1.5.3 定积分的概念

【自主解答】 (1)曲线 y＝ 9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以 3 为半 径的上半圆如图(1)所示． 1 9 2 其面积为 S＝ ·π·3 ＝ π. 2 2 由定积分的几何意义知
3
-3
9 9－x dx＝ π. 2
2
0
3 (2x＋1)dx 表示直线 f(x)＝2x＋1，x＝0，x (2)曲线 f(x)＝2x＋1 为一条直线.

a

a
b f(x)dx＝____________________________(其中 a<c<b)． 3.

a
b f(x)dx 【答案】 1.k
a
b f2(x)dx 2.
a
c b f(x)dx＋ f(x)dx 3.

a

c
填空： π (1)由 y＝0，y＝cos x，x＝0，x＝ 围成的图形的面积用定积分的形式表示为 2 __________．
阶 段 一
阶 段 三
1.5 1.5.3
阶 段 二
定积分的概念 定积分的概念
学 业 分 层 测 评
1．了解定积分的概念．(难点) 2．理解定积分的几何意义．(重点、易混点) 3．掌握定积分的几何性质．(重点、难点)
[ 基础· 初探] 教材整理 1 定积分的概念 阅读教材 P45 内容，完成下列问题． 如果函数 f(x)在区间[ a，b] 上连续，用分点 a＝x0<x1<„<xi－1<xi<„<xn＝b 将 区间[ a，b] 等分成 n 个小区间，在每个小区间[ xi－1，xi] 上任取一点 ξi(i＝1,2，„， n)，作和式 f(ξi)Δx＝________________，当 n→∞时，上述和式无限接近某个
2 3
【解】 由 y＝ 9－x ，知 x ＋y 其图象如图所示：
2
2
2
3 3 － ， ＝9(y≥0)，x∈ 2 2，
由定积分的几何意义， 知 2 9－x2dx 等于圆心角为 60° 的弓形 CED 的面积 －3
2
3
与矩形 ABCD 的面积之和． 1 π 1 3 3 6π－9 3 2 S 弓形＝2×3×3 －2×3× 2 ＝ ， 4 3 S 矩形＝|AB|×|BC|＝2×2×

a

a

a
【答案】 (1)√ (2)× (3)√
教材整理 3 定积分的性质 阅读教材 P47 的内容，完成下列问题．
b kf(x)dx＝____________________________(k 为常数)． 1.
a
b b [ f 1(x)± f 2(x)] dx＝ f1(x)dx± 2. ____________________________.
i i－1 1 Δx＝ － ＝ . n n n
(2)近似代替、作和 i 取 ξi＝1＋ (i＝1,2，„，n)，则 n i Sn＝ f 1＋n ·Δx i＝1

n
i i 2 1 ＝ －1＋n ＋21＋n· n i＝1
a f(x)dx＝0； 则

-a
②若偶函数 y＝g(x)的图象在[ －a，a] 上连续，
a a g(x)dx＝2 g(x)dx. 则
-a 0
利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积． (1)y＝0，y＝ x，x＝2； (2)y＝x－2，x＝y2. 【导学号：60030033】

(3)<
0
[ 质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________
3
3 9 3 2 9－ 2 ＝ 2 ，
6π－9 3 9 3 6π＋9 3 2 ∴ 2 9－x dx＝ ＋ 2 ＝ . 4 4 －3
2
[ 探究共研型]
定积分性质的应用
探究 1 怎样求分段函数的定积分？ 【提示】 可先把每一段函数的定积分求出后再相加． 探究 2 怎样求奇(偶)函数在区间[ a，b] 上的定积分？ 【提示】 ①若奇函数 y＝f(x)的图象在[ －a，a] 上连续，
【答案】 f(x)≥0 直线 x＝a，x＝b，y＝0 和曲线 y＝f(x)
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
b b f(x)dx＝ f(t)dt.( (1)
a a
) ) )Leabharlann Baidu
b f(x)dx 的值一定是一个正数．( (2)
a
b 2 x b 2 b x (x ＋2 )dx＝ x dx＋ 2 dx.( (3)

n
1 2 2 2 2 2 ＝－ 3[(n＋ 1) ＋ (n＋ 2) ＋ (n＋ 3) ＋ … ＋ (2n) ] ＋ 2[(n＋ 1) ＋ (n＋ 2) ＋ (n＋ 3) n n ＋…＋2n]
1 2 nn＋1＋2n 2n2n＋14n＋1 nn＋12n＋1 ＝－ 3 － ＋n2· n 2 6 6 1 1 1 1 1 1 1 ＝－ 2＋ 4＋ ＋ 1＋ 2＋ ＋3＋ . n n 6 n n 3 n
n＋i－1 n＋i ， (i＝1,2，„，n)，每个小区间的长度为 n n
n＋i n＋i－1 1 Δx＝ － ＝ . n n n
(2)近似代替、作和 n＋i－1 取 ξ i＝ (i＝1,2，„，n)，则 n Sn ＝ f i ＝1

n n＋i－1
n
n 3n＋i－1 n 1 ＝ ＋2 · ·Δx ＝ n n i ＝1 i＝1
1 1 [ x－(－ x)]dx＝ 2 xdx， 所以 A1＝
2．奇、偶函数在区间[ －a，a]上的定积分 (1)若奇函数 y＝f(x)的图象在[ －a，a]上连续，则
a －
a
fxdx ＝0. fxdx
(2)若偶函数 y＝f(x)的图象在[ －a，a]上连续，则
a f(x)dx. ＝2
0
a －a
[ 再练一题] 2．上例(1)中变为 2 9－x2dx，如何求解？ －3
3 3 意义知 ( x ＋3x)dx＝0.
-1
1．定积分的几何意义的应用
b f(x)dx 的值的关键是确定由曲 (1)利用定积分的几何意义求

a
线 y＝f(x)， 直线 x＝a， x＝b 及 y＝0 所围成的平面图形的形状． 常 见的图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图 形．(关键词：平面图形的形状) (2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定 积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确．(关键词：分割)
i ＝1 n
b b f(x)dx，即 常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间[ a，b] 上的____________，记作
a a
f(x)dx＝__________. 其中 a 与 b 分别叫做__________与__________， 区间[ a， b] 叫做__________， 函数 f(x)叫做____________，x 叫做__________，f(x)dx 叫做__________．
【答案】
i＝1

n
b－a f(ξi) n
定积分
lim
n
n→∞ i＝1
b－a f (ξ i ) n
积分下限
积分上限
积分区间 被积函数 积分变量 被积式
2 1
(x＋1)dx 的值与直线 x＝1，x＝2，y＝0，f(x)＝x＋1 围成的梯形的面积有
什么关系？
【解析】 由定积分的概念知：二者相等．
＝3 围成的直角梯形 OABC 的面积，如图(2)． 1 其面积为 S＝ (1＋7)×3＝12. 2
根据定积分的几何意义知
3
(2x＋1)dx＝12.
0
(3)∵y＝x3＋3x 在区间[ －1,1] 上为奇函数，图象关于原点对称， ∴曲边梯形在 x 轴上方部分面积与 x 轴下方部分面积相等． 由定积分的几何
教材整理 2 定积分的几何意义 阅读教材 P46 的内容，完成下列问题． 从几何上看，如果在区间[ a，b] 上函数 f(x)连续且恒有________，那么定积
b f(x)dx 表示由__________________所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分 分
a b a
f(x)dx 的几何意义．
(3)取极限
2 1
(－x2＋2x)dx＝limSn＝lim
n→∞ n→∞
1 1 1 1 1 1 1 2 ＋ 4 ＋ 1 ＋ 2 ＋ － ＋ ＋ 3 ＋ 3 n n n n n 6
【精彩点拨】 由定积分的几何意义，作出图形，分割区间表示．
【自主解答】
(1)曲线所围成的平面区域如图(1)所示．
0 0
2 2 设此面积为 S，则 S＝ xdx. ( x－0)dx＝
(1)
(2)
(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示． 设面积为 S，则 S＝A1＋A2. 因为 A1 由 y＝ x，y＝－ x，x＝1 围成， A2 由 y＝ x，y＝x－2，x＝1 和 x＝4 围成，
2 ＝ . 3
定积分的几何意义
利用定积分的几何意义求下列定积分． (1) (3)
3 -3 1 -1
3 9－x2dx；(2) (2x＋1)dx；
0
(x3＋3x)dx. 【导学号：60030032】
【精彩点拨】 对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间，画出图形， 然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于 (3)可根据被积函数的 奇偶性求解．


3i－1 5 3 n2 ＋n ＝ n2 [0 ＋ 1＋ 2
2 3 n －n 13 3 ＋…＋(n－1)] ＋5＝ × 2 ＋5＝ － . 2 n 2 2n
(3)取极限
2 1
(3x＋2)dx＝limSn＝lim
n→∞ n→∞
13 3 13 2 －2n＝ 2 .
(2)
1 -1
f(x)dx＋__________. －1f(x)dx＝ -1
0
1 x 2 x 2 dx__________ 2 dx.(填“<”“＝”或“>”) (3)
0 0
【答案】 (1)
π 2cos -1
xdx
1 f(x)dx (2)
利用定义求定积分的步骤
[ 再练一题]
2 2 (－x ＋2x)dx 的值． 1．利用定积分的定义计算
1
【解】 令 f(x)＝－x2＋2x. (1)分割 在区间[1,2] 上等间隔地插入 n－1 个分点，把区间[1,2] 等分为 n 个小区间
i－1 i 1 ＋ ， 1 ＋ (i＝1,2，„，n)，每个小区间的长度为 n n
[ 小组合作型]
利用定义求定积分
2 (3x＋2)dx 的值． 利用定积分的定义，计算
1
【精彩点拨】
根据定积分的意义，分四步求解，即分割、近似代替、求
和、取极限． 【自主解答】 令 f(x)＝3x＋2.
(1)分割 在区间[1,2] 上等间隔地插入 n－1 个分点，将区间[1,2] 等分成 n 个小区间