2017年福建省三明一中高二上学期数学期中试卷和解析(理科)
福建省三明市高二上学期期中数学试卷
福建省三明市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）设a=，M={x|x≤}，给出下列关系：①a M；②M{a}；③{a}∈M；④{Ф}{a}；⑤2a M；其中正确的关系式共有（）A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个2. （2分） (2016高二上·遵义期中) 某校有高一学生650人，高二学生550人，高三学生500人，现用分层抽样抽取样本为68人的身高来了解该校学生的身高情况，则高一，高二，高三应分别有多少学生入样（）A . 26，21，20B . 26，22，20C . 30，26，20D . 30，22，203. （2分）设等差数列的前n项和为,若,,,则当取最小值时,n等于（）A . 8B . 7C . 6D . 94. （2分）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为A .B .C .D .5. （2分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（）A . （2，4）B . （﹣∞，2]C . （﹣∞，4]D . [4，+∞）6. （2分）已知直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：mx﹣y=0平行，则实数m的取值为（）A . -B .C . 2D . -27. （2分）(2017·运城模拟) 变量x，y满足约束条件，若使z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是（）A . {﹣3，0}B . {3，﹣1}C . {0，1}D . {﹣3，0，1}8. （2分）函数y=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）的图象（）A . 关于原点对称B . 关于直线y=﹣x对称C . 关于y轴对称D . 关于直线y=x对称9. （2分） (2016高二上·射洪期中) 曲线y=1+ 与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高一下·新余期末) 如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A . 0B . 2C . 4D . 1411. （2分）若将函数f（x）=2sinxcosx﹣2sin2x+1的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A .B .C .D .12. （2分）长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·揭阳期中) 函数f（x）=ln（x﹣3）的定义域是________．14. （1分） Sn为等比数列{an}的前n项和，满足Sn=2an﹣1，则{an}的公比q=________15. （1分） (2018高一下·安庆期末) 如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为________.16. （1分） (2016高一下·大丰期中) 从直线x﹣y+3=0上的点向圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0引切线，则切线长的最小值为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）(2017·武汉模拟) 已知数列{an}满足a0∈R，an+1=2n﹣3an ，（n=0，1，2，…）（1）设bn= ，试用a0，n表示bn（即求数列{bn}的通项公式）；（2）求使得数列{an}递增的所有a0的值．18. （5分）如图，在平面四边形ABCD中，AB=5，∠CBD=75°，∠ABD=30°，∠CAB=45°，∠CAD=60°．（I）求AC的长；（Ⅱ）求CD的长．19. （5分）在某幼儿园的美术课上，老师带领小朋友用水彩笔为本子上两个大小不同的气球涂色，要求一个气球只涂一种颜色，两个气球分别涂不同的颜色．小朋友豆豆可用的有暖色系水彩笔红色、橙色各一支，冷色系水彩笔绿色、蓝色、紫色各一支．（1）豆豆从他可用的五支水彩笔中随机取出两支按老师要求给气球涂色，求两个气球同为冷色的概率．（2）一般情况下，老师发出开始指令到涂色活动全部结束需要10分钟，豆豆至少需要2分钟完成该项任务．老师发出开始指令1分钟后随时可能来到豆豆身边查看涂色情况．求当老师来到豆豆身边时，豆豆已经完成任务的概率．20. （15分） (2016高二上·平原期中) 在单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，如图建立空间直角坐标系．（1）求证：B1C∥平面ODC1；（2）求异面直线B1C与OD夹角的余弦值；（3）求直线B1C到平面ODC1的距离．21. （5分）已知二次函数f（x）=x2+2ax+2a+1，若对任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥1恒成立，求a的范围．22. （10分） (2017高一下·资阳期末) 已知直线l经过直线l1：2x﹣y﹣1=0与直线l2：x+2y﹣3=0的交点P，且与直线l3：x﹣y+1=0垂直．（1）求直线l的方程；（2）若直线l与圆C：（x﹣a）2+y2=8相交于P，Q两点，且，求a的值．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9、答案：略10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、。
2017-2018学年福建省三明市尤溪县高二(上)数学期中试卷带解析答案(理科)
2017-2018学年福建省三明市尤溪县高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．众数B．平均数C．中位数D．方差2．（5分）设a∈R，则a＞1是＜1的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要3．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A．56 B．60 C．120 D．1404．（5分）用秦九韶算法求多项式f（x）=x4+2x3+x2﹣3x﹣1，当x=2时的值，则v3=（）A．4 B．9 C．15 D．295．（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知A（﹣1，0）和圆x2+y2=2上动点P，动点M满足2=，则点M的轨迹方程是（）A．（x﹣3）2+y2=1 B．（x+）2+y2=1 C．（x+）2+y2=D．x2+（y+）2= 7．（5分）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．恰好有一个黑球与恰好有两个红球B．至少有一个黑球与至少有一个红球C．至少有一个黑球与都是黑球D．至少有一个黑球与都是红球8．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0 9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．11．（5分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣bx+1，设（a，b）是区域内的随机点，则函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率是（）A．B．C．D．12．（5分）若椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|等于（）A．m﹣a B． C．m2﹣a2D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．14．（5分）命题：“若x+y≠3，则x≠1或y≠2”为命题（填“真”或“假”）．15．（5分）已知变量x，y具有线性相关关系，它们之间的一组数据如表所示，若y关于x的线性回归方程为=1.3x﹣1，则m=；16．（5分）若以原点为圆心，椭圆的焦半径c为半径的圆与该椭圆有四个交点，则该椭圆的离心率的取值范围为：．三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17．（10分）设命题p：对任意实数x，不等式x2﹣2x+m≥0恒成立；命题q：方程表示焦点在x轴上的双曲线．（Ⅰ）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若命题：“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．18．（12分）某校100位学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的中位数；（3）若这100名学生的语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．（分数可以不为整数）19．（12分）双曲线E与椭圆=1有公共焦点，且离心率为．（Ⅰ）求双曲线E的方程；（Ⅱ）若斜率为1的直线l交E于A、B两点，且|AB|=4，求l方程．20．（12分）某班级将从甲、乙两位同学中选派一人参加数学竞赛，老师对他们平时的5次模拟测试成绩（满分：100分）进行了记录，其统计数据的茎叶图如图所示，已知甲、乙两位同学的平均成绩都为90分．（Ⅰ）求出a，b的值；（Ⅱ）分别计算这两组数据的方差，并根据统计学知识，请你判断选派哪位学生参加合适？（Ⅲ）从甲同学的5次成绩中任取两次，若两次成绩的平均分大于90，则称这两次成绩为“优秀组合”，求甲同学的两次成绩为“优秀组合”的概率．21．（12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得，，，，．（Ⅰ）请用相关系数r对SKIPIF 1＜0与x的线性回归模型拟合关系的强弱加以说明；（Ⅱ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，参考数据：．22．（12分）已知动圆的圆心M与圆外切，同时与圆内切．（Ⅰ）求动圆的圆心M的轨迹方程E；（Ⅱ）若过点A（0，2）的直线l与曲线E交于不同的两点M、N（M在A、N 之间），试求△OAM与△OAN面积之比的取值范围．2017-2018学年福建省三明市尤溪县高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．众数B．平均数C．中位数D．方差【解答】解：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90众数分别为88，90，不相等，A错．平均数86，88不相等，B错．中位数分别为86，88，不相等，C错A样本方差S2=[（82﹣86）2+2×（84﹣86）2+3×（86﹣86）2+4×（88﹣86）2]=4，B样本方差S2=[（84﹣88）2+2×（86﹣88）2+3×（88﹣88）2+4×（90﹣88）2]=4，D正确故选：D．2．（5分）设a∈R，则a＞1是＜1的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：a＞1时，由反比例函数的图象可知，反之若，如a=﹣1，不满足a＞1，所以a＞1是的充分不必要条件故选：A．3．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A．56 B．60 C．120 D．140【解答】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，故自习时间不少于22.5小时的频数为：0.7×200=140，故选：D．4．（5分）用秦九韶算法求多项式f（x）=x4+2x3+x2﹣3x﹣1，当x=2时的值，则v3=（）A．4 B．9 C．15 D．29【解答】解：由秦九韶算法的规则f（x）=x4+2x3+x2﹣3x﹣1=（（（x+2）x+1）x﹣3）x﹣1，∴v3=（（x+2）x+1）x﹣3又x=2，可得v3=（（2+2）2+1）2﹣3=15故选：C．5．（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数n==10，甲被选中包含的基本事件的个数m==4，∴甲被选中的概率p===．故选：B．6．（5分）已知A（﹣1，0）和圆x2+y2=2上动点P，动点M满足2=，则点M的轨迹方程是（）A．（x﹣3）2+y2=1 B．（x+）2+y2=1 C．（x+）2+y2=D．x2+（y+）2=【解答】解：设点M的坐标为（x，y），点P（m，n），则m2+n2=2 ①．∵动点M满足2=，∴2（﹣1﹣x，﹣y）=（m+1，n）∴m=﹣2x﹣3，n=﹣2y代入①，可得（﹣2x﹣3）2+（﹣2y）2=2∴（x+）2+y2=故选：C．7．（5分）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．恰好有一个黑球与恰好有两个红球B．至少有一个黑球与至少有一个红球C．至少有一个黑球与都是黑球D．至少有一个黑球与都是红球【解答】解：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，在A中，恰好有一个黑球与恰好有两个红球是互斥而不对立事件，故A正确；在B中，至少有一个黑球与至少有一个红球能同时发生，不是互斥事件，故B 错误；在C中，至少有一个黑球与都是黑球能同时发生，不是互斥事件，故C错误；在D中，至少有一个黑球与都是红球是对立事后，故D错误．故选：A．8．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，故选：D．9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．B．C．D．【解答】解：模拟执行程序框图，可得s=0，k=0满足条件k＜8，k=2，s=满足条件k＜8，k=4，s=+满足条件k＜8，k=6，s=++满足条件k＜8，k=8，s=+++=不满足条件k＜8，退出循环，输出s的值为．故选：D．10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选：D．11．（5分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣bx+1，设（a，b）是区域内的随机点，则函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：关于x的二次函数f（x）=ax2﹣bx+1，在区间[1，+∞）上是增函数，则，即；满足条件的如图阴影部分，直线x+y﹣8=0与2x﹣y=0的交点为（，），已知区域面积为×8×8=32，阴影部分面积为×8×=，所以函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率是P==．故选：C．12．（5分）若椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|等于（）A．m﹣a B． C．m2﹣a2D．【解答】解：∵椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，∴|PF1|+|PF2|=2，|PF1|﹣|PF2|=2，|PF1|•|PF2|==m﹣a．故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生．【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，故答案为：60．14．（5分）命题：“若x+y≠3，则x≠1或y≠2”为真命题（填“真”或“假”）．【解答】解：“当x=1且y=2时，x+y=3”是真命题，∴原命题是真命题，故答案为：真15．（5分）已知变量x，y具有线性相关关系，它们之间的一组数据如表所示，若y关于x的线性回归方程为=1.3x﹣1，则m= 3.1；【解答】解：由题意，=2.5，代入线性回归方程为=1.3x﹣1，可得=2.25，∴0.1+1.8+m+4=4×2.25，∴m=3.1．故答案为3.1．16．（5分）若以原点为圆心，椭圆的焦半径c为半径的圆与该椭圆有四个交点，则该椭圆的离心率的取值范围为：（，1）．【解答】解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），以原点为圆心，椭圆的焦半径c为半径的圆方程为x2+y2=c2，联立两方程，可得y2=，x2=，由题意可得x2＞0，y2＞0，结合a＞b＞0，a＞c＞0，可得c2＞b2，即有c2＞a2﹣c2，即为a＜c，则离心率e=＞，由0＜e＜1，可得＜e＜1．故答案为：（，1）．三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17．（10分）设命题p：对任意实数x，不等式x2﹣2x+m≥0恒成立；命题q：方程表示焦点在x轴上的双曲线．（Ⅰ）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若命题：“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题，由，得m＞3；∴当m＞3时，q为真命题．…（3分）（Ⅱ）∵不等式x2﹣2x+m≥0恒成立，∴△=4﹣4m≤0，∴m≥1，∴当m≥1时，p为真命题．…（6分）∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，∴p，q一真一假；…（7分）①当p真q假；②当p假q真；综上，m的取值范围是[1，3]．…（10分）18．（12分）某校100位学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的中位数；（3）若这100名学生的语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．（分数可以不为整数）【解答】解：（1）由频率分布直方图中小矩形的面积和为1，得：0.2+0.3+0.4+20a=1，解得a=0.005．（2）区间[50，70）的概率和为0.05+0.4=0.45，则区间[70，80）中还需拿出概率0.05的区域才到达概率为0.5，即区间[70，80]要拿出的区域，故中位数为．（3）这100名学生的语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示：根据上表知：[50，90）外的人数为：100﹣（5+20+40+25）=10（人）．19．（12分）双曲线E与椭圆=1有公共焦点，且离心率为．（Ⅰ）求双曲线E的方程；（Ⅱ）若斜率为1的直线l交E于A、B两点，且|AB|=4，求l方程．【解答】解：（Ⅰ）椭圆=1，设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），由c2=25﹣16=9，得c=3，又，∴a=2，∴b2=c2﹣a2=5．∴E：﹣=1；（Ⅱ）设直线l：y=x+t，由，得x2﹣8tx﹣4（t2+5）=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴△=80（t2+1）＞0，∴，∴，∴；∴直线方程为x﹣y+=0或x﹣y﹣=0．20．（12分）某班级将从甲、乙两位同学中选派一人参加数学竞赛，老师对他们平时的5次模拟测试成绩（满分：100分）进行了记录，其统计数据的茎叶图如图所示，已知甲、乙两位同学的平均成绩都为90分．（Ⅰ）求出a，b的值；（Ⅱ）分别计算这两组数据的方差，并根据统计学知识，请你判断选派哪位学生参加合适？（Ⅲ）从甲同学的5次成绩中任取两次，若两次成绩的平均分大于90，则称这两次成绩为“优秀组合”，求甲同学的两次成绩为“优秀组合”的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据题意可知：，，解得a=3，b=8．（Ⅱ），，∵，，∴甲、乙两生的整体水平相当，乙生更稳定一些，故应选派乙参加更合适．（Ⅲ）设从甲同学的5次成绩中任取两次得基本事件有：（87，88），（87，90），（87，92），（87，93），（88，90），（88，92），（88，93），（90，92），（90，93），（92，93），共计10个，而两次成绩的平均分大于90，即“优秀组合”包含的基本事件有：（88，93），（90，92），（90，93），（92，93）共计4个，所以甲同学的两次成绩为“优秀组合”的概率为．21．（12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得，，，，．（Ⅰ）请用相关系数r对SKIPIF 1＜0与x的线性回归模型拟合关系的强弱加以说明；（Ⅱ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，参考数据：．【解答】解：（Ⅰ）依题意，n=10，，…（1分），…（2分）∴相关系数=；因为y与x的相关系数近似为0.98，说明y与x的线性相关相当高，由此知可以用线性回归模型拟合y与x的关系；…（5分）（Ⅱ）依题意，=720﹣10×82=80，…（6分）=184﹣10×8×2=24，…（7分）∴，…（8分）=2﹣0.3×8=﹣0.4，…（9分）故所求的回归方程为；…（10分）（Ⅲ）利用回归方程，计算x=7时，（千元）；说明某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄为1.7千元…（12分）22．（12分）已知动圆的圆心M与圆外切，同时与圆内切．（Ⅰ）求动圆的圆心M的轨迹方程E；（Ⅱ）若过点A（0，2）的直线l与曲线E交于不同的两点M、N（M在A、N 之间），试求△OAM与△OAN面积之比的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设动圆M、圆O1、圆O2的半径分别为r、r1、r2，则|MO1|=r1+r，|MO2|=r2﹣r，∴，所以M的轨迹是以O1、O2为焦点长轴长2a=4的椭圆，∴，a2=4，b2=4﹣3=1，∴．…（4分）（Ⅱ）依题，直线l的斜率存在且不为零，设l方程为y=kx+2（k≠0），…（5分）设M（x1，y1），N（x2，y2），由得（1+4k2）x2+16kx+12=0，由△=256k2﹣48（1+4k2）＞0，得；，…（8分）令，∵x 1x2＞0，∴x1，x2同号，∴∴x1=λx2，∴，∴，∴，∵，∴，解得，∵0＜λ＜1，∴；所以△OAM与△OAN面积之比的取值范围是．…（12分）。
【精品】2017学年福建省三明一中高二上学期期中数学试卷和解析(理科)
2017学年福建省三明一中高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上．
1．（5分）命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是（）
A．∃x∈R，2x＞0 B．∃x∈R，2x≤0 C．∀x∈R，2x＜0 D．∀x∈R，2x≤0
2．（5分）现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．
②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．
③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员2名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．
较为合理的抽样方法是（）
A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
3．（5分）抛物线y=﹣x2的焦点与准线的距离为（）
A．B．C．4 D．2
4．（5分）阅读如右图所示的程序框图，则输出的值是（）
A．6 B．18 C．27 D．124。
福建省三明市高二上学期期中数学试卷(理科)
福建省三明市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若=，则cosB=（）A . -B .C . -D .2. （2分）设函数f（x）定义如表，数列{xn}满足x0=5，且对任意的自然数均有xn+1=f（xn），则x2011=（）x12345f（x）41352A . 1B . 2C . 4D . 53. （2分）各项都为正数的等比数列的公比成等差数列，则= （）A .B .C .D .4. （2分）等差数列的前n项和分别为，且，则（）A .B .C .D .5. （2分）(2019·台州模拟) 已知，则“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）定义设实数满足约束条件则的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）已知，则的值（）A . 大于0B . 小于0C . 不小于0D . 不大于08. （2分）在中,若,则的形状是（）A . 直角三角形B . 锐角三角形C . 钝角三角形D . 不能确定9. （2分） (2019高二上·会宁期中) 设是等差数列的前项和，若，则（）A .B .C . 2D .10. （2分）已知等差数列的前n项和为，则数列的前100项和为（）A .B .C .D .11. （2分）半径为4的球面上有A、B、C、D四点，且AB、AC、AD两两垂直，则，的面积之和的最大值为（）A . 8B . 12C . 16D . 3212. （2分）设函数为奇函数，则（）A . 0B . 1C .D . 5二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）设数列{an}的前n项和Sn=n2+n，则a10的值为________．14. （1分） (2019高二下·蕉岭月考) 若变量，满足约束条件，则点到点的最小距离为________.15. （1分）若关于x的不等式ax2+4ax+3≤0的解集为空集，则实数a的取值范围是________16. （1分）(2017·江西模拟) △ABC中，sin（A﹣B）=sinC﹣sinB，D是边BC的一个三等分点（靠近点B），记，则当λ取最大值时，tan∠ACD=________．三、解答题： (共6题；共65分)17. （10分） (2018高一下·三明期末) 已知函数 .（1）当时，解关于的不等式；（2）若关于的不等式解集为，且不等式恒成立，求实数的取值范围.18. （10分）(2020·泉州模拟) 中，的面积为 .（1）求（2）若为的中点，分别为边上的点（不包括端点），且，求面积的最小值.19. （10分）(2018·栖霞模拟) 已知正项数列的前项和为，且， .（1）求数列的通项公式；（2）求的值.20. （15分） (2016高二上·和平期中) 设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn ，满足4Sn=an+12﹣4n﹣1，n∈N* ，且a2 ， a5 ， a14构成等比数列．（1）证明：a2= ；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．21. （10分）(2018·银川模拟) 已知椭圆：的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为 .（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.22. （10分）(2017·安庆模拟) 已知数列{an}中，a1=2，a2=4，设Sn为数列{an}的前n项和，对于任意的n＞1，n∈N* ， Sn+1+Sn﹣1=2（Sn+1）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn= ，求{bn}的前n项和Tn．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
福建省三明市清流一中2017届高三上学期第二阶段(期中)考试数学理试卷 含答案
2016～2017学年第一学期第二阶段考试试卷高三理科数学（考试时间：120分钟，总分:120分）一．选择题：（共12小题，每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
)1.若集合{}234,,,A i i i i = （i 是虚数单位），则满足集合A 的充要条件是( )A ．{}1,1-B ．-i,-1C ．-i,-1,1,iD ．φ2。
已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2|680B x x x =-+≤,则()R C A B =（ ）A 。
{}|0x x ≤ B. }42|{<<x x C 。
{}|024x x x ≤<>或 D 。
φ3。
已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===,且(23)//a b c →→→-，则实数k =（ ） A 。
9-2B 。
0C 。
3D 。
1524、设曲线()sin x f x x e 在点(0,1）处的切线方程为()A 。
220xy B.330x y C. 310x yD.210x y5、已知扇形的周长为4，面积为1，则圆心角为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………高二（________）班 姓名 座号 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上,行驶300m 后到 达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30，则 此山的高度为（ ） m.A ．506B ． 150C ．1006D ．75(62)7。
福建省三明市高二上学期期中数学试卷(理科)
福建省三明市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二下·天津月考) 已知，，若，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高一下·老河口期中) 如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OD=3，点P为△BCD内（含边界）的动点，设=α +β （α，β∈R），则α+β的最大值等于（）A .B .C .D . 13. （2分） (2019高二上·钦州期末) 已知椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，是直角三角形，则的面积为（）A .B . 或4C .D . 或44. （2分）(2018·台州模拟) 已知双曲线的一焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·铜仁模拟) 椭圆 + =1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A .B .C .D .6. （2分）设抛物线y2=mx(m>0)的准线到直线x=1的距离为3，则抛物线的焦点坐标为（）A .B . （2，0）C .D . （1，0）7. （2分）下列双曲线中与椭圆有相同焦点的是（）A .B .C .D .8. （2分）是双曲线的两个焦点, P在双曲线上且,则的面积为（）A . 1B .C . 2D .9. （2分） (2017高二下·温州期中) 如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是平面A1BC1内一动点，且满足|PD|+|PB1|=6，则点P的轨迹所形成的图形的面积是（）A . 2πB .C .D .10. （2分） (2017高二上·哈尔滨月考) 椭圆的焦点为，过点作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦长为，的周长为20，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .11. （2分）双曲线与抛物线相交于A,B两点，公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·昌平模拟) 设点A（0，1），B（2，﹣1），点C在双曲线M：﹣y2=1上，则使△ABC 的面积为3的点C的个数为（）A . 4B . 3C . 2D . 1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）双曲线﹣ =1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣）2+y2=1相切，则此双曲线的离心率为________．14. （1分）已知双曲线的离心率为2，那么该双曲线的渐近线方程为________15. （1分） (2015高三上·唐山期末) 如图，半径为1的圆O上有定点P和两动点A、B，AB= ，则的最大值为________．16. （1分） (2015高二上·淄川期末) 已知等差数列{an}的公差d不等于0，Sn是其前n项和，给出下列命题：①给定n（n≥2，且n∈N*），对于一切k∈N*（k＜n），都有an﹣k+an+k=2an成立；②存在k∈N* ，使得ak﹣ak+1与a2k+1﹣a2k﹣3同号；③若d＞0．且S3=S8 ，则S5与S6都是数列{Sn}中的最小项④点（1，），（2，），（3，），…，（n，）（n∈N*），…，在同一条直线上．其中正确命题的序号是________．（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分）(2012·湖北) 设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（2）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．18. （15分） (2019高二上·湖南期中) 如图，在三棱柱中，底面，、、、分别为，、、，的中点，且，， .（1）证明：平面；（2）证明：；（3）求直线与平面所成角的正弦值.19. （10分）(2019·全国Ⅱ卷理) 如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.20. （10分） (2016高二下·重庆期中) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）与y轴的交点为A，B（点A 位于点B的上方），F为左焦点，原点O到直线FA的距离为 b．（1）求椭圆C的离心率；（2）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM与直线AN的交点G在定直线上．21. （10分）(2017·唐山模拟) 已知椭圆C的右焦点F（1，0），过F的直线l与椭圆C交于A，B两点，当l垂直于x轴时，|AB|=3．（1）求椭圆C的标准方程；（2）在x轴上是否存在点T，使得为定值？若存在，求出点T坐标，若不存在，说明理由．22. （10分）已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t是参数)．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝，求直线的倾斜角α的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
福建省三明市第一中学2016-2017学年高二上学期理科数学周测试题7
三明一中高二理科数学周测卷（七）6、 7、 8、 一、选择题（每题8分）1、已知空间三点的坐标为A （1，5，-2），B （2，4，1），C （p ，3，q+2），若A ，B ，C 三点共线，则p+q=（ ）．A. 3B. 4C. 5D. 62.若函数()f x 在x a =处的导数为m ，那么()()limx f a x f x x x ∆→+∆--∆=∆A. mB. 2 D. m - 3.已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ,都有1133OM xOA OB OC =++,则x 的值为（ ）A. 1B. 0C. 34. 如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角为 ( ) A.30° B ．45°C ．60°D ．90°5．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为 ( )A.12 B ．22C.13D ．16二、填空题（每题8分） 6．已知()1f x x=,则()1f '________. 7．已知==-(2,1,3),(4,2,x)a b ，且⊥a b ，则-a b = . 8.正四棱锥S －ABCD 中，SA ＝AB ＝2，则直线AC 与平面SBC 所成角的正弦值为 .三、解答题（每小题18分）9、已知抛物线21y x =+，（1）若抛物线在点P 处的切线的倾斜角为135，求点P 的坐标; （2）求抛物线在横坐标为1的点处的切线方程.10、如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，AC =2PA =,E 是PC 上的一点，2PE EC =。
三明一中2016-2017学年高二上学期第一次月考数学试卷(理科) 含解析
2016-2017学年福建省三明一中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上．1．下列关系中，属于相关关系的是（）A．正方形的边长与面积B．农作物的产量与施肥量C．人的身高与眼睛近视的度数D．哥哥的数学成绩与弟弟的数学成绩2．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P33．某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如图所示,甲、乙的平均数分别为为、,方差分别为s甲2,s乙2，则（）A．＞，s甲2＞s乙2B．＞,s甲2＜s乙2C．＜,s甲2＞s乙2D．＜，s甲2＜s乙24．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与至少有一个红球C．恰好有一个黑球与恰好有两个红球D．至少有一个黑球与都是红球5．某射击运动员进行打靶练习,已知打十枪每发的靶数为9，10，7,8，10,10，6，8，9,7，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（) A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a6．某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（)A．9 B．18 C．27 D．367．执行如图程序中，若输出y的值为1，则输入x的值为（）A．0 B．1 C．0或1 D．﹣1，0或18．已知一组数据x1，x2，…，x n的平均值为2，方差为1，则2x1+1,2x2+1,…，2x n+1平均值方差分别为（）A．5,4 B．5，3 C．3，5 D．4，59．如图程序框图输出的结果为（)A．52 B．55 C．63 D．6510．设l为直线,α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（) A．若l∥α,l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β,则α∥βC．若l⊥α，l∥β,则α∥βD．若α⊥β,l∥α，则l⊥β11．已知圆C：x2+y2=12，直线l:4x+3y=25，圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为( ）A．B． C． D．12．对于集合{a1，a2，…，a n}和常数a0，定义:w=为集合｛a1，a2，…，a n｝相对于a0的“正弦方差"，则集合｛，，｝相对a0的“正弦方差”为（）A．B． C．D．二、填空题：本大题共4小题中，每小题5分，共20分。
福建省三明市第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
三明一中2017-2018学年度上学期高二学段考试理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 某学校为了调查高一年级的200名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行抽查；第二种由教务处对该年级的学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查，则这两种抽样的方法依次是（）A. 分层抽样，简单随机抽样B. 简单随机抽样，分层抽样C. 分层抽样，系统抽样D. 简单随机抽样，系统抽样【答案】D【解析】试题分析：解：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行调查；这是一种简单随机抽样，第二种由教务处对该年级的文科学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查，对于个体比较多的总体，采用系统抽样，故选D考点：简单随机抽样点评：本题考查简单随机抽样和系统抽样，对于同一总体采取的两种不同抽样方式，注意两者的相同点和不同点，得到的样本可能不同，但不管用什么抽样方式，每个个体被抽到的概率相等2. 在一袋内分别有红、白、黑球3,2,1个，从中任取2个，则互斥不对立的两个事件是（）A. 至少有一个白球；都是白球B. 至少有一个白球；红、黑球各一个C. 至少有一个白球；至少有一个红球D. 恰有一个白球；一个白球一个黑球【答案】B【解析】选项A，“至少有一个白球”说明有白球，白球的个数可能是1或2，而“都是白球”说明两个全为白球，这两个事件可以同时发生，故A是不是互斥的；选项B，“至少一个白球”发生时，“红，黑球各一个”不会发生，故B互斥，当然不对立；选项C，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生，故不互斥；选项D，“恰有一个白球”，表明黑球个数为0或1，这与“一个白球一个黑球”不互斥；本题选择B选项.3. “点到两坐标轴距离相等”是“点在曲线上”的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】点到两坐标轴距离相等，则点M的轨迹方程为：，本题选择C选项.4. 双曲线的焦距是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：双曲线中，则，焦距为.本题选择C选项.5. 执行如图所示的程序，为使输出的值小于91，则输入的正整数的最小值为（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】D【解析】依照题中的语句执行程序，数据初始化：，第一次循环：，此时不满足的值小于，继续执行循环语句，第二次循环：，此时满足的值小于，应跳出循环程序，据此可得：输入的正整数的最小值为2.本题选择D选项.6. 已知一组数据，4,2,5,3的平均数为，且、是方程的两根，则这组数据的方差为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意，可得，化简可得m=5n-14，①因为m，n是方程x2-4x+3=0的两根，所以m+n=4，②联立①②解得，所以.本题选择B选项.点睛：平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．7. 古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左一次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A. 336B. 510C. 1326D. 3603【答案】B【解析】试题分析：由题意满七进一，可得该图示为七进制数, 化为十进制数为,故选B.考点：1、阅读能力及建模能力；2、进位制的应用.8. 如图，是平面的斜线段，为斜足，若点在平面内运动，使得的面积为定值，则动点的轨迹是（）A. 圆B. 一条直线C. 椭圆D. 两条平行直线【答案】C【解析】本题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题，因为三角形面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线AB的距离为定值，分析可得，点P在以AB为轴线的圆柱面与平面α的交线上，且α与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆；本题选择B选项.9. 集合和，分别从集合，中随机取一个数作为和，则方程表示焦点落在轴上的椭圆的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】从集合，中随机取一个数作为和，共有种取法，方程即，它表示焦点落在轴上的椭圆，则：，据此可得满足题意时应有：，即满足题意的数对包括：，其中横坐标表示的值，纵坐标表示的值，结合古典概型计算公式可得：方程表示焦点落在轴上的椭圆的概率是.本题选择A选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.10. 已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：已知两定点，，如果动点满足，设点的坐标为，则，即，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以点的轨迹所包围的图形的面积等于.故选B．考点：（1）曲线的轨迹方程；（2）圆的面积．【方法点晴】考查两点间距离公式及圆的性质及曲线的轨迹方程，数基础题型是训练基础知识的好题，可设点的坐标为，用平面内两点间的距离公式坐标表示、，代入等式，化简整理即得点的轨迹方程为，可得该曲线是以为圆心，为半径的圆，然后根据轨迹确定其面积为.11. 已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设双曲线的标准方程为，由题意知c=3,a2+b2=9，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有：，两式作差得：，又AB的斜率是，所以将4b2=5a2代入a2+b2=9得：a2=4,b2=5.所以双曲线的标准方程是，则双曲线的渐近线方程为.本题选择A选项.12. 已知，是椭圆：（）的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且点为线段的中点，则（其中为椭圆的离心率）的最小值A. B. C. D.【答案】B【解析】连接PF1，OQ，由OQ为中位线,可得OQ∥PF1,|OQ|=|PF1|，圆x2+y2=b2,可得|OQ|=b,即有|PF1|=2b，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，可得|PF2|=2a−2b，又OQ⊥PF2,可得PF1⊥PF2，即有(2b)2+(2a−2b)2=(2c)2，即为b2+a2−2ab+b2=c2=a2−b2，化为2a=3b,即b=a，，则当且仅当,即a=1时,取得最小值.本题选择B选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 高二某班有学生人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为__________．【解析】∵高二某班有学生56人，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，∴样本组距为56÷4=14，则5+14=19，即样本中还有一个学生的编号为19.14. 程序框图如图所示，若输出的，那么输入的为__________．【答案】或【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值，当x＜0时，y=x+3=0，∴x=-3满足要求，当x=0时，y=0，∴x=0满足要求，当x＞0时，y=x+5，∴x=-5，不满足要求，故输入的x的值为：-3或0.15. 双曲线（，）的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】结合双曲线的标准方程可得双曲线的渐近线方程为，据此有：，则：.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式e＝；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．16. 有下列四种说法：①命题“”为假，则、至少一个为假；②命题“一次函数都是单调函数”的否定是“一次函数都不是单调函数”；③动点到点与到点的距离之和为2，则点的轨迹是焦点在轴上的椭圆；④命题“若直线与双曲线相切，则该直线与双曲线只有一个公共点”的逆命题是真命题．其中正确的有__________．（填写序号）【答案】①【解析】由真值表可知：“”为假，则、至少一个为假，说法①正确；命题“一次函数都是单调函数”的否定是“一次函数不都是单调函数”，说法②错误；动点到点与到点的距离之和为2，则点的轨迹是以A,B为端点的直线，说法③错误；命题“若直线与双曲线相切，则该直线与双曲线只有一个公共点”的逆命题：“若直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线相切”是假命题，有可能直线平行于双曲线的渐近线，说法④错误；综上可得四种说法中，正确的有①.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设：实数满足，其中；：实数满足，且是的必要不充分条件，求的取值范围．【答案】【解析】试题分析：由题意可得：令（）,,由题意可得，据此分类讨论可得的取值范围是．试题解析：令（）,,∵是的必要不充分条件，∴，且，即，且，则，∴或∴，故的取值范围是．18. 某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一个居民月用电量标准，用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为此，政府调查了100户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图所示．（1）求直方图中的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）如果当地政府希望使左右的居民每月的用电量不超出标准，根据样本估计总体的思想，你认为月用电量标准应该定为多少合理？【答案】（1）（2）众数230，中位数224（3）【解析】试题分析：(1)利用频率分布直方图的面积为1列出方程，求解方程可得直方图中的值是．(2)由频率分布直方图中最高部分可得月平均用电量的众数是，利用中位数将频率分布直方图分割为面积相等的两部分可得月平均用电量的中位数是224．(3) 由频率分布直方图可看出，大约有的居民用电量在度以上，的居民用电量在度以下，因此较合理．试题解析：（1）由直方图的性质，可得，的，所以直方图中的值是．（2）月平均用电量的众数是．因为，所以月平均用电量的中位数在内，设中位数为，由，得，所以月平均用电量的中位数是224．（3）由频率分布直方图可看出，月用电量在度以上的有，即大约有的居民用电量在度以上，的居民用电量在度以下，因此较合理．点睛：一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.19. 第31届夏季奥林匹克运动会于2016年8月5日至8月21日在巴西里约热内卢举行．如表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）．（1）根据表格中两组数据在答题卡上完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（2）如表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和（从第26届算起，不包括之前已获得的金牌数）随时间变化的数据：（届）金牌数之和作出散点图如图：由图可以看出，金牌数之和与时间之间存在线性相关关系，请求出关于的线性回归方程，并预测到第32届奥运会时中国代表团获得的金牌数之和为多少？附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，【答案】（1）中国代表团获得的金牌数的平均数大于俄罗斯代表团的金牌平均数；俄罗斯代表团获得的金牌数较集中，中国代表团获得的金牌数较分散．（2），金牌数之和238【解析】试题分析：(1)由茎叶图可得中国代表团获得的金牌数的平均数大于俄罗斯代表团的金牌平均数；俄罗斯代表团获得的金牌数较集中，中国代表团获得的金牌数较分散．(2)有散点图结合回归方程系数公式可得回归方程为，利用回归方程的预测作用可得金牌数之和238.试题解析：（1）近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图如图：由图可得中国代表团获得的金牌数的平均数大于俄罗斯代表团的金牌平均数；俄罗斯代表团获得的金牌数较集中，中国代表团获得的金牌数较分散．（2）因为，，，，所以，，所以金牌数之和关于时间的线性回归方程为，当时，中国代表团获得的金牌数之和的预报值，故预测到第32届奥运会时中国代表团获得的金牌数之和为238枚．20. 某港口船舶停靠的方案是先到先停．（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表猜拳：从1，2,3，4,5中各随机选一个数，若两数之和为偶数，则甲先停靠；若两数之和为奇数，则乙先停靠，这种规则是否公平？请说明理由．（2）根据以往经验，甲船将于早上到达，乙船将于早上到达，请应用随机模拟的方法求甲船先停靠的概率，随机数模拟实验数据参考如下：记，都是之间的均匀随机数，用计算机做了100次试验，得到的结果有12次满足，有6次满足．【答案】（1）不公平（2）0.88【解析】试题分析：(1)利用古典概型计算公式结合题意设甲胜为事件，乙胜为事件，计算可得甲胜的概率，乙胜的概率，则这种游戏规则不公平．(2) 应用随机模拟的方法，如果，则甲船先停靠，根据题意，100次试验有12次结果满足，则甲船先停靠的概率是．试题解析：（1）这种规则是不公平的；设甲胜为事件，乙胜为事件，基本事件总数为种，则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个：，，，，，,,,,,,,，∴甲胜的概率，乙胜的概率，∴这种游戏规则不公平．（2）应用随机模拟的方法，如果，即，则甲船先停靠，根据题意，100次试验有12次结果满足，所以甲船先停靠的概率是．21. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点，并且经过点．（1）求的标准方程；（2）直线：与的左支有两个相异的公共点，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)由题意计算可得即，，，则双曲线的标准方程为．(2)联立直线与双曲线的方程，据此得到关于实数k的不等式组，求解不等式组可得的取值范围是.试题解析：（1）依题意，双曲线的焦点坐标为，，设双曲线的标准方程为（，），则，即，又因为，所以，故双曲线的标准方程为．（2）由得，解得，即的取值范围是．22. 已知椭圆（）的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于，两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）当时，求直线的方程；（3）记椭圆的右顶点为，点（）在椭圆上，直线交轴于点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得（为坐标原点）？若存在，求点坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）（3）点的坐标为或【解析】试题分析：(1)由题意求得则椭圆的方程为；(2)很明显直线的斜率存在，利用弦长公式得到关于斜率k的方程，解方程可得的方程为．(3) 假设轴上存在点，使得，原问题等价于满足，据此整理计算可得点的坐标为或．试题解析：解：（1）由已知，点在椭圆上，因此解得所以椭圆的方程为．（2）依题意，直线的斜率必存在，设的方程为，，，则，故，，∴，整理得，即，∴的方程为．（3）假设轴上存在点，使得，“存在点使得”等价于“存在点使得”即满足，因为，所以，直线的方程为，所以，即，因为点与点关于轴对称，所以．同理可得，因为，，，所以，所以或，故在轴上存在点，使得，点的坐标为或．点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。
福建省三明市2017年普通高中毕业班质量检查数学理试题含答案
2017年三明市普通高中毕业班质量检查理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非必考题两部分）．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}{}|1216,|x A x B x x a =<≤=<，若AB A =，则实数a 的取值范围是A.4a > B 。
4a ≥ C.0a ≥ D 。
0a > 2．已知i 是虚数单位，则复数1i34i-++的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3。
6名同学合影留念，站成两排三列，则其中甲乙两人不在同一排也不在同一列的概率为A ．15 B ．25 C ．49 D ．454．设1F ，2F 为双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的左、右焦点,P 为Γ上一点,2PF 与x 轴垂直，直线1PF 的斜率为43，则双曲线Γ的渐近线方程为 A ．y x =± B ．2y x =± C ．3y x =± D ．2y x =±5．执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为 2,则输出S 的值为A ．64B ．84C ．340D ．13646．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且1n+112()n n a a a n *=⋅=∈N ，，则=0162SA ．1008323⋅- B 。
122016- C ．322009- D ．322008-7.已知函数()sin()2cos()(0π)f x x x ϕϕϕ=+-+<<的图象关于直线πx =对称,则cos2ϕ= A.35 B 。
35- C. 45 D 。
45-8．在区域0,(,)|1,1xx y x yx y⎧⎫≥⎧⎪⎪⎪Ω=+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≤⎩⎩⎭中，若满足0ax y+>的区域面积占Ω面积的13，则实数a的值是A。
福建省三明市第一中学高二数学上学期期中试题 理
福建省三明市第一中学高二数学上学期期中试题理（总分150 分，时间：120分钟）（注意：请将所有题目的解答都写到“答题卡”上）一、选择题(本题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中。
)1. 已知命题“若x＝6，则x2－3x－18＝0”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有( )A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个2. 已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(3－x)＞0，若￢p 是￢q 的充分条件，则实数a的取值范围是( )A.[－1，6]B.(－∞，－1]C.[6，＋∞)D.(－∞，－1]∪[6，＋∞)3. 已知命题p：∀x > 0 ，总有(x +1)e x > 1，则￢p 为( )A. ∀x > 0 ，总有(x +1)e x ≤ 1B. ∀x ≤ 0 ，总有(x +1)e x ≤ 1C. ∃x0 ，使得(x+1)e x0 ≤ 1D. x0 ，使得(x+1)e x0 ≤10 0 0 04. 将二进制数110101(2)转化为十进制数为( ) A．106 B．53 C．55 D．1085.已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线方程为( )A. ^y＝1.23x＋4B.^y＝1.23x＋5C. ^y＝1.23x＋0.08D.^y＝0.08x＋1.236. 先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12,11,10 的概率依次是P1、P2、P3，则( ) A．P1＝P2<P3 B．P3＝P2<P1C．P1<P2＝P3 D．P1<P2<P3x27．经过点P(2，－2)且与双曲线C：2 －y2＝1 有相同渐近线的双曲线方程是( )x2 y2y2 x2x2 y2y2 x2A. 4 －2 ＝1 B．2 －4 ＝1 C. 2 －4 ＝1 D．4 －2 ＝18. 阅读下列程序：INPUT xIF x<0 THENy＝－x＋1ELSEIF x＝0 THENy＝ELSEy＝x＋1ENDIFENDIFPRINTyEND则该程序对应的程序框图(如图)中，①、②两个判断框内要填写的内容分别是( ) A．x>0？x <0?B．x >0？x＝0? C．x <0？x＝0?D．x≥0？x <0?9.抛物线y2＝24ax(a>0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为( )A．y2＝8x B．y2＝12x C．y2＝16x D．y2＝20x10.某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60 名学生，将其数学成绩(均为整数) 分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图，观察图形的信息，补全这个频率分布直方图后，估计本次考试中的平均分(统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表)()A．72 B．71 C．72.5 D．7511. 下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B 为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C 两两互斥，P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B 是对立事件．其中假．命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3x2 y2 12. 已知点P在以点F1，F2 分别为左、右焦点的双曲线a2－＝1(a＞0，b＞0)上，且满足b2→→1PF1·PF2＝0，tan∠PF1F2＝，则该双曲线的离心率是( )A．5 23 B． 3 C．102D． 5二、填空题(本题4小题，每小题5分,共20 分)13. 如图，一颗豆子随机扔到桌面上，假设豆子不落在线上，则它落在阴影区域的概率为．14.执行如图所示的程序框图，若P＝0.8，则输出的n＝.第13 题图2 y2 15. 已知点P(4,2)是直线l被椭圆＋＝1 所截得的线段的中点，369则直线l的方程为．第14 题图16. 抛物线y＝－x2 上的点到直线4x＋3y－8＝0 的最小距离为．三、解答题（共6题，70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.(本题满分10 分)某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为 100 分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下列问题：(1)求分数在[50 ,60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80 ,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80 ,90)间的矩形的高．18.(本题满分12 分)已知a>0，a≠1.设p：函数y＝log a(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1 与x轴交于不同的两点，如果p∨q 为真，p∧q 为假，求a 的取值范围.19.（本题满分12 分)某地区有小学 21 所，中学 14 所，大学 7 所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．20.(本题满分12 分)中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2 13 ，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求c os∠F1PF2 的值．21.(本题满分12 分)汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从 2019 年开始，对 CO2 排放量超过130 g/km 的M I 型新车进行惩罚(视为排放量超标)，某检测单位对甲、乙两类品牌M I 型的新车各抽取了5辆进行C O2 排放量检测，记录如下(单位：g/km)：经测算发现，乙类品牌车C O2 排放量的均值为x 乙＝120 g/km.教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。
2017届福建省三明市高三质检理科数学试题及答案
2017年三明市普通高中毕业班质量检查理 科 数 学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)，第II 卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据1x ，2x ，…，nx 的标准差 锥体体积公式s =13V Sh = 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合(){}|10A x x x x =-<∈R ，，{}|22B x x x =-<<∈R ，，那么A B 等于 A ．∅ B ．{}|01x x x <<∈R ， C ．{}|22x x x -<<∈R ， D ．{}|21x x x -<<∈R ，2．已知样本M 的数据如下：80，82，82，84，84，84，86，86，86，86，若将样本M 的数据分别加上4后得到样本N 的数据，那么两样本M ，N 的数字特征对应相同的是A ．平均数B ．众数C ．标准差D ．中位数 3．已知函数22()log (1)log (1)f x x x =+--，则()f x 是A ．奇函数B ． 偶函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数 4．已知数列{}n a 的前n 项和21n nS=-，则数列2{}n a 的前10项和为A ．1041-B ．102(21)-C ．101(41)3- D ．101(21)3-5．设平面α与平面β相交于直线m ，直线1l 在平面α内，直线2l 在平面β内，且2l ⊥m ，则“1l ⊥2l ”是“α⊥β”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6．已知三棱锥的底面是边长为a 的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，若侧视图的面积为34，三棱锥的体积为14，则a 的值为ABC ．34D ．17．已知R a ∈，那么函数()cos f x a ax =的图象不可能是BC D8．已知函数21 1<0,()(1)1,0,x x f x f x x ⎧-+-≤=⎨-+>⎩，将函数()()1g x f x x =--的零点按从小到大的顺序排列，构成数列{}na ，则该数列的通项公式为 A ．1n a n =- B ．n a n = C ．(1)n a n n =-D ．a n ＝2n－29．已知区域11,(,)|11x x y y ⎧⎫-≤≤⎧⎪⎪Ω=⎨⎨⎬-≤≤⎪⎩⎪⎭⎩，区域||1{(,)|0e ,[1,1]}2x A x y y x -=≤≤∈-，在Ω内随机投掷一点M ，则点M 落在区域A 内的概率是A ．11(1)2e- B ．11(1)4e- C ．1e D ．11e-10．若曲线()y f x =在点11(,)A x y 处切线的斜率为A k ，曲线()y g x =在点22(,)B x y 处切线的斜率为Bk （12x x ≠），将||||A B k k AB -的值称为这两曲线在A ，B 间的“异线曲度”，记作(,)A B ϕ．现给出以下四个命题：①已知曲线3()f x x =，2()1g x x =-，且(1,1),(2,3)A B ，则(,)A B ϕ>②存在两个函数()y f x =，()y g x =，其图像上任意两点间的“异线曲度”为常数；③已知抛物线2()1f x x =+，2()g x x =，若120x x >>，则(,)A B ϕ<④对于曲线()e x f x =，()e x g x -=，当121x x -=时，若存在实数t ，使得(,)1t A B ϕ⋅>恒成立，则t 的取值范围是[1,)+∞．其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．二项式10()x a -的展开式中，7x 的系数是15，则实数a ＝_____．12．某学校为调查高中三年级男生的身高情况，选取了500名男生作为样本，右图是此次调查统计的流程图，若输出的结果是380，则身高在170cm 以下的频率为＿＿＿＿＿．13．若命题“2[1,2],20x x ax a ∃∈++≤”为假命题，则实数a的取值范围 是 ．14．过双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF (O 为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 ．15．如图，三条平行直线12,,l l l 把平面分成①、②、③、④四个区域（不含边界），且直线l 到12,l l 的距 离相等．点O 在直线l 上，点A B ,在直线1l 上，P 为平 面区域内的点，且满足1212(,)OP OA OB λλλλ=+∈R．若P 所在的区域为④,则12λλ+的取值范围是是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分13分）已知集合}{1,1,2,3A =-，从A 中随机抽取两个不同的元素a b ,，作为复数i z a b =+(i 为虚数单位)的实部和虚部．（Ⅰ）求复数z 在复平面内的对应点位于第一象限的概率； （Ⅱ）设2||z ξ=，求ξ的分布列及其数学期望E ξ.17．（本小题满分13分）如图1，在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，将ACD !沿矩形的对角线AC翻折，得到如图2所示的几何体D ABC -，使得BD(Ⅰ) 求证：AD BC ⊥；(Ⅱ) 若在CD 上存在点P ，使得12P ABC D ABC V V --=，求二面角P AB C --的余弦值．ABCDPDCBA图1 图218.（本小题满分13分）已知点3(,)2P c c 在以(,0)F c 为右焦点的椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>上，斜率为1的直线m 过点F与椭圆Γ交于A B ,两点，且与直线:4l x c=交于点M ．(Ⅰ) 求椭圆Γ的离心率e ；(Ⅱ) 试判断直线PA ，PM ，PB 的斜率是否成等差数列？若成等差数列，给出证明；若不成等差数列，请说明理由．19．（本小题满分13分）如图是某种可固定在墙上的广告金属支架模型，其中6AD =，C 是AB 的中点，π3BCD ∠=，设 BAD θ∠=，且ππ(,)93θ∈．(Ⅰ) 若π4θ=，求AB 的长；(Ⅱ) 求BD 的长()f θ，并求()f θ的最小值；(Ⅲ) 经市场调查发现，某地对该种金属支架的需求量与θ有关，且需求量()g θ的函数关系式为()4sin 66g θθθ=+（单位：万件），试探究是否存在某种规格的金属支架在当地需求量为零？并说明理由．20．（本小题满分14分）已知函数2()ln(1)f x ax x =++()a ∈R ．（Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当[0,)x ∈+∞时，函数()y f x =图象上的点都在0,0x x y ≥⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围．（Ⅲ）将函数()y f x =的导函数．．．的图象向右平移一个单位后，再向上平移一个单位，得到函数()y g x = 的图象，试证明：当12a =时，[()]()22n n n g x g x -≥- ()n +∈N ．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知矩阵 10 a M b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（0,0a b >>）． （Ⅰ）当2,3a b ==时，求矩阵M 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量；（Ⅱ）当a b =时，曲线22:1C x y -=在矩阵M 的对应变换作用下得到曲线C '：2210x xy --=，求a 的值．（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为3,5415x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．以直角坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若(,)P x y 是直线l 与曲线C 的内部的公共点，求x y -的取值范围．（3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲 已知不等式|2|1x -≤的解集与不等式220x ax b -+≤的解集相同．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求函数()f x =x 的值．2017年三明市普通高中毕业班质量检查 理科数学试题参考答案及评分标准一．选择题：1—5 BCACB 6—10 DDABC二、填空题：11．12-； 12．0.24； 13．1(,)3-+∞； 14 15．(,1)-∞-；三．解答题：16．解：（Ⅰ）从集合A 中随机抽取两个不同的元素a b ,，组成复平面内的对应点有2412A =种，其中位于第一象限的点有236A =种，所以所求的概率为12. ……………………6分（Ⅱ）222=z a b ξ=+,=2,5,10,13ξ． ……………………7分1(2)P ξ==,1(5)P ξ==，1(10)P ξ==，1(13)6P ξ==．……………………11分 ∴11111525101363362E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. (13)分 17．解：（Ⅰ）当BD =1AD =，2AB =，∴AD BD ⊥，又AD DC ⊥，∴AD ⊥平面BCD ，而BC ⊂平面BCD ， ∴AD BC ⊥．……………………5分（Ⅱ）如图，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所 在直线为y 轴，建立空间直角坐标系， 由（Ⅰ）知AD BC ⊥，又AB BC ⊥， ∴BC ⊥平面ABD ，∵BC ⊂平面ABC ，∴平面ABD ⊥平面ABC ， 过D作DH AB⊥，则DH z∥轴， ……………………7分在Rt ABD !中，1AD =，2AB =，可得13,22AH BH ==．故3(0,2D ，∵12P ABC D ABC V V --=，∴P 为DC中点，∴13(,24P ．设平面PAB 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,BA BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n∴(,,)(0,2,0)0,13(,,)(,0,24x y z x y z ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩即0,10,2y x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩……………9分取2z =-，则2)=-n ，又平面ABC 的法向量为(0,0,1)=m ， ………11分则cos ,m n＝||||⋅⋅m nm n．故二面角P AB C--的余弦值为． ……………………13分18．解：（Ⅰ）因为点3(,)2P c c 在椭圆2222:1x y a bΓ+=上，所以2222914c c a b +=.整理得，422441740a a c c -+=，即4241740e e -+=， 解得12e =或2e = (舍)，所以离心率12e =. ……………………5分（Ⅱ）直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列，证明如下： 由(Ⅰ）知，2,a c b ==，∴椭圆222:3412E x y c +=直线m 的方程为y x c =-．代入椭圆方程并整理， 得227880x cx c --=. ……………………6分设1122(,),(,)A x y B x y ，直线PA ，PM ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3， 则有2121288,77c c x x x x +=⋅=-. (8)分可知M 的坐标为(4,3)c c ．所以1213123322y c y c k k x c x c --+=+--212122121272()521()x x c x x c x x c x x c-++==-++ 232(3)2214c c k c c-==-， ……………………12分∴1322k k k +=.故直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列． ……………………13分19．解法一：（Ⅰ）在ACD ∆中，已知=6AD ，2π3ACD ∠=，π3ADC θ∠=-，由正弦定理得：π2πsin()sin33AC ADθ==-故πsin()3AC θ=-. ……………………2分当π4θ=时, ππsin()34AC =-＝ππππcos cos sin )3434⋅-⋅== 故AB的长为……………………4分（Ⅱ）在ABD ∆中，已知=6AD ，π3sin()3AB θ-，BAD θ∠=，由余弦定理得：2222cos BD AD AB AD AB θ=+-⋅⋅……………………5分2ππ363sin()]243sin()cos 33θθθ=+--⨯-2ππ3696[2sin()3sin()cos ]33θθθ=+--2π13696[1cos(2)sin )cos ]32θθθθ=+---1133696[cos 22cos 22]424θθθθ=++--+113696(cos 22)44θθ=+--π6048sin(2)6θ=-+……………………7分因为ππ(,)93θ∈，所以π7π5π2(,)6186θ+∈，即sin(2)16πθ+≤BD ∴则BD的最小值为πsin(2)6θ+=1，即π=6θ. ……………………9分(用其它方法求出BD 的表达式及最小值酌情给分) （Ⅲ）设x =6θ,2π(,2π)3x ∈,令()4sin h x x x =+, 2π(,2π)3x ∈,问题转化为在2π(,2π)3是否存在x 的值，使是()0h x =,……………………10分①当(4,2π)x ∈时, |sin x |≤1，必有()4sin 0h x x x =+>；②当2π(,4]3x ∈时, '()4cos 1h x x =+，因为2π4π433x <≤<，所以11cos 2x -≤<-，从而'()4cos 10h x x =+<,在2π4π(,)33x ∈恒成立，()h x 在区间2π4π(,)33递减，于是4π4π4π()(4)()4sin 40333h x h h ≥>=+>->综上，在 2π(,2π)3,()0h x >恒成立，故不存在某种规格的金属支架,在当地需求量为零.……………………13分解法二：（Ⅰ），（Ⅱ）同解一．（Ⅲ）设x =6θ,2π(,2π)3x ∈，令()4sin h x x x =+, 2π(,2π)3x ∈,问题转化为在2π(,2π)3是否存在x 的值，使得使是()0h x =,………………10分'()4cos 1h x x =+,令'()0h x =，得1cos 4x =-, ∵2π(,2π)3x ∈,故存在12π(,π)3x ∈,23π(π)2x ∈，,使得121cos cos 4x x ==-, 易知()h x 在12π(,)3x 单调递，在(12)x x ，递减，在2(,2)x π递增，故在2π(,2π)3,22π()max{(),()}3h x h h x ≥,∵2π2π()033h =>,注意到23π(π)2x ∈，,且211cos 42x =->- ,∴ 4π3π32x <<,2sin 4x =-．这样22224π()4sin 4(03h x xx x =+=⨯+>>．……………12分综上：在 2(,2)3ππ,()0h x >恒成立，故不存在某种规格的金属支架,在当地需求量为零．……………………13分20．解法一：（Ⅰ）当2a =时，2()2ln(1)f x x x =++(1)x >-，21(21)()4011x f x x x x +'=+=≥++，故函数()f x 的单调递增区间为(1,)-+∞. ……………………3分（Ⅱ）因函数()f x 图象上的点都在0,x x y ≥⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域内， 则当[0,)x ∈+∞时，不等式()f x x ≤恒成立，即2ln(1)0ax x x ++-≤恒成立，、 设2()ln(1)g x ax x x =++-(0x ≥)，只需max()0g x ≤即可．由1()211g x ax x '=+-+[2(21)]1x ax a x +-=+， …………………4分(ⅰ) 当0a =时， ()1x g x x -'=+，当0x >时，()0g x '<，函数()g x 在(0,)+∞上单调递减， 故()(0)0g x g ≤=成立． ……………………5分 (ⅱ) 当0a >时，由[2(21)]()01x ax a g x x +-'==+，因[0,)x ∈+∞，所以112x a=-， ① 若1102a -<，即12a >时，在区间(0,)+∞上，()0g x '>， 则函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，()g x 在[0,)+∞上无最大值， 当x →+∞时，()g x →+∞，此时不满足条件；② 若1102a-≥，即102a <≤时，函数()g x 在1(0,1)2a-上单调递减，在区间1(1,)2a-+∞上单调递增，同样()g x 在[0,)+∞上无最大值，当x →+∞时， ()g x →+∞，不满足条件． ……………………7分(ⅲ) 当0a <时，由[2(21)]()1x ax a g x x +-'=+，∵[0,)x ∈+∞，∴2(21)0ax a +-<，∴()0g x '<，故函数()g x 在[0,)+∞上单调递减， 故()(0)0g x g ≤=成立．……………………8分 综上所述，实数a 的取值范围是(,0]-∞．……………………9分 （Ⅲ）1()21f x ax x '=++，∴1g()2(1)1x a x x =-++，当12a =时，1g()(0)x x x x =+> (10)分∴[()]()n n g x g x -=11n n n x x x x+-+()()112212111111n n n n n nn n n n n n nx C x C x C x C x x x x x x ----=+⋅+⋅++⋅+-+ ()122412n n n nn n n C x C x C x ----=+++ .令T 122412n n n nn n n C x C x C x ----=+++ ，则T122412n n n n n n n n C x C x C x -----=+++ 122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++ .∵x 0>， ∴2T122244144n n n n n n n n n n C x x C x x C x x -------=++++++ ()()()≥121n nn n CC C -⋅+⋅++⋅ 1212n n n n C C C -=+++ ()012102n n nn n n n n n n C C C C C C C -=+++++-- () 222n =-(). ∴22n T≥-，即[()]()22n n n g x g x -≥-. ……………………14分解法二：（Ⅰ），（Ⅱ）同解一． （Ⅲ）1()21f x ax x '=++，∴1g()2(1)1x a x x =-++，当12a =时，1g()(0)x x x x =+>，…………………10分∴[()]()n n g x g x -=11n n n x x x x+-+()() 设11()()()n n n h x x x x x=+-+，当1n =时，结论成立； 当2n ≥时，112111()()(1)()n n n n h x n x nx xx x --+'=+---21221[(1)(1)(1)]n n n n x x x x-+=+---∵当1x ≠时，22222111n n x xxx --+++=- ∴222221(1)(1)n n x x x x --=-+++ ， 当1x =时，上式显然成立.∴2212221(1)()[(1)(1)]n n n n x h x x x x x--+-'=+-+++2124226221111(1)[(1)(1)(1)]n n n n n n n n x C x C x C x x------+-=-+-++- 当(0,1)x ∈时，()0h x '≤；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '≥ ∴()(1)22n h x h ≥=- ∴[()]()22n n n g x g x -≥-，()n N *∈.……………………14分解法三：（Ⅰ），（Ⅱ）同解一． （Ⅲ）1()21f x ax x '=++，∴1g()2(1)1x a x x =-++，当12a =时，1g()(0)x x x x=+>…………………10分∴[()]()n n g x g x -=11n n n x x x x+-+()() 以下用数学归纳法证明不等式[()]()22n n n g x g x -≥-. ①当1n =时，左边110x x x x=+-+=()()，右边1220=-=，不等式成立； ② 假设当n k =k +∈N ()时，不等式成立，即11k k k x x xx+-+()()22k ≥-， 则11111k k k x x x x++++-+()()11111111k k k k k k k x x x x x x x x x x x x ++=++-++++-+()[()()]()()()111k k k x x x x x x =++-++()[()()]111k k x x--+()()22k ≥⋅-+122k +=-.也就是说，当1n k =+时，不等式也成立.由①②可得，对∀n +∈N ，[()]()22n n n g x g x -≥-都成立. ………………14分21．（1）解：（Ⅰ） 2 10 3M ⎛⎫= ⎪⎝⎭，令 2 -1() 0 -3f λλλ-=＝(-2)(-3)λλ＝0， 得2λ=或3λ=，当2λ=时，由112 120 3ξξ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得110ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 当3λ=时，由222 130 3ξξ⎛⎫=⎪⎝⎭，得211ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以对应特征值为2的一个特征向量是110ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭；对应特征值为3的一个特征向量是211ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭． ……………………4分（Ⅱ）设曲线C 上的点(,)P x y 在矩阵M 的作用下变成(,)P x y '''，则10 a x x b y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即,,x ax y y ay '=+⎧⎨'=⎩将变换公式代入曲线C '：2210x xy --=可得，2()2()10ax y ax y y +-+-=，即22210a x y --=，即为曲线:C 221x y -=，∴21a =，又a >，∴1a =．……………………7分（2）解法一：（Ⅰ）∵2sin ρθ=，∴22sin ρρθ=，∴222x y y +=，即22(1)1x y +-=，所以曲线C的直角坐标方程为22(1)1x y +-=． ……………………4分（Ⅱ）法一：∵341(1)1555x y t t t -=-+=--，而11t -<<，∴111555t -<-<，∴6141555t -<--<-，即x y-的范围是64(,)55--． ……………………7分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）联立2241,3(1)1,y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+-=⎩解得113,59,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或223,51.5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴x y-的范围是64(,)55--． ……………………7分（3）解：（Ⅰ）不等式|2|1x -≤的解集为{}|13x x ≤≤， 所以方程220x ax b -+=的两根为1,3x x ==.∴13,213,2a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩ 解得8,6a b ==. ……………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()f x =定义域为5|34x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.所以22222(46]++≥.则()f x ≤，当且仅当4213x =时取等号. 故当4213x =时，()f x 的最大值为…………………7分。
福建省三明市高二上学期)期中数学试卷
福建省三明市高二上学期）期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共15分)1. （1分）与直线2x+3y+5=0平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是________2. （1分） (2016高二上·青浦期中) 平面上三条直线x﹣2y+1=0，x﹣1=0，x+ky=0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的取值集合为________3. （2分）(2016·温岭模拟) l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a+1）y+a2﹣1=0，l1⊥l2 ，则a=________；l1∥l2 ，则a=________．4. （1分） (2015高二下·克拉玛依期中) 函数y=e﹣5x+2的导数是________．5. （1分） (2015高三上·河西期中) 已知函数f（x）的导数f′（x）=a（x+1）（x﹣a），若f（x）在x=a 处取到极大值，则a的取值范围是________．6. （1分） (2017高二下·榆社期中) 已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过抛物线上点P（2，y0）的切线为l，过点P作平行于x轴的直线m，过F作平行于l的直线交m于M，若|PM|=5，则p的值为________．7. （1分） (2016高二上·泰州期中) 双曲线的渐近线方程为________．8. （1分） (2016高二下·新余期末) 设双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，线段BF与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的离心率为________．9. （1分）已知圆C1：x2+y2=4与圆C2：x2+y2﹣4x+4y+4=0关于直线l对称，则直线l的方程为________10. （1分）圆C1：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0与圆C2：x2+y2+2x+6y﹣39=0的位置关系是________．11. （1分） (2017高二下·嘉兴期末) 已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F关于直线x+y=1的对称点仍在抛物线上，则p的值等于________．12. （1分） (2019高一上·郏县期中) 已知是定义在上的单调递增函数，且满足，则实数x的取值范围是________．13. （1分） (2015高三上·江西期末) 已知f（x）= 在x∈（0，1）上单调递增，则实数a的取值范围是________．14. （1分）(2017·吴江模拟) 已知O为坐标原点，F是椭圆C： =1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为________．二、解答题 (共6题；共50分)15. （10分） (2019高二上·哈尔滨月考) 椭圆（）的离心率是，点在短轴上，且。
数学---福建省三明市三地三校2017-2018学年高二上学期期中联考(理)
福建省三明市三地三校2017-2018学年高二上学期期中联考（理）一、选择题（本题共12题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求.）1.下列语句是命题的是（ ）A. 鹿晗很帅.B. 请把手机收起来！C. 01≥+xD. 2130sin =︒ 2.””是““012=+-=x x x （ ） A. 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3. 已知命题则是 （ ）.A ．1sin ,00≥∈∃x R xB ．1sin ,00>∈∃x R xC ．D ．4. 抛物线x y 42-=的准线方程是（ ）A. 1-=xB.1=yC. 1=xD. 1-=y5.双曲线1422=-y m x 的离心率为3，则实数m 的值为（ ）A. 2±B. 2C. 2D. 36. 已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离（ ）A. 6B. 5C. 4D. 2 7.给出下列命题：①若空间向量b a b a b a ==，则满足||||, ②空间任意两个单位向量必相等③若空间向量b a c b c a c b a =∙=∙，则满足,, ④在正方体ABCD-1111D C B A 中，必有11D B BD =⑤向量a =（1,1,0）的模为2； 其中假命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48.椭圆122=+my x 的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的二倍，则实数m 的值为（ ）A.41 B. 2 C. 21D. 4 9.已知抛物线y x 82=上一点P 到焦点的距离为5，则P 到x 轴的距离为（ ）A. 5B. 3C. 2D. 410. 直线1-+=k kx y 与椭圆14922=+yx 的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定11. 如右图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是( ) A. ︒30 B. ︒45 C. ︒60 D. ︒9012.已知两点A （-5,0）,B （5,0），若直线上存在点P,使|PA|-|PB|=6，同时存在点Q ，使|QB|-|QA|=6，则称该直线为“一箭双雕线”.给出下列直线：①1+=x y ②2=y ③x y 34= ④x y 2=.其中为“一箭双雕线”的是A. ③ ④B. ② ③C. ① ②D. ① ③ 二、填空题（本题共4题，每题5分，共20分）13. 命题“若0158,52=+-=x x x 则”及其逆命题、否命题、逆否命题中正确的命题个数 是 个14.已知点A （4，-1,2），B （2.-3,0），点C 满足CA BC 2=,则点C 的坐标是_________ 15.双曲线的一条渐近线方程为x y 2=,一个焦点为（5，0），则双曲线的标准方程为 ______________16．在抛物线y x =2上的点0P 到直线32-=x y 的距离最短，则点0P 的坐标为_______ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.(10分)已知命题p :方程11222=-+m y x 表示焦点在y 轴的椭圆，命题q :关于x 的方程NMB 1A 1C 1D 1BD CA0422=+-m x x 没有实数根.若为真为真，q p p ∨⌝，求实数m 的取值范围.18.（12分）已知方程)3)(1()3()122m m y m x m --=-+-（所表示的曲线是椭圆，求实 数m 的取值范围.19. （12分）已知空间三点A(-1，2，1), B(0，1，-2), C(-3,0,2) （1）求向量AC AB 与的夹角的余弦值，（2）若向量AC k AB AC AB +与向量—3垂直，求实数k 的值.20. （12分）（1）求过点（2, 4）的等轴双曲线的标准方程（2）已知椭圆经过点（0,4），且椭圆与双曲线1822=-y x 有相同的焦点，求椭圆的标准方程.21.（12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面是边长为2的正方形ABCD ，的中点是线段点且面PA E DC PD ABCD PD ,=⊥，（1）求证：PAB DE 平面⊥； （3）求二面角C PB A --的大小.22.（12分）已知点A(-1，0)，B(1，0)，动点P 满足|PA|+|PB|=32,记动点P 的轨迹为曲线 T,（1）求动点P 的轨迹T 的方程；（2）直线1+=kx y 与曲线T 交于不同的两点C,D ，若存在点M （m ,0）,使得 |CM|=|DM|成立，求实数m 的取值范围.参考答案一．选择题（每题5分，共60分） 1-12、DABCBACDBADC二．填空题（每题5分，共20分）13. 2 14.)34,35,310(- 15.1422=-y x 16.（1,1）三．解答题（17题10分，其余各题12分）（有不同解法，请酌情给分） 17.解: p: 321>∴>-m m ......................... 2分 q: 41016-4>∴<=∆m m ......................... 4分 为真为真，q p p ∨⌝, ∴p 假q 真 ......................... 7分⎪⎩⎪⎨⎧>≤∴413m m 341≤<∴m 所以m 的取值范围是]3,41( .. 10分18.解：椭圆11322=-+-m y m x ......................... 3分⎪⎩⎪⎨⎧-≠->->-∴130103m m m m ......................... 9分 231≠<<∴m m 且所以m 的取值范围是)3,2()2,1( ......... 12分19.解：（1）)122(),311(，，，，--=--=AC AB ......................... 2分 3||,11||==AC AB ......................... 4分 3-=∙AC AB ......................... 5分 1111cos ->=∙<AC AB ......................... 6分 (2) AC k AB AC AB +与向量—3∴0)()3(=+∙AC k AB AC AB —.........................8分 23AB +(3k -1)AC AB ∙- 2AC k =0 .........................10分 解得 k 12-=∴λ=2 ......................12分20.解: (1) 依题意设等轴双曲线的标准方程为)0(22≠=-λλy x .............. 2分则λ=-2242 12-=∴λ ....................... 4分∴等轴双曲线的标准方程为1121222=-x y ..................... 6分（2）双曲线1822=-y x 的焦点为（-3,0）和（3，0） .....................8分∴设椭圆的标准方程为)0(12222>>=-b a by a x ....................... 9分椭圆过点（0,4），∴b = 4 ....................... 10分又c =3, ∴a = 5 ....................... 11分∴椭圆的标准方程为1162522=-y x ....................... 12分21.证明：（1）以D 为原点，直线DA,DC,DP 分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系.则D(0,0,0),P(0,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),E(1,0,1)AAB PA AB DE PA DE AB DE PA DE AB PA DE =⊥⊥∴=∙=-+=∙=-== 又，，，，，，，,,00202)020(),202(),101(PAB DE 平面⊥ ....................... 6分（2）由(1)知，平面PAB 的法向量为)1,01(，=DE ....................... 7分 设平面PBC 的法向量为),,(z y x n =，又)0,0,2(),2,2,2(-=-=BC PB⎪⎩⎪⎨⎧=-=∙=-+=∙020222x BC n z y x PB n )1,1,0(=∴n ....................... 10分 21221||||cos =⋅=⋅∙>=∙<DE n DE n DE n ....................... 11分 所以二面角A-PB-C 的大小为︒120 ....................... 12分 22.解：（1）|AB|=2，|PA|+|PB|=232>，所以点P 的轨迹是以A,B 为焦点的椭圆， ....................... 2分 且c = 1,2,32=∴=b a , ....................... 4分曲线T 的方程是12322=+y x ....................... 5分(2)设),(),,(2211y x D y x C ，由⎩⎨⎧=++=632122y x kx y 得036)32(22=-++kx x k .......................6分 则221221323,326,0kx x k k x x +-=+-=+>∆ .......................7分 设CD 的中点为N （2,22121y y x x ++）， |CM|=|DM|,,CD MN ⊥∴ ..............9分 )0(1222121≠-=-++k km x x y y ，韦达定理代入，化简得0232=++m k mk ............11分024121>-=∆m 解得0126126≠<<-m m 且 当m=0时，k=0也满足题意. 综上所述，m 的取值范围是)126,126(-∈m ...................... 12分。
福建省三明市第一中学高二数学上学期期中试题 文
福建省三明市第一中学高二数学上学期期中试题文（参考公式：s2 = 1 [(x- x)2 + ( x- x)2 +Λ+ ( x- x)2 ]n 1 2 n（总分150 分，时间：120 分钟）一．选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．下列赋值语句正确的是（）A．x + 3 = y - 2B．m = m + 1C．m - n = 2D．5 = x2．命题“∀x ∈ R ，x2 ≠ x ”的否定是( )A．∀x ∉ R ，x2 ≠ xC．∃x ∉ R ，x2 ≠ xB．∀x ∈ R ，x2 = xD．∃x ∈ R ，x2 = x3．抛物线y1 x2 的准线方程是( )8A．x = 132C．y = 132B．y = 2D．y =-24．设x ∈ R ，则“ x >1 ”是“ x3 >1”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为，那么表中t 的值为( ) A．3 B．3．15 C．3．5 D．4．5x 2 y 26．椭圆+16 m= 1 的焦距为27 ，则m 的值为（）A．9 B．23 C．9 或23 D．16 -7．如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）7或16 + 7A．i > 10B．i < 10C．i > 20D．i < 208．从装有2 个红球和2 个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与至少有一个红球C．恰好有一个黑球与恰好有两个红球D．至少有一个黑球与都是红球9．已知对k ∈ R ，直线2kx - y + 1 = 0 与椭圆x9y2+ = 1恒有公共点，则实数m 的取值范围（）mA．(1, 9]B．[1, +∞)C．[1, 9) (9, +∞)D．(9, +∞)10．某人5 次上班途中所花的时间(min)分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为( )A．1 B．2 C．3 D．4x 2 y 211．双曲线-a 2b 2= 1 (a > 0, b > 0) 的一条渐近线方程为y =4 x ，则双曲线的离心率为（）3A．5 B．4 C．5 D．33 34 212．过抛物线x 2 = 8 y 上的动点P 作x 轴的垂线，垂足为点M ，又点A(4,1) + | PM | 为（）A．17 - 4B．17 - 2C．17 + 2D．17 + 4第II 卷（非选择题，共90 分）二．填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共20 分，请．把．答．案．写．在．答．题．卡．上．）：13．如图所示，在边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中2随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为．314．由辗转相除法可以得到390，455，546 三个数的最大公约数是．15．一个总体中的100 个个体的编号分别为0,1,2,3，…，99，依次将其分成10 个小段，段号分别为0,1,2，…，9．现要用系统抽样的方法抽取一个容量为10 的样本，规定如果在第0 段随机抽取的号码为l，那么依次错位地取出后面各段的号码，即第k 段中所抽取的号码的个位数为l＋k 或l＋k－10(l＋k≥10)，则当l＝6 时，所抽取的第10 个号码是．16．已知两点M (-3,0), N (3,0) ，给出下列曲线：①x - y + 5 = 0 ；②2x + y - 24 = 0 ；③y 2 = 2x ；④(x - 6) 2 + ( y - 4) 2 = 1 ；⑤y - x= 1 ，在所给的曲线上存在点P 满足| MP | + | NP |= 10 的曲线方9 16程有．（填写相应序号）“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。
福建省三明市第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题
福建省三明市第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．某学校为了调查高三年级的200名文科学生完成课后作业所需时间,采取了两种抽样调查的方式:第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行调查;第二种由教务处对该年级的文科学生进行编号,从001到200,抽取学号最后一位为2的同学进行调查,则这两种抽样的方法依次为( ) A ．分层抽样,简单随机抽样 B ．简单随机抽样, 分层抽样 C ．分层抽样,系统抽样D ．简单随机抽样,系统抽样2．袋内分别有红､白､黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．至少有一个白球；都是白球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．恰有一个白球；一个白球一个黑球D ．至少有一个白球；红､黑球各一个3．“点M 到两坐标轴距离相等”是“点M 在曲线||y x =上”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件4．双曲线22221124x y m m-=+-的焦距是（ ）A ．16B ．4C ．8D ．5．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．26．已知一组数据m ，4,2,5,3的平均数为n ，且m 、n 是方程2430x x -+=的两根，则这组数据的方差为（ ）AB ．2CD ．107．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是( )A ．336B ．510C ．1326D ．36038．如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面α内运动，使得ABP ∆的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．一条直线C ．椭圆D ．两条平行直线9．集合{}1,1,2,3,4,5A =-和{}2,1,1,2,3,4B =--，分别从集合A ，B 中随机取一个数作为m 和n ，则方程221mx ny +=表示焦点落在x 轴上的椭圆的概率是（ ）A ．16B ．518C ．49D ．5910．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( ) A ．π B ．4π C ．8πD ．9π11．已知双曲线C 的中心为原点，(3,0)F 是C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y x =C ．y =D ．2y x =±12．已知1F ，2F 是椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点，点P 在椭圆C上，线段2PF 与圆222x y b +=相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则22c e b+（其中e 为椭圆的离心率）的最小值为（ ）A ．54B ．53C D二、填空题13．高二某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为__________．14．程序框图如图所示，若输出的y ＝0，那么输入的x 为________．15．双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线方程为35y x =，则双曲线的离心率为__________． 16．有下列四种说法：①命题“p q ∧”为假，则p 、q 至少一个为假；②命题“一次函数都是单调函数”的否定是“一次函数都不是单调函数”； ③动点P 到点A (0,1)与到点(0,1)B -的距离之和为2，则点P 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆；④命题“若直线与双曲线相切，则该直线与双曲线只有一个公共点”的逆命题是真命题． 其中正确的有__________．（填写序号）三、解答题17．设p ：实数x 满足(3)()0x a x a --<，其中0a <；q ：实数x 满足2280x x +->，且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求a 的取值范围．18．某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一个居民月用电量标准a ，用电量不超过a 的部分按平价收费，超出a 的部分按议价收费．为此，政府调查了100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，0cb-<，[260,280)，[]280,300分组的频率分布直方图如图所示．（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）如果当地政府希望使85%左右的居民每月的用电量不超出标准，根据样本估计总体的思想，你认为月用电量标准a 应该定为多少合理？19．第31届夏季奥林匹克运动会于2021年8月5日至8月21日在巴西里约热内卢举行．如表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）．（1）根据表格中两组数据在答题卡上完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（2）如表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和y （从第26届算起，不包括之前已获得的金牌数）随时间x 变化的数据：作出散点图如图：由图可以看出，金牌数之和y 与时间x 之间存在线性相关关系，请求出y 关于x 的线性回归方程，并预测从第26届到第32届奥运会时中国代表团获得的金牌数之和为多少？ 附：对于一组数据()11,x y ， ()22,x y ，…， (),n n x y ，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()1122211n ni i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx====---==--∑∑∑∑，20．某港口船舶停靠的方案是先到先停．（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表猜拳：从1，2,3，4,5中各随机选一个数，若两数之和为偶数，则甲先停靠；若两数之和为奇数，则乙先停靠，这种规则是否公平？请说明理由．（2）根据以往经验，甲船将于早上7:00~8:00到达，乙船将于早上7:30~8:30到达，请应用随机模拟的方法求甲船先停靠的概率，随机数模拟实验数据参考如下：记X ，Y 都是0~1之间的均匀随机数，用计算机做了100次试验，得到的结果有12次满足0.5X Y -≥，有6次满足20.5X Y -≥．21．已知双曲线1C与椭圆221259xy +=有相同的焦点，并且经过点5(,2．（1）求1C 的标准方程；（2）直线l ：1y kx =-与1C 的左支有两个相异的公共点，求k 的取值范围．22．已知椭圆22221y x a b +=（0a b >>）的离心率是2，过点(0,1)P 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l ． （1）求椭圆的方程；（2）当||AB =l 的方程； （3）记椭圆的右顶点为C ，点(,)D m n （0n ≠）在椭圆上，直线CD 交y 轴于点M ，点E 与点D 关于y 轴对称，直线CE 交y 轴于点N ．问：x 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠（O 为坐标原点）？若存在，求点Q 坐标；若不存在，说明理由．参考答案1．D 【解析】第一种抽样是简单随机抽样，简单随机抽样是指从样本中随机抽取一个，其特点是容量不要太多．第二种是系统抽样，系统抽样就是指像机器一样的抽取物品，每隔一段时间或距离抽取一个．而分层抽样，必需是有明显的分段性，然后按等比例进行抽取．故选D 2．D 【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解 【详解】解：对于A ，“至少有一个白球”说明有白球，白球的个数可能为1或2，而“都是白球”说明两个全是白球，这两个事件可以同时发生，故A 不是互斥的；对于B ，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生，故不互斥；对于C ，“恰有一个白球”，表示黑球个数为0或1，这与“一个白球一个黑球”不互斥； 对于D ，“至少一个白球”发生时，“红､黑球各一个”不会发生，故互斥，但不对立， 故选：D 【点睛】此题考查了互斥事件和对立事件，属于基础题. 3．C 【解析】点M 到两坐标轴距离相等，则点M 的轨迹方程为：y x =±，据此可得：“点M 到两坐标轴距离相等”是“点M 在曲线y x =上”的必要不充分条件.本题选择C 选项.4．C 【解析】由题意可得：双曲线中222212,4a m b m =+=-，则22216c a b =+=，焦距为228c ==.本题选择C 选项.5．D 【解析】阅读程序框图，程序运行如下：首先初始化数值：1,100,0t M S ===，然后进入循环体：此时应满足t N ≤，执行循环语句：100,10,1210MS S M M t t =+==-=-=+=； 此时应满足t N ≤，执行循环语句：90,1,1310MS S M M t t =+==-==+=； 此时满足91S <，可以跳出循环，则输入的正整数N 的最小值为2. 故选D.【名师点睛】对算法与程序框图的考查，侧重于对程序框图中循环结构的考查.先明晰算法及程序框图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环的起始条件、循环次数、循环的终止条件，更要通过循环规律，明确程序框图研究的数学问题，是求和还是求项.6．B 【解析】根据题意，可得()142535m n ⨯++++=，化简可得m =5n -14，①因为m ，n 是方程x 2-4x +3=0的两根， 所以m +n =4，②联立①②解得13m n =⎧⎨=⎩， 所以()()()()()2222221134323533325s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-=⎣⎦. 本题选择B 选项.点睛：平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．7．B 【解析】试题分析：由题意满七进一，可得该图示为七进制数, 化为十进制数为321737276510⨯+⨯+⨯+=,故选B.考点：1、阅读能力及建模能力；2、进位制的应用. 8．C 【解析】本题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题，因为三角形面积为定值，以AB 为底，则底边长一定，从而可得P 到直线AB 的距离为定值，分析可得，点P 在以AB 为轴线的圆柱面与平面α的交线上，且α与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P 的轨迹为椭圆； 本题选择C 选项.9．A 【解析】从集合A ，B 中随机取一个数作为m 和n ，共有6636⨯=种取法，方程221mx ny +=即22111x y m n+=，它表示焦点落在x 轴上的椭圆，则：110m n>>， 据此可得满足题意时应有：0n m >>，即满足题意的数对包括：()()()()()()2,1,3,1,3,2,4,1,4,2,4,3， 其中横坐标表示m 的值，纵坐标表示n 的值， 结合古典概型计算公式可得：方程221mx ny +=表示焦点落在x 轴上的椭圆的概率是61366p ==. 本题选择A 选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.10．B 【解析】已知两定点()20A -，，()10B ，，如果动点P 满足2PA PB =，设P 点的坐标为(),x y ，则()()222224[1]x y x y ++=-+，即()2224x y -+=，所以点的轨迹是以()2,0为圆心，2为半径的圆，所以点P 的轨迹所包围的图形的面积等于4π，故选B.11．A【解析】设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，由题意知c =3,a 2+b 2=9，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则有：22112222222211x y a bx y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式作差得：22212122221212124155y y x x b b b x x a y y a a -+-=⨯=⨯=-+-， 又AB 的斜率是1501123--=--，所以将4b 2=5a 2代入a 2+b 2=9得：a 2=4,b 2=5.所以双曲线的标准方程是22145x y -=，则双曲线的渐近线方程为y x =. 本题选择A 选项.12．B 【解析】连接PF1，OQ，由OQ为中位线,可得OQ∥PF1,|OQ|=12|PF1|，圆x2+y2=b2,可得|OQ|=b,即有|PF1|=2b，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，可得|PF2|=2a−2b，又OQ⊥PF2,可得PF1⊥PF2，即有(2b)2+(2a−2b)2=(2c)2，即为b2+a2−2ab+b2=c2=a2−b2，化为2a=3b,即b=23 a，c==，则222555559926633ac eab aa++==+≥=当且仅当5566aa=,即a=1时,22c eb+取得最小值53.本题选择B选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．13．19【解析】∵高二某班有学生56人，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，∴样本组距为56÷4=14，则5+14=19，即样本中还有一个学生的编号为19.14．－3或0【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数3,00,05,0x x y x x x +<⎧⎪==⎨⎪+>⎩ 的函数值， 当x ＜0时，y =x +3=0，∴x =-3满足要求， 当x =0时，y =0，∴x =0满足要求， 当x ＞0时，y =x +5，∴x =-5，不满足要求， 故输入的x 的值为：-3或0.15【解析】结合双曲线的标准方程可得双曲线的渐近线方程为ay x b=±， 据此有：22222525,39b b c a a a a -=∴==，则：22225341,993c e e a ==+=∴=. 点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式e ＝c a； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．16．① 【解析】由真值表可知：“p q ∧”为假，则p 、q 至少一个为假，说法①正确； 命题“一次函数都是单调函数”的否定是“一次函数不都是单调函数”，说法②错误；动点P 到点A ()0,1与到点()0,1B -的距离之和为2，则点P 的轨迹是以A ,B 为端点的直线，说法③错误；命题“若直线与双曲线相切，则该直线与双曲线只有一个公共点”的逆命题：“若直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线相切”是假命题，有可能直线平行于双曲线的渐近线，说法④错误； 综上可得四种说法中，正确的有①.17．(,4]-∞- 【解析】试题分析：由题意可得：令{}|3A x a x a =<<（0a <）,{}|42B x x x =-或,由题意可得A B ⊂≠，据此分类讨论可得a 的取值范围是(],4-∞-．试题解析：令()(){}|30A x x a x a =--< {}|3x a x a =<<（0a <）,{}{}2280|42B x x x x x x =+-=-或,∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，∴q p ⌝⇒⌝，且p ⌝⇒q ⌝，即p q ⇒，且q ⇒p ， 则A B ⊂≠，∴32,0,a a ≥⎧⎨<⎩或4,0.a a ≤-⎧⎨<⎩∴4a ≤-，故a 的取值范围是(],4-∞-．18．（1）0.0075（2）众数230，中位数224（3）260a = 【解析】试题分析：(1)利用频率分布直方图的面积为1列出方程，求解方程可得直方图中x 的值是0.0075．(2)由频率分布直方图中最高部分可得月平均用电量的众数是2202402302+=，利用中位数将频率分布直方图分割为面积相等的两部分可得月平均用电量的中位数是224．(3) 由频率分布直方图可看出，大约有15%的居民用电量在260度以上，85%的居民用电量在260度以下，因此260a =较合理． 试题解析：（1）由直方图的性质，可得()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=，的0.0075x =，所以直方图中x 的值是0.0075． （2）月平均用电量的众数是2202402302+=． 因为()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<， 所以月平均用电量的中位数在[)220,240内，设中位数为a ，由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=，得224a =，所以月平均用电量的中位数是224． （3）由频率分布直方图可看出，月用电量在260度以上的有()0.0050.0025200.15+⨯=，即大约有15%的居民用电量在260度以上，85%的居民用电量在260度以下，因此260a =较合理．点睛：一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率； 二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.19．（1）见解析（2）38.1812ˆ9.yx =-,238 【分析】（1）根据题意，画出茎叶图，通过茎叶图得出统计结论；（2）计算线性回归方程的系数，写出线性回归方程，从而得到所求结果. 【详解】（1）近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图如图：由图可得中国代表团获得的金牌数的平均数大于俄罗斯代表团的金牌平均数；俄罗斯代表团获得的金牌数较集中，中国代表团获得的金牌数较分散 （2）因为28x =， 85.6y =，()()51381i i i x x y y =--=∑， ()52110i i x x =-=∑，所以，a y bx =- 85.638.128981.2=-⨯=-，所以金牌数之和y 关于时间x 的线性回归方程为38.1812ˆ9.yx =-， 当32x =时，中国代表团获得的金牌数之和的预报值38.1329812ˆ.238y=⨯-=， 故预测到第32届奥运会时中国代表团获得的金牌数之和为238枚． 【点睛】平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小，方差或标准差越小，则数据分布波动较小，相对比较稳定． 20．（1）不公平（2）0.88 【解析】试题分析：(1)利用古典概型计算公式结合题意设甲胜为事件A ，乙胜为事件B ，计算可得甲胜的概率()1325P A =，乙胜的概率()()12125P B P A =-=，则这种游戏规则不公平．(2) 应用随机模拟的方法，如果77.5X Y +<+，则甲船先停靠，根据题意，100次试验有12次结果满足0.5X Y -≥，则甲船先停靠的概率是()1210.881000P C =-=． 试题解析：（1）这种规则是不公平的；设甲胜为事件A ，乙胜为事件B ，基本事件总数为5525⨯=种，则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个：()1,1，()1,3，()1,5，()2,2，()2,4，()3,1,()3,3,()3,5,()4,2,()4,4,()5,1,()5,3,()5,5，∴甲胜的概率()1325P A =，乙胜的概率()()12125P B P A =-=， ∴这种游戏规则不公平．（2）应用随机模拟的方法，如果77.5X Y +<+，即0.5X Y -<，则甲船先停靠， 根据题意，100次试验有12次结果满足0.5X Y -≥， 所以甲船先停靠的概率是()1210.881000P C =-=．21．（1）221412x y -=（2）(【解析】试题分析：(1)由题意计算可得即2a =，4c =，22212b c a =-=，则双曲线1C 的标准方程为221412x y -=． (2)联立直线与双曲线的方程，据此得到关于实数k 的不等式组，求解不等式组可得k 的取值范围是2⎛- ⎝. 试题解析：（1）依题意，双曲线1C 的焦点坐标为()14,0F -，()24,0F ，设双曲线1C 的标准方程为22221x y a b-=（0a >，0b >），则24a ==，即2a =， 又因为4c =，所以22212b c a =-=，故双曲线1C 的标准方程为221412x y -=．（2）由221,1,412y kx x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2232130k x kx -+-=，依题意()22222230,4523156480,20,3130,3k k k kkk k ⎧-≠⎪∆=+-=->⎪⎪-⎨<⎪-⎪-⎪>-⎩解得k <<k的取值范围是2⎛- ⎝． 22．（1）2212y x +=（2）1y =+（3）点Q的坐标为0)或(【解析】试题分析：(1)由题意求得222,1,a b ⎧=⎨=⎩则椭圆的方程为2212y x +=；(2)很明显直线的斜率存在，利用弦长公式得到关于斜率k 的方程，解方程可得l的方程为1y =+．(3) 假设x 轴上存在点(),0Q Q x ，使得OQM ONQ ∠=∠，原问题等价于Q x 满足2Q M N x y y =⋅，据此整理计算可得点Q的坐标为)或()．试题解析：解：（1）由已知，点2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上，因此222221121,,a b a b c c a ⎧⎪+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩解得222,1,a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆的方程为2212y x +=．（2）依题意，直线l 的斜率必存在，设l 的方程为1y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则221,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ()222210k x kx ++-=， 故12222k x x k +=-+，12212x x k -=+，∴AB ==)22122k k +==+，整理得22k =，即k =∴l 的方程为1y =+．（3）假设x 轴上存在点(),0Q Q x ，使得OQM ONQ ∠=∠， “存在点(),0Q Q x 使得OQM ONQ ∠=∠”等价于“存在点(),0Q Q x 使得OM OQ OQON=”即Q x 满足2Q M N x y y =⋅，因为0n ≠，所以11m -<<， 直线CD 的方程为()11ny x m =--，所以1M n y m =-，即0,1n M m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭， 因为点E 与点D 关于y 轴对称，所以(),E m n -．同理可得0,1n N m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， 因为1M n y m =-，1N n y m =+，2212n m +=， 所以22221QM N n x y y m=⋅==-，所以Q x =Q x =，故在x 轴上存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠，点Q 的坐标为)或()．点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。
福建省三明市高二上学期数学期中考试试卷
福建省三明市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）若,则（）A .B .C .D .2. （2分）(2020·漳州模拟) 已知点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .3. （2分）如果实数x,y满足，对任意的正数a,b，不等式恒成立，则a+b的取值范围是（）A .B . (0,4]C .D . (0,2)4. （2分） (2019高三上·齐齐哈尔月考) 设直线：，：，若与平行，则的值为（）A .B . 0或C . 0D . 65. （2分）若一直线a在平面α内，则正确的图形是（）A .B .C .D .6. （2分）定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1 ， x2（a＜x1＜x2＜b）满足f′（x1）=，f′（x2），则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）A . （，）B . （0，1）C . （， 1）D . （， 1）7. （2分）已知，且，则tanα的值为（）A . -B .C .D . -8. （2分） (2019高二下·荆门期末) 已知方程在上有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .9. （2分）已知=(-2,2,5),=(6,-4,4)，，分别是平面α，β的法向量，则平面α，β的位置关系式（）A . 平行B . 垂直C . 所成的二面角为锐角D . 所成的二面角为钝角10. （2分）已知数列{an}的通项公式为an=n2﹣14n+65，则下列叙述正确的是（）A . 20不是这个数列中的项B . 只有第5项是20C . 只有第9项是20D . 这个数列第5项、第9项都是20二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分） (2017高一上·洛阳期末) 满足42x﹣1＞（）﹣x﹣4的实数x的取值范围为________．12. （1分）在平面直角坐标系中，曲线是参数)与曲线是参数)的交点的直角坐标为________.13. （1分）已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是________14. （1分）(2018·长宁模拟) 在△ 中，角、、所对的边分别为、、，若，则 ________.15. （1分） (2019高二上·南宁月考) 某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高为6米（如图所示），路面设计是双向车道，车道总宽为米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽至少应是________米．16. （1分） (2019高一上·南海月考) 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin（ x＋Φ）＋k，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为________.17. （1分）已知△ABC中，3=2+， tanB=2，||=||=2，则△ABC的面积为________ ．三、解答题 (共5题；共30分)18. （10分）已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象过点P（，0），图象上与点P最近的一个最高点是Q（，5）（1）求函数的解析式；（2）指出函数的单调递增区间；（3）求使y≤0的x的取值范围．19. （5分） (2019高二下·涟水月考) 如图，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面于直线，且，，，且 .（1）求平面与平面所成的二面角的余弦值；（2）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值等于？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.20. （5分）(2019·天津) 设是等差数列，是等比数列.已知.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）设数列满足其中 .（i）求数列的通项公式；（ii）求 .21. （5分）(2018·郑州模拟) 已知椭圆的左、右焦点分别为，以为直径的圆与直线相切.（1）求椭圆的离心率；（2）如图，过作直线与椭圆分别交于两点，若的周长为，求的最大值.22. （5分）(2020·淮南模拟) 设函数，且（其中e是自然对数的底数）．（Ⅰ）若，求的单调区间；（Ⅱ）若，求证：．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共7分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共30分)18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、21-1、。
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2016-2017学年福建省三明一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上．1．（5分）命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是（）A．∃x∈R，2x＞0 B．∃x∈R，2x≤0 C．∀x∈R，2x＜0 D．∀x∈R，2x≤0 2．（5分）现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员2名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是（）A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样3．（5分）抛物线y=﹣x2的焦点与准线的距离为（）A．B．C．4 D．24．（5分）阅读如右图所示的程序框图，则输出的值是（）A．6 B．18 C．27 D．1245．（5分）“m＜0”是“﹣=1表示的曲线是双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）一抛物线形拱桥，当水面宽4米时，水面离拱顶2米，若水面下降1米，则水面的宽为（）A．米B．2米C．6米 D．8米7．（5分）如图，E，F分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，M为EF的中点，若=，=，=，则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣﹣+B．++ C．﹣+D．﹣++ 8．（5分）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（）A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差9．（5分）已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆与两点A，B，则|AF2|+|BF2|的最大值为（）A．6 B．5 C．4 D．310．（5分）掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量=（m，n）与向量=（1，﹣1）的夹角为θ，则θ∈（0，]的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）过抛物线x2=4y的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，2|AF|=|BF|+|BA|，则|AB|=（）A．3 B．C．4 D．12．（5分）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则当e1e2取最小值时，e1，e2分别为（）A．，B．，C．，D．，二、填空题：本大题共4小题中，每小题5分，共20分.请把答案写在答题卷相应位置上．13．（5分）把八进制数（102）（8）转化为三进制数为（）（3）．14．（5分）某中学调查200名学生每周晚自习时间（单位，小时），制成了如图所示频率分布直方图，其中自习时间的范围为[17.5，30]，根据直方图，这200名学生每周自习时间不少于22.5小时的人数是．15．（5分）双曲线﹣x2=1的两条渐近线的夹角为．16．（5分）已知A、B是椭圆+=1的两个顶点，C、D是椭圆上两点，且分别在AB两侧，则四边形ABCD面积最大值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知命题p：函数f（x）=lg（x2+mx+m）的定义域为R，命题q：函数g（x）=x2﹣2x﹣1在[m，+∞）上是增函数．（Ⅰ）若p为真，求m的范围；（Ⅱ）若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求m的取值范围．18．（12分）已知双曲线C的中心在坐标原点，F（﹣2，0）是C的一个焦点，一条渐进线方程为x﹣y=0．（Ⅰ）求双曲线方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+1与双曲线C有且只有一个公共点，求k的值．19．（12分）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．（1）求n的值；（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．20．（12分）已知曲线C上的任意一点到点F（1，0）的距离与到直线x=﹣1的距离相等，直线l过点A（1，1），且与C交于P，Q两点；（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若A为PQ的中点，求三角形OPQ的面积．21．（12分）如图，已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过过点P（2，1）．（1）求椭圆M的标准方程；（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=﹣．①求x12+x22的值；②设点B关于x轴的对称点为C（点C，A不重合），试求直线AC的斜率．22．（10分）一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验．收集的数据如下：（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）现需生产20件此零件，预测需用多长时间？（参考公式：=，=﹣x）2016-2017学年福建省三明一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上．1．（5分）命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是（）A．∃x∈R，2x＞0 B．∃x∈R，2x≤0 C．∀x∈R，2x＜0 D．∀x∈R，2x≤0【解答】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定∃x∈R，2x≤0．故选：B．2．（5分）现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员2名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是（）A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样【解答】解；观察所给的四组数据，①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，简单随机抽样，②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号，系统抽样，③个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，分层抽样，故选：A．3．（5分）抛物线y=﹣x2的焦点与准线的距离为（）A．B．C．4 D．2【解答】解：将抛物线y=﹣x2转化成标准方程：x2=﹣4y，则抛物线的焦点在y 轴上，即2p=4，p=2，焦点（0，﹣1），准线方程为y=1，焦点与准线的距离为p=2，故选：D．4．（5分）阅读如右图所示的程序框图，则输出的值是（）A．6 B．18 C．27 D．124【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：s=1，n=2；s=3•2=6，n=3；s=（6+3）•3=27，n=4，退出循环，故选：C．5．（5分）“m＜0”是“﹣=1表示的曲线是双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若﹣=1表示的曲线是双曲线，则m（m﹣1）＞0，解得：m＞1或m＜0故m＜0是m＞1或m＜0的充分不必要条件，故选：A．6．（5分）一抛物线形拱桥，当水面宽4米时，水面离拱顶2米，若水面下降1米，则水面的宽为（）A．米B．2米C．6米 D．8米【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，故水面宽为2米．故选：B．7．（5分）如图，E，F分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，M为EF的中点，若=，=，=，则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣﹣+B．++ C．﹣+D．﹣++【解答】解：=，，，∴=++，故选：B．8．（5分）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（）A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差【解答】解：=×（4+5+6+7+8）=6，=×（5+5+5+6+9）=6，甲的成绩的方差为×（22×2+12×2）=2，以的成绩的方差为×（12×3+32×1）=2.4．故选：C．9．（5分）已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆与两点A，B，则|AF2|+|BF2|的最大值为（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：由题意可知：椭圆+=1焦点在x轴上，a=2，b=，c=1，由椭圆的定义可知：|AF2|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，则|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8，|AF2|+|BF2|=8﹣|AB|，∵当且仅当AB⊥x轴时，|AB|取得最小值，当x=﹣c=﹣1，+=1，解得：y=±，∴|AB|min=3，∴|AF2|+|BF2|的最大值为8﹣3=5．10．（5分）掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量=（m，n）与向量=（1，﹣1）的夹角为θ，则θ∈（0，]的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：解：连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记（m，n）有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6）（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6）（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36个基本事件若θ∈（0，]，则m≥n，则满足条件的（m，n）有：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3）（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1），（5，2）（5，3），（5，4），（5，5），（6，1），（6，2），（6，3）（6，4），（6，5），（6，6），共21个基本事件则P=；故选：C．11．（5分）过抛物线x2=4y的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，2|AF|=|BF|+|BA|，则|AB|=（）A．3 B．C．4 D．【解答】解：由抛物线x2=4y，得F（0，1），若直线l⊥x轴，不合题意；设直线l的方程为y=kx+1，代入x2=4y，得y2﹣（4k2+2）y+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4k2+2，y1y2=1，①∵|BF|+|BA|=2|FA|，∴|BF|+|BF|+|AF|=2|FA|，∴|FA|=2|BF|，即y 1+1=2（y2+1），即代入①得，∴y1=2，则|AB|=．故选：D．12．（5分）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则当e1e2取最小值时，e1，e2分别为（）A．，B．，C．，D．，【解答】解：不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：（a＞b＞0），（a1＞0，b1＞0），设|PF1|=m，|PF2|=n．m＞n．则m+n=2a，m﹣n=2a1，∴m=a+a1，n=a﹣a1．cos=，化为：=（a+a1）（a﹣a1）．∴﹣4c2=0，∴，∴4≥2，则，即，当且仅当e1=，e2=时取等号．故选：C．二、填空题：本大题共4小题中，每小题5分，共20分.请把答案写在答题卷相应位置上．13．（5分）把八进制数（102）（8）转化为三进制数为（2110）（3）．【解答】解：102（8）=1×82+0×81+2×80=66（10）66÷3=22 022÷3=7 (1)7÷3=2 (1)2÷3=0 (2)故102（8）=2110（3）故答案为：2110．14．（5分）某中学调查200名学生每周晚自习时间（单位，小时），制成了如图所示频率分布直方图，其中自习时间的范围为[17.5，30]，根据直方图，这200名学生每周自习时间不少于22.5小时的人数是140．【解答】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140，故答案为：14015．（5分）双曲线﹣x2=1的两条渐近线的夹角为60°．【解答】解：双曲线﹣x2=1的两条渐近线的方程为：y=±x，所对应的直线的倾斜角分别为60°，120°，∴双曲线双曲线﹣x2=1的两条渐近线的夹角为60°，故答案为：60°．16．（5分）已知A、B是椭圆+=1的两个顶点，C、D是椭圆上两点，且分别在AB两侧，则四边形ABCD面积最大值是．【解答】解：∵A、B是椭圆+=1的两个顶点，∴A（4，0），B（0，3），∴直线AB的方程为：3x﹣4y﹣12=0，当如图两条平行直线与AB平行时，切点为C，D，此时四边形ABCD面积最大值：S=AC（h1+h2），k AC=y=3，y′==x=2，y=，D（2，）根据对称性可知：C（﹣2，），|AC|=5h1=，h2=，S=AC（h1+h2）=××=三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知命题p：函数f（x）=lg（x2+mx+m）的定义域为R，命题q：函数g（x）=x2﹣2x﹣1在[m，+∞）上是增函数．（Ⅰ）若p为真，求m的范围；（Ⅱ）若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）若p为真，x2+mx+m＞0恒成立，…（1分）所以△=m2﹣4m＜0，…（2分）所以0＜m＜4．…（4分）（Ⅱ）因为函数g（x）=x2﹣2x﹣1的图象是开口向上，对称轴为x=1的抛物线，所以，若q为真，则m≥1．…（5分）若p∨q为真，p∧q为假，则p，q中一真一假；…（6分）∴或，…（10分）所以m的取值范围为{m|0＜m＜1或m≥4}．…（12分）18．（12分）已知双曲线C的中心在坐标原点，F（﹣2，0）是C的一个焦点，一条渐进线方程为x﹣y=0．（Ⅰ）求双曲线方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+1与双曲线C有且只有一个公共点，求k的值．【解答】解：（Ⅰ）设双曲线方程为﹣=1，a＞0，b＞0，依题意，，解得，所以双曲线方程x2﹣=1，（Ⅱ）联立得（3﹣k2）x2﹣2kx﹣4=0，因为直线与双曲线有且只有一个公共点，所以3﹣k2=0或△=（﹣2k）2+16（3﹣k2）=0，即k2=4或k2=3，所以k=±或k=±2．19．（12分）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．（1）求n的值；（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．【解答】解：（1）由题意可得，∴n=160；（2）高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种，其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为=；（3）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内，由条件得到的区域为图中的阴影部分由2x﹣y﹣1=0，令y=0可得x=，令y=1可得x=1∴在x，y∈[0，1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为=∴该代表中奖的概率为=．20．（12分）已知曲线C上的任意一点到点F（1，0）的距离与到直线x=﹣1的距离相等，直线l过点A（1，1），且与C交于P，Q两点；（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若A为PQ的中点，求三角形OPQ的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C上任意一点到点F（1，0）的距离与到直线x=﹣1的距离相等．∴曲线C的轨迹是以F（1，0）为焦点的抛物线∴曲线C的方程为y2=4x．…（4分）（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=2因为y12=4x1，y22=4x2，所以作差，可得直线l斜率为2，…（6分）所以直线方程为y﹣1=2（x﹣1），即y=2x﹣1．此时直线l与抛物线相交于两点．…（7分）设T为l与x的交点，则|OT|=，…（8分）由y=2x﹣1与y2=4x，消去x得y2﹣2y﹣2=0，…（9分）所以y1+y2=2，y1y2=﹣2，…（10分）所以三角形OPQ的面积为S=|OT||y1﹣y2|=．…（12分）21．（12分）如图，已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过过点P（2，1）．（1）求椭圆M的标准方程；（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=﹣．①求x12+x22的值；②设点B关于x轴的对称点为C（点C，A不重合），试求直线AC的斜率．【解答】解：（1）由题意可得e==，+=1，a2﹣b2=c2，解得a=2，b=，可得椭圆标准方程为+=1；（2）①由题意可得k1k2==﹣，即为x12x22=16y12y22，又点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，可得4y12=8﹣x12，4y22=8﹣x22，即有x12x22=（8﹣x12）（8﹣x22），化简可得x12+x22=8；②由题意可得C（x2，﹣y2），由4y12=8﹣x12，4y22=8﹣x22，可得y12+y22==2，由x12+x22=（x1﹣x2）2+2x1x2=8，可得（x 1﹣x2）2=8﹣2x1x2，由y12+y22=（y1+y2）2﹣2y1y2=2，可得（y1+y2）2=2+2y1y2=2（1+y1y2），由=﹣，即x1x2=﹣4y1y2，可得（x1﹣x2）2=8﹣2x1x2=8+8y1y2，则直线AC的斜率为k AC==±=±．22．（10分）一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验．收集的数据如下：（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）现需生产20件此零件，预测需用多长时间？（参考公式：=，=﹣x）【解答】解：（Ⅰ）==2.5，==4.5，…（2分）==2，…（5分）=﹣=4.5﹣2×2.5=﹣0.5，…（7分）所以=2x﹣0.5．…（8分）（Ⅱ）因为=2×20﹣0.5=39.5（小时），…（9分）所以生产20件此零件，预测需用39.5小时．…（10分）赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。