【名师一号】2014-2015学年北师大版高中数学必修4双基限时练13]

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【名师一号】2014-2015学年高中数学第三章三角恒等变形双基限时练24(含解析)北师大版必修4

双基限时练(二十四) 同角三角函数的基本关系(一)一、选择题1．已知α为第四象限角，且cos α＝1213，则sin α等于( )A.513 B ．－513C.512D ．－512解析 ∵α为第四象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－513.答案 B2．下列等式中正确的是( ) A ．sin2α2＋cos 2α2＝12B ．若α∈(0,2π)，则一定有tan α＝sin αcos αC ．sin π8＝±1－cos2π8D ．sin α＝tan α·cos α(α≠k π＋π2，k ∈Z )解析选项A 中，sin2α2＋cos 2α2＝1，所以选项A 不正确；利用同角的三角函数基本关系时一定要注意其隐含条件，对于选项B 中cos α≠0，也即α≠k π＋π2(k ∈Z )，因而选项B 不正确；因为0<π8<π2，所以sin π8>0，所以选项C 不正确．答案 D3．若tan α＝3，π<α<32π，则cos α－sin α的值为( )A ．－3＋12B.1－32 C.3－12D.3＋12解析 ∵π<α<32π，tan α＝3，∴sin α＝－32，cos α＝－12. ∴cos α－sin α＝3－12. 答案 C4．设A 为△ABC 的一个内角，且sin A ＋cos A ＝23，则这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析由sin A ＋cos A ＝23，得1＋2sin A cos A ＝49，∴sin A cos A ＝－518<0，又0<A <π，∴sin A >0，cos A <0，∴A ∈(π2，π)，故△ABC 为钝角三角形．答案 B5．已知sin α·cos α＝18，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值是( )A.32 B.34 C ．－32D ．±32解析 ∵π4<α<π2，∴cos α－sin α＝－1－2sin αcos α＝－32. 答案 C6．若sin θ＋sin 2θ＝1，则cos 2θ＋cos 4θ等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．2解析由sin θ＋sin 2θ＝1，解sin θ＝1－sin 2θ，即cos 2θ＝sin θ，所以cos 2θ＋cos 4θ＝sin θ＋sin 2θ＝1. 答案 B 二、填空题7．已知f (sin α)＝cos 2α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.解析 f (sin α)＝cos 2α＝1－sin 2α，∴f (x )＝1－x 2，故f (12)＝1－14＝34.答案 348．若α为锐角，且tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根，则sin α＝________.解析由4x 2＋x －3＝0，得x ＝－1，或x ＝34，又α为锐角，∴tan α＝34，∴sin α＝35.答案 359．设α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，则1－2sin αcos α＋1＋2sin αcos α＝________. 解析 ∵－π4≤α≤π4，∴sin α<cos α，sin α＋cos α>0，故原式＝ sin α－cos α 2＋ sin α＋cos α 2＝cos α－sin α＋sin α＋cos α ＝2cos α. 答案 2cos α10．已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝________.解析 ∵α是第二象限的角， ∴cos α<0.又sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝－12，∴cos α＝－255.答案－255三、解答题11．已知A 是△ABC 的内角，且tan A ＝－54，求sin A ，cos A .解 ∵tan A ＝－54，A 为△ABC 内角∴A 为钝角．又tan A ＝sin A cos A ＝－54，代入sin 2A ＋cos 2A ＝1中，解得sin A ＝54141，cos A ＝－44141.12．已知cos α＝m (m ≠0，m ≠±1)，求α的其他三角函数值．解因为cos α＝m (m ≠0，m ≠±1)，所以sinα＝±1－m2. 若α在第一、二象限，则sinα＝1－m2，tanα＝1－m2 m.若α在第三、四象限，则sinα＝－1－m2，tanα＝－1－m2 m.13．若θ为锐角，且tanθ＋1tanθ＝2，求：(1)sinθ·cosθ的值；(2)求sinθ＋cosθ的值．解(1)由tanθ＋1tanθ＝2，得sinθcosθ＋cosθsinθ＝2，即sin2θ＋cos2θsinθcosθ＝2，sinθ·cosθ＝12.(2)∵(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝2，又θ为锐角，∴sin＋cosθ＝ 2.。

【名师一号】2014-2015学年高中数学第三章三角恒等变形双基限时练25(含解析)北师大版必修4

双基限时练(二十五) 同角三角函数的基本关系(二)一、选择题1.1－sin 260°＝( ) A ．±32 B ．±12C ．－32D.12解析1－sin 260°＝cos 260°＝|cos60°|＝12.答案 D2．已知α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析 ∵α为第三象限角，∴cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.答案 B3．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为( )A ．0 B.34 C ．1D.54解析原式＝2tan α－1tan α＋2＝34，故选B.答案 B4．计算sin 4θ＋cos 2θ＋sin 2θcos 2θ的结果为( ) A.14 B.12 C.32D ．1解析原式＝sin 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＋cos 2θ＝sin 2θ＋cos 2θ＝1，故选D. 答案 D5.sin A 1＋cos A ＋1＋cos Asin A 化简后的最简结果为( )A.sin A2 B ．sin A C.2sin AD.1sin A解析sin A 1＋cos A ＋1＋cos A sin A ＝1－cos A sin A ＋1＋cos A sin A ＝2sin A.答案 C6．已知sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin α²cos α等于( )A.25 B ．－25C.25或－25D ．－15解析由sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α得sin α＝－2cos α. ∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴(－2cos α)2＋cos 2α＝1. ∴cos 2α＝15.∴sin α²cos α＝(－2cos α)²cos α＝－2cos 2α＝－2³15＝－25.答案 B7．若sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，则tan α的值为( )A ．－2B ．2 C.2316D ．－2316解析由sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，得tan α－23tan α＋5＝－5，得tan α＝－2316.答案 D 二、填空题 8.1－2sin40°cos40°sin40°－1－sin 240°＝________.解析原式＝ sin40°－cos40° 2sin40°－cos40°＝cos40°－sin40°sin40°－cos40°＝－1.答案－19．已知2sin α＝cos α，则2cos 2α＋2sin αcos αcos 2α的值是________．解析 2cos 2α＋2sin αcos αcos α＝2＋2tan α1＝2＋2³12＝3. 答案 310.sin θ1＋sin θ－sin θ1－sin θ的值为________．解析sin θ1＋sin θ－sin θ1－sin θ＝sin θ 1－sin θ －sin θ 1＋sin θ 1－sin 2θ＝－2sin 2θcos 2θ ＝－2tan 2θ. 答案－2tan 2θ 三、解答题 11．化简下列各式．(1)1－2sin α²cos αcos 2α－sin 2α²1＋2sin α²cos α1－2sin 2α； (2)1cos 2α1＋tan 2α－1＋sin α1－sin α(α为第二象限角)．解 (1)原式＝ sin α－cos α 2cos 2α－sin 2α² sin α＋cos α2cos 2α－sin 2α ＝cos α－sin αcos α＋sin α²sin α＋cos αcos α－sin α＝1.(2)原式＝1cos 2αsin 2α＋cos 2αcos 2α－ 1＋sin α21－sin 2α＝－1cos α＋1＋sin αcos α＝sin αcos α＝tan α.12．已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2.解由已知，tan α＝12，所以，(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝12－312＋1＝－53；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos α＋2(cos 2α＋sin 2α)＝3sin 2α＋sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3tan 2α＋tan α＋2tan 2α＋1＝3³⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝135. 13．求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2. 解 ∵右边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α ＝2(1－sin α＋cos α－sin αcos α) ＝2(1－sin α)(1＋cos α)＝左边， ∴原式成立．。

【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章三角函数双基限时练13(含解析)北师大版必修4

双基限时练(十三) 三角函数的简单应用一、选择题1．已知函数y ＝2sin ωx (ω>0)的图像与直线y ＋2＝0相邻的两个公共点之间的距离为2π3，则ω的值为( ) A ．3 B.32 C.23D.13解析由题可知T ＝23π，又ω>0，T ＝2πω，∴ω＝3.答案 A2．一弹簧振子做简谐振动，离开平衡位置的位移s 与时间t 的函数关系式为s ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g a t ＋π3，t ∈[0，＋∞)，则弹簧振子振动的周期为( ) A. 2πagB. 2π a gC.2πagD. 2πg a解析 T ＝2πg a＝2πa g.答案 B3．某人的血压满足函数关系式f (t )＝24sin160πt ＋110，其中f (t )为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )A ．60B ．70C ．80D ．90解析 ∵T ＝2π160π＝180，∴f ＝1T＝80.答案 C4．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图像大致是图中的( )解析令AP ︵所对圆心角为θ，由|OA |＝1，则l ＝θ，sin θ2＝d2，∴d ＝2sin θ2＝2sin l 2，即d ＝f (l )＝2sin l2(0≤l ≤2π)，它的图像为C.答案 C5．动点A (x ，y )在以坐标原点为圆心，以1为半径的圆上沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t ＝0时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (时间：s)的函数的单调增区间为( )A. [0,1]B. [1,7]C. [7,12]D. [0,1]和[7,12]解析动点A 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t12×2π＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π3由2k π－π2≤π6t ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，又0≤t ≤12，可知t ∈[0,1]和[7,12]．答案 D6．设函数y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表所示的是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：下面的函数中，最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是( )A ．y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]B ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t ＋π，t ∈[0,24]C ．y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0,24]D ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π2，t ∈[0,24]解析易知k ＝12，A ＝3，由周期T ＝12知，ω＝π6，由t ＝3时，y ≈15，得φ＝0，故选A.答案 A7．一根长为l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式是s ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于( )A. gπ B. g2π C. g π2 D. g4π2 解 1＝2πg l，∴l ＝g4π2.答案 D 二、填空题8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6 (x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋A cos0＝28，a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6 12－6 ＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，A ＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6 x －6 ，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4＝23－52＝20.5.答案 20.59．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A ，B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝__________，其中t ∈[0,60]．解析如图所示：经历t 秒钟，秒针转过的角度为∠AOB ＝πt30，取AB 的中点C ，则∠AOC ＝πt 60， d ＝|AB |＝2|OA |sin ∠AOC ＝10sinπt 60.答案 10sin πt6010．某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为________．解析 3月份最高，7月份最低，所以T ＝8，则ω＝π4，A ＝2，b ＝7.令x ＝3，得9＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4×3＋φ＋7⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1.又∵|φ|<π2，∴φ＝－π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7.答案 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7三、解答题11．已知某游乐园内摩天轮的中心O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速运动，摩天轮上的一点P 自最低点A 点起，经过t min 后，点P 的高度h ＝40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋50(单位：m)．那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P 的高度在距地面70 m 以上的时间将持续多少分钟？解依题意，得40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋50≥70，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t －π2≥12，所以在一个周期内持续的时间为56π≥π6t －π2≥π6，解得4≤t ≤8，即持续时间为4分钟．12．在图中，点O 为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3 cm ，周期为3 s ，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．(1)求物体对平衡位置的位移x (cm)和时间t (s)之间的函数关系式； (2)求该物体在t ＝5 s 时的位置．解 (1)设x 和t 之间的函数关系为x ＝3sin(ωt ＋φ)(ω>0,0≤φ<2π)．则由T ＝2πω＝3，可得ω＝2π3.当t ＝0时，有x ＝3sin φ＝3，即sin φ＝1.又0≤φ<2π，故可得φ＝π2.所以，所求函数关系为x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t ＋π2，即为x ＝3cos 2π3t .(2)令t ＝5，得x ＝3cos 10π3＝－1.5，故该物体在t ＝5 s 时的位置是在O 点左侧且距O 点1.5 cm 处．13．在自然条件下，对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计，得到10次测量结果(时间近似到0.1小时)，结果如下表所示：(1)以日期在365天中的位置序号x 为横坐标，一天内存活时间y 为纵坐标，作出这些数据的散点图；(2)试选用一个形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋t 的函数来近似描述一年中该细菌一天内存活的时间y 与日期位置序号x 之间的函数关系；(3)用(2)中的结果估计该种细菌一年中有多少天存活时间大于15.9小时？解 (1)散点图如下图所示：(2)由散点图知细菌存活时间与日期位置序号之间的函数关系式满足y ＝A sin(ωx ＋φ)＋t ，由图形可认为函数的最大值为19.4，最小值为5.4，所以19.4－5.4＝14，故A ＝7，由19.4＋5.4＝24.8，故t ＝12.4，又因为T ＝365，所以ω＝2π365.当x ＝172时，2πx 365＋φ＝π2，所以φ＝－323π730.故y ＝7sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π365x －323π730＋12.4(1≤x ≤365，x ∈N ＋)．(3)由y >15.9，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π365x －323730π>12，所以π6<2π365x －323730π<5π6，解得36512＋3234<x <365×512＋3234，112≤x ≤232.即这种细菌一年中大约有121天的存活时间大于15.9小时．。

【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章三角函数双基限时练1(含解析)北师大版必修4

双基限时练(一) 周期现象一、选择题1．下列变化中不是周期现象的是( )A．春去春又回B．太阳东升西落C．天干地支表示年、月、日的时间顺序D．某同学每天放学回到家的时间解析某同学每天放学回到家的时间受各种因素的影响，一般会有少许差别，故不是周期现象．答案 D2．观察“ABCDABCDAB…”，寻找规律，则第20个字母是( )A．A B．BC．C D．D解析周期是4,20＝5×4，所以第20个字母是D.答案 D3．如下图，一个质点在平衡位置O点附近摆动，如果不计阻力，可将此摆动看作周期运动，若质点从O点开始向左摆动时开始计时，且周期为1 s，则质点第5次经过O点所需要的时间为( )A．1.5 s B．2 sC．2.5 s D．3 s解析若质点从O点开始向左摆动，则在1个周期内2次经过O点，所以5次经过O 点需要2.5个周期，又因为周期为1 s，所以需要2.5 s.答案 C4．假定现在时间是12点整，再过t小时，分针与时针第一次重合，则t＝( )A.1211B.1312C.2524D.2724解析时针1小时转过30°，t 小时转过30t °；分针每分钟转过6°，t 小时转过(60t ×6)°，所以30t ＝60t ×6－360，解得t ＝1211.答案 A5．某市绿化委员会为了庆祝国庆节，要在道路的两侧摆放花卉，其中一侧需摆放红、黄、紫、白四种颜色的花，并且按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的顺序摆放，那么第2014盆花的颜色是( )A ．红B ．黄C ．紫D ．白解析因为按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的顺序摆放，所以以4为一个周期，而2014÷4＝503……2，为503个周期余2盆，所以第2014盆花为黄花．答案 B6．下图是汽油机的汽缸结构示意图，活塞在燃料的推动下往复运动的过程中，通过连杆带动曲轴做圆周运动．如果活塞每分钟往复运动2400次，则曲轴的运动周期是( )A ．1分钟B ．40秒C ．0.05秒D ．0.025秒解析活塞往复一次，曲轴转动一圈，则曲轴的运动周期为60秒/2 400＝0.025秒．答案 D7．2011年是兔年，那么1949年是( ) A ．牛年B ．虎年C．兔年D．龙年解析∵1949＋60＋2＝2011，∴1949年为牛年．答案 A二、填空题8．“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，24节气________周期现象(填“是”或“不是”)．答案是9．下列函数图像中具有周期性的序号是________．解析抓住周期现象的特点：重复性．对于(3)，图像不重复出现，故不合题意．答案(1)(2)(4)10．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水________升．解析水车盛水是一个周期现象，由题意知，周期为5分钟，每一周期最多盛水10升×16＝160升，1小时内有12个周期，因此在1小时内有12个周期，因此在1小时内最多盛水160升×12＝1920升．答案1920三、解答题11．自行车的前轮胎上有一个标记P，则在自行车前进过程中，P点着地是否具有周期性？解当自行车匀速行驶时，就有周期性；若不是匀速行驶，就没有周期性．12．我们的心跳都是有节奏、有规律的，心脏跳动时，血压在增加或减少．下表是某人在1分钟内血压P(mmHg)与时间t(s)的对应关系表，通过表中数据来研究血压变化的规律.点图；(2)血压的变化是周期性的吗？解(1)作出血压P(mmHg)与时间t(s)的散点图．如下图：(2)由散点图可以看出，每经过15 s，血压就重复出现相同的数值，因此血压是周期性变化的．13．古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯有一次处罚学生，要他来回数戴安娜神庙的七根柱子(这七根柱子分别标有A，B，C，…，G)，一直到指出第1999个数的柱子的标号是哪一个才能停止．你能否帮助他尽快结束这个处罚？A B C D E F G1 2 3 4 5 6 713 12 11 10 9 814 15 16 17 18 1925 24 23 22 21 20… … … … … …… … … … … …解“2,3,4…1997,1998,1999”按“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”12个数字循环出现，周期是12.解法一：先去掉第一行的7个数字，由(1999－7)÷12＝166知：刚好是166个周期，所以数到1999的那根柱子的标号是G.解法二：先把1去掉，(1999－1)÷12＝166……6，第1999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，是G.。

2014-2015学年高中数学第二章平面向量双基限时练15(含解析)北师大版必修4

双基限时练(十五) 向量的加法一、选择题1．下列结论中，正确的是( ) A ．0＋0＝0B ．对于任意向量a ，b ，则a ＋b ＝b ＋aC ．对于任意a ，b ，则|a ＋b |>0D ．若a ∥b ，且|a |＝1001，|b |＝1010，则|a ＋b |＝2011解析 A 显然不正确；对于C ，当a ＝b ＝0时，a 与b 为相反向量，|a ＋b |＝0，故C 不正确；对于D ，当a 与b 方向相反时，|a ＋b |＝9，故D 不正确．答案 B2．已知P 是线段AB 的中点，PB →＝CD →，则AP →＋CD →＝( ) A.AP →B.CD →C.PB →D.AB →解析 ∵PB →＝CD →，∴AP →＋CD →＝AP →＋PB →＝AB →. 答案 D3．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于( ) A.BC → B.AB → C.AC →D.AM →解析 AB →＋MB →＋BO →＋BC →＋OM →＝AB →＋BO →＋OM →＋MB →＋BC →＝AC →. 答案 C4．已知四边形ABCD 为平行四边形，则下列等式成立的是( ) A. AB →＋BC →＝CA →B. AC →＋BA →＝AD →C. AC →＋AD →＝DC →D. AB →＋AC →＝BC →解析由平行四边形法则可知BA →＋AC →＝BC →＝AD →答案 B 5．下列命题：①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一的方向相同；②△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；④若a 、b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等．其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析对于①中若a ＝－b ，则a ＋b ＝0，0的方向是任意的；对于③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 可能在一条直线上，故③不正确；∵|a ＋b |≤|a |＋|b |，故④不正确；②显然正确，故正确的只有②，答案为B.答案 B6．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A.PA →＋PB →＝0 B.PB →＋PC →＝0 C.PC →＋PA →＝0 D.PA →＋PB →＋PC →＝0解析 BC →＋BA →＝2BP →＝BP →＋BP →，由平行四边形法则，知点P 是AC 的中点，故选项C 成立．答案 C7．如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A. 0B. BE →C. AD →D. CF →解析 ∵正六边形ABCDEF ，∴CD →＝AF →，BF →＝CE →故BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋EF → ＝BF →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →. 答案 D 二、填空题8．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，则下列结论中：①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |<|a |＋|b |；⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |.其中正确的是________．解析 ∵a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，∴a ∥b ，a ＋b ＝b ，|a ＋b |＝|a |＋|b |.故①③⑤正确．答案 ①③⑤9．当非零向量a ，b (a ，b 不共线)满足________时，能使a ＋b 平分a 与b 的夹角．解析菱形、正方形的对角线平分四边形的夹角．答案 |a |＝|b |10．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝12BC ，则OA →＋DO →＋BO →＋OC →与AD →的关系为__________．解析 ∵OA →＋DO →＝DA →，BO →＋OC →＝BC →，故原式＝DA →＋BC →＝AD →. 答案 OA →＋DO →＋BO →＋OC →＝AD → 三、解答题11．(1)如图①，利用向量加法的三角形法则作出a ＋b ；(2)如图②，利用向量加法的平行四边形法则作出a ＋b .解 (1)如图，作向量OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →即为a ＋b .(2)如图，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则OC →即为所求向量．12．化简下列各式： (1)AB →＋BC →＋CA →； (2)(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →； (3)OA →＋OC →＋BO →＋CO →. 解析 (1)AB →＋BC →＋CA →＝0；(2)(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →＝AB →＋BO →＋OM →＋MB →＝AB →； (3)OA →＋OC →＋BO →＋CO →＝BO →＋OA →＋OC →＋CO →＝BA →.13．已知OA →＝a ，OB →＝b ，|a |＝|b |＝3，∠AOB ＝60°，求|a ＋b |.解 ∵|OA →|＝|OB →|∴以OA ，OB 为邻边作的平行四边形OACB 为菱形，且OC →＝a ＋b ，又∠AOB ＝60°，∴|a ＋b |＝2|OA →|·sin60°＝3 3.。

【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章三角函数双基限时练12(含解析)北师大版必修4

双基限时练(十二) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像(二)一、选择题1．已知函数f (x )＝sin(πx ＋θ)，(0<θ<2π)的最小正周期为T ，且当x ＝2时取最大值，那么( )A. T ＝2，θ＝π2B. T ＝1，θ＝πC. T ＝2，θ＝πD. T ＝1，θ＝π2解析 T ＝2ππ＝2，∴f (2)＝sin(2π＋θ)＝sin θ，显然当θ＝π2时f (x )取得最大值．答案 A2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的单调增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋34π，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π＋π2，k ∈Z 解析由2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )解得．答案 A3．若f (x )＝sin(2x ＋φ)为偶函数，则φ值可能是( ) A. π4B. π2C. π3D. π解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x ，而y ＝cos2x 为偶函数，∴φ＝π2.4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像( ) A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称解析 f (π3)＝0.答案 A5．①最小正周期π；②图像关于⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称，则下列函数同时具有以上两个性质的是( )A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6D ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3解析用排除法．答案 B6．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝k π－π6，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.故选A.7．把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4π3的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度所得到的函数为偶函数，则φ的最小值是( )A. 4π3B. 2π3C. π3D. 5π3解析向左平移φ个单位长度后的解析式为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3＋φ，∴4π3＋φ＝k π，∴φ＝k π－4π3>0(k ∈Z )．∴k >43，∴k ＝2，∴φ＝2π3.答案 B二、填空题8．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的值域是____________．解析 ∵－π2≤x ≤π2，∴－π3≤x ＋π6≤23π.∴－3≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤2.答案 [－3，2]9．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调减区间为________．解析 ∵y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋512π，k ∈Z ，∴原函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )10．给出下列命题：①函数y ＝sin x 在第一象限是增函数；②函数y ＝cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2πω；③函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋72π是偶函数；④函数y ＝cos2x 的图像向左平移π4个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像．其中正确的命题是__________．解析 ①第一象限有正角或负角，无单调性可言，故①不正确；②中的最小正周期T ＝2π|ω|，故②不对；③函数y ＝sin(23x ＋72π)＝－cos 23x ，故其为偶函数；④将函数y ＝cos2x 的图像向左平移π4个单位，得到y ＝cos2(x ＋π4)＝－sin2x 的图像，故④不正确，只有③正确．答案 ③ 三、解答题11．设函数f (x )＝sin(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2，y ＝f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝π4.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解 (1)由题意得f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即sin φ＝cos φ，即tan φ＝1，又0<φ<π2，∴φ＝π4.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－34π≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )．∴函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－34π，2k π＋π4(k ∈Z )．12．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图像与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图像上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2时，求f (x )的值域．解 (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2，得A ＝2.由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图像上，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－11π6，k ∈Z .又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6. 故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1，故f (x )的值域为[－1,2]．13．若函数f (x )＝5sin(2x ＋φ)，对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x .(1) 求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值；(2)求φ的最小正值；(3)当φ取最小正值时，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6，求f (x )的最大值和最小值； (4)写出函数f (x )的单调增区间．解 (1) 解法一：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ，知f (x )的图像关于直线x ＝π3对称．又∵这个图像的对称轴一定经过图像的最高点或最低点，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝± 5.解法二：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ， ∴f (x )关于x ＝π3对称，∴2×π3＋φ＝k π＋π2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π2＝± 5.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝±5，得2·π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝－π6＋k π(k ∈Z )．令k ＝1，得φ＝5π6，即为φ的最小正值．(3)由(2)知f (x )＝5sin(2x ＋5π6)，当－π6≤x ≤π6时，π2≤2x ＋5π6≤7π6，∴当2x ＋5π6＝π2，即x ＝－π6时，f (x )取最大值5；当2x ＋5π6＝7π6，即x ＝π6时，f (x )取最小值－52.(4)由2k π－π2≤2x ＋5π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－23π≤x ≤k π－π6(k ∈Z )，∴函数f (x )＝5sin(2x ＋φ)的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－23π，k π－π6(k ∈Z )．。

【名师一号】2014-2015学年高中数学第二章平面向量双基限时练23(含解析)北师大版必修4

双基限时练(二十三) 向量应用举例一、选择题1．已知三个力F 1→＝(－2，－1)，F 2→＝(－3,2)，F 3→＝(4，－3)，同时作用于某物体上同一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F 4→，则F 4→等于( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)解析 ∵F 1→＋F 2→＋F 3→＝(－2－3＋4，－1＋2－3)＝(－1，－2)，又F 1→＋F 2→＋F 3→＋F 4→＝0，∴F 4→＝(1,2)．答案 D2．过点P (2,1)，且垂直于向量a ＝(－1,2)的直线方程为( ) A ．x －2y ＝0 B ．x －2y －4＝0 C ．2x －y ＝0D ．2x －y －4＝0解析设Q (x ，y )为直线上异于P 的任意一点，由题意得PQ →·a ＝0，得x －2y ＝0，又P (2,1)在直线x －2y ＝0上，故选A.答案 A3．若向量OF 1→＝(2,2)，OF 2→＝(－2,3)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( )A ．(0,5)B ．(4，－1)C ．2 2D ．5解析 OF 1→＋OF 2→＝(0,5)，∴|F 1＋F 2|＝5.答案 D4．设O 为△ABC 所在平面内一点，且满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OA →·OC →，则O 是△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心解析由OA →·OB →＝OB →·OC →得OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·CA →＝0，∴OB ⊥AC ，同理，OA ⊥BC ，OC ⊥AB ，∴O 为△ABC 的垂心．答案 C5．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成120°角，且F 1，F 2的大小分别为1和2，则有( )A ．F 1，F 3成90°角B ．F 1，F 3成150°角C ．F 2，F 3成90°角D ．F 2，F 3成60°角解析由F 1＋F 2＋F 3＝0⇒F 3＝－(F 1＋F 2)⇒F 23＝(F 1＋F 2)2＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos120°＝1＋4＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3⇒|F 3|＝3，由|F 1|＝1，|F 2|＝2，|F 3|＝3知，F 1，F 3成90°角，故选A.答案 A6．点P 在平面上做匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与v 相同)，且每秒移动的距离为|v |个单位．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10)解析设所求点P 的坐标为(x ，y )，则(x ＋10，y －10)＝(20，－15)． ∴x ＝10，y ＝－5.∴点P 的坐标为(10，－5)．答案 C 二、填空题7．在△ABC 中，|AB →|＝|AC →|＝2，且AB →·AC →＝2，则△ABC 的形状是________．解析 ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝4cos A ＝2，∴cos A ＝12，又∠A 为△ABC 的内角．∴∠A ＝60°.又|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 为等边三角形．答案等边三角形8．如图所示，一力作用在小车上，其中力F 的大小为10N ，方向与水平面成60°，当小车向前运动10 m ，则力F →做的功是__________．解析 W ＝F ·cos60°·s ＝5×10＝50 (J)．答案 50 J9．已知平面上三点A ，B ，C 满足|AB →|＝2，|BC →|＝1，|CA →|＝3，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝__________.解析由题可知，△ABC 为直角三角形，∠C 为直角，故AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝AB →·BC →＋CA →·AB →＝AB →·(BC →＋CA →)＝AB →·BA →＝－|AB →|2＝－4.答案－410．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，则四边形ABCD 的面积为________．解析由题意知四边形ABCD 为平行四边形，且有|AB →|＝|DC →|＝2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →|BA →|＋BC →|BC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 BD →|BD →|，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →|BA →|＋BC →|BC →|＝3，两边平方，得1＋2BA →·BC→|BA →||BC →|＋1＝3，∴BA →·BC→|BA →||BC →|＝12，则cos BA →，BC →＝12，即∠B ＝60°，∴S ＝|AB →|·|BC →|sin60°＝2×2×32＝ 3. 答案3三、解答题11．已知A (3，－2)与B (－3，4)，若PA ＝PB ，求动点P 的轨迹方程．解设AB 的中点为M ，则M (0,1)，设P (x ，y )，则PM →＝(－x,1－y )，AB →＝(－23，6)．∵PA ＝PB ，∴PM ⊥AB .∴PM →⊥AB →. ∴23x ＋6－6y ＝0，即所求轨迹方程为3x －3y ＋3＝0.12．一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4 m/s ，这时气象台报告的实际风速为2 m/s ，试求风的实际方向和汽车速度的大小．解依据物理知识，有三对相对速度，车对地的速度为v车地，风对车的速度为v风车，风对地的速度为v 风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v 风地＝v风车＋v 车地，如图所示．根据向量求和的平行四边形法则，可知表示向量v 风地的有向线段AD →对应▱ABDC 的对角线，因为|AC →|＝4，∠ACD ＝30°，|AD →|＝2，所以∠ADC ＝90°，在Rt △ADC 中，|DC →|＝|AC →|cos30°＝23，所以风的实际方向是正南方向，汽车速度的大小为2 3 m/s.13．如图，D 为△ABC 内的一点，且AB 2－AC 2＝DB 2－DC 2，求证：AD ⊥BC .证明如图所示，设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝e ，DB →＝c ，DC →＝d .则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d ， ∴a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e·c －2e·d －d 2. 由条件知a 2＝c 2－d 2＋b 2， ∴e·c ＝e·d ，即e·(c －d )＝0. ∴AD →·BC →＝0.∴AD →⊥BC →.。

【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章三角函数单元同步测试(含解析)北师大版必修4

阶段性检测卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．下列说法中，正确的是( ) A ．第一象限的角都是锐角B ．第三象限的角必大于第二象限的角C ．－831°是第二象限角D ．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角解析对于A 项来说，如390°是第一象限角，但它不是锐角；对于B 项来说，－170°是第三象限角，120°是第二象限角，但120°>－170°；对于C 项来说，－831°＝－2³360°－111°，因为－111°是第三象限角，所以－831°是第三象限角；对于D 项来说，984°40′＝3³360°－95°20′，264°40′＝360°－95°20′. 所以角984°40′，264°40′都与－95°20′角的终边相同．答案 D2．函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的最小正周期是( )A.π6 B.π3C.π2D.23π 解析 T ＝π3.答案 B3．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4 B.3π4 C.5π4D.7π4解析 sin 34π＝cos 74π，cos 34π＝sin 74π.答案 D4．把y ＝sin x 的图像向右平移π8后，再把各点横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π8 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π8C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π8D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 答案 A5．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π的简图是( )解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2³π6－π3＝0，故C ，D 不正确，又f (0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－sin π3＝－32<0. ∴B 不正确．答案 A 6．函数y ＝sin x ＋lgcos xlg x 2＋2的定义域为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π≤x <2k π＋π2，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x <2k π＋π2，k ∈ZC.{}x |2k π<x < 2k ＋1 π，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π2<x <2k π＋π2，k ∈Z解析由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z ，2k π≤x ＜2k π＋π2或2k π＋3π2＜x ≤2k π＋2π，k ∈Z ，即2k π≤x ＜2k π＋π2，k ∈Z ，所以选A. 答案 A7．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图像关于x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x ，显然f (x )为偶函数，不是奇函数．答案 D8．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 在( )A ．[－π，0]上是增加的B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4上是增加的C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增加的D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上是增加的解析 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，当2k π－π≤x －π4≤2k π(k ∈Z )时，函数是增加的，解得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )．当k ＝0时，－3π4≤x ≤π4，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4时，函数是增加的．答案 B9．设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <a <bD ．a <c <b解析 a ＝－sin1，b ＝cos1，c ＝－tan1， ∵a <0，c <0，b >0，又sin1<tan1，∴－sin1>－tan1，故选C. 答案 C10．已知函数f (x )＝3sin πxk的图像上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x 2＋y 2＝k 2上，则f (x )的最小正周期是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析由题意可知点⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2，3在圆x 2＋y 2＝k 2上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫k22＋(3)2＝k 2，解得k ＝±2.此时，函数的最小正周期是T ＝2ππ|k |＝2|k |＝4.答案 D二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．已知角α的终边过点P (－4m,3m )，(m ≠0)，则2sin α＋cos α＝________. 解析当m >0时，|OP |＝5m,2sin α＋cos α＝6m 5m ＋－4m 5m ＝25；当m <0时，|OP |＝－5m,2sin α＋cos α＝6m －5m ＋－4m －5m ＝－25. 答案 25或－2512．sin4π＋cos 32π＋tan3π－sin 52π＋cos5π＝________.解析 sin4π＋cos 32π＋tan3π－sin 52π＋cos5π＝sin0＋cos π2＋tan π－sin π2＋cos π＝0＋0＋0－1－1＝－2. 答案－213．已知半径为2的扇形的面积为4，则这个扇形的圆心角为________．解析设这个扇形的弧长为l ，则4＝12³2³l ，∴l ＝4，∴这个扇形的圆心角θ＝lr ＝42＝2. 答案 214．若函数f (x )＝sin x ＋m cos x 图像的一条对称轴方程为x ＝π6，则实数m 的值为________．解析由题意得f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即m ＝32＋m 2，得m ＝ 3. 答案315．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －34π，有下列命题：①其最小正周期为23π；②其图像由y＝2sin3x 向左平移π4个单位得到；③其表达式可写成f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋34π；④在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，512π为单调增函数．则其中真命题为________．解析由T ＝2π3，故①正确；将y ＝2sin3x 的图像向左平移π4个单位得到y ＝2sin3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋34π，故②不正确；y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋34π＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫－3x －34π＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x －34π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋54π ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋54π－2π＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －34π，故③正确；当π12<x <5π12时，－π2<3x －34π<π2，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，512π上单调递增，故④正确．答案 ①③④三、解答题(本大题共6道题，共75分) 16．(12分)化简：(1)sin420°cos330°＋sin(－690°)²cos(－660°)；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos π＋α＋sin π－α cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α.解 (1)sin420°cos330°＋sin(－690°)²cos(－660°)＝sin60°cos30°＋sin30°cos60°＝1.(2)原式＝cos αsin α－cos α＋sin α －sin α－sin α＝－sin α＋sin α ＝0.17．(12分)已知扇形的圆心角θ＝π3，它所对的弦长为2，求扇形的弧长和面积．解 ∵扇形的圆心角θ＝π3(如图)，∴△AOB 为等边三角形，∴R ＝AB ＝2，∴扇形的弧长l ＝R θ＝2³π3＝23π.S 扇＝12Rl ＝12³2³23π＝23π.18．(12分)如图，点P 是半径为r cm 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s 做匀速圆周运动，求点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系式，并求点P 的运动周期和频率．解当质点P 从位置P 0开始转动t s 时，点P 转过的角度为ωt .设此时点P 所在的位置为P ′，则∠P ′Ox ＝ωt ＋φ.由任意角的三角函数得点P 的纵坐标为y ＝r sin(ωt ＋φ)，此即为所求的函数关系式．点P 的运动周期为T ＝2πω，频率为f ＝1T ＝ω2π.19．(13分)如图所示，是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的一段图像． (1)求此函数解析式；(2)分析该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？解 (1)由图像知A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2³⎝⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，∴ω＝2πT＝2. ∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2³π6＋φ＝π2，∴φ＝π6.∴所求函数解析式为y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.(2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到y＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图像．20．(13分)如果关于x 的方程sin 2x －(2＋a )sin x ＋2a ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上有两个实数根，求实数a 的取值范围．解 sin 2x －(2＋a )sin x ＋2a ＝0，即(sin x －2)(sin x －a )＝0.∵sin x －2≠0，∴sin x ＝a ，即求在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上sin x ＝a 有两根时a 的范围．由y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6与y ＝a 的图像知12≤a ＜1.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. 21．(13分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝π8， (1) 求φ；(2) 求函数y ＝f (x )的单调增区间；(3) 画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图像．解 (1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图像的对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2³π8＋φ＝±1.∴π4＋φ＝k π＋π2，(k ∈Z )，φ＝k π＋π4，(k ∈Z )． ∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4. 由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，∴k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，(k ∈Z )．即函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，(k ∈Z )．(3)由y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4知，故函数y＝。

【名师一号】2014-2015学年新课标A版高中数学必修1双基限时练13

双基限时练(十三)1．下列结论中正确的个数是( ) ①当a <0时，(a 2) 32＝a 3； ②n a n＝|a |(n ≥2，n ∈N )；③函数y ＝(x －2) 12 －(3x －7)0的定义域是[2，＋∞)； ④ 6－2＝32.A ．1B ．2C ．3D ．4解析在①中，a <0时，(a 2) 32>0，而a 3<0， ∴①不成立．在②中，令a ＝－2，n ＝3，则3(－2)3＝－2≠|－2|， ∴②不成立．在③中，定义域应为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，73∪⎝⎛⎭⎪⎫73，＋∞，∴③不成立．④式是正确的，∵6(－2)2＝622＝32， ∴④正确．答案 A2．使代数式(|x |－1) －13有意义的x 的取值范围是( )A ．|x |≥1B ．－1<x <1C ．|x |>1D ．x ∈R ，且x ≠±1解析 (|x |－1)－13＝13|x |－1，∴|x |－1≠0，即x ≠±1.∴x 的取值范围是x ∈R ，且x ≠±1. 答案 D3．x ，y ∈R ，下列各式恒成立的是( ) A ．(6x －6y )6＝x －y B.4x 4－4y 4＝x －y C.10(x ＋y )10＝x ＋y D.8(x 2＋y 2)8＝x 2＋y 2 答案 D4.⎝⎛⎭⎪⎫1120－(1－0.5－2)÷⎝⎛⎭⎪⎫278 32的值为( ) A ．－13 B.13 C.43D.73解析原式＝1－(1－22)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1－(－3)×49＝73.故选D. 答案 D5．当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9的结果是( )A ．2x －5B ．－2x －1C ．－1D ．5－2x解析∵2－x有意义，∴2－x≥0，即x≤2.x2－4x＋4－x2－6x＋9＝(x－2)2－(x－3)2＝|x－2|－|x－3|＝2－x－(3－x)＝2－x－3＋x＝－1. 答案 C6．计算[(－2)2]－12的结果是()A. 2 B．－ 2C.22D．－22解析[(－2)2]－12＝2－12＝12＝22.答案 C7．已知a＝32，b＝3，则b3aa2b6的值为________．解析b3aa2b6＝b3a⎝⎛⎭⎪⎫a2b612＝b3aab3＝1.答案 18．若x2－8x＋16＝x－4，则实数x的取值范围是________．解析∵x2－8x＋16＝(x－4)2＝|x－4|又x2－8x＋16＝x－4，∴|x－4|＝x－4，∴x≥4.答案x≥4解析答案－2310．已知10a ＝2,10b ＝5,10c ＝3.求103a －2b ＋c 的值．解 103a －2b ＋c ＝103a ·10c 102b ＝(10a )3·10c (10b )2＝23·352＝2425. 11．计算：(－1.8)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2·3⎝ ⎛⎭⎪⎫2782－10.01＋93.解原式＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫322－10.1＋33＝1＋1－10＋27＝19. 12．已知a12＋a－12＝2，求①a ＋a －1；②a 2＋a －2；③a 3＋a －3的值，你可得到什么结论？解 ①a 12＋a －12＝2，∴(a 12＋a－ 12)2＝a ＋a －1＋2＝4，∴a ＋a －1＝2.②由a ＋a －1＝2，得(a ＋a －1)2＝a 2＋a －2＋2＝4， ∴a 2＋a －2＝2，③a 3＋a －3＝(a ＋a －1)(a 2＋a －2－1)＝2×(2－1)＝2. 由①②③知，可得到如下结论：若a 12＋a－12＝2，则a n ＋a －n ＝2(n ∈N ＋)．。

【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章三角函数双基限时练3(含解析)北师大版必修4

双基限时练(三) 弧度制一、选择题1．下列结论不正确的是( ) A.π3rad ＝60° B ．10°＝π18 radC ．36°＝π5 radD.5π8rad ＝115° 解析5π8＝5π8×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝112.5°. 答案 D2．若扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也扩大到原来的2倍，则( ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积扩大到原来的2倍D ．扇形的圆心角扩大到原来的2倍解析由S 扇＝12rl 知当半径变为原来的2倍，弧长也扩大到原来的2倍时，面积变为原来的4倍，故A ，C 不对，又由圆心角θ＝l r，当l 与r 均变为原来的2倍时，θ的值不变，故B 正确．答案 B3．时钟经过三小时，时针转过了( ) A. π6 radB. π2 radC. －π2radD. －π6rad解析时针每小时转过－π6 rad.答案 C4．将－1485°改写成2k π＋α(0≤α<π，k ∈Z )的形式是( ) A. －8π＋π4B. －10π－π4C. －8π＋74πD. －10π＋74π解析－1485°＝－1485×π180＝－334π＝－10π＋74π.答案 D5．若α与β关于y 轴对称，则( ) A ．α＋β＝π2(k ∈Z )B ．α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )C ．α＋β＝2k π(k ∈Z )D ．α＋β＝2k π＋π(k ∈Z )解析由α，β关于y 轴对称，得β＝2k π＋π－α(k ∈Z )．答案 D6．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 所表示的角的范围(用阴影表示)是( )解析当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C.答案 C7．将－300°化为弧度为( )A. －4π3B. －5π3C. －7π6D. －7π4解析 ∵1°＝π180，∴－300°＝－300×π180＝－5π3 rad.答案 B 二、填空题8．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则三内角的弧度数分别是__________．解析设三角形的三个内角的弧度数分别为4x,5x,6x ，则有4x ＋5x ＋6x ＝π，解得x ＝π15. ∴三内角的弧度数分别为4x ＝4π15，5x ＝π3，6x ＝2π5.答案4π15，π3，2π59．已知一扇形的圆心角α＝π3，扇形所在圆的半径R ＝10，则这个扇形的弧长为________，该扇形所在弓形的面积为________．解析设扇形的弧长为l ，则l ＝α·R ＝π3×10＝10π3，由题意得S 弓＝S 扇－S △＝12Rl －12R 2sin π3＝12×10×10π3－12×102×32 ＝50(π3－32)．答案103π 50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32 10．(1)若θ∈(0，π)，且θ与7θ终边相同，则θ＝______. (2)设α＝－2 rad ，则α的终边在第________象限．解析 (1)由题意得7θ＝2k π＋θ， ∴θ＝k π3(k ∈Z )，又θ∈(0，π)，当k ＝1时，θ＝π3；当k ＝2时θ＝23π.(2)－2＝－2π＋2π－2，∵2π－2∈(π，32π)，故α为第三象限角．答案 (1)π3或2π3(2)三三、解答题11．将下列各角写成2k π＋α(0≤α<2π)的形式，并指出角的终边所在的象限． (1)214π；(2)1580°； (3)－236π.解 (1)214π＝4π＋54π，为第三象限角；(2)1580°＝1580180π＝799π＝8π＋79π，为第二象限角；(3)－236π＝－4π＋π6，为第一象限角．12．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断2012°是不是这个集合的元素．解 ∵150°＝5π6，∴终边在阴影区域内角的集合为S ＝{β|5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z }．∵2012°＝212°＋5×360°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53π45＋10πrad ，又5π6＜53π45＜3π2.∴2012°＝503π45∈S .13．如图，动点P ，Q 从点A (4,0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间及P ，Q 点各自走过的弧长.解设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，所以t ＝4(s)，即P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4 s.P 点走过的弧长为4π3×4＝16π3， Q 点走过的弧长为2π3×4＝8π3.。

2014-2015学年高中数学双基限时练4 新人教B版必修4

双基限时练(四)基础强化1．若θ是第二象限角，则( ) A ．sin θ<0 B ．cos θ<0 C ．tan θ>0D ．cot θ>0解析 θ为第二象限角，则sin θ>0，cos θ<0， tan θ<0，cot θ<0. 答案 B2．y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＋tan x |tan x |＋|cot x |cot x 的值域是( )A ．{－2,4}B ．{－2,0,4}C ．{－2,0,2,4}D ．{－4，－2,0,4}解析若x 是第一象限角，则y ＝4；若x 是第二象限角，则y ＝－2；若x 是第三象限角，则y ＝0；若x 是第四象限角，则y ＝－2. 答案 B3．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵点P 在第三象限，∴tan α<0，cos α<0. ∴α是第二象限角．答案 B4．已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则θ2的终边在( )A ．第二、四象限B ．第一、三象限C ．第二、四象限或x 轴上D ．第一、三象限或x 轴上解析由题意可知，cos θ≥0，tan θ≤0，∴θ的终边在第四象限或x 轴的正半轴上，即2k π－π2<θ≤2k π，k ∈Z .∴k π－π4<θ2≤k π，k ∈Z ，∴θ2的终边在第二、四象限或x 轴上．答案 C5．已知tan α>0，且sin α＋cos α>0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析 ∵tan α>0，∴α是第一或第三象限角， ∵sin α＋cos α>0，∴α是第一象限角．答案 A6．α是第四象限角，则下列函数值一定是负值的是( ) A ．sin α2B ．－cos α2C ．－tan α2D ．sin2α解析 ∵α是第四象限角，∴α2是第二象限或第四象限角，∴sin α2与－cos α2的符号不确定，－tan α2>0.2α是第三象限或第四象限或y 轴负半轴上的角，∴sin2α<0.答案 D7．点P (tan2 014°，cos2 014°)位于第________象限．解析 ∵2 014°＝5×360°×＋214°，214°是第三象限的角， ∴tan2 014°>0，cos2 014°<0，故点P 位于第四象限．答案四8．三角函数式tan53°·sin330°·cos235°的符号是____________．解析 53°是第一象限角，∴tan53°>0；330°是第四象限角， ∴sin330°<0；235°是第三象限角，∴cos235°<0， ∴tan53°·sin330°·cos235°>0. 答案正号能力提升9．函数y ＝－cos x ＋sin x 的定义域为________．解析要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧－cos x ≥0，sin x ≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＋π2≤x ≤2k π＋32πk ∈Z ，2k π≤x ≤2k π＋πk ∈Z ，解之得2k π＋π2≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，∴函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z .答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z 10．判断下列各式的符号：(1)α是第四象限角，sin α·tan α；(2)sin3·cos4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4.解析 (1)∵α是第四象限角， ∴sin α<0，tan α<0. ∴sin α·tan α>0. (2)∵π2<3<π，π<4<3π2，∴sin3>0，cos4<0. ∵－23π4＝－6π＋π4，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4>0. ∴sin3·cos4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4<0. 11．若α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，求α2所在象限．解析 ∵α是第三象限角， ∴α2是第二或第四象限角．∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，∴cos α2≤0，∴α2是第二象限角． 12．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ<1且2cos θ<1，则θ是第几象限角．解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ<1且2cos θ<1，∴sin θ>0，cos θ<0， ∴θ是第二象限角．品味高考13．cos θ·tan θ<0，那么角θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角解析 cos θ·tan θ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ<0，tan θ>0，或⎩⎪⎨⎪⎧cos θ>0，tan θ<0.∴θ是第三或第四象限角．答案 C。

北师大版高中数学必修四双基限时练12

双基限时练(十二) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像(二)一、选择题1．已知函数f (x )＝sin(πx ＋θ)，(0<θ<2π)的最小正周期为T ，且当x ＝2时取最大值，那么( )A.T ＝2，θ＝π2 B.T ＝1，θ＝πC.T ＝2，θ＝πD.T ＝1，θ＝π2解析 T ＝2ππ＝2，∴f (2)＝sin(2π＋θ)＝sin θ，显然当θ＝π2时f (x )取得最大值．答案 A2．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的单调增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋34π，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π＋π2，k ∈Z解析由2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )解得．答案 A3．若f (x )＝sin(2x ＋φ)为偶函数，则φ值可能是( ) A.π4 B.π2 C.π3D.π解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x ，而y ＝cos2x 为偶函数，∴φ＝π2.答案 B4．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称D ．关于直线x ＝π3对称解析 f (π3)＝0.答案 A5．①最小正周期π；②图像关于⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称，则下列函数同时具有以上两个性质的是( )A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6D ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3解析用排除法．答案 B6．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝k π－π6，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.故选A.答案 A7．把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4π3的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度所得到的函数为偶函数，则φ的最小值是( )A.4π3 B.2π3 C.π3D.5π3解析向左平移φ个单位长度后的解析式为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3＋φ，∴4π3＋φ＝k π，∴φ＝k π－4π3>0(k ∈Z )．∴k >43，∴k ＝2，∴φ＝2π3.答案 B二、填空题8．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的值域是____________．解析 ∵－π2≤x ≤π2，∴－π3≤x ＋π6≤23π.∴－3≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤2.答案 [－3，2]9．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调减区间为________．解析 ∵y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋512π，k ∈Z ， ∴原函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )10．给出下列命题：①函数y ＝sin x 在第一象限是增函数；②函数y ＝cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2πω；③函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋72π是偶函数；④函数y ＝cos2x 的图像向左平移π4个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像．其中正确的命题是__________．解析 ①第一象限有正角或负角，无单调性可言，故①不正确；②中的最小正周期T ＝2π|ω|，故②不对；③函数y ＝sin(23x ＋72π)＝－cos 23x ，故其为偶函数；④将函数y ＝cos2x 的图像向左平移π4个单位，得到y ＝cos2(x ＋π4)＝－sin2x 的图像，故④不正确，只有③正确．答案 ③ 三、解答题11．设函数f (x )＝sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2，y ＝f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝π4.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解 (1)由题意得f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即sin φ＝cos φ，即tan φ＝1，又0<φ<π2，∴φ＝π4.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－34π≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )．∴函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－34π，2k π＋π4(k ∈Z )．12．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图像与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图像上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2时，求f (x )的值域．解 (1)由最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，得A ＝2. 由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图像上，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－11π6，k ∈Z .又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1，故f (x )的值域为[－1,2]．13．若函数f (x )＝5sin(2x ＋φ)，对任意x都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值；(2)求φ的最小正值；(3)当φ取最小正值时，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6，求f (x )的最大值和最小值；(4)写出函数f (x )的单调增区间．解 (1)解法一：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ，知f (x )的图像关于直线x ＝π3对称．又∵这个图像的对称轴一定经过图像的最高点或最低点，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝± 5. 解法二：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ，∴f (x )关于x ＝π3对称，∴2×π3＋φ＝k π＋π2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π2＝± 5.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝±5，得2·π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝－π6＋k π(k ∈Z )．令k ＝1，得φ＝5π6，即为φ的最小正值．(3)由(2)知f (x )＝5sin(2x ＋5π6)，当－π6≤x ≤π6时，π2≤2x ＋5π6≤7π6，∴当2x ＋5π6＝π2，即x ＝－π6时，f (x )取最大值5；当2x ＋5π6＝7π6，即x ＝π6时，f (x )取最小值－52.(4)由2k π－π2≤2x ＋5π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－23π≤x≤k π－π6(k ∈Z )，∴函数f (x )＝5sin(2x ＋φ)的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－23π，k π－π6(k ∈Z )．。

北师大版高中数学必修四双基限时练14

双基限时练(十四) 从位移、速度、力到向量一、选择题1．以下说法错误的是( )A ．零向量与任一非零向量共线B ．平行向量的方向相同C ．零向量的长度为零，方向任意D.AB →与BA →的方向相反，大小相等答案 B2．下列叙述中正确的个数是( )①若a ＝b ，则3a >2b ；②若a ∥b ，则a 与b 的方向相同或相反；③若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①显然不对；由于零向量与任一向量共线，且零向量的方向是任意的，故②不对；对于③，若b 为零向量，a 与c 可能不是共线向量，故③也不正确．答案 A3．如右图，在⊙O 中，向量OB →，OC →，AO →是( )A ．有相同始点的向量B ．共线向量C ．模相等的向量D ．相等向量解析它们的模相等，都等于圆的半径．答案 C4．给出以下命题：①物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量；②方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量； ③坐标平面上的x 轴与y 轴都是向量．其中真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析 ①作用力与反作用力是方向相反的向量，因此它们是一对共线向量；②中的两个向量也满足共线向量的概念；③x 轴、y 轴只有方向没有大小，它们不是向量，故①，②正确，选C.答案 C5．汽车以120km/h 的速度向西走了2h ，摩托车以45km/h 的速度向东北方向走了2h ，则下列命题中正确的是( )A ．汽车的速度大于摩托车的速度B ．汽车的位移大于摩托车的位移C ．汽车走的路程大于摩托车走的路程D ．以上都不对解析由向量的知识可得，答案为C.答案 C6．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中A ，B ，C ，D ，E ，F ，O 中任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA →外，与向量OA →共线的向量共有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个解析由共线向量的定义及正六边形的性质，与向量OA →共线的向量有AO →，OD →，DO →，AD →，DA →，EF →，FE →，BC →，CB →，共有9个，故选D.答案 D7．下列说法中正确的是( )A.零向量只有大小没有方向B.对任一向量a ，|a |>0总是成立的C.|AB →|＝|BA →|D.|AB →|与线段BA 的长度不相等解析零向量有方向，且方向是任意的，所以A 不正确；|0|＝0，对任一向量a ，|a |≥0总成立，所以B 不正确；|AB →|、|BA →|分别与线段AB 、BA 的长度相等，且AB ＝BA ，所以C 正确，D 不正确．答案 C二、填空题8．设O 是正方形ABCD 的中心，则①AO →＝OC →；②AO →∥AC →；③AB →与CD →共线；④AO →＝BO →，其中，所有正确的序号为________．解析 ∵正方形的对角线互相平分，∴AO →＝OC →正确，即①正确；②显然正确；∵ABCD 为正方形，∴AB ∥CD ，故AB →与CD →共线，故③正确，又AO →与BO →的方向不同，故④不正确．答案 ①②③9．下列命题：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题为__________(写上序号即可)．解析由向量的知识，可知答案为②④⑤⑥.答案 ②④⑤⑥10．在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，则下列结论正确的是________．①AD →＝BC →；②AD →＝CB →；③|AD →|＝|BC →|；④AD →＝±BC →.解析如图，∵ABCD 为等腰梯形，∴AD →与BC →不等，只能是大小相等，但方向不同，故|AD →|＝|BC →|.答案 ③三、解答题11．如图，O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在图中所示的向量中：(1)分别找出与AO →，BO →相等的向量；(2)找出与AO →共线的向量；(3)找出与AO →模相等的向量；(4)向量AO →与CO →是否相等？解 (1)AO →＝BF →，BO →＝AE →；(2)与AO →共线的向量有：BF →，CO →，DE →；(3)与AO →模相等的向量有：CO →，DO →，BO →，BF →，CF →，AE →，DE →；(4)向量AO →与CO →不相等，因为它们的方向不相同．12．如图，在一次测量活动中，同学甲从操场的A 点处向正南方走了30m 到达点B ，再向西方走了40m 到达点C .(1)在图中画出向量AB →、BC →；(2)如果同学甲要从C 点返回A 点，他至少需要走多少米？解 (1)图略．(2)他至少需要走50m.13．在如图所示的方格纸上，每个小正方形的边长都是1，已知向量a .(1)试以点B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么图形？解 (1)如图，向量OB →即为所求向量b ；(2)向量AC →即为一个所求向量c (答案不唯一)，向量c 终点的轨迹是一个以点A 为圆心，以5为半径的圆．。

北师大版高中数学必修4双基限时练：第一章++三角函数(13套,含解析)双基限时练10

双基限时练(十) 正切函数的诱导公式一、选择题1．若f (x )＝tan x ，则f (600°)的值为( ) A.33 B ．－33C. 3 D ．－ 3解析 f (600°)＝tan600°＝tan60°＝ 3.答案 C2．tan 476π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－316π的值为( )A ．－33 B ．0 C.233 D ．－233解析 tan 476π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－316π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π＋56π－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π＋π6＝tan 56π－tan π6＝－2tan π6 ＝－233.答案 D3．若sin(π＋α)＝－15，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋αtan(π－α)的值为() A. 15 B. －15C. 45 D. －45解析由sin(π＋α)＝－15，知sin α＝15.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α·tan(π－α)＝cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin αcos α＝－sin α＝－15.答案 B4．若sin α＋2cos α2sin α－cos α＝2，则tan(α＋π)的值为( )A.43 B ．－43C.34 D ．－34解析由已知得tan α＋22tan α－1＝2，得tan α＝43，∴tan(α＋π)＝tan α＝43.答案 A5.sin (θ－5π)tan (3π－θ)·cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋θ的值为( )A ．0B ．sin θC ．－1D ．1解析原式＝－sin θ－tan θ·tan θsin θ＝1.答案 D6．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x 在(－∞，0)上f (x )的单调递增，若α、β为锐角三角形的两个内角，则( )A ．f (tan α)＞f (tan β)B ．f (tan α)＜f (tan β)C ．f (tan α)＞f (cot β)D ．f (tan α)＞f (cot β)解析 ∵α、β为锐角三角形的两个内角，∴α＋β＞π2，∴α＞π2－β，又α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ∴tan α＞tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，即tan α＞cot β，又f (x )为奇函数，且在(－∞，0)上单调递增，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故f (tan α)＞f (cot β)．答案 C二、填空题7．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2α＝m (m ≠0)，则cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋34π的值为________．解析 ∵(π4－2α)＋(2α＋34π)＝π，∴cot(2α＋34π)＝－cot(π4－2α)＝－1m .答案－1m8．tan(27°－α)·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(139°－β)＝________. 解析 ∵(27°－α)＋(63°＋α)＝90°，∴tan(27°－α)·tan(63°＋α)＝1。

北师大版高中数学必修4双基限时练：第一章++三角函数(13套,含解析)双基限时练9

双基限时练(九) 正切函数的定义、图像和性质一、选择题1．若角α的终边上有一点P (2x －1,3)，且tan α＝15，则x 的值为( ) A. 7 B. 8 C. 15D. 45解析由32x －1＝15，得x ＝8.答案 B 2．函数y ＝log 12tan x 的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x ≤π4 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤2k π＋π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π<x ≤k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π－π2<x ≤k π＋π4，k ∈Z解析由log 12tan x ≥0知0<tan x ≤1解得．答案 C3．以下三个描述不正确的有( )①正切函数为定义域上的增函数；②正切函数存在闭区间[a ，b ]，使y ＝tan x 在其上是递增的；③正切函数存在闭区间[a ，b ]，使y ＝tan x 在其上是递减的．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析只有②正确．答案 B4．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3在一个周期内的图像是()解析 ∵T ＝π12＝2π，结合图像可知答案为A.答案 A5．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图像过点⎝⎛⎭⎪⎫π12，0，则φ可以是( )A ．－π6 B.π6 C ．－π12D.π12解析由题意得tan(2π12＋φ)＝0，即tan(π6＋φ)＝0，且π6＋φ＝k π，∴φ＝k π－π6，令k ＝0，则φ＝－π6.答案 A6．在区间⎝⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2范围内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图像交点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析方法一：在同一坐标系中，首先作出y ＝sin x 与y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的图像，需明确x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，有sin x ＜x ＜tan x (利用单位圆中的正弦线、正切线就可以证明)，然后利用对称性作出x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2的两函数的图像如图，由图像可知它们有3个交点．∴应选C.方法二：⎩⎨⎧y ＝sin x ，y ＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32π，32π，即sin x ＝tan x ＝sin xcos x ，sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1cos x ＝0，sin x ＝0或cos x ＝1.在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32π，32π内x ＝－π、0、π满足sin x ＝0，x ＝0满足cos x ＝1，所以交点个数为3. ∴应选C. 答案 C7．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图像如图所示，则f ⎝⎛⎭⎪⎫π24＝( )A. 2＋ 3B. 3C. 33D. 2－ 3解析由图可知T ＝πω＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫38π－π8＝π2，∴ω＝2，由2×38π＋φ＝k π，k ∈Z ，|φ|<π2，知φ＝π4，由A tan ⎝⎛⎭⎪⎫2×0＋π4＝1，知A ＝1，∴f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan π3＝ 3.答案 B 二、填空题8．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，在单位圆中，角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是a 、b 、c ，则它们的大小关系是__________．解析由三角函数线知c ＞a ＞b . 答案 c ＞a ＞b9．函数y ＝1tan 2x －2tan x ＋2的值域为________．解析设u ＝tan 2x －2tan x ＋2＝(tan x －1)2＋1，显然u ≥1，由反比例函数的图像可知值域为(0,1]．答案 (0,1]10．若y ＝tan(2x ＋θ)图像的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫π3，0，其中－π2<θ<π2，则θ＝________.解析由题意得2x ＋θ＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π4－θ2，∵y ＝tan(2x ＋θ)的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫π3，0，∴k π4－θ2＝π3，∴θ＝k π2－23π.又θ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴θ＝π3，或θ＝－π6.答案 π3或－π6 三、解答题11．作出函数f (x )＝tan x ＋|tan x |的图像，并求出其周期．解析 f (x )＝tan x ＋|tan x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π，2tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )．作出f (x )的图像如下图，易得函数f (x )的周期T ＝π.12．已知f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， (1)求f (x )的定义域及值域； (2)求f (x )的周期及单调增区间．解 (1)由2x ＋π3≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π12(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π12，k ∈Z ，由正切函数的图像可知值域为R . (2)f (x )的周期T ＝π2，由k π－π2<2x ＋π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－512π<x <k π2＋π12(k ∈Z )．故函数的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－512π，k π2＋π12(k ∈Z )．13．确定函数f (x )＝sin x ＋tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3的奇偶性、单调性，并求出它的值域．解显然f (x )的定义域关于原点对称，又f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，设－π3≤x 1<x 2≤π3.∵y ＝sin x 和y ＝tan x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上都是增函数，∴sin x 1<sin x 2，且tan x 1<tan x 2. ∴sin x 1＋tan x 1<sin x 2＋tan x 2，即f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上是增函数．∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332.。

北师大版高中数学必修4双基限时练：第一章++三角函数(13套,含解析)双基限时练3

双基限时练(三) 弧度制一、选择题1．下列结论不正确的是( ) A.π3 rad ＝60° B ．10°＝π18 rad C ．36°＝π5 radD.5π8 rad ＝115°解析 5π8＝5π8×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝112.5°.答案 D2．若扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也扩大到原来的2倍，则( ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积扩大到原来的2倍D ．扇形的圆心角扩大到原来的2倍解析由S 扇＝12rl 知当半径变为原来的2倍，弧长也扩大到原来的2倍时，面积变为原来的4倍，故A ，C 不对，又由圆心角θ＝lr ，当l 与r 均变为原来的2倍时，θ的值不变，故B 正确．答案 B3．时钟经过三小时，时针转过了( ) A. π6 rad B. π2 rad C. －π2 radD. －π6 rad 解析时针每小时转过－π6 rad.答案 C4．将－1485°改写成2k π＋α(0≤α<π，k ∈Z )的形式是( ) A. －8π＋π4 B. －10π－π4 C. －8π＋74πD. －10π＋74π解析－1485°＝－1485×π180＝－334π＝－10π＋74π. 答案 D5．若α与β关于y 轴对称，则( ) A ．α＋β＝π2(k ∈Z ) B ．α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z ) C ．α＋β＝2k π(k ∈Z ) D ．α＋β＝2k π＋π(k ∈Z )解析由α，β关于y 轴对称，得β＝2k π＋π－α(k ∈Z )．答案 D6．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 所表示的角的范围(用阴影表示)是( )解析当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C.答案 C7．将－300°化为弧度为( ) A. －4π3 B. －5π3 C. －7π6D. －7π4解析 ∵1°＝π180，∴－300°＝－300×π180＝－5π3 rad. 答案 B 二、填空题8．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则三内角的弧度数分别是__________．解析设三角形的三个内角的弧度数分别为4x,5x,6x ，则有4x ＋5x ＋6x＝π，解得x ＝π15.∴三内角的弧度数分别为4x ＝4π15，5x ＝π3，6x ＝2π5. 答案 4π15，π3，2π59．已知一扇形的圆心角α＝π3，扇形所在圆的半径R ＝10，则这个扇形的弧长为________，该扇形所在弓形的面积为________．解析设扇形的弧长为l ，则l ＝α·R ＝π3×10＝10π3，由题意得S 弓＝S 扇－S △＝12Rl －12R 2sin π3 ＝12×10×10π3－12×102×32 ＝50(π3－32)．答案 103π 50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－3210．(1)若θ∈(0，π)，且θ与7θ终边相同，则θ＝______. (2)设α＝－2 rad ，则α的终边在第________象限．解析 (1)由题意得7θ＝2k π＋θ， ∴θ＝k π3(k ∈Z )，又θ∈(0，π)，当k ＝1时，θ＝π3；当k ＝2时θ＝23π. (2)－2＝－2π＋2π－2，∵2π－2∈(π，32π)，故α为第三象限角．答案 (1)π3或2π3 (2)三三、解答题11．将下列各角写成2k π＋α(0≤α<2π)的形式，并指出角的终边所在的象限．(1)214π； (2)1580°； (3)－236π.解 (1)214π＝4π＋54π，为第三象限角；(2)1580°＝1580180π＝799π＝8π＋79π，为第二象限角； (3)－236π＝－4π＋π6，为第一象限角．12．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断2012°是不是这个集合的元素．解 ∵150°＝5π6，∴终边在阴影区域内角的集合为S ＝{β|5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z }．∵2012°＝212°＋5×360°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53π45＋10πrad ，又5π6＜53π45＜3π2. ∴2012°＝503π45∈S .13．如图，动点P ，Q 从点A (4,0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间及P ，Q 点各自走过的弧长.解设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，所以t ＝4(s)，即P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4 s. P 点走过的弧长为4π3×4＝16π3， Q 点走过的弧长为2π3×4＝8π3.。

北师大版高中数学必修4双基限时练：第一章++三角函数(13套,含解析)双基限时练8

双基限时练(八) 余弦函数的图像与性质一、选择题1．函数f (x )＝cos x 的图像的对称轴是( ) A ．x ＝k π，k ∈Z B ．x ＝k π＋π2，k ∈Z C ．x ＝2k π＋π4，k ∈Z D ．x ＝2k π－π3，k ∈Z 解析由余弦函数图像知．答案 A2．函数y ＝1－2cos π2x 的最小值、最大值分别是( ) A. －1,3 B. －1,1 C. 0,3D. 0,1解析 y min ＝1－2＝－1，y max ＝1＋2＝3. 答案 A3．函数y ＝log 2(2cos x －3)的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) C ．[2k π－30°，2k π＋30°](k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) 答案 D4．下列4个函数中，既是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的增函数，又是以π为周期的偶函数是( )A ．y ＝sin|x |B ．y ＝|sin x |C ．y ＝|cos2x |D ．y ＝cos x解析由四个函数的图像可知．答案 B5．函数y ＝cos x －2，x ∈[－π，π]的图像是( )解析把y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的图像向下平移2个单位．答案 A6．若函数f (x )＝cos(x ＋φ)，φ∈(0,2π)为偶函数，则φ＝( ) A.π2 B ．π C.32πD.π3解析 cos(x ＋π)＝－cos x ，故选B. 答案 B 二、填空题7．函数y ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤x ≤56π的值域为________．解析当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，56π时，－32≤cos x ≤1，所以值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，18．函数y ＝cos x －1的对称中心为________．解析 y ＝cos x 的对称中心为(k π＋π2，0)，由y ＝cos x 图像向下平移一个单位，得到y ＝cos x －1的图像．所以y ＝cos x －1的对称中心为(k π＋π2，－1)．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，－19．y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图像和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是________．解析由y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]上的图像可知封闭的平面图形的面积S ＝2π×2＝4π.答案 4π10．cos ⎝⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝⎛⎭⎪⎫－174π的大小关系为________．解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35π＝cos 35π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4. ∵0<π4<35π<π，而y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos π4>cos 35π，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π>cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π. 答案 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π>cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π三、解答题11．求函数y ＝log 2cos2x 的定义域、值域、单调区间．解由cos2x >0得2k π－π2<2x <2k π＋π2，即k π－π4<x <k π＋π4(k ∈Z )，∴函数y ＝log 2cos2x 的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )，∵cos2x ∈(0,1]∴y ＝log 2cos2x 的值域为(－∞，0]．由余弦函数的图像及函数的定义域可知，y ＝log 2cos2x 在⎝⎛⎦⎥⎤k π－π4，k π(k∈Z )单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π4(k ∈Z )单调递减．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≥cos x ，cos x ，sin x <cos x ，试写出它的性质(四个以上)．解该函数的图像如图所示，由图像可知：①函数的定义域为R ；②函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1；③函数的最小正周期为2π；④当且仅当x ＝2k π和x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时函数取得最大值1； ⑤当且仅当x ＝2k π＋5π4(k ∈Z )时函数取得最小值－22； ⑥当且仅当2k π＋π<x <2k π＋3π2(k ∈Z )时，f (x )<0；⑦当且仅当2k π－3π4<x <2k π或2k π＋π4<x <2k π＋π2(k ∈Z )时，函数单调递增；⑧当且仅当2k π<x <2k π＋π4或2k π＋π2<x <2k π＋5π4(k ∈Z )时，函数单调递减．13．求当函数y ＝－cos 2x ＋a cos x －12a －12的最大值为1时a 的值．解 y ＝－cos 2x ＋a cos x －a 2－12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －a 22＋a 24－12a －12.设cos x ＝t ，∵－1≤cos x ≤1，∴－1≤t ≤1.∴求函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －a 22＋a 24－12a －12的最大值为1时a 的值，等价于求二次函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋a 24－12a －12(－1≤t ≤1)的最大值为1时a 的值． ①当a 2<－1，即a <－2时，在t ＝－1处，y 有最大值，为－32a －32.由题设可知－32a －32＝1，∴a ＝－53>－2(舍去)．②当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，在t ＝a 2处，y 有最大值，为a 24－a 2－12. 由题设可知a 24－a 2－12＝1，解得a ＝1±7(正值舍去)．③当a 2>1，即a >2时，在t ＝1处，y 有最大值，为a 2－32.由题设可知a 2－32＝1，∴a ＝5.综上可得a ＝1－7或a ＝5.。

2014-2015学年高中数学第一章三角函数双基限时练4(含解析)北师大版必修4

双基限时练(四) 任意角的正弦函数、余弦函数的定义一、选择题1．sin270°的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D.12答案 C2．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－|cos α|cos α的值是( ) A ．1 B ．0 C ．2D ．－2 解析 ∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0. 故|sin α|sin α－|cos α|cos α＝sin αsin α－－cos αcos α＝2. 答案 C3．如下图，直线l 的倾斜角为2π3，且与单位圆交于P 、Q 两点，则P 点的横坐标是( )A.12 B ．－12C.32D ．－32解析 cos 23π＝－12，选B.答案 B4．点P (sin2014°，cos2014°)位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限解析 2014°＝5×360°＋214°为第三象限角， ∴sin2014°<0，cos2014°<0. 答案 C5．若三角形的两个内角α，β满足cos α·sin β<0，此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．以上三种情况均有可能解析 ∵α，β为三角形的内角， ∴α，β∈(0，π)，∴sin β>0. 又cos α·si n β<0，∴cos α<0，故α∈(π2，π)，故三角形为钝角三角形．答案 B6．若sin θ＜0，cos θ＜0，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三或第四象限角D ．第二或第四象限角解析由sin θ＜0，cos θ＜0知θ为第三象限角，由数形结合可得θ2为二、四象限角．答案 D7．角α的终边上有一点P (a ，a )(a ∈R 且a ≠0)，则cos α的值是( ) A.22 B ．－22C ．±22D ．1解析 cos α＝a a 2＋a2＝a2|a |.当a >0时，cos α＝22；当a <0时，cos α＝－22.答案 C 二、填空题8．设θ∈(0,2π)，点P (sin θ，cos θ)在第三象限，则角θ的取值范围是________．解析由题意得sin θ<0，cos θ<0，又θ∈(0,2π)， ∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π 9．如果角α的终边过点(3a －9，a ＋2)，且cos α＜0，sin α＞0，那么α的取值范围是__________．解析由cos α＜0，sin α＞0，得α的终边在第二象限，可得⎩⎪⎨⎪⎧3a －9＜0，a ＋2＞0，即－2＜a ＜3.答案－2＜a ＜310．如果α的终边过点(2sin30°，－2cos30°)，那么sin α的值等于________．解析 ∵2sin30°＝2×12＝1，－2cos30°＝－2×32＝－3，∴α的终边过点(1，－3)， ∴sin α＝－312＋－32＝－32. 答案－32三、解答题11．判断下面各式的符号：(1)sin105°·cos230°；(2)sin 7π8·cos 7π8；(3)cos6·sin6.解 (1)∵105°，230°分别为第二、第三象限角． ∴sin105°>0，cos230°<0，∴sin105°·cos230°<0. (2)∵π2<7π8<π，∴7π8是第二象限角．∴sin 7π8>0，cos 7π8<0，∴sin 7π8·cos 7π8<0.(3)∵3π2<6<2π，∴6弧度的角为第四象限角． ∴cos6>0，sin6<0，∴cos6·sin6<0.12．若sin2θ>0且cos θ<0，试确定θ所在的象限．解 ∵sin2θ>0，∴2k π<2θ<2k π＋π(k ∈Z )．∴k π<θ<k π＋π2(k ∈Z )．当k ＝2m (m ∈Z )时，2m π<θ<2m π＋π2(m ∈Z )．当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，2m π＋π<θ<2m π＋3π2(m ∈Z )；故θ为第一或第三象限角．∵cos θ<0，∴2k π＋π<θ<2k π＋32π(k ∈Z )，∴θ在第三象限．13．(1)已知角α的终边过点P (1,2)，求5sin α＋52cos α的值； (2)若角α的终边在直线y ＝2x 上，求sin α、cos α的值．解 (1)∵角α的终边上有一点P (1,2)， ∴OP ＝12＋22＝5， sin α＝25，cos α＝15，5sin α＋52cos α＝25·5＋52×15＝52. (2)在角α的终边上任取一点(a,2a )(a ≠0)，则|OP |＝a 2＋2a 2＝5|a |. 当a ＞0时，sin α＝2a5|a |＝255，cos α＝a5|a |＝55；当a ＜0时，sin α＝2a5|a |＝－255，cos α＝a5|a |＝－55.。

2014-2015学年高中数学第一章三角函数双基限时练2(含解析)北师大版必修4

双基限时练(二) 角的概念的推广一、选择题1．30°与－30°的关系是( )A. 旋转的角度都是30°，且旋转方向相同B. 旋转的角度都是30°，30°角是按顺时针方向旋转，而－30°是按逆时针方向旋转C. 旋转的角度都是30°，30°角是按逆时针方向旋转，而－30°是按顺时针方向旋转D. 以上均不正确答案 C2．下列说法：①第一象限角一定不是负角；②第二象限角大于第一象限角；③第二象限角为钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3答案 A3．将－880°化成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式为( )A．－3×360°＋200°B．－2×360°－170°C．－2×360°＋160°D．－3×360°＋190°解析－880°＝－1080°＋200°.答案 A4．下面各组角中，终边相同的是( )A．390° ,690° B．－330° ,750°C．480° ，－420° D．3000° ，－840°解析－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°.答案 B5．已知α为锐角，则角α＋k·180°(k∈Z)所在的象限是( )A．一或二B．一或三C．二或三D．二或四解析当k为偶数，即k＝2n(n∈Z)时，α＋k·180°＝n·360°＋α，又α为锐角，∴α＋k·180°为第一象限角，当k为奇数，即k＝2n＋1(k∈Z)时，α＋k·180°＝(2n＋1)·180°＋α＝360°n＋180°＋α，为第三象限角．答案 B6．终边在直线y ＝－x 上的所有角的集合是( ) A ．{α|α＝k ·360°＋135°，k ∈Z } B ．{α|α＝k ·360°－45°，k ∈Z } C ．{α|α＝k ·180°＋225°，k ∈Z } D ．{α|α＝k ·180°－45°，k ∈Z }解析因为直线过原点，它有两个部分，一部分出现在第二象限，一部分出现在第四象限，所以排除A ，B.又C 项中的角出现在第三象限，故选D.答案 D7．若α与β的终边互为反向延长线，则有( ) A ．α＝β＋180° B ．α＝β－180°C ．α＝－βD ．α＝β＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z解析 α与β的终边互为反向延长线，则两角的终边相差180°的奇数倍，可得α＝β＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z .答案 D 二、填空题8．在集合A ＝{α|α＝120° ＋k ·360° ，k ∈Z }中，属于区间(－360° ,360° )的角的集合是________．解析由α＝k ·360°＋120°，且α∈(－360°，360°)，知，当k ＝0时，α＝120°，当k ＝－1时，α＝－240°. 答案 {－240°，120°}9．时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________．解析 ∵2小时40分＝223小时，∴分针转过的角度是－360°×223＝－960°.答案－960°10．若角α为第三象限角，则α2角所在的象限是________．解析 ∵α为第三象限角，由下图知，α2为二、四象限的角．答案二、四三、解答题11．已知集合A＝{α|30°＋k·180°<α<90°＋k·180°，k∈Z}，集合B＝{β|－45°＋k·360°<β<45°＋k·360°，k∈Z}，求A∩B.解如图，集合A中角的终边在阴影(Ⅰ)内，集合B中角的终边在阴影(Ⅱ)内，因此集合A∩B＝{α|30°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}．12．(1)用集合的形式表示与下图中终边相同的角的集合．(2)如图所示，写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出－950° 12′是否是该集合中的角．解(1)①由图可知，角的终边与30°的终边重合，故所求的角的集合为{α|α＝k·360°＋30°，k∈Z}．②由图可知，两角的终边在一条直线上，在0°～360°内，一角为30°，另一个角为210° ，故所求的角的集合为{α|α＝k·360°＋30°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z}．(2)终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合为{x|120°＋k·360°≤x≤250°＋k·360°，k∈Z}．因为－950°12′＝129°48′－3×360°，120°<129°48′<250°，所以－950°12′是该集合中的角．13．已知α，β为锐角，且α＋β的终边与角－280° 的终边相同，α－β的终边与角670° 的终边相同，求角α，β.解由题意得α＋β＝－280°＋k·360°＝(k－1)·360°＋80°，α－β＝670°＋k·360°＝(k＋2)·360°－50°，(其中k∈Z)又α、β都为锐角∵0°<α＋β<180°，－90°<α－β<90°，∴α＋β＝80°，α－β＝－50°.∴α＝15°，β＝65°.。

【名师一号】2014-2015学年北师大版高中数学必修4双基限时练13]

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