利用向量巧解中学数学题(囊括所有可用向量解答的题型!)

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利用向量巧解中学数学题

所成角为 θ ，则 sin θ =
AB·n AB · n
.
图 3.1.2.1
A1 B 、 AO1 都表示成基向量的形式。
图 3.1.1 解:∵平面 OBB 1 O 1 ⊥平面 A0B，0A ⊂ 平面 A0B，平面 OBB 1 O 1 ∩平面 A0B＝OB，且 OA
3
生活小窍门自用资料集
例 2：如图 3，正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，E 是 C 1 C 的中点，（1）求 BE 与平面 B 1 BD 所成角的余弦值；（2）求二面角 B-B 1 E-D 的余弦值。解：如图，以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系 D-xyz，则设正方体的棱长为 2，则（1）因为 B（2,2,0），B 1 (2,2,2),E（0,2,1）,所以 BD =（-2，-2，0）， BB1 =(0,0,2), BE =（-2， ⎧− 2 x − 2 y = 0 0，1），设平面 B 1 BD 的一个法向量是 n =（x,y,z）,则由 n ⊥ BD , n ⊥ BB1 得 ⎨ ， ⎩2 z = 0 ⎧x = − y 所以 ⎨ ，令 y=1，则有 n =（-1，1，0），所以 ⎩z = 0 cos< n , BE >= n·BE n · BE
例 3：上题第（2）问解：令 m 、 l 分别为平面 B 1 DE 与平面 B 1 BE 的法向量，则易知
m =（1，1，-2）， l =（-1，0，0）， m·l
= − 6 ， 6 6 . 6
所以 cos< m ， l >=
m·l
所以二面角 B-B 1 E-D 的余弦值
3.2 向量巧解距离问题 = 10 15 ，所以 sin< n , BE >= ， 5 5 15 . 5 3.2.1 求点到平面的距离所谓法向量就是和平面垂直的向量，通过它和平面上任意两不共线向量的乘积为 0，可确定法向量．设 P 为平面 a 外一点，则点 P 到面 a 的斜线段向量在平面法向量方向的射影，即为点 P 到平面 a 的距离．而线到面的距离可通过线上取一点，转化为点面距求之．其公式为 PO = PA·n0 ,其中 n0 =

利用向量求解几何问题

利用向量求解几何问题在初中数学中，几何是一个重要的内容，它涉及到图形的性质、变换以及空间的关系等。

解决几何问题时，我们可以运用向量的知识，通过向量的性质和运算来简化问题，提高解题的效率。

本文将以一些常见的几何问题为例，介绍如何利用向量来求解。

一、平行四边形的性质平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边是平行的。

我们可以利用向量的性质来证明平行四边形的一些性质。

例如，已知平行四边形ABCD，我们需要证明对角线AC和BD的中点E、F以及对角线的交点O共线。

首先，我们可以通过向量的定义，用向量表示线段，假设向量AB为a，向量AD为b。

由平行四边形的性质可知，向量BC和向量CD也分别等于a和b。

然后，我们可以利用向量的运算性质，通过向量加法和数乘来表示线段的中点。

根据向量的中点公式，我们可以得到中点E、F的向量表示：向量CE = (1/2)(向量BC + 向量CD) = (1/2)(a + b)向量DE = (1/2)(向量AB + 向量AD) = (1/2)(a + b)接下来，我们可以利用向量的加法和数乘运算，证明点E、F和O共线。

假设点O的向量表示为c，由平行四边形的性质可知，向量AC和向量BD也分别等于c。

因此，我们可以得到以下等式：向量CE = (1/2)(向量AB + 向量AD) = (1/2)(a + b)向量DE = (1/2)(向量BC + 向量CD) = (1/2)(a + b)由向量的相等性质可知，上述两个等式可以转化为：(1/2)(a + b) = (1/2)(a + b)通过化简，我们可以得到：a +b = a + b这说明点E、F和O共线，根据向量的性质，我们可以得出结论：平行四边形的对角线的中点和对角线的交点共线。

二、直线的垂直与平行关系在几何中，直线的垂直与平行关系是非常重要的。

利用向量的知识，我们可以通过向量的点积来判断直线的垂直与平行关系。

例如，已知直线l1和直线l2，我们需要判断它们是否垂直。

巧用向量解决几何问题

巧用向量解决几何问题
向量知识在几何问题中有着非常广泛的应用，在具体问题中，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量运算来研究点、线段等几何元素之间的关系，最后将结论转化为几何问题，特别是在有些情况下，应用向量还能起到事半功倍的效果，下面就举几个简单的例子。

一、利用向量求直线夹角
例1 已知直线,，求和夹角的余弦值。

，解:由直线方程知道和的方向向量分别为，
则和夹角的余弦值即为所成角的余弦值或其相反数，设夹角为，
则。

所以和夹角的余弦值即为。

1.
利用向量研究直线的垂直与平行
例2 已知两直线，
1.
如果，求的值；
2.
如果，求的值。

解：由直线的方程可得直线的法向量分别为：和
，
，解得：或
当时，与重合，
，
1.
利用向量求解曲线方程
例3 已知两点，试求以为直径的圆的方程。

解：设为圆上任意一点，则， ,
而，
即为所求圆的方程。

四、利用向量证明几何问题
例4 已知 ,证明：四边形为矩形。

证明： ,
,所以四边形为平行四边形。

, ,
所以四边形为矩形。

当然向量在几何问题当中还有好多方面的应用，在这里仅举几个简单的例子以说明向量的应用问题，巧用向量，就能很容易地解决相关问题。

高考数学难点突破_难点03__运用向量法解题

高考数学难点突破_难点03__运用向量法解题运用向量法解题是高考数学中的一个难点，需要掌握向量的性质和运算规则，并能够灵活运用向量的概念和方法解决问题。

下面将结合具体例题，深入探讨如何突破这一难点。

例题一：已知点A(2,1)，B(4,5)，C(6,3)，求点D使得ABCD为平行四边形。

解析：首先，我们可以使用向量的方法来解决这一问题。

设向量AB 为a，向量AD为b，则向量AC为a+b。

根据平行四边形的性质，向量BD 与向量AC平行且等长，即向量BD与向量AC共线且大小相等。

由向量的定义可知，向量BD=向量AC=(6-2,3-1)=(4,2)。

所以点D的坐标为B的坐标加上向量BD的坐标，即D(4,5)+(4,2)=(8,7)。

通常情况下，解这类问题时可以设A、B、C三点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，向量AB为a=(x2-x1,y2-y1)，向量AC为a+b。

然后，我们可以用(x1,y1)+b=(x4,y4)代表点D的坐标。

再将向量BD与AC进行运算，找到满足平行四边形的点D坐标。

例题二：已知直线l的方程为x-2y+3=0，点A(1,2)，求点P使得AP 垂直于直线l。

解析：根据题意，点P在直线l上，假设点P的坐标为(x,y)。

则向量AP=(-1,2)+(x-1,y-2)=(x-2,y)。

由垂直向量的性质可知，向量AP与直线l的法向量垂直。

直线l的法向量为(1,-2)。

因此，AP与(1,-2)的点乘为0，即(x-2,y)•(1,-2)=0。

将点乘展开计算，得到x-2y=2、由此可得到点P的坐标为(x,y)=(2,-1)。

综上所述，使用向量法解题可以使解题过程更加简洁明了。

但是在运用向量法解题时，需要掌握向量的性质，并能够运用垂直、平行、共线和点乘等相关概念来解决不同类型的问题。

同时，我们还需要注意合理地选取坐标系和使用向量的运算规则。

合理地选取坐标系可以简化计算，使问题更具可行性。

高考数学如何利用向量解决几何问题

高考数学如何利用向量解决几何问题高考数学是中国高中生的重要一课，其中几何问题一直是考试的重点之一。

在解决几何问题时，向量是一种常用的工具和方法。

本文将介绍如何利用向量来解决高考数学中的几何问题，并提供几个实例来加深理解。

一、向量简介向量是指有大小和方向的量，常用箭头表示，如A B⃗。

向量可以表示位移、速度、力等概念。

向量的加法、减法和数乘运算与数的运算类似。

在几何中，常用向量表示线段。

例如，A B⃗表示从点A到点B的位移向量。

二、向量的基本性质1. 平行向量：若两个向量的方向相同或者相反，则它们是平行向量。

2. 相等向量：若两个向量的大小相等且方向相同，则它们是相等向量。

3. 垂直向量：若两个向量的数量乘积为0，则它们是垂直向量。

三、向量解决几何问题的应用1. 判断线段垂直、平行关系利用向量的垂直性质可以判断两个线段是否垂直。

设A B⃗和C D⃗是两个线段的位移向量，若A B⃗·C D⃗ = 0，则可以得出线段A B⃗和C D⃗垂直。

利用向量的平行性质可以判断两个线段是否平行。

设A B⃗和C D⃗是两个线段的位移向量，若存在λ，使得A B⃗ = λC D⃗，则可以得出线段A B⃗和C D⃗平行。

2. 求线段的中点坐标设A B⃗是线段AB的位移向量，点M是线段AB的中点，则A M⃗= M B⃗ = 1/2A B⃗。

利用向量的数乘运算可以求得线段中点的坐标。

3. 判断三角形的形状利用向量可以判断三角形的形状，包括等腰三角形、等边三角形和直角三角形。

对于等腰三角形，可以利用向量A B⃗和A C⃗的相等性质来判断，若A B⃗ = A C⃗或者A B⃗ = -A C⃗，则可以得出三角形ABC是等腰三角形。

对于等边三角形，可以利用向量A B⃗、B C⃗和C A⃗相等性质来判断，若A B⃗= B C⃗= C A⃗，则可以得出三角形ABC是等边三角形。

对于直角三角形，可以利用向量的内积来判断，若A B⃗·B C⃗ = 0或者B C⃗·C A⃗ = 0或者C A⃗·A B⃗ = 0，其中·表示两个向量的数量乘积，则可以得出三角形ABC是直角三角形。

中学数学学会使用向量解决问题

中学数学学会使用向量解决问题数学作为一门重要的学科，对于中学生来说至关重要。

在中学数学中，向量是一个重要的概念，并被广泛运用于解决各种问题。

本文将介绍中学数学中如何有效地使用向量解决问题。

一、向量的基本概念和性质在介绍如何使用向量解决问题之前，我们需要了解向量的基本概念和性质。

向量可以用来表示有方向和大小的量，通常用箭头表示，箭头的方向代表向量的方向，箭头的长度代表向量的大小。

向量的加法、减法、数量乘法等运算都有着明确的定义和性质。

二、使用向量解决几何问题1. 平面几何问题解决向量在平面几何问题中有着广泛的应用。

例如，通过向量的定比分点公式，我们可以求解平面上一点分割线段的比值问题。

此外，通过向量的共线性定理，我们可以判断三个或更多点在平面上是否共线。

2. 三角形几何问题解决在三角形几何问题中，向量也是一个非常重要的工具。

例如，通过向量的模长公式，我们可以计算三角形的周长和面积。

同时，通过向量的垂直判定公式，我们可以判断两条直线的垂直关系，从而帮助解决三角形的垂直问题。

三、使用向量解决代数问题1. 向量的线性组合在代数问题中，向量的线性组合是一个重要的概念。

通过将向量进行线性组合，我们可以得到新的向量，并找到原始向量之间的关系。

这在解决线性方程组和矩阵问题时非常有用。

2. 向量的数量积和向量积向量的数量积和向量积也是在代数问题中经常使用的工具。

通过向量的数量积，我们可以计算两个向量之间的夹角，并判断它们之间的关系。

通过向量的向量积，我们可以计算两个向量构成的平行四边形的面积，并判断它们的方向。

四、使用向量解决物理问题在物理学中，向量的应用同样不可或缺。

例如，在力学中，通过将力的大小和方向表示为向量，我们可以方便地计算力的合成以及物体运动的加速度。

在电磁学中，通过将电场和磁场表示为向量，我们可以描述电磁波的传播和电磁力的作用。

五、使用向量解决优化问题向量在优化问题中具有重要的作用。

例如，在线性规划问题中，我们可以使用向量来表示目标函数和约束条件，并通过优化向量的值来最大化或最小化目标函数。

巧用向量解数学题优秀获奖科研论文

巧用向量解数学题优秀获奖科研论文向量是新课标下中学数学中重要的基本概念之一，由于向量本身具有数与形的双重性，因此巧用向量解中学数学题是一种简便的解题方法与思路.通过全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定律可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量的积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，以便解题可以简便化、准确化.纵观近几年的高考，有关向量的部分突出考查了向量的基本运算，对向量的应用也日渐加大考查的力量.下面浅谈巧用向量解数学题.一、巧用向量解高考立体几何题由于立体几何涉及空间几何图形，许多考生望而生畏，但只要巧用向量的相关知识，把立体几何图形的各线段转换成向量，解题便简便很多了.二、巧用向量解圆锥曲线题圆锥曲线是高考重点考查的内容.考查的内容包括圆锥曲线的概念和性质.但直线与圆锥曲线的位置关系等，很多时可以巧用向量的知识来简便解答.例2证明：等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项.点评：本题巧用向量解题，发挥代数运算的长处，方法简便，更易于学生掌握.三、巧用向量解平面解析几何题由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质都可以巧用向量方法解决.点评：在解不等式或证明时，除了掌握其基本不等式外还要把握题目的特点寻找简便的方法，而本题就是巧用向量解题的简便方法.通过巧用向量方法解以上几道题，展示了向量解题的简便性，可以激发了学生学习向量的兴趣.向量是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一.向量作为一种工具，它的特点在数学的许多方面都有体现，向量的思想渗透得很广泛；空间向量在解决立体几何上的优势又是传统的知识和方法无法替代的.巧用向量解决一些数学问题，将大大简化解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具.向量是新课标下中学数学中重要的基本概念之一，由于向量本身具有数与形的双重性，因此巧用向量解中学数学题是一种简便的解题方法与思路.通过全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定律可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量的积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，以便解题可以简便化、准确化.纵观近几年的高考，有关向量的部分突出考查了向量的基本运算，对向量的应用也日渐加大考查的力量.下面浅谈巧用向量解数学题.一、巧用向量解高考立体几何题由于立体几何涉及空间几何图形，许多考生望而生畏，但只要巧用向量的相关知识，把立体几何图形的各线段转换成向量，解题便简便很多了.二、巧用向量解圆锥曲线题圆锥曲线是高考重点考查的内容.考查的内容包括圆锥曲线的概念和性质.但直线与圆锥曲线的位置关系等，很多时可以巧用向量的知识来简便解答.例2证明：等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项.点评：本题巧用向量解题，发挥代数运算的长处，方法简便，更易于学生掌握.三、巧用向量解平面解析几何题由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质都可以巧用向量方法解决.点评：在解不等式或证明时，除了掌握其基本不等式外还要把握题目的特点寻找简便的方法，而本题就是巧用向量解题的简便方法.通过巧用向量方法解以上几道题，展示了向量解题的简便性，可以激发了学生学习向量的兴趣.向量是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一.向量作为一种工具，它的特点在数学的许多方面都有体现，向量的思想渗透得很广泛；空间向量在解决立体几何上的优势又是传统的知识和方法无法替代的.巧用向量解决一些数学问题，将大大简化解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具.向量是新课标下中学数学中重要的基本概念之一，由于向量本身具有数与形的双重性，因此巧用向量解中学数学题是一种简便的解题方法与思路.通过全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定律可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量的积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，以便解题可以简便化、准确化.纵观近几年的高考，有关向量的部分突出考查了向量的基本运算，对向量的应用也日渐加大考查的力量.下面浅谈巧用向量解数学题.一、巧用向量解高考立体几何题由于立体几何涉及空间几何图形，许多考生望而生畏，但只要巧用向量的相关知识，把立体几何图形的各线段转换成向量，解题便简便很多了.二、巧用向量解圆锥曲线题圆锥曲线是高考重点考查的内容.考查的内容包括圆锥曲线的概念和性质.但直线与圆锥曲线的位置关系等，很多时可以巧用向量的知识来简便解答.例2证明：等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项.点评：本题巧用向量解题，发挥代数运算的长处，方法简便，更易于学生掌握.三、巧用向量解平面解析几何题由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质都可以巧用向量方法解决.点评：在解不等式或证明时，除了掌握其基本不等式外还要把握题目的特点寻找简便的方法，而本题就是巧用向量解题的简便方法.通过巧用向量方法解以上几道题，展示了向量解题的简便性，可以激发了学生学习向量的兴趣.向量是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一.向量作为一种工具，它的特点在数学的许多方面都有体现，向量的思想渗透得很广泛；空间向量在解决立体几何上的优势又是传统的知识和方法无法替代的.巧用向量解决一些数学问题，将大大简化解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具.。

中考数学模拟试题向量的解决问题方法

中考数学模拟试题向量的解决问题方法中考数学模拟试题 - 向量的解决问题方法在中考数学中，向量是一个重要的概念，广泛应用于几何、代数和物理等领域。

解决向量相关问题的方法与技巧对于学生们来说至关重要。

本文将介绍一些常见的向量解题方法，并给出具体的例题进行说明。

一、计算向量的模和方向角在解决向量问题时，首先需要计算向量的模和方向角。

向量的模表示向量的大小，方向角表示向量与某一参考方向之间的夹角。

例如，已知向量AB的坐标分别为(3, 4)，求向量AB的模和方向角。

解：根据勾股定理，向量AB的模可以通过以下公式计算得出：|AB| = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]代入坐标，即|AB| = √[(3 - 0)² + (4 - 0)²] = 5方向角的计算可以通过以下公式得出：θ = arctan[(y2 - y1) / (x2 - x1)]代入坐标，即θ = arctan[(4 - 0) / (3 - 0)] ≈ 53.13°二、向量相加与相减解决向量相加与相减问题时，可以将向量视为有方向和大小的箭头，并使用平行四边形法则进行计算。

例如，已知向量A的坐标为(2, 3)，向量B的坐标为(-1, 2)，求向量A与向量B的和及差。

解：向量的和可以通过以下公式计算得出：A +B = (Ax + Bx, Ay + By)代入坐标，即 A + B = (2 + (-1), 3 + 2) = (1, 5)向量的差可以通过以下公式计算得出：A -B = (Ax - Bx, Ay - By)代入坐标，即 A - B = (2 - (-1), 3 - 2) = (3, 1)三、向量的数量积与夹角解决向量的数量积与夹角问题时，需要使用向量的坐标表示，并应用数量积的定义。

定义：向量A与向量B的数量积可以通过以下公式计算得出：A·B = |A||B|cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模，θ表示向量A与向量B之间的夹角。

巧用向量法，妙解立体几何题

思路探寻立体几何问题的命题方式较多，常见的有证明线面平行、求二面角、求点到平面的距离等.由于立体几何问题对同学们的空间想象和运算能力有较高的要求，所以对大部分的同学来说，解答这类问题存在一定的难度.若根据题意和几何图形的特点构造空间向量，则可利用向量法，简便、快速地求得问题的答案.接下来，通过几个例题介绍一下如何巧妙运用向量法解答立体几何问题.一、运用向量法求点到平面的距离一般来说，求点到平面的距离，可以运用定义法、等体积法、向量法.运用向量法求点到平面的距离，要先求出平面的一个法向量n ；再求出一个已知点P 与平面内任意一点M 的方向向量MP ，可得点P 到平面的距离为d =| MP |∙|cos < n , MP >|=| n ∙ MP || n |，其中| MP |是向量 MP 的模，| n |是平面的法向量n 的模.例1.如图1所示的多面体是由底面为ABCD 的长方形被截面AEC 1F 所截而得到的，其中AB =4，BC =2,CC 1=3,BE =1.试求点C 到平面AEC 1F 的距离.解：以DA 、DC 、DF 为坐标轴建立如图1所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0),C (0,4,0),E (2,4,1),C 1(0,4,3)，CC 1=(0,0,3)，设F 点的坐标为（0，0，z ），由于AEC 1F 为平行四边形，所以 AF =EC 1，又 AF =(-2,0,z ), EC 1=(-2,0,2)，即z =2.设n 为平面AEC 1F 的一个法向量，因为 n 不垂直于平面ADF ，所以设 n =(x ,y ,1)，于是{n ∙ AE =0， n ∙ AF =0，即{4y +1=0，-2x +2=0，解得ìíîx =1，y =-14，设 CC 1与n 的夹角为α，可得cos α=| CC 1∙ n || CC 1|∙| n |=31，则点C 到平面AEC 1F 的距离为d =|CC 1cos α|=3×.先根据图形的特点建立空间直角坐标系，得到 CC 1；然后求出平面AEC 1F 的法向量，即可利用公式d =| CC 1|∙|cos < n , CC 1>|=| n ∙CC 1|| n |求解.在求平面的法向量时，可采用待定系数法，先设出平面的法向量；然后根据法向量与平面内的两个直线垂直的关系，建立方程组，解该方程组即可求出待定系数、法向量的坐标.二、运用向量法证明线面平行由线面平行的判定定理可知，要证明线面平行，只要证明直线与平面内的两条相交直线平行即可.但有时候很难在平面内找到两条相交的直线与已知直线平行，此时，可建立合适的空间直角坐标系，求得平面外一条直线的方向向量 l 和平面的法向量n ，只要证明 n ∙l =0，就说明直线l 与平面平行.例2.如图2，在直三棱锥ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P =A 1C 1，连接AP 交棱CC 1于点D ，求证：PB 1//平面BDA 1.图2图3证明：如图3所示，以A 1为原点，以 A 1B 1, A 1C 1,A 1A为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则P (0,2,0),B 1(1,0,0),B (1,0,1),D (0,1,0.5)，所以 PB 1=()1,-2,0, BD =æèöø-1,1,-12, BA 1=(-1,0,-1)，设平面BDA 1的法向量为n =(x ,y ,z )，由ìíî BD ∙n =0，BA 1∙ n =0，得{-x +y -0.5z =0，-x -z =0，不妨令z =2，则x =-2，y =-1，可得n =(-2,-1,2)，则 PB 1∙ n =1×()-2+()-2×()-1+0×2=0，得 PB 1⊥ n ，所以PB 1//平面BDA 1.先建立空间直角坐标系，求得 PB 1、 BD 、BA 1，根据BD 、 BA 1垂直平面BDA 1的法向量，建立方程组，求得法向量n ，并证明 PB 1∙ n =0，即可证明平面BDA 1的法向量n 与PB 1的方向向量 PB 1垂直，这就说明PB 1//平面BDA 1.求解空间几何中的二面角、线面角等问题，也可以采用向量法.运用向量法求解立体几何问题，一要寻找题目或图形中的垂直关系，有时可以作一个平面的垂线，以建立方便求点的坐标的空间直角坐标系；二要熟记并灵活运用一些空间向量的运算法则、公式、定义等.（作者单位：江西省南昌市第十九中学）肖雪芝图147Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

巧用向量解题

巧用向量解题向量作为一种工具,它不仅在生产实践中有着广泛的应用,而且它的引入给中学数学教学带来了活力和生机，向量的引入大大拓宽了解题思路与方法，许多经典的习题和试题采用向量知识求解会给人一种耳目一新的感觉.下面例举说明向量的在解题过程中的灵活运用.一、巧用向量解不等式问题：例1、设a 、b ∈R +，a +b =12≤证明：设向量n =（1，1），m = 由m ·n ≤|m ||n |得2=例2、设任意实数满足,1,1<<y x 求证：xyy x -≥-+-12121122 证明：构造向量=（211x -，211y-），=（21x -，21y -）；由向量的数量积性质(∙2) ≤ 可得： 4≤)1111(22yx -+-)11(22y x -+- 故≥-+-221111y x ≥+-)(2422y x xy xy -≥-12224 二、巧用向量解函数问题：例3、对于x ∈R ，试求函数-++=12x x y 12+-x x 的值域.解：将原函数变形为，-++=43)21(2x y 43)21(2+-x ，设＝)23,21(+x ，b ＝)23,21(-x ，不难得知，向量a 与b 不共线，故|y |＝|a |－|b |＜| a －b |＝1，所以11y -<<，即所求函数的值域为(－1，1).例4、已知过原点O 的一条直线与函数8log y x =的图象交于A 、B 两点，分别过A 、B 作y 轴的平行线交函数2log y x =的图象于C 、D 两点；⑴ 求证：点O 、C 、D 三点共线。

⑵当BC 平行于x 轴，求点A 的坐标。

⑴证明：设181(,log )OA x x = ，282(,log )OB x x =，由题意可知：点O 、A 、B 三点共线，故存在实数λ，使得O B O A λ=，即21828,l o g l o g x x x xλλ==，从而8181l o g l o gx x λλ= 设121(,log )OC x x = ，222121(,log )(,log )OD x x x x λλ==，218181log 3log 3log x x x λλλ==21log x λ=，∴OD OC λ=∴点O 、C 、D 三点共线。

向量法在高中数学解题中的应用

高中数学中的向量法可以用来解决一些复杂的问题，比如空间几何、动力学和物理等。

1. 空间几何：在三角形、四边形、正多边形和立方体等平面或立体几何图形中，可以使
用向量法来求得其周长、表面积或者体积。

例如：已知两个向量a=(2,3)和b=(4,5)，则
它们的夹角θ=arctan(5/4)=53.13°。

2. 动力学：在运动学中也可以使用向量法来求得物体运动的速度、加速度和作用力大小。

例如：已知一个物体有一个分速度v1=(3,4)m/s和v2=(-6,-8)m/s （即x方向上有3m/s
的速度而y方向上有4m/s的速度),则它们之间的相对速度Vr=v1-v2=(9,12) m/s 。

3. 物理: 在物理学中也可以使用向量法来求得不同物理量之间关系。

例如: 已给定重力
g=-10N/(kg·m^2), 气流F_w = (0,-20N), 飞行时间t=30min ,飞行总距离S = (20000, -10000). 这时就可以根据 S = F_w t + 1 / 2 g t^2 条件推导出飞行者所施加地心引力
F_g = (-100000,-50000).。

利用向量巧解中学数学题(囊括所有可用向量解答的题型!)

向量和所成的角记为< , >，若 =（x ,y ,z ）, =(x ,y ,z ),则
cos< ， >= = =a，
所以直线AB和CD所成的角为arccos .
特别的，AB CD · =0 =0。
1、如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_____.根号15/30
所以cos< , >= ，
即BE与平面B BD所成角的余弦值为 .
6、2010年辽宁理科（19）（本小题满分12分）
已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.
解:以A为原点建立如图所示的直角坐标系A- xyz,设正方体的棱长为2,那么M(1,0, 0), C(2,2,0), B1(2, 0, 2), D(0,2 ,0),
CM=（-1，-2,0）DB1=（2，-2,2）
2、如图,三棱柱AOB-A 0 B 中，平面OBB O ⊥平面AOB,∠0 OB＝60°，∠AOB=90°且OB=OO =2，OA= ,求：异面直线A B与AO 所成角的大小；
解：（Ⅰ）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系易知：
A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），
，
，
设是平面DEF的一个法向量，
则即，取x =1,则，
设PA与平面DEF所成的角为，
则
5、如图，正方体ABCD-A B C D 中，E是C C的中点，（1）求BE与平面B BD所成角的余弦值；（2）求二面角B-B E-D的余弦值。

巧用向量法解三类解析几何题

解题宝典平面向量具有代数与几何双重特征.有些解析几何问题采用常规方法去解，往往会因为计算过于繁琐，导致无功而返，此时不妨改变思路，从向量角度去思考，则会大大减少计算量.那么如何巧妙运用向量法解答解析几何问题呢？下面一起来探讨.一、夹角范围问题由夹角，我们可联想到向量的夹角与向量的夹角公式：若a =()x1,y1、b =()x2,y2是两个不共线的非零向量，则cos a ，b =a ∙b|a |∙|b |.对于解析几何中的夹角问题，我们可用向量将问题中所涉及的点、线段表示出来，求得夹角两边的直线或线段的方向向量，便可根据向量的夹角公式进行求解.例1.已知椭圆x29+y24=1的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一个动点，若∠F1PF2是钝角，则点P横坐标的取值范围为_____.解：由椭圆的方程可知F1()-5,0、F2()5,0,设P()3cosθ,2sinθ，因为∠F1PF2为钝角，所以PF1∙ PF2=(-5-3cosθ,-2sinθ)∙(5-3cosθ,-2sinθ)=9cos2θ-5+4sin2θ=5cos2θ-1<0，解不等式得cosθ，故点P横坐标的取值范围为.在根据向量的夹角公式求夹角时，需重点关注角的取值范围.由向量的夹角公式可知：（1）若a ∙b >0，则θ为锐角；（2）若a ∙b =0，则θ为直角；（3）若a ∙b <0，则θ为钝角.二、共线问题在解答解析几何问题时，我们经常会遇到三点共线问题，此时可用向量表示出各个点、直线，根据向量的共线定理：向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ，将三点中的任意两点用向量表示出来，使其二者成倍数关系，便可证明三点共线.例2.点F为抛物线y2=2px的焦点，过F的直线与抛物线相交于P(x1,y1)、Q(x2,y2)两点，从点Q出发作抛物线的准线的垂线，点M为垂足.设原点为O，求证：（1）y1y2=-p2；（2）M、O、P三点共线.解：（1）略；（2）设Mæèçöø÷-p2,y2,∴ OP=()x1,y1, OM=æèçöø÷-p2,y2,∵x1y2-æèçöø÷-p2y1=y122p y2+p2y1=y1y22p y1+p2y1=-p2y1+p2y1=0，∴ OP与 OM是共线向量，即M、O、P三点共线.本题如果用斜率公式来证明未尝不可，但运算量较大，而运用向量的共线定理来证明三点共线，则相当简单，这足以显示出向量法的优越性.三、轨迹问题轨迹问题的命题形式较多，但解题的关键在于求动点的轨迹方程.我们可设出动点的坐标，将题目中所涉及的线段、直线用向量表示出来，通过向量运算，便可快速求得轨迹方程.例3.已知A()a,0()a>0为定点，点B为定直线l：x=-1上的一个动点（如图）.若∠BOA的角平分线交直线AB于点C，求出C点的轨迹方程.解：设B()-1,t，则AB=(-1-a,t),所以直线AB的方程为：x-a-1-a=y-0t，①因为OA=()a,0,OB=()-1,t，则直线OC的方向向量为：v =OA|| OA+ OB||OB=()1,0+æèççöø÷÷-11+t2,t1+t2=èöø÷÷1+t-1+t2,t1+t2故直线OC=y t②，由①②得：(1-a)x2-2=0(0≤x<a).我们通过向量的坐标运算，直接而又快捷地求得轨迹问题.其实平面向量的坐标与解析几何中的坐标是一致的，这便为运用向量法解题创造了便利.运用向量法解题，能有效地简化解答解析几何问题过程中的运算过程.（作者单位：浙江省宁波市姜山中学）43。

高中数学向量运算题解析与实例展示

高中数学向量运算题解析与实例展示在高中数学中，向量运算是一个重要的概念和技巧，它在解决几何问题、物理问题以及其他数学问题中起着关键作用。

本文将围绕向量运算这一主题，通过具体的题目举例，详细分析和解释各种考点，并提供解题技巧和指导，以帮助高中学生更好地理解和应用向量运算。

1. 向量的加法和减法向量的加法和减法是最基础的向量运算。

考虑以下例题：例题1：已知向量AB = (2, -1)和向量AC = (3, 4)，求向量BC的坐标表示。

解析：根据向量的加法和减法定义，向量BC = 向量AC - 向量AB。

所以，BC = (3, 4) - (2, -1) = (1, 5)。

因此，向量BC的坐标表示为(1, 5)。

这个例题中，我们通过向量的减法运算得到了向量BC的坐标表示。

这个考点是非常基础的，但在解决几何问题中经常会用到。

2. 向量的数量积和向量的模向量的数量积和向量的模是向量运算中的两个重要概念。

考虑以下例题：例题2：已知向量a = (2, 3)和向量b = (4, -1)，求向量a和向量b的数量积。

解析：向量a和向量b的数量积定义为a·b = |a| |b| cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模，θ表示向量a和向量b之间的夹角。

根据向量的模的定义，|a| = √(2^2 + 3^2) = √(4 + 9) = √13，|b| = √(4^2 + (-1)^2) = √(16 + 1) = √17。

根据向量的数量积定义，a·b = (2)(4) + (3)(-1) = 8 - 3 = 5。

因此，向量a和向量b的数量积为5。

这个例题中，我们通过向量的模和向量的数量积的定义，计算得到了向量a和向量b的数量积。

这个考点在求解向量的夹角、判断向量是否垂直或平行等问题中经常会用到。

3. 向量的叉积和平面向量向量的叉积是向量运算中的一个重要概念，它在平面向量的运算中起着关键作用。

巧用向量解中学数学题

‘ ．．
则茄一（１，１，ｏ），一（ｏ，０，１），一（１，一１，ｏ）．
．．
所以．一０，葡．一０．
即ＰＱ１．ＩＤＱ，ＰＱ＿上＿ＤＣ．
点评：在解不等式或证明时，除了掌握其基本不等式外还
五、巧用向量解三角函数题
例５求证：ｃｏｓ（￣－ｐ）一ｃｏｓａｃｏｓｌｆ＋ｓｉｎａｓｉ
明两直线对应的向量的数量积为零即可，方法简便，更易于学生掌握，可以避开传统几何中的作图、证明的麻烦，又可弥补空问想像能力的不足，发挥代数运算的长处．深入开发它的解题功能，向量将在数学解题中起到越来越大的
四、巧用向量证明不等式
、
巧用向量解高考立体几何题
由于立体几何涉及空间几何图形，许多考生望而生畏，但
只要巧用向量的相关知识，把立体几何图形的各线段转换成
向量，那解题就简便多了．
ＰＤ上平面ＡＢＣＤ，ＰＤ／／ＱＡ，ＱＡ＝ＡＢ—ＰＤ．
证明：平面ＰＱＣ＿＿Ｉ平面ＤＣＱ．
≤ｌ蔬ｌ。．１
‘ ． ‘ ‘ ．．
ｚ一（ｎ＋６）・（口ｚ＋６）．
证明：以Ｄ为坐标原点，线段ＤＡ的长为单位长，射线ＤＡ为轴的正半轴建立空间直角坐标系Ｄ—ｘｙｚ．

利用向量运算解决综合算式题

利用向量运算解决综合算式题综合算式题是数学学科中一种常见的题型，通常包含了各个分支的知识点，如代数、几何、概率等。

有时候，传统的解题方法可能比较繁琐，而利用向量运算可以简化解题过程，提高解题效率。

本文将以实例的形式介绍如何利用向量运算解决综合算式题。

实例一：平面几何与代数的结合假设有一个平行四边形ABCD，已知其对角线AC和BD相交于点O，且向量向量OA=3i+4j，向量OC=5i+9j。

要求求出向量OD。

解题思路：由于平行四边形的特性，向量AD可以表示为向量AC加上向量CD。

即：向量AD = 向量AC + 向量CD由向量的相加性质，我们可以得到：向量AD = 向量OA + 向量OC代入已知数据，即可求得向量AD：向量AD = 3i + 4j + 5i + 9j = 8i + 13j因此，向量OD等于向量AD，即向量OD = 8i + 13j。

实例二：概率与代数的结合某班级有30名男生和40名女生，其中20名男生和30名女生会弹钢琴。

现从班级中随机选取一名学生，请问这名学生是男生且会弹钢琴的概率是多少？解题思路：将该问题转化为向量运算的形式，假设男生集合为A，女生集合为B，会弹钢琴的学生集合为C。

则根据已知条件，我们可以得到：|A| = 30，|B| = 40，|A∩B| = 20，|C∩B| = 30现在要求的是男生且会弹钢琴的学生概率，即|A∩C|/|A|。

利用向量运算的集合性质，我们可以得到：|A∩C| = |A| + |C| - |A∪C|而|A∪C|可以使用概率加法公式得到：|A∪C| = |A| + |C| - |A∩C|所以，男生且会弹钢琴的学生概率为：P(男生且会弹钢琴) = |A∩C|/|A| = (|A| + |C| - |A∩C|)/|A|代入已知数据，即可计算出概率的数值：P(男生且会弹钢琴) = (30 + 30 - 20)/30 = 40/30 = 4/3解读结果时，我们可以得出结论：随机选取的学生是男生且会弹钢琴的概率为4/3。

数学练习运用向量解决几何难题

数学练习运用向量解决几何难题在数学学习中，几何题目一直是考察学生空间想象力和解决问题能力的重要内容。

而解决几何难题时，向量是一种十分有效且实用的工具。

本文将通过几个例子，演示如何运用向量来解决几何题目。

例1：平面几何问题考虑以下平面几何问题：已知四边形ABCD，连接AC和BD的交点为E，连接AD和BC的交点为F。

证明：若AE与BF平行，则CEF是一条直线。

解决该问题可以使用向量的方法。

假设向量AB为a，向量BC为b，向量CD为c，向量AD为d。

我们可以得到向量AE为a + c，向量BF为b + d。

根据题目条件，AE与BF平行，即向量AE与向量BF共线。

因此，我们只需要证明向量CE与向量AE共线即可。

由向量平行的性质得，向量CE = -a - c + b + d = (-a - c) + (b + d)，可以看出向量CE与向量AE是共线的。

综上所述，CEF是一条直线。

例2：空间几何问题考虑以下空间几何问题：已知四面体ABCD的底面为平行四边形ABCD，点E在平面ABCD内。

证明：向量AE在平面BCD上。

解决该问题可以运用向量的知识。

假设向量AB为a，向量BC为b，向量CD为c，向量AD为d。

我们可以得到向量AE为a + e，其中e为向量BE。

同样假设点X在平面BCD上，则向量AX为x，向量BX 为b + x，向量CX为x + c，向量DX为x + c + d。

根据题目条件，向量AE在平面BCD上，即向量AE与向量BX、向量CX、向量DX都垂直。

根据向量垂直的性质，我们可以得到以下结果：(a + e) · (b + x) = 0，(a + e) · (x + c) = 0，(a + e) · (x + c + d) = 0。

展开上述方程组后，可以得到：a·b + a·x + e·b + e·x = 0，a·x + a·c + e·x + e·c = 0，a·(x + c + d) + e·(x + c + d) = 0。

利用向量解决几何问题

利用向量解决几何问题在几何学中，向量是一个十分常用且重要的概念。

因为向量可以用来表示方向和长度，因此它被广泛地用于计算和量化问题中。

利用向量可以解决很多实际几何问题，下面将通过几个例子来阐述这个观点。

例一：如何判断三点共线在二维平面上，如果给你三个点的坐标，你可以通过计算这三个点构成的线段的斜率来判断它们是否共线。

但是在三维空间中，这个计算方法就不适用了。

这时，我们可以利用向量的叉积来解决这个问题。

具体做法是，对于三个点P、Q、R，我们可以用向量PQ和向量PR来表示它们之间的关系。

然后计算向量PQ和向量PR的叉积，如果叉积的结果为零，那么这三个点就共线。

例二：如何求两条直线的交点在二维平面上，求两条直线的交点可以通过求解它们的方程组来实现。

但是在三维空间中，这个方法就比较复杂了。

这时，我们可以利用向量的点积来解决这个问题。

具体做法是，对于两条直线L1和L2，我们可以用它们的方向向量a和b来表示。

然后计算a和b的点积，再分别计算它们与两条直线上某一点的向量之间的点积，最后用这些计算结果来求解交点的坐标。

例三：如何判断一个点是否在三角形内部在三维空间中，判断一个点是否在三角形内部可以通过计算这个点与三角形的三个顶点所在平面之间的关系来实现。

具体做法是，利用向量的内积和叉积来计算这个关系。

具体做法如下：- 将三角形的三个顶点分别命名为A、B、C，要判断的点为P。

- 计算向量AP、BP和CP。

- 计算向量 n= AB × AC，即三角形的法向量。

- 计算向量 BAP、CAP 和AB × AP、AC × AP 的向量积。

如果它们的点积都为正，那么点P在三角形ABC内部；如果它们的点积都为负，那么点P在三角形ABC外部；如果它们的点积有正有负，则点P在三角形的边界上。

上述方法可以判断点P是否在三角形ABC内部，并可以推广到判断点是否在其他多边形内部的问题中。

总之，向量是解决几何问题的重要工具。

八年级数学下册综合算式专项练习巧妙应用向量解决几何问题的技巧

八年级数学下册综合算式专项练习巧妙应用向量解决几何问题的技巧标题：八年级数学下册综合算式专项练习巧妙应用向量解决几何问题的技巧在数学学习中，解决几何问题是学生们常遇到的难题之一。

在八年级数学下册中，我们将学习向量的概念，并学会如何巧妙应用向量来解决几何问题。

本文将介绍一些技巧和方法，帮助你更好地理解和运用向量。

一、向量的基本概念在开始向量的应用之前，我们首先要了解向量的基本概念。

向量由两点之间的有向线段表示，具有大小和方向。

在平面内，我们用a表示向量，A表示向量的起点，B表示向量的终点，AB表示向量的表示。

向量的大小用向量AB的长度表示，记作|AB|。

同时，向量的方向由起点A指向终点B的方向决定。

二、向量的表示方法在几何问题中，我们常常需要表示不同的向量。

除了用起点和终点表示向量外，还可以使用坐标表示法和分量表示法。

1. 坐标表示法在平面直角坐标系中，向量可以用坐标表示。

假设A的坐标为(x1,y1)，B的坐标为(x2, y2)，则向量AB的坐标表示为(x2-x1, y2-y1)。

2. 分量表示法与坐标表示法类似，向量也可以用分量来表示。

向量AB的分量表示为(ABx, ABy)，其中，ABx表示向量AB在x轴上的分量，ABy表示向量AB在y轴上的分量。

根据勾股定理，我们可以得到ABx =|AB|cosθ，ABy = |AB|sinθ，其中，θ为向量与x轴之间的夹角。

三、向量运算为了更好地应用向量解决几何问题，我们还需要了解一些基本的向量运算。

1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量的相应分量相加。

设向量A的坐标为(a1, a2)，向量B的坐标为(b1, b2)，则向量A+B的坐标表示为(a1+b1, a2+b2)。

2. 向量的数量积向量的数量积也被称为点积。

设向量A的坐标为(a1, a2)，向量B 的坐标为(b1, b2)，则向量A·B的数量积为a1b1 + a2b2。

四、向量应用技巧通过理解和掌握向量的基本概念和运算规则，我们可以灵活运用向量来解决几何问题。

利用“向量”知识，巧解数学问题

2012-09课堂内外利用“向量”知识，巧解数学问题文/王建军摘要：“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.它是近代数学中最基本和重要的数学概念之一，是沟通代数与几何最重要的工具，在各个领域中有着广泛的应用.就它在数学解题中的应用做以说明。

关键词：向量解题；利用；解题思路；方法由于平面向量融数、形于一体，具有几何直观性与代数抽象性的“双重身份”，从而沟通了代数、几何与三角的内在联系，使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介.因此，向量的引入大大拓宽了解题的思路与方法，使它在研究其他许多问题时获得广泛的应用.利用向量这个强有力的工具解题，可以简捷、规范地处理数学中的许多问题.下面分类介绍向量在解题中的应用.一、向量在解代数题中的应用例1.求函数f （x ）=3x +2+44-x 2√的最大值.解：令a =（3，4），b =（x ，4-x 2√），则f （x ）=a ·b +2，a =5，b =2，故f （x ）=a ·b +2≤a ·b +2=12.当且仅当a 与b 同方向，即3x =44-x 2√>0时取等号，解得x =65.所以当x =65时，f （x ）取得最大值12.二、向量在解平面几何题中的应用向量方法是借助向量的几何意义，把问题转化为向量的计算，通过向量计算达到求解目的，用向量方法解决几何问题，一方面体现向量的运用性，另一方面能在运用中加深对向量知识的理解与掌握.例2.求证：直径所对的圆周角是直角.证明：令AB 为圆O 的直径，即AB =2r ∵O 为AB 中点，AO =OB ，又∵AD =AO +OD ，∴BD =BO +OD =OD -OB =OD -AOAD ·BD （AO +OD ）·（OD -AO ）OD AO =-22∴AD ⊥BD 即AD ⊥BD ，∴∠ADB =90°，所以直径所对的圆周角为直角.三、向量在解立体几何题中的应用例3.已知M ，N 分别是棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1和B 1C 1的中点，求：异面直线MN 与CD 1间的距离.分析解答：本题需要找出异面直线MN 与CD 1的公垂线段，比较麻烦，可以考虑用法向量来解答：以D 为原点，DADC ，DD 1分别为x 、y 、z 轴建立如图1的空间直角坐标系，则A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），D （0，0，0），A 1（1，0，1），B 1（1，1，1），C 1（0，1，1），D 1（0，0，1）.由于M ，N 是BB 1，B 1C 1的中点，则M （1，1，12），N （12，1，1），从而MN =-12，0，12，CD 1=0，-1，1，MC =-1，0，-12），MN CD 1都垂直的方向向量为n =（x ，y ，z ），则MN ·n =0CD 1·n =0{即-12x+12z =0-y+z =0⎧⎩⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐即x=y=z ，不妨设n =（1，1，1），所以异面直线MN 与CD 1间的距离为d 323√=3√2.四、向量在解析几何题中的应用例4.如图2，设点A 和B 为抛物线y 2=4（p >0）原点以外的两个动点，已知OA ⊥OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示么曲线。