清华大学计算固体力学第十次课件_接触-碰撞

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接触界面方程
A B N vN vN 0
不可侵彻性条件
上面强化公式将不连续性引入速度时间历史中。在接触之 前，法向速度是不相等的，而在随后发生碰撞，法向速度分量 必须满足公式。在时间上的这些不连续性使得离散方程的时间 积分变得很复杂。
N
间隙率是相互侵彻率的负数。
A B ˆTx e ˆx ˆTy e ˆ y vT γT vT
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接触界面方程
在通用有限元软件中，接触算法能够处理多个物体的相互作 用，然而多个物体的接触包含成对物体的相互作用。因此，从考 虑两个物体的问题入手。 接触界面包括两个物体处于接触的两个物理表面，它们是重 合的，在数值计算中，两个表面一般不重合，分为主控和从属表 面。接触界面是时间的函数，确定它是接触-碰撞问题解答的重要 部分。 接触界面包含两个物体表 面的交界。
考虑发生部分侵彻的两个表面。主控物体是9节点等参单元， 所以表面A 的3个节点是二次映射定义：
x 2 1 r y
A

2 1 3 r ( 1 r ) 1 3 2
其中 r δ A , 1 r 1
从属物体B的表面为一条水平线，给出为
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接触界面方程
A B N vN vN 0
A B tN tN (x, t ) t N (x, t ) 0
单一接触条件
由不可侵彻性条件 由法向面力不是拉力的条件
得到单一接触条件
t N N 0
N 0
t N 0 ，乘
这个方程也可以表示为接触力的法向分量不工作的事实。
相对切向速度给出为
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接触界面方程
动力学－面力条件
横跨接触界面，面力必须服从动量平衡。由于界面上没有质 量，这就要求两个物体上面力的合力为零：
tA tB 0
在法线方向上，不考虑在接触表面之间的任何粘性，法向面 力不能是拉力。其条件表示为
A B tN tN (x, t ) t N (x, t ) 0
PQ x ζ x ζ
B B A 2
x x y y 1 2(1 r ) r (1 r ) (1 r ) r (1 r )
A B A 2 B 12 A 2 3 2 2 3 2 2 3 2
B 这个条件要求 t N 为正数，物体B上的面力在A的单位法线上的投影，
它指向物体B。对应于物体A和B，注意到上面的表达式是不对称的。 为了定义法向面力，选择其中一个物体的法向，并且物体法向面 力的符号将取决于选择的这个法向。
2
接触界面方程
面力条件
定义切向面力为
A A A tT t A tN n , B B A tB T t tNn
AB x ζ , t x ζ , t x －x
B B A A B




A 2
y
B
y
A 2
z
B
z
1 A 2 2

2
接触界面方程
AB x ζ , t x ζ , t x －x
B B A A B
相互侵彻度量




A 2
y
1
引言
接触-碰撞问题是属于最困难的非线性问题之一，因为在 接触-碰撞问题中的响应是不平滑的。
当发生瞬时接触时，垂直于接触界面的速度是瞬时不连 续的。对于Coulomb摩擦模型，当出现粘性滑移行为时，沿着 界面的切向速度是不连续的。
接触-碰撞问题的这些特性给离散方程的时间积分带来了 明显的困难，削弱了Newton算法的功能。 因此，选择适当的方法和算法是至关重要的，并且在获 得强健的求解程序中，规则化的技术是非常有用的。
在 /Explicit 中的接触模拟可以利用通用（“自动”）接 触算法或者接触对算法。通常定义一个接触模拟只需简单地指 定所采用的接触算法和将会发生接触作用的表面。在某些情况 下，当默认的接触设置不满足需要时，可以指定接触模拟的其 它形式；例如，考虑摩擦的相互作用力学模型。
通用接触算法(general contact)
在Γc 上
两个物体的相互侵彻速率
A vN vA nA,
B vN vB nA
利用
A A A A A A A ˆ vN ˆ v A＝vN n v e n vT
A B B ˆ ˆ e v v n v vN n vB T B B N A B
A 点乘 n
得到上两式
2 12
取最小化给出为
0
d PQ dr

1 PQ
r
3
3r
3 4

数值求解上式的根为r＝－0.2451，因此Q点位置为，
x
Q
, yQ 1.6023 , 0.6624
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接触界面方程
相互侵彻度量
当两个物体是不光滑或者不是局部地凸状时，这种定义相互 侵彻的方法将会遇到困难。如在图示情况下， AB 的最小值是 不唯一的：这里有两个点为 P 的正交投影。在这种情况下，难以 建立一种方法，能够唯一地定义相互侵彻的度量。
并且利用法线是正交于与平面相切的单位矢量的事实。
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接触界面方程
A B N vN vN 0
不可侵彻性条件
对于在接触表面上的任意点，不可侵彻性条件限制了相互 侵彻速率成为负值，表示当两个物体发生接触时，它们或者必 须保持接触 ( N 0) 或者脱离 ( N 0) 。 对于接触区域上的所有点当满足上式时，精确满足不可侵 彻性条件。然而，公式与交集为零不是等价的。在大多数数值 方法中，仅在瞬时时刻注意到该式，对于接近分离而没有接触 的点，相互侵彻是可能的。该式仅适用于处于接触的成对点。
电子产品跌落模拟
在电子工业中，为了评估 产品的耐久性，仿真分析 正代替跌落试验。
C ΓA ΓB
模拟接触-碰撞问题的标记
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接触界面方程
A e1A e x
A A e2 ey
A n A e1A e2
在主控接触表面的每一点建立局部坐标系统，可以构造相切 于主控物体表面的单位矢量：
物体A的法线给出为 在接触界面上有 即两个物体的法线方向相 反。以局部分量的形式表 示速度场
通过一个有转折表面的侵彻，说明正交映射点求解的不唯一性。
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接触界面方程
在ABAQUS/Standard和/Explicit中的接触模拟功能具有明 显的差异。
在/Standard中的接触模拟或者是基于表面（surface）或 者是基于接触单元（ contact element ）。因此，必须在模型 的各个部件上创建可能发生接触的表面。然后，必须判断哪一 对表面可能发生彼此接触，称之为接触对。最后，必须定义控 制各接触面之间相互作用的本构模型。这些接触面相互作用的 定义包括如摩擦行为等。
1 g N (ζ , t ) min , AB A 0
B
如果(x B x A ) n A 0 如果(x B x A ) n A 0
令相互侵彻度量对坐标求导数取值为零，求出 g N ζ B , t 最小值。
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接触界面方程
例子10.1
B
y
A 2
z
B
z
1 A 2 2

相互侵彻量 g N ζ B , t 为上式的最小值，并且考虑到仅当 P 在物 体A内部时才是非零的。通过检验法线到物体A在 X B X A 上的投影，可以检验后面的条件：当投影是负值时，点P是在物 体A的内部，因此有相互侵彻，否则P不在A的内部，没有相互侵 彻。所以，相互侵彻的定义是
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接触界面方程
物体由标准场方程控制：质量、动量和能量的守恒，应变度 量，以及本构方程。接触增加了条件： 1 2 在界面上，两个物体不可相互侵入和面力满足动量守恒； 横跨接触界面的法向面力不能为拉力。
按照要求分类：
1
2
对于位移和速度的要求作为运动学条件，
对于面力的要求作为动力学条件。
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接触界面方程
A A A A A A A ˆ vN ˆ v A＝vN n v e n vT
B A B A B B ˆ vN ˆ v B vN n v e n vB T
n A n B
在三维问题中希腊字母 下角标的取值范围为2；当问 题是二维时，接触表面成为 一条线，取值为1。
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接触界面方程
不可侵彻性条件 运动学
由于以位移的形式表示交集为零的公式是不可能的，所 以，在接触过程的每一阶段中以率形式或者增量形式表示不 可侵彻性方程是很方便的。其率形式应用到物体 A和 B上发生 接触的部分，即是位于接触表面上的那些点
A B N v A n A v B n B (v A v B ) n A vN vN 0
4 S x , y 1.5
B
s B, 0 s 1
B A 在例子中的相互侵彻已经被夸大了。注意到沿着界面有 n n
对于在表面B上的点P，找到相互侵彻。求点Q 正交投影的最小值
PQ
2
接触界面方程
例子10.1
对于在表面B上的点P，找到相互侵彻。求点Q 正交投影的最小值
切向面力投影到主控接触表面上的面力合力，由动量平衡要求
A tT tB T 0
当应用接触的无摩擦模型时，切向面力为零
A tT tB T 0
在前面建立接触界面方程中，尽管选择了其中一个物体为主 控物体，当两个接触表面是重合时，且满足公式 n A n B ， 对于物体，这些方程是对称的。因此，选择哪个物体作为主控物 体是没有关系的。但是，当两个表面不重合时，如在大多数数值 求解中，则主控物体的选择会改变结果。