复变函数_柯西积分公式
复变函数的积分及柯西公式
f z dz u iv dx idy
c c
udx vdy i vdx udy
c c
f x t iy t z t dt
2
三、复变函数积分的性质
(1) f ( z )dz
C Cdz;
( 2) kf ( z )dz k f ( z )dz; ( k为常数)
C
( 3) [ f ( z ) g( z )]dz f ( z )dz g( z )dz;
C C C
3
2.2 柯西定理
单连通区域的柯西定理：如果函数f(z)在闭单连通区域 中解析，则沿着中任何一个分段光滑的闭合围道c的积 分为：
2.1 复变函数的积分 一、积分的定义
y
C
f ( z )dz lim f ( k ) zk .
n k 1
n
A
1 2
z1 z2
k z k zk 1
C z n 1
B
o
x
1
二、复变函数积分公式
f z u x, y iv x, y z x iy , dz dx idy
复连通区域的柯西定理：如果函数f(z)是复连通区域中 的单值解析函数，则有：
4
2.3 不定积分
5
2.4 柯西公式
a,改记作z，积分变数用������表示，也可写作
推论： 1、模数原理：设f（z）在某闭区域上解析，则|f（z）|只 能在边界线 l 上取极大值。 2、刘维尔定理：如f（z）在全平面解析且有界，则f（z） 必为常数。
复变函数积分计算
复变函数积分计算方法总结1、 一般计算方法：()(,)(,)f z u x y iv x y =+沿有向曲线C 的积分：()CCCf z dz udx vdy i udy vdx =-++⎰⎰⎰若有向光滑曲线C 可以表示为参数方程()()() ()z z t x t iy t t αβ==+≤≤，则：()[()]()Cf z dz f z t z t dt βα'=⎰⎰2、 柯西积分定理：()f z 在简单闭曲线C 上和内部解析，则：()0Cf z dz =⎰由闭路变形原理可得重要积分：100, 012, 0()n C n dz i n z z π+≠⎧=⎨=-⎩⎰ 可以把各种简单闭路变为圆周进行积分。
3、 柯西积分公式：设D 为有界多（单）连域，Γ为其正向边界 条件：()f z 在D 内及其边界Γ上解析，0z 为D 内任意一点 公式：00()2()f z dz if z z z πΓ=-⎰高阶导数公式：设D 为有界多（单）连域，Γ为其正向边界 条件：()f z 在D 内及其边界Γ上解析，0z 为D 内任意一点 公式：()010()2()()!n n f z i dz f z z z n π+Γ=-⎰ 联系：柯西积分公式是高阶导数公式的特殊情况，高阶导数公式是柯西积分公式的推广。
4、 用洛朗级数展开式的-1次项系数计算积分00101()()() (r<) 2()n n n n C n f z f z c z z z z R c dz iz z π∞+=-∞=--<=-∑⎰，其中：其中C 为环域内任意围绕0z 的正向简单闭路。
当1n =-时，-1次项的系数为11()2Cc f z dz iπ-=⎰，因此1()2Cf z dz ic π-=⎰5、 用留数计算复积分 函数()f z 在点0z 的留数定义为:01Re [(),]()2Cs f z z f z dz iπ=⎰，即洛朗级数展开式中-1次项的系数。
复变函数积分计算方法
一．复变函数积分计算方法：
1． 线积分法，udy vdx i vdy udx z f c c c ++-=⎰⎰⎰
)( 2． 参数方程法，就是将积分线段分成几段，每一段尽可能简单，并且可以用一个参数式表达出来。
参考课本37页例3.1（2） 3． 原函数法，要用此方法必须保证函数f(z)在单连通区域D 内解析，求出f(z)的原函数G
（z ），则)z ()z ()(00G G dt t f z z -=⎰
4． 柯西积分公式，)z (2z -z z)(00
if dz f c π=⎰，用这种方法的关键是找出函数)z (f ，有时候要进行一些变形。
二．课本难点
课本47页例3.10（2） 他在解答过程中，有一步是令2)z ()z (i e f z +=，开始看的时候很难看明白是为什么，后来细心一想，原来他用了一个很巧妙的变换：
2
2222)()z /()])(z [()1z (111i z i e i z i e dz e z c z c z c -+=-+=+⎰⎰⎰ 这样就可以凑成柯西积分公式的形式，令2)z ()z (i e f z +=，就可以轻松使用柯西积分公式求出答案。
作业题很多都要用到这个技巧。
三．错误更正
课本55页作业6（3）的答案是i e π，课本答案e π是错误的。
四．规律总结
在做作业过程中，我找到以下两个公式：
ishz iz =sin
ithz iz =tan
特别是z=1的时候，有sini=ish1,tani=ith1
上面的公式根据定义就可以证明。
柯西分公式
柯西分公式近代数学发展的历史中，柯西(Augustin-Louis Cauchy)分公式也被认为是极为重要的一步。
柯西分公式（Cauchy’s integral formula）是一个关于复数函数的椭圆分积分的公式，也称作Cauchy-Goursat积分，其具体表达式为：$$ oint_C f(z)dz=2pi i sum_{k=1}^n res(f, z_k),$$ 其中$f$为某复数函数，$z_k$为$f$在曲线$C$上的内部点，而$res(f, z_k)$为$f$在$z_k$处的残留。
柯西分公式的发现给当时数学领域带来了巨大的革新，它定义了椭圆积分的形式，它开放了更多元的数学推断和研究，使数学得以更加自由的发展。
柯西分公式的发现在很大程度上是由柯西的积分定理所引发的，他就是发现有关曲线的积分问题的研究者。
他发现，在一个有界的曲线的闭包上，一个可连续的函数的曲线积分为零。
关于曲线积分的更近一步研究归功于柯西，他首先提出了关于曲线积分的柯西积分定理。
定理最初是用于认识椭圆积分，但很快就可以推广到各类曲线积分，从而发展出了更多的数学模型来进行研究。
此外，柯西的椭圆积分公式还有着重要的实际应用。
它可以用来推导其他不定积分的形式，用来研究微分方程，以及用来研究复变函数。
因此，柯西分公式不仅在理论数学方面有重要价值，它也在实际问题中有实质性应用。
柯西分公式的重要性在于它发展出了一种更加广泛的方式来研究复数函数。
这不仅有助于对复数进行研究，而且还可以应用于其他很多数学问题的分析和研究，使得数学发展得更加广泛，为科学的发展贡献了不可磨灭的功劳。
柯西分公式的极大发展是由于它对数学的重要贡献。
它推动了现代数学的发展，使得数学更加的广泛，为科学研究提供了坚实的基础。
因此，被称为“推动数学发展的重要公式”也不做过分之说。
复变函数-柯西积分定理
显然, F(z)
z
f ( )d
是 f (z)的一个原函数。
z0
利用原函数的概念, 可以得出复积分的牛顿— 莱布 尼兹公式 :
定理 设 f (z) 在单连通区域D 内解析, F (z) 是 f (z) 的 一个原函数, 则对 a, b D, 有
b a
f
( z )dz
F(z)
b a
F(b)
F (a)
注:
(1) 本公式只用于计算与积分路径无关的积分;
(2) 在求原函数时, 实函数的换元积分法和分步 积分法仍成立。
例 计算积分 24i z 2dz 1 i
解:
z2
在 整 个 复 平 面 上 解 析, 且
1
z3
z2
3
24i z2dz 1 z3 24i 1 (86 18i)
1 i
3 1i
§3.2 柯西积分定理
问题 : f (z) 在什么条件下, C f (z)dz 仅与积分路径的起点
和终点有关, 而与积分路径无关呢?
定理(柯西积分定理) 若 f (z) 在单连通域 D 内处处解析, 那么 函数 f (z) 沿 D 内任意一条闭曲线C 的积分为零, 即
C f (z)dz 0
推论 如果 f (z) 在单连通域 D 内处处解析, 则 C f (z)dz
f (z0 ) 2i
dz or C z z0
1 f ( )
f (z)
d
2 i C z
称之为柯西积分公式。
说明: (1) 通过柯西积分公式, 可以把函数在C 内部任 一点z 的值用它在边界C 上的值通过积分来表示;
(2) 给出了解析函数的一个积分表达式:
C
柯西积分公式及其推论
(z)在圆周C:|
|
2
及其内部解析，又 i在C内部，故
I
2 if (i)
2 i
i 9 (i)2
5
.
解析函数的平均值定理
定理3.12 如果函数 f (z) 在圆 |ζ-z0 |<R内
解析，在闭圆|ζ-z0|≤R上连续，则
1
f (z0 ) 2
2
0
f (z0 Rei )d .
它在圆即周函上数的f值(z的) 在平圆均心值z.0的值等于
证：设C表圆周| z0 | R,则
z0 Rei , 0 2
即 z0 Rei
y
z0 Rei
z0
d iRei d ,
O
x
由柯西积分公式，得 f (
1
2 i
2 0
f (z0 Re Re i
z0 )
i )
1
2 i C
iRei d
f
( )
z0
d
故
1
f (z0 ) 2
f (z) 0
zD zD
柯西积分公式可改写为：
利用此公C 式f (可z) 计d算 某2些if (周z)线(积z 分D.)
例3.10 设C为圆周| | 2, 试计算积分
I
C
(9
2 )(
d
i)
.
解
I
C
(9
2 )(
d
i)
9 2 d ， C (i)
令f
(z)
z 9 z2
, 则f
f
(
( )
z)3
d
(z D)
这些公式对不对？
定理3 .13(高阶导数公式)
设区域D的边界是周线(或复周线)
复变函数柯西积分公式
复变函数柯西积分公式
柯西积分，即Cauchy Integral Formula，包括复变函数的一种重要的积分公式，是复变函数理论的基础。
柯西积分的出现极大地拓展了复变函数数学研究的视野，把它带入一个完整的复变函数空间，使科学家们能够有效地描述物理和复杂体系的运作。
柯西积分可以表示为：在复平面上的无界区域Ω中，若C为边界，a则是内部点，f（z）为一个连续的复变函数，则：
$$\oint_{C} f\left(z\right)dz=2 \pi i
\sum\left(f\left(a_{k}\right)\right)$$
其中，a_{k}为区域Ω内的根，且取出其中局部极小值。
因此，柯西积分也可以表述为，当根的改变对应的复变函数的值的积分之和。
此外，当区域Ω趋近于无界时，柯西积分也可以表示为简单的复变函数积分表达式。
柯西积分是复变函数研究中的基础，它被广泛用于使函数能够有效地描述物理和复杂体系的运作，以及用于解决合理的分析表示中的无限级数的和等问题。
由于柯西积分的出现，复变函数数学研究更加深入并常常被用于数学研究以及工程中，如信号处理、电磁学、电动学和更多其他领域。
复变函数和积分变换第二版本-3.3 柯西积分公式-文档资料
推出一些理论结果，从而进一步认识解析函数。 5
§3.3 柯西积分公式
cos z 第 例 计算 I d z, 其中 C 为： C z 三 章 : | z 2 | 1 . (1) C :|z | 1 ; (2) C 2 1
7
§3.3 柯西积分公式 第 三 章
C P67 例3.10 部分
3 复 变 解 I | z| 2 函 数 z π 的 2πi . 2 9 z zi 积 5 分 试考虑积分路径为 | z| 4 的情况。
z ( ) 2 9 z dz . z (i)
0
2
3
i
8
§3.3 柯西积分公式
换句话说，解析函数可用其解析区域边界上的值以一种
特定的积分形式表达出来。 4
§3.3 柯西积分公式 第 一、柯西积分公式 z 三 注意 柯西积分公式中的区域 D 可以 D 章 C2 P67 是多连域。比如对于二连域 D , C1 推论 z0 复 2 C C 其边界为 C 变 1 2，则 函 1 f( z ) 数 f( z ) d z 0 C 2 π i z z 0 的 积 1 f ( z ) 1 f ( z ) d z d z , ( z D ) . 分 0 C C 2 π i1 z z 2 π i 2 z z 0 0 应用
§3.3 柯西积分公式 第 例 三 章 解 复 变 函 数 的 积 分 计算 I
C
2 z1 d z, 其中 C 如图所示。 2 z z
C
C1 0 1 C2 2
2 z1 2z 1 , 令 f (z) 2 , 则 f (z) z(z1 ) z z
复变函数柯西定理
复变函数柯西定理
柯西定理(Cauchy's Theorem)是复变函数论里极为重要的定理，其联系的柯西积分(Cauchy's Integral)应用于复平面单连通和复连通区域分别导致复变函数在某点附近的泰勒展开(Taylor Expansion)和洛朗展开(Laurent Expansion)。
柯西定理说：解析函数在复平面解析区域里的积分是路径独立的。
另一种表达是解析函数在其解析区域里的环路积分为零。
(I) 柯西定理的证明一般是结合联系面积分与线积分的格林定理(Green's Theorem):
[注：格林定理可以直接证明，亦可由联系面-线积分的旋度(Curl)公式给出。
]
以及解析函数的柯西-黎曼方程(Cauchy-Riemann Equation):
具体而言：
现在：1. 利用(1),对于实部和虚部分别取(P,Q)=(u,-v)和(P,Q)=(v,u); 2. 利用（2），环路积分为零得证。
(II) 另一个角度，可证明如下：
对于解析函数，由柯西-黎曼方程可知：(3)中的实部：udx-vdy 和虚部：vdx+udy 分别是全微分形式，可写作某实函数的全微分:
而实函数全微分的环路积分为零。
复变函数-柯西积分定理
z
1
i
dz
C
1 z
dz
1 2
C
zБайду номын сангаас
1
i
dz
1 2
C
z
1
dz i
2i 0 0 2i
(2)
I
C
1 z
dz
1 2
C
z
1
i
dz
1 2
C
z
1
i
dz
0 0 2 i
2
i
| z | 1 2
| z i | 1 2
例 不经计算, 验证下列积分值为零, 其中, C 为| z | 1。
1
1
(1) C z2 5z 6 dz (2) C (z2 2)( z3 3) dz
i(12z
2 0
2)
2(6z
2 0
1)i
Morera 定理 : 若函数 f (z) 在单连通域 D 内连续，且对 D 内任意封闭
曲线 C 有 ÑC f (z)dz 0，则 f (z) 在区域 D 内解析。
Liouville 定理 : 若 f (z) 在复平面上解析且有界，则 f (z) 恒为常数。
当 f (z) 有奇点时，不能直接应用该定理。
例 计算
1 C z(z2 1) dz
(1) C 为| z | 1 ; (2) C 为| z i | 1
2
2
解
:
由于
1 z(z2
1)
1 z
1 2
z
1
i
1 2
z
1
i
所以
| z | 1 2
| z i | 1 2
复变函数第3节：柯西积分公式及高阶导数公式
第3节 柯西积分公式
柯西积分公式 高阶导数公式
一、柯西积分公式
设B为单连通域, f(z)在B内解析, z0∈B, 设C为B内
绕z0的任一正向简单闭曲线, 则
f (z) z z0
在z0不解析.
z0
在C内部作CR: |zz0|=R (取其正向)
C
f (z) d z
f
(z)
d
R
z
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f (n)(z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一 确定。
说明:
3)
高阶导数公式的应用: 可求积分
C
f (z) (z z0 )n1 d z
要注意:a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,
b) z0在C的内部.
高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导,
若
C2
f((zz)2
1)2
dz.
n
f (z)dz
f (z)dz,
C
k 1 Ck
C
C1
C2 C3
• •
C1 i
o
C2 i
C
x
ez
C1
(
z
2
ez
1)2
dz
C1
( (
z z
i i
)2 )2
dz
y
C1 i
C
• •
2i (2 1)!
(
z
ez i
)2
(1 i)ei .
2
o
C2 i
z1 z1
sin z
dz
2i 4
2 i.
z1 2
复变函数第7讲柯西积分公式
K z − z0
K | z − z0 |
<
ε R
∫
d
s
=
2π
ε
K
这表明不等式右端积分的模可以任意小, 只要 R足够小就行了, 根据闭路变形原理, 该积分 的值与R无关, 所以只有在对所有的R积分为
值为零才有可能, 因此, (3.17)式成立.
7
书本的描述(第46页，定理3.6)
定理3.6(柯西积分公式) 设D是由有限条简单 闭曲线C为边界的有界区域, f(z)在D内处处解 析,,则对D内任意一点z0有
i
O −i
x
C2
24
y
C C1
i
O −i
x
C2
根据复合闭路定理,
∫ ∫ ∫ ez d z =
ez d z +
ez d z
C (z2 +1)2
C1 (z 2 +1)2
C2 (z2 +1)2
25
由求导公式有
ez
∫ ∫ e z d z = ( z + i )2 d z =
C1 (z 2 + 1)2
C1 (z − i)2
1 f (z)
∫ f (z0 ) = 2 π i C z − z0 d z.
(3.21)
8
1 f (z)
∫ f
(z0 )
=
2πi
C
z
−
z 0
d
z.
(3.21)
(3.21)式称为柯西积分公式.
特别,如果C是圆周z=z0+Reiθ, 则(3.21)式成为
∫ 1
f (z0 ) = 2 π
2π
0 f (z0 + Reiθ )dθ .
复变函数_柯西积分公式
复变函数_柯西积分公式
首先，我们来给出柯西积分公式的数学表达式。
设函数f(z)在区域D 上解析，z0是D的任意一点，C是区域D中的一条简单闭曲线，它将点
z0围成。
那么有以下柯西积分公式：
∮C f(z)dz = 2πiRes(f(z), z0)
其中，Res(f(z), z0)表示函数f(z)在点z0的留数（residue）。
柯西积分公式可以理解为解析函数的全纯性和局部性的结合。
通过柯西积分公式，我们可以在解析函数的全纯区域内，通过曲线上的积分计算导数的全纯积分值。
柯西积分公式具有一些重要的推论和应用。
其中之一是柯西积分公式的重要推论，柯西定理。
柯西定理是柯西积分公式对于区域内解析函数的整体性的推广。
具体地说，柯西定理是指在区域D上的任意闭曲线上的积分为0，即∮C f(z)dz = 0，其中C是D中的一条闭曲线，f(z)是D上的解析函数。
柯西积分公式也有一些重要的应用。
例如，通过柯西积分公式可以证明解析函数具有无穷阶导数的性质。
f^(n)(z0) = (n-1)! * ∮C [f(z)/(z-z0)^(n)]dz
柯西积分公式还有一些其他的推论和应用，在现代复变函数理论中扮演着重要的角色。
例如，柯西积分公式为计算复变函数的积分提供了一种有效的方法，同时也为解析函数的全纯性质的研究提供了基础。
此外，柯西积分公式还与调和函数、傅里叶变换和复变函数的辐角原理等有关。
第5次(2003) 复变函数的积分 柯西积分公式
3 8
i
解 : 2、 C是中心在点 1, 当 z 半径R 2的圆周时 ,
函数 1 ( z 1) ( z 1)
3 3
y
C
在C所围
1o
1
x
区域含有一个奇点 1 z
19
利用高阶导数公式
1
( z 1)
C
1
3
( z 1)
3
dz
( z 1)
C
( z 1)
u y
3 y 3x ,
2 2
由C R方程得 :
v y
u x
2
v( x, y )
y
v
dy ( 6 xy) dy 3 xy g( x )
25
从而
v
x ( x ) 3 x 2 , 得到g
3 y g ( x )
2
16
( i ) f ( z )在C 所围成的单连通域内解析,由基本定理 C f ( z )dz 0 ( ii ) f ( z )在 C 所围成的区域内有奇点，则挖洞后用 2、C 为闭路径 复合闭路定理和柯西积分公式(一次因子） ( iii ) f ( z )在 C 所围成的区域内有奇点，则挖洞后用 复合闭路定理和高阶求导公式(二次及二次以上因子）
3
在C内有两
C1
C2
C
个奇点 : z 0, z 1。
o 1
2
x
作封闭正向曲线 1 , 仅含z 0; C 作封闭正向曲线 2 , 仅含z 1. C
C1与C 2互不包含, 互不相交, 这样以C , C1 , C 2为 边界构成了一个复连通 区域。
复变函数(3.4.1)--柯西积分公式与高阶导数公式
dz
,
f
( z )
2 2p
1 i
C(zf
(z ) z)3
Hale Waihona Puke dz,LLL
f
(n)(z)
n! 2p i
C
(z
f (z ) z)n+1
dz
.
(1) 解析函数是否存在各阶导数 ? (2) 导数运算可否在积分号下进 行?
数学学院
定理 3.11 （高阶导数公式） 解析函数 f (z) 的导 数仍为解析函数，它的 n 阶导数可表示为
go
x
F
(
z)
C
3z
3 + 7z 2 (z z)2
+
1
dz
,求
F ( 1+
i)
.
8
数学学院
例 7 求积分 例 8 求积分
z
1
e
z
cos z2
z
dz
.
z
2
z3 + 1 (z + 1)4
dz.
例 9 计算下列积分 , 其中 C 是正向圆z r > 1 :
周
( ) � � (1)
2
4 1
dz
其中
C:
（z1+ 1）
1 2
;
（
2
）z 1
1 2
.
（ 3 ）z 2
数学学院
4.2 高阶导数与解析函数的无限可微性
如
果各阶导数
f (z)
存在
,
1 2p i
并
且Czf导(z z)数dz运.
柯西积分公式含义
柯西积分公式含义
柯西积分公式（Cauchy's integral formula）是复变函数理论中的重要结果，它描述了对于解析函数沿着闭合简单曲线围成的区域内的积分。
柯西积分公式的含义可以通过以下几个方面来解释：
1.解析函数：柯西积分公式适用于解析函数。
解析函数是指
在某个区域内可导的复变函数。
柯西积分公式说明了解析函数在闭合曲线内的积分与其在闭合曲线内某点附近的值有关。
2.区域内积分：柯西积分公式表达了解析函数在一个区域内
的积分与该区域内函数的值相关。
具体而言，如果f(z)是一个解析函数，C是一个简单的闭合曲线，并且C完全包含在f(z)的解析区域内，则对于任意位于C内部的点z₀，柯西积分公式可以表示为：f(z₀) = (1/2πi) ∮C f(z)/(z-z₀) dz 这个公式表明，解析函数在C内部的任意一点的值等于沿C的积分，除以复平面上以z₀为中心的圆周的长度2πi。
3.积分路径和区域：柯西积分公式指明，解析函数在一个区
域内的积分与积分路径无关（前提是曲线C完全包含在解析区域内）。
这意味着无论如何选择路径，只要路径的端点相同，积分结果都是相同的。
这是解析函数的一个重要性质，有助于计算复平面上的积分。
4.洛朗级数：柯西积分公式还揭示了解析函数的洛朗级数形
式。
根据柯西积分公式，可以将解析函数f(z)表示为Laurent级数的形式，这是一个幂级数和负幂级数的和，从而使得对解析函数的积分计算更加可行。
通过柯西积分公式，我们可以将复变函数的积分问题转化为函数在某个点的取值问题，从而简化了复杂积分的计算。
它在复分析、物理学、工程学和其他领域中被广泛应用。
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lim
z 0
f
'( z0
z) z
f
'(z0 )
2!
f (z)
2 i
C (z z0 )3 dz.
依次类推，用数学归纳法可得
f
(n)(z0 )
n!
2 i
f (z) C (z z0 )n1 dz.
18
例6 计算I
C
1 z3(z
1)
dz, 其中C为
|
16
f (z)在C上解析， f (z)在C上连续,
则M ,使得
f
(z)
M,d
min zC
z
z0
11
z z0
d, z z0
. d
取 z 1 d ,则有 2
d
1
2
z z0 z
I z
z z0
ML
d 3
z , 2 z z0 z
( L — C的 长 度 ）
d
.
显 然 ，lim I 0,从 而 有 z 0
f '(z0 )
lim
z 0
f (z0
z) z
f (z0 )
1
2
i
f (z) C (z z0 )2 dz.
（*）
17
再利用()式及推导()的方法可证n 2的情形.
f
''(z0 )
f (z) dz 将接近于 f (z0 ) dz. ( 减小)
C z z0
C z z0
f (z0 ) dz
C z z0
f (z0 )
C
1 dz
z z0
2 if (z0 ).
4
二、柯西积分公式
定理 设f (z)在简单(或复合)闭曲线C上及所围 区域D内解析,则对任意z0 D,皆有
dz C z z0 z
15
f (z0 z)
z
f
(z0 )
1
2 iz
f (z) dz C z z0 z
f (z)
C
z
z0
dz
1
f (z)
dz
2 i C (z z0 z)( z z0 )
令为I
1
f (z)
1
O
x
解： ez在复平面上处处解析
i
(1) I 0 (?).
C2
2
i
(2) I 2 i e 2 2 i(i) 2 .
7
例2 计算I
sin z C z2 1 dz,
y
其中C为 | z | r 1.
C C1
i
解：被积函数有奇点 i 和 -i.
O i x
3.4 柯西积分公式
一、 问 题 的 提 出
二、 柯 西 积 分 公 式
三、 典 型 例 题
四、 小
结
1
一、问题的提出
回忆 上节课的两个结果
y
2z 1
2z 1
C1
z 1 dz 2 i
z C1
z dz 2 i
C2 z 1
o
C2
1
x
C1 , C2分别是以0，1为圆心的两个相互外离的正向圆周. 相同点：
f (z)
z 0.
C z z0
C
f (z) z z0
dz
f (z0 ) 2 i
10
柯西积分公式
定理 设f (z)在简单(或复合)闭曲线C上 及所围区域D内解析,则对任意z0 D,皆有
f
(z0 )
1
2
i
f (z) dz.
C z z0
11
4.3 高阶导数公式
z z0 R全在 C 的内部,
则 f (z) dz f (z) dz
C z z0
K z z0
f (z0 ) dz f (z) f (z0 ) dz
K z z0
K z z0
2 if (z0 )
K
f (z) f (z0 ) dz z z0
它从理论上揭示了解析函数的又一重要特征.
14
证明 利用数学归纳法和导数定义来证明定理6.
先证n 1的情形.
z0 D,
f
'(z0
)
lim
z 0
f (z0
z) z
f (z0 ) .
由柯西积分公式
f
(z0 )
1
2
i
f (z) dz
C z z0
1
f (z)
f (z0 z) 2 i
sin z
sin z
C2
I
C1 z2 1 dz
C2
z2
dz 1
f (z)
(sin z) /(z i)
dz
C1
zi
(sin z) /(z i)
dz
C2
zi
2 i sini 2 i sin(i) 2 sini.
ii
ii
8
例3 求积分I 1 sin z dz.
z f (z)
2 i
C (z z0 )2 dz 2 i
C (z z0 z)( z z0 )2 dz
1
z f (z)
I
2
C (z z0 z)(z z0 )2 dz
1
z f (z)
2
C z z0 z z z0 2 ds.
z
|
r y
1.
c 解：C内有两个奇点0, -1.
1
1
c2
I
z 3 dz C1 z 1
C2
z1 z3
dz
c1 -1
O
x
2
i
1 z3
z 1
2 i
2!
( 1 )'' 0. z 1 z0
思考题：
I
|z|3
ez z2(z
5)
dz
?
19
例9 设f (z)
2 i z 4 z
解 I 1
sin z dz sin z 0.
2 i z 4 z
z0
例4 计算I
C
cos z dz, 其中C为 z(z 2)
(1) | z | 1; (2) | z | 3.
提示：应用柯西积分公式计算.
9
四、小 结
如果f (z)在简单(或复合)闭曲线C上及所围区域 D内解析, 则
C1
C
z0 R
K
D
C2
K
f (z) f (z0 ) dz z z0
f (z) f (z0 ) ds
K z z0
R
ds 2π . K [证毕]
6
三、典型例题
例1 计算I
C
z
ez
i
dz , 其中C为
y
2
C1
(1) | z | 1; (2) | z | 2.
|t | 3
2t
3 7t 2 (t z)2
1
d
t
,
其
中|
z
|
3.求
(1) f '(3 i); (2) f '(1 i).
分析：(1)| z | 3 f (z) 0 f '(z) 0, f '(3 i) 0;
(2) 因 为| z | 3, 根 据 高 阶 导 数 公 式 ， 有
z0
z0
3. 设f (z)在D内解析,C是D内任意一条
正向简单闭曲线,它的内部完全含于D, z0为 C内 任 意 一 点 ， 则
f
(n) (z0 )
n!
2 i
f (z)
C
n1
(z z0 )
dz
(n 1,2,).
21
知识回顾 Knowledge Review
(1) 均是沿围线的积分，且围线内只有一个奇点； (2) 被积函数均为分式；
(3) 积分值均跟 2 i 有关 。
2
积分值等于被积函数中的分子在使分母为零的点处
的函数值与2 i的乘积。
设D 单连通, f (z)在D内 解析, z0 D,C是D内围绕 z0的一条闭曲线,
C z0
D
则
f (z) z z0
在z0不解析.
f (z) 一般 dz 0.
C z z0
C
f (z) z z0
dz
f (z0 ) 2 i
3
C：| z z0 |
由 f (z)的连续性,
函数 f (z)在 C 上 的值将随
C z0
D
着 的缩小而逐渐接近于
它在圆心 z0 处的值,
(z
z2 2)3
dz
2 i
[(z2 )'']z2 2!
12
提问：当f (z)满足一定条件时，会有
f (z)
|zz0| R (z z0 )n1
dz 2 i
f (n) (z0 ) n!
定理6 设f (z)在简单(或复合)闭曲线C上及 所围区域D内解析, 则他在D内具有任意阶导 数，且对任意z0 D,都有