江西省宜市高一数学下学期期末试卷(含解析)

2014-2015学年江西省宜春市高一（下）期末数学试卷
一、选择题（12×5=60分）
1．（2015春•宜春期末）某单位350名职工，其中50岁以上有70人，40岁以下175人，该单位为了解职工每天的业余生活情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取40名职工进行调查，则应从40﹣50岁的职工中抽取的人数为（）
A．8 B．12 C．20 D．30
考点：分层抽样方法．
专题：数系的扩充和复数．
分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．
解答：解：某单位350名职工，其中50岁以上有70人，40岁以下175人，
则40﹣50岁的职工有350﹣70﹣175=105人，
年龄用分层抽样方法从中抽取40名职工进行调查，
则应从40﹣50岁的职工中抽取的人数为=12人，
故选：B．
点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．2．（2015春•宜春期末）已知点P（tanα，cosα）在第四象限，则角α在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
考点：三角函数值的符号．
专题：三角函数的求值．
分析：由点P（tanα，cosα）在第四象限，可得，即可得出．
解答：解：∵点P（tanα，cosα）在第四象限，
∴，
∴α在第三象限．
故选：C．
点评：本题考查了角所在象限的符号、点在各个象限的坐标符号，属于基础题．
3．（2015春•宜春期末）某居民小区年龄在20岁到45岁的居民共有150人，如图是他们上网情况的频率分布直方图，现已知年龄在的人数分别是39、21人，则年龄在=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），
故将y=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度单位可得函数y=cos2x的图象，
故选：A．
点评：本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．
8．（2015春•宜春期末）函数y=sin2（x﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，则ω为（）A． 2 B．C． 4 D．
考点：三角函数的周期性及其求法；二倍角的余弦．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：由条件利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得ω的值．
解答：解：∵函数y=sin2（x﹣）==﹣sinωx 的最小正周期为=π，
则ω=2，
故选：A．
点评：本题主要考查二倍角的余弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．
9．（2015春•宜春期末）已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，﹣＜ϕ＜），其部分图象如下图所示，将f（x）的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的倍，再向右平移1个单位得到g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（）
A． g（x）=sin（x+1）
B．g（x）=sin（x﹣）
C．g（x）=sin（x+1）
D．g（x）=sin（x+）
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f （x）的解析式，再利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
解答：解：由函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）的图象可得A=1，=4（1+1），求得ω=．
再根据五点法作图可得×（﹣1）+ϕ=0，求得ϕ=，可得函数f（x）=sin（x+）．
把f（x）的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的倍，再向右平移1个单位得到g（x）=sin=sin （x﹣]的图象，
故选：B．
点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
10．（2015春•宜春期末）的值是（）A．﹣B．﹣C．D．
考点：两角和与差的正弦函数．
专题：三角函数的求值．
分析：利用两角和差公式、诱导公式即可得出．
解答：解：原式
===sin30°=．
故选：C．
点评：本题考查了两角和差公式、诱导公式，属于基础题．
11．（2011•石狮市校级模拟）一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（）
A．B． C． D．
考点：几何概型．
专题：计算题．
分析：根据安全飞行的定义，则安全的区域为以棱长为1的正方体内，则概率为两正方体的体积之比，进而计算可得答案．
解答：解：根据几何概型知识，其概率为体积之比，
即，
故选A
点评：本题主要考查几何概型中的体积类型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域体积和试验的全部结果所构成的区域体积，两者求比值，即为概率．
12．（2015春•宜春期末）△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3+4+5=，则
的值为（）
A．﹣B．C．﹣D．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：由已知等式先将一个向量用其余两个向量表示出来，然后借助于平方使其出现向量模的平方，则才好用上外接圆半径，然后进一步分析结论，容易化简出要求的结果．
解答：解：因为3+4+5=，
所以3+4=﹣5，
所以，
因为A，B，C在圆上，所以．
代入原式得=0，
同理=
所以===﹣；
故选A．
点评：本题考查了平面向量在几何问题中的应用．要利用向量的三角形法则，将所求进行化归，从而将问题转化为数量积．
二、填空题（4×5=20分）
13．（2015春•宜春期末）箱子中有4个分别标有号码1、2、3、4的小球，从中随机取出一个记下号码后放回，再随机取出一个记下号码，则两次记下的号码至少一个奇数的概率为
．
考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
专题：概率与统计．
分析：从中随机取出一个记下号码后放回，再随机取出一个记下号码，共4×4=16种情种情况，而两次之都为偶数的情况有2×2=4种，进而可得两次记下的号码至少一个奇数的情况有12种，由等可能事件的概率公式计算可得答案．
解答：解：根据题意，设两个号码至少一个奇数的事件为A，
从中随机取出一个记下号码后放回，再随机取出一个记下号码，共4×4=16种情况，
而两次之都为偶数的情况有2×2=4种，
则两个号码至少一个为偶数的情况有16﹣4=12种；
故两次记下的号码至少一个奇数的概率为P（A）==，
故答案为：
点评：本题考查了古典概型的随机事件的概率公式的应用，属于基础题．
14．（2015春•宜春期末）已知α∈（，π），sinα=，则tan（α+）= ﹣7 ．
考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用．
专题：计算题；三角函数的求值．
分析：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求cosα，tanα，利用两角和的正切函数公式即可得解．
解答：解：∵α∈（，π），sinα=，
∴cos=﹣，t anα==﹣，
∴tan（α+）===﹣7．
故答案为：﹣7．
点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值，同角三角函数基本关系的运用，两角和的正切函数公式的应用，属于基础题．
15．（2012•广州二模）在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若
，则的值为﹣2 ．
考点：向量的线性运算性质及几何意义．
专题：计算题．
分析：取BC的中点M，连接DM，交AC于N，由平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE 与AC相交于点F，知AF=FN=CN，故=﹣，由此能求出结果．
解答：解：取BC的中点M，连接DM，交AC于N，
∵ABCD是平行四边形，且点E、M分别为AD、BC的中点
∴DE∥BM，DE=BM，
∴四边形BEDM是平行四边形，
∴BE∥DM，
在△AND中，∵EF∥DN且点E为AD中点，
∴点F也为AN中点，
∴AF=FN，
同理可得CN=FN，
∴AF=FN=CN，
∴=﹣+
=﹣，
∵，
∴m=，n=﹣，
∴．
故答案为：﹣2．
点评：本题考查向量的线性运算性质及其几何意义，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
16．（2015春•宜春期末）已知函数f（x）=sinx+cosx，则下列命题正确的是①③④．（填上你认为正确的所有命题的序号）
①函数f（x）（x∈）的单调递增区间是；
②函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称；
③函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是；
④若实数m使得方程f（x）=m在上恰好有三个实数解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=．
考点：两角和与差的正弦函数．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：①，利用正弦函数的单调性可得函数f（x）的增区间，即可判断出正误；
②将代入f（x），即可判断出正误；
③f（x）=，向左平移个m（m＞0）单位长度后变换为，由题意得，即可判断出正误；
④若实数m使得方程f（x）=m在上恰好有三个实数解，结合函数及y=m的图象即可得出．
解答：解：①，∴函数的增区间为，
又∵，∴增区间为．∴①正确；
②将代入f（x）得，∴②不正确；
③，∴向左平移个m（m＞0）单位长度后变换为
，由题意得，
∵，因此m的最小值是，∴③正确；
④若实数m使得方程f（x）=m在上恰好有三个实数解，结合函数及y=m的图象可知，必有x=0，x=2π，此时，另一解为，即x1，x2，x3满足，④正确．
综上知，只有①③④正确．
故答案为：①③④．
点评：本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式，考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题
17．（10分）（2015春•宜春期末）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，而终边经过点P（1，﹣2）．
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
考点：同角三角函数基本关系的运用．
专题：三角函数的求值．
分析：（1）由题意，根据P的坐标，利用任意角的三角函数定义求出tanα的值即可；（2）原式分子分母除以cosα，利用同角三角函数间基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．
解答：解：（1）∵角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，而终边经过点P （1，﹣2），
∴tanα=﹣2；
（2）∵tanα=﹣2，
∴原式===6．
点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．18．（2015春•宜春期末）已知函数f（x）=﹣cos2x+2cos2（﹣x）﹣1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间上的取值范围．
考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
分析：（1）利用诱导公式，倍角公式及辅助角公式，可将函数f（x）的解析式化为
，由ω=2可得f（x）的最小正周期；
（2）借助正弦函数的图象和性质，分别f（x）在区间上最值，可得答案．
解答：解：（1）（2分）
=（4分）
∵ω=2，
∴f（x）最小正周期为T=π，（6分）
（2）因为，
所以（8分）
当时，函数取最小值﹣2；
当时，函数取最大值；
所以，
所以f（x）取值范围为．
点评：本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，难度中档．19．（2015春•宜春期末）已知，，是一个平面内的三个向量，其中=（1，3）．
（1）若||=2，∥，求及；
（2）若||=，且﹣3与2+垂直，求与的夹角．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：（1）利用向量平行的性质得到坐标的关系；=（λ，3λ），利用模求参数λ；（2）利用已知向量垂直得到数量积为0，求出，的数量积，利用数量积公式求夹角．
解答：解：（1）因为||=2，∥，所以设=（λ，3λ），并且λ2+9λ2=40，解得λ=±2，
所以=（2，6）或者（﹣2，﹣6），
=±20；
（2）因为||=，且﹣3与2+垂直，所以（﹣3）（2+）=0，所以
2=0，又=10，，所以=，
所以与的夹角的余弦值为=，所以与的夹角60°．
点评：本题考查了平面向量平行和垂直的性质；向量数量积公式求向量夹角．
20．（2015春•宜春期末）从某学校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高，据测量，被抽取学生的身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，如图是按上述分组方法得到的条形图．
（1）根据已知条件填写下面表格：
组别 1 2 3 4 5 6 7 8
频数
（2）估计这所学校高三年级800名学生中身高在175cm以上（含175cm）的人数；
（3）在样本中，若第二组有1人为男生，其余为女生，第七组有1人为女生，其余为男生，在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组，问：实验小组中恰为同性别学生的概率是多少？
考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
专题：概率与统计．
分析：（1）由频率分布直方图分析可得各数据段的频率，再由频率与频数的关系，可得频数．
（2）求出这所学校高三年级800名学生中身高在175cm以上（含1175cm）的频率，即得频数（3）第二组四人记为a、b、c、d，其中a为男生，b、c、d为女生，第七组三人记为1、2、3，其中1、2为男生，3为女生，列出基本事件，根据概率公式计算即可．
解答：解：（1）由条形图得第七组频率为.1﹣（0.04×2+0.08×2+0.2×2+0.3）=0.06，
∴0.06×50=3人∴第七组的人数为3人．（1分）
组别 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 2 4 10 10 15 4 3
2
（4分）
（2）由条形图得前四组频率为0.04+0.08+0.2+0.2=0.52，后四组频率为1﹣0.52=0.48．估计这所学校高三年级身高在175cm以上（含175cm）的人数800×0.48=384（人）．（8分）（3）第二组四人记为a、b、c、d，其中a为男生，b、c、d为女生，第七组三人记为1、2、3，其中1、2为男生，3为女生，基本事件列表如下：
a b c d
1 1a 1b 1c 1d
2 2a 2b 2c 2d
3 3a 3b 3c 3d
所以基本事件有12个，恰为一男一女的事件有1b，1c，1d，2b，2c，2d，3a共7个，因此实验小组中，恰为两男或两女的概率是=．
点评：本题考查了古典概型概率计算及频率分布直方图的应用，关键是正确分析频率分布直方图的数据信息，准确计算．
21．（2015春•宜春期末）x的取值范围为，给出如图所示程序框图，输入一个数x．
（1）请写出程序框图所表示的函数表达式；
（2）求输出的y（y＜5）的概率；
（3）求输出的y（6＜y≤8）的概率．
考点：程序框图．
专题：函数的性质及应用；概率与统计；算法和程序框图．
分析：（1）由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用条件结构计算并输出变量y的值，分析程序各分支对应的操作可得程序框图所表示的函数表达式；
（2）求出输出的y（y＜5）的x值的范围，代入几何概型概型计算公式，可得答案；
（3）求出输出的y（6＜y≤8）的值的范围，代入几何概型概型计算公式，可得答案；
解答：解：（1）由已知可得
程序框图所表示的函数表达式是；（3分）
（2）当y＜5时，
若输出y=x+1（0≤x≤7），
此时输出的结果满足x+1＜5，
所以0≤x＜4，
若输出y=x﹣1（7＜x≤10），
此时输出的结果满足x﹣1＜5，
所以0≤x＜6（不合），
所以输出的y（y＜5）的时x的范围是0≤x＜4．
则使得输出的y（y＜5）的概率为；
（7分）
（3）当x≤7时，
输出y=x+1（0≤x≤7），
此时输出的结果满足6＜x+1≤8
解得5＜x≤7；
当x＞7时，
输出y=x﹣1（7＜x≤10），
此时输出的结果满足6＜x﹣1≤8
解得7＜x≤9；
综上，输出的y（6＜y≤8）的时x的范围是5＜x≤9．
则使得输出的y满足6＜y≤8的概率为．
点评：本题考查的知识点是程序框图，分段函数，几何概型，是概率，函数与算法的综合应用，难度不大，属于基础题．
22．（2015春•宜春期末）已知向量=（﹣cos（π﹣θ），sin（﹣θ）），=（，2cos2﹣1）．
（1）求证：⊥
（2）设=+（t2+3），=﹣k+t，g（t）=（λ∈），若存在不等于0的实数k 和t（t∈），满足⊥，试求g（t）的最小值h（λ），并求出h（λ）的最小值．
考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．
专题：三角函数的求值；平面向量及应用．
分析：（1）首先化简两个向量的坐标，然后进行数量积的运算；
（2）由可得，进一步利用k，t表示，化简后根据解析式特点，讨论最小值的取得．
解答：解：（1）=（﹣cos（π﹣θ），sin（﹣θ））=（cosθ，﹣sinθ）
=（，2cos2﹣1）=（sinθ，cosθ）
所以=sinθcosθ﹣sinθcosθ=0，
∴；（3分）
（2）由可得，
即，
∴，
∴，
又∵，
∴﹣k+t3+t=0，∴k=t3+3t，
∴g（t）=，（t∈）（7分）
①当即λ＞﹣2时，g（t）min=g（1）=λ+4
②当即﹣4≤λ≤﹣2时，
③当即λ＜﹣4时，g（t）min=g（2）=2λ+7
∴（10分）
∴h（λ）min=﹣9
点评：本题考查了利用三角函数的诱导公式以及逆用两角和与差的三角函数公式化简三角函数式、平面向量的数量积公式的运用以及讨论思想的考查；属于中档题．。