2动量守恒定律的应用-四种模型

例2.如图所示，一根质量不计、长为1m能承受最大拉力为14N的绳子，一端固定在天花板上，另一端系一质量为1kg的小球，整个装置处于静止状态，一颗质量为10g、水平速度为500m/s的子弹水平击穿小球后刚好将将绳子拉断，求子弹此时的速度为多少？（g取10m/s2）练2、一颗质量为m,速度为v o的子弹竖直向上射穿质量为M的木块后继续上升，子弹从射穿木块到再回到原木块处所经过的时间为T,那么当子弹射出木块后，木块上升的最大高度为多少？例3.如图所示，光滑水平轨道上放置长板A（上表面粗糙）和滑块C,滑块B置于A的左端，三者质量分别为m A= 2 kg、mfe = 1 kg、m c= 2 kg.开始时C静止，A、B 一起以v o= 5 m/s的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞（时间极短）后C向右运动，经过一段时间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C发生碰撞.求A与C碰撞后瞬间A的速度大小. 由练3.质量为M的滑块静止在光滑的水平面上，滑块的光滑弧面底部与水平面相切，一个质量为m的小球以速度v o向滑块冲来，设小球不能越过滑块，求：小球到达最高点时的速度和小球达到的最大高度。

例4.如图，光滑水平直轨道上有三个质量均为m的物块A、B、C.B的左侧固定一轻弹簧（弹簧左侧的挡板质量不计）.设A以速度v o朝B运动，压缩弹簧；当A、B速度相等时，B与C恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动.假设B和C碰撞过程时间极短，求从A开始压缩弹簧直至与弹黄分离的过程中，（1）整个系统损失的机械能；（2）弹簧被压缩到最短时的弹性势能.练4.如图所示，光滑水平面上有A、B、C三个物块，其质量分别为m A= 2.0 kg, m B= m c= 1.0 kg ,现用一轻弹簧将A、B两物块连接，并用力缓慢压缩弹簧使A、B两物块靠近，此过程外力做功108 J(弹簧仍处于弹性限度范围内)，然后同时释放，弹簧开始逐渐变长，当弹簧刚好恢复原长时，C恰好以4 m/s的速度迎面与B发生碰撞并瞬时粘连•求：(1) 弹簧刚好恢复原长时(B与C碰撞前)，A和B物块速度的大小;(2) 当弹簧第二次被压缩时，弹簧具有的最大弹性势能.1. 静止在光滑水平地面上的平板小车C,质量为m e =3kg ,物体A、B的质量为m A=m B=1kg,分别以V A=4m/s和V B=2m/s的速度大小，从小车的两端相向地滑到车上•若它们在车上滑动时始终没有相碰, 与车的动摩擦因数均为」=0.2 .求：(1) 小车的最终的速度；(2) 小车至少多长(物体A、B的大小可以忽略)2. 如图，水平轨道AB与半径为R=1.0 m的竖直半圆形光滑轨道BC相切于B点.可视为质点的a、b两个小滑块质量m a=2m b=2 kg，原来静止于水平轨道A处，AB长为L=3.2m，两滑块在足够大的内力作用下突然分开，已知a、b两滑块分别沿AB轨道向左右运动，V a =4.5m/s, b滑块与水平面间动摩擦因数-=0.5 , g取10m/s2.则(1) 小滑块b经过圆形轨道的B点时对轨道的压力.(2) 通过计算说明小滑块b能否到达圆形轨道的最高点C.附加题：如图，两块相同平板P1、P2置于光滑水平面上，质量均为m.P2的右端固定一轻质弹簧，左端A与弹簧的自由端B相距L.物体P置于P1的最右端，质量为2m且可看作质点.P1与P以共同速度V0向右运动，与静止的卩2发生碰撞，碰撞时间极短，碰撞后P1与卩2粘连在一起.P压缩弹簧后被弹回并c■yA、B两物体e停在A点(弹簧始终在弹性限度内).P与P2之间的动摩擦因数为卩求:(1)P1、P2刚碰完时的共同速度V1和P的最终速度V2；⑵此过程中弹簧的最大压缩量X和相应的弹性势能E p.例题参考答案例 3 ：因碰撞时间极短， A 与 C 碰撞过程动量守恒，设碰后瞬间 A 的速度为 右为正方向，由动量定恒定律得m A v o = E AVA + m c v cA 与B 在摩擦力作用下达到共同速度， 设共同速度为V AB ，由动量守恒定律得 A 与B 达到共同速度后恰好不再与C 碰撞，应满足 V AB = V c 联立①②③式，代入数据得 V A = 2 m/s.例4: P i 与P 2发生完全非弹性碰撞时，P i 、P 2组成的系统遵守动量守恒定律； P 与(P 1+ P 2)通过摩擦力 和弹簧弹力相互作用的过程，系统遵守动量守恒定律和能量守恒定律•注意隐含条件 P i 、P 2、P 的最终速 度即三者最后的共同速度；弹簧压缩量最大时， P i 、P 2、P 三者速度相同.V A , C 的速度为V c ，以向m A V A + m B V 0= (m a + m g )V AB(1) P i与P2碰撞时，根据动量守恒定律，得mv o= 2mv i 解得v i =詈，方向向右P停在A点时，P i、P2、P三者速度相等均为V2,根据动量守恒定律，得2mv i + 2mv o= 4mv2解得v2 =^v o,方向向右.(2) 弹簧压缩到最大时，P i、P2、P三者的速度为v2，设由于摩擦力做功产生的热量为Q,根据能量守恒定律，得从P i与P2碰撞后到弹簧压缩到最大2mv i+ 2 x 2mv0= 2 x 4mv笄Q+ E p从P i与P2碰撞后到P 停在 A 点i x 2mv2 + 2x 2mv0 = 2 x 4mv2 + 2Q联立以上两式解得E p=和v0, Q=和v02根据功能关系有Q =^2mg(L + x) 解得x=二汁一L.32ug练4: (2)A、B碰撞时动量守恒、能量也守恒，而B、C相碰粘接在一块时，动量守恒.系统产生的内能则为机械能的损失.当A、B、C速度相等时，弹性势能最大.(i )从A压缩弹簧到A与B具有相同速度v i时，对A、B与弹簧组成的系统，由动量守恒定律得mv°=2mv i此时B与C发生完全非弹性碰撞，设碰撞后的瞬时速度为v2,损失的机械能为圧•对B、C组成的系统，由动量守恒定律和能量守恒定律得mv j= 2mv2*mv2= A E + *(2m)v2 联立解得A E = ^^mv o.(ii )由②式可知v2<v i, A将继续压缩弹簧，直至A、B、C三者速度相同，设此速度为 g 此时弹簧被i i压缩至最短，其弹性势能为E p.由动量守恒定律和能量守恒定律得mv o= 3mv3 ? mv0 —A E = ? (3m)v 2+ E p联立④⑤⑥式得E p= ^mv2.课后作业:i •如图所示，光滑水平面上有A、B、C三个物块，其质量分别为m A = 2.0 kg , m B= m e = i.0 kg，现用一轻弹簧将A、B两物块连接，并用力缓慢压缩弹簧使A、B两物块靠近，此过程外力做功108 J(弹簧仍处于弹性限度范围内)，然后同时释放，弹簧开始逐渐变长，当弹簧刚好恢复原长时，C恰好以4 m/s的速度迎面与B发生碰撞并瞬时粘连.求：(1) 弹簧刚好恢复原长时(B与C碰撞前)，A和B物块速度的大小;(2) 当弹簧第二次被压缩时，弹簧具有的最大弹性势能.2.静止在光滑水平地面上的平板小车C,质量为m e =3kg ,物体A、B的质量为m A=m B=ikg,分别以v A=4m/s和v B=2m/s的速度大小，从小车的两端相向地滑到车上.若它们在车上滑动时始终没有相碰，A、B两物体与车的动摩擦因数均为J =0.2 .求：(i)小车的最终的速度；vB_PB~e亍 ******(2)小车至少多长(物体 A 、B 的大小可以忽略)3. 如图，水平轨道 AB 与半径为R=1.0 m 的竖直半圆形光滑轨道 BC 相切于B 点.可视为质点的a 、b 两个小滑块质量ma =2mb =2 kg ,原来静止于水平轨道 A 处，AB 长为L= 3.2m ，两滑块在足够大的内力作用下突然分开，已知a 、b 两滑块分别沿AB 轨道向左右运动，V a = 4.5m/s , b 滑块与水平面间动摩擦因数 」.-0.5 , g 取10m/s 1 2.则(1) 小滑块b 经过圆形轨道的B 点时对轨道的压力. (2) 通过计算说明小滑块 b 能否到达圆形轨道的最高点 C .14. 如图所示，一个带有4圆弧的粗糙滑板 A 的总质量m A = 3 kg ，其圆弧部分与水平部分相切于 P ,水平部分 PQ 长L = 3.75 m .开始时，A 静止在光滑水平面上. 现有一质量 m B = 2 kg 的小木块B 从滑块A 的右端以水 平初速度V 0= 5 m/s 滑上A ，小木块B 与滑板A 之间的动摩擦因数 尸0.15,小木块B 滑到滑板A 的左端并沿着圆弧部分上滑一段弧长后返回，最终停止 在滑板A上.(1) 求A 、B 相对静止时的速度大小.(2) 若B 最终停在A 的水平部分上的 R 点，P 、R 相距1 m ,求B 在圆弧上运动的过程中因摩擦而产生 的内能. (3) 若圆弧部分光滑，且除 V 0不确定外其他条件不变，讨论小木块 B 在整个运动过程中，是否有可能在 某段时间里相对地面向右运动？如不可能，说明理由；如可能，试求出 B 既向右滑动，又不滑离木板A 的V 0取值范围.(取g = 10 m/s 2,结果可以保留根号)课后作业参考答案A 和B 物块速度的大小分别为 V A 、V B ，由题意可知:(2)当弹簧第二次被压缩到最短时，弹簧具有的弹性势能最大，此时A 、BC 具有相同的速度，设此 速度为Vmv c = (m + ms + m ) V 所以 V = 1 m/sC 与B 碰撞，设碰后 B 、C 粘连时的速度为 V 'mv B — mv c = ( m + m c )v ' 解得v '= 4 m/s一 1 2 1 2 1故弹簧第二次被压缩到最短时，弹簧具有的最大弹性势能为：~mAV A + 2(m + m )v '—刁m + m2+ m C ) V = 50 J.2解析： (1)由于A B 、C 组成的系统水平方向动量守恒，且三者最后保持相对静止，设最终共冋速度为 V ，贝H m A v A -m B v B =(m A m B m C )V , v =0.4m/s(2) A 、B 始终没有相碰，若板长为 L , A B 相对板的位移分别为S AC 、S BC ,则s AC - s BC < L1 12 2mv A mv B =2 2n A V A — mv B =0 联立解得 V A = 6 m/s V B = 12 m/s1解析：(1)设弹簧刚好恢复原长时,系统的动能损失全部用于在相对位移上克服摩擦力做功，有1 2 1 2 1 2m A v A mv B (m A - m B m C)v (m A gS AC m B gS BC) 故板长至少为L=4.8m.2 2 23解析：⑴系统的动量守恒可得mv a= mv b,① 又m=2m=2 kg , V a=4.5m/s 解得：V b =9.0m/s1 2 1 2设滑块b到达B点时的速度为v B,由动能定理得，-"m b gL m b v B m b v：③2 22刚进入圆轨道时，设滑块b受到的支持力为F N,由牛顿第二定律得，F N - m b g = m bv B ④R 由牛顿第三定律F N =「F N⑤由③④⑤得滑块b对轨道的压力F N =-59N，方向竖直向下⑵若小滑块b能到达圆轨道最高点，速度为v C1 1则由机械能守恒，m b v B =m b g2R m b v C ⑥2 2解得v C =3.0m s⑦2,z、m b v小物块b恰能过最咼点的速度为v，则m b g - ⑧R解得，v = . gR「10 m s ⑨因v c v，故小滑块b不能到达圆轨道最高点C.4【解析】(1)根据动量守恒得:mv o= (m+ n A) v” 2解得：v = v o= 2 m/s .5(2)设B在A的圆弧部分产生的热量为Q,在A的水平部分产生的热量为Q.则有:2(mv o2= 2( m+ rm) v2+ Q + Q又Q= mg( L QP+L PR)联立解得：Q= 0.75 J(3) 当B滑上圆弧再返回至P点时最有V A, 可能速度向右，设木块滑至P的速度为V B,此时A的速度为有：mv o= mv B+ mv A代入数据得：V B2—0.8 V0V B+ 6.75 —0.2 v°2= 0当V B的两个解一正一负时，表示B从圆弧滑下的速度向右.即需：v°>5.9 m/s，故B有可能相对地面向右运动.若要B最终不滑离A,有:1 2 1 2□ m B g •2L> —2(m + m A)( 5V0)得：v o w 6.1 m/s故V o的取值范围为：5.9 m/s v v o< 6.1 m/s。