高中数学第2章数列2_1数列学案苏教版必修5

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高中数学第2章数列(1)复习导学案苏教版必修5

江苏省建陵高级中学2013-2014学年高中数学第2章数列（1）复习导学案苏教版必修5
【学习目标】掌பைடு நூலகம்数列有关概念和公式并会运用解决问题
【课前预习】
1．数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．
2．等差、等比数列的定义．
3．等差、等比数列的通项公式．
4．等差中项、等比中项．
5．等差、等比数列的前项和公式及其推导方法．
其中正确命题的序号为．
3．写出数列的一个通项公式，使它的前项分别是下列各数：
（1）；（2）；
（3），，，；（4）；
【课外作业】
1．等差数列中，前项（为奇数）和为，其中偶数项之和为，
且，求通项公式．
2．在等差数列中，已知，求．
3．如图是第七届国际数学教育大会的会徽图案轮廓，它是由一串直角三角形组成的，其中，记的长度所组成的数列为 ,写出数列的通项公式．
知这三个数的和等于，求这三个数．
【学后反思】
课题:数列复习专题（1）检测案
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1．若直角三角形的三边的长组成公差为的等差数列，则三边长分别为（）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．设是等比数列，有下列四个命题：（1）是等比数列；（2）是等比数列；（3）是等比数列；（4）是等比数列；
则这个数列前项的和为．
（6）已知正项等比数列共有项，且，
，则，公比．
（7）设，都是等差数列，它们的前项和分别为，，
已知，则；．
（8）已知方程和一共四个根组成一个首项为的等差数列，则．

高中数学第二章数列 2.1 数列(一)教案苏教版必修5(2021年整理)

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数列(一) 总课题数列总课时第 1 课时分课题数列（一) 分课时第 1 课时学习目标了解数列的概念、了解数列的分类、了解数列是一种特殊的函数，会用图象法的列表法表示数列. 理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式；重点难点数列通项公式的概念理解，及由通项公式写出数列的前几项。

引入新课一、学前准备：自学课本P29～311。

数列：称为数列．2。

项：叫做这个数列的项．说明:数列的概念和记号{}n a 与集合概念和记号的区别：（1）数列中的项是有序的，而集合中的项是的;（2)数列中的项可以重复，而集合中的元素．3.数列的分类： ①按项数分类：有穷数列（项数有限的数列)无穷数列( ）②按项与项间的大小关系分类：递增数列(n n a a >+1)递减数列( )常数列( ） …4。

数列是特殊的函数：在数列{}n a 中,对于每一个正整数n (或{}1,2,...,n k ∈），都有一个数n a 与之对应，因此,数列可以看成是为定义域的函数()n a f n =，当时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数()y f x =,如果有意义，那么就得到一个数列（强调有序性)．说明:数列的图象是一些离散的点。

高中数学第2章数列教案苏教版必修5

本章复习与小结（1）【三维目标】：1.系统掌握数列的有关概念和公式。

2.了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系。

3.能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a 。

【授课类型】：复习课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、本章知识结构二、知识纲要(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．(2)等差、等比数列的定义．(3)等差、等比数列的通项公式．(4)等差中项、等比中项．(5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法．三、方法总结1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．2．等差、等比数列中，1a 、n a 、n 、)(q d 、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．四、知识内容：1.数列数列的通项公式：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n S S n S a a n nn 数列的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321 2.等差数列等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

等差数列的判定方法:（1）定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。

（2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。

等差数列的通项公式：如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。

说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。

高中数学第2章数列第02课时数列(2)教学案苏教版必修5

数列(二)教学目标：1.进一步熟悉数列及其通项公式的概念；2.了解数列的递推公式是确定数列的一种方法，会根据给出的递推公式写出数列的前n 项；3.掌握根据数列的前n 项和确定数列的通项公式．重点难点：根据数列的前n 项和确定数列的通项公式．数列的递推公式的理解与应用. 引入新课1．已知数列{}=-=1,32a a a n n n 则的通项公式是，=5a ，125是这个数列的第_______项．2.写出下列数列}{n a 的前5项：（1）51=a ，)2(31≥ +=-n a a n n ；（2）21=a ，)2(21≥ =-n a a n n ．3.写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：①11，10，9，8，7，…； ②13-，18，115-，124-，…注：由数列的前n 项写出一个通项公式：关键在于观察、分析数列的前n 项的特征、特点，找出数列的一个构成规律，再写出一个相应的通项公式．注意：（1）并不是所有数列的通项公式都存在；（2）有的数列的通项公式并不唯一．4．数列的递推公式：数列的第n 项n a 与它前面相邻一项1-n a （或相邻几项）所满足的关系式的递推公式．5.若记数列{}n a 的前n 项和为n S ，即12n n S a a a =++⋅⋅⋅+．试证明：⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n 注意：⑴可作为常用公式； ⑵ 当)(11S a =满足1--n n S S 时，则1--=n n n S S a ．例题剖析例1 根据下列各数列的前几项，分别写出一个通项公式：（1）9， 99， 999， 9999，…（2）0.7．0.77，0.777，0.7777，…（3）2，6，12，20，30，…．例2 数列}{n a 中，01=a ，nn n a a a -+=+311，写出}{n a 的一个通项公式．例3、已知数列{}n a 的前n 项和分别为 ①n n Sn -=22； ②12++=n n S n ．求数列{}n a 的通项公式．巩固练习1．根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式：（1）7，77，777，7777，…；（2）3，8，15，24，35，…．2．已知21=a ，41-=+n n a a 求n a ．已知21=a ，n n a a 21=+ 求n a ．3.已知数列{}n a 的前n 项和32n n S =-，求该数列的通项公式．课堂小结1.数列中递推关系的概念；2.由数列的前n 项的和n S 求数列的通项公式的过程．课后训练一基础题1.数列{}n a 的通项公式nn a n -+=11，则417+是该数列中的第项． 2.已知数列{}n a 的通项公式2412n a n n =--，则4a = ，7a = ，65是它的第项；从第项起各项为正；{}n a 中第项的值最小，为．3.若数列{}n a 中，12a =，且各项满足121n n a a +=-，则该数列的前四项为．4.若数列{}n a 中，11a =，24a =，且各项满足212n n n a a a ++=+，则26是该数列的第项．5．数列{}n a 中，()()21,3,1111221≥-=∙-==-+-n a a a a a n n n n ，则4a = 。

高中数学第二章数列第二课时数列(二)教案苏教版必修5

第二课时数列(二)教学目标：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同，会根据数列的递推公式写出数列的前n项；提高学生的推理能力，培养学生的应用意识.教学重点：1.数列的递推公式.2.根据数列的递推公式写出数列的前n项.教学难点：理解递推公式与通项公式的关系.教学过程：Ⅰ.复习回顾上节课我们在学习函数的基础上学习了数列及有关概念，下面先来回顾一下上节课所学的主要内容.数列的定义、项的定义、数列的表示形式、数列的通项公式及数列分类等等.Ⅱ.讲授新课我们为什么要学习有关数列的知识呢？那是因为在现实生活中，我们经常会遇到有关数列的问题，学习它，研究它，主要是想利用它来解决一些实际问题，让其为我们的生活更好地服务.也就是说，我们所学知识都来源于实践，最后还要应用于生活.下面，我们继续探讨有关数列的问题.首先，请同学们来看一幅钢管堆放示意图.模型一：自上而下：第一层钢管数为4；即：1↔4＝1＋3,第二层钢管数为5；即：2↔5＝2＋3第三层钢管数为6；即：3↔6＝3＋3,第四层钢管数为7；即：4↔7＝4＋3第五层钢管数为8；即：5↔8＝5＋3,第六层钢管数为9；即：6↔9＝6＋3第七层钢管数为10；即：7↔10＝7＋3若用a n表示自上而下每一层的钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数可构成一数列，即：4，5，6，7，8，，9，10，且a n＝n＋3(1≤n≤7，n∈N*)同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.模型二：自上而下第一层钢管数为4；第二层钢管数为5＝4＋1；第三层钢管数为6＝5＋1；第四层钢管数为7＝6＋1；第五层钢管数为8＝7＋1；第六层钢管数为9＝8＋1；第七层钢管数为10＝9＋1.即：自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1.若用a n表示每一层的钢管数，则a1＝4；a2＝5＝4＋1＝a1＋1；a3＝6＝5＋1＝a2＋1；a4＝7＝6＋1＝a3＋1；a5＝8＝7＋1＝a4＋1；a6＝9＝8＋1＝a5＋1；a7＝10＝9＋1＝a6＋1；即：a n＝a n－1＋1(2≤n≤7，n∈N*)对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他各项.看来，这一关系也较为重要.这一关系，咱们把它称为递推关系，表示这一关系的式子，咱们把之称为递推公式.1.定义递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前n 项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(或前n 项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.说明：数列的递推公式揭示了数列的任一项a n 与它的前一项a n －1（或前n 项）的关系，也是给出数列的一种重要方法.下面，我们结合例子来体会一下数列的递推公式.2.例题讲解［例1］已知数列{a n }的第1项是1，以后的各项由公式a n ＝1＋1a n －1 给出，写出这个数列的前5项.分析：题中已给出{a n }的第1项即a 1＝1，递推公式：a n ＝1＋1a n －1解：据题意可知：a 1＝1，a 2＝1＋1a 1 ＝2，a 3＝1＋1a 2＝32 ，a 4＝1＋1a 3 ＝53 ，a 5＝85.［例2］已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，a n＝3a n－1＋a n－2(n≥3)，试写出数列的前4项.解：由已知得a1＝1，a2＝2，a3＝3a2＋a1＝7，a4＝3a3＋a2＝23Ⅲ.课堂练习写出下面数列{a n}的前5项.1.a1＝5，a n＝a n－1＋3(n≥2)解法一：a1＝5；a2＝a1＋3＝8；a3＝a2＋3＝11；a4＝a3＋3＝14；a5＝a4＋3＝17.评析：由已知中的a1与递推公式a n＝a n－1＋3(n≥2)，依次递推出该数列的前5项，这是递推公式的最基本的应用.是否可利用该数列的递推公式而求得其通项公式呢？请同学们再仔细观察此递推公式.解法二：由a n＝a n－1＋3(n≥2)，得a n－a n－1＝3则a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，a5－a4＝3，……，a n－1－a n－2＝3，a n－a n－1＝3将上述n －1个式子左右两边分别相加，便可得a n －a 1＝3(n －1)，即a n ＝3n ＋2(n ≥2)又由a 1＝5满足上式，∴a n ＝3n ＋2(n ≥1)为此数列的通项公式.2.a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2)解法一：由a 1＝2与a n ＝2a n －1(n ≥2)得：a 1＝2，a 2＝2a 1＝4，a 3＝2a 2＝8，a 4＝2a 3＝16，a 5＝2a 4＝32.解法二：由a n ＝2a n －1(n ≥2)，得a n a n －1＝2(n ≥2)，且a 1＝2则：a 2a 1 ＝2，a 3a 2 ＝2，a 4a 3 ＝2，……a n －1a n －2 ＝2， a n a n －1 ＝2若将上述n －1个式子左右两边分别相乘，便可得 a n a 1＝2n －1 即：a n ＝2n (n ≥2)，又由a 1＝2满足上式∴a n ＝2n(n ≥1)为此数列的通项公式.∴a 2＝22＝4，a 3＝23＝8，a 4＝24＝16，a 5＝25＝32.3.a1＝1，a n＝a n－1＋1a n－1(n≥2)解：由a1＝1，a n＝a n－1＋1a n－1(n≥2),得a1＝1，a2＝a1＋1a1＝2,a3＝a2＋1a2＝52,a4＝a3＋1a3＝52＋25＝2910,a5＝a4＋1a4＝2910＋1029＝941290Ⅳ.课时小结这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，课后注意理解.另外，还要注意它与通项公式的区别在于：1.通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.2.对于通项公式，只要将公式中的n依次取1，2，3…即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前n项)，才可依次求出其他的项.Ⅴ.课后作业课本P 32习题 4，5，6数列(二)1．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n +1＝2a n a n ＋2(n ∈N *), 则a 5等于（）A. 25B. 13C. 23D. 122．已知数列 3 ，7 ，11 ，15 ，…，则5 3 是数列的（）A.第18项B.第19项C.第17项D.第20项3．在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，a 100等于（）A.13B.100C.10D.144．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，a n +2＝a n +1－a n (n ∈N *)，则a 1000等于（）A.5B.－5C.1D.－15．设{a n}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a n+12－na n2＋a n+1a n＝0(n∈N*)，则它的通项公式a n ＝ .6．根据下列各数列的首项和递推公式，分别写出它的前五项，并归纳出通项公式：（1）a1＝0，a n+1＝a n＋(2n－1)(n∈N*)；(2)a1＝1，a n+1＝2a na n＋2(n∈N*)7．若a1＝2，a2＝4，a n＝lo g2(a n－1·a n－2)(n≥3)，写出{a n}的前4项.8．若a1＝3，a n＝a n－1＋2a n－1(n≥2)，b n＝1a n，写出b n的前3项.数列(二)答案1．B 2．B 3．D 4．A5．解法一：已知等式可化为：(a n+1＋a n)·[（n＋1）a n+1－na n]＝0∵a n>0(n∈N*)，∴(n＋1)a n+1－na n＝0即a n +1＝nn ＋1 a n ① 反复利用递推关系，得a n ＝n －1n a n －1＝n －1n n －2n －1 a n －2＝n －1n n －2n －1 n －3n －2 a n －3＝…＝n －1n n －2n －1 n －3n －2 ·…·12 a 1＝1n a 1＝1n解法二：前面同解法一.由①，得a 2＝12 a 1＝12 ，a 3＝23 a 2＝13 ，a 4＝34a 3＝14，… 归纳，得a n ＝1n(n ∈N *). 评述：本题主要考查递推公式.6．根据下列各数列的首项和递推公式，分别写出它的前五项，并归纳出通项公式：（1）a 1＝0，a n +1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N *)；(2)a 1＝1，a n +1＝2a n a n ＋2(n ∈N *) 解：（1）a 1＝0；a 2＝a 1＋1＝1；a 3＝a 2＋3＝4；a 4＝a 3＋5＝9；a 5＝a 4＋7＝16；a 1＝02；a 2＝12；a 3＝22；a 4＝32；a 5＝42.可归纳出a n ＝(n －1)2.(2)a 1＝1，a 2＝2a 1a 1＋2 ＝23 ，a 3＝2a 2a 2＋2 ＝12，a 4＝2a 3a 3＋2 ＝25 ，a 5＝2a 4a 4＋2 ＝13， a 1＝1＝22 ；a 2＝23 ；a 3＝12 ＝24 ；a 4＝25 ；a 5＝13 ＝26；由此可见：a n ＝2n ＋1. 评述：适当配凑是本题进行归纳的前提，从整体上把握一件事情是现代数学的重要手段，加强类比是探索某些规律的常用方法之一.7．若a 1＝2，a 2＝4，a n ＝lo g 2(a n －1·a n －2)(n ≥3)，写出{a n }的前4项.解：∵a 1＝2，a 2＝4，a n ＝lo g 2(a n －1·a n －2)(n ≥3) ∴a 3＝lo g 2(a 2·a 1)＝lo g 2(2×4)＝3，a 4＝lo g 2(a 3·a 2)＝lo g 212＝2＋lo g 23.8．若a 1＝3，a n ＝a n －1＋2a n －1 (n ≥2)，b n ＝1a n，写出b n 的前3项.解：∵a1＝3，a n＝a n－1＋2a n－1(n≥2)，∴a2＝a1＋2a1＝3＋23＝113.a3＝a2＋2a2＝113＋2113＝113＋611＝13933.∵b n＝1a n, ∴b1＝1a1＝13，b2＝1a2＝311，b3＝1a3＝33139.。

高中数学苏教版必修5学案：2.1 数列 Word版含解析

2.1 数列1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．(难点)2．理解数列的通项公式及简单应用．(重点)3．数列与集合、函数等概念的区别与联系．(易混点)[基础·初探]教材整理1 数列的概念与分类阅读教材P 31，完成下列问题．1．数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．2．数列的表示方法数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }，其中a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项)，a 2称为第2项，…，a n 称为第n 项．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}．( )(2)数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列．( )(3)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 的第5项为15.( )(4)数列0,2,4,6，…是无穷数列．( )【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√教材整理2 数列的通项公式阅读教材P32～P33的有关内容，完成下列问题．1．数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，k})为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．2．数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列可以用通项公式来描述，也可以通过列表或图象来表示．1．数列1,3,5,7,9，…的一个通项公式可以是________．【解析】1,3,5,7,9，…的一个通项公式可以是a n＝2n－1，n∈N*.【答案】a n＝2n－1，n∈N*2．若数列{a n}的通项公式为a n＝3n－2，则a5＝________.【解析】∵a n＝3n－2，∴a5＝3×5－2＝13.【答案】13[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问2：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问3：_________________________________________________解惑：_________________________________________________[小组合作型]写出下列数列的一个通项公式．(1)12，2，92，8，252，…；(2)9,99,999,9 999，…；(3)22－11，32－23，42－35，52－47，…；(4)－11×2，12×3，－13×4，14×5，….【精彩点拨】【自主解答】 (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n 22(n ∈N *)．(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，….此数列的通项公式为10n ，可得原数列的通项公式为a n ＝10n －1(n ∈N *)．(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n －1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n ＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n 表示，综上，原数列的通项公式为a n ＝(n ＋1)2－n 2n －1(n ∈N *)． (4)这个数列的前4项的绝对值都等于项数与项数加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是a n ＝(－1)n1n (n ＋1)(n ∈N *)．用观察法求数列的通项公式的一般规律1．一般数列通项公式的求法2．对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)k 处理符号问题．3．对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．[再练一题]1．写出下列数列的一个通项公式．(1)3,5,9,17,33，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)23，－1，107，－179，2611，－3713，….【导学号：91730020】【解】 (1)中3可看做21＋1,5可看做22＋1,9可看做23＋1,17可看做24＋1,33可看做25＋1，….所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列为21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)n ＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律第1,2两项可分别改写为12＋12＋1，－22＋12×2＋1，所以a n ＝(－1)n ＋1n 2＋12n ＋1.n n (1)写出数列的前3项；(2)判断45是否为{a n }中的项？3是否为{a n }中的项？【精彩点拨】 (1)令n ＝1,2,3求解即可；(2)令a n ＝45或a n ＝3解n 便可．【自主解答】 (1)在通项公式中依次取n ＝1,2,3，可得{a n }的前3项分别为：1,6,15.(2)令2n 2－n ＝45，得2n 2－n －45＝0，解得n ＝5或n ＝－92(舍去)，故45是数列{a n }中的第5项．令2n 2－n ＝3，得2n 2－n －3＝0，解得n ＝－1或n ＝32，即方程没有正整数解，故3不是数列中的项．1．如果已知数列的通项公式，只要将相应项数代入通项公式，就可以写出数列中的指定项．2．判断某数是否为数列中的一项，步骤如下：(1)将所给的数代入通项公式中；(2)解关于n 的方程；(3)若n 为正整数，说明所给的数是该数列的项；若n 不是正整数，则不是该数列的项．[再练一题]2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n 2(n ∈N *)．(1)0和1是不是数列{a n }中的项？如果是，那么是第几项？(2)数列{a n }中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？【解】 (1)令a n ＝0，得n 2－21n ＝0，∴n ＝21或n ＝0(舍去)，∴0是数列{a n }中的第21项．令a n ＝1，得n 2－21n 2＝1，而该方程无正整数解，∴1不是数列{a n }中的项．(2)假设存在连续且相等的两项为a n ，a n ＋1，则有a n ＝a n ＋1，即n 2－21n 2＝(n ＋1)2－21(n ＋1)2，解得n ＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．[探究共研型]探究1 (小)项？【提示】可以借助函数的性质求数列的最大(小)项，但要注意函数与数列的差异，数列{a n }中，n ∈N *.探究2 如何定义数列{a n }的单调性？【提示】对于数列的单调性的判断一般要通过比较a n ＋1与a n 的大小来判断，若a n ＋1>a n ，则数列为递增数列，若a n ＋1<a n ，则数列为递减数列．设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋kn (n ∈N *)．数列{a n }是单调递增的，求实数k 的取值范围．【精彩点拨】利用二次函数的单调性，求得k 的取值范围．【自主解答】 ∵a n ＝n 2＋kn ，其图象的对称轴为n ＝－k 2， ∴当－k 2≤1，即k ≥－2时，{a n }是单调递增数列．另外，当1<－k 2<2且⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2－1<2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，即－3<k <－2时，{a n }也是单调递增数列(如图所示)．∴k 的取值范围是(－3，＋∞)．1．函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调．2．求数列的最大(小)项，还可以通过研究数列的单调性求解，一般地，若⎩⎨⎧ a n －1≤a n ，a n ＋1≤a n ，则a n 为最大项；若⎩⎨⎧a n －1≥a n ，a n ＋1≥a n，则a n 为最小项．[再练一题]3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝－2n 2＋9n ＋3(n ∈N *)，求它的最大项.【导学号：91730021】【解】由题意知，－2n 2＋9n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －942＋1058. 由于函数f (x )＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋1058在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，94上是增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞上是减函数，故当n ＝2时，f (n )＝－2n 2＋9n ＋3取得最大值13，所以数列{a n }的最大项为a 2＝13.[构建·体系]1．已知下列数列：(1)2 010,2 012,2 014,2 016,2 018；(2)0，12，23，…，n －1n ，…；(3)1，12，14，…，12n －1，…； (4)1，－23，35，…，(－1)n －1·n 2n －1，…； (5)1,0，－1，…，sin n π2，…；(6)9,9,9,9,9,9.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(将合理的序号填在横线上)【解析】 (1)是有穷递增数列；(2)是无穷递增数列⎝⎛⎭⎪⎫因为n －1n ＝1－1n ； (3)是无穷递减数列；(4)是摆动数列，也是无穷数列；(5)是摆动数列，也是无穷数列；(6)是常数列，也是有穷数列．【答案】 (1)(6) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (6) (4)(5)2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为________．【解析】这个数列的前4项都比序号大1，所以它的一个通项公式为a n ＝n ＋1.【答案】 a n ＝n ＋13．下列有关数列的表述：①数列的通项公式是唯一的；②数列0,1,0，－1与数列－1,0,1,0是相同的数列；③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；④数列中的数是按一定次序排列的．其中说法正确的是________．【解析】如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，但一个数列可以没有通项公式，也可以有几个通项公式，如：数列1，－1,1，－1，1，－1，…的通项公式可以是a n ＝(－1)n＋1，也可以是a n＝cos(n－1)π，故①错；由数列的概念知数列0,1,0，－1与数列－1,0,1,0是不同的数列，故②错；易知③④是正确的．【答案】③④4．用火柴棒按图2-1-1的方法搭三角形：图2-1-1按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n与所搭三角形的个数n之间的关系式是________.【导学号：91730022】【解析】a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n＝2n＋1.【答案】a n＝2n＋15．已知数列{a n}的通项公式为a n＝4n2＋3n(n∈N*)，(1)写出此数列的前3项；(2)试问110和1627是不是它的项？如果是，是第几项？【解】(1)a1＝412＋3×1＝1，a2＝422＋3×2＝25，a3＝432＋3×3＝29.(2)令4n2＋3n＝110，则n2＋3n－40＝0，解得n＝5或n＝－8.又n∈N*，故n＝－8舍去，所以110是数列{a n}的第5项．令4n2＋3n＝1627，则4n2＋12n－27＝0，解得n＝32或n＝－92.又n∈N*，所以1627不是数列{a n}的项．我还有这些不足：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________我的课下提升方案：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．将正整数的前5个数排列如下：①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③2,1,5,3,4；④4,1,5,3,2.那么可以称为数列的有________．【解析】由数列定义，①②③④均为按一定次序排列的一列数，故均为数列．【答案】①②③④2．数列1,3,6,10，x,21,28，…中x的值是________．【解析】观察数列的特点可知，从第2项起，每一项与前一项的差分别为2,3,4，…，依次增加1，故x为15.【答案】153．下列各式能成为数列1,3,6,10，…的一个通项公式的是________．①a n＝n2－n＋1；②a n＝n(n－1)2；③a n＝n(n＋1)2；④a n＝n2＋1.【解析】令n ＝1,2,3,4，分别代入①②③④检验即可．排除①②④，从而确定答案为③.【答案】 ③4．数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧ 3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，则a 2·a 3等于________．【解析】由a n ＝⎩⎨⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，得a 2＝2，a 3＝10，所以a 2·a 3＝20.【答案】 205．已知数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的第________项.【导学号：91730023】【解析】数列的通项为a n ＝3n －1.∵25＝20＝3×7－1，∴25是数列的第7项．【答案】 76．根据下列4个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图形中有________个点．(1) (2) (3) (4)图2-1-2【解析】由图形可得，图形中的点数为1,4,9,16，…，则其通项公式为a n ＝n 2，故第n 个图形中的点数为n 2.【答案】 n 27．若数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则a 2n ＝______，a 2a 3＝________. 【解析】 ∵a n ＝3－2n ，∴a 2n ＝3－22n ，a 2a 3＝3－223－23＝15.【答案】 3－22n15 8．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n －98n －99(n ∈N *)，则数列{a n }的前30项中，最大项和最小项分别是________．①a 10，a 9；②a 1，a 9；③a 1，a 30；④a 9，a 30.【解析】通项公式变形为：a n ＝n －99＋99－98n －99＝1＋99－98n －99，显然当n ＝10和n ＝9时，a n 分别取最大值和最小值．【答案】 ①二、解答题9．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 10＝21，通项a n 相应的函数是一次函数．(1)求数列{a n }的通项公式，并求出a 2 017；(2)若{b n }是由a 2，a 4，a 6，a 8，…组成，试归纳{b n }的一个通项公式．【解】 (1)由题意可设a n ＝kn ＋b ，又a 1＝3，a 10＝21，∴⎩⎨⎧ k ＋b ＝3，10k ＋b ＝21，解得⎩⎨⎧k ＝2，b ＝1，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，a 2 017＝2×2 017＋1＝4 035.(2)∵{b n }是由{a n }的偶数项组成，∴b n ＝a 2n ＝2×2n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *)．10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1(n ∈N *)． (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内．【解】 (1)a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1.令n ＝10，得第10项a 10＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300. 此方程无正整数解，故98101不是该数列中的项．(3)证明：因为a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，所以0<33n ＋1<1. 所以0<a n <1，所以数列中的各项都在区间(0,1)内．[能力提升]1．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5的值为______.【导学号：91730024】【解析】由a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，∴a 1a 2＝4，a 1a 2a 3＝9，∴a 3＝94，同理a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.【答案】 6116图2-1-32．如图2-1-3，五角星魅力无穷，一动点由A 处按图中数字由小到大的顺序依次运动，当第一次运动结束回到A 处时，数字为6，按此规律无限运动，则数字2 016应在________处．【解析】设a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝4，a 5＝5，a 6＝1分别对应点A ，B ，C，D，E，A，故动点运动的周期为5，∵a2 016＝a2 015＋1＝a5×403＋1＝a1＝1，故应在A处．【答案】A3．已知数列{a n}满足a m·n＝a m·a n(m，n∈N*)，且a2＝3，则a8＝________. 【解析】由a m·n＝a m·a n，得a4＝a2·2＝a2·a2＝9，a8＝a2·4＝a2·a4＝3×9＝27.【答案】274．设函数f(x)＝log2x－log x2(0<x<1)，数列{a n}满足f(2a n)＝2n(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)判断数列{a n}的单调性．【解】(1)由f(x)＝log2x－log x2，可得f(2a n)＝a n－1a n＝2n，所以a2n－2na n－1＝0，解得a n＝n±n2＋1. 因为0<x<1，所以0<2a n<1，所以a n<0.故a n＝n－n2＋1.(2)法一：(作商比较)a n＋1 a n＝(n＋1)－(n＋1)2＋1 n－n2＋1＝n＋n2＋1(n＋1)＋(n＋1)2＋1<1.因为a n<0，所以a n＋1>a n.故数列{a n}是递增数列．法二：(作差比较)a n＋1－a n＝n＋1－(n＋1)2＋1－n＋n2＋1＝n2＋1＋1－n2＋2n＋2＝2(n2＋1－n)n2＋1＋1＋n2＋2n＋2>0.所以数列{a n}是递增数列．。

2022-2021学年高二数学苏教版必修5学案：2.1 数列(二) Word版含答案

明目标、知重点 1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点争辩数列.2.理解递推公式的含义，能依据递推公式求出数列的前几项．1．数列与函数的关系数列可以看作是以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})为定义域的函数，当自变量依据从小到大的挨次依次取值时所对应的一列函数值．2．数列的递推公式假如数列{a n}的第1项或前几项已知，并且数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．3．数列的表示方法数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．[情境导学]某人有一对新生的兔子饲养在围墙中，假如它们每个月生一对兔子，且新生的兔子从第三个月开头也是每个月生一对兔子，问一年后围墙中共有多少对兔子？对此问题的争辩产生了出名斐波那契数列{a n}：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，…，此数列具有a n＋1＝a n＋a n－1的特性，我们称之为数列的递推公式，这正是本节我们要争辩的重点内容．探究点一数列的函数特性思考1数列可看作函数，类比函数的表示方法，你认为数列除了通项公式表示法之外，还可以怎样表示？答数列也可以用图象、列表等方法来表示．思考2以数列：2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？答(1)通项公式法：a n＝2n.(2)列表法：n123…k…a n246…2k…(3)图象法：思考3与函数相比，数列的特殊性表现在哪些方面？谈谈你的生疏．答数列是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在以下三个方面：①数列的定义域是正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}；②数列中的项是对应序号1,2,3，…的一列函数值；③数列的图象是一些孤立的点，这些点的横坐标按从小到大依次是1,2,3，….例1下图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在下图4个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象．解如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是a n＝3n－1.在直角坐标系中的图象为一些孤立的点(如图所示)．反思与感悟由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观看、归纳各项与序号之间的联系，擅长利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到解决问题的目的．跟踪训练1传奇古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上争辩数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角外形，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是________．答案55解析三角形数依次为1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为1＋2＋3＋4＋…＋10＝55. 探究点二数列的递推公式思考1 观看：1,3,7,15,31,63这些数有什么规律吗？如何用一个代数式表示出该数列的规律？答首项为1，从第2项起每一项等于它的前一项的2倍再加1.即a n ＝2a n －1＋1(n >1)．思考2 已知数列{a n }的首项a 1＝1，且有a n ＝3a n －1＋2(n >1)，如何求出a 2，a 3，a 4? 答 a 2＝3a 1＋2＝5，a 3＝3a 2＋2＝17，a 4＝3a 3＋2＝53.小结像思考2给出数列的方法叫递推公式法，其中a n ＝3a n －1＋2(n >1)称为递推公式，递推公式也是数列的一种表示方法．例2 设数列{a n }满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1(n >1).写出这个数列的前五项．解由题意可知：a 1＝1，a 2＝1＋1a 1＝2，a 3＝1＋1a 2＝32，a 4＝1＋1a 3＝53，a 5＝1＋1a 4＝1＋35＝85.反思与感悟递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系．对于通项公式，已知n 的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可求得其他的项．跟踪训练2 在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ≥1)，写出此数列的前6项．解 a 1＝2，a 2＝3，a 3＝3a 2－2a 1＝3×3－2×2＝5， a 4＝3a 3－2a 2＝3×5－2×3＝9， a 5＝3a 4－2a 3＝3×9－2×5＝17， a 6＝3a 5－2a 4＝3×17－2×9＝33. 探究点三数列的递推公式的应用思考1 对于任意数列{a n }，等式：a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n 都成立．试依据这一结论，已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，求通项a n . 答 a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋2＋2＋…＋2＝2(n －1)＋1＝2n －1.n －1)个2思考2 若数列{a n }中各项均不为零，则有a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n成立．试依据这一结论，已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2)，求通项a n .答 a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n －1a n －2·a n a n －1＝1·12·23·…·n －2n －1·n －1n ＝1n .例3 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，试写出a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，你发觉数列{a n }具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 014项？解 a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2， a 6＝－1，a 7＝1，a 8＝2，…. 发觉：a n ＋6＝a n ，数列{a n }具有周期性，周期T ＝6，证明如下：∵a n ＋2＝a n ＋1－a n ，∴a n ＋3＝a n ＋2－a n ＋1＝(a n ＋1－a n )－a n ＋1＝－a n . ∴a n ＋6＝－a n ＋3＝－(－a n )＝a n . ∴数列{a n }是周期数列，且T ＝6. ∴a 2 014＝a 335×6＋4＝a 4＝－1.反思与感悟已知数列递推公式求数列某一项时，依次将项数n 的值代入即可．跟踪训练3 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，1a n －2＋1a n ＝2a n －1(n ∈N *，n ≥3)，求a 3，a 4.解由a 1＝1，a 2＝23且1a n －2＋1a n ＝2a n －1，知当n ＝3时，1a 1＋1a 3＝2a 2，∴1a 3＝2a 2－1a 1＝3－1＝2，∴a 3＝12.当n ＝4时，1a 2＋1a 4＝2a 3，∴1a 4＝2a 3－1a 2＝4－32＝52，∴a 4＝25.1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是________． ①a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N *； ②a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2； ③a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *，n ≥2； ④a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥2. 答案 ②2．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N *)，则此数列的通项a n ＝________. 答案 3－n解析 ∵a n ＋1－a n ＝－1.∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)共(n －1)个＝2＋(－1)×(n －1)＝3－n .3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________．答案 a n ＝2n ＋1解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1.4．已知：数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝nn ＋1a n. (1)写出数列的前5项；(2)猜想数列的通项公式．解 (1)a 1＝1，a 2＝11＋1×1＝12，a 3＝21＋2×12＝13，a 4＝31＋3×13＝14，a 5＝41＋4×14＝15.(2)a n ＝1n .[呈重点、现规律]1．{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式．而a n 只表示数列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系．2．数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．3．通项公式和递推公式的区分：通项公式直接反映a n 和n 之间的关系，即a n 是n 的函数，知道任意一个具体的n 值，就可以求出该项的值a n ；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n 直接得出a n .一、基础过关1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }的单调性为________． ①递增数列； ②递减数列； ③常数列； ④不能确定．答案 ①2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项为________．答案 12解析 a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋14＝34，a 4＝12a 3＋18＝12.3．数列{a n }中，a 1＝1，对全部的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________.答案 6116解析 a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22，a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42，则a 3＝3222＝94，a 5＝5242＝2516.故a 3＋a 5＝6116.4．由1,3,5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝ab n －1，则b 5＝________. 答案 17解析 ∵b n ＝1n b a －，∴b 2＝1b a ＝a 2＝3， b 3＝2b a ＝a 3＝5，b 4＝3b a ＝a 5＝9， b 5＝4b a ＝a 9＝17.5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1(n 为正奇数)，4n －1(n 为正偶数).则它的前4项依次为________．答案 4,7,10,156．已知数列{a n }满足：a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *，则实数λ的最小值是________．答案－3解析 a n ≤a n ＋1⇔n 2＋λn ≤(n ＋1)2＋λ(n ＋1) ⇔λ≥－(2n ＋1)，n ∈N *⇔λ≥－3.7．依据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第n 个图中有多少个点．解图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜想第n 个图中除中间一个点外，有n 个分支，每个分支有(n －1)个点，故第n 个图中点的个数为1＋n (n －1)＝n 2－n ＋1.8．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式．解 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1.∴1a n ＝1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1＝2＋1＋1＋…＋1＝n ＋1.(n －1)个1∴1a n ＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1. 二、力气提升9．若a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第4项是________．答案 110解析 a 2＝a 13a 1＋1＝13＋1＝14，a 3＝a 23a 2＋1＝1434＋1＝17，a 4＝a 33a 3＋1＝1737＋1＝110.10．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列中最大项的值是________．答案 108 解析由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫n －2942＋10818，由于n ∈N *，故当n 取距离294最近的正整数7时，a n 取得最大值108.∴数列{a n }中的最大值为a 7＝108.11．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n－1⎝⎛⎭⎫12≤a n<1.若a 1＝67，则a 2 014＝________.答案 67解析计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列，又知2 014除以3余1，所以a 2 014＝a 1＝67.12．依据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式． (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a nn ＋1(n ∈N *)；(3)a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)(n ∈N *)．解 (1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9.猜想a n ＝(n －1)2. (2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝42，a 4＝52.猜想a n ＝n ＋12.(3)a 1＝－1，a 2＝－12，a 3＝－13，a 4＝－14.猜想a n ＝－1n .三、探究与拓展13．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋1n a n，求{a n }的通项公式．解 ∵a n ＋1＝n ＋1n a n ，∴a n ＋1a n ＝n ＋1n.∴a 2a 1＝2，a 3a 2＝32，a 4a 3＝43，…，a n a n －1＝n n －1. 把上述等式相乘，得 a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a n a n －1＝2×32×43×…×n n －1，即a na 1＝n ，而a 1＝2，∴a n ＝2n .。

高中数学第二章数列数列复习2导学案(教师版) 苏教版必修5

必修5 数列复习小结第2课时第 20 课时一、学习目标（1）进一步熟练掌握等差等比数列的通项公式和前n 项和公式；（2）提高分析、解决问题能力．二、例题探究例1（2009浙江文）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数．I ）求1a 及n a ；II ）若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值．解（Ⅰ）当1,111+===k S a n ， 12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*）经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n（Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 422.=∴，即)18)(12()14(2+-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ，对任意的*∈N m 成立， 10==∴k k 或例 2 (2009山东卷文)等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.（1）求r 的值；（11）当b=2时，记 1()4n nn b n N a ++=∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T解:因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.所以得n n S b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列, 所以1r =-, 公比为b , 所以1(1)n n a b b -=-（2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=,111114422n n n n n n n b a -++++===⨯ 则234123412222n n n T ++=++++ 3451212341222222n n n n n T +++=+++++ 相减,得23451212111112222222n n n n T +++=+++++- 31211(1)112212212n n n -+⨯-++--12311422n n n +++=-- 所以113113322222n n n n n n T ++++=--=- 【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知n S 求n a 的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前n 项和n T .例3.某企业2008年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为500(1+n21)万元（n 为正整数）.（Ⅰ）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元（须扣除技术改造资金），求A n 、B n 的表达式；（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？解: (Ⅰ)依题意知，数列n A 是一个以500为首项，－20为公差的等差数列，所以2(1)480(20)490102n n n A n n n -=+⨯-=-， 2111500(1)500(1)500(1)600222n n B =++++++-＝2111500500()600222nn ++++- ＝11[1()]22500500600112n n -+⨯--＝5005001002n n -- (Ⅱ)依题意得，n n B A >，即2500500100490102n n n n -->-，可化简得250102n n n <+-， ∴可设n n f 250)(=，2()10g n n n =+- 又+∈N n ，∴可设)(n f 是减函数，)(n g 是增函数，又5050(3)(3)2,(4)(4)8816f g f g =>==<= 则4n =时不等式成立，即4年三、课后作业1.（2007宁夏）已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于________22．（2006江西卷）已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝_________1003.（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10．．．．．．．按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为．答案262n n-+四、反思总结。

高中数学 2.1数列(2)教案苏教版必修5

第 2 课时：§ 2.1 数列（2）【三维目标】：一、知识与技能1. 要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念；了解数列的递推公式的意义，明确递推公式与通项公式的异同；了解数列的递推公式是确定数列的一种方法；2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项；3.理解数列的前n 项和与n a 的关系；掌握根据数列的前n 项和确定数列的通项公式．4.提高学生的推理能力，培养学生的应用意识. 二、过程与方法经历数列知识的感受及理解运用的过程。

三、情感、态度与价值观通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

【教学重点与难点】：重点：数列的递推公式的理解与应用；难点：理解递推公式；理解递推公式与通项公式的关系【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.复习数列是一种特殊的函数，故其表示方法有列表法、图象法、通项公式法.2.提问：已知数列{}n a 满足11211(2)n n a a n a -=⎧⎪⎨=+≥⎪⎩，能写出这个数列的前5项吗？思考：已知在数列{}n a 中12n n a a +=+，那么这个数列中的任意一项是否都可以写出来？二、研探新知1．递推公式（1）递推公式的概念：知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．模型一：自上而下：第1层钢管数为4；即：1↔4＝1+3 第2层钢管数为5；即：2↔5＝2+3 第3层钢管数为6；即：3↔6＝3+3 第4层钢管数为7；即：4↔7＝4+3 第5层钢管数为8；即：5↔8＝5+3 第6层钢管数为9；即：6↔9＝6+3 第7层钢管数为10；即：7↔10＝7+3若用n a 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且1(3+=n a n ≤n ≤7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 第2章数列（通用）》1

S n与a n之间的关系探究江苏省淮安中学丁军▎教材分析本节课教学内容为苏教版高中数学必修5第二章?数列?第一节?数列的通项?的探究与扩展内容，本节课内容的教学应安排在讲授完等差数列与等比数列后进行，此时学生已经对数列相关问题的常见处理方法有了一定的了解，同时对数列通项公式中的“〞的任意性有初步的把握，本章节的内容可以起到承上启下的作用，促进对等差与等比数列的前项和公式的理解，同时为下面的数列求和方法提供一些操作方式上的指引。

▎教学目标分析知识与技能：理解与的关系，并能熟练地应用；过程与方法：通过对题目的观察、体验，培养学生的观察能力和准确利用公式的能力；情感态度与价值观：通过对具体问题的探究，激发学生的学习兴趣，强学好数学的自信心。

▎教学重难点分析重点：与的关系及其应用；难点：能敏锐的观察出与的关系，并能准确的运用关系解题。

▎教学流程设计问题1：对于数列，前项和的意义是？学生作答：问题2：前面我们学习了等差数列与等比数列的前项和公式，那么如果数列前项和，如何求其所对应的通项公式？设计意图：引出以下与关系：探究1：数列前项和为，且满足，求设计意图：与关系的直接运用，由学生自主完成，投影学生解题过程并分析其中的注意点，特别是与分开讨论的必要性，为变式1做好理论根底准备。

简析：时，；时，综上所述：变式1：等比数列前项和为，且满足，求设计意图：进一步强调与分开讨论的必要性，如果不将与分开讨论，此题将会得到一个“永远成立〞的等比数列，其错误原因就是时所得到的也必须适合时求得的数列的通项公式。

简析：时，；时，因为为等比数列，所以，因此，得探究2：数列前项和为，〔1〕求证是等比数列；〔2〕求的通项公式设计意图：与关系时，如何运用“退位相减〞的思想解题，注意关系式中“〞的任意性的运用。

主要由学生自主探究完成，注意其中与分开讨论。

简析：易得，令可得，因此为以1为首项、2为公比的等比数列，且变式1：数列前项和为，假设，求的通项公式设计意图：结合探究2，进一步明确与分开讨论的重要性，并且初步进行归纳总结，引导学生发现当与的下标一致时，与可以不用分开讨论，只要说明的范围即可；当下标不一致时应分开讨论。

高中数学第二章数列学案(含解析)苏教版必修5-苏教版高二必修5数学学案

数列一、熟记核心要点1．a n 与S n 的关系：S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．等差数列和等比数列等差数列等比数列定义 a n －a n －1＝常数(n ≥2) a na n －1＝常数(n ≥2) 通项公式a n ＝a 1＋(n －1)da n ＝a 1q n －1(q ≠0)判定方法(1)定义法(2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ≥1)⇔{a n }为等差数列(3)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p 、q 为常数)⇔{a n }为等差数列(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }为等差数列(5){a n }为等比数列，a n >0⇔{log a a n }为等差数列(1)定义法(2)中项公式法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ≥1)(a n ≠0)⇔{a n }为等比数列(3)通项公式法：a n ＝c ·q n(c 、q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列(4){a n }为等差数列⇔{aa n }为等比数列(a >0且a ≠1)性质 (1)若m 、n 、p 、q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q(2)a n ＝a m ＋(n －m )d(1)若m 、n 、p 、q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q (2)a n ＝a m qn －m前n 项和 S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d(1)q ≠1，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q(2)q ＝1，S n ＝na 1二、掌握二级结论1．若{a n }，{b n }均是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，则{ma n ＋kb n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 仍为等差数列，其中m ，k 为常数．2．若{a n }，{b n }均是等比数列，则{ca n }(c ≠0)，{|a n |}，{a n ·b n }，{ma n b n }(m 为常数)，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 仍为等比数列． 3．公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…成等比数列，且公比为a 3－a 2a 2－a 1＝（a 2－a 1）qa 2－a 1＝q .4．(1)等比数列(q ≠－1)中连续k 项的和成等比数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，其公比为q k.(2)等差数列中连续k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，公差为k 2d .5．若A 2n －1，B 2n －1分别为等差数列{a n }，{b n }的前2n －1项的和，则a n b n ＝A 2n －1B 2n －1.三、澄清易错易混点1．应用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2时，一定要注意分n ＝1，n ≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起．2．三个数a ，b ，c 成等差数列的充要条件是b ＝a ＋c2，而三个不为0的数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .3．应用等比数列前n 项和公式时应首先讨论公比q 是否等于1.考点1 等差(比)数列的基本运算题型：选择、填空难度：基础分值：5分热点以等差(比)数列为载体考查基本量的求解，体现方程思想、整体思想的应用知识小脉络：(1)(2015·石家庄模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝30，S 4＝120，设b n ＝1＋log 3a n ，那么数列{b n }的前15项和为( ) A ．152 B ．135 C ．80D ．16(2)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12【解析】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＋a 3＝30，a 2＋a 4＝S 4－(a 1＋a 3)＝90，所以公比q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝3，首项a 1＝301＋q2＝3，所以a n ＝3n ，b n ＝1＋log 33n＝1＋n ，则数列{b n }是等差数列，前15项的和为15×（2＋16）2＝135，故选B.(2)由题意知S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6，因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以S 22＝S 1·S 4，即(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12，故选D.方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a 1、d (或q )、n 、a n 与S n 这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个．其中a 1和d (或q )是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现．【题组演练】1．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *.若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 016＝( ) A ．92 015B ．272 015C ．92 016D ．272 016【解析】由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列．数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n ，b n ＝3n，又c n ＝ba n ＝33n.∴c 2 016＝33×2 016＝272 016，故选D.2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n＝________．【解析】 ∵q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝5452＝12，∴a 1＋a 3＝a 1＋a 1×14＝52，解得a 1＝2.∴a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n .∴S n a n＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 42n ＝2n －1. 考点2 等差(比)数列的性质题型：选择、填空、解答难度：中等分值：5～12分热点主要考查等差、等比数列项与和的性质，常与数列通项、求和等相联系知识小脉络：(1)(2015·郑州模拟)已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝992，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64(2)已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. ①求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；②将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．【解析】 (1)因为2a 8＝a 7＋a 9＝16，所以a 8＝8，又S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11a 6，且S 11＝992，所以a 6＝92，又d ＝a 8－a 62＝74，所以a 12＝a 8＋4d ＝8＋4×74＝15，故选A. (2)①由a 2＋a 7＋a 12＝－6得a 7＝－2，∴a 1＝4，∴a n ＝5－n ，从而S n ＝n （9－n ）2.②由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1，设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝12，∴T m ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 1－12＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12m随m 增加而递减，∴{T m }为递增数列，得4≤T m <8. 又S n ＝n （9－n ）2＝－12(n 2－9n )＝－12[⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922－814]，故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *总有S n <T m ＋λ，则10<4＋λ，得λ>6. 即实数λ的取值范围为(6，＋∞)．1．此类问题主要考查等差(比)数列的项与和的性质，特别是数列中“若m ＋n ＝p ＋q ，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q (a m ·a n ＝a p ·a q )”这一性质．2．等差数列前n 项和的最值问题，经常转化为二次函数的最值问题．3．数列的恒成立问题常转化为函数的最值问题，即利用数列的单调性(d >0，递增；d <0，递减)求最值．【题组演练】1．等差数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，若S 10＝31，S 20＝122，则S 30＝( ) A ．153 B ．182 C ．242 D ．273【解析】根据等差数列的性质得到：S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，则S 30＝2(S 20－S 10)－S 10＋S 20＝2(122－31)－31＋122＝273，故选D.2．(2014·江西高考)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．【解析】当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，等价于⎩⎪⎨⎪⎧a 8＞0，a 9＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧7＋7d ＞0，7＋8d ＜0.∴－1＜d ＜－78.考点3 等差(比)数列的判断与证明题型：选择、填空、解答难度：中等分值：5～12分热点以递推关系为载体考查等差(比)数列的判断及证明知识小脉络：(1)(2015·江西省高考适应性测试)已知数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝8，数列{a n ＋1－2a n }是公比为2的等比数列，则下列判断正确的是( )A ．{a n }是等差数列B ．{a n }是等比数列C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等比数列 (2)(2015·广东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1. ①求a 4的值；②证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列；③求数列{a n }的通项公式．【解析】 (1)由已知a 2－2a 1＝4，a n ＋1－2a n ＝4×2n －1＝2n ＋1，故a n ＋12n ＋1－a n2n ＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列，故选C. (2)①当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋1，解得a 4＝78.②证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)，得4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)，即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)．∵4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，∴4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，∴a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 2（2a n ＋1－a n ）＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．③由②知，a n ＋1－12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，即a n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝4.∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 是以a 112＝2为首项，4为公差的等差数列，∴a n⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝2＋4(n －1)＝4n －2，即a n ＝(2n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝(2n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.等差(比)数列的判断与证明的两个易失分点(1)利用a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)的关系证明数列{a n }为等比数列时，要注意数列中的各项均不为0.(2)当要证明一个数列是等差(等比)数列时，命题是一个全称命题，必须证明对任意n 的值都要满足等差或等比数列的定义．【题组演练】(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1,其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．【解】 (1)证明：由题设知a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1，由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ. (2)由题设知a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1.令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1.所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2，因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．课时分层练(九)一、填空题1．已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 6＝a 5＋2a 4，则a 6a 4的值为________．【解析】因为a 6＝a 5＋2a 4，所以a 4q 2＝a 4q ＋2a 4，即q 2－q －2＝0，数列{a n }是各项均为正数的等比数列，所以q ＝2，a 6a 4＝q 2＝4.【答案】 42．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是________．【解析】由等差数列的性质可得a 3＝35，a 4＝33，故d ＝－2，a n ＝35＋(n －3)×(－2)＝41－2n ，易知数列前20项大于0，从第21项起为负项，故使得S n 达到最大值的n 是20.【答案】 203．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝1，则通项公式a n ＝________．【解析】由S n ＝2a n ＋1(n ∈N *)可得S n －1＝2a n (n ≥2，n ∈N *)两式相减得：a n ＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1a n ＝32，(n ≥2，n ∈N *)．又由a 1＝1及S n ＝2a n ＋1(n ∈N *)可得a 2＝12，所以数列{a n }从第二项开始成一个首项为a 2＝12，公比为32的等比数列，故当n >1，n ∈N *时有a n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，所以有a n＝⎩⎨⎧1，n ＝1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2.【答案】 ⎩⎨⎧1，n ＝1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2二、解答题4．(2015·唐山模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足(1－q )S n ＋qa n ＝1，且q (q －1)≠0. (1)求{a n }的通项公式；(2)若S 3，S 9，S 6成等差数列，求证：a 2，a 8，a 5成等差数列．【解】 (1)当n ＝1时，由(1－q )S 1＋qa 1＝1，a 1＝1.当n ≥2时，由(1－q )S n ＋qa n ＝1，得(1－q )S n －1＋qa n －1＝1，两式相减得a n ＝qa n －1，又q (q －1)≠0，所以{a n }是以1为首项，q 为公比的等比数列，故a n ＝q n －1.(2)证明：由(1)可知S n ＝1－a n q1－q，又S 3＋S 6＝2S 9，得1－a 3q 1－q ＋1－a 6q 1－q ＝2（1－a 9q ）1－q ，化简得a 3＋a 6＝2a 9，两边同除以q 得a 2＋a 5＝2a 8. 故a 2，a 8，a 5成等差数列．5．(2015·浙江高考)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋ (1)b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)． (1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .【解】 (1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n(n ∈N *)．由题意知：当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2. 当n ≥2时，1nb n ＝b n ＋1－b n .整理得b n ＋1n ＋1＝b n n，所以b n ＝n (n ∈N *)． (2)由(1)知a n b n ＝n ·2n，因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n， 2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1，所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋ (2)－n ·2n ＋1.故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)．6．已知等差数列{a n }的公差为2，其前n 项和为S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *. (1)求p 的值及a n ；(2)在等比数列{b n }中，b 3＝a 1，b 4＝a 2＋4，若等比数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16为等比数列．【解】 (1)由已知可得a 1＝S 1＝p ＋2，S 2＝4p ＋4，即a 1＋a 2＝4p ＋4，∴a 2＝3p ＋2. 由已知得a 2－a 1＝2，∴p ＝1，∴a 1＝3，∴a n ＝2n ＋1，n ∈N *.(2)证明：在等比数列{b n }中，b 3＝a 1＝3，b 4＝a 2＋4＝9，则公比为b 4b 3＝3.由b 3＝b 1·32，得b 1＝13，∴数列{b n }是以13为首项，以3为公比的等比数列，∴T n ＝13（1－3n）1－3＝16·(3n －1)，即T n ＋16＝16×3n＝12×3n －1.又∵T 1＋16＝12，T n ＋16T n －1＋16＝3，n ≥2，n ∈N *，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16是以12为首项，以3为公比的等比数列．第2讲数列求和及简单应用一、熟记核心要点 1．分组求和法分组求和法是解决通项公式可以写成c n ＝a n ＋b n 形式的数列求和问题的方法，其中{a n }与{b n }是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列． 2．裂项相消法将数列的通项分成两个代数式子的差，即a n ＝f (n ＋1)－f (n )的形式，然后通过累加抵消中间若干项的求和方法．形如⎩⎨⎧⎭⎬⎫c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为0的等差数列，c 为常数)的数列等． 3．错位相减法形如{a n ·b n }(其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列)的数列求和，一般分三步：① 巧拆分；② 构差式；③ 求和．二、掌握二级结论已知递推公式求通项公式的三种方法递推关系方法⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝a a n ＋1＝qa n ＋b (q ≠1，b ≠0)型构造法：确定待定系数λ，使a n ＋1＋λ＝q (a n ＋λ)⇔λ＝bq －1⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝a a n ＝a n －1＋f （n ）型累加法：a n ＝a 1＋(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝a a n ＝f （n ）a n －1型累乘法：a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a na n －1a n ＋1＝pa n ＋q n (q ，p 为常数，且p ≠1，q ≠0)先转化，再构造法：两边同除以q n转化为a n ＋1q n ＋1＝p q ·a n qn ＋11．裂项求和的系数出错：裂项时，把系数写成它的倒数或者忘记系数致错．2．求错项数致误：错位相减法求和时，相减后总项数为n ＋1，易错并且还易漏掉减数式的最后一项．考点1 数列求和问题题型：解答难度：中等分值：12分热点等差数列、等比数列综合题中使用错位相减法或裂项相消法求和知识小脉络：数列求和的常见类别——{a n ＋b n }，{a n ·b n }⎩⎨⎧⎭⎬⎫d a n ·a n ＋k数列求和的解题思路——分组求和法、错位相减法、裂项相消法(2015·菏泽模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)， (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足：a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1，求数列{b n }的通项公式； (3)令c n ＝a nb n4(n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和T n .【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1)－(n －1)n ＝2n ，又a 1＝2满足该式，∴ 数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋…＋b n3n ＋1(n ≥1)，① a n ＋1＝b 13＋1＋b 232＋1＋…＋b n 3n ＋1＋b n ＋13n ＋1＋1②②－① 得，b n ＋13n ＋1＋1＝a n ＋1－a n ＝2，即b n ＋1＝2(3n ＋1＋1)，又当n ＝1时，b 1＝8，所以b n ＝2(3n＋1)． (3)c n ＝a nb n4＝n (3n ＋1)＝n ·3n＋n ，∴ T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n)＋(1＋2＋…＋n )，令H n ＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n， ①则3H n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n ×3n ＋1，②①－②得，－2H n ＝3＋32＋33＋ (3)－n ×3n ＋1＝3（3n－1）3－1－n ×3n ＋1∴H n ＝（2n －1）×3n ＋1＋34.∴数列{c n }的前n 项和T n ＝（2n －1）×3n ＋14＋n （n ＋1）2＋34.1．数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、错位相减法、裂(拆)项相消法、分组法、倒序相加法和并项法等． 2．裂项求和的几种常见类型 (1)1n （n ＋k ）＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ；(2)1n ＋k ＋n ＝1k(n ＋k －n )；(3)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1；(4)若{a n }是公差为d 的等差数列，则1a n a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)．【题组演练】(2015·安徽高考)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解】 (1)由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1.(舍去) 由a 4＝a 1q 3得公比q ＝2，故a n ＝a 1qn －1＝2n －1.(2)S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝2n －1.又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1.考点2 数列与不等式题型：解答难度：中等分值：12分热点以不等式为载体，考查数列求和的方法及数列的单调性角度1 数列中不等式的证明问题(2014·全国卷Ⅱ)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.【证明】 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12.又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列．a n ＋12＝3n 2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n－12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1<13n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n <1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n <32.所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.数列中不等式的放缩问题在数列求和时，为了证明的需要，需要合理变形，常用到放缩法，常见的放缩技巧有： (1)1k 2<1k 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k ＋1；(2)1k －1k ＋1<1k 2<1k －1－1k ； (3)2()n ＋1－n <1n<2(n －n －1)．【题组演练】(2015·唐山模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7＝49，a 4和a 8的等差中项为11. (1)求a n 及S n ；(2)证明：当n ≥2时，有1S 1＋1S 2＋…＋1S n <74.【解】 (1)法一设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 7＝49，a 4＋a 8＝22，所以⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝49，2a 1＋10d ＝22，解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2.法二 ∵S 7＝7a 4＝49，∴a 4＝7.∵a 4＋a 8＝22，∴a 8＝15.∴d ＝a 8－a 44＝2，a 1＝a 4－3d ＝1.所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2.(2)证明：法一由(1)知，S n ＝n 2(n ∈N *)．①当n ＝2时，1S 1＋1S 2＝1＋14<74，∴原不等式亦成立．②当n ≥3时，∵n 2>n (n －1)，∴1n 2<1n （n －1）＝1n －1－1n.∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n 2<1＋14＋12×3＋…＋1（n －1）n ＝1＋14＋[⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ] ＝1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＝74－1n <74.综上可知原不等式成立．法二由(1)知，S n ＝n 2(n ∈N *)．当n ≥2时，∵n 2>(n －1)(n ＋1)， ∴1n 2<1（n －1）（n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1，∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝112＋122＋…＋1n 2<1＋11×3＋12×4＋…＋1（n －2）n＋1（n －1）（n ＋1）＝1＋12[⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1] ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋12－1n －1n ＋1＝74＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1n －1n ＋1<74.角度2 数列中不等式的恒成立问题(2015·文登二模)已知数列{a n }是等比数列，首项a 1＝1，公比q >0，其前n 项和为S n ，且S 1＋a 1，S 3＋a 3，S 2＋a 2成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n b n ，T n 为数列{b n }的前n 项和,若T n ≥m 恒成立，求m 的最大值．【解】 (1)由题意可知：2(S 3＋a 3)＝(S 1＋a 1)＋(S 2＋a 2)，即2(a 1＋a 2＋2a 3)＝(a 1＋a 1)＋(a 1＋2a 2)，即4a 3＝a 1，所以q 2＝14.∵q >0，∴q ＝12，∵a 1＝1，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)∵a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n b n ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n b n ，∴b n ＝n ·2n －1，∴T n ＝1×1＋2×2＋3×22＋…＋n ·2n －1① ∴2T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n②∴①－②得：－T n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝1－2n1－2－n ·2n ＝(1－n )·2n－1，∴T n ＝1＋(n －1)·2n.∵T n ≥m 恒成立，只需(T n )min ≥m . ∵T n ＋1－T n ＝n ·2n ＋1－(n －1)·2n ＝(n ＋1)·2n>0，∴{T n }为递增数列，故当n ＝1时，(T n )min ＝1， ∴m ≤1，∴m 的最大值为1.数列中不等式的恒成立问题以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，求解的思路一般有两种：一是求和后直接利用基本不等式求解数列中的最值，二是求和后抓住和式的特征，利用函数的思想，借助数列的单调性求解，此时需注意变量的取值范围．【题组演练】(2015·南昌模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 3＝6，正项数列{b n }满足b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若λb n >a n 对n ∈N *均成立，求实数λ的取值范围．【解】 (1)∵a 1＝1，S 3＝6，∴数列{a n }的公差d ＝1，a n ＝n .由题知，⎩⎪⎨⎪⎧b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n ①b 1·b 2·b 3·…·b n －1＝2S n －1（n ≥2） ②①÷②得b n ＝2S n －S n －1＝2a n ＝2n (n ≥2)，又b 1＝2S 1＝21＝2，满足上式，故b n ＝2n.(2)λb n >a n 恒成立⇒λ>n 2n 恒成立，设c n ＝n 2n ，则c n ＋1c n ＝n ＋12n，当n ≥2时，c n <1，数列{c n }单调递减，∴(c n )max ＝12，故λ>12.考点3 数列与函数题型：选择、填空、解答难度：中等分值：5～12分热点以不等式为载体，考查数列求和的方法及数列的单调性设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x的图象上(n ∈N *)． ①若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；②若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的前n 项和T n . 【解析】①由已知，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2. 解得d ＝a 8－a 7＝2.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .②函数f (x )＝2x在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2. 由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2. 所以d ＝a 2－a 1＝1，从而a n ＝n ，b n ＝2n.所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1.因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n. 所以T n ＝2n ＋1－n －22n.数列与函数的综合问题主要有以下两类(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题． (2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．【题组演练】1．(2015·青岛模拟)已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝f (x )，f (－2)＝－3.数列{a n }满足a 1＝－1，且S n n ＝2·a n n＋1(其中S n 为数列{a n }的前n 项和)，则f (a 5)＋f (a 6)＝( )A ．－3B ．－2C ．3D ．2【解析】由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝f (x )可知函数f (x )的对称轴为x ＝34，又函数f (x )是奇函数，所以有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫x －32＝－f (x )，即f (x －3)＝f (x )，∴f (x )是周期为3的周期函数．由S nn ＝2·a n n＋1得S n ＝2a n ＋n ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋n －(2a n －1＋n －1)＝2a n －2a n －1＋1，即a n ＝2a n －1－1，所以a 2＝－3，a 3＝－7，a 4＝－15，a 5＝－31，a 6＝－63，所以f (a 5)＋f (a 6)＝f (－31)＋f (－63)＝f (－1)＋f (0)＝－f (1)＋f (0)．因为函数f (x )是奇函数，所以有f (0)＝0，由f (－2)＝－3，可得f (1)＝f (－2)＝－3，所以f (a 5)＋f (a 6)＝3.【答案】 C2．(2013·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．【解析】设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由等差数列前n 项和可得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝0，15a 1＋15×142d ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝23. ∴nS n ＝n 2a 1＋n 2（n －1）2d ＝－3n 2＋13(n 3－n 2)＝13n 3－10n 23，∴(nS n )′＝n 2－20n 3，令(nS n )′＝0，解得n ＝0(舍去)或n ＝203.当n ＞203时，nS n 是单调递增的；当0＜n ＜203时，nS n 是单调递减的，故当n ＝7时，nS n取最小值，∴(nS n )min ＝13×73－10×723＝－49.[思想·方法]系列之(5)分类讨论思想在数列中的应用【案例】 ( 2015·遂宁模拟)已知数列{a n }为等差数列，其中a 1＝1，a 7＝13. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n ＝1a n ·a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和，当不等式λT n <n ＋8·(－1)n(n ∈N *)恒成立时，求实数λ的取值范围．【审题指导】 a 1＝1，a 7＝13――――――――→等差数列通项公式求a n ――→代入b n 求b n ――――→裂项求和求T n――――→分离参数建立λ的表达式――――――→分n 为奇偶数求λ的范围，取并集即可解】 (1)∵a 7＝a 1＋6d ，∴13＝1＋6d ，即d ＝2，所以a n ＝2n －1.(2)∵b n ＝1a n ·a n ＋1＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12(12n －1－12n ＋1)．∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n 2n ＋1，①当n 为偶数时，要使不等式λT n <n ＋8·(－1)n(n ∈N *)恒成立，只需不等式：λ<（n ＋8）（2n ＋1）n ＝2n ＋8n＋17恒成立即可．∵2n ＋8n≥8，等号在n ＝2时取得，∴λ<25.②当n 为奇数时，要使不等式λT n <n ＋8·(－1)n (n ∈N *)恒成立，只需不等式λ<（n －8）（2n ＋1）n ＝2n －8n－15恒成立即可．∵2n －8n 是随n 的增大而增大，∴n ＝1时，2n －8n取得最小值－6，∴λ<－21.综合①②可得λ的取值范围是(－∞，－21)．1．数列问题中若遇到(－1)n，则需要考虑n 的奇偶性对所求数值的影响，必要时应分n 为奇数和n 为偶数两种情况讨论．2．对于数列中的最值、范围等问题的求解，可转化为相应函数的单调性或利用方程有解的条件来求解，但要注意自变量取值范围的限制．【活学活用】 (2015·青岛二模)设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正整数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 13b 2＝50，a 8＋b 2＝a 3＋a 4＋5，n ∈N *.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列{d n }满足d n d n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－8＋log 2b n ＋1(n ∈N *)，且d 1＝16，试求{d n }的通项公式及其前2n 项和S 2n .【解】 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则依题意有q >0，且⎩⎪⎨⎪⎧（1＋12d ）q ＝50，（1＋7d ）＋q ＝（1＋2d ）＋（1＋3d ）＋5，即⎩⎪⎨⎪⎧（1＋12d ）q ＝50，2d ＋q ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1112，q ＝256，由于{b n }是各项都为正整数的等比数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2.从而a n ＝1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝q n －1＝2n －1.(2)∵b n ＝2n －1，∴log 2b n ＋1＝log 22n＝n ，∴d n d n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－8＋n，d n ＋1d n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－7＋n，两式相除：d n ＋2d n ＝12，由d 1＝16，d 1d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－8＋1＝128，可得d 2＝8，∴d 1，d 3，d 5，…是以d 1＝16为首项，以12为公比的等比数列；d 2，d 4，d 6，…是以d 2＝8为首项，以12为公比的等比数列，∴当n 为偶数时，d n ＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n2－1＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫22n；当n 为奇数时，d n ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n+12－1＝162⎝ ⎛⎭⎪⎫22n.综上，d n＝⎩⎨⎧16⎝ ⎛⎭⎪⎫22n，n 为偶数，162⎝ ⎛⎭⎪⎫22n，n 为奇数.∴S 2n ＝(d 1＋d 3＋…＋d 2n －1)＋(d 2＋d 4＋…＋d 2n )＝16×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＋8×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋16⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝48⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. 课时分层练(十)1．(2015·全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．【解】 (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3， ① 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3]＝n3（2n ＋3）.2．(2015·山东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . 【解】 (1)因为2S n ＝3n＋3，所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3. 当n ≥2时，2S n －1＝3n －1＋3，此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n－3n －1＝2×3n －1，即a n ＝3n －1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3， n ＝1，3n －1， n ≥2.(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13，当n ≥2时，b n ＝31－nlog 33n －1＝(n －1)·31－n.所以T 1＝b 1＝13；当n ≥2时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n －1)×31－n]，所以3T n ＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n －1)×32－n]，两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n )－(n －1)×31－n＝23＋1－31－n1－3－1－(n －1)×31－n ＝136－6n ＋32×3n ，所以T n ＝1312－6n ＋34×3n .经检验，n ＝1时也适合．综上可得T n ＝1312－6n ＋34×3n .3．(2015·吉林模拟)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5＝70，且a 2，a 7，a 22成等比数列，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证：16≤T n <38.【解】 (1)由已知及等差数列的性质得S 5＝5a 3，∴a 3＝14，又a 2，a 7，a 22成等比数列，即a 27＝a 2·a 22.由(a 1＋6d )2＝(a 1＋d )(a 1＋21d )且d ≠0，解得a 1＝32d ，∴a 1＝6，d ＝4.故数列{a n }的通项公式为a n ＝4n ＋2，n ∈N *. (2 )由(1)得S n ＝n （a 1＋a n ）2＝2n 2＋4n ，1S n＝12n 2＋4n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， ∴T n ＝14(1－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2)＝38－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.又T n ≥T 1＝38－14⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＝16，所以16≤T n <38.4．(2015·天津高考)已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列． (1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和．【解】 (1)由已知，有(a 3＋a 4)－(a 2＋a 3)＝(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)，即a 4－a 2＝a 5－a 3，所以a 2(q －1)＝a 3(q －1)．又因为q ≠1，所以a 3＝a 2＝2.由a 3＝a 1·q ，得q ＝2.当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝2k －1＝2n －12；当n ＝2k (k ∈N *)时，a n ＝a 2k ＝2k＝2n2. 所以，{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －12，n 为奇数，2n2，n 为偶数.(2)由(1)得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n 2n －1，n ∈N *.设{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n ×12n －1，12S n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n ×12n ，上述两式相减，得12S n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n1－12－n 2n ＝2－22n －n2n ，整理得S n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.所以，数列{b n }的前n 项和为4－n ＋22n －1，n ∈N *.5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2n ＋1＋2p (n ∈N *)．(1)求p 的值及数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＋12＝(3＋p )a nb n，求数列{b n }的前n 项和T n .【解】 (1)a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1＋2p －2n－2p ＝2n，n ≥2.a 1＝S 1＝4＋2p ＝2，由a 1，a 2，a 3成等比数列，得p ＝－1.(2)由a n ＋12＝(3＋p )a nb n，可得b n ＝n2n .∵T n ＝12＋222＋…＋n 2n ，∴12T n ＝122＋223＋…＋n 2n ＋1，两式相减得：12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1.即12T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1，∴T n ＝2－12n －1－n2n .。

第二章《数列》教案(苏教版必修5)

数列【知识网络】【学法点拨】1．学会从特殊到一般的观察、分析、思考，学会归纳、猜想、验证． 2．强化基本量思想，并在确定基本量时注重设的技巧与解方程组的技巧． 3．在重点掌握等差、等比数列的通项公式、求和公式、中项等基础知识的同时，会针对可化为等差（比）数列的比较简单的数列进行化归与转化． 4．一些简单特殊数列的求通项与求和问题，应注重通性通法的复习．如错位相减法、迭加法等．5．增强用数学的意识，会针对有关应用问题，建立数学模型，并求出其解．第1课等差数列【考点指津】1．理解等差数列的概念，掌握等差数列定义的多种表达形式，能判断一个数列是不是等差数列．2．掌握等差数列的常规简单性质，并能应用于解题，能灵活应用等差中项的性质．3．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．【知识在线】1．依据等差数列定义，若记等差数列{}n a 前n 项和为n s ，*N n ∈，则下列表述不能恒成立的是（） A.1+n a ＝n a ＋d (d 为常数)B.2+n a － 1+n a ＝1+n a －n aC.1+n a ＋1-n a ＝2n aD.1+n s －n s ＝ 1+n a2．等差数列{}n a 中，2a ＋5a ＝19， S 5 ＝40，则1a ＝．和A.5a ＋15a B.10a ＋11a C.2a ＋102a D. 102a4．集合M ＝{,,7N n n m m ∈=且m ＜100＝中的元素个数为，这些元素的和为．5．已知一个直角三角形的三条边的长成等差数列，求该三角形的三边之比． 1．C 2．2 3．B 4. 15，735 5. 3:4:5【讲练平台】例1 在等差数列{}n a 中，4a ＝9，9a ＝－6，求满足54=n s 的所有n 的值．分析已知4a 、9a ，依据通项公式，可求1a 及d ，也可依据9a ＝4a ＋d 5，先求d 再求1a ，然后将1a ．d 的取值代入n s ，求n ．略解方法一：设{}n a 的公差为d ．⎩⎨⎧-=+==+=68931914d a a d a a 解之，得⎩⎨⎧-==3181d a由2)1(541dn n na s n -+==，得4=n 或9．方法二．由d a a 549+=即d 596+=-得3-=d ，由18)3(39341=-⋅-=-=d a a ，再由54=n s 得4=n 或9=n ．点评等差数列的通项公式．求和公式涉及五个基本量，即1a ．d ．n a ．n s ．n ，结合两个公式可“知三求二”．等差数列的求和公式有两种表达方式，通项公式也有多种变式，如md a a n n m +=+，运用时要分析已知条件特征，灵活选择．例2．已知等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项的和的比为())(32:13++n n ，求1515:b a分析已知条件不足以求出15a ．15b 的具体值，只有设法运用性质，291152a a a +=，而)(22929129a a s +=类似理解15b ，可望求解．解29292912911515')(21)(21s s b b a a b a =++=而618832921293'2929=+⨯+⨯=s s 6188:1515=∴b a 点评在等差数列{}n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+，特殊地，若k m 21=+，则k m a a a 21=+，由此进一步得到，若12-=k m ，m k s ma 1=类似这样的灵活变形，还可以进一步深入，这类引申与拓展，无需记忆，关键在于理解过程与方法．例3 已知实数a ，b ，c 的倒数成等差数列，证明a c b +，b c a +，cba +也成等差数列．分析由a ，b ，c 倒数成等差数列，可得b 用a ，c 表示的表达式，我们将其代入bca cb a ac b +⋅-+++2化简．目标证其为0．（该证法读者自己完成）从结论特征分析入手，a c b +，b c a +，cba +，表达形式和谐对称，各项均加1时，便成为a 1，b 1，c1的各项同乘以()c b a ++，以此为突破口，可望更方便证得．证明因a 1，b 1，c 1成等差数列，故ca b 112+=，当a ＋b ＋c ≠0时，两边同乘以()c b a ++ ，得c cb a ac b a b c b a +++++=++)(2， 2()a c b c a bb ac +++=+， cba b c a a c b +++∴,,成等差数列．若a ＋b ＋c ＝0，a c b +，b c a +，c ba +，各项均为－1，也成等差数列．点评一般情况下，证明数列{}n a 是等差数列，只需证d a a n n =-+1．对于三项数列要证其等差，则通常证明中间一项的两倍等于首末两项的和．注意，无论采纳那一种方法，多项式（分式）的变形，一定要有目标．例4 一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和．（1）若这个数列前n 项和最大，求n 的值．（2）求该数列前14项的和．分析（1）113s s =，说明第4项到第11项之和为0，因数列首项为正，故必然有一项为正且其后面一项为负，找到这一正．负分界项，便得到n 的值．（2）113s s =，显然不能求出1a ．d 的具体值，为此，只有设法探求14s 与它们的关系．解（1）由已知113s s =，得01110654=+++++a a a a a ΛΛ， 087105114=+==+=+a a a a a a ΛΛ．因数列首项为正，故公差0<d ，且07>a ，08<a ，所求n 的值为7．（2）设{}n a 首项为1a ，公差为d ，113s s =,即d a d a 2)111(11112)13(3311-+=-+，01321=+d a ．故0)132(72)114(14141114=+=-+=d a d a s ．点评等差数列求最值问题，关键在于找到正负分界项，一般很少采纳目标函数法．本题第2问采纳设而不求，整体代换的策略，这一方法的应用可作一般化推广．变题在等差数列{}n a 中，已知前n 项和n s 满足下列条件之一时，分别求q p s + （1）q p s s q p ≠=,；（2）q p p s q s q p ≠==,,．答：（1） 0，（2） ()q p +-．【知能集成】基础知识：等差数列的定义．性质．通项公式．求和公式．基本技能：常用公式，性质的变式应用，三个数成等差数列的证明方法．基本思想：求公差．首项．项数时的基本量思想，方程思想，巧用设而不求的方法进行整体代换的思想，从特殊到一般探索推广结论的创新意识．【训练反馈】1． 5和15之间插入n 个数，使它们成等差数列，且它们的和为100，则n 的值为（）A.16 B .18 C.20 D.22 2．一个等差数列的第5项等于10，前3项和等于3，那么它的首项与公差分别是 ( A ）A.－2,3B.2,－3C.－3,2D.3,－2 3．等差数列{}n a 的前k 项和为30，前2k 项和为100，则它的前3k 项和为（ C ）A.130B.170C.210D.2604．等差数列{}n a 的公差为2，509741-=+++a a a ΛΛ，则9963a a a ΛΛ++等于（D ）A.－50B.50C.16D.825．等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，若5418a a -=，则8s 等于（ A ） A.72 B.36 C.18 D.144 6．在数列{}n a 中，141-=a ，且2331-=+n n a a ，则当前n 项和n s 取最小值时，n 的取值为．21或227．一等差数列，前12项之和为354，前12项中偶数项之和与奇数项之和的比为32:27，则该数列的公差为．d ＝5 8．对于首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a ，记)(121n n a a a nb +++=ΛΛ，则数列{}n b 前n 项和为．11(1)4na n n d +-9．一个等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，若189=s ，240=n s ，)9(304>=-n a n ，则n 的值为．1510．已知数列{}n a 的前n 项和C Bn An s n ++=2，求证{}n a 成等差数列的条件是C ＝0．11．已知数列{}n a 前n 项的和)(10*2N n n n s n ∈-=，又n n a b =，求{}n b 的前n 项和n T ． 12．已知数列{}n a ，211=a ，前n 项的和为n s ，且)2(021≥=+⋅-n a s s n n n ，试判断数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n s 1，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n na 1是否是等差数列，说明你的理由．【训练反馈】1．B 2.A 3.C 4.D 5.A 6. 21或227. 5 提示：一方面运用基本量思想可列方程组，另一方面利用比例性质，先求偶数项和，再求奇数项和，由d s s 6=-奇偶，得5=d ．8. nd n na )1(411-+．9. 15 提示：由9s 求5a ，用45-+n a a 表示n s ，进而求得n ．10.略 11.提示：先判断数列{}n a 前多少项为正，然后进行能够分类讨论．答：⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-=)6(5010)5(1022n n n n n n T n 12．提示：2≥n 时，用n n n a s s =--1，可证数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n s 1是等差数列，注意要说明S n ≠0,而⎭⎬⎫⎩⎨⎧n na 1 不是等差数列，理由是如211=a ，412-=a ，1213-=a ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n na 1不成等差数列．第2课等比数列【考点指津】1．解等比数列的概念，能判断一个数列是不是等比数列．2．握等比数列的通项公式，前n 项和公式，并能正确运用于解题． 3．解等比数列的性质，并学会灵活运用等比中项性质解决相关问题． 4．会用联系的观点看待等差数列与等比数列，能用类比的方法处理一些与等差数列类似的问题．【知识在线】1．ac b =2是c b a ,,成等比数列的（ B ） A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3．等比数列{}n a 中，3,21==q a ，则满足1000>n s 的最小的n 值是．74．已知{}n a 是等比数列，且812,,0756453=++∈>+a a a a a a N n a n ，则64a a +＝．95．已知数列{}n a 的通项公式为nn na 2=，试利用错位相减法，求该数列的前n 项的和． [222n nnS +=-] 【讲练平台】例1 求和：n x x x ++++Λ21其中R x ∈．分析和式表面上看是一个等比数列，可用等比数列求和公式作答．但因R x ∈，引发分类讨论．略解当0=x 时，原式＝0；当1=x 时，原式＝n ＋1；当10≠≠x x 且时，原式xx n --=+111．点评等比数列的各项不能为0，自然公比也不为零；等比数列的求和公式应分两种情况，当公比1=q 时，1na s n =，当1≠q 时qq a s n n --=1)1(1．因此，当已知数列的公比为字母时，要注意分类讨论．变题求和：n x n x xx )1(432132++++++Λ答：当x ＝0时，原式＝1；当x ＝1时，原式＝2)2)(1(++n n ；当x 10≠≠x 且时，用错位相减法，得原式＝x x n x x n n -+---++1)1()1(1121．例2 在等比数列{}n a 中，126,128,66121===+-n n n s a a a a , 求项数n 和公比q 的值．分析由于n n a a a a 112=-，n a a 与1的和、积均已知，故1a ．n a 可求，代入前n 项和公式，求得q ，再代入通项公式求出n ．解因{}n a 是等比数列，故n n a a a a 112=-＝128，结合1a ＋n a ＝66，可知1a ，n a 是方程0128662=+-x x 的两根，解方程，得64,221==x x ．故2,64,64,211====n n a a a a 或．当64,21==n a a 时，12611=--=qqa a s n n ，得q ＝2．又因为1164,64,故6n n a a q n -===．当2,641==n a a 时，12611=--=q q a a s n n ， 1261264=--qq，得q ＝21，又因为6,2,211===-n q a a n n ．综上所述，6=n ，公比212或=q ．点评等比数列求和公式既可用1a ．q ．n 表示，也可用1a ．n a ．q 表示，运用时可依据题目条件特征加以选择．本题实质已知三个方程，另有两个隐含方程（通项公式．求和公式），求等比数列的基本量1a ．q ．n ．n a ，求解方法是比较常规的典型的解方程组法．例 3 若数列{}n a 前n 项和可表示为a s n n +=2，则{}n a 是否可能成为等比数列？若可能，求出a 值；若不可能，说明理由．分析判断{}n a 是否成等比数列，关键看通项公式，由求和公式到通项公式，重点看1a 是否适合)2(1≥-=-n s s a n n n ，若适合，则可能成等比；不适合，一定不成等比，有条件地适合，这一条件就是求a 值的依据．解因{}n a 的前n 项和a s n n +=2，故1a ＝a s +=21,)2(1≥-=-n s s a n n n ， a n ＝2n ＋a －2n －1－a ＝2n －1(2≥n )．要使1a 适合2≥n 时通项公式，则必有1,220-==+a a ，此时)(21*-∈=N n a n n ，22211==-+n nn n a a ，故当a ＝－1时，数列{}n a 成等比数列，首项为1，公比为2，1-≠a 时，{}n a 不是等比数列．例4 已知数列{}n a 是首项01>a ，且公比0,1≠->q q 的等比数列，设数列{}n b 的通项).(21*++∈-=N n ka a b n n n ，数列{}n a ．{}n b 的前n 项和分别为n s ,n T ，如果n T ＞k n s ，对一切自然数n 都成立，求实数R 的取值范围．分析要求k 的取值范围，必需将关于k 的不等式n T ＞k n s 具体化．因此，可首先从探求n T 与n s 的关系入手，寻求突破口．解因为{}n a 是首项01>a ，公比0,1≠->q q 的等比数列，故q a a n n =+1 ， 22q a a n n =+．)(221kq q a ka a b n n n n -=-=++，n T ＝n b b b +++Λ21＝（a 1＋a 2＋…＋a n ）（q －kq 2）＝n s )(2kq q -．依题意，由n T ＞k n s ，得n s )(2kq q -＞ k n s ① 对一切自然数n 都成立．当0>q 时，由01>a ，知0>n a ,n s ＞0；当－1＜q ＜0时，由01>a ，1－q ＞0,1－nq ＞0,所以n s ＝01)1(1>--qq a n ．综合上述两种情况，当0,1≠->q q 时，n s ＞0恒成立．由①式，可得k kq q >-2， ② 即q qq q k q q k +=+<<+111,)1(22．由于21≥+qq ，故要使①式恒成立，k ＜－21．点评本题条件表达较复杂，要认真阅读理解，并在此基础上先做一些能做的工作，如求n T 与n s 的关系，将不等式具体化等．待问题明朗化后，注意k ＜)(q f 恒成立，则k 小于f （q ）的最小值．【知能集成】基础知识：等比数列的定义、性质．等比数列的通项公式与求和公式．基本技能：指数式、分式的变形运算．对定义、公式严谨性的理解与处理．基本思想：运用等比数列定义，求和公式时的分类讨论思想．处理等差．等比数列类似问题时的类比思想．【训练反馈】1. 等比数列{}n a 中，a 1＋a 2＝30,a 3＋a 4＝60,则公比q ＝2. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n s ,公比为2，===k k k s s s 则,8190,51032 ，k ＝．3. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，若9632s s s =+，则公比q ＝．4. 已知下列命题：①若{}n a 为等比数列，m ．n ．p ．q 均为正整数，m ＋n ＝p ＋q ，则q p n m a a a a =；②5105105-+与是的等比中项； ③常数数列是公比为1的等比数列；④等比数列的项数作自变量，各项对应值视为函数值，则等比数列的图象是分布在指数函数图象上的一群孤立的点．其中正确的命题序号有．5．设{}n a 是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且30303212=⋅⋅⋅⋅a a a a Λ，则30963a a a a ⋅⋅⋅⋅Λ等于（ B ）A. 102B.202C.162D.1526．等比数列{}n a 中，公比q 1≠，它的前n 项和为M,数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 2前n 项和为N ，则NM的值为（C ） A.2n q a 21 B.1121-n q a C.21121-n q a D.2121-n q a7．如果数列{}n a 的前n 项和)23(21n n n n s -=，那么这个数列（B ）A.是等差数列但不是等比数列；B.是等比数列不是等差数列；C.既是等差数列又是等比数列；D.既不是等差数列又不是等比数列．8．在等比数列{}n a 中，对于*∈N n ，12-=n n s ,则22221n a a a +++Λ的值等于（D ）A.2)12(-nB.312)12(-nC.212)14(-nD. 31（4n －1） 9．若方程0100522=+-=+-n x x m x x 与的四个实根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则m : n 的值为（D ）A. 4B. 2C.21 D. 4110．已知数列{}n a 的前n 项和为n s ，又有数列{}n b ，它满足关系11a b =，对n ∈N ＋, 有n n n n n a a b n s a -==+++11,．求证：{}n b 是等比数列，并写出它的通项公式．[12n nb =] 11．{}n a 为等比数列，公比1≠q ，且nn a a a T a a a s 111,2121+++=+++=ΛΛ，求{}n a 的前n 项之积．1. q=± 22. 30， 43. 243-4. ①② 5．B 6．C 7.B 8.D 9.D 10．解n=1时，11a b ==1s =21．2≥n 时，1,11-=+=+--n s a n s a n n n n ，两式相减，得121=--n n a a ．同理121=-+n n a a ，故21,211==++n n n n b b b b (2≥n )．又41,43,2122222=-===+a a b a s a 而，于是2112=b b ．∴)(211*+∈=N n b b n n ．∴{}n b 为等比数列，公比21=q ，通项公式为：nn b 21=． 11．提示：分别写出S ．T 用q a a n ,,1表示的表达式，得n a a Ts1=，进而得{}n a 前n 项的积为2)(nT s ．第3课等差数列与等比数列【考点指津】综合运用等差数列、等比数列知识，提高运算能力、逻辑推理能力和分析问题解决问题能力，形成较为完整的知识网络．【知识在线】 1．数列{}na 中，a 15＝10,a 45＝90，若{a n }是等差数列，则a 60＝；若{a n }是等比数列，则a 60＝． 2．等差数列{}na 的公差d ≠0，若a 1，a 3,a 9成等比数列，则1042931a a a a a a ++++的值为（ D ）A. 107B. 710C.1316D.16133．已知a ，b ，a ＋b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列，且 0＜ log m (ab)＜1 ，则m 的取值范围是（ A ） A. m ＞8 B. m ＞1 C. 1＜m ＜8 D.m ＞8或0＜m ＜1 4．公差不为0 的等差数列{}na 和递增的等比数列{}nb ．已知a 1＝b 1＝1，3a ＝3b ，7a ＝5b ，若m a ＝9b ，则m ＝．315．公差不为零的等差数列的第4，7，16项恰是某等比数列的第4，6，8项，求该等比数列的公比．提示：可设等差数列的首项与公差，并将首项用公差来表示，进而求公比．也可设等比数列的公比为q ，等差数列公差为d ，第4项为a ，从而⎪⎩⎪⎨⎧=-=-da aq daq aq 39224两式相除，得q 2=3，q=3±．【知识在线】1．130, ± 270 2．D 提示：有a 1、a 3、a 9成等比数列，可知a 1=d ． 3. A 提示：先解方程组，可得a=2，b=4． 4．31提示：依据3a =3b , 7a =5b 求得公差d=21，公比q= 2 ，再解方程m a =9b ，求m ．【讲练平台】例1 有四个正数，前三个数成等差数列，其和为48，后三个数成等比数列，其最后一个数为25，求此四个数．分析四个数中，已知第四个数，而前三个数成等差数列，可设成只含两个基本量a 、d 的对称形式，结合其和为48及后个三数成等比数列，求出a 、d ．解设前三数分别为a －d ，a ，a ＋d （d 为公差），由题知，前三数和为48，即（a －d ）＋a ＋（a ＋d ）＝48．解得 a ＝16．又后三个数成等比数列，即16，16＋d ，25成等比数列，所以（16＋d ）2＝16×25解之，得 d ＝4，或d ＝－36．因四个数均为正数，故d ＝－36应舍去，所以所求四数依次是12，16，20，25．点评若已知等差数列的三数之和或四数之和，可分别设a －d ，a ，a ＋d 与a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ；若已知成等比数列的三数之积或四数之积，可分别设为q a,a,aq 与33,,,aq aq q a q a ，类似这样的假设，有利于减少运算量．变题四个数，前三数成等比数列，其和为19；后三数成等差数列，其和为12，求此四数．答：所求四数为9，6，4，2或25，－10，4，18．例2 设{}na 和{}nb 分别是等差数列和等比数列，且1a ＝1b ＞0，2a ＝2b ＞ 0 ,若a 1≠a 2，试比较{}n a 和{}n b 的大小（n ∈N＋,n ＞2）．分析：要比较{}na 与{}nb 的大小，一般考察其差的正负，但因既有等差又有等比,a n －b n 的表达式将含有1a 、d 、q 、n 四个量，不便判断，为此，进步用条件a 2＝b 2减少一个基本量．解：设{}na 的公差为d ，{}nb 的公比为q ，显然，q ＞0．∵2a ＝2b ＞ 0，∴1a ＋d ＝1a q ，即1a （q －1）＝d ．∴n a －n b ＝1a ＋（n －1）d －1a 1-n q ＝1a ＋1a （n －1）（q －1）－1a 1-n q ． ∵1a ≠2a ，∴q ＝12b b ＝12a a≠1．若q ＞1,则n a －n b ＝1a （1－q ）[ qq n ---111－（n －1）]＝1a (1－q)[(1＋q ＋2q ＋…＋2-n q )－(n －1)]． ∵1＋q ＋2q ＋…＋2-n q ＞n －1，1－q ＜0，∴n a ＜n b ．若0＜q ＜1，则 1＋q ＋2q ＋…＋2-n q ＜n －1，1－q ＞0 ，n a －n b ＜0，亦有n a ＜n b ．综上所述，n ∈N,且n ＞2时，n a ＜n b ．点评：本题采纳作差比较法，总体思路比较自然，但在实施过程中，等比数列求和公式的逆向变形才是成功的关键．例3 设n s 是等差数列{n a }前n 项的和．已知 313s 与414s 的等比中项为515s ,313s 与414s 的等差中项为1，求等差数列{n a }的通项公式．分析等比中项、等差中项两部分条件可转化为关于首项1a 和公差为d 的两个等式，求出1a 、d,即可写出通项公式．解设等差数列n a 的首相为1a ，公差为d ，由题意知234534111(),34511 2.34s s s s s ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 将3s ＝d a 331+,d a s 6414+=,d a s 10515+=代入上式并化简，得2350,52 2.2ad d a d ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解之，得0,1;d a =⎧⎨=⎩或12,54.d a ⎧=-⎪⎨⎪=⎩故n a ＝1，或n a ＝n n 512532)1(5124-=--．经验证n a ＝1时，5s ＝5,n a ＝n 512532-时，5s ＝－4均适合题意．故所求等差数列的通项公式为n a ＝1，或n a ＝n 512532-．点评等差中项、等比中项是两个非常重要的概念，复习目标应达到灵活运用层次．本题考虑到等比数列各项均不为零，故需验证5s 是否为0，而d ＝0这一特殊情况不能随意舍去．例*4 设数列{n a }的首项1a ＝1，前n 项和n s 满足关系式t s t ts n n 3)32(31=+--(t ＞0,n ∈ N,n ≥2)．（1）求证数列{n a }是等比数列；（2）设数列{n a }的公比为)(t f ，作数列{n b }，使11=b ，)1(1-=n n b f b ，(n ∈ N,n≥2)，求b n ．分析由已知等式作递推变换，转化为关于1+n a 与n a 的等式，在此基础上分析1-n a 与n a 的比值，证得（1）的结论后，进一步求)(t f ，再分析数列{n b }的特征，并求其通项公式．（1）证明：由11a s =＝1，22121a a a s +=+=，t t a t 31)32()1(32=⋅+-+，得t t a 3322+=，于是t t a a 33212+= ． ……①又t s t ts n n 3)32(31=+--，t s t ts n n 3)32(321=+---（n ＝3,4，……），两式相减，得0))(32()(3211=-+-----n n n n s s t s s t ，即)0(0)32(31>=+--t a t ta n n ．于是，得tt a a n n 3321+=-（n ＝3,4……）． ……② 综合①②，得{}n a 是首项为1，公比为tt 332+的等比数列．（2）解由（1），得321332)(+=+=t t t t f ，32)1(11+==--n n n b b f b即321=--n n b b ．所以数列{}n b 是首项为1，公差为32的等差数列，于是31232)1(1+=⋅-+=n n b n ．点评要判断一个数列是否是等比数列，关键要看通项公式，若是已知求和公式，在求通项公式时一方面可用)2(1≥=--n a s s n n n ，另一方面要特别注意1a 是否符合要求．【知能集成】等差数列与等比数列的基础知识有机融合是高考的热点．本课数例说明，求解综合题，首先要善于从宏观上整体上把握问题，能透过给定信息的表象，揭示问题的本质，然后，在微观上要明确解题方向，化难为易，化繁为简，注意解题的严谨．【训练反馈】1．若正数c b a ,,成等比数列，z y x ,,成等差数列，则c y x b x z a z y lg )(lg )(lg )(-+-+-的值为（ A ）A.0B.1C.2D.－1 2．已知b x a ,,和c y b ,,成等差数列，而c b a ,, 成等比数列，且0≠xy ，则yc x a +的值等于（ D ） A.1 B.2 C.3 D.43．z y x lg ,lg ,lg 成等差数列是z y x ,,成等比数列的（ A ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 4．若正项等比数列{}n a 的公比1≠q ，且653,,a a a 成等差数列，则6453a a a a ++ 等于（ A ） A ．215- B ．215+ C ．21D ．215± 5．已知+∈R b a ,，A 是a 、b 的等差中项，G 是的a 、b 的等比中项，则（ C ） A ．AG ab ≤ B ．AG ab ≥ C ．AG ab ≤ D ．AG ab >6．三个不同的实数c b a ,,成等差数列，且b c a ,,成等比数列，则c b a ,,＝． 4∶1∶(－2)7．已知A 与B 的等差中项为8π，A tan 与1的等差中项m ，B tan 与1的等差中项为n ，则m 、n 的等比中项为．2+8．已知数列1,1,2,……，它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对各项相加得到的，则该数列前10项的和为．978 9．若数列{}n a 是等差数列，若数列{n b }满足， n b ＝na a a n+++Λ21(*n n ∈),则{n b }也为等差数列．类比上述性质，相应地，若数列{n c }是等比数列，且n c ＞0(*n n ∈)则有时，数列{n d }也为等比数列．d n =10．在7个数组成的数列中，奇数项的数组成等差数列，偶数项的数组成等比数列，首末两项与中间项的和等于27，奇数项的和减去偶数项的积等于42，试求中间项的值．11．数列{}n a 是等差数列，公差0≠d ，{}n a 中的部分项组成的数列1k a ，2k a ，…，n k a ，…恰为等比数列，其中11=k ，52=k ，173=k ．（1）求k n ；（2）证明：1321--=+++n k k k n n Λ12．已知函数x x f a log )(=（1,0≠>a a ），若数列2，)(1a f ，)(2a f ，…)(n a f ，42+n （n ＞0,且n ∈N ）成等差数列．（1）求等差数列的公差d 的值．（2）求数列{}n a 的通项n a 及前n 项和n s ．（3）令n b ＝n a f(n a )，且a ＞1，试比较n b 与1-n b 的大小．【训练反馈】1．A 提示：设公差为d ． 2. D 3. A 4. A 5. C 6. 4:1:(－2) 7.22±8. 978 .9．n n n c c c c d Λ321= 10．提示：设7个数依次为x －3d ，qy，x －d ，y ，x+d ，yq ，x+3d ，列方程组，其中d,q 可以“设而不求”．答：中间项y=2 11．提示：由1a ，5a ，17a 成等比数列得1a =2d ，q=3．分别依据等差数列通项公式与等比数列通项公式，写出n k a ，比较后得k n =1321-⋅-n .第（2）问实质是求{n k }前n 项和，可转化为一个等比数列前n 项和与n 的差． 12．提示：（1）由2n+4是等差数列的第n+2项，可求公差为2．（2）由f(n a )为等差数列的第n+1项，求得n a =22+n a (a>0且a ≠1)，进而求得2241)1(aa a s n n --=．（3）nb =(2n+2) 22+n a ，n n b b n n 11+=- ， 12>a , 1->n n b b ．第4课数列的通项公式与数列求和【考点指津】1．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。

苏教版数学高二苏教版必修5学案第2章数列

题型一方程的思想解数列问题在等比数列和等差数列中，通项公式a n 和前n 项和公式S n 共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q (或d )，S n ，其中首项a 1和公比q (或公差d )为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a 1，a n ，n ，q (或d )，S n 的方程组，通过方程的思想解出需要的量．例1 设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列． (1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . 解(1)由已知得⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q，a 3＝2q ，又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q ＞1，∴q ＝2，∴a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1. (2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，由(1)得a 3n ＋1＝23n ， ∴b n ＝ln 23n ＝3n ln 2.又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝3n (n ＋1)2·ln 2.故T n ＝3n (n ＋1)2ln 2.跟踪训练1 记等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，设S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，求S n .解设数列{}a n 的公差为d ，依题设有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1(a 3＋1)＝a 22，a 1＋a 2＋a 3＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＋2a 1d －d 2＋2a 1＝0，a 1＋d ＝4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－4.因此S n ＝12n (3n －1)或S n ＝2n (5－n )．题型二转化与化归思想求数列通项由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出．例2 已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1 (n ≥2且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．(3)求通项公式a n .解 (1)∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13， a 3＝2a 2＋23－1＝33.(2)假设存在实数λ，使得数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋λ2n 为等差数列．设b n ＝a n ＋λ2n ，由{b n }为等差数列，则有2b 2＝b 1＋b 3.∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23，13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8. 解得λ＝－1.此时，b n ＋1－b n ＝a n ＋1－12n ＋1－a n －12n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )＋1] ＝12n ＋1[(2n ＋1－1)＋1] ＝1.综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋λ2n 为首项是2、公差是1的等差数列．(3)由(2)知，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n －12n 为首项是2，公差为1的等差数列．∴a n －12n ＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，∴a n ＝(n ＋1)2n ＋1.跟踪训练2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列． (1)解 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)， ∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2；当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，∴a 3＝8. (2)证明 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2 ＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2 ＝na n －S n ＋2S n －1＋2. ∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2， ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)．∵S 1＋2＝4≠0，∴S n －1＋2≠0， ∴S n ＋2S n －1＋2＝2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．题型三函数思想求解数列问题数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围，最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的思想指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集，这一特殊性对问题结果可能造成影响．例3 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1n (a n ＋3) (n ∈N *)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在t ，使得对任意的n 均有S n >t36总成立？若存在，求出最大的整数t ；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2，整理得2a 1d ＝d 2.∵d >0，∴d ＝2.∵a 1＝1.∴a n ＝2n －1 (n ∈N *)．(2)b n ＝1n (a n ＋3)＝12n (n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 2(n ＋1). 假设存在整数t 满足S n >t36总成立，又S n ＋1－S n ＝n ＋12(n ＋2)－n 2(n ＋1)＝12(n ＋2)(n ＋1)>0，∴数列{S n }是单调递增的．∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36<14，即t <9.又∵t ∈Z ，∴适合条件的t 的最大值为8.跟踪训练3 已知函数f (x )＝2x ＋33x ，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n ，n ∈N *， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1，求T n .解 (1)∵a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n ＝233n na a +＝2＋3a n 3＝a n ＋23， ∴{a n }是以23为公差的等差数列．又a 1＝1，∴a n ＝23n ＋13.(2)T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1 ＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1)＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝－43·n ⎝⎛⎭⎫53＋4n 3＋132＝－49(2n 2＋3n )．题型四数列与其他知识的交汇问题数列是高中代数的重点内容之一，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识有较多交汇处．它包涵知识点多、思想丰富、综合性强，已成为近年高考的一大亮点．例4 已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m的取值范围．解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8.∴a 2＋a 4＝20.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32.又∵{a n }单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2.∴a n ＝2n .(2)b n ＝a n log 12a n ＝2n log 122n ＝－n ·2n .∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n . ① ∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，②由①－②得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2. 由S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0，即2n ＋1－n ·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1＋m ·2n ＋1<0对任意正整数n 恒成立，∴m ·2n ＋1<2－2n ＋1.即对任意正数n ，m <12n －1恒成立，且12n －1>－1，∴m ≤－1，即m 的取值范围是(－∞，－1]．跟踪训练4 设函数f (x )＝(x －1)2＋n (x ∈[－1,3]，n ∈N *)的最小值为a n ，最大值为b n ，记c n ＝b 2n －a n ·b n ，则数列{c n }的通项公式c n ＝________. 答案 4n ＋16解析 ∵f (x )＝(x －1)2＋n (x ∈[－1,3])，∴a n ＝n ，b n ＝n ＋4，∴c n ＝b 2n －a n ·b n ＝b n (b n －a n )＝4(n ＋4)＝4n ＋16. [呈重点、现规律]1．等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题．2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．。

高中数学 2.1《数列(1)》教案(苏教版必修5)

高中数学 2.1《数列（1）》教案（苏教版必修5）【三维目标】：一、知识与技能1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)，了解数列是一种特殊函数；认识数列是反映自然规律的基本数学模型；2.了解数列的分类，理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式；3. 培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.二、过程与方法1.通过对具体例子的观察分析得出数列的概念，培养学生由特殊到一般的归纳能力；2.通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．3.通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；三、情感、态度与价值观1.体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。

2.在参与问题讨论并获得解决中，培养观察、归纳的思维品质，养成自主探索的学习习惯；并通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

【教学重点与难点】：重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式【学法与教学用具】：1. 学法：学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式。

2. 教学方法：启发引导式3. 教学用具：多媒体、实物投影仪、尺等.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1. 观察下列例子中的6列数有什么特点：（1）传说中棋盘上的麦粒数按放置的先后排成一列数：1，2，22，23，…，263（2）某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为1，2，4，8，16，…（3）π精确到0.01，0.001，0.0001…的不足近似值排成一列数：3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592…（4）人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出它每隔83年出现一次，则从出现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，…（5）某剧场有10排座位，第一排有20个座位，后一排都比前一排多2个，则各排的座位数依次为：20，22，24，26，…，38（6）从1984年到今年，我国体育健儿共参加了6次奥运会，获得的金牌数依次排成一列数：15，5，16，16，28，32（7）＂一尺之棰，日取其半，万世不竭＂如果将＂一尺之棰＂视为1份，那么每日剩下的部分依次为1，12，14，18，116，．．．这些数字能否调换顺序？顺序变了之后所表达的意思变化了吗？思考问题，并理解顺序变化后对这列数字的影响．（组织学生观察这六组数据后，启发学生概括其特点，教师总结并给出数列确切定义）注意：由古印度关于国际象棋的传说、生物学中的细胞分裂问题及实际生活中的某些例子导入课题，既激活了课堂气氛，又让学生体会到数列在实际生活中有着广泛的应用，提高学生学习的兴趣。

高中数学第2章数列2_1数列学案苏教版必修5

高中数学 第2章 数列(1)复习导学案 苏教版必修5

高中数学 第二章 数列 2.1 数列(一)教案 苏教版必修5(2021年整理)

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