(完整版)一次函数图象的平移及解析式的变化规律

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一次函数图象的平移及解析式的变化规律

我们在研究两个一次函数的图象平行的条件时,曾得出“其中一条直线可以由另外一条直线通过平移得到”的结论,这就涉及到一次函数图象平移的问题. 函数的图象及其解析式,是从“形”和“数”两个方面反映函数的性质,也是初中数学中数形结合思想的重要体现.在平面直角坐标系中,当一次函数的图象发生平移（平行移动）时,与之对应的函数解析式也随之发生改变,并且函数解析式的变化呈现出如下的变化规律:

一次函数()0≠+=k b kx y 的图象平移后其解析式的变化遵循“上加下减，左加右减”的规律:

（1）上下平移,k 值不变,b 值“上加下减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向上平移m 个单位长度,解析式变为()0≠++=k m b kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向下平移m 个单位长度,解析式变为()0≠-+=k m b kx y .

（2）左右平移,k 值不变,自变量x “左加右减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向左平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠++=k b n x k y ,展开得()0≠++=k b kn kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向右平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠+-=k b n x k y ,展开得()0≠+-=k b kn kx y .

注意:

（1）无论一次函数的图象作何种平移,平移前后,k 值不变,b 值改变.设上下平移的单位长度为m ,则b 值变为m b ±;设左右平移的单位长度为n ,则b 值变为kn b ±.

初中数学一次函数与平移、解析式及不等式(含答案)

一次函数与平移、解析式及不等式

例题精讲

平移规律：一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则

模块一一次函数的平移

【例1】在平面直角坐标系中，把直线21y x =-向右平移一个单位长度后，其直线解析式为（）

A ．2y x =

B ．21y x =-

C ．22y x =+

D ．23y x =-

【答案】D ．

【巩固】直线22y x =+向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得到的直线的解析式是．【答案】26y x =-

【巩固】一次函数经过沿y 轴向下平移3个单位，在向右平移2个单位，所得的直线的解析式为()23y x =-，

则原来的一次函数解析式为．

【答案】21y x =+

【例2】直线1l 是正比例函数的图象，将1l 沿y 轴向上平移2个单位得到的直线2l 经过点()11P ，

，那么（）

A ．1l 过第一．三象限

B ．2l 过第二．三．四象限

C ．对于1l ，y 随x 的增大而减小

D ．对于2l ，y 随x 的增大而增大

【答案】C ．

模块二用待定系数法求一次函数解析式

先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字系数法．

用待定系数法求函数解析式的一般步骤： ①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；

②将x y ，的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；

③解方程（组），得到待定系数的值；

④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．

【例3】已知y n +与x m +成正比例，其中m 、n 是常数，当1x =时，1y =-，当1x =-时，7y =-.求y

一次函数图象的变换

一次函数图象的变换（一）——平移

求一次函数图像平移后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住点的坐标变化解决问题。知识点：“已知一个点的坐标和直线的斜率 k，我们就可以写出这条直线的解析式”。我们知道：y =kx+b经过点（0，b)，而（0，b)向上平移m个单位得到点（0，b+m)，向下平移m个单位得到点（0，b－m)，向左平移m个单位得到点（0－m，b)，向右平移m个单位得到点（0+m，b )，直线y =kx+b平移后斜率不变仍然是k，设出平移后的解析式为y =kx+ h,把平移后得到的点的坐标带入这个解析式求出h，就可以求出平移后直线的解析式。下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用：

例1：把直线y=2x-1向右平移1个单位，求平移后直线的解析式。

分析:y=2x-1经过点（0，-1），向右平移1个单位得到（1，-

1）。平移后斜率不变，即k=2，所以可以设出平移后的解析式为y =2x+ h，再将点（1，-

1）代入求出解析式中的h，就可以求出平移后直线的解析式。

解：设平移后的直线解析式为y=2x+h

点（0，-1）在y=2x-1上，向右平移1个单位得到（1，-1），

将点（1，-1）代入y=2x+h中得：

-1=2×1+h

h=-3

所以平移后直线的解析式为y=2x-3

例2：把直线y=2x-1向上平移3个单位，再向右平移1个单位，

求平移后直线的解析式。

分析：点（0，-1）在直线y=2x-

1上，当直线向上平移3个单位，点变为（0，-

1+3），即为（0,2）；再向右平移1个单位后，点（0，2）变为点（0+1，2），即点变为（1,2）。设出平移后的解析式为y =kx+h，根据斜率k =2不变，以及点（1,2）就可以求出h,从而就可以求出平移后直线的解析式。

最全6.7一次函数概念图像的平移对称旋转问题完整版.doc

一次函数图象的平移变换问题的探究

求一次函数图象平移后的解析式是一类重要题型，在各省市中考试题频繁亮相.在一次函数

y kx b =+中常数k 决定着直线的倾斜程度：直线111y k x b =+与直线222y k x b =+平行⇔12k k =.

一、一次函数平移的三种方式：

⑴上下平移：在这种平移中，横坐标不变，改变的是纵坐标也就是函数值y .平移规律是上加下减.

⑵左右平移：在这种平移中，纵坐标不变，改变的是横坐标也就是自变量x .平移规律是左加右减.

⑶沿某条直线平移：这类题目稍有难度.“沿”的含义是一次函数图象在平移的过程中与沿着的那条直线的夹角不变.解题时抓住平移前后关键点坐标的变化. 二、典型例题：

所谓平移变换就是在平面内，

.经过平移后的图形与原来的图形相比大小、形状不变，只是位置发生了变化.简单的点P （x ，y ）平移规律如下：

（1）将点P （x ，y ）向左平移a 个单位，得到P 1（x －a ，y ）（2）将点P （x ，y ）向右平移a 个单位，得到P 2（x+a ，y ）（3）将点P （x ，y ）向下平移a 个单位，得到P 3（x ，y －a ）

（4）将点P （x ，y ）向上平移a 个单位，得到P 4（x ，y+a ）反之也成立.

下面我们来探索直线的平移问题.

【引例1】探究一次函数l ：y=

32x 与1l ：y=32x+2，2l ：y=3

x －2的关系. .

【拓广】：一般地，一次函数y=kx+b 的图象是由正比例函数y=kx 的图象沿y 轴向上（b>0）或向下（b<0）平移b 个单位长度得到的一条直线.

一次函数图象的平移规律

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一次函数图象平移的探究

我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移∣b∣个单位长度得到(当b＞0时，向上平移；

当b＜0时，向上平移)．例如，将直线y=-x向上平移3个单位长度就得到直线y=-x+3，将直线y=-x向下平移1个单位长度就可以得到直线y=-x-1．需要注意的是，函数图象的平移，既可以上下平移，也可以左右平移．这里所说的平移，是指函数图象的上下平移，而非左右平移．

以上平移比较简单，因为它是对最简单的一次函数即正比例函数进行平移．对于一个一般形式的一次函数图象又该怎样进行平移呢？

【探究一】函数图像的上下平移

我们先从一些具体的函数关系开始.

问题1已知直线l：y=2x-3，将直线l向上平移2个单位长度得到直线

l1，求直线l1的解析式．

分析：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线l1的解析式为y=2x+ b，由于直线l1的解析式中只有一个未知数，因此再需一个条件即可．怎样得到这个条件呢？注意到直线l1与两条坐标轴分别交于两点，而直线l1与y轴的交点易求，这样就得到一个条件，于是直线l1的解析式可求．解：设直线l1的解析式为y=2x+b，直线l1交y轴于点(0，-3)，向上平移2个单位长度后变为(0，-1)．把(0，-1)坐标代入y=2x+b，得b=-1，从而直线l1的解析式为y=2x-1．

一次函数图象的平移规律

一次函数图象平移的探究

我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b, 它可以看作由直线y=kx平移I b I个单位长度得到（当b>0时，向上平移；当b v 0时，向上平移）•例如，将直线y=-x向上平移3个单位长度就得到直线y=-x+3,将直线y=-x向下平移1个单位长度就可以得到直线y=-x-i .需要注意的是，函数图象的平移，既可以上下平移，也可以左右平移•这里所说的平移，是指函数图象的上下平移，而非左右平移.

以上平移比较简单，因为它是对最简单的一次函数即正比例函数进行平

移.对于一个一般形式的一次函数图象又该怎样进行平移呢？

【探究一】函数图像的上下平移

我们先从一些具体的函数关系开始.

问题1已知直线I : y=2x-3，将直线I向上平移2个单位长度得到直线I 1, 求直线11的解析式.

分析：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线I i的解

析式为y=2x+ b,由于直线l i的解析式中只有一个未知数，因此再需一个条件即可.怎样得到这个条件呢？注意到直线I i与两条坐标轴分别交于两点，而直线

11与y轴的交点易求，这样就得到一个条件，于是直线11的解析式可求.

解：设直线11的解析式为y=2x+b，直线I i交y轴于点（0，-3），向上平移2 个单位长度后变为（0，-1）.把（0，-1）坐标代入y=2x+b，得b=-1，从而直线11 的解析式为y=2x-1 .

问题2 已知直线I : y=2x-3，将直线I向下平移3个单位长度得到直线I 2, 求直线12的解析式.

一次函数图象的平移及解析式的变化规律

`〓
(1)求一次函数的关系式;
(2)将该函数的图象向上平移 6个单位,求平移后的图象与艿轴的交点的坐标。
22.一丬欠函犭皈
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它的函数关系式。
第 4页
23,在直线 y〓 -:艿 +3上分另刂找出满足下列条件的点,并写出它的坐标: (1)横坐标是-4; (2)和万轴的距离是 2个单位。
17.己知直线y=9-弦》+⒛ -3,若该直线经过原点,则七=
;若该直
线与直线丿=-细 -5平彳亍,贝刂庀〓
.
18,若把直线 y〓 2艿 -3向上平移 3个单位长度 ,得到的图象的表达式是【】
(A)`〓 2石
(B)y〓 2jr-6
(C)`=5艿 -3
(D)y〓 -艿 -3
数学中数形结合思想的重要体现 .在平面直角坐标系中,当一次函数的图象发生
平移 (平行移动 )时 ,与之对应的函数解析式也随之发生改变 ,并且函数解析式的
变化呈现出如下的变化规律 :

2023年中考数学一轮复习课件：一次函数的图象与性质

(4)若一次函数满足自变量x每增加1，函数值就增加2.①该一次函数的表
达式为_y_＝__2_x_－__1___；②该一次函数图象与x轴的交点坐标为__( _1_，__0_)___，
2
与y轴的交点坐标为_(_0_，__－__1_)__；③点C是该一次函数图象上一点，其横
坐标为－
1 2
，若点
D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为__(_12__，__－__2_) __；
考点梳理
考点1 正比例函数的图象与性质
解析式增减性
y＝kx(k为常数，且k≠0)，图象是经过原点(0，0)的一条直线
k>0，从左向右呈上升趋势，y随x k<0，从左向右呈下降趋势，y随x
的增大而__增__大__
的增大而__减__小__
图象(草图)
经过的象限
一、三
二、四
考点2 一次函数的图象与性质
图①
图②
随堂练习
一次函数的图象与性质
1. 已知一次函数y＝mx＋m－3，解答下列问题． (1)若y是关于x的正比例函数，则m的值为__3___； (2)若该一次函数的函数值y随x的增大而减小，则m的值可能是 _－_1____(_答__案__不__唯__一__，__m_＜__0_即__可__)_______； (3)若m＞0，点A(x1，y1)，B(x2，y2)是该一次函数图象上的两点，且x1＞ x2，则y1与y2的大小关系为y1_＞___y2；

一次函数的图像(解析版)

5.4一次函数的图像

一、一次函数的定义

一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）的函数，叫做一次函数.

y kx = （k 为常数，且k ≠0）的函数，叫做正比例函数.其中k 叫做比例系数.

要点：当b ＝0时，y kx b =+即y kx =，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k ，b 的要求，一次函数也被称为线性函数.

二、一次函数的图象与性质

1.函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象是一条直线：

当b ＞0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向上平移b 个单位长度得到的；当b ＜0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向下平移|b |个单位长度得到的. 2.一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象与性质：正比例函数的图象是经过原点（0，0）和点（1，k ）的一条直线；一次函数(0)y kx b k =+≠图象和性质如下：

3. k 、b 对一次函数y kx b =+的图象和性质的影响：

k 决定直线y kx b =+从左向右的趋势，b 决定它与y 轴交点的位置，k 、b 一起决定直线

y kx b =+经过的象限．

4. 两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系可由其系数确定：（1）12k k ≠⇔1l 与2l 相交；（2）12k k =，且12b b ≠⇔1l 与2l 平行；三、待定系数法求一次函数解析式

一次函数图像的平移

函数y＝kx＋b上的每个点x,y

一、向左移动m个单位后,y不变,而x变成了x＋m,函数就变成了y＝kx+m＋b

二、向右移动m个单位后,y不变,而x变成了x－m,函数就变成了y＝kx-m＋b

三、向上移动n个单位后,x不变, y＝kx＋b在b后面加上n,函数就变成了y＝kx＋b+n

四、向下移动n个单位后,x不变, y＝kx＋b在b后面减去n,函数就变成了y＝kx＋b-n

一次函数y=kx+b的规律：“上加下减,左加右减”,上下平移时在整体后面进行加减,左右平移时针对的是x进行加减;例如：y=2x+1向上平移2个单位,向左平移3个单位,可得y=2x+3+1+2,最后函数为y=2x+9．

一次函数y=kx+b的图象是一条直线,它可以看作由直线y=kx平移∣b∣个单位长度得到当b＞0时,向上平移；当b＜0时,向上平移．或者说,直线y=kx平移∣b∣个单位长度得到直线y=kx+b 当b＞0时,向上平移；当b＜0时,向下平移．例如,将直线y=-x向上平移3个单位长度就得到直线y=-x+3,将直线y=-x向下平移1个单位长度就可以得到直线y=-x-1．需要注意的是,函数图象的平移,既可以上下平移,也可以左右平移．这里所说的平移,是指函数图象的上下平移,而非左右平移．

以上平移比较简单,因为它是对最简单的一次函数即正比例函数进行平移．对于一个一般形式的一次函数图象又该怎样进行平移呢

问题1已知直线l

1：y=2x-3,将直线l

向上平移2个单位得到直线l

,求直线l

的解析式

分析：根据“两直线平行,对应函数的一次项系数相等”,可设直线l

一次函数的图像平移对称垂直规律探究

例题：直线y=-2x-3向左平移3个单位得到的解析式为（单位得到的直线解析式为（）
），向右平移6个
一次函数图象平移垂直对称变化
2、一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的垂直规律：
若一次函数直线
y
k
x
1
b1
与直线
y
k
x
2
b2
互相垂直，
则斜率
k
1.k
2
1
，即：k
,wk.baidu.com
1
k
2
互为负倒数。
b1
与
b2之间
没有关系
例题:若一次函数直线 y=3x-2与直线y=kx-5互相垂直，则3×k=-1，则k=-1/3。
一次函数图象平移垂直对称变化
3、一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）对称的规律：（1）关于x轴对称的直线的解析式为-y=kx+b：（2）关于y轴对称的直线的解析式为y=-kx+b （3）关于原点对称的直线的解析式为-y=-kx+b （4）关于y=x对称的直线的解析式为x=ky+b
老张讲数学
一次函数图象平移垂直对称变化
一次函数图象平移垂直对称变化
1、一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的平移规律：
（1）上下平移；直线y=kx+b向上平移n（n＞0）个单位长

一次函数解析式的平移公式

我们要探讨一次函数解析式的平移规律。

首先，我们要理解什么是平移。

平移是一个图形在平面内沿一个方向移动一定的距离，但不改变其形状和大小。

对于一次函数 y = ax + b，我们可以将其视为一个直线。

当这条直线沿 x 轴方向移动时，它的解析式会发生变化。

假设原函数为 y = ax + b，当它沿 x 轴向右平移 k 个单位时，新的函数解析式为 y = a(x - k) + b。

同样地，当它沿 x 轴向左平移 k 个单位时，新的函数解析式为 y = a(x + k) + b。

这就是一次函数解析式的平移公式。

通过这个平移公式，我们可以轻松地找到平移后的函数解析式。

例如，对于函数 y = 2x + 3，如果它向右平移 2 个单位，新的解析式为 y = 2(x - 2) + 3 = 2x - 1。

如果它向左平移 1 个单位，新的解析式为 y = 2(x + 1) + 3 = 2x + 5。

总结：一次函数解析式的平移公式是y = a(x ± k) + b，其中 k 是平移的距离，a 和 b 是原函数的系数。

使用这个公式，我们可以轻松地找到平移后的函数解析式。

一次函数图像的平移

一次函数图像的平移集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

一次函数图像的平移

函数y＝kx＋b上的每个点（x,y）

一、向左移动m个单位后,y不变,而x变成了x＋m，函数就变成了y＝k（x+m）＋b

二、向右移动m个单位后,y不变,而x变成了x－m，函数就变成了y＝k（x-m）＋b

三、向上移动n个单位后,x不变, y＝kx＋b在b后面加上n，函数就变成了y＝kx＋b+n

四、向下移动n个单位后,x不变, y＝kx＋b在b后面减去n，函数就变成了y＝kx＋b-n

一次函数y=kx+b的规律：“上加下减，左加右减”，上下平移时在整体后面进行加减，左右平移时针对的是x进行加减。例如：y=2x+1向上平移2个单位，向左平移3个单位，可得y=2（x+3）+1+2，最后函数为y=2x+9．

一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它可以看作由直线y=kx平移∣b∣个单位长度得到(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向上平移)．或者说，直线y=kx平移∣b∣个单位长度得到直线y=kx+b (当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移)．例如，将直线y=-x向上平移3个单位长度就得到直线y=-x+3，将直线y=-x向下平移1个单位长度就可以得到直线y=-x-1．需要注意的是，函数图象的平移，既可以上下平移，也可以左右平移．这里所说的平移，是指函数图象的上下平移，而非左右平移．

以上平移比较简单，因为它是对最简单的一次函数即正比例函数进行平移．对于一个一般形式的一次函数图象又该怎样进行平移呢

一次函数的平移与性质 ppt课件

2020/4/12
比较这两个函数的解析式，容易得出：一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线 y=kx平移∣b∣个单位长度而得到（当b>0 时，向___平移；当b<0时，向___平移）。
2020/4/12
把一次函数y=x+2,y=x-2的图象与y=x比较，发现：
2020/4/12
y y=2x+1 y=2x
3 y=2x－1
2
1.
-2 -1 -1.O 1 2 x
-2
观察得出：这三条直线都是从左到右逐渐__上__升___,即y随x的增大而__增_大____，但直线y= 2x经过第___一_三____象限，直线y= 2x+1经过第__一__二__三___象限, 直线y= 2x-1经过第__一__三__四___象限.
一次函数y=kx+b(k≠0)的性质：
y y=2x+1
y=-x+4 y=-x
y=2x y=2x-1
y=-x-4
o
x
与k有关 y
与k有关
o
x
当_k__＞__0_时，图象从左当__k_＜__0_时，图象从左
在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象
1 y 1 x
2
y 1Hale Waihona Puke Baidu2 2