1.5正弦型函数的图像
正弦函数和余弦函数的图像与性质
例2.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值 时的自变量 x 的值. (2) y 3sin x cos x (1) y sin(2 x )
4 解:(1)视为 y sin u , u 2 x 4
8 3 当 u 2k ，即 x k , k Z 时， 2 8 ymin 1 2
二、正弦函数与余弦函数的周期
对于任意 x R 都有
sin( x 2k ) sin x, k Z cos( x 2k ) cos x, k Z
正弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2
周期，最小正周期是 2 余弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2 周期，最小正周期是 2
注：一般三角函数的周期都是指最小正周期
1 (1) f ( x) cos 2 x (2) f ( x) sin( x ) 2 6 解: (1)设 f ( x)的周期为 T f ( x T ) f ( x)
即 cos[2( x T )] cos 2 x 即 cos(2 x 2T ) cos 2 x 即 对任意 u 都成立：cos(u 2T ) cos u 因此 2T 2 ，从而 T 解毕
第六章 三角函数
5.6.4 正弦定理、余弦定理和解斜三角形
6.1.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质
一、正弦函数和余弦函数的概念 实数集与角的集合可以建立一一对应的关系， 每一个确定的角都对应唯一的正弦(余弦)值. 因此，任意给定一个实数 x ，有唯一确定的值
sin x(cos x) 与之对应.
函数 y sin x 叫做正弦函数 函数 y cos x 叫做余弦函数 正弦函数和余弦函数的定义域是 R 正弦函数和余弦函数的值域是[1,1]
1.5 正弦函数的图像与性质学案
§5正弦函数的图像与性质5．1正弦函数的图像2．在函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像上，起着关键作用的有五个关键点：，，，，．描出这五个点后，函数y ＝sin x ，x∈[0,2π]的图像就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线顺次将它们连接起来，就得到这个函数的简图．我们称这种画正弦函数曲线的方法为“五点法”．如图．思考2：描点法作函数的图像有哪几个步骤？[提示]列表、描点、连线．1．对于正弦函数y ＝sin x 的图像，下列说法错误的是()A ．向左、右无限延展B ．与y ＝－sin x 的图像形状相同，只是位置不同C ．与x 轴有无数个交点D ．关于y 轴对称2．y ＝sin x 的图像的大致形状为()3．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的简图时，所描的五个点的横坐标的和是________．4．函数y ＝sin x 在[0,2π]上的单调减区间为________，最大值为________．“五点法”作图【例1】用五点法作函数y ＝1－sin x ，x ∈[0,2π]的图像．1．解答本题的关键是要抓住五个关键点．使函数中x 取0，π2，π，3π2，2π，然后相应求出y 值，再作出图像．2．五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向．1．(1)作出函数y ＝2sin x (0≤x ≤2π)的图像；(2)用五点法画出函数y ＝sin 2x (0≤x ≤π)的图像．利用正弦函数图像解不等式【例2】利用y＝sin x的图像，在[0,2π]内求满足sin x≥－12的x的取值范围．用三角函数图像解三角不等式的方法(1)作出相应正弦函数在[0,2π]上的图像；(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集；(3)根据图像写出不等式的解集．2．利用正弦函数的图像，求满足sin x≥12的x的集合．正弦函数图像的应用[探究问题]1．若已知函数y＝f(x)的图像，如何作出函数y＝|f(x)|的图像？[提示]将函数y＝f(x)的x轴上方的图像保持不变，将x轴下方的图像关于x 轴翻折到x轴上方即可．2．如何利用函数的图像判断该函数对应方程的解的个数？[提示]可以利用函数的图像与x轴的交点的个数判断．也可以将该函数对应的方程拆分成两个简单函数，利用这两个函数图像交点的个数判断．【例3】函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图像与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．1．(变条件，变结论)将例3变为“求方程lg x ＝sin x 的实数解的个数”应如何求解．2．(变结论)将例3中的函数f (x )不变，求方程“f (x )＝|log 2x |”的解的个数，应如何求解．数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的数学式子转化成形象直观的图形.利用正弦函数图像可解决许多问题，例如特殊方程根的问题，通常可转化为函数图像交点个数问题.1．“五点法”是我们画y ＝sin x 图像的基本方法，在区间[0,2π]上，其横坐标分别为0，π2，π，3π2，2π的五个点分别是最高点、最低点以及与x 轴的交点，这五个点在确定函数的图像形状时起到关键作用，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，再将曲线向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)，就得到正弦函数的简图．2．作图像时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝sin x 在[0,2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，只是位置不同．()(2)函数y ＝sin x 的图像介于直线y ＝－1和y ＝1之间．()(3)函数y ＝sin x 的图像关于x 轴对称．()(4)用五点法画函数y ＝sin x 在区间[－π，π]－π2，－一个关键点．()2．函数y ＝－sin x ，x ∈－π2，3π2的简图是()3．在[0,2π]上，满足sin x ≥22的x 的取值范围为________．4．在[0,2π]内，用五点法作出函数y ＝2sin x －1的图像．正弦函数的性质性质定义域R 值域[－1,1]最大值与当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y max ＝1；最小值当x ＝2k π＋3π2(k ∈Z )时，y min ＝－1周期性周期函数，T ＝2π性质单调性在2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上是增加的；在2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )上是减少的奇偶性奇函数对称性图像关于原点对称，对称中心(k π，0)，k ∈Z ；对称轴x ＝k π＋π2，k ∈Z 思考：正弦函数的周期为2π，在研究正弦函数性质时，选取哪个区间研究，既好学，又有效？[提示]选取－π2，32π上的图像来研究，即可掌握整个定义域上的性质．1．下列函数中是奇函数的是()A ．y ＝－|sin x |B ．y ＝sin (－|x |)C ．y ＝sin |x |D ．y ＝x sin |x |2．已知M 和m 分别是函数y ＝13sin x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于A ．23B ．－23C ．－43D ．－23．若函数f (x )＝sin 2x ＋a －1是奇函数，则a ＝________.4．函数y ＝|sin x |的值域是________．正弦函数的周期性与奇偶性【例1】求下列函数的周期：(1)y ＝sin 12x ；(2)y ＝|sin x |.1．求正弦函数的周期时要注意结合图像判断，不要盲目套用结论．2．函数y ＝sin x 为奇函数时其定义域必须关于原点对称，否则不具有奇偶性．如y ＝sin x ，x ∈[0,2π]是非奇非偶函数．1．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x sin x ；(2)f (x )＝|sin x |＋1.正弦函数的单调性及应用【例2】(1)比较下列各组数的大小：①sin π4与sin π8；②sin 4π7与sin19π7.(2)求函数y ＝log 12sin1．比较sin α与sin β的大小时，可利用诱导公式，把sin α与sin β转化为同一单调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较．2．比较sin α与cos β的大小，常把cos β转化为sin 行比较．3．当不能将两角转到同一单调区间上时，还可以借助于图像或值的符号比较．2．比较sin 215π与sin 42π5的大小．3．与正弦函数有关的值域问题[探究问题]1．对于形如y＝f[g(x)]的函数，如何求其值域？[提示]先求内函数u＝g(x)的值域，再求外函数y＝f(u)的值域．2．对于y＝A sin2x＋B sin x＋C型的函数，怎样求值域？[提示]利用换元法转化为二次函数求最值．【例3】求下列函数的值域．(1)y＝3－2sin x；(2)y＝－sin2x＋3sin x＋54.1．(变条件)将例3(1)的条件变为“函数y＝1＋2sin x，x∈－π6，π6”求函数的最值．2．(变条件)将例3(1)中的函数变为“y＝3＋a sin x(a≠0)”试求函数的值域．求正弦函数的值域一般有以下两种方法：(1)将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域，例如转化为y＝a(sin x＋b)2＋c型的值域问题.(2)利用sin x的有界性求值域，如y＝a sin x＋b，－|a|＋b≤y≤|a|＋b.1．求正弦函数在给定区间[a，b]上的值域时，要注意结合图像判断在[a，b]上的单调性及有界性．2．利用正弦函数的单调性比较函数值的大小时，需利用诱导公式将角转化到正弦函数的同一个单调区间内．3．观察正弦曲线不难发现：(1)正弦曲线是中心对称图形，对称中心的坐标为(kπ，0)(k∈Z)，即正弦曲线和x轴的交点，原点是其中的一个．(2)正弦曲线是轴对称图形，对称轴方程是x＝kπ＋π2(k∈Z)；正弦曲线的对称轴一定过正弦曲线的最高点或最低点.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦函数y＝sin x的定义域为R.()(2)正弦函数y＝sin x是单调增函数．()(3)正弦函数y＝sin x是周期函数．()(4)正弦函数y＝sin x的最大值为1，最小值为－1.()2．正弦函数y＝sin x，x∈R的图像上的一条对称轴是()A．y轴B．x轴C．直线x＝π2D．直线x＝π3．函数f(x)＝sin2x＋1的奇偶性是________．4．比较下列各组数的大小．(1)sin2016°和cos160°；(2)sin74和cos 5 3 .。
正弦函数的图像和性质
2 1
y
2 0 2 0 1 0 -1 0 1 0 1 2 1
x
2
3 2
0
3 2
2
练习：画出函数[0，2π]上的图像
1. y=sinx-3 2. y=5-3sinx
二、正弦函数y sin x的性质
1、定义域 2、值域 3、周期性 4、最值
5、单调性
y sin x , x R
并写出最值，定义域和值域
• y=1-sinx
xsinx1-sinx
解： 当x
2 sin x取得最大值1
k 2 , k Z时
此时 y 1 sin x的最小值1 － 1 ＝0
当x
2 sin x取得最小值 1
2 k , k Z时
此时y 1 sin x的最大值1 1 ＝2
练习： 求正弦形函数的周期， 最值。
1、y 5sin (3x 2、y 2s，1（1），2，3 P43，1 下节课再见啦*^_^*
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妻情分都别讲！”那壹次，李淑清没什么像以往壹贯の那样大哭大闹、胡搅蛮缠，而是掷地有声、句句在理地将他那些替水清开脱の话驳斥咯壹各体无完肤，将王爷说得哑口无言。 特别是那最后壹句，更是将淑清の彻骨寒心淋漓尽致地发泄咯出来，将他责问得羞愧难当、无地自容。他确实曾经深深地爱过淑清，但是现在，他确实也是壹各无情の负心人。在爱 上婉然，继而爱上水清之后，就将她忘在咯脑后，忘记咯他们曾经の恩爱时光，忘记咯他们曾经の夫妻情分，所以，他即使别是始乱终弃，也是移情别恋，是各别折别扣、当之无愧 の无情の负心人！此刻，左手边站立の是壹脸悲愤、情绪激动の淑清，右手边站立の是满脸惭愧、壹心求罚の水清，壹各旧爱，壹各新宠，清官难断家务案，更何况两各都是他付出 咯真心真爱の诸人！此刻他所受の内心煎熬以及痛苦折磨，壹点儿也别比下午时候の水清少。水清别过是在坚持自己の理想还是襄助王爷の大业之间进行痛苦而艰难の抉择，那是追 求理想与向现实妥协の选择。而王爷此时则是完完全全地陷入咯感情の漩涡之中，苦苦挣扎，情关难逃。第壹卷 第700章 旧爱淑清是他人生中第壹各付出真情、真心、真爱の诸人， 是他情窦初开の爱之初体验，是真正の同甘共苦、荣辱与共。他们相濡以沫地走过咯二十年の时光，二十年，他怎么能够说忘就忘？更何况，他们相亲相爱の时候，他无官无爵，别 过就是壹各皇子小格，连自己の府邸都没什么，而是寄居在皇宫中の小格所里，而她更别可能妻凭夫贵，在名份上别过就是他の壹各低阶侍妾而已。古训所言，大丈夫理当“贫贱别 能移、富贵别能淫、威武别能屈”。他们以前贫贱の时候能够共苦，现在富贵の时候却别能同甘吗？确实，现在の她随着年龄の增长，容貌、才情、智慧统统都别及豆蔻年华の水清， 从自然规律来讲，她现在是该给新人让位の时候咯。可是，对于壹各诸人来讲，那种被迫让位又是壹件多么残忍无情の事情。人老珠黄，色衰爱驰，难道他别过就是壹各贪恋美色の 无耻之徒吗？而反观水清呢？别管从前他们の关系如何，她嫁给他の时候，他早就加官进爵成为亲王，水清别但坐享其成，直接享受着王府の荣华富贵，而且还被皇上钦点册封咯亲 王侧福晋の身份，完全就是无功受禄，壹切荣华富贵の得来都是那么の轻而易举，仿佛就是天经地义の事情。可以说，除咯他の爱，水清没什么费吹灰之力，就将壹各诸人穷其壹生 所梦寐以求の壹切全都轻轻松松地得到咯。而淑清却是熬咯将近二十年，为他生育咯四各儿女，才通过他の请封而获得咯侧福晋の名份，却还要排在水清の后面。假设单从那各角度 来讲，确实是非常别公平，淑清确实有理由发泄她の强烈别满。可是从另外壹各角度来讲，水清确实又是受之无愧。别管他们是否相爱，即使是他误会她、厌恶她、羞辱她の时候， 她却从来都是以壹颗善良之心，尽职尽责地当好他の侧福晋。他永远也忘别咯，在塞外草原の时候，当他斥责水清向八小格通风报信の时候，她还会别计前嫌地与那木泰巧妙周旋， 处处维护他和婉然。如此那般以德报怨の行为，他の心灵怎么可能别被深深地触动？他也曾经炽烈地深爱过淑清。即使现在爱情越来越少，但是亲情却是永远也别可能湮灭，他别能， 也别愿做出任何令她伤心难过の壹举壹动。他现在更是深深地爱恋着水清。虽然今天の他终于看到咯她对他爱の回应，可是那仅仅只是壹各开端而已，他们未来の爱情之路仍是前途 未卜、扑朔迷离，他别想，也别敢做出任何令她伤心难过の壹举壹动。现在借琴の事情还没什么理出头绪，他又陷入咯感情纠葛の泥潭，再询问下去，别但问别出任何结果，更是要 闹得王府后院纷争四起の恶果。但是别咯咯之也别是他の处事原则，他别是糊涂昏庸之人，用逃避の方式の处理问题，只能是问题越积攒越多，矛盾越积攒越深，正所谓千里之堤毁 于蚁穴。第壹卷 第701章 下策水清和淑清，两各都是他付出过真心真情の诸人，哪壹各他都别想伤害，被逼到绝境の王爷，最终只得拿出咯
正弦曲线的图像
正弦曲线的图像细品教材众所周知，海⽔会发⽣潮汐现象，⼤约在每⼀昼夜的时间⾥，潮⽔会涨落两次，因此潮汐是周期现象．当潮汐发⽣时，⽔的深度会发⽣周期性的变化，这种周期性的变化，与正弦函数的周期性变化有什么联系吗？⼀、正弦函数的图象正弦函数的图象⼀、1．正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象利⽤单位圆中的正弦线作y=sinx，x∈[0，2π]的图象．如下图，在直⾓坐标系的x轴的负半轴上任取⼀点O1，以O1为圆⼼作单位圆，从⊙O1与x轴的交点A起把圆弧分成12等份，过⊙O1上各分点分别作x轴的垂线，得到对应于⾓等分点的正弦线．相应地，再把x轴上从0到2π这⼀段分成12等份，再把⾓x所对应的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合，最后⽤光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到了函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．2．正弦曲线(1)任意给定⼀个实数x，有唯⼀确定的值sinx与之对应．由这个对应法则所确定的函数y=sinx叫做正弦函数，其定义域是R．(2)根据诱导公式⼀，终边相同的⾓的三⾓函数值相等，可知函数y=sinx，x∈[2kπ，2(k+1)π)，k∈Z且k≠0的图象，与函数y=sinx，x∈[0，2π)的图象的形状完全⼀致，只是位置不同．我们只需把y=sinx，x∈[0，2π)的图象左、右平移(每次2π个单位长度)，就可得到正弦函数y=sinx，x∈R的图象(如下图)．正弦函数的图象叫做正弦曲线．技术提⽰(1)利⽤单位圆和三⾓函数线画三⾓函数图象的⽅法称为⼏何法作图，其优点是图象精确，缺点是画图⽐较⿇烦，影响解题速度．(2)作图象时，函数的⾃变量要⽤弧度制，这样⾃变量与函数值均为实数，因此在x轴、y轴上可以统⼀单位，作出的图象较为准确．【⽰例】函数y=1-sinx，x∈[0，2π]的⼤致图象为下图中的( )【⽰例】思路分析：令x=0，则y=1-sinx=1，因此图象过(0，1)，可排除C、D，⼜令，则y=1-sinx=2，思路分析：可排除A．答案：B状元笔记“五点法”作图中的“五点”是指函数的最⾼点、最低点以及图象与坐标轴的交点．这是作正、余弦函数图象、研究正、余弦函数性质时的最常⽤⽅法．⼆、“五点法”作简图通过正弦曲线可以发现，这些曲线可以按照闭区间…，[-4π，-2π]，[-2π，0]，[0，2π]，[2π，4π]，…分段，这些闭区间的长度都等于2π个单位长度，并且在每⼀个闭区间上曲线的形状完全⼀致．因此，要研究曲线的形状，只需选⼀个闭区间，在这⾥，我们不妨选择[0，2π]，显然，有五个点在确定其对应图象的形状时起着关键作⽤．对于正弦曲线(如下图)，它们是(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)因此，在精确度要求不太⾼时，可先找出这五个关键点，再⽤光滑的曲线将它们连接起来，就得到相应函数的简图．这种⽅法称为“五点(画图)法”．技术提⽰五点法作简图抓住了正弦函数图象的特征，反映了正弦曲线的基本特征，其中需特别注意的是曲线的⾛向，把握住简图的画法，有助于快速解题．综合探究1．余弦曲线根据诱导公式，可知y=cosx与是同⼀函数，⽽的图象可由y=sinx的图象向左平移个单位得到，即余弦函数的图象是由正弦函数的图象向左平移个单位⽽得到的．如下图所⽰：余弦函数的图象叫做余弦曲线．事实上，，可知余弦函数y=cosx，x∈R与函数也是同⼀函数，余弦函数的图象也可以通过将正弦曲线向右平移个单位⽽得到．五点法画正、余弦函数的图象余弦函数的图象2．五点法画正、画正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象，有五个关键点，它们是(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)，因此描出这五点后，正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]图象的形状基本上就确定了．在描点时，光滑曲线是指经过最⾼点或最低点的连线要保持近似“圆弧”形状，经过位于x轴的点时要改变“圆弧的圆⼼位置”．⽤五点法画余弦函数y=cosx的图象时也是⼀样．注意:(1)五点法是我们画三⾓函数图象的基本⽅法，与五点法作图有关的问题曾出现在历届⾼考试题中．(2)作图象时，函数⾃变量要⽤弧度制，这样⾃变量与函数值均为实数．对于⼀些正、余弦函数的变形形式，如画，的图象时，应当令分别等于得到对应的x值与y 值，然后再描点连线成图．其取值如下表：描点连线如下图：【⽰例】试⽤五点法画函数的简图．【⽰例】思路分析：抓住关键点，横坐标依次为的点．思路分析：解：列表：解：画图(如图)：余弦函数的对称性质3．正、．正、余弦函数的对称性质正弦函数y=sinx图象的对称轴为直线，并且对称轴与正弦曲线的交点的纵坐标是正弦函数的最值，对称中⼼为(kπ，0)(k∈Z)，正弦函数的图象与x轴的交点均是正弦函数的对称中⼼．余弦函数y=cosx图象的对称轴为直线x=kπ(k∈Z)，并且对称轴与余弦曲线的交点的纵坐标是余弦函数的最值，对称中⼼为，余弦函数的图象与x轴的交点均是余弦函数的对称中⼼．归纳整理本节的主要内容是正、余弦函数的图象——正、余弦曲线的画法：⼏何法与五点法．⼏何法是⽤单位圆和三⾓函数线作图，图形准确但画图⿇烦；五点法只能作简图，但⽅便快捷．重点是会⽤五点法画函数简图，以解决相关问题．答案：①单位圆 ②三⾓函数线 ③(0，0) ④ ⑤(π，0) ⑥ ⑦(2π，0) ⑧(0，1) ⑨ ⑩(π，-1) (2π，1)思考发现1．y=sinx的五个特殊点(0，0)、，(π，0)，、(2π，0)；y=cosx的五个特殊点(0，1)、、(π，-1)、、(2π，1)．2．五点法作y=Asin(ωx+φ)的简图，五点的取法是ωx+φ分别等于来求得相应的x值及对应的y 值，最后描点成图．3．含有三⾓式、指数式、对数式的⽅程叫做超越⽅程，⽤初等解⽅程的⽅法不能求它的解；通常把这类⽅程分解成两个函数，把求⽅程的解转化为求两个函数的交点问题．4．利⽤单位圆或正弦曲线解简单三⾓不等式时，可先在长度为[0，2π]的区间上找到适合不等式的解，再把它扩展到整个定义域中去．。
高中数学三角函数的图像与性质优秀课件
1
2 3
2
2
1 2
3 2
2
y cos x，x R
3 2
2
正、余弦函数的性质
y
2
sin
1 2
x
4
④周期性：形如y Asin x 或y Aco1sx 的
函数的周期T 2 .
2 1
3 2 5 3 7 4
2
2
2
2
y sin 2x 1
1
2 3 2
2 1
2
3 2
例1：已知函数y
Asin x A
0，
0，
2
，x
R
的部分图像，求函数解析式.
解：由图知A 2.
又 T 3 1 2，故T 8， 即 2 8， .
4
4
令 1 = 得= .
4
2
4
综上得，y
2sin
4
x
4
.
例2：函数f
x
Asin
x
0，
2
，x
R
的部分图像如图，则函数表达式为（
x
0
4
3
2
4
2x
0
3
2
2
2
y sin 2x
0
1
0
1
0
五点：0，0， 4 ，1， 2 ，0，
3
4
，1，，0.
1
3 2
2 1 2
2
五点作图法
例1：用“五点法”作y
2sin
1 2
x
4
，x
2
，7 2
的图像.
x
3
5
7
2
2
正弦函数的图像和性质1
解:(1)
90 250 260 270
并且y sin x在90, 270上是减函数
sin 250 sin 260
3
4
解：（１）
2
10
18
2
,
且y=sinx在
2
,
2
上是增函数，
sin( ) sin
18
10
（２） 2 3
23 4
3 ,
2
且y=nx在2
,
3
2
上是减函数，
sin 2 sin 3
3
4
3 求y= 5+sinx这个函数的最大值、最小值和周期，并求这个函
数分别取得最大值及最小值的x的集合。
正弦函数y=sinx的性质：
（1）定义域 实数集R
（2）值域
当x=___2___2_k_________时，ymax ___1__
当x=_____2__2_k________时，ymin ___1__ 值域是：1，1
（3）周期性 sin(x+2kπ）=sin x, (k∈Z), 2k
y
1
y 1
-ssiinnxx 0 -1 0 1 0
作出下列函数的图象
y 3 sin x x [0 , 2 ]
x
0 2
3 2
2
sinx
01
0
-1
0
3Sinx y 0
3
0
-3
0
3•
•
1•
o 3 2
•2
2
y sinx, x [0,2]
二、正弦函数的性质
y
1
y 1
2
2
O
1 2
1.5正弦型函数图象的平移和伸缩变换
向右平移 个单位
y sin x
3
y
sin(x
3
)
纵坐标不变 横坐ห้องสมุดไป่ตู้变为原来的1
倍
y sin(2x )
3
2
横坐标不变 总坐标变为原来的3倍
y 3sin(2x ) 向上平移1个单位
3
y 3sin(2x ) 1
3
法二：先伸缩（ 变换）后平移（ 变换）：
纵坐标不变
y sin x 横坐标变为原来的1 倍 y sin 2x 2
函数y Asin(x ) b的图象
A是振幅：A变换也叫振幅变换；
T为周期：T 2 ，变换也叫周期变换；
f是频率：f 1 ; T
x 是相位：变换也叫相位变换； 是初相：x 0时的相位.
要得到y 3sin(2x ) 1的图象,需将y sin x的图象作怎样的变换？
3
法一：先平移（ 变换）后伸缩（ 变换）：
向右平移 个单位 6
y sin(2x )
3
横坐标不变 总坐标变为原来的3倍
y 3sin(2x ) 向上平移1个单位
3
y 3sin(2x ) 1
3
总结：1.箭头图：起始→终止；
2. 四个数据，四个变换：先：， 后：A，b
高中数学 第一章 三角函数 1.5 正弦函数的性质与图像
1.5 正弦函数的性质与图像问题导学1．正弦函数的图像活动与探究1(1)用“五点法”作y ＝2－sin x 的图像时，首先描出的五个点的纵坐标是( )． A ．0,1,0，－1,0 B ．0,2,0，－2,0 C ．2,1,2,3,2 D ．2,3,2，－3,2(2)用“五点法”作函数y ＝－1＋sin x (x ∈[0,2π])的简图．迁移与应用1．正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图像的一条对称轴是( )． A ．x 轴 B ．y 轴C ．直线x ＝π2D ．直线x ＝π2．用“五点法”作出y ＝2sin x ，x ∈[0,2π]的简图．作函数y ＝a sin x ＋b 的图像的步骤2．正弦函数的定义域问题活动与探究2求函数y ＝log 21sin x－1的定义域．迁移与应用求下列函数的定义域： (1)y ＝1－2sin x ； (2)y ＝log 2sin x ；(3)y ＝log 122sin x －1．含正弦函数的复合函数的定义域的求法： (1)常见的限制条件有①分式的分母不等于0；②对数的真数大于0；③二次根式的被开方数大于等于0．(2)列出含正弦函数的不等式组，化简为含sin x 的不等式，利用数形结合，在正弦曲线或单位圆中表示，然后取各部分的交集．3．正弦函数的值域、最值问题活动与探究3求下列函数的值域： (1)y ＝3－2sin 2x ；(2)y ＝sin 2x －sin x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，3π4．迁移与应用求函数y ＝74＋sin x －sin 2x (x ∈R )的值域．有关正弦函数的值域或最值的常见类型及求法：(1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的求最值或值域问题，利用正弦函数的有界性，即|sin x |≤1；(2)形如y ＝p sin 2x ＋q sin x ＋r (p ≠0)的函数求最值或值域问题，通过换元法转化为给定区间[m ，n ]上的二次函数的最值问题，必要时要分区间讨论转化成常见的“轴变区间定”或“轴定区间变”问题求解；(3)形如y ＝a sin x ＋bc sin x ＋d的函数求最值或值域问题，可化为sin x ＝f (y )的形式，通过|f (y )|≤1求解，或利用分离常数法求解．4．正弦函数的单调性及应用活动与探究4利用正弦函数的单调性，比较下列各对正弦值的大小． (1)sin 190°与sin 200°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π11； (3)sin 15π8与sin 10π9．迁移与应用不通过求值，指出下列各式大于零还是小于零． (1)s in 135°－sin 144°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10； (3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4．1．对正弦函数单调性的理解：(1)正弦函数在定义域R 上不是单调函数．(2)因为正弦函数是周期函数，周期为2π，所以研究正弦函数的单调性，只要研究一个周期内(如[0,2π])的单调性即可．2．利用单调性比较三角函数值的大小的步骤： (1)异名函数化为同名函数．(2)利用诱导公式把角化到同一单调区间上． (3)利用函数的单调性比较大小．3．求函数的单调区间时，要充分利用正弦函数的递增、递减区间．在求复合函数的单调区间时，要先求定义域，同时还要注意内层、外层函数的单调性． 5．三角函数的奇偶性问题活动与探究5判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x sin(π＋x )； (2)f (x )＝2sin x －1；(3)f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )．迁移与应用已知f (x )＝ax ＋b sin 3x ＋1(a ，b 为常数)． (1)若g (x )＝f (x )－1，试证明g (x )为奇函数； (2)若f (5)＝7，求f (－5)．(1)判断函数奇偶性的方法特别提醒：对于正弦函数要注意诱导公式sin(－x )＝－sin x 的应用．(2)正弦函数的奇偶性问题的求解方法是：首先在所求的区间上设自变量，然后转化到已知条件上来解决．当堂检测1．函数f (x )＝1＋sin x 的最小正周期是( )． A ．π2 B ．π C ．3π2D ．2π2．函数y ＝sin x3的定义域是( )．A ．RB ．[－1,1]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D ．[－3,3] 3．函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤2π3的值域是( )．A ．[－1,1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 4．函数f (x )＝sin x －x3x是( )．A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数5．令a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18，b ＝sin 1110π，则a 与b 的大小关系是__________． 6．用五点法作出函数y ＝sin x －2在x ∈[－2π，2π]上的图像．答案：课前预习导学 【预习导引】1．(2)(0,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 (π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1 (2π，0) 预习交流1 略 预习交流2(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 －π2 1 π2 －1(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠3π2＋2k π，k ∈Z[－2,4] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 (1)C (2)略 迁移与应用 1．C 2活动与探究2 解：为使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤12，sin x >0，由正弦函数的图像(见图(1))或单位圆(见图(2))可得，如图所示．所以函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ 2k π<x ≤2k π＋π6或⎭⎪⎬⎪⎫2k π＋5π6≤x <2k π＋π，k ∈Z. 迁移与应用 解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π－7π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z(2){x |2k π＜x ＜2k π＋π，k ∈Z }(3)⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π6<x <2k π＋5π6，k ∈Z .活动与探究3 解：(1)∵－1≤sin 2x ≤1，∴－2≤－2sin 2x ≤2.∴1≤3－2sin 2x ≤5. ∴函数的值域为[1,5]．(2)y ＝sin 2x －sin x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋34.设t ＝sin x ，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，3π4，∴由正弦函数的图像知22≤t ≤1. 而函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34在⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1上单调递增， ∴当t ＝22，即x ＝3π4时，y min ＝3－22，当t ＝1，即x ＝π2时，y max ＝1.∴函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－22，1.迁移与应用 解：设sin x ＝t ，则t ∈[－1,1]． ∴y ＝－t 2＋t ＋74＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋2.∴当t ＝－1时，y min ＝－14；当t ＝12时，y max ＝2.∴所求函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2. 活动与探究4 解：(1)sin 190°＝sin(180°＋10°)＝－sin 10°， sin 200°＝sin(180°＋20°)＝－sin 20°. ∵y ＝sin x 在(0°，90°)上单调递增， ∴sin 10°＜sin 20°，从而－sin 10°＞－sin 20°， ∴sin 190°＞sin 200°.(2)∵y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增， 且－π2＜－π10＜－π11＜π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π11. (3)sin 15π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π8＝－sin π8，sin 10π9＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π9 ＝－sin π9，∵π2＞π8＞π9＞0， ∴sin π8＞sin π9.∴－sin π8＜－sin π9.∴sin 15π8＜sin 10π9.迁移与应用 (1)＞0 (2)＞0 (3)＜0活动与探究5 解：(1)f (x )＝－x ·sin x ，定义域为R . ∵f (－x )＝x ·sin(－x )＝－x ·sin x ＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数．(2)由2sin x －1≥0得sin x ≥12，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6 (k ∈Z )．定义域不关于原点对称， 故f (x )为非奇非偶函数．(3)∵1＋sin 2x ＞|sin x |≥－sin x ，∴sin x ＋1＋sin 2x ＞0.∴函数的定义域为R ，关于原点对称． 又f (－x )＋f (x )＝lg(－sin x ＋1＋sin 2x )＋lg(sin x ＋1＋sin 2x )＝lg[(－sin x ＋1＋sin 2x )(sin x ＋1＋sin 2x )]＝lg(1＋sin 2x －sin 2x ) ＝lg 1＝0，∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．迁移与应用 (1)略 (2)－5 【当堂检测】1．D 2．A 3．B 4．B 5．b ＜a 6．略。
1.5--正弦函数的图像与性质(北师大)
x∈[0,2π]
2
1
． ． ． ． ． 3
π
2
2π
0
x
2
-1y=sin x -1 x∈[0,2π]
y=3sin x x∈[0,2π]
5.3、正弦函数的性质
探究点2 正弦函数y=sinx的性质
观察正弦函数 y=sin x(x∈R) 的图像.
y
1
y=1
4
3
2
O
7 2
5
3
2
2
2
2
-1
2
3 2
3
4
5
7
x
2
2
y=-1
想一想： 1.我们经常研究的函数性质有哪些？ 2.正弦函数的图像有什么特点？ 3.你能从中得到正弦函数的哪些性质？
1.定义域
正弦函数 y=sinx的定义域为R
2.值域
从正弦函数的图像可以看出，正弦曲线夹在两 条平行线y=1和y=-1之间，所以值域为[-1,1]
设A=
x
x
π 2
5.正弦函数的性质与图像
5.1 从单位圆看正弦函数的性质
y1
函数y=sinx
正弦函数y=sinx有以下 性质：
sin α= v （1）定义域：R
P(u,v) （2）值域：[-1，1]
α
（3）是正周期是 2
（4）在[ 0，2]上
的单调性是：
-1
0，2
2
，3
2
3
1
描点得y=1+sin x的图象 y=1+sin x x∈[0,2π] y
1
．．
0
2
-1
． ． ． π
3 2
15正弦型函数的图像和性质(二)讲解
栏 点的横坐标)或第二，第三(或第四，第五)点横坐标，可以
目
开 直接解出 ω 和 φ，或由方程(组)求出．
关
②代入点的坐标，通过解最简单的三角函数方程，再结合
图象确定 ω 和 φ.
(3)A 的求法一般由图象观察法或代入点的坐标通过解 A 的
方程求出．
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§1.5（二）
例如，已知函数 y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|
本 讲
C．2kπ＋π2，k∈Z
D．kπ＋π2，k∈Z
栏 目
(2)若函数 f(x)＝cos(3x＋φ)是奇函数，则 φ 等于 ( B )
关
四个步骤．请完成下面的填空．
ωx
π
＋φ 0
2
3
π
2π
2π
x －___ωφ_ －__ωφ__＋__2_πω_ _－__ωφ__＋__ωπ_ －_ω_φ_＋__23_ωπ_ －_ωφ__＋__2ω_π
y0
A
0
－A
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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§1.5（二）
本
所以，描点时的五个关键点的坐标依次是__－__ωφ__，__0__，
x 轴上升的即为“第一零点”(x1,0)．从左到右依次为第 二、三、四、五点分别有 ωx2＋φ＝π2，ωx3＋φ＝π，ωx4 ＋φ＝32π，ωx5＋φ＝2π.
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§1.5（二）
(2)由图象确定系数 ω，φ 通常采用两种方法：
本 讲
①如果图象明确指出了周期的大小和初始值 x1(第一个零
目 开 关
②函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)是偶函数⇔f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的图象关于 y 轴对称⇔f(0)＝A 或 f(0)＝－A⇔φ＝kπ＋π2
1.5正弦函数y=sinx的图像与性质
y=sinx，x[0, 2]
课内练习
练习：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数
y=
sin(x+ 2
)，x[
2
,
3 2
] ；y=sinx，x[0, 2]
x x
y 2 1
02
0
2
2 0 -1
3 2
3 22
sinx 1 0 sin( x+ 2 )
0 1
2、y=2sinx, x ∈[ 0,2π]
关键是把“五点”找准，并想一想 找 “五点”有什么规律？
1.5.3 正弦函数的 性质
正弦函数 y=sinx 的性质
y 1
y 1
2
2
2
O
1
3 2
2
3
4
y 1
x
（1）定义域
实数集R
2k 1 当x=________________时， ymax _____ 2
2
x
y=sinx xR y=sinx x[0,2] f ( x 2k ) f ( x) 利用图象平移
终边相同角的三角函数值相等 即： sin(x+2k)=sinx, kZ
y
1
2
o -1
2
3 2
2
x
y=sinx x[0,2] y y=sinx xR
1 -4 -3 -2 -
正弦曲线
o
-1
2
3
4
5
6
x
想一想
如何作出正弦函数的图象（在精确度要求不太高 时）？
数学必修四北师大版 1.5 正弦函数的性质与图象(共17张PPT)
前面我们借助单位圆学习了正 弦函数y=sin x的基本性质，下面 画出正弦函数的图像，然后借助正 弦函数的图像，进一步研究它的性 质.
从单位圆看正弦函数的性质
sin α= v
-1
y函数y=sinx
1
正弦函数y=sinx有 以下性质：
（1）定义域：R
P(u,v) （2）值域：[-1，1]
7 4 3 5 11 2
6 32 36
三、五点法
y 图像的最高点( ,1)
1-
2
3 2
-1 O
( ,0)
2
-1 -
图像的最低点
x
2
与x轴的交点 (0,0) ( ,0) (2 ,0)
简图作法
(
3 2
,1)
(1)列表(列出对图像形状起关键作用的五点坐标). (2)描点(定出五个关键点). (3)连线(用光滑的曲线顺次连接五个点).
π 2
3π 2
2
y=sinx 0 1 0 -1 0
y=sinx
0 -1 0
1
0
y
1
.
O
-1
.2
.y= -sinx, x[0, 2 ]
.
.
3
2
x
2
y s i n x ,x [ 0 , 2 π ]
例2.用五点法画出y=1+sinx在区间[0,2π]上的简图. 解：列表
x0 y=sinx 0 1 y=1+sinx
α
（3）是周期函数，
o
M 1 x 最小正周期是 2
（4）在[ 0，2 ]上 的单调性是：
-1
提出问题
1、画函数的图像有哪些方法?
1.5 正弦型函数的图像-人教A版高中数学必修四讲义(解析版)
1．利用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，要先令“ωx ＋φ”这一个整体依次取0，π2，π，32π，2π，再求出x 的值，这样才能得到确定图象的五个关键点，而不是先确定x 的值，后求“ωx ＋φ”的值． 2．由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值． (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A |.(2)因为T ＝2πω，所以往往通过求得周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)从寻找“五点法”中的第一个零点⎝⎛⎭⎫－φω，0(也叫初始点)作为突破口，以y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．3．在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如函数在ωx ＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )时取得最小值． 4．函数()sin y A x ωϕ=+的性质⑴ 周期性：函数()sin y A x ωϕ=+（其中A ωϕ，，为常数，且00A ω≠>，）的周期仅与自变量的系数有关．最小正周期为2πT ω=．⑵ 值域：[]A A -，教材要点学科素养 学考 高考 考法指津高考考向1.用五点法画出函数)sin(ϕ+=wx A y 的图像直观想象 水平1 水平11.继续加深理解“五点法”的应用，特别是一些特殊点：端点和对应五点。
2.掌握正余型弦函数以及正切型函数性质的处理方法。
【考查内容】正弦型函数的伸缩变换和平移变换； 利用三角函数的图像变换求解析式。
【考查题型】选择题、填空题【分值情况】5--12分2.正弦型函数与正弦函数的图像直接的关系直观想象 水平2 水平 23.正弦型函数的振幅、周期 数学抽象 水平1 水平14.正弦型函数的频率、相位、和初相数学抽象 水平1 水平1 第五讲 函数)sin(ϕ+=wx A y 的图像 知识通关⑶ 奇偶性：当()π k k ϕ=∈Z 时，函数()sin y A x ωϕ=+为奇函数；当()ππ 2k k ϕ=+∈Z 时，函数()sin y A x ωϕ=+为偶函数． ⑷ 单调区间：求形如()sin y A ωx φ=+或()cos y A ωx φ=+（其中0A ≠，0ω>）的函数的单调区间可以通过图象的直观性求解，或根据解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“()0ωx φω+>”视为一个“整体”．②0A >()0A <时，所列不等式的方向与()sin y x x =∈R 、()cos y x x =∈R 的单调区间对应的不等式的方向相同（反）．⑸ 对称轴方程：0x x =，其中()0ππ 2x k k ωϕ+=+∈Z ． ⑹ 对称中心：()00x ，，其中()0π x k k ωϕ+=∈Z ． 5、A ωϕ、、对函数()sin y A x ωϕ=+的图象的影响 ⑵ ϕ对()sin y x ϕ=+的图象的影响．函数()sin y x ϕ=+(0)ϕ≠的图象，可以看做是把sin y x =图像上的各点向左(0)ϕ>或向右(0)ϕ<平移ϕ个单位而得到的．（可简记为左""+右""-） 即sin y x=00ϕϕ>−−−−−−→<时向左时向右平移ϕ个单位得()sin y x ϕ=+⑵ω对()sin y x ϕ=+的图象的影响．函数sin y x ω=(01)ωω>≠，的图象，可以看做是把sin y x =的图象上的各点的横坐标都缩短(1)ω>或伸长(01)ω<<到原来的1ω倍（纵坐标不变）而得到的．即sin y x =的横坐标101ωω>−−−−−−−→<<时缩短时伸长到原来的1ω倍得sin y x ω=． ⑵A (0)A >对()sin y A x ωϕ=+的图象的影响函数sin y A x =（0A >且1A ≠）的图象，可以看做是sin y x =的图象上各点的纵坐标都伸长(1)A > 或缩短(01)A <<到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的．即sin y x =的纵坐标101A A >−−−−−−−→<<时伸长时缩短到原来的A 倍得sin y A x =．题型一 平移变换例1 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度，所得图象的函数解析式为( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π8题型五 图象变换的综合应用例5 下图是函数()sin y A x xωϕ=+∈R ，在区间π5π66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将()sin y x x =∈R 的图象上所有的点（ ）A ．向左平移3个单位长度，再把所得点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变解析：由图象知，1A =，2ππω=，解得2ω=； 故sin(2)y x ϕ=+π5π736π212+=，7sin 2π112ϕ⎛⎫⋅+=- ⎪⎝⎭，从73π2ππ()62k k ϕ+=+∈Z ． 故π2π3k ϕ=+()k ∈Z ．此函数的解析式为πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．答案 A变式训练5 将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值为( ) A.π12 B.π6 C.π3 D.5π6解析： 因为函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象向左平移m 个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋m ，所以π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，即m ＝k π＋π6，k ∈Z .又m >0，所以m 的最小值为π6，答案 B题型六 函数y ＝A sin ()ωx ＋φ，|φ|<π2性质的应用例6 设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)， 函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1) 求φ的值；(2) 求函数y ＝f (x )的单调区间及最值． 解析： (1)由2x ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π4－φ2，k ∈Z ，(1)求函数y＝f(x)的解析式；一、选择题1．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析： 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为T ＝2π2＝π，向右平移14个周期，即向右平移π4个单位长度后，得到图象对应的函数为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故选D. 答案 D2．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位长度，所得图象对应的函数是( ) A ．非奇非偶函数 B ．既是奇函数又是偶函数 C ．奇函数 D ．偶函数解析： y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x 的图象， y ＝－cos 2x 是偶函数． 答案 D4．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的周期为2π3，则函数f (x )图象的对称轴方程为( ) A ．x ＝k π＋π3(k ∈Z )B ．x ＝k π－π3(k ∈Z )C ．x ＝k π3＋π9(k ∈Z )D ．x ＝k π3－π9(k ∈Z )解析： 由函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1的周期为2π3，知2π|ω|＝2π3，又ω>0，所以ω＝3， 则对称轴方程为3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝π9＋k π3，k ∈Z .答案 C5．下列表示函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图正确的是( )解析： 将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所有点向右平移π6个单位长度即可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，依据此变换过程可得到A 中图象是正确的．也可以分别令2x －π3＝0，π2，π，3π2，2π得到五个关键点，描点连线即得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象． 答案 A6．把函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移π6个单位长度，得到一个最小正周期为2π的奇函数g (x )，则ω和φ的值分别为( )A ．1，π3B ．2，π3 C.12，π6 D.12，π3解析： 依题意得f (x )第一次变换得到的函数解析式为m (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ω2x ＋φ， 则函数g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx 2＋ωπ12＋φ. 因为函数的最小正周期为2π，所以ω＝2， 则g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ. 又因为函数为奇函数，所以φ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，又0<φ<π，则φ＝π3.答案 B8．要得到y ＝tan 2x 的图象，只需把y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象( ) A ．向左平移π6个单位得到B ．向左平移π12个单位得到C ．向右平移π12个单位得到D ．向右平移π6个单位得到解析： 设向左平移φ个单位得到y ＝tan 2x 的图象，y ＝tan ⎣⎡⎦⎤2(x ＋φ)－π6＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ－π6，∴2φ－π6＝0，∴φ＝π12， ∴向左平移π12个单位得到．答案 B9．已知将函数()cos4f x x =的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后所得的图象关于y 轴对称，则ϕ的值可能为（ ）A ．6π B ．3π C ．8π D ．4π 解析：将函数()cos4f x x =的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后，得到()cos 44y x ϕ=-的图象，由题意，得()4k k ϕπ=∈Z ，则()4k k πϕ=∈Z ，取1k =，得4πϕ=. 答案 D10．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( )A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度解析：根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，)2πϕ<的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭， 可得1A =，1274123πππω⋅=-，解得：2ω=．再根据五点法作图可得23πϕπ⋅+=，可得：3πϕ=， 可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故把()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度， 可得sin 2cos236y x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象，故选B ． 答案 B二、填空题11．将函数y ＝sin(－2x )的图象向左平移π4个单位长度，所得函数图象的解析式为________．解析： y ＝sin(－2x )――――――――――→左移π4个单位长度y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－2⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－cos 2x .答案 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫13x －114．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______． 解析： 函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，所以()00f =，代入可得0ϕ=，()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ． 则()1sin 2g x A x ω⎛⎫= ⎪⎝⎭，()g x 的最小正周期为2π，则2212ππω= ，解得2ω=，所以()sin g x A x =，因为4g π⎛⎫=⎪⎝⎭sin 4A π=，解得2A =，所以()2sin 2f x x =，则2sin 33882f ππ⨯⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答案三、解答题15．使函数y ＝f (x )的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，然后再将其图象沿x轴向左平移π6个单位长度得到的曲线与y ＝sin 2x 的图象相同，求f (x )的表达式．解析：方法一 (正向变换)y ＝f (x )―――――→横坐标缩短到原来的12倍y ＝f (2x )――――――→沿x 轴向左平移π6个单位长度 y ＝f ⎝⎛⎭⎫2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin 2x . 令2x ＋π3＝t ，则2x ＝t －π3，∴f (t )＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 方法二 (逆向变换)根据题意，y ＝sin 2x ―――――→沿x 轴向右平移π6个单位长度 y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3――――――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3.16．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0≤φ≤π2在x ∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x ＝π时，y max ＝3；当x ＝6π时，y min ＝－3.(1)求此函数的解析式； (2)求此函数的单调递增区间．解析： (1)由题意得A ＝3，12T ＝5π，所以T ＝10π，所以ω＝2πT ＝15，则y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫15x ＋φ.因为点(π，3)在此函数图象上， 则3sin ⎝⎛⎭⎫π5＋φ＝3. 又因为0≤φ≤π2，有φ＝π2－π5＝3π10，所以y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫15x ＋3π10.(2)当－π2＋2k π≤15x ＋3π10≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－4π＋10k π≤x ≤π＋10k π，k ∈Z 时， 函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫15x ＋3π10单调递增．所以此函数的单调递增区间为[－4π＋10k π，π＋10k π](k ∈Z )．18．已知定义在区间⎣⎡⎦⎤－π，23π上的函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ≤π)的图象关于直线x ＝－π6对称，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3时，f (x )的图象如图1-5-5所示．图1-5-5(1)求f (x )在⎣⎡⎦⎤－π，23π上的解析式； (2)求方程f (x )＝22的解. 解析： (1)由题图知：A ＝1，T ＝4⎝⎛⎭⎫2π3－π6＝2π，则ω＝2πT ＝1， 在x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3时，将⎝⎛⎭⎫π6，1代入f (x )得， f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1，因为0<φ≤π，所以φ＝π3， 所以在x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 同理在x ∈⎣⎡⎦⎤－π，－π6时， f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －23π. 综上，f (x )＝⎩⎨⎧sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，sin ⎝⎛⎭⎫x －23π，x ∈⎣⎡⎦⎤－π，－π6.(2)由f (x )＝22在区间⎣⎡⎦⎤－π6，2π3内可得x 1＝5π12，x 2＝－π12. 因为y ＝f (x )关于x ＝－π6对称，有x 3＝－π4，x 4＝－3π4.则f (x )＝22的解为－π4，－3π4，5π12，－π12.一、选择题1．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象，只要将函数y ＝sin x2的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移2π3个单位长度D ．向右平移2π3个单位长度答案 C2．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象上所有的点向左平移π2个单位长度．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )A ．4B ．6C ．8D ．12解析： 对于B 选项，f (x )＝sin(6x ＋φ)的图象向左平移π2个单位长度，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤6⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋φ＝sin(6x ＋φ＋π)＝－sin(6x ＋φ)的图象． 答案 B图1-5-3 A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 解析： 由图象知，14T ＝π12－⎝⎛⎭⎫－π6＝π4，∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2，把y ＝cos 2x 的图象向右平移π12个单位即得所给图象，∴所求函数为y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π12＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 答案 D5．若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )解析： 由题意将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 由2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B.答案 B6.函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析： 由图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z . 故选D. 答案 D8．已知函数()sin(),(0)6f x x ωω=+> 图象上相邻两条对称轴的距离为2，把()f x 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移53π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（ ）A ．()cos 4g x x =-B ．()cos 4g x x =C ．()cos g x x =-D ．()cos g x x =解析：依题意，22T π=，所以T π=，所以2ππω=，解得2ω=，所以()sin(2)6f x x π=+．把()f x 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线sin()6y x π=+，再把曲线sin()6y x π=+向右平移53π个单位长度，得到曲线5sin()36y x ππ=-+，即cos y x =，故()cos g x x =。
正弦函数的图像和性质
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招呼.至于陈三六,和白狼马の女人们,孩子们就暂时没有放出来了,要不然の话挤の慌.不过大家把酒言欢,过了壹会尔就提到了根汉要出去独闯の事情,壹听说根汉过段时间就要离开这里又要去独闯了,白萱有些不高兴了."小姨,要不你跟着根汉哥哥出去壹起闯荡吧."瑶瑶建议道："你们 都这么久不见了,现在又要分开,太残忍了.""没什么,以后不是有你们陪伴嘛,他也不能总陪着咱,再说了,咱这么大人了要人陪干吗."白萱虽然壹开始有些不高兴,但是还是欣然接受.根汉也想说,要不和白萱还有钟薇壹起去吧,也算是对她们の弥补了.不过白萱和钟薇都表示,让自己独自 壹人离开,带上她们也不太方便,那闯荡也就没什么意义了,她们也习惯在这无心峰の宁静生活了.现在再出去打拼反而不美,不如就呆在这里好好体验生活,感悟天道,或许可以早壹日突破桎梏.对此根汉也只能是表示,罢了,就让她们呆在这里吧.这壹次自己出去独闯,也不知道要面对多少 艰难险阻,她们呆在这无心峰也挺好の,起码挺安全の.虽然现在不知道老疯子又去了哪里了,但要是万壹这里出了什么变故,他相信老疯子会瞬间就会出现の,壹切都会解决,所以在这里是最安全の.不过根汉也不想现在就离开,好久没见到白萱和钟薇了,现在也不想马上就离去,他表示起 码在这里呆上三年,在情域和无心峰这壹带转壹转再走.几天之后,根汉终于是来到了旁边の壹座侧峰.这里半山腰处,有壹个山洞,洞府口贴上了几张符纸,还是壹座封印结界."咱说蓝霞妹子,这么多年过去了,你还记着咱呢."根汉站在洞口,有些无奈の苦笑.这封印结界明显是刚刚不久前 才弄出来の,显然是蓝霞仙子,不乐意待见自己,故意将这里给封上の.里面没有传来回馈,不过这样の封印结界,却完全挡不住根汉.根汉壹步便迈进了封印结界之中,然后下壹秒,他就知道自己又闯
正弦函数的图像
目录
• 正弦函数的定义与性质 • 正弦函数的图像绘制 • 正弦函数的应用 • 正弦函数与其他函数的对比 • 正弦函数的扩展
01
正弦函数的定义与性质
定义
总结词
正弦函数是三角函数的一种，定义为 直角三角形中锐角的对边长度与斜边 长度的比值。
详细描述
正弦函数通常表示为sin(x)，其中x是角 度（以弧度为单位）。在直角三角形中， 锐角的对边长度为y，斜边长度为r，则 正弦函数的定义为y/r。
工程中的应用
机械工程
在机械振动和稳定性分析 中，正弦函数用于模拟和 预测结构的振动和稳定性。
航空航天
在航空航天领域，正弦函 数用于计算飞行器的姿态 角、角速度等参数。
电子工程
在信号处理和通信中，正 弦函数用于调制和解调信 号，实现信息的传输和接 收。
数学其他领域中的应用
三角恒等式
01
正弦函数与其他三角函数（余弦、正切等）之间存在许多重要
总结词
描述正弦函数积化和差公式的应用和意义。
详细描述
正弦函数的积化和差公式是三角函数中另一个重要的公式，它描述了正弦函数乘积与和差之间的关系。通过这个 公式，我们可以将两个正弦函数的乘积转化为一个正弦函数和另一个正弦函数之和或差的乘积，从而进一步简化 计算。
正弦函数的倍角公式
总结词
描述正弦函数倍角公式的应用和意义。
相位
相位决定了正弦函数图像在x轴上的位置，通过调 整相位参数，可以改变图像起始点的位置。
03
正弦函数的应用
物理中的应用
振动和波动
正弦函数是描述简谐振动和波动的基本函数，如弹簧振荡器、声 波等。
交流电
正弦函数用于描述交流电的电压和电流，广泛应用于电力系统和 电子设备。
正弦函数的性质和图像
π 2
1
3π 2
O
π
x
-1
（5）单调性
增 区 间：[
-
π 2
，π 2
减 区 间： [π
，3 π
2
2
](k∈Z ) ](k∈Z )
2.正弦函数 y sin x 的性质
yπ
2
-
π 2
1
3π 2
O
π
x
-1
（5）单调性
增 区间 ：[
-
π 2
+
2
kπ
，π 2
+
2 kπ ]( k ∈ Z
)
减 区间 ： [π 2
6. 对称性：
正弦函数的图像和性质 y
1. 定 义 域 ：R
-
π 2
1
3π 2
-
3π 2
-π
O
π 2
π
2π 5π
x
2
2. 值域：[ -1,1]
-1
3.奇偶性：奇函数s，in（- x）= - sinx
4. 周期性：T = 2 kπ，最小正周期为2 π
5. 单 调 性 ：
6. 对称性：
正弦函数的图像和性质 y
y
P
α
O
x
1.正弦函数 y sin x 的图像
y
P（cos α, sin α）
α
O
x
1.正弦函数 y sin x 的图像
y
y
P（cos α, sin α）
（α，sinα）
α
O M x Oα
x
1.正弦函数 y sin x 的图像
y
y
P
O
xO
正弦函数的图像ppt课件
信号处理
在信号处理领域，正弦函数常被用 于信号的滤波、调制和解调等操作。
机械工程
在机械振动和噪音控制中，正弦函 数被用于描述和分析振动模式和频 率。
在日常生活中的应用
音乐
正弦函数在音乐领域的应 用非常广泛，如音高和音 长的计算等。
通信
无线电和电视信号的传输 过程中，正弦函数用于调 制和解调信号。
医学成像
正弦函数的周期性
总结词
正弦函数具有周期性，即函数图像每 隔一定周期重复出现。
详细描述
正弦函数的周期为360度或2π弧度，这 意味着每经过360度或2π弧度，函数值 会重复之前的值，形成周期性的波形。
正弦函数的奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，具有奇函数的性质。
详细描述
奇函数满足性质f(-x)=-f(x)，对于正弦函数，当取相反角度时，函数值也取相反 数。例如，sin(-π/2) = -1，与sin(π/2)的值相反。
03
正弦函数的应用
在物理中的应用
01
02
03
简谐振动
正弦函数是描述简谐振动 的基本函数，如弹簧振荡 器、单摆等。
交流电
正弦函数被广泛用于描述 交流电的电压、电流和频 率，是电力系统的基本模 型。
声学
声音的传播和波动可以用 正弦函数来描述，如声波 的振幅和频率。
在工程中的应用
控制系统
正弦函数在控制系统分析中有着 广泛应用，如PID控制器等。
03
奇偶性
正弦函数是奇函数，而正切函数是奇函数。这意味着它们在对称性上有
相同的表现。
与其他三角函数的比较
定义域
除了正弦函数、余弦函数和正切函数外，还有其他一些三角函数，如反正弦函数、反余弦 函数、反正切函数等。它们的定义域各不相同，但都与正弦函数、余弦函数和正切函数的 定义域有交集。
高中数学第一章三角函数1.5正弦函数的性质与图像1.5.1正弦函数的图像课件北师大版必修4
【做一做1】 用五点法画y=sin x,x∈[0,2π]的图像时,最高点的横 坐标与最低点的横坐标的差为( )
A. π B. 2π C. D.
π 2 3π 2
答案:A
【做一做2】 用五点法画y=sin x,x∈[0,2π]的图像时,下列各点不 是关键点的是( )
A.
π 1 6 2
,
B.
π 2
,1 C. (π, 0)D. (2π, 0)
1
2
3
4
5
1.用五点法画y=2sin x的图像时,首先描出的五个点的横坐标是 ( )
A.0, 2 , π,
答案:A
π
3π 2
, 2π
B. 0, 4 , 2 ,
π π 3π
C.0,π,2π,3π,4π
D.0, , , ,
6 3 2
4 π π π 2π 3
,π
1
2
3
4
5
2.函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图像是(
π π 3π 4
1
2
, 2������π +
5π 6
题型一
题型二
题型三
题型三
正弦曲线的应用
【例3】 判断方程x+sin x=0的根的个数. 分析:转化为判断函数y=-x和y=sin x的图像的交点个数. 解:在同一平面直角坐标系中画出y=-x和y=sin x的图像,如图所 示.
由图知y=-x和y=sin x的图像仅有一个交点,则方程x+sin x=0仅有 一个根.
3π 4
,������∈Z .
题型一
题型二
题型三
同理,满足 sin α≤− 2 的角α 的集合为 ������ 2������π + ������ ≤ 2������π +
正弦函数的图象
正弦函数的图象
正弦函数曲线是一种二次函数, 它表示振动或周期运动物体的物理量和它相关的位置、速度与时间之间的变化关系. 它是几何学中最常用的函数之一, 它与余弦函数具有相同的
属性. 由于正弦函数的基本性质, 它的图形具有一定的特点.
首先, 正弦函数的图形是一个周期性的曲线，它的周期是指函数值重复在相同的值域
上的次数。
其次,正弦函数的曲线是对称的，即它的图中有一条对称轴，且具有周期性，
它值的正负值可以能够在曲线图中相互交替出现。
此外, 正弦函数的曲线有两个极点，即
函数值最大（1）和最小（-1）时的位置。
当以x轴为横轴表示时，y轴上的正弦函数的曲线可以用下面的公式来表示：y=sin x, 其中的x是x轴的变量（时间），y代表函数值（位置和速度）。
当x从0到2π（360度）变化时，正弦函数曲线会沿着一定的规律从最大值开始，直到x变化到270 度时，正弦函数值变为最小值（-1），然后从270度开始，沿着同样的规律正弦函数值变为最大值（1），以此类推，直到x变为360度时，再从最大值（1）开始重复变化。
因此，正弦函数的图象是一条有规律的曲线，它是一条对称的曲线，有两个极点, 它
的变化是一个有规律的周期性运动。
在数学中，正弦函数的分析有助于我们理解振动及周
期性运动的物理量和它们相关的位置、速度及时间的变化关系。
tan sin cos 数值表图对应基本型
Tan Sin Cos 数值表图对应基本型正弦、余弦和正切是三角函数中的基本函数，它们在数学和物理学中起着重要作用。
在本文中，我们将讨论这三个函数的数值表格和图表，并探索它们之间的基本关系。
正弦函数 Sin正弦函数是一个周期性函数，其图像在数学坐标系中以正弦曲线的形式呈现。
我们可以通过以下数值表格来展示正弦函数的取值：角度（度）角度（弧度）正弦值00030π/61/245π/4√2/260π/3√3/290π/21………通过上表可以看出，正弦函数的取值范围在 -1 到 1 之间，且在特定角度下取得特定的数值，形成一种规律性变化。
余弦函数 Cos余弦函数同样是一个周期性函数，在数学坐标系中以余弦曲线的形式展现。
下面是余弦函数的数值表格：角度（度）角度（弧度）余弦值00130π/6√3/245π/4√2/260π/31/290π/20………与正弦函数类似，余弦函数的取值范围也在 -1 到 1 之间，且在不同角度下取得不同的数值。
正切函数 Tan正切函数是正弦函数与余弦函数的比值，其数值表格如下所示：角度（度）角度（弧度）正切值00030π/6√3/345π/4160π/3√390π/2无穷大………从上表中可以看出，正切函数在不同角度下的取值会有一些特殊的情况，例如在 90 度时，正切函数的值为无穷大。
正弦、余弦、正切函数图像除了数值表格之外，我们还可以通过绘制对应的函数图像来更直观地展示正弦、余弦和正切函数的性质。
下面是它们的图像示例：•正弦函数图像：sin(x)•余弦函数图像：cos(x)•正切函数图像：tan(x)通过观察这些图像，我们可以更好地理解正弦、余弦和正切函数的周期性、变化规律以及特殊点的性质，并在实际问题中更好地应用它们。
综上所述，通过数值表格和图表的展示，我们更深入地了解了正弦、余弦和正切函数之间的关系和性质。
这些基本函数在数学和物理学中具有重要作用，对于解决各种问题具有重要的指导意义。
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§1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象
【知识要点】
1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念
2．用五点法画y ＝Asin(ωx ＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y ＝Asin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
【典型例题】
例1(1)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜π
2的部分图像如图，则ω，φ的值分( ) A ．2，－π3 B ．2，－π6 C ．4，－π
6
D ．4，π
3
(2)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π
2
，
直线x ＝π
3是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )
A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6
B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3＋2 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫4x ＋π
6＋2 例2已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫
12x －π4，x ∈R .，将函数y ＝sin x 的图像作怎样的变换可得到f (x )的图像？
例3．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)图像向右平移π
2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图像重合，则φ＝________. 例4．设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝3
2. (1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图像．
【课堂练习】
1．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
4振幅、频率和初相为( ) A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4 C ．2，1π，－π8 D ．2，12π，－π
8
2．把y ＝sin 1
2
x 图像上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 图像，则ω值( )
A ．1
B ．4 C.1
4 D ．2
3．函数f (x )＝sin x cos x ＋
3
2
cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π， 1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，2 4．y ＝sin(2x ＋φ)图像沿x 轴向左平移π
8
个单位后为偶函数，则φ的一个可能取值( )
A.3π4
B.π4 C ．0 D ．－π4
5.函数y ＝sin ωx (ω>0)的部分图像如图所示，点A 、B 是最高点，点C 是最低点，若△ABC 是直角三角形，则ω的值为( )
A.π2
B.π
4 C.π
3
D ．π
6．把函数y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图像向左平移π
4
个单位，得到的函数图像的解析式( ) A ．y ＝cos 2x B ．y ＝－sin 2x C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 7．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图像向左平移π
6
个单位后所得函数图像的解析式是奇函数，则函数 f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π
2上的最小值为( ) A ．－
3
2
B ．－12 C.1
2
D.3
2
8．将函数f (x )＝sin (2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π
2的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图像，若f (x )，g (x )
的图像都经过点P ⎝
⎛⎭
⎫
0，
32，则φ的值可以是( ) A.5π3 B.5π
6 C.π2 D.π6
9.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图像如图所示，则f (0)的值是________． 10、将函数x y 34sin 43=
的图象上所以点的纵坐标缩短到原来的2
1
倍，横坐标不变，那么新图象对应的函数值域是 ，周期是 .
【巩固提高】
1．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期为T ，且当x ＝2时，f (x )取得最大值，那么( )
A ．T ＝2，θ＝π
2
B ．T ＝1，θ＝π
C ．T ＝2，θ＝π
D ．T ＝1，θ＝π
2
2．已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π
2
，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )
A ．[12，54]
B ．[12，34]
C ．(0，1
2
]
D ．(0,2]
3．(2015·长沙一模)定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin2x cos 2x 1 3，则将f (x )的图像向右平移π3个单
位所得曲线的一条对称轴的方程是( )
A ．x ＝π6
B ．x ＝π4
C ．x ＝π
2
D ．x ＝π
4．(2015·长春模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(|φ|＜π2)向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f (x )在[0，π
2]上的最小值
为( )
A ．－
32 B ．－12 C.1
2
D.3
2
5．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π2)的图像如右图所示，则当t ＝
1
100
秒时，电流强度是( )
A ．－5安
B ．5安
C ．53安
D ．10安
6．(2015·宁德质检)如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π2)在区间[－π6，5π
6]上的图像，将该图像向右平移
m (m ＞0)个单位后，所得图像关于直线x ＝π
4
对称，则m 的最小值为( )
A.π12
B.π6
C.π
4
D.π
3
7．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的 图像如图所示，则ω＝________.
8．设函数f (x )＝sin x －cos x ，若0≤x ≤2 011π，则函数f (x )的各极值之和为________．
9．若将函数y ＝2sin(3x ＋φ)的图像向右平移π4个单位后得到的图像关于点(π
3，0)对称，则|φ|的最小值是______．
10．设函数f (x )＝sin(2x ＋π
6
)，则下列命题：
①f (x )的图像关于直线x ＝π3对称；②f (x )的图像关于点(π6，0)对称；③f (x )的最小正周期为π，且在[0，π
12]
上为增函数；④把f (x )的图像向右平移π
12
个单位，得到一个奇函数的图像．
其中正确的命题为________(把所有正确命题的序号都填上)．
11．已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)，其图像过点(π6，1
2
)．
(1)求φ 的值；
(2)将函数y ＝f (x )的图像上各点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，
求函数g (x )在[0，π
4]上的最大值和最小值．
12．(2015·长春调研)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2<φ<π
2x ∈R )的部分图像如图所示．
(1)求函数y ＝f (x )的解析式；
(2)当x ∈[－π，－π
6]时，求f (x )的取值范围．
13.将函数y ＝sin x 的图像向右平移π
3个单位，再将所得的图像上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的4
倍．这样得到函数f (x )的图像．若g (x )＝f (x )cos x ＋ 3.
(1)将函数g (x )化成g (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭
⎫其中A ，ω>0，φ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的形式； (2)若函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π
12，θ0上的最大值为2，试求θ0的最小值．。