一类差分方程解的全局性分析

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一类高阶有理差分方程的全局渐近稳定性

Ｇｏａａｙｔｔａｉｔｆａｓｆｉｈｏｄｒｒｔｎｌｉｅｅｃｕｔｎｌｂｌｓｍｐｏｉｓｂｌｙｏｃｓｏｇ－ｒｅａｉａｄｆｒｎｅｑａｉｃｔｉａｌｈｏｆｅｏ
ＨＵｏｉｅｇ，ＭＩＨａ－ｎｆＡＯ－ｎ，ＺＨＡＮＧａｇＬｉｍｉｇＬｉｎ
— —
其他相关结果见文献［～５．３］
１相关定义及引理
定义ｌ式（）任一正解｛）为关于三２的ｏ称；ｏ最终平凡的，如果｛）最终等于；；否则被称为非
平凡的．
ｘ＿－ｋ，，
—
ｑａ－
（）１
Ｚｌ… ，Ｏ０∞ ）ａ０∞）Ｓｉ｛一ｍ，－ｋ．ｓ，Ｘ ∈（，，Ｅ［，，＋￣ｍｎ１ｌ｝
关键词：有理差分方程；解的符号；局渐近稳定性全
中图分类号：７０１５文献标识码：Ａ
的局近定，：ｋＺ五全渐稳性中，＋，武ｍＥ，
令
Ａ一｛）－ｏｌ — ｏ ’ ｉ１２… ，一，，ｍ
显然，每一个Ａ是式（）２的解序列｛）ｏ一的模ｍ：ｏ同余类，：故
｛）ｌ．｛，，，）ｏ一一ＡｌＡ２… Ａ：ｏ
基金项目：甘肃省自然科学基金（Ｚ０２Ｂ５１）甘肃省教３Ｓ４－２－３，０育厅基金（４６－８Ｏ１ＢＯ）
ｚ＂，ｒ — ，－ｚｌ－
令一则由１得而，式（）
Ｘｎ一

一类高阶有理型差分方程的全局渐近稳定性

ｑａｉｓｗｔＯｅｒｂｍｓｎｏｊｃｒｓＣａｍａｎａ１ＣＣ，０２］ｕｔｎ，ｉｐｎＰｏｌｄＣｎｅｔｅ，ｈｐｎａｄＨｌＲ２０．中的公ｏｈｅａｕ／开问题７５２并证明了这类方程无周期解；．．，然后推广这个结果到更一般的情形．
Ｋｅｒｓａｉａｄｆｒｃｑａｏ；ｏａａｙｐｏｃｓｉｔ；ｅｉｄｃ；ｐｎｙｗｏｄ：ｒｔｎｌｉｅｎｅｅｕｔｎｇｂｌｓｍｔｔｔｌｙｐｒｉｔｏｅｏｅｉｌｉａｉｂｏｉｙ
ｐｂｅｏｒｌｍ
０引言
有理型差分方程是一类典型的非线性差分方程，定性分析一直是近年来研究的热点，其因为许
多高于一阶的非线性差分方程定性结果的原型来源于有理型差分方程的结果．于这方面的研究，关可参见专著［ — ］论文［１］１２、３— Ｏ及其引用的参
考文献，其是Ｍ．Ｒ．Ｋｌｎｖ尤．Ｓｕｅｏｉｃ和Ｇａａ．Ｌｄｓ
收稿日期：０７— ３—０２００１作者简介：吕定洋（９８一）男，１６，湖南邵阳人，湖南第一师范学院高级讲师，湖南师范大学硕士研究生．主要研究方向：方程稳定性理论．
Ｃｈｎｓａ，ｎｎ４１８１，ｉａ；ＤｅａｔｎｆＭａｈｍａｉｓａｄＰｈｓｃ，ａｇｈＨｕａ００Ｃｈｎ２．ｐｒｍｅｔｏｔｅｔｃｎｙｉｓ
ＴｅＦｒｏａＣｌｇ，ｈｎｓａＨｎｎ４１０，ｈｎ）ｈｉｔｒｌｏｅｅＣａｇｈ，ｕａ２０１ＣｉａｓＮｍｌ

一类高阶有理差分方程的全局渐进稳定性

㈩
其中Ｆ — ｆ（ … １一２ … ，ｎｒ， — ｇ（，一２… ，一， — ｈｘ一１一２・，ｎＰ，ｘ，，，Ｘ－ｋＧ）ｘ一１，）Ｈ（ｐ，，・Ｘ－１）
∈ Ｃ（Ｏ，。）（。）ｇ ∈ Ｃ（Ｏ，。），Ｏ，。）ｈ∈ Ｃ（Ｏ。），Ｏ。），Ｚｉ∈ ｛，３ … ｝０≤ ｒ ≤ （。，Ｏ，。），（。（。），（，。（，。）ｋ，，１２，，，，
．
一
吉一
＃等一＋＋＋６＋６ｎ６１＋易ｎ＋
ｎ＋ｎ＋６＋ｃ＋ｃ＋
若ｎ≥ １６＜１ｃ１则有ｎ— ｎ６一，，＜，，，．（）可得 ≥ １故ｃ一由２，
收稿日期：０７０ — ３２０— ７２
Ｖ０＿Ｎｏ１ｌ７．
Ｍａ．２０ｒ０８
２００８年３月
一
类高阶有理差分方程的全局渐进稳定性
牛文英王小梅闰卫平
（山西大学数学科学学院，山西太原０００）３０６
［要］对一类高阶有理差分方程的唯一正解及其全局渐进稳定的充分条件进行了研究，摘并
盘ｃ＋盘＋ｂ－ｂＩｌ－ｃａ．Ｃ－＋１ｂ２ｌ－ａＩＣｌ－ｂ
１
。ｂ
１
。Ｃ
同，ａ，足余种形，得｝昙十理当，满其四情时也＝６ｃ可去＿

一类二阶时滞差分方程的全局渐近稳定性

ｔｌ ∈』，有，・
！（口存，而ｉ一）在进存。ｍ在
设ｚ，则，：
ｌ，＋
．
（）程（．）４方１２的平衡点是全局渐近稳定的，如果它是局部稳定的，并且是一个全局吸引子。
从而，：口，这表明：口是方程
２２ｄ（，）－－
Ｏ
Ｘ】
一
ｄ一２Ｘ
’’
（．）１２
（＿）１１的全局吸引子。利用定理２１可知，方程（．）．１１的所有正解是全局渐近稳定
的。
的关于的线性化方程为
Ｘ＋ｎ１＝ｐｘ＋ｑ．ｎ＝０１２．．ｘ，，，，．．
计算机光盘软件与应用
工程技术
ＣｍｕｅＤＳｆｗｒｎｐｌｃｔｏｓｏｐｔｒＣｏｔａｅａｄＡｐｉａｉｎ
２１年第２０１３期
一
类二阶时滞差分方程的全局渐近稳定性
胡林霞
（天水师范学院数学与统计学院，甘肃天水
ｌ ∈』，有ｍ，ｉ
—
ｌｎａ存在。Ｘ— ｌ由（．）２１可知，若＞ａ，则ｘ＞ａ；若＝ａ则＝ａ；ｎ，若ｌ＜ａ，则ｘ＜ａ；ｎ＝２３．从而一口不变号，于是ｎ … ．
ｘ－
（）程（．）３方１２的平衡点是全局吸引子，如果对每一个
其特征方程为
一
参考文献：
（．）１３
ｐ２一ｑ＝０．

一类高阶时滞差分方程的有界持久性与全局渐近稳定性

（）２
初值一一＋一，ｌ为任意正数．， — ，０
方程（）ｋ＝１的特殊情况已被文献广泛地研究过．例如，［，］到了当Ａ，ｌ１时文１２得０Ａ ∈ （，，０ｐ ∈ （，），程（）０ ∞）ｐ，ｌ０１时方１的正平衡点是其一切正解的全局吸引子；［］文２还证明了ｐ０
文献标识码：Ａ
中图分类号：Ｏ１５７７．
引
言
考虑下列高阶时滞差分方程
Ｘ＋ｎｌ其中
Ａｏ
：
＋
＋… ＋ “＋
（：０ｌ２ … ）ｎ＇，，Ｊ ’ ， ’
… （）１
Ａ，‘ ［，，ｉＰ ∈ ０ ∞）
（ｉ＝０１２ … ｋｋ∈ （，，），，，，；１２ … ）
＝ｐｌ＝１方程（）时１的正平衡点是全局渐近稳定的．对Ａ， ∈ （，，０＝２ｐ＝１２０Ａｌｏ ∞）ｐ，ｌ／时
的一些结果及公开问题，可见文［，］当ｐ３４；ｌ＝０时的一些结果．文［，］见５６．
文章编号：ＯＯＯ８（ｏ２１－１８ｏｌＯ－８７２ｏ）１１８－７
一
类高阶时滞差分方程的有界持久性
与全局渐近稳定性。
李先义
（．华大学数理部，南衡阳４１０；．东师范大学数学系，海２０６）１南湖２０１２华上００２

一类高阶线性差分方程的全局稳定性

文章编号１００４．６４１０（２０１３）０２．００３２．０４
一
类高阶线性差分方程的全局稳定性
王琦，张更容，韩松，李乃雄
（１．广西科技大学理学院，广西柳州５４５００６；２．广西大学数学与信息科学学院，广西南宁５３０００４）
第２４卷第２期２０１３年６月
广西科技大学学报
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＧＵＡＮＧＸＩＵＮＩＶＥＲＳｎＹＯＦＳＣＩＥＮＣＥＡＮＤＴＥＣＨＮ０Ｌ０ＧＹ
Ｖｏ１．２４Ｎｏ．２
Ｊｕｎｅ２０１３
问题．
关键词：线性差分方程；收敛；有界性中圈分类号：Ｏ１７５文献标志码：Ａ
０引言
离散系统理论在经济学、自动控制工程、通讯、雷达技术、生物医学工程、图像技术、电动力学系统及核物理学等学科已发挥了巨大作用，随之而来的是人们对差分方程理论的需求．而差分方程模型是应用广泛的一类离散数学模型，它在生态学、生理学、物理学、工程学、自动控制与设计、数值计算及经济学研究
其中ｋ＝７，ａ＝Ｏ．４，ａｌ＝ａ２＝ａ４＝ａ￣＝ａ６＝０，锄０．３，ａＴ＝０．５．

一类有理差分方程的全局吸引性

掣， Ⅳ ０ ∈，
（．）１１
的局近定．中 ∈ｏ），始件 … ，∈０且全渐稳性其ｇ【∞，ｅ初条Ｊ，，１ｏ【∞ ，ｋｎＹ，
且程（１唯正衡方１）一平点歹＝ｐ＋）（＋）面考方１）正．．有（１ｇ１下仅虑程（１的解／．．
进一步，在文【，１９中，他们提出了下述公开问题和猜想：３．１ｐ２
公问Ａ设，∈０ｏ｛３）究分程开题假ｐｑ【ｏＲ ∈２，．差方，）ｋ，… 研
＝
÷ ， Ⅳ 拜ｏ ∈．
所有正解的全局行为．
猜想Ａ（，１５ｏｊｔｒ６５假设Ｐ＞ｑ［ｐ２，ｎｃｅ．．）３．Ｃｅｕ１】０．证明方程（３的每一个正解都收敛．１）文【也研究了方程（３所有正解的全局吸引性，它们是利用４】１）．产极限集这一复杂方法证明了猜想Ａ．本文受到上述
基金项目：甘肃省教育厅科研项目（７９０）００－３；甘肃省教育厅科研项目（８９．４．００Ｂ０）
收稿日：２０．８１期０９０－６作者简介：袁晓红（９１，女，甘肃临洮人，讲师，主要从事微分方程和差分方程的研究．１７一）
袁晓红，晏兴学，王仁虎：一类有理差分方程的全局吸引性
文【】１研究了下列差分方程解的全局吸引性．
＋＞．然＞， Ⅳ Ｏ０显 ∈ ０
．＋＝ｌ
其主要结论为下述定理：
，，∈Ⅳ０ｋ，．
（１．２）
定理Ａ如果下列条件之一满足，则方程（．）的每一个解都收敛到该方程的唯一正平衡点：１２

一类离散时间经济学模型的全局性分析

ａａ：ｃａｃ，ａ２
并记｛是（的解，是（）））㈦料的解。
上述两个初值问题与非线性差分方程（）比，１相前者更易于分析，所以结合这两个初值问题有助于我们讨论差分方程的解的有界性或收敛性。另一方面，方程（）１的解的性质不仅与（和（））料的解有关，与。ｂｃ还，，
定义５方程（）：的平衡点：若存在，足方程指满
（，：料）即戡）则称（），是料的平衡点。二、在条件（）Ｈ１下的基本结论和证明
在这一部分里，主要是通过函数厂的性质和初所要的结论。）引理１设函数Ｒ是非递减函数，件（）：上条ＨＩ满
足．
（如果｝Ａ）是下列差分不等式：
】Ｘ，仳ｂ）２ ≤ＣＩ一ｘ】）士（
ｎ１Ｌ其中，始条件，＞是常数，： —Ｒ＝．，２是初ｃ／０厂Ｒ是实函数，方程（）ａ出现在早期的数学模型——宏观经济中的 “ 贸易循环 ” 面，里该模型的许多性质在文献网中已讨论过（如解的有界性，收敛性，持久性）。而本文考虑如下的差分方程：
【专题研讨】
一
类离散时问经济学模型的全局性分析
李文静
（河南工程学院
数理科学系，河南
郑州
４００）５０７
摘要：这篇文章的目的是研究差分方程ｃ川＝
该差分方程的解有界、久和收敛的若干充分条件。持

一类非线性差分方程的全局渐进稳定性

一类非线性差分方程的全局渐进稳定性一类非线性差分方程的全局渐进稳定性非线性差分方程是指一类常见的差分方程，它的研究可以帮助我们更好地理解和控制复杂系统。

而全局渐进稳定性是指一类非线性差分方程的稳定性，它可以帮助我们更好地理解和控制复杂系统的行为，从而更好地应用这类非线性差分方程。

一. 非线性差分方程的基本概念非线性差分方程是一类常见的差分方程，它以差分方程的形式描述复杂系统的时变行为。

它以抽象的形式表达复杂系统的一般性质，以及系统的运动规律，是研究复杂系统的重要工具。

非线性差分方程的典型形式为：y(n+1) = f(y(n))其中，y(n)表示系统状态在时刻n时的值，f(y(n))表示系统状态在时刻n+1时的值，它们之间的关系可以通过非线性函数f(y(n))来描述。

二. 全局渐进稳定性全局渐进稳定性是指一类非线性差分方程的稳定性，它可以帮助我们更好地理解和控制复杂系统的行为，从而更好地应用这类非线性差分方程。

全局渐进稳定性的定义：设y(n)为一类非线性差分方程的解，如果存在正定的常数k和M，使得当n→∞时，|y(n)|≤M·kn，则称此差分方程具有全局渐进稳定性。

全局渐进稳定性的特征：全局渐进稳定性可以保证一类非线性差分方程的解在某个范围内收敛，并且收敛速度是渐进的，即当n→∞时，|y(n)|的增长速度越来越慢。

三. 全局渐进稳定性的判别要判断一类非线性差分方程是否具有全局渐进稳定性，需要先确定这类非线性差分方程的有限解，然后根据定义验证这类非线性差分方程是否具有全局渐进稳定性。

（1）确定有限解：一般来说，一类非线性差分方程具有有限解的充要条件是，不等式f(y(n))≤y(n)成立，其中f(y(n))是一类非线性差分方程的右边的函数。

如果满足此条件，则一类非线性差分方程具有有限解。

（2）验证全局渐进稳定性：确定有限解后，可以根据定义，构造出一类非线性差分方程的有限解，并将其作为验证全局渐进稳定性的依据。

一类三阶有理差分方程的全局吸引性

’
在本文中，我们将要用到以下两个引理：引理１考虑差分方程
ｚ＝ｘｆ（Ｘ－，，ａｈ科１．ｘ，ｎ１… Ｘ－）
ｒ
（）３
其中ｋ（１２ … ，）一，，ｒ是正整数，ｋ— ｍａ（．’ｒ．ｘｋ．）ｋ
ＫｅｗｏｄＤｉｅｅｃｑａｉｎＧｌｂｌａｔｃｉｉｙＰｓｔｅｅｕｌｒｕｙｒｓｆｒｎｅｅｕｔｆｏｏａｔａｔｖｔｏｉｖｑｉｂｉｍｉｉ
１引言
文Ｅ－讨论了二阶有理差分方程ＩＩ
［ｚ， … ，厂（，，）一ｆ（， … ，］ｚ— ）０与ｘ，，）（
［（），，厂ｚ，， … ）一ｆ（，，，］ｚ一）Ｏｚ≠ ｘ一， … ）（＜，
定义函数
Ｆ一．）｛
ｆｘｘ）０ｚ≤ ａＧ（，，
・刘碧玉教授推荐收稿日期：０７年１月 ’ ２０２２日
维普资讯
第３期
一类三阶有理差分方程的全局吸引性
８７
＋一１一
＿
’ ，
， — ０１，２一，’ ’ …
（ｚ２）
ｇ（１ … ，）一ｌＯ，，ｉｇ（０１ … ，）ｍｕ，，，
“ ＯＯ十
（）ｕ，ｉｆ（。ｉ
“，ｒ关于Ｕ）
一，，是不增的；
（ｉ方程ｆ（ｚ， … ，）＝ｉ）ｉｘ，ｚｚ：＝１有唯一的正解；（）函数ｆｕ，ｉＶ（。．＇ｒ．Ｕ）不依赖于。或对每个ｚ＞０和个０，

一类离散Logistic型差分方程的全局吸引性

∑ ≤ ，≥ Ｉ变＝，（化为ＭｎＳ作换斌则式１）
ｉ …
收穑Ｌ期：０１１２ｔ２０ —１３
Ｙ＋＝ｌ
ｐ［（一ｂ一（１ —ｃ）（）；）一）６
作
者；刘勉占（６一）辞师研究方向；１５男９差分微分方程
ｎ差舟方程得到的相应方程的唯一正解；ｃ改进和推广了已有结论．关键词：平方ｌｉｉ方程；ｏｓｃｇｔ垒局硬引性；时滞
中图分类号：Ｏｌ５１７．２文献标识码：Ａ
（； —ｌｃ＋
￣ｃｒｕ／ｚ～２／）２；４２
（一ｒ］￡Ｏ￡）
（）２
２定理的证明
引理１若１是式（）Ｉ的最终大于或最终小于的正解，且式（）立，ｌ＝３成则ｉａｒ
其中ｒｔＥｃ［，（）（０＋＊）（，）， ∈［，，ｏ＋）ｂ０＋＊），
ｃ∈（，）ｒ＞０＋，０为时滞．
关于方程（）２的解的渐近性已有些研究ｌｌ，，本文的目的是给出保证式（）每一正解趋于其正１的
引理２若｝｝是式（）Ｊ的关于的振动正解，平衡点的一族充分条件，广和改进了已有的结果存在正常数村推（后注１，见文）方程，１、）（）（的生态意．见文献ｆ］２义Ｉ，
滞平方ｌｉ型差舟方程每一正解｛ｉｕ＝，是ｏ￣ｅｇ有ｍ（
ｌｉｓｒ“ ａｐ∑ ｎ＜

一类有理差分方程的全局行为

作者简介：崔江彦（１９８７一），男，甘肃庄浪人，硕士，研究方向：基础数学．
有理差分方程是差分方程的一类特殊方程，美国数学家Ｇ．１ａｄａｓ关于差分方程提出了１０８个公开问
题和猜想，这使得对差分方程的研究备受关注，不仅如此，国际差分方程专业期刊的创建更为差分方程的研究提供了专业平台．一直以来，对差分方程的研究主要涉及稳定性、有界性、振动性、渐近性、周期性和边值问题．文献［１］研究了有理差分方程川＝性．文献［２］研究了有理差分方程川＝
第３５卷第３期
２０１４年６月
宁夏师范学院学报（自然科学）ＪｏｕｎａｒｌｏｆＮｉｎｇｘｉａＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）
Ｖｏ１．３５Ｎｏ．３
Ｊｕｎ．２０１４
一
类有理差分方程的全局行为
崔江彦，王小兵
（１．银川唐徕回民中学，宁夏银川７５０００１；２．宁夏大学数学与计算机学院，宁夏银川７５００２１）
摘要：研究一类有理差分方程＋＝老（＝０，１，２， … ，。，６，，Ｂ＞０）的全局行为．应用不动点

一类二阶非线性差分方程的全局行为研究

一类二阶非线性差分方程的全局行为研究二阶非线性差分方程是指方程中含有二阶差分项的非线性方程。

这类方程在数学、物理、经济等领域都有广泛的应用。

研究其全局行为可以帮助我们了解方程解的长期动态性质，对于预测、控制等方面具有重要的意义。

要研究一类二阶非线性差分方程的全局行为，首先需要确定方程解的有界性。

这可以通过构造Lyapunov函数或者利用一些已有的有界性定理进行证明。

有界性是研究全局行为的基础，因为只有在有界区域内的解才能保证全局性质。

确定了有界性后，我们可以进一步研究方程解的稳定性。

稳定性分为局部稳定和全局稳定两种情况。

局部稳定性是指方程解在其中一点附近的行为，全局稳定性是指方程解在整个定义域内的行为。

对于局部稳定性的研究，可以利用Liapunov直接法或者利用线性化技术进行分析。

而全局稳定性则较为困难，通常需要构造特殊的函数或者引入一些不变集来研究。

在研究了稳定性后，我们可以进一步研究方程解的周期性行为。

对于周期解的研究，通常可以通过构造Poincare映射或者利用周期解存在的充分条件进行分析。

周期解的周期与解的振荡特性有关，通过对解的周期性行为的研究可以得到关于方程解的更多信息。

此外，还可以研究方程解的同步和共振现象。

同步是指两个或多个解在一些条件下具有相同的行为，而共振是指方程解对一些外界驱动具有较大的响应。

研究同步和共振现象可以帮助我们了解方程系统的自身性质，以及如何通过外界驱动来影响系统的行为。

总之，一类二阶非线性差分方程的全局行为研究是一个复杂而有意义的课题。

通过研究方程解的有界性、稳定性、周期性行为以及同步共振现象，我们可以更好地了解方程的性质并预测其长期行为。

这对于控制、优化和决策等方面都具有重要的指导意义。

差分方程解法及其在离散系统中的应用

差分方程解法及其在离散系统中的应用差分方程是数学中一类重要的离散数学方程，广泛应用于动态系统建模和离散事件系统的分析。

本文将介绍差分方程的解法以及它在离散系统中的应用。

一、差分方程的定义和基本概念差分方程是一种以离散形式描述系统变化的数学方程。

其基本形式为：Δyₙ = f(n, yₙ₋₁)其中，Δyₙ为相邻两个时刻n和n-1之间y的变化量，f(n, yₙ₋₁)为给定时刻n和n-1之间的函数关系。

二、差分方程求解的方法对于简单的差分方程，可以直接通过迭代求解。

例如，对于一阶线性差分方程：Δyₙ = k其中，k为常数。

可以通过重复应用这一关系求解，即：yₙ = y₀ + kₙ其中，y₀为初始条件，kₙ为Δyₙ在不同时刻的取值。

对于更复杂的差分方程，可以采用数值方法求解，如欧拉法、龙格-库塔法等。

这些方法可以通过将差分方程转化为递推方程，并利用数值计算得到近似解。

三、离散系统中差分方程的应用1. 经济学中的应用差分方程可以用来描述经济系统中的离散变化。

例如，经济增长模型中的劳动力增长率、资本积累速度等，都可以通过差分方程来建模和分析。

2. 自然科学中的应用差分方程在物理学、生态学等自然科学领域中也有广泛的应用。

例如，天体运动、人口增长、物种竞争等系统的演化过程都可以用差分方程来描述和预测。

3. 计算机科学中的应用差分方程在计算机科学中的应用也是十分重要的。

例如，计算机网络中数据包的传输、媒体数据的压缩等问题，都可以通过差分方程来建模和解决。

四、差分方程解法的局限性和改进方法虽然差分方程是一种有效的数学工具，但其在一些特殊情况下存在局限性。

例如，对于非线性和高阶差分方程，常常难以求得解析解。

此时，可以利用数值方法进行近似求解，或者采用数值优化算法寻找最佳解。

总结：差分方程是一种重要的离散数学工具，广泛用于动态系统建模和离散事件系统的分析。

通过合适的差分方程求解方法，可以有效地描述和预测各种离散变化的系统。

一类差分方程解的全局性分析

一类差分方程解的全局性分析
伍晖;孙太祥;韩彩虹;席鸿建
【期刊名称】《大学数学》
【年(卷),期】2011(027)002
【摘要】研究差分方程……的全局性质,其中
A,B,β∈(O,+∞),p,q∈N<'+>={1,2,…},α=max{p,q),γ<,1>,γ<,2>,…,γ<,p>,C<,1 >,C<,2>,…,C<,q>∈[0,1],满足∑γ<,i>=∑C<,J>=1,初始值x<,0>,x<-1>,…,x<,α>∈(0,∞).得到该方程的每个正解收敛于平衡解的若干充分条件.
【总页数】5页(P85-89)
【作者】伍晖;孙太祥;韩彩虹;席鸿建
【作者单位】广西大学数学与信息科学学院,广西,南宁,530005;广西大学数学与信息科学学院,广西,南宁,530005;广西大学数学与信息科学学院,广西,南宁,530005;广西财经学院数学系,广西,南宁,530004
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.一类差分方程全局性解的研究 [J], 郭忠海
2.一类差分方程的奇点集和解的全局性 [J], 全卫贞
3.一类随机差分方程解的稳定性分析 [J], 葛玲玲;廖新元;陈会利;鲁银霞
4.一类Riemann-Liouville型混合分数阶差分与和分方程解的存在唯一性 [J], 张
晓锐;王良龙
5.一类非线性复微分差分方程解的不存在性 [J], 林书情;陈俊凡
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一阶线性差分方程的解法分析

高中数学新课标选修内容“一阶线性差分方程”的解法分析江西省高中数学课程标准研究组舒昌勇（341200）在高中数学新课标选修系列4的“数列与差分”专题中，一阶常系数线性差分方程x n+1=kx n+b (1)是讨论的重点，其一般形式为x n+1=kx n+f(n) (2)其中k为已知的非零常数，f(n)为n的已知函数．当f(n)≠0时，方程（2）称为非齐次的，f(n)=0时，方程x n+1=kx n(3)称为齐次的，并称（3）为（2）相应的齐次方程．方程（1）是方程（2）当f(n)为常数的情况，是方程（2）能用待定系数法求特解时所具有的几种特殊形式里最简单的一种．我们来讨论方程（1）和（3）通解的求法．1 求一阶齐次差分方程x n+1=kx n的通解用迭代法，给定初始值为x0，则一阶齐次差分方程x n+1=kx n的通解为x1 = kx0，x2=kx1=k2x0，x3=kx2=k3x0，…，一般地，有x n= kx0-1= k(k n-1x0)= k n x0，n = 1，2，…，由于x0表示初始值，可任意给定，所以可视其为任意常数，不妨用c来表示．又根据差分方程通解的定义：如果差分方程的解中含有与方程的阶数相同个数的相互独立的任意常数，则为其通解，故一阶线性齐次方程x n+1=kx n的通解可表为x n=k n c（c为任意常数）.对于每一个任意给定的初始值x0，都能得到方程相应于该初始值的一个特解.而求特解只要将给定的初始值x0代入通解求出待定常数c即可.2 求一阶非齐次差分方程x n+1=kx n+b的通解2．1探索一阶非齐次差分方程x n+1=kx n+b通解的结构设数列﹛y n﹜，﹛z n﹜为方程（3）的任意两个解，则y n+1=k y n +b (4)z n+1= k z n +b (5)(4)－(5) 得y n +1－z n +1=k(y n－ z n )这意味着一阶非齐次线性差分方程任意两个解的差为相应齐次差分方程的解．从而，若a n为非齐次方程（3）的任意一个解，b n为非齐次方程（3）的一个特解，则a n-b n就为相应齐次方程的一个解．为了探索一阶非齐次差分方程通解的结构，我们对它的任意一个解a n 作适当变形：a n=a n+b n- b n= b n +( a n - b n)这表明，一阶非齐次差分方程的任意一个解可表示为它的一个特解与相应齐次方程一个解的和的形式．从而非齐次方程的通解等于其一个特解加上相应齐次方程的通解．2．2 求一阶非齐次差分方程（3）的通解①用迭代法，设给定的初始值为x0，依次将n=0，1，2，…代入（3），有x1=kx0+bx2=kx1+b=k(kx0+b)+b =k2x0+b(1+k)x3=kx2+b= k[k2x0+b(1+k)]+b= k3x0+b(1+k+k2)……x n=k n x0+b(1+k+k2+…+k n-1)ⅰ）当k ≠1时, 1+k+k 2+…+k n-1 =k k n --11 此时x n =k n x 0+k k b n --1)1(=k n (x 0－k b-1)+k b -1由于x 0表示初始值，可任意给定，故可设其为任意常数，从而x 0－k b-1 也为任意常数．令x 0－kb-1=c ，则（3）的通解可表为 x n =k n c+k b -1 （c 为任意常数）ⅱ）当k=1时,1+k+k 2+…+k n-1=n此时x n =x 0+nb由于x 0可任意给定，即其可为任意常数，故（3）的通解可写为x n =c+nb （c 为任意常数）②待定系数法与求解常微分方程类似，待定系数法也是求非齐次线性差分方程一个特解的一种较为简便、常用的方法．其基本思想是：根据方程的非齐次项f(n)的特点，用与f(n)形式相同但系数为待定的函数，作为方程的特解（称为试解函数），然后将该试解函数代入方程，以确定试解函数（特解）中的待定系数，从而求出方程的一个特解．ⅰ）当k ≠1时，设方程（3）有一特解x n =A ，其中A 为待定常数，将其代入（3），有 A=kA+b ， A=k b -1 ，即x n =kb -1 知此时方程（3）的通解为x n = k n c+kb -1 （c 为任意常数） ⅱ）当k=1时，方程（3）为x n+1=x n +b ，知其解数列的一阶差分为常数，可设其有形如x n =An 的特解，代入（3），有A(n+1)=An+b ，得A=b ，即x n =bn知此时方程（3）的通解为x n = k n c+bn= c+bn （c 为任意常数）例1 求差分方程2y t+1+5y t =0的通解，并求满足y 0=2的特解.解将原方程改写成y t+1=（-25）y t ，故其通解为y t =(-25)t c ， c 为任意常数.用y 0=2代入通解：2=（-25）0c ，得 c = 2 .满足初值y 0=2的特解为y t =2(-25)t. 例2 求下列差分方程的通解（1）x n+1=x n +4（2）x n+1+x n =4解（1）方程中有k=1，b=4 .其通解为x n =c+4n ，（c 为任意常数）.（2）原方程可化为 x n+1= －x n +4 ，方程中k=－1，b=4 ，其通解为 x n = (－1)n c+)1(14--= (－1)n c+2 ，（c 为任意常数）.例3 某学术报告厅的座位是这样的安排的：每一排比前一排多2个座位.已知第一排有30个座位，（1）若用y n 表示第n 排的座位数，试写出用y n 表示y n+1的公式. （2）第10排的座位是多少个？（3）若用S n 表示前n 排的座位数，试写出用S n 表示S n+1的公式. （4）若该报告厅共有20排，那么一共有多少个座位？解（1）y n+1= y n +2 n =1,2,…（2）解上述差分方程，其中k=1,b=2 ，通解为 y n =2n+c ，c 为任意常数 .由已知y 1=30，代入，得c = 28 .特解为y n =2n+28 ， y 10=2×10+28=48(个) .（3）S n+1=S n +y n+1=S n +[2(n+1)+28]可得表达式为 S n+1=S n +2n+30 ， n=1，2，…（4）先解上述差分方程，由S n+1－S n =2n+30 ，即△S n =2n+30,知S n 的表达式为n 的二次函数，设S n =An 2+Bn+C ，则△S n =A （n+1）2+B （n+1）+C －An 2－Bn －C=2A n+ A+B = 2n+30 .可得 A=1， B=29 . 又由初始条件 y 1= 30= S 1，有30 =A+B+C ，故C=0 .因此本问题的特解S n = n 2+29n ， n =1,2,…S 20= 202+29×20=980（个）.注意：在本例小题（1）中每排座位数的表达式y n+1=y n +2 y n+1－y n =2,与小题（2）中前n+1排座位数表达式S n+1=S n +2n+30即S n+1-S n =2n+30都属一阶非齐次线性差分方程x n+1=kx n +f(n)类型，但前者属f(n)为常数的情况，而后者属f(n) 为n 的一次函数的情况，利用差分有关知识，知S n 的表达式是关于n 的二次函数．参考文献[1] 教育部.普通高中数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社，2003.83-85.[2] 严士健，张奠宙，王尚志. 普通高中数学课程标准（实验）解读[M].南京：江苏教育出版社，2004.218-228.[3] 张银生，安建业.微积分[M].北京：中国人民大学出版社，2004．431，448-460.[4] 黄立宏，戴斌祥.大学数学（一）[M]. 北京：高等教育出版社，2002.380-389 .（本文刊于中学数学教学(合肥)，2006，6．）。

差分方程x_n_1_ax_n_1_1_bx_nx_n_1_的全局稳定性

第20卷第2期陇东学院学报V o.l 20 N o .2 2009年3月 Journal of Longdong Universit yM ar .2009差分方程x n+1=(ax n-1)/(1+bx n x n-1)的全局稳定性完巧玲*(陇东学院数学系,甘肃庆阳745000)摘要:研究了差分方程x n +1=ax n-11+bx n x n-1,n =0,1,2, (a,b ,x -1,x 0为非负实数)的全局性质,得到了方程所有正解的单调性、有界性、周期性、局部渐近稳定性和全局渐近稳定性等相关结果.关键词:差分方程;平衡点;周期性;局部渐近稳定性;全局渐近稳定性中图分类号:O175.15 文献标识码:A 文章编号:1674-1730(2009)02-0006-03Global Asy mptotic Stability of t he D ifference Equati on:x n +1=(ax n -1)/(1+bx n x n -1)WAN Q iao -ling(D epart m ent of M athem atics ,Longdong University,Q ingyang 745000,G ansu,Ch ina )Abstract :Th is paper is to investi g ate the m ono ton icity ,boundedness ,l o cal and g lobal asy m ptotic stab il-ity of all positive so luti o ns o f the difference equation :x n+1=ax n-11+bx n x n-1,n =0,1,2, (a,b ,x -1,x 0arenonnegative real numbers).Key words :D ifference Equation ;Equili b riu m Po i n ;t Period i c ity ;LocalA sy m ptotic Stability ;G lobal as -ympto tic stab ility0 引言Cengi z C i nar[1]给出了差分方程x n+1=ax n-11+b x n x n-1,n =0,1,2,(1)(a ,b ,x -1,x 0为非负实)的解.受此启发,我们应用差分方程相关理论研究了方程(1)的全局性质.以下给出我们研究方程(1)时需要的相关结论:设I 是实数区间,f 是I 2上的连续函数,对初值x -1,x 0I ,差分方程x n+1=f (n ,n-1),n =0,1,2, (2)有唯一解{x n }n=-1.称解x -为方程(2)的平衡点,如果x -=f (x -,x -).定义1[2]设x -为方程(2)的平衡点.*收稿日期:2008-06-03基金项目:甘肃省高校研究生导师科研基金(0710-04;0810-03)作者简介:完巧玲(1965 ),女,甘肃泾川人,讲师,主要从事非线性分析与微分、差分方程研究.(1)称x -为局部稳定的,若对任意的 >0,存在 >0,对所有x -1,x 0 I 和|x 0-x -|+|x -1-x -|< ,有|x n -x -|< ,n -1.(2)称x -为局部渐近稳定的,若x -是局部稳定的,并且存在y >0,对所有x -1,x 0 I 和|x 0-x -|+|x -1-x -|<y ,有lm i nx n x -.(3)称x -是全局吸引子,若对所有x -1,x 0 I ,有lm i nx n x -.(4)称x -为全局渐近稳定的,若x -为局部渐近稳定的,并且x -是全局吸引子.设p =f u (x -,x -),q = f v(x -,x -)是(2)决定的函数f (u ,v)在x -处偏导数.称方程y n+1=py n +qy n-1,n =0,1,2, (3)为(2)的关于平衡点x -的线性相伴.定理1[2]若方程 2-p -q =0的根均小于1,则x -是局部渐近稳定的;(2)若方程 2-p -q =0的根至少有一个大于1,则x -是不稳定的;(3)若平衡点x -是鞍点的充分必要条件是|p |>|1-q |并且p 2+4q >0.定理2[2]设差分方程x n+1=f 0(x n ,x n-1)x n +f 1(x n ,x n-1)x n-1,n =0,1,2, (4)带非负初值条件,并且有f 0,f 1 C [0,+ ) [0,+ ),[0,1],当满足下列条件时(i)f 0和f 1关于x ,y 不增(ii)f 0(x ,x )>0, x 0(iii)f 0(x ,y )+f 1(x,y )<1, x ,y (0,+ )则方程(4)的0平衡点是全局渐近稳定的.本文用到的其它定义和定理请参看Kule nonv i c 和La das[2].1 单调性、有界性、周期解定理1.1 设{x n }n=-1是方程(1)的解.当a1时,则序列{x n }n=-1是严格递减的.证明:Qx 0,x -1,b >0, x n >0,x n-1>0,从而b x n x n-1>0故 x n+1ax n-11+bx n x n-1<ax n-1<x n-1证毕.从定理1.1,很容易得到下面的推论:推论1.1 当a1时,设{x n }n=-1是方程(1)关于初值x -1,x 0的解,则序列{x n }n=-1有界.定理1.2 方程(1)没有正2-周期解.证明:设 , 是方程(1)的2-周期解, , 均大于0且 .则由2-周期解的定义得 =a /(1+b ), =a /(1+b ),化简得 +b 2=a, +b 2=a 进一步化简 (1-a)( - )+b ( - )=0(5)而 - 0,故有 =a -1b(6)再者,有 ( + )(1-a +b )=0(7)将(6)代入(7)得( + )(1-a +1-a)=2( + )(1-a)=0(8)若a =1,由(6)知, =0,从而, =0或 =0,矛盾.若a 1,则由(8)有 + =0, =- , , 均等于0或者一正一负,矛盾.故方程(1)没有正2-周期解.证毕.7第2期完巧玲:差分方程x n+1=(ax n-1)/(1+bx n x n-1)的全局稳定性2 平衡点的稳定性设f (x ,y)=ay 1+b xy ,则p =f x (x ,y)=-ab y 2(1+b xy )2,q =f y (x ,y )=a(1+b xy )2.方程(1)关于平衡点x -的线性相伴为 2+ab x -2(1+b x -2)2 -a(1+b x -2)2=0.下面讨论方程(1)的解在平衡点处的稳定性.情形1.当a >1,b >0时,(1.1)有三个实平衡点x 1-=0,x 2-=-a -1b,x 3-=a -1b(见[1]).对0平衡点,线性相伴方程为 2=a , = a ,| |>1因此,0是不稳定的平衡点.对平衡点x 2-=-a -1b,x 3-=a -1b,线性相伴方程为a 2+(a -1) -1=0,它的两个根为 ,因此,不能判断这两个平衡点的稳定性.情形2.当1>a >0时,我们有下面的结果:定理2.3 当1>a >0,b >0时.方程(1)有唯一实平衡点,且是局部渐近稳定的平衡点.证明:方程(1)的平衡点x -满足方程bx -3+(1-a)x -=0,因此,0是唯一实的平衡点,线性相伴方程为 2=a, = a ,| |<1,由定理1,0是局部渐近稳定的平衡点.证毕.定理2.4 当a =1,b >0时,方程(1)有唯一实平衡点0,且是全局渐近稳定的.证明:当a =1,时,方程(1)的平衡点x -满足方程b x -3=0,b 0,因此,0是方程(1)的唯一平衡点.对方程(1),由于x -1,x 0 (0,+ ),故对 n ,x n >0,因而(1)可转化为方程x n+1=ax n-12x n (1+bx n x n-1)x n +a2(1+b x n x n-1)x n-1(9)设f (x ,y)=y /(1+b xy )=xy /2x (1+b xy )+y /2(1+b xy )其中 f 0(x ,y )=y /2x (1+b xy),f 1(x ,y )=1/2(1+b xy)可以验证,函数f 0(x ,y ),f 1(x ,y ) (0,+ )关于变量x ,y 单调减.当x ,y(0,+ )时,显然,0<f 0(x ,y)=y /2x (1+b xy)<1,0<f 1(x ,y)=1/2(1+b xy )<1/2.0<f 0(x ,x )=x /2x (1+b x 2)=1/2(1+b x 2)<1/2,x >0时.f 0(x,y )+f 1(x ,y)=y /2x (1+b xy )+1/2(1+bxy)=(x +y )/2(x +b x 2y )<1, x ,y (0,+ ).根据定理2知,0平衡点是全局渐近稳定的平衡点.证毕.参考文献:[1]Cengiz Ci nar ,On the positive s o l utio ns of the differ ence eq uati on x n+1=(a x n-1)/(1+bx n x n-1)[J].App.l Math .Co mp u.t,2004,156:587-590.[2]V .L .Kocic das ,Dyna m ics of s econ d ord er rati onal difference equati ons w it h op en probl e ms a nd c onjectures[M ].Chap man&Hall,2002.[3]W .T .L,i H .R.S un ,X .X .Yan ,The as y m t otic beha v i or of a hi gher or der dela y n onli near differe nc e eq uati ons [J ].I n d-ia n J .Pure App.l Mat h .,2003,34(10):1431-1441.[4]X .X .Yan a ndW .T .L,i Glo bal attracti vity i n a rati onal recursi ve s eq uence[J].Ap p.lM ath .Co mpu.t ,2003,145(1):1-12.责任编辑赵建萍8陇东学院学报第20卷。