上海市上海中学高三校本专题7复数、矩阵、行列式、平面向量、算法

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沪教版(上海)高三年级新高考辅导与训练第七章矩阵与行列式、算法初步、复数三、复数

沪教版（上海）高三年级新高考辅导与训练第七章矩阵与行列式、算法初步、复数三、复数学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．已知复数226(310)z m m m m i =--+--.当实数m 为何值时，复数z 为 (1)实数；(2)纯虚数；(3)零.2．设复数z 满足4z R z+∈，且22z -=，求z .3．若z 为虚数，且||1z =，求证11z z -+为纯虚数. 4．已知||1z =.求21z z -+的模的最大值与最小值.5．关于x 的方程()222150x ax a a R --+=∈的两个根分别是α、β，且8αβ+=，求a 的值，并求方程的根. 6．计算下列各题：(1)55(1)(1)11i i i i +-+-+；(2)201920191111i i i i +-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭；；(4) 23201920202320192020i i i i i +++++.7．已知复数()2262153m m z m m i m --=++-+，当m 为何实数时，复数z 是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）对应点在实轴的上方.8．若关于x 的方程22470x zx i -++=有实根，求复数z 的模的最小值和此时z 的值. 9．解答下列各题：(1)已知|2|z -=， |3|4z -=，求z ； (2)已知11z z +-为纯虚数，|1|1z -=，求z . 10．下列方程至少有一个实根，求实数t 的值与相应方程的根.（1）2(2)(2)0x t i x ti ++++=；（2）2(21)(3)0x i x t i --+-=.11．方程21(4)02x m x m --+=的两根为α，β，且||||αβ+=，求实数m 的值.二、单选题12．复数z 满足22|2||1|5z i z ---=，则它在复平面内对应点的轨迹是（）. A ．圆B ．直线C ．双曲线D ．椭圆13．复数3z ai =+满足条件|2|2-<z ，则实数a 的取值范围是（）. A ．(1,1)-B．(-C ．(2,2)-D．(14．若复数z 满足|34|2z i +-=，则|||z 的最小值和最大值分别是（）. A ．1和9B ．4和10C ．5和11D ．3和715．使11+⎛⎫ ⎪-⎝⎭ni i 为正实数的最小自然数n 是（）.A ．2B ．4C ．6D ．816．若复数312a ii++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（） A ．-6B ．13C ．32D17．满足条件12011z i ii+=-+的复数z 对应的点在（）.A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限三、填空题18．如果复数z 满足关系式2z z i +=+,那么z 等于． 19．已知复数z 满足||1z i -=，则|1|z -的取值范围是________. 20．若z a bi =+，21zR z∈+，则实数a ，b 应满足的条件为________. 21．在复数范围内分解因式：44x y +=________.22．方程2(12)2(1)0ax i x a i ++--=有实根，则实数a 的取值为________. 23．复数z 满足0zz z z ++=，则z 对应点的轨迹是________.参考答案1．(1)2m =-或5m =；(2)3m =；(3)2m =-. 【分析】(1)根据z 为实数，则虚部为0，即可求出m ；(2)根据z 为纯虚数，则虚部不为0，而实部为0，即可求出m ； (3)根据z 为零，则实部与虚部同时为零，即可求出m . 【详解】(1)z 为实数的充要条件是z 的虚部为0，即23100m m --=，解得2m =-或5m =，所以当2m =-或5m =时，z 为实数.(2)z 为纯虚数的充要条件是z 的虚部不为0，而实部为0，即22603100m m m m ⎧--=⎨--≠⎩，解得3m =，所以当3m =时，z 为纯虚数.(3)z 为零的充要条件是z 的实部与虚部同时为零，即22603100m m m m ⎧--=⎨--=⎩，解得2m =-，所以当2m =-时，0z =. 【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的分类，属于基础题.2．4z =，1z =-或1=+z 【分析】设(),z a bi a b R =+∈，利用复数的四则运算将复数4z z+化为一般形式，可得其虚部为零，再由22z -=，可得出关于实数a 、b 的方程组，解出a 、b 的值，由此可得出复数z . 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则0z ≠，即a 、b 不同时为零，224444a bi z a bi a bi R z a bi a b -+=++=++∈++，2240b b a b∴-=+，① 由22z -=，得()2224a b -+=.②解由①、②所组成的联立方程组()22224024b b a b a b ⎧-=⎪+⎨⎪-+=⎩，解得40a b =⎧⎨=⎩或1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩4z ∴=，1=+z或1z =-.【点睛】本题考查复数的求解，考查复数的概念以及复数的模等基础知识，根据题意列出方程组是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 3．证明见解析【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，可得221a b +=，且0b ≠，代入11z z -+化简即可得证. 【详解】证法1：设(,)z a bi a b R =+∈，则221a b +=，且0b ≠.所以2211(1)(1)11(1)z a bi a bi a bi z a bi a b -+--++-==+++++22221(1)(1)2(1)22()a b a bi a bi bi a b a+-++--==+++. 因为0b ≠，221a b +=，所以1a ≠-，所以11z z -+为纯虚数. 证法2：由||1z =，得1=zz .所以11111111z z zz z z z z z zz z z z -----⎛⎫===-=- ⎪+++++⎝⎭.因为||1z =，z 为虚数，所以1z ≠±，由非零复数z 为纯虚数的充要条件证明了11z z -+为纯虚数. 【点睛】本题主要考查复数的模，复数的代数形式的乘除运算及纯虚数的概念，属于基础题. 4．最大值为3，最小值为0 【分析】设(1,1)z a bi a b =+-≤≤，则221a b +=，代入21z z -+，可得2221(21)z z a -+=-，根据a 的范围即可得最值. 【详解】设(1,1)z a bi a b =+-≤≤，则221a b +=，即221b a =-，222221()()11(2)2(2)z z a bi a bi a b a ab b i a a ab b i-+=+-++=--++-=-+-，∴()222222222212(2)(21)(21)(21)z z a aab b a a b a a -+=-+-=-+-=-，因为11a -≤≤，所以3211a -≤-≤，所以22019z z ≤-+≤，即21z z -+的模最大为3，最小为零. 【点睛】本题考查复数的代数运算及模的运算，考查学生的计算能力，是基础题.5．当4a =时，方程的根为11x =，27x =；当12a =-时，方程的根为1x =，2x =. 【分析】分0∆≥和∆<0两种情况讨论，在0∆≥时，由8αβ+=结合韦达定理可求得实数a 的值，并可求得原方程的根；在∆<0时，由8αβ+=结合韦达定理求得实数a 的值，进而求得原方程的根. 【详解】对于二次方程()222150x ax a a R --+=∈，()()()244152435a a a a ∆=--=-+.（1）当0∆≥，即5a ≤-或3a ≥时，由韦达定理得2a αβ+=，152a αβ=-.又αβ+==当1520a αβ=->时，即当5a ≤-或1532a ≤<时，则28a αβαβ+=+==，解得4a =，此时原方程为2870x x -+=，该方程的两根分别为11x =，27x =；当1520a αβ=-≤时，即当152a ≥时，则αβ+===8==，整理得22310a a +-=，解得1a =-±；（2）当∆<0，即53a -<<时，由韦达定理得2a αβ+=，152a αβ=-.28αβα+=====，解得12a =-，此时，原方程为2160x x ++=，解得1x =，2x =.综上，当4a =时，方程的根为11x =，27x =；当12a =-时，方程的根为1x =，2x =. 【点睛】本题考查实系数一元二次方程的求解，考查了韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 6．(1)0；(2)2i -；(3)516；(4)10101010i - 【分析】根据复数的乘除运算法则及乘方运算，即可计算出(1)(2)的值；利用复数模的运算性质可求出(3)的值；利用分组求和及i 的运算性质可求出(4)的值. 【详解】(1) 5566232322(1)(1)(1)(1)[(1)][(1)]11(1)(1)(1)(1)11i i i i i i i i i i i i i i +-+-+-+=+=+-+-++---3333(2)(2)44022i i i i -=+=-=.(2)因为21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ++===--+，21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ---===-++-，所以20192019201945043201920319111(22221)i i i i i i i i i i ⨯+-=--==+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+=⎝⎭=-⎝⎭.(3) ==5454845252516⨯====⨯. (4) 23201920202320192020i i i i i +++++(234)(5678)(2017201820192020)i i i i i i =--++--+++--+(22)(22)(22)+i i i =-+-+-505(22)i =⨯-10101010i =-.【点睛】本题主要考查复数的乘除运算，乘方运算，复数的模的运算性质及i 的运算性质，属于中档题.7．（1）5m =-或3；（2）5m ≠-且3m ≠±；（3）2m =-；（4）3m >或5m <-. 【分析】（1）根据题意得出复数z 的虚部为零，进而可求得实数m 的值；（2）根据题意得出复数z 的虚部不为零，由此可解得实数m 的取值范围；（3）根据题意得出复数z 的实部为零，虚部不为零，由此可解得实数m 的值；（4）根据题意得出复数z 的虚部为正数，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】（1）若复数z 为实数，则2215030m m m ⎧+-=⎨+≠⎩，解得5m =-或3；（2）若复数z 为虚数，则2215030m m m ⎧+-≠⎨+≠⎩，解得5m ≠-且3m ≠±；（3）若复数z 为纯虚数，则226032150m m m m m ⎧--=⎪+⎨⎪+-≠⎩，解得2m =-；（4）若复数z 在复平面内对应的点位于实轴的上方，则2215030m m m ⎧+->⎨+≠⎩，解得5m <-或3m >.【点睛】本题考查利用复数的类型求参数，解题时要结合已知条件对复数的实部和虚部进行限制，考查计算能力，属于基础题. 8．49755z i ⎛⎫=±+ ⎪⎝⎭，||z最小值为【分析】设z a bi =+，根据复数运算得到224070x ax bx ⎧-+=⎨-=⎩，利用均值不等式计算模的最值得到答案. 【详解】22470x zx i -++=，设z a bi =+，则()22470x a bi x i -+++=，即()22470x ax bx i -++-=，x ∈R ，则224070x ax bx ⎧-+=⎨-=⎩，则2497240a b b -+=，即7247b a b =+，222222272449625484898749b b z a b b b b ⎛⎫=+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当224962549b b =，即75b =±时等号成立，min z =75b =时，495a =，75b =-时，495a =-，故49755z i ⎛⎫=±+⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.9．(1)34i ±；(2)12z =± 【分析】(1)设(,)z a bi a b R =+∈代入已知求出复数的模，解方程组即可求出,a b ； (2)设(,)z a bi a b R =+∈代入11z z +-及|1|1z -=化简，联立方程即可求出,a b . 【详解】(1) 设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，所以|2||(2)|z a bi -=-+=|3||(3)|4z a bi -=--= 所以22(2)17a b -+=，22(3)()16a b -+-= 解得3a =，4b =±，所以34z i =±. (2) 设(,)z a bi a b R =+∈，则2222222211(1)(1)(1)1211(1)(1)(1)(1)z a bi a bi a bi a bi a b biz a bi a bi a bi a b a b +++++---++--====--+-+---+-+ 22222212(1)(1)a b b i a b a b +-=--+-+为纯虚数，所以2210a b +-=且0b ≠，①由|1|1z -=得|1|1a bi -+=，所以22(1)1a b -+=，②由①②解得12a =，2b =±，所以122z =±. 【点睛】本题主要考查复数的概念，复数代数形式的乘除运算，复数的模及共轭复数，考查运算求解能力，属于中档题.10．（1）t =，1x =22x i =，或t =-1x =，22x i =-；（2）112t =，112x =-，2122x i =- 【分析】（1）根据复数运算得到22020x tx x t ⎧++=⎨+=⎩，解得t =±.（2）根据复数运算得到230210x x t x ⎧++=⎨+=⎩，解得112t =，再代入原方程解得答案.【详解】（1）2(2)(2)0x t i x ti ++++=，则()2202x x t i tx +++=+，则22020x tx x t ⎧++=⎨+=⎩，则222042t t -+=，解得t =±当t =时，(2202x x i +++=+即()20x x i =，解得1x =22x i =-；当t =-(2202x x i +-+=-即()20x x i =，解得1x =，22x i .（2）2(21)(3)0x i x t i --+-=，则2(2103)x x x t i +-+=+，则230210x x t x ⎧++=⎨+=⎩，则12112x t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当112t =时，2(21014)x x x i ++-=+，即112022x x i ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故112x =-，2122x i =-. 【点睛】本题考查了复数范围内解方程，意在考查学生的计算能力和应用能力，漏解是容易发生的错误.11．4m =-72m =．【分析】由韦达定理得出,αβαβ+，把||||αβ+=平方后用,αβαβ+表示并代入后可求得m ．【详解】由题意若方程有两个实数根，则21(4)402m m ∆=--⨯≥，解得2m ≤或8m ≥， 4m αβ+=-，12m αβ=，又||||αβ+=，∴()2222||||2()227αβααββαβαβαβ+=++=+-+=，即2(4)7m m m --+=，0m ≥时，2(4)7m -=，4m =4m =+0m <时，2(4)27m m --=，21090m m -+=，解得1m =或9m =．全舍去．所以4m =-若方程是两个虚数根，4m αβ+=-，12m αβ=，设(,)a bi a b R α=+∈，则a bi β=- αβ=2212a b m +=，αβ+==2274a b +=，2272()2m a b =+=．综上4m =-72m =．【点睛】本题考查韦达定理，属于基础题，解题时要注意如果是实系数二次方程的实数解，则判别式0≥，如果是虚数根，则可设根为(,)a bi a b R +∈，代入后用实数的知识求解（或用复数相等的定义转化）．12．B【分析】设(,)z x yi x y R =+∈，代入已知式化简整理后，由方程可得轨迹曲线．【详解】设(,)z x yi x y R =+∈，则222222221(2)(1|2)||1|5z i x yi i x yi x y x z y ⎡⎤=+--+-=+--+--⎣-=⎦-，整理得210x y --=，它是一条直线．故选：B ．【点睛】本题考查复数的几何意义，设(,)z x yi x y R =+∈，代入计算得出轨迹方程，由方程得轨迹是求复平面上点的轨迹的常用方法．13．D【分析】由模长公式和已知条件可得a 的不等式，解不等式可得.【详解】解：∵3z ai =+满足条件|2|2-<z ，|1|2ai ∴+<2<，平方可得23a <，解得a <<故选：D.【点睛】本题考查复数的模长公式，涉及不等式的解法，属基础题.14．D【分析】由342z i +-=可得z 在复平面内的轨迹是以()3,4-为圆心，以2为半径的圆，利用z 表示圆上的点到原点的距离,结合圆的几何性质可得结果.【详解】因为复数z 满足，342z i +-=，所以z 在复平面内的轨迹是以()3,4-为圆心，以2为半径的圆， z 表示圆上的点到原点的距离，5=，所以z 的最大值是527+=,z 的最小值是523-=，故选：D.【点睛】本题考查复数的模的几何意义，点的轨迹，复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若z x yi =+，则z a bi --表示点(),x y 与点(),a b 的距离，z a bi r --=表示以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆，属于中档题.15．B【分析】化简得11nn i i i +⎛⎫ ⎪⎭=-⎝，再逐个分析即可.【详解】因为()()()()111111n n n i i i i i i i ⎡⎤+++⎛⎫⎢⎥ ⎪--+⎝⎭⎣⎦==，又1234,1,,1i i i i i i ==-=-=，故使11+⎛⎫ ⎪-⎝⎭n i i 为正实数的最小自然数n 是4.故选：B【点睛】本题主要考查了n i 的周期性.属于基础题.16．A【解析】解答： ∵()()()()312363212121255a i i a i a a i i i i +-++-==+++-是纯虚数， ∴605{3205a a +=-≠，解得a=−6. 本题选择A 选项.17．A【分析】根据行列式可得(1)(1)(12)0z i i i +--+=，再根据复数的乘除运算即可出复数z ，进而可求出z 即可得到答案.【详解】由已知得(1)(1)(12)0z i i i +--+=，所以(1)3z i i +=+，所以3(3)(1)4221(1)(1)2i i i i z i i i i ++--====-++-，所以2z i =+，所以复数z 对应的点坐标为(2,1)在第一象限.故选：A【点睛】本题主要考查二阶行列式的运算，复数的乘除运算及共轭复数，属于基础题.18．34i + 【解析】试题分析：设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，z =2a bi i +=+，所以得：2{1a b ==，解得：3{41a b ==，所以34z i =+．考点：复数的运算．19．1]【分析】利用复数的几何意义求解，||1z i -=表示复平面内到点(0,1)距离为1的所有复数对应的点，|1|z -表示复平面内到点(1,0)的距离，结合两点间距离公式可求范围.【详解】因为在复平面内，||1z i -=表示到点(0,1)距离为1的所有复数对应的点，即复数z 对应的点都在以(0,1)为圆心，半径为1的圆上；|1|z -表示复数z 对应的点到点(1,0)11=，11=，所以|1|z -的取值范围是1].故答案为：1].【点睛】本题主要考查复数的几何意义，明确几何意义是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养. 20．0b =或221a b +=【分析】根据复数的运算得出21+z z ()()()222222222212114a a b ab b b a i a b a b +-++--=+--，再由复数是实数的条件得出实数a ，b 应满足的条件.【详解】()22222211()1212z a bi a bi a bi z a bi a abi b a b abi +++===+++++-+-+()()222222212()14ab abi a bi a b a b +--=++-- ()()()22222222222112214a a b b a b i a bi ab a b a b+-++--+=+-- ()()()2222322222212214a a b ab b a b b a b i a b a b+-+++--=+-- ()()()222222222212114a a b ab b b a i a b a b+-++--=+-- 因为21z R z ∈+，故有()2210b b a --=,所以0b =或2210b a --=，即0b =或221a b +=是a ，b 应满足的条件.故答案为：0b =或221a b +=.【点睛】本题考查复数的运算和复数的概念，属于中档题.21．2222x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【分析】利用2222()x y x yi +=-分解因式．【详解】2244222222()()22x y x y i x y i x yi x y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥+=+-=-⋅-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2222x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查在复数范围内因式分解．在复数范围内每个n 次多项式都可以分解成n 个一次因式之积．22．0或【分析】根据方程2(12)2(1)0ax i x a i ++--=有实根，设实根为x ，转化为()22220ax x a x a i +-++=，利用复数相等求解.【详解】因为方程2(12)2(1)0ax i x a i ++--=有实根，设实根为x ，则()22220ax x a x a i +-++=，所以220220ax x a x a ⎧+-=⎨+=⎩，化简得：()230a a -=，解得0a =或a =故答案为：0或【点睛】本题主要考查复系数方程的解法以及复数相等的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.23．圆2220x y x ++=【分析】设z x yi =+，代入0zz z z ++=整理化简即可.【详解】解：设z x yi =+，则()()()()0x yi x yi x yi x yi +--+++=，整理得2220x y x ++=，即z 对应点的轨迹是圆2220x y x ++=. 故答案为：圆2220x y x ++=.【点睛】本题考查共轭复数的概念，复数的运算及复数的几何意义，是基础题.。

专题07 数列(习题)-2021届沪教版高考数学一轮复习(上海专用)

2021届高考数学一轮复习专题07 数列一、填空题1．（2020·上海高三其他）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =，则249a a a ++= ________．【答案】24 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则，∴148a d +=． ∴．故答案为24．2．（2020·上海高三其他）设无穷等比数列n a 的公比为q ，首项10a >，则公比q 的取值范围是________．【答案】【解析】因为21231lim()211n n a a qa a a a q q→∞•+++==>--，又10a >且01q <<，解得2,13q ⎛⎫∈⎪⎝⎭． 3．（2017·上海闵行高三一模）已知数列的前n 项和为，则此数列的通项公式为___________．【答案】【解析】当1n =时,11211a S ==-=,当2n ≥时,()11121212n n n n n n a S S ---=-=---=,又1121-=,所以12n n a .故答案为:12n na .4．（2020·宝山上海交大附中高三其他）若n a 是()()*2,2,nx n N n x R +∈≥∈展开式中2x 项的系数，则．【答案】8 【解析】由题意，，∴88n =-，∴23232228lim()lim(8)8n n n n a a a n →∞→∞++⋅⋅⋅+=-=．5．（2020·上海高三其他）已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________. 【答案】(－3，＋∞) 【解析】因为数列{a n }是单调递增数列，所以a n ＋1－a n >0 (n ∈N *)恒成立．又a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)，所以(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－(n 2＋λn )>0恒成立，即2n ＋1＋λ>0.所以λ>－(2n ＋1) (n ∈N *)恒成立．而n ∈N *时，－(2n ＋1)的最大值为－3(n ＝1时)，所以λ的取值范围为(－3，＋∞)．6．（2020·上海嘉定高三二模）设各项均为正数的等比数列的前n 项和为，则6S =______．【答案】63. 【解析】由，得()661126312S -⇒==-．故答案为: 637．（2020·上海普陀高三二模）设n S 是等差数列的前n 项和（n *∈N ）若86286S S -=-，则2lim 2→∞=nn S n ______.【答案】12-【解析】∵数列{}n a 是等差数列，21()22n d dS n a n ∴=+-（其中d 是公差），，∵86286S S -=-， (86)22d∴-=-，2d =-．即 21(1)n S n a n =-++，．故答案为：12-8．（2020·上海高三其他）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有01011012n na n S -=-，则1a =___ 【答案】1- 【解析】由011101011(2)1021212n n n n n na a a S n n S nn S -=-=++=---，令1n =，得11(2)10a a ++=，解得11a =-。

上海高中数学复数的加减运算

二、共轭复数：
定义：实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数，也称这两个复数互相共轭。
复数Z的共轭复数用Z来表示
说明:
即Z a bi时, Z a bi
1、互为共轭的复数在复平面上所对应的点
关于x轴对称，反之也成立。
2、| Z || Z |
Z Z
运算性质: Z1 Z2 Z1 Z2
Z2
0,
则Z1与Z
互
2
为
共
轭
复
数
。
例5、求证：一个复数Z a bi(a,b R)是实数的充要条件是Z Z
思考：一个非零复数为纯虚数的充要条件
复数的加法与减法
一、复数的加减法
1、加法：设Z1=a+bi(a,b∈R) Z2=c+di(c,d∈R) 则Z1+Z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+di)
两个复数的和依然是一个复数，它的实部是原来的两个复数实部的和，它的虚部是原来的两个复数虚部的和
交换律： Z1+Z2=Z2+Z1 结合律： (Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)
两个复数的差Z=Z1-Z2对应两个向量的差 Z2Z1 OZ1 OZ2 用平行四边形法则求差，即与平行四边形的对角线 Z2Z1
平行的向量 OZ 对应的复数Z
例1、计算(1) (1+3i)+(-4+2i) (2) (5-6i)+(-2-I)-(3+4i) (3) 已知（3-ai)-(b+4i)=2a-bi, 求实数a、b的值。
两个复数的和Z=Z1+Z2对应两个向量的和 OZ OZ1 OZ2 用平行四边形法则求和，即平行四边形的对角线 OZ 对

沪教版(上海) 高三年级新高考辅导与训练第七章矩阵与行列式、算法初步、复数一、矩阵与行列式

沪教版(上海) 高三年级新高考辅导与训练第七章矩阵与行列式、算法初步、复数一、矩阵与行列式一、解答题(★★) 1. 已知，，．求（1）；（2）；（3）；（4）．(★★★) 2. 关于，的二元线性方程的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为，求，．(★★★) 3. 解关于的方程组：．(★★) 4. 求矩阵，满足．(★) 5. 判别关于，的二元一次方程组解的情况，并解方程组：．(★★) 6. 已知，不等式的解为，试求，的值．(★★) 7. 已知三角形三边的和，又，求各边之长．(★★★) 8. 化简：．(★★) 9. 解关于，，的方程组：．二、单选题(★) 10. 两个3×2的矩阵的乘积为（）．A．一个的矩阵B．一个的矩阵C．一个的矩阵D．以上都不对(★★)11. “三阶行列式的第二行和第三行的元素对应相等”是“该行列式的值为零”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件(★★) 12. 三阶行列式中，的代数余子式是（）．A．B．C．D．(★★) 13. 已知直线方程为，则下列各点不在这条直线上的是（）A．B．C．D．(★) 14. 已知，，则△ 的面积为（）．A．B．C．D．(★★) 15. 以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程的一个法向量的是（）．A．B．C．D．三、填空题(★★) 16. 行列式的值是________．(★) 17. 若行列式，则．(★) 18. 不等式的解为________．(★) 19. 当实数________时，方程组有唯一解．(★) 20. 计算：________．(★★) 21. 已知，，则与两个矩阵的积为________．(★★) 22. 关于，的二元一次方程组，有无穷多组解，则________．(★★) 23. 已知三阶行列式的元素，，，，，，，，按顺序成等差数列，则________．(★★★) 24. 行列式中，第3行第2列的元素的代数余子式记作．则函数的零点是 ________ ．(★) 25. 各项都为正数的无穷等比数列，满足，且是增广矩阵为的线性方程组的解，则无穷等比数列各项和的数值是________．。

上海市高中数学教材目录

上海市高中数学教材目录之宇文皓月创作高一上第一章集合和命题一集合1.1集合及其暗示法1.2集合之间的关系1.3集合的运算二四种命题的形式1.4命题的形式及等价关系三充分条件与需要条件1.5充分条件、需要条件1.6子集与推出关系第二章不等式2.1不等式的基赋性质2.2一元二次不等式的解法2.3其他不等式的解法2.4基本不等式及其应用*2.5不等式的证明第三章函数的基赋性质3.1函数的概念3.2函数关系的建立3.3函数的运算3.4函数的基赋性质第四章幂函数、指数函数和对数函数（上）一幂函数4.1幂函数的性质与图像二指数函数4.2指数函数的图像与性质*4.3借助计算器观察函数递增的快慢高一下第四章幂函数、指数函数和对数函数（下）三对数4.4对数概念及其运算四反函数4.5反函数的概念五对数函数4.6对数函数的图像与性质六指数方程和对数方程4.7简单的指数方程4.8简单的对数方程第五章三角比一任意角的三角比5.1任意角及其度量5.2任意角的是那叫比三三角恒等式5.3同角三角比的关系和诱导公式5.4两角和与差的余弦、正弦和正切5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切三解斜三角形5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形第六章三角函数一三角函数的图像与性质6.1正弦函数的和余弦函数的图像与性质6.2正切函数的图像与性质6.3函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质二反三角函数与最简三角方程6.4反三角函数6.5最简三角方程高二上第七章数列与数学归纳法一数列7.1数列7.2等差数列7.3等比数列二数学归纳法7.4数学归纳法7.5数学归纳法的应用7.6归纳——猜测——证明三数列的极限7.7数列的极限7.8无穷等比数列各项的和第八章平面向量的坐标暗示8.1向量的坐标暗示及其运算8.2向量的数量积8.3平面向量的分解定理8.4向量的应用第九章矩阵和行列式初步一矩阵9.1矩阵的概念9.2矩阵的运算二行列式9.3二阶行列式9.4三阶行列式第十章算法初步10.1算法的概念10.2程序框图*10.3计算机语句和算法程序高二下第十一章坐标平面上的直线11.1直线的方程11.2直线的倾斜角和斜率11.3两条直线的位置关系11.4点到直线的距离第十二章圆锥曲线12.1曲线和方程12.2圆的方程12.3椭圆的尺度方程12.4椭圆的性质12.5双曲线的尺度方程12.6双曲线的性质12.7抛物线的尺度方程12.8抛物线的性质第十三章复数13.1复数的概念13.2复数的坐标暗示13.3复数的加法与减法13.4复数的乘法与除法13.5复数的平方根与立方根13.6实习数的一元二次方程高三第十四章空间直线与平面14.1平面及其基赋性质14.2空间直线与直线的位置关系14.3空间直线与平面的位置关系14.4空间平面与平面的位置关系第十五章简单几何体一多面体15.1多面体的概念15.2多面体的直观图二旋转体15.3旋转体的概念三几何体的概况积、体积和球面距离15.4几何体的概况积15.5几何体的体积15.6球面距离第十六章排列组合与二项式定理16.1计数原理I——乘法原理16.2排列16.3计数原理II——加法原理16.4组合16.5二项式定理第十七章概率论初步17.1古典模型17.2频率与概率第十八章基本统计方法18.1总体和样本18.2抽样技术18.3统计估计18.4实例分析*18.5概率统计实验。

2019年上海高三二模真题汇编讲义——平面向量与复数专题

2019年二模汇编——平面向量专题一、知识梳理【知识点1】平面向量相关的基本概念（1）向量的概念：既有方向又有大小的量，注意向量和数量的区别；（2）零向量：长度为零的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意方向；（3）单位向量：给定一个非零向量→a，与→a同向且长度为1的向量叫→a的单位向量,→a 的单位向量是aa→→；（4）相等向量：方向与长度都相等的向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量，→a的相反向量是长度相等方向相反的向量a→-.【例1】判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；①单位向量都相等；①任一向量与它的相反向量不相等；①四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB＝DC①模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.【答案】略.【解析】①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.①不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.①不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.①、①正确.①不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.【点评】本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好. 【例2】. 判断下列命题是否正确，并说明理由：（1）共线向量一定在同一条直线上. （）（2）所有的单位向量都相等.（）（3）向量→→b a 与共线，→→c b 与共线，则→→c a 与共线. （）（4）向量→→b a 与共线，则→→b //a .（）（5）向量→→CD //AB ，则CD //AB .（）（6）平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量. （）【答案】略.【解析】（1）错.因为两个向量的方向相同或相反叫共线向量，而两个向量所在直线平行时也称它们为共线向量，即共线向量不一定在同一条直线上.（2）错.单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的意义. （3）错.注意到零向量与任意向量共线，当→b 为零向量时，它不成立. （4）对.因共线向量又叫平行向量.（5）错.平行向量与平行直线是两个不同概念，AB 、CD 也可能是同一条直线上. （6）错.平行四边形两对边所在的向量也可能方向相反. 【点评】本题考查向量基本概念.注意零向量的方向是任意方向.【知识点2】平面向量的坐标运算设1122(,),(,)a x y b x y ==，则：① 向量的加减法运算：a b ±=()1212,x x y y ±±； ② 实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==；③ 若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标；④ 平面向量数量积：a b →→⋅=1212x x y y +； ⑤ 向量的模：222222||,||a x y a a x y =+==+；【例1】已知(2,3)a =-，点O 为原点，2OA i j =-，若//AB a ，且||213AB =B 的坐标. 【答案】)5,2(-或)7,6(-.【解析】由题意得：点A 的坐标为)1,2(-。

2020-2021学年上海市高三一模数学汇编-矩阵,行列式汇编--教师版

2020-2021学年一模汇编—矩阵、行列式汇编
一、填空题
【崇明7】若关于的方程组无解，则实数=__________
【参考答案】
【解析】
【虹口3】行列式的值等于．
【答案】1
【解析】考察三角比、行列式。

行列式展开得
【嘉定3】不等式的解为____________．
【答案】
【解析】由可得，所以
【浦东新区10】若等比数列的前项和为，且满足，则数列的
前项和为_________.
【参考答案】
【解析】
【青浦区3】行列式中，元素的代数余子式的值为．
【答案】
【解析】元素的代数余子式的值为
【徐汇区3】不等式的解集为
【参考答案】
【解析】也即，解得.
【杨浦区3】若关于的方程组无解，则实数_____________
【答案】
【解析】由方程组无解可知，
此时，方程组无解。

【长宁区7】若直线的法向量与直线的方向向量垂直，则实
数.
【答案】
【解析】易知直线直线平行，得.
二、选择题
【浦东新区14】若某线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解的个数为
（）
A.0个
B.1个
C.无数个
D.不确定
【参考答案】
【解析】由题目可知，两直线重合，故有无数个交点
【普陀区14】设、均为实数，且，则在以下各项中的可能取值只能是（）
A. B. C. D.
【参考答案】B
【解析】，代入点的坐标可得。

(完整版)上海高中数学-复数讲义

复数一、知识点梳理： 1、i 的周期性：44n+14n+24n+34ni =1，所以，i =i, i =-1, i =-i, i =1 n Z4n 4n 1 4n 2 4n 3IIIiC a bi | a,b R 叫做复数集。

3、复数相等：a bi cdi a c 且b=d ； a bi 0 a 0且b=0实数(b=0)4、复数的分类：复数Za bi 七—一般虚数(b 0,a 0)虚数(b 0)纯虚数(b 0,a 0)虚数不能比较大小，只有等与不等。

即使是3 i,6 2i 也没有大小。

uu uu r ------- r5、复数的模：若向量OZ 表示复数乙则称OZ 的模r 为复数z 的模，z |a bi | ,a 2 b 2 ；积或商的模可利用模的性质(1) z 1 L z nZ 1 Z 2 L Z n ,(2)引Z 2Z 2Z 26、复数的几何意义：复数z a bi a,b R一一对应复平面内的点Z(a,b)一一对应uu复数Z a bi a,b R平面向量OZ , 7y 轴叫做虚轴.，实轴上的点都表示实数;除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数&复数代数形式的加减运算复数 Z 1 与 Z 2 的和：z 1+z 2=(a +bi )+( c +di )=( a +c )+( b +d ) i . a, b, c, d R 复数 Z 1 与 Z 2 的差：z 1- z 2=( a +bi )-( c +di )=( a - c )+( b - d ) i . a, b, c, d R 复数的加法运算满足交换律和结合律数加法的几何意义：复数乙=a +bi ，Z 2=c +di a,b,c,d R ； OZ = OZ 1 +OZ 2 =(a ，b )+( c ,d )=( a +c , b +d ) = (a +c )+( b +d ) iuu u uuur ujur复数减法的几何意义：复数Z 1-Z 2的差(a - c )+( b - d )i 对应•由于Z 2Z 1 OZ 1 OZ 2,两个复数的差Z — Z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应 9.特别地，z ABz B —Z A , z AB AB z B z A 为两点间的距离。

沪教版(上海) 高三年级新高考辅导与训练第七章矩阵与行列式、算法初步、复数二、算法初步

沪教版(上海) 高三年级新高考辅导与训练第七章矩阵与行列式、算法初步、复数二、算法初步一、单选题(★★★) 1. 如图是把二进制的数11111化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A．B．C．D．(★) 2. 下面的结论正确的是（）A．一个程序的算法步骤是可逆的B．一个算法可以无止境地运算下去的C．完成一件事情的算法有且只有一种D．设计算法要本着简单方便的原则(★★★) 3. 下面对算法描述正确的一项是（）A．算法只能用自然语言来描述B．算法只能用图形方式来表示C．同一问题可以有不同的算法D．同一问题的算法不同，结果必然不同(★) 4. 下列说法不正确的是（）．A．任何一个算法一定含有顺序结构B．任何一个算法都可能由顺序结构、条件结构、循环结构构成C．循环结构中一定包含条件结构D．条件结构中一定包含循环结构(★★) 5. 计算下列各式中的值，能设计算法求解的是（）．① ；② ；③ ．A．①②B．①③C．②③D．①②③(★★★) 6.某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为A．k＞4?B．k＞5?C．k＞6?D．k＞7?(★★) 7. 如果执行程序框图，输入正整数，，满足，那么输出的等于（）．A．B．C．D．二、解答题(★★★) 8. 设计算法求：＋＋＋…＋的值，要求画出程序框图．(★★★) 9. 用二分法求方程在上的近似解，精确到0.001，写出算法，并画出流程图.(★★) 10. 某电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过，则收取通话费0.20元，如果通话时间超过，则超过部分以0.10元/ 收取通话费（通话不足时按计），试设计一个计算通话费用的算法．（要求写出算法，画出程序框图）(★★★) 11. 某城市现有人口总数为万人，如果年自然增长率为，试解答下列问题：（1）写出该城市经过年后的人口总数关于的函数关系式；（2）用程序流程图表示计算年以后该城市人口总数的算法；（3）用程序流程图表示如下算法：计算大约多少年以后该城市人口将达到万人．三、填空题(★★★) 12. 一个算法步骤如下:第一步,S取0,i取1.第二步,如果i≤10,则执行第三步;否则,执行第六步.第三步,计算S+i并将结果代替S.第四步,用i+2的值代替i.第五步,执行第二步.第六步,输出S.运行以上步骤输出的结果为S=____.(★) 13. 阅读如图的流程图，若输入的，，分别是21，32，75，则输出的，，分别是 ________ ．(★) 14. 某算法的程序框图如图所示，则输出量与输入量满足的关系式是．(★★) 15. 为调查中学生平均每人每天参加体育锻炼的时间（单位：），按锻炼时间分下列四种情况统计：（1）；（2）；（3）；（4）以上，有10000名中学生参加了此项活动，下图是此次调查中某一项的流程图，若平均每天参加体育锻炼的时间在的学生频率是0.15，则输出的结果为________ ．四、双空题(★) 16. 已知，以下程序框图表示的是给定的值，求其函数值的算法．请将该程序框图补充完整．其中①处应填 ________ ，②处应填________ ．。

上海第期高三名校数学理试题分省分项汇编专题行列式与矩阵解析含解析

一．基础题组
1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】三阶行列式0
45sin 2cos 61
0sin ---x
x x ()R x ∈中元素4的代数余子式的值记为()x f ，则函数()x f 的最小值为
2. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知二元一次方程组的增广矩阵是421m m m
m +⎛⎫ ⎪⎝⎭，若该方程组无解，则实数m 的值为___________． 3. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】计算：
122423432⎛⎫⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=
.
4. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】
若行列式124012
x -=，则x = .
5. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】各项都为正数的无穷等比数列{}n a ，满足,,42t a m a ==且⎩⎨⎧==t y m x 是增广矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2221103的线性方程组⎩⎨⎧=+=+2
222111211c y a x a c y a x a 的解，则无穷等比数列{}n a 各项和的数值是 _________.。

2019年上海高中数学第58讲行列式矩阵算法

第58讲矩阵的概念与运算一、知识点梳理1、行向量与列向量：我们把由n 个有序实数1x ，2x ，3x ，，n x 组成的数组()123,,,,n x x x x 叫做n 维向量，其中i x 叫做该向量的第i 个分量（1,2,3,,i n =）．n 维向量通常用一个小写字母上面加箭头来表示，记为行向量()123,,,,n a x x x x =或列向量12n x xa x ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．2、矩阵的基本概念：由m n ⨯个数ij a R ∈（1,2,3,,i m =，1,2,3,,j n =）排成111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭叫做m n ⨯阶的矩阵（其中ij a 叫第i 行第j 列的元素）；m n =时把它叫做n 阶方阵；矩阵A 和矩阵B 的行数和列数分别相等，则A 和B 叫做同阶矩阵；同阶矩阵A 和B 相同位置的元素都相等，则A 和B 叫做相等矩阵．形如100010001n nI ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭的方阵叫做n 阶单位方阵． 3、矩阵运算（1）n 维向量的运算：设向量()123,,,,n a x x x x =，向量()123,,,,n b y y y y =，,i i x y R ∈（1,2,3,,i n =），λ为任意实数，规定：①向量的加减法：()112233,,,,n n a b x y x y x y x y ±=±±±±．②实数和向量的乘积：()123,,,,n a x x x x λλλλλ=．③向量与向量的数量积：112233n n a b x y x y x y x y ⋅=++++．（2）矩阵的加（减）法：两个同阶矩阵的对应元素相加（减），即()ij m n A a ⨯=，()ij m nB b ⨯=，则()ij ij m n A B a b ⨯±=± 加法交换律：A B B A +=+，加法结合律：()()A BC A B C ++=++．（3）矩阵与实数的乘积&矩阵的乘法：二、典型例题例1、写出下列线性方程组的增广矩阵：（1）231040x y x y +-=⎧⎨-=⎩；（2）12312313321746x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪-=-⎩．例2、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：（1）2351414--⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）210107140148-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭．例3、若214753A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，131085B -⎛⎫= ⎪⎝⎭，求A B -，25A B +．例4、若2133A -⎛⎫=⎪-⎝⎭，求105301A A A ⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭．例5、计算：（1）()351122⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ；（2）()311252⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ；（3）111210113111-⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．§10.4 行列式的概念与运算一、知识点梳理 1、基本概念：11122122a b a b a b a b =-；111222123231312321213132333a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c =++---．以上两等式中，等号左边的符号叫做二（三）阶行列式，等号右边的式子叫做二（三）阶行列式的展开式（对角线法则），起计算结果叫做行列式的值．行列式是一个数．其中i a 、i b 、i c （1,2,3i =）是行列式的元素． 2、运算法则（1）对角线法则★（2）余子式和代数余子式对于三阶或更高阶的行列式，我们还可以“按行（或按列）展开”．把行列式中某一元素所在的行与列划去后，剩下的元素按原行列式顺序排列所组成的行列式，叫做原行列式中对应于这个元素的余子式．设行列式中某一元素位于第i 行第j 列，所在的行与列划去后，把对应于这个元素的余子式乘上()1i j+-后所得到的式子叫做原行列式中对应于这个元素的代数余子式．定理1：行列式等于它的任意一行（or 一列）的所有元素与它们各自对应的代数余子式的乘积的和．定理2：行列式的某一行（or 一列）的各元素与另一行（or 一列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零．★3、三角形面积公式：11223311121ABCx y S x y x y ∆=取正11223311121ABC x y S x y x y ∆⇒=． ★4、利用行列式解方程组（1）二元一次方程组：唯一解、无解、无数解；（2）三元一次方程组：唯一解、无解、无数解． 5、三阶行列式的性质（1）性质1：把行列式各行变为对应的列（按对角线对翻），与原行列式相等，111123222123333123a b c a a a a b c b b b a b c c c c = （2）性质2：交换两行（or 两列），值的符号相反，111222111222111222333333333a b c a b c b b a a b c a b c b b a a b c a b c b b a =-=- （3）性质3：如果行列式某两行（or 两列）的对应元素相同，那么该行列式值为零．（4）性质4：如果把行列式的某一行（or 某一列）的所有元素乘一个数k ，等于k 乘原行列式，111111111222222222333333333a kbc a b c a b c a kb c k a b c a b c a kb c a b c ka kb kc == （5）性质5：如果行列式中某两行（or 两列）的对应元素成比例，那么行列式值等于零．二、典型例题例1、按要求计算行列式：584345463--．（1）利用对角线法则展开；（2）按第一行展开；（3）按第二列展开．例2、把221111333322234a b a b ab a b a b a b -+表示成一个三阶行列式为．例3、解关于x 、y 的方程组：()34351mx y mx m y -=⎧⎨+-=⎩，m R ∈．例4、若关于x 、y 、z 的方程组：212x y z x y m z m x z m ++=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩有唯一解，求m 所满足的条件，并求出唯一解．§10.5 算法初步一、知识点梳理1、算法的概念对于一类有待求解的问题，如果建立了一套通用的解题方法，按部就班地实施这套方案就能使该类问题得到解决，那么这套解题方法就是求解该类问题的一种算法．2、算法是由一些操作步骤组成的有序系列，这个系列具有以下特点：①操作步骤必须是有限的，在有限步骤后获得结论；②每一步操作都有确定的意义；③每一步操作都是可行的；④每个算法必须有已知信息的输入和结算结果的输出．3、程序框图的概念为使算法的表述更简练，结构更清晰，用到的“含有算法内容的框和箭头”构成的图（1）常见的程序框（2）算法的三种基本逻辑结构①顺序结构描述的是简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行，各步之间通常不能交换，否则会产生不一样的结果．②条件结构是对某些算法结构进行逻辑判断，并根据判断结果进行不同的处理，如果“条件”成立，那么执行指令A，如果“条件”不成立，那么执行指令B．③循环结构：如果一个计算过程，要重复一系列的计算步骤若干次，每次计算步骤完全相同，这种重复执行相同指令的结构叫做循环结构．循环体：循环结构中的指令组．循环变量：用以控制重复执行循环结构的次数的变量．二、例题选讲例1、阅读框图，若输入100n ，则输出S和T值依次为．例2、给出计算111124620++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是．例3、给出五十个数，1,2,4,7,11,，寻找规律，并以此类推，要求计算着五十个数的和，试将程序框图补充完整，（1）；（2）．例4、程序框图的运行结果是．例5、已知函数()3f x x=-，将流程图补充完整，（1）；（2）．例6、给出三个流程图具有相同的功能，将图（b）和图（c）所缺部分补充完整，则其中（1），（2）．例7、某算法的程序框图如图，则输出量y与输入量x满足的关系式是．例8、已知程序框图，则最后输出结果为．例9、从甲地到乙地铁路托运，不超过50kg 时，每公斤0.2元，超过50kg 时，每公斤0.25元，则（1）处填，（2）处填．例10、根据程序框图，写出通项公式．。

沪教版(上海)高二数学上册第9章矩阵和行列式初步复习课件

5 t
,且AB
O,则
3 5 3
t
.
3) 已知
A
2 3
31, f ( x) x2 5 x 3,
则 f (A)
.
4) 若n阶矩阵A满足方程A2 2 A 3E 0,则
A1
.
3 0 0
5) 设A 0 1 0,则An
.
0 0 4
0 0 2
6) 矩阵A 0 5 0的逆矩阵A1 8 0 0
1 0 1
注：对一般的 n 阶方阵 A，我们常常用归纳的方
法求 An 。
例2 解：
0 1 0
设
A
1
0
0 ，求 A2004 2 A2 .
0 0 1
0 1 0 0 1 0
因为
A2
1
0
0 1 0
0
0 0 1 0 0 1
＝
1 0
0 1
00 ，
0 0 1
故 A4 E，从而 A2004 ( A4 )501 E 501 E .
6 分块矩阵
矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证。分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则类似。
典型例题
一、矩阵的运算二、有关逆矩阵的运算及证明三、矩阵方程及其求解方法
一、矩阵的运算
矩阵运算有其特殊性，若能灵活地运用矩阵的运算性质及运算规律，可极大地提高运算效率。
例1
设α (1，0， 1)T，A ααT，求 An .
故 A(C B)T B. 从而
1 1 0 1 0 0
A B[(C B)T ]1 0 1 1 2 1 0
0 0 1 1 2 1
3 1 0 3 3 1
1 2 1

沪教版(上海) 高三年级新高考辅导与训练第七章矩阵与行列式、算法初步、复数本章测试

沪教版(上海) 高三年级新高考辅导与训练第七章矩阵与行列式、算法初步、复数本章测试一、单选题(★★) 1. 如果执行如图所示的程序框图，那么输出的（）．A．1B．C．D．(★★) 2. 图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示学生人数依次记为A 1、A 2、…A 10（如A 2表示身高（单位：cm）在[150，155 内的人数]．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160~180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A．i<6B．i<7C．i<8D．i<9(★★★) 3. 关于，的方程组，则下列说法错误的是（）．A．一定有解B．可能有唯一解C．可能有无穷多解D．可能无解(★★★) 4. 设为复数，且，则（）．A．B．C．D．为虚数(★) 5. 若复数是纯虚数，则实数的值为（）A．1B．2C．1或2D．-1(★★★) 6. 当时，（）A．1B．-1C．D．(★★) 7. 设，方程的根有（）.A．1个B．2个C．3个D．4个(★★) 8. 设，那么为纯虚数的充要条件是（）A．B．且C．D．且(★) 9. 已知，，则三个不同点，，共线是的（）．A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件(★) 10. 设的共轭复数是，若，，则等于（）A．B．C．D．(★★★) 11. 某店一个月的收入和支出总共记录了个数据，，…，，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入和月净盈利，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（）．A．，B．，C．，D．，(★★★) 12. 方程在复数集中的解有( )A．2个B．4个C．6个D．8个(★★) 13. 对一元二次方程下列命题中不正确的是（）．A．两根，满足，B．两根，满足C．若，则方程有两个不等实根D．若，则方程有两个等根(★★★) 14. 方程的根的情况是（）．A．有两个不等实根B．有一对共轭虚根C．有一个实根，一个虚根D．有两个不共轭虚根二、填空题(★) 15. 若复数 z 满足z (1+i) =1-i( 是虚数单位)，则其共轭复数=____________ (★★★) 16. 关于，的方程组无实数解，则________．(★) 17. 若行列式中，元素4的代数余子式大于0，则 x满足的条件是________________________ .(★★★) 18. ，，则________．(★★★) 19. 分解因式：________．(★★) 20. ________．(★★) 21. 方程的解为________．(★) 22. 若关于的方程有实根，为虚数单位，则实数的取值为________．(★) 23. 某算法的程序框图如图所示，则输出量与输入量满足的函数关系是________ ．(★★) 24. 若是纯虚数，则实数的值是 _____ ．(★★) 25. 实数取________时，方程组有非零解．(★) 26. 在行列矩阵中，记位于第行第列的数为．当时，________．三、解答题(★) 27. 已知，试求实数，的值．(★★★) 28. 若满足，则判断的形状．(★★★) 29. 设复数集合，求集合中元素的模的范围．(★★) 30. 已知方程有两根，，且，，满足，求实数．(★★) 31. 直线与双曲线交于点，，点的坐标为，求的面积．(★★★)32. 已知分别为中角，，的对边，若满足，试判别的形状．(★★★) 33. 已知复数，，，，，满足，．（1）若所对应点在圆上，求所对应点的轨迹；（2）是否存在这样的直线，对应点在上，所对应点也在直线上？若存在，求出所有这些直线；若不存在，请说明理由．四、双空题(★★) 34. 随机抽取某产品件，测得其长度分别为，则如图所示的程序框图输出的 _______ ，表示的样本的数字特征是 ________ ．（注：框图上（右）中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）。

沪教版(上海) 高三年级新高考辅导与训练第二部分走近高考第七章矩阵与行列式算法初步复数高考

沪教版(上海) 高三年级新高考辅导与训练第二部分走近高考第七章矩阵与行列式、算法初步、复数高考题选一、单选题(★★) 1. i是虚数单位，若集合S= ，则A．B．C．D．(★★★) 2. 是虚数单位,复数为纯虚数,则实数为( )A．B．C．D．(★) 3. 如果执行如图所示的程序框图，输入正整数和实数，，…，，输出，，则（）A．+为，，…，的和B．为，，…，的算术平均数C．和分是，，…，中最大的数和最小的数D．和分是，，…，中最小的数和最大的数(★★★) 4. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则（）A．B．C．D．(★★) 5. 设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（）A．- 5B．5C．- 4+ i D．- 4 - i(★★) 6. 执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为（）A．B．C．D．(★★★) 7. 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入分别为14,18，则输出的（）A．0B．2C．4D．14(★★) 8. 右图是用模拟方法估计圆周率的程序框图，表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．B．C．D．二、填空题(★★★) 9. 若执行如图所示的框图，输入，则输出的数等于．(★★★) 10. 行列式（）的所有可能值中，最大的是。

(★★) 11. 若复数 z满足 | z－i|≤ (i为虚数单位)，则 z在复平面内所对应的图形的面积为_____________ ．(★) 12. 设，（i为虚数单位），则的值为．(★★) 13. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=_________ ．(★) 14. 若，则(★★) 15. 设m∈R，m 2+m﹣2+（m 2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m= ．(★★★) 16. 设是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成的3个数字按从小到大排成的三位数记为，按从大到小排成的三位数记为（例如，则，）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，输出的结果.三、解答题(★★) 17. 已知矩阵，向量．求向量，使得．(★★★) 18. 已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求．。

上海高三二模分类汇编-平面向量与复数(详解版)

二模汇编——平面向量专题一、知识梳理【知识点1】平面向量相关的基本概念（1）向量的概念：既有方向又有大小的量，注意向量和数量的区别；（2）零向量：长度为零的向量叫零向量，记作：0r，注意零向量的方向是任意方向；（3）单位向量：给定一个非零向量→a ，与→a 同向且长度为1的向量叫→a 的单位向量, →a 的单位向量是a a→→；（4）相等向量：方向与长度都相等的向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量，→a 的相反向量是长度相等方向相反的向量a →-.【例1】判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； ①单位向量都相等；①任一向量与它的相反向量不相等；①四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB ＝DC ①模为0是一个向量方向不确定的充要条件； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. 【答案】略.【解析】①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.①不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.①不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.①、①正确.①不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.【点评】本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.【例2】. 判断下列命题是否正确，并说明理由：（1）共线向量一定在同一条直线上. （）（2）所有的单位向量都相等.（）（3）向量→→b a 与共线，→→c b 与共线，则→→c a 与共线. （）（4）向量→→b a 与共线，则→→b //a .（）（5）向量→→CD //AB ，则CD //AB .（）（6）平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量. （）【答案】略.【解析】（1）错.因为两个向量的方向相同或相反叫共线向量，而两个向量所在直线平行时也称它们为共线向量，即共线向量不一定在同一条直线上.（2）错.单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的意义. （3）错.注意到零向量与任意向量共线，当→b 为零向量时，它不成立. （4）对.因共线向量又叫平行向量.（5）错.平行向量与平行直线是两个不同概念，AB 、CD 也可能是同一条直线上. （6）错.平行四边形两对边所在的向量也可能方向相反. 【点评】本题考查向量基本概念.注意零向量的方向是任意方向.【知识点2】平面向量的坐标运算设1122(,),(,)a x y b x y ==r r，则：① 向量的加减法运算：a b ±=r r()1212,x x y y ±±；② 实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==r；③ 若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--u u u r，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标；④ 平面向量数量积：a b →→⋅=1212x x y y +；⑤ 向量的模：2222||||a a a x y ===+r r r ；【例1】已知(2,3)a =-r ，点O 为原点，2OA i j =-u u u r r r，若//AB a u u u r r，且||AB =u u u r B 的坐标.【答案】)5,2(-或)7,6(-.【解析】由题意得：点A 的坐标为)1,2(-。

2021年上海高中数学专项讲义平面向量 (2)

2021年上海高中数学专项讲义（平面向量）[基础篇]1.理解向量的有关概念：（1）向量的概念：既有方向又有大小的量，注意向量和数量的区别；（2）零向量：长度为零的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意方向；（3）单位向量：给定一个非零向量→a ，与→a 同向且长度为1的向量叫→a 的单位向量,→a 的单位向量是a a→→；（4）相等向量：方向与长度都相等的向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量，→a 的相反向量是长度相等方向相反的向量a →-.2.向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如→a ，→b ，→c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量→i ，→j 为基底，则平面内的任一向量→a 可表示为→→→+=j y i x a ，称(),x y 为向量→a 的坐标，),(y x a =→叫做向量→a 的坐标表示，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.（提醒：向量的起点不在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标就不相同.）3．实数与向量的积：实数λ与向量→a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度和方向规定如下：（1）a a λλ=；（2）当0λ>时，a λ 的方向与→a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与→a 的方向相反；当0λ=时，零向量，注意：0a λ≠.提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个平行向量的基线平行或重合,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有→0)；④三点C B A 、、共线⇔AB AC 、共线；4．平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，过O 点作OA a = ，OB b =，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角．当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向；如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a b →→⊥．（2）两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量cos a b θ→→叫做a 与b的数量积（或内积），记作a b →→⋅，即a b →→⋅＝cos a b θ→→．规定零向量与任一向量的数量积为0．若1122(,),(,)a x y b x y ==，则a b →→⋅＝1212x x y y +．（3）向量的数量积的几何意义：cos b θ→叫做向量b 在a 方向上的投影(θ是向量a 与b的夹角)．a b →→⋅的几何意义是，数量a b →→⋅等于模a →与b →在a →上的投影的积．（4）向量数量积的性质：设a 与b 都是非零向量，e 是单位向量，θ是a 与b的夹角．当→a 与→b 同向时，a b →→⋅＝a b →→；当→a 与→b 反向时，a b →→⋅＝-a b →→,θcos ＝a ba b→→→→⋅;⑸|→→⋅b a |≤a b →→．（5）向量数量积的运算律：⑴a b →→⋅＝a b c →→→⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭；⑵a b λ→→⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭＝a b λ→→⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭＝a b λ→→⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭⑶a b c →→→⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭＝a c b c →→→→⋅+⋅5.平面向量的基本定理：如果→1e 和→2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量→a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使→a =1122e e λλ+ ，1e 、2e称为一组基底.6．向量的运算：（1）几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，除此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,AB a BC b == ，那么向量AC 叫做→a 与→b 的和，即a b AB BC AC +=+=；②向量的减法：用“三角形法则”：设,AB a AC b ==，那么a b AB AC CB -=-=由减向量的终点指向被减向量的终点.容易得出：a b a b a b -≤-≤+．（2）坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则：1向量的加减法运算：a b ±=()1212,x x y y ±±；2实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==；3若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标；4平面向量数量积：a b →→⋅=1212x x y y +；⑤向量的模：2222||||a a a x y ===+ ；7．向量的运算律：（1）交换律：→→→→+=+a b b a ，→→=a a )()(λμμλ，a b →→⋅=→→⋅a b ；(2)结合律：→→→→→→++=++c b a c b a )()(，)(→→→→→→+-=--c b a c b a ；（3）分配律：→→→+=+a a a μλμλ)(，→→→→+=+b a b a λλλ)(，→→→→→→→⋅+⋅=⋅+c b c a c b a )(.8.向量平行(共线)的充要条件：(1)向量→b 与非零向量a共线的充要条件是b a λ→→=；实数λ是唯一存在的，当→a 与→b 同向时，0λ>；当a 与b异向时，0λ<；(2)若()11,a x y →=,()22,b x y →=，则//a b ⇔ 1212x y y x =⇔22)()(→→→→=⋅b a b a ．提醒：平行四边形法则要求参与加法的两个向量的起点相同，三角形法则要求参与加法的两个向量的首尾相接.可推广到122311...n n n A A A A A A A A -+++=（据此，可根据需要在一个向量的两个端点之间任意插点）9．向量垂直的充要条件：0a b a b →→⊥⇔⋅=→→+⇔b a =→→-b a 12120x x y y ⇔+=．[技能篇]类型一：向量的坐标表示及其运算【例1】已知12,G G 分别是△ABC 和△ACD 的重心，G 是12G G 的中点，若A,B,C,D 的坐标分别是()0,0【例2】已知点O （0，0），A （1，2），B （4，5）及OP =OA +t AB ，求：（1）t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限?（2）四边形OABP 能否构成平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．巩固练习：1．已知)2,(x A ，)2,5(-y B ，若(4,6)AB =，则y x ,的值分别为_________．2．已知向量)7,2(x a = ，)4,6(+=x b ，若b a=，则=x _________．3．已知平行四边形ABCD 的顶点)2,1(--A 、)1,3(-B 、)6,5(C ，则顶点D 的坐标为_________．4．若向量)2,3(=a，)1,0(-=b ，则向量a b -2的坐标是_________．5．若)3,2(=a ，)1,4(y b +-= ，且b a//，则y 等于_________．6．若M 为ABC ∆的重心，则下列各向量中与AB共线的是（）A ．AB BC AC ++ B ．AM MB BC ++ C ．AM BM CM ++D ．AM AM AM AC +++7．在矩形ABCD 中，AB = ，1BC = ，则向量()AB AD AC ++的长度等于（）A ．2B ．C ．3D ．48．在ABC ∆中，D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、CA 的中点，已知D 点坐标为)2,1(，E 点坐标为)5,3(，F 点坐标为)7,2(，则点A 坐标为____________．9．已知)2,1(=a ，)1,(x b = ，当b a 2+与b a-2共线时，x 的值为____________．10．当=m ___时，向量)1,2(-=m a 与)6,2(-=m b 共线且方向相同；当=m __时，a 与b共线且方向相反．11．若三点)1,1(A ，)4,2(-B ，)9,(x C 共线，则=x ____________．12．设)2,1(-=a ，)1,1(-=b ，)2,3(-=c，用a 、b 作基底有b q a p c +=，则=p ______，=q ________．13．已知点),(y x M 在向量(1,2)OP =所在的直线上，则y x ,所满足的条件是___________．14.已知12(4,3),(2,6)P P --,(1)若点P 在线段12PP 上,且122PP PP = 则点P 的坐标是;(2)若点P 在线段12PP 的延长线上,且124PP PP = 则点P 的坐标是;(3)若点P 在线段21P P 的延长线上,1245PP PP =则点P 的坐标是;(4)若点P 在线段21P P 的延长线上,11245PP PP =,则点P 的坐标是.15．下列四个命题：①若0a b →→⋅=，则0a →→=或0b →→=；②若e →为单位向量，则a a e →→→=⋅；③3a a a a →→→→⋅⋅=；④若a→与b →共线，b →与c →共线，则a →与c →共线．其中错误命题的序号是___________．16．已知)0,0(O 、)2,1(A 、)5,4(B ，且OP OA tOB =+，则当=t ________时，点P 落在x 轴上．17．已知a →，b →是两个非零向量，则“a →，b →不共线”是“a b a b →→→→+<+”的____________．18．下列四个命题中是真命题的有____________个．①若b a +与b a -是共线向量，则a 与b也是共线向量②若||||||b a b a -=-，则a 与b是共线向量③若||||||b a b a +=-，则a 与b是共线向量④若||||||||b a b a+=-，则b 与任何向量都共线19.在ABC ∆中,设向量,CA a CB b ==，则ABC ∆的面积ABC S ∆=,ABC ∆的周长ABC C ∆=.20.对n 个向量12,,...,n a a a →→→，如果存在不全为零的实数12,n k k k 使得1122...0n n k a k a k a →→→→+++=，则称12,,...,n a a a →→→性相关.若已知()11,1a →=，()23,2a →=-，()33,7a →=-是线性相关的，则123::k k k =___________.21.在四边形ABCD 中，()1,1AB DC == ，BABC BA BC +=ABCD 的面积是___________.类型二：向量的数量积【例1】设O 是直角坐标原点，j i OB j i OA -=+=4,32，在x 轴上求一点P ，使BP AP ⋅最小，并求此时APB ∠的大小.【例2】已知1||,2||==b a ，且b a ,的夹角为4π，又b a OD b a OC -=+-=2,3，求||CD .【例3】已知锐角ABC ∆中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,向量(2sin m B = 2(2cos1,cos 2)2B n B =- ,且m n ⊥ （1）求B 的大小，（2）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值.巩固练习：1．（1）已知2||=a ，1||=b ，a 与b 的夹角为120，则=⋅b a __________．（2）已知4||=a ，1||=b ，4-=⋅b a ，则向量a 与b的夹角为___________．2．（1）已知4||=a ，a 与b 的夹角为30，则a 在b 方向上的投影为___________．（2）已知3||=a ，5||=b ，13=⋅b a ，则a 在b上方向上的投影为___________．3．已知3||=a，4||=b ，且)()(b k a b k a -⊥+，则k 的值为___________．4．已知5||=a ，a与b的夹角正弦值为53，12=⋅b a，则=||b ___________．5．已知2||=a ，5||=b ，3-=⋅b a，则=+||b a __________．6．已知2||=a ，2||=b ，a 与b 的夹角为45，要使a b -λ与a 垂直，则=λ______．7．在平行四边形ABCD 中，已知4,3AB AD == ，60=∠DAB ，则AB DA ⋅ =_______．8．P 是ABC ∆所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC ∆的____________．9．已知向量)a →=，b →是不平行于x 轴的单位向量，且a b →→⋅=b →=____________．10．与向量71(,),22a = 17(,)22b =- 的夹解相等，且模为1的向量是____________．11．在ABC ∆中，AB a = ，BC b = ，CA c = ，且3a = ，2b = ，4c =，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅ 的值为___________．12．在ABC ∆中，已知2AB AC ==，且2AB AC ⋅= ，则这个三角形的形状是___．13．下列四个命题：①若0 =-b a ，则b a =；②若0=⋅b a ，则0 =a 或0 =b ；③若R ∈λ，且0=a λ，则0=λ或0 =a ；④对任意两个单位向量a ，b都有1=⋅b a ．其中正确命题的序号是_______________．14.若a b a b →→→→==-,则b →与a b →→+的夹角为____________．15．在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若2AM =，则()OA OB OC ⋅+的最小值是.16．已知ABC ∆满足2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，则ABC ∆的形状一定是________.17.在△ABC 中，0120ABC ∠=，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，则AD BC ⋅=________.18.如果c a b a ⋅=⋅，且0≠a ，那么()．A ．cb =B ．cb λ=C ．cb ⊥D ．c b ,在a方向上的投影相等19．若a 、b是非零向量且b a ⊥，则一定有（）A ．||||||b a b a+=+B ．||||||b a b a-=+C ．||||b a b a -=+D ．||||||b a b a+=-20.已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是__________.21．已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e|，则（）A ．a ⊥eB ．e ⊥(a －e )C ．a ⊥(a －e )D ．(a ＋e )⊥(a －e )22．已知两个单位向量1e 和2e 互相垂直，R ∈2121,,,μμλλ，则11122122()()e e e e λμλμ+⊥+的充要条件是（）A ．02121=+μμλλB ．02121=-μμλλC ．02211=+μλμλD ．01221=-μλμλ23．在ABC ∆中，有命题①AB AC BC -= ；②0AB BC CA ++=；③若()()0AB AC AB AC +⋅-= ，则ABC ∆为等腰三角形；④若0AB AC ⋅>，则ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．②③④24点O 在ABC ∆所在平面内，给出下列关系式：（1）0OA OB OC ++= ；（2）OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅ ；（3）0AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA⎛⎫⎛⎫⎪⎪⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=．则点O 依次为ABC ∆的（）A ．内心、外心、重心、垂心B ．重心、外心、内心、垂心C ．重心、垂心、内心、外心D ．外心、内心、垂心、重心类型三：平面向量的分解定理【例1】已知D 是ABC ∆的边BC 上的点，且:1:2BD DC =，,AB a AC b == ，如图1所示．若用a b、表示AD ，则AD =．【例2】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1200OB a OA a OC =+ ，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则=200S __________.【例3】下列条件中，A B P 、、三点不共线的是（）A ．1344MP MA MB=+B ．2MP MA MB =-C ．33MP MA MB=-D ．3144MP MA MB=+ 【例4】下列向量组中能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（）A ．()()120,0,1,2e e ==B ．()()121,2,5,7e e =-=C ．()()123,5,6,10e e ==D ．()12132,3,,24e e -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 【例5】过ABC ∆的重心作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ．若,AD xAB AE y AC == ，0≠xy ，则yx 11+的值为____________．【例6】P 是ABC ∆内的一点，()13AP AB AC =+，则ABC ∆的面积与ABP ∆的面积之比为__________.A ．2B ．3C ．23D ．6巩固练习：1、已知向量)2,3(-=a ，)1,2(-=b ，)4,7(-=c ，用a 和b 来表示c ，则c为（）A ．ba -2B ．ba +2C ．ba2-D ．ba2+2、设M 是△ABC 的重心，则AM=（）A ．2AC AB - B ．2AC AB + C ．3AC AB - D ．3AC AB + 3、AD 、BE 分别为ABC ∆的边BC 、AC 上的中线，且AD a = ，BE b = ，那么BC为（）A ．b a 3432+B ．b a 3232-C ．b a 3432-D ．ba 3432+-4、001,OB 120OC OA 30,OC 5OA OB OA === 与的夹角为，与的夹角为，请用OA OB ，表示.OC =__________.5、已知1,.0,OA OB OA OB === AOC ∠30o=.设(,)OC mOA nOB m n R =+∈ ，则m n等于__________.6、已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上，（不包括端点A 、C ），则AP等于（）A ．()AB AD λ+，λ∈(0,1)B ．()AB BC λ+ ，λ∈(0,22)C ．()AB AD λ-，λ∈(0,1)D ．()AB BC λ-，λ∈(0,22)7、如图，在△ABC 中，设AB a = ，AC b = ,AD a λ= ,(0<λ<1),AE b λ= ,(0<μ<1),试用向量a ,b 表示c.类型四：向量的应用【例1】l 是过抛物线)0(22>=p px y 焦点的直线，它与抛物线交于A 、B 两点，O 是坐标原点，则△ABO 是A 、锐角三角形；B 、直角三角形；C 、钝角三角形；D 、不确定与P 值有关.【例2】已知向量R x x x b x a ∈==},2sin 3,{cos },1,cos 2{.设b a x f ⋅=)(.（1）若31)(-=x f 且3,3[ππ-∈x ，求x 的值；（2）若函数x y 2sin 2=的图像按向量)2|}(|,{π<=m n m c 平移后得到函数)(x f y =的图像，求实数n m ,的值.巩固练习：1.求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数.2.已知点O 是，，内的一点，090BOC 150AOB =∠=∠∆ABC 设,,OA a OB b OC c === 且2,1,3a b c ===，试用,a b 表示c .3.求平面内两点),(),,(2211y x B y x A 间的距离公式.4.三角形ABC 中，A (5，－1)、B (－1，7)、C (1，2)，求：(1)BC 边上的中线AM 的长；(2)∠CAB 的平分线AD 的长；(3)cos ∠ABC 的值.5.证明:βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-.6.已知ABC ∆，AD 为中线，求证()2222221⎪⎭⎫⎝⎛-+=BC AC AB AD .7.已知向量123,,OP OP OP 满足条件1230OP OP OP ++= ，1231OP OP OP ===，求证：321P P P ∆是正三角形.8．设O 点在ABC ∆内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为____________．9.证明柯西不等式2212122222121)()()(y y x x y x y x +≥+⋅+.10.求x x x x y 22cos 3cos sin 2sin ++=的最值[竞技篇]一、填空题：1、已知2,3==b a.若3-=⋅b a ，则a 与b夹角的大小为.2、在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为5,0)，1(2,1)e = 、2(2,1)e =-分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P ，若12(OP ae be a =+、)b R ∈，则a 、b 满足的一个等式是_____．3、如图所示，直线2=x 与双曲线Γ：1422=-y x 的渐近线交于21,E E 两点，记11e OE =，22e OE =.任取双曲线Γ上的点P ，若12OP ae be =+（a 、b R ∈），则a 、b 满足的一个等式是.4、若直线l 过点(3,4)，且(1,2)是它的一个法向量，则l 的方程为．5、在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3AB =，1BD =，则AB AD ⋅=6、若()2,1d →=是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为7、若()2,1n =-是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为8、在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CNBC CD = ，则AM AN ⋅的取值范围是9、在平行四边形ABCD 中，3π=∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BC CD= ，则AM AN ⋅的取值范围是.10、已知向量(1 )a k = ，，(9 6)b k =- ，．若//a b，则实数k =11、已知正方形ABCD 的边长为1．记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c 、2c 、3c．若,,,{1,2,3}i j k l ∈，且i j ≠，k l ≠，则()()i j k l a a c c +⋅+ 的最小值是．12、直线l 的参数方程是)(221R t t y tx ∈⎩⎨⎧-=+=，则l 的方向向量d →可以是（）（A ）（2,1）.（B ）（1,2）.（C ）（1,2-）（D ）（2,1-）13、若向量()()2,0,1,1a b ==，则下列结论正确的是（）(A)1a b ⋅= (B)a b= (C)()a b b-⊥ (D)a b∥14、若1a 、2a 、3a 均为单位向量，则136,33a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭是123a a a ++=的（）(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分又不必要条件．15、设1A ，2A ，3A ，4A 是平面上给定的4个不同的点，则使12340MA MA MA MA +++=成立的点M 的个数为A ．0B ．1C ．2D .4.16、设O 为ABC ∆所在平面上一点.若实数x y z 、、满足0xOA yOB zOC ++= 222(0)x y z ++≠，则“0xyz =”是“点O 在ABC ∆的边所在直线上”的（）(A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件.(C)充分必要条件.(D)既不充分又不必要条件.17、直线2310x y -+=的一个方向向量是（）(A)(2 3)-，(B)(2 3)，(C)(3 2)-，(D)(3 2)，18、已知 A B 、为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）抛物线（D ）双曲线19、在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a 、4a 、5a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1d 、2d 、3d 、4d 、5d．若m 、M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++ 的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆，{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆，则m 、M 满足（）(A)0m =，0M >(B)0m <，0M >(C)0m <，0M =(D)0m <，0M <20、已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ,设向量→m =(a ,b ),→n =(sinB,sinA),→p =(b -2,a -2)⑴若→m ∥→n ,求证:△ABC 为等腰三角形；⑵若→m ⊥→p ,边长c =2,角C=π3,求△ABC 的面积.25、已知向量()sin 21,cos a x x =- ，()1,2cos b x = ，设函数()f x a b =⋅ ，求函数()f x 的最小正周期及0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的最大值．26、定义向量(),OM a b =的“相伴函数”为()sin cos f x a x b x =+函数()sin cos f x a x b x =+的“相伴向量”为(),OM a b =（其中O 为坐标原点）.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S .（1）设()3sin 4sin 2g x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭求证：()g x S ∈;（2）已知()()cos 2cos h x x x α=++且()h x S ∈,求其“相伴向量”的模；27.（2012年高考理科23）对于数集},,,,1{21n x x x X -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==.若对于任意1a Y ∈ ，存在2a Y ∈ ，使得120a a ⋅=，则称X 具有性质P .例如}2,1,1{-=X 具有性质P .（1）若x ＞2，且},2,1,1{x -，求x 的值；（4分）（2）若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当1n x >时，11x =；（6分）（3）若X 具有性质P ，且121,x x q ==（q 为常数），求有穷数列n x x x ,,,21 的通项公式.（8分）。