静电场中的电像法

。
就是 所要求 的解 所 以 在作题时 必 须首先 把解应满 足 的场 方 程 和
边 界条 件搞清楚
例
:
介 电常 数 为
,
。1
和
。:
的 两 种介质 的分 界 面 是 一
a
无 限大平 面
在
。,
介质 中距 界 面
,
处 有 一 线 电荷 密度 为
,
的 无 限 长带 电直线
, 。
此 直线 与 界 面 平等
求 电位 和 场
~ 0 )
将整个 空 间
甲”
分成 两个部 份 根据 静 电屏 蔽 可判断 出 左
V
v 之
.
`
O
半 空 间 没 有 电场 只 有右 半 空 间
中有 电场
,
在
V
中有
一 音
“ `二
一
s
y
,
:
,
,
v 白 勺 边 界 面 是 无 限大导 体平 板
s c 且叫 o
一
面 ( S 其 电位 叫
~ o
, ,
一0 ) 和 无 限远 处 的边 界 面 S c o
强分布
界 面 上 的 极 化 电荷 面 密度 及 带 电直线单 位 长 上
所 受的力
解
( ) 此 题场所 满 足 的方 程 和 边 界 条件 a
,
。
建立 如 图
I
、
:
。
在 实际 问 题 中 经常 需 要 讨论 电荷 附近 有 导 体 面或 介质 面 存在 的情 况 这 种间题 的
, , ,
.
; 物理 状 况是 一方 面这 些 电荷 本身在 空 间 要激 发电场 另 一 方 面 由于 这 些 电荷 的存 在 在 边界 面 上
要 引起感 应 电荷 ( 极化 电荷 ) 分 布 这 种感 应 (或 极化 ) 电荷分 布 同样 也 要 在 空 间激 发 电场 空 间 的 总 场应 该是这 两部份场 的迭 加
零 陵 师专 学报
1 994
年 自然 科 学 版
静电场 中的电像法
胡 显 词
〔 摘 要 〕本 文 较 全 面 地 介绍 了 电像 法 的理论 依据 并 用 例 题来 说 明 电像 法 的 实 质 解题 步 骤
。 , , 、
以 及 使 用这 种方法 时应 当 注意 的事项
,
电像法是 求解 静 电学 边值 间题 的 一 种 特殊 方法 它的理 论 依据是 静 电间题 解 的唯 一 性 定理 和 场 的迭加 原理
1
、 , 。 , ,
,
“
”
一接地 无 限大 导 体 平 面 附近 有 一 电量 为 选 取 如 图 一 所 示 的 直角 坐 标 导 体平 面 x (
V
。 . ,
q
、
的点 电荷
,
求 空 间的 电位分 布
、
任 一 点的 电
。
场强度 导体 面 上 的 感应 电荷面密度 和 总 的感应 电荷 系统 的相 互作用能 及 点 电荷所 受的力
q
t
州『 一
右半 空 间的 电场是
价
及 S 上 的 面 感 应 电荷
, ,
伪
共同
激发的 但是 想 的点 电荷 呢? 位
,
的分 布不 能预 先知道
。;
如 果能 用 一 个 假
6 ,
q` q
来等 效地 代替
那 么 等 效 的条件 是什 么
和
q
若
q`
和
共 同激 发 的 电位 中就 是
:
产生 的 电 图一
那 么 申必 须满 足 以 下条 件
,
一
q
,
位于 ( 一
a
,
o
,
o )点
右 半 空 间 的 电 位 是 两 个 点 电荷
~
q
与 q 的 电位 迭 加
,
,
如 图一 中
P
点 的 电位 。 为 “ p
,
:
)一
( 告 粤
仕
,
“0
`
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』- 、 一e
。
`
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一
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一一 斗 一
公 `
=
一
x [( + a
’ , ) + y +
因为 ’ q 的存 在 已 经改变 了左半 空 间的场 方 程 上 的感 应 面 电荷
,
由此看来
, ,
,
电像 法就是 用 假 想 的点 电荷 代替导 体 面
,
在 代替 时
,
必 须 保证原 有 的场 方 程
,
边 界 条 件全 都不 变 这 样 用 电像 和 点 是荷
求 出 来的 解
2
,
根 据唯 一性 定 理
( 一 ) 电荷 的平面 镜像
。
下 面 用 例 题 来说 明 电像 法的 实 质 解 题
、
电荷 的平 面 镜像 主 要讨 论 导 体 面 和 介质 分 界 面 是 呈无限 延 伸平 面 的静 电 间 题 从 产 生 像 电 荷 的角度看 这 时 的分界 面 和 光学 中 的平 面镜极 为相似 此 时假 想 的 电荷往往 可 置 于 相对 于 界 面 对 称 于 原 电荷 的位置上 故 称为 电荷 的平 面镜 像 例 解
上` “
z,
〕
’ ` ,
}任 一 点 P 的场 强
E (p ) -
一
甲? 一
-
` 旦
4 兀 Eo
(
一 亩 补) 无 限 大 导 体 面 上 的感 应 电荷密 度 “
6
f
,
感应 电荷 Q 为
。。
一
…
鬓
.
`
Q一
{ {
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s
一
一
,
q
a 2
2
Z Z 2兀 ( a + y +
’
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q,
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一a q Z , (a + y + _
~
,
多2
)
“
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.
。
-
一q
,
,
点 电荷
, . ` ,
q
与 导 体 面上 感应 电荷 Q 之 间相 互
二 厂 :
作 用能
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,
毒
q、 ,
、, -
8
,
北。 o a
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。
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,
_
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加寸 1
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q
2
o
常
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-
1 6 兀e
,
a
Z
由 本 题 可 知 平 面 上 的感应 电荷 总 量 与像 电量相 等 但 应 注 意
Q 与
q`
不 能 同时 用
。
因为 电
,
像法 的 实 质 是 用
q
,
代替 Q
;
q
`
只 能代 替
。
在右半 空 间 起的作 用
。
.
却 不 能代 替
,
在左 半 空 间的作 用
甲 州
`
一
聋
` (二 一
。
,
,
,
Z
)
一 必} 。 一 O
为 了 满 足 上 式 中第 一 个 条件
上 式 的第 二 个条件 引 ~
q
, ,
,
q q
,
,
必 须右 乒 半 空 间 这祥 才能 使 原来 的 方 程不 变 然 后 我 们从
,
,
,
o
。
来求 出
的 电量 和 位置
第三个 条件 引
,
。
, 一 o 总 是满 足 的 显 然 q -
, 。
电像法就 是用假 想的简 单电荷分 布 ( 称为像 电荷 ) 来等 效 地 代 替导体
, 。
面 ( 或介 质 面 ) 上的感 应 ( 或极 化 ) 电荷对 电场的 贡献 这 里 提 到 的等效是 指像 电荷 的引 入 既 不改 变 电场 原来 所满 足 的方 程式 又 要 满 足 问题 给定的 边 界 条 件 步 骤 以 及 使 用这种方 法时 应 注 意的事项