圆的方程知识点总结和典型例题

圆的方程知识点总结和经典例题

1．圆的定义及方程

注意点

(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．

(2)对于方程x 2

＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2

＋E 2

－4F ＞0这一条件．

2．点与圆的位置关系

点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2

＋(y －b )2

＝r 2

的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2

＋(y 0－b )2

＞r 2

. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2

＋(y 0－b )2

＝r 2

. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x

0－a )2

＋(y 0－b )2

＜r 2

.

3．直线与圆的位置关系

（1）直线与圆的位置关系的判断方法

设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2

＋B 2

≠0)， 圆：(x －a )2

＋(y －b )2

＝r 2(r >0)，

d 为圆心(a ，b )到直线l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的

判别式为Δ.

相离 d >r Δ<0

1．几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断． 2．代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． 3．直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．

（2）过一点的圆的切线方程的求法

1．当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程．

2．若点在圆外时，过这点的切线有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在．

（3）求弦长常用的三种方法

1．利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 之间的关系r 2

＝d 2

＋⎝ ⎛⎭

⎪

⎫l 22

解题．

2．利用交点坐标

若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．

3．利用弦长公式

设直线l ：y ＝kx ＋b ，与圆的两交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l ＝

1＋k 2|x 1－x 2|＝

1＋k 2

[

x 1＋x 2

2

－4x 1x 2].

4. 圆与圆的位置关系

（1）圆与圆位置关系的判断方法

设圆O 1：(x －a 1)2

＋(y －b 1)2

＝r 2

1(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2

＋(y －b 2)2

＝r 2

2(r 2>0)．

方法位置关系

几何法：圆心距d 与r 1，r 2

的关系

代数法：两圆方程联立组成方

程组的解的情况

易误点：两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．

1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：

(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；

(2)计算两圆圆心的距离d；

(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．

2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．

（2）两圆相交有关问题

1．圆系方程

一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．

2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程

若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.

3．公共弦长的求法

(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．

(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距

构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 5. 对称问题

(1)点关于点成中心对称通常利用中点坐标公式

点 P （x ，y ）关于Q （a ，b ）的对称点为P'（2a －x ，2b －y ）. (2)点关于直线成轴对称

(3)曲线关于点、曲线关于直线成中心对称或轴对称 6. 与圆有关的最值问题的常见解法

(1)形如μ＝

y －b

x －a

形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． (2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．

(3)形如(x －a )2

＋(y －b )2

形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．

7. 典型例题

1.

直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2

＝1的位置关系是

( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离

D ．无法判断

【解析】 圆心(0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|32

＋4

2

＝1，又圆x 2＋y 2

＝1的

半径r ＝1，∴d ＝r ，故直线与圆相切．

2.

直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)2＋(y ＋

1)2＝9的位置关系是( ) A ．过圆心 B ．相切

C ．相离

D ．相交但不过圆心

【解析】 圆心(1，－1)到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离d ＝

|3×1＋4×－1

＋12|

32＋42

＝

11

5

＜r .【答案】 D 3.

求过点(1，－7)且与圆x 2＋y 2＝25相切

的直线方程．