【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三下学期第7周周考理数试题

合集下载

河北省衡水第一中学2018届高三三轮复习系列七出神入化7数学(理)试题Word版含详细答案

河北衡水中学2018届高三数学理科三轮复习系列七-出神入化7第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}(){}24,lg 2A x x B x y x =-<<==-，则()R A C B ⋂=（） A ．()2,4 B ．()2,4- C.()2,2- D ．(]2,2-2.若复数z 满足1zi i=-，其中i 为虚数单位，则共轭复数z =（） A ．1i + B ．1i - C.1i -- D ．1i -+ 3.拋物线22y x =的准线方程是（） A ．12x =B ．12x =- C. 18y = D ．18y =- 4.已知某厂的产品合格率为0.8，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的是（） A.合格产品少于8件 B.合格产品多于8件 C.合格产品正好是8件D.合格产品可能是8件5.在ABC ∆中，点D 在边AB 上，且12BD DA =，设,CB a CA b ==，则CD =（） A ．1233a b + B ．2133a b + C. 3455a b + D ．4355a b +6.当4n =时，执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（）A ．9B ．15 C. 31 D ．637.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是（）A ．B ． C. D ．8.已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()()12f x f x +=，当[)0,1x ∈时，()2f x x x =-+，设()f x 在[)1,1n -上的最大值为()*n a n N ∈，则345a a a ++=（） A ．7 B ．78 C. 54D ．14 9.已知函数()()21x f x e x =-+(e 为自然对数的底)，则()f x 的大致图象是（）A ．B ． C.D ．10.双曲线()22220,01x y a ba b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为60︒的直线与y轴和双曲线的右支分别交于,A B 两点，若点A 平分线段1F B ，则该双曲线的离心率是（）A ．1 11.已知M 是函数()2133418cos 2x x f x e x π-+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在()0,x ∈+∞上的所有零点之和，则M 的值为（）A ．3B ．6 C. 9 D ．1212.定义：如杲函数()y f x =在区间[],a b 上存在()1212,x x a x x b <<<，满足()()()1f b f a f x b a-'=-，()()()2f b f a f x b a-'=-，则称函数()y f x =是在区间[],a b 上的一个双中值函数，己知函数()3265f x x x =-是区间[]0,t 上的双中值函数，则实数t 的取值范围是（）A ．36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．26,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.23,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．61,5⎛⎫ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.函数()ln a x f x x =的图象在点()()22,e f e 处的切线与直线41y x e=-平行，则()f x 的极值点是．14.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，过直线11B D 的平面α⊥平面1A BD ，则平面α截该正方体所得截面的面积为．15.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()4f x f x +=，且当02x ≤≤时，(){}2min 2,2f x x x x =-+-，若方程()0f x mx -=恰有两个根，则m 的取值范围是．16.如图所示，平面四边形ABCD 的对角线交点位于四边形的内部，1,,AB BC AC CD AC CD ==⊥，当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 满足：11111,2n n n n n a a a n +++==+. （1）设nn a b n=，求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18.某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名考生的数学成绩，分成6组制成频率分布直方图如图所示：（1）求m 的值；并且计算这50名同学数学成绩的样本平均数x ；（2）该学校为制定下阶段的复习计划，从成绩在[]130,150的同学中选出3位作为代表进行座谈，记成绩在[]140,150的同学人数位ξ，写出ξ的分布列，并求出期望.19.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为正方形，且PA ⊥底面ABCD ，过AB 的平面与侧面PCD 的交线为EF ，且满足:1:3PEF CDEF S S ∆=四边形(PEF S ∆表示PEF ∆的面积).（1）证明：//PB 平面ACE ；（2）当PA AB λ=时，二面角C AF D --，求λ的值.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点32⎛- ⎝⎭，顺次连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为，点()1,0P . （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点()()1122,,,A x y B x y ，是椭圆C 上的两点，（i ）若12x x =，且PAB ∆为等边三角形，求PAB ∆的面积; （ii)若12x x ≠，证明：PAB ∆不可能是等边三角形. 21.已知函数()()2x f x xe ax x =++. （1）若0a ≥，试讨论函数()f x 的单调性；（2）设()()()()3ln 20x f x x e x a g x x x --+=>，当()1e f x e+≥-对任意的x R ∈恒成立时，求函数()g x 的最大值的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是2x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22sin 30ρρθ+-=. （1）求直线l 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB . 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()()12f x ax a x =---.（1）当3a =时，求不等式()0f x >的解集；（2）若函数()f x 的图像与x 轴没有交点，求实数a 的取值范围. 附加：1.甲题型：给出如图数阵表格形式，表格内是按某种规律排列成的有限个正整数.（1）记第一行的自左至右构成数列(){}1,n a ，n S 是(){}1,n a 的前n 项和，试求；（2）记(),m n a 为第n 列第m 行交点的数字，观察数阵请写出(),m n a 表达式，若(),2017m n a =，试求出,m n 的值.2.已知()()12,0,,0F c F c -为双曲线()222:10y C x b b-=>的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，并在x 轴上方交双曲线于点M ，且1230MF F ∠=︒. （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上一点P 作两条渐近线的垂线，垂足分别是1P 和2P ，试求12PP PP ⋅的值；（3）过圆222:O x y b +=上任意一点()00,Q x y 作切线交双曲线C 于,A B 两个不同点，AB 中点为N ，证明：2AB ON =.试卷答案一、选择题1-5: DBDDB 6-10: CCACB 11、12：BA 二、填空题13. e15. 112,,233⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1三、解答题17. 解：（1）由1112n n n n n a a n +++=+可得1112n n n a a n n +=++ 又∵n n a b n =，∴112n n n b b +-=，由11a =，得11b =，累加法可得：()()()21321121111222n n n b b b b b b ---+-++-=+++ 化简并代入11b =得：1122n n b -=-；（2）由（1）可知122n n n a n -=-，设数列12n n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T则01211232222n n nT -=++++ ① 123112322222n nnT =++++② ① -②001211111111221222222212n n n n n n nT --=++++-=--222nn +=-∴1242n n n T -+=-又∵{}2n 的前n 项和为()1n n +，∴()12142n n n S n n -+=+-+18.解：（1）由题()0.0040.0120.0240.040.012101m +++++⨯= 解得0.008m =950.004101050.012101150.024101250.04101350.012101450.00810121.8x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（2）成绩在[)130,140的同学人数为6，在[]140,150的同学人数为4，从而ξ的可能取值为 0，1，2，3，()0346310106C C P C ξ===，()1246310112C C P C ξ===，()21463103210C C P C ξ===，()30463101330C C P C ξ===所以ξ的分布列为1131601236210305E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.19. （1）证明：由题知四边形ABCD 为正方形 ∴//AB CD ,又CD ⊂平面PCD ,AB ⊄平面PCD ∴//AB 平面PCD又AB ⊂平面ABFE ,平面ABFE ⋂平面PCD EF = ∴//EF AB ,又//AB CD ∴//EF CD ,由:1:3PEF CDEF S S ∆=四边形知,E F 分别为,PC PD 的中点连接BD 交AC 与G ,则G 为BD 中点，在PBD ∆中FG 为中位线，∴//EG FB ∵//EG FB ,EG ⊂平面ACE ,PB ⊄平面ACE ∴//PB 平面ACE .（2）∵底面ABCD 为正方形，且PA ⊥底面ABCD .∴,,PA AB AD 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -.设2,2AB AD a AP b ===，则()()()()()()0,0,0,0,2,0,2,2,0,,,0,0,0,2,,,A D a C a a G a a P b F a a b ， ∵PA ⊥底面ABCD ,DG ⊂底面ABCD ,∴DG PA ⊥，∵四边形ABCD 为正方形∴AC BD ⊥,即,DG AC AC PA A ⊥⋂= ∴DG ⊥平面CAF ,∴平面CAF 的一个法向量为(),,0DG a a =-.设平面AFD 的一个法向量为(),,m x y z =，而()()0,2,0,,,AD a AF a a b ==由00m AD m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得02000x ay z ax ay bz ⋅+⋅+⋅=⎧⎨++=⎩ 取z a =-可得(),0,m b a =-为平面AED 的一个法向量，设二面角C AF D --的大小为θ则cos DG m DG ma θ⋅===⋅得b a =又2,2PA b AB a ==，∴λ=∴当二面角C AF D --时λ=20.（1）解：依题意，2293142a b +=，2ab =292a =，23b =，故椭圆C 的方程为222193x y +=.（2）（ⅰ）由12x x =，且PAB ∆为等边三角形及椭圆的对称性可知，直线PA 和直线PB 与x 轴的夹角均为30︒.由)222391x y y x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩可得23280x x --=. 即43x =-或2x =当43x =-时，PAB ∆241⎛⎫-- ⎪= 当2x =时，PAB ∆221-=（ⅱ）因为12x x ≠，故直线AB 斜率存在.设直线:AB y kx m =+，AB 中点为()00,Q x y ，联立22239x y y kx m⎧+=⎨=+⎩，消去y 得()222236390k x kmx m +++-=.由0∆>得到222960m k --<.① 所以122623km x x k +=-+，()121224223m y y k x x m k +=++=+，所以2232,2323kmm Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭又()1,0P ，若PAB ∆为等边三角形，则有PQ AB ⊥.即1PQ ABk k ⨯=-，即2222313123mk k km k +⨯=---+，化简得232k km +=-.② 由②得点Q 横坐标为233323km km k km -=-=+-. 故PAB ∆不可能为等边三角形. (用点差法求Q 点坐标也可)21.解：（1）()()()()()12112x x f x x e a x x e a '=+++=++ 因为0a ≥，则1x <-时()0f x '<，1x >-时，()0f x '>， ∴()f x 在(),1-∞-上递减，在()1,-+∞上递增.（2）当0a <时，若2min ,3x a ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭，则()()()1222x e f x xe ax x ax x ax e +=++<+<-<-<-. 所以()1e f x e+≥-对任意的x R ∈恒成立时，0a ≥. 由（1）知，当0a ≥时，()f x 在(),1-∞-上递减，在()1,-+∞上递增.依题意，有()()min 0111a e f x f a e e ≥⎧⎪+⎨=-=--≥-⎪⎩，∴[]0,1a ∈.()()()()33ln 2ln 0x f x x e x a x axg x x x x --++==>， ∴()()32ln 10x ax g x x x +-'=->.设()()2ln 10h x x ax x =+->，则()2h x a x'=+. ∵[]0,1a ∈，∴()0h x '>，∴()h x 在()0,+∞上递增， ∵()110h a =-≤，0h=.因此，存在唯一0x ⎡∈⎣，使得()0002ln 10h x x ax =+-=.当00x x <<时，()()()0,0,h x g x g x '<>单调递增；当0x x >时，()()()0,0,h x g x g x '><单调递减. 因此()g x 在0x x =处取得最大值，最大值为12e. ∴()max 1,2g x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.22.（1）由2x ty t =⎧⎨=⎩消去t 得：2y x =，把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入2y x =，得sin 2cos ρθρθ=，所以曲线C 的极坐标方程为sin 2cos θθ= （2）∵222,sin x y y ρρθ=+=∴曲线C 可化为：22230x y y ++-=,即()2214x y ++= 圆C 的圆心()0,1C -到直线l的距离d =所以AB ==. 23.解：（1）3a =时，不等式可化为310x x -->，即31x x -> ∴31x x -<-或31x x ->，即14x <或12x >. （2）当0a >时，()()121,1211,x x a f x a x x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩，要使函数()f x 与x 轴无交点，只需()210210a a ⎧->⎪⎨⎪-≤⎩即12a ≤<当0a =时，()21f x x =+，函数()f x 与x 轴有交点.当0a <时，()()121,1211,x x a f x a x x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩，要使函数()f x 与x 轴无交点，只需()210210a a ⎧-<⎪⎨⎪-≤⎩此时a 无解.综上可知，当12a ≤<时，函数()f x 与x 轴无交点. 附加：1.（1）根据上述分析，数列{}n a 其实就是第n 族的首项记(),1n n a a =，观察知： ()()()221,11,211,22222a a a ====-+，()2331,33333141422a a --==+=+=， ()241,444172a a -==+=归纳得：()21,12n n n n a a -==+. ()222221234112342n n S a a a a a n =+++++=+++++()112342n n -++++++ ()()()()21111121152626n n n n n n n n =⨯++-++=+ （2）由（1）知，第k 族第一个数（首项）()()1,1=122n a n n -+⎡⎤⎣⎦.通过观察表格知： []151542112a ⋅=⨯+=，()()2251251251172a ⋅⎡⎤=+-+-+=⎣⎦，，()()()24,4,1441441252a ⎡⎤=+-+-+=⎣⎦. 于是观察归纳得:()()()()()()22,1111211122m n a n m n m m n m m n ⎡⎤⎡⎤=+--+-++-=+-+-+⎣⎦⎣⎦ (其中m 为行数，n 表示列数设)设(),2017m n a =，∵*,m n N ∈，现对m 可能取值进行赋值试探，然后确定n .取1m =，则()()()1,1122017140322n a n n n n =-+=⇒-=⎡⎤⎣⎦，∵*n N ∈ 易知63644032⋅=，故必然64n =，于是2017必在第64族的位置上，故2017是第64族中的第一行数.∴164m n =⎧⎨=⎩. 2.解：（1）根据已知条件1a =得c =())12,F F ， ∵2MF x ⊥轴，∴)2M b在直角三角形12MF F中，22112tan 302MF b F F c ︒====，解得22b =，于是所求双曲线方程为2212y x -=. （2）根据（1）易得两条双曲线渐近线方程分別为1:20x y -=，2:20x y +=，设点()00,P x y，则11PP d =，22PP d ==又()00,P x y 在双曲线上，所以220022x y -= 于是()2212120012233PP PP d d x y ⋅==-=. （3）①当直线的斜率不存在时，则12AB F F ⊥，于是AB ON =此时2AB ON =，即命题成立.②当直线的斜率存在时，设的^方程为y kx m =+切线与C 的交点坐标为()()1122,,,A x y B x y ，于是有22220y kx m x y =+⎧⎨--=⎩消去y 化成关于x 的二次为()2222220k x kmx m --++=.12221222222N N km x x k m x x k y kx m ⎧+=⎪-⎪+⎪=⎨-⎪⎪=+⎪⎩∵N 为AB 的中点，∴122N x x x += 即N 坐标为222,22km m k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭则ON ，AB 又点O到直线的距离为d m ==()2221m k =+.代入得：AB，ON =2AB ON =.。

【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试理数试题

2017~2018学年度高三十七模考试高三年级数学试卷(理科)第Ⅰ卷一、选择题：（每小题5分,共60分.下列每小题所给选项只有一个项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 设集合{0.41}x A x =<,集合()2{|lg 2}B x y x x ==--,则集合()R A C B ⋃=（） A ． (]02， B ．[)0,+∞ C ．[)1,-+∞ D ．()(),10,-∞-⋃+∞2. 已知复数3a i z a i +=+- (a R ∈，i 为虚数单位),若复数z 的共轭复数的虚部为12-, 则复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 若012(21)2nn n x a a x a x a x +=++++的展开式中的二项式系数和为32，则12n a a a +++=（）A ． 241B ． 242C ． 243D ． 244 4. 运行如图所示程序,则输出的S 的值为（） A ． 1442 B ． 1452 C. 45 D ．14625. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为抛物线212y x =-的焦点，双曲线的渐近线方程为2y x =±,则实数a =（）A ． 3B ． 2 C. 3 D ．236. 已知10sin 10α=，(0,)2a π∈，则cos 26a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．43310- B ．43+310 C. 43310- D ．33410- 7. 如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为（）A ．6B ． 9 C. 12 D ．188. 已知2OA OB ==,点C 在线段AB 上,且OC 的最小值为1,则OA tOB - (t R ∈)的最小值为（） A ．2 B ．3 C. 2 D ．5 9. 函数22sin 33y ([,0)(0,])1441x xxππ=∈-+的图像大致是（） A ． B ．C. D ．10. 已知双曲线22221x y a b-=的左、右顶点分别为A ,B ，P 为双曲线左支上一点，ABP ∆为等腰三角形且外接圆的半径为5a ，则双曲线的离心率为（）A ．155 B ．154 C.153 D ．15211. 设函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.若120x x <,且()()120f x f x +=，则21x x -的取值范围为（） A ． (,)6π+∞ B ． (,)3π+∞ C. 2(,)3π+∞ D ．4(,)3π+∞ 12. 对于函数()f x 和()g x ，设(){}/0x f x α∈=;(){/0}x g x β∈=,若所有的α,β，都有1αβ-≤，则称()f x 和()g x 互为“零点相邻函数”.1 ()2x f x e x -=+-与()23g x x ax a =--+与互为“零点相邻函数”,则实数a 的取值范围是（）A ． []2,4B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]2,3第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题（每题5分，共20分，把每小题的答案填在答卷纸的相应位置）13. 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为．14. 已知a 是区间[]1,7上的任意实数,直线1:220l ax y a ---=与不等式组830x mx y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩表示的平面区域总有公共点，则直线:30(,)l mx y n m n R -+=∈的倾斜角α的取值范围为．15. 如图，四面体OABC 的三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，2OA OB ==，3OC =，D 为四面体OABC 外一点，给出下列命题.①不存在点D ，使四面体ABCD 有三个面是直角三角形； ②不存在点D ，使四面体ABCD 是正三棱锥； ③存在点D ，使CD 与AB 垂直并且相等；④存在无数个点D ，使点O 在四面体ABCD 的外接球面上，其中真命题的个数是． 16. 已知只有50项的数列{}n a 满足下列三个条件： ①{}1,0,11,250i a i ∈-=②12509a a a +++=；③()()2221250101(1)11111a a a ≤++++++≤.对所有满足上述条件的数列{}n a ，2222250a a a +++共有k 个不同的值，则k = ．三、解答题（共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在等差数列{}n a 中，24a =，其前n 项和n S 满足()2n S n n R λλ=+∈.（1）求实数λ的值，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为为λ，公比为2λ的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18. 在2018年2月12K 联盟考试中，我校共有500名理科学生参加考试，其中语文考试成绩近似服从正态分布()295,175N ，数学成绩的频率分布直方图如图：（1）如果成绩大于130的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望.（3）根据以上数据，是否有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀？ ①若()2,X Nμσ~，则()0.68P X μσμσ-<≤+=，()220.96P X μσμσ-<≤+=②22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++③20()P K K ≥0.50 0.40 0.010 0.005 0.001 0K0.4550.7086.6357.87910.82819.已知在直角梯形ABC D '中，B 90A ∠=∠=︒，1AD AB ==,2BC '=，将C BD '∆沿BD 折起至CBD ∆，使二面角C BD A --为直角. （1）求证：平面ADC ⊥平面ABC ；（2）若点M 满足AM AC λ=，[]0,1λ∈，当二面角M BD C --为45︒时，求λ的值.20. 己知椭圆()2222:0x y C l a b a b+=>>的一个焦点与抛物线23:12E x y =的焦点相同，A 为椭圆C 的右顶点，以A 为为圆心的的圆与直线by x a=相交交于P ，Q 两点，且0AP AQ ⋅=，3OP OQ =.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程和圆A 的方程；（Ⅱ）不过原点的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，已知OM . 直线l ，ON 为直径的圆的面积分别为1S 、2S ，试探究12S S +的值是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.21. 已知函数()()xf x e ax a a R =-+∈，其中e 为自然对数的底数.（1）讨论函数()y f x =的单调性；（2）函数()y f x =的图像与x 轴交于1(,0)A x ，()2,0B x 两点，12x x <，点C 在函数()y f x =的图像上，且ABC ∆为等腰直角三角形，记2111x t x -=-，求()at a t -+的值.二选一：请考生在22、23两题中任选一题作答，并在相应题号前的方框中涂黑.22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（其中ϕ为参数），曲线222184x y C +=：.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线1C 、2C 的极坐标方程；（2）射线():0l θαρ=≥与曲线1C 、2C 分别交于点,A B (且,A B 均异于原点O )，当 02πα<<时，求22OB OA -的最小值.23.已知函数()4+13f x x x =---. （1）求不等式()2f x ≤的解集；（Ⅱ）若直线2y kx =-与函数()f x 的图象有公共点，求k 的取值范围.2017~2018学年度下学期高三十七模考试高三年级数学试卷(理科)答案一、选择题1-5: CABBC 6-10: ABBAC 11、12：BB二、填空题13.16 14. 0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭15.6 16.2个三、解答题17.（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为()()2214213a S S λλλ=-=+-+=+, 所以34λ+=,所以1λ=.所以112a S ==,所以212d a a =-=. 所以1(1)2n a a n d n =+-= （2）由（1）知1λ=，所以-111122n n n nb S -+=⨯= 所以1111122(1)1n n n b n n n n --⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭.所以()0111111122212231n n T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++--+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦121211212111n n n n n -+⎛⎫=--=- ⎪-++⎝⎭ 18.【解析】解：（1）语文成绩服从正态分布2(95,17.5)N ， ∴语文成绩特别优秀的概率为()()1113010.960.022p P X =≥=-⨯=，数学成绩特别优秀的概率为20.0012200.024p =⨯=， ∴语文文特别优秀的同学有5000.0210⨯=人，数学特别优秀的同学有500x0.024=12人（2）语文数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0，1，2，3，()3103163P X 014C C ===,2110631627(1)56C C P X C ===1210631615(2)56C C P X C ===，363161(3)28C P X C ===， ∴X 的分布列为：X0 1 2 3P314 2756 1556 128()32715190123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=E(X)=0×+1 （3）22⨯列联表：语文特别优秀语文不特别优秀合计数学特别优秀 6 6 12 数学不特别优秀4 484 488 合计10490500∴22500(648446)144.5 6.63510490124888k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ ∴有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀.由题设知，22212121212121212()()()y y kx m kx m km x x m k k k k x x x x x x ++++====+∴()2120km x x m ++=，∴22228014k m m k -+=+，∵0m ≠，∴214k =，则12S S +2222121211444x x x x π⎛⎫+-++-= ⎪⎝⎭()()222121212332162162x x x x x x ππππ⎡⎤++=+-+=⎣⎦()()22222813641614214m k m k k ππ⎡⎤-⎢⎥⋅-+=++⎢⎥⎣⎦ ()22354411624m m πππ⎡⎤--+=⎣⎦故12S S +为定值，该定值为54π. 21.(理)解:（1）()f x e a ''=-.①当0a ≤时，则()0f x '>，则函数()f x 在(,)-∞+∞是单调增函数. ②当0a >时,令()0f x '=，则ln x a =，若ln x a <，()0f x '<,所以()f x 在(,ln )a -∞上是单调减函数；所以ln x a >，()0f x '>，所以()f x 在()ln ,a +∞上是单调增函数.（2）由（1）可知当0a >时，函数()y f x =其图象与x 轴交于两点，则有0ii e ax a -+=，则()1001(1,2)i i i i a x e x x i -=>⇒>⇒>=.于是1212(1)(1)2e a x x -=--，在等腰三角形ABC 中，显然90c =︒，所以12012(,)2x x x x x +=∈，即00()0y f x =<，由直角三角形斜边的中线性质，可知2102x x y -=-,所以21002x x y -+=，即122112()0222x x x xa e x x a +--+++=所以211212(1)(1)()022x x aa x x x x a ----+++=，即[]211212(1)(1)(1)(1)(1)(1)022x x aa x x x x -------+-+=.因为110x -≠，则22211111111101212x x x x a a x x --⎛⎫----++= ⎪--⎝⎭，又2111x t x -=-，所以221(1)(1)022a at t t -++-=，即211a t =+-，则(1)(1)2a t --= 所以()1at a t -+=.22.（Ⅰ）1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，2C 的极坐标方程为281sin ρα=+ （2）828- 【试题解析】（1）曲线1C 的普通方程为22(1)1x y -+=，1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，2C 的极坐标方程为2281sin ρα=+ （2）联立()0a θρ=≥与1C 的极坐标方程得224cos OA α=，联立()0a θρ=≥与2C 的极坐标方程得222288cos 2sin 1sin OB a a a==++，则222222884cos 4(1sin )1sin 1sin OB OA αααα-=-=--++ 2284(1sin )81sin αα=++-+ 2282()4(1sin )88281sin a α≥⨯+-=-+.(当且仅当sina 21=-时取等号).所以22OB OA -的最小值为828-. 23.（1）[]0,5:（2）()1,2,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭试题解析：解：（1）由()2f x ≤，得1222x x ≤⎧⎨-≤⎩或1402x <<⎧⎨≤⎩或4282x x ≥⎧⎨-≤⎩，解得05x ≤≤，故不等式()2f x ≤的解集为[]0,5.（2）22,1()413{0,1428,4x x f x x x x x x -≤=-+--=<<-≥，作出函数()f x 的图象，如图所示,直线2y kx =-过定点(0,2)C -,当此直线经过点(4,0)B 时，12k =；当此直线与直线AD 平行时，2k =-，故由图可知，1(,2),2k ⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭。

2018届河北省衡水中学高三下学期期中考试理科数学试题及答案精品

（2）抽出 100 人的数学与语文的水平测试成绩如下表：
成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示语文成绩
与数学成绩，若在该样本中，数学成绩优秀率是 30%，求 a、b 的值；
（ 3）在语文成绩为及格的学生中，已知
a 10,b 8 ，设随机变量
a b ，求① 的分布列、期望 ; ②数学成绩为优秀的人数比及格的
24. （本小题满分 10 分）选修 4-5 ，不等式选讲在平面直角坐标系中，定义点 P(x1, y1) 、 Q( x2 , y2 ) 之间的直角距离
为 L( P,Q ) | x1 x2 | | y1 y2 |，点 A(x,1) ， B(1,2) ， C (5, 2) （1）若 L ( A, B) L( A,C) ，求 x 的取值范围；（2）当 x R 时，不等式 L ( A, B) t L( A, C ) 恒成立，求 t 的最小值 .
∴ O 为 B1C 中点又 D 为 AC 中点 , 从而 DO // AB1 (4 分)
∵ AB1 平面 BDC 1 , DO 平面 BDC1 ∴ AB1 // 平面 BDC1 (6 分) （Ⅱ）建立空间直角坐标系 B xyz 如图所示 ,
33
则 B(0,0,0) , A(
3,1,0) ,
C (0,2,0)
4
D．2k 或 2k 一 1 （ k∈Z）
4
C． 0
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）二、填空题（每题 5分，共 20分。把答案填在答题纸的横线上）
13．设等比数列 { an} 满足公比 q N * ，a n N * ，且 { a n } 中的任意两项之积
也是该数列中的一项，若 a1 281 ，则 q 的所有可能取值的集合

2018年届河北省衡水中学高中高三下学期期初中中考试理科数学试卷试题及答案

河北省衡水中学 2018届高三下期期中考试数学（理）试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前。

考生务势必自己的姓名、准考据号填写在答题卡上．2．答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号．写在本试卷上无效．3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．已知i为虚数单位，则复数13i1iA．2i B．2i C．12i D．2．已知会合P0,1,2,Q y|y3x，则PQA．0,1B．1,2C．0,1,2D．3．已知cos k k R,,则sin,,2A．1k2k 12i4．以下说法中，不．正确的选项是A．已知a,b,m R，命题“若am2bm2，则a b”为真命题；B．命题“x0R,x02x00”的否认是“x R,x2x0”；C．命题“p 或”为真命题，则命题p和命题q均为真命题；qD．“x>3”是“x>2”的充足不用要条件．5．已知偶函数f（x），当x[0,2)时，f（x）=2sinx，当x [2,)时，fxlog2x，则f f43A．32B．1C．3D．326．履行下边的程序框图，假如输入的挨次是1,2,4,8，则输出的为A．2B．22C．4D．67．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成的角的大小为A．B．C．D．64328．已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km 处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘．O地为一磁场，距离其不超出3km的范围内会对测绘仪等电子仪器形成扰乱，使丈量结果不正确．则该测绘队员可以获得正确数据的概率是A．1B．2C．13D．12 22229．已知抛物线y22pxp0的焦点F恰巧是双曲线x2y21a0,b0的一个焦点，两条曲线的交点的连线经过a2b2点F，则双曲线的离心率为A．C．2B．12D．31310．一个几何体的三视图如下图，则该几何体的体积是A．64B．72C．80D．11211．已知平面图形ABCD为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且AB=2，BC=4，CD=5，DA=3，则四边形ABCD面积S的最大值为A．30B．230C．430D．63012．已知函数fx lnx，x0，若对于x的方程x24x1，x0f2xbfx c0b,cR 有8个不一样的实数根，则由点（，）bc确立的平面地区的面积为A．1B．1C．1D．2 6323第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13．已知平面向量a，b的夹角为23|a+b|=．，|a|=2，|b|=1，则14．将甲、乙、丙、丁四名学生疏到两个不一样的班，每个班起码分到一名学生，且甲、乙两名学生不可以分到同一个班，则不同的分法的种数为（用数字作答）．15．设过曲线f x e x x（e为自然对数的底数）上随意一点处的切线为 l1，总存在过曲线gx ax 2cosx上一点处的切线l2，使得l1l2，则实数a的取值范围为．22F 1,F 2,设P 为椭圆16．已知椭圆x2y21ab0的两个焦点分别为a b上一点，F 1PF 2的外角均分线所在的直线为 l ，过F 1,F 2分别作l的垂线，垂足分别为、，当 P在椭圆上运动时，、所形RSRS成的图形的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分 12分）设数列a n 的前n 项和为S n ，a 11，a n1S n 1nN*,1，且a 1、2a 2、a 33为等差数列b n 的前三项．1）求数列a n 、b n 的通项公式；2）求数列a n b n 的前n 项和．18．（本小题满分 12分）集成电路 E 由3个不一样的电子元件构成，现因为元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为1、1 、2，且每个电子2 2 3元件可否正常工作互相独立．若三个电子元件中起码有2个正常工作，则 E 能正常工作，不然就需要维修，且维修集成电路 E 所需花费为 100元． 1）求集成电路E 需要维修的概率；2）若某电子设施共由2个集成电路E 构成，设X 为该电子设备需要维修集成电路所需的花费，求X 的散布列和希望．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AP=AD=AB=2,BC=t，∠PAB=∠PAD=．（1）当t32时，试在棱PA上确立一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时AE的值；EP（2）当60时，若平面PAB⊥平面PCD，求此时棱BC的长．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E．1,0且与直线x1相22（1）求曲线E的方程；（2）设P 是曲线E上的动点，点、在y轴上，△的内切BC PBC圆的方程为x12y21，求△面积的最小值．PBC21．（本小题满分12分）已知函数fx x22alnx．x（1）若f（x）在区间[2,3]上单一递加，务实数a的取值范围；（2）设f （）的导函数f'x的图象为曲线，曲线C上的不一样x C两点Ax 1,y 1、Bx 2,y 2所在直线的斜率为k ，求证：当 a ≤4时，|k |>1．请考生在第 22~24三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分 10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知O 和M 订交于、 B两点，为 M 的直径，延伸AADDB 交O 于C ，点G 为弧BD 的中点，连接AG 分别交O 、BD于点E 、F ，连接CE ．（1）求证：AGEFCEGD ;（2）求证：GFEF 22 ． AGCE23．（本小题满分 10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为x2cos（为参数），以坐标原点Oy3sin为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2．1）分别写出C1的一般方程，C2的直角坐标方程．2）已知M、N分别为曲线C1的上、下极点，点P为曲线C2上随意一点，求|PM|+|PN|的最大值．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数fxx1x3m的定义域为．R（1）务实数m的取值范围．（2）若m的最大值为，当正数、知足21n时，求n ab3ab a2b7a4b的最小值．精选介绍强力介绍值得拥有。

河北省衡水中学2018届高三下学期第7周周考理数试题(10后含原卷扫描)

2017-2018届高三数学下学期理科数学周日测试7第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2A x x =≤，{}320B x x =-<，则（）A ．AB =R U B ．A B =∅IC ．{}2A B x x =≤I D ．322A B x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭U 2．记复数z 的虚部为lmz ，已知复数5221iz i i =--，（i 为虚数单位），则lmz 为（） A ．2 B ．3 C ．3i - D ．-33．已知命题p ：“对任意0x >，都有()ln 1x x +<”，则命题p 的否定是（） A ．对任意0x >，都有()ln 1x x +≥ B ．存在00x >，使得()00ln 1x x +≥ C ．对任意0x ≤，都有()ln 1x x +≥ D ．存在00x ≤，使得()00ln 1x x +≥4．下列函数：12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2y x =，3y x =+，3y x =在()0,+∞上是增函数且为偶函数的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．已知曲线()323f x x =在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-=+（） A ．12 B ．2 C ．25 D ．38- 6．函数cos ln xy x=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7．若向量,a b r r 的夹角为3π，且2a =r ，1b =r ，则向量a r 与向量2a b +r r 的夹角为（）A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 8．定义在R 上的奇函数()f x 满足：()()2f x f x +=，且当01x <<时，()2x f x =，则12l o g 2017f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（） A ．10242017-B ．20171024-C ．12017D ．11024- 9．丹麦数学家琴生（Jensen ）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果，设函数()f x 在(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(),a b 上的导函数为()f x ''，若在(),a b 上()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在(),a b 上为“凸函数”，已知()4323432x t f x x x =-+在()1,4上为“凸函数”，则实数t 的取值范围是（）A ．[)3,+∞B ．()3,+∞C ．51,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．51,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭10．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位得到函数()y g x =的图象，则()y g x =是减函数的区间为（）A ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭11．已知在ABC ∆中，a x =，2b =，30B =︒，若三角形有两个解，则x 的取值范围是（）A ．()2,+∞B ．(2,C ．()2,4D ．(2, 12．设点P 为函数()2122f x x ax =+与()()23ln 20g x a x b a =+>图象的公共点，以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切，则实数b 的最大值为（）A ．3423eB ．3432e C ．2343e D ．2334e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数()y f x =的定义域为()(),,a b -∞+∞U （其中a b <），则“()y f x =在(),a -∞和(),b +∞上分别单调递增” 是“()y f x =在()(),,a b -∞+∞U 上为增函数”的条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要条件”） 14．已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>.若0,232f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数ω的最小值为．15．设函数()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足条件()()0f x xf x '+>，则不等式ff>的解集为．16．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC ∆三个内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =2sin 4sin a C A =，()2212a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC ∆的面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．（1）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（2）若53132S =，求λ． 18．自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数之和．求随机变量ξ的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF ∆为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点．（1）求证：AO BE ⊥；（2）求二面角F AE B --的余弦值.20．在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率12e =，左顶点为()4,0A -，过点A 作斜率为()0k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的()0k k ≠都有OP EQ ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AE OM+的最小值．21．已知函数()()ln 1f x ax =-（a ∈R 且0a ≠）（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）当0a >时，设函数()()316g x x f x =-，函数()()h x g x '=， ①若()0h x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； ②证明：()2ln 123en ⋅⋅⋅⋅<L ()2222123n n ++++∈*N L22．在直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=.（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A B 、两点，AB =l 的斜率.23．选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式32x x m m -+-≥的解集为R ．（1）求m 的最大值；（2）已知0a >，0b >，0c >，且a b c m ++=，求22249a b c ++的最小值及此时,,a b c 的值．附加题：1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点,n S n n ⎛⎫⎪⎝⎭在直线11122y x =+上. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()()13211211n n n b a a +=--，求数列{}n b 的前n 项和为n T ，并求使不等式20n k T >对一切n ∈*N都成立的最大正整数 k 的值．2．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的上、下、左、右四个顶点分别为A B C D 、、、，x 轴正半轴上的某点G 满足2,3,4GD GA GC ===.（1）求椭圆的方程；（2）设该椭圆的左、右焦点分别为12F F 、，点M 在圆222x y b +=上，且M 在第一象限，过M 作圆222x y b +=的切线交椭圆于,P Q ，求证：2PF Q ∆的周长是定值．2017-2018届高三数学下学期理科数学周日测试7参考答案一、选择题1-5:ADBAC 6-10:CABCB 11、12：CD二、填空题13．必要不充分 14．3 15．[)1,2 16三、解答题17．【答案】（1）1111n n a λλλ-⎛⎫= ⎪--⎝⎭；（2）1λ=-．18．解：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为14120050P ==；当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为216220025P ==. （2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A ，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有2510C =（种），其和不低于32周的选法有()14,18、()15,17、()15,18、()16,17、()16,18、()17,18，共6种，由古典概型概率计算公式得()63105P A ==．②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．()1290.110P ξ===， ()1300.1,10P ξ===()2310.210P ξ===， ()()22320.2,330.2,1010P P ξξ======()()11340.1,350.11010P P ξξ====== 因而ξ的分布列为所以()290.1300.1310.2320.2330.2E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯340.1350.132+⨯+⨯=. 19．解：（1）由于平面AEF ⊥平面EFCB ， AEF ∆为等边三角形，O 为EF 的中点，则AO EF ⊥，根据面面垂直性质定理，所以AO ⊥平面EFCB ，又BE ⊂平面EFCB ，则AO BE ⊥．（2）取CB 的中点D ，连接OD ，以O 为原点，分别以OE OD OA 、、为x y z 、、轴建立空间直角坐标系，()A ,(),0,0E a,()2,,0B,(),0,AE a =uu u r,()2,,0EB a =-uu r，由于平面AEF 与y 轴垂直，则设平面AEF 的法向量为()10,1,0n =u r，设平面AEB 的法向量()2,,1n x y =u u r，2n AE ⊥u u r uu u r,0ax =,x =2n EB ⊥u u r uu r,()()20a x y -+=,1y =-,则)21,1n =-u u r ，二面角F AE B --的余弦值121212cos ,n n n n n n ⋅〈〉===⋅ 由二面角F AE B --为钝二面角，所以二面角F AE B --的斜弦值为-． 20．解：（1）∵左顶点为()4,0A - ∴4a =又∵12e =∴2c = 又∵22212b a c =-=∴椭圆C 的标准方程为2211612x y +=．（2）直线l 的方程为()4y k x =+，由()221{16124x y y k x +==+消元得()22411612k x x ⎡⎤+⎣⎦+=化简得， ()()2244316120x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，则212216124,43k x x k -+=-=+ 当22161243k x k -+=+时， 22216122444343k k y k k k ⎛⎫-+=+= ⎪++⎝⎭， ∴2221612244343k k D k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭， ∵点P 为AD 的中点∴点P 的坐标为22216124343k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，，则()304opk k k =-≠. 直线l 的方程为()4y k x =+，令0x =，得点E 的坐标为()04k ，，假设存在定点()(),0Q m n m ≠使得OP EQ ⊥,则1OP EQ k k =-，即34•14n k k m--=-恒成立，∴()41230m k n +-=恒成立 ∴4120{30m n +=-=即-3{m n == ∴定点Q 的坐标为()30-，.（3）∵//OM l ∴OM 的方程可设为y kx =，由221{1612x y y kx+==得M点的横坐标为x =由OM l ，得2D A E A D A M M x x x x x x AD AE OM x x -+--+===22216128k -++=⎫=≥，=k =时取等号，∴当k =时， AD AE OM+的最小值为 21．解：（1）∵()()1ln 1ln f x a x x a x x ⎡⎤'=-+⋅=⎢⎥⎣⎦，令()0f x '>．当0a >时，解得1x >；当0a <时，解得01x <<，所以0a >时函数()y f x =的单调递增区间是()1,+∞；0a <时函数()y f x =的单调递增区间是()0,1（2）①∵21()()()2h x g x x f x ''==-21ln 2x a x =-，由题意得()min 0h x ≤，因为()2a x a h x x x x -'=-==所以当x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；∴min 1()ln 2h x h a a ==-由102a a ≤-ln 1a ≤，则实数a 的取值范围是(]0,e （分离参数法亦可）． ②由（1）知a e =时，()21ln 02h x x e x =-≥在()0,x ∈+∞上恒成立，当x =∴22ln x N e x x *∈<时，令1,2,3,x n =⋅⋅⋅，累加可得()22222ln1ln2ln3ln 123e n n ++++<++++即()()22222ln 123123,en n n N *⋅⋅⋅⋅<++++∈22．解：（1）整理圆的方程得2212110x y +++=，由222{ x y cos x sin yρρθρθ=+==可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．（2）记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，由垂径定理及点到直线距离公式知：=，即22369014k k =+，整理得253k =，则k = 23．解：（1）因为()()333x x m x x m m -+-≥---=- 当3x m ≤≤,或3m x ≤≤时取等号，令32m m -≥，所以32m m -≥，或32m m -≤-．解得3m ≤-，或1m ≤ ∴m 的最大值为1（2）由（1）1a b c ++=．由柯西不等式，()()222211149149a b c a b c ⎛⎫++++≥++=⎪⎝⎭， ∴222364949a b c ++≥，等号当且仅当49a b c ==，且1a b c ++=时成立．即当且仅当949a =，449b =，3649c =时，22249a b c ++的最小值为3649．附加题1．解：（1）由题意，得2111111,.2222n n S n S n n n =+=+即故当2n ≥时，2111122n n n a S S n n -⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭2111(1)(1) 5.22n n n ⎡⎤--+-=+⎢⎥⎣⎦当1n =时，11615a S ===+,所以*5()n a n n =+∈N . （2）133(211)(211)(21)(21)n n n b a a n n +==---+31122121n n ⎛⎫=-⎪-+⎝⎭. 所以12311111123352121n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 313122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 由于1132321n n n nT T n n ++-=-++（）30(23)(21)n n =>++，因此n T 单调递增，故()1n min T =.令120k>，得20k <，所以max 19k =. 2.（1）设点G 的坐标为()00,0(0)x x >,可知224,3a a =+=,041,x a b =-=== 因此椭圆的方程是22198x y +=. （2）设()()1122,,,P x y Q x y ,则2211198x y +=,2PF ===∵103x <<,∴1233x PF =-, 在圆中, M 是切点,∴PM===113x =,∴211113333PF PM x x +=-+=, 同理23QF QM +=,∴22336F P F Q PQ ++=+=, 因此2PF Q ∆的周长是定值6．ADBAC CABCB CD 12【答案】D【解析】设()y f x =与()()0y g x x =>在公共点()00,P x y 处的切线相同，()()23'2,'a f x x a g x x=+=，由题意()()()()0000,''f x g xf xg x==，即222000001323ln 2,22a x ax a x b x a x +=++=，由2000322a x a x a x +=+=得0x a =或03x a =-（舍去），即有2221223ln 2b a a a a =+- 2253ln 2a a a =-，令()()2253ln 02h t t t t t =->，则()()'213ln h t t t =-，于是当()13ln 0t t ->，即130t e <<时， ()'0h t >；当()13ln 0t t -<，即13t e >时， ()'0h t <，故()h t 在130,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数，在13,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为减函数，于是()h t 在()0,+∞的最大值为123332h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故b 的最大值为2334e ，故选D.13-16 必要不充分 3 [)1,217、【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 1λ=-．18、解析：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为14120050P ==；当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为.（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A ，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有2510C =（种），其和不低于32周的选法有（14，18）、（15，17）、（15，18）、（16，17）、（16，18）、（17，18），共6种，由古典概型概率计算公式得．②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．()1290.110P ξ===， ()()12300.1,310.21010P P ξξ======， ()()()()2211320.2,330.2,340.1,350.110101010P P P P ξξξξ============因而ξ的分布列为所以()290.1300.1310.2320.2330.2340.1350.132E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.19（1）由于平面AEF ⊥平面EFCB ， AEF ∆为等边三角形， O 为EF 的中点，则AO EF ⊥，根据面面垂直性质定理，所以AO ⊥平面EFCB ，又BE ⊂平面EFCB ，则AO BE ⊥．（2）取CB 的中点D ，连接OD ，以O 为原点，分别以OE OD OA 、、为x y z 、、轴建立空间直角坐标系，，由于平面AEF 与y 轴垂直，则设平面AEF 的法向量为，设平面AEB 的法向量，则，二面角F AE B --的余弦值121212cos ,5n n n n n n ⋅〈〉===-⋅，由二面角F AE B --为钝二面角，所以二面角F AE B --的斜弦值为． 20．（1）2211612x y +=（2）()30-，（3）（1）∵左顶点为()4,0A -∴4a =又∵12e =∴2c =又∵22212b a c =-=∴椭圆C 的标准方程为2211612x y +=．（2）直线l 的方程为()4y k x =+，由()221{16124x y y k x +==+消元得()22411612k x x ⎡⎤+⎣⎦+= 化简得， ()()2244316120x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，则212216124,43k x x k -+=-=+ 当22161243k x k -+=+时， 22216122444343k k y k k k ⎛⎫-+=+= ⎪++⎝⎭，∴2221612244343k k D k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭， ∵点P 为AD 的中点∴点P 的坐标为22216124343k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，，则()304opk k k =-≠. 直线l 的方程为()4y k x =+，令0x =，得点E 的坐标为()04k ，，假设存在定点()(),0Q m n m ≠使得OP EQ ⊥,则1OP EQ k k =-，即34•14n kk m--=-恒成立，∴()41230m k n +-=恒成立 ∴4120{30m n +=-=即-3{m n == ∴定点Q 的坐标为()30-，.（3）∵//OM l ∴OM 的方程可设为y kx =，由221{1612x y y kx+==得M点的横坐标为x =由OM l ，得2221612829D A E A D A M M k x x x x x x AD AE OM x x -++-+--+====⎫=≥=2k=±时取等号，∴当k=时，AD AEOM+的最小值为21解：（1）()()1ln1lnf x a x x a xx⎡⎤'=-+⋅=⎢⎥⎣⎦，令()0f x'>．当0a>时，解得1x>；当0a<时，解得01x<<，所以0a>时函数()y f x=的单调递增区间是()1,+∞；a<时函数()y f x=的单调递增区间是()0,1（2）①2211()()()ln22h x g x x f x x a x''==-=-，由题意得()min0h x≤，因为()2a x ah x xx x-'=-==所以当x∈时，()0h x'<，()h x单调递减；当)x∈+∞时，()0h x'>，()h x单调递增；min1()2h x h a a∴==-由12a a≤-ln1a≤，则实数a的取值范围是(]0,e（分离参数法亦可）．②由（1）知a e=时，()21ln02h x x e x=-≥在()0,x∈+∞上恒成立，当x=22lnx N e x x*∴∈<时，令1,2,3,x n=⋅⋅⋅，累加可得()22222ln1ln2ln3ln123e n n++++<++++即()()22222ln123123,en n n N*⋅⋅⋅⋅<++++∈22（1）整理圆的方程得2212110x y+++=，由222{x ycos xsin yρρθρθ=+==可知圆C的极坐标方程为212cos110ρρθ++=．⑵记直线的斜率为k，则直线的方程为0k x y-=，由垂径定理及点到直线距离公式知：=，即22369014kk=+，整理得253k=，则3k=±．（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）因为|x－3|＋|x－m|≥|(x－3)－(x－m)|＝|m－3| …2分当3≤x≤m,或m≤x≤3时取等号，令|m－3|≥2m，所以m－3≥2m，或m－3≤－2m．解得m≤－3，或m≤1∴m的最大值为1 …5分（Ⅱ）由（Ⅰ）a＋b＋c＝1．由柯西不等式，(14＋19＋1)( 4a2＋9b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1，…7分∴4a2＋9b2＋c2≥3649，等号当且仅当4a＝9b＝c，且a＋b＋c＝1时成立．即当且仅当a＝949，b＝449，c＝3649时，4a2＋9b2＋c2的最小值为3649．1.解：（Ⅰ）由题意，得2111111,.2222nnSn S n nn=+=+即…………1分故当2n≥时，221111111(1)(1) 5.2222n n na S S n n n n n-⎛⎫⎡⎤=-=+--+-=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦…………4分当n=1时，11615a S===+, 所以*5()na n n=+∈N. …………5分（Ⅱ）133311(211)(211)(21)(21)22121nn nba a n n n n+⎛⎫===-⎪---+-+⎝⎭. …………6分所以12311111313112335212122121n nnT b b bn n n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.…8分由于113302321(23)(21)n nn nT Tn n n n++-=-=>++++（），因此nT单调递增，…………9分故()1n minT=.令120k>，得20k<，所以max19k=.…………12分(1)设点G的坐标为()00x,0(x0)>,可知2a24,a3=+=,x4a1,b=-===因此椭圆的方程是22x y198+=.(2)方法1:设()()1122P x ,y ,Q x ,y ,则2211x y 198+=,2PF ==,∵10x 3<<,∴12x PF 33=-, 在圆中, M 是切点,∴PM=11x 3=, ∴21111PF PM 3x x 333+=-+=, 同理2QF QM 3+=,∴22F P F Q PQ 336++=+=, 因此△ΒΑC ∠的周长是定值6．方法2:设PQ 的方程为()y kx m k 0,m 0=+,由22{ x x 198y kx m=++=,得()22289k x 18kmx 9m 720+++-=, 设()()1122P x ,y ,Q x ,y ,则212122218km 9m 72x x ,x x 89k 89k --+==++,∴PQ 12x -=∵PQ 与圆22x y 8+=相切,=即m =,∴26kmPQ 89k=-+,∵2PF ===∵10x 3<<,∴12x PF 33=-, 同理可得()222x 1QF 9x 333=-=-, ∴1222222x x 6km 6km 6kmF P F Q PQ 666389k 89k 89k+++=--=+-=+++, 因此△2PQF 的周长是定值6．。

2018届河北省衡水金卷全国高三大联考理科数学试题(解析版)

2018届河北省衡水金卷全国高三大联考理科数学试题（解析版）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则 ( )A. B.C. D.【答案】C【解析】.所以,.故选C.2. 记复数的虚部为，已知复数（为虚数单位），则为( )A. 2B. -3C.D. 3【答案】B【解析】.故的虚部为-3，即.故选B.3. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则( )A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】由，得，故.故选C.4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( )A. B. C. D.【解析】根据题意，可估计军旗的面积大约是.故选B.5. 已知双曲线：的渐近线经过圆：的圆心，则双曲线的离心率为( )A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】圆：的圆心为，双曲线的渐近线为.依题意得.故其离心率为.故选A.6. 已知数列为等比数列，且，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，得，所以.由,得，或（由于与同号，故舍去）.所以..故选A.7. 执行如图的程序框图，若输出的的值为-10，则①中应填( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由图，可知.故①中应填.8. 已知函数为内的奇函数，且当时，，记，，，则，，间的大小关系是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意得，令.则为内的偶函数，当时，.所以在内单调递减.又，，.故，选D.9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是一个半圆柱与一个地面是等腰直角三角形的三棱锥构成的组合体，故其体积.故选A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.10. 已知函数的部分图象如图所示，其中.记命题：，命题：将的图象向右平移个单位，得到函数的图象.则以下判断正确的是( )A. 为真B. 为假C. 为真D. 为真【答案】D【解析】由，可得.解得.因为，所以，故为真命题；将图象所有点向右平移个单位，..............................所以为假，为真，为假，为真.故选D.11. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】令，得，即.由抛物线的光学性质可知经过焦点，设直线的方程为，代入.消去，得.则，所以..将代入得，故.故.故的周长为.故选B.点睛：抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线周上反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.12. 已知数列与的前项和分别为，，且，，，若恒成立，则的最小值是( )A. B. C. 49 D.【答案】B【解析】当时，，解得或.由得.由，得.两式相减得.所以.因为，所以.即数列是以3为首项，3为公差的等差数列，所以.所以.所以.要使恒成立，只需.故选B.点睛：由和求通项公式的一般方法为.数列求和的常用方法有：公式法；分组求和；错位相减法；倒序相加法；裂项相消法；并项求和.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每题5分.13. 已知在中，，，若边的中点的坐标为，点的坐标为，则__________．【答案】1【解析】依题意，得，故是以为底边的等腰三角形，故，所以.所以.14. 已知的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为，，则的最小值为__________．【答案】16【解析】显然.令，得.所以.当且仅当.即时，取等号，此时的最小值为16.15. 已知，满足其中，若的最大值与最小值分别为，，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】作出可行域如图所示（如图阴影部分所示）设，作出直线，当直线过点时，取得最小值；当直线过点时，取得最大值.即，当或时，.当时，.所以，解得.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao）.已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为__________．【答案】【解析】设的中点为，如图，由，且为直角三角形，得.由等体积法，知.即，解得.故该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数，.（Ⅰ）求函数的最小正周期及其图象的对称轴方程；（Ⅱ）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，求的面积.【答案】（1）最小正周期，对称轴方程为；（2）.【解析】试题分析：（1）化简函数得，其最小正周期，令即可解得对称轴；（2）由，解得，由正弦定理及，得，利用即可得解. 试题解析：（1）原式可化为，，，，故其最小正周期，令，解得，即函数图象的对称轴方程为，.（2）由（1），知，因为，所以.又，故得，解得.由正弦定理及，得.故.18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，侧面平面，且，动点在棱上，且.（1）试探究的值，使平面，并给予证明；（2）当时，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连接交于点，连接通过证得，即可证得平面；（2）取的中点,连接，可得两两垂直，建立空间直角坐标系，设与平面所成的角为，则，为平面的一个法向量.试题解析：（1）当时，平面.证明如下：连接交于点，连接.∵，∴.∵，∴.∴.又∵平面，平面，∴平面.（2）取的中点,连接.则.∵平面平面，平面平面，且，∴平面.∵，且，∴四边形为平行四边形，∴.又∵，∴.由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，.当时，有，∴可得.∴，，.设平面的一个法向量为，则有即令，得，.即.设与平面所成的角为，则.∴当时，直线与平面所成的角的正弦值为.点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？（Ⅱ）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠卷，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差.参考公式：，其中.参考数据：【答案】（1）见解析；（2）①，②见解析.【解析】试题分析：（1）计算的值，进而可查表下结论；（2）①由分层抽样的抽样比计算即可；②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为，由题意得.试题解析：（1）由列联表可知的观测值，.所以不能在犯错误的概率不超过的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关.（2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有（人），偶尔或不用网络外卖的有（人）.则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为.②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为.由题意得，所以；.20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为点，，其离心率为，短轴长为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，过点的直线与椭圆交于，两点，且，证明：四边形不可能是菱形.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由，及，可得方程；（2）易知直线不能平行于轴，所以令直线的方程为与椭圆联立得，令直线的方程为，可得，进而由是菱形，则，即，于是有由韦达定理代入知无解.试题解析：（1）由已知，得，，又，故解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1），知，如图，易知直线不能平行于轴.所以令直线的方程为，，.联立方程，得，所以，.此时，同理，令直线的方程为，，，此时，，此时.故.所以四边形是平行四边形.若是菱形，则，即，于是有.又，，所以有，整理得到，即，上述关于的方程显然没有实数解，故四边形不可能是菱形.21. 已知函数，其中为自然对数的底数. （Ⅰ）讨论函数的单调性及极值；（Ⅱ）若不等式在内恒成立，求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）函数求导得，讨论和演技单调性及极值即可；（2）当时，在内单调递增，可知在内不恒成立，当时，，即，所以.令，进而通过求导即可得最值.试题解析：（1）由题意得.当，即时，，在内单调递增，没有极值.当，即，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故当时，取得最小值，无极大值.综上所述，当时，在内单调递增，没有极值；当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，的极小值为，无极大值.（2）由（1），知当时，在内单调递增，当时，成立.当时，令为和中较小的数，所以，且.则，.所以，与恒成立矛盾，应舍去.当时，，即，所以.令，则.令，得，令，得，故在区间内单调递增，在区间内单调递减.故，即当时，.所以.所以.而，所以.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（，为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；（Ⅱ）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）将直线的极坐标方程化为普通方程，进而由圆的参数方程得曲线上的点到直线的距离，，利用三角函数求最值即可；（2）曲线上的所有点均在直线的下方，即为对，有恒成立，即（其中）恒成立，进而得.试题解析：（1）直线的直角坐标方程为.曲线上的点到直线的距离，，当时，，即曲线上的点到直线的距离的最大值为.（2）∵曲线上的所有点均在直线的下方，∴对，有恒成立，即（其中）恒成立，∴.又，∴解得，∴实数的取值范围为.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）记函数的值域为，若，证明：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）分段去绝对值解不等式即可；（2）利用绝对值三角不等式得..用作差法比较大小得到，即可证得.试题解析：（1）依题意，得于是得或或解得.即不等式的解集为.（2），当且仅当时，取等号，∴.原不等式等价于，.∵，∴，.∴.∴.。

【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三十六模理科数学试题(解析版)

2017-2018学年度第二学期高三年级十六模考试理数试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ）A. B. D.【答案】A.的实部是，虚部是 A.点睛：本题主要考查复数的基本概念与基本运算，属于简单题.2. ）C. D.【答案】C考点：集合的运算3. ）A. B. C. D.【答案】B对称，且.详解：曲线关于对称，且，可知，故选B.点睛：本题主要考查正态分布，正态曲线有两个特点，（1（24. 下列有关命题的说法正确的是（）A. ”的否命题为“若B. ，则互为相反数”的逆命题是真命题C.D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题【答案】B【解析】分析：逐一判断四个选项中的命题是否正确即可.详解：“的否命题为“逆命题是“若则互为相反数，”，正确；的否定是“，都有“若，则”为假命题，所以其逆否命题也为假命题， B.点睛：判断命题的真假应注意以下几个方面：(l)首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系；(2)要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”，注意利用“原命题”与“逆否命题”同真假；(3)判断命题真假时，可直接依据定义、定理、性质直接判断，也可使用特值进行排除.5. ）C. D.【答案】A，选A.6. 某几何体的三视图如图所示，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（）【答案】D，故体积为D.7.倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在）A. B. C. D.【答案】A的图象，再将所得图象个点的横坐标缩短为原来的到函数的图象，在上的值域为，故选A.8. 我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创举与我国古老的算术——“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入）【答案】A【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.第一次循环，；；；退出循环，输出 A.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9.为（）【答案】A，即，原问题转化为求解函数的最小值，整理函数的解析式有：令，则，令，则在区间上单调递减，在区间，据此可得，当取得最大值，则此时函数取得最小值，最小值为：本题选择A选项.10.，则最大值为（）A. C. D.【答案】C【解析】，当时，时，，从而，因为，所以当时，；当时，；因此当时，，选C.或；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．11. 若，且是的一个四等分点，则双曲线）【答案】B，则可设再由双曲线的定义，得到，这与所以是直角三角形，且,故选B.【点睛】本题考查了双曲线的定义与简单几何性质，直角三角形的判定与性质，考查转化思想与运算能力，立，经过分析，是直角三角形，之间的关系，是直角三角形是解决问题的关键.12. 时，上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（）A. C. D.【答案】D个周期，且有个整数解，每个周期内有.详解：由于函数是偶函数，的周期函数，上递增，在由选项可知，解得根据单调性和周期性画出图象如图所示，由图可知，个整数解，D.点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. ，，，__________．【解析】分析：，求出向量平面向量，然后利用向量的坐标运算求解.设出，的最大值为点睛：平面向量数量积公式有两种形式，一是面:(1)求向量的夹角，；（2上的投影是（3;(4)求向量.14. __________．展开式中的常数项是.15. 已知点是抛物线上一点，为圆心，的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是__________．【解析】由题意，可知16. 中，在正视图的投影面与投影面所成角为，设正视图的面积为，侧视图的面积为变化时，值是__________．【解析】分析：利用与投影面，求解最大值.详解：与投影面，故正视图的面积为，所以，侧视图的面积为，，故得的最大值为点睛：求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，利用三角函数法求最值常见类型有：①方法求最值；②求最值 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 是等比数列，，，（1和的通项公式；（2【答案】（1），2【解析】分析：（1）根据等差数列的前项和为，数列列出关于公比、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；（2））由（1，利用分组求和与裂项相消法求和，结合等比数列范求和公式可得结果.详解：（1）设等差数列，，，（2）由（1点睛：本题主要考查等差数列的通项与等比数列的通项公式、求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)（2（3）（4；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.与平面交于点.（1）已知平面平面，求证：；（2与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2【解析】试题分析：（1）由三角形中位线定理可得在（2）由勾股定理可得，，由此可以点分别为轴建立空间直角坐标系，利用两直线垂直数量积为零列出方程组，分别求出的方向向量与平面.试题解析：（1,平面.（2）∵底面是菱形平面则以点为原点，直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，设平面的法向量为，有得，则，设直线与平面所成角为∴所成角的正弦值为【方法点晴】本题主要考查线面平行的性质与判定以及利用空间向量求线面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 作为加班拍档、创业伴侣、春运神器，曾几何时，方便面是我们生活中重要的“朋友”，然而这种景象统计显示，2011年之前，2013年的年销量更是创下2013年下跌，只剩体如下表.相交于方便面，网络订餐成为大家更加青睐的消费选择.近年来，网络订餐市场规模的“井喷式”增长，也充分反映了人们消费方式的变化.全国方便面销售情况（单位：亿包/桶）（数据来源：世界方便面协会）（12017销量；（2）方便面销量遭遇滑铁卢受到哪些因素影响？中国的消费业态发生看怎样的转变？某媒体记者随机对身位受访者表示超过年未吃过方便面，位受访者有过网络订餐的经历.现从这人中抽取人进行深度访谈，记认为方便面是健康食品的人数，求随机变量的分布列及数学期望.【答案】（1）356（2）见解析【解析】分析：（1）根据平均数公式可求出的回归方程；(2)的可能值为从而可得分布列，利用期望公式可得结果.详解：（1），所以当时，（2）依题意，人中认为方便面是健康食品的有点睛：求回归直线方程的步骤：①确定两个变量具有线性相关关系；②计算是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20. 如图，与的右焦点点，轴上方一点，连接并延长其交之间移动.（1（2的方程.【答案】（12【解析】试题分析：（1）由椭圆的性质可得，故可得，故而可求得和（2），可得，求出点到直线的距离，结合面积公式可得最值.试题解析：（1）因为，此时，所以椭圆的方程为（2，设椭圆的标准方程为或，代入抛物线方程，于是．此时抛物线方程为，，则直线的方程为设，当时，所以的面积最大值为．此时21. （为常数，是自然对数的底数）.（1）求（2【答案】（1）单调递增区间是2）见解析【解析】试题分析：（1）根据曲线处的切线与轴垂直即切线斜率为值，即得函数（2）所以整理，分别证明和11）知求出其在上的最大值即可证得，利用导数求出其最小值，根据不等式的性质即可得到要证明的结论.试题解析：（1，由已知得，，则知，当时，从而，单调递减区间是（2恒成立，时，由（1）知1，时，时，时，，即时，．综上所述，对任意．①，则恒成立，即②时，由①②式，时，考点：导数的几何意义、利用导数研究函数在给定区间上的最值及不等式的证明.方法点睛：本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性和通过求给定区间上的最值来证明不等式，考查考生讨论和转化的数学思想，属于难题.本题解答的难点是第二问转化的过程，在第一问解答的基础上，利用不等式的性质把要证明的不等式转化为证明两个不等式，分别构造函数，再利用导数研究其单调性求得其最值，考查了考生应用所学函数、导数、不等式知识解决问题的能力.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程的极坐标方程为（1的普通方程和的直角坐标方程；（2的直线两点，与..【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）利用平方法消去参数，即可得到的普通方程，两边同乘以利用即可得的直角坐标方程；（2）设直线的参数方程为（为参数），代入，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义以及三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1（2（为参数）存在两个交点，因此可得23. 选修4-5：不等式选讲已知，.（1；（2有三个解，求实数.【答案】（12【解析】试题分析：（1）不等式即为.利用分类讨论的方法去掉绝对值符号，可求其解集；........................（2作出函数的图像，由图像可求方程有三个解时实数.试题解析：（1）不等式即为，，，此时不等式的解集为.，综上，的解集为（2作出函数的图像如图所示，，，所以实数的取值范围是。

【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试理数试题

2017~2018学年度高三十七模考试高三年级数学试卷(理科)第Ⅰ卷一、选择题：（每小题5分,共60分.下列每小题所给选项只有一个项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 设集合{0.41}x A x =<,集合()2{|lg 2}B x y x x ==--,则集合()R A C B ⋃=（） A ． (]02， B ．[)0,+∞ C ．[)1,-+∞ D ．()(),10,-∞-⋃+∞2. 已知复数3a i z a i +=+- (a R ∈，i 为虚数单位),若复数z 的共轭复数的虚部为12-, 则复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 若012(21)2nn n x a a x a x a x +=++++的展开式中的二项式系数和为32，则12n a a a +++=（）A ． 241B ． 242C ． 243D ． 244 4. 运行如图所示程序,则输出的S 的值为（） A ． 1442 B ． 1452 C. 45 D ．14625. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为抛物线212y x =-的焦点，双曲线的渐近线方程为2y x =±,则实数a =（）A ． 3B ． 2 C. 3 D ．236. 已知10sin 10α=，(0,)2a π∈，则cos 26a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．43310- B ．43+310 C. 43310- D ．33410-7. 如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为（）A ．6B ． 9 C. 12 D ．188. 已知2OA OB ==,点C 在线段AB 上,且OC 的最小值为1,则OA tOB - (t R ∈)的最小值为（） A ．2 B ．3 C. 2 D ．5 9. 函数22sin 33y ([,0)(0,])1441x x xππ=∈-+的图像大致是（） A ．B ．C. D ．10. 已知双曲线22221x y a b-=的左、右顶点分别为A ,B ，P 为双曲线左支上一点，ABP ∆为等腰三角形且外接圆的半径为5a ，则双曲线的离心率为（）A ．155 B ．154 C.153 D ．15211. 设函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.若120x x <,且()()120f x f x +=，则21x x -的取值范围为（） A ． (,)6π+∞ B ． (,)3π+∞ C. 2(,)3π+∞ D ．4(,)3π+∞ 12. 对于函数()f x 和()g x ，设(){}/0x f x α∈=;(){/0}x g x β∈=,若所有的α,β，都有1αβ-≤，则称()f x 和()g x 互为“零点相邻函数”.1()2x f x e x -=+-与()23g x x ax a =--+与互为“零点相邻函数”,则实数a 的取值范围是（）A ． []2,4B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]2,3第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题（每题5分，共20分，把每小题的答案填在答卷纸的相应位置）13. 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为．14. 已知a 是区间[]1,7上的任意实数,直线1:220l ax y a ---=与不等式组830x mx y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩表示的平面区域总有公共点，则直线:30(,)l mx y n m n R -+=∈的倾斜角α的取值范围为．15. 如图，四面体OABC 的三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，2OA OB ==，3OC =，D 为四面体OABC 外一点，给出下列命题.①不存在点D ，使四面体ABCD 有三个面是直角三角形； ②不存在点D ，使四面体ABCD 是正三棱锥； ③存在点D ，使CD 与AB 垂直并且相等；④存在无数个点D ，使点O 在四面体ABCD 的外接球面上，其中真命题的个数是． 16. 已知只有50项的数列{}n a 满足下列三个条件： ①{}1,0,11,250i a i ∈-=②12509a a a +++=；③()()2221250101(1)11111a a a ≤++++++≤.对所有满足上述条件的数列{}n a ，2222250a a a +++共有k 个不同的值，则k = ．三、解答题（共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在等差数列{}n a 中，24a =，其前n 项和n S 满足()2n S n n R λλ=+∈.（1）求实数λ的值，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为为λ，公比为2λ的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18. 在2018年2月12K 联盟考试中，我校共有500名理科学生参加考试，其中语文考试成绩近似服从正态分布()295,175N ，数学成绩的频率分布直方图如图：（1）如果成绩大于130的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望.（3）根据以上数据，是否有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀？ ①若()2,X Nμσ~，则()0.68P X μσμσ-<≤+=，()220.96P X μσμσ-<≤+=②22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++③20()P K K ≥0.50 0.40 0.010 0.005 0.001 0K0.4550.7086.6357.87910.82819.已知在直角梯形ABC D '中，B 90A ∠=∠=︒，1AD AB ==,2BC '=，将C BD '∆沿BD 折起至CBD ∆，使二面角C BD A --为直角. （1）求证：平面ADC ⊥平面ABC ；（2）若点M 满足AM AC λ=，[]0,1λ∈，当二面角M BD C --为45︒时，求λ的值.20. 己知椭圆()2222:0x y C l a b a b+=>>的一个焦点与抛物线23:12E x y =的焦点相同，A 为椭圆C 的右顶点，以A 为为圆心的的圆与直线by x a=相交交于P ，Q 两点，且0AP AQ ⋅=，3OP OQ =.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程和圆A 的方程；（Ⅱ）不过原点的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，已知OM . 直线l ，ON 为直径的圆的面积分别为1S 、2S ，试探究12S S +的值是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.21. 已知函数()()x f x e ax a a R =-+∈，其中e 为自然对数的底数. （1）讨论函数()y f x =的单调性；（2）函数()y f x =的图像与x 轴交于1(,0)A x ，()2,0B x 两点，12x x <，点C 在函数()y f x =的图像上，且ABC ∆为等腰直角三角形，记2111x t x -=-，求()at a t -+的值.二选一：请考生在22、23两题中任选一题作答，并在相应题号前的方框中涂黑.22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（其中ϕ为参数），曲线222184x y C +=：.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线1C 、2C 的极坐标方程；（2）射线():0l θαρ=≥与曲线1C 、2C 分别交于点,A B (且,A B 均异于原点O )，当 02πα<<时，求22OB OA -的最小值.23.已知函数()4+13f x x x =---. （1）求不等式()2f x ≤的解集；（Ⅱ）若直线2y kx =-与函数()f x 的图象有公共点，求k 的取值范围.2017~2018学年度下学期高三十七模考试高三年级数学试卷(理科)答案一、选择题1-5: CABBC 6-10: ABBAC 11、12：BB二、填空题13.1614. 0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭15.6 16.2个三、解答题17.（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为()()2214213a S S λλλ=-=+-+=+, 所以34λ+=,所以1λ=.所以112a S ==,所以212d a a =-=.所以1(1)2n a a n d n =+-= （2）由（1）知1λ=，所以-111122n n n nb S -+=⨯=所以1111122(1)1n n n b n n n n --⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭.所以()0111111122212231n n T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++--+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦121211212111n n n n n -+⎛⎫=--=- ⎪-++⎝⎭ 18.【解析】解：（1）语文成绩服从正态分布2(95,17.5)N ， ∴语文成绩特别优秀的概率为()()1113010.960.022p P X =≥=-⨯=，数学成绩特别优秀的概率为20.0012200.024p =⨯=， ∴语文文特别优秀的同学有5000.0210⨯=人，数学特别优秀的同学有500x0.024=12人（2）语文数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0，1，2，3，()3103163P X 014C C ===,2110631627(1)56C C P X C ===1210631615(2)56C C P X C ===，363161(3)28C P X C ===， ∴X 的分布列为：X 0 1 2 3P 314 2756 1556 128()32715190123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=E(X)=0×+1 （3）22⨯列联表：语文特别优秀语文不特别优秀合计数学特别优秀 6 6 12 数学不特别优秀4 484 488 合计10490500∴22500(648446)144.5 6.63510490124888k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ ∴有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀.由题设知，22212121212121212()()()y y kx m kx m km x x m k k k k x x x x x x ++++====+∴()2120km x x m ++=，∴22228014k m m k -+=+，∵0m ≠，∴214k =，则12S S +2222121211444x x x x π⎛⎫+-++-= ⎪⎝⎭()()222121212332162162x x x x x x ππππ⎡⎤++=+-+=⎣⎦()()22222813641614214m k m k k ππ⎡⎤-⎢⎥⋅-+=++⎢⎥⎣⎦ ()22354411624m m πππ⎡⎤--+=⎣⎦故12S S +为定值，该定值为54π. 21.(理)解:（1）()f x e a ''=-.①当0a ≤时，则()0f x '>，则函数()f x 在(,)-∞+∞是单调增函数. ②当0a >时,令()0f x '=，则ln x a =，若ln x a <，()0f x '<,所以()f x 在(,ln )a -∞上是单调减函数；所以ln x a >，()0f x '>，所以()f x 在()ln ,a +∞上是单调增函数.（2）由（1）可知当0a >时，函数()y f x =其图象与x 轴交于两点，则有0ii e ax a -+=，则()1001(1,2)i i i i a x e x x i -=>⇒>⇒>=.于是1212(1)(1)2e a x x -=--，在等腰三角形ABC 中，显然90c =︒，所以12012(,)2x x x x x +=∈，即00()0y f x =<，由直角三角形斜边的中线性质，可知2102x x y -=-,所以21002x x y -+=，即122112()0222x x x xa e x x a +--+++=所以211212(1)(1)()022x x aa x x x x a ----+++=，即[]211212(1)(1)(1)(1)(1)(1)022x x aa x x x x -------+-+=.因为110x -≠，则22211111111101212x x x x a a x x --⎛⎫----++= ⎪--⎝⎭，又2111x t x -=-，所以221(1)(1)022a at t t -++-=，即211a t =+-，则(1)(1)2a t --= 所以()1at a t -+=.22.（Ⅰ）1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，2C 的极坐标方程为281sin ρα=+ （2）828- 【试题解析】（1）曲线1C 的普通方程为22(1)1x y -+=，1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，2C 的极坐标方程为2281sin ρα=+ （2）联立()0a θρ=≥与1C 的极坐标方程得224cos OA α=，联立()0a θρ=≥与2C 的极坐标方程得222288cos 2sin 1sin OB a a a==++，则222222884cos 4(1sin )1sin 1sin OB OA αααα-=-=--++ 2284(1sin )81sin αα=++-+ 2282()4(1sin )88281sin a α≥⨯+-=-+.(当且仅当sina 21=-时取等号).所以22OB OA -的最小值为828-. 23.（1）[]0,5:（2）()1,2,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭试题解析：解：（1）由()2f x ≤，得1222x x ≤⎧⎨-≤⎩或1402x <<⎧⎨≤⎩或4282x x ≥⎧⎨-≤⎩，解得05x ≤≤，故不等式()2f x ≤的解集为[]0,5. （2）22,1()413{0,1428,4x x f x x x x x x -≤=-+--=<<-≥，作出函数()f x 的图象，如图所示,直线2y kx =-过定点(0,2)C -,当此直线经过点(4,0)B 时，12k =；当此直线与直线AD 平行时，2k =-，故由图可知，1(,2),2k ⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭。

2018年河北省衡水中学高三下学期第7周周考理科数学参考答案

x2 y 2 1 ∴ c 2 又∵ b2 a 2 c 2 12 ∴椭圆 C 的标准方程为 1． 16 12 2
21 解：（1）
2 x2 y 2 k x 4 1 x2 （2）直线 l 的方程为 y k x 4 ，由 { 16 12 消元得 1 16 12 y k x 4
1 f x a ln x 1 x a ln x ，令 f x 0 ． x
当 a 0 时，解得 x 1 ；当 a 0 时，解得 0 x 1 ，所以 a ；
5 ． 5

1 5 ，由二面角 5 5
（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于 32 周”为事件 A ，由已知从 5 种不同安排方案中，随机
2 地抽取 2 种方案选法共有 C5 ，其和不低于 32 周的选法有（14，18）、（15，17）、（15， 10 （种）
F AE B 为钝二面角，所以二面角 F AE B 的斜弦值为
h( x) g ( x)
1 2 1 x f ( x) x 2 a ln x ，由题意得 0 h x min ， 2 2
1 2 a 2a 2 3a 2lna 2

5 2 5 a 3a 2lna ，令 h t t 2 3t 2lnt t 0 ，则 2 2
1 3
h ' t 2t 1 3lnt ，于是当 t 1 3lnt 0 ，即 0 t e 时， h ' t 0 ；当 t 1 3lnt 0 ，即
3a 2 x
，
由
2
题
意
f x0 g x0 , f ' x0 g ' x0

2018年2017～2018学年度河北省衡水中学高三数学三轮复习理科数学周测七试卷

1 3
C. 1,
D. , 2

1
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
10.已知向量 OA (3,1) ， OB (1,3) ， OC mOA nOB ( m 0, n 0) ，若 m n [1, 2] ，则 | OC | 的取值范围是（ A． [ 5, 2 5]
2
8．设 F1 ， F2 分别为双曲线 C ：
x2 y2 1 (a 0, b 0) 的左、右焦点， A 为双曲线的左顶点， a 2 b2
）
以 F1 F2 为直径的圆交双曲线某条渐近线于 M 、 N 两点，且满足： MAN 120 ，则该双曲线的离心率为（） B．
B.60
C.120
f ( x1 ) f (0) f ( x2 ) f (1) 恒成立，则实数 x1 的取值范围是（
A． ( , 0)
）
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分. 17. （本小题满分 12 分）已知函数 f x 2a sin x cos x 2b cos x c a 0, b 0 ，满足
2
1 B． (0, ) 2
1 C. ( ,1) 2
D． (1, )
12.已知矩形 ABCD 中， AB 6, BC 4 ， E , F 分别是 AB , CD 上两动点，且 AE DF ，把四边形 BCFE 沿 EF 折起，使平面 BCFE 平面 ABCD ，若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为（ A. 28 ） B.

【物理】河北省衡水中学2018届高三下学期第7周周考理综试题

2017-2018学年度下学期第7周理综测试第I卷选择题二、选择题（本题共有8个小题，每小题6分，在每个小题给出的四个选项中，其中14-18 只有一项符合要求，19-21 题有多个选项符合要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3 分，有错选的得0分）14.如图所示,质量分别为m,2m 的小球A,B,由轻质弹簧相连后再用细线悬挂在电梯内, 已知电梯正在竖直向上做匀加速直线运动,细线中的拉力为 F,此时突然剪断细线.在线断的瞬间,弹簧的弹力大小和小球A的加速度的大小分别为（）17、“嫦娥五号”探测器由轨道器、返回器、着陆器等多个部分组成.探测器预计在2017 年由“长征五号”运载火箭在中国文昌卫星发射中心发射升空,自动完成月面样品采集,并从月球起飞,返回地球,带回约 2 kg 月球样品.某同学从网上得到一些信息,如表中数据所示,请根据题意,判断地球和月球的密度之比为（）18.如图(甲)所示为研究光电效应的电路图,实验得到了如图(乙)所示的遏止电压 Uc 和入射光频率ν的图像.下列说法正确的是（）A.图像与横轴交点坐标的物理意义是该金属的截止频率B.图像斜率为普朗克常量hC.遏止电压越高,截止频率越大D.入射光频率增大,逸出功也增大19.如图所示,重80 N 的物体A放在倾角为30°的粗糙斜面上,有一根原长为10 cm、劲度系数为1 000 N/m 的弹簧,其一端固定在斜面底端,另一端放置物体 A 后,弹簧长度缩短为8 cm,现用一测力计沿斜面向上拉物体,若物体与斜面间最大静摩擦力为25 N,当弹簧的长度仍为8 cm 时,测力计读数可能为（）A.10 NB.20 NC.40 ND.60 N20.两个小球在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动,球 2 在前,球 1 在后,m1=1 kg,m2=3 kg,v01=6 m/s,v02=3 m/s,当球1 与球2 发生碰撞后,两球的速度分别为v1,v2,将碰撞后球 1 的动能和动量大小分别记为E1,p1,则v1,v2,E1,p1的可能值为（）21.为测量化工厂的污水排放量,技术人员在排污管末端安装了流量计(流量Q为单位时间内流过某截面流体的体积)如图所示,长方体绝缘管道的长、宽、高分别为 a,b,c,左右两端开口,所在空间有垂直于前后、磁感应强度大小为B的匀强磁场,在上、下两个面的内侧固定有金属板 M,N,污水充满管道从左向右匀速流动,测得 M,N 间电压为 U,污水流过管道时受到的阻力大小为f=kLv2,k 是比例系数,L 为污水沿流速方向的长度,v 为污水的流速,则（）A.污水的流量Q=B.金属板M的电势不一定高于金属板N的电势C.电压U与污水中离子浓度无关D.左、右两侧管道的压强第Ⅱ卷非选择题22.（共6分，每空2分）、在“研究平抛运动”的实验中,某同学只记录了小球运动途中的A、B、C、D、E、F、G点的位置,相邻两点的时间间隔均为。

【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三十六模理科数学试题(解析版)

2017-2018学年度第二学期高三年级十六模考试理数试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ）B. D.【答案】A.的实部是，虚部是 A.点睛：本题主要考查复数的基本概念与基本运算，属于简单题.2. ）B. C. D.【答案】C.考点：集合的运算3. ）C. D.【答案】B对称，且.详解：曲线关于对称，且，可知，故选B.点睛：本题主要考查正态分布，正态曲线有两个特点，（1（2）在正态曲线下方和4. 下列有关命题的说法正确的是（）A. ”的否命题为“若B. ，则互为相反数”的逆命题是真命题C.D. ，则”的逆否命题为真命题【答案】B【解析】分析：逐一判断四个选项中的命题是否正确即可.逆命题是“若则互为相反数，”，正确；”的否定是“，则”为假命题，所以其逆否命题也为假命题， B.点睛：判断命题的真假应注意以下几个方面：(l)首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系；(2)要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”，注意利用“原命题”与“逆否命题”同真假；(3)判断命题真假时，可直接依据定义、定理、性质直接判断，也可使用特值进行排除.5. ）C. D.【答案】A，选A.6. 某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为几何体的体积为（）【答案】D，故体积为D.7. 再将所得图象上各点的横坐标缩短为倍，纵坐标不变，得到函数在）B.【答案】A的图象，再将所得图象个点的横坐标缩短为原来的到函数的图象，在上的值域为，故选A.8. 我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创举与我国古老的算术——“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入）【答案】A【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.第一次循环，；；；退出循环，输出 A.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9.为（）D.【答案】A【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，由目标函数的几何意义可知，目标函，即，原问题转化为求解函数整理函数的解析式有：令，则，令，则在区间上单调递减，在区间，据此可得，当取得最大值，则此时函数取得最小值，最小值为：本题选择A选项.10. 已知函数，则最大值为（）【答案】C【解析】时，时，，从而，因为，所以当时，；当时，；因此当时，，选C.或；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．11. 设双曲线的直线与双曲线的右知交于两点，且是的一个四等分点，则双曲线）【答案】B，则可设是再由双曲线的定义，得到，这与所以是直角三角形，且故选B.【点睛】本题考查了双曲线的定义与简单几何性质，直角三角形的判定与性质，考查转化思想与运算能力，是，因此可利用勾股定理得到之间的关是直角三角形是解决问题的关键.12.的取值范围是（）D.【答案】D个周期，且有个整数解，每个周期内有. 详解：由于函数是偶函数，的周期函数，上递增，在由选项可知，解得根据单调性和周期性画出图象如图所示，由图可知，个周期，且有个整数解，D.点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. ，，，__________．【解析】分析：，求出向量平面向量，然后利用向量的坐标运算求解.设出，的最大值为点睛：平面向量数量积公式有两种形式，一是面:(1)求向量的夹角，；（2）求投影，（3;(4)求向量.14. __________．展开式中的常数项是.15. 已知点是抛物线上一点，为圆心，的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是__________．【解析】由题意，可知16. 在正视图的投影面所成角为，设正视图的面积为，侧视图的面积为变化时，大值是__________．【解析】分析：利用和侧视图的面积为，求解最大值.详解：与投影面，故正视图的面积为，所以，，，故得的最大值为点睛：求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、求最值 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 是等比数列，，，（1和的通项公式；（2【答案】（1），2【解析】分析：（1的前项和为，数列列出关于公比、公差的方程组，解方程组可得与从而可得数列和的通项公式；（2））由（1，利用分组求和与裂项相消法求和，结合等比数列范求和公式可得结果.详解：（1）设等差数列，，，（2）由（1点睛：本题主要考查等差数列的通项与等比数列的通项公式、求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：（2）（3）（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.与平面交于点.（1）已知平面平面，求证：；（2与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2【解析】试题分析：（1）由三角形中位线定理可得,在（2）由勾股定理可得，，由此可以点分别为轴建立空间直角坐标系，利用两直线垂直数量积为零列出方程组，分别求出的方向向量与平面.试题解析：（1,平面.（2）∵底面是菱形，为平面，则以点为原点，直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系则，的法向量为，有得，则，设直线与平面所成角为∴直线与平面所成角的正弦值为【方法点晴】本题主要考查线面平行的性质与判定以及利用空间向量求线面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 作为加班拍档、创业伴侣、春运神器，曾几何时，方便面是我们生活中重要的“朋友”，然而这种景20112013年的年销量更是创下但2013年以来，年下跌，具体如下表.相交于方便面，网络订餐成为大家更加青睐的消费选择.近年来，网络订餐市场规模的“井喷式”增长，也充分反映了人们消费方式的变化.全国方便面销售情况（单位：亿包/桶）（数据来源：世界方便面协会）（12017销量；（2）方便面销量遭遇滑铁卢受到哪些因素影响？中国的消费业态发生看怎样的转变？某媒体记者随机对身年未吃过方便面，为受访者认为方便面是健康食品；位受访者有过网络订餐的经历.现从这人中抽取人进行深度访谈，记认为方便面是健康食品的人数，求随机变量的分布列及数学期望.【答案】（1）356（2）见解析【解析】分析：（1的回归方程；(2)的可能值为从而可得分布列，利用期望公式可得结果.详解：（1），所以当时，（2）依题意，人中认为方便面是健康食品的有点睛：求回归直线方程的步骤：①确定两个变量具有线性相关关系；②计算是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20. 的右焦点焦点，轴上方一点，连接并延长其交之间移动.（1（2）的方程.【答案】（12【解析】试题分析：（1）由椭圆的性质可得，故可得，故而可求得和（2），联立抛物线与椭圆的方程可得，可得，求出点到直线的距离，结合面积公式可得最值.试题解析：（1）因为，此时，所以椭圆的方程为（2，设椭圆的标准方程为或，代入抛物线方程，于是．此时抛物线方程为，，则直线设，当时，所以的面积最大值为．此时21. 已知函数为常数，，曲线.（1）求（2，对任意【答案】（1）单调递增区间是2）见解析【解析】试题分析：（1）根据曲线即得函数（2）由于，分别证明1）可知：由（1）时，，，利用导数研究其在上的最大值即可证得，再构造函数，利用导数求出其最小值，根据不等式的性质即可得到要证明的结论.试题解析：（1，由已知得，则知，当时，从而，单调递减区间是（2恒成立，时，由（1）知1，时，时，，所以当时，取得最大值，即时，．，则恒成立，即时，由①②式，时，成立，故原不等式成立考点：导数的几何意义、利用导数研究函数在给定区间上的最值及不等式的证明.方法点睛：本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性和通过求给定区间上的最值来证明不等式，考查考生讨论和转化的数学思想，属于难题.本题解答的难点是第二问转化的过程，在第一问解答的基础上，利用不等式的性质把要证明的不等式转化为证明两个不等式，分别构造函数，再利用导数研究其单调性求得其最值，考查了考生应用所学函数、导数、不等式知识解决问题的能力.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程的极坐标方程为（1的普通方程和的直角坐标方程；（2的直线两点，与..【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）利用平方法消去参数，即可得到的普通方程，两边同乘以利用即可得的直角坐标方程；（2）设直线的参数方程为（为参数），代入，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义以及三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1（2的参数方程为（为参数）存在两个交点，因此可得23. 选修4-5：不等式选讲已知，.（1；（2有三个解，求实数.【答案】（12【解析】试题分析：（1）不等式即为.利用分类讨论的方法去掉绝对值符号，可求其解集；........................（2作出函数的图像，由图像可求方程有三个解时实数.试题解析：（1）不等式即为，得，此时不等式的解集为.的解集为（2作出函数的图像如图所示，所以实数的取值范围是。

2018衡水中学高三七调理科数学试题及答案

2019-2018学年度上学期高三年级七调考试数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{|||2}A x x =<，{|}B x x a =>，全集U R =，若UA B ⊆，则有（）A ．0a =B ．2a ≤C ．2a ≥D ．2a < 2.若复数z 满意341z i +-=（i 为虚数单位），则z 的虚部是（） A ．-2 B ．4 C ．4i D ．-43.已知1，1a ，2a ，4成等差数列，1，1b ，2b ，3b ，4成等比数列，则122a ab +的值是（）A ．52B ．52- C ． 52或52- D ．124.如图，5个(,)x y 数据，去掉(3,10)D 后，下列说法错误的是（） A ．相关系数r 变大 B ．残差平方和变大C.相关指数2R 变大 D ．说明变量x 与预报变量y 的相关性变强5.已知1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使1290F PF ︒∠=，则该椭圆的离心率e 的取值范围为（） A．(0,2B．2C. D． 6.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，1(,1,0)2，绘制该四面体的三视图时，依据如下图所示的方向画正视图，则得到的侧（左）视图可以为（）A ．B ． C.D ．7.函数1()sin(ln)1x f x x -=+的图像大致为（） A ． B ．C. D ．8.更相减损术是中国古代数学专著《九章算术》中的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不行半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”下图是该算法的程序框图，若输入102a =，238b =，则输出a 的值是（） A ． 68 B ．17 C.34 D ．369.已知e 为自然对数的底数，若对随意的1[,1]x e∈，总存在唯一的(0,)y ∈+∞，使得ln ln 1y yx x a y+++=成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(,0)-∞B ．(,0]-∞ C. 2(,]e eD ．(,1]-∞- 10.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，须要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：电视台每周支配的甲、乙连续剧的总播放时长不多于600min ，广告的总播放时长不少于30min ，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用x ，y 表示每周支配播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（）A ．6，3B ．5，2 C. 4，5 D ．2，7 11.已知在正四面体ABCD 中，M 是棱AD 的中点，O 是点A 在底面BCD 内的射影，则异面直线BM 与AO 所成角的余弦值为（）A ．6B ．3C.4D ．512.已知(sin ,sin )2a x x ωω=，1(sin ,)22b x ω=，其中0ω>，若函数1()2f x a b =⋅-在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是（） A ．1(0,]8 B ． 5(0,]8 C. 15(0,][,1]88⋃D ．115(0,][,]848⋃二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.如图，在半径为2的扇形AOB 中，90AOB ︒∠=，P 为弧AB 上的一点，若2OP OA ⋅=，则OP AB ⋅的值为．14.若从区间(0,)e （e 为自然对数的底数， 2.71828e =）内随机选取两个数，则这两个数之积小于e 的概率为．15.已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列四个论断中正确的是．（把你认为是正确论断的序号都写上） ①若sin cos A B a b =，则4B π=； ②若4B π=，2b =，a =③若a ，b ，c 成等差数列，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，则ABC 为正三角形；④若5a =，2c =，ABC 的面积4ABCS=，则3cos 5B =. 16.设椭圆C 的两个焦点是1F ，2F ，过点1F 的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，若212||||PF F F =，且115||6||PF FQ =，则椭圆C 的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满意*231()n n S a n N =-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列21{}nn a -的前n 项和n T . 18.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是梯形，//AD BC ，侧面11ABB A 为菱形，1DAB DAA ∠=∠. （1）求证：1A B AD ⊥.（2）若2AD AB BC ==，160A AB ︒∠=，D 在平面11ABB A 内的射影恰为线段1A B 的中点，求平面11DCC D 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.19.某保险公司针对企业职工推出一款意外保险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元. 保险公司把职工从事的全部岗位共分为A ，B ，C 三类工种，依据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）.（1）依据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每份保单保费的上限；（2）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图所示，老板打算为全体职工购置此种保险，并以（1）中计算的各类保险上限购置，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润.20.，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点1F ，2F 为顶点的三角形的周长为1).一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且双曲线的实轴长等于虚轴长，设P 为该双曲线上异于顶点的随意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A ，B 和C ，D ，且点,A C 在x 轴的同一侧.（1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）是否存在题设中的点P ，使得3||||||||4AB CD AB CD +=⋅若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.21. 已知函数1()x f x e a -=+，函数()ln g x ax x =+，a R ∈. （1）求函数()y g x =的单调区间；（2）若不等式()()1f x g x ≥+在区间[1,)+∞内恒成立，务实数a 的取值范围；（3）若(1,)x ∈+∞，求证不等式12ln 1x e x x -->-+成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为(1,0)，若直线l 的极坐标方程为cos()104πθ+-=，曲线C 的参数方程是244x m y m⎧=⎨=⎩，(m 为参数). （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的一般方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11||||MA MB +. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数2()4f x x ax =++，()|1||1|g x x x =++-. （1）求不等式()3g x ≥的解集；（2）若2[2,2]x ∀∈-，1[2,2]x ∃∈-，使得不等式12()()f x g x ≤成立，务实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CBABB 6-10:BBCBA 11、12：BD 二、填空题 13.2-+ 14.2e15. ①③ 16.911三、解答题17.解：（1）当1n =时，11231S a =-，所以11a =；当2n ≥时，11231n n S a --=-，则1122233n n n n n a S S a a --=-=-，即13n n a a -=.又因为11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，所以1*3()n n a n N -=∈. （2）由（1）得121213n n n n a ---=，所以122135232113333n n n n n T ----=+++++， ① ②-①，得221222212323333n n n n T ---=+++++-111112122332613313n n n n n -----+=+⨯-=--，所以*113()3n n n T n N -+=-∈. 18.（1）证明：如图，连接1AB ，1A D ，BD ，设1AB 交1A B 于点O ，连接OD .由AD AD =，1AA AB =，1DAB DAA ∠=∠，得1AA D ABD ≅，所以1A D BD =.又O 是线段1A B 的中点，所以1OD A B ⊥，又依据菱形的性质得1AO A B ⊥，且AO OD O ⋂=，所以1A B ⊥平面ADO ，从而1A B AD ⊥.（2）解：由题意知DO ⊥平面11ABB A ，又11AO A B ⊥，即1OB OB ⊥，所以OB ，1OB ，OD 两两垂直. 以OB ，1OB ，OD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示.设22AD AB BC a ===，由160A AB ︒∠=，可知OB a =，1OA OB ==，所以OD a ==，从而(0,,0)A，(,0,0)B a ，1,0)B ，(0,0,)D a .所以11(,0)CC BB a ==-.由12BC AD =，得1(,)2C a a ，所以1(,)2DC a a =-.设平面11DCC D 的法向量为000(,,)m x y z =，由100m CC m DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得000000102ax ax az ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩，令01y =，则0x =，0z =(3,1,3m =.又平面11ABB A 的一个法向量为(0,0,)OD a =，所以33cos ,31||||31OD m a OD m OD m a⋅〈〉===.故平面11DCC D 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值为31. 19.解：（1）设工种A 的每份保单保费为a 元，保险公司每单的收益为随机变量X 元，则X 的分布列为保险公司的期望收益为45511()(1)(5010)51010E X a a a =-+-⨯⨯=-（元）. 由题意得50.2a a -≤，解得 6.25a ≤(元).设工种B 的每份保单保费为b 元，赔付金期望值为45501021010⨯⨯=（元），则保险公司的期望利润为(10)b -元. 由题意得100.2b b -≤，解得12.5b ≤（元）.设工种C 的每份保单保费为c 元，赔付金期望值为4450105010⨯=（元），则保险公司的期望利润为(50)c -元. 由题意得500.2c c -≤，解得62.5c ≤（元）.综上，工种,,A B C 的每份保单保费的上限分别为6.25元，12.5元，62.5元.（2）购置A类产品的份数为2000060%12000⨯=（份），购置B类产品的份数为2000030%6000⨯=（份），购置C类产品的份数为2000010%2000⨯=（份），企业支付的总保费为12000 6.25600012.5200062.5275000⨯+⨯+⨯=（元），保险公司在这宗交易中的期望利润为27500020%55000⨯=（元）.20.解：（1）由题意知，椭圆离心率2cea==，即a=，又221)a c+=，所以a=2c=，所以2224b a c=-=，所以椭圆的标准方程为22184x y+=.所以椭圆的焦点坐标为(2,0)±，又双曲线为等轴双曲线，且顶点是该圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为22144x y-=.（2）设000(,)(2)P x y x≠±，则102PFykx=+，22PFykx=-，因为点P在双曲线22144x y-=上，所以121PF PFk k⋅=.设11(,)A x y，22(,)B x y，直线1PF的方程为(2)y k x=+，所以直线2PF的方程为1(2)y xk=-，联立22184(2)x yy k x⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2222(21)8880k x k x k+++-=，所以2122821kx xk+=-+，21228821kx xk-⋅=-+，所以||AB ===.同理可得221()]||12()1k CD k +=+221)2k k +=+. 由题知124||||||||cos ()3AB CD AB CD F PF θθ+=⋅⋅=∠，即411cos ()3||||CD AB θ=+=2432=. 因为1212||||cos PF PF PF PF θ⋅=，即0000(2)(2)()()x x yy ---+--=2，又因为22004x y -=，所以202(4)2x-==2=208x =，204y =.即存在满意题意的点P ，且点P 的坐标为(2)±±.21.（1）解：函数()g x 的定义域为(0,)+∞，因为()ln g x ax x =+，a R ∈，所以11()ax g x a xx+'=+=. 当0a ≥时，()0g x '>在区间(0,)+∞内恒成立，所以函数()g x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；当0a <时，令()0g x '>，得10x a<<-，令()0g x '<，得1x a>-，所以函数()g x 的单调递增区间为1(0,)a-，单调递减区间为1(,)a-+∞. （2）解：()()1f x g x ≥+在区间[1,)+∞内恒成立，即1ln 10x e x a ax --+--≤在区间[1,)+∞内恒成立. 设1()ln 1x F x e x a ax -=-+--，则(1)0F =，11x F e a x-'=--在区间[1,)+∞内单调递增，所以()(1)F x F a '≥'=-. 当0a ≤时，()0F x '≥，()F x 在区间[1,)+∞内为增函数，所以()(1)0F x F ≥=恒成立；当0a >时，(1)0F '<，因为()F x '在区间[1,)+∞内单调递增，所以0(1,)x ∃∈+∞，在区间0(1,)x 内，有()0F x '<，所以()F x 在区间0(1,)x 内单调递减，所以()(1)0F x F <=，这时不合题意. 综上所述，实数a 的取值范围为(,0]-∞.（3）证明：要证明在区间(1,)+∞内，12ln 1x e x x -->-+，只需证明1(ln 1)(ln )0x e x x x ---+->，由（2）知，当0a =时，在区间(1,)+∞内，有1ln 10x e x --->恒成立. 令()ln G x x x =-，在区间(1,)+∞内，11()10x G x x x-'=-=>，所以函数()G x 在区间(1,)+∞内单调递增，所以()(1)10G x G >=>，即ln 0x x ->.所以1(ln 1)(ln )0x e x x x ---+->，所以原不等式成立.22.解：（1cos()104πθ+-=，得cos sin 10ρθρθ--=，令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =，所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的一般方程为24y x =.（2）点M 的直角坐标为(1,0)，点M 在直线l 上.设直线l的参数方程为12xy⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t为参数），代入24y x=，得280t--=.设点,A B对应的参数分别为1t，2t，则12t t+=128t t=-，所以1212||11||||||t tMA MB t t-+==2218==.23.解：（1）()3g x≥，即|1||1|3x x++-≥，此不等式等价于1(1)(1)3xx x≤-⎧⎨-+--≥⎩或11(1)(1)3xx x-<<⎧⎨+--≥⎩或1113xx x≥⎧⎨++-≥⎩，解得32x≤-或32x≥，所以()3g x≥的解集为3{|2x x≤-或3}2x≥.（2）因为2[2,2]x∀∈-，1[2,2]x∃∈-，使得12()()f xg x≤成立，所以()()([2,2])min minf xg x x≤∈-.又()2ming x=，所以()2([2,2])minf x x≤∈-.当22a-≤-，即4a≥时，()(2)424822minf x f a a=-=-+=-≤，解得3a≥，所以4a≥；当22a-≥，即4a≤-时，()(2)424822minf x f a a==++=+≤，解得3a≤-，所以4a≤-；当222a-<-<，即44a-<<时，22()()42242mina a af x f=-=-+≤，解得a≥或a≤-，所以4a-<≤-4a≤<.综上，实数a的取值范围为(,)-∞-⋃+∞.。

【全国百强校word】河北省衡水中学2018届高三高考押题(二)理数试题

河北衡水中学2023年高考押题试卷理数试卷（二）第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1.设集合2{|60,}A x x x x Z =--<∈,{|,,}B z z x y x A y A ==-∈∈,则A B = （）A ．{0,1} B ．{0,1,2} C ．{0,1,2,3} D ．{1,0,1,2}-2.设复数z 满足121z i i +=-+,则1||z=（）A ．5 B ．15C ．55D ．5253.若1cos()43πα+=,(0,)2πα∈,则sin α地值为（）A ．426- B ．426+ C ．718D ．234.已知直角坐标原点O 为椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>地中心,1F ,2F 为左、右焦点,在区间(0,2)任取一个数e ,则事件"以e 为离心率地椭圆C 与圆O :2222x y a b +=-没有交点"地概率为（）A ．24 B ．424- C ．22 D ．222-5.定义平面上两条相交直线地夹角为:两条相交直线交成地不超过90地正角.已知双曲线E :22221(0,0)x y a b a b -=>>,当其离心率[2,2]e ∈时,对应双曲线地渐近线地夹角地取值范围为（）A ．[0,]6πB ．[,]63ππC ．[,]43ππD ．[,]32ππ6.某几何体地三视图如下图所示,若该几何体地体积为32π+,则它地表面积是（）3138181g x图象地对称轴方程为A．函数()参考解析及解析理科数学（Ⅱ）一、选择题1-5: BCAAD 6-10: AABCC 11、12:CD二、填空题13. 8- 14.625122e --<<15. 27[,]5416. [3,33)三、解答题17.解:（1）当2n =时,由121n n S S -=+及112a =,得2121S S =+,即121221a a a +=+,解得214a =.又由121n n S S -=+,①可知121n n S S +=+,②②-①得12n n a a +=,即11(2)2n n a n a +=≥.且1n =时,2112a a =适合上式,因此数列{}n a 是以12为首项,12为公比地等比数列,故*1()2n n a n N =∈.（2）由（1）及*12log ()n n b a n N =∈,可知121log ()2nn b n ==,所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++,故2231111n n n n T b b b b b b +=++⋅⋅⋅11111[(1)()()]2231n n =-+-+⋅⋅⋅+-+1111nn n =-=++.18.解:（1）因为底面ABCD 为菱形,所以AC BD ⊥,又平面BDEF ⊥底面ABCD ,平面BDEF 平面ABCD BD =,因此AC ⊥平面BDEF ,从而AC EF ⊥.又BD DE ⊥,所以DE ⊥平面ABCD ,由2AB a =,222DE BF a ==,120ABC ∠=,19.解:（1）从条形图中可知这所以可以估计该校学生获得成绩等级为B 地概率为561410025=,则该校高三年级学生获得成绩为B 地人数约有1480044825⨯=.（2）这100名学生成绩地平均分为1(321005690780100⨯+⨯+⨯370260)91.3+⨯+⨯=,因为91.390>,所以该校高三年级目前学生地"考前心理稳定整体"已过关.（3）由题可知用分层抽样地方法抽取11个学生样本,其中A 级4个,B 级7个,从而任意选取3个,这3个为A 级地个数ξ地可能值为0,1,2,3.则03473117(0)33C C P C ξ===,124731128(1)55C C P C ξ===,214731114(2)55C C P C ξ===,30473114(3)165C C P C ξ===.因此可得ξ地分布列为:ξ0123P733285514554165则72814()012335555E ξ=⨯+⨯+⨯412316511+⨯=.20.解:（1）由题意可知22c a =,所以222222()a c a b ==-,即222a b =,①又点23(,)22P 在椭圆上,所以有2223144a b+=,②由①②联立,解得21b =,22a =,故所求地椭圆方程为2212x y +=.（2）设11(,)A x y ,22(,)B x y ,由0OA OB ⋅=,可知12120x x y y +=.联立方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 化简整理得222(12)4220k x kmx m +++-=,由2222168(1)(12)0k m m k ∆=--+>,得2212k m +>,所以122412kmx x k+=-+,21222212m x x k -=+,③又由题知12120x x y y +=,即1212()()0x x kx m kx m +++=,整理为221212(1)()0k x x km x x m ++++=.将③代入上式,得22222224(1)01212m kmk km m k k-+-⋅+=++.化简整理得222322012m k k--=+,从而得到22322m k -=.21.解:（1）由22()ln f x a x x ax =-+-,可知2'()2a f x x a x =-+-222(2)()x ax a x a x a x x--+-==.因为函数()f x 地定义域为(0,)+∞,所以,①若0a >时,当(0,)x a ∈时,'()0f x <,函数()f x 单调递减,当(,)x a ∈+∞时,'()0f x >,函数()f x 单调递增；②若0a =时,当'()20f x x =>在(0,)x ∈+∞内恒成立,函数()f x 单调递增；③若0a <时,当(0,)2ax ∈-时,'()0f x <,函数()f x 单调递减,当(,)2ax ∈-+∞时,'()0f x >,函数()f x 单调递增.（2）证明:由题可知()()()h x f x x ϕ=+2(2)ln (0)x a x a x x =+-->,所以'()2(2)a h x x a x=+--22(2)(2)(1)x a x a x a x x x +---+==.所以当(0,)2ax ∈-时,'()0h x <；当(,)2a x ∈-+∞时,'()0h x >；当2a x =时,'()02ah =.欲证12'()02x x h +>,只需证12'()'()22x x a h h +>,又2''()20ah x x=+>,即'()h x 单调递增,故只需证明1222x x a+>.设1x ,2x 是方程()h x m =地两个不相等地实根,不妨设为120x x <<,则21112222(2)ln (2)ln x a x a x m x a x a x m⎧+--=⎪⎨+--=⎪⎩,两式相减并整理得1212(ln ln )a x x x x -+-22121222x x x x =-+-,从而221212121222ln ln x x x x a x x x x -+-=-+-,故只需证明2212121212122222(ln ln )x x x x x x x x x x +-+->-+-,即22121212121222ln ln x x x x x x x x x x -+-+=-+-.因为1212ln ln 0x x x x -+-<,所以(*)式可化为12121222ln ln x x x x x x --<+,即11212222ln 1x x x x x x -<+.因为120x x <<,所以1201x x <<,不妨令12x t x =,所以得到22ln 1t t t -<+,(0,1)t ∈.设22()ln 1t R t t t -=-+,(0,1)t ∈,所以22214(1)'()0(1)(1)t R t t t t t -=-=≥++,当且仅当1t =时,等号成立,因此()R t 在(0,1)单调递增.又(1)0R =,因此()0R t <,(0,1)t ∈,故22ln 1t t t -<+,(0,1)t ∈得证,从而12'()02x x h +>得证.2222142[(1)(1)]117a b a b +=+++++22222214214(1)()[5()]1711b a a a b a b +++=++≥++++2222214(1)18[52]7117b a a b ++=+⋅=++.当且仅当222214(1)11b a a b ++=++时,等号成立,即216a =,243b =时,有最小值,所以221418117a b +≥++得证.。