初中数学几何最值问题

初中几何最值问题常用解法

初中几何最值问题一直是学生们的难点，但通过一些常用的解法，我们可以轻松解决这些问题。以下将介绍9种常用的解法，帮助您更好地理解和学习。

一、轴对称法

轴对称法是一种常用的解决最值问题的方法。通过将图形进行轴对称变换，可以将问题转化为相对简单的问题，从而找到最值。

二、垂线段法

垂线段法是指在几何图形中，利用垂线段的性质来求取最值。例如，在矩形中，要使矩形的周长最小，可以将矩形的一条边固定，然后通过调整其他边的长度，使得矩形的周长最小。

三、两点之间线段最短

两点之间线段最短是几何学中的基本原理。在解决最值问题时，我们可以利用这个原理，找到两个点之间的最短距离。

四、利用三角形三边关系

三角形三边关系是指在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。利用这个关系，可以解决一些与三角形相关的最值问题。

五、利用余弦定理求最值

余弦定理是三角学中的基本定理，它可以用来解决一些与角度和边长相关的问题。通过余弦定理，我们可以找到一个角的最大或最小余弦值，从而求得最值。

六、利用基本不等式求最值

基本不等式是指在一个数列中，平均值总是小于等于几何平均值。利用这个不等式，可以解决一些与数列相关的最值问题。

七、代数运算求最值

代数运算是一种基本的数学运算方法，它可以用来解决一些与代数式相关的最值问题。例如，通过求导数或微分的方法，可以找到一个函数的最大或最小值。

八、代数方程求最值

代数方程是一种基本的数学方程形式，它可以用来解决一些与代数方程相关的最值问题。例如，通过解二次方程或不等式的方法，可以找到一个表达式的最大或最小值。

初中几何最值问题解题技巧

初中几何最值问题是一个比较常见的问题，通常涉及到线段、角度、面积等几何元素的最小值或最大值的求解。下面将详细讲解一些常见的解题技巧：

1.利用轴对称性转化：对于一些具有轴对称性的几何图形，可以

利用轴对称性将问题转化为更简单的问题。例如，对于一个关

于直线对称的图形，可以找到对称轴，然后将问题转化为求解

对称轴上的点到原图形的最短距离或最大距离。

2.利用三角形不等式：三角形不等式是解决几何最值问题的重要

工具。例如，对于一个三角形，任意两边之和大于第三边，任

意两边之差小于第三边。利用这些不等式，可以推导出一些关

于几何元素的最值关系。

3.利用特殊位置和极端位置：在解决几何最值问题时，可以考虑

特殊位置或极端位置的情况。例如，对于一个矩形，当它的一

条对角线与矩形的一条边垂直时，该对角线的长度达到最小值。

对于一个三角形，当它的一条边与另一条边的延长线垂直时，

该三角形的面积达到最小值。

4.利用几何定理：几何定理是解决几何最值问题的有力工具。例

如，对于一个三角形，当它的一条边与另一条边的中线重合时，

该三角形的周长达到最小值。对于一个四边形，当它的一条对

角线与另一条对角线的中线重合时，该四边形的面积达到最小

值。

5.利用数形结合：数形结合是解决几何最值问题的常用方法。通

过将几何问题转化为代数问题，可以更容易地找到问题的解。

例如，对于一个圆上的点到圆心的距离的最大值和最小值，可以通过将问题转化为求解圆的半径的平方的最大值和最小值来解决。

以上是一些常见的初中几何最值问题的解题技巧，希望能够帮助你更好地解决这类问题。

初中几何最值问题

【问题概述】初中数学最值问题是每年中考必出题，更是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。

【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．

【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．

【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．

【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．一．【十二个基本问题】

在直线l上求一点

+PB 值最小。

【问题2】作图

在直线l上求一点

A+PB 值最小．

【问题3】“将军饮马”作图

在直线l1 、l2 上分别

求点M、N，使△PMN

周长最小．

【问题 4】作图

在直线l1、l2上分别求

M 、N ，使四

PQMN的周长最小。

直线m∥ n，在m、

上分别求点M、N，使

m，且AM+MN+BN

值最小。

【问题 6】作图

在直线l上求两点M、

在左），使MN a，并使

+MN+NB 的值最小

作图

l1上求点A，在l2

B，使P A+AB值最小．

【问题 8】作图

A 为l1上一定点，B

上；A 为l1上一定点，

B 为l2上一定点，在

上求点M在l1上求点N

作图

在直线l上求一点

PA－的值最小

PB

二．“一次对称”常见模型:在直线 l 上求一点 PB PA －的值最大作图

在直线 l 上求一点 PB －的值最大 .【问题 12】“费马点”作图

ABC 中每一内角都小120°，在△ABC 内求一点P ，使 P A +PB +PC 最小．

【精品练习】

初中几何最值问题类型

初中几何中的最值问题类型有以下几种：

1.最大值最小值问题：

求某个几何图形的最大面积或最小周长，如矩形、三角形等。求抛物线的最高点或最低点，即顶点的坐标。

2.极值问题：

求函数图像与坐标轴的交点。

求函数在某个区间内的最大值或最小值，如求二次函数的最

值等。

3.最优化问题：

求物体从一个点到另一个点的路径问题，如两点之间的最短

路径、最快速度等。

4.最长边最短边问题：

求三角形的最长边或最短边，如用三根木棍构成三角形，求

最长边的长度。

5.相等问题：

求两个几何形状中的某个参数，使得它们的某个关系成立，

如求两个相似三角形的边长比、两个等腰三角形的底角角度等。

这些问题类型都需要通过合理的分析和运用相关的几何定理

来解决。对于初中学生来说，熟练掌握基本的几何概念和定理，灵活运用数学思维和方法，可以较好地解决这些最值问题。通

过多做练习和思考，培养几何思维和解决问题的能力。

初中数学几何最值问题

几何最值问题

第一部分

例1．如图，当四边形P ABN的周长最小时，a=．

例2．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为．

例3．如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在直角梯形ABCD内部时，PD

的最小值等于．

练习1.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，M，N分别为边AB，AC上的动点，将△AMN沿MN翻折，点A的对应点为，连接，则长度的最小值为( )

练习2.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△，连接，则的最小值是( )

练习3.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=9，BC=12，P，Q两点分别是边AC，BC上的动点．将△PCQ沿PQ翻折，点C的对应点为，连接，则的最小值是( )

练习4. （2012甘肃兰州4分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【】

A．130° B．120° C．110° D．100°

练习5 阅读材料：

例：说明代数式

解：，如图，建立平面直角坐标系，

点P（x，0）是x轴上一点，可以看成点P与点A（0，1）

初中数学几何最值问题典型例题

初中数学最值问题典型例题

一、解决几何最值问题的通常思路

两点之间线段最短；

直线外一点与直线上所有点的连线段中,垂线段最短；

三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边重合时取到最值

是解决几何最值问题的理论依据,根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量,向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．

1．如图：点P 是∠AOB 内一定点,点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动,若∠AOB =45°,OP =则△PMN 的周长的最小值为．

分析作P 关于OA ,OB 的对称点C ,D ．连接OC ,OD ．则当M ,N 是CD 与OA ,OB 的交点时,△PMN 的周长最短,最短的值是CD 的长．根据对称的性质可以证得：△COD 是等腰直角三角形,据此即可求解．解答解：作P 关于OA ,OB 的对称点C ,D ．连接OC ,OD ．则当M ,N 是CD 与OA ,OB 的交点时,△PMN 的周长最短,最短的值是CD 的长．

∵PC 关于OA 对称, ∴∠COP =2∠AOP ,OC =OP

同理,∠DOP =2∠BOP ,OP =OD

∴∠COD =∠COP +∠DOP =2∠AOP +∠BOP =2∠AOB =90°,OC =OD ． ∴△COD 是等腰直角三角形．

则CD OC ×．

题后思考本题考查了对称的性质,正确作出图形,理解△PMN 周长最小的条件是解题的关键．

2．如图,当四边形P ABN的周长最小时,a=．

分析因为AB,PN的长度都是固定的,所以求出P A+NB的长度就行了．问题就是P A+NB什么时候最短．把B点向左平移2个单位到B′点；作B′关于x轴的对称点B″,连接AB″,交x轴于P,从而确定N点位置,此时P A+NB最短．

几何最值问题-2023年中考数学压轴题专项训练(全国通用)(解析版)

1

2023

年中考数学压轴题专项训练

1.几何最值问题

一、压轴题速练

1一、单选题1(2023·山东烟台·模拟预测)如图，

在矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，点E 是矩形ABCD 内部一动点，且∠BEC =90°，点P 是AB 边上一动点，连接PD 、PE ，则PD +PE 的最小值为(

)A.8 B.45 C.10 D.45-2

【答案】A

【分析】根据∠BEC =90°得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将PE 进行转化即可求解．

【详解】解：如图，设点O 为

BC 的中点，由题意可知，

点E 在以BC 为直径的半圆O 上运动，作半圆O 关于AB 的对称图形(半圆O ')，

点E 的对称点为E 1，连接O 'E 1,则PE =PE 1，

∴当点D 、P 、E 1、O '共线时，PD +PE 的值最小，最小值为DE 1的长，

如图所示，在Rt △DCO '中，CD =8，CO '=6，

∴DO '=82+62=10，

又∵O 'E 1=2，

∴DE 1=DO '-O 'E 1=8，即PD +PE 的最小值为8，

故选：A ．

【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理，利用“将军饮马”模型将PE 进行转化时解题的关键．

2(2023·安徽黄山·校考模拟预测)如图，

在平面直角坐标系中，二次函数y =32x 2-32x -3的图象与x 轴交于点A ，C 两点，与y 轴交于点B ，对称轴与x 轴交于点D ，若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则12

PB +PD 的最小值为()

2

A.334

初中数学几何最值专题

初中数学中，几何最值问题是一个常见的专题。以下是一些常见的几何最值问题的类型和解决方法：

一、两点之间线段最短

原理：两点之间线段最短。

应用：在解决几何最值问题时，常常需要利用这个原理来找到两个点之间的最短路径。例如，在一个矩形中，从一个顶点到另一个顶点的最短路径是通过矩形的对角线。

二、三角形三边关系

原理：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

应用：在解决几何最值问题时，可以利用这个原理来判断三角形的形状和大小。例如，在一个三角形中，已知两边长分别为a和b，第三边长为c，则c的取值范围是|a-b|<c<a+b。当c取最小值时，三角形为直角三角形；当c取最大值时，三角形为等腰三角形。

三、利用对称性求最值

原理：利用对称性可以简化问题，找到最值。

应用：在解决几何最值问题时，可以利用对称性来找到最值。例如，在一个圆内，从一个点到一个定直线的距离的最值可以通过作该点关于定直线的对称点来找到。同样地，在一个矩形内，从一个点到一个定点的距离的最值也可以通过作该点关于矩形中心的对称点来找到。

四、利用旋转和平移求最值

原理：利用旋转和平移可以改变图形的位置和方向，从而找到最值。

应用：在解决几何最值问题时，可以利用旋转和平移来找到最值。例如，在一个三角形中，已知两边长分别为a和b，夹角为θ，则可以通过旋转和平移将三角形转化为直角三角形，从而找到第三边长的最值。

五、利用相似性和全等性求最值

原理：利用相似性和全等性可以将复杂问题转化为简单问题，从而找到最值。

应用：在解决几何最值问题时，可以利用相似性和全等性来找到最值。例如，在两个相似的三角形中，已知其中一个三角形的三边长分别为a、b、c，则可以通过相似性找到另一个三角形的三边长的最值。同样地，在两个全等的图形中，可以通过全等性找到它们之间的最短距离或最大面积等。

初中的数学《最值问题》典型例题

初中数学《最值问题》典型例题

一、解决几何最值问题的通常思路

两点之间线段最短；

直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；

三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）

是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．

1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=

△PMN的周长的最小值为．

【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．

【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．

∵PC关于OA对称，

∴∠COP=2∠AOP，OC=OP

同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD

∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．

∴△COD是等腰直角三角形．

则CD=2OC=2×32=6．

【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．2．如图，当四边形PABN的周长最小时，a= ．

【分析】因为AB，PN的长度都是固定的，所以求出PA+NB的长度就行了．问题就是PA+NB什么时候最短．

把B点向左平移2个单位到B′点；作B′关于x轴的对称点B″，连接AB″，交x轴于P，从而确定N点位置，此时PA+NB最短．

初中几何动点最值问题难题集锦

初中几何动点最值问题是初中数学中的一道难题类型。动点最值问题考察动点在几何形状内运动时，某一量的最大值或最小值的求解方法。下面是一些初中几何动点最值问题的难题集锦。

1.【问题描述】在一个矩形ABCD中，点P动态地沿着矩形的边移动，求线段AP的最长长度。

【解答】假设矩形ABCD的边长为a和b（a<b），点P动态地沿着矩形的边移动。我们可以观察到，当点P处于矩形的顶点A或D时，线段AP的长度为a；当点P处于矩形的顶点B或C时，线段AP的长度为b。因此，线段AP的最长长度为b。

2.【问题描述】在一个圆形O内，点P动态地沿着圆的周长移动，求线段OP的最长长度。

【解答】设圆的半径为r，点P动态地沿着圆的周长移动。根据三角形的性质，可以知道线段OP的长度最长时，点P应该位于圆的周长上的与点O相对的点，即直径上的点。因此，线段OP的最长长度为2r。

3.【问题描述】在一个正方形ABCD内，点P动态地沿着正方形的边移动，求线段BP的最长长度。

【解答】设正方形ABCD的边长为a，点P动态地沿着正方形的边移动。由于线段BP的长度等于点P距离B点的距离，

所以线段BP的最长长度为正方形的对角线长度，即√2a。

4.【问题描述】在一个等腰直角三角形ABC中，点P动态地沿着三角形的边移动，求线段AP的最长长度。

【解答】设等腰直角三角形ABC的等腰边长为a，点P动态地沿着三角形的边移动。可以观察到，当点P处于顶点B或C 时，线段AP的长度为a；当点P处于顶点A时，线段AP的

长度为0。因此，线段AP的最长长度为a。

初中数学《几何最值问题》典型例题含解析

2 ，即可求得答
2
2
2
案．
【解Hale Waihona Puke Baidu】解：连接 AC，DP．
∵四边形 ABCD 是正方形，正方形 ABCD 的边长为 1，
∴AB=CD，S 正方形 ABCD=1，
1
1
1
1
∵S△ADP= S 正方形 ABCD= ，S△ABP+S△ACP=S△ABC= S 正方形 ABCD= ，
2
2
2
2
∴S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，
作 B′关于 x 轴的对称点 B″，根据作法知点 B″（2，1），
设直线 AB″的解析式为 y=kx+b，
1 2k b 则 3 k b ，解得 k=4，b=﹣7．
7
7
7
∴y=4x﹣7．当 y=0 时，x= ，即 P（，0），a= ．
4
4
4
7
故答案填：．
4
2
【题后思考】考查关于 X 轴的对称点，两点之间线段最短等知识．
5
∴当 x 取 2 时，DE 取最小值，最小值为：4．故答案为：2．【题后思考】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最
值．
8．如图，菱形 ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点 P，Q，K 分别为线段 BC，CD，BD 上的任意一点，则 PK+QK

初中数学的几何最值问题

1. 如图.∠MON=90°.矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM.ON 上.

当B 在边ON 上运动时.A 随之在边OM 上运动.矩形ABCD 的形状

保持不变.其中AB=2.BC=1.运动过程中.点D 到点O 的最大距离

为【】

A ．21+

B ．5

C ．1455 5

D ．52

2.在锐角三角形ABC 中.BC=24.∠ABC=45°.BD 平分∠ABC .M 、N

分别是BD 、BC 上的动点.则CM+MN 的最小值是。

3.如图.圆柱底面半径为2cm .高为9cm π.点A 、B 分别是圆柱两底面圆

周上的点.且A 、B 在同一母线上.用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到

B.求棉线最短为 cm 。

4. 在△ABC 中.AB ＝

5.AC ＝3.AD 是BC 边上的中线.则AD 的取值范围

是．

5.如图.长方体的底面边长分别为2cm 和4cm .高为5cm .若一只蚂蚁从P

点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点.则蚂蚁爬行的最短路径长为

【】

A.13cm

B.12cm

C.10cm

D.8cm

6.如图所示.在边长为2的正三角形ABC 中.E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC

的中点.点P 为线段EF 上一个动点.连接BP 、GP.则△BPG 的周长的最小值

是．

7.如图.菱形ABCD 中.AB=2.∠A=120°.点P.Q.K 分别为线段BC.CD.BD 上的任意一点.则PK+QK 的最小值为 A ． 1 B ．3 C ． 2

D ．3＋1

8. 如图.点A 的坐标为（-1.0）.点B 在直线y x =上运动.当线段AB 最

初中数学的几何最值问题

1. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON

上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD

的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O

的最大距离为【】

A ．21+

B ．5

C ．1455 5

D ．52

2.在锐角三角形ABC 中，BC=24，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC，

M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值是。

3.如图，圆柱底面半径为2cm ，高为9cm π，点A 、B 分别是圆柱两底

面圆周上的点，且A 、B 在同一母线上，用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕

3圈到B ，求棉线最短为 cm 。

4. 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD 是BC 边上的中线，则AD 的取值范

围是．

5.如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm .若一只蚂蚁从

P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为

【】

A.13cm

B.12cm

C.10cm

D.8cm

6.如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC

的中点，点P 为线段EF 上一个动点，连接BP 、GP ，则△BPG 的周长的最

小值是．

7.如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，

CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为 A ． 1 B ．3

C ． 2

D ．3＋1

8. 如图，点A 的坐标为（-1，0），点B 在直线y x =上运动，当线段

初中几何最值问题的常用解法

初中几何最值问题的常用解法有以下几种：

1. 利用图形的性质和特点：根据所给的几何图形，利用其性质和特点推导出最值问题的解答。例如，利用等腰三角形的性质，可以求解最短路径问题；利用圆的性质，可以求出最大面积问题等。

2. 利用相似三角形：当给定的几何图形不易直接求解时，可以通过构建相似三角形来求解最值问题。通过建立相似三角形的比较关系，可以求得所需的未知数，并得到最值问题的解答。

3. 利用变量法：将所给的几何图形进行变量代换，将问题转化为代数问题。通过对新的代数表达式进行求导或求极值的方法，可以求解最值问题。

4. 利用平面几何基本定理：平面几何基本定理是初中几何学中的核心理论，其中包括了如角等分线定理、平行线性质定理、正弦定理、余弦定理等。利用这些定理，可以有效地解决几何最值问题。

总之，初中几何最值问题的解决方法需要深入理解几何图形的性质和运用几何定理，同时也需要灵活运用代数方法和应用数学思维来解决问题。

初中几何最值问题归纳

初中几何中的最值问题主要涉及到求解图形的最大值或最小值，以下是一些常见的几何最值问题的归纳：

1.矩形最大面积：给定一定的周长，求解能够构成的矩形中面积最大的情况。这个

问题可以通过对矩形的边长关系进行分析和求导来解决。

2.三角形最大面积：给定一条固定的边长和该边对应的高，求解能够构成的三角形

中面积最大的情况。通常使用面积公式和高度相关的关系进行求解。

3.圆内接多边形最大面积：给定一个圆，求解能够内接于该圆的正多边形中面积最

大的情况。通过分析正多边形的边长和面积的关系，可以求解最值。

4.直线与曲线的最短距离：给定一条直线和一条曲线，求解离直线最近的曲线上的

点。这个问题可以通过计算点到直线的距离并求最小值来解决。

5.圆与线段的最大面积：给定一条线段，求解能够与该线段构成的圆中面积最大的

情况。这个问题可以通过计算圆的面积与半径的关系进行求解。

这些是初中几何中常见的最值问题的归纳，每个问题都有不同的解题方法和技巧。在解决这些问题时，需要灵活运用几何知识和数学推理，结合具体的题目条件进行分析和求解。

初中数学《最值问题》专题归纳暨典例精讲（初二快班使用及收藏）

初中数学《最值问题》专题归纳暨典例精讲（初二快班使用及

初中数学《最值问题》专题归纳暨典例精讲

内容概述：

解决几何最值问题的通常思路：

一、两点之间线段最短；

二、直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；

三、三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）

以上，是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．

(今日头条号：聚慧狮。其它更多见【jhsedu】)

初中数学几何最值问题

初中几何最值问题常用解法

初中几何最值问题解题技巧

初中几何最值问题

初中几何最值问题类型

初中数学几何最值问题

初中数学几何最值问题典型例题

几何最值问题-2023年中考数学压轴题专项训练(全国通用)(解析版)

初中数学 几何最值专题

初中的数学《最值问题》典型例题

初中几何动点最值问题难题集锦

初中数学《几何最值问题》典型例题含解析

初中数学的几何最值问题

初中数学的几何最值问题

初中几何最值问题的常用解法

初中几何最值问题归纳

初中数学《最值问题》专题归纳暨典例精讲（初二快班使用及收藏）

初中数学几何最值专题