第2章 力矩和力偶理论
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力系的简化和平衡-2.2力矩和力偶
定理叙述：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等
于各分力对同一点力矩的代数和
n
M o FR
M o Fi
i 1
定理证明：
FR
F1
r
A
O
Fn
F2 Fi
若 n 个力汇交于A点，则其合力为：
n
FR F1 F2 Fn Fi
i 1
r 用 同时矢积上式两端
r FR
r F1
zFx
xFz
j
xFy yFx k
由此可得：
M x
F
yFz zFy
M y
F
zFx xFz
M z F xFy yFx
Fz Fx Fy
18
力矩的单位： N m 或 kN m
B
Mo(F)
r
O
h
F
A
③力对点之矩矢的性质： a) 当力沿其作用线移动时，
M O F 保持不变。
12
①力对点之矩矢的概念 力对刚体产生的绕点转动效应取决于三要素： a.强度：力与力偶臂乘积 b.方位：转动轴的方位 c.方向：转动方向
13
力矩矢量的方向
MO
r
F
按右手定则
MO r F
14
②力对点之矩矢的矢量积和解析表达式
B
Mo(F)
r
O
h
F
A
力矢： F Fx , Fy , Fz
求： 光滑螺柱AB所受水平力。
解：由力偶只能由力偶平衡的 性质，其受力图为：
M 0
FAl M1 M 2 M 3 0
解得
FA
FB
M1
M2 l
M3
200N
人教版高中物理选修(2-2)《力矩和力偶》ppt课件1
看图 §2-2
力矩、力偶
§2-2 力矩、力偶
第二节 念、力偶矩计算公式
(力 §2-21、力对点之矩 力矩、力偶
扳手拧螺母，使得扳手与螺母绕定点O转动，称为
矩)
力F对O点之矩，简称力矩。
矩心 ：O
力臂：d
2、力矩计算公式（重点）
§2-2 力矩、力偶
O
§2-2 力矩、力偶
3、力矩的性质 （1）当力的大小等于零或力的作用线通过矩心时，力 矩为零 （2）当力沿其作用线移动时，力矩不变。 （3）力矩的大小不仅与力的大小有关，同时与矩心的 位置有关。
§2-2 力矩、力偶
4、讨论：如图所示，怎样利用力矩的原理来 提高转动效应？
1、增加力的大小
O
2、增加力臂的长度
M。（F）=±Fd
M。（F）—力矩，力F对点0之矩。
符号：“＋ ”—— 使物体逆时针转动时为正； “－” —— 使物体顺时针转动时为负。
F—力
d—力臂，力F作用线与矩心的垂直距离。
单位：N.m(牛顿.米)
§2-2 力矩、力偶
例：如图，已知F＝100N，d=10cm,求力F对O 点之矩。
M O ( F ) Fd 100 0.1 10 N .m
§2-2 力矩、力偶
第二节 力矩、力偶
力矩概念、计算公式、性质 力偶概念、力偶矩计算公式
§2-2 力矩、力偶
二、力偶
力偶实例
§2-2 力矩、力偶
1、力偶
力偶作用面——力偶所在平面。
A
F
d
B
F
力偶——两个大小相等、方 向相反、作用线平行的一对 平行力。(Fˊ、F) 力偶臂——力偶中两力作用线 之间的垂直距离。(d)
力矩、力偶
§2-2 力矩、力偶
第二节 念、力偶矩计算公式
(力 §2-21、力对点之矩 力矩、力偶
扳手拧螺母，使得扳手与螺母绕定点O转动，称为
矩)
力F对O点之矩，简称力矩。
矩心 ：O
力臂：d
2、力矩计算公式（重点）
§2-2 力矩、力偶
O
§2-2 力矩、力偶
3、力矩的性质 （1）当力的大小等于零或力的作用线通过矩心时，力 矩为零 （2）当力沿其作用线移动时，力矩不变。 （3）力矩的大小不仅与力的大小有关，同时与矩心的 位置有关。
§2-2 力矩、力偶
4、讨论：如图所示，怎样利用力矩的原理来 提高转动效应？
1、增加力的大小
O
2、增加力臂的长度
M。（F）=±Fd
M。（F）—力矩，力F对点0之矩。
符号：“＋ ”—— 使物体逆时针转动时为正； “－” —— 使物体顺时针转动时为负。
F—力
d—力臂，力F作用线与矩心的垂直距离。
单位：N.m(牛顿.米)
§2-2 力矩、力偶
例：如图，已知F＝100N，d=10cm,求力F对O 点之矩。
M O ( F ) Fd 100 0.1 10 N .m
§2-2 力矩、力偶
第二节 力矩、力偶
力矩概念、计算公式、性质 力偶概念、力偶矩计算公式
§2-2 力矩、力偶
二、力偶
力偶实例
§2-2 力矩、力偶
1、力偶
力偶作用面——力偶所在平面。
A
F
d
B
F
力偶——两个大小相等、方 向相反、作用线平行的一对 平行力。(Fˊ、F) 力偶臂——力偶中两力作用线 之间的垂直距离。(d)
第二章 力 力矩 力偶
G
1.画出AC、CG、CD、DE、结点D、C的受力图
本章重点：
熟练画受力图
C A
1.画出AC、BC的受力图 2.BC为二力体，AC不是二力体
B
本章重点：
熟练画受力图
小结
熟记4类支座 熟记3类结点 作用力与反作用力 二力体与二力杆 绳索、皮带 光滑接触面 已知荷载不能漏
本章重点：
本章重点：
熟练画受力图
第二章 力 力矩 力偶
§2.1 力的性质
1、力的三要素：大小、方向、作用点 力为矢量，其表示方法：书上用 黑体 字表示， 手写可用
F
本章重点：
熟练画受力图
§2.1 力的性质
对于刚体力的三要素：大小、方向、作用线
刚体：力具有可传性 （沿力的作用线） 变形体：力不具有可传性 同一物体在不同的场合有时看做刚体，有时为变形体
2）所谓代数和是指带正负号的。
3）该定理重在会应用。
2.2力矩
4.力矩的平衡 所有力对同一点矩的代数和等于0
M
A
0
已知宽度为4m，混凝土密度为2600kg/m3,砖密度为1900kg/m3,在雨 篷边缘有一施工荷载1kN
3000
350 70
A
240
1000
2.3力偶
1.力偶的定义：
大小相等、方向相反、作用线不同、 作用在同一的物体上 一对平行力
D A E
4.当DE为一绳索和为一杆时有啥区别
B
本章重点：
熟练画受力图
理想光滑接触面约束
本章重点：
熟练画受力图
C
B
D
1.画出AB、BC、BD、DE的受力图
G
第2章力、力矩、力偶
同样，在图 中线段aˊbˊ加上正号或负号是力F在y 轴上的 投影，用Fy 表示。 通常采用力F与坐标轴x所夹的锐角来计算投影，其正号或 负号可根据上述规定直观判断得出。由图可见，投影 Fy 和 可用下列式子计算 F
x
Fx F cos a Fy F sin a
•式中α 为力F与x轴所夹的锐角。
2. 加减平衡公理
在作用于某物体的力系中，加入或减去一个平衡力系， 并不改变原力系对物体的作用效果。这是因为一个平衡力系 作用在物体上，对物体的运动状态是没有影响的，所以在原 来作用于物体的力系中加入或减去一个平衡力系，物体的运 动状态是不会改变的，即新力系与原力系对物体的作用效果 相同。
推论(力的可传性原理)：作用在物体上的力可沿其作用 线移到物体的任一点，而不改变该力对物体的运动效 果。
对一个物体的运动趋势起制约作用的装置，我们称之为该物 体的约束。例如上面所提到的柱子是大梁的约束，基础是柱子 的约束，桥墩是桥梁的约束。约束给被约束物体的力，称为约 束力。 如上例中绳给球的作用力，柱子给梁的力。约束力作用点， 在约束与被约束物体的接触点上。
约束力方向：与约束所阻碍的物体运动方向相反。如上 图中约束力T 的方向与球向下运动的方向相反。 约束力大小：可由平衡条件求得。 物体受到的力一般可以分为两类。一类是使物体运动或使物 体有运动趋势的力，称为主动力，例如重力、水压力、土压力 等。主动力在工程上称为荷载。主动力往往是给定的或可测定 的。另一类则是约束力。约束力是阻止物体脱离约束的力，是 因其阻碍物体的运动而产生对物体的作用力，这种作用力因主 动力的存在而被动产生，并随着主动力的变化而改变，又称为 被动力或约束反力，简称反力。一般情况下，约束力都是未知 的。
图1-7
2力、力矩、力偶-2
力臂
顺时针转向为负。
矩心 h
力矩的单位 N.m, kN.m
O
F
注意：同一个力对不同点之矩是不同的， 计算力矩时一定要指明矩心。
力F 对A点之矩 ,为 力F 对B点之矩 ,为 力F 对C点之矩 ,为
MA(F )=FhA MB(F )= –FhB MC(F )=0
A hA C
F
hB B
力的作用线通过 矩心时，力对该点 之矩等于零。
W3 2gV3 19009.8 (240103 3 4) 53625 N
例2-7 带雨篷的门顶过梁长4m，横向尺寸如图。试验算 雨篷会不会绕A点倾覆
3000 350
ρ1=2600kg/m3
W3
F=1kN
W2
70
A
W1
ρ2=1900kg/m3
240 1000
计算倾覆力矩
W3
2.力矩的矢量表示 用右手螺旋法则将力矩表示为矢量 拇指表示力矩矢量的方向
MO (F)
n MO(F )
O
平面内，力对O点之矩实际上是力使物体绕着 过O点垂直于该平面的轴转动的物理量。
力对轴的矩
n F
Oh
n MO(F )
O
O
F
例2-7 带雨篷的门顶过梁长4m，横向尺寸如图。试验算 雨篷会不会绕A点倾覆
平衡？分别是多少？
1.1m
M A(W1) W1 1.1 82.5kN.m M A(W2) W2 2 240kN.m M A(F) F 1.6 144kN.m
F
W1
W2
1.6m
A
1m
3m
作业
P.27: 2-9
= –4 kN.m
第2章 平面力系-平面力对点之矩及平面力偶
即
MO(F) F d
O点为力矩的中心，称为矩心； d 为O点到力F 作用线的垂直
距离，称为力臂。 力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动时为正，反
之为负。
应注意： 在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋 转方向（力矩的正负），因此它是一个代数量。
力矩的单位： 国际制 N·m，kN·m 工程制 公斤力米（kgf·m）
偶矩的代数和等于零，即 ∑Mi=0
利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。
例题
两力偶作用在板上，尺寸如图，已知 F1 = F2=1.5 kN , F3
=F4 = 1 kN, 求作用在板上的合力偶矩。
F 1 180mm
解：由式
F2
M = M1 + M2
F4
则
M =-F1 ·0.18 –F3 ·0.08
FBA
B
A
FAB
M1
FO
O
M2 D
FD
M1 - FABrcosq 0 - M 2 2FBArcosq 0
因为 FAB FBA
所以求得 M 2 2M1
思考题1 一力偶(F1,F1′)作用在Oxy平面内,另一力偶(F2 ，F2′)作用在
Oyz平面内,它们的力偶矩大小相等(如图)。试问此两力偶是否 等效，为什么？
F1
d1
F2 d2
F1′
=
F2′
M1 F1 d1 , M 2 -F2 d2
F22 d F11
F11′
=
F22′
d
FR
FR′
M1 F11 d , M 2 -F22 d
FR F11 - F22 , FR F11 - F22
力偶
第2章 力矩与力偶2.1力对点的矩 从实践中知道，力对物体的作用效果除了能使物体移动外，还能使物体转动，力矩就是度量力使物体转动效果的物理量。
力使物体产生转动效应与哪些因素有关呢?现以扳手拧螺帽为例，如图2.1所示。
手加在扳手上的力F ，使扳手带动螺帽绕中心O 转动。
力F越大，转动越快；力的作用线离转动中心越远，转动也越快；如果力的作用线与力的作用点到转动中心O 点的连线不垂直，则转动的效果就差；当力的作用线通过转动中心O 时，无论力F 多大也不能扳动螺帽，只有当力的作用线垂直于转动中心与力的作用点的连线时，转动效果最好。
另外，当力的大小和作用线不变而指向相反时，将使物体向相反的方向转动。
在建筑工地上使用撬杠抬起重物，使用滑轮组起吊重物等等也是实际的例子。
通过大量的实践总结出以下的规律：力使物体绕某点转动的效果，与力的大小成正比，与转动中心到力的作用线的垂直距离d 也成正比。
这个垂直距离称为力臂，转动中心称为力矩中心(简称矩心)。
力的大小与力臂的乘积称为力F 对点O 之矩(简称力矩)，记作()o m F 。
计算公式可写为()o m F F d =±⋅ (2.1)式中的正负号表示力矩的转向。
在平面内规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩为正；力使物体作顺时针方向转动时，力矩为负。
因此，力矩是个代数量。
力矩的单位是N m ⋅或kN m ⋅。
由力矩的定义可以得到如下力矩的性质：(1)力F 对点O 的矩，不仅决定于力的大小，同时与矩心的位置有关。
矩心的位置不同，力矩随之不同；(2)当力的大小为零或力臂为零时，则力矩为零；(3)力沿其作用线移动时，因为力的大小、方向和力臂均没有改变，所以，力矩不变。
(4)相互平衡的两个力对同一点的矩的代数和等于零。
例2.1 分别计算图2.2中1F 、2F 对O 点的力矩。
解 从图2–2中可知力1F 和2F 对O 点的力臂是h 和2l 。
故m o(F)=±F 11l = F 11l sin30=49×0.1×0.5=2.45N.mm o(F)=±F 22l =－F 22l =－16.3×0.15=2.45N.m必须注意：一般情况下力臂并不等于矩心与力的作用点的距离，如1F 的力臂是h ,不是1l 。
第2章 力 力矩 力偶
分析：
(1) 受力状态 雨篷板自重：G1 雨篷梁自重：G2 梁上墙自重：G3 雨篷板上的检修荷载： P=1kN / m
例2：已知钢筋混凝土雨蓬，梁上的墙高3m，雨篷板
宽4m，判断结构的安全性。
G3 350 G2 A 240 P 70 G1 1000 解： G1=25〓0.07〓1〓4=7kN L1=0.5m G2=25〓0.24〓0.35〓4=8.4kN L2=0.12m G3=19〓0.24〓3〓4=54.7kN L3=0.12m P=1〓4=4kN LP=1m
公理 人类经过长期实践和经验而得到的结论，它
被反复的实践所验证，是无须证明而为人们 所公认的结论。 公理1 作用力和反作用力定律 公理2 力的平行四边形法则 公理3 二力平衡公理 公理4 加减平衡力系原理
• 公理1 作用力与反作用力公理
作用力和反作用力总是同时存在，两力的大小 相等，方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个相 互作用的物体上。
m O（F）=r 〓 F
m O（F）=〒2⊿OAB面积
• 2.2.2 合力矩定律
平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等 于所有各分力对同一点的矩的代数和。
M O ( R ) M O ( Fi )
i 1
n
FR F1 F2 ...... Fn
r FR r F1 r F2 ...... r Fn
• 例题 1：已知P1=P2=P3=2kN，a=4m,求∑mA(Pi)。
P3
300
A a/2 C a/2 B
P2 P1
P1y
P3 300 P1x
解： M A ( P 1 ) 0kN m
M A ( P2 ) P2 a 2 4 8kN m
2.2力矩和力偶
例 2 求图中荷载对A、B两点之矩
解： 图（a）：
(a)
(b) MA = - 8×2 = -16 kN ·m
MB = 8×2 = 16 kN ·m
图（b）： MA = - 4×2×1 = -8 kN ·m MB = 4×2×1 = 8 kN ·m
第二节 力偶
一、力偶 力偶矩 在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、方向相反， 但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如 （图a）司机转动驾 驶汽车时两手作用在方 向盘上的力； （图b）工人用丝锥 攻螺纹时两手加在扳手 上的力； （图c）以及用两个 手指拧动水龙头所加的 力等等。
F F
A
刚 体
B
附加力偶
个力分解为一个力和一个力偶；反 过来，也可以将同一平面内的一个 力和一个力偶合成为一个力。
力的平移定理表明， 可以将一
应该注意，力的平移定理只适 用于刚体，而不适用于变形体，并 且只能在同一刚体上三角形OAB的面积的两 倍表示，即 Mo(F)＝±2Δ ABC 在国际单位制中，力矩的单位是牛顿•米（N•m ） 或千牛顿•米（kN•m）。 由上述分析可得力矩的性质： （1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的 位置有关。力矩随矩心的位置变化而变化。 （2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线 移动而改变，再次说明力是滑移矢量。 （3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等 于零。
1．力偶：在力学中把这样一对等值、反向而不共线的平行力称为力偶，用符号 ( F ,F′)表示。 两个力作用线之间的垂直距离称为力偶臂， 两个力作用线所决定的平面称为力偶的作用面。
2．力偶矩：
作为力偶对物体转动效应的量度，称为力偶矩， 用 m 或m( F ,F′) 表示。在平面问题中，将力偶中 的一个力的大小和力偶臂的乘积冠以正负号，如图 所示，
2-第二章 力矩与力偶理论
连解方程组得
2)解析法：(适应于多力汇交平衡)
(1)简化
根据合力投影规律：
(2)平衡：
若力系为平面汇交力系，则：
例2： 如图2-4所示机构，不计轮重及轮的尺寸、大小，求AB、BC杆的内力。
解：不计轮的尺寸，则可看成B点的受力为汇交力，AB和BC杆件为二力杆，以轮B为研究对象，则B受力如图2-4c。
例3：两轮A和B，各重为 ， ，杆AB为L，连接两轮，可自由地在光滑面滚动，不计杆重，试求当物体系统处于平衡时，杆AB与水平线的夹角。
(2)力沿其作用线运动，力对轴之矩不变。
二、力对轴的矩与力对点的矩之间的关系定理：
定理：力对点的矩矢在通过该点的轴上投影，等于力对轴的矩，即：
证明：从2.2中得力FΒιβλιοθήκη Z轴的矩：∴同理有
结论：
分析：求力对轴之矩有两种方法：
(1)根据定义：将力F投影在与轴垂直的平面→ ，再求力 对汇交点O之矩，
(2)如果投影很困难，则：首先求出力F对轴上任意一点之矩 再对该轴进行投影，即 。
结论：空间力偶可以在平行平面内任意移动而不影响力偶对刚的效应。
所以：力偶矩矢是一个自由矢量(而力对点的矩是一个定位矢量)
(1)与矩的无关
(2)可在作用平面内任意转移
(3)其作用平面内可以任意平移。
注：力偶的可移动性，只适应于一个刚体内的移动.
三、合力偶矩定理：
合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和：
提示：合力投影定律：
以矩心为原点，建立直角坐标系OXYZ
设： F在x、y、z轴上投影为X、Y、Z
注意：在平面中力矩是代数量(因为方位确定)
规定：逆时钟转动为正，顺时钟转动为负。
二、合力矩定理：合力对某点的矩等于各力对同一点的矩的矢量和。
2)解析法：(适应于多力汇交平衡)
(1)简化
根据合力投影规律：
(2)平衡：
若力系为平面汇交力系，则：
例2： 如图2-4所示机构，不计轮重及轮的尺寸、大小，求AB、BC杆的内力。
解：不计轮的尺寸，则可看成B点的受力为汇交力，AB和BC杆件为二力杆，以轮B为研究对象，则B受力如图2-4c。
例3：两轮A和B，各重为 ， ，杆AB为L，连接两轮，可自由地在光滑面滚动，不计杆重，试求当物体系统处于平衡时，杆AB与水平线的夹角。
(2)力沿其作用线运动，力对轴之矩不变。
二、力对轴的矩与力对点的矩之间的关系定理：
定理：力对点的矩矢在通过该点的轴上投影，等于力对轴的矩，即：
证明：从2.2中得力FΒιβλιοθήκη Z轴的矩：∴同理有
结论：
分析：求力对轴之矩有两种方法：
(1)根据定义：将力F投影在与轴垂直的平面→ ，再求力 对汇交点O之矩，
(2)如果投影很困难，则：首先求出力F对轴上任意一点之矩 再对该轴进行投影，即 。
结论：空间力偶可以在平行平面内任意移动而不影响力偶对刚的效应。
所以：力偶矩矢是一个自由矢量(而力对点的矩是一个定位矢量)
(1)与矩的无关
(2)可在作用平面内任意转移
(3)其作用平面内可以任意平移。
注：力偶的可移动性，只适应于一个刚体内的移动.
三、合力偶矩定理：
合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和：
提示：合力投影定律：
以矩心为原点，建立直角坐标系OXYZ
设： F在x、y、z轴上投影为X、Y、Z
注意：在平面中力矩是代数量(因为方位确定)
规定：逆时钟转动为正，顺时钟转动为负。
二、合力矩定理：合力对某点的矩等于各力对同一点的矩的矢量和。
第二节 力矩和力偶
16
17
杠杆可分为省力杠杆、费力杠杆和等臂杠杆。 这几类杠杆有如下特征： 1：省力杠杆：L1>L2，F1铡刀，瓶盖扳子等。 2：费力杠杆：L1＜L2，F1＞F2,费力、省距离， 如钓鱼竿、镊子等。 3：等臂杠杆：L1＝L2，F1＝F2，既不省力也 不费力，又不多移动距离，如天平、定滑轮等。
18
一个利用杠杆原理的奇思妙想
25
古希腊科学家阿基米德有这样一句流传千古的 名言：“假如给我一个支点，我就能把地球挪 动！”这句话有着严格的科学根据。
13
二、杠杆原理
阿基米德在《论平面图形的平衡》一书 中最早提出了杠杆原理。他首先把杠杆 实际应用中的一些经验知识当作“不证 自明的公理”，然后从这些公理出发， 运用几何学通过严密的逻辑论证，得出 了杠杆原理。
第二节 力矩和力偶
第二节 力矩和力偶
力对物体可以产生 移动效应 移动效应--取决于力的大小、方向； 转动效应--取决于力矩的大小、转向。 转动效应 一、力对点的矩 ⒈ 定义
MO (F )=±F⋅d
+
2
⒉ 讨论 是代数量。 ⑴ MO (F ) ⑵ F↑,d↑转动效应明显。 是影响转动的独立因素。 ⑶ MO (F )
MO (R ) = 2∆oAD = oA⋅ od
Mo (R ) = Mo (F ) + Mo (F2 ) 证毕 1
20
21
四、力偶及其性质 ⒈ 力偶的定义 两个大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶。 ⒉力偶的性质 性质1 ⑴ 性质 力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。 力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。
心的位置无关， 心的位置无关，因此力偶对刚 矩度量。 体的效应用力偶 矩度量。
建筑力学 第2章 力力矩力偶
图（a)
图（b)
4、作用与反作用定律 两物体间相互作用的力（作用力与反作力） 同时存在，大小相等，作用线相同而指向相反。
这一定律就是牛顿第三定律，不论物体是 静止的或运动着的，这一定律都成立。
与二力平衡区别，作用于两个物体上。
FT FT
P
P
y
y
A
o
B
b1 Fy a1 A
b
x o
Fx
FB
Fy
I
E
D
出各构件的受力图。 P
例 题 1-4
解：
1. 杆 AB 的受力图。
FAB
C
A
B FBA
2. 杆 BC 的受力图。
A
45
H B F
FBy
FCB
C
H
45
B F
FBx
I
E
D
FTH
FTF
B
FBC
P
3. 轮 B (B处为没 有销钉的孔）的受
力图。
例 题 1-4
5. 轮 D 的受力图。 4. 销钉 B 的受力图。
支座特点：允许结构绕A转动，但不能移动。 约束反力：通过铰A的中心，但指向和大小均未知。
5. 可动铰支座 在固定铰支座下面加几个辊轴支承于平面上，就构成可 动铰支座。 支座特点：限制了杆件的竖向位移，但允许结构绕铰作 相对转动，并可沿支座平面方向移动。 约束反力：作用点确定，即通过铰中心并与支承平面相 垂直，但指向未知。
图 a 平行光线照射 下物体的影子
a
图b 力在坐标轴上的投影
a
Fx
b
x
由图b知，若已知力 F 的大小 和其与x轴、y轴的夹角为 ，则力在x、y轴上的投影为 、
2.2 力矩和力偶
∑Fx=0 ∑Fy=0 ∑MO(F)=0
上述三组方程是平面一般力系平 衡方程的三种表达形式，实际计算时 应根据问题的具体条件来选择其中的 一组方程。但不论采用哪种形式，都 只有写出三个独立的平衡方程才可以 求解三个未知量。
建筑力学与结构基础
第二章 平面力系
例1-8
已知F=15kN，M=3kN.m，求A、B处支座反力 解：
y
Fx
F
（二）合力矩定理
合力对平面内任意一点之矩， F 等于所有分力对同一点之矩的代数 和。
o
r
d
x
A
y
Fy
x
M O F M O F1 M O F2 M O Fn
即：
Mo (FR ) Mo (F )
利用合力矩定理可以简化力矩的计算
建筑力学与结构基础
第二章 平面力系
• 【例2.1】如图所示每1m长挡土墙
• 所受的压力的合力为F，它的大小为 • 160kN，方向如图所示。求土压力F
• 使墙倾覆的力矩。
• 【解】土压力F 可使墙绕点A倾覆， • 故求F 对点A的力矩。 • 采用合力矩定理进行计算比较方便。 • MA(F) =MA(F1)+MA(F2)=F1×h/3-F2b
§2-2 力矩和力偶
一、 力矩
（一）力对点之矩
实践经验告诉我们：力F使物体绕某点O转动的效应，不仅与 力F的大小成正比，而且还与力F的作用线到O点的垂直距离d 成正比。
建筑力学与结构基础
第二章 平面力系
§2-2 力矩和力偶
一、 力矩
（一）力对点之矩
l
d
A
o
将力F与O点到力F作用线的垂直距离d的乘积Fd并加上 正负号称为力F对O点的力矩，用MO(F)表示，即
建筑力学-第2章 力、力矩、力偶
解 由式（1-2）可得出各力在x、y轴上的投影为
F1x =F1cos45=100N×0.707=70.7N F1y =F1sin45 =100N×0.707=70.7N
y A。2
F1
F2x=-F2cos30=-150N×0.866=-129.9N F2 60
F2y=-F2sin30=-150N×0.5=-75N F3x =F3cos90=0
第二章 力、力矩、力偶 理论力学部分
刚体 and 质点
第1节 力和力偶
力的概念
力是物体之间的相互机械作用，这种作用使物体的运动状态
发生变化（运动效应），或者使物体的形状发生改变（变形效
应）。 力的效应
运动效应 变形效应
平动效应 转动效应
力的三要素
大小 方向 作用点
力的单位
牛顿（N） 千牛（kN）
F' d
力偶的性质
必须指出，力偶的搬移或用等效力偶替代，
1)力力偶偶对作物为体一只种产特生殊对转力物动系体效，的应具运，有动而如效不下应产独没生特有移的影动性响效质，应：但，影因响此对，物一体个 力偶既不能用一个力代的替变，形也效不应能。和一个力平衡（力偶在任何一个
坐标轴上的投影等于零）。力与力偶是表示物体间相互机械作用的
力的性质
力是一个有大小和方向的量，所以力是矢量。 通过力作用点并沿着力方向的直线，称为力的作用线。
F
A 50N
F2 D F
B
A F1 C
作用于物体上同一点的两个力可以合成为一个合力，合力也 作用于该点，合力的大小、方向由这两个力为邻边所构成的平行 四边形的对角线来表示。
力的平行四边形法则
F=F1+F2
解 （1）构件的简化。 （2）支座的简化。 （3）荷载的简化。
第二章-力-力矩-力偶
动的状态。
§2-1-2 力学基本公理
公理：是人类经过长期实践和经验而得到的结论，它被 反复的实践所验证，是无须证明而为人们所公认的结论。
公理1 二力平衡公理（P17 性质四）
作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是：
这两个力大小相等 | F1 | = | F2 | , ( F1 = F2 )
d
Pn
D 2
cos
75.2 N m
②应用合力矩定理
MO (Pn ) MO (P ) MO (Pr )
Pn
cos
D 2
0
75.2 N m
§2-3-1 力偶（P25 §2-3 ）
一、 力偶的定义 两个大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶。 二、力偶的性质 1 性质1 力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。
作用于物体上同一点的两个力可合成 一个合力，此合力也作用于该点，合力的 大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的 平行四边形的对角线来表示。
R F1 F2
推论2：三力平衡汇交定理 刚体受三力作用而平衡，若其中两力作
用线汇交于一点，则另一力的作用线必汇交 于同一点，且三力的作用线共面。（不平行 的三个力平衡的必要条件）
m 0 m1 m2 NA l cos 0
解得：
m2 m1 cos 2
§2-3-3 空间力对点之矩与空间力偶
一、力对点的矩 ⒈ 空间力对点之矩三要素
决定力对刚体的作用效应,除力矩的大小、力矩的转向外, 还须考虑力与矩心所组成的平面的方位，方位不同，则力对物 体的作用效应也不同。所以空间力对 刚体的作用效应取决于下列三要素：
人教版高中物理选修2-2：力矩和力偶_课件1
1.如图所示，T字形轻质支架abO可绕过O点的水 平轴在竖直平面内自由转动，支架受到图示方向 的F1、F2和F3的作用，则关于O点 ( AC ) A. F1和F3的力矩同方向.
B. F2和F3的力矩同方向.
C. 若三个力矩不平衡，为使它平衡，在a点施力 可使力最小.
D. 为使加在a点的2N的力产生最大力矩可使此力 方向与ab杆垂直.
力学上把这种大小相等,方向相反,不共 线的两个平行力组成的系统,叫做力偶 (couple).
力偶两个力的作用线间的距离d叫力偶臂.
由实践可知,组成力偶的力越大,或力偶臂越大, 则力偶使物体发生转动的效应越强;反之,就越弱.这 说明力偶的转动效应不仅与两个力的大小有关,而 且还与力偶臂的大小有关.
因此,我们用力偶中的一个力F与力偶臂d的 乘积F×d来度量力偶对物体的转动效应,称为力 偶矩(moment of couple),用符号M表示,即
M=F×d
力偶对物体的作用效应与力对物体的作用
效应是不同的.原来静止的物体在一个力的作用 下可以发生平动,也可以既平动又绕某一轴转动; 但一个力偶却只能使原来静止的物体产生转动, 而不产生平动.
例如,顺时针转动螺母时,螺母向前,逆时针转动 螺母时,螺母向后.
可见,讨论力矩时,只说明力矩的大小是不够的, 还必须说明力矩是顺时针还是逆时针的.
图中,力F1的力矩
M1具有使杠杆向逆时
针方向转动的趋势,力
F2的力矩M2则具有
A
使杠杆向顺时针方向
转动的趋势.如果这两 F1 个力矩的大小相等,杠
杆将保持平衡,这就是
在物理学中,把力和力臂的乘积叫做力矩 (moment of force).如果M表示力矩,则有
M = F×L
B. F2和F3的力矩同方向.
C. 若三个力矩不平衡，为使它平衡，在a点施力 可使力最小.
D. 为使加在a点的2N的力产生最大力矩可使此力 方向与ab杆垂直.
力学上把这种大小相等,方向相反,不共 线的两个平行力组成的系统,叫做力偶 (couple).
力偶两个力的作用线间的距离d叫力偶臂.
由实践可知,组成力偶的力越大,或力偶臂越大, 则力偶使物体发生转动的效应越强;反之,就越弱.这 说明力偶的转动效应不仅与两个力的大小有关,而 且还与力偶臂的大小有关.
因此,我们用力偶中的一个力F与力偶臂d的 乘积F×d来度量力偶对物体的转动效应,称为力 偶矩(moment of couple),用符号M表示,即
M=F×d
力偶对物体的作用效应与力对物体的作用
效应是不同的.原来静止的物体在一个力的作用 下可以发生平动,也可以既平动又绕某一轴转动; 但一个力偶却只能使原来静止的物体产生转动, 而不产生平动.
例如,顺时针转动螺母时,螺母向前,逆时针转动 螺母时,螺母向后.
可见,讨论力矩时,只说明力矩的大小是不够的, 还必须说明力矩是顺时针还是逆时针的.
图中,力F1的力矩
M1具有使杠杆向逆时
针方向转动的趋势,力
F2的力矩M2则具有
A
使杠杆向顺时针方向
转动的趋势.如果这两 F1 个力矩的大小相等,杠
杆将保持平衡,这就是
在物理学中,把力和力臂的乘积叫做力矩 (moment of force).如果M表示力矩,则有
M = F×L
第2章力、力矩、力偶
FNB
AP
B
24
例题2-3 解：
作圆柱O受力图。
C
AO B FW
FT
C
A
FNA
O FW
B
FNB
25
例题2-4
屋架受均布风力 q（N/m），屋架重为 P，画出 屋架的受力图。
26
解：取屋架
P
画出简图
P FAy
画出约束力
画出主动力
FAx
P
FN
B
27
例题2-5
水平均质梁 AB重为 P1 ，电动机重为 P 2 ， 不计杆 CD自重，画杆 CD 和梁 AB的受力图。
MB = 4×2×1 = 8 kN ·m
45
例题：p22 2-7 已知：F=1kN，钢筋混凝土ρ1=2600kg/m3，
砖砌体ρ2=1900kg/m3，如图。问雨篷是否绕A 点倾覆？
46
二、 合力矩定理
平面内合力对任一点之矩，等于各分力对同一
点之矩的代数和。
F1
M 0(R)M 0(F1)M 0(F2) M 0(Fn)
作用线相同，但指向相反，并同时分别作用于这两 个物体上。
[例] 吊灯
二力作用在不同的物体上 在画物体受力图时要注意此公理的应用。
15
三、力的合成与分解 1、力的合成 几何方法：按力平行四边形法则对力进行合成。
1
A
2
F2
按比例作图——力三角形
F1 F1
R A 1
1800
2 F2 R
16
1、力的合成
力称为该力系的合力，而力系中的各个 力称为该合力的一个分力。
4
力的效应
外效应—改变物体运动状态的效应 内效应—引起物体变形的效应
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B A A O
α
m1 m2
FAB
m1
FBA
B
NO D
O
m2
D ND
浙江水利水电专科学校 15
解： 杆AB为二力杆。
§2-7
力偶系的合成与平衡
A O
α FAB M1
分别写出杆AO 和BD 的平衡方程：
m 0
l1 S ABr cos 0 l2 2S BAr cos 0
S AB S BA l2 2l1
P d m1 1 P2 d m2
R A P1 P2' RB P1' P2
M RAd ( P P2 )d P d P2d m1 m2 1 1
浙江水利水电专科学校 13
平面力偶系合成的结果为作用于同一平面内 的合力偶，合力偶矩等于诸力偶矩的代数和。
量纲单位：
•
牛顿.米[N.m]或千牛.米[kN.m]
M o (F ) F d
浙江水利水电专科学校 3
力矩的性质： 1、力沿作用线移动时，对某点的矩不变 2、力作用过矩心时，此力对矩心之矩等于零 3、互成平衡的力对同一点的矩之和等于零
浙江水利水电专科学校 4
合力矩定理
力系中合力对一点的矩，等于力系中各分力 对同一点之矩的代数和。
试计算力对A点之矩 试计算力对A点之矩
试计算力对A点之矩
方法一：按力矩的定义计算
方法二：利用合力矩定理计算
浙江水利水电专科学校 6
力偶
定义： – 两个大小相等，方向相反，且不共线的平 行力组成的力系称为力偶。
力偶的表示法 – – 书面表示（F，F’） 图示
力偶的三要素 力偶矩的大小、力偶的转向、力偶的作用面
浙江水利水电专科学校 7
力偶
力偶 ⑴、作用效果：引起物体的转动。
⑵、力和力偶是静力学的二基本要素。
» 力偶特性一： 力偶中的二个力，既不平衡，也不可能合成为 一个力。 » 力偶特性二： 力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶 等效），因而也只能与力偶平衡。
浙江水利水电专科学校 8
工程实例
浙江水利水电专科学校 9
NO
FBA
B
m2 α
D
ND
浙江水利水电专科学校 16
师生交流
浙江水利水电专科学校 17
M mi
二、平面力偶系的平衡条件 ——合力偶矩等于零 平面力偶系平衡的必要和充分条件：力偶 系中诸力偶矩的代数和等于零。
浙江水利水电专科学校 14
图示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA 和BD 上分 别作用着矩为 m1 和 m2 的力偶，而使机构在图示位 置处于平衡。已知OA = r，DB = 2r，α= 30°，不 计杆重，试求 m1 和 m2 间的关系。
第2 章 力矩和力偶理论
力矩
力偶系
浙江水利水电专科学校 1
力矩
力对物体的运动效应，包括力对物体的移动 和转动效应，其中力对物体的转动效应用力 矩来度量。
– 力矩是力对物体的转动效应的度量
浙江水利水电专科学校 2
力矩
力矩的表示
– – 力矩的矩心、力臂 大小、转向、作用面
–
–
正负号规定
•
右手螺旋法则
– 设某力系为Fi（i=1,2,…n），其合力为FR，根据 以上理论，则有表达式：
其中：FR F1 F2 ... Fn Fi
M o ( FR ) M o ( F1 ) M o ( F2 ) ... M o ( Fn ) M o ( Fi )
浙江水利水电专科学校 5
F
d d
F
=
浙江水利水电专科学校 11
力对点的矩与力偶矩的区别： 相同处：力矩的量纲与力偶矩的相同。 不同处：力对点的矩可随矩心的位置改变而改 变，但一个力偶的矩是常量。 联 系：力偶中的两个力对任一点的之和是常 量，等于力偶矩。来自浙江水利水电专科学校 12
平面力偶系的合成
d
d
m1 F1d1 m2 F2 d 2
力偶矩
力偶臂——力偶中两个力的作用线之间的距离
力偶矩——力偶对刚体的转动效应，力偶中任何 一个力的大小与力偶臂d 的乘积，加上适当的正 负号。
M Fd
力偶矩正负号规定： 若力偶有使物体逆时针旋转的趋势 ，力偶矩取正号；反之，取负号
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力偶的等效条件
作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等 效的充要条件是二者的力偶矩代数值相等。 因此，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。
α
m1 m2
FAB
m1
FBA
B
NO D
O
m2
D ND
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解： 杆AB为二力杆。
§2-7
力偶系的合成与平衡
A O
α FAB M1
分别写出杆AO 和BD 的平衡方程：
m 0
l1 S ABr cos 0 l2 2S BAr cos 0
S AB S BA l2 2l1
P d m1 1 P2 d m2
R A P1 P2' RB P1' P2
M RAd ( P P2 )d P d P2d m1 m2 1 1
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平面力偶系合成的结果为作用于同一平面内 的合力偶，合力偶矩等于诸力偶矩的代数和。
量纲单位：
•
牛顿.米[N.m]或千牛.米[kN.m]
M o (F ) F d
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力矩的性质： 1、力沿作用线移动时，对某点的矩不变 2、力作用过矩心时，此力对矩心之矩等于零 3、互成平衡的力对同一点的矩之和等于零
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合力矩定理
力系中合力对一点的矩，等于力系中各分力 对同一点之矩的代数和。
试计算力对A点之矩 试计算力对A点之矩
试计算力对A点之矩
方法一：按力矩的定义计算
方法二：利用合力矩定理计算
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力偶
定义： – 两个大小相等，方向相反，且不共线的平 行力组成的力系称为力偶。
力偶的表示法 – – 书面表示（F，F’） 图示
力偶的三要素 力偶矩的大小、力偶的转向、力偶的作用面
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力偶
力偶 ⑴、作用效果：引起物体的转动。
⑵、力和力偶是静力学的二基本要素。
» 力偶特性一： 力偶中的二个力，既不平衡，也不可能合成为 一个力。 » 力偶特性二： 力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶 等效），因而也只能与力偶平衡。
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B
m2 α
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M mi
二、平面力偶系的平衡条件 ——合力偶矩等于零 平面力偶系平衡的必要和充分条件：力偶 系中诸力偶矩的代数和等于零。
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图示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA 和BD 上分 别作用着矩为 m1 和 m2 的力偶，而使机构在图示位 置处于平衡。已知OA = r，DB = 2r，α= 30°，不 计杆重，试求 m1 和 m2 间的关系。
第2 章 力矩和力偶理论
力矩
力偶系
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力矩
力对物体的运动效应，包括力对物体的移动 和转动效应，其中力对物体的转动效应用力 矩来度量。
– 力矩是力对物体的转动效应的度量
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力矩
力矩的表示
– – 力矩的矩心、力臂 大小、转向、作用面
–
–
正负号规定
•
右手螺旋法则
– 设某力系为Fi（i=1,2,…n），其合力为FR，根据 以上理论，则有表达式：
其中：FR F1 F2 ... Fn Fi
M o ( FR ) M o ( F1 ) M o ( F2 ) ... M o ( Fn ) M o ( Fi )
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F
d d
F
=
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力对点的矩与力偶矩的区别： 相同处：力矩的量纲与力偶矩的相同。 不同处：力对点的矩可随矩心的位置改变而改 变，但一个力偶的矩是常量。 联 系：力偶中的两个力对任一点的之和是常 量，等于力偶矩。来自浙江水利水电专科学校 12
平面力偶系的合成
d
d
m1 F1d1 m2 F2 d 2
力偶矩
力偶臂——力偶中两个力的作用线之间的距离
力偶矩——力偶对刚体的转动效应，力偶中任何 一个力的大小与力偶臂d 的乘积，加上适当的正 负号。
M Fd
力偶矩正负号规定： 若力偶有使物体逆时针旋转的趋势 ，力偶矩取正号；反之，取负号
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力偶的等效条件
作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等 效的充要条件是二者的力偶矩代数值相等。 因此，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。