28.1 第2课时 余弦函数和正切函数
28.1.2余弦、正切
3 2
B．
1 2
C． 3
D．
3 3
7 ． Rt △ ABC 中 ， 各 边 长 度 都 扩 大 两 倍 ， 那 么 锐 角 A 的 各 三 角 函 数 值 _______
双基演练 能力提升 聚焦中考
电 子 教 案 目 标 呈 现 教 材 分 析 教 学 流 程 同 步 演 练 课 后 练 习
1 ． 如 图 1 ， 已 知 △ ABC 中 的 一 边 BC 与 以 AC 为 直 径 的 ⊙ O 相 切 于 点 C ， 若 BC=4 ， AB=5 ， 则 cosB=______ ．
3 C. 5
16 D. 25
） C．m2=2n+1 D．m2=1-2n
（ 2） 已 知 sina+cosa=m， sina· cosa=n， 则 m， n 的 关 系 是 （ A．m=n B．m=2n+1
复习引入 探索新知 反馈练习 拓展提高 小结作业
电 子 教 案 目 标 呈 现 教 材 分 析 教 学 流 程 同 步 演 练 课 后 练 习
AC 4 AC 4 = ， tanB= = ． AB 5 BC 3
复习引入 探索新知 反馈练习 拓展提高 小结作业
电 子 教 案 目 标 呈 现 教 材 分 析 教 学 流 程 同 步 演 练 课 后 练 习
课本第81页练习1、2、3题 补充练习 已知等腰三角形的一条腰长为20cm，底边长 为30cm，求底角的正切值．
BcosA=A的来自邻 边 斜 边=b c
A
斜边 c
∠A 的对边 a C
∠A 的邻边 b
复习引入 探索新知 反馈练习 拓展提高 小结作业
电 子 教 案 目 标 呈 现 教 材 分 析 教 学 流 程 同 步 演 练 课 后 练 习
【人教版】九年级数学下册优秀教案：28.1 第2课时 余弦函数和正切函数
28．1锐角三角函数第2课时 余弦函数和正切函数1．理解余弦、正切的概念；(重点)2．熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．(重点)一、情境导入教师提问：我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？为什么可以这样定义？学生回答后教师提出新问题：在上一节课中我们知道，如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，当锐角∠A 确定时，∠A 的对边与斜边的比就随之确定了．现在我们要问：其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？二、合作探究探究点一：余弦函数和正切函数的定义 【类型一】 利用余弦的定义求三角函数值在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，则cos A ＝( )A.513B.512C.1213D.125解析：∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，∴cos A ＝AC AB ＝1213.故选C.方法总结：在直角三角形中，锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题 【类型二】 利用正切的定义求三角函数值如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan A ＝( )A.35B.45C.34D.43解析：在直角△ABC 中，∵∠ABC ＝90°，∴tan A ＝BC AB ＝43.故选D.方法总结：在直角三角形中，锐角的正切等于它的对边与邻边的比值． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题 探究点二：三角函数的增减性【类型一】 判断三角形函数的增减性随着锐角α的增大，cos α的值( )A ．增大B ．减小C ．不变D ．不确定解析：当角度在0°～90°之间变化时，余弦值随着角度的增大而减小，故选B. 方法总结：当0°＜α＜90°时，cos α的值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)． 【类型二】 比较三角函数的大小sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是( )A ．tan70°＜cos70°＜sin70°B ．cos70°＜tan70°＜sin70°C ．sin70°＜cos70°＜tan70°D ．cos70°＜sin70°＜tan70°解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又∵cos70°＝sin20°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞cos70°＝sin20°.故选D.方法总结：当角度在0°≤∠A ≤90°之间变化时，0≤sin A ≤1，0≤cos A ≤1，tan A ≥0. 探究点三：求三角函数值【类型一】 三角函数与圆的综合如图所示，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，过点C 的切线交AD 的延长线于点E ，且AE ⊥CE ，连接CD .(1)求证：DC ＝BC ；(2)若AB ＝5，AC ＝4，求tan ∠DCE 的值．解析：(1)连接OC ，求证DC ＝BC 可以先证明∠CAD ＝∠BAC ，进而证明DC ︵＝BC ︵；(2)由AB ＝5，AC ＝4，可根据勾股定理得到BC ＝3，易证△ACE ∽△ABC ，可以求出CE 、DE 的长，在Rt △CDE 中根据三角函数的定义就可以求出tan ∠DCE 的值．(1)证明：连接OC .∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA .∵CE 是⊙O 的切线，∴∠OCE ＝90°.∵AE ⊥CE ，∴∠AEC ＝∠OCE ＝90°，∴OC ∥AE ，∴∠OCA ＝∠CAD ，∴∠CAD ＝∠BAC ，∴DC ︵＝BC ︵.∴DC ＝BC ；(2)解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴BC ＝AB 2－AC 2＝52－42＝3.∵∠CAE＝∠BAC ，∠AEC ＝∠ACB ＝90°，∴△ACE ∽△ABC ，∴EC BC ＝AC AB ，即EC 3＝45，EC ＝125.∵DC ＝BC ＝3，∴ED ＝DC 2－CE 2＝32－（125）2＝95，∴tan ∠DCE ＝ED EC ＝95125＝34.方法总结：证明圆的弦相等可以转化为证明弦所对的弧相等．利用圆的有关性质，寻找或构造直角三角形来求三角函数值，遇到比较复杂的问题时，可通过全等或相似将线段进行转化．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第5题【类型二】 利用三角形的边角关系求三角函数值如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求sin C 的值．解析：根据tan ∠BAD ＝34，求得BD 的长．在直角△ACD 中由勾股定理可求AC 的长，然后利用正弦的定义求解．解：∵在直角△ABD 中，tan ∠BAD ＝BD AD ＝34，∴BD ＝AD ·tan ∠BAD ＝12×34＝9，∴CD＝BC －BD ＝14－9＝5，∴AC ＝AD 2＋CD 2＝122＋52＝13，∴sin C ＝AD AC ＝1213.方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结合勾股定理是解答此类问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题 三、板书设计1．余弦函数的定义；2．正切函数的定义；3．锐角三角函数的增减性．在数学学习中，有一些学生往往不注重基本概念、基础知识，认为只要会做题就可以了，结果往往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题目．通过引导学生进行知识梳理，教会学生如何进行知识的归纳、总结，进一步帮助学生理解、掌握基本概念和基础知识.。
28.1 .2 余弦、正切
A. 3
B. 2
6 C.
D. 6
2
3
2
3
返回
9．(中考·荆门)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝
AC，点D 为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，
则tan ∠DBC的值为( A )
A. 1 3
B. 2－1
C．2－ 3
1 D. 4
返回
10．(中考·枣庄)如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数 第2课时 余弦、正切
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
知识点 1 余弦函数
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的 邻边与__斜__边____的比叫做∠A的余弦，记作cos A， 即cos A＝____b____． c
返回
AO 4 的值．
解：(1)过点C作CE∥OA交BD于点E，
则△ECP∽△DAP.
∴
AP PC
AD CE
.
∵点C为OB的中点，点D为AO的中点，
C. 20 3
D. 25 3
返回
12．(中考·眉山)如图，在边长为1的小正方形网格中，点A， B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于 点O，则tan∠AOD＝____2____．
返回
题型 1
余弦、正切函数的定义在求三角 函数值中的应用
13．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且
(1)证明：如图，连接OD. ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠B. 又∵∠B＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠ODB. 在Rt△ACD中，∠CAD＋∠ADC＝90°， ∴∠ADC＋∠ODB＝90°.
人教版九年级下册数学第28章 锐角三角函数 余弦、正切
∴DM＝533(负值舍去)．
∴tan∠DCB＝DCMM＝5
3 3.
12．【2021·白银】如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上 一点，∠DCB＝∠OAC，过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
证明：∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA. ∵∠DCB＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DCB. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∴∠OCA＋∠OCB＝90°. ∴∠DCB＋∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°. ∴OC⊥DC. 又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
b c
2．【教材P69习题T6变式】【中考·丽水】如图，点A为∠α边上的任意一点，作 AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是 ()
C ··
BD BC AD CD A.BC B.AB C.AC D.AC
3．【2021·宜昌】如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则cos∠ABC的 值为( )
(2)若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值． 【思路点拨】(2)中求∠OCB的正切值，从图中看出∠OCB所在的三角形不是直 角三角形，需要利用等角的转化．由“两直线平行，内错角相等”得∠EOC＝ ∠OCB，从而在Rt△OCE中求解．
解：∵OE∥BC，∴BODB＝CCDE. ∵CD＝4，CE＝6，∴BODB＝46＝23.
(2)求sinA，cosA，tanA的值．
解：sin A＝BACB＝2245， cos A＝AACB＝275， tan A＝BACC＝274.
10．【2021·上海】如图，已知在△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，
cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线．
28.1 第2课时 余弦函数和正切函数
α
α
讲授新课
一 余弦
互动探究
我们来试着证明前面的问题：
证明：∵∠A=∠D=α ，∠C=∠F＝90° ∠B＝180°－∠A－∠C ∠E＝180°－∠D－∠F
∴ ∠B=∠E.
∴ sin B sin E.
∴ AC DF .
α
AB DE
学案40页自学1
α
学案40页归纳
由此可得，在有一个锐角等于α的所有直角三角 形中，角α的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角 三角形的大小无关．
AB 10 5
AC 8 4
课堂小结
余弦函数 和
正切函数
余弦 正切 性质
在直角三角形中，锐角α的邻边 与斜边的比叫做角α的余弦
在直角三角形中，锐角α的对边 与邻边的比叫做角α的正切
α确定的情况下，cosα,tanα为定 值，与三角形的大小无关
三
正弦
sin
A
A的对边 = 斜边
a c
角 函
余弦
cos A
∴ BC EF . AC DF
α
α
学案41页归纳
由此可得，在有一个锐角等于α的所有直角三 角形中，角α的对边与邻边的比值是一个常数，与 直角三角形的大小无关．
如下图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边 与邻边的比叫作角A的正切，记作tanA， 即
A ∠A的正弦、余弦、正切都是∠A 的三角函数.
三 锐角三角函数
学案40页交流5
问题 如图， △ABC 和△DEF 都是直角三角形， 其中 ∠A=∠D =α ，∠C =∠F =90°， 则 BC EF 成立吗？
AC DF 为什么？
α
α
学案40页交流5
福建省2024九年级数学下册第28章锐角三角函数28.1锐角三角函数2余弦正切课件新版新人教版
∴cos α＝AABC，∴AC＝coxs α米．故选 B.
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4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，
MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cos B的值．
解：∵MN⊥AB，∴∠ANM＝90°＝∠C.
又∵∠A＝∠A，∴∠B＝∠AMN.
在Rt△AMN中，AN＝3，MN＝4，
3
4
3
4
A.5 B.5 C.4 D.3
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7．如图，点A(t，3)在第一象限，OA与x轴正半轴所夹的角 为α，tan α＝ 3 ，则t的值是( C ) 2 A．1 B．1.5 C．2 D．3
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8．【2023·深圳福田区期末】如图，某地修建高速公路，要
从A地向B地修一条隧道(点A，B在同一水平面上)．为了
解：如图，过点 P 作 PF⊥x 轴于点 F.∵∠CBF＝∠DBP＝45°，
∴∠PBF＝∠DBC.∴tan∠PBF＝tan ∠DBC＝35.在 Rt△PBF 中，
tan ∠PBF＝BPFF.设点 P(x，－x2＋3x＋4)，则－x24＋－3xx＋4＝35，
解得 x1＝－25，x2＝4(舍去)．当 x＝－25时，y＝－－252＋3×－25＋4＝6265，
由勾股定理得AM＝5， ∴cos B＝cos ∠AMN＝ MAMN＝45 .
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5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对 边与_邻__边_____的比叫做∠A的正切，记作tan A，即tan A＝___ab_____．
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6．【2023·佛山】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5， BC＝4，则tan A的值为( D )
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(2)若BE＝6，试求cos∠CDA的值． 解：设⊙O的半径为r.∵OC＝3，
人教版数学九年级下册第28章(教案)：28.1锐角三角函数-余弦、正切
-函数定义的抽象理解：锐角三角函数的定义涉及到从具体的直角三角形中抽象出函数概念的过程，这对于学生来说是一个难点。需要通过直观的图形和具体的例子帮助学生理解。
-函数性质的掌握：理解并记忆余弦和正切函数随角度变化的规律是学生的另一个难点。需要通过图表、动画等多种方式，让学生直观感受函数值的变化。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调余弦和正切函数的定义及其性质。对于难点部分，我会通过具体的直角三角形图形和计算例子来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与余弦和正切函数相关的实际问题，如测量建筑物的高度。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用尺子和量角器来实际测量并计算一个物体的余弦和正切值。
3.提高学生的表达能力和逻辑思维，通过组织各类活动，锻炼他们的口才和思维。
4.及时关注学生的学习反馈，调整教学策略，确保每位学生都能跟上教学进度。
2.正切函数的定义：介绍正切函数的定义，分析锐角α的正切值等于直角三角形中，角α的对边与邻边的比值。
3.余弦、正切函数的性质：分析余弦、正切函数随角度变化的规律，探讨它们在0°～90°范围内的变化趋势。
4.应用举例：结合实际问题，运用余弦和正切函数解决一些简单的直角三角形问题。
5.练习与巩固：通过典型例题和练习题，使学生熟练掌握余弦和正切函数的计算及应用。
人教版数学九年级下册第28章（教案）：28.1锐角三角函数-余弦、正切
一、教学内容
人教版数学九年级下册第28章《锐角三角函数》中的28.1节，本节课主要围绕余弦和正切两个锐角三角函数展开。内容包括：
1.余弦函数的定义：通过直角三角形中的边长关邻边和斜边的比值关系。
余弦与正切函数
余弦与正切函数余弦函数和正切函数是数学中常见的两个三角函数，它们在数学、物理和工程等领域有广泛的应用。
本文将介绍余弦函数和正切函数的定义、性质及其应用。
一、余弦函数的定义和性质余弦函数（cosine function）是一个周期函数，表示一个角的邻边与斜边的比值。
其数学表示为：y = cos(x)，其中x是角度（单位为弧度），y是余弦函数的值。
余弦函数的图像呈现波浪形态，且在每个周期内，函数的最大值为1，最小值为-1。
余弦函数具有以下性质：1. 周期性：余弦函数的周期为2π，即cos(x+2π) = cos(x)。
2. 对称性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。
3. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。
4. 值域：余弦函数的值域为[-1, 1]。
5. 零点：当角度x为0、π、2π等整数倍的时候，余弦函数为0。
二、正切函数的定义和性质正切函数（tangent function）表示一个角的正弦与余弦的比值。
其数学表示为：y = tan(x)，其中x是角度（单位为弧度），y是正切函数的值。
正切函数的图像是呈现周期性且无界的函数。
正切函数具有以下性质：1. 周期性：正切函数的周期为π，即tan(x+π) = tan(x)。
2. 对称性：正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tan(x)。
3. 值域：正切函数的值域为(-∞, +∞)，即正切函数无上下界。
4. 零点：当角度x为0、π、2π等整数倍的时候，正切函数为0。
三、余弦函数与正切函数的应用余弦函数和正切函数在数学、物理和工程等领域有广泛的应用。
1. 三角函数广泛应用于物理学中的波动、振动、旋转等问题，如机械振动、电磁波传播等。
在这些问题中，余弦函数和正切函数可以描述物体的周期性运动和波动传播规律。
2. 在工程学中，余弦函数和正切函数广泛应用于信号处理、电子电路设计等领域。
例如，在通信领域中，正弦信号经过正交调制后可以得到余弦信号，从而用于传输和解调信号。
第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式_1
和的正弦
差的正弦
公
式
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
α+ β
和的正切
tan(α+β)=1- α β
何选择公式,选择哪一个公式会更好.需要说明的是,(4)运用到了切
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(
)
(2)sin α+sin β=sin(α+β).(
)
(3)sin(α+β-15°)=sin(α-15°)cos β+cos(α-15°)sin β.(
自主预习
一
二
三
四
二、两角和与差的正弦公式
1.cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β 以及诱导公式 sin
余弦、正切
28.1 锐角三角函数
观察含30°角和45°角的三角形的邻边与斜边、对 边与邻边的比值，看看你有什么发现？
结论：在 Rt△ABC 中，当锐角 A 的度数为30°和 45°时，无论这个直角三角形大小如何，∠A 的 邻边与斜边的比、对边与邻边的比都是一个固定 值．
人民教育出版社
九年级 数学 下册
推理证明 引出概念
九年级 数学 下册
合作探究 运用新知
28.1 锐角三角函数
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2，AB=3，求∠A，
B
∠B的正弦、余弦、正切值．
3
2
解：在RtABC中， AB 3, BC 2根据勾股定理得：
AC AB2 BC2 32 22 5,
A
C
sin A BC 2 ，cos A AC 5 ，tan A BC 2 2 5 .
人民教育出版社
九年级 数学 下册
28.1 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数（第2课时）
—— 余弦 正切
襄城县斌年级 数学 下册
复习回顾 引入新课
28.1 锐角三角函数
请同学们回顾一下，什么叫正弦？我们是怎么探究出 正弦的概念的？
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，当∠A 确定时，∠A 的对 边与斜边比随之确定．除了对边与斜边的比，三角形中还 存在有其他边之间的比吗？此时，其他边之间的比值是否 也随之确定呢？
28.1 锐角三角函数
如图：在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D，∠C=∠F
=90°，
AC AB
与 DF
DE
相等吗？ BC 与 EF
AC DF
呢？
解：
AC AB
28.1.2余弦和正切(教案)-2021-2022学年九年级数学下册人教版(安徽)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了余弦和正切函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《余弦和正切》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量物体高度或距离的情况？”（例如，测量树的高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索余弦和正切函数的奥秘。
在实践活动方面，虽然学生们在实验操作中表现出了很高的热情，但在操作过程中，仍有一些学生对测量和计算方法掌握不够熟练。这说明我们在实践教学中，不仅要关注学生的兴趣，还要注重培养他们的动手操作能力。在以后的教学中，我可以增加一些类似的实践活动，让学生在实践中不断提高。
最后，关于课堂总结环节，我觉得自己在引导学生回顾所学知识方面做得还不够。在今后的教学中，我需要更有效地组织课堂总结，帮助学生梳理知识点，加深印象。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调余弦和正切函数的定义及其计算方法这两个重点。对于难点部分，如函数性质的理解，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与余弦和正切函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用三角板和尺子测量实际物体的角度和距离，从而演示余弦和正切函数的基本原理。
15 锐角的余弦、正切_国家课_学习任务单
在【类比探究】环节
类比锐角A的正弦函数的研究思路和方法，经历观察、猜想、证明、概念的得出等数学思维过程，探究锐角A的余弦和正切的概念。
会证明以下两个结论
结论1：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，CC'90，当AA'时，则ACA'C'.
ABA'B'
BB'
A'C'
AC
结论2：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，CC'90，当AA'时，则BCB'C'.
2.理解锐角三角函数的概念，能够用锐角的三角函数表示直角三角形中的两边之比.
3.经历锐角的余弦、正切的探ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ过程，体会类比、特殊到一般、数形结合的思想方法，提升抽象能力，发展几何直观和空间观念.
课前学习任务
1.复习直角三角形的相关知识以及锐角A的正弦概念；
2.回忆锐角A的正弦的研究思路和方法
课上学习任务
ACA'C'
【学习任务二】
完成【巩固运用】环节
B
练习1：在Rt△ABC中，C90，AB10,BC6,
10
AC，sinA，6
cosA，tanA.AC
练习2：在Rt△ABC中，C90，BC2,AC3,求sinA,cosA,tanA的值.
B
2
A3C
推荐的学习资源
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学习任务单
课程基本信息
学科
初中数学
年级
九年级
学期
春季
课题
28.1 锐角三角函数（第二课时）
——锐角的余弦、正切
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28．1锐角三角函数
第2课时 余弦函数和正切函数
1．理解余弦、正切的概念；(重点)
2．熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．(重点)
一、情境导入
教师提问：我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？为什么可以这样定义？
学生回答后教师提出新问题：在上一节课中我们知道，如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，当锐角∠A 确定时，∠A 的对边与斜边的比就随之确定了．现在我们要问：其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？
二、合作探究
探究点一：余弦函数和正切函数的定义 【类型一】 利用余弦的定义求三角函数值
在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，则cos A ＝( )
A.513
B.512
C.1213
D.125
解析：∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，∴cos A ＝AC AB ＝12
13.故选C.
方法总结：在直角三角形中，锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题 【类型二】 利用正切的定义求三角函数值
如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则
tan A ＝( )
A.35
B.45
C.34
D.43
解析：在直角△ABC 中，∵∠ABC ＝90°，∴tan A ＝BC AB ＝4
3
.故选D.
方法总结：在直角三角形中，锐角的正切等于它的对边与邻边的比值． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题 探究点二：三角函数的增减性
【类型一】 判断三角形函数的增减性
随着锐角α的增大，cos α的值( ) A ．增大 B ．减小 C ．不变 D ．不确定
解析：当角度在0°～90°之间变化时，余弦值随着角度的增大而减小，故选B. 方法总结：当0°＜α＜90°时，cos α的值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)． 【类型二】 比较三角函数的大小
sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是( ) A ．tan70°＜cos70°＜sin70° B ．cos70°＜tan70°＜sin70° C ．sin70°＜cos70°＜tan70° D ．cos70°＜sin70°＜tan70°
解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又∵cos70°＝sin20°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞cos70°＝sin20°.故选D.
方法总结：当角度在0°≤∠A ≤90°之间变化时，0≤sin A ≤1，0≤cos A ≤1，tan A ≥0. 探究点三：求三角函数值
【类型一】 三角函数与圆的综合
如图所示，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，过点C 的切
线交AD 的延长线于点E ，且AE ⊥CE ，连接CD .
(1)求证：DC ＝BC ；
(2)若AB ＝5，AC ＝4，求tan ∠DCE 的值．
解析：(1)连接OC ，求证DC ＝BC 可以先证明∠CAD ＝∠BAC ，进而证明DC ︵＝BC ︵
；(2)由AB ＝5，AC ＝4，可根据勾股定理得到BC ＝3，易证△ACE ∽△ABC ，可以求出CE 、DE 的长，在Rt △CDE 中根据三角函数的定义就可以求出tan ∠DCE 的值．
(1)证明：连接OC .∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA .∵CE 是⊙O 的切线，∴∠OCE ＝90°.∵AE ⊥CE ，∴∠AEC ＝∠OCE ＝90°，∴OC ∥AE ，∴∠OCA ＝∠CAD ，∴∠CAD ＝∠BAC ，
∴DC
︵
＝BC
︵
.∴DC＝BC；
(2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝AB2－AC2＝52－42＝3.∵∠CAE ＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，∴△ACE∽△ABC，∴
EC
BC＝
AC
AB，即
EC
3＝
4
5，EC＝
12
5.∵DC＝BC＝3，∴ED＝DC2－CE2＝32－（
12
5）
2＝
9
5，∴tan∠DCE＝
ED
EC＝
9
5
12
5
＝
3
4.
方法总结：证明圆的弦相等可以转化为证明弦所对的弧相等．利用圆的有关性质，寻找或构造直角三角形来求三角函数值，遇到比较复杂的问题时，可通过全等或相似将线段进行转化．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题
【类型二】利用三角形的边角关系求三角函数值
如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝
3
4，求sin C的值．
解析：根据tan∠BAD＝
3
4，求得BD的长．在直角△ACD中由勾股定理可求AC的长，然后利用正弦的定义求解．
解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD＝
BD
AD＝
3
4，∴BD＝AD·tan∠BAD＝12×
3
4＝9，∴CD ＝BC－BD＝14－9＝5，∴AC＝AD2＋CD2＝122＋52＝13，∴sin C＝
AD
AC＝
12
13.
方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结合勾股定理是解答此类问题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题
三、板书设计
1．余弦函数的定义；
2．正切函数的定义；
3．锐角三角函数的增减性．
在数学学习中，有一些学生往往不注重基本概念、基础知识，认为只要会做题就可以了，结果往往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题目．通过引导学生进行知识梳理，教会学生如何进行知识的归纳、总结，进一步帮助学生理解、掌握基本概念和基础知识.。