【青岛版】八年级数学下册专题讲练《巧用三角形中位线试题》含答案
【青岛版】八年级数学下册专题讲练：巧用中点解决问题试题(含答案)
巧用中点解决问题一、中位线定理1. 三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边,且等于第而三角形中位线是连接三角形二、直角三角形斜边中线如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
如图,在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,D 是AB 的中点,求证2AB CD。
利用矩形性质进行证明。
总结：（1）当图形中有一个中点的时候考虑倍长中线,当图形中有两个中点的时候考虑连接后用中位线；（2）计算中经常使用直角三角形斜边中线等于斜边一半,特别要注意等腰直角三角形。
例题1 如图,M 是△ABC 的边BC 的中点,AN 平分∠BAC ,且BN⊥AN ,垂足为N,且AB ＝6,BC ＝10,MN ＝1.5,则△ABC 的周长是（ ） A. 28 B. 32 C. 18D. 25解析：延长线段BN 交AC 于E,从而构造出全等三角形,（△ABN≌△AEN）,进而证明MN 是中位线,从而求出CE 的长。
答案：延长线段BN 交AC 于E 。
∵AN 平分∠BAC ,∴∠BAN＝∠EAN ,AN ＝AN,∠ANB＝∠ANE＝90°,∴△ABN≌△AEN ,∴A B ＝AE ＝6,BN ＝EN,又∵M 是△ABC 的边BC 的中点,∴CE＝2MN ＝2×1.5＝3,∴△ABC 的周长是AB ＋BC ＋AC ＝6＋10＋6＋3＝25,故选D 。
例题2 如图,以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形,再以所得四边形四边中点为顶点作四边形,…依次作下去,图中所作的第三个四边形的周长为 ；所作的第n 个四边形的周长为 。
解析：根据正方形的性质以及三角形中位线的定理,求出第二个,第三个四边形的周长,从而发现规律,即可求出第n 个四边形的周长。
答案：根据三角形中位线定理得,第二个四边形的边长为22)21()21( ＝21,周长为22,第三个四边形的周长为4×2(2＝2,第n 个四边形的周长为4·（22）n −1,故答案为2,4·（22）n −1。
三角形的中位线练习题含答案
.三角形的中位线练习题三角形中位线定义：.A符号语言：在△ ABC 中， D 、E 分别是 AB 、AC 的中点 , E则：线段 DE 是△ ABC 的__D__，BC三不同点 ：①三角形中位线的两个端点都是三角形边的中点。
②三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点是三角形一个顶点。
相同点： 都是一条线段，都有三条。
三角形中位线定理：.ADEBC符号语言表述： ∵ DE 是△ ABC 的中位线（或 AD=BD,AE=CE) ∴ DE// 12 BC练习1．连结三角形 ___________的线段叫做三角形的中位线． 2．三角形的中位线 ______于第三边，并且等于 _______． 3．一个三角形的中位线有_________条．4. 如图△ ABC 中， D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中点，则线段 CD 是△ ABC 的＿＿＿， 线段 DE 是△ ABC ＿＿＿＿＿＿＿5、如图， D 、 E 、 F 分别是△ ABC 各边的中点（ 1）如果 EF ＝ 4cm ，那么 BC ＝＿＿ cm 如果 AB ＝ 10cm ，那么 DF ＝＿＿＿ cm（ 2）中线 AD 与中位线 EF 的关系是＿＿＿6．如图 1 所示， EF 是△ ABC 的中位线，若 BC=8cm ，则 EF=_______cm ．(1) (2) (3) (4)7．三角形的三边长分别是 3cm ， 5cm ， 6cm ，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_________cm ．8．在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°， AC=?5， ?BC=?12， ?则连结两条直角边中点的线段长为 _______． 9．若三角形的三条中位线长分别为2cm ， 3cm ，4cm ，则原三角形的周长为（ ）A ． 4.5cm B． 18cmC．9cmD． 36cmA ，B 间的距离，但绳子不够长，一位.同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达 A ，B 的点 C ，找到 AC ，BC 的中点 D ，E ，并且测出 DE的长为 10m ，则 A ， B 间的距离为（ ）A ． 15mB． 25mC． 30mD． 20m11．已知△ ABC 的周长为 1，连结△ ABC 的三边中点构成第二个三角形，?再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010 个三角形的周长是（ ）A 、1 、 1C 、1D 、1B20082009200820092212．如图 3 所示，已知四边形 ABCD ， R ， P 分别是 DC ， BC 上的点， E ，F 分别是 AP ， RP 的中点，当点 P 在 BC上从点 B 向点 C 移动而点 R 不动时， 那么下列结论成立的是（ ）A ．线段 EF 的长逐渐增大B ．线段 EF 的长逐渐减少C ．线段 EF 的长不变D．线段 EF 的长不能确定13．如图 4, 在△ ABC 中， E ，D ， F 分别是 AB ， BC ， CA 的中点， AB=6， AC=4，则四边形 AEDF?的周长是（ ）A ．10B ．20C ．30D ．4014．如图所示， □ ABCD 的对角线 AC ，BD 相交于点 O ， AE=EB ，求证： OE ∥BC ．15.已知矩形 ABCD 中， AB=4cm ， AD =10cm ，点 P 在边 BC 上移动，点E 、F 、G 、 H分别是 AB 、 AP 、 DP 、 DC 的中点 . 求证： EF+GH =5cm ；16．如图所示，在△ ABC 中，点 D 在 BC 上且 CD=CA ，CF 平分∠ ACB ，AE=EB ，求证： EF= 1BD ．217．如图所示，已知在 □ABCD 中， E ，F 分别是 AD ， BC 的中点，求证：MN ∥BC ．;..18．已知：如图，四边形ABCD 中， E、F、 G、 H 分别是 AB 、 BC 、 CD、DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．D19.如图，点 E， F， G， H 分别是 CD， BC， AB ， DA 的中点。
三角形的中位线练习题(含答案)
三角形的中位线练习题三角形中位线定义：.符号语言：在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点,则：线段DE是△ABC的__ __，三不同点：①三角形中位线的两个端点都是三角形边的中点。
②三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点是三角形一个顶点。
相同点：都是一条线段，都有三条。
符号语言表述：∵DE是△ABC的中位线（或AD=BD,AE=CE) ∴DE//21BC练习1．连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线．2．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______．3．一个三角形的中位线有_________条．4.如图△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则线段CD是△ABC的＿＿＿，线段DE是△ABC＿＿＿＿＿＿＿5、如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点（1）如果EF＝4cm，那么BC＝＿＿cm如果AB＝10cm，那么DF＝＿＿＿cm（2）中线AD与中位线EF的关系是＿＿＿6．如图1所示，EF是△ABC的中位线，若BC=8cm，则EF=_______cm．(1) (2) (3) (4)7．三角形的三边长分别是3cm，5cm，6cm，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_________cm．8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=•5，•BC=•12，•则连结两条直角边中点的线段长为_______．9．若三角形的三条中位线长分别为2cm，3cm，4cm，则原三角形的周长为（）A．4.5cm B．18cm C．9cm D．36cm10．如图2所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位B同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A ，B 的点C ，找到AC ，BC 的中点D ，E ，并且测出DE 的长为10m ，则A ，B 间的距离为（ ）A ．15mB ．25mC ．30mD ．20m11．已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形，•再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（ ） A 、20081 B 、20091 C 、220081 D 、22009112．如图3所示，已知四边形ABCD ，R ，P 分别是DC ，BC 上的点，E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在BC 上从点B 向点C 移动而点R 不动时， 那么下列结论成立的是（ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减少 C ．线段EF 的长不变 D ．线段EF 的长不能确定13．如图4,在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF•的周长是（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．4014．如图所示，□ ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE=EB ，求证：OE ∥BC ．15.已知矩形ABCD 中，AB =4cm ，AD =10cm ，点P 在边BC 上移动，点E 、F 、G 、H分别是AB 、AP 、DP 、DC 的中点.求证：EF +GH =5cm ；16．如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF=12BD ．17．如图所示，已知在□ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，求证：MN ∥BC ．BG A E FH D C 图518．已知：如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形．19.如图，点E ，F ，G ，H 分别是CD ，BC ，AB ，DA 的中点。
八年级数学下册三角形的中位线专题训练试题
卜人入州八九几市潮王学校三角形的中位线 例题精讲例1如图1，D 、E 、F 分别是△ABC 三边的中点．G 是AE 的中点，BE 与DF 、DG 分别交于P 、QPQ:BE 的值.例2如图2，在△ABC 中，AC>AB ，M 为BC 的中点．AD 是∠BAC 的平分线，假设CF ⊥AD 交AD 的延长线于F .求证：()12MF AC AB =-. 例3如图3，在△ABC 中，AD 是△BAC 的角平分线，M 是BC 的中点，ME ⊥AD 交AC 的延长线于E ．且稳固根底练1.△ABC 周长为16，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，那么△ADE 的周长等于()A.1B.2C.4D.82.在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，P 是BC 上任意一点，那么△PDE 面积是△ABC '面积的()A.12B.13C.14D.18 3.如图4，在四边形ABCD 中，E 、F 分别为AC 、BD 的中点，那么EF 与AB +CD 的关系是()A.2EF AB CD =+B.2EF AB CD >+C.2EF AB CD <+D.不确定4.如图5，AB ∥CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，且AB=a ,CD=b ，那么EF 的长为.图6图7图8图9图105.如图6，四边形ABCD 中，AD=BC ，F 、E 、G 分别是AB 、CD 、AC 的中点，假设∠DAC=200，∠ACB=600，那么∠FEG=. 6.(中考题)如图7，△ABC 的周长为1，连接△ABC 三边的中点构成第二个三角，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2021个三角形的周长为.7.三角形三条中位线的比为3:5:6，三角形的周长是112cm ，求三条中位线长.8.如图8，△ABC 中，AD 是高，BE 是中线，∠EBC=300,求证：AD=BE . 9.如图9，在△ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使BD=AB ，E 为AB 中点，连接CE 、CD .求证：CD=2EC .10.如图10，AD 是△ABC 的外角平分线，CD ⊥AD 于D ，E 是BC 的中点.求证：(1)DE ∥AB ;(2)()12DE AB AC =+.1.如图11，M 、P 分别为△ABC 的AB 、AC 上的点，且AM=BM ，AP=2CP ，BP 与CM 相交于N ，PN=1，那么PB 的长为()A.2B.3C.4D.52.如图12，△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点，AB=10，那么MD 的长为()A.10B.8C.6D.53.如图13，△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，P 为不同于B 、E 、C 的BC 上的任意一点，△DPHFH ，那么EP 与FH 的大小关系是()A.E P>FHB.EP=FHC.EP<FH4.如图14，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD ，DE ∥AC ，交AB 于E ,假设AB=5，那么DE 的长为.5.如图15，△ABC 中，AB=4，AC=7，M 为BC 的中点，AD 平分∠BAC ，过M 作MF ∥AD ，交AC 于F ，那么FC 的长等于.图11图12图13图14图156.在△ABC 中，∠B=600，CD 、AE 分别为AB 、BC 边上的高，DE=5，那么AC 的长为. 7.如图16，在△ABC 中，D 、E 是AB 、AC 上的点，且BD=CE ，M 、N 分别是BE 、CD 的中点，直线MN 分别交AB 、AC 于P 、Q .求证：AP=AQ8.如图17，BE 、CF 是△ABC 的角平分线，AN ⊥BE 于N ，AM ⊥CF 于M .求证：MN ∥BC .9.如图18，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD=AB ，CM ⊥AD 于M .求证：AB+AC=2AM10.如图19，四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AB=CD.BA、CD的延长线交HG的延长线于E、F.求证：∠BEH=∠CFH.图16图17图18图19图201.如图20，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，过BC的中点M作ME⊥AD，交BA的延长线于E，交AD的延长线于F.求证：12BE BD.2.如图21，在△ABC中，AB<AC，P为AC上的点，CP=AB，K为AP的中点，M为BC的中点，MK的延长线交BA的长线于N.求证：AN=AK.3.如图22，分别以△ABC的边AC、BC为腰，A、B为直角顶点，作等腰直角△ACE和等腰直角△BCD，M为ED的中点.求证：AM⊥BM.4.如图23，点O是四边形ABCD内一点，∠AOB=∠COD=1200，AO=BO，CO=DO，E、F、G分别为AB、CD、BC的中点.求证：△EFG为等边三角形.5.如图24，△ABC中，M是AB的中点，P是AC的中点，D是MB的中点，N是CD的中点，Q是MN的中点，直线PQ交MB于K.求证：K是DB的中点.6.如图25，P为△ABC内一点，∠PAC=∠PBC，PM⊥AC于M，PN⊥BC于是AB的中点.求证：DM=DN图21图22图23图24图257.如图26，AP是△ABC的角平分线，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE.又G、H分别为BC、DE的中点.求证：HG∥AP.8.如图27，△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=900，如图(a)，连接DE，设M为DE的中点.(1)求证：MB=MC;(2)设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图(b)的位置，试问MB=MC是否成立并证明其结论.9.△ABC面积为S，作直线l∥BC，交AB于D，交AC于E，假设△BED的积为K.求证：S≥4K.。
青岛版(新)数学八年级下册 6.4三角形的中位线定理
青岛版（新）数学八年级下册 6.4 三角形的中位线定理引言三角形是初中数学中重要的图形之一，研究三角形的性质和定理有助于我们理解和解决与三角形相关的问题。
在八年级下册数学教材中，我们学习了三角形的中位线定理。
本文将详细介绍这个定理的含义、证明以及应用。
三角形的中位线定理在讨论中位线定理之前，我们先了解一下什么是中位线。
对于任意三角形ABC，连接顶点A与边BC的中点D，连接顶点B与边AC的中点E，连接顶点C与边AB的中点F。
则线段DE称为三角形ABC的一条中位线。
定理1：一个三角形的三条中位线相交于一个点，且这个点到三个顶点的距离相等，且为三条中位线的长度的二分之一。
下面通过证明来理解这个定理。
定理的证明设AD为三角形ABC的中位线，交与BC于D，我们需要证明BD：DC = 1:1，并且D为中位线的中点。
步骤1：证明BD=DC由中位线的定义可知，AD是BC的中点，即AD = DC。
同理，可以得到BD = AD。
由此可知BD = DC，即BD：DC = 1:1。
步骤2：证明D为中位线的中点为了证明D是中位线的中点，我们需要证明D到A的距离等于中位线DE的长度的一半。
根据平行线的性质，我们可以得到两个平行线之间的距离是一定的。
因此，我们可以得到直线BC与直线EF平行。
由于DE是三角形ABC的中位线，因此DE与BC平行。
根据平行线的性质，DE 与BC之间的距离等于AE与BC之间的距离。
又因为AE是BC的中点，所以AE与BC的距离等于半个BC的长度。
综上所述，D到A的距离等于DE的长度的一半。
同理，可以得到D到B、D到C的距离也等于DE的长度的一半。
这样，我们可以得出结论：三角形ABC的三条中位线相交于一个点D，且这个点D到三个顶点的距离相等，且为三条中位线的长度的二分之一。
三角形中位线的应用中位线定理不仅仅是一个重要的三角形性质，还可以应用于解决与三角形相关的问题。
应用1：确定三角形重心根据中位线定理，三角形的三条中位线交于一个点，这个点被称为三角形的重心。
三角形中位线练习题初二
三角形中位线练习题初二三角形中位线是指连接三角形的一个顶点和对边中点所得到的线段。
在初二数学中，我们学习了关于三角形中位线的性质以及相关的练习题。
接下来，我们将通过几个练习题来加深对三角形中位线的理解。
练习题一:已知三角形ABC，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点。
若DE=5cm，EF=8cm，FD=7cm，求三角形ABC的周长。
解析：首先，我们可以根据中位线的定义得出一个结论：三角形的三条中位线相互交于同一点，并且交点到各顶点的距离为中位线长度的二分之一。
根据这一结论，我们可以得出以下等式：DE = EF = FD = (BC + AC + AB) / 2代入已知条件，得到：5 + 8 + 7 = (BC + AC + AB) / 2解方程，得到：20 = BC + AC + AB即三角形ABC的周长为20cm。
练习题二：已知三角形ABC的边长分别为AB = 10cm，BC = 12cm，AC = 8cm，求三角形DEF的周长，其中D、E、F分别是BC、AC、AB的中点。
解析：根据练习题一的结论，我们知道三角形DEF的周长等于三角形ABC的周长的一半。
所以，三角形DEF的周长为10 + 12 + 8 = 30cm。
练习题三：已知三角形ABC的边长分别为AB = 12cm，BC = 9cm，AC = 15cm，O为三角形ABC的重心，求DO的长度。
解析：重心是指三角形的三条中位线相交的点。
根据中位线的性质，重心到各顶点的距离为中位线长度的三分之一。
所以，DO = 12 / 3 = 4cm。
练习题四：在三角形ABC中，AD是BC的中线，且AD = 4cm。
已知AC =12cm，求BD的长度。
解析：中位线的性质告诉我们，中位线等于对边的一半。
所以，BD = BC / 2。
根据题意，可得AC = AD + DC。
代入已知条件，得到12 = 4 + DC。
解方程，得到DC = 8cm。
由BD = BC / 2，又有BC = BD + DC。
八年级数学下册 第6章 平行四边形 6.4 三角形的中位线定理同步训练题 (新版)青岛版
第6章6.4三角形的中位线定理一．选择题（共10小题）1．（2015•魏县二模）如图，△ABC中，D，E分别上边AB，AC的中点，若DE=3，则BC=（）A．B．9 C．6 D．5（1题图）（2题图）（3题图）（4题图）2．（2015•山西）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（）A．8 B．10 C．12 D．14 3．（2015•怀柔区二模）如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为10m，则A，B间的距离为（）A．15m B．25m C．30m D．20m 4．（2015•南漳县模拟）如图，▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3cm，则AB的长为（）A．12cm B．9cm C．6cm D．3cm 5．（2015•莆田模拟）如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=8，AO=6，则四边形DEFG的周长为（）A．12 B．14 C．16 D．18（5题图）（6题图）（7题图）（8题图）6．（2015春•宁城县期末）如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为10cm，连接各边中点E，F，G，H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（）A．20cm B．20cm C．20cm D．25cm7．（2015春•抚州期末）如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，点D，E，F分别是△ABC 三边的中点，则△DEF的周长为（）A．9 B．10 C．11 D．128．（2015春•山亭区期末）如图，已知△ABC的周长是1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形…依此类推，则第2015个三角形的周长为（）A．B．C．D．9．（2014•泰安）如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为（）A．6 B．7 C．8 D．10（9题图）（10题图）（11题图）（12题图）10．（2014•邢台二模）如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，A1B1C1D1是四边形ABCD的中点四边形，如果AC=8，BD=10，那么四边形A1B1C1D1的面积为（）A．20 B．40 C．36 D．10二．填空题（共10小题）11．（2015•河池）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若BC=10，则DE= ．12．（2015•泰安）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长为．13．（2015•盐城）如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、DF．若△ABC 的周长为10，则△DEF的周长为．（13题图）（14题图）（15题图）（16题图）14．（2015•衡阳）如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A、B两点的点O处，再分别取OA、OB的中点M、N，量得MN=20m，则池塘的宽度AB为m．15．（2015•龙岩校级质检）如图，在△ABC中，∠ACB=60°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在线段DE上，连结AF，CF．若CF恰好平分∠ACB，则∠FAC的度数为．16．（2015•昌平区二模）已知：如图，在△A BC中，点D为BC上一点，CA=CD，CF平分∠ACB，交AD于点F，点E为AB的中点．若EF=2，则BD= ．17．（2015春•南长区期末）如图，在△ABC中，点D在BC上，BD=AB，BM⊥AD于点M，N是AC的中点，连接MN．若AB=5，BC=8，则MN= ．18．（2015春•薛城区期末）如图，四边形ABCD中，AD=BC，F、E、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC=20°，∠ACB=60°，则∠FEG=．（17题图）（18题图）（19题图）（20题图）19．（2015春•昌乐县期末）如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD平分∠BAC，且BD⊥AD 于点D，延长BD交AC于点N．若AB=12，AC=18，则MD的长为．20．（2015春•胶州市期末）如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是DE上一点，且AF⊥FC，若BC=9，DF=1，则AC的长为．三．解答题（共5小题）21．（2014秋•龙口市期末）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，点O是△ABC内部任意一点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．求证：四边形DGFE是平行四边形．22．（2015•邵阳）如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．（1）求证：DE=CF；（2）求EF的长．23．（2015春•临清市期中）已知如图：在△ABC中，AB、BC、CA的中点分别是E、F、G，AD 是高．求证：∠EDG=∠EFG．24．（2015春•泗阳县期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH 是边BC上的高．（1）试判断线段DE与FH之间的数量关系，并说明理由；（2）求证：∠DHF=∠DEF．25．（2015春•工业园区期中）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，求△ABC的周长．青岛版八年级数学下册第6章6.4三角形的中位线定理同步训练题参考答案一．选择题（共10小题）1．C 2．C 3．D 4．C 5．B 6．A 7．A 8．D 9．C 10．A 二．填空题（共10小题）11．5 12．20 13．5 14．40 15．60°16．4 17．18．20°19．320．7三．解答题（共5小题）21．证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE∥BC，且DE=BC，同理，GF∥BC，且GF=BC，∴DE∥GF且DE=GF，四边形DGFE是平行四边形．22．（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE BC，∵延长BC至点F，使CF=BC，∴DE FC，即DE=CF；（2）解：∵DE FC，∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC=EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，∴DC=EF=．23．证明：连接EG，∵E、F、G分别是AB、BC、CA的中点，∴EF为△ABC的中位线，EF=AC．（三角形的中位线等于第三边的一半）又∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，DG为直角△ADC斜边上的中线，∴DG=AC．（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）∴DG=EF．同理DE=FG，EG=GE，∴△EFG≌△GDE（SSS）．∴∠EDG=∠EFG．（23题图）（24题图）（25题图）24．解：（1）DE与FH相等．理由如下：∵D、E分别是AB、BC边的中点．∴ED∥AC，DE=AC，∵AH⊥BC，垂足为H，F是AC的中点，∴HF=AC，∴DE=FH．（2）∵DH=AB，AD=AB，∴AD=DH，∴∠DAH=∠DHA，同理可证：∠FAH=∠FHA，∴∠DHF=∠DAF，∵AD∥EF，D E∥AF，∴四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF=∠DAF，∴∠DHF=∠DEF．25．解：延长线段BN交AC于E．∵AN平分∠BAC，在△ABN和△AEN中，∴△ABN≌△AEN（SAS），∴AE=AB=6，BN=NE，又∵M是△ABC的边BC的中点，∴CE=2MN=2×1.5=3，∴△ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25．。
青岛版八年级数学下6.4三角形的中位线定理同步训练题含答案
青岛版八年级数学下册第6章6.4三角形的中位线定理同步训练题（含答案）一．选择题（共10小题）1．（2019•魏县二模）如图，△ABC中，D，E分别上边AB，AC的中点，若DE=3，则BC=（）A．B．9C．6D．5（1题图）（2题图）（3题图）（4题图）2．（2019•山西）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（）A．8 B．10 C．12 D．14 3．（2019•怀柔区二模）如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为10m，则A，B间的距离为（）A．15m B．25m C．30m D．20m 4．（2019•南漳县模拟）如图，▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3cm，则AB的长为（）A．12cm B．9cm C．6cm D．3cm 5．（2019•莆田模拟）如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=8，AO=6，则四边形DEFG的周长为（）A．12 B．14 C．16 D．18（5题图）（6题图）（7题图）（8题图）6．（2019春•宁城县期末）如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为10cm，连接各边中点E，F，G，H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（）A．20cm B．20cm C．20cm D．25cm7．（2019春•抚州期末）如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，点D，E，F分别是△ABC 三边的中点，则△DEF的周长为（）A．9 B．10 C．11 D．128．（2019春•山亭区期末）如图，已知△ABC的周长是1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形…依此类推，则第2019个三角形的周长为（）A．B．C．D．9．（2019•泰安）如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为（）A．6 B．7C．8D．10（9题图）（10题图）（11题图）（12题图）10．（2019•邢台二模）如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，A1B1C1D1是四边形ABCD的中点四边形，如果AC=8，BD=10，那么四边形A1B1C1D1的面积为（）A．20 B．40 C．36 D．10二．填空题（共10小题）11．（2019•河池）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若BC=10，则DE=．12．（2019•泰安）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长为．13．（2019•盐城）如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、DF．若△ABC 的周长为10，则△DEF的周长为．（13题图）（14题图）（15题图）（16题图）14．（2019•衡阳）如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A、B 两点的点O处，再分别取OA、OB的中点M、N，量得MN=20m，则池塘的宽度AB为m．15．（2019•龙岩校级质检）如图，在△ABC中，∠ACB=60°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在线段DE上，连结AF，CF．若CF恰好平分∠ACB，则∠FAC的度数为．16．（2019•昌平区二模）已知：如图，在△ABC中，点D为BC上一点，CA=CD，CF平分∠ACB，交AD于点F，点E为AB的中点．若EF=2，则BD=．17．（2019春•南长区期末）如图，在△ABC中，点D在BC上，BD=AB，BM⊥AD于点M，N是AC的中点，连接MN．若AB=5，BC=8，则MN=．18．（2019春•薛城区期末）如图，四边形ABCD中，AD=BC，F、E、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC=20°，∠ACB=60°，则∠FEG=．（17题图）（18题图）（19题图）（20题图）19．（2019春•昌乐县期末）如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于点D，延长BD交AC于点N．若AB=12，AC=18，则MD的长为．20．（2019春•胶州市期末）如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是DE上一点，且AF⊥FC，若BC=9，DF=1，则AC的长为．三．解答题（共5小题）21．（2019秋•龙口市期末）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，点O是△ABC 内部任意一点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．求证：四边形DGFE是平行四边形．22．（2019•邵阳）如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．（1）求证：DE=CF；（2）求EF的长．23．（2019春•临清市期中）已知如图：在△ABC中，AB、BC、CA的中点分别是E、F、G，AD是高．求证：∠EDG=∠EFG．24．（2019春•泗阳县期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．（1）试判断线段DE与FH之间的数量关系，并说明理由；（2）求证：∠DHF=∠DEF．25．（2019春•工业园区期中）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，求△ABC的周长．青岛版八年级数学下册第6章6.4三角形的中位线定理同步训练题参考答案一．选择题（共10小题）1．C 2．C 3．D 4．C 5．B 6．A 7．A 8．D 9．C 10．A 二．填空题（共10小题）11．5 12．20 13．5 14．40 15．60°16．4 17．18．20°19．3 20．7三．解答题（共5小题）21．证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE∥BC，且DE=BC，同理，GF∥BC，且GF=BC，∴DE∥GF且DE=GF，四边形DGFE是平行四边形．22．（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE BC，∵延长BC至点F，使CF=BC，∴DE FC，即DE=CF；（2）解：∵DE F C，∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC=EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，∴DC=EF=．23．证明：连接EG，∵E、F、G分别是AB、BC、CA的中点，∴EF为△ABC的中位线，EF=AC．（三角形的中位线等于第三边的一半）又∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，DG为直角△ADC斜边上的中线，∴DG=AC．（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）∴DG=EF．同理DE=FG，EG=GE，∴△EFG≌△GDE（SSS）．∴∠EDG=∠EFG．（23题图）（24题图）（25题图）24．解：（1）DE与FH相等．理由如下：∵D、E分别是AB、BC边的中点．∴ED∥AC，DE=AC，∵AH⊥BC，垂足为H，F是AC的中点，∴HF=AC，∴DE=FH．（2）∵DH=AB，AD=AB，∴AD=DH，∴∠DAH=∠DHA，同理可证：∠FAH=∠FHA，∴∠DHF=∠DAF，∵AD∥EF，DE∥AF，∴四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF=∠DAF，∴∠DHF=∠DEF．25．解：延长线段BN交AC于E．∵AN平分∠BAC，在△ABN和△AEN中，∴△ABN≌△AEN（SAS），∴AE=AB=6，BN=NE，又∵M是△ABC的边BC的中点，∴CE=2MN=2×1.5=3，∴△ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25．。
青岛版 八下6.4三角形的中位线同步课时训练(word版含答案)
6.4三角形的中位线同步课时训练一、单选题1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 、E 分别是AB 、BC 的中点，点F 是BD 的中点，若AB =5，则EF =（ ）A ．54B ．52C ．32D ．2 2．如图，菱形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，E 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为28，则OE 的长等于（ ）A ．3.5B ．4C ．7D ．14 3．如图，D ，E ，F 分别是,,AB AC BC 的中点，则DEF S △：S 梯形BCED 是（ ）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．2:3 4．如图，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（ ）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长不变D ．以上说法都不对5．如图，在矩形ABCD 中，AC 与BD 交点于O E ，是CD 的中点，已知5,6AB OE ==，则AC 的长为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13 6．如图，在ABC 中，点DEF 、、分别是BC AB AC 、、的中点，如果ABC 的周长为30，那么DEF 的周长是（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20 7．如图，在ABC 中，点D 在BC 上，且CD CA =，CF 平分ACB ∠，E 是AB 的中点，7BC =，4AC =，则EF 的长是（ ）A ．1.5B ．2C ．3D ．68．如图，点A ，B 的坐标分别为1,0A ，()0,1B ，点C 为坐标平面内一点，12BC =，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（ ）A 12B 14-C 12+D ．124+ 9．已知如图：为估计池塘的宽度BC ，在池塘的一侧取一点A ，再分别取AB 、AC 的中点D 、E ，测得DE 的长度为20米，则池塘的宽BC 的长为（ ）A ．30米B ．60米C ．40米D ．25米 10．如图，ABC 是等边三角形，F 、G 分别为AC 和BC 的中点，D 在线段BG 上，连接DF ，以DF 为边作等边DFE △，ED 的延长线交AB 于H ．连接EC ，则以下结论：①BF AC ⊥；②180AHD AFD ∠+∠=︒；③60BCE ∠=︒；④当D 在线段BG 上（不与G 点重合）运动时，DC FC CE =+．其中正确的结论个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题 11．如图，在四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，4AB =，2DC =．对于MN 的长，给出了四种猜测：①4MN =；②3MN =；③2MN =；④1MN =．猜测错误的是（______）。
八年级数学下册6.4三角形的中位线定理构造三角形中位线解题素材(新版)青岛版
构造三角形中位线解题三角形的中位线是三角形中的重要线段，通过添加三角形的中位线来解决几何证明题是行之有效的方法．现就构造三角形的中位线解决几何证明问题举例分析如下，以帮助同学们学习．一、构造三角形的中位线证明线段相等：例1．如图1，D 、E 、F 分别是等边△ABC 的边AB 、BC 、AC 的中点，P 为BC 上任意一点，△DPM 为等边三角形，求证：EP=FM解析：由D 、E 、F 是中点，想到连中位线DE 、DF ，这样将EP 、FM 放到△DPE 和△DMF 中，如果这两个三角形全等，则结论成立．证明：连结DF 、DE ，则DF∥BC，DE∥AC，且11,22DF BC DE AC ==，∴四边形DECF 是平行四边形． ∴∠C=∠EDF，∵△ABC、△DPM 为等边三角形，∴BC=AC，∠C=600，DP=DM ，∠PDM=600，∴DE=DF．又∵∠EDP=∠EDF -∠PDF，∠FDM=∠PDM -∠PDF，∴∠EDP=∠FDM，∴△DEP≌△DFM．∴EP=FM．规律方法总结：题中有中点，并且求线段的相等，经常通过构造三角形的中位线应用全等来证明．二、构造三角形的中位线证明线段的不等： 例2．如图2．E 、F 分别是四边形ABCD 两对角线AC 、BD 的中点，求证：1||.2EF AB CD >-解析：从结论的右边1||2AB CD -，可以想到证明 EF 大于△ABC、△DBC 中位线差的一半，为此想到构造三角形的中位线．证明：如图2，取BC 的中点G ，连结FG 、EG ，在△EFG 中有||,EF EG FG >-已知E 、F 分别为AC 、BD 的中点，∴EG=11,22AB FG CD =． ∴1||.2EF AB CD >- 规律方法总结：线段的不等关系的证明是几何证明题的一个难点，但遇到中点时可以通过构造三角形的中位来证明，既方便又快捷．另外，对于本题的结论可以改为1||.2EF AD BC >-当AB∥CD 时有结论1||.2EF AB CD =- 三、构造三角形的中位线证明线段之间的倍数关系： 例3．如图3，AD 为△ABC 的高，∠B=2∠C，M 为BC 的中点，求证：DM=12AB ．解析：由M 是BC 的中点，要证明DM=12AB ，想到 利用中位线定理构造12AB ，即取AC 的中点N ，连结 MN 、DN 只需证明MN=DM ，这可由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及∠B=2∠C 证得．证明：取AC的中点N，连结MN，DN如图2，又∵M为BC的中点，∴MN∥AB，且12MN AB，∴∠B=∠NMC．∵AD为△ABC的高，N为AC的中点，∴DN=CN，∴∠C=∠NDC，∵∠NMC=∠NDC+∠MND，∠B=2∠C，∴∠MDN=∠MND=∠C．∴MD=MN，∴M D=12 AB规律方法总结：题目中有线段的倍数并有中点，经常构造中位线解题．也经常用到直角三角形斜边的中线等于斜边的一半来证明．。
青岛版八年级下6.4三角形的中位线【含答案及解析】
青岛版八年级下6.4三角形的中位线【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1.如图，△ABC中，AB=10，AC=7，AD是角平分线，CM⊥AD于M，且N是BC的中点，则MN=_______．2.如图，BD=CD，AE=DE，延长BE交AC于F，且FC=4cm，则AF的长为_______．二、解答题3.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3 （1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．4.已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．求证：（1）BE⊥AC；（2）EG=EF．5.如图，在△ABC中，AB=AC，D、E、F分别是三角形三边中点，试判断四边形ADEF的形状并加以说明．6.如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，AE⊥CE，延长AE交BC于点F，D是AB的中点，BC=20，AC=14，求DE的长．7.如图，在△ABC中（AB≠AC），M为BC的中点，AD平分∠BAC交BC于D，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，求证：ME=MF．8.如图，在△ABC中，点F是BC的中点，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点D，交AB于点E，连接DF，已知AB=16，AC=10，求DF的长．9.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC上的中点，AB=5，CD=7．求四边形EFGH的周长．10.如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AD=AC，AE⊥CD，垂足是E，F是CB的中点．求证：BD=2EF．11.如图，在△ABC中，AD为角平分线，CE⊥AD，F为BC中点．求证：EF=（AB-AC）．12.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，阅读下列材料，（1）连接AC、BD，由三角形中位线的性质定理可证四边形EFGH是________；（2）对角线AC、BD满足条件_______时，四边形EFGH是矩形；（3）对角线AC、BD满足条件_______时，四边形EFGH是菱形；（4）对角线AC、BD满足条件_________时，四边形EFGH是正方形．13.如图，△ABC中，AD为∠BAC的平分线，点F是BC的中点，BP⊥AD于D，AC=12，AB=8，求PF的长．三、选择题14.如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为（）A．2 B．4 C．6 D．815.已知△ABC的各边长度分别为3cm，4cm，5cm，则连结各边中点的三角形的周长为（）A．2cm B．7cm C．5cm D．6cm16.如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）A． B． C．3 D．417.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°18.如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．119.如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠PFE的度数是（）A．15° B．20° C．25° D．30°20.如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD．若BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（）A．BC=2BE B．∠A=∠EDA C．BC=2AD D．BD⊥AC21.如图所示，吴伯伯家一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF=5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是（）A．15米 B．20米 C．25米 D．30米22.如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE=48°，则∠APD等于（）A．42° B．48° C．52° D．58°23.在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高．将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为（）A．9.5 B．10.5 C．11 D．15.524.如图，已知四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减少C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关25.如图DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，则AG：GD等于（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：326.如图，任意四边形ABCD各边中点分别是E，F，G，H，若对角线AC，BD的长都为20cm，则四边形EFGH的周长是（）A．80cm B．40cm C．20cm D．10cm27.如图，在四边形ABCD中，E，F分别为DC、AB的中点，G是AC的中点，则EF与AD+CB的关系是（）A．2EF=AD+BC B．2EF＞AD+BC C．2EF＜AD+BC D．不确定28.如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=4，AO=3，则四边形DEFG的周长为（）A．6 B．7 C．8 D．1229.如图所示，AE是△FCD的中位线，BD∥AC，A，E，B三点共线，AB=8，FA=FE=6，则下列说法：①BE=4；②∠DEB=∠DBE；③AF=BD；④CD=2AE．正确的结论是（）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④30.如图，四边形EFGH是由四边形ABCD的各边中点依次连接而形成的四边形，若四边形ABCD 的两条对角线相等，则四边形EFGH一定是（）A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．梯形31.已知：如图，△ABC中，AE=CE，BC=CD，那么EF：ED的值是（）A．2：3 B．1：3 C．1：2 D．3：432.如图，△ABC中，M是BC中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，延长交AC于N，若AB=10，AC=16，则MD的长为（）A．5 B．4 C．3 D．233.如图，在△ABC中，E是中线AD的中点，则AF：FC=（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5四、填空题34.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长= __________cm．35.如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为 _______．36.如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为_______．37.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=5cm，则EF= _________cm．38.已知：如图，△ABC三边的中点分别为D、E、F，如果AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，那么△DEF的周长是_______cm．39.如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，CF=1，DF交CE于点G，且EG=CG，则BC=_______．40.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=5cm，则EF= _______cm．41.如图，在△ABC中，∠ACB=52°，点D，E分别是AB，AC的中点．若点F在线段DE上，且∠AFC=90°，则∠FAE的度数为________°．42.如图，D是△ABC的BC边的中点，AE平分∠BAC，AE⊥CE于点E，且AB=10，AC=16，则DE 的长度为_______．43.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OB的中点．若AD=4cm，AB=8cm，则CF的长是_______cm．44.如图，△ABC的三边长分别为3、5、6，BD与CE都是△ABC的外角平分线，M、N是直线BC上两点，且AM⊥BD于D，AN⊥CE于E，则DE的长等于________．45.如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC=4cm，BD=6cm，则四边形EFGH的面积是_________cm2．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】第26题【答案】第27题【答案】第28题【答案】第29题【答案】第30题【答案】第31题【答案】第32题【答案】第33题【答案】第34题【答案】第35题【答案】第36题【答案】第37题【答案】第38题【答案】第39题【答案】第40题【答案】第41题【答案】第42题【答案】第43题【答案】第44题【答案】第45题【答案】。
三角形的中位线练习题(含答案)
三角形的中位线练习题三角形中位线定义： .符号语言：在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点,则：线段DE是△ABC的__ __，三不同点：①三角形中位线的两个端点都是三角形边的中点。
②三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点是三角形一个顶点。
相同点：都是一条线段，都有三条。
三角形中位线定理： .符号语言表述：∵DE是△ABC的中位线（或AD=BD,AE=CE) ∴DE//21BC练习1．连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线．2．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______．3．一个三角形的中位线有_________条．4.如图△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则线段CD是△ABC的＿＿＿，线段DE是△ABC＿＿＿＿＿＿＿5、如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点（1）如果EF＝4cm，那么BC＝＿＿cm如果AB＝10cm，那么DF＝＿＿＿cm（2）中线AD与中位线EF的关系是＿＿＿6．如图1所示，EF是△ABC的中位线，若BC=8cm，则EF=_______cm．(1) (2) (3) (4)7．三角形的三边长分别是3cm，5cm，6cm，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_________cm．8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=•5，•BC=•12，•则连结两条直角边中点的线段长为_______．9．若三角形的三条中位线长分别为2cm，3cm，4cm，则原三角形的周长为（）A．4.5cm B．18cm C．9cm D．36cm10．如图2所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位EDBED同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A ，B 的点C ，找到AC ，BC 的中点D ，E ，并且测出DE 的长为10m ，则A ，B 间的距离为（ ）A ．15mB ．25mC ．30mD ．20m11．已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形，•再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（ ） A 、20081 B 、20091 C 、220081 D 、22009112．如图3所示，已知四边形ABCD ，R ，P 分别是DC ，BC 上的点，E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在BC 上从点B 向点C 移动而点R 不动时， 那么下列结论成立的是（ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减少 C ．线段EF 的长不变 D ．线段EF 的长不能确定13．如图4,在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF•的周长是（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．4014．如图所示，□ ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE=EB ，求证：OE ∥BC ．15.已知矩形ABCD 中，AB =4cm ，AD =10cm ，点P 在边BC 上移动，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、AP 、DP 、DC 的中点.求证：EF +GH =5cm ；16．如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF=12BD ．17．如图所示，已知在□ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，求证：MN ∥BC ．BG A E FH D C 图518．已知：如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形．19.如图，点E ，F ，G ，H 分别是CD ，BC ，AB ，DA 的中点。
八年级数学下册 6.4 三角形的中位线定理同步练习 青岛版(2021学年)
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6.4三角形的中位线定理1.（1）三角形的中位线的定义:连结三角形两边＿＿＿＿__＿＿_＿＿＿叫做三角形的中位线.（2)三角形的中位线定理是三角形的中位线_＿＿___＿＿＿_＿_第三边,并且等于_＿＿＿______＿_＿____＿______＿___________.2.如图,△ABＣ的周长为64,E、F、G分别为AB、AC、BＣ的中点，A′、B′、C′分别为ＥF、ＥG、GＦ的中点，△Ａ′B′C′的周长为_＿___＿___．如果△ABC、△EFG、△A′B′Ｃ′分别为第1个、第2个、第３个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n 个三角形的周长是___＿____＿___＿_＿___．3.△ＡＢC中，D、E分别为AB、AC的中点,若ＤＥ＝4,AＤ＝３，AE=２，则△ABC的周长为＿_____.４．已知:如图,四边形AＢCD中,E、F、Ｇ、Ｈ分别是ＡB、BC、ＣD、DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.5．已知:如图,E为□ＡBＣD中DC边的延长线上的一点，且CE=DＣ,连结AE分别交BC、BD于点F、G，连结AC交ＢD于O，连结OＦ.求证:AＢ=2OF.6．已知:如图，在□AＢＣＤ中,E是CD的中点,F是ＡE的中点，ＦC与BＥ交于Ｇ.求证：GF=GＣ.7．已知:如图，在四边形ABCＤ中，AD=BC,E、Ｆ分别是DC、AB边的中点，FＥ的延长线分别与ＡＤ、ＢC的延长线交于H、G点.求证:∠AＨＦ＝∠ＢＧF．８．已知:如图，△ＡBＣ中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BＥ⊥AＥ于E点,若AB ＝5,ＡＣ=7，求ＥD.9.如图在△ABC中，Ｄ、E分别为AB、AＣ上的点,且BD=CE，M、N分别是BＥ、ＣD 的中点．过MＮ的直线交ＡB于Ｐ,交AC于Q，线段ＡP、AＱ相等吗？为什么?ﻬ参考答案1.(1）中点的线段;(2）平行于三角形的，第三边的一半.1)n-1．３．18.2.1６，64×(2４.提示：可连结BD（或AC）．５．连结ＢE,CE ＡB⇒□ＡＢＥC⇒BF＝FＣ.□AＢCD⇒AO=OＣ，∴AＢ=2ＯＦ．6．提示：取BＥ的中点P，证明四边形ＥFＰC是平行四边形.7.提示：连结ＡC,取AC的中点Ｍ，再分别连结ME、MＦ，可得EM＝FM．8.ED＝1，提示:延长BE,交AC于F点．9.提示:AP＝AQ,取ＢＣ的中点H,连接MH,NH．证明△ＭHN是等腰三角形，进而证明∠APＱ=∠AQP．以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。
青岛版(五四)数学八年级下6.4三角形的中位线定理(同步练习)
6.4三角形的中位线定理1．(1)三角形的中位线的定义：连结三角形两边____________叫做三角形的中位线．(2)三角形的中位线定理是三角形的中位线____________第三边，并且等于____________________________________．2．如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为_________．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是__________________．3．△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，则△ABC的周长为______．4．已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．5．已知：如图，E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连结AE分别交BC、BD 于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：AB＝2OF．6．已知：如图，在□ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G．求证：GF＝GC．7．已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点．求证：∠AHF＝∠BGF．8．已知：如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB＝5，AC ＝7，求ED．9．如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD＝CE，M、N分别是BE、CD的中点．过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗?为什么?参考答案1．(1)中点的线段；(2)平行于三角形的，第三边的一半．2．16，64×(21)n －1 ． 3．18． 4．提示：可连结BD (或AC )．5．连结BE ，CEAB ⇒□ABEC ⇒BF ＝FC ．□ABCD ⇒AO ＝OC ，∴AB ＝2OF ． 6．提示：取BE 的中点P ，证明四边形EFPC 是平行四边形．7．提示：连结AC ，取AC 的中点M ，再分别连结ME 、MF ，可得EM ＝FM ．8．ED ＝1，提示：延长BE ，交AC 于F 点．9．提示：AP ＝AQ ，取BC 的中点H ，连接MH ，NH ．证明△MHN 是等腰三角形，进而证明∠APQ ＝∠AQP ．初中数学试卷。
青岛版初中数学八年级下册《三角形的中位线定理》课堂练习
青岛版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！青岛版初中数学和你一起共同进步学业有成！6.4 三角形的中位线定理1.如图，D 、E 、F 分别为△ABC 三边上的中点.（1）线段AD 叫做△ABC 的 ，线段DE 叫做△ABC 的 ，DE 与AB 的位置和数量关系是 _________ ;（2）图中全等三角形有 _________________ ; （3）图中平行四边形有___________ . D C B AE F2. 三角形各边长为5、9、12，则连结各边中点所构成的三角形的周长是 .3. 如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8cm ，AC 与BD 交于O ，M 、N 分别为OA 、OD 的中点.求证：四边形BCNM 是等腰梯形.4. 已知：如图，矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 的中点.求证：四边形EFGH 是菱形.H G D C B AEF5、如图，要测出池塘的宽度AB，小强在池塘边上取一个能直接到达A、B的点C，量的AC=20cm，BC=25cm，又取AC的中点D，BC的中点E，量得DE=12cm，求池塘宽AB，为多少？6、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC的中点，EF∥AB交BC于F，若EF=3，求AB的长.参考答案1、（1）中线，中位线，∥AB ，DE=AB.DE 21（2）△AEF ≌△DEF ≌△FBD ≌△EDC.（3）AFDE ，FBDE ，FDCE.2、 133、证MN ∥BC 且MN≠BC.4、证明：连结AC 、BD.∵AE=BE ，BF=CF ，∴EF ∥AC ，EF=21AC.同理CH ∥AC ，CH=21AC ，∴EFAC ，∴四边形EFGH 是平行四边形.∵AE=BE ，AH=DH ，∴EH=21BD. 又∵AC=BD ，∴EF=EH ，∴四边形EFGH 是菱形.5、解：∵点D 是AC 的中点，点E 是BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线∴DE =21AB又∵DE=12cm∴AB=24cm6、解：过D 作DG ∥AB 交BC 于G ，∵AD ∥BC ，AB ∥DG ，∴四边形ABGD 是平行四边形，∴AB=DG.∵EF ∥AB ，∴EF ∥DG ，∵DE=CE ，∴GF=CF.∴EF 是△CDG 的中位线，∴EF=21DG.∴DG=2EF=6，即AB=6. 点拨：此题目在考察三角形中位线的同时考察了平行四边形的判定问题，解题时注意条件的转化.相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
青岛版2021年度八年级数学下册《6.4三角形的中位线定理》同步提升训练(附答案)
青岛版2021年度八年级数学下册《6.4三角形的中位线定理》同步提升训练（附答案）1．如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为（）A．12B．11C．10D．92．△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF的周长为（）A．4.5B．9C．10D．123．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（）A．8B．7C．6D．54．已知等腰三角形的两条中位线的长分别为3和5，则此等腰三角形的周长为（）A．22B．26C．22或26D．135．如图，在△ABC中，D是AC的中点，且BD⊥AC，DE∥BC，交AB于点E，BC＝7cm，AC＝6cm，则△AED的周长等于（）A．12cm B．10cm C．7cm D．9cm6．已知在四边形ABCD中，AB＝3，CD＝5，M，N分别是AD，BC的中点，则线段MN 的取值范围是（）A．1＜MN＜4B．1＜MN≤4C．2＜MN＜8D．2＜MN≤87．如图，D、E分别为△ABC中AB、AC边上的中点，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为（）A．1B．C．2D．8．如图，△ABC周长20，D，E在边BC上，BN和CM分别是∠ABC和∠ACB的平分线，BN⊥AE，CM⊥AD，若BC＝8，则MN的长为（）A．1B．2C．3D．39．如图，D、E分别是△ABC的边AB和AC的中点，若BC＝18，则DE＝．10．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，四边形BEFD周长为14，则AB+BC的长为．11．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠EPF的度数是．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，BC＝2，D是AB的中点，E是AC上一点，若DE 平分△ABC的周长，则DE的长等于．13．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，CE是∠ACB的平分线，FG为△ACE的中位线，连DF，若∠DFG＝108°，则∠AED＝．14．如图，已知△ABC中，∠BAC＝68°，点D、E、F分别是三角形三边AB，AC，BC的中点，AM是三角形BC边上的高，连接DM，EM，EF，则∠DME＝°，∠DFE ＝°．15．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是高，如果HF＝5cm，则ED的长为．16．如图，AD为△ABC中∠BAC的外角平分线，BD⊥AD于点D，E为BC中点，DE＝4，AC＝2，则AB长为．17．如图，Rt△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F．若AB＝10，BC＝6，则EF的长是．18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝10，D，E分别是AC和BC上的点，且CE＝2，CD＝4，连接BD，AE．G、H分别是AE和BD的中点，连接GH，则线段GH 的长为．19．如图，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝8cm，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，求线段EF的长．20．如图，等边△ABC的边长是4，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF ＝BC，连接CD和EF．（1）求证：DE＝CF；（2）求EF的长．21．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别AD、BC的延长线交于点H、G，求证：∠AHF＝∠BGF．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，连接BE，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．（1）求证：FG＝FH；（2）当∠A为多少度时，FG⊥FH？并说明理由．23．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC＝BD，E，F为AB、CD中点，连EF交BD、AC于P、Q求证：OP＝OQ．24．已知：△ABC中，D是BC上的一点，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，求证：EG、HF互相平分．25．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；（2）如图2，请直接写出线段AB、AC、EF的数量关系．26．△ABC的中线BD，CE相交于O，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG，且EF＝DG．27．在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，作∠B的角平分线（1）如图1，若∠B的平分线恰好经过点E，猜想△ABC是怎样的特殊三角形，并说明理由．（2）如图2，若∠B的平分线交线段DE于点F，已知AB＝8，BC＝10，求EF的长度．（3）若∠B的平分线交直线DE于点F，直接写出AB、BC、EF三者之间的数量关系．参考答案1．解：如图，延长BN交AC于D，在△ANB和△AND中，，∴△ANB≌△AND（ASA），∴AD＝AB＝8，BN＝ND，又∵M是△ABC的边BC的中点，∴MN是△BCD的中位线，∴DC＝2MN＝4，∴AC＝AD+CD＝8+4＝12，故选：A．2．解：∵点D、E、F分别是三边的中点，∴DE、EF、DF为△ABC的中位线，∴DE＝AB＝×7＝，DF＝AC＝×5＝，EF＝BC＝×6＝3，∴△DEF的周长＝++3＝9，故选：B．3．解：连接DN，∵点E，F分别为DM，MN的中点，∴EF是△MND的中位线，∴EF＝DN，∵点M，N分别为线段BC，AB上的动点，∴当点N与点B重合时，DN最大，此时DN＝＝10，∴EF长度的最大值为：×10＝5，故选：D．4．解：等腰三角形的两条中位线长分别为3和5，根据三角形中位线定理可知，等腰三角形的两边长为6和10，当腰为10时，则三边长为10，10，6时，周长为26；当腰为6时，则三边长为6，6，10时，周长为22，故选：C．5．解：∵D是AC的中点，且BD⊥AC，∴AB＝BC＝7cm，AD＝AC＝3cm，∵ED∥BC，∴AE＝BE＝AB＝3.5cm，ED＝BC＝3.5cm，∴△AED的周长＝AE+ED+AD＝10（cm）．故选：B．6．解：连接BD，过M作MG∥AB交BD于G，连接NG．如图所示：∵M是边AD的中点，AB＝3，MG∥AB，∴MG是△ABD的中位线，∴BG＝GD，MG＝AB＝，∵N是BC的中点，BG＝GD，CD＝5，∴NG是△BCD的中位线，∴NG＝CD＝，在△MNG中，由三角形三边关系可知NG﹣MG＜MN＜MG+NG，即＜MN＜，∴1＜MN＜4，当MN＝MG+NG，即MN＝4时，四边形ABCD是梯形，故线段MN长的取值范围是1＜MN≤4．故选：B．7．解：∵D、E分别为△ABC中AB、AC边上的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝4，在Rt△AFB中，D是AB的中点，∴DF＝AB＝，∴EF＝DE﹣DF＝，故选：B．8．解：∵BN是∠ABC的平分线，∴∠ABN＝∠EBN，在△ABN和△EBN中，，∴△ABN≌△EBN（ASA），∴BE＝BA，AN＝NE，同理可得，CD＝CA，AM＝MD，∵△ABC周长20，∴AB+AC+BC＝20，∴AB+AC＝20﹣BC＝12，∴DE＝AB+AC﹣BC＝4，∵AN＝NE，AM＝MD，∴MN是△ADE的中位线，∴MN＝DE＝2，故选：B．9．解：∵D、E分别是△ABC的边AB和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵BC＝18，∴DE＝9，故答案为：9．10．解：∵D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，∴DF∥BC，EF∥AB，DF＝BC，EF＝AB，∴四边形BEFD为平行四边形，∵四边形BEFD周长为14，∴DF+EF＝7，∴AB+BC＝14．故答案为14．11．解：∵点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，∴PF＝BC，PE＝AD，又AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠PFE＝∠PEF＝30°，∴∠EPF＝120°，故答案为：120°．12．解：延长AC至M，使CM＝CB，连接BM，作CN⊥BM于N，∵DE平分△ABC的周长，∴ME＝EA，∵AD＝DB，∴DE＝BM，DE∥BM，∵∠ACB＝60°，∴∠BCM＝120°，∵CM＝CB，∴∠BCN＝60°，BN＝MN，∴BM＝2，∵AD＝DB，AE＝EM，∴DE＝BM＝，故答案为：．13．解：∵DE是BC的垂直平分线，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，设∠EBC＝∠ECB＝x，∴∠AEC＝∠EBC+∠ECB＝2x，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE＝x，∵FG是△ACE的中位线，∴FG∥AC，∴∠EFG＝∠ACE＝x，∵D为BC的中点，F为CE的中点，∴DF∥AB，∴∠EFD＝∠AEF＝2x，∵∠DFG＝∠GFE+∠EFD＝x+2x＝3x，∴3x＝108°，∴x＝36°，∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝2x+90°﹣x＝90°+x＝90°+36°＝126°，故答案为：126°．14．解：∵∠BAC＝68°，∴∠B+∠C＝180°﹣68°＝112°，∵AM是三角形BC边上的高，在Rt△AMB中，D是AB的中点，∴DM＝AB＝DB，∴∠DMB＝∠B，同理可得，∠EMC＝∠C，∴∠DMB+∠EMC＝∠B+∠C＝112°，∴∠DME＝180°﹣（∠DMB+∠EMC）＝68°，∵点D、E、F分别是三角形三边AB，AC，BC的中点，∴DF、EF分别是△ABC的中位线，DF∥AC，EF∥AB，∴∠DFB＝∠C，∠EFC＝∠B，∴∠DFB+∠EFC＝∠B+∠C＝112°，∴∠DFE＝180°﹣（∠DFB+∠EFC）＝68°，故答案为：68；68．15．解：∵AH是△ABC的高，∴∠AHC＝90°，∵∠AHC＝90°，F是边AC的中点，∴AC＝2HF＝10，∵D、E分别是△ABC各边的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AC＝5（cm），故答案为：5cm．16．解：延长BD、CA交于点H，在△ADH和△ADB中，，∴△ADH≌△ADB（ASA）∴BD＝DH，AB＝AH，∵BD＝DH，BE＝EC，∴CH＝2DE＝8，∴AH＝CH﹣AC＝6，∴AB＝AH＝6，故答案为：6．17．解：∵D、E分别是BC、AC的中点，∴DE＝AB＝5，DE∥AB，BD＝BC＝3，∴∠ABF＝∠DFB，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠DBF，∴∠DBF＝∠DFB，∴DF＝DB＝3，∴EF＝DE﹣DF＝2，故答案为：2．18．解：过A作AP∥BC，过B作BP∥AC，AP，BP交于P，∴四边形ACBP是平行四边形，∵∠ACB＝90°，∴四边形ACBP是矩形，∴PB＝AC＝10，AP＝BC＝6，∠APB＝90°，连接CH并延长交PB于M，连接CG并延长交AP于N，∴∠BMH＝∠HCD，∵H是BD的中点，∴BH＝DH，∵∠BHM＝∠DHC，∴△CDH≌△MBH（AAS），∴BM＝CD＝4，CH＝HM，同理，AN＝CE＝2，CG＝GN，∴PM＝6，PN＝4，∴MN＝＝2，∴HG＝MN＝，故答案为：．19．解：在△AGF和△ACF中，，∴△AGF≌△ACF（ASA）．∴AG＝AC＝8cm，∴GF＝CF，则BG＝AB﹣AG＝12﹣8＝4（cm）．又∵BE＝CE，∴EF是△BCG的中位线．∴EF＝BG＝2cm．答：EF的长为2cm，20．（1）证明：∵D，E为AB，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∵CF＝BC，∴DE＝CF；（2）解：由（1）可知，DE∥BC，DE＝CF，∴四边形DCFE为平行四边形，∴EF＝DC，在等边△ABC中，D为AB中点，∴CD⊥AB，∴CD＝BC•sin60°＝2，∴EF＝2．21．证明：连接BD，取BD的中点P，连接EP，FP，∵E、F、P分别是DC、AB、BD边的中点，∴EP是△BCD的中位线，PF是△ABD的中位线，∴PF＝AD，PF∥AD，EP＝BC，EP∥BC，∴∠H＝∠PFE，∠BGF＝∠FEP，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠PEF＝∠PFE，∴∠AHF＝∠BGF．22．（1）证明：∵AB＝AC．∴∠ABC＝∠ACB，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴DB＝EC，∵点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点，∴FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线，∴FG＝BD，FH＝CE，∴FG＝FH；（2）解：延长FG交AC于N，∵FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线，∴FH∥AC，FN∥AB，∵FG⊥FH，∴∠A＝90°，∴当∠A＝90°时，FG⊥FH．23．证明：取BC中点G，连EG、FG，∵E，G为AB、BC中点，∴EG＝AC，EG∥AC，∴∠FEG＝∠OQP，同理，FG＝BD，FG∥BD，∴∠EFG＝∠OPQ，∵AC＝BD，∴EG＝FG，∴∠FEG＝∠EFG，∴∠OPQ＝∠OQP，∴OP＝OQ．24．证明：连接EH，GH，GF，∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，∴AB∥EH∥GF，GH∥BC∥BF．∴四边形EHGF为平行四边形．∵GE，HF分别为其对角线，∴EG、HF互相平分．25．（1）证明：如图1中，∵AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，∴△ABD是等腰三角形，∴BE＝DE，∵BF＝FC，∴EF＝DC＝＝（AC﹣AB）．（2）结论：EF＝（AB﹣AC），理由：如图2中，延长AC交BE的延长线于P．∵AE⊥BP，∴∠AEP＝∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠P AE+∠APE＝90°，∵∠BAE＝∠P AE，∴∠ABE＝∠ADE，∴AB＝AP，∵AE⊥BD，∵E为BP的中点，∴BE＝PE，∵点F为BC的中点，∴BF＝FC，∴EF＝PC＝（AP﹣AC）＝（AB﹣AC）．26．证明：连接DE，FG，∵BD，CE是△ABC的中线，∴D，E是AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，同理：FG∥BC，FG＝BC，∴DE∥FG，DE＝FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EF∥DG，EF＝DG．27．解：（1）∵D、E分别是AB，AC的中点，∴DE＝BC，DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC，∵BE是∠B的角平分线，∴∠DBE＝∠EBC，∴∠DEB＝∠DBE，∴DE＝DB＝AB，∴AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形；（2）由（1）得，DE＝BC＝5，DF＝AB＝4，∴EF＝DE﹣DF＝1；（3）当点F在线段DE上时，由（2）得，EF＝（BC﹣AB）；当点F在线段DE的延长线上时，EF＝（AB﹣BC）．。
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巧用三角形中位线1. 三角形中位线定义连结三角形两边中点的线段叫中位线。
注意：（1）要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。
（2）三角形有三条中位线。
2. 定理三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
如果EF 为△ABC 的中位线，则EF ∥BC 且EF=12BC 。
注意：位置关系——平行数量关系——等于第三边的一半3. 三角形中位线定理的应用： （1）证明角相等关系；（2）证明线段的倍分以及相等关系； （3）证明线段平行关系。
例题1 如图，自△ABC 的顶点A ，向∠B 和∠C 的平分线作垂线，垂足分别为D 、E 。
求证：DE ∥BC 。
解析：欲证ED//BC我们可想到有关平行的判定，但要找到有关角的关系很难，这时只要通过延长AD、AE，交BC与CB的延长线于G与H，通过证明三线合一易证D是AG的中点，同理E为AH的中点，故，ED是△AHG的中位线，当然有DE∥BC。
答案：证明：延长AD、AE交BC、CB的延长线于G、H，∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2，又∵BD⊥AD，∴∠ADB=∠BDG=90º∴△ABG为等腰三角形∴AD=DG，同理可证，AE=GE，∴D，E分别为AG，AH的中点，∴ED∥BC点拨：本题巧妙地应用了等腰三角形的三线合一，但最终还是利用中位线的性质得出结论。
例题2 如图，已知平行四边形ABCD中，BD为对角线，点E、F分别是AB、BC的中点，连结EF，交BD于M点。
求证：（1）BM=14BD；（2）ME=MF。
解析：（1）由E、F分别为AB、BC的中点想到连结AC，由平行线等分线段定理可证得BM=MO。
又因为平行四边形的对角线互相平分，可得BO=OD，即BM=14BD。
（2）由问题(1)中的辅助线，即连结AC，由三角形中位线定理可得11,22EM AO MF OC==，又由平行四边形对角线互相平分即可得到问题（2）的结论。
答案：证明：（1）连结AC，交BD于O点，∵E、F分别为AB、BC中点，∴EF∥AC，∴BM=MO=12BO又∵四边形ABCD是平行四边形∴BO=OD=12BD，AO=OC=12AC，∴BM=12BO=14BD；（2）∵M是BO的中点，E、F分别是AB、BC的中点。
∴ME=12AO，MF=12OC，又∵AO＝OC，∴ME＝MF。
点拨：问题（1）运用了三角形中位线的位置关系，即三角形的中位线平行于底边，而问题（2）直接运用了三角形中位线的数量关系。
三角形中位线定理及其应用，在初中数学中占有很重要的地位，如何正确添加辅助线构造三角形中位线是一个重点也是一个难点。
要善于觉察图形中的有关定理的基本图形，涉及到中点问题时要及时联想到有关定理。
例题如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是CD、AB的中点，直线EF分别交BC、AD的延长线于S、T两点，求证：∠ATF=∠BSF。
解析：连结AC，取AC的中点H，连结EH、FH，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EH∥AD，EH=12AD，FH∥BC，FH=12BC，然后求出EH=FH，根据等边对等角可得∠EFH=∠FEH，再根据两直线平行，同位角相等可得∠ATF=∠FEH，两直线平行，内错角相等可得∠BSF=∠EFH，然后等量代换即可得证。
答案：证明：如图，连结AC，取AC的中点H，连结EH、FH，∵E、F分别是CD、AB的中点，∴EH、FH分别是△ACD和△ABC的中位线，∴EH∥AD，EH=12AD，FH∥BC，FH=12BC∵AD=BC，∴EH=FH，∴∠EFH=∠FEH，又∵EH∥AD，FH∥BC，∴∠ATF=∠FEH，∠BSF=∠EFH，∴∠ATF=∠BSF。
点拨：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行线的性质，等边对等角的性质，熟记各性质并作辅助线，考虑利用三角形的中位线定理是解题的关键。
（答题时间：30分钟）一、选择题1.（宜昌）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离。
有关他这次探究活动的描述错误的是（）A. AB=24mB. MN∥ABC. △CMN∽△CABD. CM：MA=1：22.（泸州）如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为（）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°3.（泰安）如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连结DC并延长到E，使CE=13CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F。
若AB=6，则BF的长为（）A. 6B. 7C. 8D. 104. （福州模拟）如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连结OA，点G、F分别为OC、OB 的中点，BC=4，AO=3，则四边形DEFG的周长为（）A. 6B. 7C. 8D. 125.（邢台二模）如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，A1B1C1D1是四边形ABCD 的中点四边形，如果AC=8，BD=10，那么四边形A1B1C1D1的面积为（）A. 20B. 40C. 36D. 10二、填空题6. （怀化）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的中点，则S△ADE：S△ABC= _________ 。
7.（邵阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E。
∠A=30°，AB=8，则DE的长度是_________。
8.（沈阳）如图，△ABC三边的中点D，E，F组成△DEF，△DEF三边的中点M，N，P组成△MNP，将△FPM与△ECD涂成阴影。
假设可以随意在△ABC中取点，那么这个点取在阴影部分的概率为_________。
9.（天桥区一模）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，如果EF=2，那么菱形的周长为_________。
10.（海门市模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=52°，点D，E分别是AB，AC的中点。
若点F在线段DE上，且∠AFC=90°，则∠FAE的度数为_________。
三、解答题11.（南京）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F。
（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？12.（鞍山一模）（1）如图1所示，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接FE并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD。
（提示取BD的中点H，连结FH，HE作辅助线）（2）如图2所示，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度。
一、选择题1. D 解析：∵M 、N 分别是AC ，BC 的中点， ∴MN ∥AB ，MN =21AB ， ∴AB =2MN =2×12=24m ， △CMN ∽△CAB ， ∵M 是AC 的中点， ∴CM =MA ， ∴CM ：MA =1：1， 故描述错误的是D 选项。
2. C 解析：由等边△ABC 得∠C =60°， 由三角形中位线的性质得DE ∥BC ， ∴∠DEC =180°﹣∠C =180°﹣60°=120°，3. C 解析：如图，∵∠ACB =90°，D 为AB 的中点，AB =6，∴CD =21AB =3。
又CE =31CD ，∴CE =1， ∴ED =CE +CD =4。
又∵BF ∥DE ，点D 是AB 的中点， ∴ED 是△AFB 的中位线， ∴BF =2ED =8。
4.B 解析：∵BD ，CE 是△ABC 的中线， ∴ED ∥BC 且ED =21BC ， ∵F 是BO 的中点，G 是CO 的中点， ∴FG ∥BC 且FG =21BC ， ∴ED =FG =21BC =2， 同理GD =EF =21AO =1.5，∴四边形DEFG 的周长为1.5+1.5+2+2=7。
5. A 解：∵A 1B 1C 1D 1是四边形ABCD 的中点四边形，AC =8，BD =10， ∴A 1D 1=B 1C 1=21BD =5，A 1B 1=C 1D 1=21AC =4，A 1D 1∥BD ∥B 1C 1，A 1B 1∥AC ∥C 1D 1， ∵四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相垂直， ∴四边形A 1B 1C 1D 1是矩形， ∴S A 1B 1C 1D 1=5×4=20。
6. 1：4 解析：∵D 、E 是边AB 、AC 上的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC 且DE =21BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE ：S △ABC =（1：2）2=1：4。
7. 2 解析：∵D 为AB 的中点，AB =8， ∴AD =4，∵DE ⊥AC 于点E ，∠A =30°， ∴DE =21AD =2。
8.165解析：∵D 、E 分别是BC 、AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线， ∴ED ∥AB ，且DE =21AB ， ∴△CDE ∽△CBA ， ∴CBA CDE S S ∆∆=2)(ABED =41， ∴S △CDE =41S △CBA 。
同理，S △FPM =41S △FDE =161S △CBA ，∴S △FPM +S △CDE =165S △CBA ，则CBA S S ∆阴影=165。
9. 16 解析：∵菱形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，EF =2， ∴BC =2EF =2×2=4。
即AB =BC =CD =AD =4。
故菱形的周长为4BC =4×4=16。
10. 64° 解析：∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点， ∴DE 是三角形ABC 的中位线， ∴DE∥BC ， ∴∠A ED =∠A CB ，∵∠AFC =90°，E 为AC 的中点， ∴EF =21AC ，AE =CE ， ∴EF =CE ， ∴∠EFC =∠ECF ， ∴∠ECF =∠EFC =21∠ACB =26°， ∴∠FAE 的度数为90°﹣26°=64°，11. 解：（1）证明：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC ， 又∵EF ∥AB ，∴四边形DBFE 是平行四边形；（2）解：当AB =BC 时，四边形DBFE 是菱形。