我小测1.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角大于60°”，下列假设中正确的是()．A．假设三个内角都大于60°B．假设三个内角都不大于60°C．假设三个内角至多有一个大于60°D．假设三个内角至多有两个大于60°2．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两人说得正确，则获奖歌手是()．A．甲B．乙C．丙D．丁3．反证法是()．A．从结论的反面出发，推出矛盾的证法B．对其否命题的证明C．对其逆命题的证明D．分析法的证明方法4．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定应为()．A．有两个内角是直角B．有三个内角是直角C．至少有两个内角是直角D．没有一个内角是直角5．如果两个数之和为正数，则这两个数()．A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．至少有一个是正数D．两个都是负数6．如果要否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，则下列假设中正确的是()．A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c都是奇数或至少有两个偶数7．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1为__________三角形，△A2B2C2为__________三角形(填“锐角”或“钝角”)．8．设正实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于__________．9．求证：两条相交直线有且只有一个交点．10．已知a≠0，证明：关于x的方程ax＝b有且只有一个根．参考答案1.答案：B解析：“至少有一个大于”的反面为“都不大于”．2.答案：B解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁四人的话都是错的；同理，可推出乙、丙、丁获奖情况，最后可知获奖的歌手是丙．3.答案：A4.答案：B解析：“最多只有一个”的否定是“至少有两个”．5.答案：B解析：假设两个都为负数，则这两个数之和为负数与题设矛盾．两个数均为正数明显符合题意，若一正一负，且正数的绝对值大于负数的绝对值，也符合题意，故选C.6.答案：D解析：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的反面是“都是奇数或两个是偶数或三个都是偶数”．7.答案：锐角钝角解析：由已知△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1为锐角三角形．若△A2B2C2是锐角三角形，由211211211πsin cos sin,2πsin cos sin,2πsin cos sin,2A A AB B BC C C ⎧⎛⎫-=-⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫==-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎩得212121π,2π,2π,2A AB BC C⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩∴A2＋B2＋C2＝π2与A2＋B2＋C2＝π矛盾，∴△A2B2C2是钝角三角形．8.13解析：假设a，b，c都小于13，即a＜13，b＜13，c＜13，则a＋b＋c＜1，与a＋b＋c＝1矛盾，所以假设不成立．9.答案：证明：假设结论不成立，即有两种可能：无交点；至少有两个交点．设两条直线为a，b.(1)若a，b无交点，那么a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾；(2)若a，b至少有两个交点，设两个交点为A和B，这样同时经过A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．10.证明：由于a≠0，因此方程至少有一个根x＝b a .如果方程不是只有一个根，不妨设x1，x2是它的两个不同根，即ax1＝b，ax2＝b，∴a(x1－x2)＝0.∵x1≠x2，∴x1－x2≠0，∴应有a＝0，这与已知相矛盾，故假设不成立．∴当a≠0时，方程ax＝b有且只有一个根．。

高三复习测试题数学选修2-22.2.2反证法Word版含答案

§2.2.2 反证法学习目标：1. 掌握用反证法证明命题的格式；2. 会用反证法证明命题.一．选择题：1.用反证法证明：“如果b a >，则33b a >”.假设的内容是( )A.33b a =B.33b a <C.33b a =且33b a <D.33b a =或33b a <2.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于 60”时，假设正确的是（）A.假设三内角都不大于 60B.假设三内角都大于 60C.假设三内角至多有一个大于 60D.假设三内角至多有两个大于 603.设)0,(,,-∞∈c b a ，则ac c b b a 1,1,1+++( ) A.都不大于2-B.都不小于2-C.至少有一个不大于2-D.至少有一个不小于2- 4.下列说法中正确的个数为（）①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证法；⑤反证法是逆推法A.2个B.3个C.4个D.5个5.否定“c b a ,,中至少有一个偶数”时，正确的是A.c b a ,,不都是偶数B.c b a ,,都不是偶数C.c b a ,,中至多有一个偶数D.c b a ,,中至多有两个是偶数题号 1 2 3 4 5二．填空题： 6.已知R c b a ∈,,，且c b a >>，0=++c b a ，则ac b 42- 0（填),,=<>7.如果两个实数之和为正数，则这两个数的正负情况是8.甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中一位获奖. 有人采访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“我获奖了”；丁说：“乙获奖”.若四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是9.设b a ,是两个实数，给出下列条件：①1>+b a ②2=+b a③2>+b a ④222>+b a⑤1>ab其中能推出“b a ,中至少有一个大于1”的条件是三．解答题：10.已知)1,0(,,∈c b a ，求证：b a )1(-，c b )1(-，a c )1(-不能同时大于41.11.如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一个平面内，N M ,分别为DF AB ,的中点.(1)若平面⊥ABCD 平面DCEF ，求直线MN 与平面DCEF 所成角的正弦值；（2）用反证法证明：直线ME 与BN 是两条异面直线.12.已知q px x x f ++=2)(.（1）求证：2)2(2)3()1(=-+f f f（2）求证：)1(f ,)2(f ,)3(f 中至少有一个不小于21.。

人教新课标版数学高二-人教数学选修2-2练习反证法(备选)

选修2-2 第二章 2.2 2.2.21．已知a 、b 、c ∈(0,1)．求证：(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 不能同时大于14. [证明] 证法1：假设(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 都大于14.∵a 、b 、c 都是小于1的正数，∴1－a 、1－b 、1－c 都是正数.(1－a )＋b 2≥(1－a )b ＞14＝12，同理(1－b )＋c 2＞12，(1－c )＋a 2＞12. 三式相加，得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2＞32，即32＞32，矛盾．所以(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 不能都大于14. 证法2：假设三个式子同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘得 (1－a )b (1－b )c (1－c )a >⎝⎛⎭⎫143①因为0<a <1，所以0<a (1－a )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋a 22＝14. 同理，0<b (1－b )≤14，0<c (1－c )≤14. 所以(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤⎝⎛⎭⎫143.②因为①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．2．已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1，a n a n ＋1<0(n ≥1)；数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1)．(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．[解析] (1)由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2n )．令c n ＝1－a 2n ，则c n ＋1＝23c n .又c 1＝1－a 21＝34，则数列{c n }是首项为c 1＝34，公比为23的等比数列，即c n ＝34·(23)n －1，故1－a 2n ＝34·(23)n －1⇒a 2n ＝1－34·(23)n －1. 又a 1＝12>0，a n a n ＋1<0，故a n ＝(－1)n －11－34·(23)n －1. b n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝[1－34·(23)n ]－[1－34·(23)n －1]＝14·(23)n －1. (2)用反证法证明．假设数列{b n }存在三项b r ，b s ，b t (r <s <t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b r >b s >b t ，则只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立． ∴2·14(23)s －1＝14(23)r －1＋14(23)t －1，两边同乘以3t －121－r ，化简得3t －r ＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s .由于r <s <t ，∴上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．。

人教新课标版数学高二-选修2-2训练反证法

数学·选修2－2(人教A版)2．2直接证明与间接证明2．2.2反证法一、选择题1．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是()A．有两个内角是直角B．有三个内角是直角C．至少有两个内角是直角D．没有一个内角是直角答案：C2．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为() A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中或都是奇数或至少有两个偶数解析：恰有一个偶数的否定有两种情况：其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个偶数．答案：D3．下列命题不适合用反证法证明的是()A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1.解析：选项A中命题条件较少，不足以正面证明；选项B中命题是否定性命题，可以反证法证明；选项D中命题是至少性命题，可以反证法证明．选项C不适合用反证法证明．故选C.答案：C4．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除答案：B5．用反证法证明命题“若sin θ1－cos2θ＋cos θ·1－sin2θ＝1，则sin θ≥0且cos θ≥0”时，下列假设的结论正确的是() A．sin θ≥0或cos θ≥0 B．sin θ＜0且cos θ＜0C．sin θ＜0或cos θ＜0 D．sin θ＞0且cos θ＞0解析：由题意，考虑sin θ≥0且cos θ≥0的否定，由于sin θ≥0且cos θ≥0表示sin θ，cos θ都大于等于0成立，故其否定为sin θ，cos θ不都大于等于0，选C.答案：C二、填空题6．用反证法证明命题“若实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，应假设____________________．解析：“a，b，c中至少有一个是偶数”的反面是“a，b，c都不是偶数”，故应假设a，b，c都不是偶数．答案：a，b，c都不是偶数7．已知数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n＝an＋2，b n＝bn＋1(a，b是常数，且a>b)，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得a n＝b n，由题意a>b，n∈N*，则恒有an＞bn，从而an＋2＞bn＋1恒成立，所以不存在n使a n＝b n.答案：08．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有__________(填序号)．解析：“x＝y”的反面是“x≠y”，即是“x>y或x<y”，所以②正确；“a>b”的反面是“a≤b”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心不在三角形外”；“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形至少有两个钝角”．所以这三个都错．答案：②三、解答题9．(2013·佛山高二检测)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．证明：假设f (x )＝0有整数根n ，则an 2＋bn ＋c ＝0(n ∈Z)，而f (0)，f (1)均为奇数，即c 为奇数，a ＋b 为偶数，则a ，b ，c 同时为奇数或a ，b 同时为偶数，c 为奇数．当n 为奇数时，an 2＋bn 为偶数；当n 为偶数时，an 2＋bn 也为偶数，即an 2＋bn ＋c ＝0为奇数，与 an 2＋bn ＋c ＝0矛盾．所以f (x )＝0无整数根．10．已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数；证明：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1，且ax 1>0.所以ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0.又因为x 1＋1>0，x 2＋1>0，所以x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝ 3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0.于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负实根．证明：设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1. 又0<ax 0<1，所以0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2. 与假设x 0<0矛盾，故f (x )＝0没有负实根．。

2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：2.2.2反证法Word版含解析

反证法填一填1.反证法假定原命题不建立 (即在原命题的条件下，结论不建立 )，经过正确的推理，最后得出矛盾，所以说明假定错误，进而证了然原命题建立，这类证明方法叫做反证法．2．反证法常有矛盾种类反证法的重点是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾能够是与已知条件矛盾，或与假定矛盾，或与定义、公义、定理、事实矛盾等.判一判1.反证法属于间接证明问题的方法．(√ )2．反证法的证明过程既能够是合情推理也能够是一种演绎推理．(× )3．反证法的本质能否认结论导出矛盾．( √ )4．反证法是经过证明逆否命题来证明原命题．(× )5．用反证法证明时，推出的矛盾不可以与假定矛盾．(× )6．使用反证法证明时，能够不进行反设．(× )7．反证法是指将结论和条件同时否认．( × )8．“全为0”的对峙面是“全不为0”． (× )想想1.怎样理解反证法的观点？(1)反证法的原理是“否认之否认等于必定”．第一个否认是指“否认结论 (假定 )”；第二个否认是指“逻辑推理结果否认”．(2)反证法属“间接解题方法”．2．“反证法”和“证明逆否命题”的差别与联系是什么？(1)联系：经过证明逆否命题建立来证明原命题建立和经过反证法说明原命题建立属于间接证明，都是很好的证明方法．(2)差别：证明逆否命题本质上就是从结论的反面出发，推出条件的反面建立，而反证法一般是假定结论的反面建立，而后经过推理导出矛盾．3．反证法中常用到的反设有哪些？反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否认的表述形式是有必需的，比如：是 /不是；存在 /不存在；平行于 /不平行于；垂直于 /不垂直于；等于 /不等于；大 (小 )于 /不大 (小 )于；都是 /不都是；起码有一个 /一个也没有；起码有 n 个 /至多有 (n－ 1)个；至多有一个/起码有两个；独一 /起码有两个．4．反证法的合用对象有哪些？作为一种间接证明方法，反证法特别合适证明以下几类数学识题：(1)直接证明需分多种状况的；(2)结论自己是以否认形式出现的一类命题——否认性命题；(3)对于独一性、存在性的命题；(4)结论是含有“至多”“起码”等词语的命题；(5)条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清楚，结论的反面是比原结论更详细、更简单研究的命题．感悟领会练一练1.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把以下哪些作为条件使用()①结论相反的判断，即假定；②原命题的条件；③公义、定理、定义等；④原结论．A ．①②B ．①②④C．①②③D．②③分析：反证法是指假定命题的反面建立，再从假定出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或许与定义、公义、定理矛盾，得出假定命题不建立是错误的，进而所求的命题建立，故应用反证法推出矛盾的推导过程中，作为条件使用的往常有① 结论相反的判断，即假定；② 原命题的条件；③公义、定理、定义等，应选 C.答案： C2．“实数 a， b， c 不全大于 0”等价于 ()A ． a， b， c 均不大于 0B． a， b， c 中起码有一个大于0C． a， b， c 中至多有一个大于0D． a， b， c 中起码有一个不大于0分析：“不全大于 0”即“起码有一个不大于 0”，它包含“全不大于0”，应选 D.答案： D3．已知数列 { a n} ， { b n} 的通项公式分别为a n＝ an＋ 2， b n＝ bn＋ 1(a， b 是常数 )，且 a>b，那么两个数列中序号与数值均同样的项有()A．0 个B．1 个C．2 个 D ．无量多个分析：假定存在序号和数值均相等的项，即存在 n∈ N *n n*，，使得 a＝ b ，由题意 a>b，n∈ N ∴a n>bn，进而 an＋ 2>bn＋ 1 恒建立，∴不存在 n∈N *使得 a n＝ b n，应选 A.答案： A4．以下命题合适用反证法证明的是________．①已知函数 f(x)＝a x＋x－ 2f(x)＝ 0 没有负实数根．(a>1) ，证明：方程x＋ 1②若 x， y∈ R， x>0 ，y>0 ，且 x＋y>2，求证：1＋x和1＋y中起码有一个小于 2.y x③对于 x 的方程 ax＝ b(a≠0) 的解是独一的．④同一平面内，分别与两订交直线垂直的两条直线必订交．分析：① 是“ 否认性”命题；② 是“ 起码” 类命题；③ 是“ 独一性” 命题，且题中条件较少；④ 不易直接证明，所以，四个命题都合适用反证法证明．答案：①②③④知识点一用反证法证明否 ( 肯)定性命题1.命题“ a ， b ∈ R ，若 |a － 1| ＋ |b － 1| ＝ 0，则 a ＝ b ＝ 1”用反证法证明时，应假定________________ ．分析： “ a ＝b ＝ 1” 的反面是 “ a ≠ 1 或 b ≠ 1” ，所以应假定 a ≠ 1 或 b ≠ 1. 答案： a ≠ 1 或 b ≠ 12．在△ ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ， b ，c ，已知 A ＝ 30°， a ＝ 3， b ＝ 3 3.(1)求 B 和△ ABC 的面积； (2)当 B 是钝角时，证明： tan(B －118 °)不行能是有理数．分析： (1) 由正弦定理得 a b3 3sin30 ° 33 ＝ 2 .sin A ＝sin B ，即 sin B ＝因为 B 是三角形内角且 B>A ，所以 B ＝ 60 °或 B ＝ 120 °，记△ ABC 的面积为 S ，1 1 ×3×3 3＝9 3当 B ＝ 60 °时， C ＝ 90 °，S ＝ ab ＝2 ；22当 B ＝ 120 °时， C ＝ 30 °， S ＝ 111 9 32 absin 30 ＝° ×3×3 3× ＝ 4.22 (2)证明：因为 B 是钝角，联合 (1) 的结论得 tan(B － 118 °)＝ tan 2 ，°假定 tan 2 是°有理数，则 2tan 2 °tan4 ＝° 为有理数；1－ tan 22°同理可证 tan 8 ，°tan16 ，°tan 32 为有°理数，所以 tan 30 tan 32 －°tan 2 ° 3为无理数，等式右侧为有理数，进而矛盾，＝° ，等式左侧＝1＋ tan 32 tan ° 2 ° 3则 tan 2 不°可能是有理数，即 tan(B －118 °)不行能是有理数 .知识点二用反证法证明“起码”“至多”问题1＋ x 1＋ y 3.用反证法证明“若x ，y 都是正实数，且 x ＋ y>2 ，则 y <2 或x <2 中起码有一个建立”时，应假定 ( )A. 1＋ x ≥ 2 且 1＋ y ≥2y xB. 1＋ x ≥2 或 1＋ y ≥ 2 y xC. 1＋ x ≥2 且 1＋ yy x <2 D. 1＋ x ≥ 2 或 1＋ yyx <21＋ x1＋ y1＋ x1＋ y分析：假定 y <2 和 x<2 都不建立，即 y ≥ 2 且 x ≥ 2，应选 A.答案： A4．用反证法证明：当 m 为任何实数时，对于x 的方程 x 2－ 5x ＋m ＝0 与 2x 2＋ x ＋ 6－m ＝0起码有一个方程有实数根．证明：假定对于 x 的方程 x 2－ 5x ＋ m ＝ 0 与 2x 2＋ x ＋ 6－ m ＝ 0 都没有实数根，则有＝ 25－ 4m<0，且 Δ′ ＝ 1－ 8(6－ m)＝ 8m － 47<0，2547解得 m> 4，且 m< 8，矛盾，故假定不正确，进而原命题得证 .知识点三用反证法证明存在性、独一性命题5.用反证法证明“若一元二次方程ax2＋ bx＋ c＝ 0(a， b， c∈N ，且 a≠ 0)有有理根，那么a， b，c 中存在偶数”时，假定应为()A ． a， b， c 都是偶数B． a， b， c 都不是偶数C． a， b， c 中至多有一个是偶数D． a， b， c 中至多有两个偶数分析：联合题意，得 a，b， c 中存在偶数，即起码有一个偶数，其否认为：a，b， c 都不是偶数，应选 B.答案： B6．若函数 f(x)在区间 [a， b] 上的图象连续，且f(a)<0， f(b)>0， f(x)在 [a， b]上单一递加，求证： f(x)在 (a， b)内有且只有一个零点．证明：因为 f(x)在 [a， b]上的图象连续，且 f(a)<0， f(b)>0，即 f(a) ·f(b)<0 ，所以 f(x)在 (a， b)内起码存在一个零点，设零点为m，则 f(m)＝ 0.假定 f(x)在 (a， b)内还存在另一个零点n，即 f(n)＝ 0，则 n≠ m.若n>m，则f( n)>f(m)，即0>0 ，矛盾；若 n<m，则 f( n)< f(m)，即 0<0 ，矛盾．所以假定不正确，即f(x)在 (a， b)内有且只有一个零点 .知识点三反证法的综合应用7.(1)已知 p3＋ q3＝ 2，求证 p＋ q≤ 2.用反证法证明时，可假定p＋q≥ 2.(2)已知 a， b∈ R， |a|＋ |b|<1，求证方程x2＋ ax＋b＝ 0 的两根的绝对值都小于 1.用反证法证明时可假定方程有一根 x1的绝对值大于或等于 1，即假定 |x1|≥ 1.以下结论正确的选项是 ()A ． (1)与 (2)的假定都错误B． (1)与 (2) 的假定都正确C． (1)的假定正确；(2) 的假定错误D． (1)的假定错误；(2) 的假定正确分析： (1) 的假定应为p＋ q>2.(2)的假定正确，选 D.a8．设函数f(x)＝ ax2＋ bx＋ c 且 f(1)＝－，3a>2c>2b.(1)试用反证法证明：a>0；b 3(2)证明：－ 3<a<－4.证明： (1) 假定 a≤0，∵3a>2 c>2b，∴ 3a≤ 0,2c<0,2b<0，将上述不等式相加，得3a＋ 2c＋2b<0.a∵f(1)＝－2，∴ 3a＋ 2c＋ 2b＝ 0，这与 3a＋ 2c＋2b<0 矛盾，∴假定不建立，∴ a>0.a3(2)∵ f(1) ＝a＋ b＋ c＝－2，∴ c＝－2a－ b，∴3a>2 c＝－ 3a－ 2b，∴3a>－ b.∵2c>2b，∴－ 3a>4b.b 3∵a>0，∴ －3< a<－4.基础达标一、选择题1．以下对于反证法的说法，正确的选项是()①反证法的应用需要逆向思想；②反证法是一种间接证明方法，否认结论时，必定要全面否认；③反证法推出的矛盾不可以与已知相矛盾；④使用反证法一定先否认结论，当结论的反面出现多种可能时，论证一种即可．A ．①②B ．①③C．②③ D ．③④分析：反证法推出的矛盾能够与已知相矛盾，故③ 不正确，进而清除选项BCD ，应选 A.答案： A2．“已知：△ ABC 中， AB＝ AC，求证：∠ B<90 °.”下边写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：(1)所以∠ A＋∠ B＋∠ C>180 °，这与三角形内角和定理相矛盾；(2)所以∠ B<90 °；(3)假定∠ B≥ 90°；(4)那么，由AB＝ AC，得∠ B＝∠ C≥ 90°，即∠ B＋∠ C≥ 180 °.这四个步骤正确的次序应是()A ． (1)(2)(3)(4)B．(4)(3)(2)(1)C． (3)(4)(1)(2) D ．(3)(4)(2)(1)分析：依据反证法的步骤，可知正确的次序应是(3)(4)(1)(2) ，应选 C.答案： C3．有以下表达：①“ a>b”的反面是“ a<b”；②“ x＝ y”的反面是“ x>y 或 x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．此中正确的表达有()A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个分析：①中，“ a>b”的反面是“a＝ b 或 a<b”，∴① 不正确；②明显正确；③中“三角形的外心在三角形外” 的反面是“ 三角形的外心在三角形内或三角形上”，∴③ 不正确；④中，“三角形最多有一个钝角” 的反面是“ 三角形起码有两个钝角” ，∴④ 不正确，应选答案： B4．若△ ABC 能被一条直线分红两个与自己相像的三角形，那么这个三角形的形状是(A ．钝角三角形B ．直角三角形C．锐角三角形 D ．不可以确立B. )分析：分△ ABC 的直线只好过一个极点与其对边订交，如直线AD (点 D 在 BC 上 )，则∠ ADB ＋∠ADC＝π，若∠ ADB 为锐角，则∠ ADC 为钝角，而∠ ADC>∠ BAD，∠ ADC >∠ ABD，△ ABDπ与△ ACD 不行能相像，与已知矛盾，只有当∠ADB＝∠ ADC＝∠ BAC＝2时，才切合题意，故选 B.答案： B5．以下四个命题中错误的选项是()A ．在△ ABC 中，若∠ A＝90°，则∠B 必定是锐角B.17， 13， 11不行能成等差数列C．在△ ABC 中，若 a>b>c，则∠ C>60 °D．若 n 为整数且n2为偶数，则n 是偶数分析：明显 A、B 、D 命题均为真， C 选项中，若 a>b>c，则 A>B>C，若∠ C>60°，则∠ A>60°，∠B>60°，∴ A＋B＋ C>180°，这与 A＋ B＋ C＝180°矛盾，应选 C.答案： C6．设 a， b， c 是正数， P＝ a＋ b－c， Q＝ b＋ c－ a，R＝ c＋a－ b，则“ PQR>0”是“ P，Q，R 同时大于零”的()A．充足条件B．必需条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件分析：若“P， Q， R 同时大于零”则“ PQR>0”建立，∵a， b， c∈ R＋，且 PQR>0.∴若 P>0 ，则 Q<0， R<0 或 Q>0， R>0，若 Q<0 ，R<0 ，则 b＋ c－ a<0， c＋ a－b<0 ，∴ a>b＋ c， a<b－ c.∵c>0，∴ b＋ c>b－ c，∴不等式 a>b＋ c， a<b－ c 不建立，即 Q<0， R<0 不建立，∴必有 Q>0， R>0，即 P， Q，R 同时大于零建立，∴“ PQR>0”是“ P，Q，R 同时大于零”的充要条件，应选 C.答案： C7．设 p， q，r∈1， y＝q＋1， z＝ r＋1，则 x， y，z 三个数 () (－∞， 0)， x＝p＋q r pA ．都大于－ 2B．起码有一个不大于－2C．都小于－ 2D．起码有一个不小于－2分析： (反证法 )假定 x， y， z 三个数均大于－2，即 x>－ 2， y>－2， z>－ 2，则 x＋ y＋ z>－ 6① .111－ p ＋1－ q ＋1－ r＋1又∵x ＋ y ＋ z＝ p ＋q＋ q＋r＋ r ＋p＝－－ p －－ q－≤ －－r111②，2 p·－ 2q·－ 2r·＝－ 6，即 x＋y＋ z≤ － 6p q r①② 矛盾，∴ 假定不建立，∴x，y， z 三个数起码有一个不大于－ 2.应选 B.答案： B二、填空题8．用反证法证明命题“若a，b∈ R，且 a2＋ |b|＝ 0，则 a，b 全为 0”时，应假定 ____________．分析：用反证法证明命题“若 a，b∈ R，且 a2＋ |b|＝ 0，则 a， b 全为 0”时，应假定“ a，b 中起码有一个不为0”．答案： a， b 中起码有一个不为09．达成反证法证题的全过程．设a1，a2，， a7是 1,2，， 7 的一个摆列，求证：乘积p＝ (a － 1)(a － 2) (a － 7)为偶数．127证明：假定 p 为奇数，则 ________________ 为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝ ________＝________＝ 0.但 0≠奇数，这一矛盾说明p 为偶数．分析：证明：假定p 为奇数，则a1－ 1， a2－ 2，， a7－ 7 均为奇数，因为奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝ (a1－ 1)＋ (a2－ 2)＋＋ (a7－ 7)＝ (a1＋ a2＋＋a7)－(1＋2＋＋7)＝0，但奇数≠偶数， 0 为偶数，这一矛盾说明假定错误，进而答案： a1－ 1， a2－ 2，， a7－ 7 (a1－ 1)＋ ( a2－ 2)＋＋P 为偶数．(a7－ 7)(a1＋ a2＋＋a7)－ (1＋ 2＋＋ 7)10．△ ABC 中，若 AB ＝AC，P 是△ ABC 内的一点，∠ APB>∠ APC，求证：∠ BAP<∠ CAP，用反证法证明时的假定为____________．分析：反证法对结论的否认是全面否认，∠ BAP<∠ CAP的对峙面是∠BAP＝∠ CAP或∠ BAP>∠CAP.答案：∠ BAP＝∠ CAP 或∠ BAP>∠ CAP11．和两条异面直线AB， CD 都订交的两条直线AC， BD 的地点关系是 ________．分析：假定 AC ，BD 共面，均在平面α内，即 AC? α， BD? α，∴A∈ α， B∈ α，C∈α， D ∈ α，∴ AB? α， CD ? α，这与 AB、 CD 异面矛盾，∴AC 、BD 异面．答案：异面12．设 a， b 是两个实数，给出以下条件：①a＋ b>1 ；② a＋ b＝ 2；③ a＋ b>2；④ a2＋ b2>2；④ ab>1.此中能推出“ a， b 中起码有一个大于1”的条件是 ________(填序号 )．分析：若 a＝122，b＝3，则 a＋ b>1，但 a<1，b<1，故①推不出；若 a＝ b＝ 1，则 a＋ b＝ 2，故②推不出；若a＝－ 2，b＝－ 3，则 a2＋ b2>2，故④推不出；若a＝－ 2， b＝－ 3，则 ab>1，故⑤推不出；对于③， a＋ b>2，则 a，b 中起码有一个大于1，用反证法证明以下：假定且 b≤ 1，则 a＋b≤ 2，与 a＋ b>2 矛盾，所以假定不建立，故a， b 中起码有一个大于答案：③三、解答题13．已知三个正数a， b，c 成等比数列，但不行等差数列，求证：a，b，a≤1 1.c不行等差数列．分析：假定a，b，c成等差数列则a＋c＝ 2b，∴a＋ c＋ 2ac＝ 4b① ，∵a， b， c 成等比数列，∴b2＝ac，即 b＝ ac ②由①② 得 a＝c，∴b＝ a＝ c，这与 a、 b、c 不行等差数列矛盾∴a，b，c不行等差数列．14．已知直线 m 与直线 a 和 b 分别交于 A，B 且 a∥b，求证：过 a、 b、m 有且只有一个平面．证明：∵a∥ b，∴过 a、 b 有一个平面α.又m∩a＝A，m∩b＝B，∴A∈ a，B∈ b，∴A∈ α， B∈α，又 A∈m， B∈ m，∴ m? α.即过 a、 b、m 有一个平面α假定过 a、 b、 m 还有一个平面β异于平面α.则 a? α， b? α， a? β， b? β，这与 a∥ b，过 a、b 有且只有一个平面相矛盾．所以，过 a、b、 m 有且只有一个平面 .能力提高15.已知方程 x2－4ax－ 4a＋3＝ 0，x2＋(a－1)x＋ a2＝ 0，x2＋2ax－ 2a＝ 0 中起码有一个方程有实数，务实数 a 的取值范围．分析：假定三个方程均没有实根，则16a2－ 4 3－ 4a <0 ，a－ 1 2－ 4a2<0，4a2＋ 8a<0，3解得－2<a<－ 1，3∴三个方程起码有一个方程有实根的 a 的取值范围是 a a≤－2或 a≥－ 1.16．设函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a≠ 0)，a，b，c 均为整数，且 f(0)，f(1) 均为奇数，求证： f(x) ＝0 无整数根．证明：假定 f(x)＝ 0 有整数根n，则 an2＋bn＋ c＝ 0(n∈ Z )而 f(0)， f(1) 均为奇数，即 c 为奇数， a＋ b 为偶数，则a， b， c 同时为奇数，或a， b 同时为偶数， c 为奇数，当 n 为奇数时， an2＋ bn 为偶数；当 n 为偶数时， an2＋ bn 也为偶数，即 an2＋ bn＋ c 为奇数，与 an2＋bn＋ c＝ 0 矛盾．所以 f(x)＝ 0 无整数根．。

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