波函数
波函数的性质
波函数的性质
波函数是量子力学中描述粒子行为的数学函数。它具有许多重要的
性质,这些性质使我们能够了解粒子在不同环境中的行为。在本文中,我们将探讨波函数的一些主要性质。
首先,波函数是复数函数。这意味着波函数可以包含实数和虚数部分,并且可以表示出相位信息。相位信息在描述波的速度和振幅的变
化中起着关键作用。
其次,波函数必须满足归一化条件。归一化是指波函数的模的平方
积分为1。这意味着概率守恒,即粒子在所有可能位置的概率总和为1。对于连续系统,归一化条件可以写为积分形式,而对于离散系统,则
可以写为求和形式。
另一个重要的性质是线性叠加原理。这意味着当系统处于多个可能
的状态时,波函数可以表示这些状态的叠加。这样,我们可以将波函
数看作是不同状态的“叠加权重”,其中每个状态的权重由波函数的系
数决定。
波函数的演化也是一个重要的性质。在量子力学中,波函数随时间
的变化由薛定谔方程描述。根据薛定谔方程,波函数会随时间演化,
在不同的势场中会有不同的行为。例如,自由粒子的波函数是平面波,而在有势场中,波函数将发生衰减或反射等现象。
波函数还具有一些其他重要的性质。例如,它可以被用来计算粒子
的平均位置、动量和能量等物理量。这些物理量可以通过波函数的数
学操作获得。
此外,波函数的模的平方可以表示粒子出现在不同位置的概率分布。这个概率分布可以通过波函数的绝对值的平方来获得。根据量子力学
的表述,波函数的绝对值的平方给出了粒子在不同位置的出现概率。
最后,波函数在量子力学中起着重要的角色。波函数不仅仅是一种
数学表达,它还包含了对粒子行为的物理描述。通过运用波函数的性质,我们可以了解粒子在不同环境中的行为,并预测其可能的行为。
量子力学中的波函数
量子力学中的波函数
量子力学是研究微观领域中粒子行为的物理学分支,其理论基础之一就是波函数。波函数是描述微观粒子状态的数学函数,它在量子力学中起着重要的作用。本文将介绍波函数的概念、性质以及它在量子力学中的应用。
一、波函数的概念
波函数是量子力学中的核心概念之一,它是描述微观粒子状态的数学函数。波函数通常用Ψ表示,它是关于空间和时间的复函数。波函数的模的平方表示在特定状态下找到粒子的概率分布。波函数的具体形式根据不同的系统和问题而有所不同。
二、波函数的性质
1. 归一性:波函数必须满足归一化条件,即积分平方和为1。这意味着粒子在整个空间中被找到的概率为1。
2. 可加性:多粒子体系的波函数可以通过各个单粒子的波函数的乘积来构造。
3. 线性性:波函数满足线性叠加原理,即两个波函数的线性组合也是一个波函数。
4. 类比性:波函数可以用经典波动的形式进行类比,但在量子力学中波函数具有更广泛的意义。
三、波函数的应用
1. 粒子的位置和动量:根据波函数的性质,可以通过波函数计算粒
子位置和动量的期望值。
2. 概率分布:波函数的模的平方给出了找到粒子在一定位置的概率
分布。
3. 量子态叠加:波函数的线性性质使得量子系统可以处于多个态的
叠加态,这是量子力学中的重要概念。
4. 分波函数:波函数可以分解为几个分波函数的叠加,每个分波函
数对应不同的物理量。
5. 薛定谔方程:波函数满足薛定谔方程,通过求解薛定谔方程可以
得到波函数的具体形式。
总结:
波函数是量子力学中的重要概念,它描述了微观粒子的状态和性质。波函数具有归一性、可加性、线性性和类比性等性质。波函数的应用
波函数公式
波函数公式:y=A0cos[w(t-x/u)+A)。波函数是量子力学中描写微观系统状态的函数。在经典力学中,用质点的位置和动量(或速度)来描写宏观质点的状态,这是质点状态的经典描述方式,它突出了质点的粒子性。
量子力学(Quantum Mechanics),为物理学理论,是研究物质世界微观粒子运动规律的物理学分支,主要研究原子、分子、凝聚态物质,以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论。它与相对论一起构成现代物理学的理论基础。量子力学不仅是现代物理学的基础理论之一,而且在化学等学科和许多近代技术中得到广泛应用。
波函数和概率的关系
波函数和概率的关系
量子力学是对微观世界的描述和研究。在量子力学中,波函数是一种描述粒子状态的数学工具。波函数的绝对值的平方可以表示粒子在某个位置上出现的概率密度。波函数和概率之间有着密切的关系。本文将从波函数的定义、性质和物理意义等方面来探讨波函数和概率的关系。
一、波函数的定义和性质
波函数是描述量子力学体系的一个重要工具。波函数的定义是:在量子力学中,波函数是描述一个粒子的运动状态的数学函数,它可以用来计算粒子在空间中的位置、速度、动量等物理量的期望值。波函数一般用Ψ表示,它是一个复数函数,即:Ψ(x,y,z,t)=A(x,y,z,t)eiθ(x,y,z,t)
其中,A(x,y,z,t)是振幅函数,eiθ(x,y,z,t)是相位函数。波函数的绝对值的平方表示粒子出现在某个位置的概率密度。
波函数的性质有以下几个方面:
1. 波函数必须满足归一化条件,即波函数的绝对值的平方在整个空间内积分为1,即:
∫|Ψ(x,y,z,t)|dV=1
其中,dV表示空间中的微元体积。
2. 波函数必须是连续可微的函数,即波函数在空间中的各个点处都可以求导。
3. 波函数必须满足薛定谔方程,即:
iΨ(x,y,z,t)/t=HΨ(x,y,z,t)
其中,i是虚数单位,是普朗克常数,H是哈密顿算符。
二、波函数和概率的关系
波函数和概率之间的关系是量子力学中的基本原理之一。根据波函数的定义,波函数的绝对值的平方可以表示粒子在空间中的位置上出现的概率密度。即:
P(x,y,z)=|Ψ(x,y,z)|
其中,P(x,y,z)表示粒子在(x,y,z)位置上出现的概率密度,|Ψ(x,y,z)|表示波函数的绝对值的平方。
简述波函数的物理意义
简述波函数的物理意义
波函数是量子力学中一个重要的概念,描述了处于量子状态的粒子的
行为。它是由施密特(Schmidt)、波尔(Bohr)等人引入,并得到了海
森堡(Heisenberg)、薛定谔(Schrödinger)等人的进一步发展。
波函数的物理意义可以通过以下几个方面来描述。
1.粒子位置的概率分布:
波函数的模的平方,即,Ψ(x,t),²,描述了粒子在时间t和位置x
处的概率分布。这意味着波函数在特定时间和位置的值越大,粒子出现在
该处的概率越高。由此可见,波函数的物理意义之一是描述了粒子位置的
概率。
2.粒子的运动:
波函数是随时间和位置变化的,通过薛定谔方程来描述。这个变化过
程反映了粒子的运动。薛定谔方程表明,波函数的时间演化由哈密顿算符
H控制。波函数演化的速度由哈密顿算符中的能量项决定。因此,波函数
的物理意义之二是描述了粒子的运动。
3.粒子的角动量:
波函数还可以描述粒子的角动量。对于自旋½的粒子,波函数有两个
分量,表示上下自旋。自旋是粒子固有的性质,描述了粒子对旋转的响应。波函数中的自旋分量决定了粒子在不同方向上的自旋测量结果。因此,波
函数的物理意义之三是描述了粒子的角动量性质。
4.粒子的态叠加和测量:
波函数还可以描述粒子的量子态叠加和测量过程。量子态叠加是指当
一个粒子处于多个不同状态之一时,它可以同时处于所有这些态的叠加态。波函数中的不同分量对应于不同的态叠加。测量过程会导致波函数的坍缩,即从叠加态向单个确定态的转变。波函数的物理意义之四是描述了量子态
叠加和测量的过程。
5.波函数的归一化:
波函数方程
波函数方程
波函数方程是量子力学中描述微观粒子行为的基本方程之一、波函数
是一种数学函数,可用来描述粒子在空间中的位置和动量等物理量的概率
分布。波函数方程描述了波函数随时间的演化规律,它的解可以给出粒子
在不同时间下的波函数状态。
在量子力学中,波函数方程的基本形式是薛定谔方程,也称为薛定谔
波动方程。薛定谔方程的一般形式为:
iħ∂Ψ/∂t=HΨ
其中,i表示复数单位,ħ是普朗克常数除以2π,Ψ是波函数,t
是时间,H是哈密顿算符。
薛定谔方程是一个偏微分方程,描述了波函数随时间变化的规律。它
表示了波函数的时间导数与哈密顿算符作用于波函数的关系。波函数的哈
密顿算符通常由势能项和动能项组成,可以描述粒子在外部势场中的行为。
薛定谔方程的解法可以采用分离变量法、定态微扰法、变分法等不同
的方法。波函数的解是关于时间和空间的函数,通过求解薛定谔方程,可
以得到波函数在任意时刻和位置的值。根据波函数的模长的平方,我们可
以计算出粒子在不同位置的概率分布,进而得到粒子在不同物理量上的期
望值和测量结果的概率。
薛定谔方程的解除了描述波函数的演化外,还可以用来计算粒子的能
量谱和能级结构。通过求解薛定谔方程,我们可以得到粒子在不同能级上
的波函数及其对应的能量值。这对于理解原子、分子、凝聚态物理等领域
中的量子现象非常重要。
除了薛定谔方程外,还有其他波函数方程,如狄拉克方程和克莱因-戈登方程。这些方程适用于描述自旋为1/2的费米子和自旋为1的玻色子等不同粒子类型。
总之,波函数方程是量子力学中用于描述微观粒子行为的基本方程之一、通过求解波函数方程,我们可以得到粒子的波函数及其概率分布,从而预测粒子在不同物理量上的性质和行为。波函数方程的研究对于理解量子力学的基本原理和应用具有重要意义。
波函数画法
波函数画法
一、波函数的基本概念
波函数是量子力学中描述粒子状态的数学函数,通常用Ψ(Psi)表示。波函数可以是复数,它的模的平方表示在某个位置检测到粒子的概率密度。波函数的变化规律由薛定谔方程描述,该方程是量子力学的基本方程之一。
二、波函数的性质
1. 归一化:波函数在空间中的积分平方等于1,即∫|Ψ(x)|^2dx = 1。这意味着粒子在空间中存在的概率为100%。
2. 可能性幅:波函数的模的平方表示在某个位置检测到粒子的概率密度,而幅度则反映了粒子的可能性分布。
3. 线性叠加原理:当系统处于叠加态时,波函数可以通过线性组合得到。这意味着不同态之间可以相互叠加,形成新的波函数。
4. 不可观测性:波函数本身并不是可观测量,只有通过测量才能得到粒子的具体状态。
三、波函数的应用
1. 粒子在势场中的运动:波函数可以描述粒子在各种势场中的运动规律。通过求解薛定谔方程,可以得到粒子在势场中的波函数,进而计算出粒子的能量和位置分布。
2. 量子态叠加:波函数的线性叠加性质使得量子系统可以处于多个态的叠加态。这种叠加态的概念在量子计算和量子通信等领域具有
重要应用。
3. 干涉和衍射现象:波函数的幅度和相位可以导致干涉和衍射现象的出现。例如,双缝实验中,粒子通过两个缝隙后形成干涉条纹,这可以通过波函数的叠加效应来解释。
4. 隧穿效应:波函数的隧穿效应是量子力学中的一个重要现象。当粒子遇到势垒或势阱时,即使其能量低于势垒或高于势阱,也存在一定概率穿过势垒或势阱。
四、总结
波函数是量子力学中描述粒子状态的数学函数,它具有归一化、可能性幅、线性叠加原理和不可观测性等性质。波函数在量子力学中有着广泛的应用,包括粒子在势场中的运动、量子态叠加、干涉和衍射现象以及隧穿效应等。波函数画法的研究和应用对于深入理解量子力学的基本原理和现象具有重要意义。随着量子技术的发展,波函数的研究将会在更多领域展现出其巨大的潜力和应用前景。
波函数及其物理意义
2 ( x, t ) 0 cos ( Et px ) h
根据尤金公式,有:
0
( x, t ) 0e
i
2 ( Et Px) h
为波函数的振幅。
这个波函数既包含有反映波动性的波动方程的 形式,又包含有体现粒子性的物理量E和P,因此它 描述了微观粒子具有波粒二象性的特征。
2 nx sin (0 x L) L l
Wn
19
L 4 0
2 1 1 n 2 nx ( x) dx sin dx sin L L 4 2n 2
L 4 0
2
Wn
L 4 0
1 1 9% 当 n 1时 W1 4 2 1 当n 时 W 25% 4 L (2)粒子在 x 区间出现的概率密度为: 4 2
2 波函数模的平方| (r , t ) | 代表时刻 t 、在r 处
粒子出现的几率密度。
根据波恩的解释,波函数本身并没有直接的物理 意义,有物理意义的是波函数模的平方。从这点来说, 物质波在本质上与电磁波、机械波是不同的,物质波 是一种几率波,它反映微观粒子运动的统计规律。
7
附近找到粒子的几率除和波 函数平方值大小有关外,还和这个区域的大小有关。
9
3.波函数应满足的条件 1.标准条件 粒子在某一个时刻t,在空间某点上粒子出现的 几率应该是唯一的、有限的,所以波函数必须是单 值的、有限的;又因为粒子在空间的几率分布不会 发生突变,所以波函数还必须是连续的。 波函数必须满足“单值、有限、连续”的条件, 称为波函数的标准条件。也就是说,波函数必须连 续可微,且一阶导数也连续可微。
量子力学中的波函数描述
量子力学中的波函数描述
量子力学是一门研究微观世界的物理学科,它描述了微观粒子(如电子和光子)的行为和性质。在量子力学中,波函数是一种重要的概念,它用来描述粒子的状态和可能的测量结果。本文将探讨波函数的概念、性质和一些常见的描述方法。
一、波函数的概念和性质
波函数(Wave function)是量子力学中对一个量子系统的状态进行数学描述的
函数。它是包含在希尔伯特空间中的一个向量,可以用来预测粒子在不同位置的可能性分布。根据量子力学的原理,波函数的平方模表示了在相应位置上找到粒子的概率密度。
波函数具有一些重要的性质。首先,它必须满足归一化条件,即波函数的平方
模在整个空间中的积分等于1。这保证了粒子的概率存在且始终为正。其次,波函
数必须是连续且可微的函数,以满足量子力学的运动方程。
二、波函数的数学表示
在量子力学中,常用的表示波函数的方法有薛定谔表示和路径积分表示。薛定
谔表示(Schrodinger representation)是一种常见的描述方法,它以波函数的时间演
化为基础,利用薛定谔方程来计算波函数的变化。
薛定谔方程是描述量子力学体系时间演化的基本方程。它以时间偏导数和位置
偏导数为基础,结合哈密顿算符,给出了波函数随时间的变化规律。通过求解薛定谔方程,可以得到粒子在空间中的波函数分布随时间的演化过程。
另一种常见的描述方法是路径积分表示(Path integral representation)。路径积
分表示以路径积分的概念为基础,它将波函数的时间演化看作是从一个初始位置到末态位置的所有可能路径的叠加。路径积分表示在量子场论和统计力学中有广泛的应用。
波函数表示
波函数表示
波函数表示是量子力学中最为基本和核心的概念之一。在量子力学中,波函数表示的是一个粒子在空间中的状态,包括粒子的位置、动量、自旋等方面信息。波函数表示的数学形式是一个复数波函数,可以描述粒子在空间中的概率分布。
下面,我们将逐步介绍波函数表示的一些基本概念和数学方法:
1.波函数定义
波函数是一个数学函数,通常用ψ表示。它描述了一个粒子在不同位置上的概率密度。波函数可以解释为一个在空间中振荡的波。在量子力学中,波函数也可用于描述粒子的运动状态,包括位置、动量、自旋等方面的信息。
2.波函数的物理意义
波函数表示的是一个粒子在空间中的状态,它包含了粒子在不同位置上的概率密度。在某一位置上观察到粒子的概率分布与波函数的模函数成正比。波函数的平方模与粒子在空间中的概率分布密度有着紧密的联系。
3.波函数的归一化
波函数必须满足归一化条件,即积分值为1。这是因为粒子在空间中必须存在,其存在的概率必须等于1。归一化条件可以用如下公式来表示:
∫|ψ|²dV = 1
其中V表示整个空间。
4.波函数的薛定谔方程
波函数的演化是由薛定谔方程描述的。薛定谔方程是量子力学中最为基本的方程之一。它能够描述粒子在外场作用下的演化和运动,在数学上表述为:
Hψ = Eψ
其中H为哈密顿算符,ψ为波函数,E为粒子的能量。
5.波函数的运动与扩散
波函数随时间的演化是由薛定谔方程描述的。在无阻力情况下,波函数会沿着粒子朝向的方向传播,其形状也不断发生变化,这就是波函数的运动。另一方面,波函数也会发生扩散,即波函数的宽度随时间增长而增大,这说明粒子的位置的不确定性会增大。
波函数的几种不同的形式
波函数的几种不同的形式
左右
正弦波函数最常见的表达形式有三种,分别为“三角波”、“方形波”和“锯齿波”。
1.三角波:三角波是一种常见的正弦波函数,它的表达式如下:y=A·sin(ω·t),其中A表示振幅,ω表示角频率,t表示时间。一个完整的三角波变换分为正半正弦波和
负半正弦波两部分,它沿着一条正弦线移动,类似一块“三角板”;两个半正弦周期相互
折叠,形成一个完整的波形周期。三角波的周期很长,它的形状也是不太稳定的,所以不
常用它作为算法的参考波形。
正弦波函数是一种经典的函数形式,它可以用来描述一切非瞬态信号,但有时很复杂,无法用一个单一的函数表达,在这种情况下,通常会用拟合波来描述信号,也就是说用一
组多项式和正弦波函数的组合函数来模拟信号,这组多项式和正弦波函数叫作“复合正弦波”,它也是用来模拟非瞬态信号的常用方法。
量子力学的波函数
量子力学的波函数
量子力学是描述微观物体及其相互作用的基础理论,它通过波函数
的概念来描述粒子的性质和行为。波函数是量子力学的核心概念之一,它包含了粒子的所有可能状态和运动信息。本文将介绍波函数的基本
概念、性质以及在量子力学中的应用。
一、波函数的定义和基本性质
波函数在量子力学中表示了粒子的状态,通常用Ψ来表示。波函数
的具体定义如下:
Ψ(x, t) = A *e^(i(kx - ωt))
其中,Ψ是波函数,x是位置,t是时间,A是归一化系数,e是自
然对数的底数,i是虚数单位,k是波数,ω是角频率。
波函数的基本性质包括归一性、线性叠加性和复数性质。
1. 归一性:波函数的积分平方等于1,即∫|Ψ|^2 dx = 1。这意味着粒
子的存在概率为100%。
2. 线性叠加性:如果Ψ1和Ψ2是两个波函数,那么它们的线性组
合Ψ = aΨ1 + bΨ2(a和b为复数)也是一个波函数。这体现了波函数
的叠加原理。
3. 复数性质:波函数是复数形式的,包括实部和虚部。实部描述了
粒子在空间中的分布,虚部描述了粒子的相位。
二、波函数的物理意义
波函数描述了粒子的各种可能状态,其中波函数的模的平方|Ψ|^2代表了粒子在相应状态下被测得的概率密度。波函数的平方和积分平方
等于1,确保了整个空间内粒子的存在概率为1。
波函数还可以用于计算粒子的平均值,通过对波函数与运算符的乘
积进行积分可以得到相应物理量的平均值。例如,粒子的平均位置可
以用波函数与位置算符x的乘积积分得到,即<x> = ∫x|Ψ|^2 dx。
三、波函数的演化和测量
波函数与定态波函数的计算
波函数与定态波函数的计算
波函数是量子力学中用来描述粒子的状态的数学函数。定态波函数
是指对应能量确定且时间不变的波函数。在量子力学中,波函数的计
算是十分重要的一部分。本文将详细介绍波函数与定态波函数的计算
方法。
一、波函数的定义
波函数(ψ)是量子力学中描述粒子状态的数学函数。其一般形式
为ψ(x, t),其中 x 表示粒子的位置,t 表示时间。波函数的模的平方
|ψ(x, t)|² 表示在位置 x 处找到粒子的概率密度。波函数满足归一化条件,即积分值为1。波函数的计算需要根据具体情况选择适当的数学方法。
二、波函数的计算方法
1. 粒子在无限深势阱中的波函数计算
无限深势阱是指一个粒子被限制在无限深的势阱内运动。在势阱内,势能为0,而在势阱外,势能无穷大,粒子无法逃离势阱。对于一个无限深势阱,波函数的计算方法如下:
(在这里描述计算方法,可以用公式、图表等方式进行说明)
2. 玻尔模型中电子的波函数计算
玻尔模型是描述氢原子中电子运动的简化模型。在玻尔模型中,电
子绕原子核的轨道是量子化的,即只能取特定的能量值。根据玻尔模型,电子的波函数计算方法如下:
(在这里描述计算方法,可以用公式、图表等方式进行说明)
3. 薛定谔方程求解波函数
薛定谔方程是描述量子力学中粒子运动的基本方程。对于一维情况
下的薛定谔方程,波函数的计算方法如下:
(在这里描述计算方法,可以用公式、图表等方式进行说明)
三、定态波函数的计算
定态波函数是指对应能量确定且时间不变的波函数。定态波函数的
计算需要解薛定谔方程。对于一维情况下的定态波函数计算方法如下:(在这里描述计算方法,可以用公式、图表等方式进行说明)
数学物理中的波动方程与波函数
数学物理中的波动方程与波函数
波动方程是数学物理中一种重要的方程,用于描述波动现象的传播和行为。在波动方程中,波函数是一个关键的概念,用于描述波动的性质和变化。本文将介绍波动方程和波函数的基本概念、性质和应用。
一、波动方程的基本概念
波动方程是一种偏微分方程,用于描述波动现象的传播和行为。它通常以时间和空间变量为自变量,通过对波函数的求导和求解来描述波动的性质和变化。波动方程的一般形式可以表示为:
∂²u/∂t² = c²∇²u
其中,u是波函数,t是时间,c是波速,∇²是拉普拉斯算符。这个方程表示了波函数在时间和空间上的二阶导数之间的关系。
二、波函数的性质和特点
波函数是波动方程的解,它描述了波动的性质和变化。波函数的性质和特点包括以下几个方面:
1. 波函数的形式:波函数可以是一维、二维或三维的,具体形式取决于波动方程的维度和边界条件。常见的波函数形式包括正弦函数、余弦函数、指数函数等。
2. 波函数的振幅:波函数的振幅表示波动的幅度或强度,通常用于描述波动的能量或振动的大小。振幅可以是实数或复数,取决于波动的性质。
3. 波函数的频率:波函数的频率表示波动的周期性或重复性,通常用于描述波动的频率或振动的频率。频率可以是连续的或离散的,取决于波动的性质。
4. 波函数的相位:波函数的相位表示波动的相对位置或相对相位,通常用于描述波动的相位差或相位差。相位可以是实数或复数,取决于波动的性质。
三、波动方程的应用
波动方程在数学物理中有广泛的应用,涉及到多个学科和领域。以下是一些常
见的波动方程的应用:
1. 声波传播:声波是一种机械波,可以通过波动方程来描述声波的传播和行为。在声学中,波动方程被用于研究声波的传播速度、频率和振幅等特性。
任意时刻的波函数
任意时刻的波函数
任意时刻的波函数用于描述一个特定质点在某一特定
时间在空间中各个位置的状态。这个波函数在不同的时间可能会变化,取决于许多因素,包括质点的初始状态、力场的影响以及边界条件等。
波函数的一般形式为Ψ(r, t),其中r是位置向量,t 是时间。在量子力学中,波函数被视为描述粒子状态的函数,其模的平方(|Ψ(r, t)|²)给出了粒子在某一特定位置和时间被发现的概率。
在实际应用中,根据具体问题,波函数的数学形式可能会有所不同。例如,在简谐波中,波函数通常由正弦或余弦函数表示。而波动动能和势能等物理量可以通过对波函数的数学操作来计算。
以上内容仅供参考,如需更准确全面的信息,建议查阅物理专业书籍或咨询专业人士。
波函数
其中,
2 2 H U ( x, y , z , t ) (哈密顿算符) 2m
因此,只要势能函数U(x,y,z,t)的具体形 式已知,原则上就可根据薛定谔方程及初 始和边界条件求解波函数,从而给出在不 同时刻、不同位置处粒子出现的概率
波函数与量子数
n
l
m ms
如何理解波函数
波函数和波函数的图像没有实际意义
微观粒子的运动性质——波粒二象性
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y ( x, t ) A cos 2 (vt ) x
将德布罗意波的波长和频率公式代入
h p
E v hΒιβλιοθήκη Baidu
得到第一个波函数(自由粒子波函数):
(r , t ) e
i ( Et r p )
波函数的物理意义
描述微观粒子的态函数不仅在经典力学 中没有对应的物理量,而且自身也没有 直接的物理意义。 但波恩(Born)提出,波函数的模的平 方︱Ψ(x,y,z,t)︱2与t时刻在空间(x,y,z) 处单位体积内发现粒子的几率(又称为 几率密度)ω(x,y,z,t)成正比,即波函数 模的平方表示粒子出现在r点附近概率 的大小。
波函数的性质
① 波函数总是归一化的,即粒子在空间各 点的几率总和应该为1 ② 波函数必须是单值、有限、连续函数, 称为波函数的标准化条件 ③波函数可以含有一个任意的相位因子 exp(iδ) ④波函数遵从叠加原理
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∴Ψ r, t 在空间是有限函数
即在r处的几率密度 (r )与r + dr处 ρ
几率密度 (r + dr )只差一微量 ρ 3)波函数是单值的 ) 粒子在空间出现的几率只可能是一个值 4)满足归一化条件 (Narmulisation) ) )
(归一化条件) W = ∫∫∫ Ψ ΨdV =1 归一化条件)
式中: 为势阱宽度 为势阱宽度, 为量子数 为量子数( 式中:L为势阱宽度,n为量子数(n=1,2,…). , , L n :(1) 区间出现的几率; 求:( )粒子在0 ≤ x ≤ 区间出现的几率;并对 = 1 4 的情况算出概率值. 和 n = ∞ 的情况算出概率值. L 的量子态上, (2)在 n = ? 的量子态上,粒子在 x = ) 区 4 间出现的概率密度最大. 间出现的概率密度最大. L 解: 1)粒子在 0 ≤ x ≤ 区间出现的几率: ( ) 区间出现的几率: 4
dW = Ψ dV = ΨΨdV
2
(Ψ 为Ψ共轭复数)
即粒子在空间出现的几率: 即粒子在空间出现的几率:
dW 2 ρ= = Ψ =Ψ Ψ dV
结论: 结论:2)波函数所描述的是处于相同条件 下,大量粒子的一次性行为和一个粒子多次 性重复性行为. 性重复性行为. 微观粒子遵循的是统计规律, 微观粒子遵循的是统计规律,而不是经典的决 定性规律. 定性规律.
如图所示, 如图所示,在区间 (b/2,b/2)以外找 以外找 不到粒子. 不到粒子.在x=0 处找到粒子的几率 最大. 最大.
ψ 2 ( x, t )
ψ ( x, t )
-b/2
o
b/2
x
例2: 已知一维无限深势阱中粒子的归一化定态 : 波函数为: 波函数为:
Ψn ( x) =
2 nπx sin (0 ≤ x ≤ L ) L l
U 较长时间以后 波动的观点 粒子的观点 2 2 波强度大, Ψ 较多电子到达 波强度大, 0 或Ψ 大
2 0 2 0 2
极大值 极小值
波强度小, 较少电子到达 波强度小, 或Ψ 小 Ψ 2 统一地看: 统一地看:粒子出现的几率正比于 Ψ 或Ψ 中间值 介于二者之间 波强介于二者之间
结论: 结论:1)某时刻空间某体元dv中出现粒子的几率 某时刻空间某体元dv中出现粒子的几率 dv 正比于该地点波函数模的平方和体积元 体积: 体积: dW ∝ Ψ 2 , ∝ dV 通常比例系数取1: 通常比例系数取
结论: 结论:3)波函数所代表的波是几率波. 波函数所代表的波是几率波. 微观粒子出现在|Ψ 大的地方, Ψ 微观粒子出现在 Ψ|2大的地方,|Ψ|2小的 地方粒子出现少;粒子受波数所引导, 地方粒子出现少;粒子受波数所引导, 波函数按波的形式去分配粒子的出现的 几率. 几率. 例)求一个能量为E,动量为 的自由粒子的几率 求一个能量为 ,动量为P的自由粒子的几率 i 密度. 密度. ( EtPr ) 解: 波函数为 Ψ = Ψ e 0
波列长为∞长. 波列长为∞ 结论:自由粒子的 结论:自由粒子的De Brglie波是单色平面波 波是单色平面波 其波函数为: 其波函数为:Ψ = Ψ Cos2 ( t ) πν 0 λ x E 依德布罗 Ψ = Ψ Cos2 ( t π ) 0 意关系式 h h/ p
x
E x Ψ = Ψ Cos2 ( t π ) 0 h h/ p 2 π = Ψ Cos (Et px) 0 h 1 = Ψ Cos (Et px) 0 1 = Ψ Cos[ (Et px)] 0
常写成复数: 常写成复数:
Ψ=Ψe 0
1 ( EtPx)
Ψ=Ψe 0
当粒子沿着
1 ( EtPx)
Ψ=Ψe 0
其中: 其中:
方向传播时: r 方向传播时: 1
( EtPr )
=Ψe 0
1 [ Et( P x+P y+ pz z )] x y
r = xi + y + zk j
P = Pi + P + P k j x y Z
波函数 (Wave Function) )
引言:德布罗意波到底是什么波? 引言:德布罗意波到底是什么波?开始认为是某 种场量,什么" 暂且不知,权用" 种场量,什么"场"暂且不知,权用"Ψ"表 称之为"波函数" 示,称之为"波函数" 一)自由粒子的波函数 设一自由粒子,不受外力作用, 设一自由粒子,不受外力作用,则粒子作匀速直 线运动(设沿X轴),其动量 能量保持恒定. 其动量, 线运动(设沿 轴),其动量,能量保持恒定.
牛顿说:只要给出了初始条件,下一时刻粒 牛顿说:只要给出了初始条件, 子的轨迹是已知的,决定性的. 子的轨迹是已知的,决定性的. 量子力学说:波函数不给出粒子在什么时刻 量子力学说: 一定到达某点,只给出到达各点的统计分布; 一定到达某点,只给出到达各点的统计分布; 即只知道|Ψ 大的地方粒子出现的可能性大, 即只知道 Ψ|2大的地方粒子出现的可能性大, |Ψ|2小的地方几率小.一个粒子下一时刻出 Ψ 小的地方几率小. 现在什么地方, 现在什么地方,走什么路径是不知道的 非决定性的) (非决定性的)
从波动观点看来: 从波动观点看来:这种波只能是单色平面波
∵P = const ∵E = const E h 恒定! 恒定! ∴ = ν 恒定! 恒定! ∴λ = p h
X
从不确定关系来研究: 从不确定关系来研究:
∵P = const P = 0 x →∞
沿整个X轴传播 沿整个 轴传播
∵E = const E = 0 t →∞
注意:波函数一般要用复数表示! 注意:波函数一般要用复数表示!
二)波函数的统计铨释(波恩Born) 波函数的统计铨释(波恩Born) Born 代表什么? ψ代表什么?只有实践才是捡验真 理的标准,看电子的单缝衍射: 理的标准,看电子的单缝衍射: 1)大量电子的一次性行为: )大量电子的一次性行为:
iE πx ψ ( x, t ) = A exp( t ) cos( ) ( b / 2 ≤ x ≤ b / 2) b
A∫
2
b / 2
∝
|ψ(x, t) | dx+ ∫ |ψ(x, t) | dx+ ∫ |ψ(x, t) | dx =1
2 2 2 b / 2 b/ 2
b/ 2
∝
即:
A
2
∫
b/2
b / 2
nπ 其最大值对应于 sin = ±1 4
L 2 2 nπ ω n = Ψ ( ) = sin 4 L 4
,于是有: 于是有:
∴ n = 2(2k + 1)
π nπ = ( 2k + 1) (k = 0,1,2, ) 4 2
(k = 0,1,2, )
�
∞→∞
因为粒子在全空间出现是必然事件
例1: 设粒子在一维空间运动,其状态可用波函 : 设粒子在一维空间运动, 数描述为: 数描述为:
ψ ( x, t ) = 0
( x ≤ b / 2), x ≤ b / 2)
其中A为任意常数, 和 均为确定的常数. 均为确定的常数 其中 为任意常数,E和b均为确定的常数. 为任意常数 归一化的波函数;几率密度W? 求:归一化的波函数;几率密度W? 解:由归一化条件,有: 由归一化条件,
Wn = ∫
L 4 0
nπ 2 1 1 2 nπx Ψ ( x) dx = ∫ sin dx = sin L L 4 2πn 2
L 4 0
2
L (2)粒子在 x = ) 4
2
1 1 当 n = 1时 W1 = ≈ 9% 4 2π 1 当 n = ∞ 时 W∞ = = 25% 4
区间出现的概率密度为: 区间出现的概率密度为:
cos (
2
πx
b
)dx = 1
b ∴ A =1 2
2
∴ A =
2 b
由此可求出归一化的波函数和几率密度 几率密度为: 几率密度为:
W ( x, t ) = ψ 2 ( x, t ) = 0 ( x ≤ b / 2), x ≤ b / 2) 2 2 π x 2 W ( x, t ) = ψ ( x, t ) = cos ( ) ( b / 2 ≤ x ≤ b / 2) b b
(Ψ的 轭 数 共 复 ) = Ψ = const 无关. 且与位置 无关.在全空间粒子出现的几率一样
2 0
ρ = ΨΨ = Ψ0e
i ( EtPr )
Ψ e 0
i ( EtPr )
三)波函数的标准化条件
( ) 2)波函数是连续的 )
1)波函数具有有限性 W = )
∫∫∫ ΨΨ dV ≤1
V
U 粒子的百度文库点 极大值
波动的观点
2 0 2
较多电子到达 波强度大, 或Ψ 大 波强度大, Ψ 2 2 波强度小, 极小值 较少电子到达 波强度小, 0 或Ψ 小 Ψ 2 2 统一地看: 统一地看:粒子出现的几率正比于 Ψ0 或Ψ 中间值 介于二者之间 波强介于二者之间
2)一个粒子多次重复性行为 )