(浙江版)2019年高考数学一轮复习 专题2.4 函数奇偶性与周期性(讲)

（浙江版）2019年高考数学一轮复习 专题2.4 函数奇偶性与周期性

（讲）

【考纲解读】

【知识清单】

1.函数的奇偶性

对点练习

【2017陕西西安铁中月考】下列函数为奇函数的是( ) A.y ＝x B.y ＝e x

C.y ＝cos x

D.y ＝e x

－e －x

【答案】D

【解析】A ，B 中显然为非奇非偶函数；C 中cos y x =为偶函数. D 中函数定义域为R ，又()()()x

x

x

x

f x e e e e f x －－－＝－＝－－＝－，

∴x x

y e e －＝－为奇函数. 2.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期. 对点练习

设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩

⎪⎨

⎪⎧－4x 2

＋2，－1≤x <0，

x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫32＝________.

【答案】1

【考点深度剖析】

函数的奇偶性、周期性，通常与抽象函数以及函数的单调性结合考查，往往以选择题或填空题的形式出现.其中函数的周期性，浙江卷常通过三角函数加以考查．

【重点难点突破】

考点1 函数奇偶性的判断

【1-1】【2017浙江杭州质检】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A.y ＝x ＋sin 2x B.y ＝x 2

－cos x C.y ＝2x

＋12x

D.y ＝x 2

＋sin x

【答案】D

【解析】对于A ，定义域为R ，()()() ) 2(2f x x sin x x sin x f x －＝－＋－＝－＋＝－，为奇函数；对于B ，定义域为R ，()2

2

()()()f x x cos x x cosx f x －＝－－－＝－＝，为偶函数；对于

C ，定义域为R ，

()2

(12)122x x

x x f x f x -－－＝＋

＝＋＝，为偶函数；2y x sinx ＝＋既不是偶函数也不是奇函数，故选D.

【1-2】已知f (x )＝ax 2

＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A.－1

3

B.13

C.12

D.－12

【答案】B

【解析】依题意0b ＝，且(2)1a a ＝－－

，∴1

3a ＝，则13

a b +＝. 【领悟技法】

判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断()f x 与()f x -是否具有相等关系或者相反关系.

在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式()0()f x f x ＋－＝ (奇函数)或

()0()f x f x -－＝ (偶函数)是否成立.

【触类旁通】

【变式一】已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，则()f x 为

( )

A ．偶函数

B ．奇函数

C ．既是奇函数又是偶函数

D ．非奇非偶函数 【答案】

B

【变式二】【2017北京，理5】已知函数

1

()3()3x x

f x =-，则()f x （A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数

（C ）是奇函数，且在R 上是减函数

（D ）是偶函数，且在R 上是减函数

【答案】A

【解析】()()113333x

x

x x f x f x --⎛⎫⎛⎫

-=-=-=- ⎪

⎪⎝⎭

⎝⎭

，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x

⎛⎫ ⎪⎝⎭

是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A. 考点2 函数奇偶性的性质及应用

【2-1】【2017课标1，理5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的的取值范围是 A ．[2,2]-

B ．[1,1]-

C ．[0,4]

D ．[1,3]

【答案】D 【解析】

【2-2】【2017广东梅州模拟】若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足

()()x f x g x e -=，则有( )

A ．()()()230f f g <<

B ．()()()032g f f <<

C ．()()()203f g f <<

D ．()()()023g f f << 【答案】D

【解析】由题意，得()()()()x

x

f x

g x e

f x

g x e

-⎧-=⎪⎨--=⎪⎩ 解得()()22

x x

x x

e e

f x e e

g x --⎧-=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩

故(0)1g =-，()f x 为R 上的增函数，()()023f f <<，故()()()023g f f <<． 【2-3】【2017浙江台州中学月考】偶函数()y f x =在区间[0,4]上单调递减，则有（ ） A.(1)()()3

f f f π

π->>-

B.()(1)()3

f f f π

π>->-

C.()(1)()3

f f f π

π->->

D.(1)()()3

f f f π

π->->

【答案】A.

【解析】由题意得，014(1)(1)()()()33

f f f f f π

π

πππ<<<<⇒-=>>=-，故选A.

【领悟技法】

1．已知函数的奇偶性求函数的解析式．