2015-2016学年天津市静海一中等六校高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2015-2016第一学期高二期末考试理科数学试题及答案
2015-2016学年度高二年级期末教学质量检测理科数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“0x >”是0>”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 2．抛物线24y x =的焦点坐标是A ．(1,0)B ．(0,1)C ．1(,0)16 D ．1(0,)163．与圆8)3()3(22=-+-y x 相切，且在y x 、轴上截距相等的直线有A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 4．设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列结论正确的是A ．若l ∥α，l ∥β，则//αβB ．若//l α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β, //l α，则l ⊥β 5．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<06．设(2,1,3)a x = ，(1,2,9)b y =-，若a 与b 为共线向量，则A ．1x =，1y =B ．12x =，12y =-C ．16x =，32y =-D ．16x =-，32y =7．已知椭圆2215x y m +=的离心率5e =，则m 的值为A ．3B ．3C D ．253或38．如图,在正方体1111ABCD A BC D -中，,,M N P 分别是111,,B B B C CD 的中点，则MN 与1D P 所成角的余弦值为A． BCD ．9．如图，G 是ABC ∆的重心，,,OA a OB b OC c ===，则OG =A ．122333a b c ++B ．221333a b c ++C ．222333a b c ++D ．111333a b c ++10.下列各数中，最小的数是A ．75B ．)6(210 C ．)2(111111 D ．)9(8511．已知双曲线22214x yb-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦 点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A ． B C ．3 D ．512、在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 A 、 11 B 、12 C 、1 D 、15二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分13．若直线x +a y+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a = 14．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 。
2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试卷及答案
2015-2016学年度 第一学期期末质量监测高二数学（理科）试卷一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线023=+-y x 的倾斜角是A.6π B.3π C.23π D.56π 2. 直线l 过点(2,2)P -，且与直线032=-+y x 垂直，则直线l 的方程为 A. 220x y +-= B. 260x y --=C. 260x y --=D. 250x y -+=3. 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为π12, 则该几何体的体积是A. π4B. 12πC. 16πD. 48π 4. 在空间中，下列命题正确的是 A. 如果直线m ∥平面α,直线α⊂n 内,那么m ∥n ;B. 如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC. 如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m α⊥D. 如果平面α⊥平面β，任取直线m α⊂，那么必有m β⊥5. 如果直线013=-+y ax 与直线01)21(=++-ay x a 平行.那么a 等于A. -1B.31 C. 3 D. -1或316. 方程)0(0222≠=++a y ax x 表示的圆A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于直线x y =轴对称D. 关于直线x y -=轴对称7. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是1AA ，AD 的中点，则1CD 与EF 所成角为A. 0︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒8. 如果过点M (-2,0)的直线l 与椭圆1222=+y x 有公共点,那么直线l 的斜率k 的取值范围是A.]22,(--∞ B.),22[+∞ C.]21,21[-D. ]22,22[-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知双曲线的标准方程为116422=-y x ，则该双曲线的焦点坐标为，_________________渐近线方程为_________________.10. 已知向量)1,3,2(-=a，)2,,5(--=y b 且a b ⊥ ，则y =________.11. 已知点),2,(n m A -，点)24,6,5(-B 和向量(3,4,12)a =-且AB ∥a .则点A 的坐标为________.12. 直线0632=++y x 与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 13. 抛物线x y 82-=上到焦点距离等于6的点的坐标是_________________.14. 已知点)0,2(A ，点)3,0(B ，点C 在圆122=+y x 上，当ABC ∆的面积最小时，点C 的坐标为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，E ，F ,G 分别是AC ，AD ,BC 的中点. 求证：（I ）AB ∥平面EFG ;（II ）平面⊥EFG 平面ABC .16. （本小题共13分）已知斜率为2的直线l 被圆0241422=+++y y x 所截得的弦长为求直线l 的方程.17. （本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAB 平面ABCD ，AB ∥CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，E 为PA 的中点,M 在PD 上(点M 与D P ,两点不重合).（I ） 求证：PB AD ⊥；（II ）若λ=PDPM,则当λ为何值时, 平面⊥BEM 平面PAB ?（III ）在（II ）的条件下,求证：PC ∥平面BEM .18. （本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，PD CD =,E 为PC 的中点. （I ） 求证：AC ⊥PB ； （II ） 求二面角P --BD --E 的余弦值.19. （本小题共14分）已知斜率为1的直线l 经过抛物线22y px =(0)p >的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，4=AB .（I ） 求p 的值；（II ） 设经过点B 和抛物线对称轴平行的直线交抛物线22y px =的准线于点D ，求证：DO A ,,三点共线(O 为坐标原点).20. （本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的左焦点为F ,离心率为33，过点)1,0(M 且与x 轴平行的直线被椭圆G 截得的线段长为6. （I ） 求椭圆G 的方程；（II ）设动点P 在椭圆G 上（P 不是顶点），若直线FP 的斜率大于2,求直线OP (O 是坐标原点)的斜率的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末质量检测高二数学（理科）试卷参考答案2016.1一、ABB C BA CD二、9.（±52,0），2y x =±10. -411. (1,-2,0)12. 313. (-4,24±)14. （13133，13132） 说明：1.第9题，答对一个空给3分。
天津市六校2016届高三数学(理)上学期期末联考试题(含答案)
2015-2016学年度第一学期末六校联考高三数学(理)试卷第Ⅰ卷 选择题 (共40分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 设全集{}{}{}{}12345672346=1451,5U M N ==，，，，，，，，，，，，，，则等于.A M N ⋃ .B M N ⋂.C ()U C M N ⋂ .DM C N ⋂2.若,x y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则y x z 2+=的最小值为.A 3 .B 4 .C 7 .D 2 3. 执行如图的程序框图，那么输出S 的值是 .A 2.B21.C 1 .D 1- 4. 如图，点,,A B C 是圆O 上的点,且2,120AB BC CAB ==∠=,则AOB ∠对应的劣弧长为.A π 3.πB .C π22.D 2π5.在ABC ∆中, a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，54cos =A ,2=b ,面积3=S ，则a 为 .A 53 .B 13 .C 21 .D 176. 给出下列命题：①若m b a ,,都是正数，且bam b m a >++，则b a <； ②若)('x f 是)(x f 的导函数，若0)(',≥∈∀x f R x ，则)2()1(f f <一定成立； ③命题"012,"2<+-∈∃x x R x 的否定是真命题；④“1||≤x ，且1|≤y |”是“2||≤+y x ”的充分不必要条件. 其中正确命题的序号是A.①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④(第4题图)7. 已知双曲线1:2222=-by a x C )0,0(>>b a 与抛物线)0(22>=p px y 的交点为A 、B ，直线AB 经过抛物线的焦点F ，且线段AB 的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为 .A 12+ .B 3 .C 2 .D 28. 已知定义在R 上的函数，当[]0,2x ∈时，()()811f x x =--，且对任意的实数122,22n n x +⎡⎤∈--⎣⎦（*N n ∈，且2n ≥），都有()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若方程|log |)(x x f a =有且仅有四个实数解，则实数a 的取值范围为 A．B． C ．()2,10 D ．[]2,10第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上) 9.若复数()2,12bib R i i-∈+为虚数单位的实部和虚部互为相反数，则b =_____. 10.若n x x )13(32-展开式中各项系数和为128,则展开式中31x 系数是 . 11. 若函数2x y =与)0(>=k kx y 图象围成的阴影部分的面积29，则=k . 12.若某几何体的的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 .13.圆O 中,弦,7,2==AC AB 则⋅的值为 . 14.已知实数c b a ,,满足0,222≠=+c c b a ,则ca b2-的取值范围是 .三、解答题(本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)已知函数1cos sin 32cos 2)(2-+=x x x x f ωωω,且)(x f 的周期为2 . （Ⅰ）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,21x 时，求)(x f 的最值； （Ⅱ）若41)2(=παf ，求)32cos(απ-的值. (第12题图)正视图侧视图俯视图16. (本小题满分13分)在等差数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，已知15,252==S a .公比为2的等比数列}{n b 满足6042=+b b ．（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（Ⅱ）设nnn b a c 2=，求数列}{n c 的前n 项和n T ．17. (本小题满分13分)如图,三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，2AC AB SA ===，AC ⊥AB ， D ，E 分别是AC ，BC 的中点， F 在SE 上，且2SF FE =． （Ⅰ）求证：AF ⊥平面SBC ；（Ⅱ）在线段上DE 上是否存在点G ，使二面角G AF E --的大小为30︒？若存在，求出DG 的长；若不存在，请说明理由．18. (本小题满分13分)椭圆1:2222=+by a x C )0(>>b a 的焦距为4，且以双曲线1422=-x y 的实轴为短轴，斜率为k 的直线l 经过点)1,0(M ，与椭圆C 交于不同两点A 、B .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）当椭圆C 的右焦点F 在以AB 为直径的圆内时，求k 的取值范围． 19. (本小题满分14分)已知数列}{n a 满足)()1(2,1*11N n a a a n n n ∈-+==+.（Ⅰ）若3112-=-n n a b ，求证：数列}{n b 是等比数列并求其通项公式； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）求证：11a +21a +…+na 13<. 20. (本小题满分14分)已知函数x ax x h ln 2)(+-= （Ⅰ）当1=a 时，求)(x h 在))2(,2(h 处的切线方程； （Ⅱ）令)(2)(2x h x a x f +=，已知函数)(x f 有两个极值点21,x x ，且2121>⋅x x ，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若存在]2,221[0+∈x ，使不等式2ln 2)1()1()1ln()(20++-->++a a m a x f 对任意a （取值范围内的值）恒成立，求实数m 的A SBEFD(第17题图)2015-2016学年度第一学期期末六校联考高三数学(理)答题纸二、填空题（每题5分，共40分）9.__________________.10.__________________.11.__________________.12._______________ . 13.__________________. 14.__________________. 三、解答题（共80分） 15.（本题13分）16.（本题13分）17.（本题13分）AS BCE F D18.（本题13分）19.（本题14分）20.（本题14分）2015-2016学年度第一学期期末六校联考高三数学(理)参考答案 一选择题(每小题5分): CABC BDBA 二填空题: (每小题5分) 9.32-. 10. 21 11.3 12.215+ 13. 23 14.]33,33[- 三解答题:15. (1）x x x f ωω2sin 32cos )(+=)62sin(2πω+=x ………………1分,2=T ∴ 2πω=………………2分)6sin(2)(ππ+=∴x x f ………………3分2121≤≤-x ππππ3263≤+≤-∴x 1)6sin(23≤+≤-∴ππx …………4分 2)6sin(23≤+≤-∴ππx ………………5分当21-=x 时,)(x f 有最小值3-,当31=x 时,)(x f 有最大值2. …………6分 （2）由41)2(=παf ，所以41)62sin(2)62sin(2=+=+∙παππαπ 所以81)62sin(=+πα----------------------------------8分而81)26sin()26(2cos )23cos(=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-απαππαπ--------------10分 所以1)23(c o s2)23(2c o s )32c o s (2--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-απαπαπ------------12分即32311)62(sin 2)32cos(2-=-+=-πααπ------------------------13分16.解：（Ⅰ）由,15,252==S a 得n a n =------------3分公比为2的等比数列}{n b 满足6042=+b b ．所以n n b 23⋅=------------6分 （Ⅱ）n c ==．------------7分则．令．则．------------9分两式作差得：==．------------11分∴．故．------------13分17. （1）由2AC AB SA ===，AC AB ⊥，E 是BC的中点，得AE =因为SA ⊥底面ABC ，所以SA AE ⊥． ------------2分 在Rt SAE △中，SE =13EF SE ==． 因此2AE EF SE =⋅，又因为AEF AES ∠=∠，所以EFA EAS △∽△，则90AFE SAE ︒∠=∠=，即AF SE ⊥． ------4分因为SA ⊥底面ABC ，所以SA BC ⊥，又BC AE ⊥， 所以BC ⊥底面SAE ，则BC AF ⊥．又E BC SE =⋂，所以AF ⊥平面SBC ． --------------6分 (向量法请酌情给分)（2）假设满足条件的点G 存在，并设DG t =()10(≤≤t以A 为坐标原点，分别以AC ，AB ，AS 为x ，y ，z 轴建立空间直线坐标D xyz -，则(0,0,0)A ，(0,0,2)S ，(1,1,0)E ，(1,,0)G t ．由2SF FE =得222(,,)333F ．F 所以)0,1,1(=，)32,32,32(=AF ，)0,,1(t =设平面AFG 的法向量为),,(111z y x =，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=++0032323211111ty x z y x ，取1y =得)1,1,(--=t t m ．--------------9分 设平面AFE 的法向量为),,(222z y x n =，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AE n AF n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=++0032323222222y x z y x ，取1y =，即)0,1,1(-=．--------------11分 由二面角G AF E --的大小为30︒，得23||||30cos 0==n m ， 化简得22520t t -+=，又01t ≤≤，求得12t =． 于是满足条件的点G 存在，且12DG =． --------------13分18.解：（1）∵焦距为4，∴ c=2………………………………………………2分又以双曲线1422=-x y 的实轴为短轴 ∴b=2………………………… 4分∴标准方程为14822=+y x ………………………………………5分 （2）设直线l 方程：y=kx+1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由⎪⎩⎪⎨⎧=++=148122y x kx y 得064)21(22=-++kx x k∴x 1+x 2=2214k k +-，x 1x 2=2216k+- ……………………7分由（1）知右焦点F 坐标为（2，0），∵右焦点F 在圆内部，∴BF AF ⋅＜0………………………………9分 ∴（x 1 -2）（x 2-2）+ y 1y 2＜0即x 1x 2-2（x 1+x 2）+4+k 2x 1x 2+k （x 1+x 2）+1＜0…………………… 10分 ∴222221185214)2(216)1(k k k k k k k +-=++-⋅-++-⋅+＜0…………… 12分 ∴k ＜81……………………………………… 13分 19.解：（1）22122(1)n n n a a +=+-= 2121212[2(1)]141,n n n a a ---+-+=-212112121144334,1133n n n n n n a a b b a a +-+----===--…………………………3分1112.33b a =-=所以{}n b 是首项为23，公比为4的等比数列，124.3n n b -=⨯………5分（2）由（Ⅰ）可知1212112114(21)3333n n n n a b ---=+=⨯+=+，……………………7分 21212221212(1)(21)1(21).33n n n n n a a ---=+-=+-=- ………………8分所以11(2(1))3n n n a +=+-，或1(21);(2)31(21).(21)3nn n n k a n k ⎧-=⎪⎪=⎨⎪+=-⎪⎩………………9分（3） ∴22122111212,2.3333n n n n a a --=⋅-=⋅+ 21221222121222122122121221212113321213(22)222213(22)3(22)222122n nn n n n n n n n n n n n n n n n na a ----------+=++-⨯+=⋅+--⨯+⨯+=≤⋅+-⋅ 21211322n n-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭…………………………………11分 当n ＝2k 时，1234212111111k k a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭223211(1)111122331222212k k -⎛⎫≤++++=⨯ ⎪⎝⎭-23332k =-<当n ＝2k －1时，1111111a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭<1234212111111k k a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭<3 ∴1 a 1 ＋1a 2 ＋…＋1 a n ＜3．…………14分 20．（1）xa x h 12)('+-= 1=a 时x x x h ln 2)(+-= x x h 12)('+-= 2ln 4)2(+-=h 23)2('-=h )(x h 在))2(,2(g 处的切线方程为0142ln 223=--+y x …3分（2）)0(1212)(2>+-=+-='x x ax ax x a ax x f0120)(2=+-⇔='ax ax x f ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>==+>-=∆211204421212a x x x x a a ，所以21<<a ．…6分（3）由0122=+-ax ax ，解得aa a a x a a a a x -+=--=2221,， ∵21<<a ，∴2211112+<-+=a x ． 而)(x f 在),(2+∞x 上单调递增，∴)(x f 在]2,221[+上单调递增． …7分 ∴在]2,221[+上，2ln 2)2()(max +-==a f x f ． …8分 所以，“存在]2,221[0+∈x ，使不等式2ln 2)1()1()1ln()(20++-->++a a m a x f 恒成立”等价于“不等式2ln 2)1()1()1ln(2ln 22++-->+++-a a m a a 恒成立”， 即，不等式012ln )1ln(2>+-+--+m a m a a 对任意的a （21<<a ）恒成立． …9分 令12ln )1ln()(2+-+--+=m a m a a a g ，则0)1(=g ．1221211)(2+---=--+='a a m a m a m a a a g ． …10分①当0≥m 时，0122)(2<+---='a a m a m a a g ，)(a g 在)2,1(上递减． 0)1()(=<g a g ，不合题意．②当0<m 时，1)211(2)(+++-='a m a m a a g ． 若)211(1m +-<，记)211,2min(mt --=，则)(a g 在),1(t 上递减． 在此区间上有0)1()(=<g a g ，不合题意． 因此有⎪⎩⎪⎨⎧≤--<12110m m ，解得41-≤m ，所以，实数m 的取值范围为]41,(--∞．…14分。
2015-2016学年天津市静海一中等六校高二上学期期末理科数学卷(带解析)
绝密★启用前2015-2016学年天津市静海一中等六校高二上学期期末理科数学卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：144分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F 1、F 2是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2=60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ）A ．B ． B ．D ．2、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．64B ．72C ．80D ．1123、设、是双曲线的两个焦点，在双曲线上，当的面积为2时，的值为A ．2B ．3C ．4D ．64、已知是抛物线的焦点,是该抛物线上的两点,,则线段的中点到轴的距离为A ．B ．1C ．D ．5、下列四个命题中的真命题为 A ．，使得B ．，总有C ．，，D ．，，6、设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则A ．若//，//，则//B ．若//，//，则//C ．若//，，则D ．若//，，则7、“”是“方程表示的图形为双曲线”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8、已知圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆有公共点，则的最小值是A． B． C． D．第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9、若曲线与直线有一个交点，则实数的取值范围是 .10、已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若设且则椭圆离心率的范围是11、若点(3,1)是抛物线的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则＝12、用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为13、双曲线的一个焦点为，则的值是14、已知两直线与平行，则三、解答题（题型注释）15、巳知椭圆的长轴长为，且与椭圆有相同的离心率.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与有两个交点、，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.16、如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点.(Ⅰ)若，求证：平面平面；(Ⅱ)点在线段上，，若平面平面，且，求二面角的大小.17、已知抛物线的焦点为, 直线过点.(Ⅰ)若点到直线的距离为, 求直线的斜率; (Ⅱ)设为抛物线上两点, 且不与轴垂直, 若线段的垂直平分线恰过点,求证: 线段中点的横坐标为定值.18、如图，三棱柱中，,，．(Ⅰ)证明； (Ⅱ)若平面⊥平面，，求直线与平面所成角的正弦值．19、已知圆C ：，圆关于直线对称，圆心在第二象限，半径为．(Ⅰ)求圆的方程；(Ⅱ)已知不过原点的直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，求直线的方程．20、命题：直线与圆相交于两点；命题：曲线表示焦点在轴上的双曲线，若为真命题，求实数的取值范围．参考答案1、A2、C3、B4、C5、D6、C7、A8、A9、10、11、212、13、14、15、(Ⅰ)(Ⅱ) ，16、(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)17、(Ⅰ) (Ⅱ)详见解析18、(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)19、(Ⅰ)(Ⅱ) 或20、【解析】1、试题分析：设，由余弦定理得，即，设是椭圆的长半轴，是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得，将它们及离心率互为倒数关系代入前式得，，解得考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质2、试题分析：根据几何体的三视图知，该几何体是下部是边长为4的正方体，上部是高为3的四棱锥的组合体，∴该几何体的体积是考点：三视图3、试题分析：双曲线的两个焦点坐标为（-2，0），（2，0）设P的坐标为（x，y），则∵的面积为2∴12×4×|y|＝2∴|y|=1，代入双曲线方程解得|x|=6∴考点：双曲线性质4、试题分析：：∵F是抛物线的焦点，F（，0）准线方程x=-，设A，B∴|AF|+|BF|=，解得∴线段AB的中点横坐标为∴线段AB的中点到y轴的距离为考点：抛物线方程及性质5、试题分析：A中，最小值为，不正确；B中满足不等式的的范围不是R；C中当时不等式不成立；D中时命题成立考点：命题真假的判定6、试题分析：A中两直线可能平行，相交或异面；B中两平面平行或相交；C中由线面垂直的判定定理可知结论正确；D中直线，平面间的位置关系可以是平行，相交或直线在面内考点：空间线面平行垂直的判定与性质7、试题分析：表示双曲线则有，所以“”是“方程表示的图形为双曲线”的充分不必要条件考点：充分条件与必要条件8、试题分析：：∵圆C的方程为，∴整理得：，∴圆心为C（4，0），半径r=1．又∵直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴点C到直线y=kx+2的距离小于或等于2，∴化简得：，解之得≤k≤0，∴k的最小值是考点：直线与圆相交的性质9、试题分析：，曲线，可化为，，曲线，可化为，图象如图所示，直线与半圆相切时，，双曲线的渐近线为y=±x∴实数m的取值范围是考点：曲线与方程10、试题分析：：∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上，设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，又∵|BF|=|AF′|，∴|AF|+|BF|=2a，①，O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c，又|AF|=2csinα，②|BF|=2ccosα，③，把②③代入①，得2csinα+2ccosα=2a，∴，即，∵，∴考点：椭圆的简单性质11、试题分析：过点（3，1）且斜率为2的直线方程为y=2x-5，代入抛物线，可得，即∴，∴p=2，考点：抛物线的简单性质12、试题分析：设圆锥底面的半径为r，由题意可得圆锥的母线长为6，再根据圆锥底面的周长等于半圆的弧长，可得2πr= 2π6，求得r=3，故圆锥的高为，故此圆锥的体积是考点：圆锥侧面积13、试题分析：变形为考点：双曲线方程及性质14、试题分析：由题意可知系数满足，解方程得考点：两直线平行的判定15、试题分析：（Ⅰ）由已知条件推导出，由此能求出椭圆M 的方程；（Ⅱ）假设存在圆C：（r＞0），若l的斜率不存在，设l：x=r，求出，；若l的斜率存在，设l：y=kx+m，代入椭圆M的方程，得，由此能求出圆C：和|AB|的取值范围试题解析：(I )椭圆的长轴长为，故，又与椭圆有相同的离心率,故所以椭圆M的方程为(II)若的斜率存在，设因与C相切，故，即.①又将直线方程代入椭圆M的方程得设由韦达定理得+=，由得到+++=0化简得，②联立①②得。
天津市第一中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试题带答案(PDF版)
2 2 2 2 2 2 8．过椭圆 b x +a y =a b (a>b>0)中心的弦 AB,F(c,0)为右焦点,则∆AFB 面积的最大值是
2 2 2 2 2 2 O 的直线 9．已知双曲线 b x -a y =a b (a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60
2 2．设抛物线 y =8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是
2 2 3．已知 M(3,0)是圆 x +y -8x-2y+10=0 内一点,过 M 点最长的弦所在的直线方程是
2 2 2 2 2 2 4．若椭圆 b x +a y =a b (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1 、F2,线段 F1F2 被抛物线 2 y =2bx 的焦点分成 5:3 的两段,则此椭圆的离心率为
o 角为 60 .若存在,指出点 N 的位置;若不存在,请说明理由.
D E
A M B
2 2 2 2 2 2 19．直角坐标系 xoy 中,点 P(a,b)为动点,F1、F2 分别为椭圆 b x +a y =a b (a>b>0)的左
C
右焦点,已知∆F1PF2 为等腰三角形. （1）求椭圆的离心率; （2）设直线 PF2 与椭圆相交于 A、B 两点,M 是 PF2 上的点,满足 AM × BM = -2 ,求点 M 的轨 迹方程.
天津市静海一中等六校联考2016届高三数学上学期期中试卷理(含解析)
2015-2016学年天津市静海一中等六校联考高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题1 .设全集U=R，集合A={x|x2﹣1＜0}，B={x|x（x﹣2）≥0}，则A∩（∁U B）=（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x＜1} C．{x|0≤x＜1} D．{x|﹣1＜x＜0}2．设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（）A．B． C． D．103．设sin（+θ）=，则sin2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．4．已知集合A={x|log4x＜﹣1}，B=，命题p：∀x∈A，2x＜3x；命题q：∃x∈B，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q5．等比数列{a n}中，a1＞0，则“a1＜a4”是“a3＜a5”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，设a=f（﹣），b=f（log3），c=f（），则a、b、c的大小关系是（）A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，那么下列说法正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为8B．f（3）=﹣C．x=是函数f（x）的一条对称轴D．函数f（x）向右平移一个单位长度后所得的函数为偶函数8．已知函数，若|f（x）|≥ax﹣1恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣2，0] B．[﹣2，1] C．[﹣4，0] D．[﹣4，1]二、填空题：每小题5分，共30分.9．设a＞0，若曲线y=与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a2，则a= ．10．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，3a1，成等差数列，则= ．11．函数f（x）=log a（2﹣ax2）在（0，1）上为减函数，则实数a的取值范围．12．如图，在△ABC中，若=2， =2， =λ（﹣），则实数λ= ．13．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，给出下列关于f（x）的判断：①f（x）是周期函数；②f（x）关于直线x=1对称；③f（x）在[0，1]上是增函数；④f（x）在[1，2]上是减函数；⑤f（2）=f（0），其中正确的序号是．14．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是．三.解答题：本大题共6小题，共80分．15．已知函数，其图象的相邻两个最高点之间的距离为π，（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）设函数f（x）在区间上的最小值为，求函数f（x），（x∈R）的值域．16．在等差数列{a n}中，a1=1，前n项和S n满足条件=4，n=1，2，…（1）求数列{a n}的通项公式和S n；（2）记b n=，求数列{b n}的前n项和T n．17．△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积并判断△ABC的形状．18．数列{a n}满足a1=2，a n+1=a n2+6a n+6（n∈N*）．（1）设C n=log5（a n+3），求证{C n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜﹣．19．已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．（1）当a=﹣时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（3）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）﹣x≤0恒成立，求实数a的取值范围．20．已知函数f（x）=（2﹣a）x﹣2（1+lnx）+a，g（x）=．（1）若函数f（x）在区间（0，）无零点，求实数a的最小值；（2）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上方程f（x）=g（x0）总存在两个不等的实根，求实数a的取值范围．2015-2016学年天津市静海一中等六校联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1 .设全集U=R，集合A={x|x2﹣1＜0}，B={x|x（x﹣2）≥0}，则A∩（∁U B）=（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x＜1} C．{x|0≤x＜1} D．{x|﹣1＜x＜0}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】通过解不等式求得集合A、B，再求得C U B，借助数轴求A∩C U B．【解答】解：A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x≥2或x≤0}，C U B={x|0＜x＜2}，∴A∩C U B={x|0＜x＜1}．故选：B．【点评】本题考查了集合的补集、交集运算，借助数轴进行集合运算即直观又形象．2．设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（）A．B． C． D．10【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题．【分析】由两个向量垂直的性质可得2x﹣4=0，由两个向量共线的性质可得﹣4﹣2y=0，由此求出 x=2，y=﹣2，以及的坐标，从而求得||的值．【解答】解：∵向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则有2x﹣4=0，﹣4﹣2y=0，解得 x=2，y=﹣2，故=（3，﹣1 ）．故有||==，故选B．【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．3．设sin（+θ）=，则sin2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】二倍角的余弦；三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】计算题．【分析】根据两角和的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化简已知条件，然后两边平方利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可sin2θ的值．【解答】解：由sin（+θ）=sin cosθ+cos sinθ=（sinθ+cosθ）=，两边平方得：1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=﹣，则sin2θ=2sinθcosθ=﹣．故选A【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．4．已知集合A={x|log4x＜﹣1}，B=，命题p：∀x∈A，2x＜3x；命题q：∃x∈B，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q【考点】复合命题的真假．【专题】转化思想；综合法；推理和证明．【分析】求解对数不等式化简集合A，结合指数函数的性质说明P正确，利用导数判断函数f（x）=x3+x2﹣1在x≤时无零点，说明q错误，由此可得答案．【解答】解：∵A={x|log4x＜﹣1}={x|0＜x＜}，∴命题p：∀x∈A，2x＜3x为真命题；∵B=={x|x≤}，令f（x）=x3+x2﹣1，f′（x）=3x2+2x，∴f（x）在（﹣∞，﹣），（0，）上为增函数，在（﹣，0）上为减函数．又f（﹣）=﹣＜0，f（）=﹣＜0，∴当x≤时，f（x）＜0，即命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2为假命题．∴p∧￢q为真命题．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查函数零点的判定方法，属中档题．5．等比数列{a n}中，a1＞0，则“a1＜a4”是“a3＜a5”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】规律型．【分析】结合等比数列的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：在等比数列中设公比为q，则由a1＜a4，得a1＜a1q3，∵a1＞0，∴q3＞1，即q＞1．由“a3＜a5”得，即q2＞1，∴q＞1或q＜﹣1．∴“a1＜a4”是“a3＜a5”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的运算性质是解决本题的关键，比较基础．6．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，设a=f（﹣），b=f（log3），c=f（），则a、b、c的大小关系是（）A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用f（x）是定义在R上的偶函数，化简a，b，利用函数在（0，+∞）上是增函数，可得a，b，c的大小关系．【解答】解：a=f（﹣）=f（），b=f（log3）=f（log32），c=f（），∵0＜log32＜1，1＜＜，∴＞＞log32．∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴a＞c＞b，故选C．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，那么下列说法正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为8B．f（3）=﹣C．x=是函数f（x）的一条对称轴D．函数f（x）向右平移一个单位长度后所得的函数为偶函数【考点】正弦函数的图象．【专题】数形结合；函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意结合图象可求函数的解析式，逐个选项验证可得．【解答】解：设AB两点的水平距离为d，则d2+42=52，解得d=3，∴函数的最小正周期为3×2=6，故A错误；由周期为6可得ω=，可得f（x）=2sin（x+φ），代入点（0，1）可得1=2sinφ，可取φ=，∴f（x）=2sin（x+），∴f（3）=﹣1，故B错误；令x+=kπ+可得x=3k﹣1，k∈Z，令3k﹣1=可得k=∉Z，故C错误；又f（x）=2sin（x+）向右平移一个单位长度后所得的函数为y=2sin（x﹣+）=2sin（x+）=2cos x为偶函数，故D正确．故选：D【点评】本题考查正弦函数的图象，涉及正弦函数的对称性和图象变换，属中档题．8．已知函数，若|f（x）|≥ax﹣1恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣2，0] B．[﹣2，1] C．[﹣4，0] D．[﹣4，1]【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题；综合题；函数的性质及应用．【分析】分x的范围进行讨论，当x＞0时，|f（x）|恒大于0，只要a≤0不等式|f（x）|≥ax ﹣1恒成立；x=0时对于任意实数a不等式|f（x）|≥ax﹣1恒成立；x＜0时，把不等式|f （x）|≥ax﹣1取绝对值整理后分离参数a，然后利用基本不等式求解a的范围，最后取交集即可得到答案．【解答】解：当x＞0时，ln（x+1）＞0恒成立则此时a≤0当x≤0时，﹣x2+2x的取值为（﹣∞，0]，|f（x）|=x2﹣2xx2﹣2x≥ax﹣1（x≤0）x=0时，左边＞右边，a取任意值都成立．x＜0时，有a≥x+﹣2 即a≥﹣4综上，a的取值为[﹣4，0]．故选C．【点评】本题考查了恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了参数分离法，训练了利用基本不等式求函数的最值，是中高档题．二、填空题：每小题5分，共30分.9．设a＞0，若曲线y=与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a2，则a= ．【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用定积分表示图形的面积，从而可建立方程，由此可求a的值．【解答】解：由题意，曲线y=与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为==，∴=a2，∴a=．故答案为：．【点评】本题考查利用定积分求面积，确定被积区间与被积函数是解题的关键．10．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，3a1，成等差数列，则= 27 ．【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得公比q的方程，解得方程可得q，可得=q3，代值计算可得．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由3a1，成等差数列，可得a3=3a1+2a2，∴a1q2=3a1+2a1q，即q2=3+2q解得q=3，或q=﹣1（舍去），∴==q3=27，故答案为：27．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和性质，考查运算求解能力，属于基础题．11．函数f（x）=log a（2﹣ax2）在（0，1）上为减函数，则实数a的取值范围（1，2] ．【考点】复合函数的单调性．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得a＞0，故函数t=2﹣ax2 在（0，1）上为减函数，且t＞0，故有，由此求得a的范围．【解答】解：由题意可得a＞0，故函数t=2﹣ax2 在（0，1）上为减函数，且t＞0，再根据f（x）=log a（2﹣ax2）在（0，1）上为减函数，故有，求得1＜a≤2，故答案为：（1，2]．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．12．如图，在△ABC中，若=2， =2， =λ（﹣），则实数λ= ．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】根据几何图形得出=， =，表示==， =λ（﹣）==，对于基底向量的系数相等，即可求解．【解答】解：∵ =2， =2，∴=， =，，∵ ==，=λ（﹣）==，∴，故答案为：．【点评】本题考察了平面向量的分解表示，运用基底表示向量，对于系数相等，考察了几何图形的运用能力．13．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，给出下列关于f（x）的判断：①f（x）是周期函数；②f（x）关于直线x=1对称；③f（x）在[0，1]上是增函数；④f（x）在[1，2]上是减函数；⑤f（2）=f（0），其中正确的序号是①②⑤．【考点】函数的周期性；函数的单调性及单调区间．【专题】压轴题．【分析】首先理解题目f（x）定义在R上的偶函数，则必有f（x）=f（﹣x），又有关系式f（x+1）=﹣f（x），两个式子综合起来就可以求得周期了．再根据周期函数的性质，且在[﹣1，0]上是增函数，推出单调区间即可．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），∴f（x）=﹣f（x+1）=﹣[﹣f（x+1+1）]=f（x+2），∴f（x）是周期为2的函数，则①正确．又∵f（x+2）=f（x）=f（﹣x），∴y=f（x）的图象关于x=1对称，②正确，又∵f（x）为偶函数且在[﹣1，0]上是增函数，∴f（x）在[0，1]上是减函数，又∵对称轴为x=1．∴f（x）在[1，2]上为增函数，f（2）=f（0），故③④错误，⑤正确．故答案应为①②⑤．【点评】此题主要考查偶函数及周期函数的性质问题，其中涉及到函数单调性问题．对于偶函数和周期函数是非常重要的考点，需要理解记忆．14．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（﹣，﹣）∪（﹣，﹣1）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】依题意f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递增，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递减，当x=±2时，函数取得极大值；当x=0时，取得极小值0．要使关于x的方程[f（x）]2+af （x）+b=0，a，b∈R有且只有6个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+b=0必有两个根t1、t2，则有两种情况：（1）t1=，且t2∈（1，），（2）t1∈（0，1]，t2∈（1，），符合题意，讨论求解．【解答】解：依题意f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递增，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递减，当x=±2时，函数取得极大值；当x=0时，取得极小值0．要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+b=0必有两个根t1、t2，则有两种情况符合题意：（1）t1=，且t2∈（1，），此时﹣a=t1+t2，则a∈（﹣，﹣）；（2）t1∈（0，1]，t2∈（1，），此时同理可得a∈（﹣，﹣1），综上可得a的范围是（﹣，﹣）∪（﹣，﹣1）．故答案为：（﹣，﹣）∪（﹣，﹣1）．【点评】本题考查了分段函数与复合函数的应用，属于难题．三.解答题：本大题共6小题，共80分．15．已知函数，其图象的相邻两个最高点之间的距离为π，（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）设函数f（x）在区间上的最小值为，求函数f（x），（x∈R）的值域．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性；三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，结合正弦函数的单调增区间，求函数f（x）的单调递增区间；（2）利用求出函数的最小值，结合已知函数的最小值为，求出a的值，即可得到函数f（x），（x∈R）的解析式，易求函数的值域．【解答】解：（1）===由已知得函数f（x）的周期T=π即所以ω=1，f（x）=．由，得∴f（x）的单调增区间为：．（2）当x∈时，，，这时f（x）的最小值为：a﹣，由已知得，a﹣，a=2，所以函数f（x）=，（x∈R）函数法（x）的值域．【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简，二倍角公式的应用，注意函数在闭区间上的最值的应用，基本函数的单调性是解好本题的关键．16．在等差数列{a n}中，a1=1，前n项和S n满足条件=4，n=1，2，…（1）求数列{a n}的通项公式和S n；（2）记b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【专题】计算题．【分析】（1）将n=1代入已知递推式，易得a2，从而求出d，故a n可求；（2）求出数列{b n}的通项公式，利用错位相减法即可求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由=4得：，所以a2=3a1=3且d=a2﹣a1=2，所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1，∴=n2；（2）由b n=，得b n=（2n﹣1）•2n﹣1．∴T n=1+3•21+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1①2T n=2+3•22+5•23+…+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n②①﹣②得：﹣T n=1+2•21+2•22+…+2•2n﹣1﹣（2n﹣1）•2n=2（1+2+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）•2n ﹣1=﹣（2n﹣1）•2n﹣1∴﹣T n=2n•（3﹣2n）﹣3．∴T n=（2n﹣3）•2n+3．【点评】本题主要考查对数列递推关系的观察能力和利用错位相减法求和的能力，属于中档题．17．△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积并判断△ABC的形状．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）由两向量的坐标，及已知等式，利用平面向量的数量积运算法则求出cosA 的值，即可确定出A的大小；（Ⅱ）根据已知等式求出a的值，利用余弦定理列出关系式，把a，b+c，cosA的值代入求出bc的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积，并判断其形状即可．【解答】解：（Ⅰ）∵ =（1，2），=（cos2A，cos2），且•=1，∴•=cos2A+2cos2=2cos2A﹣1+1+cosA=2cos2A+cosA=1，∴cosA=或cosA=﹣1，∵A∈（0，π），∴A=；（Ⅱ）由题意知a=，∵a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc（1+cosA），∴3=12﹣2bc（1+cos），∴bc=3，∴S△ABC=bcsinA=×3×=，由，得b=c=，∵a=，∴△ABC为等边三角形．【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，平面向量的数量积运算，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．数列{a n}满足a1=2，a n+1=a n2+6a n+6（n∈N*）．（1）设C n=log5（a n+3），求证{C n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜﹣．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式；等比关系的确定．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】（1）由，得，代入C n=log5（a n+3）可得C n+1=2C n，由等比数列定义可证明；（2）由等比数列通项公式可求得c n，根据C n=log5（a n+3）可求a n；（3），则可求，由表达式可证；【解答】（1）证明：由，得，∴log5（a n+1+3）=2log5（a n+3），即C n+1=2C n，∴{C n}是以2为公比的等比数列；（2）解：又C1=log55=1，∴，即，∴．故．（3）证明：∵，∴==﹣﹣．又，∴．【点评】本题考查等比数列的通项公式、裂项求和，考查学生的运算求解能力．19．已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．（1）当a=﹣时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（3）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）﹣x≤0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）当时，直接对f（x）求导，解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，即可求函数f（x）的单调区间；（2）根据函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数可确定a≤，又最小值为，从而可确定a的取值范围；（3）不等式f（x）﹣x≤0可化简为ax2+ln（x+1）﹣x≤0，分情况讨论，a=0，a＜0和a ＞0时ax2+ln（x+1）﹣x≤0是否恒成立即可．【解答】解：（1）当时，，∴解f′（x）＞0得﹣1＜x＜1；解f′（x）＜0得x＞1．∴f（x）的单调递增区间是（﹣1，1），单调递减区间是（1，+∞）．（2）因为函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，∴对∀x∈[1，+∞）恒成立即a≤对∀x∈[1，+∞）恒成立∴a≤﹣．（3）∵当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）﹣x≤0恒成立，即ax2+ln（x+1）﹣x≤0恒成立，设g（x）=ax2+ln（x+1）﹣x（x≥0），只需g（x）max≤0即可由①当a=0时，，当x＞0时，g′（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴g（x）≤g（0）=0成立②当a＞0时，令g′（x）=0，∵x≥0，∴解得1）当，即时，在区间（0，+∞）上g′（x）＞0，则函数g（x）在（0．+∞）上单调递增，∴g（x）在[0，+∞）上无最大值，不合题设．2）当时，即时，在区间上g′（x）＜0；在区间上g′（x）＞0．∴函数g（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，同样g（x）在[0，+∞）无最大值，不满足条件．③当a＜0时，由x≥0，故2ax+（2a﹣1）＜0，∴＜0，∴函数g（x）在[0，+∞）上单调递减，∴g（x）≤g（0）=0成立，综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，0]．【点评】本题考查导数在求函数单调性和最值中的应用，以及不等式恒成立问题的解决技巧，考查分类讨论的数学思想，属于难题．20．已知函数f（x）=（2﹣a）x﹣2（1+lnx）+a，g（x）=．（1）若函数f（x）在区间（0，）无零点，求实数a的最小值；（2）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上方程f（x）=g（x0）总存在两个不等的实根，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）将f（x）的表达式重新组合，即f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，分别研究函数m（x）=（2﹣a）（x﹣1），h（x）=2lnx，x＞0，讨论当a＜2时和当a≥2时的情况．（2）求出g′（x），根据导函数的正负得到函数的单调区间，即可求出g（x）的值域；对于f（x），讨论当a＜2时和当a≥2时的情况，只有当f（x）在（0，e]上不单调的情况才可能满足题意，结合着g（x）的值域，和数形结合，要使在（0，e]上方程f（x）=g（x0）总存在两个不等的实根，只需满足，即，进一步通过求导的方法证明当a≤2﹣时， a+ln（2﹣a）﹣ln2≤0恒成立，从而确定a 的取值范围．【解答】解：f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（1）令m（x）=（2﹣a）（x﹣1），x＞0；h（x）=2lnx，x＞0，则f（x）=m（x）﹣h（x），①当a＜2时，m（x）在（0，）上为增函数，h（x）在（0，）上为增函数，结合图象可知，若f（x）在（0，）无零点，则m（）≥h（），即（2﹣a）×（﹣1）≥2ln，∴a≥2﹣4ln2，∴2﹣4ln2≤a＜2．②当a≥2时，在（0，）上，m（x）≥0，h（x）＜0，∴f（x）＞0，∴f（x）在（0，）上无零点．由①②得a≥2﹣4ln2．∴a min=2﹣4ln2；（2）g′（x）=e1﹣x﹣xe1﹣x=（1﹣x）e1﹣x，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；当x∈（1，e]时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e2﹣e＞0，所以，函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．∵f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，∴f′（x）=2﹣a﹣=．①当a≥2时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，e]单调递减，且f（1）=0，不符合题意，②当a＜2时，令f′（x）=0，x=，i）当≥e时，即当2﹣≤a＜2时，f′（x）＜0，不符合题意．ii）＜e时，即当a＜2﹣时，令f′（x）＞0，则＜x＜e；令f′（x）＜0时，则0＜x＜，又∵当x∈（0，）∩（0，）时，f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx＞a﹣2﹣2lne=1，∴要使f（x）=g（x0）在（0，e]上总存在两个不相等的实根，需使即下证：当a≤2﹣时， a+ln（2﹣a）﹣ln2≤0恒成立，设t（x）=x+ln（2﹣x）﹣ln2，x≤2﹣，则t′（x）=+=，当x∈（﹣∞，0）时，t′（x）≥0，x∈（0，2﹣）时，t′（x）＜0．∴t（x）≤t（0）=0．∴a+ln（2﹣a）﹣ln2≤0恒成立，又∵2﹣＞2﹣，∴a≤2﹣．综上，得a∈（﹣]．【点评】本题难度较大，较灵活，第一问是将原函数分成两个函数的差，再进一步通过数形结合进行谈论研究，学生也可以直接用求导的方式讨论研究．第二问中需要多次分类讨论和数形结合的思想给出思路的方向，并利用求导的方法进行验证研究，对于学生来说是一个难题．。
人教版高二(理科)第一学期期末考试数学试题-含答案
2015～2016学年度第一学期期末考试试卷 高二（理） 数学 座位号第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、向量(1,2,2),(2,4,4)a b =-=--，则a b 与 （ ） A 、相交 B 、垂直 C 、平行 D 、以上都不对2、如果双曲线的半实轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率是 （ ）A 、32B 、62C 、32D 、23、已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则p ⌝是 （ ） A 、,sin 1x R x ∃∈≥ B 、,sin 1x R x ∀∈≥ C 、,sin 1x R x ∃∈> D 、,sin 1x R x ∀∈>4、若向量)0,2,1(=a ，)1,0,2(-=b ，则（ ）A 0120,cos >=<b aB b a ⊥C b a //D ||||b a =5、若原命题“0,0,0a b ab >>>若则”，则其逆命题、否命题、逆否命题中（ ） A 、都真 B 、都假 C 、否命题真 D 、逆否命题真6、 “2320x x -+≠”是“1x ≠” 的（ ）条件 （ ） A 、充分不必要 B 、必要不充分 C 、充要 D 、既不充分也不必要 7、若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A 、－9＜m ＜25B 、8＜m ＜25C 、16＜m ＜25D 、m ＞88、已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A 的轨迹方程是（ ）A ．1203622=+y x （x ≠0）B ．1362022=+y x （x ≠0）C ．120622=+y x （x ≠0）D ．162022=+y x （x ≠0）9、一位运动员投掷铅球的成绩是14m ，当铅球运行的水平距离是6m 时，达到最大高度4m .若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是（ ） A ． 1.75m B ． 1.85mC ． 2.15mD ． 2.25m 10、设a R ∈，则1a >是11a< 的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11.抛物线281x y -=的准线方程是 ( ) A ． 321=x B ． 2=y C ． 321=y D ． 2-=y12. 若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ） A ．不等边锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形第II 卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、经过点(1,3)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 。
2015~2016学年天津高三上学期理科六校联考期中数学试卷 【答案版】
2015~2016学年天津高三上学期理科六校联考期中数学试卷未分组选择爱智康1.A. B. C. D.答 案解 析原 文设全集，集合，，则（）．B ，或，，∴．故选．1.【答案】BU =R A ={x −1<0}∣∣x 2B ={x |x (x −2)⩾0}A ∩(B )=∁U {x |0<x <2}{x |0<x <1}{x |0⩽x <1}{x |−1<x <0}A ={x |−1<x <1}B ={x |x ⩾2x ⩽0}B ={x |0<x <2}∁U A ∩B ={x |0<x <1}∁U B 2.A. B. C. D.答 案解 析设，，向量，，且，，则（）．B ∵向量，，且，，则有，，解得， ，故．故有．故选x y ∈R =(x ,1)a =(1,y )b =(2,−4)c ⊥a c //b c |+|=a b 5√10−−√25√10=(x ,1)a =(1,y )b =(2,−4)c ⊥a c //b c 2x −4=0−4−2y =0x =2y =−2+=(3,−1)a b |+|==a b 9+1−−−−√10−−√爱智康原 文2.【答案】B3.A. B. C. D.答 案解 析原 文设，则（）．A 由，两边平方得：，即，则．故选．3.【答案】Asin (+θ)=π413sin 2θ=−79−191979sin (+θ)=sin cos θ+cos sin θ=(sin θ+cos θ)=π4π4π42√2131+2sin θcos θ=292sin θcos θ=−79sin 2θ=2sin θcos θ=−79A 4.A. B. C. D.答 案解 析已知集合，，命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是（ ）．C ∵，∴命题，为真命题；∵，令，．A ={x |lo x <−1}g 4B ={x |⩽}2x 2√p :∀x ∈A <2x 3x q :∃x ∈B =1−x 3x 2p ∧q ¬p ∧q p ∧¬q ¬p ∧¬qA ={x |lo x <−1}={x 0<x <}g 4∣∣∣14p :∀x ∈A <2x 3x B ={x |⩽}={x x ⩽}2x 2√∣∣∣12f (x )=+−1x 3x 2(x )=3+2x f ′x 2爱智康原 文 在，上为增函数，在上为减函数．又，，∴当时，，即命题，为假命题．∴为真命题．故选．4.【答案】C f (x )(−∞,−)23(0,)12(−,0)23f (−)=−<0232327f ()=−<01258x ⩽12f (x )<0q :∃x ∈R =1−x 3x 2p ∧¬q C 5.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答 案解 析等比数列中，，则“”是“”的（）．A在等比数列中设公比为，则由，得，∵，∴，即．由“”得，即，∴或．∴“”是“”的充分不必要条件．故选．{}a n >0a 1<a 1a 4<a 3a 5q <a 1a 4<a 1a 1q 3>0a 1>1q 3q >1<a 3a 5<a 1q 2a 1q 4>1q 2q >1q <−1<a 1a 4<a 3a 5A原 文5.【答案】A6.A. B. C. D.答 案解 析原 文已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，，则、、的大小关系是（ ）．C ，，，∵，，∴．∵在上是增函数，∴，故选．6.【答案】Cf (x )R (0,+∞)a =f (−)3√b =f ()log 312c =f ()43a b c a <c <b b <a <c b <c <a c <b <aa =f (−)=f ()3√3√b =f ()=f (2)log 312log 3c =f ()430<2<1log 31<<433√>>23√43log 3f (x )(0,+∞)a >c >b C 7.A.B.C.D.函数的部分图象如图所示，其中，两点之间的距离为，那么下列说法正确的是（）．函数的最小正周期为 是函数的一条对称轴函数向右平移一个单位长度后所得的函数为偶函数f (x )=2sin (ωx +φ)A B 5f (x )8f (3)=−12x =32f (x )f (x )答 案解 析原 文D 设两点的水平距离为，则，解得，∴函数的最小正周期为，故错误．由周期为可得，可得，代入点可得，可取，∴，∴，故错误；令可得，，令可得，故错误；又向右平移一个单位长度后所得的函数为 为偶函数，故正确．故选．7.【答案】DAB d +=d 24252d =33×2=6A 6ω=π3f (x )=2sin (x +φ)π3(0,1)1=2sin φφ=5π6f (x )=2sin (x +)π35π6f (3)=−1B x +=kπ+π35π6π2x =3k −1k ∈Z 3k −1=32k =∉Z 152C f (x )=2sin (x +)π35π6y =2sin (x −+)=2sin (x +)=2cos x π3π35π6π3π2π3D D 8.A. B. C. D.答 案解 析已知函数，若恒成立，则的取值范围是（）．C 当时，恒成立，则此时．当时，的取值为，，f (x )={−+2x ,x ⩽0x 2ln(x +1),x >0|f (x )|⩾ax −1a [−2,0][−2,1][−4,0][−4,1]x >0ln(x +1)>0a ⩽0x ⩽0−+2x x 2(−∞,0]|f (x )|=−2x x 2填空原 文，时，左边右边，取任意值都成立．时，有即，综上，的取值为．故选．8.【答案】C−2x ⩾ax −1(x ⩽0)x 2x =0>a x <0a ⩾x +−21xa ⩾−4a [−4,0]C 9.答 案解 析原 文设，若曲线与直线，所围成封闭图形的面积为，则．由已知得，所以，所以．9.【答案】a >0y =x √x =a y =0a 2a =49S ====∫a0x √23x 32|a 023a 32a 2=a 1223a =494910.答 案解 析已知各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，则．设等比数列的公比为，由，，成等差数列，可得，∴，即．解得，或（舍去），{}a n 3a 112a 32a 2=+a 11a 13+a 8a 1027{}a n q 3a 112a 32a 2=3+2a 3a 1a 2=3+2q a 1q 2a 1a 1=3+2q q 2q =3q =−1原 文∴，故答案为．10.【答案】===27+a 11a 13+a 8a 10(+)a 8a 10q 3+a 8a 10q 3272711.答 案解 析原 文函数在上为减函数，则实数的取值范围．由题意可得，故函数在上为减函数，且，再根据在上为减函数，故有，求得，故答案为．11.【答案】f (x )=lo (2−a )g a x 2(0,1)a (1,2]a >0t =2−ax 2(0,1)t >0f (x )=lo (2−a )g a x 2(0,1){a >12−a ×1⩾01<a ⩽2(1,2](1,2]12.答 案解 析如图，在中，若，，，则实数．∵，，∴△ABC =2BE −→−EA −→−=2AD −→−DC −→−=λ(−)DE −→−CA −→−BC −→−λ=13=2BE −→−EA −→−=2AD −→−DC −→−原 文，，∵， ，∴，故答案为．12.【答案】=AE −→−13AB −→−=AD −→−23AC −→−=−=−DE −→−AE −→−AD −→−13AB −→−23AC −→−=λ(−)=λ(−−)=λ−2λDE −→−CA −→−BC −→−AC +AB −→−−−−−AC −→−AB −→−AC −→−λ=13131313.答 案解 析定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，给出下列关于的判断：①是周期函数；②关于直线对称；③在上是增函数；④在上是减函数；⑤．其中正确的序号是 ．①②⑤∵定义在上的偶函数满足，∴，∴是周期为的函数，则①正确．又∵，∴的图象关于对称，②正确，R f (x )f (x +1)=−f (x )[−1,0]f (x )f (x )f (x )x =1f (x )[0,1]f (x )[1,2]f (2)=f (0)R f (x )f (x +1)=−f (x )f (x )=−f (x +1)=−[−f (x +1+1)]=f (x +2)f (x )2f (x +2)=f (x )=f (−x )y =f (x )x =1原 文为偶函数且在上是增函数，∴在上是减函数，又∵对称轴为．∴在上为增函数，，故③④错误，⑤正确．故答案应为①②⑤．13.【答案】①②⑤f (x )[−1,0]f (x )[0,1]x =1f (x )[1,2]f (2)=f (0)14.答 案解 析已知函数是定义域为的偶函数．当时，，若关于的方程，， 有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是．依题意在和上递增，在和上递减，当时，函数取得极大值；当时，取得极小值．要使关于的方程，，有且只有个不同实数根，设，则必有两个根、，则有两种情况符合题意：（），且，此时，则．y =f (x )R x ⩾0f (x )={(0⩽x ⩽2)516x 2+1(x >2)()12x x +af (x )+b =0[f (x )]2a b ∈R 6a (−,−)∪(−,−1)529494f (x )(−∞,−2)(0,2)(2,0)(2,+∞)x =±254x =00x +af (x )+b =0[f (x )]2a b ∈R 6t =f (x )+at +b =0t 2t 1t 21=t 154∈(1,)t 254−a =+t 1t 2a ∈(−,−)5294解答原 文），，此时同理可得，综上可得的范围是．故答案为．14.【答案】2∈(0,1]t 1∈(1,)t 254a ∈(−,−1)94a (−,−)∪(−,−1)529494(−,−)∪(−,−1)529494(−,−)∪(−,−1)52949415.（1）答 案解 析（2）答 案解 析已知函数，，其图象的相邻两个最高点之间的距离为．求函数的单调递增区间．． ．由已知得函数的周期即，所以，．由，得∴的单调增区间为：． 在区间上的最小值为，求函数，的值域． ．当f (x )=sin (2ωx −)−4ωx +a π6sin 2(ω>0)πf (x )[−+kπ,+kπ](k ∈Z )5π12π12f (x )=sin (2ωx −)−4ωx +a π6sin 2=sin 2ωx −cos 2ωx −4×+a 3√2121−cos 2ωx 2=sin 2ωx +cos 2ωx −2+a 3√232=sin (2ωx +)−2+a 3√π3f (x )T =π=π2π2ωω=1f (x )=sin (2x +)−2+a 3√π3−+2kπ⩽2x +⩽+2kπ(k ∈Z )π2π3π2−+kπ⩽x ⩽+kπ(k ∈Z )5π12π12f (x )[−+kπ,+kπ](k ∈Z )5π12π12f (x )[0,]π2−32f (x )x ∈R [−,]3√3√原 文时，，，这时 的最小值为：，由已知得，，，所以函数，函数f的值域．15.【答案】（1） ．（2） ．x ∈[0,]π2⩽2x +⩽π3π34π3sin (2ωx +)∈[−,1]π33√2f (x )a −72a −=−7232a =2f (x )=sin (2x +)3√π3(x ∈R )(x )[−,]3√3√[−+kπ,+kπ](k ∈Z )5π12π12[−,]3√3√16.（1）答 案解 析（2）答 案解 析在等差数列中，，前项和满足条件，，，，求数列的通项公式和．，．设等数列的公差为，由得：，所以，，∴是以为首项，为公差的等差数列，∴，，故，．记，求数列的前项和．．由，得，，①，②②{}a n =1a 1n S n =4S 2n S nn =12⋯{}a n S n =2n −1a n =S n n 2{}a n d =4S 2n S n=4+a 2a 1a 1=3a 2d =−=2a 2a 1{}a n 12=1+2(n −1)=2n −1a n ===S n (+)⋅n a 1a n 2(1+2n −1)⋅n 2n 2=2n −1a n =S n n 2=⋅b n a n 2n −1{}b n n T n =(2n −3)⋅+3T n 2n =⋅b n a n 2n −1=(2n −1)⋅b n 2n −1=1+3⋅+5⋅+⋯+(2n −3)⋅+(2n −1)⋅T n 21222n −22n −12=2+3⋅+5⋅+⋯+(2n −3)⋅+(2n −1)⋅T n 22232n −12n原 文①得： ．故．16.【答案】（1） ，．（2） ．−=−1−2×−2×⋯−2×+(2n −1)⋅T n 21222n −12n=−1−2(++⋯+)+(2n −1)⋅21222n −12n=−1−2×+(2n −1)⋅2(1−)2n −11−22n =−1+4(1−)+(2n −1)⋅2n −12n=−1+4−2⋅+(2n −1)⋅2n 2n=3+(2n −3)⋅2n =(2n −3)⋅+3T n 2n =2n −1a n =S n n 2=(2n −3)⋅+3T n 2n 17.（1）答 案解 析（2）答 案解 析 中，，，所对的边分别为，，，,，且．求的大小． ．∵ ，，且，∴，∴或，∵，∴．若，求的面积并判断的形状．，为等边三角形．由题意知，∵ ，△ABC A B C a b c =(1,2)m =(cos 2A ,)n cos 2A 2⋅=1m n A A =π3=(1,2)m =(cos 2A ,)n cos 2A 2⋅=1m n ⋅=cos 2A +2=2A −1+1+cos A =2A +cos A =1m n cos 2A 2cos 2cos 2cos A =12cos A =−1A ∈(0,π)A =π3b +c =2a =23√△ABC △ABC =S △ABC 33√4△ABC a =3√=+−2bc cos A =−2bc (1+cos A )a 2b 2c 2(b +c )2原 文∴，∴，∴，由，得，∵，∴为等边三角形．17.【答案】（1） ．（2） ，为等边三角形．3=12−2bc (1+cos)π3bc =3=bc sin A =×3×=S △ABC 12123√233√4{b +c =3√bc =3b =c =3√a =3√△ABC A =π3=S △ABC 33√4△ABC 18.（1）答 案解 析（2）答 案解 析数列满足，．设，求证是等比数列．证明见解析．由，得，∴，即，∴是以为公比的等比数列．求数列的通项公式．．又，∴，即，∴{}a n =2a 1=+6+6(n ∈)a n +1a 2n a n N ∗=lo (+3)C n g 5a n {}C n =+6+6a n +1a 2n a n +3=a n +1(+3)a n 2lo (+3)=2lo (+3)g 5a n +1g 5a n =2C n +1C n {}C n 2{}a n =−3a n 52n −1=lo 5=1C 1g 5=C n 2n −1(+3)=log 5a n 2n −1（3）答 案解 析原 文．故 ．设，数列的前项和为，求证：．证明见解析．∵，∴．又，∴．18.【答案】（1）证明见解析．（2） ．（3）证明见解析．+3=a n 52n −1=−3a n 52n −1=−b n 1−6a n 1+6a 2n a n{}b n n T n <−T n 14=−=−b n 1−6a n 1+6a 2n a n 1−6a n 1−6a n +1=−+−+⋯+−T n 1−6a 11−6a 21−6a 21−6a 31−6a n 1−6a n +1=−=−−1−6a 11−6a n +1141−952n >01−952n <−T n 14=−3a n 52n −119.（1）答 案解 析已知函数．当时，求函数的单调区间． 的单调递增区间是，单调递减区间是．当时，，∴解得，解得．f (x )=a +ln(x +1)x 2a =−14f (x )f (x )(−1,1)(1,+∞)a =−14f (x )=−+ln(x +1)(x >−1)14x 2(x )=−x +=−f ′121x +1(x +2)(x −1)x +1(x )>0f ′−1<x <1(x )<0f ′x >1（2）答 案解 析（3）答 案解 析∴的单调递增区间是，单调递减区间是．若函数在区间上为减函数，求实数的取值范围．．因为函数在区间上为减函数，∴对恒成立，即对恒成立．∴．当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．．∵当时，不等式恒成立，即恒成立，设，只需即可．由，①当时，，当时，，函数在上单调递减，∴成立②当时，令，∵f (x )(−1,1)(1,+∞)f (x )[1,+∞)a a ⩽−14f (x )[1,+∞)(x )=2ax +⩽0f ′1x +1∀x ∈[1,+∞)a ⩽−12x (x +1)∀x ∈[1,+∞)a ⩽−14x ∈[0,+∞)f (x )−x ⩽0a (−∞,0]x ∈[0,+∞)f (x )−x ⩽0a +ln(x +1)−x ⩽0x 2g (x )=a +ln(x +1)−x (x ⩾0)x 2g ⩽0(x )max (x )=2ax +−1=g ′1x +1x [2ax +(2a −1)]x +1a =0(x )=−g ′x x +1x >0(x )<0g ′g (x )(0,+∞)g (x )⩽g (0)=0a >0(x )=0g ′原 文，∴解得． ）当，即时，在区间上，则函数在上单调递增，∴在上无最大值，不合题设．）当时，即时，在区间上．在区间上．∴函数 在区间上单调递减，在区间上单调递增，同样在无最大值，不满足条件．③当时，由，故，∴，∴函数在上单调递减，∴成立，综上所述，实数的取值范围是．19.【答案】（1） 的单调递增区间是，单调递减区间是．（2） ．（3） ．x ⩾0x =−112a 1−1<012a a >12(0,+∞)(x )>0g ′g (x )(0,+∞)g (x )[0,+∞)2−1⩾012a 0<a ⩽12(0,−1)12a(x )<0g ′(−1,+∞)12a(x )>0g ′g (x )(0,−1)12a (−1,+∞)12a g (x )[0,+∞)a <0x ⩾02ax +(2a −1)<0(x )=<0g ′x [2ax +(2a −1)]x +1g (x )[0,+∞)g (x )⩽g (0)=0a (−∞,0]f (x )(−1,1)(1,+∞)a ⩽−14(−∞,0]20.（1）答 案已知函数，．若函数在区间无零点，求实数的最小值． ．f (x )=(2−a )x −2(1+ln x )+ag (x )=e x e xf (x )(0,)12a =2−4ln2a min解 析（2）答 案解 析 ．令，；，，则，①当时，在上为增函数，在上为增函数，结合图象可知，若在无零点，则，即，∴，∴．②当时，在上，，，∴，∴在上无零点．由①②得．∴．若对任意给定的，在上方程总存在两个不等的实根，求实数的取值范围．． ，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．又因为，，，所以，函数在上的值域为．∵，∴．f (x )=(2−a )(x −1)−2ln x m (x )=(2−a )(x −1)x >0h (x )=2ln x x >0f (x )=m (x )−h (x )a <2m (x )(0,)12h (x )(0,)12f (x )(0,)12m ()⩾h ()1212(2−a )×(−1)⩽2ln 1212a ⩾2−4ln22−4ln2⩽a <2a ⩾2(0,)12m (x )⩾0h (x )<0f (x )>0f (x )(0,)12a ⩾2−4ln2=2−4ln2a min ∈(0,e]x 0(0,e]f (x )=g ()x 0a a ∈(−∞,2−]3e −1(x )=−x =(1−x )g ′e 1−x e 1−x e 1−x x ∈(0,1)(x )>0g ′g (x )x ∈(1,e](x )<0g ′g (x )g (0)=0g (1)=1g (e)=>0e 2−e g (x )(0,e](0,1]f (x )=(2−a )(x −1)−2ln x (x )=2−a −=f ′2x (2−a )x −2x原 文①当时，，∴在单调递减，且，不符合题意，②当时，令，，i）当时，即当时，，不符合题意．ii）时，即当时，令，则．令时，则，又∵当时，，∴要使在上总存在两个不相等的实根，需使即下证：当时，恒成立，设，，则，当时，，时，．∴．∴恒成立，又∵，∴．综上，得 ．20.【答案】（1） ．（2） ．a ⩾2(x )<0f ′f (x )(0,e]f (1)=0a <2(x )=0f ′x =22−a⩾e 22−a2−⩽a <22e (x )<0f ′<e 22−a a <2−2e (x )>0f ′<x <e 22−a (x )<0f ′0<x <22−ax ∈(0,)∩(0,)22−a e a −32f (x )=(2−a )(x −1)−2ln x >a −2−2ln =1e a −32f (x )=g ()x 0(0,e]{f ()⩽022−a f (e)⩾1{a +ln(2−a )−ln 2⩽012a ⩽2−3e−1a ⩽2−3e −1a +ln(2−a )−ln2⩽012t (x )=x +ln(2−x )−ln 212x ⩽2−3e −1(x )=+=t ′12−12−x x 2(x −2)x ∈(−∞,0)(x )⩾0t ′x ∈(0,2−)3e −1(x )<0t ′t (x )⩽t (0)=0a +ln(2−a )−ln2⩽0122−>2−2e 3e −1a ⩽2−3e −1a ∈(−∞,2−]3e −1=2−4ln2a min a ∈(−∞,2−]3e −1。
【化学】天津市静海一中、芦台一中等六校2015-2016学年高二上学期期末联考试题
2015— 2016学年度第一学期期末六校联考高二化学试卷相对原子质量：H: 1 C : 12 N : 14 O : 16 Cu : 64I 、选择题(每小题 2分，共40分。
每小题只有一个正确选项。
)1. 化学与生活、社会密切相关。
下列说法不正确的是A. 利用太阳能等清洁能源代替化石燃料，有利于节约资源、保护环境B. 电池中的重金属等污染土壤，可以回收再利用以减少污染、保护资源C. 人们日常生活中用到各种化学品，应尽量减少甚至不使用D. 城市机动车成为 PM2.5(直径W 2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物， 有毒、有害) 主要源头，必须加以控制2. 下列装置中，都伴随有能量变化，其中是由化学能转变为电能的是3. 用M 表示阿伏加德罗常数的值。
下列说法不正确的是 A. 一定条件下，4.6 g NO 2和N 2C 4混合气体中含有的 N 原子数目为0.1 2 B. 25 C 时，pH= 12的Ba(OH )2溶液中含有的 OH 数目为0.01 2 C. 1L 0.1 mol •L —1 ©CO 溶液中，阴离子数目大于 0.1 N AD.2molSQ 和1molO 2在密闭容器中加热(V2Q 催化)充分反应后，容器内分子总数大于 2N A4. 下列各组离子能在指定溶液中大量共存的是 A. pH=14 的溶液中：CO 2—、Na > &_、AIO 2-+一 13 + 一 一 2+B. 室温下水电离的 c(H ) = 10 mol/L 的溶液：K 、HCO 、Br 、BaC. 室温下 c(H)/c(OH _) = 10 的溶液中：Fe 、Al 、NO 一、I _D. 无色溶液中：Alt N 』、Cl 二HC(3T 5. 下列说法能用平衡移动原理解释的是A. 在电解水实验中，加入硫酸钠可以提高电解效率B. 碳酸氢钠溶液与硫酸铝溶液混合有沉淀和气体生成C. 铁制品在海水中比在纯水中更易腐蚀D. 在双氧水中加 FeCb 溶液可使产生 Q 速率加快•电聊水 艮水力发电6.25C 时，下列溶液中水的电离程度最大的是 A. 0.01 mol/L 盐酸 B. pH =11 氨水 C. pH = 4 NaHSO 3溶液D. 0.01 mol/L Na 2CQ 溶液7. 下列叙述是某同学利用教材中的一些数据作出的判断，其中正确的是 A. 利用焓变或熵变的数据一定都能单独判断反应的自发性 B. 利用沸点数据推测一些液体混合物分离开来的可能性 C. 利用反应热数据的大小判断不同反应的反应速率的大小 D. 利用溶液的pH 与7的大小关系来判断任何温度下溶液的酸碱性 8. 下列说法正确的是A. 在101kPa 时，1molC 与适量C 2反应生成1molCO 时，放出110.5kJ 热量，则C 的燃烧热一 1为 110.5kJ • molB. 在101kPa 时，1molH 2完全燃烧生成液态水，放出 285.8kJ 热量，H 2燃烧热为—一 1285.8kJ • molC. 测定HCI 和NaOH 反应的中和热时，每次实验均应测量 3个温度，即盐酸起始温度、NaOH 起始温度和反应后最高温度I一一 1D.在稀溶液中： H (aq) + Oh — (aq)===H 2OQ) △ H= — 57.3kJ • mol ，若将含 0.5molH 2SQ 的浓硫酸与含1molNaOH 的溶液混合，放出的热量等于 57.3kJ9. 有关下列四个常用电化学装置的叙述中，正确的是A. 图I 所示电池中，MnO 的作用是催化剂B. 图n 所示电池充电过程中，阳极的反应为: PbSQ + 2HzO+2e = PbQ + SQ 2- + 4H +C. 图川所示装置工作过程中，若阳极质量减少6.4 g ,则电路中转移电子数为D. 图W 所示电池中，Ag 2O 是氧化戰*1r =图川碱性锌锰电池铅-硫酸蓄电池 电解精炼铜 银锌纽扣电池0.2 X 6.02 X 1023-會皿外克 H.SOxdHi赴7TKOH 竿琏剂，电池工作过程中还原为Ag10. 下列所述反应的方程式书写正确的是1 +A. 常温下，O.lmol •L - HA溶液的pH=3,贝U HA的电离：H4 H + AB. 用铜电极电解饱和硫酸铜溶液：2C I T+ 2HO 璽里2Cu + Q f + 4H+1 1C. 向1 mL 2 mol •L NaOH溶液中滴加1~2滴0.1 mol •L MgCb溶液后，再滴加2滴0.1mol •L- FeCI 3溶液：Mg + 2OH = Mg(0H)4, 3Mg(0H》+ 2Fe = 2Fe(OH)3+ 3MgD. 钢铁发生吸氧腐蚀生成铁锈：2Fe+ C2+ 2HaO= 2Fe(OH)2,4Fe(OH)2+ Q+ 2HaO=4Fe(OH)3,2Fe(OH)3= Fe z O • X H2O+ (3 - x)H2O11. 右图表示某可逆反应在使用和未使用催化剂时，反应过程和能量的对应关系。
天津市静海县第一中学2016届高三数学12月学生学业能力调研考试试题理(无答案)
静海一中2015-2016第一学期高三数学(理)12月学生学业能力调研卷考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷基础题（130分）和第Ⅱ卷提高题（20分）两部分，共150分。
2. 试卷书写规范工整，卷面整洁清楚，酌情减3-5分，并计入总分。
第I 卷 基础题（共130分）一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若1290F PF ∠= ，且12F PF ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．22. 如图，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径，2BF FO = ，则FD FE ⋅的值是 （ ）A ．34-B ．14-C ．89-D ．49-3. 函数21,0()2,0xog x x f x a x >⎧=⎨-+≤⎩有且只有一个零点的充要条件是（ ）A ．01a a ≤>或B ．102a <<C ．0a >D ．0a ≤4．已知抛物线22(0)y px p => 的焦点为F,准线为l ,,A B 是抛物线上的两个动点,且,3AFB π∠=设线段AB 的中点M 在l 上的射影为N ,则MN AB的最大值是（ ）A ．12 B. 1C. 32D. 2 二、填空题：（每题5分，共35分）5. 在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴为始边作锐角α，它的终边与单位圆相交于点A ，且点A 的横坐标为513，则tan()2απ-的值为____________. 6. 要得到函数sin cos y x x =+的图像，可以由函数sin cos y x x =-的图像向左平移得到，则平移的最短长度为______________.7 设二次函数()24f x ax x c =-+的值域为[)0,+∞，且()14f ≤，则2244a cu c a =+++的取值范围是____________.8. 在直角坐标系中，圆1C 的方程为04422=--+y x y x ，圆2C 的参数方程1cos ,1sin .x a y a αα=-+⎧⎨=-+⎩（α是参数），若圆1C 与圆2C 相切，则实数a 的值为 ． 9.设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x =++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为______.10. 已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，则ABC ∆面积的最大值为____________.11. 给出下列六个命题：（1）若)1()1(x f x f -=-，则函数)(x f 的图像关于直线1=x 对称; （2）)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图像关于直线0=x 对称;（3）2015sin 212+-⎪⎭⎫⎝⎛=x y x无最大值也无最小值;（4）xxy 2tan 1tan 2-=的最小正周期为π; （5）)20(sin π≤≤=x x y 有对称轴两条，对称中心三个; 则正确命题是_____．三、解答题：(共75分) 12. (12分) （Ⅰ）求和：)0(11≠++++--ab b ab b aa n n n n；（Ⅱ）已知n n n b n a 3,2==，将数列{}n a 的各项依次作为数列{}n c 的奇数项，将数列{}n b 的各项依次作为数列{}n c 的偶数项，求数列{}n c 的通项公式； （Ⅲ）数列{}n a 满足),2(224,2111≥+-==∑=-n n ia a ni n i 求数列{}n a 的通项公式.13. (10分)已知cos ,1)a x x =- ，(cos ,)b x m =，函数()f x a b =∙ ()R m ∈的图象过点π(,0)12M . （Ⅰ）求m 的值以及函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若cos +cos =2cos c B b C a B ，求()f A 的取值范围．14.(12分) 已知数列{}n a 前n 项和2n S n =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（Ⅲ）求使不等式12111(1)(1)(1)na a a +++≥ n N *∈均成立的最大实数p 的值．15. （17分）已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆，离心率e =且椭圆过点2． (Ⅰ) 求该椭圆的方程； (Ⅱ)过点D (1，12)的直线(斜率存在)与该椭圆M 交于P 、Q 两点，且|DP |＝|DQ |，求此直线的方程；（Ⅲ）过点E(1，0)的直线(斜率存在)与该椭圆M 交于P 、Q 两点，且|EP |＝2|EQ |，求此直线的方程；（Ⅳ）设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P 、Q 两点，满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，求OPQ ∆面积的取值范围．16.（12分）已知函数)1ln()(),(,12)(2+=∈+-=x x g R a x ax x f . （Ⅰ）x x g y -=)(在]1,0[上的最小值;（Ⅱ）存在(0,)x ∈+∞使不等式2(1)()2xa x f x e -->,求实数a 的取值范围; 17. （12分）（1）记函数)1ln(12)(2+++-=x x ax x ϕ的图像为C ，l 为曲线C 在点)1,0(p的切线，若存在21≥a ,使直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点，求满足条件的所有a 的值； （2）判断1sin =x x （(0,5)x ∈）实根的个数； （3）完成填空第Ⅱ卷 提高题（共20分）18. 已知2)1x ()x (f -=，)1x (10)x (g -=，数列{}n a 满足2a 1=，0)a (f )a (g )a a (n n n 1n =+-+， 1)a )(2n (109b n n -+=． （Ⅰ）求证：数列{}1a n -是等比数列；（Ⅱ）当n 取何值时，n b 取最大值，并求出最大值；（III ）若1m 1m m m b t b t ++<对任意*N m ∈恒成立，求实数t 的取值范围．静海一中2015-2016第一学期高三数学(理)12月学生学业能力调研卷答题纸第Ⅰ卷基础题（共130分）一、选择题（每题5分，共20分）二、填空题（每题5分，共35分）5. 6. 7.8. 9. 10.11.三、解答题（本大题共5题，共75分）12.（12分）13（10分）14（12分）15（17分）16（12分）17（12分）第Ⅱ卷提高题（共20分）18（20分）。
【全国百强校】天津市静海县第一中学2015-2016学年高二6月学业能力调研考试理数试题解析(解析版)
一、选择题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ） A.60种 B.63种 C.65种 D.66种 【答案】D考点：分类计数原理. 2.二项式621(2)x x +的展开式中，常数项的值是（ ） A ．240 B ．60 C ．192 D ．180 【答案】A 【解析】试题分析：二项式的通项为()66631662122rrrr r rr T C x C x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭,令630r -=,得2r =,则所求常数项的值是24362240T C ==,故选A.考点:二项式定理.3.两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）A. 10种B. 15种C. 20种D. 30种 【答案】C 【解析】试题分析：第一类：三局为止，共有2种情形；第二类：四局为止，共有2326C ⨯=种情形；第三类：五局为止，共有24212C ⨯=种情形；故所有可能出现的情形共有261220++=种情形故选C. 考点：1、分类计数原理；2、排列组合.【易错点睛】本题主要考查分类计数原理、排列组合，属容易题.根据题意，可得分为三种情况：三局结束比赛、四局结束比赛和五局结束比赛，故用到分类计数原理，当三局结束比赛时，三场都同一个人胜，共2种情况；当四局结束比赛时，若甲胜时，则前三局甲胜2场，最后一场甲胜，共有23C 种方法，同理乙胜利时，有23C 种方法；当五局结束比赛时，若甲胜，则前四局甲胜2场，最后一场甲胜，共有24C 种方法，同理乙胜利时，有24C 种方法；此类问题中一定要注意，若甲胜，则最后一场必须是甲胜，前面只能胜2场，否则容易出错.4.锅中煮有芝麻陷汤圆6个，花生陷汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同，从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率是（ ） A.918 B.9125 C.9148 D.9160【答案】C考点：1、古典概型；2、概率计算公式.【易错点晴】本题主要考查古典概型，意在考查考生的分析理解能力.根据题意，先计算出总的取法种类，再计算满足条件“从中任意取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个”所包含的基本事件个数，然后代入古典概型公式计算，即可得到结论，解题时注意基本事件个数计算要不重不漏，否则容易出错. 5.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0<x 时不等式()()'0f x xf x +<成立，若()0.30.333a f =⋅(),log 3log 3b f ππ=⋅3311,log log 99c f ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则 , , a b c 大小关系是（ ）A ． a b c >>B ． c a b >>C ． a c b >>D ． c b a >>【答案】B考点：1、函数的奇偶性；2、利用导数求函数的单调性；3、指数函数与对数函数的性质；4、函数值比较大小.【易错点晴】本题主要考查函数的奇偶性、利用导数求函数的单调性、指数函数与对数函数的性质、函数值比较大小，属中档题.本题要构造函数()()g x xf x =，根据奇偶性定义可得函数()g x 为偶函数，根据偶函数可得()()22c g g =-=，从而将,,a b c 化为同一个单调区间，否则容易出错，根据指数函数与对数函数的性质结合函数的单调性即可比较大小.二、填空题（本大题共6小题，每题5分，满分30分．）6.已知复数113iz i-=+，则复数z 的虚部是 . 【答案】25- 【解析】试题分析：复数113i z i -=+()()()()113241213131055i i i i i i ----===--+-，则复数z 的虚部是25-，故填25-.考点：1、复数的四则运算；2、复数的定义.7.已知有身穿两种不同队服的球迷各三人，现将这六人排成一排照相，要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻，则不同的排法种数为 .（用数字作答） 【答案】72 【解析】试题分析：身穿同一种队服的球迷3人,有33A 6=种，由于要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻,利用插空法可得33212A =种，利用乘法原理可得不同的排法种数为61272⨯=种.故填72.考点：1、分步计数原理与分类计数原理；2、排列组合.【易错点晴】 本题主要考查分步计数原理与分类计数原理、排列组合，属容易题.身穿同一种队服的球迷3人，有33A 6=种，由于要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻，利用插空法可得33212A =种，利用乘法原理可得结论，此类问题一定要注意，先排一对，然后将另一对插入，采用插入法时必须保证身穿同一种队服的球迷均不能相邻，故不能直接用34A ，必须另一对队员都在左边或者右边，故利用插空法可得33212A =种，然后利用乘法原理得出结论.8.将4个不同的小球任意放入3个不同的盒子中，则每个盒子中至少有1个小球的概率为________． 【答案】49【解析】试题分析：将4个不同的小球任意放入3个不同的盒子中，每个小球有3种不同的放法，共有4381＝种放法，每个盒子中至少有1个小球的放法有12234236C C C =种，故所求的概率P =3681=49. 考点： 1、排列组合；2、随机变量的概率. 9.设m 为正整数，()2mx y +展开式的二项式系数的最大值为a ，()21m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ，若137a b =，则m 等于 ． 【答案】6考点：1、二项式定理；2、组合数的计算.10.若,)cos (sin 20m dx x m x =-⎰π则实数.________=m【答案】12【解析】试题分析：()()2200sin cos cos sin |x m x dx x m x ππ-=--⎰()()010m m =----=求得12m =，故填12. 考点：定积分.11.从6人中选4人分别到省内黄果树、小七孔、西江苗寨、梵净山游览，要求每个地点有一人游览，每人只游览一个地点，且在这6人中甲、乙不去西江苗寨游览，则不同的选择方案共有_________. （用数字作答） 【答案】240考点：1、分步计数原理与分类计数原理；2、排列数的计算.【方法点晴】本题主要考查分步计数原理与分类计数原理、排列数的计算，属容易题.根据题意，使用间接法，首先计算从6人中选4人分别到四个城市游览的情况共有46360A =种方法，再分析计算其包含的甲、乙两人去西江苗寨游览的情况数目各有3560A =，进而由事件间的关系，得这6人中甲、乙两人不去西江苗寨游览，得出所求结果．三、解答题（本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）12.（12分）7人站成一排，求满足下列条件的不同站法： （1）甲、乙两人相邻； （2）甲、乙之间隔着2人；（3）若7人顺序不变，再加入3个人，要求保持原先7人顺序不变； （4）7人中现需改变3人所站位置，则不同排法；（5）甲、乙、丙3人中从左向右看由高到底（3人身高不同）的站法；（6）若甲、乙两人去坐标号为1，2，3，4，5，6，7的七把椅子，要求每人两边都有空位的坐法. 【答案】(1)1440；(2)960；(3)720；(4)70；(5)840；(6)12． 【解析】试题分析：(1)捆绑法，甲乙二人互换22A 种，将甲乙当一个人与其他5人全排；(2)捆绑法，先从甲、乙以外的5人中任选2人站在甲、乙之间，有25A 种站法，再将甲、乙及中间二人共4人看作一个整体参加全排列，有44A 种站法，最后甲、乙进行局部排列，有22A 种站法.根据分步乘法计数原理，知共有224524960A A A N ==种不同站法；(3)将3个人分三次插入，第一个人有18C 种插法，第二个人有19C 种插法，第三个人有110C 种插法，根据分步乘法计数原理，知共有1118910720C C C N ==种不同站法；（4）分步计数,从7人中任取3人,有37C 种方法，如a ,b ,c ,则改变原位置站法有2种,b ,c ,a 和c ,a ,b ，故共有37270C ⨯=种不同的站法；（5）先将7人全排，除去甲、乙、丙3人的顺序数的排列33A，故有7733840A A =种站法；（6）固定模型,甲、乙互换有22A 种，甲、乙两人坐法有()2,4()2,5()2,6()3,5()3,6()4,66种，故共有22612A ⨯=种不同的坐法.考点：排列组合.13.（13分）一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球，从中任意取出3个球．（1）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率； （2）求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率；（3）设X 为取出的3个球中编号的最大值，求X 的分布列与数学期望． 【答案】(1) 584；（2）13；（3）分布列见解析，数学期望为8521.(3)X的取值为2,3,4,5.P(X＝2)＝1221222239C C C CC+121=，P(X＝3)＝1221242439421C C C CC+=，P(X＝4)＝122126263937C C C CC+=，P (X＝5)＝12183913C CC=.所以X的分布列为X的数学期望EX＝2×121＋3×21＋4×7＋5×3＝21.考点：1、离散型随机变量的概率及其分布列；2、离散型随机变量的期望与方差.14.（12分）某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予9.6折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠．假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取两人．（1）求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率； （2）设这两人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的概率分布和均值． 【答案】（1）1935；（2）概率分布见解析，23. (2)根据题意，得ξ的可能取值为0,1,2.其中P (ξ＝0)＝P (B )＝46105，P (ξ＝1)＝111224236C C C =1635， P (ξ＝2)＝P (A )＝11105. 所以ξ的概率分布为所以E (ξ)＝0×46105＋1×1635＋2×105＝3. 考点：1、离散型随机变量的期望与方差；2、离散型随机变量及其分布列. 15.（13分）在数列{}n a 中，11=a ，当n ≥2时，21,,-n n n S S a 成等比数列. （1）求432,,a a a ，并推出n a 的表达式；（2）用数学归纳法证明所得的结论.【答案】（1）223a =-，3215a =-，4235a =-， 1 (1)2(1)(23)(21)n n a n n n =⎧⎪=⎨->⎪--⎩； （2）证明见解析.由S k +12=a k +1·(S k +1－21),得(S k +a k +1)2=a k +1(a k +1+S k －21) .1,]1)1(2][3)1(2[22112122)12(1111211212命题也成立即+=-+-+-=⇒--+=-++-⇒++++++k n k k a a k a a k a a k k k k k k k由①②知，a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥---=)2()12)(32(2)1(1n n n n 对一切n ∈N 成立. 考点：1、归纳推理；2、数学归纳法.【易错点睛】本题主要考查归纳推理、数学归纳法，属难题.（1）利用n a ,n S ,12n S -成等比数列，得212n n n S a S ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭(2n ≥)，依次用2,3,4n =代入，求得432,,a a a ，由此归纳出n a 的表达式；（2）①当1n =，2，3，4时，由(*)知猜想成立. ②假设n k =时命题成立，则当1n k =+时，利用假设证明当1n k =+时，结论也成立即可．注意证明当1n k =+时，结论也成立时要利用假设，否则容易出错.第Ⅱ卷 提高题（共15分）16.已知函数21()ln 2f x a x bx x =++，（,a b ∈R ）．（1）若函数()f x 在121,3x x ==处取得极值，求,a b 的值，并说明分别取得的是极大值还是极小值； （2）若2()()(1)2bh x x f x x +=+-，求()h x 在[1,e ]上的最小值及相应的x 值.（3）若函数()f x 在（1,(1)f ）处的切线的斜率为1，存在[1,]x e ∈，使得21())2f x x a x x -+≤(+2)(- 成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）23a =-，13b =-，在1x =取得极小值，在2x =取得极大值；（2）当2-≥a 时，()h x 的最小值为1，相应的x 值为1，当222-<<-a e 时,()h x 的最小值为2)2ln(2aa a --,相应的x 值为2a -，当22e a -≤时，()h x 的最小值为2e a +，相应的x 值为e ；（3）),12[2+∞--e ee ．（3）先利用导数的几何意义求得a b =-，从而得2()ln 2a f x a x x x =-+，将 221()ln )22a f x x a x x a x x -=-+≤(+2)(-转换为22ln x x a x x --≥(],1[e x ∈)，令xx x x x g ln 2)(2--=（],1[e x ∈），求导后利用函数的单调性求得其最大值，从而求得a 的取值范围.试题解析：解：（1）因为()1a f x bx x '=++，(1)10f a b '=++=①，1(2)2102f a b '=++=②。
天津市静海县第一中学高二上学期期末终结性检测数学(理)试题
静海一中2017-2018第一学期高二理科数学期末终结性检测试卷考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷基础题（134分）和第Ⅱ卷提高题（16 分）两部分，共150分，考试时间为120分钟。
2. 试卷书写规范工整，卷面整洁清楚，酌情减3-5分，并计入总分。
第Ⅰ卷 基础题（共134分）一、选择题: （每小题5分，共40分）1.设m l ,是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若α⊂⊥m m l ,，则α⊥l B ．若m l l //,α⊥，则α⊥m C ．若αα⊂m l ,//，则m l // D ．若αα//,//m l ，则m l //2.已知方程11222=+-+m y m x 表示椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．)1,(--∞B ．),2(∞+-C ．)23,(--∞),1(∞+-⋃ D ．)1,23()23,2(--⋃-- 3.设a 为实数，直线1:1=+y ax l ，a ay x l 2:2=+，则“21//l l ” 是“1-=a ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，21==AA AB ，090=∠ABC ，点F E ,分别是棱1BB AB 和的中点，当二面角B AA C --11为 45时，直线EF 和1BC 所成的角为（ ）A.45 B.60 C.90 D.1205.已知P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到直线032:=+-y x l 和y 轴的距离之和的最小值是( )A. 3B. 5 C ．2 D. 15-6．已知21F F ，为双曲线14522=-y x 的左、右焦点，P (3，1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则2AF AP +的最小值为( )A.37＋4B.37－4C.37－2 5D.37＋2 57．若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线)0,0(12222>>=-n m n y m x 有相同的焦点)0,()0,(21c F c F ，-，若am c =2且22222c m n +=，则椭圆的离心率是( )A.41 B. 21C. 33D. 228．已知F 为抛物线x y =2的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧， 2=∙OB OA(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A ．2 B .1728C ．3 D.10 二、填空题：（每小题5分，共30分）910．若某几何体的三视图如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是 . 11. 有下列四个命题：①命题“面积相等的三角形全等”的否命题； ②“若1=xy ，则y x ,互为倒数”的逆命题；③命题“若B B A =⋂，则B A ⊆”的逆否命题； ④命题“若,1>m 则022=+-m x x 有实根”的逆否命题.其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号） 12. 已知直线l 过点)0,4(-且与圆25)2()1(22=-++y x 交于B A ,两点，如果8=AB ，那么直线l 13. 方程242+-=-k kx x 有两个不等实根，则实数k 的取值范围14．设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以21F F ，为直径的圆交双曲线某条渐近线于N M ，两点，且满足0120=∠MAN ，则该双三、解答题（本大题共6题，共80分）15. （12分）已知R m ∈命题p ：对任意]1,0[∈x ，不等式m m x 3222-≥-恒成立；命题q ：存在]1,1[-∈x ，使得ax m ≤成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当1=a ，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围． 16. （12分）如图，已知圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，与x 轴的正半轴交于两点N M ， (点M 在点N 的左侧)，且3=MN .(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一直线与圆O ：422=+y x 相交于B A ,两点，连接BN AN ,，求证：BN AN k k +定值．17．（13分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为平行四边形，ABCD PA 面⊥，M 是棱PD 的中点，且2===PA AC AB ，22=BC ．（I ）求证：PAC CD 面⊥； （Ⅱ）求二面角C AB M --的大小；（Ⅲ）若N 是AB 上一点，且直线CN 与平面MAB 成角的正弦值为510，求NBAN的值． 18. （14分）设椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的一个顶点与抛物线y x 342=的焦点重合，21F F ，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率21=e ，过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆C 交于N M ，两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)若2-=∙ON OM ，求直线l 的方程；(3)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，AB MN //，求证：||||2MN AB 为定值．19. （13分）已知△ABC 为等腰直角三角形，4==AC AB ，090=∠ACB ，E D ，分别是边AC 和AB 的中点，现将ADE ∆沿DE 折起，使平面DEBC ADE 平面⊥，F H ，分别是边AD 和BE 的中点，平面BCH 与AE ，AF 分别交于I ，G 两点．(1)求证：BC IH //；(2)求二面角C GI A --的余弦值； (3)求AG 的长．第Ⅱ卷 提高题（共16分）20. （16分）设椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F ，，上顶点为，过点与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且2212QF F F =，若过A ，Q ，2F 三点的圆恰好与直线033:=--y x l 相切．过定点），20(M 的直线1l 与椭圆C 交于G ，H 两点（点G 在点M ，H 之间）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若实数λ满足MHMG λ=，求λ的取值范围．静海一中2017-2018第一学期高二理科数学期末终结性检测试卷答题纸第Ⅰ卷基础题（共134分）二、填空题（每题5分，共30分）9.______ _ 10._____ _ 11._______ 12. _ _____ _13. 14.三、解答题（本大题共6题，共80分）15.（12分）16.（12分）（1）（2）17.（13分）18．（14分）19．（13分）(1)(2)(3)20. （16分）高二数学理答案选择题: （每小题5分，共40分） 1.设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ B ） A ．若， ，则 B ．若，，则 C ．若，，则D ．若，，则2.已知方程11222=+-+m y m x 表示椭圆，则实数m 的取值范围是（D ）A ．（﹣∞，﹣1）B ．（﹣2，+∞）C ．（﹣∞，﹣）∪（﹣1，+∞）D ．（﹣2，﹣）∪（﹣，﹣1） 3.设为实数，直线：，，则“”是“”的（A ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，21==AA AB ，090=∠ABC ，点分别是棱1BB AB 和的中点，当二面角B AA C --11为时，直线和1BC 所成的角为（ B ）A.B.C.D.5.已知P 是抛物线x y 42=上一动点，则点到直线032:=+-y x l 和y 轴的距离之和的最小值是( D )A. 3B. 5 C ．2 D.15-6．已知21F F ，为双曲线14522=-y x 的左、右焦点，P (3，1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则2AF AP +的最小值为(C )A.37＋4B.37－4C.37－2 5D.37＋2 57 ．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线)0,0(12222>>=-n m ny m x 有相同的焦点)0,()0,(21c F c F ，-，若am c =2且22222c m n +=，则椭圆的离心率是( B)A.41 B. 21C. 33D. 228．已知F 为抛物线x y =2的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是(C )A ．2B .1728 C ．3 D.10二、填空题：（每小题6分，共30分）910．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是11. 有下列四个命题：①命题“面积相等的三角形全等”的否命题命题；②“若，则，互为倒数”的逆命题；③命题“若，则”的逆否命题；④命题“若，则有实根”的逆否命题.其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号） ① ②12. 已知直线l 过点(－4,0)且与圆25)2()1(22=-++y x 交于A 、B 两点，如果|AB |＝8，那么直线l 02012504=++=+y x 或13. 方程242+-=-k kx x 有两个不等实根，则实数k 14．设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以21F F ，为直径的圆交双曲线某条渐近线于N M ，两点，且满足0120=∠MAN ，则该双曲．三、解答题（本大题共4题，共50分）15.已知R m ∈命题p ：对任意]1,0[∈x ，不等式m m x 3222-≥-恒成立；命题q ：存在]1,1[-∈x ，使得ax m ≤成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当1=a ，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围． 解 (1)∵对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立， ∴(2x －2)min ≥m 2－3m .即m 2－3m ≤－2. 解得1≤m ≤2.因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1,2]． (2)∵a ＝1，且存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立， ∴m ≤x ，命题q 为真时，m ≤1. ∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，则⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤2，m >1，解得1<m ≤2；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m <1或m >2，m ≤1，即m <1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．16.如图，已知圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，与x 轴的正半轴交于两点M ，N (点M 在点N 的左侧)，且|MN |＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一直线与圆O ：422=+y x 相交于A ，B 两点，连接AN ，BN ，求证：BN AN k k +定值．解：(1)因为圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，可设圆心的坐标为(m,2)(m >0)，则圆C 的半径为m ，又|MN |＝3，所以m 2＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝254，解得m ＝52，所以圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋(y －2)2＝254.(2)由(1)知M (1,0)，N (4,0)，当直线AB 的斜率为0时，易知k AN ＝k BN ＝0，即k AN ＋k BN ＝0. 当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB ：x ＝1＋ty ，将x ＝1＋ty 代入x 2＋y 2－4＝0，并整理得，(t 2＋1)y 2＋2ty －3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2tt 2＋1，y 1y 2＝－3t 2＋1，则k AN ＋k BN ＝y 1x 1－4＋y 2x 2－4＝y 1ty 1－3＋y 2ty 2－3＝2ty 1y 2－y 1＋y 2ty 1－ty 2－＝－6t t 2＋1＋6tt 2＋1ty 1－ty 2－＝0.综上可知，k AN ＋k BN 为定值．17．如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为平行四边形，ABCD PA 面⊥，M 是棱PD 的中点，且2===PA AC AB ，22=BC ． （I ）求证：PAC CD 面⊥； （Ⅱ）求二面角C AB M --的大小；（Ⅲ）如果N 是棱AB 上一点，且直线CN 与平面MAB 所成角的正弦值为510，求NBAN的值．证明：(I)连结AC ．因为为在中，，， 所以，所以．因为AB //CD ，所以． 又因为地面ABCD ，所以．因为，所以平面PAC ．(II)如图建立空间直角坐标系，则．因为M 是棱PD 的中点，所以．所以，． 设为平面MAB 的法向量，所以，即，令，则，所以平面MAB 的法向量．因为平面ABCD ，所以是平面ABC 的一个法向量．所以．因为二面角为锐二面角，所以二面角的大小为．(III)因为N 是棱AB 上一点，所以设，．设直线CN 与平面MAB 所成角为， 因为平面MAB 的法向量，所以．解得，即，，所以．18. 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点与抛物线C ：x 2＝43y 的焦点重合，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e ＝12，过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若OM →·ON →＝－2，求直线l 的方程；(3)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，MN ∥AB ，求证：|AB |2|MN |为定值．(1)椭圆的顶点为(0，3)，即b ＝3，e ＝c a ＝12，∴a ＝2，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题可知，直线l 与椭圆必相交． ①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．②当斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)， 且M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x －，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝4k 2－123＋4k 2＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1 ＝－5k 2－123＋4k2＝－2，解得k ＝±2，故直线l 的方程为y ＝2(x －1)或y ＝－2(x －1)． (3)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)， 由(2)可得|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝＋k2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 23＋4k 22－4⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2 ＝k 2＋3＋4k2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx消去y 并整理得x 2＝123＋4k2， |AB |＝1＋k 2|x 3－x 4|＝4＋k 23＋4k2，∴|AB |2|MN |＝＋k 23＋4k 2k 2＋3＋4k2＝4，为定值．19. 已知△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90°，D ，E 分别是边AC 和AB 的中点，现将△ADE 沿DE 折起，使平面ADE ⊥平面DEBC ，H ，F 分别是边AD 和BE 的中点，平面BCH 与AE ，AF 分别交于I ，G 两点．(1)求证：IH ∥BC ；(2)求二面角A －GI －C 的余弦值； (3)求AG 的长．(1)证明：因为D ，E 分别是边AC 和AB 的中点，所以ED ∥BC .因为BC ⊂平面BCH ，ED ⊄平面BCH ，所以ED ∥平面BCH .因为ED ⊄平面BCH ，ED ⊂平面AED ，平面BCH ∩平面AED ＝HI ，所以ED ∥HI . 又因为ED ∥BC ，所以IH ∥BC .(2)如图，建立空间直角坐标系，由题意得，D (0,0,0)，E (2，0,0)，A (0,0,2)，F (3,1,0)，C (0,2,0)，H (0,0,1)，B (4,2,0)，EA →＝(－2,0,2)，EF →＝(1,1,0)，CH →＝(0，－2，1)，HI →＝12DE→＝(1,0,0)．设平面AGI 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ EA →·n 1＝0，EF →·n 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋z 1＝0，x 1＋y 1＝0，令z 1＝1，解得x 1＝1，y 1＝－1，则n 1＝(1，－1,1)． 设平面CIG 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧CH →·n 2＝0，HI →·n 2＝0，⎩⎪⎨⎪⎧－2y 2＋z 2＝0，x 2＝0，令z 2＝2，解得y 2＝1，则n 2＝(0,1,2)． 所以cos 〈n 1，n 2〉＝－1＋23×5＝1515，所以二面角A －GI －C 的余弦值为1515. (3)由(2)知，AF →＝(3,1，－2)， 设AG →＝λAF →＝(3λ，λ，－2λ)，0<λ<1， 则GH →＝AH →－AG →＝(0,0，－1)－(3λ，λ，－2λ)＝(－3λ，－λ，2λ－1)，由GH →·n 2＝0，解得λ＝23，故AG ＝23AF ＝23 32＋1＋－2＝2143.第Ⅱ卷 提高题（共15分）20. 设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且，若过，，三点的圆恰好与直线：相切．过定点的直线与椭圆交于，两点（点在点，之间）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若实数满足，求的取值范围．解析】（Ⅰ）因为，所以为的中点.设的坐标为，因为，所以，，且过三点的圆的圆心为，半径为. 因为该圆与直线相切，所以.解得，所以，.故所求椭圆方程为. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分（Ⅱ）①当直线斜率存在时，设直线方程为，代入椭圆方程得.由，得. 设，，则，. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分又，所以. 所以.所以，.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8分所以. 所以.整理得. 因为，所以，即. 所以.解得且.又，所以. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分②又当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时，，，，，所以.所以，即所求的取值范围是.┈┈┈┈┈┈┈┈12分。
天津市静海一中、芦台一中等六校15—16学年上学期高二期末联考化学试题(附答案)
2015—2016学年度第一学期期末六校联考高二化学试卷出题人:静海一中芦台一中相对原子质量：H：1 C：12 N：14 O：16 Cu：64Ⅰ、选择题（每小题2分，共40分。
每小题只有一个正确选项。
）1.化学与生活、社会密切相关。
下列说法不正确的是A.利用太阳能等清洁能源代替化石燃料，有利于节约资源、保护环境B.电池中的重金属等污染土壤，可以回收再利用以减少污染、保护资源C.人们日常生活中用到各种化学品，应尽量减少甚至不使用D.城市机动车成为PM2.5（直径≤2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，有毒、有害）主要源头，必须加以控制2.下列装置中，都伴随有能量变化，其中是由化学能转变为电能的是3.用N A表示阿伏加德罗常数的值。
下列说法不正确的是A.一定条件下，4.6 g NO2和N2O4混合气体中含有的N原子数目为0.1N AB.25 ℃时，pH＝12的Ba(OH)2溶液中含有的OH－数目为0.01N AC.1L 0.1 mol·L－1 K2CO3溶液中，阴离子数目大于0.1N AD.2molSO2和1molO2在密闭容器中加热(V2O5催化)充分反应后，容器内分子总数大于2N A4.下列各组离子能在指定溶液中大量共存的是A.pH=14的溶液中：CO32－、Na+、S2－、AlO2－B.室温下水电离的c(H+)＝10－13mol/L的溶液：K+、HCO3－、Br－、Ba2+C.室温下c(H+)/c(OH－)＝1012的溶液中：Fe2+、Al3+、NO3－、I－D.无色溶液中：Al3+、NH4+、Cl‾、HCO3‾5.下列说法能用平衡移动原理解释的是A．在电解水实验中，加入硫酸钠可以提高电解效率B．碳酸氢钠溶液与硫酸铝溶液混合有沉淀和气体生成C．铁制品在海水中比在纯水中更易腐蚀D．在双氧水中加FeCl3溶液可使产生O2速率加快6.25℃时，下列溶液中水的电离程度最大的是A．0.01 mol/L盐酸 B. pH =11氨水C. pH = 4 NaHSO3溶液D. 0.01 mol/L Na2CO3溶液7.下列叙述是某同学利用教材中的一些数据作出的判断，其中正确的是A.利用焓变或熵变的数据一定都能单独判断反应的自发性B.利用沸点数据推测一些液体混合物分离开来的可能性C.利用反应热数据的大小判断不同反应的反应速率的大小D.利用溶液的pH与7的大小关系来判断任何温度下溶液的酸碱性8.下列说法正确的是A.在101kPa时，1molC与适量O2反应生成1molCO时，放出110.5kJ热量，则C的燃烧热为110.5kJ·mol－1B.在101kPa时，1molH2完全燃烧生成液态水，放出285.8kJ热量，H2燃烧热为－285.8kJ·mol －1C.测定HCl和NaOH反应的中和热时，每次实验均应测量3个温度，即盐酸起始温度、NaOH 起始温度和反应后最高温度D.在稀溶液中：H＋(aq)＋OH－(aq)===H2O(l) ΔH＝－57.3kJ·mol－1，若将含0.5molH2SO4的浓硫酸与含1molNaOH的溶液混合，放出的热量等于57.3kJ9.有关下列四个常用电化学装置的叙述中，正确的是A.图Ⅰ所示电池中，MnO2的作用是催化剂B.图Ⅱ所示电池充电过程中，阳极的反应为：PbSO4＋2H2O+2e-＝PbO2＋SO42-＋4H+C.图Ⅲ所示装置工作过程中，若阳极质量减少6.4 g，则电路中转移电子数为0.2×6.02×1023D.图Ⅳ所示电池中，Ag2O是氧化剂，电池工作过程中还原为Ag10.下列所述反应的方程式书写正确的是A.常温下，0.1 mol·L-1 HA溶液的pH=3，则HA的电离：HA＝H+＋A-B.用铜电极电解饱和硫酸铜溶液：2Cu2+＋2H2O 2Cu＋O2↑＋4H+C.向1 mL 2 mol·L-1NaOH溶液中滴加1~2滴0.1 mol·L-1 MgCl2溶液后，再滴加2滴0.1 mol·L-1 FeCl3溶液：Mg2+＋2OH-＝Mg(OH)2↓，3Mg(OH)2＋2Fe3+＝2Fe(OH)3＋3Mg2+D.钢铁发生吸氧腐蚀生成铁锈：2Fe＋O2＋2H2O＝2Fe(OH)2，4Fe(OH)2＋O2＋2H2O＝4Fe(OH)3，2Fe(OH)3＝Fe2O3·x H2O＋(3﹣x)H2O11.右图表示某可逆反应在使用和未使用催化剂时，反应过程和能量的对应关系。
天津市静海一中高二数学上学期12月学业能力调研试卷理(含解析)
2015-2016学年天津市静海一中高二（上）12月学业能力调研数学试卷（理科）一、选择题：（每小题4分，共24分）1．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A．B．4πC．2πD．2．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为（）A．B．C．D．3．下列四种说法中，错误的个数是（）①A={0，1}的子集有3个；②“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真；③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的必要不充分条件；④命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2≥0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣3x﹣2≤0”A．0个B．1个C．2个D．3个4．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°．将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A﹣BCD．则在三棱锥A﹣BCD中，下列命题正确的是（）A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC6．若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C． D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）二、填空题：（每空3分，共27分）7．写出命题“存在一个常数M，对任意的x，都有|f（x）|≤M”的否定是．8．如果让你证明命题：“命题A成立的充分必要条件是命题B”成立时，你认为“由命题A 成立推证命题B成立”是在证“必要性”还是在证“充分性”？．9．设命题A和命题B都含有同一个变量m，其中命题A成立时求得变量m的范围为集合P，命题B成立时求得变量m的范围为集合Q．如果要求“命题A成立是命题B成立的必要非充分条件”时，则集合P和集合Q的关系为．10．若直线l1：ax+（1﹣a）y=3与l2：（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，则实数a的值为．11．若曲线表示双曲线，则焦点坐标为．12．已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x﹣1被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为．13．（1）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率．（2）椭圆+=1（a＞b＞0）的二个焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），M是椭圆上一点，且•=0，则离心率e的取值范围．14．曲线与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围为．三、解答题（本大题共4题，共53分）15．（1）一光线经点P（5，3）被直线l：y=3x+3反射，若反射光线经过点Q（1，1），求入射光线所在直线方程．（2）已知正方形ABCD一边AB的方程 x+2y+3=0和中心P（1，1），求边BC和AD的方程．（3）已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程．16．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0及点Q（﹣2，3），（Ⅰ）若点P（m，m+1）在圆C上，求PQ的斜率；（Ⅱ）若点M是圆C上任意一点，求|MQ|的最大值、最小值；（Ⅲ）若N（a，b）满足关系：a2+b2﹣4a﹣14b+45=0，求出t=的最大值．17．已知椭圆C方程，设P为椭圆上任意一点，定点A（0，3），求|PA|的最大值．18．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1和CC1的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD1；（Ⅱ）求异面直线EF与AB所成的角的余弦值；（Ⅲ）在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角P﹣AC﹣B的大小为30°？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．19．如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC．（Ⅰ）求证：AM⊥平面EBC；（Ⅱ）求直线AB与平面EBC所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角A﹣EB﹣C的大小．20．（学法反思总结题）结合平时学习体会，请回答以下问题：（1）你认为求二面角常用的方法有哪些？请按应用的重要程度写出3种，并就其中一种方法谈谈它的应用条件；（2）在解决数学题目时会经常遇到陌生难题，对这些陌生难题的解决往往不知所措，实际上对这些陌生难题的解决方法往往都是通过分析将其转化成为若干常见的基本问题加以解决，也就是我们教师常说的：所谓的难题都是由若干基本题拼凑而成的．请你结合对立体几何问题的解决体会，谈谈对于一个陌生的立体几何难题经常采取哪些策略方法可将其转化为若干常见问题的，要求写出3种策略．提高题（共14分）21．设F1，F2分别是椭圆C：的左、右焦点，椭圆C上一点，过左焦点垂直x轴与椭圆相交所得弦长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点E（1，0）的直线与该椭圆交于P、Q两点，且|EP|=2|EQ|，求此直线的方程；（3）斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，O是原点，当△OAB面积最大时，求直线l 的方程；（4）若P是椭圆C上任意一点，⊙M是以PF2为直径的圆，求证：⊙M总与定圆x2+y2=a2相切．2015-2016学年天津市静海一中高二（上）12月学业能力调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题4分，共24分）1．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A．B．4πC．2πD．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为=2又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π．故选：D．【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题．2．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的侧面积即可．【解答】解：该几何体是高为1，底面对角线长为2的菱形构成的四棱锥A﹣BCDE，如图所示，在直角三角形ABE中，AB=1，BE=，∴AE=，在三角形AED中，AE=，ED=，AD=，∴AE2+DE2=AD2，∴三角形AED是直角三角形，则该几何体的侧面积为S=2×（）+2×（）=+，故选C．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查学生对三视图复原几何体的能力与计算能力．3．下列四种说法中，错误的个数是（）①A={0，1}的子集有3个；②“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真；③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的必要不充分条件；④命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2≥0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣3x﹣2≤0”A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题．【分析】①根据非空集合子集个数的计算公式进行判断；②先写出其逆命题，然后再判断是否正确；③已知命题p∧q为真，则p和q都得为真，利用这点进行判断；④根据命题否定的规则进行判断，注意任意的否定为存在；【解答】解：①A={0，1}的子集个数为：22=4，故①错误；②“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为：若a＜b，则am2＜bm2，若m=0，则a=b，故②错误；③∵命题p∩q为真，则p和q都得为真，p∪q为真，则p和q至少有一个为真，∴命题p∩q 为真⇒命题p∪q为真，反之则不能，故③正确；④命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2≥0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣3x﹣2＜0”，故④错误；故选D．【点评】此题主要考查集合子集个数的计算公式和逆命题、否命题的定义，是一道基础题，若一个集合的元素个数为n，则其子集的个数为2n；4．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】由M在圆外，得到|OM|大于半径，列出不等式，再利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线ax+by=1的距离d，根据列出的不等式判断d与r的大小即可确定出直线与圆的位置关系．【解答】解：∵M（a，b）在圆x2+y2=1外，∴a2+b2＞1，∴圆O（0，0）到直线ax+by=1的距离d=＜1=r，则直线与圆的位置关系是相交．故选B【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及点与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式，熟练掌握公式是解本题的关键．5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°．将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A﹣BCD．则在三棱锥A﹣BCD中，下列命题正确的是（）A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC【考点】平面与平面垂直的判定．【专题】证明题．【分析】由题意推出CD⊥AB，AD⊥AB，推出AB⊥平面ADC，可得平面ABC⊥平面ADC．【解答】解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°∴BD⊥CD又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC．故选D．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查逻辑思维能力，是中档题．6．若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C． D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【考点】圆的一般方程；圆方程的综合应用．【专题】压轴题；数形结合．【分析】由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径，由图象可知此圆与y=0有两交点，由两曲线要有4个交点可知，圆与y﹣mx﹣m=0要有2个交点，根据直线y﹣mx﹣m=0过定点，先求出直线与圆相切时m的值，然后根据图象即可写出满足题意的m的范围．【解答】解：由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，由直线y﹣mx﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：直线y=0和圆交于点（0，0）和（2，0），因此直线y﹣mx﹣m=0与圆相交即可满足条件．当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，化简得：m2=，解得m=±，而m=0时，直线方程为y=0，即为x轴，不合题意，则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时，m∈（﹣，0）∪（0，）．故选B．【点评】此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．本题的突破点是理解曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线．二、填空题：（每空3分，共27分）7．写出命题“存在一个常数M，对任意的x，都有|f（x）|≤M”的否定是存在一个常数M，存在实数x，使得|f（x）|＞M ．【考点】命题的否定．【专题】计算题；规律型；对应思想；简易逻辑．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“存在一个常数M，对任意的x，都有|f（x）|≤M”的否定是：存在一个常数M，存在实数x，使得|f（x）|＞M．故答案为：存在一个常数M，存在实数x，使得|f（x）|＞M．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．8．如果让你证明命题：“命题A成立的充分必要条件是命题B”成立时，你认为“由命题A 成立推证命题B成立”是在证“必要性”还是在证“充分性”？必要条件或充分条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义，如果A是B的充分条件，那么B是A的必要条件．由A是B的充要条件，根据充要条件的定义，可得A⇔B为真命题．【解答】解：如果A是B的充分条件，那么B是A的必要条件．若A是B的充分必要条件，则A⇔B为真命题，故答案为：必要条件或充分条件．【点评】本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，是解答本题的关键．9．设命题A和命题B都含有同一个变量m，其中命题A成立时求得变量m的范围为集合P，命题B成立时求得变量m的范围为集合Q．如果要求“命题A成立是命题B成立的必要非充分条件”时，则集合P和集合Q的关系为Q⊊P ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：设命题A和命题B都含有同一个变量m，其中命题A成立时求得变量m的范围为集合P，命题B成立时求得变量m的范围为集合Q．如果要求“命题A成立是命题B成立的必要非充分条件”时，则集合P和集合Q的关系为Q⊊P，故答案为：Q⊊P．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．10．若直线l1：ax+（1﹣a）y=3与l2：（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，则实数a的值为1或﹣3 ．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题．【分析】由直线l1：ax+（1﹣a）y=3与l2：（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，知a（a﹣1）+（1﹣a）（2a+3）=0，由此能求出实数a的值．【解答】解：∵直线l1：ax+（1﹣a）y=3与l2：（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，∴a（a﹣1）+（1﹣a）（2a+3）=0，解得a=1或a=﹣3．故答案为：1或﹣3．【点评】本题考查直线方程的位置关系，解题时要认真审题，注意直线互相垂直的条件的灵活运用．11．若曲线表示双曲线，则焦点坐标为（0，±3）．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】曲线表示双曲线，可得（4﹣m）（13﹣m）＜0，焦点在y轴上，且c2=13﹣m+m﹣4=9，即可求出焦点坐标．【解答】解：∵曲线表示双曲线，∴（4﹣m）（13﹣m）＜0，∴4＜m＜13．∴焦点在y轴上，且c2=13﹣m+m﹣4=9，∴焦点坐标为（0，±3）．故答案为：（0，±3）．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．12．已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x﹣1被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为x+y﹣3=0 ．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】先求圆心坐标，然后可求过圆心与直线ℓ垂直的直线的方程．【解答】解：由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0，并设圆心坐标为（a，0），则由题意知：，解得a=3或﹣1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），∵圆心（3，0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0，即m=﹣3，故所求的直线方程为x+y﹣3=0．故答案为：x+y﹣3=0．【点评】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力．13．（1）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率．（2）椭圆+=1（a＞b＞0）的二个焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），M是椭圆上一点，且•=0，则离心率e的取值范围≤e＜1 ．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据△ABF2是正三角形，且直线AB与椭圆长轴垂直，得到F2F1是正三角形△ABF2的高，∠AF2F1=30°．在Rt△AF2F1中，设|AF1|=m，可得=，所以|AF2|=2m，用勾股定理算出|F1F2|=m，得到椭圆的长轴2a=|AF1|+|AF2|=3m，焦距2c=m，即可求出椭圆的离心率；（2）先设点M的坐标，进而表示出和，根据•=0求得x和y的关系式，同时把点M代入椭圆方程，表示出x，进而根据0≤x2≤a2，求得a和c的不等式，进而求得离心率e的范围．【解答】解：（1）∵△ABF2是正三角形，∴∠AF2B=60°，∵直线AB与椭圆长轴垂直，∴F2F1是正三角形△ABF2的高，∠AF2F1=30°，Rt△AF2F1中，设|AF1|=m，sin30°==，∴|AF2|=2m，|F1F2|=m因此，椭圆的长轴2a=|AF1|+|AF2|=3m，焦距2c=m∴椭圆的离心率为e==．（2）设点M的坐标为（x，y），则=（x+c，y），=（x﹣c，y）．由•=0，得x2﹣c2+y2=0．①又由点M在椭圆上，得y2=b2﹣，代入①，解得x2=a2﹣．∵0≤x2≤a2，∴0≤a2﹣≤a2，即0≤2﹣≤1．∵e＞0，解得≤e≤1．又∵e＜1，∴≤e＜1．故答案为：；≤e＜1．【点评】本题考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，考查了不等式的运用．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．属中档题．14．曲线与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围为．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】数形结合；转化思想．【分析】先确定曲线的性质，然后结合图形确定临界状态，结合直线与圆相交的性质，可解得k的取值范围．【解答】解：可化为x2+（y﹣1）2=4，y≥1，所以曲线为以（0，1）为圆心，2为半径的圆y≥1的部分．直线y=k（x﹣2）+4过定点p（2，4），由图知，当直线经过A（﹣2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点边为一个．且k AP==，由直线与圆相切得d==2，解得k=则实数k的取值范围为故答案为：【点评】本题考查直线与圆相交的性质，同时考查了学生数形结合的能力，是个基础题．三、解答题（本大题共4题，共53分）15．（1）一光线经点P（5，3）被直线l：y=3x+3反射，若反射光线经过点Q（1，1），求入射光线所在直线方程．（2）已知正方形ABCD一边AB的方程 x+2y+3=0和中心P（1，1），求边BC和AD的方程．（3）已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程．【考点】双曲线的简单性质；与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）先求出Q（1，1）关于直线l：y=3x+3的对称点的坐标C（3，4），再根据点C、点P在入射光线所在的直线上，利用两点式求得入射光线PC所在的直线方程．（2）利用中心P到边的距离相等，建立方程，即可求边BC和AD的方程．（3）利用椭圆和双曲线有公共的焦点，确定m，n的关系，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：（1）由题意，设Q（1，1）关于直线l：y=3x+3的对称点的坐标为（a，b），则，∴a=﹣2，b=2利用反射定律可得，C（﹣2，2）在入射光线所在的直线上，由于点P（5，3）也在入射光线所在的直线上，故入射光线所在的直线方程为，即x﹣7y+16=0；（2）设BC的方程为2x﹣y+c=0，则=，∴c=5或﹣7∴AD：2x﹣y+5=0，BC：2x﹣y﹣7=0；（3）∵椭圆和双曲线有公共的焦点，∴3m2﹣5n2=2m2+3n2，∴m=±2n，∴双曲线的渐近线方程y=±x=±x．【点评】本题主要考查反射定率、求一个点关于直线的对称点的坐标、用两点式求直线的方程，考查直线方程，考查双曲线、椭圆的方程与性质，属于中档题．16．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0及点Q（﹣2，3），（Ⅰ）若点P（m，m+1）在圆C上，求PQ的斜率；（Ⅱ）若点M是圆C上任意一点，求|MQ|的最大值、最小值；（Ⅲ）若N（a，b）满足关系：a2+b2﹣4a﹣14b+45=0，求出t=的最大值．【考点】圆的一般方程．【专题】数形结合；综合法；直线与圆．【分析】（1）由点P（m，m+1）在圆C上，解得m=4，从而点P（4，5），由此能求出PQ的斜率．（2）点M是圆C上任意一点，Q（﹣2，3）在圆外，所以|MQ|的最大值、最小值分别是|QC|+r，|QC|﹣r．（3）点N在圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0上，t=表示的是定点Q（﹣2，3）与圆上的动点N连线l的斜率．由此能求出t=的最大值．【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0可化为（x﹣2）2+（y﹣7）2=8．点P（m，m+1）在圆C上，所以m2+（m+1）2﹣4m﹣14（m+1）+45=0，解得m=4，故点P（4，5）．所以PQ的斜率是k PQ==；（2）如图，点M是圆C上任意一点，Q（﹣2，3）在圆外，所以|MQ|的最大值、最小值分别是|QC|+r，|QC|﹣r．Q（﹣2，3），C（2，7），|QC|==4，r=2，所以|MQ|max=6，|MQ|min=2．（3）点N在圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0上，t=表示的是定点Q（﹣2，3）与圆上的动点N连线l的斜率．设l的方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0．当直线和圆相切时，d=r，即=2，解得k=2±．所以t=的最大值为2+．【点评】本题考查直线的斜率的求法，考查线段的最值的求法，考查代数式的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．17．已知椭圆C方程，设P为椭圆上任意一点，定点A（0，3），求|PA|的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设P（x，y），代入椭圆方程可得x2=16．可得|PA|2=x2+（y﹣3）2=﹣3（y+1）2+28，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：设P（x，y），则，可得x2=16．∴|PA|2=x2+（y﹣3）2=16+（y﹣3）2=﹣3y2﹣6y+25=﹣3（y+1）2+28，∵﹣2≤y≤2，∴y=﹣1，x=±2时，|PA|2取得最大值28，即|PA|的最大值为2．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、二次函数的单调性、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1和CC1的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD1；（Ⅱ）求异面直线EF与AB所成的角的余弦值；（Ⅲ）在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角P﹣AC﹣B的大小为30°？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】综合题；转化思想；综合法．【分析】如图分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，先写出各点坐标：（I）取AD1中点G，则G（1，0，1），=（1，﹣2，1），又=（﹣1，2，﹣1），证明与共线即可；（II）求出两异面直线的方向向量，用数量积公式求夹角余弦即可，易求；（III）假设存在，设出点P的空间坐标，根据题设中所给的条件二面角P﹣AC﹣B的大小为30°利用数量积公式建立关于引入的参数的方程即可，若求得的参数符合题意，则说明存在，否则说明不存在．【解答】解：如图分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D ﹣xyz，由已知得D（0，0，0）、A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）、B1（2，2，2）、D1（0，0，2）、E（1，0，2）、F（0，2，1）．（I）取AD1中点G，则G（1，0，1），=（1，﹣2，1），又=（﹣1，2，﹣1），由，∴与共线．从而EF∥CG，∵CG⊂平面ACD1，EF⊄平面ACD1，∴EF∥平面ACD1．（6分）（II）∵=（0，2，0）∴=（III）假设满足条件的点P存在，可设点P（2，2，t），（0＜t≤2），=（0，2，t），=（﹣2，2，0）平面ACP的一个法向量为则∴取=（1，1，），易知平面ABC的一个法向量=（0，0，2）依题意知∴|cos|==解得t=∈（0，2）∴在棱BB1上存在一点P，当BP的长为时，二面角P﹣AC﹣B的大小为30°【点评】本题考查用向量法证明线面平行，求异面直线所成的角以及二面角，用向量方法解决立体几何中的位置关系、夹角及距离问题是空间向量的一个重要运用，学习时注意总结向量法解立体几何题的规律，此方法也是近几年高考比较热的一个考点．19．如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC．（Ⅰ）求证：AM⊥平面EBC；（Ⅱ）求直线AB与平面EBC所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角A﹣EB﹣C的大小．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）要证AM⊥平面EBC，关键是寻找线线垂直，利用四边形ACDE是正方形，可得AM⊥EC．利用平面ACDE⊥平面ABC，BC⊥AC，可得BC⊥平面EAC，从而有BC⊥AM．故可证（Ⅱ）要求直线AB与平面EBC所成的角，连接BM，根据AM⊥平面EBC，可知∠ABM是直线AB与平面EBC所成的角，故可求．（Ⅲ）先最初二面角A﹣EB﹣C的平面角．再在Rt△EAB中，利用AH⊥EB，有AE•AB=EB•AH．由（Ⅱ）所设EA=AC=BC=2a可得，，∴．从而可求二面角A﹣EB﹣C的平面角．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵四边形ACDE是正方形，∴EA⊥AC，AM⊥EC．…（1分）∵平面ACDE⊥平面ABC，又∵BC⊥AC，∴BC⊥平面EAC．…（3分）∵AM⊂平面EAC，∴BC⊥AM．…（4分）∴AM⊥平面EBC．（Ⅱ）连接BM，∵AM⊥平面EBC，∴∠ABM是直线AB与平面EBC所成的角．…（5分）设EA=AC=BC=2a，则，，…（6分）∴，∴∠ABM=30°．即直线AB与平面EBC所成的角为30°．…（8分）（Ⅲ）过A作AH⊥EB于H，连接HM．…（9分）∵AM⊥平面EBC，∴AM⊥EB．∴EB⊥平面AHM．∴∠AHM是二面角A﹣EB﹣C的平面角．…（10分）∵平面ACDE⊥平面ABC，∴EA⊥平面ABC．∴EA⊥AB．在Rt△EAB中，AH⊥EB，有AE•AB=EB•AH．由（Ⅱ）所设EA=AC=BC=2a可得，，∴．…（12分）∴．∴∠AHM=60°．∴二面角A﹣EB﹣C等于60°．…（14分）【点评】本题以面面垂直为载体，考查线面垂直，考查线面角，面面角，关键是作、证、求．20．（学法反思总结题）结合平时学习体会，请回答以下问题：（1）你认为求二面角常用的方法有哪些？请按应用的重要程度写出3种，并就其中一种方法谈谈它的应用条件；（2）在解决数学题目时会经常遇到陌生难题，对这些陌生难题的解决往往不知所措，实际上对这些陌生难题的解决方法往往都是通过分析将其转化成为若干常见的基本问题加以解决，也就是我们教师常说的：所谓的难题都是由若干基本题拼凑而成的．请你结合对立体几何问题的解决体会，谈谈对于一个陌生的立体几何难题经常采取哪些策略方法可将其转化为若干常见问题的，要求写出3种策略．【考点】类比推理．【专题】综合题；阅读型；转化思想；综合法．【分析】（1）求二面角常用的方法有一般有3种，定义法，三垂线定理法，垂面法等；（2）降维法，函数与方程，向量法等．【解答】解：（1）求二面角常用的方法有一般有3种，定义法，三垂线定理法，垂面法等定义法：平面α与平面β，交线l，空间中一点P1）P在平面α内，但不在交线l上过P做平面β的垂线，垂足为H，过H作l的垂线，垂足为A，连接AP，角PAH即为二面角的平面角2）P在交线l上过P在平面α、β内分别作垂直于l的射线PA、PB，角APB即为二面角的平面角3）P在两平面外过P做平面β的垂线，垂足为H，过H作l的垂线，垂足为A，过A在平面α内作l的垂线AB，则角BAH即为二面角的平面角；（2）降维法，函数与方程，向量法等．【点评】本题考查数学概念与方法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．提高题（共14分）21．设F1，F2分别是椭圆C：的左、右焦点，椭圆C上一点，过左焦点垂直x轴与椭圆相交所得弦长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点E（1，0）的直线与该椭圆交于P、Q两点，且|EP|=2|EQ|，求此直线的方程；（3）斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，O是原点，当△OAB面积最大时，求直线l 的方程；（4）若P是椭圆C上任意一点，⊙M是以PF2为直径的圆，求证：⊙M总与定圆x2+y2=a2相切．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由椭圆C上一点，过左焦点垂直x轴与椭圆相交所得弦长为2，建立方程，求出a，b，即可求椭圆C的方程；（2）设直线方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，利用韦达定理，结合|EP|=2|EQ|，求出k，即可求此直线的方程；（3）设直线l方程为y=x+m，代入椭圆方程，求出|AB|，点O到直线l的距离，表示出面积，即可求出当△OAB面积最大时，直线l的方程；（4）证明圆心距等于半径的差即可．【解答】（1）解：由题意=2，∵椭圆C上一点，∴+=1，∴a=2，b2=2∴椭圆C的方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）解：设直线方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，∵|EP|=2|EQ|，∴2﹣x P=2（2﹣x Q），∴2x Q﹣x P=2①，∵x Q+x P=②，x Q x P=③，由①②③得，∴直线的方程为y=±（x﹣1）…（7分）（3）解：设直线l方程为y=x+m，A（x1，y1），B（x2，y2）由，得3x2+4mx+2m2﹣4=0△=16m2﹣4×3×（2m2﹣4）＞0，解得，，，点O到直线l的距离为∴当m2=3＜6时，S△AOB有最大值，此时∴所求直线l的方程为．﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（4）证明：设P（x 0，y0），∵，∴M点坐标为∴圆心距，⊙M的半径∴⊙M总与定圆x2+y2=a2相内切．﹣﹣﹣﹣﹣﹣14【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．。
天津市六校联考2015-2016年高二上期末数学试卷(理)(有答案)AwwMMK
2015-2016学年天津市六校联考高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知直线ax+y+2=0的倾斜角为π，则该直线的纵截距等于（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣22．f（x）=x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1]上的最大值是（）A．﹣2 B．0 C．2 D．43．下列命题错误的是（）A．“若x≠a且x≠b，则x2﹣（a+b）x+ab≠0”的否命题是“若x=a或x=b，则x2﹣（a+b）x+ab=0”B．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题C．命题“∃x0∈（0，+∞）lnx0=x0﹣1”的否定是“∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1D．“x＞2”是“＜”的充分不必要条件4．已知函数y=的图象如图所示（其中f′（x）是定义域为R函数f（x）的导函数），则以下说法错误的是（）A．f′（1）=f′（﹣1）=0B．当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值C．方程xf′（x）=0与f（x）=0均有三个实数根D．当x=1时，函数f（x）取得极小值5．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α D．n⊥α，n⊥β，m⊥α6．已知圆x2+y2+2x﹣2y+2a=0截直线x+y+2=0所得弦长为4，则实数a的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣47．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，若∠F1PQ=60°，|PF1|=|PQ|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8．抛物线y2=2px与直线2x+y+a=0交于A，B两点，其中A（1，2），设抛物线焦点为F，则|FA|+|FB|的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题（每小题5分，共30分，将答案写在答题纸上）9．已知直线l1：x﹣3y+1=0，l2：2x+my﹣1=0．若l1∥l2，则实数m=．10．用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积是．11．图中的三个直角三角形是一个体积为20cm的几何体的三视图，该几何体的外接球表面积为cm212．已知函数f（x）=x3+bx（x∈R）在[﹣1，1]上是减函数，则b的取值范围是．13．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=225相切，双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点是该抛物线的焦点，则双曲线实轴长．14．给出下列命题：①函数f（x）=x3+ax2+ax﹣a既有极大值又有极小值，则a＜0或a＞3；②若f（x）=（x2﹣8）e x，则f（x）的单调递减区间为（﹣4，2）；③过点A（a，a）可作圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的两条切线，则实数a的取值范围为a＜﹣3或a＞1；④双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为e1，双曲线=1的离心率为e2，则e1+e2的最小值为2．其中为真命题的序号是．三、解答题（共80分）15．命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A，B两点；命题q：曲线﹣=1表示焦点在y轴上的双曲线，若p∧q为真命题，求实数k的取值范围．16．已知圆N经过点A（3，1），B（﹣1，3），且它的圆心在直线3x﹣y﹣2=0上．（Ⅰ）求圆N的方程；（Ⅱ）求圆N关于直线x﹣y+3=0对称的圆的方程．（Ⅲ）若点D为圆N上任意一点，且点C（3，0），求线段CD的中点M的轨迹方程．17．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E为PD的中点．（Ⅰ）求证：CE∥面PAB（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PDC（Ⅲ）求直线EC与平面PAC所成角的余弦值．18．已知函数f（x）=ax3+bx（x∈R），g（x）=f（x）+3x﹣x2﹣3，t（x）=+lnx（Ⅰ）若函数f（x）的图象在点x=3处的切线与直线24x﹣y+1=0平行，且函数f（x）在x=1处取得极值，求函数f（x）的解析式，并确定f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，如果对于任意的x1，x2∈[，2]，都有x1t（x1）≥g（x2）成立，试求实数c的取值范围．19．给定椭圆C：=1（a＞b＞0），称圆x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点，与其“伴随圆”交于C，D两点，当|CD|=时，求△AOB面积的最大值．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax在x=2处的切线l与直线x+2y﹣3=0平行．（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）+m=2x﹣x2在上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（3）记函数g（x）=f（x）+﹣bx，设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，且g（x1）﹣g（x2）≥k恒成立，求实数k的最大值．2015-2016学年天津市六校联考高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知直线ax+y+2=0的倾斜角为π，则该直线的纵截距等于（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题；数形结合；转化思想；直线与圆．【分析】直线ax+y+2=0的倾斜角为π，可得=﹣a，解得a．再利用斜截式即可得出．【解答】解：∵直线ax+y+2=0的倾斜角为π，∴=﹣a，解得a=1．∴直线化为：y=﹣x﹣2，∴该直线的纵截距等于﹣2．故选：D．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系、斜截式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．f（x）=x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1]上的最大值是（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点和区间端点值代入已知函数，判断函数在区间上的增减性，比较函数值的大小，求出最大值，从而求解．【解答】解：f'（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），令f'（x）=0可得x=0或2（2舍去），当﹣1＜x＜0时，f'（x）＞0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，∴当x=0时，f（x）取得最大值为f（0）=2．故选C【点评】此题考查导数的定义及利用导数来求闭区间函数的最值，解题的关键是求导要精确．3．下列命题错误的是（）A．“若x≠a且x≠b，则x2﹣（a+b）x+ab≠0”的否命题是“若x=a或x=b，则x2﹣（a+b）x+ab=0”B．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题C．命题“∃x0∈（0，+∞）lnx0=x0﹣1”的否定是“∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1D．“x＞2”是“＜”的充分不必要条件【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】A．根据否命题的定义进行判断．B．根据复合命题的真假关系进行判断．C．根据含有量词的命题的否定进行判断．D．根据充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：A．“若x≠a且x≠b，则x2﹣（a+b）x+ab≠0”的否命题是“若x=a或x=b，则x2﹣（a+b）x+ab=0”，正确，B．若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故B错误，C．命题“∃x0∈（0，+∞）lnx0=x0﹣1”的否定是“∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，正确，D．由＜得x＞2或x＜0，即“x＞2”是“＜”的充分不必要条件，正确，故选：B【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，但难度不大．4．已知函数y=的图象如图所示（其中f′（x）是定义域为R函数f（x）的导函数），则以下说法错误的是（）A．f′（1）=f′（﹣1）=0B．当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值C．方程xf′（x）=0与f（x）=0均有三个实数根D．当x=1时，函数f（x）取得极小值【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象；导数的运算．【专题】导数的综合应用．【分析】根据函数单调性和导数之间的关系，分别进行判断即可．【解答】解：A．由图象可知x=1或﹣1时，f′（1）=f′（﹣1）=0成立．B．当x＜﹣1时，＜0，此时f′（x）＞0，当﹣1＜x＜0时，＞0，此时f′（x）＜0，故当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值，成立．C．方程xf′（x）=0等价为，故xf′（x）=0有两个，故C错误．D．当0＜x＜1时，＜0，此时f′（x）＜0，当x＞1时，＞0，此时f′（x）＞0，故当x=1时，函数f（x）取得极小值，成立．故选：C【点评】本题主要考查导数的应用，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．5．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α D．n⊥α，n⊥β，m⊥α【考点】直线与平面垂直的判定．【专题】证明题；转化思想．【分析】根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确，根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项D正确．【解答】解：α⊥β，α∩β=l，m⊥l，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；n⊥α，n⊥β，⇒α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故正确故选D【点评】本小题主要考查空间线面关系、面面关系以及充分条件的判定等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，属于基础题．6．已知圆x2+y2+2x﹣2y+2a=0截直线x+y+2=0所得弦长为4，则实数a的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+2a=0 即（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣2a，故弦心距d==．再由弦长公式可得2﹣2a=2+4，∴a=﹣2故选：B．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．7．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，若∠F1PQ=60°，|PF1|=|PQ|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设|PF1|=t，则由∠F1PQ=60°，|PF1|=|PQ|，推出PQ|=t，|F1Q|=t，且F2为PQ的中点，根据椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a用t表示，根据等边三角形的高，求出2c用t表示，再由椭圆的离心率公式e=，即可得到答案．【解答】解：设|PF1|=t，∵|PF1|=|PQ|，∠F1PQ=60°，∴|PQ|=t，|F1Q|=t，由△F1PQ为等边三角形，得|F1P|=|F1Q|，由对称性可知，PQ垂直于x轴，F2为PQ的中点，|PF2|=，∴|F1F2|=，即2c=，由椭圆定义：|PF1|+|PF2|=2a，即2a=t=t，∴椭圆的离心率为：e===．故选D．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，离心率的求法，考查了学生对椭圆定义的理解和运用．8．抛物线y2=2px与直线2x+y+a=0交于A，B两点，其中A（1，2），设抛物线焦点为F，则|FA|+|FB|的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】把点A（1，2）代入直线2x+y+a=0，可得a=﹣4．把点A（1，2）代入抛物线y2=2px可得4=2p，解得p=2．把直线与抛物线方程联立，利用焦点弦长公式即可得出．【解答】解：把点A（1，2）代入直线2x+y+a=0，可得2+2+a=0，解得a=﹣4．把点A（1，2）代入抛物线y2=2px可得4=2p，解得p=2．联立直线与抛物线，化为：x2﹣5x+4=0，解得x=1或4，∴|FA|+|FB|=1+4+2=7．故选：D．【点评】本题考查了直线与抛物线相交问题、焦点弦长公式，考查了计算能力，属于基础题．二、填空题（每小题5分，共30分，将答案写在答题纸上）9．已知直线l1：x﹣3y+1=0，l2：2x+my﹣1=0．若l1∥l2，则实数m=﹣6．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】计算题．【分析】求出已知直线的斜率，利用两条直线的平行斜率相等，求出m的值即可．【解答】解：直线l1：x﹣3y+1=0的斜率为：，因为直线l1：x﹣3y+1=0，l2：2x+my﹣1=0．l1∥l2，所以=，解得m=﹣6；故答案为：﹣6．【点评】不考查直线与直线平行的充要条件的应用，考查计算能力．10．用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积是．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】转化思想；综合法；立体几何．【分析】根据圆锥底面的周长等于半圆的弧长，求得圆锥底面的半径，可得圆锥的高，从而求得此圆锥的体积．【解答】解：设圆锥底面的半径为r，由题意可得圆锥的母线长为6，再根据圆锥底面的周长等于半圆的弧长，可得2πr=2π6，求得r=3，故圆锥的高为h==3，故此圆锥的体积是πr2h=π93=9π，故答案为：9π．【点评】本题主要考查旋转体的侧面展开图问题，注意利用圆锥底面的周长等于半圆的弧长，属于基础题．11．图中的三个直角三角形是一个体积为20cm的几何体的三视图，该几何体的外接球表面积为77πcm2【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】作出直观图，求出棱锥的体积，根据棱锥的结构特征作出球心位置计算半径．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，作出其直观图三棱锥A﹣BCD．由三视图可知AB⊥平面BCD，BC⊥BD，BD=5，BC=6，AB=h，∴三棱锥的体积V=×=20，∴AB=4．取AC，BC，CD的中点E，F，G连结EF，FG，过G作GH⊥平面BCD，GH=AB=2，连结EH，则H为三棱锥外接球的球心．∵CD==，∴CG==．∴CH==．∴外接球的面积S=4πCH2=77π．故答案为77π．【点评】本题考查了三棱锥的结构特征，多面体与外接球的计算，寻找外接球球心是关键．12．已知函数f（x）=x3+bx（x∈R）在[﹣1，1]上是减函数，则b的取值范围是（﹣∞，﹣3]．【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】求导数f′（x）=3x2+b，根据题意便有f′（x）≤0在[﹣1，1]上恒成立，从而得到b≤﹣3x2在[﹣1，1]上恒成立，容易求出函数y=﹣3x2在[﹣1，1]上的最小值，从而便可得出b的取值范围．【解答】解：f′（x）=3x2+b；f（x）在[﹣1，1]上是减函数；∴f′（x）≤0在[﹣1，1]上恒成立；∴3x2+b≤0，即b≤﹣3x2在[﹣1，1]上恒成立；y=﹣3x2在[﹣1，1]上的最小值为﹣3；∴b≤﹣3；∴b的取值范围为（﹣∞，﹣3]．故答案为：（﹣∞，﹣3]．【点评】考查函数导数符号和函数单调性的关系，以及二次函数在闭区间上的最值的求法．13．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=225相切，双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点是该抛物线的焦点，则双曲线实轴长12．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程，利用抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=225相切，可得p，利用双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点是该抛物线的焦点，=，a2+b2=144，即可求出双曲线实轴长．【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=225相切，∴3+=15，∴p=24，∵双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点是该抛物线的焦点，∴=，a2+b2=144，∴a=6，b=6，∴2a=12，∴双曲线实轴长为12．故答案为：12．【点评】本题考查双曲线实轴长，考查双曲线、抛物线的性质，属于中档题．14．给出下列命题：①函数f（x）=x3+ax2+ax﹣a既有极大值又有极小值，则a＜0或a＞3；②若f（x）=（x2﹣8）e x，则f（x）的单调递减区间为（﹣4，2）；③过点A（a，a）可作圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的两条切线，则实数a的取值范围为a＜﹣3或a＞1；④双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为e1，双曲线=1的离心率为e2，则e1+e2的最小值为2．其中为真命题的序号是①②④．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；转化法；简易逻辑．【分析】①根据函数极值和导数之间的关系进行判断．②令f′（x）=（x+4）（x﹣2）e x＜0，解得即可得出f（x）的单调递减区间；③根据点与圆的位置关系进行判断．④由于e1+e2=+=≥即可判断出．【解答】解：①∵f（x）=x3+ax2+ax﹣a，∴f′（x）=3x2+2ax+a若函数f（x）=x3+ax2+ax﹣a既有极大值又有极小值∴△=（2a）2﹣4×3×a＞0，∴a＞3或a＜0，故①正确，②若f（x）=（x2﹣8）e x，则f′（x）=（x2+2x﹣8）e x，由f′（x）＜0，得x2+2x﹣8＜0．即﹣4＜x＜2，即f（x）的单调递减区间为（﹣4，2）；故②正确，③过点A（a，a）可作圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的两条切线，则点A在圆的外部，圆的标准方程为（x﹣a）2+y2=3﹣2a，可得圆心P坐标为（a，0），半径r=，且3﹣2a＞0，即a＜，∵点A在圆外，是|AP|=＞r=，即有a2＞3﹣2a，整理得：a2+2a﹣3＞0，即（a+3）（a﹣1）＞0，解得：a＜﹣3或a＞1，又a＜，可得a＜﹣3或1＜a＜，故③错误；④双曲线=1的离心率为e1，双曲线=1的离心率为e2，则e1+e2=+=≥=2，当且仅当a=b时取等号．其最小值为2，正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查了命题的真假判断，涉及利用导数研究函数的单调性极值、圆锥曲线的标准方程及其性质，点与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，涉及的指数点交点，综合性较强．三、解答题（共80分）15．命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A，B两点；命题q：曲线﹣=1表示焦点在y轴上的双曲线，若p∧q为真命题，求实数k的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑．【分析】命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A，B两点，可得圆心到直线的距离，解得k范围．命题q：曲线﹣=1表示焦在y轴上的双曲线，可得，解得k范围．由于p∧q为真命题，可得p，q均为真命题，即可得出．【解答】解：∵命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A，B两点，∴圆心到直线的距离，∴，（5分）∵命题q：曲线﹣=1表示焦在y轴上的双曲线，∴，解得k＜0，（10分）∵p∧q为真命题，∴p，q均为真命题，∴，解得k＜﹣2．（13分）【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、双曲线的标准方程及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．已知圆N经过点A（3，1），B（﹣1，3），且它的圆心在直线3x﹣y﹣2=0上．（Ⅰ）求圆N的方程；（Ⅱ）求圆N关于直线x﹣y+3=0对称的圆的方程．（Ⅲ）若点D为圆N上任意一点，且点C（3，0），求线段CD的中点M的轨迹方程．【考点】轨迹方程；直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；（Ⅱ）求出N（2，4）关于x﹣y+3=0的对称点为（1，5），即可得到圆N关于直线x﹣y+3=0对称的圆的方程；（Ⅲ）首先设出点M的坐标，利用中点得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知可设圆心N（a，3a﹣2），又由已知得|NA|=|NB|，从而有，解得：a=2．于是圆N的圆心N（2，4），半径．所以，圆N的方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=10．（5分）（Ⅱ）N（2，4）关于x﹣y+3=0的对称点为（1，5），所以圆N关于直线x﹣y+3=0对称的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣5）2=10（9分）（Ⅲ）设M（x，y），D（x1，y1），则由C（3，0）及M为线段CD的中点得：，解得：．又点D在圆N：（x﹣2）2+（y﹣4）2=10上，所以有（2x﹣3﹣2）2+（2y﹣4）2=10，化简得：．故所求的轨迹方程为．（13分）【点评】本题考查圆的方程，考查参数法，圆的方程一般采用待定系数法，属于中档题．17．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E为PD的中点．（Ⅰ）求证：CE∥面PAB（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PDC（Ⅲ）求直线EC与平面PAC所成角的余弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题；转化思想；分析法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）根据中位线定理求证出四边形MEBC为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明；（Ⅱ）先证明线面垂直，再到面面垂直；（Ⅲ）找到∠ECF为直线EC与平面PAC所成的角，再解三角形即可．【解答】证明：（Ⅰ）取PA的中点M，连接BM，ME∥AD且，BC∥AD且，∴ME∥BC且ME=BC，∴四边形MEBC为平行四边形，…（2分）∴平面BME∥CE，CE⊄面PAB，BM⊄面PAB，∴CE∥面PAB…（4分）（Ⅱ）：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DC，…（5分）又AC2+CD2=2+2=AD2，∴DC⊥AC，…（7分）∵AC∩PA=A，∴DC⊥平面PAC…（8分）又DC⊂平面PDC，所以平面PAC⊥平面PDC…（9分）（Ⅲ）取PC中点F，则EF∥DC，由（Ⅱ）知DC⊥平面PAC，则EF⊥平面PAC，所以∠ECF为直线EC与平面PAC所成的角，…（11分）CF=PC=，EF=，…（12分）∴，即直线EC与平面PAC所成角的正切值为．…（13分）【点评】本题主要考查空间角，线面平行，线面垂直，面面垂直的定义，性质、判定，考查了空间想象能力、计算能力，分析解决问题能力．空间问题平面化是解决空间几何体问题最主要的思想方法．18．已知函数f（x）=ax3+bx（x∈R），g（x）=f（x）+3x﹣x2﹣3，t（x）=+lnx（Ⅰ）若函数f（x）的图象在点x=3处的切线与直线24x﹣y+1=0平行，且函数f（x）在x=1处取得极值，求函数f（x）的解析式，并确定f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，如果对于任意的x1，x2∈[，2]，都有x1t（x1）≥g（x2）成立，试求实数c的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）求得函数的导数，求得切线的斜率和两直线平行的条件，可得f′（3）=27a+b=24，且f′（1）=3a+b=0，解方程可得a，b，令导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）求出g（x）的导数，求得单调区间和极值、最值，依题意，只需当时，xt（x）≥1恒成立，即恒成立，亦即c≥x﹣x2lnx；令，求出导数，求得单调区间和最大值，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=ax3+bx的导数f′（x）=3ax2+b，又函数f（x）的图象在点x=3处的切线与直线24x﹣y+1=0平行，且函数f（x）在x=1处取得极值，可得f′（3）=27a+b=24，且f′（1）=3a+b=0，解得a=1，b=﹣3，即有f（x）=x3﹣3x（x∈R）；令f′（x）=3x2﹣3≤0得：﹣1≤x≤1，所以函数的单调递减区间为[﹣1，1]；（Ⅱ）g′（x）=3x2﹣2x=3x（x﹣），，可见，当x∈[，2]时，g′（x）≥0，g（x）在区间[，2]单调递增，当x∈[，]时，g'（x）≤0，g（x）在区间[，]单调递减，而g（）=﹣＜g（2）=1，所以，g（x）在区间上的最大值是1．依题意，只需当时，xt（x）≥1恒成立，即恒成立，亦即c≥x﹣x2lnx；令，则h'（x）=1﹣x﹣2xlnx，显然h'（1）=0，当时，1﹣x＞0，xlnx＜0，h′（x）＞0，即h（x）在区间[，1]上单调递增；当x∈（1，2]时，1﹣x＜0，xlnx＞0，h'（x）＜0，（1，2]上单调递减；所以，当x=1时，函数h（x）取得最大值h（1）=1，故c≥1，即实数c的取值范围是[1，+∞）．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造法，求得最值，考查运算能力，属于中档题．19．给定椭圆C：=1（a＞b＞0），称圆x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点，与其“伴随圆”交于C，D两点，当|CD|=时，求△AOB面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）由题意得，根据离心率公式以及b=1，知a2=3，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）分类讨论，当CD⊥x轴时，当CD与x轴不垂直时，设直线CD的方程为y=kx+m，则韦达定理以及弦长公式和基本不等式求出弦长的最大值，由此能求出△AOB的面积取最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，e2==1﹣=，又∵b=1，∴a2=3，∴椭圆C的方程为+y2=1，（Ⅱ）“伴随圆”的方程为x2+y2=4，①当CD⊥x轴时，由|CD|=，得|AB|=．②当CD与x轴不垂直时，由|CD|=，得圆心O到CD的距离为．设直线CD的方程为y=kx+m，则由=，得m2=（k2+1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0．∴x1+x2=，x1x2=．当k≠0时，|AB|2=（1+k2）（x1﹣x2）2，=（1+k2）[﹣]，=，=3+，=3+，≤3+=4，当且仅当9k2=，即k=±时等号成立，此时|AB|=2．当k=0时，|AB|=，综上所述：|AB|max=2，此时△AOB的面积取最大值S=|AB|max×=．【点评】本题考查椭圆和“伴随圆”的方程，考查三角形面积最大值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化20．已知函数f（x）=lnx﹣ax在x=2处的切线l与直线x+2y﹣3=0平行．（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）+m=2x﹣x2在上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（3）记函数g（x）=f（x）+﹣bx，设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，且g（x1）﹣g（x2）≥k恒成立，求实数k的最大值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可求实数a的值；（2）将f（x）+m=2x﹣x2在上恰有两个不相等的实数根，进行转化，利用参数分离法，构造函数的导数，利用导数求出函数的极值即可，求实数m的取值范围；（3）求函数的导数，根据函数极值之间的关系即可证明不等式．【解答】解：（1）…（2分）∵函数在x=2处的切线l与直线x+2y﹣3=0平行，∴，解得a=1；…（4分）（2）由（1）得f（x）=lnx﹣x，∴f（x）+m=2x﹣x2，即x2﹣3x+lnx+m=0，设h（x）=x2﹣3x+lnx+m，（x＞0）则h′（x）=2x﹣3+=，令h′（x）=0，得x1=，x2=1，列表得：x （，1） 1 （1，2） 2h′（x）0 ﹣0 +h（x）极大值极小值m﹣2+ln2∴当x=1时，h（x）的极小值为h（1）=m﹣2，又h（）=m﹣，h（2）=m﹣2+ln2，…（7分）∵方程f（x）+m=2x﹣x2在上恰有两个不相等的实数根，∴，即，解得≤m＜2；（也可分离变量解）…（10分）（3）∵g（x）=lnx+，∴g′（x）=，由g′（x）=0得x2﹣（b+1）x+1=0∴x1+x2=b+1，x1x2=1，∴，∵，∴解得：…（12分）∴g（x1）﹣g（x2）==，设，则∴F（x）在上单调递减；…（14分）∴当时，，∴k≤，∴k的最大值为．…（16分）【点评】本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，利用函数的极值，最值和导数之间是关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．。
天津市静海一中2015届高三数学上学期期末考试试题 理
静海一中2014-2015第一学期高三数学(理)期末终结性检测试卷考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷基础题（122分）和第Ⅱ卷提高题（28分）两部分，共150分。
2. 试卷书写规范工整，卷面整洁清楚，酌情加减1-2分，并计入总分。
第I 卷 基础题（共122分）一、选择题（每题5分，共40分）1. 设i 是虚数单位，复数5(2)2i i z i+=-,其共轭复数z 的虚部是（ ）A ．35B ．35iC ．－35D ．35i -2. 若变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤112y y x x y ，则2x y +的最小值是（ ）A．25-B.0C. 35D. 253. 若732)2(aa -的展开式中3a 项的系数为（ ）A ． 14B ．-14C ．280D ．-280 4. 已知某几何体的三视图如图，其中正(主)视图中 半圆半径为1，则该几何体体积为 ( )A ．242π-B ．243π-C ．24π-D ．3242π-5. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则( )A ．4a =B ．5a =C ．6a =D ．7a =6.已知抛物线)0(22>=p px y 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线交于一点 ),1(m M ，点M 到抛物线焦点的距离为3， 则双曲线的离心率等于( ) A. 3 B. 4 C. 31 D. 41 7.设b a log 是一个整数，且2log log 1log a b bb a a >> 给出下列四个结论 ①21a b b>>；②0log log =+a b b a ；③10<<<b a ；④01=-ab ． 其中正确结论的个数是A ．1 B.2 C.3D.48.在平面上，1AB uuu r ⊥2AB uuu r ，|1OB uuu r |＝|2OB uuu r |＝1，AP uu u r ＝1AB uuu r ＋2AB uuu r .若|OP uu u r |＜12，则|OA uu r|的取值范围是( )A ．⎛ ⎝⎦B ．⎝⎦C ．⎝D ．⎝ 二、填空题：（每题5分，共30分）9. 为了了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生800名、600名、500名，若高三学生共抽取25名，则高一学生共抽取__________名10.集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=011x x xA ，{}a b x x B <-=，若“1=a ”是“∅≠⋂B A ”的充分条件， 则b 的取值范围是 . 11.若实数0,0,2>>=+b a b a ，则baa +1的最小值为__________.P 12.已知直线l的参数方程()为参数ttytx⎩⎨⎧-==12和圆C的极坐标方程⎪⎭⎫⎝⎛π+θ=ρ4cos22，则直线l与圆C相交所得的弦长为13. 如图已知PA切⊙O于点A，D为PA的中点，过点D引割线交⊙O于B、C两点．2=PD,3=PB，23=DB,则=PC．14.已知函数2|54|,0()3|2|,0x x xf xx x⎧++≤=⎨->⎩若函数()||y f x a x=-恰有4个零点，则实数a的取值范围为_________.三、解答题：15.（13分）已知函数21cos6cos(sin)(2-+-⋅=xxxxfπ（1）（4分）求函数)(xf的最大值，并写出)(xf取最大值x时的取值集合；（2）（4分）若]2,6[,2011)(ππ∈=xxf，求2cos x的值；（3）（5分）在ABC∆中，角CBA、、的对边分别为cba,,，若3,21)(=+=cbAf，求a的最小值.16.（13分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,]495，（495,]500，……（510,]515，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．（1）（3分）根据频率分布直方图，求重量不超过500克的产品数量；（2）（7分）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量不超过500克的产品数量，求Y 的分布列及期望；（3）（3分）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量不超过500克的概率．17. （13分）如图, ABCD 是边长为3的正方形，ABCD DE 平面⊥，DE A F//，AF DE 3=，BE 与平面ABCD 所成角为060.(1) （4分）求证：BDE AC 平面⊥； (2) （5分）求二面角D BE F --的余弦值； （3）（4分）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得BEF AM 平面//，并证明你的结论. 18. (13分）已知椭圆C 的中心在原点，离心率等于21，它的一个短轴端点点恰好是抛物线 2243x y =的焦点. （1）（3分）求椭圆C 的方程；（2）已知(2,3)P 、(2,3)Q -是椭圆上的两点，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点.①（4分）若直线AB 的斜率为21，求四边形APBQ 面积的最大值； ②（6分）当A ，B 运动时，满足直线PA 、PB 与X 轴始终围成一个等腰三角形，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由.第Ⅱ卷提高题（共28分）19. （14分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1n n a S +=*()n N ∈.（1）（4分）求数列{}n a 的通项公式；（2）（4分）设1n nc a =，数列{}n b 满足11122(21)22n n n b c b c b c n ++++=-+L ，求数列{}n b 的通项公式；（3）（6分）设11n n d a =-，求证：12231123n n d d d n d d d ++++>-L . 20.（14分）设函数bx ax x x f --=221ln )((1) （4分）当21==b a 时，求函数)(x f 的最大值； (2) （4分）令)30(,21)()(2≤<+++=x xabx ax x f x F ， 其图象上任意一点),(00y x P 处切线的斜率21≤k 恒成立，求实数a 的取值范围； (3) （6分）当1,0-==b a ，方程2)(2x x mf =有唯一实数解，求正数m 的值.静海一中2014-2015第一学期高三数学(理)第Ⅰ卷基础题（共122分）一、选择题（每题5分，共40分）二、填空题（每题5分，共30分）9. ___ 10. 11.12. 13. 14.三、解答题（本大题共4题，共52分）15.（13分）16.（13分）17（13分）18.（13分）第Ⅱ卷提高题（共28分）19.（14分）20.（14分）答案：9、40 10 、(-2,2) 11、5302 13、4 14、(1,3) 15解：(Ⅰ).∴函数的最大值为.当取最大值时,解得.故的取值集合为.(2)略(3)由题意,化简得,, ∴, ∴在中,根据余弦定理,得.由,知,即. ∴当时,取最小值.16.解：（1）重量不超过500克的产品数量是40×（0.05×5+0.01×5）=12件；（2）Y的所有可能取值为0，1，2；，，Y的分布列为78；EY=130（3）0.308717. 如图, 是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为.(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求二面角的余弦值；（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论.9、(Ⅰ)证明：因为平面，所以. ……………………2分因为是正方形，所以，从而平面. ……………………4分(Ⅱ)解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示.因为与平面所成角为，即，……5分所以.由可知，. ………6分则，，，，，所以，，………7分设平面的法向量为，则，即，令，则.…………………8分因为平面，所以为平面的法向量，，所以. …………………9分因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.………………10分(Ⅲ)解：点是线段上一个动点，设.则，因为平面，所以，…………………11分即，解得. (12)分此时，点坐标为，，符合题意. …………………13分 18. (13分）已知椭圆C 的中心在原点，离心率 等于21，它的一个短轴端点点恰好是抛物线 2243x y =的焦点. （1）（4分）求椭圆C 的方程；（2）已知(2,3)P 、(2,3)Q -是椭圆上的两点，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点.①（4分）若直线AB 的斜率为21，求四边形APBQ 面积的最大值；②（6分）当A，B运动时，满足直线PA、PB与X轴始终围成一个等腰三角形，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.（1）设C方程为（a＞b＞0），则。
天津市六校(静海一中、杨村一中、宝坻一中等)高二数学上学期期末联考试题理(new)
（19）（本小题满分14分）
已知椭圆 ： 过点 ,其上顶点 与左右焦点 构成等腰三角形，且 。
(Ⅰ）求椭圆 的方程；
(Ⅱ)以点 为焦点的抛物线 ： 上有一动点 ,抛物线 在点 处的切线 与椭圆 交于 两点,线段 的中点为 ,直线 ( 为坐标原点）与过点 且垂直于 轴的直线交于点 ,问：当 时，
设 ，又 ,故 ，
由 平面 得 即
解得 ，此时 ， 。
故在 上存在点中点 ，使得 平面 , .
方法3:假设在线段 上存在点 ,使得 平面 。显然应有 .于是连接 ， 是等腰三角形， 应是其底边 的高线，故点 是 的中点。
此时，取线段 的中点 ， ，连接 ，得四边形 ，可证它是平行四边形。所以 .利用证明 的思路，可证 ，于是 ．这样就有 平面 ． ．
②双曲线 与 的离心率分别是 ,则 是定值
③过抛物线 的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是 ,则直线 过定点
其中正确的命题有（ ）．
（A）0个（B）1个（C）2个(D）3个
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题纸相应位置上．
（9）两条平行线 与 间的距离为______．
所以椭圆 的长轴 ，短轴 ，离心率 ，
左焦点 . …………………………5分
（Ⅱ）设直线 方程 ，由方程组 消去 ，整理得
. ……………………………………6分
设 ，
则 ， 。 ……………………………8分
又因为 ,且已知 ，
所以 ．
整理化简后得 ．
解得 , ， ……………………………11分
所以直线 的方程： 或 ．
即 或 ．…………………………………………13分
天津市静海县一中2015-2016学年高二12月学生学业能力调研考试数学试卷(理)
静海一中2015-2016第一学期高二数学（理12月）学生学业能力调研卷考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷基础题（106分）和第Ⅱ卷提高题（14分）两部分，共120分。
2. 试卷书写规范工整，卷面整洁清楚，酌情减3-5分，并计入总分。
第Ⅰ卷 基础题（共106分）一、选择题: （每小题4分，共24分）1. 已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )A.32π3 B ．4π C ．2π D.4π32. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为( )A.3＋ 6B.3＋ 5C.2＋ 6D. 2＋ 53. 下列四种说法中，错误．．的个数是（ ）①{0,1}A =的子集有3个；②“若22,am bm a b <<则”的逆命题为真；③“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的必要不充分条件；④命题“x R ∀∈，均有2320x x --≥”的否定是：“,x R ∃∈使得2320x x --≤”A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4. 已知点错误！未找到引用源。
(错误！未找到引用源。
)在圆错误！未找到引用源。
：x 2＋y 2＝5外，则直线错误！未找到引用源。
与圆错误！未找到引用源。
的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定5. 四边形ABCD 中，//,,45,90AD BC AD AB BCD BAD =∠=∠= ，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD -，则在三棱锥A BCD -中，下列命题正确的是 （ ）A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC6.若曲线错误！未找到引用源。
：错误！未找到引用源。
—2错误！未找到引用源。
=0与曲线错误！未找到引用源。
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有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是 （ ）（A ） (错误！未找到引用源。
天津市静海县六校2015-2016学年高二下学期期中联考数学(理)试卷
2015—2016学年度第二学期期中六校联考高二数学（理）试卷命题人： 宝坻一中 静海一中一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分） 1．已知21a ib i +=+(),a b R ∈，其中i 为虚数单位，则a b +=（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．2 D ．32．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于 （ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α3．下列推理是归纳推理的是 （ ） A.A,B 为定点,动点P 满足|PA|+|PB|=2a （2a >|AB|）,则P 点的轨迹为椭圆 B.由11,31n a a n ==-,求出123,,s s s ,猜想出数列的前n 项和n s 的表达式C.由圆222x y r +=的面积2r π,猜想出椭圆22221x y a b+=的面积s ab π=D.以上均不正确4．用数学归纳法证明：11121121231231nnn ++++=++++++++时，由n k =到1n k =+左边需要添加的项是 （ ）A ．2(2)k k + B ．1(2)k k + C ．1(1)(2)k k ++ D ．2(1)(2)k k ++5．已知复数(2)z a a i =+-（,a R i ∈为虚数单位）为实数，则)a x dx⎰的值为 （ ）A ．π+2B ．22π+C ．π24+D ．π44+ 6．设R a ∈，若函数x a x y ln +=在区间) , 1(e e有极值点，则a 取值范围为（ ）A ．) , 1(e eB ．)1 , (e e --C ．) , ()1 , (∞+-∞e e UD ．) , 1() , (∞+---∞ee U7．已知R 上可导函数()f x 的图像如右图所示， 则不等式2(23)()0x x f x '-->的解集为（ ）A.(,1)(3,)-∞-⋃+∞B.--2∞⋃（，）（1,2）C.(,1)-1,0(2,)-∞-⋃⋃+∞（）D.(,1)-1,1(3,)-∞-⋃⋃+∞（）8．已知函数)(x f y =的图像为R 上的一条连续不断的曲线，当0x ≠时，()'()0f x f x x+>，则关于x 的函数x x f x g 1)()(+=的零点的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．0或2 二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分）9．求曲线y=ln （2x-1）上的点到直线2x-y+3=0的最短距离_______．10．设△的三边长分别为△的面积为，内切圆半径为，则．类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为内切球的半径为，四面体的体积为，则＝11．若函数2(x)(x 2)(x c)f =-+在2x =处有极值，则函数(x)f 的图象在1x =处的切线的斜率为 12．设3211(x)232f x x ax =-++，若(x)f 在(23，＋∞)上存在单调递增区间，则a 的取值范围为________．13．函数2(x)2f x ax =-+与1(x)1axg x -=+ 在区间()1,2上都单调递减，则实数a 的取值范围是___________． 14．若函数x x x f -=331)(在()210,a a -上有最小值，则实数a 的取值范围为_______. 三、解答题（共6道题，共80分） 15．（本小题13分）当n N *Î时，111111234212n S n n=-+-++--，1111.1232n T n n n n=+++++++L （Ⅰ）求1212,,,S S T T ；（Ⅱ）猜想n S 与n T 的关系，并用数学归纳法证明．16. （本小题13分）已知函数3(x)x bx c f a =++在2x =处取得极值为16c - (1)求,a b 的值;(2)若(x)f 有极大值28,求(x)f 在[]3,3-上的最小值.17．（本小题13分）已知函数21(x)ln 12a f a x x +=++.（Ⅰ）当12a =-时，求(x)f 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值； （Ⅱ）当﹣1＜a ＜0时，有(x)f ＞1+ln()2aa -恒成立，求a 的取值范围．18．（本小题13分）已知函数()()21ln 1f x a x ax =+++．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设2a ≤-，证明：对任意1x ，()20,x ∈+∞，()()12124f x f x x x -≥-．19．（本小题14分）已知函数(x)x lnx f a =+.a R ∈ (1)若函数(x)f 在(]0,x e ∈上的最大值为-3；求a 的值；（2）设2(x)x 22g x =-+，若对任意()10,x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12(x )g(x )f <，求a 的取值范围。
天津静海县第六中学高二数学理测试题含解析
天津静海县第六中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 用秦九韵算法计算多项式时的值时，的值为（）A．3 B．5 C．－3 D． 2参考答案：B略2. 已知抛物线的焦点F恰为双曲线的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则双曲线的离心率为 ( ) A． B．＋1 C．2 D．2＋参考答案：B3. 点是抛物线上一点，到该抛物线焦点的距离为，则点的横坐标为( )A．2 B. 3 C. 4 D.5 参考答案：B略4. 复平面内，复数所对应的点到坐标原点的距离为（）A. B. C. D.参考答案：C略5. 给出下列命题：①a＞b?ac2＞bc2；②a＞|b|?a2＞b2；③|a|＞b?a2＞b2；④a＞b?a3＞b3其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．③④D．②④参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析给定四个不等关系的正误，可得答案．【解答】解：①a＞b?ac2＞bc2在c=0时不成立，故①错误；②a＞|b|?|a|＞|b|?a2＞b2，故②正确；③a=﹣2，b=1时，|a|＞b成立，但a2＞b2不成立，故③错误；④y=x3在R上为增函数，故a＞b?a3＞b3，故④正确；故选：D6. 在复平面内，复数对应的点位于 ( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限参考答案：D7. 已知中，，则 ( )A． B．C． D．参考答案：B8. 设集合≤x ≤0},B={x |-1≤x ≤3},则A∩B=（ ）A ．［-1,0］B ．［-3,3］C ．［0,3］D ．［-3,-1］参考答案：A 略9. 已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 不存在参考答案： A10. 设，若函数有大于零的极值点，则的取值范围是（ ）（A ） （B ） (C) (D)参考答案：A 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 曲线上在点处的切线方程为▲ .参考答案：略 12. 设函数是定义在(－∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，在区间(－∞,0) 上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式的解集为________参考答案：(－∞,0)∪(1,2)【分析】根据题意，分析可得函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，结合函数的单调性以及特殊值可得当x ＜0时，f （x ）＞0，当0＜x ＜1时，f （x ）＜0，又由奇偶性可得当1＜x ＜2时，f （x ）＜0，当x ＞2时，f （x ）＞0；又由（x ﹣1）f （x ）＜0?或，分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数y ＝f （x +1）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的偶函数，则函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，且f （x ）的定义域为{x |x ≠1}，y ＝f （x ）在区间（﹣∞，1）是减函数，且图象过原点， 则当x ＜0时，f （x ）＞0，当0＜x ＜1时，f （x ）＜0， 又由函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，则当1＜x ＜2时，f （x ）＜0，当x ＞2时，f （x ）＞0，（x ﹣1）f （x ）＜0?或，解可得：x ＜0或1＜x ＜2，即不等式的解集为（﹣∞，0）∪（1，2）；故答案为：（﹣∞，0）∪（1，2）．【点睛】本题考查抽象函数的应用，涉及函数的单调性与奇偶性的综合应用，属于综合题．13. 以下命题正确的是 （1）若；（2）若，则必要非充分条件；（3）函数；（4）若奇函数满足，则函数图象关于直线对称．参考答案：(1),(2) 14. 在数列｛｝中，若，则该数列的通项=_______________参考答案：略15. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为 ．参考答案：【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离．【分析】通过侧面展开图的面积，求出圆锥的母线长与底面圆的半径，即可求出圆锥的高．【解答】解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π=πl2，所以母线长为l=2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr=2π，所以底面圆半径为r=1，所以该圆锥的高为h===．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥体的侧面展开图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目．16. 如图放置的边长为1的正三角形PAB沿轴滚动，设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系式是，在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积记为S，则S=__________。
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2015-2016学年天津市静海一中等六校高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题1．“9>k ”是“方程14922=-+-k y k x 表示的图形为双曲线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：22194x y k k +=--表示双曲线则有()()94049k k k k --<∴<>或，所以“9>k ”是“方程14922=-+-k y k x 表示的图形为双曲线”的充分不必要条件 【考点】充分条件与必要条件2．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则 A ．若m //α，n //α，则m //n B ．若m //α，m //β，则α//β C ．若m //n ，n α⊥，则m α⊥ D ．若m //α，α⊥β，则m ⊥β【答案】C【解析】试题分析：A 中两直线可能平行，相交或异面；B 中两平面平行或相交；C 中由线面垂直的判定定理可知结论正确；D 中直线m ，平面β间的位置关系可以是平行，相交或直线在面内【考点】空间线面平行垂直的判定与性质 3．下列四个命题中的真命题为 A.0x R ∃∈，使得00sin cos 1.5x x -=-B.x R ∀∈，总有2230x x --≥C.∀x R ∈，∃y R ∈，2y x <D. 0x R ∃∈，∀y R ∈，0y x y ⋅= 【答案】D【解析】试题分析：A 中000sin cos 4x x x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，最小值为B 中满足不等式的x 的范围不是R ；C 中当0x ≤时不等式不成立；D 中01x =时命题成立【考点】命题真假的判定4．已知F 是抛物线2y x =的焦点,B A ,是该抛物线上的两点,||||=3AF BF +,则线段AB 的中点到y 轴的距离为 A ．34 B ．1 C ．54 D ．74【答案】C【解析】试题分析：：∵F 是抛物线2y x =的焦点，F （14，0）准线方程x=-14，设A ()11,x y ，B ()22,x y∴|AF|+|BF|=1211344x x +++=，解得1252x x +=∴线段AB 的中点横坐标为54∴线段AB 的中点到y 轴的距离为54【考点】抛物线方程及性质5．设1F 、2F 是双曲线1322=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，当21PF F ∆的面积为2时，21PF PF ⋅的值为A ．2B ．3C ．4D ．6 【答案】B【解析】试题分析：双曲线1322=-y x 的两个焦点坐标为（-2，0），（2，0） 设P 的坐标为（x ，y ），则∵21PF F ∆的面积为2∴12×4×|y|＝2∴|y|=1，代入双曲线方程解得|x|=6∴()()22122,2,43⋅=---⋅--=-+=PF PF x y x y x y【考点】双曲线性质6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A.64B.72C.80D. 112 【答案】C【解析】试题分析：根据几何体的三视图知，该几何体是下部是边长为4的正方体，上部是高为3的四棱锥的组合体，∴该几何体的体积是32121443803V V V =+=+⨯⨯=【考点】三视图7．已知圆的方程为015822=+-+x y x ，若直线2+=kx y 上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是 A.43-B ．53-C ．35-D ．54-【答案】A【解析】试题分析：：∵圆C 的方程为015822=+-+x y x ，∴整理得：()2241x y -+=，∴圆心为C （4，0），半径r=1．又∵直线2+=kx y 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点， ∴点C 到直线y=kx+2的距离小于或等于22≤化简得：2340k k +≤，解之得43-≤k ≤0，∴k 的最小值是43- 【考点】直线与圆相交的性质8．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F 1、F 2是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2=60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ） A ．3 B ．2 B ．332 D ．2 【答案】A【解析】试题分析：设1212,,2F P m F P n F F c ===，由余弦定理得()22222cos 60c m n mn =+- ，即2224c m n mn =+-，设1a 是椭圆的长半轴，2a 是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得1212122,2,m n a m n a m a a n a a +=-=∴=+=-，将它们及离心率互为倒数关系代入前式得22221340a c a -+=，221212123,13⎛⎫⎪⎝⎭==⋅==c a c c a a e e a a，解得2e【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质二、填空题9．已知两直线a y x a l 354)3(:1-=++与8)5(2:2=++y a x l 平行，则=a【答案】7-【解析】试题分析：由题意可知系数满足()()()()354238532a a a a ++=⨯⎧⎪⎨+⨯≠-⨯⎪⎩，解方程得7a =-【考点】两直线平行的判定10．双曲线8822=-ky kx 的一个焦点为)3,0(，则k 的值是 【答案】1k =-【解析】试题分析：2288kx ky -=变形为228119181y x k k k k k⎛⎫⎛⎫-=∴-+-=∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-- 【考点】双曲线方程及性质11．用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为【答案】【解析】试题分析：设圆锥底面的半径为r ，由题意可得圆锥的母线长为6，再根据圆锥底面的周长等于半圆的弧长，可得2πr=12⋅2π⋅6，求得r=3，故圆锥的高为h ==故此圆锥的体积是211933⋅=⋅⋅r h ππ 【考点】圆锥侧面积12．若点(3,1)是抛物线px y 22=的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝【答案】2【解析】试题分析：过点（3，1）且斜率为2的直线方程为y=2x-5，代入抛物线px y 22=，可得()2252x px -=，即()24202250x p x -++=∴20264p+=，∴p=2， 【考点】抛物线的简单性质13．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点O 的对称点为,B F 为其右焦点，若,AF BF ⊥设,ABF α∠=且,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则椭圆离心率的范围是【答案】[23【解析】试题分析：：∵B 和A 关于原点对称，∴B 也在椭圆上，设左焦点为F ′，根据椭圆定义：|AF|+|AF ′|=2a ，又∵|BF|=|AF ′|，∴|AF|+|BF|=2a ，①，O 是Rt △ABF 的斜边中点，∴|AB|=2c ，又|AF|=2csin α，②|BF|=2ccos α，③，把②③代入①，得2csin α+2ccos α=2a ，∴1sin cos c a αα=+，即11sin cos 4e πααα==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴sin 13424e ππππαα⎛⎫≤+≤≤+≤≤≤⎪⎝⎭ 【考点】椭圆的简单性质 14．若曲线92-=x y 与直线0=-+m y x 有一个交点，则实数m 的取值范围是 .【答案】{}[)()+∞⋃⋃-,233,03 【解析】试题分析：290x -≥，曲线92-=x y ，可化为()2290x y y -=≥，290x -<，曲线92-=x y ，可化为()2290x y y +=≥，图象如图所示，直线与半圆相切时，m =y=±x ∴实数m 的取值范围是{}[)()+∞⋃⋃-,233,03 【考点】曲线与方程三、解答题15．命题p ：直线3+=kx y 与圆122=+y x 相交于B A ,两点；命题q ：曲线1622=--ky k x 表示焦点在y 轴上的双曲线，若q p ∧为真命题，求实数k 的取值范围．【答案】k <-【解析】试题分析：命题p ：直线3+=kx y 与圆122=+y x 相交于A ，B 两点，可得圆心到直线的距离1=<d ，解得k 范围．命题q ：曲线1622=--ky k x 表示焦在y 轴上的双曲线，可得60k k -<⎧⎨<⎩，解得k 范围．由于p ∧q 为真命题，可得p ，q 均为真命题，即可得出试题解析：∵命题p ：直线y=kx+2与圆x 2+y 2=1相交于A ，B 两点，∴圆心到直线的距离113002<++-⋅=k k d ，2222-<>∴k k 或，∵命题q ：曲线1622=--ky k x 表示焦点在y 轴上的双曲线 ⎩⎨⎧<<-∴06k k ，解得0<k ， ∵q p ∧为真命题，∴p ，q均为真命题，∴k <-【考点】复合命题的真假；直线与圆的位置关系、双曲线的标准方程及其性质 16．已知圆C ：2230x y Dx Ey ++++=，圆C 关于直线10x y +-=对称，圆心在第． (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)已知不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等，求直线l 的方程．【答案】(Ⅰ) 222430x y x y ++-+= (Ⅱ) 03=-+y x 或01=++y x【解析】试题分析：（Ⅰ）由圆的方程写出圆心坐标，因为圆C 关于直线x+y-1=0对称，②，①②联立求出D 和E ，即可写出圆的方程；（Ⅱ）设l ：x+y=a ，根据圆心到切线的距离等于半径列出式子求出a 即可 试题解析：（Ⅰ）由2230x y Dx Ey ++++=知圆心C 的坐标为(,)22D E-- 圆C 关于直线10x y +-=对称∴点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在直线10x y +-=上，即2D E +=-①且221224D E +-=② 又∵圆心C 在第二象限 ∴0,0D E >< 由①②解得D=2，E=－4∴所求圆C 的方程为：222430x y x y ++-+= （Ⅱ） 切线在两坐标轴上的截距相等且不为零， 设l ：a y x =+圆C:22(x 1)(y 2)2++-=圆心)2,1(-C 到切线的距离等于半径2,即2221=-+-a,,1-=∴a 或3=a所求切线方程03=-+y x 或01=++y x 【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系17．如图，三棱柱111C B A ABC -中，CB CA =,1AA AB =，0160=∠BAA ．(Ⅰ)证明C A AB 1⊥；(Ⅱ)若平面ABC ⊥平面B B AA 11，CB AB =，求直线C A 1与平面C C BB 11所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)5【解析】试题分析：（Ⅰ）取AB 的中点O ，连接OC ，1OA ，1A B ，由已知可证1OA ⊥AB ，AB ⊥平面1OAC ，进而可得AB ⊥1AC ；(Ⅱ)易证OA ，1OA ，OC 两两垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正向，OA为单位长，建立坐标系，求出平面11BB C C 的法向量1AC ，代入向量夹角公式，可得答案试题解析：(Ⅰ)取AB 得中点O ，连结OC ，11,OA A B ，因为CA=CB ，所以OC AB ⊥,由于11,60AB AA BAA =∠= 所以1AA B ∆为等边三角形，所以1OA AB ⊥，又因此1OC OA O = ，所以AB ⊥平面1OAC ,又1AC ⊆平面1OAC ,故1AB AC ⊥ (Ⅱ)由(Ⅰ)知1,OC AB OA AB ⊥⊥，又 平面ABC ⊥面11ABB A ，面ABC 面11ABB A AB=，OC ∴⊥面11,ABB A AB OC =∴⊥面11ABB A 1OC OA ∴⊥1,,OA OC OA ∴两两垂直，以O 为坐标原点，OA的方向为x 轴正方向，OA为单位长度，建立如图坐标系，设AB=CB=2有题设知A (1,0,0),1A(0,,0),C(0,0,),B (－1,0,0),则BC=（1,0，,1BB =1AA =(－1A C=(0,设(),,n x y z = 是平面11CBBC 的法向量，则100⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n BC n BB，即00x z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，可取)1n =-111cos 5⋅∴⋅==n AC n AC n AC 所以1AC 与平面11BB C C所成角的正弦值为5【考点】平面与平面垂直的性质；线面所成角18．已知抛物线24y x =的焦点为F , 直线l 过点(4,0)M . (Ⅰ)若点F 到直线l求直线l 的斜率;(Ⅱ)设,A B 为抛物线上两点, 且AB 不与x 轴垂直, 若线段AB 的垂直平分线恰过点M , 求证: 线段AB 中点的横坐标为定值.【答案】(Ⅰ)【解析】试题分析：（Ⅰ）设直线l 的方程为y=k （x-4），由已知，抛物线C 的焦点坐标为（1，0），因为点F 到直线l=l 的斜率；（Ⅱ）设线段AB 中点的坐标为N ()00,x y ，A ()11,x y ，B ()22,x y ，因为AB 不垂直于x 轴，所以直线MN 的斜率为004y x -，直线AB 的斜率为04x y -，直线AB 的方程为()00004x y y x x y --=-，由此能够证明线段AB 中点的横坐标为定值 试题解析：（Ⅰ）由已知，x=4不合题意．设直线l 的方程为y=k （x-4）， 由已知，抛物线C 的焦点坐标为（1，0）， 因为点F 到直线l的距离为=解得k =，所以直线l的斜率为± (Ⅱ) 设线段AB 中点的坐标为00(,)N x y , ),(),,(2211y x B y x A , 因为AB 不垂直于x 轴,则直线MN 的斜率为004y x -, 直线AB 的斜率为004x y -,直线AB 的方程为00004()x y y x x y --=-,联立方程000024(),4,x y y x x y y x -⎧-=-⎪⎨⎪=⎩消去x 得2200000(1)(4)04x y y y y x x --++-=, 所以012044y y y x +=-,因为N 为AB 中点, 所以1202y y y +=, 即00024y y x =-,所以02x =.即线段AB 中点的横坐标为定值2.【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；点到直线的距离公式19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，Q 为AD 的中点.ABCDQMP(Ⅰ)若PA PD =，求证：平面PQB ⊥平面PAD ； (Ⅱ)点M 在线段PC 上，PC 31PM =，若平面PAD ⊥平面A B C D，且2P A P D A D ===，求二面角M BQ C --的大小.【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)3π【解析】试题分析：(Ⅰ)由题设条件推导出PQ ⊥AD ，BQ ⊥AD ，从而得到AD ⊥平面PQB ，由此能够证明平面PQB ⊥平面PAD ；(Ⅱ)以Q 这坐标原点，分别以QA ，QB ，QP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-BQ-C 的大小试题解析：(Ⅰ)由题条件，PQ AD BQ AD PQ BQ Q ⊥⎧⎪⊥⎨⎪=⎩AD ⇒⊥平面PQB ，又AD ⊂ 平面PAD ，∴平面PQB ⊥平面PAD(Ⅱ),PA BD Q = 为AD 的中点PQ AD ∴⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCDAD =PQ ∴⊥平面ABCD ，以Q 为坐标原点，分别以,,QA QB QP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()(()0,0,0,1,0,0,,Q A P B ∴)332,33,32(3132-=+=QC QP QM ， 设),,(z y x =是平面MBQ 的一个法向量，则00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩QM n QB n ，即⎩⎨⎧==03y z x ，令1=z 得⎪⎩⎪⎨⎧===103z y x ，∴)1,0,3(=n ，又)1,0,0(=是平面BQC 的一个法向量，()0,011cos ,2n m n m n m⋅⋅<>=⋅ ，故二面角M BQ C --的大小为3π. 【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题20．巳知椭圆2222:1(0)x yM a b a b +=>>的长轴长为且与椭圆22124+=x y有相同的离心率.(Ⅰ)求椭圆M 的方程；(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M 有两个交点A 、B ，且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求||AB 的取值范围，若不存在，说明理由.【答案】(Ⅰ)22184x y +=(Ⅱ) 2283x y +=，AB∈⎣【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知条件推导出22c a e a ===，由此能求出椭圆M 的方程；（Ⅱ）假设存在圆C ：222x y r +=（r ＞0），若l 的斜率不存在，设l ：x=r ，求出2283x y +=，AB =l 的斜率存在，设l ：y=kx+m ，代入椭圆M 的方程，得()222124280k x kmx m +++-=，由此能求出圆C ：2283x y += 和|AB|的取值范围试题解析：(I )椭圆的长轴长为a =22124x y +=有相同的离心率e =故2, 2.c b ==所以椭圆M 的方程为22184x y += (II)若l 的斜率存在，设:l ,y kx m =+因l 与C相切，故r =， 即()2221m r k =+.① 又将直线l 方程代入椭圆M 的方程得()222124280,k x kmx m +++-= 设()()1122,,,,A x y B x y由韦达定理得1x +2x =24,12km k -+12x x =222812m k-+， 由0OA OB ⋅= 得到12x x +12y y =()21k +222812m k-++km 2412km k -++2m =0 化简得22388m k =+，② 联立①②得283r =。