关于行列式计算方法的进一步探讨
关于行列式计算方法的探讨
关于行列式计算方法的探讨
行列式计算是数学中的一个重要而又复杂的定义，以下就行列式计
算的方法做一次探讨。
1. 首先，什么是行列式？
行列式是由多个矩阵相乘后得出的一个值，其中每个矩阵的尺寸必须
相同。
它可以用来表示数学方程中各个变量之间的关系，以及在矩阵
几何中计算面积或体积等。
2. 如何计算行列式？
计算行列式的具体过程，主要包括分解法、内角法和三角形法。
其中，分解法是将复杂的行列式展开、化简成简单的行列式才能计算。
分解
法又可分为拉格朗日分解法和主元分解法，二者的思想基本相同，具
体操作上有较大的区别。
内角法是将复杂的行列式用三角函数及其变
换角度后分解成简单行列式，从而转化为非常熟悉的三角形，最终将
复杂的行列式分解成一系列简单次数累加的行列式来计算。
3. 行列式计算的优势
由于行列式的应用广泛，计算效率高，可以极大的节省计算时间，这
是不可否认的。
此外，行列式计算法还有三个可取之处：首先，行列
式可以用来建模各种实际问题，由此确定解析解及其解析步骤，帮助
用户进行具体的解答；其次，该计算法有着更高的效率，即使是更复
杂的行列式也能获得高效的解法；最后，它能够使用更少的计算步骤
以及资源，从而更快得到更准确的结果。
综上，行列式计算是一项极其重要的数学知识，理解它的计算方法，不仅有助于更好的掌握数学原理，同时也可以节省大量的计算时间和资源。
行列式的计算方法小论文
行列式的计算方法行列式计算方法总结及简单应用摘要：行列式的计算方法，并举例说明了它们的应用，同时对若干特殊例子进行推广。
并举出了几种常见的行列式应用。
关键词：排列 行列式 行列式计 行列式计算的基本方法：基本的行列式解法包括：性质法、化三角形法、代数余子式法等1、利用行列式的性质计算例1： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称n D 为反对称行列式,证明：奇数阶反对称行列式为零.证：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式n D 可表示为1213112232132331230000n nn n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----， 由行列式的性质A A '=，1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)0n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------ =n n D )1(-当n 为奇数时，得n D =n D ，因而得n D = 0.2、 化三角形法此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式.三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的n 阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号例2 计算n 阶行列式n ab b ba b D bb a=解：()[]a b b a bbb n a D n1111-+=()[]ba b a bbb n a ---+=000011()[])1()(1---+=n b a b n a3、代数余子式法在一个n 级行列式D 中,把元素ij a 所在的行与列划去后，剩下的2)1(-n 个元素按照原来的次序组成的一个)1(-n 阶行列式ij M ,称为元ij a 的余子式，ij M 带上符号)()1(j i +-称为的ij a 代数余子式,记作ij j i ij M A )()1(+-=定理1: 行列式等于其第 i 行诸元素与各自代数余子式的乘积之和 , 即ij nj ij nn nn ij ij A a A a A a A a A a A a D ∑==+++++=1131312121111证：先证特殊情况元素11a 位于第一行、第一列，而该行其余元素均为零;1121222120n n n nna a a a D a a a =1212121211()()121211(1)(1)n n n n j j j j j j j j nj j j nj j j a a a a a a ττ=≠=-+-∑∑2223()112()(1)n n n j j j nj j j j a a a τ=-∑1111a M =而11111111(1)A M M +=-=,故1111D a A =;（2）111110j n ij n njnna a a a D a a a = 将D 中第i 行依次与前1i -行对调，调换1i -次后位于第一行; 将D 中第j 列依次与前1j -列对调，调换1j -次后位于第一列; 经(1)(1)2i j i j -+-=+-次对调后，ij a 就位于第一行、第一列，即2(1)(1)i j i j ij ij ij ij ij ij D a M a M a A +-+=-=-=.(3) 一般地111211212000000ni iinn n nna a a D a a a a a a =+++++++++111211112111121121212120000nn n i i in n n nnn n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++ 1122i i i i in in a A a A a A =++同理有:nj nj j j j j A a A a A a D +++= 2211.例3 计算四阶行列式 4000000a ba b a b a b D a b a b a ba b+-+-=-+-+.证: 按第1行展开，有1114400()(1)0()(1)000a b a ba b a bD a b a b a ba b a b a b a ba b +++-+-=+--++---++-, 对等式右端的两个3阶行列式都按第3行展开，得22[()()]a b a b D a b a b a b a b+-=+---+4222a b =.4、范德蒙得行列式法根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质——如：提取公因式；互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去;把所求行列式化成已知的或简单的形式.其中范德蒙行列式就是一种.这种变形法是计算行列式最常用的方法.例1 计算行列式1222211221212121122111111n n nn n n n n n n nx x x D x x x x x x x x x x x x ------+++=++++++解 把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第1-n 行的－1倍加到第n 行，便得范德蒙行列式1222212111112111()n n i j n i j n n n nx x x D x x x x x x x x ≥>≥---==-∏参考文献[1] 蒋省吾． 杨辉三角中的行列式[J]，教学通报，1988，5：8-10 [2] 张禾瑞．郝新高等代数[M]．北京：人民教育出版社,1996. [3] 王品超.高等代数新方法[M].济南,山东教育出版社，1989.[4] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数(第三版)[M]. 北京: 高等教育出社,2003.[5] 同济大学数学教研室．工程数学线性代数(第三版) [M]．北京：高等教育出版社，1999. [6] 王萼芳, 石生明修订. 高等代数(第三版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003. [7] 李宇寰.组合数学[M].北京：北京师范大学出版社，1988. [8] 杨振声.组合数学及其算法[M].北京：中国科学技术出版社，1997. [9] 陈景润.组合数学简介[M].天津：天津科学技术出版社，1988.。
行列式不同计算方法的比较研究
行列式不同计算方法的比较研究行列式是线性代数中一个非常重要的概念，它在数学和工程领域都有着广泛的应用。
行列式的计算方法有很多种，比较常见的有余子式展开法、性质法和拉普拉斯展开法。
在实际应用中，人们往往会选择不同的方法来计算行列式，以求得更加高效和准确的结果。
本文将对这些行列式不同计算方法进行比较研究，以帮助读者更好地理解和掌握这一重要概念。
一、余子式展开法余子式展开法是计算行列式的一种常见方法。
这种方法的基本思想是将行列式按照其中的某一行或某一列进行展开，然后利用递推的思想计算子行列式的值，最终得到整个行列式的值。
余子式展开法的计算步骤如下：1. 选择一行或一列，记为i行或j列；2. 对于第i行第j列的元素a(i,j)，计算其代数余子式M(i,j)；3. 代数余子式M(i,j)乘以(-1)^(i+j)得到元素a(i,j)的代数余子式C(i,j)；4. 将代数余子式C(i,j)与对应元素a(i,j)相乘得到i行或j列的和；5. 将所有i行或j列的和相加得到行列式的值。
余子式展开法的优点是简单直观，容易理解和掌握。
但是在计算大型行列式时，需要进行比较复杂的递归计算，效率较低。
二、性质法性质法是计算行列式的另一种常见方法。
这种方法的基本思想是利用行列式的基本性质来简化其计算过程。
行列式的基本性质包括：1. 交换行列式的两行（列）位置，行列式变号；2. 行列式某一行（列）的元素都乘以同一个数k，行列式变为原来的k倍；3. 行列式某一行的元素是两个数的和，可以拆分为两个行列式相加；4. 行列式某一行（列）全为零，则行列式的值为0；5. 行列式主对角线两边的值相乘之和等于行列式的值。
性质法的计算步骤如下：1. 根据行列式的基本性质，对行列式进行适当的变换，使得行列式的某些行或列成为0，从而简化计算；2. 根据简化后的行列式，利用性质进行递归计算，最终得到行列式的值。
性质法的优点是能够利用行列式的性质来简化计算过程，尤其适用于具有一定规律性的行列式。
行列式不同计算方法的比较研究
行列式不同计算方法的比较研究1. 引言1.1 研究背景行列式是线性代数中一个十分重要的概念，它是矩阵的一个属性，可以帮助我们判断矩阵是否可逆、求解线性方程组等问题。
在数学和工程领域中，对行列式的研究有着重要的意义。
对于不同的行列式计算方法，在实际应用中常常存在着计算速度、精度和稳定性等方面的差异，因此有必要对不同的计算方法进行比较研究。
随着计算机技术的不断发展，人们对行列式计算方法的要求也越来越高。
研究行列式的不同计算方法，探索其优缺点，并提出改进和优化方案，对于提高计算效率、降低计算误差，具有重要的理论和实际意义。
本研究旨在比较分析不同的行列式计算方法，包括传统行列式计算方法、基于展开定理的计算方法、基于矩阵的计算方法和基于特征值的计算方法。
通过对这些方法的比较研究，探讨其优缺点，为行列式计算方法的选择和优化提供参考。
1.2 研究意义行列式是线性代数中的重要概念，它在数学和工程领域有着广泛的应用。
行列式的计算方法不仅在理论研究中起着关键作用，而且在实际问题的求解中也有着重要的意义。
研究不同的行列式计算方法，可以帮助我们深入理解行列式的性质和特点，提高我们对行列式计算的效率和准确性。
传统的行列式计算方法虽然能够准确地求解行列式的值，但在处理较大规模的行列式时往往计算量较大，耗时较长。
基于展开定理的行列式计算方法通过将行列式按行或列展开，可以减少计算量，提高计算效率。
基于矩阵的行列式计算方法利用矩阵的性质简化行列式的计算过程，降低计算难度。
而基于特征值的行列式计算方法则通过求解矩阵的特征值和特征向量，进一步简化了行列式的计算过程。
1.3 研究目的研究目的是为了比较不同的行列式计算方法，分析它们在实际应用中的优劣势，并找到最有效的计算方法。
通过研究不同方法的特点和适用场景，可以为数学领域的相关研究和应用提供有益参考。
深入研究行列式的计算方法，对于提高数学学习者对行列式概念的理解和掌握也具有重要意义。
论文 浅谈行列式的计算方法
浅析行列式的计算方法刘欣（数学科学学院,2007（4）班，07211448）[摘 要]行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要.本文先阐述行列式的基本性质，然后介绍几种具体的方法，最后由行列式与其它知识的联系介绍其它几种方法. [关键词]行列式 加边法 递推公式法行列式是线性代数中的一个基本工具.无论是高等数学领域里的高深理论，还是现实生活里的实际问题，都或多或少的与行列式有直接或间接的联系，所以本文针对几种行列式的结构特点归纳了行列式计算的常用计算方法，并以实例加以说明.一、 按照行列式的性质将行列式化成上三角(下三角或反三角)法运用行列式的性质是计算行列式的一个重要途径,大多数行列式的计算都依赖于行列式的性质,将行列式化成上三角(下三角或反三角)的形式,再根据行列式的定义来计算行列式.行列式的性质告诉了我们该如何求行列式,而一切的行列式都可以根据以上性质来进行初等行变换(列变换),变成阶梯形(上三角)的行列式,再根据定义计算即可. 其计算步骤可归纳如下:(1)看行列式的行和(列和),如果行列和相等,则均加到某一列(行) (2)有公因子的提出公因子.(3)进行初等行变换(列变换)化成上三角(下三角或反三角)的行列式. (4)由行列式的定义进行计算.由以上四步,计算一般行列式都简洁多了.例1 计算行列式3214214314324321.解 显而易见,该行列式的行和相等,知32102140143043203214214314324321=1112220311*******321121411431432110-----==例2 计算n 阶行列式ab bb a b b b a D n=.解 ()[]a b bab b b n a D n1111-+=()[]ba b a b bb n a ---+=0011()[]1)(1---+=n b a b n a .二、 行列式的乘法原理法行列式的乘法原理:对任意两个同阶矩阵A ,B ,都有B A AB ⨯=,大家都知道,对于矩阵的乘法已是非常麻烦了.尤其是对高阶矩阵而言,其难度越明显.若按照常规办法,先计算AB 再计算AB ,显然过于烦琐.直接应用行列式的原理,就显得方便简洁.同样,如果D=AB ,其中A ,B 为同阶方阵,则B A AB ⨯=,从而达到优化计算的目的,应用行列式的乘法原理,主要是会将一个方阵拆成两个易计算行列式的同阶方阵,使矩阵的行列式计算简洁化.⋅=---=160444003110432110例3 设221;,2,1,0,-+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=j i ij k n k k k S a k x x x S .),,3,2,1,(n j i ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=求ij a .解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---22121110)(n nn n n ij s s s s s s s s s a⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++++++++++=------222211111122111111n nn nn nn n n nn nnn n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x n⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=------11221111121121111111n n nn n n n n n n x x x x x x x x x x x x，由行列式的乘法原理：ij a 11221111121121111111------⨯=n nnn n n nn n n x x x x x x x x x x x x∏∏<<--=j i i j ji i jx x x x)()(2)(∏<-=ji i j x x .三、 递推公式法无论是初等数学，还是高等数学，递推公式都有着非常广泛的运用.适用递推法计算行列式的行列式有以下规律：按照行列式的某一行（列）展开，会产生阶数比原行列式低但却与原行列式有着相同类型的新的行列式，运用递推法逐层降阶，最终将计算出原行列式的值.运用递推法求解行列式，一般会用到两个公式: （1）若1-=n n pD D 时，则11D p D n n -=（2）若2211--+=n n n D A D A D 时，则122111--+=n n n t A t A D （其中1A ，2A 为待定系数）由（1）的计算过程显然易见，而（2）中却出现了两个未知数，1t ,2t ,这两个未知数可以通过0212=--A x A x 的两根来确定.例4 计算n 阶行列式ba ab b a b a ab b a ab b a D n +++++=0000010001000.解 将n D 按第一行展开，得ba ab b a b a ab ab D b a D n n +++-+=-100000001)(1，于是得到一个递推关系21)(---+=n n n abD D b a D ，变形得)(111-----=n b n n b n D D a D D ， 易知)()(4333221--------==n b n n b n n b n D D a D D a D D[]nn bn a b a b ab b a aD D a=+--+==---)()()(22122，所以1-+=n n n bD a D ，据此关系式在递推，有22121)(----++=++=n n nn n nn D b b aabD ab aDnn n nn n n nbab b aa D bb a b a a ++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=-----1111221，如果我们将n D 的第一行元素看作b a +，1+0,…0+0,按第一行拆成两个行列式的和，那么可直接得到递推关系式如下：1-+=n nn bD aD ，同样可得nD 的值.例5 计算n 阶行列式accb ac b b aD n=，其中0,≠≠bc c b .解 将n D 的第一行视为c c c c a +++-0,,0,)( ，据行列式的性质，得accb ac b b c a cb a b bc a a ccb ac b b c c a D n+-=+++-=000因为11)()(---+-=n n n b a c D c a D （1）由b 与c 的对称性，不难得到11)()(---+-=n n n c a b D b a D （2） 所以联立（1），（2）解之，得[]n n n b a c c a b c b D )()()(1----=-用递推公式法计算行列式，逻辑性较强，其适用于计算那些有一定规律但却十分费解的行列式.四、 提取公因式法若行列式满足下列条件之一，则可以用此法： （1）有一行（列）元素相同，称为“a a a ,,, 型”.（2）有两行（列）的对应元素之和或差相等，称为“邻和型”. （3）各行（列）元素之和相等，称为“全和型”.满足条件（1）的行列式可直接提取公因式a 变为“1，1，…，1型”，于是应用按行（列）展开定理，使行列式降一阶.满足（2）和（3）的行列式都可以根据行列式的性质变为满足条件（1）的行列式，间接使用提取公因式法.例6 计算行列式nn n n a x a a a a x a a a a x D +++=212121.解 该行列式各行元素之和等于∑=+ni i a x 1，属于“全和型”，所以nn n ni i n a x a a a x a a a x D +++=∑= 2221111)(xx a a a x n ni i001)(21∑=+=)(11∑=-+=ni in a x xabb a abb a n ⨯=-1nb a )(22-=.五、 加边法计算行列式往往采用降阶的办法，但在一些特殊的行列式的计算上却要采用加边法。
行列式的计算方法及其应用
行列式的计算方法及其应用行列式是线性代数中一种非常重要的概念，出现在许多领域中，如数学、物理、工程等。
它是一个方阵中各个元素的代数和，具有非常重要的几何和代数特征，因此也是线性代数学习的基础之一。
一、行列式的定义设有n阶行列式，写成如下形式：$$\Delta_n = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\\vdots &\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &\cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$其中，$a_{ij}$代表矩阵中第i行第j列的元素。
行列式的定义是这样的：设$A$为$n$阶方阵，$a_{i,j}$是$A$的元素，那么行列式$\Delta(A)$定义为：$$\Delta(A) =\sum_{\sigma}{(-1)^\sigma\cdot{a_{1,{\sigma(1)}}}\cdot{a_{2,{\sigma(2)}}}\cdots{a_ {n,{\sigma(n)}}}}$$其中，$\sum_{\sigma}$代表对所有$n$个元素的所有排列求和，$\sigma$是一个排列，并且$\sigma(k)$表示k在$\sigma$中的位置。
二、行列式的计算方法计算行列式有三种方法：直接定义法、代数余子式法和高斯消元法。
直接定义法随着矩阵维度的增加，计算量呈指数级增长，因此较少使用。
代数余子式法和高斯消元法可以将计算行列式的时间复杂度降低到$O(n^3)$，被广泛应用于实际问题中。
1. 直接定义法直接定义法是按照定义计算行列式的方法。
行列式计算方法的研究
| | | | |
= [a +(n - 1)b](a - b)n-1
解法二：可将各行减去第 1 行，化为爪型行列
式，再化为上三角行列式。
1.3 降阶法
利用行列式按行（列）展开定理或拉普拉斯定
理将其降成低阶行列式计算。按行（列）展开前一
般需要利用行列式的性质将某行（列）化为只有一
个非零元素的行（列）。若行列式中出现大片的零
行列式是线性代数课程中的一个基本概念，也 是解决一些数学问题的重要工具。行列式的出现 源于线性方程组的求解，是由德国数学家莱布尼茨 和日本数学家关孝和发明的。后来，瑞士数学家克 莱姆对行列式的定义和展开法则作出了比较完整、 明确的阐述，并给出了现在所称的解线性方程组的 克莱姆法则 。 [1，2] 行列式在数学分析、几何学、运筹 学、线性方程组理论和二次型理论等多方面有着重 要的应用。除了数学学科上的应用之外，其在物理 学、力学、天文学以及其他技术学科中也有广泛应 用[3，4]。行列式的理论奠定了高等数学的理论基础， 同时也为数学在现实生活中的广泛运用提供了理 论依据，因此行列式的计算是线性代数教学中的重 要内容之一。其计算方法较多，技巧性较强。要想 掌握好行列式的计算，首先需具体分析所求行列式 的特点和元素的规律性，针对其特征采取适当的方 法。其次，通过做题不断总结，积累经验。本文通 过分析一些具体行列式的结构特点，介绍了常见的 9 种计算具体行列式的方法，给出了一些计算抽象 型行列式的技巧。
找出 n 阶行列式与较低阶行列式之间的递推关系
式 ，再 解 出 此 行 列 式 。 一 般 递 推 关 系 式 有 以 下 两
种情形:
（1）若 n 阶行列式满足 aDn + bDn-1 + c = 0 ，需再找 出 Dn 与 Dn-1 的另一个关系式，联立方程组解出 Dn ;
浅谈某类行列式的计算方法
●
●
●
ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｓ ．Ｏｎ ｔ ｈ ｅ ｂ ａ ｓ ｉ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ Ｖａ ｎｄ ｅ ｒ ｍｏ ｎ ｄ ｅ ｄ ｅ ｔ ｅ ｍｉ ｒ ｎ ａ ｎ ｔ ￣ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ｅ，ｔ ｈ ｅ ａ ｕ ｈｏ ｔ ｒ ｓ ｔ ｕ ｄ ｉ ｅ ｓ ａ ｎ ｄ ｃ ｌｃ ａ ｌａ ｕ ｔ ｅ ｓ ｔ ｈ ｅ Ｖａ ｎｄ ｅ ｍｏ ｒ ｎ ｄ ｅ ｄ ｅ ｔ ｅ ｍｉ ｒ ｎ ａ ｎ ｔ ．
ｉ ｎ ｔ ｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｅ ｓ ｔ ｈ ｅ ｃ ａ ｌ ｃ ｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｏ ｆ ａ ｃ ｅ ｒ ｔ ａ ｉ ｎ ｔ ｙ ｐ ｅ ｏ ｆ ｄ ｅ ｔ ｅ ｍｉ ｒ ｎ ａ ｎ ｔ ｍａ ｉ ｎ ｌ ｙ ｔ ｈ ｒ ｏ ｕ ｇ ｈ ｂ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｅ ｄ ｍｅ ｔ ｈ ｄ ｏ Ｋ ｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ： Ｄｅ ｔ ｅ ｍｉ ｒ ｎ ｎｔ ａ ； ｖ ａ ｎ ｄ ｅ ｒ ｍｏ ｎ ｄ ｅ ｄ ｅ ｔ ｅ ｍｉ ｒ ｎ ａ ｎ ｔ ； ｃ ａ ｌ ｃ ｌａ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍｅ ｔ ｈ ｄ ｏ ，ｔ ｈ ｅ ｄ ｅ ｉ ｒ ｖ ａ ｉ ｔ ｏ ｎ ｍｅ ｈｏ ｔ ｄ ａ 古 农 业 大 学 学 报
２ ０ ｌ ３年
此方 法 也称加 边 法 ，该方 法 可 以求 解任 意
阶 的缺 行 范德 蒙行 列式 。 ｌ 、计算行 列式 Ｄ ＝
Ｑ
Ｑ
的值 。
ｌ Ｉ １ １ … １
； … ：
ｃ
６
６ Ｑ
解 ：本 题 是一 道 缺 行范 德 蒙 行 列 式 的典 型 ，在 计 算
６
ｃ
２计 Ｉ 算 Ｄ ： 』
行列式的计算技巧与方法总结(修改版)
行列式的若干计算技巧与方法内容摘要1. 行列式的性质2.行列式计算的几种常见技巧和方法2.1 定义法2.2 利用行列式的性质2.3 降阶法2.4 升阶法（加边法）2.5 数学归纳法2.6 递推法3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法3.1 拆行（列）法3.2 构造法3.3 特征值法4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.2 “爪”字型行列式4.3 “么”字型行列式4.4 “两线”型行列式4.5 “三对角”型行列式4.6 范德蒙德行列式5. 行列式的计算方法的综合运用5.1 降阶法和递推法5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式5.3 构造法和套用范德蒙德行列式1.2 行列式的性质性质1 行列互换，行列式不变．即nna a a a a a a a a a a a a a a a a an2n1n22212n12111nnn2n12n 22211n 1211. 性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即nnn2n1in i2i1n11211k k k a a a a a a a a ak nn a a a a a a a a a n2n1in i2i1n 11211.性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即11121111211112111221212121212.n n nn n n n n n nnn n nnn n nna a a a a a a a abc b c b c b b b c c c a a a a a a a a a K K K M M M M M M M M M M M M K K K M M M M M M M M M M M M KK K 性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即k a a a ka ka ka a a a a a a nn n n in i i in i i n21212111211nnn n in i i ini i na a a a a a a a a a a a21212111211=0. 性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即nn n n kn k k kn in k i k i n a a a a a a ca a ca a ca a a a a2121221111211nnn n kn k k ini i na a a a a a a a a a a a21212111211. 性质6 对换行列式中两行的位置，行列式反号.即nn n n kn k k in i i n a a a a a a a a a a a a21212111211=-nnn n in i i kn k k na a a a a a a a a a a a21212111211.性质7 行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零．即00000nn1-n n,n2n1n 11-n ,11211 a a a a a a a a.2、行列式的几种常见计算技巧和方法 2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244 ！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41 j ，那么011 j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41 j 的项，同理只须考虑1,2,3432 j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而64321 ，所以此项取正号．故004003002001000=241413223144321 a a a a .2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nn n nna a a a a a a a a a a a a2211nn333223221131211000000 ，nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a2211321333231222111000000 . 例2 计算行列式nn nn b a a a a a b a a a a21211211n 111D . 解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的 1 倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的 1 倍分别加到第2,3…（1n ）行上去，可得121n 11210000D 000n n na a ab b b b bKK M M M O M K.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n nn n212121. 解： mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i212121n Dmx x x m x x x m x n n n n i i2221111mm x x m x n n i i0000121m x m n i i n 11. 2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式 2122123123122121321D n n n n n n n n n nn. 解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111111111321D nn n 1111120022200021321n n111100011000011132122n n n21211 n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式111110000000000000D 32211n n a a a a a a a. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：13210000000000000000D 321n na a a a nn n n a a a n a a a n 21n 21n 2211111 .2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解． 2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a x x x x n n n.解：按最后一行展开，得n n n n n a x a x a x a D 12211 .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了 1-n k 1k 个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式．即nn nn nnnn nnB A BC A • 0， nn nn nnnnnn B A B C A • 0. 例7 解行列式b bbaaa a n D .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得00000D n b aa aa00000021n b aa aa n•00021n ba n21n 2 n ab n .2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=111110111110111110111110. 解：使行列式D 变成1 n 阶行列式，即111010110110101110011111D. 再将第一行的 1 倍加到其他各行，得：D=1101001001010001111111. 从第二列开始，每列乘以 1 加到第一列，得：10010000010000011111)1n D（1n 11n .2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9 计算行列式cos 211cos 200000cos 210001cos 210001cosn D . 解:用数学归纳法证明. 当1 n 时， cos 1 D . 当2 n 时，2cos 1cos 2cos 211cos 22D .猜想， n D n cos .由上可知，当1 n ，2 n 时，结论成立．假设当k n 时，结论成立．即： k D k cos .现证当1 k n 时，结论也成立．当1 k n 时，cos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1k D .将1 k D 按最后一行展开，得cos 20000cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k• k k10cos 21001cos 21001cos 11kk1cos 2 k k D D .因为k D k cos ， sin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k ，所以1 k D 1cos2 k k D Dsin sin cos cos cos cos 2k k k sin sin cos cos k k 1cos k .这就证明了当1 k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立． 即： n D n cos . 2.6 递推法技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式021 n n n cD bD aD .则作特征方程02 c bx ax .① 若0 ，则特征方程有两个不等根，则1211 n n n Bx Ax D ． ② 若0 ，则特征方程有重根21x x ，则 11 n n x nB A D ．在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1 n n 求出．例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n.解：按第一列展开，得21209 n n n D D D .即020921 n n n D D D ．作特征方程02092 x x .解得5,421 x x .则1154 • • n n n B A D .当1 n 时，B A 9； 当2 n 时，B A 5461 . 解得25,16 B A ，所以1145 n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法 3.1 拆行（列）法 3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a1110000011000110001D 133221.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nn n n a a a a a a a a110010000001100001010001D 133221.1101000001100010000110001000001100011000113322113322nnn nn n a a a a a a a a a a a a a a a上面第一个行列式的值为1，所以nnn n a a a a a a a 1101000010011D 13321111 n D a .这个式子在对于任何 2 n n 都成立，因此有111 n n D a Dn n n a a a a a a D a a 2112112211111ij j ii a 1n111.3.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn n n n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1 n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1 n 阶的范德蒙德行列式，得nn nn nn n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111. 将 x f 按第1 n 列展开，得n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1 ，其中，1n x的系数为n n n n n n D D A 11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1n x的系数为ni j j in x xx x x 121 .故有ni j j in n x xx x x D 121 .3.3 特征值法 3.3.1 概念及计算方法设n ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式 n A 21 .故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式． 3.3.2 例题解析例13 若n ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．证明：因为n A21 ，则A 可逆 n i i n 2,1000A 21 .即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法 4.1 三角形行列式4.1.1 概念形如nn n n n a a a a a a a a a a333223221131211，nnn n n a a a a a a a a a a321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式． 4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知，nn nn n n n a a a a a a a a a a a a a2211333223221131211000000 ,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a2211321333231222111000000 . 4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a2211210，n nnc a c a c a a b b b2211012，nnn b b b a a c a c a c2101122，121122a b b b c a c a c a nn n这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321，其中.,2,1,0n i a i分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.),3,2(n i i 列元素乘以ia 1后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:na a a a 111111321nni ia a a a a 00011113221ni i n aa a a a 21321. 4.3 “么”字型行列式 4.3.1 概念形如nnn b b b a a c a c a c211122，n nn a b c a b c a b c a2221110，n n nc a c a c a a b b b2211012，0111222a c b a c b a c b a nn n，1021122c a c a b a b c a b nn n，nnna c a c a cb b b a2211210，0121122a b b b c a c a c a nn n，nnn b a b c b a b a c a c 12211201这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1 n a 消去1 n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析例15 计算1 n 阶行列式nn n b b b D 1111111111.解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得nnn ni ini in b b b bb D 11111111• ni i nn n b 121111ni i n n b 12311.4.4 “两线”型行列式 4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a0000000012211这样的行列式叫做“两线型”行列式． 4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析例16 求行列式nnn n a b b b a b a00000000D 12211 . 解：按第一列展开，得122111221100010000 n n n nn n b b a b b a b b a a Dn n n b b b a a a 211211 .4.5 “三对角”型行列式 4.5.1 概念形如ba ab b a ab b a abb a ab b a 10000000000100000100000这样的行列式，叫做“三对角型”行列式． 4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析例17 求行列式ba ab b a ab b a abb a ab b a n100000000000100000100000D. 解：按第一列展开，得ba ab b a b a ab b a abb a ab D b a n n10000010000100000D 121 n n abD D b a . 变形，得211D n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ， 从而利用上述递推公式得211D n n n n aD D b aD n n n n b aD D b aD D b 122322 .故nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D 12211121 n n n n b ab b a a 11 .4.6 Vandermonde 行列式 4.6.1 概念形如113121122322213211111 n nn n n n n a a a a a a a a a a a a这样的行列式，成为n 级的范德蒙德行列式． 4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明，可得 11113121122322213211111i j j i n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn n n n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1 n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1 n 阶的范德蒙德行列式，得nn nn nn n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111. 将 x f 按第1 n 列展开，得n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1 ，其中，1n x的系数为n n n n n n D D A 11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1n x的系数为ni j j in x xx x x 121 ,故有ni j j in n x xx x x D 121 .5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用． 5.1 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012Dn . 分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到1n阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得212D n n n D D . 即211D n n n n D D D .∴12312211 D D D D D D n n n n . ∴111111 n n n n D D D121 n n .5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式 例20 计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D解：从第一行开始，依次用上一行的 1 倍加到下一行，进行逐行相加，得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111D .再由范德蒙德行列式，得4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D .5.3 构造法和套用范德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn n n n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1 n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1 n 阶的范德蒙德行列式，得nn nn nn n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111. 将 x f 按第1 n 列展开，得n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1 ，其中，1n x的系数为n n n n n n D D A 11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1n x的系数为ni j j in x xx x x 121 .故有：ni j j in n x xx x x D 121 .。
谈谈行列式的计算方法
谈谈行列式的计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，常用于解线性方程组、计算逆矩阵以及求多项式的根等问题。
本文将详细介绍行列式的计算方法。
一、行列式的定义与性质：行列式是一个数，可以用于判断矩阵是否可逆、求解线性方程组的唯一解以及计算矩阵的逆等问题。
设A为一个n阶方阵，其行列式记作，A，或det(A)。
1.一阶行列式：对于一个1×1的矩阵[a]，其行列式定义为，a，=a。
2.二阶行列式：对于一个2×2的矩阵[a b; c d]，其行列式定义为，A，=ad-bc。
3.三阶行列式：对于一个3×3的矩阵[a₁b₁c₁;a₂b₂c₂;a₃b₃c₃]，其行列式定义为，A，=a₁b₂c₃+b₁c₂a₃+c₁a₂b₃-c₁b₂a₃-a₁c₂b₃-b₁a₂c₃。
性质：-行列式与其转置矩阵行列式相同：，A，=，A^T。
-交换矩阵的两行（列）行列式改变符号，交换三行（列）行列式不变。
-一行（列）中有等于零的元素，行列式等于零。
二、行列式的计算方法：1.根据定义计算：根据行列式的定义，可以直接按照计算规则进行计算，但随着阶数的增加，计算量会呈指数级增长，因此不适用于高阶行列式的计算。
2.代数余子式法（拉普拉斯展开）：利用代数余子式法可以将计算一个行列式的问题转化为计算多个较小行列式的和的问题。
对于一个n阶矩阵A，定义它的第i行第j列元素为aᵢⱼ，那么对于任意一个aᵢⱼ，可以定义它的代数余子式M(i,j)为将行i和列j从A中删去后的(n-1)阶行列式，即A的余子矩阵的行列式。
代数余子式M(i,j)用(-1)^(i+j)乘以A的代数余子式C(i,j)得到。
通过拉普拉斯展开定理，行列式等于它的任意一行（列）元素与其对应的代数余子式乘积的和，即：A，=a₁ⱼM(1,j)+a₂ⱼM(2,j)+...+aⱼⱼM(n,j)（其中j为任意列号）3.三角行列式法：对于三角矩阵（上三角或下三角），行列式等于对角线上元素的乘积，即a₁₁a₂₂...aⱼⱼ。
线代论文之论行列式的计算方法及在生活中的实际应用
线代论文之论行列式的计算方法及在生活中的实际应用论行列式的计算方法及在生活中的实际应用10数字印刷一班孙晓康100220211行列式就是线性代数中的一个基本工具。
无论是高等数学领域里的高深理论，还是现实生活里的实际问题，都或多或少的与行列式有著轻易或间接的联系。
行列式的排序具备一定的规律性和技巧性。
针对各种行列式的结构特点概括了行列式排序的常用计算方法，并以实例予以表明。
行列式的计算是学习高等代数的基石,它是求解线性方程组,求逆矩阵及求矩阵特征值的基础,但行列式的计算方法很多,综合性较强,在行列式计算中需要我们多观察总结,便于能熟练的计算行列式的值。
目前我们常用的计算行列式的方法有对角线法则，化为三角形行列式,拆分法,降阶法，升阶法，待定系数法和数学归纳法，乘积法，加边法。
1.对角线法则此法则适用于于排序低阶行列式的值（如2阶，3阶行列式的值），即为主对角线的元素的乘积乘以辅或次对角线上的元素的乘积，其主要思想就是根据2阶，3阶行列式的定义排序行列式的值。
2.化成三角行行列式利用行列式的性质，把行列式化为上（下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的结论，可得到相应行列式的值3.分拆法把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式性质将原行列式写成二个行列式的和,使问题简化以利于计算。
4.降阶法(包括递推降阶法和依据定理展开)(1)关系式降阶法：关系式法可以分成轻易关系式和间接关系式。
用轻易关系式法排序行列式的关键就是找到一个关于的代数式去则表示，依次从逐级关系式便可以算出的值；间接关系式的作法就是，转换原行列式以结构出来关于和的方程组，解出就可以Champsaur。
(2)依据定理展开法：依据行列式展开定理，可以把所给行列式展开成若干个低一阶的行列式的和。
如果能把行列式变形，使其某一行（列）的元素只有一个不为零，那么这个行列式就可以变形为一个低一阶的行列式来计算。
5.升阶法在排序行列式时.我们往往先利用行列式的性质转换取值的行列式，再利用进行定理使之降阶，从而并使问题获得精简。
论行列式的计算方法
论行列式的计算方法黄正敏（莆田学院数学系2002级，福建 莆田）摘要：归纳行列式的各种计算方法，并举例说明了它们的应用，同时对若干特殊例子进行推广。
关键词：行列式；范德蒙行列式；矩阵；特征植；拉普拉斯定理；析因法；辅助行列式法行列式的计算灵活多变，需要有较强的技巧。
当然，任何一个n 阶行列式都可以由它的定义去计算其值。
但由定义可知，n 阶行列式的展开式有n!项，计算量很大，一般情况下不用此法，但如果行列式中有许多零元素，可考虑此法。
值的注意的是：在应用定义法求非零元素乘积项时，不一定从第1行开始，哪行非零元素最少就从哪行开始。
接下来要介绍计算行列式的两种最基本方法――化三角形法和按行（列）展开法。
方法1 化三角形法化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。
这是计算行列式的基本方法重要方法之一。
因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。
原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。
但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。
因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。
例1：浙江大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2小题（重庆大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1小题）的解答中需要计算如下行列式的值：12312341345121221n n n n D n n n -=--L L LM M M M M L[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。
注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n 列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列。
然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。
行列式不同计算方法的比较研究
行列式不同计算方法的比较研究1. 引言1.1 研究背景在数学领域，行列式是一种重要的数学工具，广泛应用于代数、几何和线性代数等领域。
行列式的计算方法有很多种，其中按行展开、按列展开、利用线性代数理论和利用矩阵运算等方法是常见的几种方式。
每种计算方法都有其独特的特点和适用范围。
行列式的计算方法不仅在数学研究中有着重要的作用，而且在工程、物理、计算机等领域也有着广泛的应用。
研究不同计算方法的比较，有助于推动数学在实际问题中的应用，提高问题求解的效率和准确性。
通过对行列式不同计算方法的比较研究，可以帮助我们更深入地理解行列式的性质和计算规律，为进一步研究行列式及其应用奠定基础。
1.2 研究意义行列式是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于各种数学和工程领域。
对行列式的计算方法研究不仅有助于加深对代数结构的理解，还能帮助简化复杂计算过程、提高运算效率。
行列式计算方法的比较研究有助于找出最适合不同场景的计算策略，为实际问题的求解提供更有效的工具和方法。
在实际工程和科学计算中，有时需要处理大规模或复杂的行列式，选择合适的计算方法能够显著减少计算时间和资源消耗。
深入研究行列式不同计算方法的特点和适用条件，对于提高计算效率、优化算法设计具有重要的意义。
本研究旨在通过比较不同的行列式计算方法，探讨它们在精度、稳定性、计算复杂度等方面的优劣，以及在不同情况下的适用性。
通过分析比较不同方法的特点和实际应用效果，为行列式计算提供更加科学和有效的指导，推动相关理论和方法的进一步深化和发展。
1.3 研究目的研究目的是为了通过比较不同的行列式计算方法，深入探讨各种方法的优劣势及适用情况，从而为数学领域的研究和教学提供参考。
在日常应用中，行列式是一个非常重要的概念，它在线性代数、微积分、概率统计等领域都有广泛的应用。
不同的计算方法在不同的情况下可能会有不同的效率和精度，了解这些方法的特点和适用条件，有助于我们在实际问题中选择合适的计算方式，提高计算效率和准确性。
行列式的多种计算方法的探讨
７８
ａ １１
ａ １２
⋮
Ｄ ＝ ａ ｉ１ ＋ ａ
⋮
⋮
ａ ｉ２ ＋ ａ
′
ｉ１
⋮
ａ ｎ１
ａ ｉｎ ＋ ａ ′ｉｎ
ａ ｎｎ
⋮
⋮
ａ １２
ａ １ｎ
ａ １１
ａ １２
ａ １ｎ
ａ ｉ１
ａ ｉ２
ａ ｉｎ ＋
ａ
ａ
′
ｉ２
ａ ′ｉｎ
ａ ｎ１
ａ ｎ２
ａ ｎｎ
ａ ｎ１
ａ ｎ２
ａ ｎｎ
⋮
２.４ 初等变换性
⋮
ａ １１
０
２０１８
０
⋮
０
１
０
⋮
⋮
⋮
０
０
２０１９
２
０
０
０
０
０
解:此行列式刚好只有 ｎ 个非零元素 ａ １ｎ － １ ꎬａ ２ｎ － ２ ꎬꎬａ ｎ － １１ꎬ ａ ｎｎ ꎬ故非零项只有一项: ａ １ｎ － １ ꎬａ ２ｎ － ２ ꎬꎬ
ａ ｎ － １１ ꎬａ ｎｎ ꎬ 又 τ( ( ｎ － １) ( ｎ － ２) １ｎ) ＝
３.５ 设 ＡꎬＢ 都是阶方阵ꎬ则
Ａ
Ｂ
Ｏ
Ｂ
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｏ
＝
ａｎ
ａ ２ｎ
⋮
⋮
＝
ｎ( ｎ － １)
２
ａ １ｎ ａ ２ｎ － １ ａ ｎｎ
１
...
２
２
＝ ( － １)
０
ａ２
２
浅谈行列式的计算
浅 谈 行 列 式 的 计 算
彭丽娟
（ 石 河 子大 学 商学 院 公共 教学 部 ，新 疆 五家 渠 ８ ３ １ ： ３ ． ０ ０ ）
【 摘 要 】行列式是整个线性代数的基础 ，是求解 线性方程组，求逆矩阵以及矩阵特征值 的基础，但行 列式的计 算方法很多、综合性强、通 常都是用性质、展 开式等方法进行计算的，在进行四阶以上的行列式的计算时，这些方法过于繁琐。本文通过研究 了 几种特殊的计算方法 ，以此简化行列式的计算。 【 关键词】行列式；计算方法 ；行列式的性质；范德蒙行列武；三角形行列式法
ａ ｌ ３ １ ａ ３ ２ ３ １
３ ． ｎ 阶 行 列 式
Ｄ一
行 列式 性质 ： 性 质 ｌ 将 行 列 式 转 置 ， 行 列 式 的 值 不 变 ， 即 Ｄ：Ｄ ｒ ： 。 性 质２ 交换 两 行或 者两 列 ，行 列式 的值 变号 。 性 质３ 用数 ｋ 乘 某 行或 者某 列 ，等 于 以数ｋ 乘 此 行列 式 。
行 列 式 的 计 算是 线 性 代 数 的 一个 基 本 内容 ，它 在 求 解 线 性方 程 组 ，逆 矩 阵 ，矩 阵 的特 征 值 中 占有很 重 要 的 地位 ， 由于 计 算 的 技 巧性 较 强 ，学 生很 难 掌 握 ，这 一 直 是学 生 头 疼 的地 方 。本 文 就 结 合 自己在 线 性 代 数 教 学 实践 的基 础 上对 行 列 式 的 计算 方 法 进 行 概 括和 提 炼 。下 面 首 先从 行 列 式 的 定 义和 性 质 入手 ，然 后 针 对每 个 行列 式 的特 点 ，给 出相对 应 的具 体 的解题 方 法 。 相关 定 义及 其行 列式 的性 质 ： 定 义： １ ． 二 阶 行 列 式
行列式计算方法的归纳 毕业论文
行列式计算方法的归纳摘 要 行列式的计算是一个很重要的问题，也是一个复杂的问题，阶数不超过 3的行列式可直接按行列式的定义求值，零元素很多的行列式（三角形行列式） 也可按行列式的定义求值.对于一般n 阶行列式，特别是当n 较大时，直接用定 义计算行列式几乎是不可能的事.因此，研究一般n 阶行列式的计算方法是十分 必要的.由于不存在计算n 阶行列式的一般方法，所以，本文只给出4种特殊的 计算方法给出了行列式的4种计算方法，综合利用所给解法，基本上可解决一般 4阶行列式的计算方法问题.关键词 行列式； 三角形行列式； 递推关系式1 化三角形法此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式.三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的n 阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号例 计算n 阶行列式ab b b a b b b aD n=解 ()[]a bb a bbb n a D n1111-+=()[]ba b a b bb n a ---+=000011()[]()b a n b n a ---+=112 提取公因式法若行列式满足下列条件之一，则可以用此法：（1）有一行（列）元素相同，称为“a a a ,,, 型”；（2）有两行（列）的对应元素之和或差相等，称为“邻和型”；（3）各行（列）元素之和相等，称为“全和型”.满足条件（1）的行列式可直接提取公因式a 变为“1，1，…，1型”，于是应用按行（列）展开定理，使行列式降一阶.满足（2）和（3）的行列式都可以根据行列式的性质变为满足条件（1）的行列式，间接使用提取公因式法.例 计算n 阶行列式a aaa aa a aa D nn n n x x x +++=212121解 该行列式各行元素之和都等于 x+∑=ni i a 1，属于“全和型”，所以a aaaa a a Dnnn ni i nx x x ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑=2221111xx x a a a nni i0000121⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑= ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑=-ni i n a xx 11()b aab b a nn ab b a 221-=*==-3 利用范德蒙德（Vandermonde ）行列式法著名的范德蒙行列式，在线性代数中占有重要地位，研究它的应用引起了一些数学家的兴趣，因此在计算行列式时，可直接用其结果.例 计算n 阶行列式()()()()()()()()()112111121111111112111222122211---------=---xx xx x x x x x x x x x x x x x x D nn n n nn n n n n解 将第一行可视为()()()1,,1,12211------x x x x x x nn，再由行列式的性质()()()()()()1121111111112111221121-------------xx xx x x x x x x x x x x x nn n n nnn n把第一个行列式从第一行起依次将i 行加到i+1行；第二个行列式的第i 列提取1-x i （i=1，2，3……n ），得x x x x x x x xx D nnnnn nn212122221=()()()()()()()1121111111111211122111-----------=∏xx x x x x xx x x x x x nn n n nn ni in()()∏∏∏≤≤==-*⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=ni j j i ni i n i i x x x x 1111b a D 1111+=4利用递推关系法所谓利用递推关系法，就是先建立同类型n 阶与n-1阶（或更低阶）行列式之间的关系——递推关系式，再利用递推关系求出原行列式的值.例 计算n 阶行列式accb ac b b aD n=，其中0,≠≠bc c b解 将D n 的第一行视为（a-c ）+c,0+c,……,0+c,据行列式的性质，得accb ac b b c a cb a b bc a a ccb ac b b cc a D n+-=+++-=000()()b a D D n n n cc a ---+-=∴11(1)于b 与c 的对称性，不难得到()()c a D D n n n bb a ---+-=11 (2)联立（1），(2）解之，得 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=----b a c a c b D nnnc b 1例 计算n 阶行列式ba ab ba b a abb a ab b a D n +++++=0000010001000解 将D n 按第一行展开，得()ba ab b a b a ab ab b a D D n n +++-+=-100000000011于是得到一个递推关系式()D DD n n nab b a 21---+=，变形得()D D D Dn n n nb a b 111----=- ，易知()()D Da D D aD D n n n n n n b b b 4333221------=-=- ()()()a b a aD D a nn n b a b ab b =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=-==+--22122所以D a D n nn b 1-+=，据此关系式在递推，有()Dba a D aa D n n n n n nn b b b 22121----++=++=b ba a D bbaa a nn n n n n n na b b ++++=++++==-----1111221如果我们将Dn的第一列元素看作a+b,1+0,……0+0,按第一列坼成两个行列式的和，那么可直接得到递推关系式D a D n nn b 1-+=，同样可D n 的值.综上述，我们介绍了计算行列式的4种方法，还有一些方法和技巧由于篇幅所限不再列举.最后指出：计算一个行列式常常有多种方法，有时计算一个行列式需要几种方法配合使用.对于给定的行列式，究竟选择何种方法为好，好需要在实践中积累经验.参考文献[1] 王品超.高等代数新方法.山东教育出版社，1989.。
浅谈行列式的计算方法
浅谈行列式的计算方法
在线性代数中，行列式是一个重要的基本工具，因此熟练地掌握行列式的计算方法是非常重要的。
下面结合几年来的教学实践，谈谈计算行列式的常用方法。
(一)定义法
即把行列式按第一行进行展开，其值等于该行所有元素与其相应的代数余子式乘积之和而得到，请看：
通过此题的计算，我们体会到第一行的零元素越多，按第一行展开时，计算就越简便。
(二)三角形法
这是计算行列式的一种基本方法。
它是把一个行列式通过行列式的性质，设法把它们化为三角形行列式，然后求其值。
请看：
方法：把第一行乘以(－1)分别加到第2行、第3行、……、第n行，然后再按第一列进行展开。
从本例可以看出，如果在一个行列式中，位于主对角线上(下)边各个元素与第1行(或)列中，同列(或)行的元素都相同或互为相反数，那么把它化为三角形行列式将是较为方便的。
(三)降阶法
即利用行列式的有关理论降低行列式的阶数，然后计算行列式。
方法：因第3行只有一个元素不是零，故按这一行进行展开。
(1行、3行对应元素成比例)
(四)拆开法
如果行列式的某些行(或)列的元素有规律地表示为两项的和，就可以把该行列式拆开为两个行列式之和，然后再进行计算。
此外，还有递推法、利用反对称行列式的性质来计算行列式的方法，本文暂不做阐释。
从以上我们介绍的几种计算行列式的方法中，我们可以清楚地看到，许多方法不是单独使用的，这就要求我们要仔细观察行列式的结构，以找出切实可行的办法来达到快速、准确、方便地计算行列式。
a行列式的n次方和a的n次方的行列式
，这是一个非常有趣的数学主题，涉及到行列式和幂运算的结合。
在本文中，我将从深度和广度的角度对这个主题进行全面评估，并撰写一篇有价值的文章。
一、行列式的n次方1.1 行列式的定义和性质让我们回顾一下行列式的定义和性质。
行列式是一个非常重要的数学概念，上线性代数和线性方程组的解法中都有广泛的应用。
行列式的n次方指的是将一个n阶方阵的行列式进行幂运算，这个概念需要我们从多个角度来理解。
1.2 行列式的展开和计算接下来，我们将深入探讨行列式的展开和计算方法。
行列式的展开可以通过代数余子式和拉普拉斯定理来实现，不同的展开方法会影响到最终行列式的计算结果。
在此过程中，我们需要关注行列式的性质和特点，从而正确地进行幂运算。
1.3 行列式的n次方的实际应用我们将探讨行列式的n次方在实际问题中的应用。
行列式的n次方可以用来描述多个变量之间的线性关系，例如在经济学和物理学中都有相应的案例。
这些应用案例将帮助我们更好地理解行列式的n次方在数学领域中的意义和作用。
二、a的n次方的行列式2.1 a的n次方的行列式的定义和性质接下来，让我们来考虑a的n次方的行列式。
这是一个由行列式和幂运算结合而成的新概念，需要我们从更抽象的角度来理解。
我们将从a 的n次方的定义和性质入手，逐步展开对这个主题的探讨。
2.2 a的n次方的行列式的计算和推导随后，我们将深入探讨a的n次方的行列式的计算和推导方法。
这将涉及到代数运算和数学推导，需要我们灵活运用行列式的性质和幂函数的特点。
通过具体的例子和步骤，我们将更好地理解这个主题的深度和复杂性。
2.3 a的n次方的行列式的应用和意义让我们来探讨a的n次方的行列式在实际问题中的应用和意义。
同样，这个概念也可以在各种学科和领域中找到相应的案例，帮助我们更好地理解其实际价值和意义。
总结回顾行列式的n次方和a的n次方的行列式是一个非常有意思的数学主题。
通过深入和广泛的学习，我们可以更好地理解其在数学领域和实际问题中的应用。
关于高阶行列式的求解方法在教学中的探讨
Science &Technology Vision 科技视界0引言行列式的计算是线性代数基本问题之一,特别是关于高阶行列式的计算.从理论上来讲都是可是按定义来求的,但其过程是相当复杂的,而且仅仅使用定义也无法快速计算,还需要其他相关的数学技巧和方法.因此,探讨高阶行列式的计算方法和技巧是相当必要的.本文主要通过举例来探讨和总结了几种特殊的计算技巧和方法—-定义法、化三角形法、范德蒙行列式、递推法、数学归纳法.这对于激发学生的学习热情,促进学生的数学思维发展,培养学生的创新能力,将起着积极的作用.1求解方法1.1定义法[1]根据n 阶行列式的定义可知其展开式中包含n !项,所以直接使用其定义是相当麻烦的,除非其行列式中0元素比较多,这样可以大大减少行列式展开的项数.除此之外,还可以利用其定义来证明两个行列式相等.下面举例来说明.例1设D 1=a 11a 12…a 1na 21a22…a 2n…………a n 1a n 2…a nn,D 2=a 11a 12b-1…a 1n b 1-n a 21b a 22…a 2n b2-n…………a n 1b n-1a n 2bn-2…a nn证明:D 1=D 2证:由行列式的定义有D 1=∑-1()ta 1p a 2p …a npD 2=∑-1()t a 1p b1-p 1()a 2p b2-p 2()…a n p bn-pn()=∑-1()ta 1p a 2p …a np b(1+2+…+n )-(p +p +…+p )其中t 是排列p 1p 2…p n 的逆序数.而p 1+p 2+…+p n =1+2+…+n 所以有D 2=∑-1()ta 1p 1a 2p 2…a npn =D 1证毕.1.2用化三角形行列式计算[2-3]将行列式化为上三角形、下三角形或者对角形,从而得出其值.例2计算D n +1=b a a a …a a b a a …a a a b a …a ………………aaaa…b解:将第2,3,n +1列都加到第1列,可得D n +1=b +na a a …a b +na a a …ab +naa b …a ┆┆┆┆b +na a a …b提取第一列的公因式b +na ,得到D n +1=b+na ()1a a …a 1a a …a1a b …a ……………1a a …b将第1列(-a )的倍加到第2,3,…,n +1列,可得D n +1=b+na ()100...01b-a 0 010b-a …0……………100…b-a=b+na ()b-a ()n1.3利用范德蒙行列式计算[4]首先利用行列式的基本性质将所求行列式转化为范德蒙行列式,然后根据范德蒙行列式计算出所求行列式的值.例3求行列式D n =11…1222…2n 332…3n…………n n 2…nn.解:首先观察D n 中各行元素的特点:分别是一个数的不同方幂,方幂的次数由1递升到n .于是提取各行的公因子,则方幂次数便从0增至n -1,从而可以变成相应的范德蒙行列式,故利用范德蒙行列式的结果可以得到:D n =n !111…11222 (2)n-11332…3n-1……………1nn2…nn-1=n !n ≥i j ≥1∏x i-x j()n !2-1()3-1()…n -1()●3-2()4-2()…n -2()…n -n -1()[]=n !n -1()!n -2()!…2!1!1.4用递推法计算[5]这种计算方法其实就是利用D n 和D n -1的递推形式先建立起两者之间的相应关系,然后再根据此公式代入计算出行列式的值.※基金项目:重庆邮电大学博士启动基金(A2014-25);重庆邮电大学青年科学基金(A2014-106);重庆市研究生教育教学改革研究重点项目(yjg142006);重庆市高等教育教学改革一般项目(133111)。
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关于行列式计算方法的进一步探讨引言行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的,它不论是在线性代数，多项式理论还是微积分中都有广泛应用，所以掌握行列式的计算是十分必要的. 为此，我在查阅部分参考资料的基础上,结合自己的学习实践,对行列式的计算总结了二十一种方法.常规做法都是用行列式的性质和相关定理来求解.以下是对一些典型类型的行列式的计算，以拓宽行列式的解题思路，下面依次说明其求解方法和过程.1.定义法n 阶行列式的定义展开式式中包含!n 项,当n 较大时，利用定义进行计算就会很麻烦，只有当行列式中0比较多时考虑利用定义算行列式，这样可以大大减少行列式展开的项数.例1计算000100002000010n n -.解 根据行列式的定义，行列式展开式的每一项都是n 个元素的乘积，这些元素来自行列式不同的行和不同的列，由于行列式中只有一个非零项!)1(21n n n =⋅-⋅ ，这一项的逆序数为1-n ，有计算可得!)1(1n D n n --=.2.化三角形法化三角形法主要是利用行列式的性质把原来的行列式化为上(下)三角行列式.虽然每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式.但当行列式阶数较高时,计算往往较为复杂.因此,在许多情况下,总是先利用行列式的性质将其作某种变形,再将其化为三角形行列式.上(下)三角行列式的值就是对角线各项的积.例2 计算行列式 12311212332125113311231------=n n n n n n n n n n A .解 首先将行列式的第一行乘以()1-加到第n ,,3,2 行,再将其第1,2,,1, -n n 列通过相邻两列互换依次调为第n ,,2,1 列,则得()()()!110200132100001002000200010001231)1(12121-=-=---=----n n n n n n n A n n n n）（.3.降阶法可利用按一行(列)展开定理降低n 阶行列式的阶数并且使得行列式的计算较为简便的方法称为降阶法.降阶比较适合于行列式中某行或列中零元素比较多时.例3 计算行列式 nA 222232222222221=.解 首先应考虑A 能不能化为上(下)三角形式,若将第一行乘以()2-加到第n ,,3,2 行,数字反而复杂了,要使行列式尽可能多的出现“0”项,将该行列式的第一行乘以()1-加到第n ,,3,2 行,得2001010100012221-=n A.上式仍不是上（下）三角形行列式，我们可以用降阶法，注意第二行除了第一项是1， 后面的项都是0，我们按第二行展开，得()!2221222--=-=n n A. 4.加边法加边法就是将原来的行列式添加一行一列,且其值不变,所得的新行列式更容易求出其值.该方法适用于除主对角线上元素外,各行（或列）对应的元素分别相同的类型.例4 计算行列式nn n na a a a a a a a a a a a a a a a D 321321321321111+++=. 解 利用加边法将行列式添加一行一列，使其值保持不变.则有nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a D +++=1010101321321321321=1100101000111321---n a a a a =10001000001013211n ni ia a a a a ∑=+=∑=+ni i a 11=n a a a a +++++ 3211.加边法最大的特点是要找出每行或每列相同的因子，那么升阶之后，就可利用行列式的性质把绝大部分元素化为零，然后再化为三角形行列式，这样就可以大大减少计算量.5.分解行列法(拆项法)如果行列式某行(列)是两行(列)之和,将行列式分解为两行列式的和,然后再利用性质进行计算.即分解行列法.例5 计算 nn n nn n n x n x x x n x x x n x x D ααααααααα+++++++++=212222111211212121.解 将行列式n D 分解为若干行列式的和,则当2>n 时,每个行列式至少有两列成比例,故0=n D ；当1=n 时，1111x D α+=.当2=n 时，()()212121112212222112112222112121αααααααααα--=+=++++=x x x x x x x x x x D .则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=--=+=.2,0,2),2)((,1,1212111n n x x n x D n ααα6.分解法利用矩阵乘积的性质可把行列式分解成若干个行列式乘积的方法称为分解法.如果矩阵A 分解为m A A A A A 321=，其中i A 都是n 阶方阵),,2,1(m i =,则.321m A A A A A =例6 计算行列式nn nn n n n nn n n nn n n nnn nn nn nnn n nn nn n b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a b a D ------------------=111111111111111111221122222212121121211111. 解 首先用以前学过的公式化简行列式，然后再进行计算.由于 )1)(1()(11122111111--++++-=-n n n b a b a b a b a b a ， 则有∑∑∑∑∑∑∑∑∑-=-=-=-=-=-=-=-=-==1010211121022101210110211011n k knk n n k k k n n k k k n n k k nk n k k k n k k k n k k n k n k k k n k k k n b a b abab abab ab a b a b aD=112112222121121222211211111.111------n nn n n n n n n n n n b b b b b b b b b a a a a a a aaa=∏≤≤≤--nj i i j i jb b a a1))((.7.拆元法把某一行或列的元素写成两个数的和的形式，再利用行列式的性质将其写成两个行列式的和，以简化计算.例7 计算行列式xm m m m xmm m mx m mm mxD n ------=.解xm m m m xmm m m xm mm m x D n ------=xm m m m xmm m m x m mm mm------=xm m mm xmmm m x m mm m mx -------+11)()(---++=n n D m x m x m (1)由于n nD D =' ，即将n D 中的m 换成m -，行列式的值不变，故 11)()(--++--=n n n D m x m x m D (2)（1））（m x +⨯122)()()(--++=+n n n D m x m x m D m x（2）)(m x -⨯122)()()(--+--=-n n n D m x m x m D m x则])()[(21)()()()(n n n n n m x m x m x m x m x m m x m D --+=--+-++=.8.析因子法所谓析因子法就是当行列式为零时,求得方程的根,从而将行列式转化为其因子的积,这样会大大减少计算量,该方法适用于主对角线上含多项式的类型.对于一个n 次多项式,当最多找到r 个因子使其行列式值为零时,就要把它画成一个r 次多项式与一个r n -次多项式的乘积.但一般找到的使其行列式为零的个数与行列式的次数相差太多时，不适用本方法.例8 计算 1321121311321+++=x n x n x n D n.解 令(),n D x f =当1,,2,1-=n i 时，()0=i f ，即()()()1,,2,1+---n x x x 是()x f 的因子且它们互质.故()∏-=-11n i i x 是()x f 的因子，比较1-n x的系数知()=x f ()n n i D i x =-∏-=11.9.分块矩阵法我们学习了矩阵的分块，知道一个矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛B A 00通过分块若能化为对角矩阵或下（上）三角矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛B C A 0,那么行列式BA 00=BCA 0B A ⋅=，其中阶可逆矩分别是r s B A ,,s r C ⨯是阶矩阵，r s ⨯是0阶矩阵.可以看出，这样可以把r s +阶行列式的计算问题，通过矩阵分块转换为较低阶的s 阶和r 阶行列式计算问题，下面先根据上面的途径给出计算公式.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=rr r rsr r s sr s ss s r s b b c c b b c c d d a a d d a a G1111111111111111⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B C D A ， 其中，B A ,分别是s 阶和r 阶的可逆矩阵，s r C ⨯是阶矩阵, r s D ⨯是阶矩阵,则有下面公式成立.C DB A B B CD A G 1--⋅==或C D B A BC DA G 1A --⋅==. 下面推导公式，事实上当0≠A 时，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----B C D A E DB E D BCA D A B C D A E A E000111⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-B C CDB A 01. 上面两式两边同时取行列式即可得出上面的公式.例9计算 8710650143102101=D . 解法1 0440440043102101871650143102101===原式. 若用前面介绍的公式则可以直接得出结果.解法2 令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8765B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001C ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321D ， 则有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001'A ,由公式知原行列式⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-⋅==-432110011001876510011D CA B A B CD A 04444432187651==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=，这道题目还有一个特点，那就是C A =,如果我们把公式变形， 即D ACA AB D CA B A D CA B A BC DA 111)(----=-=-⋅=. 当C A =时CD AB D CAA AB D ACA AB -=-=---11.所以当C A =时CD AB BC DA -=, 这类题就可以直接写出答案了.解法3 令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8765B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001C ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321D . 因为C A =，所以原行列式0432187654321100187651001=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=CD AB .10.递推法应用行列式的性质,把一个n 阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式的线性关系式,这种关系式称为递推关系.根据递推关系式及某个低阶初始行列式的值,便可递推求得所给行列式的值,这种计算行列式的方法称为递推法.注意 用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构，如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法. （1） 1-=n n kD D 类例10 计算行列式 2n D =d cd c b a ba.解 将2n D 按第1行展开可得()0100122cd dc b a bab dc d c b a b a aD n n+-+=()()阶阶2222---=n n dcdc b a ba bcdc d c b a b a ad22--=n D bc ad ）（.所以 422222)()(---=-=n n n D bc ad D bc ad D n n bc ad D bc ad )()(22-=-==- . （2） 2211--+=n n n D k D k D 类例11 计算带形行列式1111n D αβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++=++.解 将n D 按第一行展开可得，211)(111)(----+=+++-+=n n n n D D D D αββαβααββααββααβαββα所以12()n n n D D D αβαβ--=+-，112n n n n D D D D αβαβ----=-， 112()n n n n D D D D αβα----=-，223()n n D D βα--=- …………332()n D D βα-=-.2233311αββαβαβααββααββα+++=+++=D αββαβααββα++=++=2221D 323βα=-D D333132()n n n n n D D D D αβαβββ----=-==，同理可得 1n n n D D βα--=，联立解得 1n nn D αβαβ--=-，因此 11n n n D αβαβ++-=-.11.构造代数方程组法当所求行列式是由几个元素组成的,若用曾经求解过的行列式作系数行列式,构造一个n 元线性方程组,所求行列式中可作为线性方程组解的组成部分.例12 计算 n nn nn n n n nnn a a a a a a a a a a a a D21222212222121111---=. 解 如果使用常规的方法,解这道题是非常复杂的,而且困难的是因为n D 不是范德蒙行列式,若我们用刚刚介绍的代数方程组法求解这道题就变得十分容易了,因为n D 类似于范德蒙行列式,我们构造一个n 阶的范德蒙行列式()∏≤<≤----==nj i i jn nn n n n a aa a a a a a a a a D 1112112222121111.于是当j i a a ≠时，比值DD n是线形方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---.,,121212221111211nn n n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 的解中的n x 值，又这个方程组x t x t x t n n n =-----121 可以看作是()是未知数t 有n 个根：n a a a ,,,21 .于是由高次方程与系数的关系有n n a a a x +++= 21， 因此，()()∏≤<≤-+++==nj i i jn n n a aa a a D x D 121 .12.数学归纳法数学归纳法多用于证明题.用数学归纳法计算n 阶行列式，需要对同结构的低阶行列式进行计算,从中发现规律并得出一般性结论,然后用归纳法证明其正确性.例13 证明αααααn cos cos 2100cos 210001cos 21001cos = .证明 第二数学归纳法.2=n 时,ααcos 211cos 2=D =αα2cos 1cos 22=-.结论成立.假设对级数小于n 的行列式,结论成立,则21cos 2---=n n n D D D α,由假设αααααααsin )1sin(cos )1cos(])1cos[()2cos(2-+-=--=-=-n n n n D n ,代入前一式得]sin )1sin(cos )1[cos()1cos(cos 2αααααα-+---=n n n D n=αααααn n n cos sin )1sin(cos )1cos(=---. 故对一切自然数n 结论成立.13.辅助行列式法辅助行列式法应用条件：行列式各行（列）和相等，且除对角线外其余元素都相同.解题程序1）在行列式D 的各元素中加上一个相同的元素x ，使新行列式*D 除主对角线外，其余元素均为0；2）计算*D 的主对角线各元素的代数余子式);,,2,1(n i A ii = 3)∑-*-=nij ij A x D D 1 .例14 求下列n 阶行列式的值.111212112111 n n n D n ---=.解 在n D 的各元素上加上(1)-后，则有n n n n n nn n)1()1(000101001000)(D 2)1(-⋅-=---=-* ，又(1)1212,11(1)(1)n n n n n n A A A n ---====-⋅- ，其余的为零.故 ∑=*+=nj i ij n n A D D 1,)(=∑=+--+-⋅-ni i n i nn n A n 11,2)1()1()1(=12)1(2)1()1()1()1()1(----⋅⋅-+-⋅-n n n nn n n n n=1)1(2)1()1(--⋅--n n n n . 若知道辅助行列式法的解题程序，用此法就可轻松地解出此题.但根据该行列式的特点，我们也可以用加边法，把大部分元素化为零，再化为三角形行列式也可轻易解出该行列式.14.利用拉普拉斯展开法拉普拉斯定理的四种特殊情形1）0nn nn mm mnmmA ABC B =⋅2）0nn nm nn mm mm A C A B B =⋅3）0(1)nn mnnn mm mmmnA AB BC =-⋅ 4）(1)0nm nn mn nn mm mmC A A B B =-⋅例15 计算n 阶行列式n D ,其中aba b ab ab aa a a D nββββββββββββλ=.解 如果从第三行开始每一行都减去第二行,再从第三列开始每一列都加上第二列， 使行列式种更多的元素为零.先按上述分析对行列式进行变换βββββββββλ------=a aa a a a ab aa a a D n00000000βββββββλ----+-=a a a n a b aaaan00000000)2()1()2()2(2200000)2(1-⨯-⨯---⋅-+-=n n a a a n a ba n ββββλ）（2)()]1()2([--⋅---+=n a n ab n a ββλλ.15.利用范德蒙行列式例16 计算行列式1+n D ,其中111)()1()()1(1111---+----=n n n nnnn n a a a n a a a D .解 该行列式与范德蒙行列式类似,我们可以先利用行列式的性质把它变成范德蒙行列式在进行计算.通过相邻两行的交换,先把最后一行交换至第一行（交换n 次）,再将新的最后一行交换至第二行（交换1-n 次）继续下去,经过2/)1(-n n 次交换以后,原行列式变成范德蒙行列式.由范德蒙行列式的性质得nn n n n n n a a a na a a D )()1(1111)1(2)1(1-----=++=∏∏≤<≤≤<≤--=----ni j ni j n n j i j a i a 002)1()()]()[()1(.推论 （超范德蒙行列式法）超范德蒙行列式法就是考察1+n 阶范德蒙行列式)(x f ,利用行列式n D 与)(x f 中某一元素余子式的关系来计算行列式的方法.这种方法适用于n D 具有范德蒙行列式形式的题型.例17 计算行列式n nn nn n n n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=. 解 1+n 阶范德蒙行列式为)(x f =∏≤<≤-------=ni j j i n n nn nn n n n nnx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 12121112112222121)()())((111由分析知n D 就是行列式)(x f 中元素1-n x 的余子式1,+n n M ，即1,1,++-==n n n n n A M D （1,+n n A 为代数余子式）， 又由)(x f 的表达式及根与系数关系知)(x f 中1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+++-ni j j in x xx x x 121 .即1,+n n A =()()∏≤<≤-+++-ni j j in x xx x x 121 .所以 =n D ()()∏≤<≤-+++ni j j in x xx x x 121 .16.利用矩阵行列式公式引理 设A 为n m ⨯型矩阵，B 为m n ⨯型矩阵，n E ，m E 分别表示n 阶，m 阶单位矩阵，则有)det()det(AB E BA E m n ±=±.例18 计算下行列式的值.ba a a a ab a a a a a b a a a a a b a n n n n n ++++=321321321321D .解 令矩阵 A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++=b a a a a a b a a a a a b a a a a a b a n n n n321321321321则可得A ),,,(11121321321321321n n n n n n n a a a bE a a a a a a a a a a a a a a a a bE⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n C B bE ⨯⨯+=11.其中 ()n n T n a a a C B ,,,,)1,,1,1(2111 ==⨯⨯， 那么根据上面所提到的引理可得111D ⨯⨯-+=+=n n n n n B C b b BC bE .又()∑=⨯⨯=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ni i n n n a a a a B C 12111111，故)(11b a bD ni i n n +=∑=-.17.利用方阵特征值与行列式的关系例19 计算下行列式的值 ba a a a ab a a a a a b a a a a a ba D n n n n n ++++=321321321321.解 令矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++=b a a a a a ba a a a ab a a a a a ba A n n n n321321321321⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a bE321321321321n n A bE +=，显然 ,n bE 的n 个特征值为b b b ,,, .而n A 的n 个特征值为0,,0,0,1∑=ni i a .故A 的特征值为11,,,,-=∑+n ni i b b b a b .由矩阵特征值与对应行列式的关系知)(11∑=-+==ni i n n b a bA D .18.乘以已知行列式例 20 计算行列式abc db a dc cd a bd c b aD ------=4. 解 直接计算这种行列式比较困难.所给行列式易于利用行列式乘法公式求得4424D D D '=，再确定4D 的符号即可求出4D .根据行列式的乘法公式有 4424D D D '==abc db a dc cd a b d c b a------ab c d b a d c cd a b d c b a ------=22222222222222220000000d c b a d c b a d c b a d c b a ++++++++++++=42222)(d c b a +++,所以4D = 22222)(d c b a +++±.根据行列式的定义可知,4D 的展开式中有一项为444332211)1234()1(a a a a a =-τ，故4D = 22222)(d c b a +++.19.递推方程组方法例21 求行列式的值xz zzy x z zyy x zyy y xD n = . (3) 解 从）（1的行列式的第一列减第二列，第二列减第三列，…，第1-n 列减第n 列，得,00000000000xxz y y x y y x x z y y x x z y y x D n -------=(4)上面的行列式按第一行展开，有两项，一项是)(y x -乘一个1-n 阶行列式，这个1-n 阶行列式和（4）中的n 阶行列式的构造相同，即上述展开的第一项可表示为1)(--n D y x ；展开的另一项是111)1(1)()()1(00000000000)1(--+-+-=--=-------n n n n n z x y x z y x z x z y x x z y x xz y故递推式,)()(11---+-=n n n z x y D y x D （5）若y z =，则上式化为,)()(11---+-=n n n y x y D y x D （6）类似地有;)()(;)()(223221y x y D y x D y x y D y x D n n n -+-=-+-=---又))((2y x y x xy yx x xy y yx D +-==--=. 故可对（4）式递推计算如下：11)()(---+-=n n n y x y D y x D=(y x -)[]122)()()(----+-+-n n n y x y y x y D y x =1332)(2])()[()(----+-+--n n n y x y y x y D y x y x =133)(3)(---+-n n y x y D y x])1([)()()2())(()()()2()(112122y n x y x y x y n y x y x y x y x y n D y x n n n n n -+-=--++--=--+-==-----上面得到原行列式当y z =时的值.下面讨论y z ≠的情形.把（5）的行列式的z y 与对调，这相当于原行列式的行与列互换，这样的做法，行列式的值不变.于是z y 与对调后，1,-n n D D 的值不变，这时（5）式变为11)()(---+-=n n n y x z D z x D （7）从（5）与（7）（递推方程组）消去1-n D ，即（3）式乘以z x -，（5）乘以)(y x -，相减得n n n y x z z x y D y x z x )()()]()[(---=---)()()(y z zy y x z z x y D nn n ≠----=当注: 当y z =时，行列式n D 也可以用极限计算zy y x z z x y nn y z ----→)()(lim(固定y ) 1)()(lim 1----⋅-=-→nn y z y x z x n y (用罗必达法则)])1([)()()(1y n x y x y x y x ny nn n -+-=-+-=-又行列式n D 当y z =时可以用余式定理来做.推广 其实上述行列式我们仅仅能看见主对角线相等的情况，那么对于主对角线不等的我们更进一步考虑用函数来解决.()()()()()x x x x x f ba a bfb af x bbba xb baa xb aa a x D n n--=--==1321其中，b a ≠. 证明 作()xx xb xb xb x a x x x b xb x a x a x x xb x a xa x a xx x D n ++++++++++++++++=321. 可见()()())(,b f b D a f a D =-=-，又据行列式的性质，可知()x D 是x 的一次多项式，所以可令()d cx x D +=，又因D D d ==)0(，所以)()(),()(b f D cb b D a f D ca a D =+-=-=+-=-.故()()ba a bfb af D --=.20.导数在计算行列式中的应用1.行列式的求导法则定理1 设)(x f ij （n j i ,,2,1, =）为可导函数，则有行列式求导法则)()()()(11111x f Vf M Mf V x f M M x f V x f dxdnn n in i n =∑=ni nn n in i n x f Vf M M f dx dV x f dx dM Mx f Vx f 111111)()()()(. 即行列式的导数是数个项之和，其项数等于行列式的阶数，第一项是把原行列式的第一行（或第一列）的各元变成相应的导数，其余各行（或列）不变。