高中数学2.3幂函数教学设计新人教A版必修1

2.3 幂函数（教学设计）
教学目的：
1．通过实例，了解幂函数的概念．
2．具体结合函数1
2
13
2
,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图象，了解幂函
数的变化情况．
3．在归纳五个幂函数的基本性质时，应注意引导学生类比前面研究一般的函数、指数函数、对函数等过程中的思想方法，对研究这些函数的思路作出指导． 教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质．
教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难． 一、新课导入
先看五个具体的问题：
（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要支付p=w 元，这里p 是w 的函数；
（2）如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积2
a S =，这里S 是a 的函数；
（3）如果立方体的边长为a ，求立方体的体积3
a V =，这里V 是a 的函数； （4）如果一个正方形场地的面积为S ，那么这个正方形的边长2
1
S a =，这里a 是S 的函数；
（5）如果某人t s 内骑车进行了1km ，那么他骑车的平均速度1-=t v kms ，
这里v 是t 的函数．
讨论：以上五个问题中的函数具有什么共同特征？ 它们具有的共同特征：幂的底数是自变量，指数是常数． 从上述函数中，我们观察到，它们都是形如y x α
=的函数．
二、师生互动，新课讲解： 1、幂函数的定义
一般地，函数α
x y =)(R a ∈叫做幂函数（power function ），其中x 是自变量，
α是常数．对于幂函数αx y =，我们只讨论1,2
1
,3,2,1-=α时的情形．
2、幂函数的图象
在同一直角坐标系内作出幂函数x y =； 2
1x y =； 2x y =；1-=x y ；3
x y =的
图象．
观察以上函数的图象的特征，归纳出幂函数的性质．
3、幂函数的性质
1）．五个具体的幂函数的性质
（1）函数x y =； 2
1x y =； 2x y =；3
x y =和1-=x y 的图象都通过点
（1，1）；
（2）函数x y =；3x y =；1
-=x y 是奇函数，函数2
x y =是偶函数；
（3）在区间),0(+∞上，函数x y =，2x y =，3
x y =和2
1x y =是增函数，
函数1
-=x y 是减函数；
（4）在第一象限内，函数1
-=x y 的图象向上与y 轴无限接近，向右与x 轴无限接近．
2）．一般的幂函数的性质
（1）所有的幂函数α
x y =在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数； α>1时，图象向上，靠近y 轴； 0<α<1，图景向上，靠近x 轴；
α=1是条直线。

（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴；
（4）幂函数α
x y =的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数α由小到大；y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α由小到大． 课堂练习： 已知幂函数α
x y =在第一象限内的图象如图所示，且α分别取
1
1122
-，，，四个值，则相应于曲线1234C C C C ，，，的α的值依次为 ．
例1：（课本第78页例1）证明幂函数x x f =
)(在),0[+∞上是增函数．
变式训练1：利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小： （1）4
3
3.2，43
4.2；（2）5631.0，5
635.0；（3）2
3)
2(-
，2
3)
3(-
；（4）2
1
1
.1-
，
2
19.0-
．
例2：求下列函数的定义域，并判断它们的奇偶性：
（1）3y x =；（2）2
y x -=；（3）12y x =； （4）13
y x = 解 （1）函数3
y x =的定义域是R ，它是奇函数； （2）函数2
y x -=即2
1
y x =，其定义域是(,0)(0,)-∞+∞，它是偶函数；
（3）函数12
y x =即y =[0,)+∞，它既不是奇函数，
也不是偶函数；
（4）函数1
3
y x =即y =R ，它是奇函数．
变式训练2：
（1）. 设111
32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭
，，，，则使函数a
y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为（ A ）．
(A) 1，3 (B) 1-，1 (C) 1-，3 (D) 1-，1，3
（2）. 若函数3
()()f x x x =∈R ，则函数()y f x =-在其定义域上是（ B ）．
(A) 单调递减的偶函数 (B) 单调递减的奇函数 (C) 单调递增的偶函数 (D) 单调递增的奇函数
（3）若幂函数f (x )的图象经过点(3，1
9
)，则其定义域为( )
A．{x|x∈R，x>0} B．{x|x∈R，x<0}C．{x|x∈R，且x≠0} D． R
解析：设f(x)＝xα.∵图象过点(3，1
9
)，∴
1
9
＝3α，即3－2＝3a，∴α＝－2，即
f(x)＝x－2＝1
x2
，∴x2≠0，即x≠0.
答案：C
例3：在同一坐标系作出函数y=x2与y=2x的图象。

变式训练3：已知幂函数f(x)＝(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________.
解析：∵幂函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，∴m2－2m－3<0，∴－1<m<3，又m∈N*，∴m＝1或2，当m＝1时，f(x)＝x－4，其图象关于y轴对称，符合；当m ＝2时，f(x)＝x－3是奇函数，不符合，∴m＝1.
答案：1
布置作业：
A组：
1．下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是( )
解析：注意到函数y＝x2≥0，且该函数是偶函数，其图象关于y轴对称，结合选项知，该函数图象应与②对应；y＝＝x的定义域、值域都是[0，＋∞)，结合选项
知，该函数图象应与③对应；y＝x－1＝1
x
，结合选项知，其图象应与④对应；图象①
与y＝x3大致对应．综上述所述，选B.
答案：B
解析：可以逐一进行检验，也可利用幂函数的单调性求解．答案：－1或2
3．（课本P79习题2.3 NO:1）已知幂函数)(x f y =的图象过点)2,2(，试求出这个函数的解析式．
4．(课本P79习题2.3 NO: 2)在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v （单位：cm 3
s ）与管道半径r(单位：cm)的四次方成正比．
（1）写出气流流量速率v 关于管道半径r 的函数解析式；
（2）若气体在半径为3cm 的管道中，流量速率为400cm 3
s ，求该气体通过半径为r 的管道时，其流量速率v 的表达式；
（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm ，计算该气体的流量速率（精确到1cm 3
s ）．
5．讨论函数3
2x y =的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说出函数的单调性．
6．已知函数f (x )＝2x －x m
，且f (4)＝－72
.
(1)求m 的值；
(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． 解：(1)∵f (4)＝－72，∴24－4m ＝－7
2.∴m ＝1.
(2)f (x )＝2
x
－x 在(0，＋∞)上单调递减，
证明如下：
任取0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)
＝(2x 1－x 1)－(2x 2－x 2)＝(x 2－x 1)(2x 1x 2
＋1)．
∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，
2
x 1x 2
＋1>0.
∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，
即f (x )＝2
x
－x 在(0，＋∞)上单调递减．
B 组：
1．如果幂函数f (x )＝(p ∈Z)是偶函数．且在(0，＋∞)上是增函数．求p 的值，并写出相应的函数f (x )的解析式．
解析：∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴－12p 2＋p ＋32>0，即p 2
－2p －3<0.∴－
1<p <3，又∵f (x )是偶函数且p ∈Z.∴p ＝1，故f (x )＝x 2
.。