北师大版数学选修2-2巩固提升：第四章 定积分 章末综合检测(四)
最新北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》检测题(包含答案解析)
一、选择题1．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（ ）A ．1eB ．11e - C ．11e-D ．21e e -- 2．定积分= A ．B ．C ．D ．3．已知1a xdx =⎰， 12b x dx =⎰， 1c xdx =⎰，则a ， b ， c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<4．若正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心）的侧棱长为3，侧面与底面所成的角是45︒，则该正四棱锥的体积是（ ） A ．23B ．43C ．223D ．4235．曲线xy e =在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3 6．已知函数f(x)=x 2+1的定义域为[a,b](a<b),值域为[1,5],则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 7．一物体在力(单位:N)的作用下沿与力相同的方向,从x=0处运动到(单位:)处,则力做的功为( )．A ．44B ．46C ．48D ．508．已知幂函数a y x =图像的一部分如下图，且过点(2,4)P ，则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．163B ．83C ．43D ．239．20ln 1()231mx x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，，，且()()10f f e =，则m 的值为（ ） A ．1B ．2C ．1-D ．2-10．已知125113,log ,log 3,a a x dx m a n p a-====⎰，则 （ ） A ．m n p << B ．m p n <<C ．p m n <<D ．p n m <<11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．4B ．2C ．43D ．2312．已知t ＞0，若（2x ﹣2）dx=8，则t=（ ） A ．1B ．﹣2C ．﹣2或4D ．4二、填空题13．02114edx x dx x-+-=⎰⎰______________.14．质点运动的速度()2183/v t t m s =-，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是______. 15．(222sin 4x x dx --=⎰______.16．已知函数()323232t f x x x x t =-++在区间()0,∞+上既有极大值又有极小值，则实数t 的取值范围是__________．17．若二项式2651()5x x +的展开式中的常数项为m ，则21(2)d mx x x -=⎰_________．18．()12111x dx ---=⎰__________．19．定积分()12xx e dx +=⎰__________．20．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为____________．三、解答题21．函数()ln ,kf x x k R x=+∈．若曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线与直线20x -=垂直，求()f x 的单调递减区间和极小值（其中e 为自然对数的底数）．22．设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+． （1）求()y f x =的表达式；（2）若直线(01)x t t =-<<把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．23．已知函数1211()(1)x f x adt x t+=++⎰()1x >-. （1）若()f x 在1x =处有极值，问是否存在实数m ，使得不等式2214()m tm e f x ++-≤对任意[]1,x e e ∈-及[]1,1t ∈-恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.()2.71828e =；（2）若1a =，设2()()(1)F x f x x x =-+-. ①求证：当0x >时，()0F x <； ②设*111()12(1)n a n N n n n n =++⋅⋅⋅+∈++++，求证：ln 2n a > 24．如图：已知2y ax bx =+通过点（1,2），与22y x x =-+有一个交点横坐标为1x ，且0,1a a <≠-.（1）求2y ax bx =+与22y x x =-+所围的面积S 与a 的函数关系； （2）当,a b 为何值时，S 取得最小值.25．已知函数()xae f x x x=+．（1）若函数()f x 的图象在(1,(1))f 处的切线经过点(0,1)-，求a 的值；（2）是否存在负整数a ，使函数()f x 的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由；（3）设0a >，求证：函数()f x 既有极大值，又有极小值 26．已知21()3sin cos cos 2f x x x x =-+ . （Ⅰ）写出()f x 的最小正周期T ； （Ⅱ）求由555()(0),0(0),(10),666y f x x y x x y πππ=≤≤=≤≤=-≤≤ 以及10(0)2x y =-≤≤ 围成的平面图形的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】试题分析：由几何概型可知，所求概率为.考点：几何概型、定积分．2．B解析：B【解析】 由题意得，故选B.3．C解析：C【解析】因为1113212312000000111122,,|223333a xdx x b x dx x c xdx x =========⎰⎰,所以b ac <<,故选C.解析：B 【解析】设底面边长为a ，依据题设可得棱锥的高2ah =，底面中心到顶点的距离22d a =，由勾股定理可得22221()()(3)22a a +=，解之得2a =，所以正四棱锥的体积21242323V =⨯⨯=，故应选答案B ．5．A解析：A 【解析】试题分析：'0x x y e y e x =∴=∴=时'11y k =∴=，直线方程为1y x =+，与两坐标轴交点为()()1,0,0,1-，所以三角形面积为12考点：导数的几何意义及直线方程6．C解析：C 【解析】 由函数的图像可知，需满足或，所以点的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是边长为2的正方形，其面积为4.7．B解析：B 【解析】由定积分的物理意义，得，即力做的功为46．考点:定积分的物理意义．解析：B 【解析】试题分析：由题意得，因为幂函数a y x =图像过点(2,4)P ，所以42α=，解得2α=，所以幂函数2yx ，则阴影部分的面积为22320018|33S x dx x ===⎰，故选B.考点：幂函数的解析式；定积分的应用.9．B解析：B 【详解】因为233003|,mm t dt t m ==⎰所以()3121lnx x f x x m x >⎧=⎨+≤⎩，，, ()ln 1f e e ==，()()()31210f f e f m ∴==+=，解得2m =. 故选：B.10．B解析：B 【解析】1235211132,log 2,log 3,12a x dx x m n p -===∴===-⎰5211log 2log ,log 31,22m n p ====m p n ∴<<故选B11．D解析：D 【分析】根据三视图可得到该几何体的直观图，进而可求出该几何体的体积. 【详解】根据三视图可知该几何体为四棱锥E ABCD -，四边形ABCD 是边长为1的正方形，BE ⊥平面ABCD ，2BE =，则四棱锥E ABCD -的体积为1233ABCD V S BE =⋅=. 故选D.【点睛】本题考查了三视图，考查了四锥体的体积的计算，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.12．D解析：D 【解析】∵（x 2﹣2x ）′=2x ﹣2，∴若2(22)(2)tt x dx x x -=-⎰=t 2﹣2t=8，又t ＞0，解得t=4．选D.二、填空题13．【分析】根据以及定积分的几何意义可得答案【详解】因为表示的是圆在x 轴及其上方的面积所以所以＝故答案为：【点睛】本题考查了定积分的计算考查了定积分的几何意义属于基础题 解析：21π+【分析】根据1(ln )x x'=以及定积分的几何意义可得答案. 【详解】11edx x⎰=ln 1e x ln ln1101e =-=-=，因为224x dx --⎰表示的是圆224x y +=在x 轴及其上方的面积，所以224x dx --⎰21222ππ=⨯⨯=，所以11edx x ⎰224x dx -+-⎰＝12π+. 故答案为：21π+.【点睛】本题考查了定积分的计算，考查了定积分的几何意义，属于基础题.14．108m 【分析】令速度为0求出t 的值0和6求出速度函数在上的定积分即可【详解】由得或当时质点运动的路程为故答案为：108m 【点睛】本题主要考查了定积分定积分在物理中的应用属于中档题解析：108m. 【分析】令速度为0求出t 的值 0和6，求出速度函数在[0,6]上的定积分即可. 【详解】由21830t t -=，得0t =或6t =， 当[0,6]t ∈时，质点运动的路程为()()662233201839696108S t t dt tt=-=-=-+⨯=⎰，故答案为：108m 【点睛】本题主要考查了定积分，定积分在物理中的应用，属于中档题.15．【分析】根据定积分的四则运算和几何意义求定积分【详解】因为故答案为2π【点睛】本题考查了定积分的计算；利用定积分的几何意义分别求出两个被积函数的定积分属于基础题 解析：2π【分析】根据定积分的四则运算和几何意义求定积分． 【详解】因为(222222sin sin 022x dx xdx ππ---+=+=+=⎰⎰⎰故答案为2π． 【点睛】本题考查了定积分的计算；利用定积分的几何意义分别求出两个被积函数的定积分，属于基础题.16．【解析】由题意可得在有两个不等根即在有两个不等根所以解得填解析：90,8⎛⎫⎪⎝⎭【解析】2()32f x tx x -'=+，由题意可得()0f x '=在()0,+∞有两个不等根，即2320tx x -+=在()0,+∞有两个不等根，所以302980tt ⎧>⎪⎨⎪∆=->⎩，解得908t <<，填90,8⎛⎫⎪⎝⎭ 17．【解析】解答：由Tr+1=⋅⋅()r=令12−3r=0得r=4∴m=()2⋅=3则==(x3−x2)=(×33−32)−(−1)=故答案为： 解析：23【解析】 解答：由T r +1=6rC⋅62x 5r-⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⋅(1x)r =6123r 65x 5rrC --⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.令12−3r =0，得r =4. ∴m =(5)2⋅46C =3. 则()212d mxx x -⎰=()3212d x x x -⎰=(13x 3−x 2)31 =(13×33−32)−(1 3−1)=23.故答案为：23. 18．【解析】由定积分的几何意义由微积分基本定理：有定积分的运算法则可得： 解析：22π-【解析】由定积分的几何意义，211122ππ-=⨯⨯=，由微积分基本定理：11111|2dx x --==⎰，有定积分的运算法则可得：)11122dx π-=-⎰.19．e 【解析】点睛：1求曲边图形面积的方法与步骤(1)画图并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围从而确定积分的上下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和即各积分解析：e 【解析】1212120(2)()|(1)(0)x x x e dx x e e e e +=+=+-+=⎰. 点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．20．【解析】【分析】确定被积函数与被积区间利用用定积分表示面积即可求得结论【详解】曲线y=sinx 与直线x=0x=π4y=0所围成的封闭图形的面积为0π4sinxdx=-cosx|0π4=1-22故答案 解析：【解析】 【分析】确定被积函数与被积区间,利用用定积分表示面积,即可求得结论. 【详解】 曲线与直线所围成的封闭图形的面积为，故答案为.【点睛】本题主要考查利用定积分求面积，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题.三、解答题21． 故()f x 的单调递减区间为()0,e ，极小值为2． 【解析】试题分析：（1）由切线与20x -=垂直，可知切的斜率为0，对()f x 求导，()0f e '=，代入可求得k 。
(易错题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》检测卷(有答案解析)(4)
一、选择题1．已知函数2(1),10()01x x f x x ⎧+-≤≤⎪=<≤则11()d f x x -=⎰（ ） A ．3812π- B ．4312π+ C ．44π+ D ．4312π-+ 2．在1100x y x y ==-=,,,围成的正方形中随机投掷10000个点，则落入曲线20x y -=,1y =和y 轴围成的区域的点的个数的估计值为（ ）A ．5000B ．6667C ．7500D ．78543．若函数()31f x x ax x =++在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数,则a 的取值范围是( ) A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C ．13,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．13,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 4．曲线xy e =在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3 5．3204x dx -=⎰（ ）A ．213 B ．223 C ．233 D ．2536．曲线3y x =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为（ ） A ．83B ．73C ．53D ．437．曲线x y e =，x y e -=和直线1x =围成的图形面积是（ ） A ．1e e --B ．1e e -+C ．12e e ---D ．12e e -+-8．由曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为（ ） A ．52 B ．4 C ．2 D ．929．已知10(31)()0ax x b dx ，,a b ∈R ，则⋅a b 的取值范围为（ ）A ．1,9B ．1,1,9C ．1,[1,)9D ．()1,+∞10．使函数()322912f x x x x a =-+-图象与x 轴恰有两个不同的交点，则实数a 可能的取值为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．211．曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =围成的封闭图形的面积是 A ．3B ．23-C ．π23-D ．π33-12．已知t ＞0，若（2x ﹣2）dx=8，则t=（ ） A ．1B ．﹣2C ．﹣2或4D ．4二、填空题13．已知0a >，6x x ⎫-⎪⎭展开式的常数项为15，则(0224a x x x dx -++-=⎰______.14．由直线2x y +=，曲线2y x =所围成的图形面积是________15．已知函数()()()22ln 1,0ln 1,0x x x x f x x x x x ⎧++≥⎪=⎨--+<⎪⎩，若()()()21f a f a f -+≤，则实数a 的取值范围是___________． 16．在下列命题中 ①函数1()f x x=在定义域内为单调递减函数； ②已知定义在R 上周期为4的函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，则()f x 一定为偶函数；③若()f x 为奇函数，则()2()(0)aaaf x dx f x dx a -=>⎰⎰；④已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，则0a b c ++=是()f x 有极值的充分不必要条件；⑤已知函数()sin f x x x =-，若0a b +>，则()()0f a f b +>. 其中正确命题的序号为___________________（写出所有正确命题的序号）. 17．若()()4112ax x -+的展开式中2x 项的系数为4，则21ae dx x=⎰________________ 18．由直线0x =， 23x π=，0y =与曲线2sin y x =所围成的图形的面积等于________．19．曲线21y x =-与直线2,0x y ==所围成的区域的面积为_______________． 20．已知平面区域(){}2,|04x y y x Ω=≤≤-，直线:2l y mx m =+和曲线2:4C y x =-有两个不同的交点，直线l 与曲线C 围成的平面区域为M ，向区域Ω内随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ，若2(),12P M ππ-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则实数m 的取值范围是___________.三、解答题21．设函数()32f x x ax bx =++在点1x =处有极值2-.(1)求常数,a b 的值;(2)求曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积. 22．已知函数1()ln ()f x x b x b R x=--∈，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直． （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）设2()g x x =，求证()()2ln 2g x f x >-．23．已知函数()xe f x x=.（1）若曲线()y f x =与直线y kx =相切于点P ，求点P 的坐标； （2）当a e ≤时，证明：当()0,x ∈+∞时，()()ln f x a x x ≥-.24．求曲线6y x =-和y =y ＝0围成图形的面积．25．在(11的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为α，求1x α⎰d x26．已知()ln f x x x mx =+，2()3g x x ax =-+-（1）若函数()f x 在(1,)+∞上为单调函数，求实数m 的取值范围；（2）若当0m =时，对任意(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据积分的性质将所求积分化为()0211x dx -++⎰⎰，根据微积分基本定理和定积分的求法可求得结果. 【详解】()()22321100011112100101111333x dx x x dx x x x --+=++=++=++-++=---⎰⎰， 1201x dx -⎰表示以原点为圆心，1为半径的圆在第一象限中的部分的面积，12014x dx π∴-=⎰，()()1122110143113412f x dx x dx x dx ππ--+∴=++-=+=⎰⎰⎰.故选：B . 【点睛】本题考查积分的求解问题，涉及到积分的性质、微积分基本定理和定积分的求解等知识，属于基础题.2．B解析：B 【分析】应用微积分基本定理求出对应的原函数，再由定积分定义求出空白区域面积，由正方形面积减去空白区域面积即可求出阴影部分面积，结合几何概型可推导出对应区域内的点的个数 【详解】由微积分基本定理可求出2yx 的原函数为()313F x x =，空白区域面积为31101133S x ==，故阴影部分面积212133S =-=，由几何概型可知，落入阴影部分的点数估计值为21000066673⨯≈ 故选：B 【点睛】本题考查定积分与微积分的基本定理，几何概型，属于基础题3．D解析：D【解析】由题意得()22130f x x a x =+-≥'在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即22max 13a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，因为2213y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以2213131334,444y x a x =-<-=≥，选D. 点睛：已知函数单调性求参数值或取值范围的一般方法：（1）利用导数结合参数讨论函数单调区间取法，根据单调区间与定义区间包含关系，确定参数值或取值范围；（2）利用导数转化为导函数非正或非负恒成立问题，结合变量分离转化为不含参数的函数，利用导数求新函数最值得参数值或取值范围.4．A解析：A 【解析】试题分析：'0x x y e y e x =∴=∴=时'11y k =∴=，直线方程为1y x =+，与两坐标轴交点为()()1,0,0,1-，所以三角形面积为12考点：导数的几何意义及直线方程5．C解析：C【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示,可知()()323222002882344489128333x dx x dx x dx ⎛⎫-=-+-=-+--+=⎪⎝⎭⎰⎰⎰．考点：定积分的几何意义．6．A解析：A 【解析】 试题分析：()'323x x=,所以切线方程为13(1),32y x y x -=-=-,所以切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积()2238323S x dx =-=⎰.考点：1、切线方程；2、定积分.【易错点晴】本题易错点有三个,一个是切线方程,错解为看成过()1,1的切线方程；第二个错误是看成与y 轴围成的面积,()()2232328103232333S x dx x dx =--+-=+=⎰⎰；第三个是没有将切线与x 轴的交点求出来,导致没有办法解决题目.切线的常见问题有两种,一种是已知切点求切线方程；另一种是已知切线过一点求切线方程,两种题目都需要我们认真掌握.7．D解析：D 【解析】试题分析：根据题意画出区域，作图如下，由{x xy e y e-==解得交点为（0，1），∴所求面积为：()()1101|2x x x x S e e dx e e e e --=-=+=+-⎰ 考点：定积分及其应用8．D解析：D 【解析】试题分析：由定积分的几何意义得，293122122132221=-+=-+=--⎰)(])[(x x x dx x x s ,故选D 。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(含答案解析)(4)
一、选择题1．设113a x dx -=⎰，1121b x dx =-⎰，130c x dx =⎰则a ，b ，c 的大小关系( )A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．b>c>a2．曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝2π所围成的平面区域的面积为( ) A ．π20⎰(sin x －cos x )d x B ．2π40⎰(sin x －cos x )d x C ．π20⎰(cos x －sin x )d xD ．2π40⎰(cos x －sin x )d x3．三棱锥D ABC -及其正视图和侧视图如图所示，且顶点,,,A B C D 均在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．32πB ．36πC ．128πD ．144π4．已知函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内存在单调递减区间，则实数m 的取值范围是（ ） A ．12m ≥B ．12m < C ．1m ≥ D ．1m < 5．曲线xy e =在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3 6．若在R 上可导,,则( )A ．B ．C ．D ．7．已知402cos 2d t x x π=⎰，执行下面的程序框图，如果输入的,2a t b t ==，那么输出的n 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．若向区域(){},|0101x y x y Ω=≤≤≤≤，内投点，则该点落在由直线y x =与曲线y x =围成区域内的概率为（ ）A ．18B ．16C ．13D ．12 9．曲线2y x 与直线y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．5610．1204x dx -=⎰（ ）A ．4B ．1C ．4πD ．332π+11．已知t ＞0，若（2x ﹣2）dx=8，则t=（ ） A ．1B ．﹣2C ．﹣2或4D ．412．若函数31()log ()(01)(,0)3a f x x ax a a 且在区间=->≠-内单调递增，则实数a 的取值范围是( )． A ．2[,1)3B ．1[,1)3C ．1[,1)(1,3]3D ．(1,3]二、填空题13．定积分121x x dx -⎰-=______.14．已知0a >，6x x ⎫-⎪⎭展开式的常数项为15，则(0224a x x x dx -++-=⎰______.15．由曲线22y x =+与3y x =，1x =，2x =所围成的平面图形的面积为________________.16．曲线2y x =与直线230x y --=所围成的平面图形的面积为________.17．定积分2sin cos t tdt π=⎰________．18．π4cos xdx =⎰______．19．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为____________．20．曲线2y x 和曲线y x =围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是________．三、解答题21．已知函数()()2log 3a f x x =-++（0a >且1a ≠），()112x g x -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）函数()y f x =的图象恒过定点A ，求A 点坐标；（2）若函数()()()F x f x g x =-的图象过点()1,5--，证明：方程()0F x =在()1,5x ∈上有唯一解.22．（2015秋•钦州校级期末）求曲线y=sinx 与直线，，y=0所围成的平面图形的面积．23．已知抛物线2:2C y x x =-+，在点(0,0)A ，(2,0)B 分别作抛物线的切线12,l l ．（1）求切线1l 和2l 的方程；（2）求抛物线C 与切线1l 和2l 所围成的面积S ．24．如图计算由直线y ＝6－x ，曲线8y x =以及x 轴所围图形的面积．25．现有一个以OA 、OB 为半径的扇形池塘，在OA 、OB 上分别取点C 、D ，作DE OA 、CF OB 分别交弧AB 于点E 、F ，且BD AC =，现用渔网沿着DE 、EO 、OF 、FC 将池塘分成如图所示的养殖区域.已知1km OA =，2AOB π∠=，EOF θ∠=（02πθ<<）.（1）若区域Ⅱ的总面积为21km 4，求θ的值； （2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元，试问：当θ为多少时，年总收入最大？26．已知函数()xe f x x=.（1）若曲线()y f x =与直线y kx =相切于点P ，求点P 的坐标； （2）当a e ≤时，证明：当()0,x ∈+∞时，()()ln f x a x x ≥-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【解析】借助定积分的计算公式可算得1121330033|22a x dx x -===⎰，1131220022111|1333b x dx x =-=-=-=⎰，13410011|44c x dx x ===⎰，所以a b c >>，应选答案A 。
2020北师大版高中数学选修2-2 课后习题：第四章 章末检测
章末检测时间：90分钟 满分：100分 第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的) 1.⎠⎛01(e x ＋e －x )d x 等于( ) A ．e ＋1eB ．2e C.2eD ．e －1e解析：⎠⎛01(e x ＋e －x )d x ＝⎠⎛01e x d x ＋⎠⎛01e －x d x＝e x |10＋(－e －x )|10＝e －e 0－e－1＋e 0 ＝e －1e . 答案：D2．下列值等于1的积分是( ) A.⎠⎛01(x －1)d x B.⎠⎛01x 2d x C.⎠⎛011d xD.⎠⎛01x 3d x 解析：⎠⎛011d x ＝x |10＝1.答案：C3．已知f (x )为偶函数，且66-⎰f (x )d x ＝8，则⎠⎛06f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16解析：由f (x )为偶函数，知f (x )的图像关于y 轴对称，则⎠⎛6－6f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝8， ∴⎠⎛06f (x )d x ＝4. 答案：B 4．30π⎰(1－2sin 2θ2)d θ的值为( )A ．－32 B ．－12 C.12D.32解析：∵1－2sin 2θ2＝cos θ，∴30π⎰(1－2sin 2θ2)d θ＝30π⎰cos θd θ＝sin θ|π30＝32.答案：D5．已知将弹簧拉长0.02米，需要98 N 的力，则把弹簧在弹性限度范围内拉长了0.1米所做的功为( ) A ．24.5 J B ．23.5 J C ．22.5 JD ．25.0 J解析：根据F (x )＝kx ，则k ＝980.02＝4 900，故F (x )＝4 900x ，因而∫0.104 900x d x ＝4 900×(12x 2|0.10)＝4 900×12×0.01＝24.5 J. 答案：A6．曲线y 2＝x 与直线y ＝x ，y ＝3所围成图形的面积，表示正确的是( ) A．20)d y y y ⎰－B．1x y ⎰C.⎠⎛01(y 2－y )d yD．21)d y y ⎰－y解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝xy ＝3得(3, 3)．其图像如图所示，因而S ＝21)d y y ⎰－y ，注意数形结合．答案：D7．定积分∫2π0(1－cos x )d x 的值为( ) A ．πB ．2πC ．－2πD ．2π－1解析：∫2π0(1－cos x )d x 是由曲线y ＝cos x ，直线x ＝0，x ＝2π，y ＝1围成的图形的面积(如图所示的阴影部分)，由余弦函数y ＝cos x 的图像的对称性知阴影部分的面积正好是矩形ABCD 面积的一半． ∴∫2π0(1－cos x )d x ＝12×2×2π＝2π. 答案：B8．做直线运动的质点在任意位置x 处，所受的力F (x )＝1－e －x ，则质点从x 1＝0，沿x 轴运动到x 2＝1处，力F (x )所做的功是( ) A ．e B.1e C ．2eD.12e解析：由W ＝⎠⎛01(1－e －x )d x ＝⎠⎛011d x －∫10e －x d x＝x |10＋e －x |10＝1＋1e －1＝1e . 答案：B9．计算定积分33-⎰ (|2x ＋3|＋|3－2x |)d x 等于( ) A ．45 B ．10 C ．12D ．0解析：设y ＝|2x ＋3|＋|3－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，x ≤－32，6，－32<x <32，4x ，x ≥32.∴33-⎰ (|2x ＋3|＋|3－2x |)d x ＝323--⎰(－4x )d x ＋3232-⎰6d x ＋332⎰4x d x＝－2x 2332--＋6x3232-＋2x 2332⎰＝(－2)×(－32)2－(－2)×(－3)2＋6×32－6×(－32)＋2×32－2×(32)2＝45. 答案：A10．给出下列命题：①⎠⎛b a 1d x ＝⎠⎛a b 1d t ＝b －a (a ，b 为常数且a <b )； ②10-⎰x 2d x ＝⎠⎛01x 2d x ；③曲线y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与直线y ＝0围成的两个封闭区域面积之和为2. 其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：⎠⎛a b 1d t ＝b －a ≠⎠⎛ba 1d x ＝a －b ，故①错；y ＝x 2是偶函数，其在[－1,0]上的积分等于其在[0,1]上的积分，故②正确；对于③有S ＝2∫π0sin x d x ＝4，故③错． 答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)11．若⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________.解析：⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝(x 2＋kx )|10＝1＋k ，即1＋k ＝2，∴k ＝1. 答案：112．已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若11-⎰f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________. 解析：11-⎰ f (x )d x ＝11-⎰ (3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝4，所以2(3a 2＋2a ＋1)＝4，即3a 2＋2a －1＝0， 解得a ＝－1或a ＝13. 答案：－1或1313．若等比数列{a n }的首项为23，且a 4＝⎠⎛14(1＋2x )d x ，则公比等于________．解析：⎠⎛14(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2)|41＝20－2＝18，q 3＝1823＝27，∴q ＝3.答案：314.aa -⎰|x |d x ＝________.解析：aa -⎰ |x |d x ＝⎠⎛0－a (－x )d x ＋⎠⎛0a x d x＝－12x 2|0－a ＋12x 2|a 0＝a 2. 答案：a 2三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)计算下列定积分的值： (1)31-⎰(4x －x 2)d x ； (2)21x⎰(1x ＋2cos x )d x ；(3)⎠⎛13(2x －1x 2)d x .解析：(1) 31-⎰(4x －x 2)d x ＝(2x 2－x 33)|3－1＝203.(2)21x ⎰(1x ＋2cos x )d x ＝(ln x ＋2sin x )21x ＝ln π2＋2－2sin 1.(3)⎠⎛13(2x －1x 2)d x ＝(x 2＋1x )|31＝223. 16．(10分)某物体以初速度5开始做直线运动，已知在任意时刻t 时的加速度为t 2＋2t ，请将位移s 表示为时间t 的函数式．解析：物体从起始点做匀变速直线运动，在时刻t 的位移s ＝s (t )，速度v ＝v (t )，加速度a ＝a (t )．从加速度求速度，再求位移．根据初始条件，就可确定位移s 的表达式．在时间区间[0，t ]上(t >0)，由微积分基本定理，得v (t )－v (0)＝⎠⎛0t a (t )d t ＝⎠⎛t 0(t 2＋2t )d t ＝t33＋t 2，由v (0)＝5，得v (t )＝t 33＋t 2＋5. 又s (t )－s (0)＝⎠⎛0t v (t )d t＝⎠⎛0t(t 33＋t 2＋5)d t ＝112t 4＋13t 3＋5t . 由s (0)＝0，得s ＝s (t )＝112t 4＋13t 3＋5t .17．(12分)如图所示，求由曲线y ＝14x 2，x ∈[0,3]，x ＝0及y ＝214所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所形成几何体的体积．解析：根据题意和图形，所求体积 V ＝940⎰π(2y )2d y ＝4π940⎰y d y ＝4π×12y 2940＝2π×8116＝81π8.18．(12分)在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线，使之与曲线以及x 轴所围成的图形的面积为112，试求切点A 的坐标以及过切点A 的切线方程． 解析：如图，设切点A (x 0，y 0)，由y ′＝2x ，过A 点的切线方程为y －y 0＝2x 0(x－x 0)，即y ＝2x 0x －x 20.令y ＝0，得x ＝x 02，即C (x 02，0)．设由曲线和过点A 的切线及x 轴所围成图形的面积为S ， S ＝S 曲边△AOB －S △ABC ， S 曲边△AOB ＝0x x 2d x ＝13x300x ＝13x 30.S △ABC ＝12|BC |·|AB |＝12(x 0－x 02)·x 20＝14x 30.即S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112.∴x 0＝1，从而切点A 的坐标为(1,1)，切线方程为 y ＝2x －1.。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．已知71()x x +展开式中，5x 的系数为a ，则62axdx =⎰（ ）A ．10B ．11C ．12D ．132．给出以下命题： （1）若()0haf x dx >⎰，则()0f x >；（2）20|sin |4x dx π=⎰；（3）()f x 的原函数为()F x ，且()F x 是以T 为周期的函数，则：()()aa TTf x dx f x dx +=⎰⎰其中正确命题的个数为（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．43．若正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心）的侧棱长为3，侧面与底面所成的角是45︒，则该正四棱锥的体积是（ ） A ．23B ．43C ．223D ．4234．设若20lg ,0()3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，((1))1f f =，则a 的值是( ) A ．-1 B ．2 C ．1 D ．-25．已知幂函数a y x =图像的一部分如下图，且过点(2,4)P ，则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．163B ．83C ．43D ．236．已知402cos 2d t x x π=⎰，执行下面的程序框图，如果输入的,2a t b t ==，那么输出的n 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．等比数列{}n a 中，39a =前三项和为32303S x dx =⎰，则公比的值是（ ）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．-1或12-8．若2221111,,,xa e dxb xdxc dx x ===⎰⎰⎰则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<9．由直线y= x - 4，曲线2y x =x 轴所围成的图形面积为（ ）A ．15B ．13C ．252D ．403 10．由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．2ln3-B ．4ln3+C ．4ln3-D ．32911．下列积分值最大的是（ ） A ．222sin +1x x dx -⎰（）B ．()22cos x dx ππ--⎰C ．24x dx --⎰D ．11edx x12．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′π()6，则f π()3-与f π()3的大小关系是( ) A ．f π()3-＝f π()3B ．f π()3-＞f π()3 C ．f π()3-＜f π()3D ．不确定二、填空题13．已知曲线与直线所围图形的面积______.14．()2208x x dx -=⎰______.15．定积分2211x dx x +=⎰ __________.16．已知曲线y x =2y x =-，与x 轴所围成的图形的面积为S ，则S =__________．17．函数()xf x e x =-在［-1，1］上的最小值__________． 18．计算(2224x x dx --⎰得__________．19．由直线0x =， 23x π=，0y =与曲线2sin y x =所围成的图形的面积等于________． 20．定积分120124x x dx π⎫--⎪⎭⎰的值______. 三、解答题21．设函数()32f x x ax bx =++在点1x =处有极值2-.(1)求常数,a b 的值;(2)求曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积.22．已知函数2()ln f x x a x =-（a R ∈），()F x bx =（b R ∈）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设2a =，()()()g x f x F x =+，若12,x x （120x x <<）是()g x 的两个零点，且1202x x x +=， 试问曲线()y g x =在点0x 处的切线能否与x 轴平行？请说明理由. 23．求曲线y x =2y x =-及y 轴围成的封闭图形的面积.24．已知函数1()ln f x a x x=-，a R ∈。
(北师大版)北京市高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(答案解析)
(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．
2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．
5．D
解析：D
【解析】
根据微积分定理， ， ， ，所以 ，故选择D。
6．B
解析：B
【解析】
设底面边长为 ，依据题设可得棱锥的高 ，底面中心到顶点的距离 ，由勾股定理可得 ，解之得 ，所以正四棱锥的体积 ，故应选答案B．
11．B
解析：B
【解析】
试题分析：由题意得，因为幂函数 图像过点 ，所以 ，解得 ，所以幂函数 ，则阴影部分的面积为 ，故选B.
考点：幂函数的解析式；定积分的应用.
12．D
解析：D
【解析】
∵（x2﹣2x）′=2x﹣2，
∴若 =t2﹣2t=8，又t＞0，解得t=4．选D.
二、填空题
13．108m【分析】令速度为0求出t的值0和6求出速度函数在上的定积分即可【详解】由得或当时质点运动的路程为故答案为：108m【点睛】本题主要考查了定积分定积分在物理中的应用属于中档题
【解析】
试题分析：解：因为
＝ ＝ ，所以 ，所以， 故选A.
考点：定积分.
4．D
解析：D
【解析】
(-sinx+cosx)dx (sinx-cosx)dx=2 (cosx－sinx)dx,选D.
点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤
(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；
(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；
解析：108m.
【分析】
令速度为0求出t的值0和6，求出速度函数在 上的定积分即可.
最新北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(答案解析)
一、选择题1．222024xdx x dx +-=⎰⎰( )A ．2π B ．12π+ C ．4π D ．π 2．在1100x y x y ==-=,,,围成的正方形中随机投掷10000个点，则落入曲线20x y -=,1y =和y 轴围成的区域的点的个数的估计值为（ ）A ．5000B ．6667C ．7500D ．78543．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A ．22B ．42C ．2D ．44．对于函数()sin x f x x =， 30,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，下列说法错误的是（ ） A ．函数()f x 在区间()0,π是单调函数 B ．函数()f x 只有1个极值点 C ．函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭有极大值 D ．函数()f x 有最小值，而无最大值 5．已知函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内存在单调递减区间，则实数m 的取值范围是（ ） A ．12m ≥B ．12m < C ．1m ≥ D ．1m < 6．已知函数()f x 的图像如图所示， ()f x '就()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）A ．()()()()224224f f f f <-'<'B ．()()()()242242f f f f '<<-'C ．()()()()222442f f f f '<<-'D ．()()()()422422f f f f '<'-< 7．如图，矩形ABCD 的四个顶点()(0,1),(,1),(,1),0,1A B C D ππ--，正弦曲线f xsinx 和余弦曲线()g x cosx =在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．8．曲线x y e =，x y e -=和直线1x =围成的图形面积是（ ） A ．1e e --B ．1e e -+C ．12e e ---D ．12e e -+-9．由曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为（ ） A ．52 B．4 C ．2 D ．9210．曲线与两坐标轴所围成图形的面积为（ ） A ．B ．C ．D ．11．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力单位：N ，位移单位：m)作用力下，沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处做的功是( )． A ．925 JB ．850 JC ．825 JD ．800 J12．已知125113,log ,log 3,a a x dx m a n p a-====⎰，则 （ ） A ．m n p << B ．m p n <<C ．p m n <<D ．p n m <<二、填空题13．若2211S x dx =⎰，2211S dx x =⎰，231x S e dx =⎰，则1S ，2S ，3S 的大小关系为___．14．若112lim 22n nn n n t t +-→+∞-=+ ，则实数t 的取值范围是_____________.15．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为_________.16．由曲线sin .cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形的面积是______.17．由曲线22y x =+与3y x =，1x =，2x =所围成的平面图形的面积为________________.18．若定义在R 上的函数()f x 对任意两个不等的实数12,x x 都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“z 函数”.给出下列四个定义在()0,+∞的函数：①31y x =-+；②2sinx-cosx y x =+；③,0{0,0ln x x y x ≠==；④224,0{,0x x x y x x x +≥=-+<，其中“z 函数”对应的序号为__________．19．()12021x x dx +-=⎰________20．从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M （x ，y ），则点M 取自阴影部分的概率为__．三、解答题21．已知函数32()f x x mx nx =++（,m n R ∈）（1）若()f x 在1x =处取得极大值，求实数m 的取值范围；（2）若'(1)0f =，且过点(0,1)P 有且只有两条直线与曲线()y f x =相切，求实数m 的值.22．已知函数()()2log 3a f x x =-++（0a >且1a ≠），()112x g x -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）函数()y f x =的图象恒过定点A ，求A 点坐标；（2）若函数()()()F x f x g x =-的图象过点()1,5--，证明：方程()0F x =在()1,5x ∈上有唯一解.23．设函数()()3223168f x x a x ax =-+++，其中a R ∈，已知()f x 在3x =处取得极值.（1）求()f x 在点()()1,1A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间.24．已知函数f （x ）=x 3-3ax+e ，g （x ）=1-lnx ，其中e 为自然对数的底数.（I ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线l ：x+2y=0垂直，求实数a 的值； （II ）设函数F （x ）=-x[g （x ）+12x-2]，若F （x ）在区间（m,m+1）（m ∈Z ）内存在唯一的极值点，求m 的值；（III ）用max{m ，n}表示m ，n 中的较大者，记函数h （x ）=max{f （x ），g （x ）}（x>0）. 若函数h （x ）在（0，+∞）上恰有2个零点，求实数a 的取值范围. 25．已知函数f （x ）=3sin2x cos 2x +cos 22x +m 的图象过点（56π，0）． （1）求实数m 值以及函数f （x ）的单调递减区间； （2）设y=f （x ）的图象与x 轴、y 轴及直线x=t （0＜t ＜23π）所围成的曲边四边形面积为S ，求S 关于t 的函数S （t ）的解析式．26．已知函数21()12f x x =-+，x ∈R . （1）求函数图像过点(1,1)的切线的方程；（2）求函数()f x 的图像与直线1y =-所围成的封闭图形的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】分别根据积分的运算法则和几何意义求得两个积分的值，进而得到结果. 【详解】220112x == 2224x dx -⎰表示下图所示的阴影部分的面积S2OA =，2OC = 4AOC π∴∠=12221422S ππ∴=⨯-⨯⨯=- 2220241122xdx x dx ππ+-∴=+-=⎰⎰故选：A 【点睛】本题考查积分的求解问题，涉及到积分的运算法则和几何意义的应用.2．B解析：B 【分析】应用微积分基本定理求出对应的原函数，再由定积分定义求出空白区域面积，由正方形面积减去空白区域面积即可求出阴影部分面积，结合几何概型可推导出对应区域内的点的个数 【详解】由微积分基本定理可求出2yx 的原函数为()313F x x =，空白区域面积为31101133S x ==，故阴影部分面积212133S =-=，由几何概型可知，落入阴影部分的点数估计值为21000066673⨯≈ 故选：B 【点睛】本题考查定积分与微积分的基本定理，几何概型，属于基础题3．D解析：D 【解析】直线4y x =与曲线3y x =的交点坐标为(0,0)和(2,8)， 故直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积23242001(4)2|8444S x x dx x x ⎛⎫=⎰-=-=-= ⎪⎝⎭．故选D ．4．C解析：C【解析】函数()sin x f x x =，可得函数()2cos sin 'x x x f x x -= ，当02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，由三角函数线可知， tan x x <，即不等式cos sin 0x x x -<成立，可得02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()'0f x < ，函数是减函数．当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， cos sin 0x x x -<，函数是减函数．函数在2x π= 时连续，所以函数()()sin 0,xf x x xπ=∈，的单调区间为()0π，，又当3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， cos sin 0x x x ->，即()'0f x >，则函数在x π=时取得极小值，所以函数()f x 有最小值，而无最大值，据此可知选项C 错误，故选C. 点睛：对于①针对函数()sin x f x x =的性质，当02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，由三角函数线可知， tan x x <；利用商的导数运算法则及基本初等函数的导数公式，求出函数的导数()2cos sin 'x x xf x x-=，然后根据导函数的符号确定函数的单调性和函数的极值即可得到结论．5．B解析：B【解析】求导函数，可得()1'220f x mx x x=+->，，函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内是增函数，所以()'0f x < 成立，即1220(0)mx x x+-<>恒成立，所以21211m x ⎛⎫->-- ⎪⎝⎭，所以21m ->-，所以12m < 时，函数()f x 在定义域内是增函数．故选B ．6．A解析：A【解析】解：观察所给的函数图象可知： ()()()()42'2'442f f f f -<<- ，整理可得： ()()()()224224f f f f <-'<' . 本题选择A 选项.7．B解析：B 【解析】试题分析：阴影部分的面积()044sin cos (cos sin )|12S x x dx x x ππππ=-=--=+⎰由几何概型可知：向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是01+2=2ABCDS P S π=矩形 ，故选B ． 考点：几何概型．8．D解析：D 【解析】试题分析：根据题意画出区域，作图如下，由{x xy e y e-==解得交点为（0，1），∴所求面积为：()()1101|2x x x x S e e dx e e e e --=-=+=+-⎰ 考点：定积分及其应用9．D解析：D 【解析】试题分析：由定积分的几何意义得，293122122132221=-+=-+=--⎰)(])[(x x x dx x x s ,故选D 。
(北师大版)北京市高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(答案解析)
一、选择题1．给出以下命题： （1）若()0haf x dx >⎰，则()0f x >；（2）20|sin |4x dx π=⎰；（3）()f x 的原函数为()F x ，且()F x 是以T 为周期的函数，则：()()aa TTf x dx f x dx +=⎰⎰其中正确命题的个数为（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数sin (11)()1(12)x x f x x x-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则21()f x dx -=⎰( ) A ．ln 2 B ．ln 2-C ．12-D ．3cos 1-3．已知()22214a x ex dx π-=--⎰，若()201620121ax b b x b x -=++ 20162016b x ++（x R ∈），则12222b b + 201620162b ++的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．e4．由23y x =-和2y x =围成的封闭图形的面积是（ ） A ．23 B ．923- C ．323 D ．3535．曲线3y x =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为（ ） A ．83B ．73C ．53D ．436．如图，设D 是途中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数1(0)y x x=>图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E 的面积为（ ）A ．ln 2B ．1ln 2-C ．2ln 2-D ．1ln 2+7．曲线22y x x =-与直线11x x =-=，以及x 轴所围图形的面积为（ ）A ．2 B．83 C ．43 D ．238．等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为3230S x dx =⎰，则公比q 的值是（ ）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．1-或12-9．函数()325f x x x x =+-的单调递增区间为（ ） A ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和1,B ．5,3⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭1,C ．(),1-∞-和5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞-⋃5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭10．由直线,1y x y x ==-+，及ｘ轴所围成平面图形的面积为 （ ） A ．()101y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰B ．()1201x x dx ⎡⎤-+-⎣⎦⎰C ．()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰D ．()101x x dx ⎡⎤--+⎣⎦⎰11．设函数2e ,10()1,01xx f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，计算11()d f x x -⎰的值为（ ） A ．1e πe 4-+ B ．e 1πe 4-+ C ．e 12πe 4-+D ．e 1πe 2-+ 12．定义{},,min ,,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设31()min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则由函数()f x 的图象与x 轴、直线4x =所围成的封闭图形的面积（ ）A ．12ln 26+ B ．12ln 24+ C ．1ln 24+ D ．1ln 26+ 二、填空题13．如图所示，直线y kx =分抛物线2y x x 与x 轴所围图形为面积相等的两部分，则k的值为__________．14．定积分211dx x⎰的值等于________. 15．曲线y=x 2与y=x 所围成的封闭图形的面积为______．16．在平面直角坐标系中，角α的始边落在x 轴的非负半轴，终边上有一点是()1,3-，若[)0,2απ∈，则cos xdx αα-=⎰______．17．曲线()sin 0πy x x =≤≤与x 轴围成的封闭区域的面积为__________． 18．()1||214x e x dx -+-=⎰__________________19．已知函数2()2ln f x x x =-，若方程()0f x m +=在1[,]e e内有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围是__________．20．已知等差数列{}n a 中， 225701a a x dx +=-⎰，则468a a a ++=__________．三、解答题21．计算： （1）781010C C +； （2）222(24)x x dx -+-⎰.22．现有一个以OA 、OB 为半径的扇形池塘，在OA 、OB 上分别取点C 、D ，作DE OA 、CF OB 分别交弧AB 于点E 、F ，且BD AC =，现用渔网沿着DE 、EO 、OF 、FC 将池塘分成如图所示的养殖区域.已知1km OA =，2AOB π∠=，EOF θ∠=（02πθ<<）.（1）若区域Ⅱ的总面积为21km 4，求θ的值； （2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元，试问：当θ为多少时，年总收入最大？23．已知函数()3269f x x x x =-+-．若过点()1,P m -可作曲线()y f x =的切线有三条，求实数m 的取值范围．24．已知函数()121f x x x a =+--+ （1）当0a =时，解不等式()0f x ≥；（2）若二次函数2814y x x =-+-的图象在函数()y f x = 的图象下方，求a 的取值范围·25．利用定积分的定义，计算221(2)d x x x -+⎰的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．26．设函数()ln h x x x =，()()()h x a h x f x x a+-=+，其中a 为非零实数.（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）是否存在a 使得()f x a ≤恒成立？若存在，求a 的取值范围，若不存在请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】(1)根据微积分基本定理,得出()()()0haf x dx F h F a =->⎰,可以看到与()f x 正负无关.(2)注意到sin x 在[]0,2π的取值符号不同,根据微积分基本运算性质,化为220|sin ||sin ||sin |x dx x dx x dx ππππ=+⎰⎰⎰求解判断即可.(3)根据微积分基本定理,两边分别求解,再结合()()F a T F a +=,()()0F T F =判定. 【详解】 (1)由()()()0haf x dx F h F a =->⎰,得()()F h F a >,未必()0f x >.(1)错误.(2)()22200|sin ||sin ||sin |sin sin x dx x dx x dx xdx x dx πππππππ=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰()()20cos |cos |11114x x πππ=-+=--+--=,(2)正确.(3)()()0()0af x dx F a F =-⎰,()()()()()0a TTf x dx F a T F T F a F +=+-=-⎰；故()()aa T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；(3)正确.所以正确命题的个数为2, 故选：B.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定与定积分的计算,属于中档题.2．A解析：A 【分析】将所求积分分成两段来进行求解，根据积分运算法则可求得结果. 【详解】()21212111111sin cos ln cos1cos1ln 2ln1ln 2f x dx xdx dx x x x ---=+=-+=-++-=⎰⎰⎰ 故选：A 【点睛】本题考查积分的计算问题，关键是能够按照分段函数的形式将所求积分进行分段求解.3．A解析：A 【解析】因为22x -表示的是以原点为圆心、半径为2的上半圆的面积，即22πx -=，222221e d (e )|02x x x --==⎰，所以)221e d 2a x x π-==⎰，则()2016201212x b b x b x -=++ 20162016b x ++，令0x =，得01b =，令12x =，得1202022b b b =++ 201620162b ++，则12222b b + 2016201612b ++=-；故选A. 点睛：在处理二项展开式的系数问题要注意两个问题：一是要正确区分二项式系数和各项系数；二要根据具体问题合理赋值（常用赋值是1、-1、0）.4．C解析：C 【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示，所以围成的面积为()13122333232333x x x dx x x --⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭⎰.考点：定积分.5．A解析：A 【解析】 试题分析：()'323x x=,所以切线方程为13(1),32y x y x -=-=-,所以切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积()2238323S x dx =-=⎰.考点：1、切线方程；2、定积分.【易错点晴】本题易错点有三个,一个是切线方程,错解为看成过()1,1的切线方程；第二个错误是看成与y 轴围成的面积,()()22320328103232333S x dx x dx =--+-=+=⎰⎰；第三个是没有将切线与x 轴的交点求出来,导致没有办法解决题目.切线的常见问题有两种,一种是已知切点求切线方程；另一种是已知切线过一点求切线方程,两种题目都需要我们认真掌握.6．D解析：D 【解析】试题分析：由题意，阴影部分E 由两部分组成，因为函数1(0),y x x=>当2y =时，1,2x =所以阴影部分E 的面积为1111221121ln |1ln 2,2dx x x ⨯+=+=+⎰故选D ． 考点：利用定积分在曲边形的面积．7．A解析：A 【解析】试题分析：在抄纸上画出图像，可根据图像列出方程1221(20)(2)x x dx x x dx---+-+⎰⎰=320321111()33x x x x --+-+=110(1)(1)33---+-+=4233+=2考点：区间函数的运用8．C解析：C 【分析】先由微积分基本定理得到327S =，再由等比数列的求和公式以及通项公式，即可求出结果. 【详解】23312333133|2727003S x dx x a a a =⎰=⋅=∴++=，，即333227a a a q q ++=，解得1q =或1-2q =． 【点睛】本题主要考查定积分的就算，以及等比数列的公比，熟记微积分基本定理，以及等比数列的通项公式及前n 项和公式即可，属于常考题型.9．C解析：C 【解析】由题意得，2'()325f x x x =+- ，令5'()013f x x x >⇒><-或，故选C. 10．C解析：C 【解析】如图，由直线y=x ，y=−x+1，及x 轴围成平面图形是红色的部分，它和图中蓝色部分的面积相同，∵蓝色部分的面积()121S x x dx ⎡⎤=--⎣⎦⎰，即()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰.本题选择C 选项.11．B解析：B 【解析】因为函数2e ,10()1,01x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，所以102110()d e d 1d x f x x x x x --=+-⎰⎰⎰，其中01101e 1e d e e e 11e e x x x ---==-=-=-⎰，201d x x -表示圆221x y +=在第一象限的面积，即2π1d 4x x -=⎰，所以11e 1π()d e 4f x x --=+⎰，故选B ．12．B解析：B 【解析】由31x x=，得1x =±，则图象的交点为(1,1)--，(1,1) ∵()31min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∴根据对称性可得函数()f x 的图象与x 轴、直线4x =所围成的封闭图形的面积为143401141111|ln |ln 42ln 201444x dx dx x x x +=+=+=+⎰⎰ 故选B二、填空题13．【分析】根据题意求出直线与抛物线的交点横坐标再根据定积分求两部分的面积列出等式求解即可【详解】联立或由图易得由题设得即即化简得解得故答案为：【点睛】本题主要考查了定积分的运用需要根据题意求到交界处的解析：341【分析】根据题意求出直线与抛物线的交点横坐标,再根据定积分求两部分的面积,列出等式求解即可. 【详解】联立2y x x y kx⎧=-⇒⎨=⎩ 0x =或1x k =-.由图易得1,11x k k由题设得()()112212kx xkx dx x x dx ---=-⎰⎰, 即232123100111111||232223k x x kx x x -⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 即()()()232111111123212k k k k -----= 化简得()3112k -=. 解得341k = 故答案为：3412- 【点睛】本题主要考查了定积分的运用,需要根据题意求到交界处的点横坐标,再根据定积分的几何意义列式求解即可.属于中档题.14．ln2【分析】直接根据定积分的计算法则计算即可【详解】故答案为：ln2【点睛】本题考查了定积分的计算关键是求出原函数属于基础题解析：ln 2【分析】直接根据定积分的计算法则计算即可． 【详解】22111|2dx lnx ln x==⎰， 故答案为：ln2． 【点睛】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．15．【分析】首先求得两个函数交点的坐标然后利用定积分求得封闭图形的面积【详解】根据解得画出图像如下图所示封闭图像的面积为【点睛】本小题主要考查利用定积分求封闭图形的面积考查运算求解能力属于基础题解题过程解析：16【分析】首先求得两个函数交点的坐标，然后利用定积分求得封闭图形的面积. 【详解】根据2y x y x⎧=⎨=⎩解得()()0,01,1,.画出图像如下图所示，封闭图像的面积为()12x x dx -⎰2310111|23236x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查利用定积分求封闭图形的面积，考查运算求解能力，属于基础题.解题过程中首先求得两个函数图像的交点坐标，然后画出图像，判断出所要求面积的区域，然后利用微积分基本定理求得封闭图形的面积.16．【解析】【分析】可得再利用微积分基本定理即可得出【详解】则故答案为【点睛】本题考查了微积分基本定理三角函数求值考查了推理能力与计算能力属于基础题 3【解析】【分析】tan 3α=-，[)0,2απ∈，可得2.3πα=再利用微积分基本定理即可得出． 【详解】tan 3α=-，[)0,2απ∈，23πα∴=． 则()23232233cos sin |sin sin 33322xdx x αππαππ--⎛⎫⎛⎫==--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰． 故答案为3 【点睛】本题考查了微积分基本定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17．2【解析】与轴所围成的封闭区域的面积故答案为2解析：2 【解析】sin (0π)y x x =≤≤与x 轴所围成的封闭区域的面积ππsin d cos cos πcos020S x x x==-=-+=⎰，故答案为2.18．【解析】由定积分的几何意义知：是如图所示的阴影部分曲边梯形的面积其中故故故故答案为 解析：22233e π+-+【解析】11221424x dx x dx --=-⎰⎰,由定积分的几何意义知：1204x dx -⎰是如图所示的阴影部分曲边梯形OABC 的面积，其中()1,3,30B BOC ∠=，故1223π-==+11101022|22xx x e dx e dx e e -===-⎰⎰，故(112223xe dx e π-=+-⎰2223e π+-19．【解析】当时在为增函数当时在为减函数当时有极大值也为最大值又因此本题正确答案是:解析：21(1,2]e +． 【解析】2(1)(1)'()x x f x x-+=,∴当1[,1)x e∈时, '()0f x >,()f x 在1[,1)e 为增函数,当(1,)x e ∈时, '()0f x <,()f x 在(1,)e 为减函数,∴当1x =时, ()f x 有极大值,也为最大值, (1)1f =-,又2211()2,()2f f e e e e=--=-, 2121m e --≤-<-, 2112m e ∴<≤+. 因此，本题正确答案是: 21(1,2]e +. 20．3【解析】由题意得即则解析：3【解析】由题意，得()()()()21222221220101111||2x dx x dx xdx x x x x -=-+-=-+-=⎰⎰⎰，即57622a a a +==，则468633a a a a ++==.三、解答题21．（1）165（2）2π 【分析】（1）直接根据组合数公式计算即可；（2）直接利用牛顿—莱布尼茨公式，定积分的几何意义计算即可. 【详解】（1）78831010111111109165321C C C C ⨯⨯===⨯⨯+=.（2）(2222222x dx xdx ---=+⎰⎰⎰，其中222222|440xdx x --==-=⎰，2-⎰表示的是半径为2的圆的面积的12，即22π-=⎰，所以(222022x dx ππ-=+=⎰.【点睛】本题考查组合数公式的计算，定积分的计算，解题的关键是理解定积分的几何意义，考查学生的运算能力，属于基础题. 22．（1）3πθ=（2）6πθ=【解析】试题分析：（1）本问考查解三角函数的实际应用，由OB OA =及BD AC =可知OD OC =，根据条件易证Rt Rt ODE OCF ≌，所以DOE COF ∠=∠= 122πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由cos OC OF COF =⋅∠可以求出12COFS OC OF =⋅⋅⋅ 1sin cos 4COF θ∠=，所以区域Ⅱ的总面积为11cos 24θ=，则1cos 2θ=，可以求出θ的值；（2）本问考查函数的最值问题，区域Ⅰ的面积可以根据扇形面积公式求得，区域Ⅱ的面积第（1）问中已经求出，区域Ⅲ的面积可以用1/4圆的面积减去区域Ⅰ、Ⅱ的面积，于是得到年收入函数，利用导数求函数的最大值即可得出年收入的最大值. 试题（1）因为BD AC =，OB OA =，所以OD OC =. 因为2AOB π∠=，DE OA ，CF OB ，所以DE OB ⊥，CF OA ⊥.又因为OE OF =，所以Rt Rt ODE OCF ≌. 所以DOE COF ∠=∠= 122πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 又cos OC OF COF =⋅∠ 所以12COFSOC OF =⋅⋅⋅ 1sin cos 4COF θ∠= 所以1cos 2S 区域Ⅱθ=（02πθ<<）. 由11cos 24θ=得1cos 2θ=，02πθ<<，3πθ∴=. （2）因为12S θ=区域Ⅰ，所以S S S S =--=区域Ⅲ总区域Ⅰ区域Ⅱ 11cos 422πθθ--.记年总收入为y 万元， 则113040cos 22y θθ=⨯+⨯120(42πθ+⨯- 1cos )2θ- 5510cos πθθ=++（02πθ<<），所以()512sin y θ=-'，令0y '=，则6πθ=.当06πθ<<时，0y '>；当62ππθ<<时，0y '<.故当6πθ=时，y 有最大值，即年总收入最大.考点：1.三角函数的实际应用；2.利用导数研究函数的最值.23．1116m -<<【解析】 【分析】首先写出切线方程，然后将问题转化为方程有三个实数根的问题，利用导函数研究函数的极值即可确定m 的取值范围. 【详解】设过P 点的切线切曲线于点()00,x y ,则切线的斜率2003129k x x =-+-.所以切线方程为()()20031291y x x x m =-+-++，故()()23200000003129169y x x xm x x x =-+-++=-+-，要使过P 可作曲线()y f x =的切线有三条，则方程()()2320000003129169x x xm x x x -+-++=-+-有三解0032023129,m x x x ∴=--+()3223129g x x x x =--+令则()()()26612612g x x x x x =--=+-'易知1,2x =-为()g x 的极值大、极小值点，又()()11,16,g x g x =-=极小极大 故满足条件的m 的取值范围1116.m -<< 【点睛】本题主要考查导函数研究函数的切线，导函数研究函数的极值，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 24．（1）1{x |x 3}3≤≤；（2）13a 4>． 【解析】 【分析】()1a 0=时，将不等式移项平方分解因式可解得；()2根据题意，只需要考虑x 1>时，两函数的图象位置关系，利用抛物线的切线与抛物线的位置关系做． 【详解】() 1当a 0=时，不等式()f x 0≥化为：x 12x 10+--≥，移项得x 12x 1+≥-，平方分解因式得()()3x 1x 30--≤， 解得1x 33≤≤，解集为1{x |x 3}3≤≤． ()2化简得()x 3a,x 1f x 3x 1a,1x 1x 3a,x 1-+≤-⎧⎪=-+-<≤⎨⎪-++>⎩，根据题意，只需要考虑x 1>时，两函数的图象位置关系， 当x 1>时，()f x x 3a =-++， 由2y x 8x 14=-+-得y'2x 8=-+，设二次函数与直线y x 3a =-++的切点为()00x ,y ， 则02x 81-+=-，解得09x 2=，所以07y 4=， 代入()f x x 3a =-++，解得13a 4=， 所以a 的取值范围是13a 4>． 【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，以及导数的几何意义的应用问题，其中解答中熟记含绝对值不等式的求解方法，合理分类是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题．25．由直线1x =，2x =，0y =与曲线2()2f x x x =-+所围成的曲边梯形的面积． 【分析】利用定积分的定义在区间[]1,2进行分割，后近似代替、作和，取极限，可得()2212xx dx -+⎰的值，与其表示的几何意义.【详解】解：令()22f x x x =-+．（1）分割：在区间[]1,2上等间隔地插入1n -个分点，将它等分成n 个小区间()1,1,2,,n i n i i n n n +-+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其长度为11n i n i x n n n++-∆=-=． （2）近似代替、作和：取()11,2,,i ii n nξ=+=，则2111(1)121nn n i i i i i S f x n n n n==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅∆=-+++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑()()()()()2223212122122n n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤=-+++++++++++⎣⎦⎣⎦()()()()()32221411211212662n n n n n n n n n n n ⎡⎤++++++=--+⋅⎢⎥⎣⎦11111112412336n n n n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（3）取极限：()221111111122lim lim 24123363n n n x x dx S n n n n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+==-+++++++= ⎪⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰．()221223xx dx -+=⎰的几何意义：由直线1x =，2x =，0y =与曲线()22f x x x =-+所围成的曲边梯形的面积． 【点睛】本题主要考查利用定积分的定义求定积分,并求其几何意义，属于中档题型. 26．(1)()f x 有极大值(1)ln 2f =，无极小值；(2)见解析. 【解析】试题分析：（1）由题意，利用导数法进行求解，通过导数研究函数()f x 的单调性，从而求出该函数的极值，问题得于解决；（2）由题意，可将问题转化为()max f x a ≤，利用导数法，对参数a 进行分段讨论()f x '的符号，经过逐层深入研究，由此求出函数()f x 的最大值，从而问题得于解决. 试题（1）∵()()ln ln x f x x a x x a =+-+ ()ln 1ln a x a x x a=+--+， ∴()()21'ln 1a f x x x a x a =--++ ()21ln a ax x a x x a -=-++， 当1a =时，()()2ln '01xf x x =->+ 01x ⇔<<，()'01f x x ⇔，∴()f x 有极大值()1ln2f =，无极小值；（2）当0a >时，()'001f x x >⇔<<，()'01f x x ⇔，∴()()()1ln 1f x f a ≤=+，设()()()ln 10u a a a a =+->，则()1'1011a u a a a=-=-<++， ∴()()00u a u <=，故()f x a ≤恒成立，当0a <时，()()ln 1a a xf x ln x a x x a⎛⎫=++>- ⎪+⎝⎭， 由于2ln 112a a a a e x x ⎛⎫+>⇔+> ⎪⎝⎭ 21a a x e ⇔>-，ln ln 22a x a x a x x a +>⇔<+，()*设()ln x v x x e =-，则()'e xv x ex-=， ()'00v x x e >⇔<<，()'0v x x e ⇔，∴()()0v x v e ≤=，即ln xx e≤， 则只需2x x a e +<，()*⇒成立， 而22x x a ea x e e +-⇔-，∴2ea x e ->-时，ln 2a x ax a >+， 故取02max ,21a a ea x e e ⎧⎫-⎪⎪=⎨⎬-⎪⎪-⎩⎭，显然0x a >-， 由上知当0x x >时，ln 12a a x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，ln 2a x ax a >+，∴()f x a >， 综上可知，当0a >时，()f x a ≤恒成立.。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》检测(答案解析)
一、选择题1．设11130,,a xdx b xdx c x dx ===⎰⎰⎰，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．a b c >>2．曲线22y x x =-与直线11x x =-=，以及x 轴所围图形的面积为（ ） A ．2 B ．83 C ．43 D ．233．曲线与两坐标轴所围成图形的面积为（ ） A ．B ．C ．D ．4．定积分()1e2xx dx -⎰的值为（ ）A ．e 2-B ．e 1-C ．eD ．e 1+5．图中阴影部分的面积用定积分表示为（ ）A ．12d xx ⎰B ．()1021d xx -⎰C ．()1021d xx +⎰D ．()1012d xx -⎰6．20ln 1()231mx x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，，，且()()10f f e =，则m 的值为（ ） A ．1B ．2C ．1-D ．2-7．定义{},,min ,,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设31()min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则由函数()f x 的图象与x 轴、直线4x =所围成的封闭图形的面积（ ）A ．12ln 26+ B ．12ln 24+ C ．1ln 24+ D ．1ln 26+ 8．由直线0,,2y x e y x ===及曲线2y x=所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．3B ．32ln 2+C ．223e -D ．e9．函数()2,02x x f x x -<⎧=≤≤，则22()f x dx -⎰的值为（ ）A ．6π+B ．2π-C ．2πD ．810．已知函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩,则12()f x dx π-⎰的值等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．10)x dx ⎰=（ ） A ．22π+B ．12π+ C ．122π-D ．142π- 12．设[0,1]()1,[1,0)x f x x x ∈=+∈-⎪⎩，则11()f x dx -⎰等于（ ）A ．12π+B ．122π+ C ．124π+ D ．14π+二、填空题13．323x dx -⎫=⎪⎪⎭⎰____________________. 14．已知0a >，6x ⎫-⎪⎭展开式的常数项为15，则(02a x x dx -++=⎰______.15．曲线y =21y x =-及x 轴所围成的封闭图形的面积为 ____．16．在直线0x =，1x =，0y =，1y e =+围成的区域内撒一粒豆子，则落入0x =，1y e =+，e 1x y =+围成的区域内的概率为__________．17．由直线2y x =+与曲线2yx 围成的封闭图形的面积是__________．18．设函数2()f x ax b =+（0a ≠），若300()3()f x dx f x =⎰，00x >，则0x =__________．19．已知等差数列{}n a 中， 225701a a x dx +=-⎰，则468a a a ++=__________．20．曲线2y x和曲线y =________．三、解答题21．如图，四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，ED ⊥面ABCD ，EF AB ∥，22ED AD EF ===，M 为BC 的中点．（1）求证：FM ∥平面BDE ；（2）若G 为线段BE 上一点，当三棱锥B GCD -23BG BE 的值．22．已知函数31()ln 2f x x ax x =--()a R ∈.（1）若()f x 在(1,2)上存在极值，求(1)f 的取值范围； （2）当0x >时，()0f x <恒成立，比较a e 2e. 23．为了降低能源消耗，某冷库内部要建造可供使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为4万元，又知该冷库每年的能源消耗费用c （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系()(010)25kc x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小？并求最小值.24．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到有关部门的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用如下函数给出：3221362936,69844159{,91084366345,1012t t t t y t t t t t --+-≤<=+≤≤-+-<≤ 求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻．25．已知函数()1x f x e ex =--，其中e 为自然对数的底数，函数()(2)g x e x =-.（1）求函数()()()h x f x g x =-的单调区间； （2）若函数(),,()(),f x x m F x g x x m ≤⎧=⎨>⎩的值域为R ，求实数m 的取值范围.26．已知二次函数()21f x ax bx =+-在1x =-处取得极值，且在点()0,1-处的切线与直线20x y -=平行. （1）求()f x 的解析式；（2）求函数()()2g x xf x x =+的极值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】根据微积分定理，13120022|33a xdx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰，1210011|22b xdx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰，13410011|44c x dx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰，所以a b c >>，故选择D 。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》检测(答案解析)(4)
一、选择题1．已知71()x x +展开式中，5x 的系数为a ，则62axdx =⎰（ ）A ．10B ．11C ．12D ．132．给出以下命题： （1）若()0haf x dx >⎰，则()0f x >；（2）20|sin |4x dx π=⎰；（3）()f x 的原函数为()F x ，且()F x 是以T 为周期的函数，则：()()aa TTf x dx f x dx +=⎰⎰其中正确命题的个数为（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．43．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A ．22B ．42C ．2D ．44．若函数()32nxf x x x =++在点()1,6M 处切线的斜率为33ln3+，则n 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．35．设函数()f x 是R 上的奇函数， ()()f x f x π+=-，当02x π≤≤时，()cos 1f x x =-，则22x ππ-≤≤时， ()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积为（ ）A ．48π-B ．24π-C ．2π-D ．36π- 6．已知10(31)()0ax x b dx ，,a b ∈R ，则⋅a b 的取值范围为（ ）A ．1,9B ．1,1,9C ．1,[1,)9D ．()1,+∞7．图中阴影部分的面积用定积分表示为（ ）A ．12d xx ⎰B ．()1021d xx -⎰C ．()1021d xx +⎰D ．()1012d xx -⎰8．使函数()322912f x x x x a =-+-图象与x 轴恰有两个不同的交点，则实数a 可能的取值为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．29．由直线,1y x y x ==-+，及ｘ轴所围成平面图形的面积为 （ ） A ．()101y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰B ．()1201x x dx ⎡⎤-+-⎣⎦⎰C ．()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰D ．()101x x dx ⎡⎤--+⎣⎦⎰10．若2221111,,,xa e dxb xdxc dx x ===⎰⎰⎰则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<11．由直线0,,2y x e y x ===及曲线2y x=所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．3B ．32ln 2+C ．223e -D ．e12．已知函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩,则12()f x dx π-⎰的值等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．232(x dx -=⎰___________14．计算 121dx x--⎰=_____________． 15．若112lim 22n nn n n t t +-→+∞-=+ ，则实数t 的取值范围是_____________.16．(22sin x dx -=⎰______.17．曲线y=x 2与y=x 所围成的封闭图形的面积为______． 18．曲线2yx 与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为_______________.19．由直线0x =， 23x π=，0y =与曲线2sin y x =所围成的图形的面积等于________．20．如图，两曲线2y x =，2y x 围成图面积__________．三、解答题21．设函数()()3223168f x x a x ax =-+++，其中a R ∈，已知()f x 在3x =处取得极值. （1）求()f x 在点()()1,1A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间. 22．计算： （1）781010C C +； （2）222(24)x x dx -+-⎰.23．设点P 在曲线2yx 上，从原点向(2,4)A 移动，如果直线OP ，曲线2yx 及直线2x =所围成的两个阴影部分的面积分别记为1S ，2S ，如图所示.（1）当12S S 时，求点P 的坐标；（2）当12S S +有最小值时，求点P 的坐标.24．已知函数()3269f x x x x =-+-．若过点()1,P m -可作曲线()y f x =的切线有三条，求实数m 的取值范围．25．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为AB 的中点.求：（1）异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值； （2）点A 到平面1A EC 的距离.26．已知函数f （x ）=3sin2x cos 2x +cos 22x +m 的图象过点（56π，0）． （1）求实数m 值以及函数f （x ）的单调递减区间； （2）设y=f （x ）的图象与x 轴、y 轴及直线x=t （0＜t ＜23π）所围成的曲边四边形面积为S ，求S 关于t 的函数S （t ）的解析式．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用二项式的通项公式求得7a =，从而求得762xdx ⎰的值.【详解】在71()x x +展开式中，得二项式的通项公式7721771rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 令725r -=，解得1r =，所以5x 的系数为177C =，即7a =.所以7267662213axdx xdx x ===⎰⎰.故选：D 【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，求定积分的值，属于中档题．2．B解析：B 【分析】(1)根据微积分基本定理,得出()()()0haf x dx F h F a =->⎰,可以看到与()f x 正负无关.(2)注意到sin x 在[]0,2π的取值符号不同,根据微积分基本运算性质,化为220|sin ||sin ||sin |x dx x dx x dx ππππ=+⎰⎰⎰求解判断即可.(3)根据微积分基本定理,两边分别求解,再结合()()F a T F a +=,()()0F T F =判定. 【详解】 (1)由()()()0haf x dx F h F a =->⎰,得()()F h F a >,未必()0f x >.(1)错误.(2)()22200|sin ||sin ||sin |sin sin x dx x dx x dx xdx x dx πππππππ=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰()()20cos |cos |11114x x πππ=-+=--+--=,(2)正确.(3)()()0()0af x dx F a F =-⎰,()()()()()0a TTf x dx F a T F T F a F +=+-=-⎰；故()()aa T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；(3)正确.所以正确命题的个数为2, 故选：B. 【点睛】本题主要考查了命题真假的判定与定积分的计算,属于中档题.3．D解析：D 【解析】直线4y x =与曲线3y x =的交点坐标为(0,0)和(2,8)， 故直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积23242001(4)2|8444S x x dx x x ⎛⎫=⎰-=-=-= ⎪⎝⎭．故选D ．4．A解析：A【解析】由题意，得()13ln32n x f x nx-=++'， ()13ln3233ln3f n =++=+'，所以1n =；故选A.5．A解析：A【解析】由题设()()()()2f x f x f x f x ππ+=-⇒+=，则函数()y f x =是周期为2π的奇函数，画出函数()[],0,2y f x x π=∈的图像，结合函数的图像可知：只要求出该函数(),0,2y f x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的图像与x 轴所围成的面积即可。
新北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(含答案解析)(4)
一、选择题1．给出以下命题： （1）若()0haf x dx >⎰，则()0f x >；（2）20|sin |4x dx π=⎰；（3）()f x 的原函数为()F x ，且()F x 是以T 为周期的函数，则：()()aa TTf x dx f x dx +=⎰⎰其中正确命题的个数为（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．42．4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成，则每片叶子的面积为（） A ．16B ．36C ．13D ．233．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A ．22B ．42C ．2D ．44．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（ ）A ．1eB ．11e - C ．11e-D ．21e e -- 5．已知是i 虚数单位，复数()1a i z a R i -=∈-，若01||(sin )z x dx ππ=-⎰，则a =（ ）A ．±1B ．1C ．1-D ．12±6．已知函数()f x 的图像如图所示， ()f x '就()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）A ．()()()()224224f f f f <-'<'B ．()()()()242242f f f f '<<-'C ．()()()()222442f f f f '<<-'D ．()()()()422422f f f f '<'-< 7．设函数()f x 是R 上的奇函数， ()()f x f x π+=-，当02x π≤≤时，()cos 1f x x =-，则22x ππ-≤≤时， ()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积为（ ）A ．48π-B ．24π-C ．2π-D ．36π- 8．已知10(31)()0ax x b dx ，,a b ∈R ，则⋅a b 的取值范围为（ ）A ．1,9B ．1,1,9C ．1,[1,)9D ．()1,+∞9．20ln 1()231mx x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，，，且()()10f f e =，则m 的值为（ ） A ．1B ．2C ．1-D ．2-10．若2221111,,,xa e dxb xdxc dx x ===⎰⎰⎰则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<11．由曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为( ) A ．172ln 22- B ．152ln 22- C ．15+2ln 22D ．17+2ln 2212．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′π()6，则f π()3-与f π()3的大小关系是( ) A ．f π()3-＝f π()3B ．f π()3-＞f π()3 C ．f π()3-＜f π()3D ．不确定二、填空题13．定积分121x x dx -⎰-=______. 14．已知12ea dx x=⎰，则()()41x x a ++展开式中3x 的系数为______.15．定积分121(4sin )x x dx --+=⎰________.16．定积分211(2)x dx x+⎰的值为_____ ．17．已知等差数列{}n a 中， 225701a a x dx +=-⎰，则468a a a ++=__________．18．若定义在R 上的函数()f x 对任意两个不等的实数12,x x 都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“z 函数”.给出下列四个定义在()0,+∞的函数：①31y x =-+；②2sinx-cosx y x =+；③,0{0,0ln x x y x ≠==；④224,0{,0x x x y x x x +≥=-+<，其中“z 函数”对应的序号为__________．19．计算()2224x x dx -+-⎰得__________．20．2(1)x dx -=⎰________.三、解答题21．已知2()2ln ,(0,]f x ax x x e =-∈ 其中e 是自然对数的底 . (1)若()f x 在1x = 处取得极值,求a 的值； (2)求()f x 的单调区间；22．（2015秋•钦州校级期末）求曲线y=sinx 与直线，，y=0所围成的平面图形的面积．23．由定积分的性质和几何意义，求出下列各式的值： （1）22aa x dx --⎰；（2）()1201(1)x x dx --⎰.24．（1）求曲线2y x 和曲线y x =（2cos351sin 20︒︒︒-．25．如图：已知2y ax bx =+通过点（1,2），与22y x x =-+有一个交点横坐标为1x ，且0,1a a <≠-.（1）求2y ax bx =+与22y x x =-+所围的面积S 与a 的函数关系； （2）当,a b 为何值时，S 取得最小值.26．有一动点P 沿x 轴运动,在时刻t 的速度为v (t )=8t-2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致). (1)P 从原点出发,当t=6时,求点P 运动的路程; (2)P 从原点出发,经过时间t 后又返回原点,求t 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【分析】(1)根据微积分基本定理,得出()()()0haf x dx F h F a =->⎰,可以看到与()f x 正负无关.(2)注意到sin x 在[]0,2π的取值符号不同,根据微积分基本运算性质,化为220|sin ||sin ||sin |x dx x dx x dx ππππ=+⎰⎰⎰求解判断即可.(3)根据微积分基本定理,两边分别求解,再结合()()F a T F a +=,()()0F T F =判定. 【详解】 (1)由()()()0haf x dx F h F a =->⎰,得()()F h F a >,未必()0f x >.(1)错误.(2)()22200|sin ||sin ||sin |sin sin x dx x dx x dx xdx x dx πππππππ=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰()()20cos |cos |11114x x πππ=-+=--+--=,(2)正确.(3)()()0()0af x dx F a F =-⎰,()()()()()0a TTf x dx F a T F T F a F +=+-=-⎰；故()()aa T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；(3)正确.所以正确命题的个数为2,故选：B. 【点睛】本题主要考查了命题真假的判定与定积分的计算,属于中档题.2．C解析：C 【分析】先计算图像交点，再利用定积分计算面积. 【详解】 如图所示：由2y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得0,0,x y =⎧⎨=⎩11x y =⎧⎨=⎩， 根据图形的对称性，可得每片叶子的面积为()13023210211d 333x x x x x ⎛⎫⎰-=-= ⎪⎝⎭.故答案选C 【点睛】本题考查定积分的应用，考查运算求解能力3．D解析：D 【解析】直线4y x =与曲线3y x =的交点坐标为(0,0)和(2,8)， 故直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积23242001(4)2|8444S x x dx x x ⎛⎫=⎰-=-=-= ⎪⎝⎭．故选D ．4．D解析：D 【解析】试题分析：由几何概型可知，所求概率为.考点：几何概型、定积分．5．A解析：A 【解析】 因为11122a i a a z i i -+-==+-，所以222111()()22222a a z a +-=+=+，由定积分公式0011(sin )[cos ]|1x dx x x ππππ-=--=⎰，故22122112a a +=⇒=，即1a =±，应选答案A 。
新北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》检测(答案解析)(4)
一、选择题1．已知71()x x +展开式中，5x 的系数为a ，则62axdx =⎰（ ）A ．10B ．11C ．12D ．132．已知函数2(1),10()01x x f x x ⎧+-≤≤⎪=<≤则11()d f x x -=⎰（ ） A ．3812π- B ．4312π+ C ．44π+ D ．4312π-+ 3．给出以下命题： （1）若()0haf x dx >⎰，则()0f x >；（2）20|sin |4x dx π=⎰；（3）()f x 的原函数为()F x ，且()F x 是以T 为周期的函数，则：()()aa TTf x dx f x dx +=⎰⎰其中正确命题的个数为（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．44．已知函数sin (11)()1(12)x x f x x x-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则21()f x dx -=⎰( ) A ．ln 2B ．ln 2-C ．12-D ．3cos 1-5．3204x dx -=⎰（ ）A ．213 B ．223 C ．233 D ．2536．曲线x y e =，x y e -=和直线1x =围成的图形面积是（ ） A ．1e e -- B ．1e e -+C ．12e e ---D ．12e e -+-7．若向区域(){},|0101x y x y Ω=≤≤≤≤，内投点，则该点落在由直线y x =与曲线y = ）A ．18B ．16C ．13D ．128．20ln 1()231mx x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，，，且()()10f f e =，则m 的值为（ ） A ．1B ．2C ．1-D ．2-9．已知125113,log ,log 3,a a x dx m a n p a-====⎰，则 （ ） A ．m n p << B ．m p n <<C ．p m n <<D ．p n m <<10．已知函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩,则12()f x dx π-⎰的值等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．函数0()(4)xf x t t dt =-⎰在[1,5]-上（ ）A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值323-C ．最小值323-，无最大值 D ．既无最大值，也无最小值12．定积分()22x ex dx +⎰的值为（ ）A ．1B ．2eC ．23e +D ．24e +二、填空题13．设函数2y nx n =-+和1122y x n =-+（*n N ∈，2n ≥）的图像与两坐标轴围成的封闭图形的面积为n S ，则lim n n S →∞=________ 14．质点运动的速度()2183/v t t m s =-，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是______. 15．已知12ea dx x=⎰，则()()41x x a ++展开式中3x 的系数为______. 16．曲线y=x 2与y=x 所围成的封闭图形的面积为______．17．两个函数12y x =与2y x =-，它们的图象及y 轴围成的封闭图形的面积为______ 18．在下列命题中 ①函数1()f x x=在定义域内为单调递减函数； ②已知定义在R 上周期为4的函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，则()f x 一定为偶函数；③若()f x 为奇函数，则()2()(0)aaaf x dx f x dx a -=>⎰⎰；④已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，则0a b c ++=是()f x 有极值的充分不必要条件；⑤已知函数()sin f x x x =-，若0a b +>，则()()0f a f b +>. 其中正确命题的序号为___________________（写出所有正确命题的序号）.19．已知()[](]21,11,1,2x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则()21f x dx -=⎰______． 20．若()()4112ax x -+的展开式中2x 项的系数为4，则21ae dx x=⎰________________ 三、解答题21．已知函数2()ln f x x a x =-（a R ∈），()F x bx =（b R ∈）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设2a =，()()()g x f x F x =+，若12,x x （120x x <<）是()g x 的两个零点，且1202x x x +=， 试问曲线()y g x =在点0x 处的切线能否与x 轴平行？请说明理由. 22．已知函数()ln f x x a x =-， ()R a ∈. （1）讨论函数()f x 在定义域内的极值点的个数； （2）设()1a g x x +=-，若不等式()()f x g x >对任意[]1,e x ∈恒成立，求a 的取值范围. 23．已知()xkx bf x e +=． （Ⅰ）若()f x 在0x =处的切线方程为1y x =+，求k 与b 的值； （Ⅱ）求1x xdx e ⎰． 24．已知二次函数()21f x ax bx =+-在1x =-处取得极值，且在点()0,1-处的切线与直线20x y -=平行. （1）求()f x 的解析式；（2）求函数()()2g x xf x x =+的极值.25．有一动点P 沿x 轴运动,在时刻t 的速度为v (t )=8t-2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致). (1)P 从原点出发,当t=6时,求点P 运动的路程; (2)P 从原点出发,经过时间t 后又返回原点,求t 的值. 26．设函数()ln h x x x =，()()()h x a h x f x x a+-=+，其中a 为非零实数.（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）是否存在a 使得()f x a ≤恒成立？若存在，求a 的取值范围，若不存在请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用二项式的通项公式求得7a =，从而求得762xdx ⎰的值.【详解】在71()x x +展开式中，得二项式的通项公式7721771rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 令725r -=，解得1r =，所以5x 的系数为177C =，即7a =.所以7267662213axdx xdx x ===⎰⎰.故选：D 【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，求定积分的值，属于中档题．2．B解析：B 【分析】根据积分的性质将所求积分化为()211x dx -++⎰⎰，根据微积分基本定理和定积分的求法可求得结果. 【详解】()()0022321100011112100101111333x dx x x dx x x x --+=++=++=++-++=---⎰⎰，⎰表示以原点为圆心，1为半径的圆在第一象限中的部分的面积，4π∴=⎰，()()121114313412f x dx x dx ππ--+∴=++=+=⎰⎰⎰.故选：B . 【点睛】本题考查积分的求解问题，涉及到积分的性质、微积分基本定理和定积分的求解等知识，属于基础题.3．B解析：B 【分析】(1)根据微积分基本定理,得出()()()0haf x dx F h F a =->⎰,可以看到与()f x 正负无关.(2)注意到sin x 在[]0,2π的取值符号不同,根据微积分基本运算性质,化为220|sin ||sin ||sin |x dx x dx x dx ππππ=+⎰⎰⎰求解判断即可.(3)根据微积分基本定理,两边分别求解,再结合()()F a T F a +=,()()0F T F =判定. 【详解】 (1)由()()()0haf x dx F h F a =->⎰,得()()F h F a >,未必()0f x >.(1)错误.(2)()22200|sin ||sin ||sin |sin sin x dx x dx x dx xdx x dx πππππππ=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰()()20cos |cos |11114x x πππ=-+=--+--=,(2)正确.(3)()()0()0af x dx F a F =-⎰,()()()()()0a TTf x dx F a T F T F a F +=+-=-⎰；故()()aa T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；(3)正确.所以正确命题的个数为2, 故选：B. 【点睛】本题主要考查了命题真假的判定与定积分的计算,属于中档题.4．A解析：A 【分析】将所求积分分成两段来进行求解，根据积分运算法则可求得结果. 【详解】()21212111111sin cos ln cos1cos1ln 2ln1ln 2f x dx xdx dx x x x ---=+=-+=-++-=⎰⎰⎰ 故选：A 【点睛】本题考查积分的计算问题，关键是能够按照分段函数的形式将所求积分进行分段求解.5．C解析：C【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示,可知()()323222002882344489128333x dx x dx x dx ⎛⎫-=-+-=-+--+=⎪⎝⎭⎰⎰⎰．考点：定积分的几何意义．6．D解析：D 【解析】试题分析：根据题意画出区域，作图如下，由{x xy e y e -==解得交点为（0，1），∴所求面积为：()()1101|2x x x x S e e dx e e e e --=-=+=+-⎰ 考点：定积分及其应用7．B解析：B 【解析】 区域(){},|01,01x y x y Ω=≤≤≤≤是正方形，面积为1，根据定积分定理可得直线y x =与曲线y x =)1321200211|326x x dx x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰，根据几何概型概率公式可得该点落在由直线y x =与曲线y x =16，故选B ．8．B解析：B 【详解】因为233003|,mm t dt t m ==⎰所以()3121lnx x f x x m x >⎧=⎨+≤⎩，，, ()ln 1f e e ==，()()()31210f f e f m ∴==+=，解得2m =. 故选：B.9．B解析：B 【解析】1235211132,log 2,log 3,12a x dx x m n p -===∴===-⎰5211log 2log ,log 31,22m n p ====m p n ∴<<故选B10．C解析：C 【分析】 由函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，根据定积分的运算性质，得1122()cos 2f x dx xdx dx ππ--=+⎰⎰⎰，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，根据定积分的运算性质，可得1010100222()cos 2sin |2|123f x dx xdx dx x x πππ---=+=+=+=⎰⎰⎰，故选C ． 【点睛】本题主要考查了定积分的计算，其中解答中熟记定积分的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．11．B解析：B 【分析】根据定积分的运算，可得321()23f x x x =-，再利用导数求得()f x 的单调性和极值，检验端点值，即可得答案. 【详解】由题意，函数3232011()(4)2233xxf x t t dt t t x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭⎰，则2()4(4)f x x x x x '=-=-，当[1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(0,4)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(4,5]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增； 又由7(1)3f -=-，(0)0f =，32(4)3f =-，25(5)3f =-， 所以函数()f x 的最大值为0，最小值为323-. 故选：B . 【点睛】本题考查定积分的运算，利用导数求函数的最值问题，考查分析理解，求值化简的能力，属中档题.12．C解析：C 【解析】 【分析】根据微积分基本定理，计算出定积分. 【详解】()222020222430xxex dx exe e e +=+=-+=+⎰.故选C.【点睛】本小题主要考查利用微积分基本定理，计算定积分.二、填空题13．【分析】联立两直线得到交点坐标当时判断出两直线与坐标轴围成的封闭区间的形状即可求出对应的面积【详解】解当时直线斜率此时直线与轴交点为当时直线斜率此时直线与轴交点为此时函数和的图象与两坐标轴围成的封闭解析：14【分析】联立两直线，得到交点坐标，当n →+∞时，判断出两直线与坐标轴围成的封闭区间的形状，即可求出对应的面积． 【详解】解，当n →+∞时，直线2y nx n =-+斜率1k →-∞，此时，直线与x 轴交点为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当n →+∞时，直线1122y x n =-+斜率20k →，此时，直线与y 轴交点为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 此时函数2y nx n =-+和11(*,2)22y x n N n n =-+∈的图象与两坐标轴围成的封闭图形近似于边长为12的正方形， 故111lim 224n n S →∞=⨯=， 故答案为：14． 【点睛】本题考查极限的计算，可以先由n →+∞，判断围成四边形的形状，再计算，属于中档题．14．108m 【分析】令速度为0求出t 的值0和6求出速度函数在上的定积分即可【详解】由得或当时质点运动的路程为故答案为：108m 【点睛】本题主要考查了定积分定积分在物理中的应用属于中档题解析：108m. 【分析】令速度为0求出t 的值 0和6，求出速度函数在[0,6]上的定积分即可. 【详解】由21830t t -=，得0t =或6t =， 当[0,6]t ∈时，质点运动的路程为()()662233201839696108S t t dt tt=-=-=-+⨯=⎰，故答案为：108m 【点睛】本题主要考查了定积分，定积分在物理中的应用，属于中档题.15．32【分析】由定积分求出实数的值再利用二项式展开式的通项公式求解即可【详解】解：因为==2由展开式的通项为=即展开式中的系数为+=32故答案为32【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式属基础题解析：32 【分析】由定积分求出实数a 的值，再利用二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】解：因为12ea dx x=⎰=2ln x e 1| =2, 由()42x +展开式的通项为1r T +=r4C 42r r x - ,即()()412x x ++展开式中3x 的系数为24C 22⨯+14C 2⨯ =32，故答案为32. 【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式，属基础题.16．【分析】首先求得两个函数交点的坐标然后利用定积分求得封闭图形的面积【详解】根据解得画出图像如下图所示封闭图像的面积为【点睛】本小题主要考查利用定积分求封闭图形的面积考查运算求解能力属于基础题解题过程解析：16【分析】首先求得两个函数交点的坐标，然后利用定积分求得封闭图形的面积. 【详解】根据2y x y x ⎧=⎨=⎩解得()()0,01,1,.画出图像如下图所示，封闭图像的面积为()12x x dx -⎰2310111|23236x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查利用定积分求封闭图形的面积，考查运算求解能力，属于基础题.解题过程中首先求得两个函数图像的交点坐标，然后画出图像，判断出所要求面积的区域，然后利用微积分基本定理求得封闭图形的面积.17．【解析】【分析】首先联立两个函数方程求得交点坐标然后结合题意和定积分的几何意义计算定积分的数值即可求得封闭图形的面积【详解】联立直线与曲线的方程：解得对于令则结合定积分与几何图形面积的关系可得阴影部解析：163【解析】 【分析】首先联立两个函数方程求得交点坐标，然后结合题意和定积分的几何意义计算定积分的数值即可求得封闭图形的面积 【详解】联立直线与曲线的方程122y x y x ⎧⎪=⎨⎪=-⎩：解得{42x y ==，对于2y x =-，令0x =，则2y =-，结合定积分与几何图形面积的关系可得阴影部分的面积为：2222(2)y dy y dy -+-⎰⎰22322011816282333y y y -⎛⎫⎛⎫=+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为163. 【点睛】1．由函数图象或曲线围成的曲边图形面积的计算及应用，一般转化为定积分的计算及应用， 但一定要找准积分上限、下限及被积函数，且当图形的边界不同时，要讨论解决． (1)画出图形，确定图形范围；(2)解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限； (3)确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置； (4)计算定积分，求出平面图形的面积；2．由函数求其定积分，能用公式的利用公式计算，有些特殊函数可根据其几何意义，求出其围成的几何图形的面积，即其定积分．有些由函数的性质求函数的定积分．18．②④⑤【解析】①函数在定义域内不为单调递减函数在和为单调递减函数；；②已知定义在上周期为4的函数满足则所以一定为偶函数；③若为奇函数则；④已知函数则即有极值充分性成立；有极值所以不必要；⑤函数为单调解析：②④⑤ 【解析】 ①函数()1f x x=在定义域内不为单调递减函数，在(,0)-∞ 和(0,)+∞ 为单调递减函数；；②已知定义在R 上周期为4的函数()f x 满足()()22f x f x -=+， 则()(4)()f x f x f x =-=-所以()f x 一定为偶函数；③若()f x 为奇函数，则()0aaf x dx -=⎰；④已知函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，2()32,f x ax bx c +'=+ 则0a b c ++=22224124()124()0b ac a c ac a c ac ⇒∆=-=+-=+-> ，即()f x 有极值，充分性成立；()10,2a b c f x ===-，，，也有极值，所以不必要； ⑤函数()sin f x x x =-为单调递增奇函数，所以0a b +>，则()()(),f a f b f b >-=-即 ()()0f a f b +>. 正确命题的序号为②④⑤19．【解析】由题意可得答案：【点睛】求定积分的题型一种是：几何方法求面积一般是圆第二种是：求用被积函数的原函数用积分公式第三种是：利用奇函数关于原点对称区间的积分为0本题考查了第一种和第二种 解析：π423+ 【解析】由题意可得()222111(1)f x dx x dx --=+-=⎰⎰2214()|2323x x ππ+-=+，答案：423π+． 【点睛】求定积分的题型，一种是：几何方法求面积，一般是圆．第二种是：求用被积函数的原函数，用积分公式，第三种是：利用奇函数关于原点对称区间的积分为0.本题考查了第一种和第二种．20．【解析】由题意得项的系数为所以点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项可依据条件写出第项再由特定项的特点求出值即可(2)已知展开式的某项求特定项的系数可由某项得出参数项 解析：ln51-【解析】由题意得2x项的系数为221445224,2C aC a ⋅-⨯==，所以5225152ln |ln ln ln5 1.222e e dx x e x ==-=-⎰ 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.三、解答题21．（1）当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,+∞上单调递增，0()a f x 所以时，的单调减区间是，单调增区间是⎛⎫>+∞ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）()y f x =在0x 处的切线不能平行于x 轴. 。
新北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(含答案解析)(4)
一、选择题1．给出以下命题： （1）若()0haf x dx >⎰，则()0f x >；（2）20|sin |4x dx π=⎰；（3）()f x 的原函数为()F x ，且()F x 是以T 为周期的函数，则：()()aa TTf x dx f x dx +=⎰⎰其中正确命题的个数为（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．42．定积分= A ．B ．C ．D ．3．若函数()32nxf x x x =++在点()1,6M 处切线的斜率为33ln3+，则n 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．34．已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为：A ．2π5B ．32C ．43D ．π25．一物体在力(单位:N)的作用下沿与力相同的方向,从x=0处运动到(单位:)处,则力做的功为( )．A ．44B ．46C ．48D ．50 6．())122011d x x x --⎰的值是（ ）A ．π143- B ．π14- C ．π123- D ．π12-7．由直线,1y x y x ==-+，及ｘ轴所围成平面图形的面积为 （ ）A ．()101y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰B ．()1201x x dx ⎡⎤-+-⎣⎦⎰C ．()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰D ．()101x x dx ⎡⎤--+⎣⎦⎰8．计算()122x x dx -⎰的结果为（ ）A ．0B ．1C ．23D ．539．已知11em dx x=⎰，函数()f x 的导数()()()f x a x m x a '=++，若()f x 在x a =-处取得极大值，则a 的取值范围是（ ） A ．1a < B ．10a -<< C ．1a >或0a < D ．01a <<或0a <10．由曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为( ) A ．172ln 22- B ．152ln 22- C ．15+2ln 22D ．17+2ln 2211．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′π()6，则f π()3-与f π()3的大小关系是( ) A ．f π()3-＝f π()3B ．f π()3-＞f π()3 C ．f π()3-＜f π()3D ．不确定12．已知t ＞0，若（2x ﹣2）dx=8，则t=（ ） A ．1B ．﹣2C ．﹣2或4D ．4二、填空题13．直线x ＝0、直线y ＝e +1与曲线y ＝e x +1围成的图形的面积为_____． 14．由曲线2y x=，直线y =2x ，x =2所围成的封闭的图形面积为______． 15．424(16)x x dx --=⎰__________．16．曲线()sin 0πy x x =≤≤与x 轴围成的封闭区域的面积为__________．17．定积分12(1)x x dx -=⎰______________.18．曲线2y x =与直线230x y --=所围成的平面图形的面积为________.19．2(1)x dx -=⎰________.20．若，则的值是__________．三、解答题21．已知函数()1x f x e ex =--，其中e 为自然对数的底数，函数()(2)g x e x =-. （1）求函数()()()h x f x g x =-的单调区间； （2）若函数(),,()(),f x x m F x g x x m≤⎧=⎨>⎩的值域为R ，求实数m 的取值范围.22．如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池ABCD 及其矩形附属设施EFGH ，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为O ，半径为R ，矩形的一边AB 在直径上，点C 、D 、G 、H 在圆周上，E 、F 在边CD 上，且3BOG π∠=，设BOC θ∠=．（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为()f θ，求()f θ的表达式； （2）怎样设计才能符合园林局的要求？23．计算下列各式的值． （1） ()0sin cos d x x x π-⎰；（2）2132d x x x +-⎰．24．已知函数1211()(1)x f x adt x t+=++⎰()1x >-. （1）若()f x 在1x =处有极值，问是否存在实数m ，使得不等式2214()m tm e f x ++-≤对任意[]1,x e e ∈-及[]1,1t ∈-恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.()2.71828e =；（2）若1a =，设2()()(1)F x f x x x =-+-. ①求证：当0x >时，()0F x <； ②设*111()12(1)n a n N n n n n =++⋅⋅⋅+∈++++，求证：ln 2n a > 25．求曲线6y x =-和8y x =y ＝0围成图形的面积．26．利用定积分的定义，计算221(2)d x x x -+⎰的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】(1)根据微积分基本定理,得出()()()0haf x dx F h F a =->⎰,可以看到与()f x 正负无关.(2)注意到sin x 在[]0,2π的取值符号不同,根据微积分基本运算性质,化为220|sin ||sin ||sin |x dx x dx x dx ππππ=+⎰⎰⎰求解判断即可.(3)根据微积分基本定理,两边分别求解,再结合()()F a T F a +=,()()0F T F =判定. 【详解】 (1)由()()()0haf x dx F h F a =->⎰,得()()F h F a >,未必()0f x >.(1)错误.(2)()22200|sin ||sin ||sin |sin sin x dx x dx x dx xdx x dx πππππππ=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰()()20cos |cos |11114x x πππ=-+=--+--=,(2)正确.(3)()()0()0af x dx F a F =-⎰,()()()()()0a TTf x dx F a T F T F a F +=+-=-⎰；故()()aa T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；(3)正确.所以正确命题的个数为2, 故选：B. 【点睛】本题主要考查了命题真假的判定与定积分的计算,属于中档题.2．B解析：B【解析】 由题意得，故选B.3．A解析：A【解析】由题意，得()13ln32n x f x nx-=++'， ()13ln3233ln3f n =++=+'，所以1n =；故选A.4．C解析：C 【解析】试题分析：由图像可知函数解析式为()21f x x =-+∴由定积分的几何意义可知面积()12311111141|113333S x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+=---=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰ 考点：定积分及其几何意义5．B解析：B 【解析】由定积分的物理意义，得，即力做的功为46．考点:定积分的物理意义．6．A解析：A 【详解】因为定积分()()111222200011d 11)(x d x x x x dx x ⎫⎫--=---⎪⎪⎭⎭⎰⎰⎰，结合定积分的几何意义可知,原式等于圆心为（1,1），半径为1的四分之一个圆的面积减去13得到，即为143-π，选A. 7．C解析：C 【解析】如图，由直线y=x ，y=−x+1，及x 轴围成平面图形是红色的部分，它和图中蓝色部分的面积相同，∵蓝色部分的面积()121S x x dx ⎡⎤=--⎣⎦⎰，即()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰.本题选择C 选项.8．C解析：C 【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限后作差得答案. 【详解】122312300112(2)()|11333x x dx x x -=-=-⨯=⎰， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关定积分的运算求解问题，属于简单题目.9．C解析：C 【分析】利用积分求解出1m =；根据a 的符号和a -与1-之间的大小关系，结合二次函数确定导函数的符号，得到()f x 的单调性，符合在x a =-处()f x 左增右减时的a 的取值范围是满足题意的，从而得到所求范围. 【详解】11ln ln ln111ee dx x e x ==-=⎰，即1m = 则()()()1f x a x x a '=++当0a =或1a =时，()f x 不存在极值，不合题意 当0a <时(),1x ∈-∞-或(),x a ∈-+∞时，()0f x '<，此时()f x 单调递减 ()1,x a ∈--时，()0f x '>，此时()f x 单调递增则()f x 在x a =-处取得极大值，满足题意 当01a <<时(),1x ∈-∞-或(),x a ∈-+∞时，()0f x '>，此时()f x 单调递增()1,x a ∈--时，()0f x '<，此时()f x 单调递减则()f x 在x a =-处取得极小值，不满足题意 当1a >时(),x a ∈-∞-或()1,x ∈-+∞时，()0f x '>，此时()f x 单调递增 (),1x a ∈--时，()0f x '<，此时()f x 单调递减则()f x 在x a =-处取得极大值，满足题意 综上所述：1a >或0a < 【点睛】本题考查根据函数的极值点和极值求解参数的取值范围问题，关键是能够根据二次函数根的分布情况确定二次函数的图象，从而得到导函数的符号，确定原函数的单调性.10．B解析：B 【解析】 【分析】联立方程组，确定被积区间和被积函数，得出曲边形的面积2121(4)S x dx x=-⎰，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，联立方程组41y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12x =，所以曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为 22222112211115(4)(2ln )|(22ln 2)[2()ln ]2ln 2222S x dx x x x =-=-=⨯--⨯-=-⎰， 故选B ． 【点睛】本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积，其中解答中根据题意求解交点的坐标，确定被积分区间和被积函数，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．C解析：C 【解析】依题意得f′(x)＝－sin x ＋2f′π()6 ，所以f′π()6＝－sin π()6＋2f′π()6，f′π()6＝，f′(x)＝－sin x ＋1，因为当x ∈ππ(,)22-时，f′(x)＞0，所以f(x)＝cos x ＋x 在ππ(,)22-上是增函数，所以f π3⎛⎫-⎪⎝⎭＜f π3⎛⎫⎪⎝⎭,选C. 12．D解析：D 【解析】∵（x 2﹣2x ）′=2x ﹣2，∴若2(22)(2)tt x dx x x -=-⎰=t 2﹣2t=8，又t ＞0，解得t=4．选D.二、填空题13．1【分析】如图所示：计算交点为计算积分得到面积【详解】依题意令e+1＝ex+1得x ＝1所以直线x ＝0y ＝e+1与曲线y ＝ex+1围成的区域的面积为S 故答案为：1【点睛】本题考查了利用积分求面积意在考解析：1 【分析】如图所示：计算交点为()1,1e +计算积分()()111xe e dx ⎡⎤+-+⎣⎦⎰得到面积.【详解】依题意，令e +1＝e x +1，得x ＝1，所以直线x ＝0，y ＝e +1与曲线y ＝e x +1围成的区域的面积为S ()()()1111110xx x e e dx e e dx ex e ⎡⎤=⎰+-+=⎰-=-=⎣⎦ 故答案为：1【点睛】本题考查了利用积分求面积，意在考查学生的计算能力.14．3-2ln2【分析】求出曲线直线y=2x 的交点坐标根据定积分的几何意义列式即可求解【详解】依题意联立方程组解得所以封闭的图形面积为=（x2-2lnx ）=3-2ln2故答案为：3-2n2【点睛】本题考解析：3-2ln2 【分析】 求出曲线2y x=，直线y=2x 的交点坐标，根据定积分的几何意义列式，即可求解． 【详解】依题意，联立方程组22y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩， 所以封闭的图形面积为212(2)x dx x -⎰=（x 2-2lnx ）21=3-2ln2．故答案为：3-2n2．【点睛】本题考查了定积分的几何意义，定积分的求法，其中解答中确定定积分式，准确运算是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及计算能力，属于基础题．15．【分析】由题原式等于利用积分的几何意义分别求得其定积分可得答案【详解】由题表示的几何意义为：以（00）为圆心4为半径的圆在第一第二象限的面积所以=所以故答案为【点睛】本题考查了定积分熟悉理解定积分的 解析：8π【分析】由题，原式等于4424416x dx xdx ---+⎰，利用积分的几何意义分别求得其定积分，可得答案.【详解】由题44422444(16)16x x dx x dx xdx ----=-+⎰⎰2416x dx --表示的几何意义为：以（0,0）为圆心，4为半径的圆在第一第二象限的面积，所以42416x dx --=21482ππ⨯= ，440xdx -=⎰所以44)8x dx π-=⎰故答案为8π 【点睛】本题考查了定积分，熟悉理解定积分的几何意义是解题的关键，属于中档题.16．2【解析】与轴所围成的封闭区域的面积故答案为2解析：2 【解析】sin (0π)y x x =≤≤与x 轴所围成的封闭区域的面积ππsin d cos cos πcos020S x x x==-=-+=⎰，故答案为2.17．【解析】函数表示以为圆心为半径的单位圆位于第一象限的部分则由微积分基本定理可得：则： 解析：24π-【解析】函数)01y x =≤≤表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆位于第一象限的部分，则4π=⎰，由微积分基本定理可得：()1210011|22x dx x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭⎰，则：)112424x dx ππ-=-=⎰. 18．【解析】试题分析：联立交点所以围成的图形为直线的左上方和曲线所围成的区域面积为考点：1定积分的应用---求曲边梯形的面积；2微积分基本定理【方法点晴】求曲边梯形的步骤：①画出草图在直角坐标系中画出直 解析：323【解析】 试题分析：联立2{230y x x y =--=,交点(1,1)A -,(9,3)B ,所以围成的图形为直线的左上方和曲线所围成的区域,面积为322332111132(23)(3)|(399)(13)333S y y dy y y y --=+-=+-=+---+=⎰.考点：1.定积分的应用---求曲边梯形的面积；2.微积分基本定理.【方法点晴】求曲边梯形的步骤：①画出草图，在直角坐标系中画出直线或曲线的大致图象；②联立方程，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示为若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案.由于本题中，若对x 进行定积分，2,y x y x ==±，有些麻烦，这里就转化为对y 进行定积分，要容易很多.19．【详解】试题分析：考点：定积分的计算【名师点睛】本题主要考查定积分的计算意在考查学生的运算求解能力属于容易题定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解解析：. 【详解】试题分析：222001(1)02x dx x x ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭⎰. 考点：定积分的计算. 【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.20．2【解析】试题分析：∵易得故答案为考点：定积分的计算解析：2 【解析】 试题分析：∵，易得，故答案为.考点：定积分的计算.三、解答题21．(1)单调增区间为(ln 2,)+∞，单调减区间为(,ln 2)-∞.(2)1[0,]2e -. 【解析】试题分析：(1)求出函数的导数()2xh x e '=-,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(2)函数的导数,通过讨论m 的范围得到函数的值域,从而确定m 的具体范围即可. 试题（1）()()()()21,2xxh x f x g x e x h x e =-=--=-'.由()0h x '>得ln2x >，由()0h x '<得ln2x <.所以函数()h x 的单调增区间为()ln2,+∞，单调减区间为(),ln2-∞. （2）()xf x e e '=-.当1x <时，()0f x '<，所以()f x 在区间(),1-∞上单调递减； 当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在区间()1,+∞上单调递增.1° 当1m ≤时，()f x 在(],m -∞上单调递减，值域为)1,me em ⎡--+∞⎣，()()2g x e x =-在(),m +∞上单调递减，值域为()(),2e m -∞-，因为()F x 的值域为R ，所以()12me em e m --≤-，即210m e m --≤.（*）由（1）可知当0m <时，()()2100mh m e m h =-->=，故（*）不成立.因为()h m 在()0,ln2上单调递减，在()ln2,1上单调递增，且()()00,130h h e ==-<， 所以当01m ≤≤时，()0h m ≤恒成立，因此01m ≤≤.2° 当1m >时，()f x 在(),1-∞上单调递减，在(]1,m 上单调递增，所以函数()1xf x e ex =--在(],m -∞上的值域为())1,f ⎡+∞⎣，即[)1,-+∞.()()2g x e x =-在（m ，＋∞）上单调递减，值域为()(),2e m -∞-.因为()F x 的值域为R ，所以()12e m -≤-，即112m e <≤-. 综合1°，2°可知，实数m 的取值范围是10,2e ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦.22．（1）2()(2sin cos sin (0,)23f R πθθθθθ=-+∈（2）cos θ=【解析】试题分析：（1）根据直角三角形求两个矩形的长与宽，再根据矩形面积公式可得函数解析式，最后根据实际意义确定定义域（2）利用导数求函数最值，求导解得零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调性，进而得函数最值 试题（1）由题意，2cos AB R θ=，sin BC R θ=，且HOG 为等边三角形，所以，HG R =，sin 2EH R R θ=-， ()=ABCD EFGH f S S θ+2cos sin sin R R R R R θθθ⎫=⋅+-⎪⎪⎝⎭2(2sin cos sin R θθθ=-，03πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，． （2）要符合园林局的要求，只要()fθ最小，由（1）知，()()22222'(2cos 2sin cos =4cos cos 2f R R θθθθθθ=----）令()'0f θ=，即24cos cos 2=0θθ--，解得cos =8θ或1cos =8θ（舍去），令00cos =083，πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 当00θθ∈（，）时，()()'0,f fθθ<是单调减函数， 当03πθθ∈（，）时，()()'0,f fθθ>是单调增函数，所以当0=θθ时，()fθ取得最小值.答：当θ满足cos θ时，符合园林局要求. 23．（1） 2；（2） π 【分析】（1）由题得()0sin cos d (cos sin )|x x x x x ππ-=--⎰，计算即得解；（2）如图，先求出扇形ACB 的面积，再利用定积分的几何意义求解即可. 【详解】 （1）由题得()00sin cos d (cos sin )|(cos sin )(cos0sin 0)x x x x x ππππ-=--=-----⎰ =10102-++=；（2）令22(1)4(13,0)y x y x y =∴-+=≤≤≥，因为1x ⎰等于1,3,x x x ==轴和曲线ADB 所围成的曲边梯形的面积，如图扇形ACB ， 扇形ACB 的面积为212=4ππ⨯⨯，所以1x π=⎰.【点睛】本题主要考查定积分的计算，考查圆的方程的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.24．（1）存在，22m -≤≤；（2）①证明见解析；②证明见解析. 【分析】（1）根据微积分基本定理求得()f x ，由()10f '=，求得参数a ；利用导数求函数的在区间上的最值，结合一次不等式在区间上恒成立问题，即可求得参数m 的范围； （2）①求得()F x '，利用导数求得()F x 的单调性，即可容易证明； ②由①中所求，可得12ln()11k k k +>++，利用对数运算，即可证明. 【详解】由题可知2()ln(1)(1)f x a x x =+++，∴()221af x x x '=+++. （1）由()01f '=，可得2202a++=，8a =-. 又当8a =-时，()()()2311x x f x x +'-=+，故()f x 在区间()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增. 故函数()f x 在1x =处取得极值，所以8a =-. ∵11e <-，82(1)(3)()2211x x f x x x x --+'=++=++. ∴()0f x '>，当[]1,x e e ∈-时，由上述讨论可知，()f x 单调递增， 故2min ()(1)8f x f e e =-=-+不等式2214()m tm e f x ++-≤对任意[]1,x e e ∈-及[]1,1t ∈-恒成立， 即：22222min 14()148m tm e f x m tm e e ++-≤⇔++-≤-+，即：260m tm +-≤对[]1,1t ∈-恒成立，令2()6g t m mt =+-，(1)0g ⇒-≤，(1)0g ≤即260m m --≤，且260m m +-≤，整理得()()320m m -+≤，且()()320m m +-≤， 解得：22m -≤≤，即为所求.（2）①∵2()()(1)ln(1)F x f x x x x x =-+-=+-，∴()1xF x x-'=+ 当0x >时，()0F x '<，∴()F x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)0F x F ∴<=即证.②由①可得：ln(1)(0)x x x +<> 令：11x k =+，得11ln(1)11k k +<++，即：12ln()11k k k +>++ ∴1112322ln ln ln 12(1)1221n n n n n n n n n n +++++⋅⋅⋅+>++⋅⋅⋅++++++++=ln 2 即证. 【点睛】本题考查由极值点求参数值，利用导数由恒成立问题求参数范围，以及利用导数证明不等式以及数列问题，属压轴题. 25．403. 【分析】首先由定积分的几何意义用定积分表示曲线围成图形的面积，然后计算定积分即可得结果. 【详解】如图，作出直线6y x =-，曲线8y x =，则所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组68y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩得24x y =⎧⎨=⎩，则直线6y x =-与曲线8y x =(2,4)， 又直线6y x =-与x 轴的交点坐标为(6,0)，因此，所求图形的面积36226202021221(6)d |(6)|32S S S x x x x x x +=+-=+-=⎰⎰ 2216111640[(666)(622)]832233=+⨯-⨯-⨯-⨯=+=. 【点睛】该题考查的是有关求曲线围成的图形的面积的问题，涉及到的知识点有定积分的几何意义，注意在不同的积分区间上的被积函数是不同的，属于简单题目.26．由直线1x =，2x =，0y =与曲线2()2f x x x =-+所围成的曲边梯形的面积． 【分析】利用定积分的定义在区间[]1,2进行分割，后近似代替、作和，取极限，可得()2212xx dx -+⎰的值，与其表示的几何意义.【详解】解：令()22f x x x =-+．（1）分割：在区间[]1,2上等间隔地插入1n -个分点，将它等分成n 个小区间()1,1,2,,n i n i i n nn +-+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其长度为11n i n i x n n n++-∆=-=． （2）近似代替、作和：取()11,2,,i ii n nξ=+=，则2111(1)121nn n i i i i i S f x n n n n==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅∆=-+++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑()()()()()2223212122122n n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤=-+++++++++++⎣⎦⎣⎦()()()()()32221411211212662n n n n n n n n n nn ⎡⎤++++++=--+⋅⎢⎥⎣⎦11111112412336n n n n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（3）取极限：()221111111122lim lim 24123363n n n xx dx S n n n n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+==-+++++++= ⎪⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰．()221223x x dx -+=⎰的几何意义：由直线1x =，2x =，0y =与曲线()22f x x x =-+所围成的曲边梯形的面积． 【点睛】本题主要考查利用定积分的定义求定积分,并求其几何意义，属于中档题型.。
新北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷(答案解析)(4)
一、选择题1．222024xdx x dx +-=⎰⎰( )A ．2π B ．12π+ C ．4π D ．π2．设113a x dx -=⎰，1121b x dx =-⎰，130c x dx =⎰则a ，b ，c 的大小关系( )A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．b>c>a3．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A ．22B ．42C ．2D ．44．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（ ）A ．1eB ．11e - C ．11e-D ．21e e -- 5．若函数()32nxf x x x =++在点()1,6M 处切线的斜率为33ln3+，则n 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．36．若函数()31f x x ax x =++在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数,则a 的取值范围是( ) A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C ．13,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．13,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 7．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴，则k =（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．1 8．())122011d x x x --⎰的值是（ ）A ．π143- B ．π14- C ．π123- D ．π12- 9．已知二次函数()y f x =的图像如图所示 ，则它与x 轴所围图形的面积为（ ）A ．25π B ．43C ．32D ．2π 10．由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．2ln3- B ．4ln3+C ．4ln3-D ．32911．20sin xdx π=⎰（ ）A ．4B ．2C ．-2D ．012．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．4B ．2C ．43D ．23二、填空题13．由曲线2y x=与直线1y =x -及1x =所围成的封闭图形的面积为__________． 14．由曲线x y e x =+与直线0,1,0x x y ===所围成图形的面积等于________． 15．由曲线sin .cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形的面积是______.16．曲线()sin 0πy x x =≤≤与x 轴围成的封闭区域的面积为__________． 17．由曲线22y x =+与3y x =，1x =，2x =所围成的平面图形的面积为________________. 18．曲线2y x 与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为_______________.19．已知(12111,a x dx -=-⎰则932a x x π⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式中的各项系数和为________20．曲线2yx 与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为_______________.三、解答题21．已知函数()f x 为一次函数，若函数()f x 的图象过点()0,2，且()28f x dx =⎰.（1）求函数()f x 的表达式.（2）若函数()22g x x =+，求函数()f x 与()g x 的图象围成图形的面积.22．已知函数2()11xf x x =++，2()e (0)ax g x x a =<． （1）求函数()f x 的单调区间．（2）若对任意1x ，2[0,2]x ∈，12()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围． 23．设是二次函数，方程有两个相等的实根，且()22f x x =+'（1）求()y f x =的表达式；（2）求()y f x =的图像与两坐标轴所围成图形的面积24．设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+． （1）求()y f x =的表达式；（2）若直线(01)x t t =-<<把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．25．求曲线6y x =-和8y x =y ＝0围成图形的面积． 26．已知()1313d 26x ax a b x a -⎰＋＋－＝＋，且()()33d tf t x ax a b x ⎰＝＋＋－为偶函数，求a ，b ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】分别根据积分的运算法则和几何意义求得两个积分的值，进而得到结果. 【详解】2200112x == 2224x dx -⎰表示下图所示的阴影部分的面积S2OA =，2OC = 4AOC π∴∠=12221422S ππ∴=⨯-⨯⨯=- 2220241122xdx x dx ππ+-∴=+-=⎰⎰故选：A 【点睛】本题考查积分的求解问题，涉及到积分的运算法则和几何意义的应用.2．A解析：A 【解析】借助定积分的计算公式可算得1121330033|22a x dx x -===⎰，1131220022111|1333b x dx x =-=-=-=⎰，13410011|44c x dx x ===⎰，所以a b c >>，应选答案A 。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(有答案解析)
一、选择题1．由曲线22y x =和直线4y x =-所围成的图形的面积（ ）A ．18B ．19C ．20D ．212．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（ ）A ．1eB ．11e - C ．11e-D ．21e e -- 3．如图，由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）A ．1B ．23C ．43D ．24．若函数()32nxf x x x =++在点()1,6M 处切线的斜率为33ln3+，则n 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．35．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴，则k =（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．16．已知函数f(x)=x 2+1的定义域为[a,b](a<b),值域为[1,5],则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．27．324xdx -=⎰（ ）A ．213 B ．223 C ．233 D ．2538．一物体在力(单位:N)的作用下沿与力相同的方向,从x=0处运动到(单位:)处,则力做的功为( )．A ．44B ．46C ．48D ．50 9．())122011d x x x --⎰的值是（ ）A ．π143- B ．π14- C ．π123- D ．π12- 10．使函数()322912f x x x x a =-+-图象与x 轴恰有两个不同的交点，则实数a 可能的取值为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．211．曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =围成的封闭图形的面积是 A 3B ．23C ．π23-D π3312．由直线y= x - 4，曲线2y x =x 轴所围成的图形面积为（ ）A ．15B ．13C ．252D ．403二、填空题13．质点运动的速度()2183/v t t m s =-，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是______. 14．曲线2y x x 和2yx x 所围成的封闭图形的面积是_______.15．(222sin 4x x dx --=⎰______.16．计算)224(2)x x dx --⎰=_____．17．定积分121(4sin )x x dx --=⎰________.18．1321(tan sin )x x x x dx -++⎰的值为______________________19．定积分2sin cos t tdt π=⎰________．20．2(1)x dx -=⎰________.三、解答题21．已知函数1()ln ()f x x b x b R x=--∈，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直． （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）设2()g x x =，求证()()2ln 2g x f x >-． 22．函数()ln ,kf x x k R x=+∈．若曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线与直线20x -=垂直，求()f x 的单调递减区间和极小值（其中e 为自然对数的底数）．23．已知函数()()322,f x x ax bx aa b =+++∈R .（1）若函数()f x 在1x =处有极值为10，求b 的值； （2）若()4,a f x =-在[]0,2x ∈上单调递增，求b 的最小值. 24．梯形ABCD 顶点B 、C 在以AD 为直径的圆上，AD =2米，(1)如图1，若电热丝由AB ，BC ，CD 这三部分组成，在AB ，CD 上每米可辐射1单位热量，在BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大，并求总热量的最大值；(2)如图2，若电热丝由弧,AB CD 和弦BC 这三部分组成，在弧,AB CD 上每米可辐射1单位热量，在弦BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．25．现有一个以OA 、OB 为半径的扇形池塘，在OA 、OB 上分别取点C 、D ，作DE OA 、CF OB 分别交弧AB 于点E 、F ，且BD AC =，现用渔网沿着DE 、EO 、OF 、FC 将池塘分成如图所示的养殖区域.已知1km OA =，2AOB π∠=，EOF θ∠=（02πθ<<）.（1）若区域Ⅱ的总面积为21km 4，求θ的值； （2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元，试问：当θ为多少时，年总收入最大？26．求由抛物线28(0)y x y =>与直线60x y +-=及0y =所围成图形的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】画出两曲线的图像，求得交点坐标，由定积分求得图形的面积即可. 【详解】根据题意，画出量曲线的图像，设其交点为,A B ，如下所示：联立22y x =和4y x =-， 解得()()2,2,8,4A B -， 根据抛物线的对称性， 即可得两曲线围成的面积28222d (24)d S x x x x x =++⎰⎰23022021622d 2233x x x ⎛⎫⎰== ⎪⎝⎭ 82(24)d x x x +⎰83222212432x x x ⎛⎫=⨯-+ ⎪⎝⎭322212884832⎛⎫=⨯⨯-⨯+⨯ ⎪⎝⎭322213822242323⎛⎫-⨯⨯-⨯+⨯= ⎪⎝⎭故所求面积为28222d (24)d x x x x x +-+⎰⎰163833=+ 18=.故选：A. 【点睛】本题考查由定积分求解曲边梯形的面积，需要注意的是，本题中需要对曲边梯形的面积进行拆分求解，这是本题的难点.2．D解析：D 【解析】试题分析：由几何概型可知，所求概率为.考点：几何概型、定积分．3．D解析：D 【解析】由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是122201(1)(1)S x dx x dx =---⎰⎰31320111281()|()|2133333x x x x -+-=+--+ 4．A解析：A【解析】由题意，得()13ln32n x f x nx-=++'， ()13ln3233ln3f n =++=+'，所以1n =；故选A.5．B解析：B【解析】因为1y k x'=+,所以10,1k k +==- ,选B. 点睛：(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.6．C解析：C 【解析】 由函数的图像可知，需满足或，所以点的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是边长为2的正方形，其面积为4.7．C解析：C【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示,可知()()323222002882344489128333x dx x dx x dx ⎛⎫-=-+-=-+--+=⎪⎝⎭⎰⎰⎰．考点：定积分的几何意义．8．B解析：B【解析】由定积分的物理意义，得，即力做的功为46．考点:定积分的物理意义．9．A解析：A 【详解】因为定积分()()111222200011d 11)(x d x x x x dx x ⎫⎫--=---⎪⎪⎭⎭⎰⎰⎰，结合定积分的几何意义可知,原式等于圆心为（1,1），半径为1的四分之一个圆的面积减去13得到，即为143-π，选A. 10．C解析：C 【解析】f ′(x )=6x 2−18x +12，令f ′(x )=0得x 2−3x +2=0，解得x =1，或x =2. ∴当x <1或x >2时,f ′(x )>0，当1<x <2时,f ′(x )<0，∴f (x )在(−∞,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增， ∴当x =1时,f (x )取得极大值f (1)=5−a ， 当x =2时,f (x )取得极小值f (2)=4−a ，∵f (x )只有两个零点，∴5−a =0或4−a =0，即a =5或a =4. 本题选择C 选项.11．D解析：D 【解析】曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =的两个交点坐标分别为(π6,12),(5π6,12), 则封闭图形的面积为5π5π66ππ6611πsin cos |3223x dx x x ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰本题选择D 选项.点睛：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． (3)若y ＝f (x )为奇函数，则()()0aaf x dx a ->⎰ ＝0.12．D解析：D 【详解】根据题意，画出如图所示：由直线4y x =-，，曲线2y x =x 轴所围成的面积为：4288221402(24)(4)42322xdx x x dx x x x x +⎰+=+-+=.故选D.二、填空题13．108m 【分析】令速度为0求出t 的值0和6求出速度函数在上的定积分即可【详解】由得或当时质点运动的路程为故答案为：108m 【点睛】本题主要考查了定积分定积分在物理中的应用属于中档题解析：108m. 【分析】令速度为0求出t 的值 0和6，求出速度函数在[0,6]上的定积分即可. 【详解】由21830t t -=，得0t =或6t =，当[0,6]t ∈时，质点运动的路程为()()662233201839696108S t t dt t t=-=-=-+⨯=⎰，故答案为：108m 【点睛】本题主要考查了定积分，定积分在物理中的应用，属于中档题.14．【解析】【分析】本题首先可以绘出曲线和的图像并找出两曲线图像围成的区域然后通过微积分以及定积分的基本定理即可解出答案【详解】如图所示曲线和所围成的封闭图形的面积为：故答案为【点睛】本题考查几何中面积解析：13【解析】 【分析】本题首先可以绘出曲线2y x x 和2y x x 的图像，并找出两曲线图像围成的区域，然后通过微积分以及定积分的基本定理即可解出答案。
新北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(有答案解析)
一、选择题1．给出下列函数：①()()2ln 1f x x x =+-；②()3cos f x x x =；③()xf x e x =+.0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰的函数是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③2．给出以下命题： （1）若()0haf x dx >⎰，则()0f x >；（2）20|sin |4x dx π=⎰；（3）()f x 的原函数为()F x ，且()F x 是以T 为周期的函数，则：()()aa TTf x dx f x dx +=⎰⎰其中正确命题的个数为（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．43．在1100x y x y ==-=,,,围成的正方形中随机投掷10000个点，则落入曲线20x y -=,1y =和y 轴围成的区域的点的个数的估计值为（ ）A ．5000B ．6667C ．7500D ．78544．若函数()32nxf x x x =++在点()1,6M 处切线的斜率为33ln3+，则n 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．35．已知函数()f x 的图像如图所示， ()f x '就()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）A ．()()()()224224f f f f <-'<'B ．()()()()242242f f f f '<<-'C ．()()()()222442f f f f '<<-'D ．()()()()422422f f f f '<'-<6．已知函数f(x)=x 2+1的定义域为[a,b](a<b),值域为[1,5],则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．27．曲线x y e =，x y e -=和直线1x =围成的图形面积是（ ） A ．1e e --B ．1e e -+C ．12e e ---D ．12e e -+-8．曲线22y x x =-与直线11x x =-=，以及x 轴所围图形的面积为（ ）A ．2B ．83C ．43D ．239．若在R 上可导,,则( )A ．B ．C ．D ．10．函数0()(4)xf x t t dt =-⎰在[1,5]-上（ ）A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值323-C ．最小值323-，无最大值 D ．既无最大值，也无最小值11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．4B ．2C ．43D ．2312．1201(1))x x dx ⎰--=（ ） A ．22π+B ．12π+ C ．122π-D ．142π- 二、填空题13．若()()122f x x f x dx =+⎰，则()1f x dx =⎰_______.14．若112lim 22n n n n n t t +-→+∞-=+ ，则实数t 的取值范围是_____________.15．曲线2yx x 和2y x x 所围成的封闭图形的面积是_______.16．已知函数()()()22ln 1,0ln 1,0x x x x f x x x x x ⎧++≥⎪=⎨--+<⎪⎩，若()()()21f a f a f -+≤，则实数a 的取值范围是___________． 17．定积分21d 1x x ⎰-的值为__________． 18．已知函数2()2ln f x x x =-，若方程()0f x m +=在1[,]e e内有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围是__________． 19．设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、直线6x π=围成的封闭图形的面积为b ，若2()2ln 2g x x bx kx =--在[1,)+∞上单调递减，则实数k 的取值范围是__________．20．曲线2y x 和曲线y x =围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是________．三、解答题21．已知函数21()ln (1)12f x x ax a x =-+-+． （1）当1a =时，）求函数()f x 在2x =处的切线方程； （2）求函数()f x 在[]1,2x ∈时的最大值．22．如图计算由直线y ＝6－x ，曲线8y x =以及x 轴所围图形的面积．23．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象如图，直线0y =在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274.（1）求()f x 的解析式；（2）若常数0m >，求函数()f x 在区间[],m m -上的最大值. 24．已知曲线sin y x =和直线0,x x π==及0y =所围成图形的面积为0S . (1)求0S .(2)求所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积.25．如图：已知2y ax bx =+通过点（1,2），与22y x x =-+有一个交点横坐标为1x ，且0,1a a <≠-.（1）求2y ax bx =+与22y x x =-+所围的面积S 与a 的函数关系； （2）当,a b 为何值时，S 取得最小值.26．求曲线6y x =-和8y x =y ＝0围成图形的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】利用定义判断①②中的函数为奇函数，根据奇函数和定积分的性质，判断①②；利用反证法，结合定积分的性质，判断③. 【详解】对①，()f x 的定义域为R2212()ln(1)ln(1)ln(1)()f x x x x x x x f x --=+=+=-+=-即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对②，()f x 的定义域为R33()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对③，若0a ∃>，使得()0aaf x dx -=⎰成立则()2102aax x a aa a e x dx e x e e ---⎛⎫+=+- ⎪⎝==⎭⎰，解得0a =，与0a >矛盾，则③不满足 故选：A 【点睛】本题主要考查了定积分的性质以运用，属于中档题.2．B解析：B 【分析】(1)根据微积分基本定理,得出()()()0haf x dx F h F a =->⎰,可以看到与()f x 正负无关.(2)注意到sin x 在[]0,2π的取值符号不同,根据微积分基本运算性质,化为220|sin ||sin ||sin |x dx x dx x dx ππππ=+⎰⎰⎰求解判断即可.(3)根据微积分基本定理,两边分别求解,再结合()()F a T F a +=,()()0F T F =判定. 【详解】 (1)由()()()0haf x dx F h F a =->⎰,得()()F h F a >,未必()0f x >.(1)错误.(2)()22200|sin ||sin ||sin |sin sin x dx x dx x dx xdx x dx πππππππ=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰()()20cos |cos |11114x x πππ=-+=--+--=,(2)正确.(3)()()0()0af x dx F a F =-⎰,()()()()()0a TTf x dx F a T F T F a F +=+-=-⎰；故()()aa T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；(3)正确.所以正确命题的个数为2, 故选：B. 【点睛】本题主要考查了命题真假的判定与定积分的计算,属于中档题.3．B解析：B 【分析】应用微积分基本定理求出对应的原函数，再由定积分定义求出空白区域面积，由正方形面积减去空白区域面积即可求出阴影部分面积，结合几何概型可推导出对应区域内的点的个数【详解】由微积分基本定理可求出2yx 的原函数为()313F x x =，空白区域面积为31101133S x ==，故阴影部分面积212133S =-=，由几何概型可知，落入阴影部分的点数估计值为21000066673⨯≈ 故选：B 【点睛】本题考查定积分与微积分的基本定理，几何概型，属于基础题4．A解析：A【解析】由题意，得()13ln32n x f x nx-=++'， ()13ln3233ln3f n =++=+'，所以1n =；故选A.5．A解析：A【解析】解：观察所给的函数图象可知： ()()()()42'2'442f f f f -<<- ，整理可得： ()()()()224224f f f f <-'<' . 本题选择A 选项.6．C解析：C 【解析】 由函数的图像可知，需满足或，所以点的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是边长为2的正方形，其面积为4.7．D解析：D 【解析】试题分析：根据题意画出区域，作图如下，由{x xy e y e -==解得交点为（0，1），∴所求面积为：()()1101|2x x x x S e e dx e e e e --=-=+=+-⎰ 考点：定积分及其应用8．A解析：A 【解析】试题分析：在抄纸上画出图像，可根据图像列出方程1221(20)(2)x x dx x x dx---+-+⎰⎰=320321111()33x x x x --+-+=110(1)(1)33---+-+=4233+=2考点：区间函数的运用9．B解析：B【解析】试题分析：欲求积分，则必须求出被积函数.由已知可知函数的解析式并不明确（未知，但为常数）.所以对原函数求导，可得,令,,所以,则.考点：函数导数和函数积分.10．B解析：B 【分析】根据定积分的运算，可得321()23f x x x =-，再利用导数求得()f x 的单调性和极值，检验端点值，即可得答案. 【详解】由题意，函数3232011()(4)2233xxf x t t dt t t x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭⎰，则2()4(4)f x x x x x '=-=-，当[1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(0,4)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(4,5]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增； 又由7(1)3f -=-，(0)0f =，32(4)3f =-，25(5)3f =-， 所以函数()f x 的最大值为0，最小值为323-. 故选：B . 【点睛】本题考查定积分的运算，利用导数求函数的最值问题，考查分析理解，求值化简的能力，属中档题.11．D解析：D 【分析】根据三视图可得到该几何体的直观图，进而可求出该几何体的体积. 【详解】根据三视图可知该几何体为四棱锥E ABCD -，四边形ABCD 是边长为1的正方形，BE ⊥平面ABCD ，2BE =，则四棱锥E ABCD -的体积为1233ABCD V S BE =⋅=. 故选D.【点睛】本题考查了三视图，考查了四锥体的体积的计算，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.12．D解析：D 【分析】 函数()1201(1)y x dx =--⎰的图象是以(1,0)为圆心，以1为半径的上半圆，作出直线y x =，则图中阴影部分的面积为题目所要求的定积分.【详解】 由题意，()()1112201(1)1(1)()x x dx x dx x dx ---=--+-⎰⎰⎰，如图：1201(1)x dx --⎰的大小相当于是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆的面积的14，故其值为4π，021011()1()|22x d x x --=-=⎰， 所以，)11122011(1)1(1)()42x x dx x dx x dx π--=--+-=-⎰⎰⎰ 所以本题选D. 【点睛】本题考查求定积分，求解本题关键是根据定积分的运算性质将其值分为两部分来求，其中一部分要借用其几何意义求值，在求定积分时要注意灵活选用方法，求定积分的方法主要有两种，一种是几何法，借助相关的几何图形，一种是定义法，求出其原函数，本题两种方法都涉及到了，由定积分的形式分析，求解它的值得分为两部分来求，10dx ⎰和1()x dx -⎰.二、填空题13．【分析】所以对等式在上积分得到关于的方程解得的值即可【详解】解：设则解得所以故答案为：【点睛】本题考查了定积分的应用考查了定积分的求法属于中档题解题时要注意根据题目要求灵活的在固定区间上积分进而构造解析：13-【分析】1()f x dx n =⎰，所以2()2f x x n =+，对等式在(0,1)上积分，得到关于n 的方程，解得n 的值即可． 【详解】解：设10()f x dx n =⎰，则2()2f x x n =+2311111()(2)22033f x dx n x n dx x nx n ⎛⎫∴⎰==⎰+=+=+ ⎪⎝⎭，解得13n =-， 所以101()3f x dx =⎰．故答案为：13-． 【点睛】本题考查了定积分的应用，考查了定积分的求法．属于中档题．解题时要注意根据题目要求灵活的在固定区间上积分，进而构造出需要的方程．14．【分析】利用数列的极限的运算法则转化求解即可【详解】解：当|t|≥2时可得可得t ＝﹣2当|t|＜2时可得：综上可得：实数t 的取值范围是：﹣22）故答案为﹣22）【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的 解析：[)2,2-【分析】利用数列的极限的运算法则，转化求解即可． 【详解】解：当|t |≥2时，n+1nn n-1n 2-t lim =22+t→∞，可得2n 22()11t lim 2121n t t t→∞⨯--==⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ，可得t ＝﹣2． 当|t |＜2时，n+1n n n-1n 2-t lim =22+t →∞可得： 22()2lim 211?()2n n t t t →∞+=+ ， 综上可得：实数t 的取值范围是：[﹣2，2）． 故答案为[﹣2，2）． 【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力．15．【解析】【分析】本题首先可以绘出曲线和的图像并找出两曲线图像围成的区域然后通过微积分以及定积分的基本定理即可解出答案【详解】如图所示曲线和所围成的封闭图形的面积为：故答案为【点睛】本题考查几何中面积解析：13【解析】 【分析】本题首先可以绘出曲线2y x x 和2y x x 的图像，并找出两曲线图像围成的区域，然后通过微积分以及定积分的基本定理即可解出答案。
新北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》检测卷(含答案解析)(4)
一、选择题1．已知71()x x +展开式中，5x 的系数为a ，则62axdx =⎰（ ）A ．10B ．11C ．12D ．132．12201x dx -=⎰（ ）A ．12πB ．3128π+ C ．368π+ D ．364π+3．4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成，则每片叶子的面积为（） A ．16B ．36C ．13D ．234．已知是i 虚数单位，复数()1a i z a R i -=∈-，若01||(sin )z x dx ππ=-⎰，则a =（ ）A ．±1B ．1C ．1-D ．12±5．定积分= A ．B ．C ．D ．6．已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为：A ．2π5B ．32C ．43D ．π27．设若20lg ,0()3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，((1))1f f =，则a 的值是( ) A ．-1 B ．2 C ．1 D ．-28．等比数列{}n a 中,36a =,前三项和3304S xdx =⎰,则公比q 的值为（ ）A ．1-或12- B ．1或12-C ．12-D ．19．定积分220[4(2)]x x dx ---⎰的值为（ ）A ．24π- B ．2π- C ．22π- D ．48π-10．由直线0,,2y x e y x ===及曲线2y x=所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．3B ．32ln 2+C ．223e -D ．e11．计算()122x x dx -⎰的结果为（ ）A ．0B ．1C ．23D ．5312．已知t ＞0，若（2x ﹣2）dx=8，则t=（ ） A ．1B ．﹣2C ．﹣2或4D ．4二、填空题13．已知曲线与直线所围图形的面积______.14．曲线,,0x y e y e x ===围成的图形的面积S =______15．由曲线x y e x =+与直线0,1,0x x y ===所围成图形的面积等于________． 16．计算()0cos 1x dx π⎰+=_________.17．函数()xf x e x =-在［-1，1］上的最小值__________．18．已知等差数列{}n a 中， 225701a a x dx +=-⎰，则468a a a ++=__________．19．计算(2224x x dx --⎰得__________．20．2(1)x dx -=⎰________.三、解答题21．如图，四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，ED ⊥面ABCD ，EF AB ∥，22ED AD EF ===，M 为BC 的中点．（1）求证：FM ∥平面BDE ；（2）若G 为线段BE 上一点，当三棱锥B GCD -的体积为239时，求BG BE 的值．22．已知二次函数()f x 满足(0)0f =，且对任意x 恒有(1)()22f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()'()g x f x f x λ=-，其中'()f x 为()f x 的导函数.若对任意[0,1]x ∈，函数()y g x =的图象恒在x 轴上方，求实数λ的取值范围.23．已知函数()21ln ,2f x x ax a R =-∈.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若关于x 的不等式()()11f x a x ≤--恒成立，求整数a 的最小值. 24．如图，函数()sin()f x x ωϕ=+（其中π0,2ωϕ>≤）的图象与坐标轴的三个交点为,,P Q R ，且π(,0)6P ,2π(,0)3Q ，M 为QR 的中点，且M 的纵坐标为34-.（1）求()f x 的解析式；（2）求线段QR 与函数()f x 图象围成的图中阴影部分的面积.25．已知函数()3269f x x x x =-+-．若过点()1,P m -可作曲线()y f x =的切线有三条，求实数m 的取值范围．26．已知函数()sin cos ,f x x x a x =+且()f x 在3x π=处的切线的斜率为6π. （1）求a 的值，并讨论()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性；（2）设1()ln(1),0,01x g x mx x m x -=++≥>+，若对任意[)10,x ∈+∞,总存在20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得12()()g x f x ≥成立，求m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用二项式的通项公式求得7a =，从而求得762xdx ⎰的值.【详解】在71()x x +展开式中，得二项式的通项公式7721771rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令725r -=，解得1r =，所以5x 的系数为177C =，即7a =.所以7267662213axdx xdx x===⎰⎰.故选：D 【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，求定积分的值，属于中档题．2．B解析：B 【分析】令y =()2210x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，则该积分表示该半圆与y 轴，12x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，求出面积即可. 【详解】解：令y =()2210x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，表示以原点为圆心，2为半径的圆的上半圆与y 轴，12x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，如图：故1220113131122226812OAB BOCx dx SS ππ-=+=⨯⨯+⨯⨯=+⎰扇形. 故选：B. 【点睛】本题考查定积分的几何意义，属基础题.3．C解析：C 【分析】先计算图像交点，再利用定积分计算面积. 【详解】 如图所示：由2y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩0,0,x y =⎧⎨=⎩11x y =⎧⎨=⎩， 根据图形的对称性，可得每片叶子的面积为)13023210211d 333x x x x x ⎛⎫⎰=-= ⎪⎝⎭.故答案选C 【点睛】本题考查定积分的应用，考查运算求解能力4．A解析：A 【解析】 因为11122a i a a z i i -+-==+-，所以222111()()22222a a z a +-=+=+式0011(sin )[cos ]|1x dx x x ππππ-=--=⎰，故22122112a a +=⇒=，即1a =±，应选答案A 。
新北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》检测卷(答案解析)(4)
一、选择题1．一物体作变速直线运动，其v t -曲线如图所示，则该物体在1s~6s 2间的运动路程为（ ）m ．A ．1B ．43C ．494D ．22．如图，由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）A ．1B ．23C ．43D ．23．曲线xy e =在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3 4．由23y x =-和2y x =围成的封闭图形的面积是（ ） A ．23．923-．323 D ．3535．已知函数f(x)=x 2+1的定义域为[a,b](a<b),值域为[1,5],则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．26．121(1)x x dx --=⎰（ ）A ．1π+B ．1π-C ．πD ．2π7．已知二次函数()y f x =的图像如图所示 ，则它与x 轴所围图形的面积为（ ）A ．25π B ．43C ．32D ．2π 8．定积分()1e2xx dx -⎰的值为（ ）A ．e 2-B ．e 1-C ．eD ．e 1+9．等比数列{}n a 中，39a =前三项和为32303S x dx =⎰，则公比的值是（ ）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．-1或12-10．函数()22,04,02x x f x x x -<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩，则22()f x dx -⎰的值为（ ）A ．6π+B ．2π-C ．2πD ．811．已知320n x dx =⎰，且21001210(2)(23)n x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则12310012102310a a a a a a a a +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．823B ．845C ．965-D ．87712．由曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为( ) A ．172ln 22- B ．152ln 22- C ．15+2ln 22D ．17+2ln 22二、填空题13．424(16)x x dx --+=⎰__________．14．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为_________.15．已知函数()()()22ln 1,0ln 1,0x x x x f x x x x x ⎧++≥⎪=⎨--+<⎪⎩，若()()()21f a f a f -+≤，则实数a 的取值范围是___________． 16．定积分211(2)x dx x+⎰的值为_____ ．17．(1||1x edx -=⎰__________________18．若二项式261)x x +的展开式中的常数项为m ，则21(2)d mx x x -=⎰_________．19．设函数2()f x ax b =+（0a ≠），若300()3()f x dx f x =⎰，00x >，则0x =__________．20．设函数()f x 的图象与直线,x a x b ==及x 轴所围成图形的面积称为函数()f x 在[],a b 上的面积，已知函数()sin f x nx =在0,2n π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为1n()*n N ∈，则函数()()sin 32f x x π=-+在4,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为__________．三、解答题21．已知函数()()322,f x x ax bx aa b =+++∈R .（1）若函数()f x 在1x =处有极值为10，求b 的值； （2）若()4,a f x =-在[]0,2x ∈上单调递增，求b 的最小值.22．已知函数()221y f x x x ==-++和()1y g x x ==-，求：由()y f x =和()y g x =围成区域的面积.23．已知二次函数()21f x ax bx =+-在1x =-处取得极值，且在点()0,1-处的切线与直线20x y -=平行. （1）求()f x 的解析式；（2）求函数()()2g x xf x x =+的极值. 24．已知函数()121f x x x a =+--+ （1）当0a =时，解不等式()0f x ≥；（2）若二次函数2814y x x =-+-的图象在函数()y f x = 的图象下方，求a 的取值范围·25．已知函数()x ae f x x x=+．（1）若函数()f x 的图象在(1,(1))f 处的切线经过点(0,1)-，求a 的值；（2）是否存在负整数a ，使函数()f x 的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由；（3）设0a >，求证：函数()f x 既有极大值，又有极小值26．如图，阴影部分区域是由函数cos y x =图象，直线1,y x π==围成，求这阴影部分区域面积。
新北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(包含答案解析)
一、选择题1．设函数()f x 是R 上的奇函数， ()()f x f x π+=-，当02x π≤≤时，()cos 1f x x =-，则22x ππ-≤≤时， ()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积为（ ）A ．48π-B ．24π-C ．2π-D ．36π- 2．定积分220[4(2)]x x dx ---⎰的值为（ ）A ．24π- B ．2π- C ．22π- D ．48π-3．等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为3230S x dx =⎰，则公比q 的值是（ ）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．1-或12-4．图中阴影部分的面积用定积分表示为（ ）A ．12d xx ⎰B ．()121d xx -⎰C ．()1021d xx +⎰D ．()112d xx -⎰5．函数()325f x x x x =+-的单调递增区间为（ ）A ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和1,B ．5,3⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭1,C ．(),1-∞-和5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞-⋃5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6．由直线0,,2y x e y x ===及曲线2y x=所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．3 B ．32ln 2+C ．223e -D ．e7．20sin xdx π=⎰（ ）A ．4B ．2C ．-2D ．08．定积分()22xex dx +⎰的值为（ ）A ．1B ．2eC ．23e +D ．24e +9．设21,[0,1]()1,[1,0)x x f x x x ⎧⎪-∈=⎨+∈-⎪⎩，则11()f x dx -⎰等于（ ）A ．12π+B ．122π+ C ．124π+ D ．14π+10．已知11em dx x=⎰，函数()f x 的导数()()()f x a x m x a '=++，若()f x 在x a =-处取得极大值，则a 的取值范围是（ ） A ．1a < B ．10a -<< C ．1a >或0a <D ．01a <<或0a <11．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′π()6，则f π()3-与f π()3的大小关系是( ) A ．f π()3-＝f π()3B ．f π()3-＞f π()3 C ．f π()3-＜f π()3D ．不确定12．已知t ＞0，若（2x ﹣2）dx=8，则t=（ ） A ．1B ．﹣2C ．﹣2或4D ．4二、填空题13．若112lim 22n nn n n t t +-→+∞-=+ ，则实数t 的取值范围是_____________.14．在平面直角坐标系中，角α的始边落在x 轴的非负半轴，终边上有一点是(3-，若[)0,2απ∈，则cos xdx αα-=⎰______．15．定积分2211x dx x +=⎰ __________.16．1321(tan sin )x x x x dx -++⎰的值为______________________17．函数()xf x e x =-在［-1，1］上的最小值__________．18．设函数()f x 的图象与直线,x a x b ==及x 轴所围成图形的面积称为函数()f x 在[],a b 上的面积，已知函数()sin f x nx =在0,2n π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为1n ()*n N ∈，则函数()()sin 32f x x π=-+在4,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为__________．19．定积分()12xx e dx +=⎰__________．20．二项式33()6a x -的展开式的第二项的系数为,则的值为______．三、解答题21．已知321()2f x x x ax =+-. （Ⅰ）当4a =时，求()f x 的极值；（Ⅱ）若()f x 在()1,3上不单调，求实数a 的取值范围. 22．（2015秋•钦州校级期末）求曲线y=sinx 与直线，，y=0所围成的平面图形的面积．23．已知函数1()ln 2f x x x =-，(0,)x ∈+∞． （1）求函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程． （2）求函数()f x 的单调递增区间． 24．设是二次函数，方程有两个相等的实根，且()22f x x =+'（1）求()y f x =的表达式；（2）求()y f x =的图像与两坐标轴所围成图形的面积 25．已知()xkx bf x e+=． （Ⅰ）若()f x 在0x =处的切线方程为1y x =+，求k 与b 的值； （Ⅱ）求1x xdx e ⎰． 26．已知函数()xae f x x x=+．（1）若函数()f x 的图象在(1,(1))f 处的切线经过点(0,1)-，求a 的值；（2）是否存在负整数a ，使函数()f x 的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由；（3）设0a >，求证：函数()f x 既有极大值，又有极小值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A【解析】由题设()()()()2f x f x f x f x ππ+=-⇒+=，则函数()y f x =是周期为2π的奇函数，画出函数()[],0,2y f x x π=∈的图像，结合函数的图像可知：只要求出该函数(),0,2y f x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的图像与x 轴所围成的面积即可。
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章末综合检测(四)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. ⎠⎛01(e x ＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1解析：选C. ⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|10＝e ＋1－1＝e.2．由曲线xy ＝a (a ＞0)在[a ，2a ]上绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为( ) A ．πa B ．πa 2 C.π2a D.π2a 2 解析：选C.曲线方程改写成y ＝a x ，因此所求体积为V ＝⎠⎛a2a π·a 2x 2d x ＝－πa 2x －1|2a a ＝－πa 2·12a ＋πa 2·1a ＝π2a .故选C.3．函数y ＝⎠⎛-xx (cos t ＋t 2＋2)d t (x ＞0)是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．以上都不正确解析：选A.y ＝⎝⎛⎭⎫sin t ＋t 33＋2t |x －x ＝2sin x ＋2x33＋4x ，为奇函数． 4．若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a ，b ，c 从小到大的顺序为( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b解析：选D.因为⎠⎛02x 2d x ＝13x 3|20＝83， ⎠⎛02x 3d x ＝14x 4|2＝4， ⎠⎛02sin x d x ＝－cos x |20 ＝1－cos 2＜2， 故c ＜a ＜b .5．曲线y ＝sin x 与直线y ＝2πx 所围成的平面图形的面积为( )A.4＋π2B.4－π4C.4－π2D.2－π2解析：选C.在同一坐标系中作出曲线y ＝sin x 和直线y ＝2πx 的图像，如图所示，阴影部分的面积可表示为2⎠⎜⎛0π2⎝⎛⎭⎫sin x －2πx d x ＝2⎝⎛⎭⎫－cos x －x 2π⎪⎪⎪⎪π2＝4－π2.6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，－2≤x ＜0，2cos x ，0≤x ≤π2的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A ．3 B.72 C ．4D.92解析：选C.依题意得，所求封闭图形的面积等于12×2×2＋⎠⎜⎛0π22cos x d x ＝2＋2sin x ⎪⎪⎪⎪π2＝4，选C.7．由直线y ＝2x ，x ＝1，x ＝2与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周得到一个圆台，则该圆台的体积为( )A.28π3B ．32π C.4π3D ．3π解析：选A.V ＝⎠⎛12π(2x )2d x ＝π⎠⎛124x 2d x＝4π⎠⎛12x 2d x ＝4π3x 3|21＝283π.8．给出下列命题：①⎠⎛b a 1d x ＝⎠⎛ab 1d t ＝b －a (a ，b 为常数且a ＜b )；②⎠⎛－10x 2d x ＝⎠⎛01x 2d x ；③曲线y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与直线y ＝0围成的两个封闭区域面积之和为2.其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B. ⎠⎛a b 1d t ＝b －a ，⎠⎛ba 1d x ＝a －b ，故①错．y ＝x 2是偶函数，其在[－1，0]上的积分结果等于其在[0，1]上的积分结果，故②正确．对于③有S ＝2⎠⎛0πsin x d x ＝4.故③错．故选B.9．一物体在力F (x )＝15－3x 2(力的单位：N ，位移的单位：m)作用下沿与力F (x )成30°角的方向由x ＝1 m 直线运动到x ＝2 m 处，作用力F (x )所做的功W 为( )A. 3 J B ．2 3 J C ．4 3 JD.32J 解析：选C.W ＝⎠⎛12F (x )cos 30°d x ＝32⎠⎛12(15－3x 2)d x ＝32(15x －x 3)|21＝32[(30－8)－(15－1)]＝43(J)．10．由曲线y ＝2x ，曲线y ＝2－x ，直线x ＝－1，直线x ＝1所围成的封闭图形的面积是( ) A ．log 4e B ．log 2e C ．2log 2eD ．4log 2e解析：选B.如图所示，按定积分的几何意义，所求的面积实际上就是定积分⎠⎛－11|2x －2－x |d x ，由于被积函数是偶函数，这个定积分等于2⎠⎛01(2x －2－x )d x ，所以所求的面积是⎠⎛－11|2x －2－x |d x ＝2⎠⎛01(2x －2－x )d x＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎠⎛012x d x －⎠⎛01⎝⎛⎭⎫12xd x ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ln 2 ⎪⎪⎪10－⎝⎛⎭⎫12xln12⎪⎪⎪1＝1ln 2 ＝log 2e.11．在函数y＝cos x，x∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的图像上有一点P(t，cos t)，此函数图像与x轴及直线x＝t围成图形(如图中阴影部分)的面积为S，则S关于t的函数关系S＝g(t)的图像可表示为()解析：选C.由已知条件可得阴影部分的面积S＝⎠⎜⎛－π2t cos x d x＝sin x⎪⎪⎪t-π2＝sin t＋1⎝⎛⎭⎫t∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，即S＝g(t)的图像为y＝sin t⎝⎛⎭⎫t∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2向上平移1个单位所得．12．过原点的直线l与抛物线y＝x2－2ax(a＞0)所围成的图形面积为92a3，则直线l的方程为()A．y＝±ax B．y＝axC．y＝－ax D．y＝－5ax解析：选B.由题意知直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝kx，由⎩⎪⎨⎪⎧y＝kx，y＝x2－2ax，得交点坐标为(0，0)，(2a＋k，2ak＋k2)．抛物线与x轴围成的图形的面积为S＝⎠⎛2a(2ax－x2)d x＝⎝⎛⎭⎫ax2－x33|2a＝4a3－83a3＝43a3＜92a3，所以直线l 与抛物线的另一个交点在x 轴上方． 抛物线与直线l 所围成的图形的面积为 S ＝⎠⎛02a+k [kx －(x 2－2ax )]d x＝⎝⎛⎭⎫k ＋2a 2x 2－x 33|2a ＋k 0＝（2a ＋k ）36＝92a 3，所以k ＝a ，所以直线l 的方程为y ＝ax . 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若0≤a ≤π2，且⎠⎜⎛aπ6cos x d x ＝12，则a ＝________．解析：因为⎠⎜⎛aπ6cos x d x ＝12，所以sin x ⎪⎪π6a ＝12，所以sin π6－sin a ＝12，所以sin a ＝0.又因为0≤a ≤π2，所以a ＝0.答案：014．若等比数列{a n }的首项为23，且a 4＝⎠⎛14(1＋2x )d x ，则公比q 等于________．解析：由于a 4＝⎠⎛14(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2)|41＝18，所以公比q ＝318×32＝3.答案：315．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________．解析：由分段函数的定义知f (f (1))＝f (lg 1)＝f (0)＝0＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3＝1，所以a ＝1.答案：116．设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________．解析：求曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积，即⎠⎛ax d x ＝23x 32|a0＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.答案：49三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)求由曲线y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 所围成封闭图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x ，得x 1＝0，x 2＝2.由图可知，所求图形的面积为S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＋|⎠⎛02(2x 2－4x )d x |＝⎠⎛02(2x －x 2)d x －⎠⎛02(2x 2－4x )d x ， 因为⎝⎛⎭⎫x 2－13x 3′＝2x －x 2，⎝⎛⎭⎫23x 3－2x 2′＝2x 2－4x ， 所以S ＝⎝⎛⎭⎫x 2－13x 3|20－⎝⎛⎭⎫23x 3－2x 2|20＝4. 18．(本小题满分12分)计算下列定积分：(1) ⎠⎛14x －x2x ＋xd x ；(2) ⎠⎛02(2－|1－x |)d x .解：(1) ⎠⎛14x －x 2x ＋x d x＝⎠⎛14（x ＋x ）（x －x ）x ＋x d x＝⎠⎛14 (x －x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－12x 2|41＝⎝⎛⎭⎫23×432－12×42－⎝⎛⎭⎫23－12 ＝163－8－23＋12＝－176. (2)因为y ＝2－|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，0≤x ≤1，3－x ，1＜x ≤2， 所以⎠⎛02 (2－|1－x |)d x＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝⎝⎛⎭⎫x ＋12x 2|10＋⎝⎛⎭⎫3x －12x 2|21＝32＋4－52＝3. 19．(本小题满分12分)A 、B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 站前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t ) m/s ，在B 站恰好停车，试求：(1)A ，C 间的距离； (2)B ，D 间的距离．解：(1)设A 到C 的时间为t 1s ，则1.2t 1＝24， 解得t 1＝20.则AC ＝⎠⎛0201.2t d t ＝0.6t 2|200＝240(m)． 即A ，C 间的距离为240 m. (2)设D 到B 的时间为t 2 s ， 则24－1.2t 2＝0，解得t 2＝20，则BD ＝⎠⎛020(24－1.2t)d t ＝(24t －0.6t 2)|200＝240(m)．即B ，D 间的距离为240 m.20．(本小题满分12分)如图，直线y ＝kx (k ＞0)分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛1(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22－x 33|10＝12－13＝16. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x －x 2可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x ′1＝0，x ′2＝1－k ， 所以S2＝⎠⎛01-k (x －x 2－kx )d x＝⎝⎛⎭⎫1－k 2x 2－x 33|1－k 0＝16(1－k )3. 又S ＝16，所以(1－k )3＝12.于是k ＝1－312＝1－342.所以k 的值为1－342. 21．(本小题满分12分)抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)在第一象限内与直线x ＋y ＝4相切．此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S .求使S 达到最大值的a ，b 值，并求S 的最大值．解：由题设可知抛物线y 与x 轴交点的横坐标分别为x 1＝0，x 2＝－ba ，所以S ＝⎠⎛0－b a (ax 2＋bx )d x ＝16a 2b 3，① 又直线x ＋y ＝4与抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)相切，即它们有唯一的公共点，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，y ＝ax 2＋bx ，得 ax 2＋(b ＋1)x －4＝0，其判别式Δ＝0， 即(b ＋1)2＋16a ＝0.于是a ＝－116(b ＋1)2，代入①式得S (b )＝128b 33（b ＋1）4(b >0)，S ′(b )＝128b 2（3－b ）3（b ＋1）5；令S ′(b )＝0，得b ＝3，且当0<b <3时，S ′(b )>0； 当b >3时，S ′(b )<0.故在b ＝3时，S (b )取得极大值，也是最大值， 即a ＝－1，b ＝3时，S 取得最大值，且S max ＝92.22．(本小题满分12分)已知A (－1，2)为抛物线C ：y ＝2x 2上的点，直线l 1过点A ，且与抛物线C 相切．直线l 2：x ＝a (a ≠－1)交抛物线C 于点B ，交直线l 1于点D.(1)求直线l 1的方程；(2)设△ABD 的面积为S 1，求|BD |及S 1的值；(3)设由抛物线C ，直线l 1，l 2所围成的图形的面积为S 2，求证：S 1∶S 2的值为与a 无关的常数．解：(1)由y ＝2x 2，得y ′＝4x . 当x ＝－1时，y ′＝－4.所以l 1的方程为y －2＝－4(x ＋1)，即4x ＋y ＋2＝0. (2)由y ＝2x 2及x ＝a ，解得点B 的坐标为(a ，2a 2)， 由4x ＋y ＋2＝0及x ＝a ，解得点D 的坐标为(a ，－4a －2)， 又可求得点A 到直线BD 的距离为|a ＋1|， |BD |＝2a 2＋4a ＋2＝2(a ＋1)2， 所以S 1＝|a ＋1|3.(3)证明：由题意得，当a >－1时， S 2＝⎠⎛－1a(2x 2＋4x ＋2)d x ＝⎝⎛⎪⎪⎭⎫23x 3＋2x 2＋2x a－1＝23a 3＋2a 2＋2a ＋23－2＋2＝23(a ＋1)3， 当a <－1时，S 2＝⎠⎛a－1(2x 2＋4x ＋2)d x ＝－23(a ＋1)3，所以S 1∶S 2＝3∶2，即S 1∶S 2的值为与a 无关的常数．由Ruize收集整理。