2018届高中数学高考二轮复习教案： 概率统计
【高考二轮课程】数学理科 第3讲 概率与统计 教案
高考二轮复习第3讲概率与统计随机事件的概率、古典概型、几何概型；概率的基本概念与公式；用样本估计总体、回归分析和独立性检验等；条件概率与相互独立事件的概率；离散型随机变量及其分布列；二项分布与正态分布；离散型随机变量的分布列、均值与方差.一、高考回顾概率与统计是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择或者填空题，一个解答题．选择或者填空题有针对性地考查古典概型及其二项式定理，二项式定理主要考查求特定项或系数或求参数等，试题的难度一般不大；解答题考查多在概率与统计的综合问题，重点考查随机变量的期望与方差．二、知识清单1.思维导图2.知识再现1.排列排列数公式：),,()!(!)1()1(**N n N m n m m n n m n n n A mn ∈∈≤-=+--=Λ2.组合(1)组合数公式：),,()!(!!1)1()1()1(**N n N m n m m n m n m m m n n n A A C m m m n m n∈∈≤-=-+--==ΛΛ.由于1!0=，所以10=n C .(2)组合数的性质m n n m n C C -=①；1-1m n m n m n C C C +=+②.3.二项式定理(1)二项展开式：)()(*111N n b C b a C b a C a C b a nn n k k n k n n n nn n∈+++++=+--ΛΛ通项：).2,1,0(1n k b aC T k kn kn k Λ==-+(2)二项式系数的有关性质：①二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即1425312-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ΛΛ；②若,)(2210nn x a x a x a a x f ++++=Λ则)(x f 展开式中的各项系数和为)1(f ，奇数项系数和为2)1()1(420-+=+++f f a a a Λ，偶数项系数之和为2)1()1(531--=+++f f a a a Λ.4.三种抽样方法的特点简单随机抽样:操作简便、适当,总体个数较少 分层抽样:按比例抽样 系统抽样:等距抽样5. 必记公式——数据n x x x x ,,,,321Λ的数字特征公式： （1）平均数：nx x x x x n++++=Λ321（2）方差：])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=Λ（3）标准差：])()()[(122221x x x x x x ns n -++-+-=Λ 6.重要性质及结论(1)频率分布直方图的三个结论 ①小长方形的面积=⨯=组距频率组距频率;②各小长方形的面积之和等于1;③小长方形的高组距频率=. (2)回归直线方程:一组具有线性相关关系的数据),(,),,(),,(2211n n y x y x y x Λ其回归方程^^^a xb y +=，其过样本中心点),(y x .(3)独立性检验))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n k ++++-=（其中d c b a n +++=为样本容量）.7.随机事件的概率：(1)随机事件的概率范围：1)(0<<A P .(2)必然事件的概率为1.(3)不可能事件的概率为0. 8.互斥事件、对立事件的概率公式:(1))()()(B P A P B A P +=⋃.(2)若B A ,为对立事件，则)(1)(B P A P -=. 9.古典概型的概率公式：基本时间总数中所含的基本事件数A n m A P ==)(. 10.几何概型的概率公式：）区域长度（面积或体积试验全部结果所构成的积）的区域长度（面积或体构成事件A A P =)(.11.相互独立事件同时发生的概率：)()()(B P A P AB P =.12.独立重复试验与二项分布:如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为kn kkn k n p p C P --=)1()(，.,,2,1,0n k Λ=用X 表示事件A 在n 次独立重复试验中发生的次数，则X 服从二项分布，即),(~p n B X 且kn kkn p p C k X P --==)1()(.13.超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则nNKN MN k M C C C k X P --==)(，.,,2,1,0m k Λ=其中},min{n M m =，且*,,N N M n N M N n ∈≤≤、、.此时称随机变量X 服从超几何分布.超几何分布的模型是不放回抽样. 14.离散型随机变量的均值、方差 (1)离散型随机变量X 的分布列为离散型随机变量X 的分布列具有两个性质：①0≥i p ；②),,3,2,1(121n i p p p p n i ΛΛΛ==++++. (2) ))(2211n n i i p x p x p x p x X E ++++=ΛΛ为随机变量X 的数学期望或均值.n n i i p X E x p X E x p X E x p X E x X D ⋅-+⋅-++⋅-+⋅-=22222121))(())(())(())(()(ΛΛ叫做随机变量X 的方差.性质：①b X aE b aX E +=+)()(，)()(2X D a b aX D =+；②),(~p n B X ，则np X E =)(，)1()(p np X D -=；),(~2σμN X ,则2)(,)(σμ==X D X E ; ③X 服从两点分布，则p X E =)(,)1()(p p X D -=.三、例题精讲题型一 古典概型与几何概型例1【2018全国1卷理10】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形、此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ,直角边AB ,AC ，△ABC 的三边所围成的区域记为I ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为III .在整个图形中随机取一点。
高中数学高考二轮复习概率与统计教案
高中数学高考二轮复习概率与统计教案本专题涉及面广，常以生活中的热点问题为依托，在高考中的考查方式十分灵活，强化“用数据说法，用事实说话”的考查内容。
为了突破这一专题，可以按照“用样本估计总体”、“古典概型与几何概型”、“随机变量及其分布列”、“独立性检验与回归分析”四个方面分类进行引导。
在古典概型问题的求解中，可以采用直接列举、画树状图、逆向思维、活用对称等技巧。
对于特殊古典概型问题，画树状图可以使列举结果不重不漏；对于较复杂的问题，逆向思维可以先求对立事件的概率，再得到所求事件的概率；对于具有对称性的问题，可以利用对称思维快速解决。
几何概型的求解关键在于准确确定度量方式和度量公式，常见的几何度量包括长度、面积、体积、角度等。
在求解概率时，可以采用将所求事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率，或者利用对立事件的概率公式“正难则反”来求“至少”或“至多”型事件的概率。
举例来说，对于一个问题：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，周六、周日都有同学参加公益活动的概率为多少？其中，4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有2的4次方等于16种，其中仅在周六或周日参加的各有1种，所以所求概率为1减去(1+1)/16，即7/8.总之，熟练掌握古典概型与几何概型的求解技巧，以及求解概率的常用方法，可以在高考中更好地应对这一专题。
基本事件为取出的第一颗球和第二颗球的颜色，共有10种基本事件，其中第一颗球为白球的有3种情况，第二颗球为黑球的有2种情况，所以第一次为白球、第二次为黑球的概率为3/10，选B。
2)对于函数f(x)＝ax＋bx＋x－3在R上为增函数，即a＋b＋1＞0，所以a＋b＞－1.因为a，b都是M中的元素，所以a ＋b的取值有16种，其中a＋b＞－1的取值有9种，所以函数f(x)在R上为增函数的概率为9/16，选A。
中大于30的有12种，即(3,4),(3,5),(4,5),(2,4),(2,5),(1,4),(1,5),(2,3),(1,3),(1,2)和(4,3),(5,3)．故所求概率为12/20=3/5，选项C正确．变式训练2](2017·全国卷Ⅰ)设函数f(x)=ax^2+bx+c，其中a,b,c均为实数，且满足f(1)=2,f(2)=3,f(3)=6，则f(x)在[1,3]上的最小值为()A。
2018年高考数学二轮复习考前专题七概率与统计第1讲排列、组合、二项式定理讲学案理
第1讲排列、组合、二项式定理L 考情考向分析 -------------------------------1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查.2•二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交 汇，值得关注.n 热点分类突破热点一两个计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成， 则要用分类加法计数原理， 将方法种数相加；如果需 要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理，将各步的方法种数相乘.例1 （1）（2017 •东北三省三校联合）在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有 6块广告牌，牌 的底色可选用红、 蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色， 则不同的配色方案共A .有（）A. 20 种B. 21 种I C. 22 种 D. 24 种A. 24 B . 18答案 B解析分类讨论.当广告牌没有蓝色时，有1种结果; 当广告牌有1块蓝色时，有C 6 = 6（种）结果;当广告牌有2块蓝色时，先排4块红色，形成5个位置，插入2块蓝色， \A/7 7当广告牌有3块蓝色时，先排3块红色，形成4个位置，插入3块蓝色,7 71丿有&= 10（种）结果;有C 4 = 4（种）结果; 根据分类加法计数原理有 1 + 6+ 10+ 4= 21（种）结果.故选B.（2）（2016 •全国H ）如图，小明从街道的 E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于 G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为C. 12 D . 9答案B解析从E到F的最短路径有6条，从F到G的最短路径有3条,所以从E到G的最短路径为6X 3 = 18（条），故选B.思维升华（1）在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理.（2）对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化.跟踪演练1 （1）某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元（红包1中金额相同视为相同红包），则甲、乙都抢到红包的情况有（）A. 18 种B. 24 种C. 36 种D. 48 种答案C解析若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AA = 12（种），若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A2A2= 12（种），若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AkU 6（种），若甲、乙抢的是两个6元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A3= 6（种），根据分类加法计数原理可得甲、乙都抢到红包的情况共有36种.故选C.（2）（2017 •江西省五市八校联考）某学校高三年级有2个文科班，3个理科班，现每个班指定1人对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同的安排方法种数是（）A. 24 B . 32C. 48 D . 84答案A解析首先安排文科学生，文科两个班的学生有A2种安排方法，然后安排理科学生，理科的学生有A2x A2种安排方法，利用分步乘法计数原理可得，不同的安排方法种数为A3x A1X A= 24（种）.故选A.热点二排列与组合① 排列与顺序有关； ② 两个排列相同，当且仅当这 两个排列的元素及其排列顺序 完全相同 例2 （1）（2017届四川省广元市三诊）某城市关系要好的 A B, C, D 四个家庭各有两个小孩 共8人，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置）， 其中A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车， 则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭 的乘坐方式共有（ ） A. 18 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种 答案 B 解析 若A 户家庭的孪生姐妹乘坐甲车， 即剩下的两个小孩来自其他的 3个家庭，有d • 2 =12（种）方法，若A 户家庭的孪生姐妹乘坐乙车，那来自同一家庭的 2名小孩来自剩下的3 个家庭中的一个，有 d ・22= 12（种），所以共有12+ 12= 24（种）方法，故选B. （2）（2017 •天津）用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数 的四位数，这样的四位数一共有 __________ 个.（用数字作答） 答案 1 080 解析 ①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为 C •Ci •A 4 = 960. ②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为 A 4= 120. 故符合题意的四位数一共有 960 + 120 = 1 080（个）. 思维升华 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类 相加，分步相乘. 具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径 （1） 以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. （2） 以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置. （3） 先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数. 解答计数问题多利用分类讨论思想.分类应在同一标准下进行，确保“不漏” “不重”.不同点 ① 组合与顺序无关； ② 两个组合相同，当且仅 当这两个组合的元素完全 相同跟踪演练2 (1)(2017 •兰州模拟)某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有()A. A18种B . A0种c. A3A?8A!0# D. 届8种答案D解析先排美、俄两国领导人，方法有A2种，剩下18人任意排有A18种，故共有A2・A18种不同的站法.1(2)(2017 •广东省韶关市模拟)5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，Ci则不同的分配方法共有()A. 25 种B. 60 种C. 90 种D. 150 种答案DXI ▽解析因为5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，所以共有两种方法：dc2 3一，一个单位1名，其他两个单位各2名，有-^X 90(种)分配方法；二，一个单位3名，其他两个单位各1名，有C X A = 60(种)分配方法，共有90 + 60= 150(种)分法，故选D.热点三二项式定理(a+ b)n= C°a n+ Ci a n_1b+…+ k b k+ •••+ CK，其中各项的系数C；(k = 0,1 ,n)叫做二项式系数；展开式中共有、n+ 1项，其中第k+ 1项T k+1 = Ci a n_k b k(其中0< k< n, k€ N, n€ N*)称为二项展开式的通项公式.例3 (1)(2017 •河南省普通高中质量监测)(3 —2x —x4) • (2x—1)6的展开式中，含X3项的系数为()A. 600B. 360C. —600 D . —360答案C解析依题意，由排列组合知识可知，展开式中X3项的系数为3 X C323( —1) 3—2 X C622( —1)4 =—600.故选 C.⑵(2017届湖北省黄冈市质量检测)已知(1 —2x)2 017= a o+ a*x—1) + a2(x—1)2+ …+ a2 016( x 2 0162 017—1) + a2 017(x—1) (x€ R),贝y a1—2a2+ 3sb —4a4+…一2 016a2 016+ 2 017比。
最新高三教案-2018届高三数学概率统计 精品
十一、概率与统计考试要求：1、了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。
2、了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能事件的概率。
3、了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。
4、会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率。
5、了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列。
6、了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据散型随机变量的分布列求出期望值、方差。
7、会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本。
8、会用样本频率分布去估计总体分布。
1、一个骰子连续掷两次，以先后得到的点数m ，n 为点P (m ，n )，那么点P 在圆1722=+y x 外部的概率为：A. 31 B. 32 C. 1811 D. 1813 2、用1、2、3、4这四个数字组成比2000大，且无重复数学的四位数的概率是: A ．41 B ．21 C ．43 D ．31 3、甲乙两个围棋队各5名队员按事先排好的顺序进行擂台赛，双方1号队员先赛，负者被淘汰，然后负方的2号队员再与对方的获胜队员再赛，负者又被淘汰，一直这样进行下去，直到有一方队员全被淘汰时，另一方获胜. 假设每个队员的实力相当，则甲方有4名队员被淘汰且最后战胜乙方的概率是 .4、设}6,5,4,3,2,1{=A , }9,7,5,3,1{=A , 集合C 是从A ⋃B 中任取2个元素组成的集合,则 ≠⊂C B A 的概率是____________ 5、一名同学投篮的命中率为32，他连续投篮3次，其中恰有2次命中的概率为： A ．32 B ．274 C ．92 D ．94 6、在6个电子产品中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完后不放回，直到两个次品都找到为止，那么经过四次测试恰好将两个次品全部找出来的概率是 A. 154 B. 51 C. 52 D. 274 7、两名战士在一次射击比赛中，甲得1分，2分，3分的概率分别是0.2，0.3，0.5，乙得1分，2分，3分的概率分别是0.1，0.6，0.3，那么两名战士哪一位得胜的希望较大8、某校有教职工200人，男学生1000人，女学生1200人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从教职工中抽取的人数为10，则n =9、一个容量为20的样本,数据的分组及各组频数如下：;4],40,30(;3],30,20(;2],20,10( ;2],70,60(;4],60,50(;5],50,40(则样本在区间]50,10(上的频率为:A ．0.5B ．0.7C ．0.25D ．0.0510、在某路段检测点，对200辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为如右频率分布直方图，则车速不小于90km /h 的汽车约有 辆。
高三数学复习教案：概率统计
高三数学复习教案：概率统计一、教学目标1.理解概率统计的基本概念，掌握概率的计算方法。
2.能够运用概率统计的方法解决实际问题。
3.提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容1.概率的基本概念与计算方法2.离散型随机变量及其分布列3.连续型随机变量及其概率密度函数4.随机变量的期望和方差5.统计量的概念与计算方法6.假设检验与置信区间三、教学重点与难点1.教学重点：概率的基本概念与计算方法，离散型随机变量及其分布列，连续型随机变量及其概率密度函数，随机变量的期望和方差。
2.教学难点：离散型随机变量分布列的求解，连续型随机变量概率密度函数的应用，随机变量期望和方差的计算。
四、教学过程第一课时：概率的基本概念与计算方法1.引入同学们，大家好！今天我们开始复习概率统计这一模块。
让我们回顾一下概率的基本概念和计算方法。
2.概念讲解（1）概率的定义：在一定条件下，某个事件发生的可能性大小。
①0≤P(A)≤1②P(∅)=0，P(S)=1③对于任意可列个两两互斥的事件A1，A2，…，有P(A1∪A2∪…)=P(A1)+P(A2)+…3.概率的计算方法（1）古典概型：若样本空间S中的每个基本事件等可能发生，则事件A的概率为：P(A)=A中基本事件数/样本空间S中基本事件数（2）条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记为P(A|B)。
根据条件概率的定义，有：P(A|B)=P(AB)/P(B)（3）乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)（4）全概率公式与贝叶斯公式4.例题讲解（1）古典概型：掷一枚硬币，求正面朝上的概率。
（2）条件概率与乘法公式：甲、乙两人比赛，甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4。
若甲先赢一局，求甲最终获胜的概率。
（3）全概率公式与贝叶斯公式：某工厂有两个车间，第一车间生产的产品占60%，第二车间生产的产品占40%。
第一车间不合格率为0.01，第二车间不合格率为0.02。
从工厂中随机抽取一件产品，发现不合格，求这件产品来自第一车间的概率。
高三数学复习教案——概率统计
概率统计【命题趋向】概率与统计是高中数学的重要学习内容，它是一种处理或然问题的方法，在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用，渗透到社会的方方面面，概率与统计的基础知识成为每个公民的必备常识．概率与统计的引入，拓广了应用问题取材的范围，概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算及应用都是考查应用意识的良好素材．在高考试卷中，概率与统计的内容每年都有所涉及，以解答题形式出现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识别等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识别及概率计算．解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用．由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的，高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法．该部分在高考试卷中，一般是2—3个小题和一个解答题．【考点透析】概率统计的考点主要有：概率与统计包括随机事件，等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，古典概型，几何概型，条件概率，独立重复试验与二项分布，超几何分布，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望和方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布，线性回归等．【例题解析】题型1 抽样方法【例1】在1000个有机会中奖的号码（编号为000999-）中，在公证部门监督下按照随机抽取的方法确定后两位数为的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是（）A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．以上均不对分析：实际“间隔距离相等”的抽取，属于系统抽样．解析：题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码，中奖号码依次为：088，188，288，388，488，588，688，788，888，988．答案B．点评：关于系统抽样要注意如下几个问题：（1）系统抽样是将总体分成均衡几个部分，然按照预先定出的规则从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的一种抽样方法．（2）系统抽样的步骤：①将总体中的个体随机编号；②将编号分段；③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；④按事先研究的规则抽取样本．（3）适用范围：个体数较多的总体．例2（2008年高考广东卷理3）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（）A．24B．18C．16D．12分析：根据给出的概率先求出x的值，这样就可以知道三年级的学生人数，问题就解决了．占全校学生总数的19%，解析：C 二年级女生即20000.19380x=⨯=，这样一年级和二年级学生的总数是3733773803701500+++=，三年级学生有500人，用分层抽样抽取的三年级学生应是64500162000⨯=．答案C．点评：本题考查概率统计最基础的知识，还涉及到一点分析问题的能力和运算能力，题目以抽样的等可能性为出发点考查随机抽样和分层抽样的知识．例3．（2009江苏泰州期末第2题）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[)2500,3500（元）月收入段应抽出 人．分析：实际上是每100人抽取一人，只要把区间内的人数找出来即可．解析：根据图可以看出月收入在[)2500,3500的人数的频率是()0.00050.00035000.4+⨯=，故月收入在[)2500,3500人数是100000.44000⨯=，故抽取25人．点评：本题把统计图表和抽样方法结合起来，主要目的是考查识图和计算能力．题型2统计图表问题例4（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第2题）从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如右图：若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为A ．10B ．20C ．8D ．16分析：根据图找出视力在0.9以上的人数的频率即可．解析：B ． 视力住0.9以上的频率为(10.75.025)0.20.4++⨯=，人数为0.45020⨯=．点评：在解决频率分别直方图问题时容易出现的错误是认为直方图中小矩形的高就是各段的频率，实际上小矩形的高是频率除以组距．例5 （2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第13题）某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是 ；众数是 ．分析：根据茎叶图和中位数、众数的概念解决．解析：由于中位数是把样本数据按照由小到大的顺序排列起来，处在中间位置的一个（或是最中间两个数的平均数），故从茎叶图可以看出中位数是23；而众数是样本数据中出现次数最多的数，故众数也是23．点评：一表（频率分布表）、三图（频率分布直方图、频率折线图、茎叶图）、三数（众数、中位数、众数）和标准差，是高考考查统计的一个主要考点．例5（2008高考广东文11）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[)45,55，[)[)[)55,65,65,75,75,85，[)85,95由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[)55,75 的人数是 ．分析：找出频率即可．解析： ()200.0400.00251013⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦．点评：本题考查频率分布直方图，解题的关键是明确这个直方图上的纵坐标是频率/组距，得出生产数量在[)55,75的人数的频率．题型3 平均数、标准差（方差）的计算问题例6 （2008高考山东文9）从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100 人成绩的标准差为（ ）ABC ．3D ．85分析：根据标准差的计算公式直接计算即可．解析： 平均数是5204103302301103100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，标准差是5s ====答案B ．点评：本题考查数据组的平均数和标准差的知识，考查数据处理能力和运算能力．解题的关键是正确理解统计表的意义，会用平均数和标准差的公式，只要考生对此认识清楚，解答并不困难．例7．（中山市高三级2008—2009学年度第一学期期末统一考试理科第9题）若数据123,,,,n x x x x 的平均数5x =，方差22σ=，则数据12331,31,31,,31n x x x x ++++的平均 数为 ，方差为 ．分析：根据平均数与方差的性质解决．解析：16,18例8．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第3题）如图是2009年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A ． 84，4.84B ．84，1.6 C ． 85，1.6 D ．85，4解析：C题型4 用样本估计总体例8（2008高考湖南文12）从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人．解析：60 由上表得23211500023060.500-⨯=⨯=点评：考查样本估计总体的思想．题型5．线性回归分析例9．（2007高考广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出ｙ关于ｘ的线性回归方程y bx a =+；（3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤；试根据（２）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？分析：本题中散点图好作，本题的关键是求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+，它既可以由给出的回归系数公式直接计算，也可以遵循着最小二乘法的基本思想――即所求的直线应使残差平方和最小，用求二元函数最值的方法解决．解析：（1）散点图如右；（2）方法一：设线性回归方程为y bx a =+，则222222222(,)(3 2.5)(43)(54)(6 4.5)42(1814)(3 2.5)(43)(54)(6 4.5)f a b b a b a b a b a a a b b b a b =+-++-++-++-=+-+-+-+-+-∴79 3.5 4.52b a b -==-时， (,)f a b 取得最小值2222(1.51)(0.50.5)(0.50.5)(1.51)b b b b -+-+-+-，即22250.5[(32)(1)]572b b b b -+-=-+，∴0.7,0.35b a ==时(),f a b 取得最小值．所以线性回归方程为0.70.35y x =+．方法二：由系数公式可知，266.54 4.5 3.566.5634.5, 3.5,0.75864 4.5x y b -⨯⨯-=====-⨯93.50.70.352a =-⨯=，所以线性回归方程为0.70.35y x =+．（3）100x =时，0.70.3570.35y x =+=，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤．点评：本题考查回归分析的基本思想．求线性回归方程的方法一这实际上是重复了回归系数公式的推导过程，这里的另一个解决方法是对(),f a b 我们再按b 集项，即()()()()()22222,86(36133) 2.534 4.5f a b b a b a a a a =+-+-+-+-+-，而这个时候，当13336172a b -=时(),f a b 有最小值，结合上面解法中 3.5 4.5a b =-时(),f a b 有最小值，组成方程组就可以解出a ，b 的值；方法二前提是正确地使用回归系数的计算公式，一般考试中都会给出这个公式，但要注意各个量的计算；最后求出的19.65是指的平均值或者是估计值，不是完全确定的值．对于本题我们可以计算题目所给的数据组的相关系数0.9899r =，相关指数20.98R =．这说明x ，y 具有很强的线性相关性，说明解释变量对预报变量的贡献率是98%，即耗煤量的98%是来自生产量，只有约2%来自其它因素，这与我们的直观感觉是十分符合的．本题容易用错计算回归系数的公式，或是把回归系数和回归常数弄颠倒了．例10．（江苏扬州市2008-2009学年度第一学期期未调研测试第17题）为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行分析．下面是该生7次考试的成绩．（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；（2）已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．分析：成绩的稳定性用样本数据的方差判断，由物理成绩估计数学成绩由回归直线方程解决．解析：（1）12171788121001007x --+-++=+=； 69844161001007y --+-+++=+=； 2994==1427S ∴数学，2250=7S ∴物理， 从而22S S >数学物理，所以物理成绩更稳定． （2）由于x 与y 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到497ˆˆ0.5,1000.510050994b a ===-⨯=， ∴线性回归方程为0.550y x =+．当115y =时，130x =．建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高．点评：《考试大纲》在必修部分的统计中明确指出“①会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．②了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程”．2007年广东就以解答题的方式考查了这个问题，在复习备考时不可掉一轻心．题型6 古典概型与几何概型计算问题例11 （2008高考江苏2）一个骰子连续投2次，点数和为4的概率 ． 分析：枚举基本事件总数和随机事件所包含的基本事件的个数后，根据古典概型的计算公式计算．解析：点数和为4，即()()()1,3,2,2,3,1，基本事件的总数是36，故这个概率是31369=．或是数形结合处理． 点评：古典概型的计算是一个基础性的考点，高考中除了以解答题的方式重点考查概率的综合性问题外，也以选择题、填空题的方式考查古典概型的计算．例12．（2009年福建省理科数学高考样卷第4题）如图，边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机投掷一个点，则该点落到圆内的概率是A ．4πB ．4πC ．44π-D ．π分析：就是圆的面积和正方形面积的比值．解析：根据几何概型的计算公式，这个概率值是4π，答案A ． 点评：高考对几何概型的考查一般有两个方面，一是以选择题、填空题的方式有针对性地考查，二是作为综合解答题的一部分和其他概率计算一起进行综合考查． 例13．（2008高考山东文18）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123A A A ，，通晓日语，123B B B ，，通晓俄语，12C C ，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组 成一个小组．（1）求1A 被选中的概率；（2）求1B 和1C 不全被选中的概率．分析：枚举的方法找出基本事件的总数，结合着随机事件、对立事件的概率，用古典概型的计算公式解决．解析：（1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，122131()()A B C A B C ，，，，，， 132()A B C ，，，211212221()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，222()A B C ，，， 231()A B C ，，，232()A B C ，，，311312321()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，， 322331332()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“1A 恰被选中”这一事件，则M ={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，122131132()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}事件M 由6个基本事件组成，因而61()183P M ==． （2）用N 表示“11B C ，不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“11B C ，全被选中”这一事件， 由于N ={111211311()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}，事件N 有3个基本事件组成， 所以31()186P N ==，由对立事件的概率公式得15()1()166P N P N =-=-=． 点评：本题考查古典概率、对立事件等概率的基础知识，考查分类讨论、“正难则反”等数学思想方法，考查分析问题解决问题的能力．题型7 排列组合（理科）例14．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第9题）由0,1,2,3,4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列{}n a ,则19a =A ．2014B ．2034C ．1432D ．1430 分析：按照千位的数字寻找规律．解析：千位是1的四位偶数有123318C A =，故第19和是千位数字为2的四位偶数中最小的一个，即2014，答案A ．例15．（2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第17题）有3张都标着字母A ，6张分别标着数字1,2,3,4,5,6的卡片，若任取其中6张卡片组成牌号，则可以组成的不同牌号的总数等于 ．（用数字作答）分析：由于字母A 是一样的，没有区别，故可以按照含有字母A 的多少分类解决，如含有2个字母A 时，只要在6个位置上选两个位置安排字母A 即可，再在其余位置上安排数字．解析：不含字母A 的有66720A =；含一个字母A 的有156667204320C A =⨯=；含两个字母A 时，24665400C A =；含三个字母A 时，33662400C A =．故总数为7204320540024001+++=．点评：解决排列、组合问题的一个基本原则就是先对问题分类、再对每一类中的问题合理地分步，根据排列组合的有关计算公式和两个基本原理进行计算．题型8 二项式定理（理科）例15．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第12题）已知1110(1)n n n n n ax a x a x a x a --+=++++*()n ∈N ,点列(,)(0,1,2,,)i i A i a i n =部分图象 如图所示，则实数a 的值为___________．分析：根据点列的图可以知道012,,a a a 的值，即可以通过列方程组解决．解析：由图123,4a a ==，又根据二项展开式113n n a C a na -===，()()222233(1)4222n n na na a a n n a C a a ----=====，解得13a =． 点评：本题以点列的部分图象设计了一个与二项式有关的问题，解决问题的基本出发点是方程的思想．例16（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第4题）若23123(1)1()n n x a x a x a x x n N +-=+++++∈，且13:1:7a a =，则5a 等于A ．56B ．56-C ．35D ．35-分析：根据展开式的系数之比求出n 值． 解析：2323,n na C a C =-=-，由23:1:7a a =，得8n =，故55856a C =-=-，答案B ． 点评：解这类题目要注意展开式的系数和展开式中项的系数是区别，别把符号弄错了． 题型9 离散型随机变量的分布、期望与方差（理科的重要考点）例17．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第19题）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放．．回．地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记x y x -+-=2ξ．（1）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．分析：根据对随机变量ξ的规定，结合,x y 的取值确定随机变量可以取那些值，然后根据其取这些值的意义，分别计算其概率．解析：（1）x 、y 可能的取值为1、2、3，12≤-∴x ，2≤-x y ， 3≤∴ξ，且当3,1==y x 或1,3==y x 时，3=ξ． 因此，随机变量ξ的最大值为3 ．有放回抽两张卡片的所有情况有933=⨯种，92)3(==∴ξP ． （2）ξ的所有取值为3,2,1,0． 0=ξ 时，只有2,2==y x 这一种情况，1=ξ时，有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x 四种情况， 2=ξ时，有2,1==y x 或2,3==y x 两种情况．91)0(==∴ξP ，94)1(==ξP ，92)2(==ξP ． 则随机变量ξ的分布列为：因此，数学期望993929190=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ． 点评：有放回的“取卡片、取球”之类的问题，其基本事件的总数要由分步乘法计数原理解决，这是一类重要的概率模型．例18．（江苏扬州市2008-2009学年度第一学期期未调研测试加试第4题）某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为23． （1）求比赛三局甲获胜的概率；（2）求甲获胜的概率；（3）设甲比赛的次数为X ，求X 的数学期望．分析：比赛三局甲即指甲连胜三局，可以按照相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算，也可以将问题归结为三次独立重复试验，将问题归结为独立重复试验概型；甲最后获胜，可以分为甲三局获胜、四局获胜、五局获胜三个互斥事件的概率之和；甲比赛的次数也就是本次比赛的次数，注意当三局就结束时，可能是甲取胜也可能是乙取胜等．解析：记甲n 局获胜的概率为n P ，3,4,5n =，（1）比赛三局甲获胜的概率是：333328()327P C ==； （2）比赛四局甲获胜的概率是：2343218()()3327P C ==； 比赛五局甲获胜的概率是：232542116()()3381P C ==； 甲获胜的概率是：3456481P P P ++=． （3）记乙n 局获胜的概率为'n P ，3,4,5n =．333311'()327P C ==，2343122'()()3327P C ==；23254128'()()3381P C ==；1882168107()3()4()5()27272727818127E X =⨯++⨯++⨯+=． 点评：这是一个以独立重复试验概型为基本考查点的概率试题，但这里又不是单纯的独立重复试验概型，是一个局部的独立重复试验概型和相互独立事件的结合．这类比赛型的概率试题也是一个重要的概率模型．题型11 正态分布例19.（2008高考湖南理4）设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c = ( )A ．1B ．2C ．3D ．4分析：根据正态密度曲线的对称性解决．解析：B 根据正态密度曲线的对称性，即直线1x c =+与直线1x c =-关于直线2x =对称，故1122c c ++-=，即2c =． 点评：本质是通过正态密度曲线考查数形结合的思想意识．例20（2008高考安徽理10）设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>， 的密度函数图像如图所示．则有A ．1212,μμσσ<<B ．1212,μμσσ<>C ．1212,μμσσ><D ．1212,μμσσ>>分析：根据正态密度曲线的性质解决．解析：A 根据正态分布),(2σμN 函数的性质：正态分布曲线是一条关于μ=x 对称，在μ=x 处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A ．点评：考试大纲对正态分布的要求是“利用实际问题直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义”，这个考点多次出现在高考试卷中．【专题训练与高考预测】 文科部分一、选择题1．从某鱼池中捕得120条鱼，做了记号之后，再放回池中，经过适当的时间后，再从池中捕得100条鱼，若其中有记号的鱼为10条，试估计鱼池中共有鱼的条数为 （ ）A ．1000B ．1200C ．130D ．13002．已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程为y a bx =+必过点（ ） A ．()2,2 B ．()1.5,0 C ．()1,2 D ．()1.5,4 3．从2007名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率 （ ）A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为200750D ．都相等，且为401 4．根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O 型50%，A 型15%，B 型30%，AB 型5%．现有一血液为A 型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为 （ ）A ．15%B ．20%C ．45%D ．65%5．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖奖券的概率是 （ ） A ．14 B ．13C ．12D ．1 6．有如下四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，他应选择的游戏盘是（ ）二、填空题 7．归直线方程为0.50.81y x =-，则25x =时，y 的估计值为 ．8．若由一个2*2列联表中的数据计算得24.013K =，那么有 把握认为两个变量有关系．9．一工厂生产了某种产品180件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了 件产品．10．如图：M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的概率是 ．三、解答题11．一个质地均匀的正方体玩具的六个面上分别写着数字1,2,3,4,5,6，现将这个正方体玩具向桌面上先后投掷两次，记和桌面接触的面上的数字分别为,a b ，曲线:1x y C a b+=． （1）曲线C 和圆221x y +=有公共点的概率；（2）曲线C 所围成区域的面积不小于50的概率．（2）如果某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．理科部分一、选择题1．在区间[]2,2-内任取两数a ，b ，使函数()222f x x bx a =++有两相异零点的概率是（ ） A ．16 B ．14 C ．13 D ． 122．在一次实验中，测得(,)x y 的四组值分别为()1,2，()2,3，()3,4，()4,5，则y 与x 的线性回归方程可能是（ ） A ．1y x =+ B ．2y x =+ C ．21y x =+D ．1y x =- 5．向假设的三座相互毗邻的军火库投掷一颗炸弹，只要炸中其中任何一座，另外两座也要发生爆炸．已知炸中第一座军火库的概率为0.2，炸中第二座军火库的概率为0.3，炸中第三座军火库的概率为0.1，则军火库发生爆炸的概率是 （ ）A ． 0.006B ．0.4C ． 0.5D ． 0.66．从标有1237，，，，的7个小球中取出一球，记下它上面的数字，放回后再取出一球，记下它上面的数字，然后把两数相加得和，则取得的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率是 （ ）A ．1649B ．1549C ．27D ．13497．在长为60m ，宽为40m 的矩形场地上有一个椭圆形草坪，在一次大风后，发现该场地内共落有300片树叶，其中落在椭圆外的树叶数为96片，以此数据为依据可以估计出草坪的面积约为 （ ）A ．2768mB ．21632mC ．21732mD ．2868m8．6名同学报考,,A B C 三所院校，如果每一所院校至少有1人报考，则不同的报考方法共有 （ ）A ．216种B ．540种C ．729种D ．3240种二、填空题9． 某校有高一学生400人，高二学生302人，高三学生250人，现在按年级分层抽样，从所有学生中抽取一个容量为190人的样本，应该高 学生中，剔除 人，高一、高二、高三抽取的人数依次是 ．10． 5)212(++xx 的展开式中整理后的常数项为 _____ ．11． 若x 50(1)x +展开式中最大的项是 项．三、解答题13．甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在7,8,9,10环，且每次射击成绩互不影响．射击环数的频率分布条形图如下：若将频率视为概率，回答下列问题．（1）求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率；（2）若甲、乙两运动员各自射击1次，ξ表示这2次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求ξ的分布列及Eξ．15．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：（1）有放回抽样时，取到黑球的个数X的分布列；（2）不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列．（1）根据表中数据，确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系；（2）如果某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．【参考答案】文科部分1．解析：B 根据用样本估计总体的思想，池中有记号的鱼的频率是110，故鱼池中鱼的条数是1200条．4．解析：D 过样本中心点．选D ．7．解析：C 任何个体被抽到的概率都相等，且是200750． 8．解析：D 只有O 型和A 型，根据互斥事件的概率加法得结论为65%． 9．解析：B 相当于在3张奖券中1张有奖，3人抽取，最后一人抽到中奖奖券的概率是13． 10．解析：A 选择游戏盘的原则是中奖的概率大，A 中中奖的概率是38，B 中中奖的概率是13，C 中中奖的概率是44π-，B 中中奖的概率是1π，比较大小即知． 11．解析：11.69 0.5250.8111.69⨯-=12．解析：95%13．解析：60．三条生产线的产品也组成等差数列．14．解析：12连接圆心O 与M 点，作弦MN 使090=∠MON ，这样的点有两个，分别记为12,N N ，仅当N 在不属于M 的半圆弧上取值时满足MN >，此时21180=∠ON N ，故所求的概率为2136018000=． 15．解析：基本事件的总数是36．（1）,a b1≤，即22111a b+≥，逐个检验， ()()()()()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1，随机事件：曲线C 和圆221x y +=有公共点的概率包含着11个基本事件，故所求的概率是1136； （2）曲线C 所围成的区域的面积是2ab ，即求25ab ≥的概率，基本事件只能是()5,5，()5,6，()6,5，()6,6，故所求的概率是41369=． 16．解析：（1）由题意知，年收入x 为解释变量，年饮食支出y 为预报变量，作散点图（如图所示）．从图中可以看出，样本点呈条状分布，年收入和年饮食支出有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．6x =∵， 1.83y =，1021406i i x ==∑，102135.13ii y ==∑，101117.7i i i x y ==∑， 0.172b ≈∴， 1.830.17260.798a y bx =-=-⨯=．从而得到回归直线方程为0.1720.798y x =+．（2）0.17290.798 2.346y =⨯+=万元．理科部分1．解析：D 根据题意,a b 应满足22b a >，即b a >，以(),a b 为点，在aob 平面上，结合图形可知这个概率为12． 2．解析：A 线性回归直线一定过样本中心点()2.5,3.5，故选A ．3．解析：D 设A B C ，，分别表示炸中第一、第二、第三座军火库这三个事件．则()0.2P A =，()0.3P B =，()0.1P C =．设D 表示”军火库爆炸”，则D A B C =．又A B C ，，∵彼此互斥，()()()()()0.20.30.10.6P D P A B C P A P B P C ==++=++=∴．4．解析：A 基本事件总数为7749⨯=个，而满足条件的基本事件个数为16个：(13)(22)(31)(17)(26)(35)(44)，，，，，，，，，，，，，，(53)(62)(71)(57)(66)(75)(67)(76)(77)，，，，，，，，，，，，，，，，，． 故所求事件的概率为1649．。
高中数学概率统计教案
高中数学概率统计教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解概率的基本概念，掌握概率的计算方法；（2）了解统计学的基本知识，掌握数据的收集、整理、描述和分析方法；（3）学会运用概率统计方法解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过实例感受概率统计在生活中的应用，培养学生的应用意识；（2）通过合作交流，培养学生解决问题的能力；（3）培养学生运用数学软件进行数据处理和分析的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生勇于探索、坚持真理的精神；（3）培养学生团结合作、积极进取的态度。
二、教学内容1. 概率的基本概念：随机事件、必然事件、不可能事件、概率的定义及其计算方法。
2. 统计学的基本知识：数据的收集、整理、描述和分析方法。
3. 概率统计方法在实际问题中的应用：通过实例讲解如何运用概率统计方法解决实际问题。
三、教学重点与难点1. 教学重点：概率的基本概念、统计学的基本知识、概率统计方法在实际问题中的应用。
2. 教学难点：概率的计算方法、数据的整理和分析方法。
四、教学过程1. 导入：通过生活中的实例引入概率统计的概念，激发学生的兴趣。
2. 自主学习：学生自主探究概率的基本概念，掌握概率的计算方法。
3. 合作交流：学生分组讨论，共同解决实际问题，培养学生的合作意识。
4. 软件操作：学生运用数学软件进行数据处理和分析，提高学生的实际操作能力。
5. 总结提升：教师引导学生总结概率统计的知识，培养学生的归纳总结能力。
五、课后作业1. 完成课后练习，巩固所学知识；2. 选择一个实际问题，运用概率统计方法进行解决，并撰写解答报告。
六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 课后作业：检查学生的作业完成情况，评估学生的掌握程度。
3. 实际问题解决：评估学生在实际问题解决中的运用能力，鼓励创新和独立思考。
4. 软件操作：评估学生的数学软件操作能力，提高学生的实际操作水平。
备战2018高考数学二轮复习专题1.7概率与统计教学案文
专题1.7 概率与统计一．考场传真1. 【2017课标1，文2】为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数【答案】B【解析】刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，故选B2．【2017课标1，文4】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π 4【答案】B3．【2017课标II ，文11】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A.110 B. 15 C. 310 D. 25【答案】D【解析】如下表所示，表中的点横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数总计有25种情况，满足条件的有10种，所以所求概率为102 2554．【2017课标3，文3】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客逐月增加 B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A5．【2017课标1，文19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，18.439≈，161()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．（1）求(,)i x i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）． （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)xs x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0．01）附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅的相关系数()()niix x y y r --=∑0.09≈．剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈，这条生产线当天生产的零件尺寸的标0.09≈．6．【2017课标II ，文19】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）, 其频率分布直方图如下：（1） 记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A 的概率；（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3） 根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较. 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表 K 2=15.70510010096104⨯⨯⨯≈ ，由于15.705＞6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)箱产量的频率分布直方图平均值(或中位数)在45kg到50kg之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法.7．【2017课标3，文18】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．二．高考研究【考纲解读】1.考纲要求（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．了解互斥事件、对立事件的意义及其运算公式．（2）理解古典概型及其概率计算公式．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．（3）了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．（4）理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．（5）能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释．（6）会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．（7）会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．（8）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．（9）了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题.独立性检验：了解独立性检验(只要求2*2列联表)的基本思想、方法及其简单应用.回归解析：了解回归解析的基本思想、方法及其简单应用.2.命题规律：（1）随机事件的概率在高考中多以选择题、填空题的形式考查，也时常在解答题中出现，应用题也是常考题型，并且常与统计知识放在一块考查；（2）借助古典概型考查互斥事件、对立事件的概率求法．考查古典概型概率公式的应用，尤其是古典概型与互斥、对立事件的综合问题更是高考的热点．在解答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查，考查学生分析和解决问题的能力，难度以中档题为主；（3）以选择题或填空题的形式考查与长度或面积有关的几何概型的求法是高考对本内容的热点考法，特别是与平面几何、函数等结合的几何概型是高考的重点内容．新课标高考对几何概型的要求较低，因此高考（4）考查样本的频率分布(分布表、直方图、茎叶图)中的有关计算，样本特征数(众数、中位数、平均数、标准差)的计算．主要以选择题、填空题为主；（5）考查以样本的分布估计总体的分布（以样本的频率估计总体的频率、以样本的特征数估计总体的特征数）．（6）概率与统计问题是每年高考必考内容，且本部分题多为中低档题.一般是一个选择题、一道解答题.选择题或填空题以中低档题为主，解答题中等难度，重点考查基本概念及运算，往往与统计问题综合在一起，如以直方图或茎叶图提供问题的背景信息，在同一个问题中同时考查概率与统计的知识，成为近年命题的一个明显趋势，而统计案例这二年有所加强.3．学法导航1. 当试验结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．2. 事件的互斥和对立是既有联系又有区别的两个概念，要充分利用对立事件是必然有一个发生的互斥事件．在判断这些问题时，先要判断两个事件是不是互斥事件(即是否不可能同时发生)，然后判断这两个事件是不是对立事件(即是否必然有一个发生)．在解答与两个事件有关的问题时一定要仔细斟酌，全面考虑，防止出现错误．3．反映样本数据分布的主要方式：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图．关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其高低能够描述频率的大小，高考中常常考查频率分布直方图的基本知识，同时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数，具体问题中要能够根据公式求解数据的平均数、众数、中位数和方差等．由样本数据估计总体时，样本方差越小，数据越稳定，波动越小．4. 在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值；回归直线过样本点的中心(x ，y )，应引起关注．5．独立性检验问题，要确定2×2列联表中的对应数据，然后代入公式求解K 2即可． 6．解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：求概率的步骤是：第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.第三步，运用公式()()()()()()()()(1)k k n k n n m P A nP A B P A P B P A B P A P B P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.一．基础知识整合 基础知识： 1．随机事件的概率（1）随机事件的概率范围：()01P A ≤≤；必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0． （2）古典概型的概率：()m A P A n ==中所含的基本事件数基本事件总数；（3）几何概型的概率：()m A P A n ==构成事件的区域长度（面积或体积）试验全部结果所构成的区域长度（面积或体积）； （4）互斥事件的概率加法公式：()()()P AB P A P B =+；对立事件的概率减法公式：()()1P A P A =-； （5）相互独立事件的概率乘法公式：()()()P AB P A P B =⋅；（6）条件概率除法公式：()()()P AB P B A P A =．2．直方图的三个常用结论 （1）小长方形的面积=组距⨯频率组距=频率；（2）各长方形的面积和等于1；（3）小长方形的高=频率组距． 3．统计中的四个数据特征：（1）众数、中位数；（2）样本平均数；（3）样本方差；（4）样本标准差． 4．线性回归方程线性回归方程为y bx a =+， ∑∑∑∑=-=--=--=-Λ--=---=ni ni i ni ii ni ixn xy x n yx x xy y x xb 12211121)())((，-Λ-Λ-=x b y a ）.其中x ＝1n ∑i ＝1nx i ，y ＝1n ∑i ＝1ny i ，一定经过样本中心点(),x y ．5.独立性检验：设A ，B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A ：A 1，A 2＝A 1；变量B ：B 1，B 2＝B 1. 2×2列联表构造一个随机变量2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中d c b a n +++=为样本容量．(2)独立性检验:利用随机变量来判断“两个变量有关联”的方法称为独立性检验． (3)当数据量较大时，在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断①当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A ，B 有关联，可以认为变量A ，B 是没有关联的； ②当χ2＞2.706时，有90%的把握判定变量A ，B 有关联； ③当χ2＞3.841时，有95%的把握判定变量A ，B 有关联；④当χ2＞6.635时，有99%的把握判定变量A ，B 有关联． 二．高频考点突破考点1 古典概型与几何概型 【例1】已知函数()()322113f x x a x b x =--+，其中{}1,2,3,4a ∈，{}1,2,3b ∈，则函数()f x 在R 上是增函数的概率为（ ） A ．14 B ．12 C ．23 D ．34【分析】本题考函数的单调性2、古典概型，涉及函数与方程思想、数形结合思想、或然与必然思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用数形结合思想和转化与化归思想，将原命题等价转化为()()22'210f x x a x b =--+≥在R 恒成立2222)1(04)1(4b a b a ≤-⇒≤--=∆⇒，符合上述不等式的有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(4,3)⇒所求概率43439=⨯=P . 【答案】D【规律方法】1．解决古典概型问题，关键是弄清楚基本事件的总数n 以及某个事件A 所包含的基本事件的个数m ，然后由公式()mP A n=来求概率； 2．几何概型解决的关键在于把所有基本事件转化为与之对应的区域；3．对于较复杂的互斥事件可先分解为基本事件，然后用互斥事件的概率加法公式求解．【举一反三】【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】如图，四边形ABCD 为正方形， G 为线段BC 的中点，四边形AEFG 与四边形DGHI 也为正方形，连接EB ， CI ，则向多边形AEFGHID 中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为（ ）A.13 B. 25 C. 38 D. 12【答案】A【解析】设正方形ABCD 的边长为1，3S =总， 1212S ==阴影，所以概率为13P =，故选A.考点2 互斥事件与相互独立事件【例2】某市为了解各校《国学》课程的教学效果，组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为A 、B 、C 、D 四个等级.随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，得到如下的分布图：（Ⅰ）试确定图中a 与b 的值；（Ⅱ）规定等级D 为“不合格”，其他等级为“合格”，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从甲、乙两校“合格”的学生中各选1名学生，求甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率. 【分析】（Ⅰ）由频数分布条形图得63366015 a a +++=⇒=，由频率分布条形图得0.150.20.1510.5b b +++=⇒=（Ⅱ）甲、乙两校“合格”的学生分别有54人和51人，所以从甲、乙两校“合格”的学生中各选1名学生共有5451⨯种选法，其中甲校学生成绩高于乙校学生成绩包含6421512548⨯+⨯=⨯种选法，因此所求概率为5488545151⨯=⨯()21554P E =；记1F 表示事件“乙校国学成绩等级为B 或C“，则()14251P F =；2F 表示事件“乙校国学成绩等级为C”，则()21251P F =.其中11 E F ，相互独立，22 E F ，相互独立，所以()1122642151285451545151P E F E F +=⨯+⨯=，即为所求. 【规律方法】1．求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥事件的和事件，还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解；2．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式()()1P A P A =-计算．【举一反三】甲、乙两位射击运动员，在某天训练中已各射击10次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7（Ⅰ）通过计算估计，甲、乙二人的射击成绩谁更稳；（Ⅱ）若规定命中8环及以上环数为优秀，请依据上述数据估计，在第11次射击时，甲、乙人分别获得优秀的概率.考点3 抽样方法【例3】贵阳市观山湖区松景阁小区45户住户5月的电费（单位：元）的茎叶图如图所示，若将该小区住户按电费数额由低到高编为1-45号，再用系统抽样的方法从中抽取9户，则这9户中电费在[]111,144内的住户数是 ．【答案】5【解析】由于系统抽样就是等距抽样,而5945=÷,在[]111,144中的数据共有254876=+++个,所以5525=÷.故应填答案5.【规律方法】分，按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本．(2)在利用系统抽样时，经常遇到总体容量不能被样本容量整除的情况，这时可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除．【举一反三】【2018江西宜春二模】某中学高一年级560人，高二年级540人，高三年级520人，用分层抽样的方法抽取容量为81的样本，则在高一、高二、高三三个年级抽取的人数分别为（ ） A. 28、27、26 B. 28、26、24 C. 26、27、28 D. 27、26、25 【答案】A考点4 用样本估计总体【例4】【2018贵州黔东南州联考】近年呼吁高校招生改革的呼声越来越高,在赞成高校招生改革的市民中按年龄分组，得到样本频率分布直方图如图，其中年龄在[)30,40岁的有2500人，年龄在[)20,30岁的有1200人，则m 的值为（ ）A. 0.013B. 0.13C. 0.012D. 0.12【分析】本题主要考查频率分布直方图，是一道基础题目.从历年高考题目看，图表题已是屡见不鲜，作为一道应用题，考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.【答案】C【规律方法】1．利用频率分布直方图估计样本的数字特征(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值．(2)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．(3)众数：在频率分布直方图中，众数是最高的矩形底边的中点的横坐标．2．平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．【举一反三】某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图的值是（）．所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n mA．5 B．6 C．7 D．8【答案】B考点5 线性回归分析与独立性检验【例5】中国柳州从2011年起每年国庆期间都举办一届国际水上狂欢节，到2016年已举办了六届，旅游部门统计在每届水上狂欢节期间，吸引了不少外地游客到柳州，这将极大地推进柳州的旅游业的发展，现将前五届水上狂欢节期间外地游客到柳州的人数统计如下表：（1）求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（2）旅游部门统计在每届水上狂欢节期间，每位外地游客可为本市增加100元左右的旅游收入，利用（1）中的线性回归方程，预测2017年第7届柳州国际水上狂欢节期间外地游客可为本市增加的旅游收入达多少？参考公式：121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑,a y bx =-．【分析】（Ⅰ）先求平均数，再将数据依次代入相关公式，求出0.22b =以及a y bx =-10.2230.34=-⨯=，（Ⅱ）本题实际为利用线性回归方程进行估值：当7x =时，0.2270.34 1.88y =⨯+=，即得结果【规律方法】1．两个具有线性相关关系的变量的一组数据：()()()1122,,,,,,,n n x y x y x y 其回归方程为,y bx a =+则()()()1122211,n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b a y bx xnxx x ====---===---∑∑∑∑；2．假设有两个分类变量X 和Y ，它们的值域分别为{}12,x x 和{}12,y y ，其样本频数列联表（称为2×2列联表）为：()()()()()22n ad bc K a b c d a c bd -=++++ (其中n a b c d =+++为样本容量)，可利用独立性检验判断表来判断“x 与y 的关系”．【举一反三】某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表： 已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35． （1）请将上述列联表补充完整；（2）并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；（3）已知在被调查的学生中有5名来自甲班，其中3名喜欢游泳，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰好有1人喜欢游泳的概率． 下面的临界值表仅供参考：（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）（2）5名学生中喜欢游泳的3名学生记为,,a b c ，另外2名学生记为1，2，任取2名学生，则所有可能情况为()()()()()()()()()(),,,1,2,,1,2,1,21,2a b a c a a b c b b c c 、、、、、、、、、，共10种．其中恰有1人喜欢游泳的可能情况为()()()()(),1,2,1,1,2a a b c c 、、、、，共6种．所以，恰好有1人喜欢游泳的概率为63105=．1. 某孪生兄弟均为三口之家，2016年1－8月他们的家用煤气用量（单位：3m ）的茎叶图如下图所示，其中两兄弟家的家用煤气用量的平均数之和为69，哥哥家的家用煤气用量的中位数比弟弟家的家用煤气用量的众数大2，则xy 的值为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．2098273783244432421y x 哥哥弟弟【答案】C押题依据 从茎叶图中提取数字的特征(如平均数、众数、中位数等)是高考命题的热点题型．2. 已知()2f x x a =-,若()0,6a ∈,则“存在不相等的实数()12,1,2x x ∈,使得()()12f x f x =”的概率为 ( ) A ．16 B. 13 C ．12 D.23【答案】B【解析】由题意,知()f x 在,2a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减,在,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增,若存在不相等的实数()12,1,2x x ∈使得()()12f x f x =,则122a <<,即24a << ,所以所求概率为42163-=,故选B 押题依据 与长度(角度、弧度、周长等)有关的几何概型问题也是高考命题的热点，在高考中多以选择题或填空题的形式出现，题目难度不大．3. 2017年高考体检，某中学随机抽取5名女学生的身高x （厘米）和体重y （公斤）的数据如下表：根据上表可得回归直线方程为0.92y x a =+，则=a （ ） A ．8.96- B ．8.96 C ．4.104- D ．4.104 【答案】A押题依据 线性回归分析在生活中具有很强的应用价值，是高考的一个重要考点．4. 第十二届全国人民代表大会第五次会议和政协第十二届全国委员会第五次会议(简称两会)将分别于2017年3月5日和3月3日在北京开幕,某高校学生会为了解该校学生对全国两会的关注情况,随机调查了该校200名学生,并将这200名学生分为对两会“比较关注”与“不太关注”两类,已知这200名学生中男生比女生多20人,对两会“比较关注”的学生中男生人数与女生人数之比为43,对两会“不太关注”的学生中男生比女生少5人.(1)完成下面的22⨯列联表,并判断是否有0099的把握认为男生与女生对两会的关注有差异？男生(2),从中抽取7人,再从这7人中随机选出2人参与两会宣传活动,求这2人全是男生的概率. 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,n a b c d =+++.【解析】(1)设这200,x y ,则女生对两会“比较关注”与“不太关注”的人数分别为85,5y y -+,由题意可得1104853x y x y +=⎧⎪⎨=⎪-⎩,解得100,10x y ==,由此可得22⨯列联表：押题依据 本题主要考查独立性检验，古典概率等基础知识的理解和应用，意在考查学生的审读能力、获取信息的能力，分析问题解决问题的能力和运算求解能力．本题以社会热点问题为背景，考查了学生获取信息、处理信息的能力.5. “中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国传统文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备购进一定量的书籍丰富小区图书站，由于年龄段不同需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，对小区内看书人员进行了年龄的调查，随机抽取了一天中40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30），[30,40），[40,50），[50,60），[60,70），[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图．问：（1）求40名读书者中年龄分布在[40,70）的人数；（2）求40名读书者年龄的众数和中位数的估计值；（用各组区间中点值作代表）（3）若从年龄在[20,40）的读书者中任取2名，求这两名读书者中年龄在[30,40）恰有1人的概率．押题依据频率分布直方图多以现实生活中的实际问题为背景，对图形的理解应用可以考查考生的基本分析能力，是高考的热点．。
2018年高考数学专题12概率与统计教学案文
专题12 概率与统计【2018年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：(1)抽样方法的选择、与样本容量相关的计算，尤其是分层抽样中的相关计算，A级要求．(2)图表中的直方图、茎叶图都可以作为考查点，尤其是直方图更是考查的热点，A级要求．(3)特征数中的方差、标准差计算都是考查的热点，B级要求．(4)随机事件的概率计算，通常以古典概型、几何概型的形式出现，B级要求.【重点、考点剖析】1．概率问题(1)求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A的对立事件A的概率，然后利用P(A)＝1－P(A)可得解；(2)用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再求出事件A中的基本事件，利用公式P(A)＝mn求出事件A的概率，这是一个形象、直观的好办法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复，不遗漏；(3)求几何概型的概率，最关键的一步是求事件A所包含的基本事件所占据区域的测度，这里需要解析几何的知识，而最困难的地方是找出基本事件的约束条件．2．统计问题(1)统计主要是对数据的处理，为了保证统计的客观和公正，抽样是统计的必要和重要环节，抽样的方法有三：简单随机抽样、系统抽样和分层抽样；(2)用样本频率分布来估计总体分布一节的重点是：频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布，考点是：频率分布表和频率分布直方图的理解及应用；(3)用茎叶图优点是原有信息不会抹掉，能够展开数据发布情况，但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便了；(4)两个变量的相关关系中，主要能作出散点图，了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性或归方程系数或公式建立线性回归方程.【题型示例】题型一随机事件及其概率例1、(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．【变式探究】 (2015·广东，7)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1解析 5件产品中有2件次品，记为a ，b ，有3件合格品，记为c ，d ，e ，从这5件产品中任取2件，结果有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )共10种．恰有一件次品的结果有6种，则其概率为p ＝610＝0.6.答案 B【变式探究】(2015·江苏，5)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．解析 这两只球颜色相同的概率为16，故两只球颜色不同的概率为1－16＝56.答案 56【变式探究】(2015·湖南，16)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A 1，A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a 1，a 2和2个白球b 1、b 2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．【变式探究】(2015·北京，17)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解 (1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙， 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.【变式探究】(2015·四川，17)一辆小客车有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．(1)若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就坐的座位号填入表中空格处)(2)若乘客P1坐在了2号座位，其他的乘客按规则就坐，求乘客P5坐到5号座位的概率．解(1)余下两种坐法如下表所示：(2)若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示为：于是，所有可能的坐法共8种，设“乘客P 5坐到5号座位”为事件A ，则事件A 中的基本事件的个数为4， 所以P (A )＝48＝12.题型二 古典概型例2．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A .110B .15C .310D .25【答案】 D【2017山东】从分别标有1，2， ，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79 【答案】C【变式探究】【2016高考新课标1文数】为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A.13B.12C.23D.56【答案】A【解析】将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为23，选C.【变式探究】(2015·新课标全国Ⅰ，4)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A.310B.15C.110D.120解析从1，2，3，4，5中任取3个数有10个基本事件，构成勾股数的只有3，4，5一组，故概率为110.答案 C【变式探究】(2015·天津，15)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有可能的结果；②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．解(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3，1，2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．因此，事件A发生的概率P(A)＝915＝3 5.【变式探究】(2015·山东，16)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)(1) 从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．题型三几何概型例3．【2017课标1，】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8 C ．12D ．π4【答案】B【变式探究】(2017·江苏卷)记函数f(x)＝6＋x －x 2的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x∈D 的概率是________．解析：由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x≤3，则D ＝[－2,3]，则所求概率为3－ －2 5－ －4 ＝59.答案：59【变式探究】(2015·山东，7)在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )A.34B.23C.13D.14解析 由－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1，得12≤x ＋12≤2，∴0≤x ≤32.∴由几何概型的概率计算公式得所求概率P＝32－02－0＝34. 答案 A【变式探究】(2015·湖北，8)在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<12B ．p 2<12<p 1C.12<p 2<p 1D ．p 1<12<p 2解析 在直角坐标系中，依次作出不等式⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y ≤12，xy ≤12的可行域如图所示：依题意，p 1＝S △ABOS 四边形OCDE，p 2＝S 曲边多边形OEGFC S 四边形OCDE ，而12＝S △OECS 四边形OCDE，所以p 1<12<p 2.故选D.答案 D【变式探究】(2015·福建，8)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1，0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14C.38D.12答案 B【变式探究】(2015·重庆，15)在区间[0，5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．解析 方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2＜0，x 1·x 2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧4p 2－4（3p －2）≥0，－2p ＜0，3p －2＞0，解得p ≥2或23＜p ≤1，又p ∈[0，5]，则所求概率为p ＝3＋135＝1035＝23.答案 23题型四 随机抽样例4．(1)(2017·江苏卷)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件；(2)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________．【答案】18 4【变式探究】(2015·四川，3)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )A ．抽签法B ．系统抽样法C ．分层抽样法D ．随机数法解析 结合几种抽样的定义知选C. 答案 C【变式探究】(2015·北京，4)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为( )A ．90B ．100C ．180D ．300解析 由题意抽样比为3201 600＝15，∴该样本的老年教师人数为900×15＝180(人)．答案 C【变式探究】(2015·福建，13)某校高一年级有900名学生，其中女生400名．按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．答案 25 题型五 统计例5．(1)(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( )A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳(2)(2017·山东卷)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系．设其回归直线方程为y ^＝b^x ＋a ^.已知∑i ＝110x i ＝225，∑i ＝110y i ＝1 600，b ^＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( )A ．160B ．163C ．166D ．170【变式探究】(2015·陕西，2)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为()A ．93B ．123C ．137D ．167解析 由题干扇形统计图可得该校女教师人数为：110×70%＋150×(1－60%)＝137.故选C.答案 C【变式探究】(2015·湖南，2)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是( )A．3 B．4 C．5 D．6答案 B【变式探究】(2015·湖北，14)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________．解析由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1＋0.8×0.1＋1.5×0.1＋2×0.1＋2.5×0.1＋a×0.1＝1，解之得a＝3.于是消费金额在区间[0.5，0.9]内频率为0.2×0.1＋0.8×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，所以消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为：0.6×10 000＝6 000，故应填3，6 000.答案(1)3 (2)6 000【变式探究】(2015·新课标全国Ⅱ，18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．A地区用户满意度评分的频率分布直方图B地区用户满意度评分的频数分布表(1)在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；B地区用户满意度评分的频率分布直方图(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．满意”．由直方图得P(C A)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(C B)的估计值为 (0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．【变式探究】(2015·安徽，17)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100]．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率．【变式探究】(2015·广东，17)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？题型六变量间的相关关系例6．(2015·新课标全国Ⅱ，3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关答案 D【变式探究】(2015·湖北，4)已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关，下列结论中正确的是( )A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关解析 因为y ＝－0.1x ＋1，－0.1<0，所以x 与y 负相关．又y 与z 正相关，故可设z ＝ay ＋b (a >0)，所以z ＝－0.1ax ＋a ＋b ，－0.1a <0，所以x 与z 负相关．故选C.答案 C【变式探究】(2015·北京，14)高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是________； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是________．解析 ①由散点图可知：越靠近坐标原点O 名次越好，乙同学语文成绩好，而总成绩年级名次靠后；而甲同学语文成绩名次比总成绩名次差，所以应是乙同学语文成绩名次比总成绩名次靠前．②丙同学总成绩年级名次比数学成绩年级名次差，所以丙同学成绩名次更靠前的是数学． 答案 乙 数学【变式探究】(2015·重庆，17)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：(1)求y 关于t 的回归方程y ^＝b ^t ＋a ^；(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t ＝6)的人民币储蓄存款．附：回归方程y ^＝b ^t ＋a ^中，b ^＝∑ni ＝1t i y i －nty∑ni ＝1t 2i －nt2，a ^＝y －b ^t .。
高中数学概率统计教案
高中数学概率统计教案一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1.了解概率统计的基本概念和相关术语；2.掌握概率计算的方法和统计分析的基本步骤；3.能够运用概率和统计的知识解决实际问题。
二、教学重点1.概率的计算方法；2.统计分析的基本步骤。
三、教学难点1.概率计算中的复杂问题；2.统计分析中的数据解读。
四、教学准备1.教材：高中数学教材；2.教具：黑板、粉笔、计算器等。
五、教学过程Step 1 引入概率统计的概念及意义（5分钟）首先，老师可以通过提问的方式，让学生思考概率统计的定义和作用。
然后，引导学生探讨概率统计在日常生活中的应用场景，如投掷骰子、购买彩票等。
Step 2 介绍概率的基本概念和计算方法（15分钟）在这一步骤中，老师可以通过示例来介绍概率的基本概念和计算方法。
在介绍时，要注意使用生动有趣的例子，以便学生更好地理解和记忆。
Step 3 统计分析的基本步骤与方法（15分钟）在这一步骤中，老师可以通过实际案例来介绍统计分析的基本步骤和方法。
引导学生从收集数据、整理数据、分析数据和得出结论等方面进行学习，并指导他们如何正确选择适合的统计方法。
Step 4 综合应用举例（15分钟）在这一步骤中，通过几个综合应用的实例，让学生将概率和统计的知识应用到实际问题中。
同时，引导学生进行思考和讨论，培养他们解决问题的能力。
Step 5 概率统计的拓展应用（10分钟）在这一步骤中，老师可以引导学生思考概率统计在其他学科中的应用，如生物、经济、社会等领域。
通过拓展学生的视野，使他们更好地理解和应用概率统计知识。
Step 6 深化训练与巩固（15分钟）最后，布置一些概率统计的练习题，让学生运用所学知识进行巩固和练习。
同时，对学生的答题进行评讲，指导学生掌握概率统计的解题技巧。
六、教学反思通过本节课的教学，学生对概率统计的基本概念和应用有了初步的了解。
在教学过程中，通过引入概念和实际案例，学生的学习积极性得到了提高。
2018届高考数学二轮复习专题十概率与统计课件文
[类题通法] 概率与统计综合问题的两个注意点
(1)明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率． (2)此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明 确基本事件的构成．
[即学即用·练通] (2017·新疆第二次适应性检测)从 2009 年淘宝创立“双十一”以 来，到 2016 年，“双十一”已经走过了八个年头，随着消费者 消费水平越来越高，低价已经不再是最核心的要素，消费者对于 品质的追求也越来越高．据美国《福布斯》双周刊网站 2016 年 11 月 15 日报道，“双十一”当天中国的线上交易额比巴西 2016 年全年的预估电子商务交易额都要多．某公司对“双十一”当天 在淘宝购物的男、女各 1 000 名消费者的消费金额(单位：千元) 进行统计，得到了消费金额的频率分布直方图如下：
ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正
方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正
方形的中心成中心对称．在正方形内随机取
一点，则此点取自黑色部分的概率是( )
A.14
B.π8
1
π
C.2
D.4
[解析] 不妨设正方形 ABCD 的边长为 2，则正方形的面 积为 4，正方形的内切圆的半径为 1，面积为 π.
(2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，若最高气温不 低于 25，则 Y＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20,25)， 则 Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；
若最高气温低于 20， 则 Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100. 所以 Y 的所有可能值为 900,300，－100. Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格数据知， 最高气温不低于 20 的频率为36＋295＋ 0 7＋4＝0.8，因此 Y 大 于零的概率的估计值为 0.8.
高中数学备课教案概率与统计
高中数学备课教案概率与统计高中数学备课教案：概率与统计正文：1. 引言概率与统计是高中数学中的重要内容之一，对于学生的数学素养和实际问题的解决能力具有重要的影响。
为了帮助学生更好地掌握概率与统计的知识，本教案将围绕该主题展开，通过合理的教学安排和教学方法，提升学生的学习兴趣和成绩。
2. 教学目标2.1 知识目标通过本节课的学习，学生应该能够：- 了解概率与统计的基本概念和原理；- 掌握概率计算和统计分析的方法；- 运用概率与统计的知识解决实际问题。
2.2 能力目标- 培养学生的数学思维和逻辑推理能力；- 发展学生的数据分析和解决问题的能力；- 培养学生的合作学习和表达能力。
3. 教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个方面：- 概率的基本概念和性质；- 概率计算的方法和技巧；- 统计数据的收集和整理；- 统计分析的方法和应用。
4. 教学步骤4.1 导入与引导在导入环节，教师可以通过展示一些有趣的概率问题或统计数据，引起学生的兴趣，激发他们学习的欲望。
例如，可以谈论某个明星的演唱会门票销售情况以及观众的性别比例等。
4.2 概念讲解与示例分析在这一步骤中，教师向学生讲解概率和统计的基本概念，并通过具体的示例分析，帮助学生理解和掌握相关知识。
例如，可以通过抛硬币的实验介绍概率的计算方法，以及通过调查问卷的方式收集统计数据。
4.3 计算练习与解析通过练习题的形式，让学生进行概率计算和统计分析的练习，并及时给予解析和指导。
例如，可以设计一些关于生日概率、抽奖问题等的计算题，让学生灵活运用所学知识。
4.4 实际问题的探究与解决通过引入一些实际问题，让学生应用概率与统计的知识解决问题。
例如，可以讨论彩票中奖概率、交通事故的统计分析等，培养学生的实际问题解决能力。
5. 教学评价通过作业、小组讨论、课堂练习等方式，对学生的学习情况进行评价和反馈。
例如，可以设计一些综合性的案例分析题，考察学生对概率和统计的综合应用能力。
高中数学教案：概率与统计
高中数学教案：概率与统计概率与统计是高中数学中重要的内容之一，它既是理论研究的基础，也是应用实践的重要工具。
本教案将围绕概率与统计的相关概念、方法和应用展开，帮助学生理解和掌握这一知识点。
一、概率与统计的基本概念1.1 概率的定义与性质概率是描述随机事件发生可能性大小的数值。
引入概率的基本概念，让学生了解事件发生的数学描述方式，并了解概率的基本性质，如非负性、规范性和可列可加性等。
1.2 统计的定义与分类统计是对大量数据进行收集、整理、分析和解释的过程。
介绍统计的概念及其分类，包括描述统计和推断统计，让学生了解统计的基本原理和应用场景。
二、概率与统计的基本方法2.1 概率的计算方法介绍计数原理、频率方法和几何概率等计算概率的方法，通过具体的例子演示如何应用这些方法来计算事件的概率。
同时，引导学生思考概率计算中的常见问题和困惑，并提供解决方法。
2.2 统计的数据处理方法介绍数据的收集、整理和展示方法，包括频数分布表、频率分布图和统计图表等。
通过对实际数据的处理和分析，帮助学生了解数据的特征和规律，并培养学生的数据分析能力。
三、概率与统计的典型应用3.1 概率的应用介绍概率在生活中的应用，如赌博、游戏和保险等。
通过具体的案例，展示概率在实际问题中的应用价值和作用，同时让学生认识到概率的不确定性和风险性。
3.2 统计的应用介绍统计在现实生活中的应用，如调查统计、市场调研和社会调查等。
通过实际案例的分析和探讨，让学生明白统计对决策和预测的重要性，培养学生的数据分析和解决实际问题的能力。
四、概率与统计的拓展学习4.1 概率与统计的扩展知识通过介绍条件概率、贝叶斯定理和统计推断等概念，拓展学生对概率和统计的深入理解。
同时，引导学生进行扩展学习，了解更多相关知识和方法。
4.2 概率与统计的数学建模介绍概率与统计在数学建模中的应用，如随机过程、假设检验和回归分析等。
通过实际建模问题的讲解和解答，培养学生独立思考和解决实际问题的能力。
2018届高考数学文二轮复习课件：2.7.2 概率及其与统计的综合应用 精品
故求概率 P＝14ππ－21＝14－21π，故选 C.
答案：C
3．(2016·新课标全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜
色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛
热点追踪
热点考向一 几何概型
[典例 1] (2015·福建卷)如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B
x＋1，x≥0， 的坐标为(1,0)，且点 C 与点 D 在函数 f(x)＝－12x＋1，x<0 的图象
上．若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于
( A).16
[自主解答] (1)①当 x≤19 时，y＝3 800； 当 x＞19 时，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700，
所以 y 与 x 的函数解析式为 y＝530800x0－，5x7≤001，9，x＞19 (x∈N)． ②由柱状图知，需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46，不大于 19 的频率为 0.7，故 n 的最小值为 19. ③若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件，则这 100 台机器 中有 70 台在购买易损零件上的费用为 3 800 元，20 台的费用为 4 300 元，10 台的费用为 4 800 元，因此这 100 台机器在购买易损零件上所 需费用的平均数为1100(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000 元．
记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购 买的易损零件数．
高三年级数学复习教案设计：概率统计
高三年级数学复习教案设计：概率统计奋斗没有终点，任何时候都是一个起点。
想没盼头，苦干有奔头。
下面是本文库为您推荐高三年级数学复习教案设计：概率统计。
一、知识梳理1.三种抽样方法的联系与区别：类别共同点不同点相互联系适用范围简单随机抽样都是等概率抽样从总体中逐个抽取总体中个体比较少系统抽样将总体均匀分成若干部分；按事先确定的规则在各部分抽取在起始部分采用简单随机抽样总体中个体比较多分层抽样将总体分成若干层，按个体个数的比例抽取在各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体中个体有明显差异（1）从含有N个个体的总体中抽取n个个体的样本，每个个体被抽到的概率为（2）系统抽样的步骤：①将总体中的个体随机编号；②将编号分段；③在第1段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；④按照事先研究的规则抽取样本.（3）分层抽样的步骤：①分层；②按比例确定每层抽取个体的个数；③各层抽样；④汇合成样本.（4）要懂得从图表中提取有用信息如：在频率分布直方图中①小矩形的面积=组距 =频率②众数是矩形的中点的横坐标③中位数的左边与右边的直方图的面积相等，可以由此估计中位数的值 2.方差和标准差都是刻画数据波动大小的数字特征，一般地，设一组样本数据，，…，，其平均数为则方差，标准差3.古典概型的概率公式：如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果都是等可能的，如果事件包含个结果，那么事件的概率p= 特别提醒：古典概型的两个共同特点：○1 ，即试中有可能出现的基本事件只有有限个，即样本空间Ω中的元素个数是有限的；○2 ，即每个基本事件出现的可能性相等。
14. 几何概型的概率公式： p（A）=特别提醒：几何概型的特点：试验的结果是无限不可数的；○2每个结果出现的可能性相等。
二、夯实基础（1）某单位有职工160名，其中业务人员120名，管理人员16名，后勤人员24名.为了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本.若用分层抽样的方法，抽取的业务人员、管理人员、后勤人员的人数应分别为____________.（2）某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图2所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的中位数分别为（）A.19、13B.13、19C.20、18D.18、20（3）统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如右图示，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格人数是；优秀率为。
(通用版)2018年高考数学二轮复习第一部分专题四概率与统计教学案文
专题四概率与统计[研高考·明考点][析考情·明重点]第一讲小题考法——概率、统计、统计案例用样本估计总体征估计总体，且以统计图表的考查为主.[典例感悟][典例] (1)(2016·全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个(2)为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( )A．①③ B．①④C．②③ D．②④(3)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．100,10B ．200,10C ．100,20D ．200,20[解析] (1)由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A 正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，B 正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C 正确；平均最高气温高于20℃的月份有2个，故D 错误．(2)∵x 甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29，x 乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30，∴x 甲<x 乙．又s 2甲＝9＋1＋0＋4＋45＝185，s 2乙＝4＋1＋0＋1＋45＝2，∴s 甲>s 乙．故可判断结论①④正确．(3)易知样本容量为(3 500＋4 500＋2 000)×2%＝200；抽取的高中生人数为2 000×2%＝40，由于其近视率为50%，所以近视的人数为40×50%＝20.[答案] (1)D (2)B (3)D[方法技巧]1．方差的计算与含义(1)计算：计算方差首先要计算平均数，然后再按照方差的计算公式进行计算． (2)含义：方差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差大说明波动大． 2．与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据．可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可以求出其他数据．(2)已知频率分布直方图，求某个范围内的数据．可利用图形及某范围结合求解．[演练冲关]1．(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 解析：选A 根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都在减少，所以A 错误．由图可知，B 、C 、D 正确．2．(2017·山东高考)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( )A ．3,5B ．5,5C ．3,7D ．5,7解析：选A 由两组数据的中位数相等可得65＝60＋y ，解得y ＝5，又它们的平均值相等，所以15×[56＋62＋65＋74＋(70＋x )]＝15×(59＋61＋67＋65＋78)，解得x ＝3.3．某电子商务公司对10 000名网络购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a ＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．解析：(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a ＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a ＝3. (2)区间[0.3,0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5,0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000. 答案：(1)3 (2)6 000考点(二)主要考查线性回归方程的求解及应用，对独立性检验的考查较少.变量间的相关关系、统计案例[典例感悟][典例] (1)(2017·兰州诊断)已知某种商品的广告费支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据：根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为y ^＝6.5x ＋17.5，则表中m 的值为( )A ．45B ．50C ．55D ．60(2)(2017·南昌模拟)设某中学的高中女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，n )，用最小二乘法近似得到回归直线方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该中学某高中女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该中学某高中女生身高为160 cm ，则可断定其体重必为50.29 kg [解析] (1)x －＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y －＝30＋40＋50＋m ＋705＝190＋m5.∵当x －＝5时，y －＝6.5×5＋17.5＝50， ∴190＋m5＝50，解得m ＝60. (2)因为回归直线方程y ^＝0.85x －85.71中x 的系数为0.85>0，因此y 与x 具有正线性相关关系，所以选项A 正确；由最小二乘法及回归直线方程的求解可知回归直线过样本点的中心(x －，y －)，所以选项B 正确；由于用最小二乘法得到的回归直线方程是估计值，而不是具体值，所以若该中学某高中女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ，所以选项C 正确，选项D 不正确．[答案] (1)D (2)D[方法技巧]求回归直线方程的关键及实际应用(1)求回归直线方程的关键是正确理解b ^，a ^的计算公式和准确地求解．(2)在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．[演练冲关]1．(2018届高三·湖北七市(州)联考)广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费x 和销售额y 进行统计，得到统计数据如表所示(单位：万元)：由上表可得回归方程为y ＝10.2x ＋a ，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为( ) A ．101.2万元 B ．108.8万元 C ．111.2万元D ．118.2万元解析：选C 根据统计数据表，可得x －＝15×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，y －＝15×(29＋41＋50＋59＋71)＝50，而回归直线y ^＝10.2x ＋a ^经过样本点的中心(4,50)，∴50＝10.2×4＋a ^，解得a ^＝9.2，∴回归方程为y ^＝10.2x ＋9.2.当x ＝10时，y ＝10.2×10＋9.2＝111.2，故选C.2．(2018届高三·湘中名校联考)利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 和Y 有关系”的可信度．如果k >3.841，那么有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为( )C ．99.5%D ．95%解析：选D 由表中数据可得，当k >3.841时，有0.05的机率说明这两个变量之间的关系是不可信的，即有1－0.05＝0.95的机率，也就是有95%的把握认为变量之间有关系，故选D.[典例感悟][典例] (1)(2016·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.115D.130(2)(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4(3)(2018届高三·湖北五市十校联考)在矩形ABCD 中，AD ＝1，AB ＝2AD ，在CD 上任取一点P ，△ABP 的最大边是AB 的概率为( )A.22B.32C.2－1D.3－1[解析] (1)∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P ＝115.(2)不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由题意，得S 黑＝12S 圆＝π2，故此点取自黑色部分的概率P ＝π24＝π8.(3)分别以A ，B 为圆心，AB 的长为半径画弧，交CD 于P 1，P 2，则当P 在线段P 1P 2间运动时，能使得△ABP 的最大边是AB ，在Rt △P 2BC中，BP 2＝2，BC ＝1，故CP 2＝3，DP 2＝2－3，同理CP 1＝2－3，所以P 1P 2＝2－(2－3)×2＝23－2，所以P 1P 2CD＝3－1，即△ABP 的最大边是AB的概率为3－1.[答案] (1)C (2)B (3)D[方法技巧]1．利用古典概型求概率的关键及注意点(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数． (2)对于较复杂的题目条件计数时要正确分类，分类时应不重不漏． 2．几何概型的适用条件及求解关键(1)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．(2)求解关键是寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．[演练冲关]1．(2018届高三·湘中名校联考)从集合A ＝{－2，－1,2}中随机选取一个数记为a ，从集合B ＝{－1,1,3}中随机选取一个数记为b ，则直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限的概率为( )A.29B.13C.49D.14解析：选A 从集合A ，B 中随机选取一个数后组合成的数对有(－2，－1)，(－2,1)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)，共9对，要使直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限，则需a ≥0，b ≥0，共有2对满足，所以所求概率P ＝29，故选A.2．(2017·长春质检)如图，扇形AOB 的圆心角为120°，点P 在弦AB 上，且AP ＝13AB ，延长OP 交弧AB 于点C ，现向扇形AOB 内投一点，则该点落在扇形AOC 内的概率为( )A.14B.13C.27D.38解析：选A 设OA ＝3，则AB ＝33，AP ＝3，由余弦定理可求得OP ＝3，则∠AOP ＝30°，所以扇形AOC 的面积为3π4，又扇形AOB 的面积为3π，从而所求概率为3π43π＝14.3．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A.110 B.15 C.310 D.25解析：选D 记两次取得卡片上的数字依次为a ，b ，则一共有25个不同的数组(a ，b )，其中满足a ＞b 的数组共有10个，分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率P ＝1025＝25.4．(2017·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A.45B.35C.25D.15解析：选C 从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，故所求概率P ＝410＝25.5．(2017·江苏高考)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．解析：由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2,3]，则所求概率P ＝3－－25－－4＝59.答案：59[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．概率的计算公式 (1)古典概型的概率计算公式P (A )＝事件A 包含的基本事件数m基本事件总数n；(2)互斥事件的概率计算公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )；(3)对立事件的概率计算公式P (A )＝1－P (A )；(4)几何概型的概率计算公式P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.2．抽样方法(1)三种抽样方法的比较 类别 共同点 各自特点 相互联系适用范围 简单随 机抽样是不放回抽样，抽样过程中，每从总体中逐个抽取总体中的个数较少系统 抽样个个体被抽到的机会(概率)相等将总体均分成几部分，按事先确定的规则，在各部分抽取 在起始部分抽样时，采用简单随机抽样总体中的个数比较多 分层 抽样 将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时，采用简单随机抽样或者系统抽样总体由差异明显的几部分组成(2)分层抽样中公式的运用①抽样比＝样本容量个体总量＝各层样本容量各层个体数量；②层1的数量∶层2的数量∶层3的数量＝样本1的容量∶样本2的容量∶样本3的容量． 3．用样本数字特征估计总体 (1)众数、中位数、平均数定义特点众数在一组数据中出现次数最多的数据 体现了样本数据的最大集中点，不受极端值的影响，而且不唯一 中位数 将一组数据按大小顺序依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)中位数不受极端值的影响，仅利用了排在中间数据的信息，只有一个 平均数 样本数据的算术平均数与每一个样本数据有关，只有一个(2)方差和标准差方差和标准差反映了数据波动程度的大小． ①方差：s 2＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]；②标准差：s ＝1n[x 1－x－2＋x 2－x－2＋…＋x n －x－2] .(二) 二级结论要用好 1．频率分布直方图的3个结论 (1)小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率． (2)各小长方形的面积之和等于1.(3)小长方形的高＝频率组距，所有小长方形高的和为1组距.2．与平均数和方差有关的4个结论(1)若x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平均数为m x －＋a ； (2)数据x 1，x 2，…，x n 与数据x ′1＝x 1＋a ，x ′2＝x 2＋a ，…，x ′n ＝x n ＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变；(3)若x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，那么ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的方差为a 2s 2；(4)s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x －)2＝1n ∑i ＝1nx 2i －x －2，即各数平方的平均数减去平均数的平方．求s 2时，可根据题目的具体情况，结合题目给出的参考数据，灵活选用公式形式． 3．线性回归方程线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^一定过样本点的中心(x ，y )．[针对练1] (2018届高三·惠州调研)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)：由最小二乘法求得回归方程y ＝0.67x ＋a ，则a 的值为________． 解析：因为x －＝10＋20＋30＋40＋505＝30，y －＝62＋68＋75＋81＋895＝75，所以回归直线一定过样本点的中心(30,75)，将其代入y ^＝0.67x ＋a ^，可得75＝0.67×30＋a ^，解得a ^＝54.9. 答案：54.9(三) 易错易混要明了1．应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．2．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．3．混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．4．在求解几何概型的概率时，要注意分清几何概型的类别(体积型、面积型、长度型、角度型等)．[针对练2] 一种小型电子游戏的主界面是半径为r 的圆，点击圆周上的点A 后，该点在圆周上随机转动，最后落在点B 处，当线段AB 的长不小于3r 时自动播放音乐，则一次转动能播放音乐的概率为________．解析：如图，当|AB |≥3r ，即点B 落在劣弧CC ′上时才能播放音乐．又劣弧CC ′所对应的圆心角为2π3，所以一次转动能播放音乐的概率为2π32π＝13. 答案：13[课时跟踪检测]A 组——12＋4提速练一、选择题1．(2017·南昌模拟)某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1 000人、高二1 200人、高三n 人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n ＝( )A ．860B ．720C ．1 020D ．1 040解析：选D 根据分层抽样方法，得 1 2001 000＋1 200＋n×81＝30，解得n ＝1 040.2．(2018届高三·西安八校联考)某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学按01,02,03，…，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是( )(注：下表为随机数表的第8行和第9行)⎭⎪⎬⎪⎫63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 5071 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79第8行⎭⎪⎬⎪⎫33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 0744 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54第9行 A ．07 B ．25 C ．42D ．52解析：选D 依题意得，依次选出的个体分别为12,34,29,56,07,52，…因此选出的第6个个体是52，故选D.3．(2017·宝鸡质检)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则该样本中三等品的件数为( )A ．5B ．7C ．10D ．50解析：选D 根据题中的频率分布直方图可知，三等品的频率为1－(0.050 0＋0.062 5＋0.037 5)×5＝0.25，因此该样本中三等品的件数为200×0.25＝50，故选D.4．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n mB.2nmC.4m nD.2m n解析：选C 因为x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n 都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )都在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC 内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC 内的数对有m 个．用随机模拟的方法可得S 扇形S 正方形＝m n ，即π4＝m n，所以π＝4mn.5．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0 C.12D ．1解析：选D 因为所有样本点都在直线y ＝12x ＋1上，所以这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1.6．甲、乙两位歌手在“中国新歌声”选拔赛中，5次得分情况如图所示．记甲、乙两人的平均得分分别为x 甲，x 乙，则下列判断正确的是( )A.x 甲＜x 乙，甲比乙成绩稳定B.x 甲＜x 乙，乙比甲成绩稳定C.x 甲＞x 乙，甲比乙成绩稳定D.x 甲＞x 乙，乙比甲成绩稳定 解析：选B x 甲＝76＋77＋88＋90＋945＝85，x 乙＝75＋88＋86＋88＋935＝86，s 2甲＝15[(76－85)2＋(77－85)2＋(88－85)2＋(90－85)2＋(94－85)2]＝52，s 2乙＝15[(75－86)2＋(88－86)2＋(86－86)2＋(88－86)2＋(93－86)2]＝35.6，所以x 甲＜x 乙，s 2甲＞s 2乙，故乙比甲成绩稳定，故选B.7．(2017·洛阳统考)若θ∈[0，π]，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3>12成立的概率为( )A.13B.12C.23D ．1 解析：选B 依题意，当θ∈[0，π]时，θ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3>12得π3≤θ＋π3<5π6，即0≤θ<π2.因此，所求的概率为π2π＝12. 8．将一枚骰子先后抛掷两次，并记朝上的点数分别为m ，n ，m 为2或4时，m ＋n >5的概率为( )A.227 B.29 C.13 D.23解析：选D 依题意得，先后抛掷两次骰子所得的点数对(m ，n )为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，…，(6,5)，(6,6)，共有36组，其中当m ＝2或4时，相应的点数对(m ，n )共有12组．当m ＝2时，满足m ＋n >5，即n >3的点数对(m ，n )共有3组；当m ＝4时，满足m ＋n >5，即n >1的点数对(m ，n )共有5组，因此所求的概率为3＋512＝23.9．(2017·惠州调研)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为( )A.13B.14C.15D.16解析：选A 设田忌的上、中、下三个等次的马分别为A ，B ，C ，齐王的上、中、下三个等次的马分别为a ，b ，c ，从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛的所有可能结果有Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，Ca ，Cb ，Cc ，共9种，田忌马获胜有Ab ，Ac ，Bc ，共3种，所以田忌的马获胜的概率为13.10．(2018届高三·西安八校联考)在平面区域{(x ，y )|0≤x ≤1，1≤y ≤2}内随机投入一点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足y ≤2x 的概率为( )A.34B.23C.12D.14解析：选D 依题意得，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，1≤y ≤2表示的平面区域为如图所示的正方形ABCD 的内部(含边界)，其面积为1×1＝1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，1≤y ≤2，y ≤2x表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)，其面积为12×12×1＝14，因此所求的概率为14.11．(2018届高三·广东五校联考)在区间[－1,1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为( )A.12B.13C.24D.23解析：选C 若直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交，则圆心到直线的距离d ＝|3k |1＋k2<1，解得－24<k <24，故在区间[－1,1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为P ＝222＝24.12．已知样本(x 1，x 2，…，x n )的平均数为x ，样本(y 1，y 2，…，y m )的平均数为y (x ≠y )，若样本(x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y m )的平均数z ＝a x ＋(1－a )y ，其中0<a <12，则n ，m 的大小关系为( )A ．n <mB ．n >mC ．n ＝mD ．不能确定解析：选A 由题意可得，x ＝x 1＋x 2＋…＋x nn，y ＝y 1＋y 2＋…＋y mm，则z ＝x 1＋x 2＋…＋x n ＋y 1＋y 2＋…＋y m n ＋m ＝n n ＋m ·x 1＋x 2＋…＋x n n ＋m n ＋m ·y 1＋y 2＋…＋y mm ＝n n ＋m·x ＋mn ＋m ·y ＝a x ＋(1－a )y ，所以nn ＋m＝a ，mn ＋m ＝1－a ，又0<a <12，所以0<n n ＋m <12<mn ＋m，故n <m .二、填空题13．(2017·石家庄质检)设样本数据x 1，x 2，…，x 2 017的方差是4，若y i ＝2x i －1(i ＝1,2，…，2 017)，则y 1，y 2，…，y 2 017的方差为________．解析：设样本数据的平均数为x －，则y i ＝2x i －1的平均数为2x －－1，则y 1，y 2，…，y 2 017的方差为12 017[(2x 1－1－2x －＋1)2＋(2x 2－1－2x －＋1)2＋…＋(2x 2 017－1－2x －＋1)2]＝4×12 017[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x 2 017－x －)2]＝4×4＝16.答案：1614．(2018届高三·广西三市联考)已知函数f (x )＝log a x ＋log 1a 8(a >0，且a ≠1)，在集合14，13，12，3,4,5，6,7中任取一个数a ，则f (3a ＋1)>f (2a )>0的概率为________． 解析：∵3a ＋1>2a ，f (3a ＋1)>f (2a )，f (x )＝log a x －log a 8，∴a >1.又f (2a )>0，∴2a >8，即a >4，符合条件的a 的值为5,6,7，故所求概率为38.答案：3815．(2017·张掖模拟)在区间[0，π]上随机取一个数θ，则使2≤2sin θ＋2cos θ≤2成立的概率为________．解析：由2≤2sin θ＋2cos θ≤2，得22≤sinθ＋π4≤1，结合θ∈[0，π]，得满足条件的θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴使2≤2sin θ＋2cos θ≤2成立的概率为π2π＝12.答案：1216．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为x－甲，x－乙，则x－甲>x－乙的概率是________．解析：设污损处的数字为m，由15(84＋85＋87＋90＋m＋99)＝15(86＋87＋91＋92＋94)，得m ＝5，即当m＝5时，甲、乙两人的平均成绩相等．m的取值有0,1,2,3，…，9，共10种可能，其中，当m＝6,7,8,9时，x－甲>x－乙，故所求概率为410＝25.答案：25B组——能力小题保分练1．(2017·成都模拟)两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面，且他们5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，若15分钟后还未见面便离开．则这两位同学能够见面的概率是( )A.1136B.14C.12D.34解析：选D 如图所示，以5：30作为原点O，建立平面直角坐标系，设两位同学到达的时刻分别为x，y，设事件A表示两位同学能够见面，所构成的区域为A＝{(x，y)||x－y|≤15}，即图中阴影部分，根据几何概型概率计算公式得P(A)＝30×30－2×12×15×1530×30＝34.2．(2017·广州模拟)四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着一枚完全相同的硬币，所有人同时抛出自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么没有相邻的两个人站起来的概率为( )A.14B.716C.12D.916解析：选B 四个人按顺序围成一桌，同时抛出自己的硬币抛出的硬币正面记为0，反面记为1，则总的基本事件为(0,0,0,0)，(0,0,0,1)，(0,0,1,0)，(0,0,1,1)，(0,1,0,0)，(0,1,0,1)，(0,1,1,0)，(0,1,1,1)，(1,0,0,0)，(1,0,0,1)，(1,0,1,0)，(1,0,1,1)，(1,1,0,0)(1,1,0,1)，(1,1,1,0)，(1,1,1,1)，共有16种情况．若四个人同时坐着，有1种情况；若三个人坐着，一个人站着，有4种情况；若两个人坐着，两个人站着，此时没有相邻的两个人站起来有2种情况．所以没有相邻的两个人站起来的情况共有1＋4＋2＝7种，故所求概率为716.3．一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a n }，若a 3＝8，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )A ．13,12B ．13,13C ．12,13D ．13,14解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，a 3＝8，a 1a 7＝a 23＝64，即(8－2d )(8＋4d )＝64，又d ≠0，所以d ＝2，故样本数据为：4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，平均数为S 1010＝4＋22×510＝13，中位数为12＋142＝13.4．根据如下样本数据：x 3 4 5 6 7y4.0a －5.4 －0.50.5b －0.6得到的回归方程为y ＝bx ＋a .若样本点的中心为(5,0.9)，则当x 每增加1个单位时，y 就( )A ．增加1.4个单位B ．减少1.4个单位C ．增加7.9个单位D ．减少7.9个单位解析：选B 依题意得，4.0＋a －5.4－0.5＋0.5＋b －0.65＝0.9，故a ＋b ＝6.5；①又样本点的中心为(5,0.9)，故0.9＝5b ＋a ，②联立①②，解得b ＝－1.4，a ＝7.9，则y ^＝－1.4x ＋7.9， 所以当x 每增加1个单位时，y 就减少1.4个单位．5．正六边形ABCDEF 的边长为1，在正六边形内随机取点M ，则使△MAB 的面积大于34的概率为________．解析：如图所示，作出正六边形ABCDEF ，其中心为O ，过点O 作OG ⊥AB ，垂足为G ，则OG 的长为中心O 到AB 边的距离．易知∠AOB ＝360°6＝60°，且OA ＝OB ，所以△AOB 是等边三角形，所以OA ＝OB ＝AB ＝1，OG＝OA ·sin 60°＝1×32＝32，即对角线CF 上的点到AB 的距离都为32. 设△MAB 中AB 边上的高为h ，则由S △MAB ＝12×1×h >34，解得h >32.所以要使△MAB 的面积大于34，只需满足h >32，即需使M 位于CF 的上方．故由几何概型得，△MAB 的面积大于34的概率P ＝S 梯形CDEF S 正六边形ABCDEF ＝12. 答案：126．某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取一个容量为n 的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n ＋1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n 为________．解析：总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量为n 时，由题意可知，系统抽样的抽样距为36n，分层抽样的抽样比是n 36，则采用分层抽样法抽取的乒乓球运动员人数为6×n 36＝n6，篮球运动员人数为12×n 36＝n 3，足球运动员人数为18×n 36＝n2，可知n 应是6的倍数，36的约数，故n ＝6,12,18.当样本容量为n ＋1时，剔除1个个体，此时总体容量为35，系统抽样的抽样距为35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6，即样本容量n 为6.答案：6第二讲 大题考法——概率与统计题型(一)主要考查随机事件的概率、古典概型、频率分布直方图、茎叶图等的应用.概率与用样本估计总体的交汇问题[典例感悟][典例1] (2016·全国卷Ⅰ)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数．(1)若n ＝19，求y 与x 的函数解析式；(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？[解] (1)当x ≤19时，y ＝3 800；当x ＞19时，y ＝3 800＋500(x －19)＝500x －5 700，所以y 与x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 800，x ≤19，500x －5 700，x ＞19，(x ∈N)．(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n 的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800(元)，20台的费用为4 300(元)，10台的费用为4 800(元)，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000(元)．若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000(元)，10台的费用为4 500(元)，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4 000×90＋4 500×10)＝4 050(元)．比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．[备课札记]。
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教学过程一、考纲解读概率这一章的考查，文科减少了独立事件的概率，但理科对相互独立事件的概率求法依然是重点；文科主要是用列举法求随机时间所含的基本事件数及事件发生的概率，同时，重点掌握互斥事件概率的求法；几何概型主要以体积、面积、长度，特别是面积为主要考查对象，理科注意用积分求面积；二项式定理为理科必考；理科中注重离散型随机变量，均值，方差的考查.统计一章用样本估计总体中，会识图，会从频率分布直方图中分析样本的数字特征（众数、中位数、平均数）；重视茎叶图；线性回归方程要引起足够的重视（在现实生活中有广泛的应用）是考查的重点，不仅会求线性回归方程，还要会分析其特点（正相关、负相关、线性回归方程过样本点中心即样本平均数）概率二、复习预习概率计算是该部分的核心内容，概率统计的试题特别是综合解答题，一般离不开概率计算，概率计算主要问题是在分析事件的互斥性、对立性、相互独立性的基础上，选用合适的计算方法几何概型、统计案例是值得关注的考点该部分在高考中一般是1到2个小题和一个解答题，分值在17-22分。
小题重在考查概率统计的基础知识和方法，解答题重在综合性地考查概率统计知识的综合运用。
三、知识讲解考点1 概率（1）事件与概率①了解频率与概率的区别.②了解两个互斥事件的概率加法公式.（2）古典概型①理解古典概型及其概率计算公式.②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.（3）随机数与几何概型①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.②了解几何概型的意义.（4）离散型随机变量及分布列①分布列及期望方差②二项分布③超几何分布（5）正态分布考点2 统计（1）随机抽样:①理解随机抽样的必要性和重要性.②会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.（2）用样本估计总体①了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.②理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差（不要求记忆公式）.③能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释.④会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题.（3）变量的相关性:①会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.②了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（线性回归方程系数公式不要求记忆）.四、例题精析例1 [2014全国2卷]某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A ．0.8 B ．0.75 C ．0.6 D ．0.45【规范解答】已知某天的空气质量为优良，设随后一天的空气质量也优良的概率是p ， 根据题意有0.6＝0.75p ，解得p ＝0.8， 故选A【总结与反思】 考查相互独立事件同时发生的概率的乘法公式例2 [2014湖北卷]由不等式0,0,20x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩确定的平面区域记为1Ω，不等式1,2x y x y +≤⎧⎨+≥-⎩确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ） A.81 B.41 C. 43 D.87 【规范解答】依题意，不等式组表示的平面区域如图： 由几何概型公式知，该点落在2Ω内的概率为112211722=18222P ⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯，故选D 。
【总结与反思】 本题考查不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型，将线性规划与几何概型结合，是一道创新题，为中档题。
例3 [2014全国1卷] 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率 ( )A .18B .38C .58D .78【规范解答】解法1.选D （直接法）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4216=种，周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人一天三人有11428C A =种；②每天2人有22426C C =种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为867168+=； 解法2.选D （间接法）4位同学都在周六或周日参加公益活动有2种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1627168-=；选D.【总结与反思】 （1）本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．是一道基础题。
（2）解题步骤：求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．解法2更好一些，正难则反的思想来解决。
（3）近几年往往将排列组合、概率相结合考查, 都是以考查基本概念、基础知识和基本运算为主，能力要求主要是以考查分析问题和解决问题为主。
例4[2014浙江卷] 已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，从乙盒中随机抽取(1,2)i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.则 A. 1212,()()p p E E ξξ>< B. 1212,()()p p E E ξξ<> C. 1212,()()p p E E ξξ>> D. 1212,()()p p E E ξξ<< 【规范解答】解析1 p 1＝m m ＋n ×22＋n m ＋n ×12＝2m ＋n 2（m ＋n ），p 2＝C 2m C 2m ＋n ×33＋C 1m C 1m C 2m ＋n ×23＋C 2nC 2m ＋n ×13＝3m 2－3m ＋4mn ＋n 2－n 3（m ＋n ）（m ＋n －1），则p 1－p 2＝mn ＋n （n －1）6（m ＋n ）（m ＋n －1）>0；E (ξ1)＝1×n m ＋n ＋2×mm ＋n ＝2m ＋n m ＋n，E (ξ2)＝1×C 2n C 2m ＋n ＋2×C 1m C 1n C 2m ＋n ＋3×C 2mC 2m ＋n ＝3m 2－3m ＋4mn ＋n 2－n （m ＋n ）（m ＋n －1），E (ξ1)－E (ξ2)＝－m 2＋m －mn （m ＋n ）（m ＋n －1）<0，故选A.解析2不妨取m ＝n ＝3，此时，p 1＝36×22＋36×12＝34，p 2＝C 23C 26×33＋C 13C 13C 26×23＋C 23C 26×13＝23，则p 1>p 2；E (ξ1)＝1×36＋2×36＝32，E (ξ2)＝1×C 23C 26＋2×C 13C 13C 26＋3×C 23C 26＝2，则E (ξ1)<E (ξ2)．故选A.解析3 从概率的直观意义（本质）来看，乙盒中既有红球也有蓝球，从乙盒中逐步取球放入甲盒后，则甲盒中红球“被稀释”了，故从甲盒中取1个球是红球的概率减小，即12p p >；从期望来看，随着乙盒中的球放入甲盒，甲盒中的红球显然不会减少，故12()()E E ξξ<.【总结与反思】 （1）本题主要考查随机事件的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算．（2）概率解题首先是题意的准确理解，其次要准确找出随机变量的可能取值，区分概率模型，计算出相应的概率．解析1是解决这类问题的一般方法，如果此题是一道解答题，如此解决无可厚非，但作为选择题的解决方法显然是不合适的.解析2利用取特殊值的方法简化运算，是众多考生采用的策略，也是一种有效的解决办法.但换个角度来看，如果命题者是希望考生如此解决，那就没有必要将问题设计为“乙盒中有m 个红球和n 个蓝球”，而直接设计为“乙盒中有3个红球和3个蓝球”，这样对相关知识点和方法的考查目标也能同样达到，而且作为一道试题就更具亲和力了.当我们再从解析3的角度来认识这个问题时，可以发现此题其实是不用计算的，如果给出具体的数值反而有引导学生“死算”的嫌疑.命题者想考什么？考概率和期望本身的含义而不是具体的计算，所以这是一道漂亮的选择题！如果改成解答题，反而失去了它的味道——那种直透本质的数学思考，而变成一道普普通通的计算题.（3）涉及化归与转化、分类与整合、或然与必然等基本数学思想，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力．考查抽象概括、运算求解能力和应用意识．例5 [2014安徽卷] 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立. (1) 求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；(2) 记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）【规范解答】（Ⅰ）设事件)5,4,3,2(=i A i 表示“甲在第i 局比赛结束时赢得比赛”，根据题意得： 943232)(2=⨯=A P ；274323231)(3=⨯⨯=A P ；81832323132)(4=⨯⨯⨯=A P因此，甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率815681827494=++=P（Ⅱ）X 的所有可能取值集合为}5,4,3,2{ 9531313232)2(=⨯+⨯==X P ； 92276313132323231)3(==⨯⨯+⨯⨯==X P ；81103131323132323132)4(=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==X P ；8183132313232313231)5(=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==X P （或818811092951)5(=---==X P ）X 的分布列为81815814923952)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E【总结与反思】 此题以古典概型和离散型随机变量分布列知识为背景，考察分析问题和解决问题的能力.例6[2014全国2卷] 某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：bˆ＝∑∑==---ni ini i it ty y t t121)())((，aˆ＝y －t b ˆ [规范解答】（Ⅰ）∵ t ＝7721+++ ＝4，y ＝79.52.58.44.46.33.39.2++++++＝4.3设回归方程为y ＝bt ＋a ，代入公式，经计算得b ＝2)149(8.48.15.007.02143⨯++++++++⨯＝21414⨯＝21 a ＝y －b t ＝4.3－21×4＝2.3 ∴ y 关于t 的回归方程为y ＝0.5t ＋2.3（Ⅱ）∵ b ＝21＞0 ∴ 007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入稳步增长，预计到2015年， 该区人均纯收入y ＝0.5×9＋2.3＝6.8（千元） ∴ 预计到2015年，该区人均纯收入约6千8百元【总结与反思】 本题考查了线性回归方程的求法。