最新人教版高中数学选修2-2第二章《合情推理》自我小测1

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高中数学 2.1《合情推理与演绎推理》测试(1) 新人教B版选修2-2

合情推理与演绎推理一、归纳推理例1．（1）观察圆周上n 个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？变式1.设平面内有n 条直线)3(≥n ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f =____________；当4>n 时，=)(n f ．（用n 表示）变式2.在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两条线段,彼此最多分割成4条线段,同时将圆分割成4部分;画三条线段,彼此最多分割成9条线段,同时将圆分割成7部分.那么 (1)在圆内画四条线段,彼此最多分割成条线段?同时将圆分割成部分?(2)猜想:圆内两两相交的n (n ≥2)条线段,彼此最多分割成条线段?同时将圆分割成部分?强化训练1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是 .2.由107＞85,119＞108,2513＞219,…若a ＞b ＞0,m ＞0，则m a m b ++与a b 之间的大小关系为 .3.下列推理是归纳推理的是（填序号）.①A ，B 为定点，动点P 满足|PA |+|PB |=2a ＞|AB |，得P 的轨迹为椭圆 ②由a 1=1，a n =3n -1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式 ③由圆x 2+y 2=r 2的面积πr 2，猜想出椭圆2222b y a x +=1的面积S =πab④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇4.已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…则第60个数对是 .二、类比推理（一）数列中的类比例1.在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有等式n a a a +⋅⋅⋅++21),19(1921+-∈<+⋅⋅⋅++=N n n a a a n 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{}n b 中，若19=b ，则有等式成立.强化练习1.定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

数学人教A版选修2-2自我小测：2.1 合情推理与演绎推理(第1课时) pdf版含解析

4．解析：观察总结规律为：以 4 个数为一个周期，箭头方向重复出现．因此，2 004
到 2 006 的箭头方向和 0 到 2 的箭头方向是一致的．故选 C．
答案：C
π
π
π
πb
asin ＋bcos atan ＋b tan ＋
5
5
5
5a
π
π
π b π 8π
acos －bsin a－btan 1－ tan
参考答案
1．解析：归纳推理和类比推理统称为合情推理，合情推理得到的结论不一定正确，故
选项 A，B 错误；因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，故选项 C 错误；
类比推理就是从特殊到特殊的推理，故选项 D 正确．
答案：D
2．C 3．解析：∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，∴猜想 an＝3n－1. 答案：A
5＝tan15，则a＝( )
A．4
B． 15
C．2
D． 3
6．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12 成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn，则
T16 T4，__________，__________，T12成等比数列．
10．解：如图①，在矩形 ABCD 中，cos2α＋cos2β＝ c 2＋ c 2＝ c2 ＝c2＝1.
于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为 α，β，γ，
则 cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
( ) ( ) ( ) m n g m2＋n2＋g2 l2
证明如下：如图②，cos2α＋cos2β＋cos2γ＝ l 2＋ l 2＋ l 2＝ l2 ＝l2＝1.

新课程标准数学选修2-2第二章课后习题解答[唐金制]

新课程标准数学选修2—2第二章课后习题解答第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理练习（P77）1、由12341a a a a ====，猜想1n a =.2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.3、设111O P Q R V -和222O P QR V -分别是四面体111O P Q R -和222O P Q R -的体积，则111222111222O P Q R O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅. 练习（P81） 1、略.2、因为通项公式为n a 的数列{}n a ，若1n na p a +=，其中p 是非零常数，则{}n a 是等比数列； ……………………大前提又因为0cq ≠，则0q ≠，则11n n nna cqq a cq++==； ……………………………小前提所以，通项公式为(0)n n a cq cq =≠的数列{}n a 是等比数列. ……………………结论 3、由AD BD >，得到A C D B C D ∠>∠的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD BD >”，而A D 与B D 不在同一个三角形中. 习题2.1 A 组（P83） 1、21n a n =+()n N *∈.2、2F V E +=+.3、当6n ≤时，122(1)n n -<+；当7n =时，122(1)n n -=+；当8n =时，122(1)n n ->+()n N *∈.4、212111(2)nnA A A n π++≥-（2n >，且n N *∈）.5、121217n n b b b b b b -= （17n <，且n N *∈）.6、如图，作D E ∥A B 交B C 于E .因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，又因为A D ∥B E ，A B ∥D E . 所以四边形A B E D 是平行四边形. 因为平行四边形的对边相等.又因为四边形A B E D 是平行四边形. 所以AB D E =.（第6题）因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，又因为AB D E =，A B D C =, 所以D E D C = 因为等腰三角形的两底角是相等的.又因为△D E C 是等腰三角形, 所以D EC C ∠=∠ 因为平行线的同位角相等又因为D E C ∠与B ∠是平行线A B 和D E 的同位角, 所以D E C B ∠=∠ 因为等于同角的两个角是相等的，又因为D EC C ∠=∠，D E C B ∠=∠, 所以B C ∠=∠ 习题2.1 B 组（P84） 1、由123S =-，234S =-，345S =-，456S =-，567S =-，猜想12n n S n +=-+.2、略.3、略. 2．2直接证明与间接证明练习（P89）1、因为442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos 2θθθθθθθ-=+-=，所以，命题得证.2、要证>22>，即证1313+>+>，只需要22>，即证4240>，这是显然成立的. 所以，命题得证. 3、因为 222222222()()()(2sin )(2tan )16sin tan a b a b a b αααα-=-+==，又因为 sin (1cos )sin (1cos )1616(tan sin )(tan sin )16cos cos ab αααααααααα+-=+-=⋅22222222sin (1cos )sin sin 161616sin tan cos cos αααααααα-===，从而222()16a b ab -=，所以，命题成立.说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.练习（P91）1、假设B ∠不是锐角，则90B ∠≥︒. 因此9090180C B ∠+∠≥︒+︒=︒. 这与三角形的内角和等于180°矛盾.所以，假设不成立. 从而，B ∠一定是锐角.2、假设=所以22=，化简得5=，从而225=，即2540=，这是不可能的. 所以，假设不成立.从而，.说明：进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点. 习题2.2 A 组（P91）1、由于0a ≠，因此方程至少有一个跟b x a=.假设方程不止一个根，则至少有两个根，不妨设12,x x 是它的两个不同的根，则 1ax b = ①2ax b = ②①－②得12()0a x x -=因为12x x ≠，所以120x x -≠，从而0a =，这与已知条件矛盾，故假设不成立. 2、因为 (1tan )(1tan )2A B ++=展开得 1tan tan tan tan 2A B A B +++=，即tan tan 1tan tan A B A B +=-. ① 假设1tan tan 0A B -=，则cos cos sin sin 0cos cos A B A BA B-=，即cos()0cos cos A B A B+=所以cos()0A B +=.因为A ，B 都是锐角，所以0A B π<+<，从而2A B π+=，与已知矛盾.因此1tan tan 0A B -≠. ①式变形得tan tan 11tan tan A B A B+=-，即tan()1A B +=. 又因为0A B π<+<，所以4A B π+=.说明：本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明. 3、因为1tan 12tan αα-=+，所以12tan 0α+=，从而2sin cos 0αα+=.另一方面，要证 3sin 24cos 2αα=-，只要证226sin cos 4(cos sin )αααα=-- 即证 222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=，即证 (2s i n c o s)(s i n2c oαααα+-= 由2sin cos 0αα+=可得，(2sin cos )(sin 2cos )0αααα+-=，于是命题得证.说明：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.4、因为,,a b c 的倒数成等差数列，所以211b a c=+.假设2B π<不成立，即2B π≥，则B 是A B C ∆的最大内角，所以,b a b c >>（在三角形中，大角对大边），从而11112acbbb+>+=. 这与211bac=+矛盾.所以，假设不成立，因此，2B π<.习题2.2 B 组（P91）1、要证2s a <，由于22s ab <，所以只需要2ss b<，即证b s <.因为1()2s a b c =++，所以只需要2b a b c <++，即证b a c <+.由于,,a b c 为一个三角形的三条边，所以上式成立. 于是原命题成立. 2、由已知条件得 2b ac = ① 2x a b =+，2y b c =+ ② 要证2a c x y+=，只要证2ay cx xy +=，只要证224ay cx xy +=由①②，得 22()()2ay cx a b c c a b ab ac bc +=+++=++， 24()()2xy a b b c ab b ac bc ab ac bc =++=+++=++，所以，224ay cx xy +=，于是命题得证. 3、由 tan()2tan αβα+= 得sin()2sin cos()cos αβααβα+=+，即sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+. ……①要证 3sin sin(2)βαβ=+即证 3sin[()]sin[()]αβααβα+-=++即证 3[sin()cos cos()sin ]sin()cos cos()sin αβααβααβααβα+-+=+++ 化简得sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+，这就是①式.所以，命题成立.说明：用综合法和分析法证明命题时，经常需要把两者结合起来使用. 2．3数学归纳法练习（P95）1、先证明：首项是1a ，公差是d 的等差数列的通项公式是1(1)n a a n d =+-. （1）当1n =时，左边＝1a ，右边＝11(11)a d a +-=，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时命题成立. （2）假设当n k =时，命题成立，即1(1)k a a k d =+-. 那么，11(1)[(1)1]k k k a a d a k d d a k d +=+=+-+=++-. 所以，当1n k =+时，命题也成立.根据（1）和（2），可知命题对任何n N *∈都成立. 再证明：该数列的前n 项和的公式是1(1)2n n n S na d -=+. （1）当1n =时，左边＝11S a =，右边＝111(11)12a d a ⨯-⨯+=，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时命题成立. （2）假设当n k =时，命题成立，即1(1)2k k k S ka d -=+.那么，1111(1)[(1)1]2k k k k k S S a ka d a k d ++-=+=++++-1(1)(1)[1]2k k a k d -=+++1(1)(1)2k kk a d +=++所以，当1n k =+时，命题也成立.根据（1）和（2），可知命题对任何n N *∈都成立. 2、略.习题2.3 A 组（P96） 1、（1）略.（2）证明：①当1n =时，左边＝1，右边＝211=，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时，等式成立.②假设当n k =时等式成立，即2135(21)k k ++++-= . 那么，22135(21)(21)(21)(1)k k k k k ++++-++=++=+ . 所以，当1n k =+时，等式也成立. 根据①和②，可知等式对任何n N *∈都成立.（3）略. 2、1111122S ==-⨯，2111111(1)()112232233S =+=-+-=-⨯⨯，3111111111(1)()()1122334223344S =++=-+-+-=-⨯⨯⨯. 由此猜想：111n S n =-+.下面我们用数学归纳法证明这个猜想. （1）当1n =时，左边＝111111222S ==-=⨯，右边＝11111122n -=-=+，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时，猜想成立. （2）假设当n k =时，猜想成立，即111111122334(1)1k k k ++++=-⨯⨯⨯++ .那么，11111111122334(1)(1)(2)1(1)(2)k k k k k k k +++++=-+⨯⨯⨯++++++ .111(1)12k k =--++121111122k k k k +-=-⋅=-+++ 所以，当1n k =+时，猜想也成立.根据（1）和（2），可知猜想对任何n N *∈都成立. 习题2.3 B 组（P96）1、略2、证明：（1）当1n =时，左边＝111⨯=，右边＝11(11)(12)16⨯⨯+⨯+=，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时，等式成立.（2）假设当n k =时，等式成立，即112(1)3(2)1(1)(2)6k k k k k k k ⨯+⨯-+⨯-++⨯=++ .那么，1(1)2[(1)1]3[(1)2](1)1k k k k ⨯++⨯+-+⨯+-+++⨯ .[12(1)3(2)1][123(1)]k k k k k =⨯+⨯-+⨯-++⨯++++++ 11(1)(2)(1)(2)62k k k k k =+++++1(1)(2)(3)6k k k =+++所以，当1n k =+时，等式也成立.根据（1）和（2），可知等式对任何n N *∈都成立.第二章复习参考题A 组（P98）1、图略，共有(1)1n n -+（n N *∈）个圆圈.2、333n个（n N *∈）.3、因为2(2)(1)4f f ==，所以(1)2f =，(3)(2)(1)8f f f ==，(4)(3)(1)16f f f ==…… 猜想()2n f n =.4、运算的结果总等于1.5、如图，设O 是四面体A B C D -内任意一点，连结A O ，B O ，C O ，D O 并延长交对面于A '，B '，C '，D '，则1O A O B O C O D A A B B C C D D ''''+++=''''用“体积法”证明： O A O B O C O D A A B B C C D D ''''+++''''O BC D O C D A O D AB O ABC A BC D B C D AC D ABD ABCV V V V V V V V --------=+++1A BC D A BC DV V --==6、要证 (1tan )(1tan )2A B ++=只需证 1tan tan tan tan 2A B A B +++=即证 t a n t a n 1t a n t A B A B +=- 由54A B π+=，得tan()1A B +=. ①又因为2A B k ππ+≠+，所以tan tan 11tan tan A B A B+=-，变形即得①式. 所以，命题得证.7、证明：（1）当1n =时，左边＝1-，右边＝1(1)11-⨯=-，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时，等式成立.（2）假设当n k =时，等式成立，即135(1)(21)(1)k k k k -+-++--=- .那么，1135(1)(21)(1)[2(1)1]k k k k +-+-++--+-+- .1(1)(1)[2(1)1]kk k k +=-+-+-1(1)[2(1)1]k k k +=--++- 1(1)(1)k k +=-+所以，当1n k =+时，等式也成立.根据（1）和（2），可知等式对任何n N *∈都成立.第二章复习参考题B 组（P47）1、（1）25条线段，16部分；（2）2n 条线段；（3）最多将圆分割成1(1)12n n ++部分.下面用数学归纳法证明这个结论.（第5题）①当1n =时，结论成立.②假设当n k =时，结论成立，即：k 条线段，两两相交，最多将圆分割成1(1)12k k ++部分当1n k =+时，其中的k 条线段12,,,k l l l 两两相交，最多将圆分割成1(1)12k k ++部分，第1k +条线段1k a +与线段12,,,k l l l 都相交，最多增加1k +个部分，因此，1k +条线段，两两相交，最多将圆分割成11(1)1(1)(1)(2)122k k k k k ++++=+++ 部分所以，当1n k =+时，结论也成立.根据①和②，可知结论对任何n N *∈都成立. 2、要证 cos 44cos 43βα-=因为 cos 44cos 4cos(22)4cos(22)βαβα-=⨯-⨯ 2212sin 24(12sin 2)βα=--⨯-222218sin cos 4(18sin cos )ββαα=--⨯- 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]ββαα=---⨯-- 只需证 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]3ββαα---⨯--= 由已知条件，得 sin cos sin 2θθα+=，2sin sin cos βθθ=，代入上式的左端，得 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]ββαα---⨯-- 2238sin cos (1sin cos )32sin (1sin )θθθθαα=---+-2238sin cos 8sin cos 2(12sin cos )(32sin cos )θθθθθθθθ=--+++- 222238sin cos 8sin cos 68sin cos 8sin cos θθθθθθθθ=--++-+ 3= 因此，cos 44cos 43βα-=。

人教a版数学【选修2-2】备选练习：2.1.1 合情推理(含答案)

选修2-2第二章 2.1 2.1.1第1课时1．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是()A．白色B．黑色C．白色的可能性大D．黑色的可能性大[答案] A[解析]由图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．2．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位子上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2011次互换座位后，小兔的座位对应的是()A．编号1 B．编号2C．编号3 D．编号4[答案] D[解析]归纳得，四个小动物在换座过程中，每换座四次与原来的一样，即以4为周期，因此在2011次换座后，四个小动物的位置应该和第三次换座后的位置一样，即小兔的座位对应的编号为4，故选D.3．平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列{a n}，则下列结论正确的是()①a5＝15；②数列{a n}是一个等差数列；③数列{a n}是一个等比数列；④数列{a n}的递推关系是a n＝a n－1＋n(n∈N*)．A．①②④B．①③④C．①②D．①④[答案] D[解析] 由于a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，所以有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4.因此必有a 5－a 4＝5，即a 5＝15，故①正确．同时④正确，而{a n }显然不是等差数列也不是等比数列，故②③错误，故选D.4．在一容器内装有浓度为r %的溶液a 升，注入浓度为p %的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n (每次注入的溶液浓度都是p %)，计算b 1、b 2、b 3，并归纳出b n 的计算公式．[解析] b 1＝a ·r 100＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎝⎛⎭⎫45r ＋15p ，b 2＝ab 1＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫452r ＋15p ＋452p . b 3＝a ·b 2＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫453r ＋15p ＋452p ＋4253p ， ∴归纳得b n ＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫45n r ＋15p ＋452p ＋…＋4n －15n p .5．(2014·洛阳市高二期中)观察等式： sin50°＋sin20°＝2sin35°cos15° sin66°＋sin32°＝2sin49°cos17°猜想符合以上两式规律的一般结论，并进行证明． [解析] 猜想：sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.下面证明：左边＝sin(α＋β2＋α－β2)＋sin(α＋β2－α－β2)＝(sin α＋β2cos α－β2＋cos α＋β2sin α－β2)＋(sin α＋β2cos α－β2－cos α＋β2sin α－β2)＝2sin α＋β2cos α－β2＝右边．所以原等式成立．。

选修2-2合情推理练习

合情推理练习（45分钟，满分100分)姓名学号班级 1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式n a 等于（） A ．n 2B ．12+nC ．12-nD ．12+n2．数列2，5，9，14，20，x ，35，…中的x 等于（） A ．25 B 。

26 C 。

27 D 。

283.下面使用类比推理正确的是（） A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅” C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a b cc c+=+ （c ≠0）”D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n na ab +=+n （b ）” 4、当=n 1，2，3，4，5，6时，比较n 2和2n 的大小并猜想（）A.1≥n 时，22n n >B. 3≥n 时，22n n >C. 4≥n 时，22n n >D. 5≥n 时，22n n >5、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n a n S a 21,1== *N n ∈，试归纳猜想出n S 的表达式为（）6.设)()(,sin )('010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x = '1()()n n f x f x +=，n ∈N ，则2007()f x =（） A.sin x B.－sin xC.cos xD.－cos x7．数列1，12，11111111,,,,,,2,3334444，。

前100项的和等于（） A . 91314 B. 1113141.1414C 3.1414D8．在等差数列{}n a 中，122n n n a a a ++=+成立。

类比上述性质，在等比数列{}n b 中，有（） A ．122n n n b b b ++=+ B 。

【推荐】高中数学选修22第2章《推理与证明》单元测试题

选修2-2第二章《推理与证明》单元测试题一.选择题: （以下题目从4项答案中选出一项，每小题5分，共50分） 1. 集合P ={1, 4, 9, 16…}，若a ∈P , b ∈P 则a ⊕b ∈P ，则运算⊕可能是（） A ．加法 B ．减法 C ．除法 D ．乘法2. 若平面四边形ABCD 满足0AB CD +=,()0AB AD AC -⋅=,则该四边形一定是（） A ．直角梯形 B ．矩形 C ．正方形 D ．菱形3.给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）： ①“若a,b b a b a R =⇒=-∈0,则”类比推出“若a,b b a b a C =⇒=-∈0,则”； ②“若a,b,c,d d b c a di c bi a R ==⇒+=+∈,,则复数”类比推出“若a,b,c,d ,Q ∈ 则d b c a d c b a ==⇒+=+,22”；③“若a,b b a b a R >⇒>-∈0,则” 类比推出“若a,b b a b a C >⇒>-∈0,则”；其中类比结论正确的个数是（） (A)0 (B)1 (C)2(D)34.平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到(3)n n ≥维向量，n 维向量可用 123(,,,,)n x x x x 表示.设123(,,,,)n a a a a a =,123(,,,,)n b b b b b =,规定向量a 与b 夹角θ的余弦为∑∑∑====n i ni i i ni ii b a ba 11221))((cos θ.当(1,1,1,1)a =,(1,1,1,1)b =--时，cos θ=（）A ．n n 1- B ．nn 3- C ．n n 2- D ．n n 4- 5. 下列函数中，在区间02π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数且以π为周期的函数是（）A ．sin2xy = B ． sin y x = C ． tan y x =- D ． cos 2y x =- 6. 若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为 y =x 2、值域为{0,4}的“同族函数”共有( )个. A. 2 B. 3 C. 4 D.无数7.对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上确界,若 ,,1a b R a b +∈+=且，则122a b--的上确界为（） A ．92 B ．92- C ．41D ．4- 8.如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点。

数学选修2-2自主练习：2.1.1合情推理含解析精品

自主广场我夯基我达标1.根据给出的数塔猜测123 456×9+7等于( )1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=1 1111234×9+5=11 111A.1 111 110B.1 111 111C.1 111 112D.1 111 113 思路解析：注意观察，寻找规律答案:B2.我们把1、4、9、16、25、…这些数称为正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形，如图2-1-4所示，则第n个正方形数是( )图2-1-4A.n(n-1)B.n(n+1)C.n2D.(n+1)2思路解析：1、4、9、16、25分别为序号的平方，所以第n个正方形数为n2答案:C3.定义A*B、B*C、C*D、D*B分别对应图2-1-5中的图形：图2-1-5则下列图形中可以表示A*D、A*C的分别是( )图2-1-6A.(1)(2)B.(2)(3)C.(2)(4)D.(1)(4)思路解析：注意观察分析、辨别，找到A、B、C、D分别对应的图形，A为竖线，B为大正方形，C为横线，D为小正方形答案:C4.已知f1(x)=cosx,f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),f4(x)=f3′(x)，…，f n(x)=f n-1′(x)，则f2006(x)等于( )A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx思路解析：f1(x)=cosx,f2(x)=f1′(x)=-sinx,f3(x)=f2′(x)=-cosx,f4(x)=f3′(x)=sinx, f5(x)=f5′(x)=cosx……再继续下去会重复出现，周期为4，∴f2006(x)=f2(x)=-sinx.答案:B5.三角形的面积为S=)(21c b a ++r,a 、b 、c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( ) A.V=abc 31B.V=Sh 31 C.V=31(S 1+S 2+S 3+S 4)r(S 1、S 2、S 3、S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径) D.V=31(ab+bc+ac)h(h 为四面体的高) 思路解析：三角形ABC 的内心为O ，连结OA 、OB 、OC ，将OABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a 、b 、c ，类比：设四面体A —BCD 的内切球球心为O ，连结OA 、OB 、OC 、OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r ，所以有V=31(S 1+S 2+S 3+S 4)r 答案:C6.已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S=2高底⨯，可推知扇形面积公式S 扇等于( ) A.22r B.22l C.2lr D.不可类比思路解析：我们将扇形的弧类比为三角形的底边，则高为扇形的半径r ，∴S 扇=lr 21. 答案:C7.观察图2-1-7所示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )图2-1-7思路解析：观察可知，每一行，每一列分别都有方形、圆形、三角形，并且各有一白两黑. 答案:A8.图2-1-8所示为一串白黑相间排列的珠子，第36颗珠子应是什么颜色的？图2-1-8思路解析：观察规律为三白两黑，5个周期，第36颗与第1颗颜色一致答案:白色.我综合我发展9.经计算发现下列不等式：,1025.155.4,102182<+<+21723-++ 102<，…根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a 、b 都成立的条件不等式：______________. 思路解析：各不等式右边相同，左边两根号内的数之和等于20答案:当a+b=20时，有b a +≤102,a 、b ∈R +10.由“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是_________________.思路解析：等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比.答案:各侧面与底面所成二面角相等，各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等11.类比圆的下列特征，找出球的相关特征：(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆；(2)平面内不共线的3个点确定一个圆；(3)圆的周长与面积可求；(4)在平面直角坐标系中，以点(x 0,y 0)为圆心，r 为半径的圆的方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2=r 2. 思路分析：类比要抓住共同特征，从已有的知识中提出新问题，发现新问题解：(1)在空间内与定点距离等于定长的点的集合是球；(2)空间中不共面的4个点确定一个球；(3)球有面积与体积；(4)在空间直角坐标系中，以点(x 0,y 0,z 0)为球心，r 为半径的球的方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2+(z-z 0)2=r 2.。

数学人教B选修2-2学案：第二章1 合情推理含答案

数学人教B选修2-2第二章2.1.1 合情推理1．理解合情推理的含义，能利用归纳推理和类比推理进行简单的推理．2．体会并认识合情推理在数学发现中的重要作用．1．推理的结构与合情推理(1)从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做______；一部分是由已知推出的判断，叫做______．(2)前提为真时，结论______为真的推理，叫做合情推理．推理也可以看作是用连接词将前提和结论逻辑的连接，常用的连接词有：“因为……所以……”；“根据……可知……”；“如果……那么……”等．【做一做1】下列说法正确的是()．A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论无法判定正误2．归纳推理(1)根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做________(简称______)．(2)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．归纳推理的特点：(1)归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；(2)归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的；(3)人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一不定期的事实材料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行；(4)归纳推理能够发现前的事实、获得新结论，是科学发现的重要手段。

【做一做2－1】数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于()．A．28 B．32 C．33 D．27【做一做2－2】已知等式sin230°＋sin230°＋sin 30°·sin 30°＝34，sin240°＋sin220°＋sin40°·sin 20°＝34，下面的等式中具有一般性且包含了已知等式的是()．A．sin2α＋sin2(60°－α)＋sin α·sin(60°－α)＝3 4B．sin2α＋sin2(60°＋α)＋sin α·sin(60°＋α)＝3 4C ．sin 2(60°＋α)＋sin 2(60°－α)＋sin(60°＋α)·sin(60°－α)＝34D ．sin 2α＋sin 2α＋sin α·sin α＝343．类比推理(1)根据____________之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做________(简称______)．它属于合情推理．(2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．类比推理有以下几个特点：(1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性之中，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；(3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．【做一做3－1】在平面内，两条相交直线将整个平面分成四部分，类似地，在空间，两个相交平面将整个空间分成________．【做一做3－2】十进制中，2 004＝4×100＋0×101＋0×102＋2×103，那么在五进制中，数码2 004折合成十进制为( )．A ．29B ．254C ．602D ．2 004归纳推理的一般步骤是什么？剖析：(1)实验、观察：通过观察个别事物发现某些相同性质．(2)概括、推广：从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题，并且在一般情况下，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．(3)猜测一般性结论：通过实例去分析、归纳问题的一般性结论．题型一归纳推理【例题1】在一容器内装有浓度为r %的溶液a 升，注入浓度为p %的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n (每次注入的溶液浓度都是p %)，计算b 1，b 2，b 3，并归纳出b n 的计算公式．反思：归纳法是获得数学结论的一条重要途径，运用不完全归纳法通过观察、实验，从特例中归纳出一般性结论，形成猜想．题型二类比推理【例题2】在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，且cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．分析：考虑到平面几何中为长方形，故可联想到立体几何中的长方体．反思：(1)类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳，提出猜想．(2)也可类比为：长方体的体对角线与同顶点出发的三个面所成的角分别为α，β，γ，则有cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.(3)(2)中的结论是不对的，实际上此时cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2，由此可知类比的结论不是唯一的，也不一定正确．题型三易错辨析易错点：在进行类比推理时，由于类比的相似性少或被一些表面现象迷惑导致类比结论错误，解决这类问题的关键是：先充分认识两类事物的相同(或相似)之处，充分考虑其中的本质联系，再进行类比．错解一：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各棱长之和的乘积的13.错解二：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面积之和的乘积的12.1已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33等于( )． A ．3 B ．－3 C ．6 D ．－62已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝12×底×高，可推知扇形的面积公式S 扇等于( )．A ．r 22B ．l 22C ．12lr D ．不可类比3对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是正四面体内任意一点到各面的距离之和( )．A ．为定值B ．为变数C ．有时为定值，有时为变数D ．与正四面体无关的常数4如图所示，由火柴杆拼成的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n 个图形中，火柴杆有________根．5设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．答案：基础知识·梳理1．(1)前提结论 (2)可能【做一做1】B2．(1)归纳推理归纳【做一做2－1】B ∵5＝2＋3×1,11＝5＋3×2,20＝11＋3×3，∴x ＝20＋3×4＝32. 【做一做2－2】A 等式右边为34，左侧两角和为60°.3．(1)两类不同事物类比推理类比【做一做3－1】四部分【做一做3－2】B 找到十进制与五进制的相似之处．十进制中由低到高的单位依次为100,101,102，…，五进制中由低到高的单位依次为50,51,52，…，那么在五进制中2 004＝4×50＋0×51＋0×52＋2×53＝4＋2×53＝4＋250＝254，∴五进制中的数码2 004折合成十进制为254.故选B.典型例题·领悟【例题1】解：由题意可得， b 1＝a ·r 100＋a 4·p100a ＋a 4＝1100⎝⎛⎭⎫45r ＋15p ， b 2＝ab 1＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫452r ＋15p ＋452p ， b 3＝a ·b 2＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫453r ＋15p ＋452p ＋4253p ，所以归纳得b n ＝1100⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫45n r ＋15p ＋452p ＋…＋4n －15n p . 【例题2】解：在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：如图，cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ ＝⎝⎛⎭⎫m l 2＋⎝⎛⎭⎫n l 2＋⎝⎛⎭⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l2＝1. 【例题3】错因分析：错解一中“三角形周长”的类比错误，错解二中“12”的类比错误．“三角形周长”应类比为“三棱锥的各面面积之和”；“12”应类比为“13”．正解：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面积之和的乘积的13.随堂练习·巩固1．A 由题意可得，a 1＝3，a 2＝6，a 3＝3，a 4＝－3，a 5＝－6，a 6＝－3，a 7＝3，a 8＝6，归纳出每6项一个循环，则a 33＝a 3＝3.2．C 由扇形的弧长与半径类比于三角形的底与高，可得S 扇＝12lr .3．A4．13 3n ＋15．32 ∵f (x )＋f (1－x )＝12x ＋2＋121－x ＋2＝12x ＋2＋2x2＋2·2x ＝12， ∴f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝6×12＝3 2.。

高中数学选修2-2单元配套练习试题2.1.1合情推理及参考答案解析

2.1.1合情推理姓名:___________班级:______________________一、选择题1.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“=mn nm ”类比得到“=⋅⋅a b b a ” ;②“()=m n t mt nt ++”类比得到“()+⋅=⋅+⋅a b c a c b c ” ; ③“()()=m n t m n t ⋅⋅”类比得到“()()⋅⋅=⋅⋅a b c a b c ” .以上式子中,类比得到的结论正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.32.观察如图所示图形的规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A.B.△C.▭D.○3.[]x 表示不超过x 的最大整数,例如:[π]3=.1233,10,21,,S S S =++==++++==++++++=依此规律,那么10S =( )A.210B.230C.220D.2404.在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,按图所标边长,由勾股定理有222c a b=+,设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O LMN -,如果用123,,S S S 表示三个侧面面积,4S 表示截面面积,那么你类比得到的结论是( )A. 3214S S S S ++=B. 23222124S S S S ++=C. 33323134S S S S ++=D. 43424144S S S S ++=5.已知3,8+01=则推测=+b a ( ) A.109 B.1033 C.199 D.296.设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c,△ABC 的面积为S,内切圆半径为r,则2Sr a b c=++;类比这个结论可知:四面体P －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4,内切球的半径为r,四面体P －ABC 的体积为V,则r ＝( ) A.1234V S S S S +++ B.12342VS S S S +++C.12343V S S S S +++ D.12344VS S S S +++7.观察下列各式:5675=3125,5=15625,5=78125，,则20165的末四位数为( )A.3125B.5624C.0625D.81258.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:他们研究过图(1)中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,所以将其称为三角形数;类似地,称图(2)中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A.289B.1 024C.1 225D.1 378二、填空题9.观察下列式子:1＝12,13+23＝32,13+23+33＝62,13+23+33+43＝102,…,根据以上式子可猜想:13+23+33+…+n 3＝ .的角分别为α1,α2,α3,△SBC,△SAC,△SAB的面积分别为S1,S2,S3,类比三角形中的正弦定理,给出空间图形的一个猜想是 .11.观察分析下表中的数据,猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是 .三、解答题12.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.22+sin45cos75+sin45cos75,22sin36cos66+sin36cos66,+22+sin15cos45+sin15cos45,22-+-sin(15)cos15+sin(15)cos15,22sin(45)cos(15)+sin(45)cos(15).-+---(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.13.如图所示,在△ABC中,a＝b·cos C＋c·cos B,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边,在四面体PABC中,S1,S2,S3,S分别表示△PAB,△PBC,△PCA,△ABC的面积,α,β,γ依次表示面PAB,面PBC,面PCA与底面ABC所成二面角的大小.写出对四面体性质的猜想,并证明你的结论14.一种十字绣作品由相同的小正方形构成,图①,②,③,④分别是制作该作品前四步时对应的图案,按照此规律,第n 步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为)(n f .(1)求出)2(f ,)3(f ,)4(f ,)5(f 的值;(2)利用归纳推理,归纳出)1( n f 与)(n f 的关系式; (3)猜想)(n f 的表达式,并写出推导过程.参考答案1.C【解析】根据数量积的运算性质知①②是正确的,等式()()⋅⋅=⋅⋅a b c a b c 中,等号左边表示与向量c 共线的向量,等号右边表示与向量a 共线的向量,二者不一定相等,故③错误,故选C.考点:类比推理. 2.A【解析】图形涉及○、△、▭三种符号,其中△与○各有3个,且各自有两黑一白,所以缺一个黑色▭符号. 考点:归纳推理. 3.A【解析】观察可得123,,S S S 分别含3项,5项,7项,则10S 应含21项,所以101021210S =⨯=.考点:归纳推理及取整函数. 4.B【解析】从平面图形到空间图形的类比,三角形类比空间中的三棱锥,线段的长度类比图形的面积,于是猜想22224123S S S S =++.考点:类比推理. 5.A【解析】分析所给的等式,=(n≥2且n 是正整数),在=,10a =,210199b =-=,于是109a b +=.故选A. 考点:归纳推理.【答案】C【解析】△ABC 的三条边长a 、b 、c 类比为四面体P －ABC 的四个面面积S 1、S 2、S 3、S 4,三角形面积公式中系数12,类比为三棱锥体积公式中系数13,从而可知选C. 证明如下:以四面体各面为底,内切球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为V,∴V ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r,∴r ＝12343V S S S S +++.考点:类比推理.7.C【解析】由56789105=3125,5=15625,5=781255390625,51953125,59765625,===，可以看出这些幂的最后四位是以4为周期进行变化的,因此20165的末四位数0625,故选C.考点:归纳推理. 8.C【解析】记三角形数构成的数列为{a n },则a 1＝1,a 2＝3＝1＋2,a 3＝6＝1＋2＋3,a 4＝10＝1＋2＋3＋4,可得通项公式为a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝()12n n +. 同理可得正方形数构成的数列的通项公式为b n ＝n 2.将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式,使得n 都为正整数的只有1 225. 考点:归纳推理.9.()212n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据题意,分析题干所给的等式可得:()233212123+=+=, ()233321231236++=++=, ()2333321234123410+++=+++=,…归纳可得()()22333331123412342n n n n +⎡⎤+++++=+++++=⎢⎥⎣⎦. 考点:归纳推理. 10.312123sin sin sin S S S ααα== 【解析】在△DEF 中,由正弦定理,得sin sin sin d e fD E F==.于是,类比三角形中的正弦定理,在四面体S ﹣ABC 中,我们猜想312123sin sin sin S S S ααα==成立. 考点:类比推理.11.2F V E +-=【解析】题表中的3个多面体都满足2F V E +-=,所以可以猜想:凸多面体的面数F 、顶点数V 和棱数E 满足如下关系2F V E +-=. 考点:归纳推理. 12.(1)34(2)见解析【解析】(2)三角恒等式:22ππ3sincos sin cos =664αααα⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.证明如下:左边1π11cos 21cos 2cos 2sin 223422αααα⎡⎤-⎛⎫=++-+-⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1111131cos 2sin 2cos 22cos 21.22244444ααααα⎛⎫=+--+-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭ 考点:归纳推理.13.S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ【解析】类比三角形中的结论,猜想在四面体中的结论为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.证明:如图,设P 点在底面的射影为O 点,过O 点作OH AB ⊥,交AB 于H ,连接,,PH OA OB ,PHO ∠就是平面PAB 与底面ABC 所成的二面角,则PHO α∠=, 11,22AOBPAB S AB OH S AB PH ∆∆=⨯⨯=⨯⨯,1cos cos ,AOB S OH PHO PH S α∆=∠== 1cos ,AOB S S α∆∴=同理,23cos ,cos COB AOC S S S S βγ∆∆==,又AOB COB AOC S S S S ∆∆∆=++,∴S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ. 考点:类比推理.14.(1)5,13,25,41(2)()()14f n f n n +-=(3)()2*221,f n n n n =-+∈N【解析】(1)由题图可得()25f =,()313f =,()425f =,观察题图可得()5162941f =⨯+=.(2)()()21441f f -==⨯,()()32842f f -==⨯, ()()431243f f -==⨯,()()541644f f -==⨯,……归纳:()()14f n f n n +-=. (3)由(2)知()()21441f f -==⨯,()()32842f f -==⨯, ()()431243f f -==⨯, ()()541644f f -==⨯,……()()()141f n f n n --=-,以上各式相加得()()()()()211111412344222n n f n f n n n +---=++++=⨯=-⎡⎤⎣⎦⋯+-,又()11f =,所以()2*221,f n n n n =-+∈N .考点:数列递推式;归纳推理.。

数学人教A版选修2-2自我小测：2.1 合情推理与演绎推理(第1课时)

自我小测1．下列说法正确的是()A．合情推理就是正确的推理B．合情推理就是归纳推理C．归纳推理就是从一般到特殊的推理D．类比推理就是从特殊到特殊的推理2．在平面直角坐标系内，方程xa＋yb＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的直线方程为()A．xa＋yb＋zc＝1 B．xab＋ybc＋zac＝1C．xyab＋yzbc＋zxac＝1 D．ax＋by＋cz＝13．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n}的前4项，则这个数列的一个通项公式为()A．a n＝3n－1B．a n＝3nC．a n＝3n－2n D．a n＝3n－1＋2n－34．如图所示，n个连续自然数按规律排列如下：根据规律，从2 004到2 006的箭头方向依次为()A．→↑B．↑→C．↓→D．→↓5．在数学解题中，常会碰到形如“x＋y1－xy”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足a sinπ5＋b cosπ5a cosπ5－b sinπ5＝tan8π15，则ba＝()A．4 B．15 C．2 D． 36．设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，__________，__________，T 16T 12成等比数列．7．设{a n }是首项为1的正数项数列，且(n ＋1)a n ＋12－na n 2＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，经归纳猜想可得这个数列的通项公式为__________．8．在平面中△ABC 的角C 的内角平分线CE 分△ABC 面积所成的比S △AEC S △BEC ＝AC BC，将这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 交于E ，则类比的结论为__________．9．已知sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32，通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明．10．在矩形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，则cos 2α＋cos 2β＝1，在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明．参考答案1．解析：归纳推理和类比推理统称为合情推理，合情推理得到的结论不一定正确，故选项A ，B 错误；因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，故选项C 错误；类比推理就是从特殊到特殊的推理，故选项D 正确．答案：D2．C3．解析：∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，a 4＝27，∴猜想a n ＝3n －1.答案：A4．解析：观察总结规律为：以4个数为一个周期，箭头方向重复出现．因此，2 004到2 006的箭头方向和0到2的箭头方向是一致的．故选C ．答案：C5．解析：将已知式变形，得a sin π5＋b cos π5a cos π5－b sin π5＝a tan π5＋b a －b tan π5＝tan π5＋b a 1－b a tan π5＝tan 8π15，类比正切的和角公式，即tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，可知只有当b a ＝tan π3＝3时，上式成立．答案：D6．解析：将等差数列中的运算类比等比数列中的运算时，加法类比于乘法，减法类比于除法，故可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．答案：T 8T 4 T 12T 87．解析：由首项为1，得a 1＝1；当n ＝1时，由2a 22－1＋a 2＝0，得a 2＝12；当n ＝2时，由3a 32－2⎝⎛⎭⎫122＋12a 3＝0，即6a 32＋a 3－1＝0，解得a 3＝13； …归纳猜想该数列的通项公式为a n ＝1n(n ∈N *)．答案：a n ＝1n(n ∈N *) 8．解析：平面中的面积类比到空间为体积，故S △AEC S △BEC 类比成V A －CDE V B －CDE .平面中的线段长类比到空间为面积，故AC BC 类比成S △ACD S △BCD. 故有V A －CDE V B －CDE ＝S △ACD S △BDC. 答案：V A －CDE V B －CDE ＝S △ACD S △BDC9．解：通过观察可得一般性的命题为sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝32. 证明如下：左边＝1－cos(2α－120°)2＋1－cos 2α2＋1－cos(2α＋120°)2＝32－12[cos(2α－120°)＋cos 2α＋cos(2α＋120°)] ＝32－12(cos 2αcos 120°＋sin 2αsin 120°＋cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°) ＝32＝右边，所以该一般性的命题成立． 10．解：如图①，在矩形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1. 于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：如图②，cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝⎛⎭⎫m l 2＋⎝⎛⎭⎫n l 2＋⎝⎛⎭⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1.小课堂：如何培养学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

高中数学第二章推理与证明2_1_1合情推理自我小测新人教B版选修22

高中数学第二章推理与证明 2.1.1 合情推理自我小测新人教B版选修2-21．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想：第n (n ∈N ＋)个等式应为( )A ．9(n ＋1)＋n ＝10n ＋9B ．9(n －1)＋n ＝10n －9C ．9n ＋(n －1)＝10n －1D ．9(n －1)＋(n －1)＝10n －102．关于实数的二元一次方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝b 的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b2，y ＝a －b2，类比向量，则向量方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝b的解为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋b 2y ＝a －b2B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －b 2y ＝a ＋b2C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2y ＝a －b2D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2y ＝a －b23．观察下列式子：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，…，由此可归纳出第n个式子为：1＋122＋132＋…＋1n ＋12＜( ) A.2n ＋1n B.2n －1n ＋1C.2n －1n D.2n ＋1n ＋14．有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9，11}；第四组含四个数{13,15,17,19}，以此类推．试观察每组内各数之和与其组的编号数n 的关系为每组内各数之和等于( )A ．n 2B ．n3C ．n 4D ．n (n ＋1)5．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为__________．6．给出若干数：2＋23，3＋38，4＋415，5＋524，…，由此猜测第n 个数为__________．7．已知{b n }为等比数列，且b 5＝3，则b 1b 2b 3…b 9＝39；若{a n }为等差数列，且a 5＝3，则在{a n }中类似的结论是________．8．经计算发现下列正确的不等式：2＋18＜210， 4.5＋15.5＜210，3＋2＋17－2＜210，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 成立的不等式__________．9．观察下列各式： 1＝1， 1＋11＋2＝43， 1＋11＋2＋11＋2＋3＝64， 1＋11＋2＋11＋2＋3＋11＋2＋3＋4＝85. 由上述等式能得出怎样的结论？请写出结论，并证明．10．我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？ (1)类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义．(2)若{a n }是等积数列，且首项a 1＝2，公积为6，试写出{a n }的通项公式及前n 项和公式．11．如图，在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，且cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．参考答案1．答案：B 2．答案：A3．解析：32＝2×1＋11＋1，53＝2×2＋12＋1，74＝2×3＋13＋1，因此可归纳第n 个式子中不等号右边应为2n ＋1n ＋1.答案：D4．解析：1＝13； 3＋5＝8＝23； 7＋9＋11＝27＝33； 13＋15＋17＋19＝64＝43； …猜想第n 组各数之和应等于n 3.所以选B 项．答案：B5．解析：类比即可得到，或者由正四面体体积公式V ＝212a 3也可得到．答案：1∶86．解析：观察各数规律，猜测第n 个数应为n ＋1＋n ＋1n ＋12－1.答案：n ＋1＋n ＋1n ＋12－17．解析：a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 5＝9×3. 答案：a 1＋a 2＋…＋a 9＝9×38．解析：各不等式右边相同，左边两根号内的数之和为20，故当a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝20时，有a ＋b ＜210.答案：若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝20，则a ＋b ＜2109．解：通过观察上面给出的各个式子，可以发现这些等式中蕴涵的基本规律，这个规律可以用一个等式来表示，即1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2n n ＋1(n ∈N ＋)．这一结论的证明如下：由于11＋2＋3＋…＋n ＝2nn ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1. 10．解：(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积．(2)由于{a n }是等积数列，且首项a 1＝2，公积为6，所以a 2＝3，a 3＝2，a 4＝3，a 5＝2，a 6＝3，…，即{a n }的所有奇数项都等于2，偶数项都等于3，因此{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数.其前n 项和公式S n＝⎩⎪⎨⎪⎧5n2，n 为偶数，5n －12＋2＝5n －12，n 为奇数.11．解：由题图知，在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1. 证明如下：如图，cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1.。

人教版高中数学选修2-2学业测评：2.1.1合情推理

学业分层测评(建用： 45 分 )[ 学达 ]一、1．(2016 厦· 高二 )用火柴棒“金”，如 2-1-7 所示：2-1-7依据上边的律，第n 个“金” 需要火柴棒的根数()A．6n－ 2B．8n－ 2C．6n＋ 2D．8n＋ 2【分析】察易知第 1 个“金” 中需要火柴棒8 根，而第 2 个“金” 中比第 1 个“金” 中多的部分需要火柴棒 6 根，第 3 个“金” 中比第 2 个“金” 中多的部分需要火柴棒 6 根⋯⋯由此可猜第 n 个“金” 需要火柴棒的根数比第 n－1 个“金” 需要火柴棒的根数多 6，即各个“金” 需要火柴棒的根数成以 8 首， 6 公差的等差数列，易求得通公式a n＝6n＋2.【答案】C2．数列－ 3,7，－ 11,15，⋯的通公式可能是 ()n＝4n－7A．an＝(－1)n(4n ＋1)B．an＝(－1)n(4n－1)C．an＋1－n＝(－1)1)D．a(4n【分析】当数列中、正交替出，用(－1)n来控制；假如正、n＋ 1来控制．交替出，用 (－1)【答案】C3．定 A*B，B* C，C* D，D*B 挨次以下 4 个形：图 2-1-8那么以下 4 个图形中，能够表示 A* D，A* C 的分别是 ()A．(1)，(2)B．(1)，(3)C．(2)，(4)D．(1)，(4)【分析】由①②③④可概括得出：符号“*”表示图形的叠加，字母 A 代表竖线，字母 B 代表大矩形，字母 C 代表横线，字母 D 代表小矩形，∴A* D 是(2)，A* C 是(4)．【答案】C4．以下推理正确的选项是 ()A．把 a(b＋c)与 log a(x＋y)类比，则 log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．把 a(b＋ c)与 sin(x＋ y)类比，则 sin(x＋ y)＝sin x＋siny C．把 (ab)n与 (x＋y)n类比，则 (x＋y)n＝x n＋y nD．把 (a＋b)＋c 与 (xy)z 类比，则 (xy)z＝ x(yz)【分析】 A 错误，由于 log a x＋ log a y＝ log a xy(x>0， y>0)；B错误，由于 sin(x＋ y) ＝sin xcos y＋ cos xsin y；C错误，如当 n＝2 时，若 xy≠0，则 (x＋ y)2＝x2＋ 2xy＋y2≠x2＋y2；D正确，类比的是加法、乘法的联合律．【答案】D5．给出以下等式：1×9＋2＝11，12×9＋3＝111，123×9＋ 4＝ 1 111， 1 234 ×9＋ 5＝ 11 111， 12 345 ×9＋6＝111 111， ⋯猜 123 456 ×9＋7 等于 ( )A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113【分析】由中出的等式猜，是各位数都是 1 的七位数，即 1 111 111.【答案】B二、填空．已知 2 ＋2＝2· 2，3＋3＝3· 3，4＋ 4 ＝4·4，⋯.若633 881515a＝8· a8＋ t t (a ，t 均正数 )，比以上等式，可推a ， t 的， a ＋t＝ ________.2【分析】由所等式知， a ＝ 8， t ＝8 － 1＝ 63，∴ a ＋ t ＝71.7．n 正整数，1 1 1f(n)＝1＋2＋3＋⋯＋ n ，算得3 5f(2)＝2，f(4)>2， f(8)>2，f(16)>3，察上述果，可推一般的 __________. 【学号： 60030050】【分析】3 4 5 6∵ f(2)＝2，f(4)>2＝2，f(8)>2，f(16)>3＝2，∴由此可推一般性nn ＋2的 f(2 )≥ 2 .n n ＋ 2【答案】f(2 ) ≥ 2．于命 “假如是段上一点，→ →→ → ＝ 0”，将它O AB· ＋|OA8| OB| OA| OB ·→ → →比到平面的情况是：若 O 是△ ABC 内一点，有 S △ OBC ·＋S △ OCA · ＋S △ OBA ·OA OB OC＝ 0 ，将它比到空的情况：若O 是四周体 ABCD 内一点，有．【分析】依据比的特色和律，所得形式上一致，又段比平面，平面比到空，又段比三角形面，再比成四周体的体，故能够比→→→→＝0.O-BCD＋V O-ACD ·＋V O-ABD ·＋V O-ABC ·V ·OA OB OC OD【答案】→→ → →＝0V O-BCD ·＋V O-ACD ·＋V O-ABD ·＋V O-ABC ·OA OBOCOD三、解答9．平面中的三角形和空中的四周体有好多相似的性，比如在三角形中：(1)三角形两之和大于第三．1(2)三角形的面S ＝ 2×底×高．1(3)三角形的中位平行于第三且等于第三的2.⋯比上述性，写出空中四周体的有关．【解】由三角形的性，可比得空四周体的有关性：(1)四周体的随意三个面的面之和大于第四个面的面．1(2)四周体的体V ＝ 3×底面 ×高．1(3)四周体的中位面平行于第四个面且面等于第四个面的面的4.10．某少量民族的刺有着悠长的史，如 2-1-9(1)、(2)、(3)、(4) 她刺最的四个案，些案都由小正方形组成，小正方形数越多刺越美丽，按同的律刺 (小正方形的放律同样 )，第 n 个形包括 f(n)个小正方形．2-1-9(1)求出 f(5)；(2)利用合情推理的 “ 推理思想 ” 出 f(n ＋ 1)与 f(n)的关系式，并依据你获得的关系式求f(n)的表达式．【解】(1)∵f(1)＝1， f(2)＝5，f(3)＝13，f(4) ＝25，∴f(5)＝25＋4×4＝41.(2)∵ f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，由上式律得出 f(n＋1)－ f(n)＝ 4n.∴f(2)－f(1)＝ 4×1，f(3)－f(2)＝4×2，f(4)－f(3)＝4×3，⋯f(n－ 1)－f(n－2)＝4·(n－ 2)，f(n)－f(n－1)＝4·(n－ 1)．∴f(n)－f(1)＝ 4[1＋ 2＋⋯＋(n－ 2)＋(n－1)]＝2(n－1) ·n，∴f(n)＝2n2－ 2n＋1.[ 能力提高 ]1．察以下各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，⋯能够得出的一般是 ()2A．n＋(n＋ 1)＋(n＋2)＋⋯＋(3n－2)＝ nB．n＋(n＋1)＋ (n＋2)＋⋯＋(3n－2)＝ (2n－ 1)2C．n＋(n＋ 1)＋ (n＋2)＋⋯＋(3n－1)＝ n2D．n＋(n＋ 1)＋(n＋2)＋⋯＋(3n－1)＝ (2n－1)2【分析】察已知等式，第 n 个等式左都是 2n－1 个数相加，第 1 个数是 n ，等式右是 (2n － 1)2.由此可得一般：n ＋(n ＋1)＋ (n ＋2)＋⋯ ＋(3n －2)＝ (2n － 1)2，故 B.【答案】B．已知，由不等式114xx 4 3 x x 4 x>0 ＋ ≥2＝2，x ＋ 2＝＋＋2≥322xxx ·x2 2 x·· ＝3，⋯x2 2 xa∈*，＝我能够得出推行 x ＋≥＋x n 1(nN ) a ()A ．2nB ．n 2C ．3nD ．n n【分析】11∵x ＋ ≥x ·＝2，x 2 x4 x x 43 x x 4x ＋ 2＝＋＋ 2≥3··2＝3.x 2 2 x2 2 x⋯an n由此猜想， x ＋x n ＝＋ x n ≥n ＋ 1，xn 个 n因此 a ＝n n ， D.【答案】D3．在 Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ， △ ABC 的外接半径r ＝ a 2＋ b 2，将此比到空，获得相似的：________. 【学号：260030051】【分析】利用比推理，可把 Rt △ ABC 比三棱 P-ABC ，且 PA ，PB ，PC 两两垂直，当 PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，其外接球半径 R ＝a 2＋b 2＋c 2.2【答案】在三棱 P-ABC 中， PA ， PB ，PC 两两垂直， PA ＝ a ， PB ＝ b ，a 2 ＋b 2＋c 2PC ＝c ，三棱 P-ABC 的外接球的半径 R ＝2．如 2-1-10所示＋列的士兵方(m ∈ N *，m ≥2)．4m 行 m 12-1-10(1)写出一个数列，用它表示当m 分是 2,3,4,5，⋯，方中士兵的人数；(2)若把 (1)中的数列 { a n} ，数列的通公式；(3)求 a10，并明 a10表示的意；(4)已知 a n＝ 9 900， a n是数列的第几？【解】 (1)当 m＝ 2 ，表示一个 2 行 3 列的士兵方，共有 6 人，挨次能够获得当 m ＝ 3,4,5 ，⋯的士兵人数分 12,20,30，⋯ . 故所求数列6,12,20,30，⋯.(2)因 a1＝ 2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，⋯，因此猜想 a n＝(n＋1) ·(n＋ 2)，n∈N*.(3)a10＝11×12＝132.a10表示 11 行 12 列的士兵方的人数132.(4)令 (n＋1)(n＋ 2)＝9 900，因此 n＝ 98，即 a n是数列的第 98 ，此方99 行 100 列．。

人教A版高中数学高二选修2-2试题合情推理

2.1.1合情推理[学业水平训练]1．下列说法正确的是()A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论不能判断正误解析：选B.根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论．2．下列平面图形中，与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是()A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形答案：C3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等A．①B．①②C．①②③D．③解析：选C．正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．4．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于()A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)解析：选D．由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．5．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 015的末两位数字为()A．01 B．43C．07 D．49解析：选B.因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807,76＝117 649，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T ＝4. 又2 015＝4×503＋3，所以72 015的末两位数字与73的末两位数字相同，为43. 6．设f (x )＝2xx ＋2，x 1＝1，x n ＝f (x n －1)(n ≥2)，则x 2，x 3，x 4分别为________．猜想x n ＝________. 解析：x 2＝f (x 1)＝21＋2＝23，x 3＝f (x 2)＝2×2323＋2＝12＝24，x 4＝f (x 3)＝2×1212＋2＝25，∴x n ＝2n ＋1.答案：23，24，25 2n ＋17．(2014·晋中高二检测)在平面上“等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”，类比猜想在空间中有________．解析：根据平面几何与立体几何中的类比规律，边类比成面，三角形类比成四面体，所以正三角形类比成正四面体．故类比猜想在空间中有：正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值．答案：正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 8．(2014·银川高二检测)已知 2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…，若 6＋a b＝6ab(a ，b ∈R )，则a ＋b ＝________. 解析：根据题意，由于2＋23＝223，3＋38＝338， 4＋415＝4415，…，那么可知 6＋a b ＝6ab，a ＝6，b ＝6×6－1＝35，所以a ＋b ＝41. 答案：419．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n . 解：∵S n ＝n 2·a n (n ≥2)，a 1＝1， ∴S 2＝4·a 2＝a 1＋a 2，a 2＝13＝23×2.S 3＝9a 3＝a 1＋a 2＋a 3，a 3＝a 1＋a 28＝16＝24×3.S 4＝16a 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4，a 4＝a 1＋a 2＋a 315＝110＝25×4.∴猜想a n ＝2n (n ＋1).10. 如图所示，在△ABC 中，a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，写出对空间四面体性质的猜想．解：如图所示，在四面体P -ABC 中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面PAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．猜想S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.[高考水平训练]1．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：图(1)图(2)他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1 024C ．1 225D ．1 378解析：选C ．记三角形数构成的数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝3＝1＋2，a 3＝6＝1＋2＋3，a 4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.同理可得正方形数构成的数列的通项公式为b n ＝n 2.将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n 都为正整数的只有1 225.2．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：∵两个正三角形是相似的三角形， ∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，∴它们的体积比为1∶8. 答案：1∶83．我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？ (1)类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义．(2)若{a n }是等积数列，且首项a 1＝2，公积为6，试写出{a n }的通项公式及前n 项和公式．解：(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积．(2)由于{a n }是等积数列，且首项a 1＝2，公积为6，所以a 2＝3，a 3＝2，a 4＝3，a 5＝2，a 6＝3，…，即{a n }的所有奇数项都等于2，偶数项都等于3，因此{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数.其前n 项和公式S n＝⎩⎪⎨⎪⎧5n2，n 为偶数，5(n －1)2＋2＝5n －12，n 为奇数.4．(2014·聊城高二检测)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17° ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15° ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12° ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48° ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数．(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解：(1)选择②式计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝34.(2)sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.。

2019-2020学年高中数学选修2-2人教版练习：第二章2.1-2.1.1合情推理 Word版含解析

第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理A级基础巩固一、选择题1．数列－3，7，－11，15，…的通项公式可能是()A．a n＝4n－7B．a n＝(－1)n(4n＋1)C．a n＝(－1)n(4n－1)D．a n＝(－1)n＋1(4n－1)解析：当数列中负项、正项交替出现时，用(－1)n来控制；当数列中正项、负项交替出现时，用(－1)n＋1来控制．答案：C2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴的根数为() A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2解析：从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.故选C.答案：C3．设n 是自然数，则18(n 2－1)[1－(－1)n ]的值( )A ．一定是零B ．不一定是偶数C ．一定是偶数D ．是整数但不一定是偶数解析：当n 为偶数时，18(n 2－1)[1－(－1)n ]＝0为偶数；当n 为奇数时(n ＝2k ＋1，k ∈N)，18(n 2－1)[1－(－1)n]＝18(4k 2＋4k )·2＝k (k ＋1)为偶数．所以18(n 2－1)[1－(－1)n ]的值一定为偶数．答案：C4．在平面直角坐标系内，方程x a ＋yb ＝1表示在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和b 的直线，拓展到空间，在x 轴，y 轴，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( )A.x a ＋y b ＋zc＝1 B.x ab ＋y bc ＋zca ＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zxca＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1解析：从方程x a ＋yb ＝1的结构形式来看，空间直角坐标系中，平面方程的形式应该是x a ＋y b ＋zc＝1.答案：A5．已知对正数a 和b ，有下列命题： ①若a ＋b ＝1，则ab ≤12；②若a ＋b ＝3，则ab ≤32；③若a ＋b ＝6，则ab ≤3.根据以上三个命题提供的规律猜想：若a ＋b ＝9，则ab ≤( ) A ．2 B.92C ．4D ．5解析：从已知的三个不等式的右边可以看出，其表现形式为12，32，62，所以若a ＋b ＝9，则ab ≤92. 答案：B 二、填空题6．已知a 1＝1，a n ＋1＞a n ，且(a n ＋1－a n )2－2(a n ＋1＋a n )＋1＝0，计算a 2， a 3，猜想a n ＝________．解析：计算得a 2＝4，a 3＝9，所以猜想a n ＝n 2. 答案：n 27．通过圆与球的类比，由“半径为R 的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2R 2.”猜想关于球的相应命题为_____________________________________________________．解析：“圆中正方形的面积”类比为“球中正方体的体积”，可得结论．答案：半径为R 的内接六面体中以正方体的体积为最大，最大值为839R 3.8．(2015·陕西卷)观察分析下表中的数据：．解析：三棱锥：F＝5，V＝6，E＝9，得F＋V－E＝2；五棱锥：F＝6，V＝6，E＝10，得；F＋V－E＝2；立方体：F＝6，V＝8，E＝12，得F＋V－E＝2.所以归纳猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式F＋V－E＝2.答案：F＋V－E＝2三、解答题9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1 2.…请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．(2)四面体的体积V ＝13×底面积×高．(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14. 10．已知数列11×3，13×5，15×7，…，1（2n －1）（2n ＋1）(n ∈N *)的前n 项和为S n .(1)求出S 1，S 2，S 3，S 4；(2)猜想该数列的前n 项和S n 并证明．解：(1)S 1＝13，S 2＝25，S 3＝37，S 4＝49.(2)猜想S n ＝n2n ＋1(n ∈N *)．证明如下：因为1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以S n ＝12⎝ ⎛1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－⎭⎪⎪⎫12n ＋1＝n 2n ＋1(n∈N *)．B 级能力提升1．图①、图②、图③、图④分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n 个图包含的单位正方形的个数是( )图①图②图③图④A．n2－2n＋1 B．2n2－2n＋1C．2n2＋2 D．2n2－n＋1解析：观察题中给出的四个图形，图①共有12个正方形，图②共有12＋22个正方形；图③共有22＋32个正方形；图④共有32＋42个正方形；则第n个图中共有(n－1)2＋n2，即2n2－2n＋1个正方形．答案：B2．若数列{a n}(n∈N*)是等差数列，则数列{b n}：b n＝a1＋a2＋a3＋…＋a nn(n∈N*)也是等差数列．类比上述性质，相应地：若数列{c n} (n∈N*)是等比数列，且c n>0，则数列{d n}：d n＝________(n ∈N*)也是等比数列．解析：在运用类比推理解决问题时，首先要找出两类对象之间可以确切表述的相似性或一致性，再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，找出等差数列与等比数列在运算上的相似性：等差←→等比，求和←→求积，除法←→开方，故猜想d n＝n c1·c2·c3·…·c n，故填n c1·c2·c3·…·c n.答案：nc1·c2·c3·…·c n3.如图，已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长交对边于A′，B′，C′，则OA′AA′＋OB′BB′＋OC′CC′＝1.这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”： OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABCS △ABC＝1.运用类比猜想，对于空间中的四面体V －BCD ，存在什么类似结论？并用“体积法”证明．解：如图，设O 为四面体V -BCD 内任意一点，连接VO ，BO ，CO ，DO 并延长交对面于V ′，B ′，C ′，D ′，类似结论为OV ′VV ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＋OD ′DD ′＝1.类比平面几何中的“面积法”，可用“体积法”来证明．因为V O －BCD V V －BCD＝13·S △BCD ·h ′13·S △BCD ·h ＝OV ′VV ′(其中h ′，h 分别为两个四面体的高)，同理V O －VCD V B －VCD ＝OB ′BB ′，V O －VBD V C －VBD ＝OC ′CC ′，V O －VBC V D －VBC ＝OD ′DD ′.所以OV ′VV ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＋OD ′DD ′＝V O －BCD V V －BCD＋V O －VCD V B －VCD＋V O －VBD V C －VBD＋V O－VBC＝1. V D－VBC。

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