高考数学知识点总复习教案曲线与方程

第8讲曲线与方程
A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．动点P(x，y)满足5(x－1)2＋(y－2)2＝|3x＋4y－11|，则点P的轨迹是()．
A．椭圆B．双曲线
C．抛物线D．直线
解析设定点F(1,2)，定直线l：3x＋4y－11＝0，则|PF|＝(x－1)2＋(y－2)2，
点P到直线l的距离d＝|3x＋4y－11|
5.
由已知得|PF|
d＝1，但注意到点F(1,2)恰在直线l上，所以点P的轨迹是直线．选
D.
答案 D
2．(2013·榆林模拟)若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为
()．
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
解析依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P 的轨迹是抛物线．
答案 D
3．(2013·临川模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为
()．
A.4x2
21－
4y2
25＝1 B.
4x2
21＋
4y2
25＝1
C.4x 225－4y 2
21＝1
D.4x 225＋4y 2
21＝1
解析 M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为椭圆，∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝21
4， ∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y 2
21＝1. 答案 D
4．(2013·烟台月考)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )． A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．2x －y －1＝0
D ．2x －y ＋5＝0
解析 由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x ，4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0. 答案 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2013·泰州月考)在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪
⎫a 2，0(a >0)，且满足条件sin C －sin B ＝1
2sin A ，则动点A 的轨迹方程是________． 解析 由正弦定理，得|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC |
2R ， ∴|AB |－|AC |＝1
2|BC |，且为双曲线右支． 答案 16x 2a 2－16y 2
3a
2＝1(x >0且y ≠0)
6. 如图，点F (a,0)(a >0)，点P 在y 轴上运动，M 在x 轴
上运动，N 为动点，且PM →·PF →＝0，PM →＋PN →＝0，则
点N 的轨迹方程为________．
解析 由题意，知PM ⊥PF 且P 为线段MN 的中点，连接FN ，延长FP 至点Q 使P 恰为QF 之中点；连
接QM ，QN ，则四边形FNQM 为菱形，且点Q 恒在直线l ：x ＝－a 上，故点N 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线，其方程为：y 2＝4ax . 答案 y 2＝4ax 三、解答题(共25分)
7．(12分)已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P 是AB 上一点，且AP
→＝22PB →，求点P 的轨迹C 的方程．
解 设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )，AP
→＝22PB →，
又AP →＝(x －x 0，y )，PB →＝(－x ，y 0－y )， 所以x －x 0＝－22x ，y ＝2
2(y 0－y )， 得x 0＝⎝
⎛⎭⎪⎫
1＋22x ，y 0＝(1＋2)y .
因为|AB |＝1＋2，即x 20＋y 20＝(1＋2)2
，
所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x 2＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2，
化简得x 22＋y 2
＝1.
∴点P 的轨迹方程为x 22＋y 2
＝1.
8．(13分)设椭圆方程为x 2
＋y 2
4＝1，过点M (0,1)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，O
为坐标原点，点P 满足OP →
＝12(OA →＋OB →)，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，当直线l 绕
点M 旋转时，求： (1)动点P 的轨迹方程； (2)|NP
→|的最大值，最小值．
解 (1)直线l 过定点M (0,1)，当其斜率存在时设为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，A 、B 的坐标满足方程组⎩
⎪⎨⎪
⎧
y ＝kx ＋1，x 2＋y 2
4＝1.消
去y 得(4＋k 2)x 2＋2kx －3＝0. 则Δ＝4k 2＋12(4＋k 2)>0. ∴x 1＋x 2＝－2k
4＋k 2，x 1x 2＝－34＋k 2. P (x ，y )是AB 的中点，
则由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1
2(x 1＋x 2)＝－k 4＋k 2，y ＝12(y 1＋y 2)＝12(kx 1＋1＋kx 2＋1)＝4
4＋k 2；
消去k 得4x 2＋y 2－y ＝0.
当斜率k 不存在时，AB 的中点是坐标原点，也满足这个方程，故P 点的轨迹方程为4x 2＋y 2－y ＝0.
(2)由(1)知4x 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －122＝1
4，∴－14≤x ≤14
而|NP |2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122＋1－16x
2
4
＝－3⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋162＋712，
∴当x ＝－16时，|NP
→|取得最大值216， 当x ＝14时，|NP
→|取得最小值14
. B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2012·全国)正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝3
7.动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为
( )． A ．16
B ．14
C ．12
D ．10
解析 当E 、F 分别为AB 、BC 中点时，显然碰撞的结果为4，当E 、F 分别
为AB 的三等分点时，可得结果为6(如图1所示)．可以猜想本题碰撞的结果应为2×7＝14(如图2所示)．故选B.
答案 B
2．(2013·沈阳二模)在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AD ＝2AB ，若P 是平面ABCD 内一点，且满足：xAB →＋yAD →＋P A →＝0(x ，y ∈R )．则当点P 在以A 为圆心，33|BD →|为半径的圆上时，实数x ，y 应满足关系式为 ( )．
A ．4x 2＋y 2＋2xy ＝1
B ．4x 2＋y 2－2xy ＝1
C ．x 2＋4y 2－2xy ＝1
D ．x 2＋4y 2＋2xy ＝1
解析 如图，以A 为原点建立平面直角坐标系，设AD
＝2.据题意，得AB ＝1，∠ABD ＝90°，BD ＝ 3.∴B 、D 的坐标分别为(1,0)、(1，3)，∴AB →＝(1,0)，AD →＝(1，3)．设点P 的坐标为(m ，n )，即AP
→＝(m ，n )，则由xAB →＋yAD →＋P A →＝0，得：AP →＝xAB →＋yAD →
，∴⎩⎨⎧
m ＝x ＋y ，n ＝3y .
据题意，m 2＋n 2＝1，∴x 2＋4y 2＋2xy ＝1. 答案 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．如图所示，正方体ABCD －A
1B 1C 1D 1的棱长为1，点M
在AB 上，且AM ＝1
3AB ，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点M 的距离的平
方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动点P 的轨迹方程是________．
解析 过P 作PQ ⊥AD 于Q ，再过Q 作QH ⊥A
1D 1于H ，连接PH 、PM ，可证PH ⊥A 1D 1，设P (x ，y )，由|PH |2－|PM |2＝1，得x 2＋1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋y 2＝1，化简得y 2＝23x －
1
9.
答案 y 2＝23x －1
9
4．(2013·南京模拟)P 是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．
解析 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2 PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，则OP →
＝－12OQ →＝－12(x ，y )＝－x 2，－y 2，即P 点坐标为－x 2，－y
2.又P 在椭圆上，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 2
4b 2＝1. 答案 x 24a 2＋y 2
4b 2＝1 三、解答题(共25分)
5．(12分)(2013·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，
椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫
62，2，
且点F (0，－1)为其一个焦点． (1)求椭圆E 的方程；
(2)设随圆E 与y 轴的两个交点为A 1，A 2，不在y 轴上的动点P 在直线y ＝b 2上运动，直线P A 1，P A 2
分别与椭圆E 交于点M ，N ，证明：直线MN 通过一个定点，且△FMN 的周长为定值．
解 (1)根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧
32a 2＋2b
2＝1，
b 2－a 2＝1，可解得⎩
⎨⎧
a ＝3，
b ＝2，
∴椭圆E 的方程为x 23＋y 2
4＝1.
(2)由(1)知A 1(0,2)，A 2(0，－2)，P (x 0，4)为直线y ＝4上一点(x 0≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线P A 1方程为y ＝2x 0x ＋2，直线P A 2方程为y ＝6
x 0
x －2，点
M (x 1，y 1)，A 1(0,2)的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 23＋y 24＝1，
y ＝2
x 0
x ＋2，
可得⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝－6x 0
3＋x 20，y 1＝2x 20－6
3＋x 20.
点N (x 2，y 2)，A 2(0，－2)的坐标满足方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
x 23＋y 2
4＝1，
y ＝6x 0x －2，
可得
⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝18x 0
27＋x 20，y 2＝－2x 2
0＋54
27＋x 20
.由于椭圆关于y 轴对称，当动点P 在直线y ＝4上运动时，
直线MN 通过的定点必在y 轴上，当x 0＝1时，直线MN 的方程为y ＋1＝4
3⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋32，令x ＝0，得y ＝1可猜测定点的坐标为(0,1)，并记这个定点为B .则直线BM 的斜率k BM ＝y 1－1x 1＝2x 20－6
3＋x 20－1
－6x 03＋x 20＝9－x 20
6x 0，直线BN 的斜率k BN ＝y 2－1x
2＝－2x 20＋54
27＋x 20－1
18x 027＋x 20＝
9－x 206x 0，∴k BM ＝k BN ，即M ，B ，N 三点共线，故直线MN 通过一个定点B (0，1)，
又∵F (0，－1)，B (0,1)是椭圆E 的焦点，
∴△FMN 周长为|FM |＋|MB |＋|BN |＋|NF |＝4b ＝8，为定值．
6．(13分)(2013·玉林模拟)已知向量a ＝(x ，3y )，b ＝(1,0)，且(a ＋3b )⊥(a －3b )．
(1)求点Q (x ，y )的轨迹C 的方程；
(2)设曲线C 与直线y ＝kx ＋m 相交于不同的两点M 、N ，又点A (0，－1)，当|AM |＝|AN |时，求实数m 的取值范围．
解 (1)由题意得a ＋3b ＝(x ＋3，3y )，a －3b ＝(x －3，3y )，∵(a ＋3b )⊥(a －3b )，∴(a ＋3b )·(a －3b )＝0， 即(x ＋3)(x －3)＋3y ·3y ＝0.
化简得x 23＋y 2＝1，∴Q 点的轨迹C 的方程为x 23＋y 2
＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝kx ＋m ，x 23
＋y 2
＝1得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0，
由于直线与椭圆有两个不同的交点， ∴Δ>0，即m 2<3k 2＋1.
①
(i)当k ≠0时，设弦MN 的中点为P (x P ，y P )，x M 、x N 分别为点M 、N 的横坐标，则x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk
3k 2＋1
，
从而y P ＝kx P ＋m ＝m
3k 2＋1，k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk ，
又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN .
则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1
k ，即2m ＝3k 2＋1，
②
将②代入①得2m >m 2，解得0<m <2， 由②得k 2＝
2m －13>0，解得m >1
2，
故所求的m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，2.
(ii)当k ＝0时，|AM |＝|AN |，
∴AP ⊥MN ，m 2<3k 2＋1，解得－1<m <1.
综上，当k ≠0时，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，2，
当k ＝0时，m 的取值范围是(－1,1).。