第23节：正方形

∠EQN=∠BHM=90°．根据∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH， 故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得出△APB≌△HFE，故可得出结 论；（2）由勾股定理求出BP的长，根据EF是BP的垂直平分线可 知BQ= BP，再根据锐角三角函数的定义得出QF=BQtan •∠FBQ 的长，由（1）知，△APB≌△HFE，故EF=BP=4，再根据 EQ=EF﹣QF即可得出结论．
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【解答】解：过点D作DG⊥BC于点G， ∵四边形BDCE是菱形， ∴BD=CD． ∵BC=2，∠D=60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴BD=BC=CD=2， ∴CG=1，GD=CD•sin60°=2× = ， ∴D（2+ ，1）． 故答案为：（2+ ，1）．
4．（2016•兰州）▱ABCD的对角线AC与BD相交 于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件： ∠BAD=90°，使得▱ABCD为正方形. ________________
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5.如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中 点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE． （1）求证：四边形ADCF是平行四边形． （2）当△ABC满足什么条件时，四边形 ADCF是正方形？请说明理由
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2.（2016•漳州）如图，正方形ABCO的顶点C、A 分别在x轴、y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若 ∠D=60°，BC=2，则点D的坐标是______.
【分析】过点D作DG⊥BC于点G， 根据四边形BDCE是菱形可知BD= CD，再由BC=2，∠D=60°可得出△BCD是等边三 角形，由锐角三角函数的定义求出GD及CG的长即 可得出结论．
第五章 四边形
第23节 正方形
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考点梳理
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考点1 考点2
考点3
考点4
广东中考
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1．（2016•无锡一模）正方形具有而菱形不一定 具有的性质是（ B ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角相等
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【解答】解：在Rt△A1BB1中，由勾股定理可知；
即正方形A1B1C1D1的面积= ； 在Rt△A2B1B2中，由勾股定理可知： 即正方形A2B2C2D2的面积= … ∴正方形AnBnCnDn的面积= 故答案为：
． ．
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分析：（1）利用旋转的性质得出点A、E、C三点 共线，点D、E、F三点共线，且AE=CD，DE=FE，即 可得出答案；（2）首先得出CD⊥AB，即 ∠ADC=90°，由（1）知，四边形ADCF是平行四 边形，故四边形ADCF是矩形．进而求出CD=AD即 可得出答案．
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4.（2015•梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上， 且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、 F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H． （1）求证：HF=AP； （2）若正方形ABCD的边长为12， AP=4，求线段EQ的长.
【分析】（1）先根据EQ⊥BO，EH⊥AB得出
Hale Waihona Puke Baidu
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考点梳理
4.平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的联系
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考点1 正方形的性质
1．（2016郯城模拟）在正方形ABCD中，E是BC 边延长线上的一点，且CE=BD，则 ∠AEC=______． 【分析】先连接AC， 根据正方形的性质， 得出AC=EC，进而得到∠E=∠CAF，再根据平行线 的性质，得出∠E=∠DAF，最后根据∠CAD=45°， 求得∠AEC的度数．
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解答：（1）证明： ∵△CFE是由△ADE绕点E旋转180°得到， ∴点A、E、C三点共线，点D、E、F三点共线，且 AE=CE，DE=FE，故四边形ADCF是平行四边形． （2）解：当∠ACB=90°，AC=BC时，四边形ADCF 是正方形．理由如下：在△ABC中，∵AC=BC， AD=BD，∴CD⊥AB，即∠ADC=90°． 而由（1）知，四边形ADCF是平行四边形， ∴四边形ADCF是矩形．又∵∠ACB=90°， ∴ ，故四边形ADCF是正方形．
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【解答】解：连接AC，则正方形ABCD中， AC=BD ∵CE=BD ∴AC=EC ∴∠E=∠CAF ∵AD∥EC ∴∠E=∠DAF ∴∠CAF=∠DAF ∵∠CAD=45° ∴∠CAF=∠DAF=22.5° ∴∠AEC=22.5° 故答案为：22.5°
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3.（2015•抚顺）如图，正方形ABCD的边长为a，在 AB、BC、CD、DA边上分别取点A1、B1、C1、D1， 使AA1=BB1=CC1=DD1= a，在边A1B1、B1C1、C1D1、 D1A1上分别取点A2、B2、C2、D2，使 A1A2=B1B2=C1C2=D1D2= A1B2，…．依次规律继续下去 ，则正方形AnBnCnDn的面积为 ．
2. （2016•哈尔滨模拟）如图，在正方形ABCD外 侧作等边三角形CDE，AE、BD交于点F，则∠AFB 的度数为（ ） C A．45° B．55° C．60° D．75°
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3.如图，正方形ABCD中，E点在BC上， AE平分∠BAC．若BE= cm，则 △AEC面积为 cm2．
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考点梳理
1.定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形. 2.性质：正方形具有 平行四边形 、矩形 、 菱形 的一切性质. 3.判别方法： 四条边都相等且四个角都是直角的四边形是正 方形； 有一个是直角 的菱形是正方形；邻边相等 的矩形是正方形；对角线互相垂直平分且相等 的四边形是正方形.