南通市2018-2019年高考高三数学5月月考模拟试题 (3)

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2018年江苏省南通市高考数学模拟试卷(三)含答案精品

DCBAP（第4题）2018年高考模拟试卷(3)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.已知集合{}|12A x x =-≤<，集合{}|1B x x =<，则A B ⋂= ▲ .2.某中学共有学生2000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人.现在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．则该校高三学生共有 ▲ 人. 3．已知i 是虚数单位，且复数z 1＝2+b i ，z 2＝1－2i ，若12z z 是实数，则实数b = ▲ .4．根据如图所示的伪代码，已知输出值为1，则输入值=x ▲ ． 5．已知m ∈{-1，0，1}，n ∈{-2，2}，若随机选取m ，n ，则直线10mx ny ++=上存在第二象限的点的概率是 ▲ ．6．已知||2a =，||3b = ，,a b 的夹角为120 ，则|2|a b += _____▲_____. 7．已知一元二次不等式()0f x >的解集为()(),12,-∞⋃+∞，则(lg )0f x <的解集为 ▲ ．8. 设α为锐角，若9．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面A B C D ，底面ABCD 是菱形，若2,60AB BAD ︒=∠=.则当四棱锥P ABCD -的体积等于时，则PC =▲ .10. 在平面直角坐标系xOy 中,过点(4,3)P 引圆222:()1(04)C x y m m m +-=+<<的两条切线,切点分别为A 、B,则直线AB 过定点 ▲ .11．已知等差数列{}n a 的各项均为正数，1a =110p q -=，则p q a a -=▲ .12．若曲线ln y a x =与曲线212y x e =在它们的公共点(),P s t 处具有公共切线，则st= ▲ . 13．已知 ABCD 的面积为2，P 是边AD 上任意一点，则22PB PC + 的最小值为 ▲ ． 14. 设函数348,12,2()1(), 2.22x x f x x f x ⎧--⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩≤≤，则函数()()6g x xf x =-在区间2015[1,2]内的所有零点的和为▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）在ABC ∆中，三个内角分别为A,B,C ，已知sin(A )2cosA 6π+=．（1）若cos C =230a c -=．（2）若(0,)3B π∈，且4cos()5A B -=，求sin B ．16.（本小题满分14分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，60ABC ∠=︒，1,DC AD ==PB =PC .（1）若N 为PA 的中点，求证：DN ∥平面PBC ；（2）若M 为BC 的中点，求证：MN ⊥BC ．17.（本小题满分14分）某城市在进行规划时，准备设计一个圆形的开放式公园.为达到社会和经济效益双丰收.园林公司进行如下设计，安排圆内接四边形ABCD 作为绿化区域，其余作为市民活动区域.其中ABD ∆区域种植花木后出售，BCD ∆区域种植草皮后出售，已知草皮每平方米售价为a 元，花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍. 若6BC = km ，4AD CD == km（1）若BD = km ，求绿化区域的面积；（2）设BCD θ∠=，当θ取何值时，园林公司的总销售金额最大.18. (本小题满分16分) 已知A,B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左,右顶点，F 为其右焦点，在直线4x =上任取一点P （点P 不在x 轴上），连结PA,PF ,PB ．若半焦距1c =，且2PF PA PB k k k =+（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线PF 交椭圆于,M N ，记△AMB 、△ANB 的面积分别为S 1、S 2，求DNDCBAP12S S 的取值范围． 19.（本小题满分16分）已知函数()()ln f x ax x a R =+∈，2()ln x g x x x =-．（1）当1a =时，求()f x 的单调增区间；（2）若()()()h x f x g x =-恰有三个不同的零点123,,x x x （123x x x <<）．①求实数a 的取值范围；②求证：2312123ln ln ln 1111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 20.（本小题满分16分）已知数列{}n a 是等比数列．（1）设11a =，48a =． ①若22212212111111()n nM a a a a a a +++=+++ ，*n N ∈，求实数M 的值； ②若在11a 与41a 之间插入k 个数12,,,k b b b ，使得12145111,,,,,,k b b b a a a 成等差数列，求这k 个数的和k S ；（2）若一个数列{}n c 的所有项都是另一个数列{}n d 中的项，则称{}n c 是{}n d 的子数列.已知数列{}n b 是公差不为0的等差数列，11b a =，22b a =，3m b a =,其中m 是某个正整数，且3m ≥，求证：数列{}n a 是{}n b 的子数列．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，BCD 内接于O ，过B 作O 的切线AB ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，且DB BE ⊥.求证：DB ＝DC .B ．（选修４－２：矩阵与变换）在平面直角坐标系xOy 中，设点P (x ，3)在矩阵M 1234⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点Q (y -4，y +2)，求2x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦M ．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρθ=.若点P的坐标为(，求PA PB +的值.D ．（选修４－５：不等式选讲）若关于x 的不等式20x ax b -+<的解集为()1,2,求函数()((f x a b =--.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．（本小题满分10分）如图，一简单几何体ABCDE 的一个面ABC 内接于圆O, AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，且DC ⊥平面ABC. 若AC=BC=BE =2, （1）BE 边上是否存在一点M ，使得AD 和CM 的夹角为60︒？（2）求锐二面角O-CE-B 的余弦值.23. （本小题满分10分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且当2n ≥时，1121112()(1)()n n nS S n S S S --=++++ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：当2n ≥时，2224n n a a n n a a +-+≤.2018年高考模拟试卷(3) 参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1. [)1,1-.2. 600. 3．-4. 4．-1 . 5．23.【解析】m 、n 的取法共有3×2＝6种，即共有6条直线，其中当m ＝0，n ＝2和m ＝－1，n ＝2，直线10mx ny ++=恰好不经过第二象限，所有经过第二象限的直线有4条，所以P ＝23． 6．. 7．()10,100 . 8. 2425. 【解析】因为α数，所以6πα+24sin(2)2sin()cos()36625πππα+=α+α+=，又因为cos(2)sin(2)63ππα-=α+，所以24cos(2)625πα-=. 9【解析】因为，底面ABCD 是菱形，2,60AB BAD ︒=∠=，所以，12sin 60222ABCD S AB AD ︒=⨯⨯⨯=⨯=PA ⊥平面ABCD ，所以，四棱锥P ﹣ABCD 的高为PA，所以，13PA ⨯=3PA =，因为，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以，PA ⊥AC ，在Rt △PAC中，PB .10. 5(,3)2- . 【解析】直线AB 上任取一点(,)Q x y ,则2=CQ CP CB CP CB ⋅=⋅ ，因为(,),(4,3)CQ x y m CP m =-=-，所以24(3)()1x m y m m +--=+,即431(3)0x y m y +--+=.所以直线AB :431(3)0x y m y +--+=，令431030x y y +-=⎧⎨+=⎩,则523x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故直线AB 过定点5(,3)2-.11．15 . 【解析】等差数列公差为d ，由题意知0d >，04536442=--d d所以，12. .【解析】对曲线ln y a x =求导可得a y x '=，对曲线212y x e =求导可得xy e'=，因为它们在公共点(),P s t 处具有公共切线，所以a s s e=，即2s ea =，又21lns 2t a s e ==，即22lns ea s =，将2s ea =代入，所以1a =.所以12t =，s，即st=. 13．4.【解析】因为2ABCD S = ，所以1PBC S =△，如图，取BC 的中点M ，连PM ，过点P 作PH BC ⊥于H ，则2PB PC PM +=，PM PH ≥，且1=12S BC PH ⋅=△PBC ，所以2BC PH ⋅=P DA222212()22PB PC PB PC PC PB PB PC BC ⎡⎤+=⋅+-=⋅+⎢⎥⎣⎦()()2222222211142+222PB PC PB PC BC PM BC BC PM BC ⎡⎤⎡⎤=+--+=-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 2212224 4.2PBC PM BC PM BC PH BC S ∆=+≥⋅≥⋅==当且仅当12PM BC =，且点M 与点H 重合时等号成立．所以2PB PC BC ⋅+ 的最小值为4． 14.201523()21-.【解析】当312x ≤≤时，88f x x =-（），所以()2(82)18g x x =--，此时当32x =时，0max g x =（）；当322x ≤＜时，168f x x =-（），所以28120g x x =--+（）（）＜；由此可得12x ≤≤时，0max g x =（）．下面考虑122n n x -≤≤且2n ≥时，g x （）的最大值的情况．当12232n n x --≤≤⋅时，由函数f x （）的定义知()11112()2)(22n n x f x f f x --==⋯=,因为13122n x -≤≤，所以()2225(1282)n n g x x --=--，此时当232n x -=⋅时，0max g x =（）；当2322n n x -⋅≤≤时，同理可知()1225(182)20n n g x x --=--+，＜．由此可得122n n x -≤≤且2n ≥时，0max g x =（）．综上可得：对于一切的*n N ∈，函数gx （）在区间12]2[n n -，上有1个零点，从而()g x 在区间[1]2n ，上有n 个零点，且这些零点为232n n x -=⋅，所以，当2015n =时，所有这些零点的和为201523()21-．二、解答题15.因为sin(A )2cosA 6π+=1A cos A 2cos A 2+=，即sin A ，因为()A 0,∈π，且cos A 0≠，所以tan A A 3π=. …………4分（1）因为22sin C cos C 1+=，cos C =()C 0,∈π，所以sin C =由正弦定理知a csin A sinC =，即32a sin A c sinC ===，即230a c -=.…………7分（2）因为(0,)3B π∈，所以033A B B ,ππ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，因为22sin ()cos ()1A B A B -+-=，所以3sin()5A B -=， …………10分所以()()sin sin sin cos()cos sin()B A A B A A B A A B =--=---=.……14分 16.（1）取PB 的中点E ，连接NE ，CE ，因为ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，60ABC ∠=︒，1,DC AD ==易得AC =CB = AB =2， ……………… 2分又因E 为PB 的中点，N 为PA 的中点，所以NE ∥CD 且NE =CD 所以四边形CDNE 是平行四边形所以DN ∥CE ； ……………… 4分又CE ⊂平面PBC ，DN ⊄平面PBC …所以DN ∥平面PBC ………………………… 6分（2）连接AM ，PM ．因为PB =PC ，M 为BC 的中点所以PM ⊥BC ， …………8分因为AC =AB ，M 为BC 的中点所以AM ⊥BC ， …………… 10分又因为AM PM M = ， ,AM PM ⊂平面PAM ，所以BC ⊥平面PAM ． ……… 12分因为NM ⊂平面PAM ，所以MN ⊥BC ． …………………………… 14分 17.（1）在BCD ∆中，BD =，6BC =，4CD =，由余弦定理得，(222222641cos 22642BC CD BDBCD BC CD+-+-∠===⨯⨯ 因为[)0,180BCD ∠∈︒︒，所以60BCD ∠=︒， …………… 2分又因为A 、B 、C 、D 共圆，所以120BAD ∠=︒. 在ABD ∆中，由余弦定理得2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-∠ ，将4AD =，BD =代入化简得24120AB AB +-=，解得2AB =（6AB =-舍去）. ……… 4分所以1124sin12046sin 6022ABCD ABD BCD S S S ︒︒=+=⨯⨯+⨯⨯=即绿化空间的面积为2km ……… 6分（2）在BCD ∆、ABD ∆中分别利用余弦定理得 MNDCBAPB22264264cos BD θ=+-⨯⨯ ①()222424cos -BD AB AB πθ=+-⨯ ②联立①②消去BD 得28cos 48cos 360AB AB θθ++-= ，得()()68cos 60AB AB θ++-=，解得68cos AB θ=-（6AB =-舍去）. ………… 10分因为0AB >，所以68cos 0θ->，即3cos 4θ<. ()()11sin 68cos 4sin 12sin 16sin cos 22ACD S AB AD πθθθθθθ∆=-=-⨯=- 11sin 64sin 12sin 22BCD S BC CD ∆==⨯⨯= θθθ 因为草皮每平方米售价为a 元，则花木每平方米售价为3a 元，设销售金额为y 百万元.()()()312sin 16sin cos 12sin 48sin sin cos y f a a a θθθθθθθθ==-+=- …… 12分()()()()()22248cos cos sin 482cos cos 1482cos 1cos 1f a a a θθθθθθθθ'=-+=-++=-+-令0y '>，解得1cos 12-<<θ，又3cos 4<θ，不妨设03cos 4=θ，则函数()f θ在02,3πθ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数；令0y '<，解得1cos 2θ<-，则函数()f θ在2,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，所以当23=πθ时，()max f =θ.答：（1）绿化区域的面积为2km ；（2）当23πθ=时，园林公司的销售金额最大，最大为百万元. … 14分18. （1）令0(4,)P y ,(,0),(,0)A a B a -, 因为1c =，所以(1,0)F 因为2PF PA PB k k k =+，所以00024144y y ya a=+-+-， ………2分解得2a =，从而2223b a c =-=故椭圆方程为22143x y += ………6分（2）令1122(,),(,)M x y N x y ，设直线PF 方程为1x my =+ 由2234121x y x my ⎧+=⎨=+⎩消x , 得22(34)690m y my ++-=，122634m y y m +=-+① 122934y y m =-+ ② 所以2122214234y y m y y m ++=-+，令12y t y =，则222161110810334334m t t t t m m ++=+==-++ ………12分所以11023t t <+<，从而133t <<且1t ≠，因为121212AMBANBAB y S t S AB y == ，所以()1,11,33AMB ANB S S ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭………16分 19.（1）当1a =时，()ln f x x x =+，定义域为()0+∞，． ()11'1x f x x x+=+=．所以()'0f x >，()f x 在()0+∞，上单调递增；即()f x 的单调增区间为()0+∞，. ………3分（2）①由题意可得，关于x 的方程2ln ln x ax x x x=+-在()0+∞，上有三个不同的解．即关于x 的方程ln ln x xa x x x=--在()0+∞，上有三个不同的解．令()ln ln x xF x x x x=--，()0+x ∈∞，．所以()()()()()2222ln 1ln 2ln 1ln 1ln ln ln x x x x xx F x x x x x x x ----'=-=--． ………5分显然，当()0+x ∈∞，时，2ln 0x x ->，证明如下：令()2ln 0y x x x =->，121'2x y x x-=-=．当102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，'0y <，函数2ln y x x =-在102⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减；当12x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，'0y >，函数2ln y x x =-在102⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增．所以当12x =时，2ln y x x =-取最小值11ln 2-．所以，当()0+x ∈∞，时，2ln 0x x ->． ………7分令()0F x '=，可得1x =或e ．将x,h 1(x),h(x)变化情况列表如下又当0,(),() 1.x h x x h x →→+∞→+∞→时当，所以，实数a 的取值范围为1(1,)1e e e--． ………10分 ②由①可知，当12301x x e x <<<<<时，ln 1ln ln ln 1x x xa x x x x x x=-=---．令ln x t x =，则11a t t=--，即()2110t a t a +-+-=，1210t t a +=-<，1210t t a =-<． ………12分不妨设12t t <，则120t t <<．又()()ln 0x t x x x =>，()21ln 'xt x x-=，当()0x e ∈，时，()'0t x >，()t x 在()0e ，上单调递增；当()x e ∈+∞，时，()'0t x <，()t x 在()e +∞，上单调递减．显然，当()01x ∈，时，()0t x <；当()x e ∈+∞，时，()0t x >．所以111ln x t x =，32223ln ln x x t x x ==． ………14分所以 2223121212312ln ln ln ln ln 11111x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()2122111t t t =---()()21211t t =--⎡⎤⎣⎦()212121t t t t =-++⎡⎤⎣⎦()()2111a a =--+-⎡⎤⎣⎦1=．即2312123ln ln ln 1111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ………16分 20.（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由11a =，48a =，得2q =， ………2分① 因为{}n a 是等比数列，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，且公比为12，22212212111111()n nM a a a a a a +++=+++ ，所以22111()1()22111124n nM --=⋅--对*n N ∈都成立，所以32M =； ………4分 ②因为111a =，4118a =，51116a =，因为12145111,,,,,,k b b b a a a 成等差数列，所以公差5411116d a a =-=-，6分且4111(1)k d a a -=+，即111(1)()816k -=+⨯-，解得13k =；所以这13个数的和1131313()131117(1)22816b b S +==+=……8分（2）设数列{}n b 的公差为d ，则0d ≠，由条件得11b a =，11b d a q +=，211(1)b m d a q +-=，所以2(1)(1)(1)m q q --=-，因为0d ≠，所以1q ≠，从而2q m =-，因为m 是某个正整数，且3m ≥，所以q 也是正整数，且1q >，10分因为11b a =，22b a =，3m b a =,所以1a ，2a ，3a 是数列{}n b 中的项， ………12分当4n ≥时，若n t a b =，则1111(1)(1)n a q a t a q -=+--，化简得1221111n n q t q q q q----==++++- ，即222n t q q q -=++++ ，且q 是正整数，所以，t 也是正整数，所以对任意4,n n N *≥∈，存在t N *∈，使得n t a b =，即数列{}n a 中的每一项都是数列{}n b 中的项．所以，数列{}n a 是{}n b 的子数列． ………16分第Ⅱ卷（附加题，共40分）21A ．如图，连接DE ，交BC 于点G . 由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE . 又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，则∠DCE ＝90°，所以，DBE DEC ≅ ，所以，DB ＝DC . ………10分 B ．依题意，1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦3x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦42y y -⎡⎤⎢⎥+⎣⎦，即64 3122 x y x y +=-⎧⎨+=+⎩，，解得0 10 x y =⎧⎨=⎩，， 21 21 27 103 43 415 22M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以，27 1001001022015 22x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦M ． ………10分 C ．由ρθ=，可得220x y +-=，即圆C的方程为22(5x y +=．将l的参数方程3,,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入圆C的直角坐标方程，得2235⎛⎫⎫+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即240t -+=．由于24420∆=-⨯=>．故可设12t t 、是上述方程的两个实根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩．又直线l过点(3P ，故由上式及t的几何意义得1212||||||||PA PB t t t t +=+=+= ………10分 D ．因为不等式20x ax b -+<的解集也为()1,2,所以可得，3a =,2b =.又函数()((f x a b =--由柯西不等式可得:22222(21]≤++,当且仅当16[3,5]5x =∈时取等号, 所以，当165x =时,函数()(1(1f x a b =--. …10分 22．（1）因为AB 是圆O 的直径，所以AC CB ⊥以C 为原点，CB 为x 轴正方向，CA 为y 轴正方向，CD 为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系因为AC=BC=BE =2,所以C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),O(1,1,0),E(2,0,2)，D(0,0,2)，所以(0,2,2)AD =-设BE 边上是否存在一点M ，设[](2,0,),0,2M λλ∈所以(2,0,)CM λ=所以1cos ,2AD CM <>==解得2λ=所以，当点M 与点E 重合时，AD 和CM 的夹角为60︒. ………5分（2）平面BCE 的法向量()0,1,0m = ，设平面OCE 的法向量()000,,n x y z =由()()2,0,2,1,1,0CE CO ==所以00n CE n CO ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即0000220,0,x z x y +=⎧⎨+=⎩，故0000,,z x y x =-⎧⎨=-⎩ 令()01,1,1,1x n =-=-因为二面角O-CE-B 是锐二面角，记为θ，则cos ,m n m n m n<>==故锐二面角O-CE-B.....................................10分 23．（1）当2n =时，由1121112()(1)()n n nS S n S S S --=++++ ，可得22123(1)1a a =⨯++，所以22a =，同理33a = 猜想n a n =.当1,2n =时，命题成立，假设当n k =时命题成立，即k a k =，则当n=k+1时，11211112()(11)()k k k S S k S S S ++-=+++++ 所以1121111111()2k k k k a S S S S ++++=++++ 因为(1)2k k k S +=，所以121111111111112(1)()()2231k k k k S S S S k k S a ++⎡⎤++++=-+-++-+⎢⎥++⎣⎦ 1111212(1)11k k k k k k S a k S a ++=-+=+++++，即11221212k k k k a k a ++⎡⎤⎢⎥+=+⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦解得11k a k +=+所以，当1n k =+时命题成立，综上，n a n =. ……………5分（2）当n ≥2时，欲证2224n n a a n n a a +-+≤，只需证明214nn ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，因为0112222222(1)41()()()1242nn nnn n n n n C C C C n n n n n -⎛⎫+=++++≥++⋅≥ ⎪⎝⎭所以对任意正整数n (n ≥2)，都有2224n n a a n n a a +-+≤成立． …………10分。

2019届江苏南通市高三数学模拟试题答案

参考答案1、 {12}-，2、3-3、1-4、1455、126、(20)(2)-+∞U ，，7、14 8、2 9、73π 10、158- 11、43 12、6 13、13- 14、26215、（1）π3C =．（2）39sin 26B =．16、略17、（1）椭圆C 的方程为22143y x +=．（2）若1l 的斜率为0，则463PQ =，2MN =，所以△PQN的面积为463，不合题意，所以直线1l 的斜率不为0．设直线1l 的方程为1y kx =+，由221431y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y ，得22(34)880k x kx ++-=，设()11P x y ，，()22Q x y ，，则2124262134k k x k--⋅+=+，2224262134k k x k -+⋅+=+，所以221212()()PQ x x y y =-+-22212246121134k k k x x k+⋅+=+-=+．直线2l 的方程为11y x k =-+，即0x ky k +-=，所以． 22222111k MN k k=-=++ 所以△PQN的面积12S PQ MN =⋅2222461211232341k k k k +⋅+=⨯⋅=++，解得12k =±，即直线1l 的斜率为12±． 18、（1）方法一：建立直角坐标系四边形ABA F '的面积为24m 3．方法二：设ABF θ∠=，则2ABA θ'∠=．在直角△ABD 中，3tan 24AD AB θ==，所以22tan 341tan θθ=-，解得1tan 3θ=或tan 3θ=-（舍去）．所以2tan 3AF AB θ==．所以△ABF 的面积为21222m 233⨯⨯=，所以四边形ABA F '的面积为24m 3．（2）方法一：建立如图所示的直角坐标系．设AE a =，AF b =，()00A x y '，，则直线EF 的方程为0bx ay ab +-=，因为点A ，A '关于直线EF 对称，所以0000022y ax b bx ay ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，，解得20222a b y a b =+．因为四边形AEA F '的面积为3，所以3ab =，所以3043232333a y a a a==++．因为02a <≤，302b <≤，以2323a ≤≤．设33()f a a a =+，2323a ≤≤． 244(3)(3)(3)9()1a a a f a a a++-'=-=，令A B CDFE xy()0f a '=，得3a =或3a =-（舍去）．列表如下：当3a =时，()f a 取得极小值，即最小值433，所以0y 的最大值为32，此时点A '在CD 上，3a =，1b =．答：点A '到AB 距离的最大值为3m 2．方法二：设AE a =，AEF θ∠=，则tan AF a θ=．因为四边形AEA F '的面积为3，所以3AE AF ⋅=，即2tan 3a θ=，所以23tan a θ=．过点A '作AB 的垂线A T '，垂足为T ，则sin2sin2sin2A T A E AE a θθθ''=⋅=⋅= 22224332232sincos 2tan 33sin cos tan 11a a a a a a a θθθθθθ⨯=⋅=⋅=⋅=++++．因为02AE <≤，302AF <≤，所以2323a ≤≤．（下同方法一）19、（1）由11(2)(21)n n n n na a a a ---=-，得1122n n n a a -=+-，得()11121n n n n a a -⎡⎤-=--⎢⎥⎣⎦，即12n n b b -=因为1=3a ，所以11121=03b a =--≠，所以12n n bb -=（2n ≥），所以{}n b 是以1b 为首项，2为公比等比数列．（2）① 设111a λ-=，由（1）知，12n n b b -=，所以21121222n n n n b b b b ---====L ，即112n nn a λ--=⋅，所以112k k k a λ-=⋅+．因为1k a ，11k a +，21k a +成等差数列，则11(2)(22)2(21)k k k k k k λλλ-+⋅++⋅++=⋅++，所以120k λ-⋅=，所以0λ=，所以1n n a =，即1n a n=．② 要证111ln ln(1)22n n n a n a ++>+-，即证111()ln 2n n n a a n +++>，即证1112ln 1n n n n ++>+．设1n t n +=，则111111t t t n n t t -+=-+=-+，且1t >，从而只需证，当1t >时，12ln t t t ->．设1()2ln f x x x x=--（1x >），则22121()1(1)0f x x x x '=+-=->，所以()f x 在(1)+∞，上单调递增，所以()(1)0f x f >=，即12ln x x x ->，因为1t >，所以12ln t t t ->，所以，原不等式得证． 20、（1）()f x 的定义域为()()110e e --+∞，，U ．由， 222112(1ln )2(ln )2()(1ln )(1ln )ax x ax ax x x f x x x +-⋅+'==++ 令()0f x '>，因为0a >，得12e x ->，因为112ee -->，()f x 的单调增区间是()12e -+∞，． a2333⎡⎫⎪⎢⎣⎭，3(32⎤⎦， ()f a ' -0 +()f a单调递减极小值单调递增ABCDFET（2）当0a <时，1(1)02e b f a -=<<，不合题意；当0a >时，令()0f x '<，得10e x -<<或112e e x --<<，所以()f x 在区间()10e-，和()112ee--，上单调递减．因为()1121e e 2--∈，，且()f x 在区间()12e-+∞，上单调递增，所以()f x 在12e x -=处取极小值2e a ，即最小值为2e a ．若12x ∀≥，1()2e b f x -≥，则122e e b a -≥，即e b a ≥．不妨设0b >，则e b b b a ≤．设()e bb g b =（0b >），则1()e b b g b -'=．当01b <<时，()0g b '>；当1b >时，()0g b '<，所以()g b 在()01，上单调递增；在()1+∞，上单调递减，所以()(1)g b g ≤，即1e ebb ≤，所以b a 的最大值为1e ．（3）由（2）知，当0a >时，()f x 无极大值，当0a <时，()f x 在()10e -，和()112e e--，上单调递增；在()12e -+∞，上单调递减，所以()f x 在12e x -=处取极大值，所以122(e )2ea f -==-，即e a =-．设()()e x F x f x =+，即2e ()e 1ln xx F x x=-+，当()10e x -∈，，1ln 0x +<，所以()0F x >；当()1e x -∈+∞，，2e (12ln )()e (1ln )x x x F x x +'=-+，由（2）知，e e x x ≤，又212ln (1ln )x x ++≤，所以()0F x '≥，且()F x 不恒为零，所以()F x 在()1e -+∞，上单调递增．不等式()e 0x f x +<，即为()0(1)F x F <=，所以1e 1x -<<，即不等式的解集为()1e 1-，． 21A 、由题意得，11001-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AA ，即2122100101a c a dac b d bd b ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以1120a b c d ====，，，，即矩阵1201-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ．设()P x y ，为曲线C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为点()P x y '''，，则 1201x x y y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2.x x y y y '=-⎧⎨'=⎩，由已知条件可知，()P x y '''，满足21y x =+，整理得：2510x y -+=，所以曲线C 的方程为2510x y -+=．21B 、（1）分别将()π42A ，，()5π4B ，转化为直角坐标为()04A ，，()22B --，，所以直线AB 的直角坐标方程为340x y -+=．（2）曲线C 的方程为r ρ=（0r >），其直角坐标方程为222x y r += 又直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，即直线与圆相切，所以圆心到直线AB=r21C 、因为关于x 的方程2410x x a a ++-+=有实根，所以164(1)0a a ∆=--+≥，即41a a -+≤ 当1a ≥时，421a -≤，得512a ≤≤；当01a <<时，1≤4，恒成立，即01a <<；当0a ≤时，412a -≤，得032a -≤≤，综上：所求a 的取值范围为3522a -≤≤．22、（1）由题意，获得的积分不低于9分的情形有：因为两类学习互不影响，所以概率111111115926223229P =⨯+⨯+⨯+⨯=，所以每日学习积分不低于9分的概率为59．（2）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3．由（1）每个人积分不低于9分的概率为59．()()3464=0=9729P ξ=；()()()21354240=1=C 99729P ξ=；()()()22354300=2=C 99729P ξ=；()()35125=3=9729P ξ=．所以，随机变量ξ的概率分布列为所以642403001255()01237297297297293E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．所以，随机变量ξ的数学期望为53．23、（1）由201234444441111153P C C C C C =-+-+=，2123444441234103Q C C C C =-+-+=，所以2220P Q -=．（2）设n n T nP Q =-，则01221232222222221232()()n nn n n n n n n n n n n n n T C C C C C C C C =-+-⋅⋅⋅+--+-+⋅⋅⋅+ 0123222222123nn n n n nn n n n n C C C C C ----=-+-+⋅⋅⋅+ ① 因为222k n k n n C C -=，所以2212223022222123n n n n n n n n n n n n n n T C C C C C -------=-+-+⋅⋅⋅+0123222222123nn n n n n n n n n n C C C C C ----=-+-+⋅⋅⋅+ ② ①+②得，20T =，即0n n T nP Q =-=，所以0n n nP Q -=．。

南通市第三中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

南通市第三中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）N ，则输出的S的值是（）1．在下面程序框图中，输入44A．251B．253C．255D．260【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是把正整数除以4后按余数分类.2．某几何体的三视图如图所示，则此几何体不可能是（）A． B ． C． D．3．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标系是( )。

ABC D4． ABC ∆的外接圆圆心为O ，半径为2，OA AB AC ++为零向量，且||||OA AB =，则CA 在BC 方向上的投影为（）A ．-3 B． C ．3 D5．已知2->a ，若圆1O ：01582222=---++a ay x y x ，圆2O ：04422222=--+-++a a ay ax y x 恒有公共点，则a 的取值范围为（）.A ．),3[]1,2(+∞--B ．),3()1,35(+∞-- C ．),3[]1,35[+∞-- D ．),3()1,2(+∞--6．若()()()()2,106,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎡⎤⎪⎣⎦⎩,则()5f 的值为（） A ．10 B ．11 C.12 D ．137．与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（） A．（，1，1） B ．（﹣1，﹣3，2） C．（﹣，，﹣1） D．（，﹣3，﹣2）8．已知，则tan2α=（）A． B．C．D．9．设集合,,则( )ABC D10．已知函数f （x ）＝⎩⎨⎧a x －1，x ≤1log a1x ＋1，x ＞1（a ＞0且a ≠1），若f （1）＝1，f （b ）＝－3，则f （5－b ）＝（） A ．－14B ．－12C ．－34D ．－5411．等差数列{a n }中，a 1+a 5=10，a 4=7，则数列{a n }的公差为（）A ．1B ．2C ．3D ．412．数列{}n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123n a a a a n =，则35a a +等于（）A ．259B ．2516C ．6116D ．3115二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．在等差数列}{n a 中，20161-=a ，其前n 项和为n S ，若2810810=-SS ，则2016S 的值等于 .【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，对等差数列性质也有较高要求，属于中等难度.14．设向量a ＝（1，－1），b ＝（0，t ），若（2a ＋b ）·a ＝2，则t ＝________．15．已知,x y 满足41y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则22223y xy x x -+的取值范围为____________. 16．如图为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由块木块堆成．三、解答题（本大共6小题，共70分。

2019年南通市高三数学第三次模拟试卷及答案解析

2019届江苏省南通市高三阶段性学情联合调研数学（理）试题一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={1，3，5}，B ={2，3}，则集合A ∪B 中的元素个数为______．2. 已知复数z =a +3i （i 为虚数单位），若z 2是纯虚数，则实数a 的值为______．3. 已知双曲线C ：x 2-y 2=1，则点（4，0）到C 的渐近线的距离为______．4. 设命题p ：x ＞4；命题q ：x 2-5x +4≥0，那么p 是q 的______条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）． 5. 函数f （x ）=√lnx −2的定义域为______．6. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C =π3，b =√6，c =3，则A =______．7. 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和为S n ，若a 4+a 10=0，2S 12=S 2+10，则d 的值为______．8. 如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1-BB 1D 1D 的体积为______．9. 已知函数f （x ）=sin x （x ∈[0，π]）和函数g （x ）=13tan x 的图象相交于A ，B ，C 三点，则△ABC 的面积为______．10. 设m ，n 为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ②若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β； ③若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α； ④若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β．其中的正确命题序号是______．11. 设x ＞0，y ＞0，向量a ⃗ =（1-x ，4），b ⃗ =（x ，-y ），若a ⃗ ∥b ⃗ ，则x +y 的最小值为______． 12. 已知函数f （x ）=e x -e -x -2x ，则不等式f （x 2-4）+f （3x ）＞0的解集为______． 13. 已知函数f(x)={2x−1+1,x ≤1|ln(x−1)|,x>1，若函数g （x ）=f （x ）-a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是______．14. 已知直线l ：y =kx +3与圆C ：x 2+y 2-2y =0无公共点，AB 为圆C 的直径，若在直线l上存在点P 使得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则直线l 的斜率k 的取值范围是______．二、解答题（本大题共10小题，共120.0分）15. 在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P(−35，−45)．（1）求sin(α+π3)的值；（2）若角β满足sin(α+β)=513，求cosβ的值．16.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为菱形，且∠A1AB=60°，AC=BC，D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面A1DC；（2）求证：平面A1DC⊥平面ABC．17.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦点坐标为F1(−√3，0)，F2(√3，0)，且椭圆E经过点P(−√3，12)．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设点M是椭圆E上位于第一象限内的动点，A，B分别为椭圆E的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形ABCD的面积．18.某海警基地码头O的正西方向30海里处有海礁界碑A，过点A且与AO成60°角（即北偏东30°）的直线l为此处的一段领海与公海的分界线（如图所示）．在码头O 的正西方向且距离O点12海里的领海海面P处有一艘可疑船停留，基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从O处即刻出发．若巡逻艇以可疑船的航速的λ倍（λ＞1）前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在点Q处截获可疑船．（1）若可疑船的航速为10海里/小时，λ=2，且可疑船沿北偏西30°的方向朝公海逃跑，求巡逻艇成功拦截可疑船所用的时间．（2）若要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船，求λ的最小值．19.已知函数f（x）=ax3+bx2+4a，（a，b为常数）（1）若a=1，b=3．①求函数f（x）在区间[-4，2]上的最大值及最小值．②若过点（1，t）可作函数f（x）的三条不同的切线，求实数t的取值范围．（2）当x∈[1，4]时，不等式0≤f（x）≤4x2恒成立，求a+b的取值范围．20. 已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗)，且a 3=a 2+2，a 2•a 4=16．数列{b n }的前n 项和为T n ，且b 1=1，nT n+1=(n +1)T n +n(n+1)2(n ∈N ∗)．（1）求数列{a n }的通项公式及其前n 项和S n ；（2）证明数列{b n }为等差数列，并求出{b n }的通项公式；（3）设数列c n =∑(S k+1+1)bk(k+1)(k+2)n k=1，问是否存在正整数m ，n ，l （m ＜n ＜l ），使得c m ，c n ，c l 成等差数列，若存在，求出所有满足要求的m ，n ，l ；若不存在，请说明理由．21. [选做题]已知二阶矩阵M 属于特征值3的一个特征向量为e⃗ =[11]，并且矩阵M 对应的变换将点（-1，2）变成点（9，15），求出矩阵M ．22. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l 的参数方程是{x =−35t +2y =45t （t 为参数）．设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值．23. 某市有A ，B ，C ，D 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A 的概率为23，游览B 、C 和D 的概率都是12，且该游客是否游览这四个景点相互独立．（1）求该游客至多游览一个景点的概率；（2）用随机变量X 表示该游客游览的景点的个数，求X 的概率分布和数学期望E （X ）．24. 已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P （1，2），过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：1λ+1μ为定值．答案和解析1.【答案】4【解析】解：∵集合A={1，3，5}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3，5}，∴集合A∪B中的元素个数为4．故答案为：4．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】±3【解析】解：∵z=a+3i，∴z2=（a+3i）2=（a2-9）+6ai，由z2是纯虚数，得，解得：a=±3．故答案为：±3．由已知求得z2，再由实部为0且虚部不为0列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】2√2【解析】解：双曲线C：x2-y2=1的渐近线方程为x±y=0，点（4，0）到C的渐近线的距离为d==2．故答案为：2．求得双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础题．4.【答案】充分不必要【解析】解：命题q：x2-5x+4≥0⇔x≤1，或x≥4，∵命题p：x＞4；故p是q的：充分不必要条件，故答案为：充分不必要求解不等式，进而根据充要条件的定义，可得答案．本题考查的知识点是充要条件，不等式的解法，难度中档．5.【答案】[e2，+∞）【解析】解：要使f（x）有意义，则：lnx-2≥0；∴x≥e2；∴f（x）的定义域为：[e2，+∞）．故答案为：[e2，+∞）．可以看出，要使得函数f（x）有意义，则需满足lnx-2≥0，解出x的范围即可．考查函数定义域的概念及求法，对数函数的单调性，增函数的定义．6.【答案】5π12【解析】解：∵，∴由正弦定理，可得：sinB===，∵b＜c，B∈（0，），∴B=，∴A=π-B-C=π--=．故答案为：．由已知利用正弦定理可得sinB的值，根据大边对大角，特殊角的三角函数值可求B的值，根据三角形内角和定理可求A的值．本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7.【答案】-10【解析】解：由a4+a10=0，2S12=S2+10，可得，解得d=-10，故答案：-10由已知条件结合等差数列的通项公式和求和公式，求解即可得答案．本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．8.【答案】13【解析】解：由题意可知四棱锥A1-BB1D1D的底面是矩形，边长：1和，四棱锥的高：A1C1=．则四棱锥A1-BB1D1D的体积为：=．故答案为：．求出四棱锥的底面面积与高，然后求解四棱锥的体积．本题考查几何体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．9.【答案】√2π3【解析】解：根据题意，令sinx=tanx，即sinx（1-）=0，解得sinx=0，或1-=0，即sinx=0或cosx=．又x∈[0，π]，∴x=0或x=π，或x=arccos，∴点A（0，0），B（π，0），C（arccos，），∴△ABC的面积为•|AB|•|y C|==π，故答案为：．根据题意，令sinx=tanx，结合x∈[0，π]求出x的值，得出三个点A、B、C的坐标，即可计算△ABC的面积．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，属于中档题．10.【答案】②④【解析】解：由m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，知：在①中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故①错误；在②中，若m⊥α，m∥β，则由面面垂直的判断定理得α⊥β，故②正确；在③中，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故③错误；在④中，若m⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故④正确．故答案为：②④．在①中，α与β相交或平行；在②中，由面面垂直的判断定理得α⊥β；在③中，n∥α或n⊂α；在④中，由线面垂直的判定定理得m⊥β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．11.【答案】9【解析】解：因为∥，所以4x+（1-x）y=0，又x＞0，y＞0，所以+=1，故x+y=（+）（x+y）=5++≥9．当=，+=1同时成立，即x=3，y=6时，等号成立．（x+y）min=9．故答案为：9．先根据向量平行得到+=1，再利用基本不等式即可求出最值．本题考查了向量平行的条件和基本不等式的应用，属于基础题．12.【答案】{x|x＞1或x＜-4}【解析】解：根据题意，函数f（x）=e x-e-x-2x，有f（-x）=e-x-e x-2（-x）=-（e x-e-x-2x）=-f（x），则函数f（x）为奇函数，又由f′（x）=e x+e-x-2=e x+-2≥0，即函数f（x）在R上为增函数，则f（x2-4）+f（3x）＞0⇒f（x2-4）＞-f（3x）⇒f（x2-4）＞-f（3x）⇒f（x2-4）＞f（-3x）⇒x2-4＞-3x，即x2+3x-4＞0，解可得：x＞1或x＜-4，故答案为：{x|x＞1或x＜-4}．根据题意，由函数的解析式分析可得f（x）为奇函数，求出函数的导数分析可得f（x）在R上为增函数，据此可得f（x2-4）+f（3x）＞0⇒f（x2-4）＞-f（3x）⇒f （x2-4）＞-f（3x）⇒f（x2-4）＞f（-3x）⇒x2-4＞-3x，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的单调性与奇偶性的判断以及应用，注意利用导数分析函数f （x）的单调性，属于基础题．13.【答案】（1，2]【解析】解：函数g（x）=f（x）-a有三个不同的零点，即方程f（x）-a=0有三个不同的实数根，作出y=f（x）与y=a的图象如图：由图可知，要使函数g（x）=f（x）-a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（1，2]．故答案为：（1，2]．把函数g（x ）=f（x）-a有三个不同的零点，转化为方程f（x ）-a=0有三个不同的实数根，作出y=f（x）与y=a的图象，数形结合得答案．本题考查函数零点的判定，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14.【答案】（-√3，-1]∪[1，√3）【解析】解：直线l：y=kx+3与圆C ：x2+y2-2y=0无公共点，可得＞1，解得-＜k＜，设P（m，n），由题意可得+=2，两边平方可得2+2+2•=42，即为2[m2+（n-1）2+1]+2=4（m2+（n-1）2），化为m2+（n-1）2=2，即有P在直线l上，又在圆x2+（y-1）2=2上，可得≤，解得k≥1或k≤-1，综上可得k∈（-，-1]∪[1，）．故答案为：（-，-1]∪[1，）．由直线和圆无交点可得d＞r，求得k的范围，设出P（m，n），由题意可得+ =2，两边平方，结合向量的数量积的性质和两点的距离公式，可得P 在圆x2+（y-1）2=2上，又在直线l上，由直线和圆有交点的条件，解不等式可得所求范围．本题考查直线和圆的位置关系，注意运用向量的中点表示和向量数量积的性质，考查直线和圆有交点的条件，化简运算能力，属于中档题．第11页共21页第12页，共21页15.【答案】解：（1）∵角α的终边经过点 P(−35，−45)，∴OP =√(−35)2+(−45)2=1∴sinα=−45，cosα=−35…………（4分）∴sin(α+π3)=12sinα+√32cosα=12×(−45)+√32×(−35)=−4+3√310…………（7分）（2）∵sin(α+β)=513，∴cos(α+β)=±√1−sin(α+β)2=±√1−(513)2=±1213…………（9分）∵β=（α+β）-α，∴cosβ=cos （α+β）cosα+sin （α+β）sinα∴当cos(α+β)=1213时，cosβ=−5665； …………（11分）当cos(α+β)=−1213时，cosβ=1665…………（13分）综上所述：cosβ=−5665或cosβ=1665…………（14分）【解析】（1）由角α的终边经过点 P ，结合三角函数的定义可求sinα，cosα，然后结合两角和的正弦公式可求（2）由，结合同角平方关系可求cos （α+β），然后根据β=（α+β）-α，及两角差的余弦可求本题主要考查了三角函数的定义及两角和的正弦公式，同角平方关系，两角差的余弦公式等知识的综合应用，属于中档试题． 16.【答案】（1）证明：连结C 1A ，设AC 1∩A 1C =E ，连结DE ．∵三棱柱的侧面AA 1C 1C 是平行四边形，∴E 为AC 1中点在△ABC 1中，又∵D 是AB 的中点，∴DE ∥BC 1． ∵DE ⊂平面A 1DC ，BC 1不包含于平面A 1DC ， ∴BC 1∥平面A 1DC（2）证明：∵ABB 1A 1为菱形，且∠A 1AB =60°， ∴△A 1AB 为正三角形∵D 是AB 的中点，∴AB ⊥A 1D ．∵AC =BC ，D 是AB 的中点，∴AB ⊥CD ． ∵A 1D ∩CD =D ，∴AB ⊥平面A 1DC ．∵AB ⊂平面ABC ，∴平面A 1DC ⊥平面ABC ．【解析】（1）连结C 1A ，设AC 1∩A 1C=E ，连结DE ．由三角形中位线定理得到DE∥BC1．由此能证明BC1∥平面A1DC．（2）由已知条件得△A1AB为正三角形，从而得到AB⊥CD，进而得到AB⊥平面A1DC，由此能证明平面A1DC⊥平面ABC．本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17.【答案】解：（1）因为椭圆焦点坐标为F1(−√3，0)，F2(√3，0)，且过点P(−1，√32)，所以2a=PF1+PF2=12+√494=4，所以a=2，…………（3分）从而b=√a2−c2=√4−3=1，故椭圆的方程为x24+y2=1．…………（6分）（2）设点M（x0，y0）（0＜x0＜2，0＜y0＜1），C（m，0），D（0，n），因为A（-2，0），且A，D，M三点共线，所以y0x0+2=n2，解得n=2y0x0+2，所以BD=1+2y0x0+2=x0+2y0+2x0+2，…………（8分）同理得AC=x0+2y0+2y0+1，…………（10分）因此，S ABCD=12AC⋅BD=12⋅x0+2y0+2x0+2⋅x0+2y0+2y0+1=(x0+2y0+2)22(x0+2)(y0+1)=x02+4y02+4x0y0+4x0+8y0+42(x0y0+x0+2y0+2)，…………（12分）因为点M（x0，y0）在椭圆上，所以x024+y02=1，即x02+4y02=4，代入上式得：S ABCD=4x0y0+4x0+8y0+82(x0y0+x0+2y0+2)=2．∴四边形ABCD的面积为2．…………（14分）【解析】（1）由椭圆的离心率及椭圆经过点，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设点M（x0，y0）（0＜x0＜2，0＜y0＜1），C（m，0），D（0，n），由A，D，M三点共线，解得，，同理得，可第13页共21页第14页，共21页得=2本题考查椭圆方程的求法，考查四边形的面积为定值的证明，是中档题， 18.【答案】解：（1）因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的2倍，可疑船的航速为10海里/小时，所以巡逻艇的航速为20海里/小时，且OQ =2PQ ，设PQ =a ，则OQ =2a ；又可疑船沿北偏西30°的方向朝公海逃跑，所以∠QPO =120°，…………（2分）在△OPQ 中，有OQ 2=OP 2+PQ 2-2OP •PQ cos ∠OPQ ，即4a 2=a 2+144-2×12a cos120°，故a 2-4a -48=0，解得a =2±2√13（负值舍去）； ……（5分）所以巡逻艇成功拦截可疑船所用时间为t =a10=√13+15小时； …………（7分）（2）以O 为坐标原点，AO 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，则P （-12，0），A （-30，0），设Q （x ，y ），因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的λ倍，所以OQ =λPQ ，故x 2+y 2=λ2[（x +12）2+y 2]，即x 2+y 2+24λ2λ2−1x +144λ2λ2−1=0；故可疑船被截获的轨迹是以(−12λ2λ2−1，0)为圆心，以12λλ2−1为半径的圆；…………（10分）又直线l 的方程为y =√3(x +30)，即√3x −y +30√3=0，要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船，则：圆心(−12λ2λ2−1，0)在直线y =√3(x +30)下方，且Q 的轨迹与直线l 至多只有一个公共点，所以30−12λ2λ2−1＞0且|−12√3λ2λ2−1+30√3|2≥12λλ2−1；…………（13分）即{λ2＞533√3λ2−4λ−5√3≥0λ＞1，解得λ≥√3，故要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船，则λmin =√3． …………（16分）【解析】（1）由题意在△OPQ 中，利用余弦定理列方程求出PQ 的值，再计算巡逻艇成功拦截可疑船所用的时间；第 15 页共 21 页（2）以O 为坐标原点，AO 的方向为x 轴的正方向建立平面直角坐标系，利用坐标表示点与直线，求出可疑船被截获的轨迹是圆，以及要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船所满足的条件，从而求出λ的取值范围和最小值．本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了数学模型应用问题，是中档题． 19.【答案】解：（1）因为a =1，b =3，所以f （x ）=x 3+3x 2+4，从而f '（x ）=3x 2+6x ．①令f '（x ）=0，解得x =-2或x =0，列表：所以，（）max （），（）min ．…………（分）②设曲线f （x ）切线的切点坐标为P(x 0，x 03+3x 02+4)，则k =3x 02+6x 0，故切线方程为y −x 03−3x 02−4=(3x 02+6x 0)(x −x 0)，因为切线过点（1，t ），所以t −x 03−3x 02−4=(3x 02+6x 0)(1−x 0)，即2x 03−6x 0+t −4=0，…………（6分）令g(x 0)=2x 03−6x 0+t −4，则g′(x 0)=6x 02−6，所以，当x 0∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，g '（x 0）＞0，此时g （x 0）单调递增，当x 0∈（-1，1）时，g '（x 0）＜0，此时g （x 0）单调递减，所以g （x 0）极小值=g （1）=t -8，g （x 0）极大值=g （-1）=t ，要使过点（1，t ）可以作函数f （x ）的三条切线，则需{g(1)<0g(−1)>0，解得0＜t ＜8． …………（9分）（2）当x ∈[1，4]时，不等式0≤ax 3+bx 2+4a ≤4x 2等价于0≤a(x +4x 2)+b ≤4，………（11分）令ℎ(x)=x +4x 2，则ℎ′(x)=1−8x 3=x 3−8x 3，所以，当x ∈（1，2）时，h '（x ）＜0，此时函数单调递减；当x ∈（2，4）时，h '（x ）＞0，此时函数单调递增，故h （x ）min =3，h （x ）max =5． …………（13分）若a =0，则0≤b ≤4，此时0≤a +b ≤4；若a ≠0，则{0≤5a +b ≤40≤3a+b≤4，从而a +b =2（3a +b ）-（5a +b ）∈[-4，8]；综上可得-4≤a +b ≤8． …………（16分）【解析】（1）①代入a ，b 的值，求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可；②设出切点坐标，表示出切线方程，结合函数的单调性得到关于t的不等式组，解出即可；（2）问题等价于，令，结合函数的单调性求出函数的最值，求出a+b的范围即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．20.【答案】解：（1）设正项等比数列{a n}的公比为q（q＞0），则由a2•a4=16，得a32=16，从而a3=4，又由a3=a2+2，得a2=2，因此，q=a3a2=2，所以a n=a2q n−2=2n−1，S n=1−2n1−2=2n−1．（2）方法一：因为nT n+1=(n+1)T n+n(n+1)2，所以T n+1n+1=T nn+12，从而数列{T nn }是以T11=1为首项，12为公差的等差数列，故T nn =1+12(n−1)=12(n+1)，故T n=12n(n+1)，当n≥2时，b n=T n−T n−1=12n(n+1)−12(n−1)n=n，且n=1时适合，因此，b n=n，从而当n≥2时，b n-b n-1=1为常数，所以，数列{b n}为等差数列．方法二：因为nT n+1=(n+1)T n+n(n+1)2，所以，当n≥2时，有(n−1)T n=nT n−1+n(n+1)2，两式相减得：nT n+1=2nT n-nT n-1+n，即T n+1=2T n-T n-1+1，故T n+1-T n=T n-T n-1+1，即b n+1=b n+1，又由b1=1，nT n+1=(n+1)T n+n(n+1)2得T2=2T1+1=3，从而b2=T2-T1=2，故b2-b1=1，第16页，共21页第 17 页共 21 页所以，数列{b n }为等差数列．（3）因为(S k+1+1)b k (k+1)(k+2)=2k+1⋅k (k+1)(k+2)=2k+2k+2−2k+1k+1，所以c n =(233−222)+(244−233)+⋯+(2n+2n+2−2n+1n+1)=2n+2n+2−2，假设存在存在正整数m ，n ，l （m ＜n ＜l ），使得c m ，c n ，c l 成等差数列，则2(2n+2n+2−2)=(2m+2m+2−2)+(2l+2l+2−2)，即2n+3n+2=2m+2m+2+2l+2l+2，令d n =2n n(n ≥3，n ∈N ∗)，则原问题等价于存在正整数m '，n '，l '（3≤m '＜n '＜l '），使得2⋅2n′n′=2m′m′+2l′l′，即2d n '=d m '+d l '成立．因为d n+1−d n =2n+1n+1−2n n=2n (n−1)n(n+1)＞0（因为n ≥3），故数列{d n }单调递增，若l '-n '≥2，即l '≥n '+2，则d l '≥d n '+2，从而d l′d n′≥d n′+2d n′=2n′+2n′+22n′n′=4n′n′+2=41+2n′＞2，即d l '＞2d n '，而2d n '=d m '+d l '，因此，d m '＜0，这与d m '＞0恒成立矛盾，故只能有l '-n '=1，即l '=n '+1，从而2n′+1n′=2m′m′+2n′+1n′+1，故2m′m′=2n′+1n′(n′+1)，即m′=n′(n′+1)2n′+1−m′(n′≥4，n′＞m′)，（*） ①若n '为奇数，则记t =n′+12n′+1−m′，从而n′+12n′+1=t ⋅2m′，因为数列{d n }(n ≥3，n ∈N ∗)单调递增，所以数列{1d n}(n ≥3，n ∈N ∗)单调递减，故当n '≥4时，n′+12n′+1≤532，而2m '∈N *，故t ∉N ，因此，（*）式无正整数解． ②若n '为偶数，第18页，共21页则记u =n′2n′+1−m′，即n′2n′=u ⋅2m′−1，同理可得（*）无正整数解．综上，不存在存在正整数m '，n '，l '（3≤m '＜n '＜l '），使得c m '，c n '，c l '成等差数列，也即不存在正整数m ，n ，l （m ＜n ＜l ），使得c m ，c n ，c l 成等差数列．【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式和数列的前n 项和．（2）利用等差数列的定义和递推关系式求出数列的通项公式．（3）利用存在性问题的应用，利用数列的等差中项进行判断求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等差数列的通项公式和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于难题．21.【答案】解：设M =[cdab]，由题意有，[cd ab][11]=3[11]，且[cd ab][2−1]=3[159]， ∴{a +b =3c +d =3−a +2b =9−c +2d =15，解得{a =−1b =4c =−3d =6，∴M =[−36−14]．【解析】先设矩阵，这里a ，b ，c ，d ∈R ，由二阶矩阵M 有特征值λ=3及对应的一个特征向量e 1及矩阵M 对应的变换将点（-1，2）变成点（9，15），得到关于a ，b ，c ，d 的方程组，即可求得矩阵M ．本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题．22.【答案】解：曲线C 的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ．又x 2+y 2=ρ2，x =ρcosθ，y =ρsinθ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2y =0．将直线l 的参数方程消去t 化为直角坐标方程：y =−43(x −2)，令y =0，得x =2，即M 点的坐标为（2，0）．又曲线C 的圆心坐标为（0，1），第 19 页共 21 页半径r =1，则|MC|=√5， ∴|MN|≤|MC|+r =√5+1．【解析】利用x 2+y 2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程．将直线l 的参数方程消去t 化为直角坐标方程：，令y=0，可得M 点的坐标为（2，0）．利用|MN|≤|MC|+r 即可得出．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.【答案】解：（1）记“该游客游览i 个景点”为事件A i ，则i =0，1；所以P(A 0)=(1−23)(1−12)(1−12)(1−12)=124，P(A 1)=(1−23)(1−12)3+(1−23)C 31⋅12⋅(1−12)2=524；所以该游客至多游览一座山的概率为 P(A 0)+P(A 1)=124+524=14；…………（4分）（2）由题意知，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4；计算P(X =0)=P(A 0)=124， P(X =1)=P(A 1)=524，P(X =2)=23×C 31×12×(1−12)2+(1−23)×C 32×(12)2×(1−12)=38，P(X =3)=23×C 32×12×(1−12)+(1−13)×C 33×(12)3=724，P(X =4)=23×(12)3=112，所以X 的概率分布为： X 01234P12452438724112…………（8分）数学期望为E(X)=0×124+1×524+2×924+3×724+4×224=136；答：X 的数学期望为136．…………（10分）【解析】（1）利用相互独立事件的概率公式和互斥事件的概率和，求得所求的概率值；第20页，共21页（2）由题意知随机变量X 的可能取值，计算对应的概率值，写出X 的分布列，求出数学期望值．本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了有关概率的计算问题，是中档题．24.【答案】解：（Ⅰ）∵抛物线C ：y 2=2px 经过点P （1，2），∴4=2p ，解得p =2，设过点（0，1）的直线方程为y =kx +1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）联立方程组可得{y =kx +1y 2=4x，消y 可得k 2x 2+（2k -4）x +1=0， ∴△=（2k -4）2-4k 2＞0，且k ≠0解得k ＜1，且k ≠0，x 1+x 2=-2k−4k 2，x 1x 2=1k 2，又∵PA 、PB 要与y 轴相交，∴直线l 不能经过点（1，-2），即k ≠-3，故直线l 的斜率的取值范围（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）；（Ⅱ）证明：设点M （0，y M ），N （0，y N ），则QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，y M -1），QO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，-1）因为QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以y M -1=-y M -1，故λ=1-y M ，同理μ=1-y N ，直线PA 的方程为y -2=2−y 11−x 1（x -1）=2−y 11−y 124（x -1）=42+y 1（x -1），令x =0，得y M =2y 12+y 1，同理可得y N =2y 22+y 2，因为1λ+1μ=11−y M +11−y N =2+y 12−y 1+2+y 22−y 2=8−2y 1y 2(2−y 1)(2−y 2)=8−2(kx 1+1)(kx 2+1)1−k(x 1+x 2)+k 2x 1x 2=8−[k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1]1−k(x 1+x 2)+k 2x 1x 2=8−2(1+4−2kk +1)1−4−2k k+1=4−2×4−2k k 2−4−2k k=2，∴1λ+1μ=2，∴1λ+1μ为定值．【解析】（Ⅰ）将P 代入抛物线方程，即可求得p 的值，设直线AB 的方程，代入椭圆方程，由△＞0，即可求得k 的取值范围；（Ⅱ）根据向量的共线定理即可求得λ=1-y M ，μ=1-y N ，求得直线PA 的方程，令x=0，求得M 点坐标，同理求得N 点坐标，根据韦达定理即可求得+为定值．本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查转化思想，计算能力，属于中档题．第21页共21页。

江苏省南通中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

江苏省南通中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知三棱柱111ABC A B C - 的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（）A B D ．342．函数f （x ）=有且只有一个零点时，a 的取值范围是（）A ．a ≤0B ．0＜a ＜C ．＜a ＜1D ．a ≤0或a ＞13．已知f （x ）=m •2x +x 2+nx ，若{x|f （x ）=0}={x|f （f （x ））=0}≠∅，则m+n 的取值范围为（） A ．（0，4） B ．[0，4） C ．（0，5] D ．[0，5]4．已知角的终边经过点()3P x ，()0x <且cos x θ=，则等于（）A ．1-B ．13- C ．3- D ．5．已知，，那么夹角的余弦值（）A ．B ．C ．﹣2D ．﹣6．执行如图所示的程序框图，输出的值是（）A ．5B ．4C ．3D ．27．给出下列命题：①多面体是若干个平面多边形所围成的图形；②有一个平面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥；③有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台．其中正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3 8．某校为了了解1500名学生对学校食堂的意见，从中抽取1个容量为50的样本，采用系统抽样法，则分段间隔为（）1111]A ．10B ．51C ．20D ．30 9．复数121ii-+在复平面内所对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．设i是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若z=2（+i ），则z=（）A ．﹣1﹣iB ．1+iC ．﹣1+iD ．1﹣i11．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为21时，则输入的值为（）A ．2B ．1-C ．1-或2D ．1-或1012．已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（）A ．12x π=-B ．12x π=C ．6x π=-D ．6x π=二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知数列{}n a 中，11a =，函数3212()3432n n a f x x x a x -=-+-+在1x =处取得极值，则n a =_________.14．已知1sin cos 3αα+=，(0,)απ∈，则sin cos sin 12ααπ-的值为．15．函数的最小值为_________.16．设α为锐角， =（cos α，sin α），=（1，﹣1）且•=，则sin （α+）= ．三、解答题（本大共6小题，共70分。

江苏省南通市2018-2019学年高考数学一模试卷Word版含解析.pdf

2018-2019学年江苏省南通市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。

1．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={﹣1，0，1}，A∩B=．2．若复数z=a+2i（i为虚数单位，a∈R）满足|z|=3，则a的值为．3．从1，2，3，4这四个数中依次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是．4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为5．为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了10000户家庭的月消费金额（单位：元），所有数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则被调查的10000户家庭中，有户月消费额在1000元以下6．设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6= ．7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线过点P（1，1），其一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为．8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱B1B的中点，则三棱锥B1﹣ADE的体积为．9．若函数f（x）=（a，b∈R）为奇函数，则f（a+b）的值为．10．已知，则的值是．11．在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（4，0）．若直线x﹣y+m=0上存在点P使得PA=PB，则实数m的取值范围是．12．已知边长为6的正三角形ABC，，AD与BE交点P，则的值为．13．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为．14．已知函数f（x）=2ax2+3b（a，b∈R），若对于任意x∈，都有|f（x）|≤1成立，则ab的最大值是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（a+b﹣c）（a+b+c）=ab．（1）求角C的大小；（2）若c=2acosB，b=2，求△ABC的面积．16．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，点E是A1C1的中点．求证：（1）BE⊥AC；（2）BE∥平面ACD1．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆过点A（2，1），离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆相交于B，C两点（异于点A），线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程．18．如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O1为圆心，半径为1km的半圆面．公路l经过点O，且与直径OA垂直，现计划修建一条与半圆相切的公路PQ（点P在直径OA的延长线上，点Q在公路l上），T为切点．（1）按下列要求建立函数关系：①设∠OPQ=α（rad），将△OPQ的面积S表示为α的函数；②设OQ=t（km），将△OPQ的面积S表示为t的函数．（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求△OPQ的面积S的最小值．19．已知函数f（x）=a+lnx（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．20．若数列{a n}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n}为“等比源数列”（1）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n﹣1．①求{a n}的通项公式；②试判断{a n}是否为“等比源数列”，并证明你的结论．（2）已知数列{a n}为等差数列，且a1≠0，a n∈Z（n∈N*），求证：{a n}为“等比源数列”【选做题】在21、22、23、24四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．如图，圆O的直径AB=10，C为圆上一点，BC=6．过C作圆O的切线l，AD⊥l于点D，且交圆O于点E，求DE长．22．已知矩阵，求逆矩阵M﹣1的特征值．23．在极坐标系中，已知点，圆C的方程为（圆心为点C），求直线AC的极坐标方程．24．已知a≥0，b≥0，求证：a6+b6≥ab（a4+b4）．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，AB=1，AD=AS=2，P是棱SD上一点，且．（1）求直线AB与CP所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．26．已知函数f0（x）=x（sinx+cosx），设f n（x）是f n﹣1（x）的导数，n∈N*．（1）求f1（x），f2（x）的表达式；（2）写出f n（x）的表达式，并用数学归纳法证明．。

江苏省南通市2019-2020学年高考数学五月模拟试卷含解析

江苏省南通市2019-2020学年高考数学五月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A ．48B ．72C ．90D ．96 【答案】D【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛①当甲参加另外3场比赛时，共有13C •34A =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有44A =24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种故答案为：96点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．2．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（）A ．()p q ⌝∨为真命题B ．p q ∨为真命题C ．p q ∧为真命题D ．()p q ∧⌝为假命题【答案】B【解析】【分析】由2x y =的单调性，可判断p 是真命题；分类讨论打开绝对值，可得q 是假命题，依次分析即得解【详解】由函数2x y =是R 上的增函数，知命题p 是真命题．对于命题q ，当10x +≥，即1x ≥-时，11x x x +=+>；当10x +<，即1x <-时，11x x +=--，由1x x --≤，得12x =-，无解，因此命题q 是假命题．所以()p q ⌝∨为假命题，A 错误；p q ∨为真命题，B 正确；p q ∧为假命题，C 错误；()p q ∧⌝为真命题，D 错误．故选：B【点睛】本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.3．已知101 1M dxx=+⎰，2cosN xdxπ=⎰，由程序框图输出的S为（）A．1 B．0 C．2πD．ln2【答案】D【解析】试题分析：111ln(1)|ln21M dx xx==+=+⎰，2cos sin|12N xdx xππ===⎰，所以M N<，所以由程序框图输出的S为ln2.故选D．考点：1、程序框图；2、定积分．4．已知不重合的平面,,αβγ和直线l，则“//αβ”的充分不必要条件是（）A．α内有无数条直线与β平行B．lα⊥且lβ⊥C．αγ⊥且γβ⊥D．α内的任何直线都与β平行【答案】B【解析】【分析】根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.【详解】A. α内有无数条直线与β平行，则,αβ相交或//αβ，排除；B. lα⊥且lβ⊥，故//αβ，当//αβ，不能得到lα⊥且lβ⊥，满足；C. αγ⊥且γβ⊥，//αβ，则,αβ相交或//αβ，排除；D. α内的任何直线都与β平行，故//αβ，若//αβ，则α内的任何直线都与β平行，充要条件，排除.故选：B .【点睛】本题考查了充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的综合应用能力. 5．下列四个图象可能是函数35log |1|1x y x +=+图象的是（） A ． B ． C ．D ．【答案】C【解析】【分析】首先求出函数的定义域，其函数图象可由35log ||x y x=的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，因为35log ||x y x=为奇函数，即可得到函数图象关于(1,0)-对称，即可排除A 、D ，再根据0x >时函数值，排除B ，即可得解.【详解】∵35log |1|1x y x +=+的定义域为{}|1x x ≠-，其图象可由35log ||x y x =的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到， ∵35log ||x y x=为奇函数，图象关于原点对称， ∴35log |1|1x y x +=+的图象关于点(1,0)-成中心对称. 可排除A 、D 项.当0x >时，35log |1|01x y x +=>+，∴B 项不正确. 故选：C【点睛】本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档题.6．已知双曲线22221x y a b-= (a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是（）A ．[2,)+∞B ．(1,2),C ．(2,)+∞D ．(1,2] 【答案】A【解析】【分析】若过点F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．【详解】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b a，∴b a 22224a b e a +=…， 2e ∴…，故选：A ．【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．7．若双曲线222:14x y C m-=的焦距为C 的一个焦点到一条渐近线的距离为（）A ．2B ．4CD ．【答案】B【解析】【分析】根据焦距即可求得参数m ，再根据点到直线的距离公式即可求得结果.【详解】因为双曲线222:14x y C m-=的焦距为故可得(224m +=，解得216m =，不妨取4m =；又焦点()F ，其中一条渐近线为2y x =-，由点到直线的距离公式即可求的4545d ==.故选：B.【点睛】本题考查由双曲线的焦距求方程，以及双曲线的几何性质，属综合基础题.8．已知抛物线2:4C y x =和点(2,0)D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①以BE 为直径的圆与抛物线准线相离；②直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-；③设过点A ，B ，E 的圆的圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，则224a r -=．其中，所有正确判断的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 【答案】D【解析】【分析】对于①，利用抛物线的定义，利用12||||||222d d BF EF BE d R ++==>=可判断；对于②，设直线DE 的方程为2x my =+，与抛物线联立，用坐标表示直线OB 与直线OE 的斜率乘积，即可判断；对于③，将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-，利用韦达定理可得242||164832BE m m =++，再由222||||2BE r MN ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可用m 表示2r ，线段BE 的中垂线与x 轴的交点（即圆心N ）横坐标为224m +，可得a ，即可判断.【详解】如图，设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ，则圆心M 为线段BE 的中点．设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M e 的半径为R ，点M 到准线的距离为d ，显然B ，E ，F 三点不共线，则12||||||222d d BF EF BE d R ++==>=．所以①正确．由题意可设直线DE 的方程为2x my =+，代入抛物线C 的方程，有2480y my --=．设点B ，E 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则124y y m +=，128y y =-．所以()()()21212121222244x x my my m y y m y y =++=+++=．则直线OB 与直线OE 的斜率乘积为12122y y x x =-．所以②正确．将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-．根据抛物线的对称性可知， A ，E 两点关于x 轴对称，所以过点A ，B ，E 的圆的圆心N 在x 轴上．由上，有124y y m +=，21244x x m +=+，则()()2224212121212||44164832BE x x x x y y y y m m =+-++-=++．所以，线段BE 的中垂线与x 轴的交点（即圆心N ）横坐标为224m +，所以224a m =+．于是，222222421212||||244128222BE x x y y r MN m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，代入21244x x m +=+，124y y m +=，得24241612r m m =++，所以()()22224224416124a r m m m -=+-++=．所以③正确．故选：D【点睛】本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.9．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A ．2B 1C ．2D 1【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得k 的值，设出双曲线方程，求得2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 1丨＝（2-1）p ，利用双曲线的离心率公式求得e ．【详解】直线F 2A 的直线方程为：y ＝kx 2p -，F 1（0，2p ），F 2（0，2p -），代入抛物线C ：x 2＝2py 方程，整理得：x 2﹣2pkx+p 2＝0，∴△＝4k 2p 2﹣4p 2＝0，解得：k ＝±1，∴A （p ，2p ），设双曲线方程为：2222y x a b-=1，丨AF 1丨＝p ，丨AF 2丨222p p =+=p ，2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 1丨＝（2-1）p ， 2c ＝p ，∴离心率e 221c a ===+-1，故选：D ．【点睛】本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．32B ．323C ．16D ．163【答案】D【解析】【分析】根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积.【详解】由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该多面体体积为1122223⨯⨯⨯+11622223⨯⨯⨯⨯=.故选D. 【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题.11．已知函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．[)0,1D ．(]1,0- 【答案】A【解析】【分析】先求出函数()f x 在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】当1x ≥时，()''1ln ,()(1)1f x x f x f x=⇒=⇒=，所以函数()f x 在(1,0)处的切线方程为：1y x =-，令()g x x k =-，它与横轴的交点坐标为(,0)k .在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象如下图的所示：利用数形结合思想可知：不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是1k ≤. 故选：A【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.12．已知函数()f x 是奇函数，且22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x -=+----，若对11[,]62x ∀∈，(1)(1)f ax f x +<-恒成立，则a 的取值范围是（）A ．(3,1)--B ．(4,1)--C ．(3,0)-D ．(4,0)- 【答案】A【解析】【分析】先根据函数奇偶性求得()(),f x f x '，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解不等式即可.【详解】因为函数()f x 是奇函数，所以函数'()f x 是偶函数.22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x ---=--+--，即22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x--=--+--，又22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x-=+----，所以()ln(1)ln(1)f x x x =+--，22'()1f x x =-. 函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以22'()01f x x =>-，则函数()f x 在(1,1)-上为单调递增函数.又在(0,1)上，()(0)0f x f >=，所以()f x 为偶函数，且在(0,1)上单调递增. 由(1)(1)f ax f x +<-，可得11111ax x ax ⎧+<-⎨-<+<⎩，对11[,]62x ∈恒成立，则1120ax x a x ⎧+<-⎪⎨-<<⎪⎩，21120a x a x⎧-<<-⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩对11[,]62x ∈恒成立，，得3140a a -<<-⎧⎨-<<⎩，所以a 的取值范围是(3,1)--.故选：A.【点睛】本题考查利用函数单调性求解不等式，根据方程组法求函数解析式，利用导数判断函数单调性，属压轴题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省南通中学2018_2019学年高一数学5月月考试题(含解析)

江苏省南通中学2018-2019学年高一数学5月月考试题（含解析）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.圆2240x y x ++=的圆心坐标和半径分别是（） A. (2,0)- 2 B. (2,0)- 4 C. (2,0) 2 D. (2,0) 4【答案】A 【解析】【分析】化为标准方程求解.【详解】圆2240x y x ++=化为标准方程为22(2)4x y ++=圆的圆心坐标和半径分别是(2,0),2- 故选A.【点睛】本题考查圆的一般方程与的标准方程互化，属于基础题.2.若方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则m 的取值范围是（）A. 2m ≤B. 2m <C. 12m <D. 12m ≤【答案】C 【解析】【分析】化为标准方程，根据半径必须大于零求解.【详解】22111222x y m ⎛⎫⎛⎫-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭表示一个圆，所以102m -> ，解得12m < 故选C.【点睛】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化，属于基础题.3.若直线1:260l ax y ++=与直线()2:150l x a y +-+=垂直，则实数a 的值是（） A.23B. 1C.12D. 2【答案】A 【解析】【分析】根据直线的垂直关系求解.【详解】由1l 与2l 垂直得：·12(1)=0a a +-，解得23a = ，故选A.【点睛】本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系,属于基础题.4.设,m n 为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是 ( ) A. m n ⊥，//m α⇒n α⊥ B. m n ⊥，m α⊥⇒//n α C. //m n ，m α⊥⇒n α⊥ D. //m n ，//m α⇒//n α【答案】C 【解析】【分析】对每一个选项逐一判断得解.【详解】对于A ，若m ⊥n ，m ∥α时，可能n ⊂α或斜交，故错；对于B ，m ⊥n ，m ⊥α⇒n ∥α或m ⊂α，故错；对于C ，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥α，正确；对于D ，m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α或m ⊂α，故错；故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查空间直线平面的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.(2)对于类似直线平面位置关系的判断，可以利用举反例和直接证明法.5.设(,)P x y 为圆22(2)(1)1x y -+-=上任一点，(1,5)A -，则AP 的最小值是 ( )B. 4C. 6D. 3【答案】B 【解析】【分析】根据点A 与圆心的距离求解.【详解】点(1,5)A -与圆22(2)(1)1x y -+-=的圆心(2,1)的距离等于：5，则点A 在圆外，所以AP 的最小值是5减去圆的半径1，等于4. 故选B.【点睛】本题考查点与圆的位置关系，属于基础题.6.直线l 过点()1,3P ，且与,x y 轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是（） A. 360x y +-= B. 3100x y +-= C. 30x y -= D. 380x y -+=【答案】A 【解析】设y ＝kx ＋b ，由题意得k ＜0，b ＞0，且3,{16,2k b bb k=+⋅⋅-=解得3,{ 6.k b =-= 考点：点斜式方程及三角形的面积.7.直线l 过点(1,2)P ，且(2,3)M 、(4,5)N -到l 的距离相等，则直线l 的方程是( ) A. 460x y +-=B. 460x y +-=C. 3270x y +-=或460x y +-=D. 2370x y +-=或460x y +-=【答案】C 【解析】【分析】由条件可知直线平行于直线AB 或过线段AB 的中点,当直线//l AB 时，利用点斜式求出直线方程；当直线经过线段AB 的中点()2,3时，利用点斜式可得直线方程.【详解】设所求直线为l 由条件可知直线l 平行于直线AB 或过线段AB 的中点，（1）AB 的斜率为35424+=--，当直线//l AB 时，l 的方程是()241y x -=--，即460x y +-=；(2)当直线l 经过线段AB 的中点()3,1-时，l 的斜率为213132+=--， l 的方程是()3212y x -=--，即3270x y +-=，故所求直线的方程为3270x y +-=或460x y +-=，故选C.【点睛】本题主要考查直线的点斜式方程的应用，以及斜率公式、直线平行的充要条件，分类讨论思想的应用，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力.8.已知点(1,0),(1,0)P Q -，直线2y x b =-+与线段PQ 相交，则b 的取值范围是 ( ) A. [2,2]- B. [1,1]-C. 11[,]22-D. [0,2]【答案】A 【解析】【分析】由题意得到直线PQ 的方程为0y =，然后求出直线2y x b =-+与0y =的交点坐标，根据交点横坐标的范围可得所求结果．【详解】由题意得直线PQ 的方程为0y =，由02y y x b =⎧⎨=-+⎩，解得20b x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以交点坐标为(,0)2b．又该交点在线段PQ 上，所以112b-≤≤，所以22b -≤≤，即b 的取值范围为[2,2]-．故选A ．【点睛】解答本题的关键是将问题进行转化，即转化为交点在线段PQ 上运用，由此可得所求范围．另外，本题也可根据直线2y x b =-+过点,P Q 分别求出b 的值，进而可得到所求范围．9.在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆()2220x y rr +=>交于,A B 两点．圆上存在一点C ，满足5344OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，则r 的值是（）B. 3C. 【答案】A 【解析】【分析】先根据5344OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r 与向量的数量积公式求OA u u u r 与OB uuu r的夹角，再圆心到直线的距离公式，最后在三角形中求解.【详解】由题意得||||||OA OB OC r ===u u u r u u u r u u u r，设OA u u u r 与OB uuu r的夹角是θ ，且[0,]θπ∈ ，则2·||||cos cos OA OB OA OB r θθ==u u u r u u u r u u u r u u u r由题意知5344OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，则22225159·16816OC OA OAOB OB =++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以222225159cos 16816r r r r θ=++ ，化简3cos 5θ=- ，因为2cos 2cos 12θθ=- ，且cos02θ> ，所以232cos 152θ-=- ，解得cos25θ=，设圆心(0,0)O 到直线20x y +-=的距离为d ，则d==，即cos2rθ=，解得r=，故选A.【点睛】本题考查向量的数量积运算，直线与圆的综合应用；此题的关键在于求出OAu u u r与OBuuu r 的夹角.10.在平面直角坐标系xOy中，过点(5,)P a-作圆222210x y ax y+-+-=的两条切线，切点分别为11(,)M x y、22(,)N x y，且211221122y y x xx x y y-+-+=-+，则实数a的值是（）A. 3B. 3或2-C. 3-或2 D. 2【答案】B【解析】【分析】211221122y y x xx x y y-+-+=-+实质上是一个斜率与另一个斜率的倒数和，进而得到四点共线，即可求解.【详解】设MN中点为()00,Q x y，(1,0)T，圆心(,-1)R a，根据对称性，则MN PR⊥，00121200221212TQx xx xy y y y k--+-===+因为2121122121122,0MNy y y y x xkx x x x y y--+-=+=--+所以·1MN TQk k=-，即MN TQ⊥，因为,,,P Q R T共线，所以PT RTk k=，即161aa=--，化简得260a a--=，解得3a=或2a=-.故选B.【点睛】本题考查圆与直线应用；本题的关键在于2112211220y y x x x x y y -+-+=-+本质的识别，再结合图形求解.二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）11.已知两点(4,9),(2,3)P Q ，则以线段PQ 为直径的圆的标准方程为___________．【答案】22(3)+ (y-6)10x -= 【解析】【分析】圆心是直径的中点，半径是直径的一半. 【详解】线段PQ 的中点为圆心，所以圆心坐标为(3,6)，又12PP ==圆的半径为1212PP =所以圆的标准方程为22(3) (6)10x y -+-=. 【点睛】本题考查圆的标准方程.12.正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，则侧棱与底面所成角为_______．【答案】45° 【解析】【分析】先作出线面角，在直角三角形中求解.【详解】设正四棱锥的侧棱长与底面边长为2，如图所示，正四棱锥P ABCD -中，过P 作PO ⊥平面ABCD ，连接AO ，则AO 是AP 在底面ABCD 上的射影，所以PAO ∠即为所求的线面角，2,2AO PA ==Q ，2cos 2AO PAO PA ∴∠==， 45PAO ︒∴∠= ，即所求线面角为45︒.【点睛】本题考查直线与平面所成的角.13.若直线l的倾斜角的变化范围为,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则直线斜率的取值范围是_______.【答案】33⎣ 【解析】【分析】根据正切函数的单调性求解.【详解】因为正切函数tan y α=在,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以，当,63ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，3tan 3α∈⎣，所以斜率3tan 33k α=∈⎣ 【点睛】本题考查直线的斜率和正切函数的单调性，属于基础题.14.若点(),M m n 为直线:3420l x y ++=上的动点，则22m n +的最小值为________．【答案】425【解析】【分析】把22m n +转化为两点距离的平方求解. 【详解】由题意知22m n +的最小值表示: 直线:3420l x y ++=上的点(),M m n 到点(0,0)的最近距离的平方，由点(0,0)到直线:3420l x y ++=的距离为：25= ，所以22m n +最小值为425. 【点睛】本题考查两点距离公式的应用，点到直线的距离公式.15.一张坐标纸对折一次后，点()0,4A 与点()8,0B 重叠，若点()2,3C 与点(),D m n 重叠，则m n +=_________．【答案】7 【解析】【分析】先求出对称轴，根据CD 与AB 和对称轴的关系求解. 【详解】AB 的中点为(4,2) ，直线AB 的斜率401082AB k -==--，所以对称轴方程为26y x =- ，CD 的中点为23(,)22m n ++，则322622n m++=⨯-① 由题意得直线AB 与CD 平行，所以AB CD k k =即1322nm--=-② 联立①②解得6,1m n ==.所以7m n +=【点睛】本题主要考查点线点对称问题，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力..16.在平面直角坐标系xOy 中，圆()()22:23C x y m ++-=，若圆C 上存在以G 为中点的弦AB ，且2AB GO =，则实数m 的取值范围为_________．【答案】[2,2]-(或22m -≤≤)【解析】由于圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且2AB GO =，所以OA OB ⊥,如图，过点O 作圆C 的两条切线，切点分别为B D 、，圆上要存在满足题意的点A ，只需090BOD ∠≥，即045COB ∠≥，连接CB ，CB OB ⊥Q ，由于(2,)C m -，24CO m =+ 3CB =，0232sin sin 4524CB COB COm ∠==≥=∴+，解得22m -≤≤.【点睛】已知圆的圆心在直线2x =-3C 存在以G 为中点的弦AB ，且2AB GO =，说明OA OB ⊥，就是说圆上存在两点A B 、，使得OA OB ⊥.过点O 作圆C 的两条切线，切点分别为B D 、，圆上要存在满足题意的点A ，只需090BOD ∠≥，即045COB ∠≥，则只需0sin sin 45COB ∠≥，列出不等式解出m 的范围.三、解答题：共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AC BC =，,M N 分别是棱1CC ，AB 的中点．（1）求证：CN ⊥平面11ABB A ；（2）求证：CN ∥平面1AMB ；【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）由1AA ⊥平面ABC ，CN ⊂平面ABC 证明AA 1⊥CN，由AC BC =，N 是棱AB 的中点，证得CN⊥AB，即可证明CN ⊥平面ABB 1A 1；（2）设AB 1的中点为P ，连接NP 、MP ，利用三角形中位线的性质，可得线线平行，从而//,CM NP CM NP =,四边形CNPM 是平行四边形，得//CN MP ,利用线面平行的判定，可得CN ∥平面AMB 1．试题解析：（1）∵三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，CN ⊂平面ABC ，∴1AA CN ⊥， ∵AC BC =，N 是棱AB 的中点，∴CN AB ⊥，∵11,AA AB A AA ⋂=⊂平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ， ∴CN ⊥平面11ABB A .（2）取1AB 的中点P ，连结NP MP 、.∵P N 、分别是棱1AB AB 、的中点，∴1//NP BB 且112NP BB =， ∵三棱柱111ABC A B C - 中，M 是棱1CC 的中点，且1111//,CC BB CC BB =， ∴1//CM BB ，且112CM BB =，∴//,CM NP CM NP =. ∴四边形CNPM 是平行四边形，∴//CN MP .∵CN ⊄平面1AMB ，MP ⊂平面1AMB ，∴//CN 平面1AMB .18. （2013•湖北）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1．（1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．【答案】（1）（2）57【解析】试题分析：（1）根据二倍角公式,三角形内角和,所以,整理为关于的二次方程，解得角的大小；（2）根据三角形的面积公式和上一问角，代入后解得边，这样就知道,然后根据余弦定理再求，最后根据证得定理分别求得和.试题解析：（1）由cos 2A －3cos(B ＋C)＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A<π，所以A ＝.（2）由S ＝bcsin A ＝bc×＝bc ＝5，得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝. 从而由正弦定理得sin B sin C ＝sin A×sin A ＝sin 2A ＝×＝.考点：1.二倍角公式；2.正余弦定理；3.三角形面积公式.【方法点睛】本题涉及到解三角形问题，所以有关三角问题的公式都有涉及，当出现时，就要考虑一个条件，,,这样就做到了有效的消元，涉及三角形的面积问题，就要考虑公式,灵活使用其中的一个.19.已知两直线12:-240,:4350l xy l x y +=++= （1）求直线1l 与2l 的交点P 的坐标；（2）求过12,l l 交点P ，且在两坐标轴截距相等的直线方程；（3）若直线3 : 2 -60l a x y +=与12,l l 不能构成三角形，求实数a 的值. 【答案】（1）(2,1)-（2）10x y ++=或20x y +=（3）1-或83或2-【解析】【分析】（1）联立方程解方程组；（2）分为截距为零和不为零两种情况；（3）三直线不能构成三角形，则3l 与12,l l 其中一条平行或3l 过12,l l 的交点.【详解】解：（1）由2404350x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解得：21x y =-⎧⎨=⎩所以点P 的坐标为(2,1)- （2）设所求直线为l ,(i)当直线l 在两坐标轴截距为不零时,设直线方程为: 1x yt t+=，则211t t-+=，解得1t =-，所以直线的l 方程为111x y +=--，即10x y ++=. (ii)当直线l 在两坐标轴截距为零时,设直线方程为:设直线方程为:y kx =, 则1(2)k =⨯-，解得12k =-，所以直线的l 方程为12y x =-，即20x y +=.综上，直线的l 方程为10x y ++=或20x y +=. （3）(i)当3l 与1l 平行时不能构成三角形，此时：(2)210a ⨯--⨯=,解得1a =-；(ii)当3l 与2l 平行时不能构成三角形，此时：3240a ⨯-⨯=,解得83a =；(iii)当3l 过12,l l 的交点时不能构成三角形，此时： ·(2)2160a -+⨯-=，解得2a =-.综上，当1a =-或83或2-时，不能构成三角形.【点睛】本题考查直线位置关系的应用.20.如图，某海面上有O 、A 、B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东45o 方向402km 处，B 岛在O 岛的正东方向20km 处.（1）以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴正方向，1km 为单位长度，建立平面直角坐标系，写出A 、B 的坐标，并求A 、B 两岛之间的距离；（2）已知在经过O 、A 、B 三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一船在O 岛的南偏西30︒方向距O 岛40km 处，正沿着北偏东45o 行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？【答案】（1）(40,40)A 、(20,0)B ，||205AB =km ）（2）该船有触礁的危险．详见解析【解析】【分析】（1）根据两点距离公式求解；（2）先用待定系数法求出圆方程和直线方程，再根据点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系. 【详解】解：（1）如图所示，Q A 在O 的东北方向402km ，B 在O 的正东方向20km ，∴(40,40)A 、(20,0)B ，由两点间的距离公式得22||(4020)(400)205AB =-+-km ）；（2）设过O 、A 、B 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将(0,0)O 、(40,40)A 、(20,0)B 代入上式得222040404040020200F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩，解得20D =-、60E =-、0F =，所以圆的方程为2220600x y x y +--=，圆心为(10,30)，半径10r =设船起初所在的位置为点C ，则(20,203)C --，且该船航线所在直线的斜率为1，由点斜式得船航行方向为直线:l 202030x y -+-=，圆心到:l 202030x y -+-的距离为22|103020203|106101011d -+-==+，所以该船有触礁的危险．【点睛】本题考查直线与圆的实际应用，点到直线的距离公式是常用方法；用待定系数法求圆方程时注意选用一般方程，能降低计算难度.21.已知圆C ：()2231x y +-=与直线m ：360x y ++=，动直线l 过定点(1,0)A -.（1）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆C 相交于P 、Q 两点，点M 是PQ 的中点，直线l 与直线m 相交于点N ．探索AM AN ⋅u u u u r u u u r是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）直线l 的方程为1x =-或4340x y -+=（2）AM u u u u r •AN u u u r 为定值5-，详见解析【解析】【分析】（1）假设直线方程，再根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径求解；（2）根据向量加法三角形法和数量积公式把AM AN ⋅u u u u r u u u r化为AC AN ⋅u u u r u u u r ，联立两直线方程求出点N 的坐标，把向量积用坐标表示，化简即可的得到结果. 【详解】解：（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =-，此时与圆相切，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=，若直线与圆相切，则圆心(0,3) 到直线的距离等于半径1，2311k k -+=+，解得43k =，所以直线l 的方程为4(1)3y x =+，即4340x y -+=. 综上，直线l 的方程为1x =-或4340x y -+=.直线l 的方程为1x =-或4340x y -+=．（2）∵CM ⊥MN ，∴()=+=AM AN AC CM AC AN CM AC A N AN N A ⋅=+⋅⋅⋅⋅u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u u u r u u u u r u r u u u u r ur u u u r若直线l 与x 轴垂直时，不符合题意；所以l 的斜率存在，设直线l 的方程为(1)y k x =+，则由36(1)13360513k x y k x k x y k y k --⎧=⎪=+⎧⎪+⇒⎨⎨++=-⎩⎪=⎪+⎩，即365(,)1313k k N k k ---++． ∴55(,)1313k AN k k --=++u u u r ，从而515513=13=AN AN kAM AC k k--⋅⋅+=-++u u u r u u u u u u r u r u u u r ．综上所述， =5A AM N -⋅u u r u u ru u u ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系及应用，向量积的坐标计算；此题的关键在于结合图形把AM AN ⋅u u u u r u u u r化为AC AN ⋅u u u r u u u r .22.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过()0,2A 、()0,0O 、()(),00D t t >三点，M 是直线AD 上的动点，12,l l 是过点(1,0)B 且互相垂直的两条直线，其中1l 交y 轴于点E ，2l 交圆C 于P 、Q 两点．（1）若6t PQ ==，求直线2l 的方程；（2）若t 是使2AM BM ≤恒成立的最小正整数，求三角形EPQ 的面积的最小值．【答案】(1) 4340x y --= (2) ()minEPQ S ∆=【解析】【分析】（1）求出圆心与半径，设2l 方程为：()1y k x =-，因为6PQ =，则直线到圆心的距离d ==2l 的方程.（2）设(),M x y ，由点M 在线段AD 上，得220x ty t +-=，因为2AM BM ≤，所以224220339x y ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭….依题意知，线段AD 与圆224220339x y ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…至多有一个公共点，≥，由此入手求得三角形EPQ 的面积的最小值【详解】解：（1）由题意可知，圆C 的直径为AD ，所以圆C 方程为：()()223110x y -+-=.设2l 方程为：()1y k x =-，则()222213101k k -+=+，解得10k =，243k =，当0k =时，直线1l 与y 轴无交点，不合，舍去．所以43k =，此时直线2l 的方程为4340x y --=. （2）设(),M x y ，由点M 在线段AD 上，得12x yt +=，即220x ty t +-=.由2AM BM ≤，得224220339x y ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…. 依题意知，线段AD 与圆224220339x y ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…至多有一个公共点，≥t ≥或t ≤. 因为t 是使2AM BM ≤恒成立的最小正整数，所以4t =. 所以圆C 方程为：()()22215x y -+-=(i) 当直线2:1l x =时，直线1l 的方程为0y =，此时，2EPQ S ∆= (ii) 当直线2l 的斜率存在时，设2l 的方程为：()()10y k x k =-≠，则1l 的方程为：()11yx k=--，点10,E k ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以BE =又圆心C 到2l，所以PQ =故EPQS ∆=== =≥2<，所以()min EPQ S ∆=. 【点睛】本题考查圆锥曲线与直线问题，涉及到的知识点有求圆的方程，直线方程，点到直线的距离公式，以及恒成立问题等，解题的关键是求出圆的方程，属于偏难题目。

南通市达标名校2019年高考五月仿真备考数学试题含解析

南通市达标名校2019年高考五月仿真备考数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．执行下面的程序框图，则输出S 的值为（）A ．112-B ．2360C ．1120D ．43603．已知函数()ln ln(3)f x x x =+-，则（） A ．函数()f x 在()0,3上单调递增 B ．函数()f x 在()0,3上单调递减 C ．函数()f x 图像关于32x =对称 D ．函数()f x 图像关于3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若//m n ，m β⊥，则n β⊥；②若//m α，//m β，则//αβ；③若m α⊥，//n α，则m n ⊥；④若//m α，m β⊥，则αβ⊥；其中真命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知实数ln333,33ln 3(n ),l 3a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b <<6．若点(3,4)P -是角α的终边上一点，则sin 2α=（） A ．2425-B ．725-C ．1625D ．857．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e x f x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，5)c f =的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>8．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥9．已知()()()sin cos sin cos k k A k παπααα++=+∈Z ，则A 的值构成的集合是（）A ．{1,1,2,2}--B ．{1,1}-C ．{2,2}-D ．{}1,1,0,2,2--10．已知函数()5sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要得到函数()cos g x x =的图象，只需将()y f x =的图象( )A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 11．关于函数()cos cos 2f x x x =+，有下列三个结论:①π是()f x 的一个周期；②()f x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③()f x 的值域为[]22-,.则上述结论中，正确的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．312．在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．的是（）A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与BE 是异面直线C ．1A F 与1DE 不可能平行D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年南通市高三数学第三次模拟试卷(含答案)

2019届江苏省南通市高三阶段性学情联合调研数学（理）试题一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={1，3，5}，B ={2，3}，则集合A ∪B 中的元素个数为______．2. 已知复数z =a +3i （i 为虚数单位），若z 2是纯虚数，则实数a 的值为______．3. 已知双曲线C ：x 2-y 2=1，则点（4，0）到C 的渐近线的距离为______．4. 设命题p ：x ＞4；命题q ：x 2-5x +4≥0，那么p 是q 的______条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）． 5. 函数f （x ）=√lnx −2的定义域为______．6. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C =π3，b =√6，c =3，则A =______． 7. 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和为S n ，若a 4+a 10=0，2S 12=S 2+10，则d 的值为______． 8. 如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1-BB 1D 1D 的体积为______．9. 已知函数f （x ）=sin x （x ∈[0，π]）和函数g （x ）=13tan x 的图象相交于A ，B ，C 三点，则△ABC 的面积为______．10.设m ，n 为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ②若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β； ③若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α； ④若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β．其中的正确命题序号是______．11. 设x ＞0，y ＞0，向量a ⃗ =（1-x ，4），b ⃗ =（x ，-y ），若a ⃗ ∥b ⃗ ，则x +y 的最小值为______．12.已知函数f （x ）=e x -e -x -2x ，则不等式f （x 2-4）+f （3x ）＞0的解集为______．13. 已知函数f(x)={2x−1+1,x ≤1|ln(x−1)|,x>1，若函数g （x ）=f （x ）-a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是______．14. 已知直线l ：y =kx +3与圆C ：x 2+y 2-2y =0无公共点，AB 为圆C 的直径，若在直线l 上存在点P 使得PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则直线l 的斜率k 的取值范围是______．二、解答题（本大题共10小题，共120.0分）15. 在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P(−35，−45)．（1）求sin(α+π3)的值；（2）若角β满足sin(α+β)=513，求cosβ的值．16.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为菱形，且∠A1AB=60°，AC=BC，D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面A1DC；（2）求证：平面A1DC⊥平面ABC．17.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦点坐标为F1(−√3，0)，F2(√3，0)，且椭圆E经过点P(−√3，12)．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设点M是椭圆E上位于第一象限内的动点，A，B分别为椭圆E的左顶点和下顶点，直线MB与x 轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形ABCD的面积．18. 某海警基地码头O 的正西方向30海里处有海礁界碑A ，过点A 且与AO 成60°角（即北偏东30°）的直线l 为此处的一段领海与公海的分界线（如图所示）．在码头O 的正西方向且距离O 点12海里的领海海面P 处有一艘可疑船停留，基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从O 处即刻出发．若巡逻艇以可疑船的航速的λ倍（λ＞1）前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在点Q 处截获可疑船．（1）若可疑船的航速为10海里/小时，λ=2，且可疑船沿北偏西30°的方向朝公海逃跑，求巡逻艇成功拦截可疑船所用的时间．（2）若要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船，求λ的最小值．19. 已知函数f （x ）=ax 3+bx 2+4a ，（a ，b 为常数）（1）若a =1，b =3．①求函数f （x ）在区间[-4，2]上的最大值及最小值．②若过点（1，t ）可作函数f （x ）的三条不同的切线，求实数t 的取值范围．（2）当x ∈[1，4]时，不等式0≤f （x ）≤4x 2恒成立，求a +b 的取值范围．20. 已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗)，且a 3=a 2+2，a 2•a 4=16．数列{b n }的前n 项和为T n ，且b 1=1，nT n+1=(n +1)T n +n(n+1)2(n ∈N ∗)．（1）求数列{a n }的通项公式及其前n 项和S n ；（2）证明数列{b n }为等差数列，并求出{b n }的通项公式；（3）设数列c n =∑(S k+1+1)bk(k+1)(k+2)n k=1，问是否存在正整数m ，n ，l （m ＜n ＜l ），使得c m ，c n ，c l 成等差数列，若存在，求出所有满足要求的m ，n ，l ；若不存在，请说明理由．21. [选做题]已知二阶矩阵M 属于特征值3的一个特征向量为e⃗ =[11]，并且矩阵M 对应的变换将点（-1，2）变成点（9，15），求出矩阵M ．22. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l 的参数方程是{x =−35t +2y =45t（t 为参数）．设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值．23. 某市有A ，B ，C ，D 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A 的概率为23，游览B 、C 和D 的概率都是12，且该游客是否游览这四个景点相互独立．（1）求该游客至多游览一个景点的概率；（2）用随机变量X 表示该游客游览的景点的个数，求X 的概率分布和数学期望E （X ）．24. 已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P （1，2），过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：1λ+1μ为定值．答案和解析1.【答案】4【解析】解：∵集合A={1，3，5}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3，5}，∴集合A∪B中的元素个数为4．故答案为：4．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】±3【解析】解：∵z=a+3i，∴z2=（a+3i）2=（a2-9）+6ai，由z2是纯虚数，得，解得：a=±3．故答案为：±3．由已知求得z2，再由实部为0且虚部不为0列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】2√2【解析】解：双曲线C：x2-y2=1的渐近线方程为x±y=0，点（4，0）到C的渐近线的距离为d==2．故答案为：2．求得双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础题．4.【答案】充分不必要【解析】解：命题q：x2-5x+4≥0⇔x≤1，或x≥4，∵命题p：x＞4；故p是q的：充分不必要条件，故答案为：充分不必要求解不等式，进而根据充要条件的定义，可得答案．本题考查的知识点是充要条件，不等式的解法，难度中档．5.【答案】[e2，+∞）【解析】解：要使f（x）有意义，则：lnx-2≥0；∴x≥e2；∴f（x）的定义域为：[e2，+∞）．故答案为：[e2，+∞）．可以看出，要使得函数f（x）有意义，则需满足lnx-2≥0，解出x的范围即可．考查函数定义域的概念及求法，对数函数的单调性，增函数的定义．6.【答案】5π12【解析】解：∵，∴由正弦定理，可得：sinB===，∵b＜c，B∈（0，），∴B=，∴A=π-B-C=π--=．故答案为：．由已知利用正弦定理可得sinB的值，根据大边对大角，特殊角的三角函数值可求B的值，根据三角形内角和定理可求A的值．本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7.【答案】-10【解析】解：由a4+a10=0，2S12=S2+10，可得，解得d=-10，故答案：-10由已知条件结合等差数列的通项公式和求和公式，求解即可得答案．本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．8.【答案】13【解析】解：由题意可知四棱锥A1-BB1D1D的底面是矩形，边长：1和，四棱锥的高：A1C1=．则四棱锥A1-BB1D1D的体积为：=．故答案为：．求出四棱锥的底面面积与高，然后求解四棱锥的体积．本题考查几何体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．9.【答案】√2π3【解析】解：根据题意，令sinx=tanx，即sinx（1-）=0，解得sinx=0，或1-=0，即sinx=0或cosx=．又x∈[0，π]，∴x=0或x=π，或x=arccos，∴点A（0，0），B（π，0），C（arccos，），∴△ABC的面积为•|AB|•|y C|==π，故答案为：．根据题意，令sinx=tanx，结合x∈[0，π]求出x的值，得出三个点A、B、C的坐标，即可计算△ABC的面积．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，属于中档题．10.【答案】②④【解析】解：由m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，知：在①中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故①错误；在②中，若m⊥α，m∥β，则由面面垂直的判断定理得α⊥β，故②正确；在③中，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故③错误；在④中，若m⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故④正确．故答案为：②④．在①中，α与β相交或平行；在②中，由面面垂直的判断定理得α⊥β；在③中，n∥α或n⊂α；在④中，由线面垂直的判定定理得m⊥β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．11.【答案】9【解析】解：因为∥，所以4x+（1-x）y=0，又x＞0，y＞0，所以+=1，故x+y=（+）（x+y）=5++≥9．当=，+=1同时成立，即x=3，y=6时，等号成立．（x+y）min=9．故答案为：9．先根据向量平行得到+=1，再利用基本不等式即可求出最值．本题考查了向量平行的条件和基本不等式的应用，属于基础题．12.【答案】{x|x＞1或x＜-4}【解析】解：根据题意，函数f（x）=e x-e-x-2x，有f（-x）=e-x-e x-2（-x）=-（e x-e-x-2x）=-f（x），则函数f（x）为奇函数，又由f′（x）=e x+e-x-2=e x+-2≥0，即函数f（x）在R上为增函数，则f（x2-4）+f（3x）＞0⇒f（x2-4）＞-f（3x）⇒f（x2-4）＞-f（3x）⇒f（x2-4）＞f（-3x）⇒x2-4＞-3x，即x2+3x-4＞0，解可得：x＞1或x＜-4，故答案为：{x|x＞1或x＜-4}．根据题意，由函数的解析式分析可得f（x）为奇函数，求出函数的导数分析可得f（x）在R上为增函数，据此可得f（x2-4）+f（3x）＞0⇒f（x2-4）＞-f（3x）⇒f（x2-4）＞-f（3x）⇒f（x2-4）＞f（-3x）⇒x2-4＞-3x，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的单调性与奇偶性的判断以及应用，注意利用导数分析函数f（x）的单调性，属于基础题．13.【答案】（1，2]【解析】解：函数g（x）=f（x）-a有三个不同的零点，即方程f（x）-a=0有三个不同的实数根，作出y=f（x）与y=a的图象如图：由图可知，要使函数g（x）=f（x）-a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（1，2]．故答案为：（1，2]．把函数g（x）=f（x）-a有三个不同的零点，转化为方程f（x）-a=0有三个不同的实数根，作出y=f（x）与y=a的图象，数形结合得答案．本题考查函数零点的判定，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14.【答案】（-√3，-1]∪[1，√3）【解析】解：直线l：y=kx+3与圆C：x2+y2-2y=0无公共点，可得＞1，解得-＜k＜，设P（m，n），由题意可得+=2，两边平方可得2+2+2•=42，即为2[m2+（n-1）2+1]+2=4（m2+（n-1）2），化为m2+（n-1）2=2，即有P 在直线l 上，又在圆x 2+（y-1）2=2上，可得≤，解得k≥1或k≤-1，综上可得k ∈（-，-1]∪[1，）．故答案为：（-，-1]∪[1，）．由直线和圆无交点可得d ＞r ，求得k 的范围，设出P （m ，n ），由题意可得+=2，两边平方，结合向量的数量积的性质和两点的距离公式，可得P 在圆x 2+（y-1）2=2上，又在直线l 上，由直线和圆有交点的条件，解不等式可得所求范围．本题考查直线和圆的位置关系，注意运用向量的中点表示和向量数量积的性质，考查直线和圆有交点的条件，化简运算能力，属于中档题． 15.【答案】解：（1）∵角α的终边经过点 P(−35，−45)，∴OP =√(−35)2+(−45)2=1∴sinα=−45，cosα=−35…………（4分）∴sin(α+π3)=12sinα+√32cosα=12×(−45)+√32×(−35)=−4+3√310…………（7分）（2）∵sin(α+β)=513，∴cos(α+β)=±√1−sin(α+β)2=±√1−(513)2=±1213…………（9分）∵β=（α+β）-α，∴cosβ=cos （α+β）cosα+sin （α+β）sinα∴当cos(α+β)=1213时，cosβ=−5665； …………（11分）当cos(α+β)=−1213时，cosβ=1665…………（13分）综上所述：cosβ=−5665或cosβ=1665…………（14分）【解析】（1）由角α的终边经过点 P ，结合三角函数的定义可求sinα，cosα，然后结合两角和的正弦公式可求（2）由，结合同角平方关系可求cos （α+β），然后根据β=（α+β）-α，及两角差的余弦可求本题主要考查了三角函数的定义及两角和的正弦公式，同角平方关系，两角差的余弦公式等知识的综合应用，属于中档试题．16.【答案】（1）证明：连结C1A，设AC1∩A1C=E，连结DE．∵三棱柱的侧面AA1C1C是平行四边形，∴E为AC1中点在△ABC1中，又∵D是AB的中点，∴DE∥BC1．∵DE⊂平面A1DC，BC1不包含于平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC（2）证明：∵ABB1A1为菱形，且∠A1AB=60°，∴△A1AB为正三角形∵D是AB的中点，∴AB⊥A1D．∵AC=BC，D是AB的中点，∴AB⊥CD．∵A1D∩CD=D，∴AB⊥平面A1DC．∵AB⊂平面ABC，∴平面A1DC⊥平面ABC．【解析】（1）连结C1A，设AC1∩A1C=E，连结DE．由三角形中位线定理得到DE∥BC1．由此能证明BC1∥平面A1DC．（2）由已知条件得△A1AB为正三角形，从而得到AB⊥CD，进而得到AB⊥平面A1DC，由此能证明平面A1DC⊥平面ABC．本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17.【答案】解：（1）因为椭圆焦点坐标为F1(−√3，0)，F2(√3，0)，且过点P(−1，√32)，所以2a=PF1+PF2=12+√494=4，所以a=2，…………（3分）从而b=√a2−c2=√4−3=1，故椭圆的方程为x24+y2=1．…………（6分）（2）设点M（x0，y0）（0＜x0＜2，0＜y0＜1），C（m，0），D（0，n），因为A（-2，0），且A，D，M三点共线，所以y0x0+2=n2，解得n=2y0x0+2，所以BD=1+2y0x0+2=x0+2y0+2x0+2，…………（8分）同理得AC=x0+2y0+2y0+1，…………（10分）因此，S ABCD=12AC⋅BD=12⋅x0+2y0+2x0+2⋅x0+2y0+2y0+1=(x0+2y0+2)22(x0+2)(y0+1)=x02+4y02+4x0y0+4x0+8y0+42(x0y0+x0+2y0+2)，…………（12分）因为点M（x0，y0）在椭圆上，所以x024+y02=1，即x02+4y02=4，代入上式得：S ABCD =4x 0y 0+4x 0+8y 0+82(x 0y 0+x 0+2y 0+2)=2．∴四边形ABCD 的面积为2． …………（14分）【解析】（1）由椭圆的离心率及椭圆经过点，列出方程组，求出a ，b ，由此能求出椭圆C 的方程．（2）设点M （x 0，y 0）（0＜x 0＜2，0＜y 0＜1），C （m ，0），D （0，n ），由A ，D ，M 三点共线，解得，，同理得，可得=2本题考查椭圆方程的求法，考查四边形的面积为定值的证明，是中档题，18.【答案】解：（1）因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的2倍，可疑船的航速为10海里/小时，所以巡逻艇的航速为20海里/小时，且OQ =2PQ ，设PQ =a ，则OQ =2a ；又可疑船沿北偏西30°的方向朝公海逃跑，所以∠QPO =120°，…………（2分）在△OPQ 中，有OQ 2=OP 2+PQ 2-2OP •PQ cos ∠OPQ ，即4a 2=a 2+144-2×12a cos120°，故a 2-4a -48=0，解得a =2±2√13（负值舍去）； ……（5分）所以巡逻艇成功拦截可疑船所用时间为t =a 10=√13+15小时； …………（7分）（2）以O 为坐标原点，AO 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，则P （-12，0），A （-30，0），设Q （x ，y ），因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的λ倍，所以OQ =λPQ ，故x 2+y 2=λ2[（x +12）2+y 2]，即x 2+y 2+24λ2λ2−1x +144λ2λ2−1=0；故可疑船被截获的轨迹是以(−12λ2λ2−1，0)为圆心，以12λλ2−1为半径的圆；…………（10分）又直线l 的方程为y =√3(x +30)，即√3x −y +30√3=0，要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船，则：圆心(−12λ2λ2−1，0)在直线y =√3(x +30)下方，且Q 的轨迹与直线l 至多只有一个公共点，所以30−12λ2λ2−1＞0且|−12√3λ2λ2−1+30√3|2≥12λλ2−1；…………（13分）即{λ2＞533√3λ2−4λ−5√3≥0λ＞1，解得λ≥√3，故要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船，则λmin =√3． …………（16分）【解析】（1）由题意在△OPQ 中，利用余弦定理列方程求出PQ 的值，再计算巡逻艇成功拦截可疑船所用的时间；（2）以O 为坐标原点，AO 的方向为x 轴的正方向建立平面直角坐标系，利用坐标表示点与直线，求出可疑船被截获的轨迹是圆，以及要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船所满足的条件，从而求出λ的取值范围和最小值．本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了数学模型应用问题，是中档题． 19.【答案】解：（1）因为a =1，b =3，所以f （x ）=x 3+3x 2+4，从而f '（x ）=3x 2+6x ．①令f '（x ）=0，解得x =-2或x =0，列表：所以，f （x ）max =f （2）=24，f （x ）min =-12． …………（4分）②设曲线f （x ）切线的切点坐标为P(x 0，x 03+3x 02+4)，则k =3x 02+6x 0，故切线方程为y −x 03−3x 02−4=(3x 02+6x 0)(x −x 0)，因为切线过点（1，t ），所以t −x 03−3x 02−4=(3x 02+6x 0)(1−x 0)，即2x 03−6x 0+t −4=0，…………（6分）令g(x 0)=2x 03−6x 0+t −4，则g′(x 0)=6x 02−6，所以，当x 0∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，g '（x 0）＞0，此时g （x 0）单调递增，当x 0∈（-1，1）时，g '（x 0）＜0，此时g （x 0）单调递减，所以g （x 0）极小值=g （1）=t -8，g （x 0）极大值=g （-1）=t ，要使过点（1，t ）可以作函数f （x ）的三条切线，则需{g(1)<0g(−1)>0，解得0＜t ＜8． …………（9分）（2）当x ∈[1，4]时，不等式0≤ax 3+bx 2+4a ≤4x 2等价于0≤a(x +4x 2)+b ≤4，………（11分）令ℎ(x)=x +4x 2，则ℎ′(x)=1−8x 3=x 3−8x 3，所以，当x ∈（1，2）时，h '（x ）＜0，此时函数单调递减；当x ∈（2，4）时，h '（x ）＞0，此时函数单调递增，故h （x ）min =3，h （x ）max =5． …………（13分）若a =0，则0≤b ≤4，此时0≤a +b ≤4；若a ≠0，则{0≤5a +b ≤40≤3a+b≤4，从而a +b =2（3a +b ）-（5a +b ）∈[-4，8]；综上可得-4≤a +b ≤8． …………（16分）【解析】（1）①代入a ，b 的值，求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可；②设出切点坐标，表示出切线方程，结合函数的单调性得到关于t的不等式组，解出即可；（2）问题等价于，令，结合函数的单调性求出函数的最值，求出a+b的范围即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．20.【答案】解：（1）设正项等比数列{a n}的公比为q（q＞0），则由a2•a4=16，得a32=16，从而a3=4，又由a3=a2+2，得a2=2，因此，q=a3a2=2，所以a n=a2q n−2=2n−1，S n=1−2n1−2=2n−1．（2）方法一：因为nT n+1=(n+1)T n+n(n+1)2，所以T n+1n+1=T nn+12，从而数列{T nn }是以T11=1为首项，12为公差的等差数列，故T nn =1+12(n−1)=12(n+1)，故T n=12n(n+1)，当n≥2时，b n=T n−T n−1=12n(n+1)−12(n−1)n=n，且n=1时适合，因此，b n=n，从而当n≥2时，b n-b n-1=1为常数，所以，数列{b n}为等差数列．方法二：因为nT n+1=(n+1)T n+n(n+1)2，所以，当n≥2时，有(n−1)T n=nT n−1+n(n+1)2，两式相减得：nT n+1=2nT n-nT n-1+n，即T n+1=2T n-T n-1+1，故T n+1-T n=T n-T n-1+1，即b n+1=b n+1，又由b1=1，nT n+1=(n+1)T n+n(n+1)2得T2=2T1+1=3，从而b2=T2-T1=2，故b2-b1=1，所以，数列{b n}为等差数列．（3）因为(S k+1+1)b k(k+1)(k+2)=2k+1⋅k(k+1)(k+2)=2k+2k+2−2k+1k+1，所以c n=(233−222)+(244−233)+⋯+(2n+2n+2−2n+1n+1)=2n+2n+2−2，假设存在存在正整数m ，n ，l （m ＜n ＜l ），使得c m ，c n ，c l 成等差数列，则2(2n+2n+2−2)=(2m+2m+2−2)+(2l+2l+2−2)，即2n+3n+2=2m+2m+2+2l+2l+2，令d n =2n n(n ≥3，n ∈N ∗)，则原问题等价于存在正整数m '，n '，l '（3≤m '＜n '＜l '），使得2⋅2n′n′=2m′m′+2l′l′，即2d n '=d m '+d l '成立．因为d n+1−d n =2n+1n+1−2n n=2n (n−1)n(n+1)＞0（因为n ≥3），故数列{d n }单调递增，若l '-n '≥2，即l '≥n '+2，则d l '≥d n '+2，从而d l′d n′≥d n′+2d n′=2n′+2n′+22n′n′=4n′n′+2=41+2n′＞2，即d l '＞2d n '，而2d n '=d m '+d l '，因此，d m '＜0，这与d m '＞0恒成立矛盾，故只能有l '-n '=1，即l '=n '+1，从而2n′+1n′=2m′m′+2n′+1n′+1，故2m′m′=2n′+1n′(n′+1)，即m′=n′(n′+1)2n′+1−m′(n′≥4，n′＞m′)，（*） ①若n '为奇数，则记t =n′+12n′+1−m′，从而n′+12n′+1=t ⋅2m′，因为数列{d n }(n ≥3，n ∈N ∗)单调递增，所以数列{1d n}(n ≥3，n ∈N ∗)单调递减，故当n '≥4时，n′+12n′+1≤532，而2m '∈N *，故t ∉N ，因此，（*）式无正整数解． ②若n '为偶数，则记u =n′2，即n′2n′=u ⋅2m′−1，同理可得（*）无正整数解．综上，不存在存在正整数m '，n '，l '（3≤m '＜n '＜l '），使得c m '，c n '，c l '成等差数列，也即不存在正整数m ，n ，l （m ＜n ＜l ），使得c m ，c n ，c l 成等差数列．【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式和数列的前n 项和．（2）利用等差数列的定义和递推关系式求出数列的通项公式．（3）利用存在性问题的应用，利用数列的等差中项进行判断求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等差数列的通项公式和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于难题．21.【答案】解：设M =[cdab]，由题意有，[cd ab][11]=3[11]，且[cd ab][2−1]=3[159]， ∴{a +b =3c +d =3−a +2b =9−c +2d =15，解得{a =−1b =4c =−3d =6，∴M =[−36−14]．【解析】先设矩阵，这里a ，b ，c ，d ∈R ，由二阶矩阵M 有特征值λ=3及对应的一个特征向量e 1及矩阵M 对应的变换将点（-1，2）变成点（9，15），得到关于a ，b ，c ，d 的方程组，即可求得矩阵M ．本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题． 22.【答案】解：曲线C 的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ．又x 2+y 2=ρ2，x =ρcosθ，y =ρsinθ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2y =0．将直线l 的参数方程消去t 化为直角坐标方程：y =−43(x −2)，令y =0，得x =2，即M 点的坐标为（2，0）．又曲线C 的圆心坐标为（0，1），半径r =1，则|MC|=√5， ∴|MN|≤|MC|+r =√5+1．【解析】利用x 2+y 2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程．将直线l 的参数方程消去t 化为直角坐标方程：，令y=0，可得M 点的坐标为（2，0）．利用|MN|≤|MC|+r 即可得出．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.【答案】解：（1）记“该游客游览i 个景点”为事件A i ，则i =0，1；所以P(A 0)=(1−23)(1−12)(1−12)(1−12)=124，P(A 1)=(1−23)(1−12)3+(1−23)C 31⋅12⋅(1−12)2=524；所以该游客至多游览一座山的概率为 P(A 0)+P(A 1)=124+524=14；…………（4分）（2）由题意知，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4；计算P(X =0)=P(A 0)=124， P(X =1)=P(A 1)=524，P(X =2)=23×C 31×12×(1−12)2+(1−23)×C 32×(12)2×(1−12)=38， P(X =3)=23×C 32×12×(1−12)+(1−13)×C 33×(12)3=724，P(X =4)=23×(12)3=112，所以X 的概率分布为： X 01234P12452438724112…………（8分）数学期望为E(X)=0×124+1×524+2×924+3×724+4×224=136；答：X 的数学期望为136．…………（10分）【解析】（1）利用相互独立事件的概率公式和互斥事件的概率和，求得所求的概率值；（2）由题意知随机变量X 的可能取值，计算对应的概率值，写出X 的分布列，求出数学期望值．本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了有关概率的计算问题，是中档题．24.【答案】解：（Ⅰ）∵抛物线C ：y 2=2px 经过点P （1，2），∴4=2p ，解得p =2，设过点（0，1）的直线方程为y =kx +1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）联立方程组可得{y =kx +1y 2=4x，消y 可得k 2x 2+（2k -4）x +1=0，∴△=（2k -4）2-4k 2＞0，且k ≠0解得k ＜1，且k ≠0，x 1+x 2=-2k−4k 2，x 1x 2=1k 2，又∵PA 、PB 要与y 轴相交，∴直线l 不能经过点（1，-2），即k ≠-3，故直线l 的斜率的取值范围（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）；（Ⅱ）证明：设点M （0，y M ），N （0，y N ），则QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，y M -1），QO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，-1）因为QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以y M -1=-y M -1，故λ=1-y M ，同理μ=1-y N ，直线PA 的方程为y -2=2−y 11−x 1（x -1）=2−y 11−y 124（x -1）=42+y 1（x -1），令x =0，得y M =2y 12+y 1，同理可得y N =2y 22+y 2，因为1λ+1μ=11−y M +11−y N =2+y 12−y 1+2+y 22−y 2=8−2y 1y 2(2−y 1)(2−y 2)=8−2(kx 1+1)(kx 2+1)1−k(x 1+x 2)+k 2x 1x 2=8−[k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1]1−k(x 1+x 2)+k 2x 1x 2=8−2(1+4−2k k +1)1−4−2kk+1=4−2×4−2kk 2−4−2k k=2，∴1λ+1μ=2，∴1λ+1μ为定值．【解析】（Ⅰ）将P 代入抛物线方程，即可求得p 的值，设直线AB 的方程，代入椭圆方程，由△＞0，即可求得k 的取值范围；（Ⅱ）根据向量的共线定理即可求得λ=1-y M ，μ=1-y N ，求得直线PA 的方程，令x=0，求得M 点坐标，同理求得N 点坐标，根据韦达定理即可求得+为定值．本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查转化思想，计算能力，属于中档题．。

江苏省南通市实验中学2018-2019学年高三数学理模拟试卷含解析

江苏省南通市实验中学2018-2019学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某程序框图如图所示,当程序运行后，输出T的值是(A) 204(B) 140(C) 91(D) 55参考答案：B2. 函数则的值为 ( )A． B．C．D．18参考答案：C略3. 若△ABC的三个内角A、B、C满足,则△ABC（）A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形参考答案：C4. 函数y=的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为等比数列的公比的数是（）A． B． C． D．参考答案：D考点：等比数列的通项公式；数列的函数特性．分析：由题意可知，函数图象为上半圆，根据图象可得圆上点到原点的最短距离为2，最大距离为8．根据等比数列的性质建立方程，可计算出公比的范围，从而判断出结论．解：函数y=的等价于，表示圆心在（5，0），半径为3的上半圆（如图所示），圆上点到原点的最短距离为2（点2处），最大距离为8（点8处），若存在三点成等比数列，则最大的公比q应有8=2q2，即q2=4，q=2，最小的公比应满足2=8q2，即q2=，解得q=又不同的三点到原点的距离不相等，故q≠1，∴公比的取值范围为≤q≤2，且q≠1，故选：D点评：本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的定义，等比中项以及函数作图，属中档题．5. 运行右面框图输出的S是254，则①应为(A)a≤5(B)a≤6(C)a≤7(D)a≤8参考答案：C略6. 如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为A. B.C. D.参考答案：由图可知阴影部分面积由几何概型可知概率为.7. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是，则图中x的值为（）A．B．C．2 D．参考答案：D【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形．利用表面积计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形．该几何体的表面积=22+2×+2×，解得x=．故选：D．8. 函数的图象大致为( )A. B. C.D.参考答案：C9. 已知是（﹣∞，+∞）上的增函数，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，3）C．[）D．（1，）参考答案：C【考点】函数单调性的性质．【专题】分类法．【分析】由f（x）是增函数知，且（3﹣a）﹣a≤log a1，解出答案即可；【解答】解：∵是（﹣∞，+∞）上的增函数，∴，∴3＞a＞0且a≠1；当3＞a＞1时，有（3﹣a）x﹣a≤log a x，代入x=1，得（3﹣a）×1﹣a≤0，∴a≥，即3＞a≥；当1＞a＞0时，log a x是减函数，不合题意；所以，a的取值范围是：3＞a≥；故选：C．【点评】本题考查了含参数的一次函数和对数函数的单调性问题，需要分类讨论，是基础题．10. 运行如右图的程序后，输出的结果为 ()A．13，7 B．7， 4 C．9， 7 D．9， 5参考答案：C第一次，时，.第二次，，第三次条件不成立，打印，选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 当和取遍所有实数时，恒成立，则的最小值为 .参考答案：12. 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，则下列四个图象可以为y＝f(x)的图象序号是_______________（写出所有满足题目条件的序号）.参考答案：①②③；因为′＝f′(x)e x＋f(x)(e x)′＝e x，且x＝－2为函数f(x)e x的一个极值点，所以f(-1)＋f′(-1)＝0；对于①②，f(-1)=0且f′(-1)＝0，所以成立；对于③，f(-1)0，且，得，即，所以，所以可满足f(-1)＋f′(-1)＝0，故③可以成立；对于④，因f(1)>0，f′(1)>0，不满足f′(1)＋f(1)＝0，故不能成立，故①②③成立.13. 二次函数的值域为_____________参考答案：14. 若a>0,b>0,且函数在x=1处有极值，则ab的最大值.参考答案：18略15. 设函数，若存在的极值点满足，则m 的取值范围是.参考答案：m>2或m<-2略16. 若f(x)是幂函数，且满足＝3，则f＝______.参考答案：1/3__略17. 已知向量，满足，，，则与的夹角为．参考答案：由题得所以与的夹角为.故填.三、解答题：本大题共5小题，共72分。

江苏省南通第二中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

江苏省南通第二中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．在等比数列}{n a 中，821=+n a a ，8123=⋅-n a a ，且数列}{n a 的前n 项和121=n S ，则此数列的项数n 等于（）A ．4B ．5C ．6D ．7【命题意图】本题考查等比数列的性质及其通项公式，对逻辑推理能力、运算能力及分类讨论思想的理解有一定要求，难度中等.2． 2016年3月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取20名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为350，500，150，按分层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（） A. 5 B.6 C.7D.10【命题意图】本题主要考查分层抽样的方法的运用，属容易题. 3．不等式ax 2+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为R ，那么（） A ．a ＜0，△＜0 B ．a ＜0，△≤0 C ．a ＞0，△≥0D ．a ＞0，△＞04．已知向量=（1，2），=（x ，﹣4），若∥，则x=（）A ． 4B ． ﹣4C ． 2D ． ﹣25．在ABC ∆中，22tan sin tan sin A B B A =gg ，那么ABC ∆一定是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 6．图1是由哪个平面图形旋转得到的（）A ．B ．C ．D ． 7．设a=0.5，b=0.8，c=log 20.5，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c8．已知命题p ：∃x ∈R ，cosx ≥a ，下列a 的取值能使“￢p ”是真命题的是（）A ．﹣1B ．0C ．1D ．29．若当R x ∈时，函数||)(x a x f =（0>a 且1≠a ）始终满足1)(≥x f ，则函数3||log x x y a =的图象大致是（）【命题意图】本题考查了利用函数的基本性质来判断图象，对识图能力及逻辑推理能力有较高要求，难度中等． 10．拋物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点与双曲线C ：x 2－y 2＝2的焦点重合，C 的渐近线与拋物线E 交于非原点的P 点，则点P 到E 的准线的距离为（） A ．4 B ．6 C ．8D ．1011．已知函数()xF x e =满足()()()F x g x h x =+，且()g x ，()h x 分别是R 上的偶函数和奇函数，若(0,2]x ∀∈使得不等式(2)()0g x ah x -≥恒成立，则实数的取值范围是（）A ．(,2)-∞B ．(,2]-∞C ．(0,2]D ．(22,)+∞12．设F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，若OF 的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为1||2OF ，则双曲线的离心率为（）A ．22B ．33C ．3D ．3【命题意图】本题考查双曲线方程与几何性质，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、方程思想．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．设某总体是由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为 ________．【命题意图】本题考查抽样方法等基础知识，意在考查统计的思想． 14．设集合 {}{}22|27150,|0A x x x B x x ax b =+-<=++≤,满足A B =∅I ,{}|52A B x x =-<≤U ,求实数a =__________.15．要使关于x 的不等式2064x ax ≤++≤恰好只有一个解，则a =_________.1818 0792 4544 1716 5809 7983 86196206 7650 0310 5523 6405 0526 6238【命题意图】本题考查一元二次不等式等基础知识，意在考查运算求解能力.16．设R m ∈，实数x ，y 满足23603260y m x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若182≤+y x ，则实数m 的取值范围是___________．【命题意图】本题考查二元不等式（组）表示平面区域以及含参范围等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力．三、解答题（本大共6小题，共70分。

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