2012高考天津数学(理)试卷及答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分为第I 卷（选择题〉和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分,考试用时120分钟
第I 卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）i 是虚数单位，复数7=
3i z i
-+=
（A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i -- （２）设R ϕ∈，则“=0ϕ”是“()=cos (+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的 （A ）充分而不必要条件 （Ｂ）必要而不充分条件
（Ｃ）充分必要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件
（３）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为 （A ）1- （Ｂ）1 （Ｃ）3 （Ｄ）9 （4）函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是 （A ）0 （Ｂ）1 （Ｃ）2 （Ｄ）3 （5）在2
5
1(2)x x
-
的二项展开式中，x 的系数为
（A ）10 （Ｂ）-10 （Ｃ）40 （Ｄ）-40
（6）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，已知8=5b c ，=2C B ，则cosC= （A ）
725
（Ｂ）725
-
（Ｃ）725
±
（Ｄ）
24
25
（7）已知△ABC 为等边三角形，=2A B ，设点P ，Q 满足=AP AB λ ，=(1)AQ AC λ-
，R λ∈，若3
=2
BQ C P ⋅- ，则=λ
（A ）
12
（Ｂ）
12
±
（Ｃ）
12
±
（Ｄ）
32
-±
C
（8）设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是
（A ）[1-
（Ｂ）(,1)-∞-
∞
（Ｃ）[2- （Ｄ）(,2)-∞-∞ .
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
（9）某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取 所学校，中学中抽取 所学校. （10）―个几何体的三视图如图所示(单位：m )，则该几何体的体积为 3m .
（11）已知集合={||+2|<3}A x R x ∈，集合={|()(2)<0}B x R x m x ∈--,且=(1,)A B n - ，则=m ,=n .
（12）己知抛物线的参数方程为2=2,=2,
x pt y pt ⎧⎨⎩（t 为参数），其中>0p ，焦点为F ，准线为l ，过抛
物线上一点M 作的垂线，垂足为E ，若||=||EF MF ，点M 的横坐标是3，则=p .
（13）如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦.过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D,过点C 作BD 的平行线与圆相交于点Ｅ，与AB 相交于点F ，=3A F ，=1FB ，3=2
E F ，则线段C D 的长
为 .
（14）已知函数2
|1|=
1
x y x --的图象与函数=2y kx -的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围
是 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分13分）已知函数2
()=sin (2+)+sin(2)+2cos 13
3
f x x x x π
π
-
-，x R ∈.
(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]44
ππ
-
上的最大值和最小值.
【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ωϕ的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.
（16）（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率：
（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率：
（Ⅲ）用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记=||X Y ξ-，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.
【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率问题来考查，且常考常新,对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键. （17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P A B C D -中，P A 丄平面A B C D ，A C 丄A D ，A B
丄B C ，0=45ABC ∠，==2P A A D ，=1A C . (Ⅰ)证明P C 丄A D ；
（Ⅱ）求二面角A P C D --的正弦值；
（Ⅲ）设E 为棱P A 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为0
30，求AE 的长.
【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，但底面是非特殊
的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是
第三问中点E 的位置是不确定的，需要学生根据已知条件进行确定，如此说来就有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.
（18）(本小题满分13分）已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =
1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -.
(Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式；
(Ⅱ)记1121=+++n n n n T a b a b a b - ，+n N ∈，证明+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈.
【点评】该试题命制比较直接，没有什么隐含的条件，就是等比与等差数列的综合应用，但方法多样，第二问可以用错位相减法求解证明，也可用数学归纳法证明，给学生思维空间留有余地，符合高考命题选拔性的原则.
（19）（本小题满分14分）设椭圆
222
2
+
=1x y a
b
(>>0)a b 的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上
且异于A ，B 两点，O 为坐标原点. （Ⅰ）若直线AP 与BP 的斜率之积为12
-
，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若||=||AP OA ，证明直线O P 的斜率k
满足|k
（20）（本小题满分14分）已知函数()=ln (+)f x x x a -的最小值为0，其中>0a . （Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）若对任意的[0,+)x ∈∞,有2()f x kx ≤成立，求实数k 的最小值；
（Ⅲ）证明=1
2ln (2+1)<221
n
i n i --∑
*
()n N ∈.
【点评】试题分为三问，题面比较简单，给出的函数比较常规，因此入手对于同学们来说没有难度，第二问中，解含参数的不等式时，要注意题中参数的讨论所有的限制条件，从而做到不重不漏；第三问中，证明不等式，应借助于导数证不等式的方法进行.
１．B 【解析】7=
3i z i
-+=
(7)(3)(3)(3)
i i i i --+-=
21731
10
i i ---=2i -
2．A 【解析】∵=0ϕ⇒()=cos (+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数，反之不成立，∴“=0ϕ”是“()=cos (+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的充分而不必要条件. 3．C 解析】根据图给的算法程序可知：第一次=4x ，第二次=1x ，则输出
=21+1=3x ⨯.
4．B 【解析】解法1：因为(0)=1+02=1f --，3
(1)=2+22=8f -，
即
=B Q A Q A B -(1)AC AB --又∵3=2
B Q C
P ⋅- ，且||=||=2A B A C ，0
<,>=60A B A C ，0=||||cos 60=2AB AC AB AC ⋅⋅ ，∴
3[(1)]
()=2
A C A
B A B A
C λλ---- ，222
3||+(1)+(1)||=2A B A B A C A C λλλλ--⋅- ，所以
2
34+2(1)+4(1)=2λλλλ---，解得1=2
λ.
8．D 【解析】∵直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22
(1)+(y 1)=1x --相切，∴圆心(1,1)到直线的距离为=
d ，所以2
1(
)2
m n m n m n +=++≤，设=t m n +，
则2
1+14
t t ≥，解得(,2)t ∈-∞-∞
9． 9 【解析】∵分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为250所， 所以应从小学中抽取
15030=18250
⨯，中学中抽取
7530=9250
⨯.
10．18+9π 【解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体，所以其体积为：343=361+2(
)3
2
V π⨯⨯⨯
⨯=18+9π3
m .
11．1-，1 【解析】∵={||+2|<3}A x R x ∈={||5<<1}x x -,又∵=(1,)A B n - ，画数轴可知
=1m -，=1n .
12．2 【解析】∵2=2,=2,
x pt y pt ⎧⎨⎩可得抛物线的标准方程为2=2y px (>0)p ，∴焦点(,0)2p
F ，∵点
M 的横坐标是3
，则(3,M ±
，所以点(,2
p E -
±
，2
2
2
=(
)+(02
2
p p E F -
由抛物线得几何性质得=+32
p M F ，∵=EF M F ，∴2
2
1+6=
+3+94
p p p p ，解得=2p .
13．
43
解析】∵=3A F ，=1FB ，3=
2
E F ，由相交弦定理得=A F F B E F F C ⋅⋅，所以=2F C ，
又∵B D ∥CE ，∴=A F F C A B
B D
，4=
=23A B B D F C A F
⋅⨯=83
，设=C D x ，则=4A D x ，再由切割线定
理得2=BD CD AD ⋅，即2
84=()3
x x ⋅，解得4=3
x ，故4=3
C D .
14．(0,1)(1,4)
【解析】∵函数=2y kx -的图像直线恒过定点B(0,2)-，且(1,2)A -，(1,0)C -，(1,2)D ，∴
2+2=410
-，由图像可知(0,1)(1,4)k ∈ .。