等比数列的概念及通项公式PPT
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4.3.1等比数列的概念(第1课时等比数列的概念及通项公式)课件高二上学期数学人教A版选择性
(3)若a2+a5=18,a3+a6=9,求a7.
1 = 3,
1 = 6,
解(1)设{an}的公比为 q,则
3 解得
1 所以{an}的通项公式为
4
1 = 8 ,
= 2,
an=6×
1 -1
.
2
(2)由a2=4,q=2,得a1=2,所以2×2n-1=128,解得n=7.
(3)设{an}的公比为 q.
的 公比
,公比通常用字母q表示(显然q≠0).
名师点睛
对等比数列定义的理解
(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.
(2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等
比数列的基本特征).
(3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠
倒.
(4)等比数列中的任何一项均不能为零.
a1qn-1
.
名师点睛
已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.已知a1,n,q,an四个量中的
三个,可以求得第四个量.
思考辨析
已知等比数列{an}的通项公式an=2×3n,那么这个数列的首项和公比分别
为多少?
提示 首项a1=6,公比q=3.
自主诊断
[人教B版教材习题]已知{an}为等比数列,填写下表.
1 + 1 4 = 18,
(方法 1)由已知,得
1 2 + 1 5 = 9,
1 = 32,
1
6
解得
故 a7=a1q =32×
1
2
= ,
6
2
(方法 2)因为 a3+a6=q(a2+a5),所以
1 = 3,
1 = 6,
解(1)设{an}的公比为 q,则
3 解得
1 所以{an}的通项公式为
4
1 = 8 ,
= 2,
an=6×
1 -1
.
2
(2)由a2=4,q=2,得a1=2,所以2×2n-1=128,解得n=7.
(3)设{an}的公比为 q.
的 公比
,公比通常用字母q表示(显然q≠0).
名师点睛
对等比数列定义的理解
(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.
(2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等
比数列的基本特征).
(3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠
倒.
(4)等比数列中的任何一项均不能为零.
a1qn-1
.
名师点睛
已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.已知a1,n,q,an四个量中的
三个,可以求得第四个量.
思考辨析
已知等比数列{an}的通项公式an=2×3n,那么这个数列的首项和公比分别
为多少?
提示 首项a1=6,公比q=3.
自主诊断
[人教B版教材习题]已知{an}为等比数列,填写下表.
1 + 1 4 = 18,
(方法 1)由已知,得
1 2 + 1 5 = 9,
1 = 32,
1
6
解得
故 a7=a1q =32×
1
2
= ,
6
2
(方法 2)因为 a3+a6=q(a2+a5),所以
等比数列的概念和通项公式
，q= ，q=
. .
那么这个数列一定是等比数列吗？
当a, q其中有一个为 0时， 这个数列就不是等比数 列
课1.等时比小数结列定义：
an1 an
q, (q
0, n N *)
an q, (q 0.n 2, n N *) an1
2.等比数列通项公式：
an a1 qn1(a1 0, q 0)
(1)1,2,4,8,16, ,263 (2)5,25,125,625, (3)1, 1 , 1 , 1 ,
24 8
等1.比在数等列比 通项数公列 式运a用n：中
(1)a1 3, q 2, a6
(2)a44,q 91 3,a1
(3)a3 20, a6 160, an
(4)a2 10, a3 20, a40
3.等比数列公式的推导方法：累乘法
作业布置 ❖ 1.预习（1）什么是等比中项
❖
（2）类比等差数列的性质猜想等比数
列性质
❖ 2.课本p49习题1,2
❖符号表示为:an1 q, (q 0, n N * ) an an q, (q 0.n 2, n N * ) an1
练习1.判断下列数列是否是等比数列， 若是等比数列，则求出公比
(1)1,2,1,2,1
(2)1, 1 , 1 , 1 , 1 3 9 27 81
(3)2,1, 1 , 1 ,0 24
一个新数列，这个数列还是等比数列吗？
如果是，它的首项和公比是多少？
（2）数列can(其中常数c 0)是等比数列吗？
如果是，它的首项和公比是多少？
❖等等比比数数列列的通通项项公公式式推导方法：
❖
累乘法
❖等比数列的通项公式：
an a1 qn1(a1 0, q 0)
高中数学选择性必修二(人教版)《4.3.1等比数列的概念及通项公式》课件
4．3 等比数列 4．3.1 等比数列的概念
新课程标准 1．通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义． 2．掌握等比数列的性质并应用． 3．通过掌握等比数列的定义及公式的应用，培养学生数学抽象、数学运
算的核心素养；通过对等比数列性质的应用，培养学生逻辑推理的核 心素养．
第一课时 等比数列的概念及通项公式
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出 q 后，再求 a1，最后求 an， 这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
[对点练清]
1则 log3a2 020
等于
()
A．2 017
B.2 018
C．2 019
D.2 020
解析：由已知可得 a1＝1，q＝3，则数列{an}的通项公式为 an＝a1·qn
得，最佳乐观系数 x 的值等于________． [析题建模]
读懂 题意
→
根据乐观系数的概念 及等比中项的意义
―建―模→
建立关于 x的方程
→
求 解
解析：已知(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项， 即(c－a)2＝(b－c)(b－a)， 把 c＝a＋x(b－a)代入上式， 得 x2(b－a)2＝[b－a－x(b－a)](b－a)， 即 x2(b－a)2＝(1－x)·(b－a)2. 因为 b＞a，所以 b－a≠0， 所以 x2＝1－x，即 x2＋x－1＝0， 解得 x＝－1＋2 5或 x＝－1－2 5(舍去)． 答案：－1＋2 5
a1＝32，
又 an＝1，所以 32×12n－1＝1， 即 26－n＝20，所以 n＝6.
法二：因为 a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以 q＝12. 由 a1q＋a1q4＝18，知 a1＝32. 由 an＝a1qn－1＝1，知 n＝6.
新课程标准 1．通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义． 2．掌握等比数列的性质并应用． 3．通过掌握等比数列的定义及公式的应用，培养学生数学抽象、数学运
算的核心素养；通过对等比数列性质的应用，培养学生逻辑推理的核 心素养．
第一课时 等比数列的概念及通项公式
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出 q 后，再求 a1，最后求 an， 这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
[对点练清]
1则 log3a2 020
等于
()
A．2 017
B.2 018
C．2 019
D.2 020
解析：由已知可得 a1＝1，q＝3，则数列{an}的通项公式为 an＝a1·qn
得，最佳乐观系数 x 的值等于________． [析题建模]
读懂 题意
→
根据乐观系数的概念 及等比中项的意义
―建―模→
建立关于 x的方程
→
求 解
解析：已知(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项， 即(c－a)2＝(b－c)(b－a)， 把 c＝a＋x(b－a)代入上式， 得 x2(b－a)2＝[b－a－x(b－a)](b－a)， 即 x2(b－a)2＝(1－x)·(b－a)2. 因为 b＞a，所以 b－a≠0， 所以 x2＝1－x，即 x2＋x－1＝0， 解得 x＝－1＋2 5或 x＝－1－2 5(舍去)． 答案：－1＋2 5
a1＝32，
又 an＝1，所以 32×12n－1＝1， 即 26－n＝20，所以 n＝6.
法二：因为 a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以 q＝12. 由 a1q＋a1q4＝18，知 a1＝32. 由 an＝a1qn－1＝1，知 n＝6.
等比数列-课件ppt
(4an1 4an ) 2an1 2an1 4an 2
an1 2an
an1 2an
∴数列{bn}是公比为2的等比数列,首项为a2-2a1. ∵S2=a1+a2=4a1+2, ∴a2=5.∴b1=a2-2a1=3.
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(2)由(1)知bn=3·2n-1=an+1-2an,
∴
an1 2n1
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1.等比数列的定义
一般地，如果一个数列从 第2项 起，每一项与它
的前一项 的比等于 同一 常数，那么这个数列叫做等
比数列，这个常数叫做等比数列的 公比 ，公比通常
用字母 q(q≠0) 表示.
其数学表达式为：
an+1 an
= q（q为常数）或
an = q a n-1
（q为常数）（n≥2）,常用定义判断或证明一个数列是等
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设等比数列{an}的公比q＜1,前n项和为Sn.已知 a3=2,S4=5S2,求{an}的通项公式.
【解析】由题设知a1≠0,Sn=
,
则
a1q2=2,
①
a1(1- q4 ) 5 a1(1- q 2 )
②
1-q
1-q
由②得1-q4=5(1-q2),(q2-4)(q2-1)=0,
a1(1- qn ) 1- q
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1 1 1
1
n2
2
2
1 1 n1 1 2
1 1 2
1
2
1
1
n1
3 2
5
2
1
n1
3 3 2
当n=1时，
5 3
2 3
1 2
n1
=1=a1,
18-19 第2章 2.3 2.3.1 2.3.2 第1课时 等比数列的概念及通项公式
[解] (1)由 S1＝13(a1－1)，
达 标 •
探
固
新 知
得 a1＝31(a1－1)，所以 a1＝－12，
双 基
合 作
又 S2＝31(a2－1)，
探
究 • 攻
即 a1＋a2＝13(a2－1)，得 a2＝14.
重
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习 • 探 新
(2)当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝31(an－1)－31(an－1－1)，
自 主
[解析] (1)∵a5＝a1q4，a1＝5，∴q＝－3，∴a5＝405.
当 堂
预
达
习 •
(2)由题意，an＝an＋1＋an＋2，即
标 •
探 新
an＝anq＋anq2，∴q2＋q－1＝0，
固 双
知
基
合
∴q＝－12± 5.∵q>0，∴q＝
5－1 2.
作
探
究 • 攻
[答案]
(1)405
5－1 (2) 2
自
当
主
堂
预
达
习
标
• 探
[规律方法] 等比数列基本量的求法
• 固
新
双
知
a1 和 q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出 基
合 作 探 究 • 攻 重
来，法一是常规解法，先求 a1，q，再求 an，法二是运用通项公式及方程思想 建立方程组求 a1 和 q，这也是常见的方法.
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
当
主
堂
等比数列的定义及通项公式 课件
又∵a7 是 a5 和 a9 的等比中项， ∴a27＝a5a9＝1，即 a7＝±1. 又由方程，可得 a5＞0.∴a7＝a5q2＞0.∴a7＝1.
[方法·规律·小结] 1．准确掌握等比数列的通项公式与定义，由此得出的一些 等比数列的性质，掌握推导性质的方法比记忆性质更重要． 2．适当记忆一些性质，利用性质提高解题速度与解题的正 确率．如用等比数列的性质：若 k＋l＝m＋n，则 ak·al＝am·an 可 以解决很多相关的问题． 3．等比数列的一些项组成的新的等比数列也经常遇到，要 准确判断用好定义与通项公式．
③若{an}为等比数列，公比为 q，则{a2n}也是等比数列，公 比为____q_2___；
④若{an}，{bn}是等比数列，则__{_a_nb__n}__和____ab_nn___也是等
比数列．
题型 1 等比数列性质 【例 1】 在等比数列{an}中，若 a2＝2，a6＝162，求 a10. 思维突破：可利用通项公式或等比数列的性质来求．
等比数列的性质
等比数列的性质 (1) 若 三 个 数 成 等 比 数 列，一 般 设 这 三 个 数 分 别 为 ___aq_，__a_，__a_q__；
(2)①若{an} 为等比数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*) 则_a_k·_a_l＝__a_m_·_a_n；
②若{an} 是等比数列，且 m ＋n ＝2k(k ，m ，n ∈N*) ，则 ___a_m_·a_n_＝__a_2k__；
题型 3 等差、等比数列性质的综合应用 【例 3】 已知：数列{an}为等差数列，Sn 为其前 n 项和， 且 a2＝3,4S2＝S4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：数列{2an }是等比数列； (3)求使得 Sn＋2>2Sn 成立的 n 的集合．
[方法·规律·小结] 1．准确掌握等比数列的通项公式与定义，由此得出的一些 等比数列的性质，掌握推导性质的方法比记忆性质更重要． 2．适当记忆一些性质，利用性质提高解题速度与解题的正 确率．如用等比数列的性质：若 k＋l＝m＋n，则 ak·al＝am·an 可 以解决很多相关的问题． 3．等比数列的一些项组成的新的等比数列也经常遇到，要 准确判断用好定义与通项公式．
③若{an}为等比数列，公比为 q，则{a2n}也是等比数列，公 比为____q_2___；
④若{an}，{bn}是等比数列，则__{_a_nb__n}__和____ab_nn___也是等
比数列．
题型 1 等比数列性质 【例 1】 在等比数列{an}中，若 a2＝2，a6＝162，求 a10. 思维突破：可利用通项公式或等比数列的性质来求．
等比数列的性质
等比数列的性质 (1) 若 三 个 数 成 等 比 数 列，一 般 设 这 三 个 数 分 别 为 ___aq_，__a_，__a_q__；
(2)①若{an} 为等比数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*) 则_a_k·_a_l＝__a_m_·_a_n；
②若{an} 是等比数列，且 m ＋n ＝2k(k ，m ，n ∈N*) ，则 ___a_m_·a_n_＝__a_2k__；
题型 3 等差、等比数列性质的综合应用 【例 3】 已知：数列{an}为等差数列，Sn 为其前 n 项和， 且 a2＝3,4S2＝S4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：数列{2an }是等比数列； (3)求使得 Sn＋2>2Sn 成立的 n 的集合．
等比数列及通项公式.ppt
3某人年初投资10000元如果年收益率是5那么按照复利5年内各年末的本利和依一般地如果一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都等于同一个常数那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比公比通常用字母q表示
等比数列 的概念及其通项公式
一、新课引入
1、小故事：国际象棋源于古代印度，国王为奖 励发明者，答应他的任何要求，发明者说：“请 在棋盘的第一个格子放1颗麦粒，在第2个格子放 2颗麦粒，在第3个格子放4颗麦粒，在第4个格子 放8颗麦粒，依此类推，每个格子都是前面格子 的2倍，直到64个格子。请给我足够的粮食实现 上述要求。”你认为国王能满足他的要求吗？ 印度国王奖赏国际象棋发明者的实例，得 一个数列：
2
关于等比中项： 如果在a、b中插入一个数G，使a、G、b 成 等比数列，则G是a、b的等比中项。
Gb 2 G ab G ab a G
（注意两解，且同号两项才有等比中项）
例：2与8的等比中项为G，则 G2 =16 ， 即：G=±4
等比数列的有关性质： 1、与首末两项等距离的两项积等于 首末两项的积。 与某一项距离相等的两项之积等 于 这一项的平方。 2、若 m n p q a a a ，则 a m n p q
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政
(1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设
邮传部 邮传正式脱离海关。
，
(2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国邮联大会 。
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在 办电报的开端。 (2)特点：进程曲折，发展缓慢，直到20世纪30年代情况才发生变 化。 3．交通通讯变化的影响
等比数列 的概念及其通项公式
一、新课引入
1、小故事：国际象棋源于古代印度，国王为奖 励发明者，答应他的任何要求，发明者说：“请 在棋盘的第一个格子放1颗麦粒，在第2个格子放 2颗麦粒，在第3个格子放4颗麦粒，在第4个格子 放8颗麦粒，依此类推，每个格子都是前面格子 的2倍，直到64个格子。请给我足够的粮食实现 上述要求。”你认为国王能满足他的要求吗？ 印度国王奖赏国际象棋发明者的实例，得 一个数列：
2
关于等比中项： 如果在a、b中插入一个数G，使a、G、b 成 等比数列，则G是a、b的等比中项。
Gb 2 G ab G ab a G
（注意两解，且同号两项才有等比中项）
例：2与8的等比中项为G，则 G2 =16 ， 即：G=±4
等比数列的有关性质： 1、与首末两项等距离的两项积等于 首末两项的积。 与某一项距离相等的两项之积等 于 这一项的平方。 2、若 m n p q a a a ，则 a m n p q
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政
(1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设
邮传部 邮传正式脱离海关。
，
(2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国邮联大会 。
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在 办电报的开端。 (2)特点：进程曲折，发展缓慢，直到20世纪30年代情况才发生变 化。 3．交通通讯变化的影响
4.3.1 等比数列的概念及通项公式(课件)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
二、忽略等比数列中项的符号致错 ►数学运算
[典例 2] (1)在等比数列{an}中，a3a4a6a7＝81，则 a1a9 的值为( )
A．9
(3)若q＝1，则该数列为常数列．
(4)常数列 a, a , a , a , … a 0 时,既是等差数列，又是等比数列;
a 0 时,只是等差数列，而不是等比数列.
题型一 等比数列的判定
[例1] (1)判断下列数列是否为等比数列．
①1,3,32,33，…，3n－1，…；
②－1,1,2,4,8，…；
探究1：等比数列的概念
思考：观察下列两个实例，比较两个实例中数列的共同 特征？
实例1：有一种细胞分裂时，由1个
分裂成2个，2个分裂成4个，4个分 裂成8个，···，那么细胞分裂而成的
个数依次是
实例2：“一尺之棰，日取其半，万 世不竭” 。如果将“一尺之棰”视 为一份，那么每日剩下的部分依次为
1， 2， 4， 8，….
探究4：等比数列的单调性
探究：类似于等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪
类函数建立相似的关系？
an a1qn1
an
a1 q
qn
q0 q 1
f (x) a1 qx (x R) q
等比数列{an} 的第n 项 an 是指数函数
f (x) a1 qx (x R) 当 x=nxn 时的函数值， q
当
n≥2
时an＋ an
1＝22n－n
1＝2；
当
n＝1
时，an＋ an
1＝aa21＝2＋2
a.
故当 a＝－1 时，数列{an}成等比数列，其首项为 1，公比为 2；
当 a≠－1 时，数列{an}不是等比数列．
4311等比数列的概念与通项公式课件共39张PPT
当 q＝－2 时，an＝a1qn－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n， ∴数列{an}的公比为 2 或－2， 对应的通项公式分别为 an＝2n 或 an＝(－1)n－12n.
类型二 等比中项
[例 2] 已知等比数列的前三项和为 168，a2－a5＝42，求 a5，a7 的等比中项． [思路分析] 根据已知条件，求出等比数列的首项和公比，再利用定义求等比 中项．
此时{an}不是等比数列． 4．(知识点二)数列{an}为等比数列，若 a1＝2，a5＝8，则 a3＝±4.正确吗？为
什么？
提示：不正确．设等比数列{an}的公比为 q，则可得 q4＝aa51＝4，解得 q2＝2，所 以 a3＝a1·q2＝2×2＝4.
二、练一练
1．等差数列{an}的公差不为零，首项 a1＝1，a2 是 a1 和 a5 的等比中项，则数
课堂篇·互动学习
类型一 等比数列的通项公式及应用
[例 1] 在等比数列{an}中， (1)已知 a3＝9，a6＝243，求 a5； (2)已知 a1＝98，an＝13，q＝23，求 n. [思路分析] 根据题设条件，充分利用等比数列的通项公式代入求解．
[解] (1)方法一：由 a3＝9，a6＝243， 得 a1q2＝9，a1q5＝243. ∴q3＝2493＝27，∴q＝3.∴a1＝1. ∴a5＝a1q4＝1×34＝81. 方法二：∵a6＝a3q3，∴q3＝aa63＝2493＝27， ∴q＝3. ∴a5＝a3q2＝9×32＝81.
D．84
解析：∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21，∴1＋q2＋q4＝7， 解得 q2＝2 或 q2＝－3(舍去)，∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.
等比数列的概念和通项公式17页PPT
(3)a3 20, a6 160, an
(4 )a2 1 0, a3 2 0, a40
(5)a2 10, a4 40, a3
数学必修五第二章
数列
2.已知等比 an的 数通 列项公式
为an 32n,求首a1和 项公q比
补补充充为 思 12..an考 在 在等 等a： 比 比qn数 数,如 其 列 列{{果 中 aaann,q}}都 一 中中aaannn是 个 的 ==222n3不 数 通 -1n0，，的 则则为 列 项a常 a11==公数式，， ，qq==
. .
那么这个数列比 一数 定列 是吗 等？
当a, q其中有一个为0时，
这个数列就不是等比数列
数学必修五第二章
数列
课时小结
1.等比数列定义：
an1 an
q,(q0,nN*)
an q,(q0.n2,nN*) an1
2.等比数列通项公式：
a n a 1q n 1(a 1 0 ,q 0 )
3.等比数列公式的推导方法：累乘法
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
是一个关于n的"一次函数"
数学必修五第二章
数列
国王要奖赏国际象棋的发明者，让发明者自己提要求，发明者提的要 求是：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗 麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，第4个格子里放上8颗麦粒，依此类推， 每个格子里放置的麦粒数都是前一个格子里的2倍，直到第64个格子．” 国王听了很高兴，觉得这太容易了，你觉得国王是否真的很容易就能满 足发明者的要求了吗？
一个新数列，这个数 还列 是等比数列吗？ 如果是，它的首项和 比公 是多少？
（2）数列can(其中常数c 0)是等比数列吗
等比数列的概念及通项公式课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
an+1的等比中项.
{an }为等比数列 an2 an 1an 1 (n 2)
an21 an an 2 (n N * )
a 42 a 3a5
探究新知
巩固：等比中项的定义
1
±4 .
3.等比数列{an }中, a1 , q 2, 则a4与a8的等比中项是____
①
2，___
4 ，8；
②
-1，____
2 ，- 4
若a, G, b成等比数列 , 则G叫做a与b的等比中项。
G
b
G 2 ab G ab
a
G
（ a 、 b 同号, G 有两个取值）
注：三个数a,b,c成等比数列
2
ac
b
探究新知
四.等比中项的定义
若a, G, b成等比数列, 则G叫做a与b的等比中项, 此时G ab.
.
a7
n4
n4
n 3
析 : q 3 8, q 2, an a4 q 2 2 2
a4
6
26 n .
③若a2 a5 18, a3 a6 9, ak 1, 则k _____,
an ____
a3 a6 a2 q a5 q
1
析:
an
*
课堂练习
1. 判断下列数列是否是等比数列. 如果是，写出它的公比.
（1）
3，9，15，21，27，33; 不是； (2)1, 1.1, 1.21, 1.331, 1.461;
不是；
(5) 0,1,2,4,8,… 不是；
(6) 2,0,2,0,2,… 不是；
{an }为等比数列 an2 an 1an 1 (n 2)
an21 an an 2 (n N * )
a 42 a 3a5
探究新知
巩固：等比中项的定义
1
±4 .
3.等比数列{an }中, a1 , q 2, 则a4与a8的等比中项是____
①
2，___
4 ，8；
②
-1，____
2 ，- 4
若a, G, b成等比数列 , 则G叫做a与b的等比中项。
G
b
G 2 ab G ab
a
G
（ a 、 b 同号, G 有两个取值）
注：三个数a,b,c成等比数列
2
ac
b
探究新知
四.等比中项的定义
若a, G, b成等比数列, 则G叫做a与b的等比中项, 此时G ab.
.
a7
n4
n4
n 3
析 : q 3 8, q 2, an a4 q 2 2 2
a4
6
26 n .
③若a2 a5 18, a3 a6 9, ak 1, 则k _____,
an ____
a3 a6 a2 q a5 q
1
析:
an
*
课堂练习
1. 判断下列数列是否是等比数列. 如果是，写出它的公比.
（1）
3，9，15，21，27，33; 不是； (2)1, 1.1, 1.21, 1.331, 1.461;
不是；
(5) 0,1,2,4,8,… 不是；
(6) 2,0,2,0,2,… 不是；
4.3.1等比数列的概念及通项公式课件高二上学期数学人教A版选择性
an a1qn1 a1qnmm-1 a1qm1 qnm
②an amqnm (q 0, m n)
注 : an
a1q n 1
a1 q
qn
, an是关于n的指数型函数,形如an
cq n .
q
0且q
1时,
an是指数型函数f
(x)
a1 q
q x当x
n时的函数值;
若an
cqn (c, q
0),
则 an1 an
a1 a2
an1 an
定义式:
an an1
q(q
0, n
2)或 an1 an
q(q
0, n N )
注：①等比数列的每一项和公比都不为0.
当 q= 1时，a n
为常数列。
②非零常数列既是等差数列，又是等比数列，公差为0，公比为1.
③
n N *,
an1 an
q(q为非零常数 )
{an}为等比数列
意思：“一尺长的木棒，每日取其一半， 永远也取不完” 。这样，每日剩下的部分 都是前一日的一半。
如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1 天开始，各天得到的“棰”的长度依次是：
探究新知
实例3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖 一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是：
q(q
0, n
2)或 an1 an
q(q
0, n N )
探究新知
思考回答以下问题 1:公比q能否等于0 ？等比数列中的项能否等于0？都不能为零 2:当公比q=1时的等比数列是什么样的数列？ 常数列
3:常数列一定是等差数列吗？一定是等比数列吗？为什么？ 常数列都是等差数列，但却不一定都是等比数列。 如数列0，0，0，0，…是等差不是等比数列。
高中数学同步教学课件 等比数列的概念及通项公式
知识梳理
注意点： (1)等比数列定义的符号语言：aan＋n 1 ＝q(q为常数且q≠0，n∈N＋). (2)定义中“比值是同一个常数”，不能理解成“比值是一个常数”. (3)公比可以是正数，也可以是负数，但是不能为0.
例1 (1)(多选)下列各组数成等比数列的是
√A.1，－2,4，－8
√B.－ 2，2，－2 2，4
(3)a，－a，a，－a，….
当a＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列； 当a≠0时，数列为a，－a，a，－a，…是等比数列，且公比为－1.
二 等比数列的通项公式
问题2 类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
提示
设一个等比数列的首项是
a1，公比是
q
，
则
由
定
义
可
知
an an－1
＝
q(n∈N＋且 n≥2). 方法一 an＝aan－n 1×aann－ －12×…×aa32×aa21×a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1，
当n＝1时，上式也成立.
方法二 a2＝a1q， a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2， a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3， …
由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立.
∴an＝a5qn－5＝－12×－12n－5＝－12n－4.
(2)已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，an＝64，求n.
根据题意，有aa11qq43－－aa11＝q＝156，， 方程两边分别相除，得aa11qq34－－aa11q＝52. 整理得2q2－5q＋2＝0， 解得 q＝2 或 q＝12. 当 q＝2 时，a1＝1；当 q＝12时，a1＝－16(舍去). 由an＝a1qn－1＝64，得2n－1＝64，解得n＝7.
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G ab
即G ab
2
an a1q
例1. 一个等比数列的第３项和第４项分别是１２和 １８，求它的第１项和第２项．
n 1
解 ：用｛an｝ 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有
3 q 解得 2 16 3 因此，a2 a1q 8 3 2 答：这个数列的第1项与第2项
16 a1 3
a3 12, a4 18, a1q 2 12 即 3 a1q 18
an a1 qn1
思考与讨论：对于本例 中的数列，你是否发现 a1a4 与 a2a3 相等 你能说出其中的道理吗？ 你能由此推导出 一个一般性的结论吗？
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 与8. 分别是 3
范例讲解
等比数列
学习目标
1.等比数列概念的理解与掌握； 2.等比数列的通项公式的推导及应用．
引例：
①
如下图是某种细胞分裂的模型：
细胞分裂个数可以组成下面的数列：
1
2
4
8 16 …
引例：
庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 意思：“一尺长的木 棒，每日取其一半， 永远也取不完” 。
如果将“一尺之棰”视为单位“1”， 则每日剩下的部分依次为：
an 2 2
2
n
an 1 3
n1
3
n1
an 5 1
n1
5
(4) 1，-1，1，-1，1，…
(5)0.5,0.25,0.125,0.0625，... (6)1.2，-2.4，4.8，-9.6，...
an (1)n1
an 0.5 0.5n1 0.5n
1 是 ，求它的第1项； 3
（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是
20，求它的第1项与第4项。
小结
1、理解与掌握等比数列的定义及数学表达
式：
a n ≥ 2，n ∈N）； ，（ n q(q 0) an 1
2、要会推导等比数列的通项公式：
n1
an a1 q
(a1 q 0) ，并掌握其基本应用；
1 1 1 1 1， ， ， ， ， „ 2 4 8 16
引例：
③计算机病毒传播时，假设每一轮每一台
计算机都感染20台计算机，则这种病毒每 一轮感染的计算机数构成的数列是：
1， 20， 202， 203，…
1,2,4,8,16,32,... 1 1 1 1 1， ， ， ， ， ... 2 4 8 16 2 3 4 5 1,20,20 ,20 ,20 ,20 ,...
① ② ③
1 对于数列② ，从第2项起，每一项与前一项的比都等于__; 2
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于__; 2
对于数列③ ，从第2项起，每一项与前一项的比都等于20 __;
共同特点: 从第二项起，每一项与其前一项的比是 同一个常数
一、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前 . 一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数 列，这个常数就叫做等比数列的公比,公比通常用字
等比数列中不 能存在为0的 项。
n 1 二、等比数列的通项公式： an a1q
思考：如何用a1和q表示第n项an？
方法：叠加法
等 a2 a1 d 差 a a d 3 2 数 列 a4 a3 d …… +）an an1 d
an a1 (n 1)d
类比
母q表示（q≠0）.
想一想：为什么要求q≠0？
判定下列数列是否是等比数列？如果是请指出公比。 (1) 3，6，12，24，48，„„； (2)2，2，2，2，„„； (3) 3，-3，3，-3，3，„„； (4) 1，2，4，6，3，4，„„； (5) 5, 0, 5, 0, „„. 是,q=2 是, q=1 是, q=-1 不是 不是
等 比 数 列
累乘法 a2 q a1
a3 q a2
×） an q
an 1
……
a4 q a3
共n – 1 项
an q n 1 a1
思考：你能写出下列等比数列的通项公式吗？
an a1q
n1
n 1
(1)2，4，8，16，32，64，... (2)1，3，9，27，81，243，… (3) 5，5，5，5，5，5，…
课堂练习：练习5-4第1、2、3
附加：已知等比数列{an}的公比为q，求证
am q mn an
课后思考题：类比于等差数列{an}中的若m，n，s，
t∈N+，m+n=s+t，则am+an=as+at，
你能写出等比数列一个类似的性质吗？
an 1.2 (2)n1
三.等比中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成 为一个等比数列： （1）1，( ±3 ) , 9 （3）-12，( ±6 )，-3 （2）-1，( ±2) ，-4 （4）1，( ±1)，1
在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那 么G叫做a与b的等比中项。
an a1q
n 1
例2、已知等比数列｛an｝中，a5=20,a15=5,求a20. 解：由a5=a1q4, a15=a1q14
q
10
a15 5 1 a5 20 4
5
1 q 2
a20
1 5 5 a15 q 5 或a20 2 2 2
5
随堂练习
4 （1） 一个等比数列的第9项是 ，公比 9