高中数学选修2-3 北师大版二项式定理学案1

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北师大版选修2-3 二项式定理教案

二项式定理【教学目标】1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。

【教学重难点】教学重点：二项式定理的内容及归纳过程；教学难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。

【教学过程】一、设置情景，引入课题引入：二项式定理研究的是（a+b）n的展开式。

如（a+b）2=a2+2ab+b2, （a+b）3=？，（a+b）4=？，那么（a+b）n的展开式是什么呢？二、引导探究，发现规律1、多项式乘法的再认识问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？2、（a+b）3展开式的再认识问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？合作探究1：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？教师引导：可以发现a2b是从（a+b）（a+b）（a+b）这三个括号中的任意两个中选a，剩下的一个括号中选b；利用组合知识可以得到a2b应该出现了C23· C11=3次，所以a2b的系数是3。

问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？可以对（a+b）4按a或按b进行分类：（1）四个括号中全都取a，得：C44a4（2）四个括号中有3个取a，剩下的1个取b，得：C34 a3· C11b（3）四个括号中有2个取a，剩下的2个取b，得：C24 a2· C22b2（4）四个括号中有1个取a，剩下的3个取b，得：C14 a· C33b3（5）四个括号中全都取b，得：C44b4小结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按a分类，也可以按b分类，再如：（1）不取b：C04 a4；（2）取1个b：C14a3b；（3）取2个b：C24a2b2；（4）取3个b：C34a b3；（5）取4个b：C44b4，然后将上面各式相加得到展开式。

高中数学北师大版选修2-3学案：1.5.1 二项式定理 Word版含解析

§5二项式定理5.1二项式定理1．能用计数原理证明二项式定理．(难点)2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．(难点)[基础·初探]教材整理二项式定理阅读教材P23～P24“例1”以上部分，完成下列问题．1．二项式定理：(a＋b)n＝_________________________________________.【答案】C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n2．二项式系数：__________________________________________________.【答案】C r n(r＝0,1,2，…，n)3．二项式通项：______，即二项展开式的第______项．【答案】C r n a n－r b r r＋14．在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式：(1＋x)n＝________________________.【答案】1＋C1n x＋C2n x2＋…＋C r n x r＋…＋x n判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．()(2)在公式中，交换a ，b 的顺序对各项没有影响．( )(3)C k n an －k b k是(a ＋b )n 展开式中的第k 项．( ) (4)(a －b )n 与(a ＋b )n 的二项式展开式的二项式系数相同．( ) 【解析】 (1)× 因为(a ＋b )n 展开式中共有n ＋1项．(2)× 因为二项式的第k ＋1项C k n a n －k b k 和(b ＋a )n 的展开式的第k ＋1项 C k n bn －k a k 是不同的，其中的a ，b 是不能随便交换的． (3)× 因为C k n an －k b k是(a ＋b )n 展开式中的第k ＋1项． (4)√ 因为(a －b )n 与(a ＋b )n 的二项式展开式的二项式系数都是C r n . 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](1)用二项式定理展开⎝ ⎭⎪⎫2x －32x 25； (2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k＋…＋(－1)n C n n .【精彩点拨】 (1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x ＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．【自主解答】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 25＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 2＋…＋C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 25 ＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x 10.(2)原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k(－1)k ＋…＋C n n (－1)n ＝[(x ＋1)＋(－1)]n ＝x n .1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．[再练一题]1．(1)求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4的展开式；(2)化简：1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n C n n .【解】 (1)法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3 ·1x ＋C 24(3x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4 ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x ＋1)4x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1) ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. (2)原式＝1＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n.(1)求二项式⎝ ⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 9的展开式中x 3的系数．【精彩点拨】利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．【自主解答】 (1)由已知得二项展开式的通项为T r ＋1 ＝C r 6(2x )6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 6·26－r ·，∴T 6＝－12·.∴第6项的二项式系数为C 56＝6，第6项的系数为C 56·(－1)·2＝－12. (2)T r ＋1＝C r 9x 9－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·C r 9·x 9－2r， ∴9－2r ＝3，∴r ＝3，即展开式中第四项含x 3，其系数为(－1)3·C 39＝－84.1．二项式系数都是组合数C r n (r ∈{0,1,2，…，n })，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．2．第r ＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C r n .例如，在(1＋2x )7的展开式中，第四项是T 4＝C 3717－3(2x )3，其二项式系数是C 37＝35，而第四项的系数是C 3723＝280.[再练一题]2．(1)(2015·安徽高考)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 7的展开式中x 5的系数是________．(用数字填写答案)(2)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 6的展开式中的常数项为________．【解析】(1)T r ＋1＝C r 7·(x 3)7－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 7x21－4r ，令21－4r ＝5，得r ＝4，C 47＝35. 故展开式中x 5的系数为35.(2)T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝(－1)r C r 626－2r x 6－2r，令6－2r ＝0，得r ＝3，所以常数项为T 4＝(－1)3C 36＝－20. 【答案】 (1)35 (2)－20[探究共研型]探究1 如何求⎝ ⎭⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项．【提示】利用二项展开式的通项C r 4x 4－r ·1xr ＝C r 4x4－2r求解，令4－2r ＝0，则r ＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项为C 24＝4×32＝6.探究2 (a ＋b )(c ＋d )展开式中的每一项是如何得到的？【提示】 (a ＋b )(c ＋d )展开式中的各项都是由a ＋b 中的每一项分别乘以c ＋d 中的每一项而得到．探究3 如何求⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项？【提示】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项是由x ＋1x 中的x 与1x 分别与(2x ＋1)3展开式中常数项C 33＝1及x 2项C 1322x 2＝12x 2分别相乘再把积相加得x ·C 33＋1x ·C 13(2x )2＝x ＋12x ＝13x .即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项为13x .已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．【精彩点拨】写出通项T r ＋1→令r ＝5，x 的指数为零 →(1)求出n 值→修正通项公式→(2)求x 2项的系数→考察x 指数为整数→分析求出k 值 →(3)写出有理项【自主解答】通项公式为： T r ＋1＝C r n(－3)r＝C r n (－3)r.(1)∵第6项为常数项，∴r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10. (2)令10－2r 3＝2，得r ＝12(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210(－3)2＝405.(3)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧10－2r3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈Z .令10－2r3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k . ∵r ∈Z ，∴k 应为偶数， k ＝2,0，－2即r ＝2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x 2，－61 236,295 245x －2.1．求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第k 项，T k ＝C k －1n an －k ＋1b k －1； (2)求含x k 的项(或x p y q 的项)； (3)求常数项； (4)求有理项．2．求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．[再练一题]3．(1)在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是________． (2)若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．【解析】 (1)x 5应是(1＋x )10中含x 5项、含x 2项分别与1，－x 3相乘的结果，∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 26的展开式的通项是T k ＋1＝C k 6x 6－k ·(－a )k x －2k ＝C k 6x 6－3k (－a )k ，令6－3k ＝0，得k ＝2，即当k ＝2时，T k ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知得C 26a ＝60，解得a ＝4. 【答案】 (1)207 (2)4[构建·体系]1．在(x －3)10的展开式中，含x 6的项的系数是( ) A ．－27C 610B ．27C 410C ．－9C 610D ．9C 410【解析】含x 6的项是T 5＝C 410x 6(－3)4＝9C 410x 6.【答案】 D2．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式中常数项是( )A ．－28B ．－7C ．7D ．28【解析】T k ＋1＝C k 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x k ＝(－1)k ·C k 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫128－k·，当8－43k ＝0，即k ＝6时，T 7＝(－1)6·C 68·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝7. 【答案】 C3．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 6的展开式中，中间项是________．【解析】由n ＝6知中间一项是第4项，因T 4＝C 36(2x 2)3·⎝⎛⎭⎪⎫－1x 3＝C 36·(－1)3·23·x 3，所以T 4＝－160x 3.【答案】－160x 34．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________. 【导学号：62690021】【解析】 T k ＋1＝C k 9·(x 2)9－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ·C k 9·x 18－3k ，当k ＝3时，T 4＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－123·C 39·x 9＝－212x 9，所以第4项的二项式系数为C 39＝84，项的系数为－212. 【答案】 84 －2125．求⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋23x 25的展开式的第三项的系数和常数项．【解】 T 3＝C 25(x 3)3⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 22＝C 25·49x 5，所以第三项的系数为C 25·49＝409. 通项T k ＋1＝C k 5(x 3)5－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·C k 5x 15－5k ，令15－5k ＝0，得k ＝3，所以常数项为T 4＝C 35(x 3)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 23＝8027.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设S ＝(x －1)3＋3(x －1)2＋3(x －1)＋1，则S 等于( ) A ．(x －1)3 B ．(x －2)3 C ．x 3D ．(x ＋1)3【解析】 S ＝[(x －1)＋1]3＝x 3. 【答案】 C2．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 7 的展开式的第4项等于5，则x 等于( )A.17 B ．－17 C ．7D ．－7 【解析】 T 4＝C 37x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝5，则x ＝－17. 【答案】 B3．若对于任意实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12【解析】 x 3＝[2＋(x －2)]3，a 2＝C 23×2＝6. 【答案】 B4．使⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7【解析】 T r ＋1＝C r n (3x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r＝C r n 3n －r，当T r ＋1是常数项时，n －52r＝0，当r ＝2，n ＝5时成立．【答案】 B5．在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 2 01510的展开式中，含x 2项的系数为( )A ．10B ．30C ．45D ．120【解析】因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 2 01510＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋x )＋1x 2 01510＝(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x 2 015＋…＋C 1010⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 01510，所以x 2项只能在(1＋x )10的展开式中，所以含x 2的项为C 210x 2，系数为C 210＝45，故选C.【答案】 C 二、填空题6．(2015·北京高考)在(2＋x )5的展开式中，x 3的系数为________．(用数字作答)【解析】设通项为T r ＋1＝C r 525－r x r ，令r ＝3，则x 3的系数为C 35×22＝10×4＝40.【答案】 407．设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________．【解析】对于T r ＋1＝C r 6x6－r(－a )r ＝C r 6(－a )r·，B ＝C 46(－a )4，A ＝C 26(－a )2.∵B ＝4A ，a >0，∴a ＝2.【答案】 28．9192被100除所得的余数为________. 【导学号：62690022】【解析】法一：9192＝(100－9)92＝C 092·10092－C 192·10091·9＋C 292·10090·92－…＋C 9292992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝C 092·1092－C 192·1091＋…＋C 9092·102－C 9192·10＋1，前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，故9192被100除可得余数为81.法二：9192＝(90＋1)92＝C 092·9092＋C 192·9091＋…＋C 9092·902＋C 9192·90＋C 9292.前91项均能被100整除，剩下两项和为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81.【答案】 81三、解答题9．化简：S ＝1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C n n (n ∈N ＋)．【解】将S 的表达式改写为：S ＝C 0n ＋(－2)C 1n ＋(－2)2C 2n ＋(－2)3C 3n ＋…＋(－2)n C n n ＝[1＋(－2)]n ＝(－1)n .∴S ＝(－1)n ＝⎩⎨⎧1，n 为偶数时，－1，n 为奇数时. 10．(2016·淄博高二检测)在⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数；(2)含x 2的项．【解】 (1)第3项的二项式系数为C 26＝15，又T 3＝C 26(2x )4⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2＝24·C 26x ，所以第3项的系数为24C 26＝240.(2)T k ＋1＝C k 6(2x )6－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k 26－k C k 6x 3－k ，令3－k ＝2，得k ＝1. 所以含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2.[能力提升]1．(2016·吉林高二期末)若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n 能被7整除，则x ，n 的值可能为( )A ．x ＝4，n ＝3B ．x ＝4，n ＝4C ．x ＝5，n ＝4D ．x ＝6，n ＝5【解析】 C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n －1，分别将选项A ，B ，C ，D 代入检验知，仅C 适合．【答案】 C2．已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x )2＋(1－x )3＋…＋(1－x )n 中x 2项的系数为( )A ．－19B ．19C ．20D ．－20【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的通项公式为T r ＋1＝C r n (x )n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r n ，由题意知n 2－5×36＝0，得n ＝5，则所求式子中的x 2项的系数为C 22＋C 23＋C 24＋C 25＝1＋3＋6＋10＝20.故选C.【答案】 C3．(2016·成都高二检测)在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．【解析】 T r ＋1＝C r 20x 20－r (43y )r ＝C r 20 x 20－r y r ，其系数为C r 20.要使C r 20为有理数，r 4∈Z ，又0≤r ≤20，则r ＝0,4,8,12,16,20，因此，系数为有理数的项共有6项．【答案】 64．求⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25的展开式的常数项．【解】法一：由二项式定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝C 05·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5＋C 15·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2＋C 25·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 3·(2)2＋C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3＋C 45·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ·(2)4＋C 55·(2)5. 其中为常数项的有：C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2中的第3项：C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2； C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3中的第2项：C 35C 12·12·(2)3；展开式的最后一项C 55·(2)5. 综上可知，常数项为C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2＋C 35C 12·12·(2)3＋C 55·(2)5＝6322. 法二：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5 ＝132x 5·[(x ＋2)2]5＝132x 5·(x ＋2)10.求原式中展开式的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5的项的系数，即C 510·(2)5，所以所求的常数项为C 510·(2)532＝6322.。

高级中学高中数学(北师大版)选修2-3导学案：第一章二项式系数性质(第8讲)

请根据上述规律写出下一行的数值.
从上述杨辉三角中你发现的规律是对称性
r<
r>一项的二项式系数
=
357a a a ++1||a a ++
课堂训练
1.若(x+)n 展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为( ).
A .10 B.20
C .30
D .120 2.设(1+x )n =a 0+a 1x+…+a n x n ,若a 1+a 2+…+a n =63,则展开式中系数最大的项是( ).
A.15x2
B.20x3
C.21x3
D.35x3
教学反思
练案
1．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项及所在的项数是( ) A．n，n＋1
B．n－1，n
C．n＋1，n＋2
D．n＋2，n＋3
2．关于(a－b)10的说法，错误的是( )
A．展开式中的二项式系数之和为1024
B．展开式中第6项的二项式系数最大
C．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
3．(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是( )
A．－2048
B．－1023
C．－1024
D．1024
4．若n为偶数，则1＋3C1n＋C2n＋3C3n＋…＋3C n－1n＋C n n的值为________．
5.(1+x)3(1+)3的展开式中的系数是.
能力提升
1.在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数
2.若等式x5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a3(1+x)3+a4(1+x)4+a5(1+x)5对一切x ∈R都成立,其中a0,a1,a2,…,a5为实常数,求a4的值.。

【2019年整理】高中数学选修2-3《二项式定理》复习课教案

二项式定理复习课新课标教材数学（选修2－3·北师大版）第一章§5.1《二项式定理》考纲要求及高考动向：2010年考试大纲（广东卷）对本节知识的要求是：1.理解二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项式定理有关的简单问题。

高考主要考查通项和二项展开式的应用，即求特定项以及展开式中的系数和等问题。

一、教学目标1、知识目标：掌握二项式定理及有关概念，通项公式，二项式系数的性质；2、思想方法目标：使学生领悟并掌握方程的思想方法，赋值法，构造法，并通过引申变式提高学生的应变能力，创造能力及逻辑思维能力。

3、情感目标：通过学生的主体活动，营造一种愉悦的情境，使学生自始至终处于积极思考的氛围中，不断获得成功的体验，从而对自己的数学学习充满信心。

二、教学重点与难点1、重点：二项式定理及有关概念2、难点：二项式定理的应用三、教学资源课本、复习资料、电脑、多媒体平台四、教法与学法1、教法：本节课的教法贯穿引导式教学原则，以“引导思考”为核心，通过例题及其引申变式引导学生沿着积极的方向思维，逐步达到即定的教学目标，发展学生的逻辑思维能力。

2、学法：根据学生思维的特点，遵循“教必须以学为主”的教学理念，让每一个学生自主参与整堂课的知识构建。

在教学的各个环节中引导学生积极参与，进行类比迁移，对照学习。

学生在教师营造的“自主学习”的环境里，生动活泼地获取知识，掌握规律、主动发现、主动发展。

五、教学过程（一）教材复习1.二项式定理 01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈（1）展开式中共有n+1项（2）展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1,它表示的是展开式的第r+1项（3）二项式系数：2．二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即m n m n n C C -=（2）增减性与最大值：先增再减；当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C -，12n n C +取得最大值。

1.5.2二项式系数的性质学案(高中数学选修2-3 北师大版)

1.5.2二项式系数的性质学习目标：理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用学习重点：理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用学习过程一、复习引入：1．二项式定理01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈ ，2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+=二、学习新课：1 二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2．二项式系数的性质：（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n nC C -=）．（2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!kk n n n n n n k n k C C k k----+-+==⋅ ， ∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<，当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C-，12n n C +取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++ ，令1x =，则0122n r nn n n n n C C C C C =++++++三、典例分析例1．在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，求：（1）127a a a +++ ；（2）1357a a a a +++；（3）017||||||a a a +++ .例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数例4.在(x 2+3x+2)5的展开式中，求x 的系数例5.已知n 2)x2x (-的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项课堂小节：本节课学习了二项式系数的性质课堂练习：1．(1＋x )2n ＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )A ．n ，n ＋1B ．n －1，nC ．n ＋1，n ＋2D ．n ＋2，n ＋32．关于(a －b )10的说法，错误的是( )A ．展开式中的二项式系数之和为1024B ．展开式中第6项的二项式系数最大C ．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大D ．展开式中第6项的系数最小3．(x －1)11展开式中x 的偶次项系数之和是( )A ．－2048B ．－1023C ．－1024D ．10244．若n 为偶数，则1＋3C 1n ＋C 2n ＋3C 3n ＋…＋3C n －1n ＋C n n 的值为________．第九课时1.5.2二项式系数的性质答案三、典例分析例1．证明：在展开式01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈ 中，令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n n n n n n nC C C C C -=-+-++- ，即02130()()n n n n C C C C =++-++ ，∴0213n n n n C C C C ++=++ ，即在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++= .例2．解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为 0127a a a a ++++∴0127a a a a ++++ 1=-，当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=- ，（2）令1x =， 0127a a a a ++++ 1=- ①令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7132+-. （3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正，∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，。

高中数学选修2-3优质学案：1.3.1 二项式定理

1．3.1 二项式定理[学习目标] 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识点一二项式定理(a＋b)n＝______________________________(n∈N*)．(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有__________项．(3)二项式系数：各项的系数C k n(k∈{0,1,2，…，n})叫做________________．知识点二二项展开式的通项公式(a＋b)n展开式的第__________项叫做二项展开式的通项，记作T k＋1＝________________.思考1二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？思考2二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第k＋1项是否相同？题型一二项式定理的正用、逆用例1利用(a＋b)n的二项展开式解题．(1)求(a＋2b)4的展开式；(2)求(2x－32x2)5的展开式．反思与感悟运用二项式定理展开二项式，要记准展开式的通项公式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷；要搞清楚二项展开式中的项以及该项的系数与二项式系数的区别．逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．跟踪训练1(1)求(3x＋1x)4的展开式；(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．题型二二项展开式通项的应用例2若(x)n展开式中前三项系数成等差数列，求：(1)展开式中含x的一次项；(2)展开式中所有的有理项．反思与感悟利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型．常见的有求二项展开式中的第k项、常数项、含某字母的r次方的项等等．其通常解法就是根据通项公式确定T k＋1中k的值或取值范围以满足题设的条件．跟踪训练2在(2x2)8的展开式中，求：(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；(2)x2的系数．题型三二项式定理的应用例3(1)试求199510除以8的余数．(2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．反思与感悟利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．跟踪训练3已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除．对组合数及展开式中的常数项理解不透致误例4 求(x ＋1x －1)5的展开式中的常数项．错解 ∵(x ＋1x －1)5＝[(x ＋1x)－1]5，∴展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·(x ＋1x)5－r ·(－1)r (r ＝0,1,2，…，5)，而(x ＋1x )5－r 的展开式的通项为T ′k ＋1＝C k 5－r ·x 5－r －k ·(1x )k ＝C k 5－r ·x 5－r －2k (k ＝0,1，…，5－r )．欲求常数项，令5－r －2k ＝0，即r ＋2k ＝5，而0≤r ≤5,0≤k ≤5－r ，k ，r ∈N *，∴有三组解⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，k ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，k ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝5，k ＝0，∴所求常数项为C 15C 24(－1)，C 35C 12(－1)3和C 55C 00·(－1)5，即－30，－20和－1. 错因分析错解中出现了C 00这个无意义的组合数，这是解题不严密造成的，在考虑(x ＋1x )5－r的展开式时，用的是二项式定理，但没有注意到二项式定理只对n ∈N *适用．当r ＝5时，5－r ＝0，此种特殊情况应特殊处理．还有概念的理解错误，一个展开式中只能有一个常数项，不可能有两个或多个常数项．正解 ∵(x ＋1x －1)5＝[(x ＋1x)－1]5，∴展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·(x ＋1x )5－r ·(－1)r (r ＝0,1,2，…，5)．当r ＝5时，T 6＝C 55·(－1)5＝－1. 当0≤r ＜5时，(x ＋1x )5－r 的展开式的通项为T ′k ＋1＝C k 5－r ·x 5－r －k ·(1x )k ＝C k 5－r ·x 5－r －2k (k ＝0,1,2，…，5－r )．欲求常数项，令5－r －2k ＝0，即r ＋2k ＝5. ∵0≤r ＜5，且k ，r ∈N *，∴r 只能取1或3，相应的k 值分别为2或1，即⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，k ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，k ＝1.∴常数项为C 15C 24(－1)1＋C 35C 12(－1)3＋(－1)＝－51.点评常数项其实也是二项式的特定项．求特定项或特定项的系数，可以先写出二项式的通项，根据通项的特点，求出相应的r 的值，再代入通项求特定项或其系数．1．1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C n n 等于( )A ．1B ．－1C ．(－1)nD ．3n2．若(1＋2)4＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b 等于( ) A ．33B ．29C ．23D ．193．在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．－5B ．5C ．－10D ．104．二项式(2x ＋1x 2)6的展开式中，常数项是________．5．若(x ＋a )10的展开式中x 7的系数为15，则a ＝________.1.注意区分项的二项式系数与系数的概念．2．要牢记C k n an －k b k是展开式的第k ＋1项，不要误认为是第k 项． 3．求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值．提醒：完成作业第一章 1.3.1[答案]精析知识梳理知识点一C 0n a n＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (2)n ＋1(3)二项式系数知识点二k ＋1 C k n an －k b k 思考1 二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念．二项式系数是指C 0n ，C 1n ，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关．思考2 不同．(a ＋b )n 展开式中第k ＋1项为C k n a n －k b k ，而(b ＋a )n 展开式中第k ＋1项为C k n bn －ka k .题型探究例1 解 (1)根据二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n ，得(a ＋2b )4＝C 04a 4＋C 14a 3(2b )＋C 24a 2(2b )2＋C 34a (2b )3＋C 44(2b )4＝a 4＋8a 3b ＋24a 2b 2＋32ab 3＋16b 4.(2)(2x －32x 2)5＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4(－32x 2)＋C 25(2x )3·(－32x 2)2＋C 35(2x )2(－32x 2)3＋C 45(2x )(－32x2)4＋C 55(－32x 2)5＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x10. 跟踪训练1 解 (1)方法一 (3x ＋1x )4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3·1x ＋C 24(3x )2·(1x)2＋C 34(3x )·(1x )3＋C 44·(1x)4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 方法二 (3x ＋1x)4＝(3x ＋1)4x 2＝1x 2[C 44(3x )4＋C 34(3x )3＋C 24(3x )2＋C 14·3x ＋1] ＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1) ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.(2)原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55－1＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1.例2 解 (1)由已知可得C 0n ＋C 2n ·122＝2C 1n·12，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8，或n ＝1(舍去)．T k ＋1＝C k 8(x )8－k·(124x)k ＝C k 8·2－k·x 344k -，令4－34k ＝1，得k ＝4.所以x 的一次项为T 5＝C 482－4x ＝358x . (2)令4－34k ∈Z ，且0≤k ≤8，则k ＝0,4,8，所以含x 的有理项分别为T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x 2.跟踪训练2 解 (1)T 5＝T 4＋1＝C 48(2x 2)8－4(－13x)4＝C 48·24·x 203，所以第5项的二项式系数是C 48＝70，第5项的系数是C 48·24＝1120. (2)(2x 2－13x)8的通项是C r 8(2x 2)8－r(－13x)r ＝(－1)r C r 8·28－r·x7163r-.由题意，得16－73r ＝2，解得r ＝6，因此，x 2的系数是(－1)6C 68·28－6＝112. 例3 (1)解 199510＝(8×249＋3)10.∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数， ∴199510除以8的余数与310除以8的余数相同．又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数， ∴310除以8的余数为1，即199510除以8的余数也为1. (2)证明 32n ＋2－8n －9 ＝(8＋1)n ＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n ＋1n ＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182＋(n ＋1)×8＋1－8n －9 ＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182①.①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除．跟踪训练3 证明 1＋2＋22＋23＋…＋25n －1＝1－25n 1－2＝25n－1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋1－1＝31×(31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n)，显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除．当堂检测1．C 2.B 3.D 4.240 5.12。

高中数学北师大版选修2-3学案1.5.2 二项式系数的性质 Word版含解析

二项式系数的性质
．了解杨辉三角．
．掌握二项式系数的性质．(重点)
．会用赋值法求系数和．(难点
)
[基础·初探]
教材整理二项式系数的性质
阅读教材～“练习”以上部分，完成下列问题．
．杨辉三角的特点
()在同一行中每行两端都是，与这两个等距离的项的系数．
()在相邻的两行中，除以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的，即＝.
【答案】()相等()和＋
．二项式系数的性质
当为奇数时，中间两项的二项式系数
．已知(＋)展开式中只有第项的二项式系数最大，则等于( )
．．
．．
【解析】∵只有第项的二项式系数最大，
∴＋＝，∴＝.
【答案】
．如图--，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第行中从左至右第个与第个数的比为∶.
图--
【解析】由已知＝，
即×＝，
化简得＝，解得＝.
【答案】
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
[小组合作型]。

数学北师大版高中选修2-3高中数学北师大版选修2-3第一章计数原理第五节《二项式定理》第一课时教学设计方案

1
(a b)2 =(a+b)(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b= a 2 2ab b2
参考资料学习帮手
word 格式整理
(a b)3 = (a b)2 (a+b)= (a2 2ab b2 ) (a+b)= a3 3a 2b 3ab2 b3 (a b)4 = (a b)3 (a+b)= (a3 3a2b 3ab2 b3 ) (a+b)
教学过程
（一）新课引入： (提问)：若今天是星期一，再过 8 天后的那一天是星期几？
0 1 9 10 8 ＝(7+1) ＝ C10 7 + C10 7 +…+ C10 7+ C10
10 10 10 9
备注
10
在初中，我们已经学过了 (a b)2 a2 2ab b2
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
【说明】：二项式系数
展开式中第 3 项中系数为 3．指数： a
nr
C62 ·22＝60 而第三项的二项式系数是 C62 ＝15。
br 指数和为 n，a 的指数依次从 n 递减到 0，
b 的指数依次从 0 递增到 n。（三）、例题讲解：
1 (1 ) 4 x ．例 1．展开
1 1 1 1 1 1 2 3 1 3 (1 ) 4 1 C4 ( ) C4 ( ) C4 ( ) ( )4 x x x x x 解一：
= a 4a b 6a b 4ab b
4 3 2 2 3 4
根据以上的归纳，可以想到 (a b)n 的展开式的各项是齐次的，它们分别为

高二数学二项式定理(选修2—3)学案第一节

§1.3二项式定理
设计：杜善鲁 2018/12/4 ＮＯ．２３
学习目标：用两个计数原理分析2)b a +（的展开式，归纳得出二项式定理，并能
用计数原理证明；掌握二项展开式的通项公式；能应用它解决简单问题。

学习重点：二项式定理及通项公式
学习过程：
一、二项式定理及推导
1、写出下列展开式：2)b a +（＝
3)(b a +＝
4)(b a +＝
并用两个原理解释展开式，并由此猜想n b a )+（的展开式。

n b a )+（＝
2、二项式定理：说明：①它共有n 项 ②各项的系数等于二项式的次数为n ③字母a 按降幂排列，次数由n 递减到0；字母b 按升幂排列，次数由0递增到n ④系数2,1,0(=k C k n …n )叫做（第k 项的）二项式系数。

问题1、写出7)q p +（展开式。

问题2、求6)12(x
x -
的展开式。

二、二项展开式的通项
1+k T ＝ 2,1,0(=k …n )
说明：①公式表示的是展开式的第k+12,1,0(=k …n )项。

②公式中的字母a,b 是一种“符号”，实际上可以是数、式，只
要具备二项式的形式，都可以用定理展开。

③区别展开式中第k+1项的二项式系数与项的系数。

问题3、求7)21x +（的展开式的第4项的二项式系数与第4项的系数
问题4、求9)1
x
x -（的展开式中3x 的二项式系数和3x 项的系数
问题5、写出n x )1+（的展开式，并求+++210n n n C C C …n n
C 的值（用分类加法计数原理和二项式定理求含有n 个元素的集合的子集的个数）。

2020-2021学年北师大版数学选修2-3学案：1.5.1 二项式定理 Word版含解析

§5 二项式定理 5．1 二项式定理授课提示：对应学生用书第19页[自主梳理]二项式定理二项式定理概念公式(a ＋b )n ＝________________________(n ∈N *)叫作二项式定理二项式系数r ＋1项的二项式系数C r n (r ＝0,1,2，…，n )二项式通项 C r n an －r b r叫作二项展开式的第________项(也称通项)，用T r ＋1表示，即T r ＋1＝C r n ·a n －r ·b r 二项展开式 C 0n a n ＋C 1n ·a n －1·b ＋…＋C r n an －r ·b r ＋…＋C n n ·b n [双基自测]1．设P ＝1＋5(x ＋1)＋10(x ＋1)2＋10(x ＋1)3＋5(x ＋1)4＋(x ＋1)5，则P 等于( ) A ．x 5 B ．(x ＋2)5 C ．(x －1)5D ．(x ＋1)52.⎝⎛⎭⎫2x －1x 25的二项展开式为________． [自主梳理]C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n nb n r ＋1 [双基自测]1．B P ＝C 05·15·(x ＋1)0＋C 15·14·(x ＋1)1＋C 25·13·(x ＋1)2＋C 35·12·(x ＋1)3＋C 45·1·(x ＋1)4＋C 55·10·(x ＋1)5＝(1＋x ＋1)5＝(x ＋2)5.2．32x 5－80x 2＋80x －40x 4＋10x 7－1x 10 ⎝⎛⎭⎫2x －1x 25＝C 05(2x )5－C 15(2x )4·1x 2＋C 25(2x )3·⎝⎛⎭⎫1x 22－C 35(2x )2·⎝⎛⎭⎫1x 23＋C 45(2x )·⎝⎛⎭⎫1x 24－C 55·⎝⎛⎭⎫1x 25＝32x 5－80x 2＋80x －40x 4＋10x 7－1x 10.授课提示：对应学生用书第20页探究一二项式定理的正用、逆用[例1] (1)求(3 x ＋1x)4的展开式； (2)化简(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)． [解析] (1)解法一 (3 x ＋1x)4 ＝C 04(3 x )4＋C 14(3 x )3·1x ＋C 24(3 x )2·(1x )2＋C 34(3 x )·(1x )3＋C 44·(1x )4 ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2.解法二 (3 x ＋1x )4＝(3x ＋1)4x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1) ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.(2)原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55(x －1)0－1＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1.1．熟练掌握二项式(a ＋b )n 的展开式，是解答好与二项式有关问题的前提条件．当二项式较复杂时，可先将式子化简，然后再展开．2．逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．1．化简(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1.解析：原式＝C 05(2x ＋1)5－C 15(2x ＋1)4＋C 25(2x ＋1)3－C 35(2x ＋1)2＋C 45(2x ＋1)－C 55(2x ＋1)0＝(2x ＋1－1)5＝(2x )5＝32x 5.探究二求二项展开式中的特定项[例2] 求(x －3x )9展开式中的有理项． [解析] 二项式的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 9(x 12)9－r (－x 13)r ＝(－1)r C r9x 27－r 6. 令27－r6∈Z ，且r ＝0,1,2，…，9. 得r ＝3或r ＝9.当r ＝3时，T 4＝(－1)3C 39x 4＝－84x 4.当r ＝9时，T 10＝(－1)9C 99x 3＝－x 3.所以(x －3x )9展开式中的有理项是：第4项，－84x 4；第10项，－x 3.二项式中的特定项(1)常数项二项展开式的某一项为常数项，就是这项中不含“变元”，一般采用令通项中变元的指数为零的方法求得．(2)有理项求展开式的有理项，应写出它的通项公式，令未知量的指数为整数，便能求出适合题意的有理项．(3)中间项对于展开式的中间项，若n 是偶数，则二项展开式的中间项为第n2＋1项；若n 是奇数，则二项展开式的中间项有两项：第n ＋12项和第n ＋12＋1项．2．已知(x －124x)n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)证明：展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有有理项．解析：依题意，前三项系数的绝对值分别是 1，C 1n (12)，C 2n (12)2，且2C 1n ×12＝1＋C 2n(12)2，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8(n ＝1舍去)，T r ＋1＝C r 8(x )8－r (－124x )r ＝(－12)r C r 8x 8－r 2x －r 4 ＝(－1)r C r 82r x 16－3r 4.(1)证明：若T r ＋1为常数项，当且仅当16－3r 4＝0，即3r ＝16，∵r ∈N ，∴这不可能，∴展开式中没有常数项．(2)若T r＋1为有理项，当且仅当16－3r4为整数．∵0≤r≤8，r∈N，∴r＝0,4,8，即展开式中的有理项共有三项，它们是T1＝x4，T5＝358x，T9＝1256x－2.探究三二项式系数与项的系数[例3]已知在(3x－123x)n的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14∶3.(1)求n的值；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．[解析](1)依题意，得C4n∶C2n＝14∶3.化简，得(n－2)·(n－3)＝56.解得n＝10或n＝－5(不合题意，舍去)，∴n的值为10.(2)通项为T r＋1＝C r10x10－r3(－12)r x－r3＝C r10(－12)r x10－2r3(r＝0,1，…，10)．令10－2r3＝2，得r＝2.∴所求的系数为C210·(－12)2＝454.(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧10－2r3∈Z，0≤r≤10，r∈Z，∴r＝2,5,8.∴第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为C210(－12)2x2，C510(－12)5，C810(－12)8x－2.二项式系数与系数的区别前者只与二项式的指数及第几项有关，与二项式无关，它是一个组合数C r n；后者与二项式、二项式的指数及项中字母的系数均有关．3．已知二项式⎝⎛⎭⎫3x －23x 10. (1)求展开式中第4项的二项式系数； (2)求展开式中第4项的系数．解析：⎝⎛⎭⎫3x －23x 10的二项展开式的通项是T k ＋1＝C k 10(3x )10－k ⎝⎛⎭⎫－23x k (k ＝0,1，…，10)． (1)第4项的二项式系数为C 310＝120. (2)第4项的系数为C 31037⎝⎛⎭⎫－233＝－77 760.转化思想在多项展开式中的应用[典例] 求(1＋x ＋x 2)8展开式中x 5的系数．[解析] 解法一 (1＋x ＋x 2)8＝[1＋(x ＋x 2)]8，所以T r ＋1＝C r 8(x ＋x 2)r ，则x 5的系数由(x ＋x 2)r来决定，T ′k ＋1＝C k r x r －k x 2k ＝C k r xr ＋k，令r ＋k ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝5，k ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝4，k ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，k ＝2.所以展开式中x 5的系数为C 58·C 05＋C 48·C 14＋C 38·C 23＝504.解法二 (1＋x ＋x 2)8＝[(1＋x )＋x 2]8＝C 08(1＋x )8＋C 18·(1＋x )7·x 2＋C 28(1＋x )6·(x 2)2＋C 38(1＋x )5·(x 2)3＋…＋C 78(1＋x )(x 2)7＋C 88(x 2)8，则展开式中x 5的系数为C 08·C 58＋C 18·C 37＋C 28·C 16＝504. 解法三 (1＋x ＋x 2)8＝(1＋x ＋x 2)(1＋x ＋x 2)…(1＋x ＋x 2)(共8个)，这8个因式中乘积展开式中形成x 5的来源有三个：(1)有2个括号各出1个x 2，其余6个括号恰有1个括号出1个x ，这种方式共有C 28·C 16种；(2)有1个括号出1个x 2，其余7个括号中恰有3个括号各出1个x ，共有C 18·C 37种； (3)没有1个括号出x 2，恰有5个括号各给出1个x ，共有C 58种．所以x 5的系数是C 28·C 16＋C 18·C 37＋C 58＝504.[感悟提高] 对于三项式展开或两个二项式乘积的展开问题，所用解法一般为二项式定理展开，或将三项式转化为二项式．(1)⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－23的展开式为________． (2)⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋110展开式中的常数项为________．解析：(1)因为x 2＋1x 2－2＝x 2－2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2，所以⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－23＝⎝⎛⎭⎫x －1x 6＝C 06x 6＋C 16x 5⎝⎛⎭⎫－1x ＋C 26x 4⎝⎛⎭⎫－1x 2＋C 36x 3⎝⎛⎭⎫－1x 3＋C 46x 2⎝⎛⎭⎫－1x 4＋C 56x ⎝⎛⎭⎫－1x 5＋C 66⎝⎛⎭⎫－1x 6＝x 6－6x 4＋15x 2－20＋15x 2－6x 4＋1x 6.(2)因为⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋110＝⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫a ＋1a 210，所以其通项为C r 10⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2r(r ＝0,1，…，10)，要求原式中的常数项，则应先求出⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2r 的展开式中的常数项．因为二项展开式的第k ＋1项为C k r a r －k ⎝⎛⎭⎫1a 2k ＝C k r a r －3k(k ＝0,1,2，…，r )，由题意，令r －3k ＝0，即r 是k 的3倍．又r ∈N ，且r ≤10，所以r ＝0,3,6,9，此时k ＝0,1,2,3.当r ＝0时，k ＝0，系数为C 010＝1；当r ＝3时，k ＝1，系数为C 13C 310＝360；当r ＝6时，k ＝2，系数为C 26C 610＝C 26C 410＝3 150；当r ＝9时，k ＝3，系数为C 39C 910＝C 39C 110＝840.所以原式的展开式中对应常数项为1＋360＋3 150＋840＝4 351. 答案：(1)x 6－6x 4＋15x 2－20＋15x 2－6x 4＋1x 6(2)4 351莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

选修2-3二项式定理学案

选修2-3二项式定理学案二项式定理导学案（两课时）一、你知道本节课你要达到的要求吗？请看学习目标：掌握二项式定理有其推导方法以及二项展开式的有关特征，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、温故而知1、()()()112233a b a b a b +++新展开式中一共多少项？2、写出()3a b +的展开式：（什么是展开式：先整式的乘法运算,再合并同类项,再按某个字母的降幂或升幂排列）(a+b)3=________________________这种只有两个元素的展开叫做二项展开式。

三、自学能力培养从这里开始，反复阅读课本完成下列问题问题:4()a b +的二项展开式是什么？研究：()()()()a b a b a b a b ++++展开式中：（1）全展开（每一项系数为1）共几项？（2）展开式中会出现哪些项？（展开式中每一项的系数都等于二项式的系数）则： 4432234)(a b a a b a b ab b +=++++问题：每一项前面的系数各是什么？类比：(a+b)3=322333a a b ab b +++计算：2a b 在3()a b +的展开式中出现了几次？以b 来计算，2a b 中只有一个b 则出现的次数是13C 。

则40413222334444444()a b C a C a b C a b C ab C b +=++++=_______________________________一般的，对于任意正整数*()n n N ∈，这个式子展开称为二项式展开，此公式所表示的定理称为二项式定理，右边展开后的式子称为是二项展开式。

其中各项的系数,(0,1,2)r n C r n =称为是此项的二项式系数。

式子中r n r r n C a b -成为是二项展开式的通项，用1r T +表示，即1r n rr r n T C a b -+=。

在二项式定理中，令a=1,b=x 则(a+b)n =________________________令a=1,b=-x 则(a+b)n =______________________注：1、二项式展开后共有1n +项2、二项式展开后通常是以前面一个元素的降幂排列3、注意通项中第1r +项和指数r 的关系（如：777871n n T T C a b -+==）四、学习研究本节例题,尝试探究下列例题的解法例1、（利用二项式定理展开）（1）展开32x ?（详细写过程）（2）展开(51例2、（求展开式中的某一项）（1）求()421x -展开式中的第3项（2）若2nx展开式中的第5项是常数项，求n 并写出这个常数项例3、（求某项的二项式系数与项的系数）（1）求723x ?? ???展开式中第5项的二项式系数，第4项的系数，5 x 前的系数。

高三数学选修2-3(B版)_《二项式定理(第2课时)》参考学案

1、()n a b +=2、1K T +=【合作探究】 1、试判断102)13(xx +的展开式中有无常数项？如果有，求出该常数项；如果没有，说明理由。

1．二项展开式的通项公式二项展开式中的C k n k kn ab -叫做二项展开式的通项，用1k T +来表示。

即通项为展开式的第1k +项。

1C k n k kk n T a b -+=。

其中C (0,1,2,,)k n k n =叫做二项式系数。

对于n b a )(-的展开式，其通项公式为 1(1)C k k n k kk n T ab -+=-。

由于其通项一般记为1k T +，所以K 不是项数，1K +才是项数；反过来，当已知项数时，将它减去1，才得到K 。

2．二项展开式的通项公式的作用二项展开式的通项公式，反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系，因此能运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项系数、常数项、有理项及系数最大、绝对值最大的项。

3．求52)23(++x x 展开式中含x 项的系数。

解法1：[]5252)23()23(++=++x x x x555424581510)23(C )23(C )23(C +++⋅+++⋅+=x x x x x x 。

显然只有5)23(+x 中含有x 项，其系数为 24023C C 44555=⋅⋅⋅。

解法2：由于5552)2()1()23(++=++x x x x)22C 2C )(1C C (54454155454155+⋅++⋅⋅+++++=x x x x x x ∴展开式中含x 项的系数是 24016C C 324545=+。

4．求25(1)(1)x x +-展开式中x 3的系数．解：25(1)(1)x x +-中含x 3的项为331222213525251()()()5C x C x C x C x C x x ⨯-+⋅⋅-+⋅-=故展开式中x 3的系数为5．【目标检测】（A 级）（1）11110-能被100整除；证明：∵1)110(1111010-+=-1)110C 10C 10C 10(9108210911010-+⋅++⋅+⋅+= 282109110101010C 10C 10++⋅+⋅+= )110C 10C 10(100621071108++⋅+⋅+= ∴11110-能被100整除。

高中数学第一章计数原理 5 二项式定理学案北师大版选修2-3(2021年最新整理)

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§5 二项式定理3．会用二项式定理找等量关系1．二项式定理(a ＋b ）n ＝C 错误!a n ＋C 错误!a n －1b ＋…＋C 错误!a n －r b r ＋…＋C 错误!b n。

这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为(a ＋b ）n 的二项展开式．(a ＋b )n的二项展开式共有n ＋1项，其中各项的系数C 错误!(r ＝0,1,2，…，n )称为二项式系数,C 错误!a n －r b r称为二项展开式的第r ＋1项，又称为二项式通项．在二项式定理中,如果设a ＝1，b ＝x ，则得到公式：（1＋x )n＝1＋C 错误!x＋C 错误!x 2＋…＋C 错误!x r ＋…＋x n.预习交流1如何记忆二项式定理？提示：记忆二项式定理的关键是记住二项式的通项，T r ＋1＝C 错误!a n －r b r，其中T r ＋1为二项展开式的第r ＋1项，a ，b 的指数和为n 。

2．二项式系数的性质 C r n ＋1＝C 错误!＋C 错误!；C 错误!＝C 错误!；C 错误!＋C 错误!＋…＋C 错误!＋…＋C 错误!＝2n . 预习交流2如何证明C 错误!－C错误!＋C 错误!－C 错误!＋…＋(－1）n ＋1C 错误!＝0。

提示:令二项展开式中的a ＝1，b ＝－1，即可得到要证明的结论．1．二项式定理求错误!4的展开式．思路分析：直接利用二项式定理，注意每一项都符合二项展开式的通项公式，也可先将原式变形后再展开．解：方法1：错误!4＝C 错误!（3错误!）4·错误!0＋C 错误!(3错误!）3·错误!1＋C 错误!（3错误!）2错误!2＋C 错误!(3错误!）·错误!3＋C 错误!（3错误!)0·错误!4＝81x 2＋108x ＋54＋错误!＋错误!。

高中数学选修2-3二项式定理教案[整理三套]

二项式定理教学目标（1）掌握二项式定理及其简单应用；（2）展示二项式定理的推导过程，培养学生类比、归纳及理性思维的能力．教学重点，难点：二项式定理的发现及理解．教学过程一．问题情境1．情境：由多项式的乘法法则可以知道：（1）1()a b a b +=+ （2）222()2a b a ab b +=++；（3）33223()33a b a a b ab b +=+++ （4）4432234()464a b a a b a b ab b +=++++ 2．问题：你能写出*()()n a b n N +∈的展开式吗？二．学生活动为了确定*()()n a b n N +∈的展开式，我们必须明确展开式中的项是如何产生的．为此，我们先看2,3n =的情形：22222()()()2a b a b a b a ab ba b a ab b +=++=+++=++．上面展开式中的每一项都是从两个括号中各取一个字母的乘积．322()()()()()()a b a b a b a b a ab ba b a b +=+++=++++32222223322333a a b a b ab ba b a b a b a a b ab b =+++++++=+++由上述过程可以看出，3()a b +展开式中的每一项都是从()()()a b a b a b +++的每个括号里各取一个字母的乘积．就上面四个展开式的项数、每一项的构成等进行研究，探求规律，进而得到猜想：()n a b +=（）n a +（）1n a b -+（）2...n a b -++（）n b上述猜想中各项的系数如何确定？展开式各项的系数：每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0n C；恰有1个取b 的情况有1nC 种，n a b 的系数是1n C ，……，恰有r 个取b 的情况有rn C种，n rr ab -的系数是rn C ，……，有n 都取b 的情况有nn C 种，n b 的系数是nn C， ∴01()()n n nr n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，三．建构数学 1．011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()na b +的二项展开式，它有1n +项，各项的系数(0,1,)rnC r n =叫二项式系数，r n r rn C a b-叫二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项1r n rrr n T C ab -+=．2．(1)nx +的展开式：二项式定理中，设1,a b x ==，则1(1)1n r rnn n x C x C x x +=+++++．四．数学运用 1．例题：例1．展开下列各式：（1）6()a b -；（2）41(1)x + 解：（1）6606152423336666()[()]()()()a b a b C a C a b C a b C a b -=+-=+-+-+-4245566666()()()C a b C a b C b +-+-+-654233245661520156a a b a b a b a b ab b =-+-+-+（2）412233444411111(1)1()()()()C C C x x x x x +=++++23446411x x x x =++++．例2．求7(12)x +的展开式中第4项的二项式系数和系数．解：因为7(12)x +的展开式中第4项是3733471(2)T C x -=，所以，第4项的二项式系数为3735C =，系数为3372280C =．例3．求61()2x x -的二项展开式中的常数项．解：设二项展开式中的常数项为第1r +项，即66216611()(1)22r rr r r rr T C x C x x r --+=-=-，根据题意，得 620,3r r -=∴=，所以二项展开式中的常数项为364582C T =-=-．例4．求（1）6(23)a b +；（2）6(32)b a +的展开式中的第3项．解：（1）24242216(2)(3)2160T C a b a b +==，（2）24242216(3)(2)4860T C b a b a +==．说明：6(23)a b +，6(32)b a +的展开后结果相同，但展开式中的第r 项不相同．例5．（1）求9(3x+的展开式常数项；（2）求9(3x 的展开式的中间两项．解：∵399292199()33r r r r r r r x T C C x ---+==⋅，∴（1）当390,62r r -==时展开式是常数项，即常数项为637932268T C =⋅=；（2）9(3x +的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项， 489912593423T C x x --=⋅=，15951092693T C x --=⋅=五．回顾小结：二项式定理，二项展开式的通项公式．。

1.5.1二项式定理教案高中数学选修2-3 北师大版

§5 二项式定理5.1二项式定理●三维目标1．知识与技能(1)使学生参与并探讨二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的幂次、展开式项数的规律．(2)能够应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开．2．过程与方法(1)在学生对二项式定理形成过程的参与、探讨过程中，培养学生观察猜想、归纳的能力及分类讨论解决问题的能力．(2)培养学生的化归意识和知识迁移的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过学生自主参与和二项式定理的形成过程培养学生解决数学问题的信心．(2)通过学生自主参与和二项式定理的形成过程培养学生体会教学内在和谐对称美．(3)培养学生民族自豪感，在学习知识的过程中进行爱国主义教育．●重点难点重点：使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的幂次、展开式系数的规律；能够利用二项式定理对给出的二项式进行展开．难点：二项式定理的发现．二项式定理形式很重要．教学中一定要注意这一点，其关键是让学生掌握二项式定理的形成过程，让学生明确为何可以用组合数来表示二项式定理中各项的系数，这样才能够使学生掌握重点，也有利于突破教学难点．(教师用书独具)●教学建议掌握并能运用二项式定理，让学生主动探索展开式的由来是关键．“学习任何东西最好的途径是自己去发现”正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之深固也”．本节课的教法贯穿启发式教学原则，以启发学生主动学习，积极探究为主，创设一个以学生为主体，师生互动，共同探索的教与学的情境．在教学中不仅要重视知识的结果，而且重视知识的发生、发现和解决过程．●教学流程创设问题情境，引出问题：今天是星期一，再过30天后的那一天是星期几？⇒引导学生结合初中所学过的公式观察、比较、分析，再提出新问题由(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b4，提出(a＋b)4＝？(a＋b)5＝…⇒通过引导，让学生发现该问题与组合知识有关，逐步引导学生去发现各项及各项系数值的求法．⇒得出定理，深化认识：请学生总结二项式定理中展开式的系数、指数、项数的特点；二项式展开式的结构特征等．⇒巩固应用，由得出的二项式定理，让学生解答例1、例2、例3及相应变式训练．⇒归纳整理，进行课堂小结，布置作业．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识.1．(a＋b)1＝？【提示】(a＋b)1＝a＋b.2．(a＋b)2＝？【提示】(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.3．在问题2中，如何用组合知识来解释a2，ab，b2的系数．【提示】∵(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)，∴a2相当于从2个因式中的都不取b只取a即C02＝C22＝1；ab相当于从2个因式中一个取a，另一个取b，即C12＝2；b2相当于从2个因式中都不取a只取b，即C22＝C02＝1.4．由问题3类比(a＋b)3展开式．【提示】(a＋b)3＝C03a3＋C13a2b＋C23ab2＋C33b3.5．由问题4、3求(a＋b)n的展开式．【提示】(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n.(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n . 这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为(a ＋b )n 的二项展开式，(a ＋b )n 的二项展开式有n ＋1项，其中各项的系数C r n (r ＝0,1,2…，n )称为二项式系数，C r n a n －r b r 称为二项展开式的第r ＋1项，又称为二项式通项．1．二项式定理右边的各项的次数等于多少？【提示】各项的次数都等于二项式的幂指数n .2．二项式定理右边的展开式共有多少项？【提示】 n ＋1项．(b ＋a )n ＝C 0n b n ＋C 1n b n －1a ＋C 2n b n －2a 2＋…＋C r n b n －r a r ＋…＋C n n a n .(1)求(3x ＋1x)4的展开式； (2)求值C 1n ＋3C 2n ＋9C 3n ＋…＋3n －1C n n . 【思路探究】(1)直接利用二项式定理展开，也可以先化简再展开；(2)先化成二项展开式的形式，然后逆用二项式定理求解．【自主解答】 (1)法一 (3x ＋1x )4 ＝(3x )4＋C 14(3x )31x ＋C 24(3x )2(1x)2＋ C 34(3x )(1x )3＋C 44(1x)4 ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2. 法二 (3x ＋1x )4＝(3x ＋1x)4＝1x 2(1＋3x )4 ＝1x2[1＋C 143x ＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4] ＝1x 2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4)。