圆的方程知识点总结和典型例题

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高二数学必修二第四章圆与圆的方程知识点总结

第四章圆与方程

★1、圆的定义：平面内到肯定点的间隔等于定长的点的集合叫做圆，定点圆心，定长为圆的半径。

设M （x,y ）为⊙A 上随意一点，则圆的集合可以写作：P = {M |MA| = r }

★2、圆的方程

（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：

当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内; （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x

（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）

当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭

⎫ ⎝⎛--2,2

E D ，半径为

F E D r 42

22-+=

当0422=-+F E D 时，表示一个点；

当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。（3）求圆的方程的方法：

待定系数法：先设后求。确定一个圆须要三个独立条件，若利用圆的标准方程，

需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，须要求出D ，E ，F ；干脆法：干脆依据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。

另外要留意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。

★3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种状况：

高中圆与方程的总结知识点

一、圆的基本概念

1.1. 定义：圆是平面上与一个给定点的距离等于一个常数的点的集合。

1.2. 圆的要素：圆心、半径，圆的圆心记为O，圆的半径记作r。

1.3. 圆的直径：过圆心的两个点之间的线段称为圆的直径，它的长度等于圆的半径的两倍。

1.4. 圆的线段：圆上的一段弧称为圆的线段。

1.5. 圆的弧长：圆的线段的长度。

1.6. 圆的圆周角：圆上的一段的圆弧，其两端点为圆上的两点，则弧所对的圆心角称为圆

的圆周角，当圆周角的弧的度数是360度时，这个角也叫圆的周角。

二、圆方程的基本概念

2.1. 圆的标准方程：以点(h,k)为圆心,r为半径的圆方程为：(x-h)²+(y-k)²=r²。

2.2. 圆的一般方程：圆的一般方程的一般形式为x²+y²+ax+by+c=0。

三、圆与直线的方程

3.1. 圆与坐标轴的交点：圆与x轴的交点（a，0）和与y轴的交点（0，b）。

3.2. 圆与直线的位置关系：圆可能与直线相切、相交或者不相交。

3.3. 圆的切线方程：圆的切线方程要求切点在圆上，与圆的切线垂直于和直径的直线相。

四、圆与圆的方程

4.1. 圆的位置关系：两个圆可能相离、外切、内切、相交或者包含。

4.2. 圆的位置关系对应的方程：通过分析圆心之间的距离与半径之间的关系，可以确定两

个圆的位置关系。

五、圆的参数化方程

5.1. 参数化方程的定义：参数是指由一个或几个变化的量组成的多元函数。

5.2. 圆的参数化方程：圆可以用参数方程表示为：x=r*cos(t)，y=r*sin(t)。

六、解题技巧

圆的方程的知识点总结

一、圆的标准方程

圆的标准方程是圆心在原点(0,0)、半径为r的圆的方程。它可以表示为：

x^2 + y^2 = r^2

其中，(x,y)是圆上的任意点，r是圆的半径。这个方程可以用来描述一个圆的几何形状和

位置。当圆心不在原点时，我们可以通过平移坐标系的方式将圆心移到原点，然后再应用

标准方程。这样，任意圆的方程都可以被化简为标准方程的形式。

二、圆的一般方程

圆的一般方程是一个更一般的表示方法，它可以描述任意圆的方程，即圆心不一定在原点，半径也不一定为正值。一般方程的形式如下：

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

其中(h,k)是圆心的坐标，r是圆的半径。通过这个方程，我们可以描述圆的任何位置和大小。

三、圆的参数方程

圆的参数方程是用参数形式表示的圆的方程。一个圆的参数方程可以表示为：

x = r*cos(t)

y = r*sin(t)

其中，t是一个参数，取值范围一般是[0,2π]。通过不同的参数取值，我们可以得到圆上的所有点。参数方程的形式在一些数学和物理问题中有一定的应用价值。

四、圆的性质

1.圆的直径和周长

圆的直径是通过圆心的任意一条线段，它的长度是圆的半径的两倍。而圆的周长则是圆周

的长度，可以通过以下公式计算：

C = 2πr

其中，r是圆的半径，C是圆的周长。

2.圆的面积

圆的面积是圆内部的所有点的集合，可以利用下面的公式来计算：

A = πr^2

其中，r是圆的半径，A是圆的面积。这个公式也可以通过积分的方式来推导。

3.切线

对于给定的圆和一点P在圆上，我们可以找到一条直线，它通过点P且与圆相切。切线的斜率可以通过圆心和点P的连线来确定。这个性质在解决与圆有关的问题时有很大的帮助。

高二数学必修二-第四章-圆与圆的方程知识点总结

第四章圆与方程

★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

设M （x,y ）为⊙A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }

★2、圆的方程

（1

点00(,)M x y 与圆222

()()x a y b r -+-=的位置关系：

当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2

r ，点在圆上当2200()()x a

y b -+-<2

r ，点在圆内; （2 （x+D/2)2

+(y+E/2)2

=(D 2

+E 2

-4F)/4 （042

2>-+F E D ）

当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=

当0422

=-+F E D

时，表示一个点；

当042

2<-+F E D 时，方程不表示任何图形。

（3）求圆的方程的方法：

①待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，

需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；

②直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。

★3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：

（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为

圆的方程知识点总结

圆是平面上一组距离等于定值的点构成的集合。圆的方程是描述圆的位置和形状的数学公式。在平面直角坐标系中，圆的方程通常以(x,y)表示平面上的点，以(r)表示圆的半径。

圆的方程有多种表示形式，包括标准圆的方程和一般圆的方程。在本文中，我们将讨论这两种表示形式，并就圆的方程的一些重要知识点进行总结。

一、标准圆的方程

在平面直角坐标系中，标准圆的方程可以表示为：

(x - h)² + (y - k)² = r²

其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。

在标准圆的方程中，圆心的坐标是负号，而圆的半径是正号。

例：方程(x - 2)² + (y + 3)² = 4

这是一个以(2, -3)为圆心，半径为2的标准圆的方程。

二、一般圆的方程

一般圆的方程可以表示为：

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

其中D，E和F是常数，而一般圆的方程的系数则表示圆心的坐标和半径。

在一般圆的方程中，圆心的坐标可以通过系数D和E计算：

圆心的横坐标(h) = -D/2

圆心的纵坐标(k) = -E/2

而圆的半径可以通过系数D，E和F计算：

r² = h² + k² - F

一般圆的方程可以通过圆心的坐标和半径的公式推导出来。

例：方程x² + y² - 4x + 6y + 12 = 0

这是一个以(2, -3)为圆心，半径为2的一般圆的方程。

三、圆的一般方程与标准方程的转换

在平面直角坐标系中，标准圆的方程可以通过圆的半径和圆心的坐标得到，而一般圆的方程可以通过圆的半径和圆心的坐标得到。

通过圆心的坐标和半径的公式，我们可以将一般圆的方程转换成标准圆的方程。同样地，我们也可以将标准圆的方程转换成一般圆的方程。

圆与方程知识点总结

在数学学科中，圆与方程是一个重要的知识点，涉及到几何图形与代数方程的关系。本文将对圆与方程的相关知识进行总结，并探讨其应用和意义。

一、圆的基本概念与性质

1. 圆的定义：圆是平面上到一定点（圆心）的距离都相等的点的集合。

2. 圆的要素：圆心、半径。

3. 圆的性质：

a. 圆上所有点到圆心的距离都相等，等于圆的半径；

b. 圆上任意两点之间的线段都是弧，且弧所对的圆心角相等；

c. 圆上的直径是最长的弦，且过圆心；

d. 圆上的弦如果垂直于半径，则该弦被半径所平分；

e. 圆的两个不相交的弧的和等于整个圆的周长。

二、方程与圆的关系

1. 圆的一般方程：圆的一般方程通常为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径的长度。

2. 圆的标准方程：如果圆的圆心在原点(0,0)，则圆的方程可以简化为x² + y² = r²。

3. 利用方程确定圆的特征：给定圆的方程，可以通过比较方程与标准方程的各项系数来确定圆的圆心和半径。

三、方程的应用

1. 圆的坐标表示法：在平面直角坐标系中，可通过方程的坐标表示法来确定圆的位置和特征。

2. 圆的方程问题求解：通过给定的条件，可以列出方程并解方程，求解圆的方程问题。

3. 圆的图形绘制：通过给定圆的方程，可以在坐标系中绘制出圆的图形。

4. 圆与其他几何图形的关系：方程可以帮助我们研究圆与其他几何图形如直线、抛物线、双曲线等的交点和相切性质。

四、圆与方程知识的意义

1. 圆与方程的关系体现了数学中几何与代数的密切联系，帮助我们深入理解数学的整体结构和思维方式。

圆的方程知识点+例题+练习

教学过程1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式，定参数”

是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形

式，进而确定其中的三个参数，同时注意利用几何法求圆的方程时，

要充分利用圆的性质．

2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简

化运算．

3．求圆的方程时，一般考虑待定系数法，但如果能借助圆的一些

几何性质进行解题，不仅能使解题思路简化，而且还能减少计算量．如弦长问题，可借助垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理

解题．

课堂巩固

一、填空题

1．(2014·南京模拟)已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为

直径的圆的方程是________．

2．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋

ay＋b＝0一定不经过第________象限．

3．(2014·银川模拟)圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则

该圆的方程是________．

4．两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝

4的内部，则实数a的取值范围是________．

5．(2014·东营模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中

点的轨迹方程是________．

6．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点

M的最短弦所在直线的方程是________．

7．(2014·南京调研)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－

1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为______．

8．若圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点(x，y)都使不等式x＋y＋m≥0

圆的方程知识点总结及典例

4.1圆的方程

基础知识梳理

1.圆的标准方程：2

22)()(r b y a x =-+-，圆心：),(b a ，半径：r ；

2.圆的一般方程：)04(,02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x .

习题巩固

一、选择题

1．点(sin θ，cos θ)与圆x 2＋y 2＝12

的位置关系是( ) A ．在圆上 B ．在圆内

C ．在圆外

D ．不能确定

2．已知以点A (2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O ，则点M (5，－7)与圆O 的位置关系是

( )

A ．在圆内

B ．在圆上

C ．在圆外

D ．无法判断

3．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

4．圆(x －3)2＋(y ＋4)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程是( )

A ．(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝1

B ．(x ＋4)2＋(y －3)2＝1

C ．(x －4)2＋(y －3)2＝1

D ．(x －3)2＋(y －4)2＝1

5．方程y ＝9－x 2表示的曲线是( )

A ．一条射线

B ．一个圆

C ．两条射线

D ．半个圆

6．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上．则此圆的方程是( )

A ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13

B ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13

C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52

D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52

7．圆2x 2＋2y 2＋6x －4y －3＝0的圆心坐标和半径分别为( )

圆的方程知识点及题型归纳总结

知识点精讲

一、基本概念平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆. 二、基本性质、定理与公式 1.圆的四种方程

（1）圆的标准方程：2

)()(r b y a x =-+-，圆心坐标为(a ,b )，半径为)0(>r r （2）圆的一般方程：)04(02

>-+=++++F E D F Ey Dx y x ，圆心坐标为⎪⎭

⎫

⎝⎛--

2,2E D ，半径2

422F

E D r -+=

（3）圆的直径式方程：若),(),,(2211y x B y x A ，则以线段AB 为直径的圆的方程是

0))(())((2121=--+--y y y y x x x x

（4）圆的参数方程：

①)0(2

>=+r r y x 的参数方程为⎩

⎨⎧==θθ

sin cos r y r x （θ为参数）；

②)0()()(2

22>=-+-r r b y a x 的参数方程为⎩⎨

⎧+=+=θ

sin cos r b y r a x （θ为参数）.

注对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为)sin ,cos (θθr b r a ++（θ为参数，(a,b )为圆心，r 为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.

2.点与圆的位置关系判断

（1）点),(00y x P 与圆2

22)()(r b y a x =-+-的位置关系： ①⇔>-+-2

22)()(r b y a x 点P 在圆外； ②⇔=-+-2

圆方程的知识点总结

圆方程的一般形式是(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。这个方程描述了平面上的所有满足给定半径和圆心的点。

在本文中，我们将总结圆方程的知识点，包括圆的标准方程、圆心的坐标、半径的计算、以及圆方程的应用和相关问题。

1. 圆的标准方程

圆的标准方程是(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。这个方程描述了平面上的所有满足给定半径和圆心的点。通过这个方程，我们可以很容易地确定圆的位置和形状。

2. 圆心的坐标

圆心的坐标(h, k)可以通过观察图形或给定的条件来确定。在某些情况下，我们可以直接读取出来；在其他情况下，我们需要进行计算或使用相关的定理来确定圆心的坐标。

3. 半径的计算

圆的半径r可以通过观察图形或给定的条件来确定。在某些情况下，我们可以直接读取出来；在其他情况下，我们需要进行计算或使用相关的定理来确定圆的半径。

4. 圆方程的应用

圆方程在几何学和代数学中有着广泛的应用。在几何学中，我们可以使用圆方程来描述和分析圆形的几何性质，比如圆心的位置、半径的长度、以及与其他几何图形的关系。在代数学中，我们可以使用圆方程来解决与圆相关的代数问题，比如求解圆与直线或另一个圆的交点、进行坐标变换等。

5. 相关问题

与圆方程相关的问题有很多种，包括但不限于：求解给定圆的标准方程；确定给定圆心和半径的圆的方程；利用圆方程分析几何问题；求解圆与其他几何图形的交点；求解圆的参数方程等。

总结圆的方程知识点

1. 圆的定义

圆是一个平面上所有点到一个固定点的距离相等的点的集合。这个固定点称为圆心，而这个相等的距离称为半径。圆的定义可以用数学语言来描述为：给定平面上的一个点O和一个正实数r，那么平面上到O点的距离等于r的点的集合就是一个圆。

2. 圆的方程的一般形式

在直角坐标系中，圆的方程可以用不同的形式来表示。最常用的有标准方程和一般方程。

2.1 标准方程

圆的标准方程可以表示为：

(x - h)² + (y - k)² = r²

其中(h, k)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。

2.2 一般方程

圆的一般方程可以表示为：

x² + y² + Ax + By + C = 0

其中A、B、C为常数。

3. 圆的特殊情况

3.1 圆的半径为零

如果一个圆的半径为零，那么这个圆就是一个点，其坐标为圆心的坐标。

3.2 圆的半径为无穷大

如果一个圆的半径为无穷大，那么这个圆就是一条直线，其方程可以表示为Ax + By + C = 0。

4. 圆的相关参数

4.1 圆心和半径

圆的方程中(h, k)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。圆心和半径是圆的重要参数，可以通过圆的方程来确定。

4.2 直径和周长

圆的直径是通过圆心的两个点之间的距离，其长度等于半径的两倍。圆的周长是圆的边界

的长度，可以通过圆的半径来计算，其长度等于2πr。

4.3 弦和弦长

圆的弦是连接圆上两点的线段，其中最长的弦称为直径。圆的弦长可以通过两点的坐标来

计算。

4.4 切线和切点

圆的切线是与圆相切的直线，切点是切线与圆的交点。切线和切点是圆与直线的重要联系，可以通过圆的方程和直线的方程来计算。

圆直线方程知识点总结

圆直线方程是解析几何中的重要内容，它描述了圆和直线在平面上的几何特性。掌握圆直线方程的知识对于解决与圆和直线相关的几何问题是至关重要的。本文将对圆直线方程的相关知识进行总结，包括圆的标准方程、一般方程和直线的一般方程等内容，并对圆和直线的位置关系、交点等问题进行探讨。

一、圆的标准方程和一般方程

1. 圆的标准方程

圆的标准方程是描述平面上一点到圆心的距离等于半径的平方的方程。设圆的圆心坐标为（h，k），半径为r，则圆的标准方程为：

(x - h)² + (y - k)² = r²

其中，(x，y)为圆上的任意一点的坐标。

例如，圆心坐标为(2，3)，半径为5的圆的标准方程为：

(x - 2)² + (y - 3)² = 25

2. 圆的一般方程

圆的一般方程是描述平面上一点到圆心的距离等于半径的平方的方程的一般形式。设圆的圆心坐标为（h，k），半径为r，则圆的一般方程为：

x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0

其中，g、f、c分别为常数，满足g² + f² - c > 0。具体的圆心坐标和半径通过一般方程不容易直接看出来，但一般方程更灵活，适合解决一些特殊情况下的圆的问题。

二、直线的一般方程

直线的一般方程是描述平面上一条直线的一般形式方程。设直线的斜率为m，截距为b，则直线的一般方程为：

y = mx + b

其中，m为斜率，表示直线的倾斜程度，b为截距，表示直线与y轴的交点。

三、圆和直线的位置关系

1. 圆和直线的位置关系有四种可能的相交情况：

（1）相离：直线与圆无交点；

直线与圆知识点及经典例题(含答案)

圆的方程、直线和圆的位置关系

【知识要点】

一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（一）圆的标准方程

222()()x a y b r -+-= 这个方程叫做圆的标准方程。

说明：1、若圆心在坐标原点上，这时0a b ==，则圆的方程就是222x y r +=。

2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了

圆，所以，只要,,a b r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。

就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定,,a b r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决。

（二）圆的一般方程

将圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-,展开可得0222

2222=-++--+r b a by ax y x 。可见，任何一个圆的方程都可以写成 :

220x y Dx Ey F ++++= 问题：形如

0x y Dx Ey F ++++=的方程的曲线是不是圆？将方程02

++++F Ey Dx y x 左边配方得：22224()()222

D E D E F

x x +-+++=

（1）当F E D 42

-+＞0时，方程（1）与标准方程比较，方程

2=++++F Ey Dx y x 表示以(,)22D E

--为圆心，以2242D E F

+-为半径的圆。

（3）当F E D 42

-+＜0时，方程

2=++++F Ey Dx y x 没有实数解，因而它不表示任何图形。圆的一般方程的定义：

当22

4D E F +-＞0时，方程2

圆的方程知识点及题型归纳总结

圆的方程知识点及题型归纳总结由于题目对于具体的格式并没有限制，下面将逐步介绍圆的方程知

识点以及一些相关题型的归纳总结。

一、圆的基本知识

在开始介绍圆的方程之前，我们先来回顾一些与圆相关的基本知识：

1. 定义：圆是由平面上到一个定点的距离恒等于一个定值的所有点

的集合。

2. 元素：圆心、半径。

3. 直径：连接圆上任意两个点，并通过圆心的线段称为圆的直径，

它的长度是半径的两倍。

4. 弦：连接圆上的两个点，并没有通过圆心的线段。

5. 弧：连接圆上的两个点，并在圆上的部分。

6. 弧长：弧所对应的圆周上的一部分的长度。

二、圆的方程类型及示例

1. 标准方程：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

在标准方程中，(a,b)表示圆心的坐标，r表示半径的长度。例如，

圆的方程为(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25。

2. 一般方程：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0

在一般方程中，系数D、E、F的值决定了圆心与半径的关系，可

以通过配方将一般方程转化为标准方程。例如，圆的方程为x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0。

三、常见的圆相关题型归纳

1. 求圆心和半径：已知圆的方程，求圆心和半径的长度。

策略：将方程与标准方程形式进行对比，通过对坐标系上的平移和

缩放得到圆心和半径。

示例：已知圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 4y + 9 = 0，则圆心为(3, 2)，半径为√10。

2. 求圆与直线的交点：已知圆心、半径和直线方程，求圆与直线的

交点坐标。

策略：将直线方程代入圆的方程，解圆方程与直线方程联立方程组，求解得到交点坐标。

高中数学圆的方程知识点及习题(含答案)

圆的方程

【考纲要求】

1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，

2.能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程.

3.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；

4.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．【知识网络】

【考点梳理】

考点一：圆的标准方程

222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.

要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是2

x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222

a b r +=.

(2)圆的标准方程2

()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.

(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.

考点二：圆的一般方程

当22

40D E F +->时，方程2

0x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,2

2D E ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

为圆心，为半径. 要点诠释：由方程2

0x y Dx Ey F ++++=得22

224224D E D E F x y +-⎛

高中平面解析几何圆的方程知识点+例题

辅导讲义――圆的方程

题型四：与圆有关的轨迹问题

[例] 自圆x 2＋y 2＝4上的点A (2,0)引此圆的弦AB ，求弦AB 的中点轨迹方程．

设AB 的中点P (x ，y )，B (x 1，y 1)，则有x 12＋y 12＝4，且x ＝x 1＋22，y ＝y 1＋02

. ∴x 1＝2x －2，y 1＝2y .

∴(2x －2)2＋(2y )2＝4，即(x －1)2＋y 2＝1.

当A ，B 重合时，P 与A 点重合，不合题意，

∴所求轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1(x ≠2)．

[巩固1]设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．

如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行

四边形的对角线互相平分，

故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧

x 0＝x ＋3y 0＝y －4. N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.

因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，

但应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭

⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)． [巩固2] (2014·课标全国Ⅰ)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，求M 的轨迹方程.

圆的方程知识点总结和典型例题

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