安徽省合肥市六校2019_2020学年高二数学上学期末考试题文
安徽省合肥市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试卷word版
数学(理科)试卷(满分:150分 考试时间:120分钟)注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上,并且用2B 铅笔把对应的准考证号涂黑。
2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选择其它答案;不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卷和答题卡一并收回。
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.每小题4个选项中,只有1个选项符合题目要求.)1.已知A(2,-1),B(2,3),则|AB|=: A.4B.C.8D.2.命题“2(0,1),0x x x ∀∈-<”的否定是:A.2000(0,1),0x x x ∃∉-≥ B.2000(0,1),0x x x ∃∈-≥ C.2000(0,1),0x x x ∀∉-<D.2000(0,1),0x x x ∀∈-≥3.如图,棱长为a 的正方体1111ABCD-A B C D 中,M 为BC 中点,则直线1D M 与平面ABCD 所成角 的正切值为: 3525D.124.已知,αβ是两个不同平面,m 为α内的一条直线,则“m βP ”是“αβP ”的: A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知圆22(3)64x y ++=的圆心为M ,设A 为圆上任一点,点N 的坐标为(3,0),线段AN的垂直平分线交MA 于点P ,则动点P 的轨迹是: A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线6.三棱锥的三条侧棱两两垂直,其长分别为3,2,1,则该三棱锥的外接球的表面积: A.24πB.18π C .10πD.6π7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是:A.πB.2πC.4πD.8π8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ,点A 在双曲线的渐近线上,OAF V 是边长为2的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为:A.221412x y -=B.221124x y -=C.2213x y -=D.2213y x -= 9.设椭圆的两个焦点分别为1F F 2,,过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于P 点,若12F PF V 为等腰三角形,则椭圆的离心率是: A.2B.21-C.22-D.21-10.过抛物线2y 8x =的焦点作直线交抛物线于A ,B 两点,若线段AB 的中点的横坐标为4,则|AB|=: A.6B.8C.12D.1611.我们把由半椭圆22221(0)x y x a b +=≥与半椭圆22221(0)y x x b c+=<合成的曲线称作“果圆”:(其中222,0a b c a b c =+>>>)如图所示,其中点012,,F F F 是相应椭圆的焦点若012F F F V是边长为1的等边三角形,则a ,b 的值分别为: 73,1 C.5,3D.5,412.如图,矩形ABCD 的边,2,AB a BC PA ==⊥平面ABCD ,2PA =,当在BC 边上存在点Q ,使PQ QD ⊥时,则实数a 的范围是: A.(0,1] B.(0,2]C.[1,)+∞D.[2,)+∞二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分,把答案填在题中的横线上.) 13.抛物线24y x =的焦点坐标为 .14.《九章算术》中有这样一个问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小以锯锯之, 深一寸,锯道长一尺,问径几何?”大意为:有个圆柱形木头,埋在墙壁中 (如图所示),不知道其大小,用锯沿着面AB 锯掉裸露在外面的木头,锯 口CD 深1寸,锯道AB 长度为1尺,问这块圆柱形木料的直径是 寸 (注:1尺=10寸)15.如图,E 是棱长为1正方体1111ABCD-A B C D 的棱11C D 上的一点, 且1BD ∥平面1B CE ,则线段CE 的长度为 . 16.已知点(4,4)A 在抛物线x y 42=上,该抛物线的焦点为F ,过点A 作该抛物线准线的垂线,垂足为E ,则AF E ∠的角平分线所在直线 方程为 (用一般式表示).三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答题应写出文字说明及演算步骤.) 17.(本题满分10分)给定如下两个命题:命题:p “曲线2212x ym+=是焦点在y 轴上的椭圆,其中m 为常数”;命题:q “曲线1122=--m yx 是焦点在x 轴上的双曲线,其中m 为常数”.已知命题“p q ∧”为假命题,命题“p q ∨”为真命题,求实数m 的取值范围.18.(本题满分12分)已知圆C 的内接矩形的一条对角线上的两个顶点坐标分别为,(1,2),(3,4)P Q -. (1)求圆C 的方程;(2)求直线l :01843=+-y x 上的点到圆C 上的点的最近距离.19.(本题满分12分)如图,在边长为4的菱形ABCD 中,60DAB ∠=︒,点E 、F 分别是边CD 、CB 的中点,AC 交EF 于点O ,沿EF 将CEF V 翻折到PEF V ,连接PA 、PB 、PD ,得到五棱锥P ABFED -,且10PB =. (1)求证:BD ⊥平面POA ; (2)求四棱锥P BDEF -的体积.20.(本题满分12分)已知动圆过定点(4,0)P ,且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心C 的轨迹方程;(2)过点(2,0)的直线l 与(1)中的轨迹相交于A ,B 两点求证:OA OB →→⋅是一个定值.21.(本题满分12分)如图,已知正方形ABCD和矩形BDEF所在的平面互相垂直,AC交BD于O点,M为EF的中点,2,1BC BF==.(1)求证:BM∥平面ACE;(2)求二面角B AF C--的大小.22.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>,过点P(2,1),且离心率e=32.(1)求椭圆C的方程;(2)直线l的方程为12y x m=+,直线l与椭圆C交于A,B两点,求PABV面积的最大值.数学(理科)参考答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.每小题4个选项中,只有1个选 项符合题目要求.)1-5 ABCBB 6-10 DADDC 11-12 AA二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分,把答案填在题中的横线上.) 13.1016(,) 14.26 15.2516.240x y -+=三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答题应写出文字说明及演算步骤.) 17.解:若命题p 为真命题,则,若命题q 为真命题,则,由题知p 与q 一真一假,若p 真q 假,则,此时无解.若p 假q 真,则,得,综上:实数m 的取值范围是.18.解:(1)由已知可知PQ 为圆C 的直径,故圆心C 的坐标为,圆C 的半径10||21==PQ r ,所以圆C 的方程是:.(2)圆心C 到直线01843=+-y x 的距离是45|181423|=+⨯-⨯=d所以,最近距离为4 —10 19.(1)证明:如图,点E ,F 分别是边CD ,CB 的中点,.菱形ABCD 的对角线互相垂直,...平面POA ,平面POA ,, 平面POA .平面POA . (2)解:设,连接BO ,,为等边三角形..在中,,在中,.平面BFED ,平面BFED ,平面BFED .梯形BFED 的面积为,四棱锥的体积.20.解:(1)设圆心为,线段MN 的中点为T ,则4||=MT依题意,得,为动圆圆心C 的轨迹方程.(2)证明:设直线l 的方程为2+=ty x ,由⎩⎨⎧=+=xy ty x 822,得01682=--ty y . ,821t y y =+,21212121)2)(2(y y ty ty y y x x +++=+=21212124)(2y y y y t y y t ++++== -12是一个定值.21.(1)证明:连结EO ,交BD 于O 点,M 为EF 的中点,四边形BMEO 是平行四边形,,又平面ACE ,平面ACE ,平面ACE .(2)解:以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DE 为z 轴, 建立空间直角坐标系,, ,设平面CAF 的法向量,则,取,得,又平面ABF的法向量,,,二面角的平面角为.22.解:(1)椭圆C:过点,且离心率,可得:,解得,椭圆方程为:;(2)直线l的方程为,设、,联立方程组整理得:,直线与椭圆要有两个交点,所以,即,得,利用弦长公式得:,点P到直线l的距离..当且仅当,即时S取到最大值,最大值为2.。
19-20学年安徽省合肥六中高二上学期期末数学试卷 (含答案解析)
19-20学年安徽省合肥六中高二上学期期末数学试卷一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.若集合A={x|y=ln(x+2)},B={x|3x<1},则A∩B=A. {x|−2<x<0}B. {x|−2≤x<0}C. {x|−2<x<1}D. {x|−2≤x<1}2.已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,有下列命题:①α//β⇒l⊥m,②α⊥β⇒l//m③l//m⇒α⊥β④l⊥m⇒α//β正确的命题是()A. ①与②B. ③与④C. ②与④D. ①与③3.若直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a−1)y+5=0垂直,则实数a的值是()A. 23B. 1 C. 12D. 24.已知双曲线x2m −y25=1的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点相同,则双曲线的渐近线方程为()A. y=±√55x B. y=±2√55x C. y=±√52x D. y=±√5x5.下列命题错误的是()A. 命题“若x2<1,则−1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤−1,则x2≥1”B. 若p:1x+1<0,则¬p:1x+1≥0C. 命题p;存在x0∈R,使得x02+x0+1<0,则¬p;任意x∈R,使得x2+x+1≥0D. “am2<bm2”是“a<b”的充分不必要条件6.在△ABC中,三内角A、B、C成等差数列,则sinB=()A. 12B. √32C. √22D. √337.若变量x,y满足约束条件{x+y≥3,x−y≥−1,2x−y≤3,,则z=yx的最大值为()A. 4B. 2C. 12D. 548.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1a +4b的最小值是()A. 92B. 72C. 5D. 49.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),并且当x∈[0,1]时,f(x)=2x−1,则f(log210)的值为()A. −35B. 35C. −25D. 2510.如图是三棱锥D−ABC的三视图,则该三棱锥外接球的表面积为()A. 10πB. 12πC. 14πD. 9π11.函数f(x)=(x+2)lnx的零点为()A. −2和1B. (−2,0)和(1,0)C. (1,0)D. 112.若抛物线y2=4x,过其焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,则|AF|+2|BF|的最小值为()A. 6B. 3+2√2C. 9D. 3−2√2二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.已知数列{a n}满足a n+1·a n=a n−1,a1=2,则a2019=________.14.如图,在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD是矩形,PD⊥底面ABCD,M,N分别为AB,PC的中点,PD=AD=2,AB=4.则点A到平面PMN的距离为______ .15.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),点A、B在双曲线C的左支上,O为坐标原点,直线BO与双曲线的右支交于点M.若直线AB与AM的斜率分别为 3 和 1,则双曲线的离心率为______.16.函数f(x)定义域为R+,对任意x,y∈R+都有f(xy)=f(x)+f(y),又f(8)=3,则f(2)=______ .三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2B2(1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC面积为2,求b.18.已知直线l:x−y+3=0被圆C:(x−a)2+(y−2)2=4(a>0)截得的弦长为2√2,求(Ⅰ)a的值;(Ⅱ)求过点(3,5)并与圆C相切的切线方程.19.已知数列{a n}为等比数列,a2=4,a3+2是a2和a4的等差中项.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=2log2a n−1,求数列{a n+b n}的前n项和T n.20. 已知过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点,斜率为2√2的直线交抛物线于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)(x 1<x 2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求λ的值.21. 如图1,在直角梯形ABCD 中,∠ADC =90°,CD//AB ,AB =4,AD =CD =2,M 为线段AB的中点.将△ADC 沿AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D −ABC ,如图2所示. (Ⅰ)求证:BC ⊥平面ACD ;(Ⅱ)求二面角A −CD −M 的余弦值.22.已知椭圆C:x2a +y2b=1(a>b>0)的两焦点分别为F1,F2,离心率为12.设过点F2的直线l被椭圆C截得的线段为RS,当l⊥x轴时,|RS|=3(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)已知点T(4,0),证明:当直线l变化时,直线TS与TR的斜率之和为定值.-------- 答案与解析 --------1.答案:A解析:本题考查交集的求法,考查交集定义、不等式性质等基知识,考查运算求解能力,是基础题.先分别求出集合A,B,由此能求出A∩B.解:易知A={x|y=ln(x+2)}={x|x>−2},B={x|x<0}.于是A∩B={x|−2<x<0}.故选A.2.答案:D解析:解:∵l⊥α,α//β,∴l⊥β,又直线m⊂β,故有l⊥m,即①正确;∵l⊥α,α⊥β,∴l//β,或l⊂β,此时l与m可能平行,相交或异面,即②错误;∵l⊥α,l//m,∴m⊥α,又m⊂β,故有α⊥β,即③正确.∵l⊥α,l⊥m,∴又m⊂β,此时α与β可能相交可能平行,故④错误;故选:D.本题应逐个判断:①④需用熟知的定理即线线垂直,面面垂直来说明,②③可举出反例来即可.本题考查直线的平行于垂直关系,熟练运用性质定理是解决问题的关键,属基础题.3.答案:A解析:本题考查直线的一般式方程和垂直关系,属基础题.由直线的垂直关系可得a⋅1+2(a−1)=0,解方程可得.解:∵直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a−1)y+5=0垂直,∴a⋅1+2(a−1)=0,解得a=2,3故选A.4.答案:C本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题,同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查,由已知条件求出双曲线的一个焦点为(3,0),可得m+5=9,求出m=4,由此能求出双曲线的渐近线方程.解:∵抛物线y2=12x的焦点为(3,0),∴双曲线的一个焦点为(3,0),即c=3.双曲线x2m −y25=1可得∴m+5=9,∴m=4,∴双曲线的渐近线方程为:y=±√52x.故选C.5.答案:B解析:解:命题“若x2<1,则−1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤−1,则x2≥1”,故A 正确;若p:1x+1<0,则¬p:1x+1≥0或x=−1,故B错误.命题p;存在x0∈R,使得x02+x0+1<0,则¬p;任意x∈R,使得x2+x+1≥0,故C正确;由am2<bm2,可得am2⋅1m2<bm2⋅1m2,即a<b,反之,由a<b,不一定有am2<bm2,如m2=0.∴“am2<bm2”是“a<b”的充分不必要条件,故D正确.故选:B.直接写出命题的逆否命题判断A;写出命题的否定判断B;直接写出特称命题的否定判断C;由充分必要条件的判定方法判断D.本题考查命题的真假判断与应用,考查了命题的否定和逆否命题,对于选项B的判断极易出错,是基础题.6.答案:B本题主要考查了等差数列的性质的简单应用,属于基础试题.由题意可得A+C=2B,结合三角形的内角和可求B,进而可求sin B.解:由题意可得,A+C=2B,∵A+B+C=180°,∴B=60°,sinB=√32,故选B .7.答案:B解析:本题考查线性规划的应用,属于中档题.作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,利用数形结合即可得到结论.解:作出变量x,y满足约束条件对应的平面区域如图:由目标函数z=yx ,可化为z=y−0x−0,表示平面区域的点与原点O(0,0)连线的斜率,由图象可知当P位于A时,直线AO的斜率最大.由{x +y =3x −y =−1解得A(1,2), 所以目标函数的最大值为z =2−01−0=2, 故选B . 8.答案:A解析:本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质,属于基础题.利用“乘1法”和基本不等式即可得出.解:∵a >0,b >0,a +b =2,∴y =1a +4b =12(1a +4b )(a +b) =12(1+4+b a +4a b)⩾12(5+2√b a ⋅4a b )=92, 当且仅当b =2a ,即a =23,b =43时等号成立,故选A .9.答案:A解析:本题考查奇函数的性质,函数的周期性,以及指数、对数的运算性质的综合应用,属于中档题. 由f(x +4)=f(x)化简后求出函数的周期,利用奇函数的性质、函数的周期性、对数的运算性质化简和转化f(log 210),代入已知的解析式由指数的运算性质求值即可.解:∵f(x +4)=f(x),则函数f(x)的周期是4,,∵2<log 25<3,∴0<3−log 25<1,又f(x)为奇函数,且当x ∈[0,1]时,f(x)=2x −1,故,即f(log 210)=−35.故选:A . 10.答案:D解析:解:如图所示,该几何体为三棱锥P −ABC ,PA ⊥底面ABC ,AB ⊥AC ,AB =AC =2,PA =1.把此三棱锥补成一个长方体,设该三棱锥外接球的半径为R ,则(2R)2=22+22+12,可得4R 2=9,∴4πR 2=9π.故选:D .如图所示,该几何体为三棱锥P −ABC ,PA ⊥底面ABC ,AB ⊥AC ,AB =AC =2,PA =1.把此三棱锥补成一个长方体,即可得出该三棱锥外接球的半径.本题考查了三棱柱的三视图、球的表面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 11.答案:D解析:本题考查了函数的零点,属于基础题.可以根据f(x)=0可以得出答案.解:由f(x)=0得(x +2)lnx =0,因为x >0,所以x +2>0,所以lnx =0,解得x =1, 故选D .12.答案:B解析:解:抛物线的焦点F(1,0),设直线AB 的方程为x =my +1.联立方程组{y 2=4x x =my +1,得x 2−(4m 2+2)x +1=0.设A(y124,y1),B(y224,y2),则y12y2216=1.∴y22=16y12.由抛物线的性质得|AF|=y124+1,|BF|=y224+1=4y12+1.∴|AF|+2|BF|=y124+1+2(4y12+1)=3+y124+8y12≥3+2√2.故选:B.设直线方程为x=my+1,联立方程组得出A,B两点坐标的关系,根据抛物线的性质得出|AF|+ 2|BF|关于A,B两点坐标的式子,使用基本不等式得出最小值.本题考查了抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,属于中档题.13.答案:−1解析:本题考查数列的递推关系式的应用,考查转化思想以及计算能力.利用数列的递推关系式,求出数列的前几项,得到数列的周期,然后求解即可.解:数列{a n}满足a1=2,a n+1=a n−1a n =1−1a n,可得a2=12,a3=1−112=−1,a4=1−1−1=2,…所以数列的周期为3.则a2019=a672×3+3=a3=−1.故答案为−1.14.答案:√63解析:本题考查点到平面的距离的求法,考查学生的计算能力,点A到平面PMN的距离转化为E到平面PMN的距离是关键,属于中档题.取PD的中点E,连接AE,NE,证明AE//MN,可得点A到平面PMN的距离等于E到平面PMN的距离,由V E−PMN=V M−PEN,可得点A到平面PMN的距离.解:取PD的中点E,连接AE,NE,如图,∵四棱锥P−ABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分别为AB,PC的中点,∴NE//AM,NE=AM,∴AENM是平行四边形,∴AE//MN,∴点A到平面PMN的距离等于E到平面PMN的距离,设为h,△PMN中,PN=√5,PM=2√3,MN=√5,∴S△PMN=12×2√3×√2=√6,由V E−PMN=V M−PEN,可得:13×√6ℎ=13×12×1×2×2,∴ℎ=√63.故答案为:√63.15.答案:2解析:解:设B(m,n),则直线BO与双曲线的右支交于点M(−m,−n).设A(x0,y0),可得直线AB的斜率为y0−nx0−m直线AM的斜率为y0+nx0+m;∴y02−n2x02−m2=b2a2x02−b2a2n2x02−n2=b2a2=3×1=3,∴e=√1+b2a2=2,故答案为:2本题考查了双曲线的离心率,考查了转化思想,属于中档题.16.答案:1解析:解:∵函数f(x),对任意x,y∈R+都有f(xy)=f(x)+f(y),∴f(8)=f(2)+f(4)=f(2)+f(2)+f(2)=3f(2)=3∴f(2)=1故答案为:1根据函数f(x)定义域为R+,对任意x,y∈R+都有f(xy)=f(x)+f(y),可把f(8)逐步变形,最后用f(2)表示,就可求出f(2)的值.本题考查了抽象函数的性质,做题时要善于发现规律.17.答案:解:(1)∵sin(A+C)=8sin2B2,∴sinB=4(1−cosB),又∵sin2B+cos2B=1,∴16(1−cosB)2+cos2B=1,∴(17cosB−15)(cosB−1)=0,∴cosB=1517.(2)由(1)可知sinB=817,∵S△ABC=12ac⋅sinB=2,∴ac=172,∴b2=a2+c2−2accosB=a2+c2−2×172×1517=a2+c2−15=(a+c)2−2ac−15=36−17−15=4,∴b=2.解析:本题考查了三角形的内角和定理,三角形的面积公式,二倍角公式和同角的三角函数的关系,属于中档题(1)利用三角形的内角和定理可知A+C=π−B,再利用诱导公式化简sin(A+C),利用降幂公式化简,结合sin 2B +cos 2B =1,求出cos B ,(2)由(1)可知sinB =817,利用面积公式求出ac ,再利用余弦定理即可求出b .18.答案:解:(Ⅰ)依题意可得圆心C(a,2),半径r =2,则圆心到直线l :x −y +3=0的距离d =2()2=2, 由勾股定理可知d 2+(2√22)2=r 2,代入化简得|a +1|=2,解得a =1或a =−3,又a >0,所以a =1; (Ⅱ)由(Ⅰ)知圆C :(x −1)2+(y −2)2=4,又(3,5)在圆外,∴①当切线方程的斜率存在时,设方程为y −5=k(x −3),由圆心到切线的距离d =r =2可解得k =512,∴切线方程为5x −12y +45=0,②当过(3,5)斜率不存在,易知直线x =3与圆相切,综合①②可知切线方程为5x −12y +45=0或x =3.解析:本题考查直线与圆的位置关系的应用,点到直线的距离公式的应用,考查计算能力. (Ⅰ)求出圆心C(a,2),半径r =2,圆心到直线l :x −y +3=0的距离,通过勾股定理求解即可. (Ⅱ)判断点与圆的位置关系,通过①当切线方程的斜率存在时,设方程为y −5=k(x −3), 由圆心到切线的距离d =r 求解即可;②当过(3,5)斜率不存在,判断直线x =3与圆是否相切,推出结果.19.答案:解:(1)设数列{a n }的公比为q ,因为a 2=4,所以a 3=4q ,a 4=4q 3,因为a 3+2是a 2和a 4的等差中项,所以2(a 3+2)=a 2+a 4.即2(4q +2)=4+4q 2,化简得q 2−2q =0,因为公比q ≠0,所以q =2,所以a n =a 2q n−2=4⋅2n−2=2n ,(n ∈N ∗);(2)b n =2log 2a n −1=2log 22n −1=2n −1.所以a n +b n =2n +(2n −1).前n 项和T n =(2+4+⋯+2n )+(1+3+⋯+2n −1)=2(1−2n )1−2+12(1+2n −1)n =2n+1−2+n 2.解析:(1)设等比数列的公比为q ,由等比数列的通项公式和等差数列的中项性质,解方程可得公比,即可得到所求通项公式;(2)求得b n =2log 2a n −1=2log 22n −1=2n −1.a n +b n =2n +(2n −1).由数列的分组求和,结合等差数列和等比数列的求和公式,化简计算可得和.本题考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查数列的分组求和,以及方程思想和运算能力,属于中档题.20.答案:解:(1)直线AB 的方程是y =2√2(x −p 2),与y 2=2px 联立,从而有4x 2−5px +p 2=0,所以x 1+x 2=5p 4.由抛物线定义得AB =x 1+x 2+p =5p 4+p =9,所以p =4,从而抛物线方程是y 2=8x .(2)由于p =4,则4x 2−5px +p 2=0,即x 2−5x +4=0,从而x 1=1,x 2=4,于是y 1=−2√2,y 2=4√2,从而A(1,−2√2),B(4,4√2),设C(x 3,y 3),则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 3,y 3)=(1,−2√2)+λ(4,4√2)=(4λ+1,4√2λ−2√2),又y 32=8x 3,即[2√2(2λ−1)]2=8(4λ+1),即(2λ−1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.解析:本题考查抛物线的简单性质,考查了数形结合的解题思想方法,训练了向量在求解圆锥曲线问题中的应用,是中档题.(1)由题意求得焦点坐标,得到直线方程,和抛物线方程联立,利用弦长公式求得p ,则抛物线方程可求;(2)由(1)求出A ,B 的坐标结合OC⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求出C 的坐标,代入抛物线方程求得λ值. 21.答案:解:(Ⅰ)在图1中,可得AC =BC =2√2,从而AC 2+BC 2=AB 2,故AC ⊥BC 取AC 中点O 连接DO ,则DO ⊥AC ,又面ADC ⊥面ABC ,面ADC ∩面ABC =AC ,DO ⊂面ACD ,从而OD ⊥平面ABC ,(4分)∴OD ⊥BC又AC ⊥BC ,AC ∩OD =O ,∴BC ⊥平面ACD(6分)另解:在图1中,可得AC =BC =2√2,从而AC 2+BC 2=AB 2,故AC ⊥BC∵面ADC ⊥面ABC ,面ADE ∩面ABC =AC ,BC ⊂面ABC ,从而BC ⊥平面ACD(Ⅱ)建立空间直角坐标系O −xyz 如图所示,则M(0,√2,0),C(−√2,0,0),D(0,0,√2)CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,√2,0), CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,√2)(8分)设n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)为面CDM 的法向量,则{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0即{√2x +√2y =0√2x +√2z =0,解得{y =−x z =−x 令x =−1,可得n 1⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,1)又n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)为面ACD 的一个法向量∴cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗ |=1√3=√33 ∴二面角A −CD −M 的余弦值为√33.(12分)解析:(Ⅰ)要证BC ⊥平面ACD ,只需证明BC 垂直平面ACD 内的两条相交直线AC 、OD 即可; (Ⅱ)建立空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,利用向量的数量积,求二面角A −CD −M 的余弦值.本题考查直线与平面的存在的判定,二面角的求法,考查逻辑思维能力和空间想象能力,是中档题. 22.答案:解:(Ⅰ)由椭圆的离心率e =c a =12,则a =2c ,将x =c 代入椭圆方程,解得:y =±b 2a ,|RS|=2b 2a =3,由a 2=b 2+c 2,则a =2,b =√3,c =1,∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1;(Ⅱ)证明:当直线l 垂直与x 轴时,显然直线TS 与TR 的斜率之和为0,当直线l 不垂直与x 轴时,设直线l 的方程为y =k(x −1),R(x 1,y 1),S(x 2,y 2),{y =k(x −1)3x 2+4y 2−12=0,整理得:(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2x +4k 2−12=0, △=64k 4−4(3+4k 2)(4k 2−12)=k 2+1>0恒成立,x 1+x 2=8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2−123+4k 2, 由k TR +k TS =y 1x 1−4+y 2x 2−4,TR ,TS 的斜率存在,由R ,S 两点的直线y =k(x −1),故y 1=k(x 1−1),y 2=k(x 2−1),则k(x 1−1)(x 2−4)+k(x 2−1)(x 1−4)(x 1−4)(x 2−4)=k[2x 1x 2−5(x 1+x 2)+8](x 1−4)(x 2−4), 由2x 1x 2−5(x 1+x 2)+8=2×4k 2−123+4k −5×8k 23+4k +8=0, ∴k TR +k TS =0, ∴直线TS 与TR 的斜率之和为0,综上所述,直线TS 与TR 的斜率之和为为定值,定值为0.解析:(Ⅰ)由题意可知:a =2c ,2b 2a =3,且a 2=b 2+c 2,即可求得a 和b 的值,求得椭圆方程;(Ⅱ)分类讨论,当直线l 不垂直与x 轴时,设直线方程,代入椭圆方程,由韦达定理及直线的斜率公式,即可求得k TR +k TS =0,即可证明直线TS 与TR 的斜率之和为定值.本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理,直线的斜率公式,考查计算能力,属于中档题.。
安徽省合肥市六校联盟2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试卷(解析版)
数学(理科)试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
每小题只有一个正确答案,请把正确答案涂在答题卡上)1.直线l 的方程为222y x +=-,则( ) A. 直线l 过点(2,2)-,斜率为12B. 直线l 过点(1,2)-,斜率为12C. 直线l 过点(1,2)-,斜率为2D. 直线l 过点(2,2)-,斜率为2【答案】C 【解析】 【分析】利用点斜式的方程判定即可.【详解】由222y x +=-有()221y x +=-,故直线l 过点(1,2)-,斜率为2. 故选:C【点睛】本题主要考查了点斜式的运用,属于基础题型.2.双曲线22145x y -=的离心率是( )A.B.32C. 2D.94【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的标准方程求得a 和c ,从而求得离心率ce a=的值.【详解】由双曲线方程22145x y -=可得2a =,b =∴3c =,∴32c e a ==. 故选:B.【点睛】本题考查双曲线的定义和标准方程,以及简单性质的应用,属于基础题.3.已知定点()3,0B ,点A 在圆22(1)4x y ++=上运动,则线段AB 的中点M 的轨迹方程是( )A. 22(1)1x y ++= B. 22(2)4x y -+= C. 22(1)1x y -+= D. 22(2)4x y ++=【答案】C 【解析】 【分析】设(),M x y 再表达出A 的坐标代入圆方程22(1)4x y ++=化简即可.【详解】设(),M x y ,则(),A A A x y 满足()3,,22A A x y x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭.故232A Ax x y y =-⎧⎨=⎩ .故()23,2A x y -.又点A 在圆22(1)4x y ++=上.故()()2222(231)2411x y x y -++=⇒-+=.故选:C【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求法,属于基础题型. 4.双曲线2294360x y -+=的一条渐近线的方程为( ) A. 940x y -= B. 490x y -=C. 320x y +=D. 230x y -=【答案】C 【解析】 【分析】将双曲线方程化为标准形式,即可得到渐近线方程.【详解】由双曲线2294360x y -+=,得22149x y -=,所以渐近线的方程为22049x y -=,即320x y ±=.故选:C.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求法,属于基础题.5.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的表面积为( )A. 8+B. 8+C. 4+D. 6+【答案】A 【解析】 【分析】易得该几何体为三棱柱.分别求解侧面与底面面积即可.【详解】易得该几何体为三棱柱,的等腰直角三角形,高为3.故侧面积为23236⨯⨯=+底面总面积为21222⨯⨯=故表面积为8+. 故选:A【点睛】本题主要考查了根据三视图求几何体表面积的问题.属于基础题型. 6.“12m =-”是“直线()2110m x y --+=与直线()2110x m y +--=互相垂直”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】结合直线垂直的条件,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】要使直线()2110m x y --+=与直线()2110x m y +--=互相垂直,则()()22110m m ---=,即2210m m --=,解得1m =或12m =-, 所以“12m =-”是“直线()2110m x y --+=与直线()2110x m y +--=互相垂直”的充分不必要条件. 故选:A .【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,以及直线垂直的条件应用,属于基础题.7.已知圆221:2310C x y x y ++++=,圆222:43360C x y x y ++--=,则圆1C 和圆2C 的位置关系为( ) A. 相切 B. 内含 C. 外离 D. 相交【答案】B 【解析】 【分析】将两圆的方程化为标准方程,求出两圆的圆心与半径,求出圆心距,再根据两圆的圆心距12C C 与半径和与差的关系,即可得到结论.【详解】圆221:2310C x y x y ++++=,即()2239124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭,∴131,2C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,132r =, 圆222:43360C x y x y ++--=,即()223169224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,∴232,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭,2132r =, ∴两圆的圆心距12C C ==12313822r r +=+=,21133522r r -=-=, ∴11225r C r C =<-=,故两圆内含. 故选:B.【点睛】本题主要考查圆的标准方程,两圆的位置关系的判定方法,属于基础题.8.已知圆锥的底面半径为3,母线长为5,球O 与圆锥的底面和侧面均相切,设球O 的体积为1V ,圆锥的体积为2V ,则12V V =( )A.18B.38C.14D.827【答案】B 【解析】 【分析】根据纵截面图求解内切球半径,再分别求得1V 与2V 即可.【详解】由题知,过圆锥顶点与底面圆直径作纵截面,易得圆锥高为4=.故纵截面面积164122S =⨯⨯=.故内切球半径()131255622r r =⨯++⇒=.故314932V r ππ=⨯=.22134123V ππ=⨯⨯=.故129132128V V ππ=⨯=.故选:B【点睛】本题主要考查了圆锥与内切球的体积运算,需要根据题意作出纵截面进行高的求解.属于基础题型. 9.下列命题是真命题的是( ) A. “若a b >,则22a b >”的逆命题 B. “若αβ=,则sin sin αβ=”的否定 C. “若,a b 都是偶数,则+a b 是偶数”的否命题D. “若函数(),()f x g x 都是R 上的奇函数,则()()f x g x +是R 上的奇函数”的逆否命题 【答案】D 【解析】 【分析】根据命题的定义,写出已知中命题的四种命题或否定命题,再逐一判断真假即可得到答案.【详解】对于A :“若a b >,则22a b >”的逆命题为:“若22a b >,则a b >”为假命题,故A 错误; 对于B :“若αβ=,则sin sin αβ=”的否定为:“若αβ=,则sin sin αβ≠”为假命题,故B 错误; 对于C :“若,a b 都是偶数,则+a b 是偶数”否命题为:“若,a b 不都是偶数,则+a b 不是偶数”为假命题,故C 错误;对于D :“若函数(),()f x g x 都是R 上的奇函数,则()()f x g x +是R 上的奇函数”的逆否命题为:“若()()f x g x +是R 上的奇函数,则函数(),()f x g x 都是R 上的奇函数”为真命题,故D 正确.故选:D .【点睛】本题考查的知识点是四种命题,命题的否定,熟练掌握四种命题的定义是解答的关键,属于基础题.10.已知抛物线22(0)y px p =>焦点为F ,直线l 过点F 与抛物线交于两点,A B ,与y 轴交于(0,)2pM ,若||8AB =,则抛物线的准线方程为( ) A. 2y =- B. 1y =-C. 2x =-D. 1x =-【答案】D 【解析】 【分析】设直线l 的方程为2p x ny =+,由直线与y 轴交于0,2p M ⎛⎫⎪⎝⎭,得1n =-,再联立直线与抛物线方程,利用韦达定理列式即可得抛物线的方程,进而可得准线方程.【详解】由抛物线22(0)y px p =>知焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,设直线l 的方程为2p x ny =+,()11,A x y ,()22,B x y ,则12AB x x p =++, ∵直线l 与y 轴交于0,2p M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则022p pn =⋅+,得1n =-, ∴直线l 的方程为2p x y =-+, 的联立222p x y y px⎧=-+⎪⎨⎪=⎩,消去y 得22304p x px -+=,∴ 123x x p +=∴ 12348AB x x p p p p =++=+==,即2p =, 故抛物线方程为24y x =,所以准线方程为1x =-. 故选:D.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,抛物线的弦长公式,属于基础题.11.如图,三棱锥A BCD -中,AB ⊥平面BCD ,BC CD ⊥,,E F 分别在棱,AC AD 上,且BE AC ⊥于E , BF AD ⊥于F ,则下列说法正确的有( )①ACD ∠是直角②BEF ∠是异面直线BE 与CD 所成角 ③CDB ∠是直线CD 与平面ABD 所成角 ④BFE ∠是二面角B AD C --的平面角 A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质与判定逐个选项判断即可.【详解】对①,因为AB ⊥平面BCD ,故AB ⊥CD ,又BC CD ⊥,故CD ⊥平面ABC .所以ACD ∠是直角.故①正确.对②,因为CD 与EF 不平行.故②错误.对③,因为AB ⊥平面BCD ,故平面ABD ⊥平面BCD ,故C 在平面BCD 上投影在BD 上.故CDB ∠是直线CD 与平面ABD 所成角.故③正确.对④,由①CD ⊥平面ABC ,故CD ⊥BE ,又BE AC ⊥,故BE ⊥平面ACD .故BE AD ⊥. 又AD BF ⊥.故BFE ∠是二面角B AD C --的平面角.故④正确. 故选:C【点睛】本题主要考查了空间中垂直的证明与性质,同时也考查了线线线面角的求解与证明.属于中等题型.12.已知正方形ABCD 的边长为4,,E F 分别为边,AB BC 上的点,且3AE BF ==.将,AED CFD ∆∆分别沿ED 和FD 折起,使点A 和C 重合于点P ,则三棱锥P EFD -的外接球表面积为( ) A. 26πB. 13πC.3D.3【答案】A 【解析】 【分析】用球的内接长方体的性质,得出半径,求解外接球表面积. 【详解】如图所示:在三棱锥P EFD -中,4DP =,3PE =,1PF =,EF ,因222PE PF EF +=,则PE PF ⊥, 由题意知,PE PD ⊥,PF PD ⊥, 所以,,PE PD PF 互相垂直,的即三棱锥P EFD -的外接球的半径为R ==所以三棱锥P EFD -的外接球的表面积为2244262S R πππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭.故选:A.【点睛】本题考查了空间几何体的性质,运算求解外接球表面积,属于中档题.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.命题“2000,10x R x x ∃∈--≤”的否定为:_______________.【答案】2,10x R x x ∀∈--> 【解析】 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论.【详解】命题为特称量词,则命题“2000,10x R x x ∃∈--≤”的否定为:“2,10x R x x ∀∈-->”.故答案为:2,10x R x x ∀∈-->.【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定,属于基础题. 14.离心率12e =,且过的椭圆的标准方程为__________或________. 【答案】 (1). 221129x y += (2). 221414134y x += 【解析】 【分析】分焦点在,x y 轴上两种情况进行求解即可.【详解】(1)当焦点在x 轴上时,因为离心率12e =,此时2,a c b ==.设椭圆方程2222143x yc c+=.代入可得(22222222111343c c c c c+=⇒+=⇒=.故2212,9a b ==.即椭圆方程221129x y +=.(2) 当焦点在y 轴上时,因为离心率12e =,此时2,a c b ==.设椭圆方程2222134x yc c+=.代入可得(2222222834111343412c c c c c +=⇒+=⇒=. 故224141,34a b ==.即椭圆方程221414134y x +=. 故答案为:(1). 221129x y += (2). 221414134y x += 【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求法,注意焦点在,x y 轴上两种情况即可.属于基础题型.15.已知点(0,2),(0,2),(3,2)A B C -,若动点(,)M x y 满足||||||||MA AC MB BC +=+,则点M 的轨迹方程为__________.【答案】221(1)3x y y -=≤-【解析】 【分析】根据||||||||MA AC MB BC +=+中||,||AC BC 为定值,故先化简,再分析M 满足的距离关系即可. 【详解】设(),M x y ,因为||||||||MA AC MB BC +=+,故||3||MA MB +=即||||2MA MB -=.故(),M x y 的轨迹是以(0,2),(0,2)A B -为焦点,22a =的双曲线的下支.此时1,2a c ==.故2223b c a =-=.故221(1)3x y y -=≤-.故答案为:221(1)3x y y -=≤-【点睛】本题主要考查了双曲线的定义,需要注意||||2MA MB -=为双曲线的下支,属于基础题型. 16.已知(3,0)A -,(3,0)B ,点P 在圆22(3)(4)4x y -+-=上运动,则22PA PB +的最小值是________.【答案】36 【解析】 【分析】由题意设()32cos ,42sin P θθ++,利用两点之间的距离公式表示出22PA PB +,进而可得结论.【详解】由题意得圆的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数),设()32cos ,42sin P θθ++,则()()22262cos 42sin 5624cos 16sin PA θθθθ=+++=++,()()2222cos 42sin 2016sin PB θθθ=++=+,∴()227624cos 32sin 7640sin PA PB θθθϕ+=++=++,其中3tan 4ϕ=, 当()sin 1θϕ+=-时, 22PA PB +有最小值为36.故答案为:36.【点睛】本题主要考查两点之间的距离公式,圆的参数方程的应用,属于基础题.三、解答题(本大题共6小题,共70分。
2019-2020学年安徽省合肥市六校2018级高二上学期期末考试数学(理)试卷及解析
2019-2020学年安徽省合肥市六校2018级高二上学期期末考试数学(理)试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.每小题4个选项中,只有1个选项符合题目要求.)1.已知()()2,1,2,3A B -,则AB =( )A. 4B. 2C. 8D. 22【答案】A 【解析】利用两点间的距离公式可求AB . 【详解】()()2222134AB =-+--=, 故选:A.2.命题“20(0,1),0x x x ∀∈-<”的否定是( )A. 2000(0,1),0x x x ∃∉-≥B. 2000(0,1),0x x x ∃∈-≥C. 2000(0,1),0x x x ∀∉-<D. 2000(0,1),0x x x ∀∈-≥【答案】B分析:直接根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”,写出结果即可.详解:“全称命题”的否定一定是“特称命题”,∴命题“()200,1,0x x x ∀∈-<”的否定是()20000,1,0x x x ∃∈-≥,故选B.点睛:本题考查命题的否定,“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表达,如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”:“都是”与“不都是”等,所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”,“存在性命题”的否定一定是“全称命题”.3.如图,棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,M 为BC 中点,这直线1D M 与平面ABCD 所成角的正切值为( )A. 3B. 5C. 25D. 12【答案】 C 【解析】先作出直线D 1M 与平面ABCD 所成角,然后求解即可【详解】连接DM,因为几何体是正方体,所以∠D 1MD 就是直线D 1M 与平面ABCD 所成角,tan∠D 1MD=1255DD DM a==故选C【点睛】求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求,有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长,进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值,当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系,利用向量求解.4.设α,β是两个不同的平面,m 是直线且m α⊂.“m β”是“αβ”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B试题分析:,得不到,因为可能相交,只要和的交线平行即可得到;,,∴和没有公共点,∴,即能得到;∴“”是“”的必要不充分条件.故选B .【方法点晴】考查线面平行的定义,线面平行的判定定理,面面平行的定义,面面平行的判定定理,以及充分条件、必要条件,及必要不充分条件的概念,属于基础题;并得不到,根。
安徽省合肥市六校联盟2018-2019学年上学期高二期末文科数学试卷(解析版)
安徽省合肥市六校联盟2018-2019学年上学期高二期末文科数学试卷(解析版)一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.设条件p :;条件q :,那么p 是q 的什么条件 a >0a 2+a ≥0()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分且必要条件D. 非充分非必要条件【答案】A【解析】解:若为真命题且为假命题,则命题p 是命题q 的充分不必要条件;p⇒q q⇒p 条件q :,即为或a 2+a ≥0a ≥0a ≤−1故设条件p :是条件q :的充分非必要条件a >0a 2+a ≥0故选:A .条件q :,即为或,根据充要条件的定义即可a 2+a ≥0a ≥0a ≤−1本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断,属于基础题.2.已知直线l :,若轴,但不重合,则下列结论正确的是 (a−1)x +(b +2)y +c =0l//x ()A. ,,B. ,,a ≠1c ≠0b ≠2a ≠1b =−2c ≠0C. ,,D. 其它a =1b ≠−2c ≠0【答案】B【解析】解:直线l :,轴,但不重合,∵(a−1)x +(b +2)y +c =0l//x ,∴{a−1≠0b +2=0c ≠0解得,,.a ≠1b =−2c ≠0故选:B .利用直线与x 轴平行但不重合的性质直接求解.本题考查命题真假的判断,考查直线与x 轴平行但不重合的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.3.已知双曲线的一条渐近线方程为,则双曲线的离心率为 x 2a2−y 2b2=1(a >0,b >0)y =43x()A.B.C.D. 532135472【答案】A【解析】解:双曲线的中心在原点,焦点在x 轴上,∵设双曲线的方程为,∴x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)由此可得双曲线的渐近线方程为,结合题意一条渐近线方程为,y =±ba xy =43x得,设,,则b a=43b =4t a =3tc =a 2+b 2=5t(t >0)该双曲线的离心率是.∴e =ca =53故选:A .由题意设出双曲线的方程,得到它的一条渐近线方程即,由此可得b ::3,结合双曲线的y =ba xy =43xa =4平方关系可得c 与a 的比值,求出该双曲线的离心率.本题给出双曲线的一条渐近线方程,求双曲线的离心率,着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识,属于基础题.4.已知直线a 和两个平面,,给出下列四个命题:若,则内的任何直线都与a 平行;若αβ①a//αα②,则内的任何直线都与a 垂直;若,则内的任何直线都与平行;若,则内的a ⊥αα③α//ββα④α⊥ββ任何直线都与垂直则其中 α.()A. 、为真B. 、为真C. 、为真D. 、为真②③①②①③③④【答案】A【解析】解:对于,当线面平行时,直线与平面内所有直线均无公共点,是平行或异面的关系,故为①①假命题.对于,由线面垂直的定义可知,其为真命题.②对于,有面面平行的性质可得其为真命题;③对于,当面面垂直时,只有在其中一个平面内和交线垂直的直线才垂直与另一平面,故为假命题.④④故只有为真命题.②③故选:A .对于,当线面平行时,直线与平面内所有直线均无公共点,是平行或异面的关系,故为假命题.①①对于,由线面垂直的定义可知,其为真命题.②对于,有面面平行的性质可得其为真命题;③对于,当面面垂直时,只有在其中一个平面内和交线垂直的直线才垂直与另一平面,故为假命题④④本题是对空间中直线和平面的位置关系以及平面和平面的位置关系的综合考查考查课本上的基础知识,所.以在做题时,一定要注重对课本定义,定理的理解和掌握.5.抛物线的准线方程是 y =−18x 2()A.B. C.D. x =132y =2y =132y =−2【答案】B 【解析】解:,∵y =−18x 2,∴x 2=−8y 其准线方程是.∴y =2故选:B .先把抛物线转换为标准方程,然后再求其准线方程.y =−18x 2x 2=−8y 本题考查抛物线的基本性质,解题时要认真审题,仔细求解.6.如图是一个几何体的三视图单位:,根据图中数据,可得该几何体的体积是 (cm)()A. 24B. 12C. 8D. 4 cm3cm3cm3cm3【答案】D【解析】解:根据三视图知该几何体是底面为俯视图三角形,高为4的三棱锥,且侧面底面ABC ,如图所示;PBC ⊥则该三棱锥的体积为V =13S △ABC ℎ=13×12×3×2×4=4(cm 3).故选:D .根据三视图知该几何体是底面为俯视图三角形,高为4的三棱锥,结合图中数据求得该三棱锥的体积.本题考查了几何体三视图的应用问题,是基础题.7.若直线,向右平移1个单位长度再向下平移1个单位,平移后与圆相切,则3x−y +c =0x 2+y 2=10c 的值为 ()A. 14或B. 12或C. 8或D. 6或−6−8−12−14【答案】A【解析】解:圆所以圆心坐标为,半径,x 2+y 2=10(0,0)r =10直线,变形为,3x−y +c =0y =3x +c 根据平移规律得到平移后直线的解析式为:,即,y =3(x−1)+c−13x−y +c−4=0由此时直线与圆相切,可得圆心到直线的距离,d =|c−4|10=r =10解得:或.c =14−6故选:A .根据平移规律“上加下减,左加右减”表示出平移后直线的方程,根据平移后直线与圆相切,可得圆心到直线的距离等于圆的半径,利用点到直线的距离公式列出关于的方程,求出方程的解即可得到的值.λλ此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:圆的标准方程,点到直线的距离公式,以及平移规律,当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,熟练掌握此性质及平移规律是解本题的关键.8.设函数,则 f(x)=13x−lnx(x >0)y =f(x)()A. 在区间 ,,内均有零点(1e 1)(1,e)B.在区间 ,,内均无零点(1e 1)(1,e)C. 在区间 ,内有零点,在区间内无零点(1e 1)(1,e)D.在区间 ,,内无零点,在区间内有零点(1e 1)(1,e)【答案】D【解析】解:由题得,令得;f′(x)=x−33x f′(x)>0x >3令得;得,f′(x)<00<x <3f′(x)=0x =3故知函数在区间上为减函数,在区间为增函数,f(x)(0,3)(3,+∞)在点处有极小值;x =31−ln 3<0又,,,f(1)=13>0f(e)=e3−1<0f(1e )=13e +1>0故选:D .先对函数进行求导,再根据导函数的正负情况判断原函数的增减性可得答案.f(x)本题主要考查导函数的增减性与原函数的单调性之间的关系即当导函数大于0时原函数单调递增,当导函.数小于0时原函数单调递减.9.如图,在正四棱柱中,E 、F 分别是、的中点,则ABCD−A 1B 1C 1D 1AB 1BC 1以下结论中不成立的是 ()A. EF 与垂直BB 1B. EF 与BD 垂直C. EF 与CD 异面D. EF 与异面A 1C 1【答案】D【解析】解:连,则交于F 且F 为中点,三角B 1C B 1C BC 1BC 1形中,所以平面ABCD ,而面ABCD ,B 1AC EF //−12ACEF//B 1B ⊥所以EF 与垂直;又,所以EF 与BD 垂直,EF 与CD 异面.BB 1AC ⊥BD由,得EF //−12AC AC//A 1C 1EF//A 1C 1故选:D .观察正方体的图形,连,则交于F 且F 为中点,推出;分析可得答案.B 1C B 1C BC 1BC 1EF//A 1C 1本题考查异面直线的判定,考查空间想象能力,是基础题.10.已知命题:函数在R 上为增函数,:函数在R 上为减函数,则在命题:p 1y =2x −2−x p 2y =2x +2−xq 1,:;:;:;其中为真命题的是 p 1∨p 2q 2p 1∧p 2q 3(¬p 1)∨p 2q 4p 1∨(¬p 2)()A. 和B. 和C. 和D. 和q 1q 3q 2q 3q 1q 4q 2q 4【答案】C【解析】解:,∵y =2x −2−x恒成立,∴y′=ln 2(2x +2−x )>0在R 上为增函数,即题为真命题∴y =2x −2−x p 1,∵y =2x +2−x ,∴y′=ln 2(2x −2−x )由可得,即在上单调递增,在上单调递减y’>0x >0y =2x +2−x(0,+∞)(−∞,0):函数在R 上为减函数为假命题∴p 2y =2x +2−x 根据复合命题的真假关系可知,:为真命题q 1p 1∨p 2:为假命题q 2p 1∧p 2:为假命题q 3(¬p 1)∨p 2:为真命题q 4p 1∨(¬p 2)故选:C .利用导数知识分别对函数,,的单调性,从而可判断,的真假,然后根据复合y =2x −2−x y =2x +2−xp 1p 2命题的真假关系即可判断本题主要考查了函数的导数在指数函数的单调性,复合命题的真假关系的应用,属于知识的综合应用11.设O 为坐标原点,C 为圆的圆心,且圆上有一点满足,则 (x−2)2+y 2=3M(x,y)⃗OM⋅⃗CM=0y x=()A. B. 或C. D. 或3333−3333−3【答案】D 【解析】解:,∵⃗OM ⋅⃗CM=0,∴OM ⊥CM 是圆的切线.∴OM 设OM 的方程为,y =kx 由,得,即.|2k|k 2+1=3k =±3yx=±3故选:D .因为得到,所以OM 为圆的切线,设出OM 的方程,利用圆心到直线的距离等于半径即⃗OM ⋅⃗CM =0OM ⊥CM可求出.yx 考查学生理解当平面向量数量积为0时得到线段互相垂直,理解圆与直线相切时的条件,综合运用直线与圆的方程解决问题的能力.12.已知函数,若,则实数a 的取值范围是 f(x)=−x 5−3x 3−5x +3f(a)+f(a−2)>6()A. B. C. D. (−∞,3)(3,+∞)(1,+∞)(−∞,1)【答案】D【解析】解:,∵f(x)=−x 5−3x 3−5x +3,可得对任意的x 均成立.∴f(−x)=x 5+3x 3+5x +3f(−x)+f(x)=6因此不等式,即,f(a)+f(a−2)>6f(a−2)>6−f(a)等价于f(a−2)>f(−a)恒成立,是R 上的单调减函数,∴f(x)所以由得到,即 f(a−2)>f(−a)a−2<−a a <1故选:D .由函数的解析式,算出对任意的x 均成立因此原不等式等价于,再利用导f(−x)+f(x)=6.f(a−2)>f(−a)数证出是R 上的单调减函数,可得原不等式即,由此即可解出实数a 的取值范围.f(x)a−2<−a 本题给出多项式函数,求解关于a 的不等式,着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性和不等式的解法等知识,属于中档题.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.命题“,或”的否定为______.∃x ∈R x ≤1x 2>4【答案】“,且”∀x ∈R x >1x 2≤4【解析】解:由特称命题的否定为全称命题,可得命题“,或”的否定为“,且”.∃x ∈R x ≤1x 2>4∀x ∈R x >1x 2≤4故答案为:“,且”.∀x ∈R x >1x 2≤4由特称命题的否定为全称命题,即可得到.本题考查命题的否定,注意全称命题和特称命题的互化,属于基础题.14.与椭圆有相同的焦点,且过点的椭圆方程为______.4x 2+9y 2=36(−3,2)【答案】x 215+y 210=1【解析】解:椭圆,4x 2+9y 2−36=0焦点坐标为:,,,∴(5,0)(−5,0)c =5椭圆的焦点与椭圆有相同焦点∵4x 2+9y 2−36=0设椭圆的方程为:,x 2a 2+y 2b 2=1椭圆的半焦距,即∴c =5a 2−b 2=5∴{ 9a 2+4b 2=1a 2−b 2=5解得:,a 2=15b 2=10椭圆的标准方程为∴x 215+y 210=1故答案为:.x 215+y 210=1由椭圆求得焦点坐标,进而求得椭圆的半焦距c ,根据椭圆过点求得a ,根据b 和4x 2+9y 2−36=0(−3,2)c 与a 的关系求得b 即可写出椭圆方程.本小题主要考查椭圆的标准方程、圆锥曲线的共同特征、方程组的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题..15.若曲线在点处的切线方程为,则曲线在点处切线的y =g(x)(l,g(l))y =2x +1f(x)=g(x)+lnx (l,g(1))斜率为______,该切线方程为______.【答案】3 y =3x【解析】解:切线方程为过点y =2x +1(l,g(l)),切点为,∴g(l)=3(1,3)f(1)=g(1)+ln 1=3切线方程为∴y =3x 故答案为:3,y =3x先求出曲线的切点坐标,然后求出,从而求出切线的斜率,再求出曲线的切点坐标,即y =g(x)f(x)可求出切线方程.本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,直线的斜率等有关基础知识,考查运算求解能力,考查转化思想,属于基础题.16.双曲线的两个焦点为、,点P 在双曲线上,若,则点P 到x 轴的距离为x 29−y 216=1F 1F 2PF 1⊥PF 2______.【答案】165【解析】解:设点,P(x,y)、,,∵F 1(−5,0)F 2(5,0)PF 1⊥PF 2,∴y−0x +5⋅y−0x−5=−1,∴x 2+y 2=25①又,x 29−y 216=1,∴25−y 29−y 216=1,∴y 2=16225,∴|y|=165到x轴的距离是.∴P 165设出点P 坐标,由得到一个方程,将此方程代入双曲线的方程,消去x ,求出的值.(x,y)PF 1⊥PF 2|y|本题考查双曲线的方程、性质的应用.三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.若抛物线的焦点是椭圆左顶点,求此抛物线的标准方程;(1)x 264+y 216=1某双曲线与椭圆共焦点,且以为渐近线,求此双曲线的标准方程.(2)x 264+y 216=1y =±3x 【答案】解:椭圆的,(1)x 264+y 216=1a =8左顶点为,(−8,0)设抛物线的方程为,y 2=−2px(p >0)可得,−p2=−8解得,p =16则抛物线的方程为;y 2=−32x 双曲线与椭圆共焦点,(2)x 264+y 216=1(±64−16,0)即为,(±43,0)设双曲线的方程为,x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)则,a 2+b 2=48渐近线方程为,y =±ba x可得,b a=3解得,,a =23b =6则双曲线的方程为.x 212−y 236=1【解析】求得椭圆的左顶点,设抛物线的方程为,可得,求得p ,即可得到所(1)y 2=−2px(p >0)−p2=−8求方程;求得椭圆的焦点,设双曲线的方程为,可得渐近线方程,以及a ,b 的方程组,解(2)x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)得a ,b ,即可得到所求双曲线的方程.本题考查椭圆、双曲线和抛物线的方程和性质,主要是焦点、顶点和渐近线方程,考查方程思想和运算能力,属于基础题.18.已知直线:与直线:的交点为M ,l 1x−2y +3=0l 22x +3y−8=0求过点M 且到点的距离为2的直线l 的方程;(1)P(0,4)求过点M 且与直线:平行的直线l 的方程.(2)l 3x +3y +1=0【答案】解 由解得(1){x−2y +3=02x +3y−8=0{x =1y =2,的交点M 为,∴l 1l 2(1,2)设所求直线方程为,即,y−2=k(x−1)kx−y +2−k =0到直线的距离为2,∵P(0,4),∴2=|−2−k|1+k2解得或.k =043直线方程为或;∴y =24x−3y +2=0过点且与平行的直线的斜率为:,(2)(1,2)x +3y +1=0−13所求的直线方程为:,即.y−2=−13(x−1)3y +x−7=0【解析】先求两条直线的交点,设出直线方程,利用点到直线的距离,求出k ,从而确定直线方程.(1)已知直线的斜率,利用点斜式方程求解即可.(2)本题考查两条直线的交点坐标,直线的一般式方程,点到直线的距离公式,考查计算能力,是基础题.19.已知p :,,q :,.∀x ∈R mx 2+1>0∃x ∈R x 2+mx +1≤0求命题p 的否定;命题q 的否定;(1)¬p ¬q 若为真命题,求实数m 的取值范围.(2)¬p ∨¬q 【答案】解::,,q :,,(1)∵p ∀x ∈R mx 2+1>0∃x ∈R x 2+mx +1≤0:,,:,.∴¬p ∃x ∈R mx 2+1≤0¬q ∀x ∈R x 2+mx +1>0由若为真命题,则,(2)(1)¬p m <0若命题是真命题,¬q 则有,△=m 2−4<0解得:,−2<m <2若为真命题,¬p ∨¬q 则,至少有一个为真,¬p ¬q 的范围是:.∴m m <2【解析】根据命题的否定求出,即可;分别求出,为真时的m 的范围,结合若(1)¬p ¬q (2)¬p ¬q 为真命题,从而求出实数m 的取值范围即可.¬p ∨¬q 本题考查了复合命题的判断,考查二次函数的性质,是一道基础题.20.已知直四棱柱的底面是菱形,且,,F 为棱ABCD−A 1B 1C 1D 1∠DAB =60∘AD =AA 1的中点,M 为线段的中点.BB 1AC 1求证:平面ABCD ;(1)FM//求证:平面平面.(2)AFC 1⊥ACC 1A 1【答案】证明:延长交CB 的延长线于点N ,连接AN .(1)C 1F 是的中点,∵F BB 1为的中点,B 为CN 的中点.∴F C 1N 又M 是线段的中点,AC 1故.MF//AN 又MF 不在平面ABCD 内,平面ABCD ,AN ⊂平面ABCD .∴MF//连BD ,由直四棱柱,可知平面ABCD ,(2)ABCD−A 1B 1C 1D 1A 1A ⊥又平面ABCD ,.∵BD ⊂∴A 1A ⊥BD 四边形ABCD 为菱形,.∵∴AC ⊥BD 又,AC ,平面,平面.∵AC ∩A 1A =A A 1A ⊂ACC 1A 1∴BD ⊥ACC 1A 1在四边形DANB 中,且,四边形DANB 为平行四边形,DA//BN DA =BN ∴故,平面,NA//BD ∴NA ⊥ACC 1A 1又平面,∵NA ⊂AFC 1平面.∴AFC 1⊥ACC 1A 1【解析】延长交CB 的延长线于点N ,由三角形的中位线的性质可得,从而证明平面(1)C 1F MF//AN MF//ABCD .由,,可得平面,由DANB 为平行四边形,故,故平面(2)A 1A ⊥BD AC ⊥BD BD ⊥ACC 1A 1NA//BD NA ⊥,从而证得平面.ACC 1A 1AFC 1⊥ACC 1A 1本题考查直线与平面平行的判定,考查平面与平面垂直的判断,考查推理分析与运算能力,考查等价转化思想与数形结合思想的综合运用,属于中档题.21.已知椭圆E 过点,对称轴为坐标轴,焦点,在x 轴上,离心率,的平分线所在A(2,3)F 1F 2e =12∠F 1AF 2直线为l .Ⅰ求椭圆E 的方程;()Ⅱ设l 与x 轴的交点为Q ,求点Q 的坐标及直线l 的方程;()Ⅲ在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由.()【答案】解:Ⅰ设椭圆方程为 ()x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆E 经过点,离心率,∵A(2,3)e =12解,.∴{c a=124a2+9b 2=1a 2=b 2+c 2a 2=16b 2=12椭圆方程E为:.∴x 216+y 212=1Ⅱ,,,()F 1(−20)F 2(2,0),方程为:,方程为:∵A(2,3)∴AF 13x−4y +6=0AF 2x =2设角平分线上任意一点为,P(x,y);|3x−4y +6|5=|x−2|得或2x−y−1=0x +2y−8=0斜率为正,直线方程为;l 与x 轴的交点为Q ,点Q 的坐标.∵∴2x−y−1=0(12,0)Ⅲ假设存在两点关于直线l 对称,,()B(x 1,y 1)C(x 2,y 2)∴kBC =−12直线BC 方程为代入椭圆方程,∴y =−12x +m x 216+y 212=1.得,中点为x 2−mx +m 2−12=0∴BC (m 2,3m 4)代入直线上,得.2x−y−1=0m =4中点为与A 重合,不成立,所以不存在满足题设条件的相异的两点.∴BC (2,3)【解析】Ⅰ设出椭圆方程,根据椭圆E 经过点,离心率,建立方程组,求得几何量,即可得到椭圆()A(2,3)E 的方程;Ⅱ求得方程、方程,利用角平分线性质,即可求得的平分线所在直线l 的方程;()AF 1AF 2∠F 1AF 2Ⅲ假设存在两点关于直线l 对称,设出直线BC 方程代入椭圆E 的方程,求得BC 中点代()B(x 1,y 1)C(x 2,y 2)入直线上,即可得到结论.2x−y−1=0本题考查椭圆的标准方程,考查直线方程,考查对称性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.22.已知函数为实数.f(x)=(a−12)x 2+lnx(a )当时,求函数在区间上的最大值和最小值;(1)a =0f(x)[1e ,e]若对任意的,恒成立,求实数a 的取值范围.(2)x ∈(1,+∞)g(x)=f(x)−2ax <0【答案】解:当时,函数,(1)a =0f(x)=−12x 2+lnx (x >0),,令,得,负值舍去f′(x)=−x +1x =1−x 2x (x >0)f′(x)=0x =1(),x 、,的变化如下:∴x >0f′(x)f(x)x (1e ,1)1(1,e)f′(x)+0f(x)↑极大值↓在上单调递增,在上单调递减,∴f(x)(1e ,1)(1,e)最大值为.f(x)f(1)=12,最小值为∵f(1e )−f(e)=e 4−2e 2−12e 2>0∴f(x)f(e)=1−12e 2,的定义域为 ,(2)g(x)=f(x)−2ax =(a−12)x 2+lnx−2ax g(x)(0,+∞)g′(x)=(x−1)[(2a−1)x−1]x若,令,得极值,,①a >12g′(x)=0x 1=1x 2=12a−1当,即时,在上有,x 1<x 212<a <1(0,1)g′(x)>0在上有,(1,x 2)g′(x)<0在上有,此时在区间上是增函数,(x 2,+∞)g′(x)>0g(x)(x 2,+∞)并且在该区间上有不合题意;g(x)∈(g(x 2),+∞)当,即时,同理可知,在区间上,x 2≤x 1a ≥1g(x)(1,+∞)有,也不合题意;g(x)∈(g(1),+∞)若,则有,此时在区间上恒有,②a ≤12x 1>x 2(1,+∞)g′(x)<0从而在区间上是减函数;g(x)(1,+∞)要使在此区间上恒成立,只须满足,得g(x)<0g(1)=−a−12≤0a ≥−12由此求得a 的范围是[−12,12]综合可知实数a 的取值范围是①②[−12,12].【解析】求出导数,由此能求出在上单调递增,在上单调递减在上单调递增,(1)f(x)(0,1)(1,+∞)).f(x)(1e ,1)在上单调递减,由此能求出在区间上的最大值和最小值.(1,e)f(x)[1e ,e]求出函数的导数,讨论若,若,求得单调区间,可得的范围,由恒成立思想,进(2)g(x)①a >12②a ≤12g(x)而得到a 的范围.本题考查导数的运用:求单调区间、极值和最值,考查函数方程的转化思想,注意构造函数法和分类讨论的思想方法,运用函数的单调性和恒成立思想,考查化简整理的运算能力,属于中档题.。
2019-2020学年安徽省合肥市六校联盟高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2019-2020学年安徽省合肥市六校联盟高二上学期期末考试数学(文)试题一、单选题1.直线l 的方程为22(1)y x +=-,则( ) A .直线l 过点(2,2)-,斜率为12B .直线l 过点(2,2)-,斜率为12C .直线l 过点(1,2)-,斜率为2D .直线l 过点(1,2)-,斜率为2【答案】C【解析】经过点()00,x y 且斜率为k 的直线的点斜式方程为:()00y y k x x -=-,即可得到结论. 【详解】∵直线方程为()221y x +=-,即()()221y x --=-, ∴直线表示经过点()1,2-,且斜率2k =的直线. 故选:C. 【点睛】本题给出直线的点斜式方程,求直线经过的定点与直线斜率的大小,着重考查了直线的点斜式方程及其用法等知识,属于基础题.2.双曲线22145x y -=的离心率是( )A B .32C .2D .94【答案】B【解析】由双曲线的标准方程求得a 和c ,从而求得离心率ce a=的值. 【详解】由双曲线方程22145x y -=可得2a =,b =∴3c =,∴32c e a ==. 故选:B. 【点睛】本题考查双曲线的定义和标准方程,以及简单性质的应用,属于基础题.3.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积为( )A .3B .4C .5D .6【答案】A【解析】根据几何体的三视图,得出该几何体是直三棱柱,结合图中数据即可求出体积. 【详解】根据几何体的三视图,得该几何体是直三棱柱,且直三棱柱的底面是等腰直角三角形,高为3,则该直三棱柱的体积为121332V =⨯⨯⨯=. 故选:A. 【点睛】本题考查空间几何图三视图的应用问题,空间想象能力与计算能力的应用问题,属于基础题.4.已知空间两点(2,1,3),(4,2,3)A B ---,则A B 、间的距离是( ) A .7 B .8C .9D .10【答案】C【解析】根据空间中两点之间的距离公式即可得到结论. 【详解】根据空间中两点之间的距离公式得9AB ==.故选:C. 【点睛】本题主要考查空间中两点之间的距离公式的应用,属于基础题. 5.双曲线2294360x y -+=的一条渐近线的方程为( ) A .940x y -= B .490x y -=C .320x y +=D .230x y -=【答案】C【解析】将双曲线方程化为标准形式,即可得到渐近线方程.【详解】由双曲线2294360x y -+=,得22149x y -=,所以渐近线的方程为22049x y -=,即320x y ±=.故选:C. 【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求法,属于基础题.6.已知圆22(7)(4)9x y -++=与圆22(5)(6)9x y ++-=关于直线l 对称 ,则直线l的方程是( ) A .56110x y +-= B .6510x y --= C .65110x y +-= D .5610x y -+=【答案】B【解析】根据两圆的圆心距大于两圆的半径之和,可得两圆外离,把两个圆的方程相减可得对称轴l 的方程. 【详解】∵两圆22(7)(4)9x y -++=与圆22(5)(6)9x y ++-=关于直线l 对称,且两圆的圆6=>,∴两圆外离,将两个圆的方程相减可得242040x y --=,即6510x y --=. 故直线l 的方程为6510x y --=. 故选:B. 【点睛】本题考查两圆关于直线对称的性质,把两个圆的方程相减可得此直线的方程,属于基础题.7.已知圆221:2310C x y x y ++++=,圆222:43360C x y x y ++--=,则圆1C 和圆2C 的位置关系为( ) A .相切 B .内含C .外离D .相交【答案】B【解析】将两圆的方程化为标准方程,求出两圆的圆心与半径,求出圆心距,再根据两圆的圆心距12C C 与半径和与差的关系,即可得到结论. 【详解】圆221:2310C x y x y ++++=,即()2239124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭,∴131,2C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,132r =, 圆222:43360C x y x y ++--=,即()223169224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,∴232,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭,2132r =,∴两圆的圆心距12C C ==12313822r r +=+=,21133522r r -=-=,∴11225r C r C =<-=,故两圆内含. 故选:B. 【点睛】本题主要考查圆的标准方程,两圆的位置关系的判定方法,属于基础题. 8.“12m =-”是“直线()2110m x y --+=与直线()2110x m y +--=互相垂直”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A【解析】结合直线垂直的条件,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】要使直线()2110m x y --+=与直线()2110x m y +--=互相垂直,则()()22110m m ---=,即2210m m --=,解得1m =或12m =-, 所以“12m =-”是“直线()2110m x y --+=与直线()2110x m y +--=互相垂直”的充分不必要条件. 故选:A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,以及直线垂直的条件应用,属于基础题. 9.下列命题是真命题的是( )A .“若a b >,则22a b >”的逆命题B .“若αβ=,则sin sin αβ=”的否定C .“若,a b 都是偶数,则+a b 是偶数”的否命题D .“若函数(),()f x g x 都是R 上的奇函数,则()()f x g x +是R 上的奇函数”的逆否命题 【答案】D【解析】根据命题的定义,写出已知中命题的四种命题或否定命题,再逐一判断真假即可得到答案. 【详解】对于A :“若a b >,则22a b >”的逆命题为:“若22a b >,则a b >”为假命题,故A 错误; 对于B :“若αβ=,则sin sin αβ=”的否定为:“若αβ=,则sin sin αβ≠”为假命题,故B 错误;对于C :“若,a b 都是偶数,则+a b 是偶数”的否命题为:“若,a b 不都是偶数,则+a b 不是偶数”为假命题,故C 错误;对于D :“若函数(),()f x g x 都是R 上的奇函数,则()()f x g x +是R 上的奇函数”的逆否命题为:“若()()f x g x +是R 上的奇函数,则函数(),()f x g x 都是R 上的奇函数”为真命题,故D 正确. 故选:D. 【点睛】本题考查的知识点是四种命题,命题的否定,熟练掌握四种命题的定义是解答的关键,属于基础题.10.已知抛物线22(0)y px p =>焦点为F ,直线l 过点F 与抛物线交于两点,A B ,与y 轴交于(0,)2pM ,若||8AB =,则抛物线的准线方程为( ) A .2y =- B .1y =-C .2x =-D .1x =-【答案】D【解析】设直线l 的方程为2p x ny =+,由直线与y 轴交于0,2p M ⎛⎫⎪⎝⎭,得1n =-,再联立直线与抛物线方程,利用韦达定理列式即可得抛物线的方程,进而可得准线方程.【详解】由抛物线22(0)y px p =>知焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,设直线l 的方程为2p x ny =+,()11,A x y ,()22,B x y ,则12AB x x p =++,∵直线l 与y 轴交于0,2p M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则022p pn =⋅+,得1n =-, ∴直线l 的方程为2p x y =-+, 联立222p x y y px⎧=-+⎪⎨⎪=⎩,消去y 得22304p x px -+=,∴ 123x x p +=∴ 12348AB x x p p p p =++=+==,即2p =, 故抛物线方程为24y x =,所以准线方程为1x =-. 故选:D. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,抛物线的弦长公式,属于基础题. 11.已知两个平面相互垂直,下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 ③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确命题个数是( ) A . B .C .1D .【答案】B【解析】试题分析:(1) 当两个平面垂直时,一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面的任意直线,(1)错;(2)当一个平面内的已知直线垂直于交线时,它必垂直于另一个平面内的任意一条直线;当一个平面内的已知直线不垂直于交线时,它必然垂直于另一个平面内的和交线垂直的无数条直线,(2)正确;(3)一个平面内的垂直于交线的直线必垂直于另一个平面,(3)错;(4)过一个平面内任意一点在已知平面内作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面,(4)错. 【考点】线面垂直的性质定理.12.已知正方形ABCD 的边长为4,,E F 分别为边,AB BC 上的点,且3AE BF ==.将,AED CFD ∆∆分别沿ED 和FD 折起,使点A 和C 重合于点P ,则三棱锥P EFD -的外接球表面积为( )A .26πB .13πC D 【答案】A【解析】用球的内接长方体的性质,得出半径,求解外接球表面积. 【详解】 如图所示:在三棱锥P EFD -中,4DP =,3PE =,1PF =,EF ,因222PE PF EF +=,则PE PF ⊥, 由题意知,PE PD ⊥,PF PD ⊥, 所以,,PE PD PF 互相垂直,即三棱锥P EFD -的外接球的半径为R ==所以三棱锥P EFD -的外接球的表面积为2244262S R πππ⎛=== ⎝⎭. 故选:A. 【点睛】本题考查了空间几何体的性质,运算求解外接球表面积,属于中档题.二、填空题13.命题“2000,10x R x x ∃∈--≤”的否定为:_______________.【答案】2,10x R x x ∀∈-->【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论.【详解】命题为特称量词,则命题“2000,10x R x x ∃∈--≤”的否定为:“2,10x R x x ∀∈-->”.故答案为:2,10x R x x ∀∈-->. 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定,属于基础题.14.焦点在x 轴上,离心率12e =,且过的椭圆的标准方程为_______. 【答案】221129x y +=【解析】设椭圆方程,利用离心率为12e =,且经过点(,建立方程,从而可求得椭圆方程. 【详解】由题意,设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>,因椭圆离心率为12e =,且经过点(,则22214a b a -=,22831a b+=, 解得212a =,29b =,故椭圆的标准方程为221129x y +=.故答案为:221129x y +=.【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查椭圆的几何性质,属于基础题.15.已知定点()3,0B ,点A 在圆22(1)4x y ++=上运动,则线段AB 中点M 的轨迹方程是___________ 【答案】22(1)1x y -+=【解析】设出点M ,根据M 是AB 中点的坐标,利用中点坐标公式求出A 的坐标,再根据A 在圆上,得到轨迹方程. 【详解】设(),M x y ,点A 的坐标为()00,x y ,由定点()3,0B ,且M 是线段AB 的中点,则023x x =+,020y y =+, 即023x x =-,02y y =, ∴()23,2A x y -,又点A 在圆22(1)4x y ++=上运动,即()()2223124x y -++=, 整理得()2211x y -+=,∴线段AB 中点M 的轨迹方程是()2211x y -+=. 故答案为:()2211x y -+=. 【点睛】本题考查中点的坐标公式,求轨迹方程的方法,相关点法,设出动点坐标,求出相关的点的坐标,代入已知曲线方程,属于基础题.16.已知(3,0)A -,(3,0)B ,点P 在圆22(3)(4)4x y -+-=上运动,则22PA PB +的最小值是________. 【答案】36【解析】由题意设()32cos ,42sin P θθ++,利用两点之间的距离公式表示出22PA PB +,进而可得结论.【详解】由题意得圆的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数),设()32cos ,42sin P θθ++,则()()22262cos 42sin 5624cos 16sin PA θθθθ=+++=++,()()2222cos 42sin 2016sin PB θθθ=++=+,∴()227624cos 32sin 7640sin PA PB θθθϕ+=++=++,其中3tan 4ϕ=, 当()sin 1θϕ+=-时, 22PA PB +有最小值为36.故答案为:36. 【点睛】本题主要考查两点之间的距离公式,圆的参数方程的应用,属于基础题.三、解答题17.如图,正方体1111ABCD A B C D -中(1)求证:1AC DB ⊥ (2)求证:1DB ⊥平面1ACD 【答案】(1)见解析;(2)见解析【解析】(1)利用线面垂直的结论,进而可得线线垂直结论; (2)利用线面垂直的判定定理,进而可得结论. 【详解】证明:(1)连结BD 、11B D1DD ⊥Q 平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD 1DD ∴⊥AC又AC BD ⊥,1BDDD D =,1BD DD ⊂、平面11DBB DAC ∴⊥平面11DBB D ,又1DB ⊂平面11DBB D1AC DB ∴⊥(2)由1AC DB ⊥,即1DB AC ⊥同理可得11DB AD ⊥, 又1AD AC A =,1,AD AC ⊂平面1ACD1DB ∴⊥平面1ACD【点睛】本题主要考查线线垂直,线面垂直的证明方法,属于基础题.18.设抛物线的顶点为O ,经过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点,B C ,经过抛物线上一点P 垂直于对称轴的直线和对称轴交于点M ,设||BC a =,||MP b =,||OM c =,求证:,,a b c 成等比数列.【答案】见解析【解析】设抛物线为22(0)y px p =>,由题意可得||2BC p a ==,由PM ⊥x 轴于点M 可得(,)P c b 或(,)P c b -,进而可得结论. 【详解】以抛物线的顶点为坐标原点O ,对称轴为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为22(0)y px p =>,则焦点(,0)2pF , ∵BC ⊥x 轴,∴(,),(,)22p pB pC p - ∴||2BC p a ==又∵PM ⊥x 轴于点M ,||MP b =,||OM c =, ∴(,)P c b 或(,)c b -, ∵P 在抛物线上, ∴22b pc =,∴2b ac =即,,a b c 成等比数列. 【点睛】本题考查抛物线的简单性质,以及抛物线的通径公式,考查分析与推理证明的能力,属于基础题.19.已知ABC ∆的顶点(2,8)C -,直线AB 的方程为211y x =-+,AC 边上的高BH 所在直线的方程为320x y ++= (1)求顶点A 和B 的坐标;(2)求ABC ∆外接圆的一般方程.【答案】(1)()5,1和()7,3-;(2)2246120x y x y +-+-=【解析】(1)联立直线AB 与直线BH 的方程可得点B 的坐标,由AC BH ⊥,进而设出直线AC 的方程,将C 的坐标代入得方程,再与直线AB 方程联立即可得点A 的坐标;(2)由(1)知A ,B ,C 的坐标,设ABC ∆外接圆的一般方程,代入求解即可. 【详解】(1)由211320y x x y =-+⎧⎨++=⎩可得顶点(7,3)B -,又因为AC BH ⊥得,13BH k =-所以设AC 的方程为3y x b =+, 将(2,8)C -代入得14b =-由211314y x y x =-+⎧⎨=-⎩可得顶点为(5,1)A 所以A 和B 的坐标分别为(5,1)和(7,3)-(2)设ABC ∆的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=,将(5,1)A 、(7,3)B -和(2,8)C -三点的坐标分别代入,得52607358028680D E F D E F D E F +++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩,解得4612D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩,所以ABC ∆的外接圆的一般方程为2246120x y x y +-+-=. 【点睛】本题主要考查两直线交点的求法,待定系数法求圆的方程,属于基础题.20.已知点1212),(,233P P 是椭圆C :22221x y a b +=上两点. (1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l 的斜率为1,直线l 与圆221x y +=相切,且与椭圆C 交于点,A B ,求线段AB 的长.【答案】(1)2214x y +=;(2)5【解析】(1)设椭圆方程为221mx ny +=,将两点坐标代入解得即可;(2)设直线方程为y x m =+,由直线l 与圆221x y +=相切,得22m =,再联立直线与椭圆方程,利用韦达定理以及弦长公式求得线段的长. 【详解】(1)设椭圆C 的方程为:221mx ny +=,点1212),(23P P 是椭圆C :221mx ny +=上两点,则131448199m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得:1,14m n ==, 故椭圆C 的方程为:2214x y +=.(2)∵直线l 的斜率为1,故设直线l 的方程为:y x m =+即0x y m -+=,1122(,),(,)A x y B x y∵直线l 与圆221x y +=相切,212m =⇒=, 由22225844014y x m x mx m x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩,即25840x mx ++= ∴12128545m x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴12|||AB x x =-==.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法,直线与圆相切,直线与椭圆相交等基础知识,属于基础题.21.如图,四棱锥P ABCD -中,侧面PAB 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,12AB BC AD ==,E 是PD 的中点.(1)证明:直线CE ∥平面PAB ;(2)若PCD P ABCD -的体积P ABCD V -.【答案】(1)见解析;(2)【解析】(1)利用直线与平面平行的判定定理证明即可;(2)利用已知条件转化求解几何体的线段长,然后求解几何体的体积即可 【详解】(1)取PA 的中点F ,连FE FB 、,E 是PD 的中点,∴FE 与12AD 平行且相等, 又BC 与12AD 平行且相等∴FE 与BC 平行且相等∴四边形EFBC 是平行四边形CE ∴∥BF又CE ⊄平面PAB ,BF ⊂平面PAB∴CE ∥平面PAB(2)在平面PAB 内作PO AB ⊥于O ,不妨设122AB BC AD x ===,则4AD x =由PAB ∆是等边三角形,则2PA PB x ==,O 为AB 的中点,PO =平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAB ⋂平面ABCD AB =,PO ⊂平面PAB 又BC AB ⊥,AD AB ⊥,BC 、AD ⊂平面ABCD ;PO AB ⊥,PO ⊂平面PAB∴BC 、AD ⊥平面PAB ;PO ⊥平面ABCD ∴BC PB ⊥,AD ⊥PA ∴PC =,PD =取AD 的中点M ,连CM ,可得CMD ∆为等腰直角三角形,090CMD ∠=∴2CM MD x ==,则CD =,PC CD =,CE =∴212PCD S PD CE ∆=⋅==,即1x =∴11111()2(24)33232P ABCDABCD V S PO AB BC AD PO -=⋅=⋅⋅+⋅=⋅⋅+=【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用,几何体的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力,属于基础题.22.已知抛物线C :26y x =,直线l :230x +-=与x 轴交于点F ,与抛物线C 的准线交于点M ,过点M 作x 轴的平行线交抛物线C 于点N . (1)求FMN ∆的面积;(2)过F 的直线交抛物线C 于,A B 两点,设AF FB λ=uu u r uu r ,3(,0)2D -,当1[,3]2λ∈时,求DA DB ⋅的取值范围.【答案】(1(2)[0,3]【解析】(1)根据抛物线方程与直线方程求得3(,0)2F ,31((22M N -,进而可得FMN ∆的面积;(2)设221212(,),(,)66y y A y B y ,由向量关系得21y y ==-,进而得1233,22x x λλ==,再由向量数量积得919()42DA DB λλ⋅=+-,又1,32λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,运用基本不等式即可得到结论. 【详解】抛物线C :26y x =的焦点为3(,0)2,准线为直线32x =-,又直线l:230x +-=与x 轴交于点3(,0)2F , ∴26y x =的焦点为3(,0)2F , 如图所示:由已知和抛物线定义得NM NF =,且30DFM NMF ∠=∠=,31((22M N -,∴120,2MNF MN ∠==, ∴FMN ∆的面积1sin12032S MN NF =⋅= (2)由(1)知,抛物线C 的方程为26y x =,设221212(,),(,)66y y A y B y ,由AF FB λ=uu u r uu r 得12221222121233(,)(,)332662()2662y y y y y y y y λλλ-=⎧⎪--=-⇒⎨-=-⎪⎩,不妨设20y >,故21y y ==-,∴1233,22x x λλ== ∴11221212123339(,)(,)()2224DA DB x y x y x x x x y y ⋅=+⋅+=++++ 919()42λλ=+-,1[,3]2λ∈∴当1λ=时,DA DB ⋅最小为0;当3λ=时,DA DB ⋅最大为3, 即DA DB ⋅的取值范围是[0,3]. 【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题,考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力,属于中档题.。
2019-2020学年高二数学期末考试试题文
2019-2020学年高二数学期末考试试题文一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列“非p”形式的命题中,假命题是( )A.不是有理数B.π≠3.14C.方程2x2+3x+21=0没有实根 D.等腰三角形不可能有120°的角2. 椭圆的焦点坐标是()A.(±5,0)B.(0,±5)C.(0,±12)D.(±12,0)3不等式的一个必要不充分条件是()A. B. C. D.4.命题“,”的否定是()A.,B.,C.,D.,5. 双曲线的实轴长是 ( )A.2 B.C.4 D.46.顶点在x轴上,两顶点间的距离为8,e =的双曲线的标准方程为()A. B.C. D.7.等比数列中, 则的前项和为()A. B. C. D.8.若方程,表示焦点在轴上的椭圆,那么实数的取值范围是( )A.(0,+∞)B.(0,2)C.(1,+∞)D.(0,1)9.在△中,若,则等于()A. B. C. D.10.在△ABC中,若,则()A. B. C. D.11.曲线在处的切线方程为A. B. C. D.12.若椭圆0)的离心率为则双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.等差数列项的和等于______________。
14. 设x,y,满足约束条件,则目标函数Z=2x+y的最大值为.115过抛物线的焦点作直线交抛物线于,两点,如果,则弦长=___________.16.等比数列前项的和为,则数列前项的和为______________.三、解答题(本小题共70分,解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)17(本题满分10分).命题:已知a、b为实数,若x2+ax+b≤0有非空解集,则a2-4b≥0.写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这些命题的真假。
2020-2021学年安徽省合肥市六校高二(上)期末数学试卷(理科)
2020-2021学年安徽省合肥市六校高二(上)期末数学试卷(理科)一、单选题(本大题共12小题,共60.0分)1.直线√3x−y+1=0的倾斜角为()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π62.已知抛物线方程为x2=−2y,则其准线方程为()A. y=−1B. y=1C. y=12D. y=−123.已知m,n为直线,α为平面,且m⊂α,则“n⊥m”是“n⊥α”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是()A. l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1//l3B. l1⊥l2,l2//l3⇒l1⊥l3C. l1//l2//l3⇒l1,l2,l3共面D. l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面5.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√5,则双曲线的渐近线方程为()A. y=±√2xB. y=±√5xC. y=±xD. y=±2x6.把一个铁制的底面半径为r,高为h的实心圆锥熔化后铸成一个铁球,则这个铁球的半径为()A. r√ℎ2B. r2ℎ4C. r2ℎ2D. √r2ℎ437.P、Q分别为3x+4y−10=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为()A. 95B. 52C. 3D. 68.已知两个平面α,β,直线a,b⊂α,直线m,n⊂β,则下列命题正确的是()A. 若a//m,b//n,则α//βB. 若m⊥a,n⊥b,则α⊥βC. 若a,b相交,a//m,b//n,则α//βD. 若a,b相交,m⊥a,n⊥b,则α⊥β9.若B点的坐标为(3,2),F是抛物线y2=6x的焦点,点P为抛物线上的动点,则使|PF|+|PB|取得最小值的P的坐标为()A. (0,0)B. (23,2) C. (1,√2) D. (2,2)10.已知圆C1:x2+y2−6x+4y+12=0,圆C2:(x−7)2+(y−1)2=36,则圆C1与圆C2的位置关系为()A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离11.已知圆台轴截面ABCD的高为2,AB=2,CD=4,E是该圆台底面圆弧CD⏜的中点,则直线AE与平面ABCD所成角的正弦值为()A. 12B. 23C. √53D. 2√5512.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1,F2,P是椭圆上一点且PF1与x轴垂直,直线PF2的斜率为−34,则椭圆C的离心率为()A. √32B. √22C. 12D. √24二、单空题(本大题共4小题,共20.0分)13.双曲线y23−x22=1的焦点坐标为______ .14.如图,在正方体ABCD−A1B1C1D1中,M,N分别是棱AA1,C1D1的中点,则MN与BC所成角的正弦值为______ .15.已知直线l:x+y−5=0与圆C:(x−2)2+(y−1)2=r2(r>0)相交所得的弦长为2√2,则该圆的半径r=______ .16.表面积为81π的球,其内接正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的高是7,则这个正四棱柱的表面积为______ .三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.给定如下两个命题:命题p:“曲线x25+y2m+2=1是焦点在y轴上的椭圆,其中m为常数”;命题q:“曲线x23+y22−m=1是焦点在x轴上的双曲线,其中m为常数”.已知命题“p∧q”为假命题,命题“p∨q”为真命题,求实数m的取值范围.18.已知圆C的圆心在直线l:2x−y−3=0上,且过点A(5,2)和点B(3,−2).(1)求圆C的标准方程;(2)求过点D(−1,2)的圆C的切线方程.19.如图,在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,底面ABCD是梯形,AB//CD,AB⊥AD,CD=2AB=2AD.(1)求证:BD⊥平面BCC1;(2)在线段C1D1上是否存在一点E,使AE//面BC1D.若存在,确定点E的位置并证明;若不存在,请说明理由.20.已知抛物线C经过点(1,−2),且焦点在x轴上.(1)求抛物线C的标准方程;(2)直线l:y=kx−2过抛物线C的焦点F,且与抛物线C交于A,B两点,求A,B两点的距离.21.如图,在四棱锥P−ABCD中,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD为菱形,∠BCD=60°,PD=CD,E为CD的中点.(1)求证:平面PBE⊥平面PCD(2)求二面角B−PC−D所成角的余弦值.22. 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√74,点A ,B 分别是左、右顶点,P 是椭圆C 上异于A ,B 的任意一点,△PAB 面积的最大值为12.(1)求椭圆方程;(2)直线AP ,BP 分别交y 轴于M ,N ,求OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值.答案和解析1.【答案】B【解析】解:直线√3x−y+1=0即y=√3x+1,故直线的斜率等于√3,设直线的倾斜角等于α,则0≤α<π,且tanα=√3,故α=60°,故选:B.把直线的方程化为斜截式,求出斜率,根据斜率和倾斜角的关系,倾斜角的范围,求出倾斜角的大小.本题考查直线的倾斜角和斜率的关系,以及倾斜角的取值范围,已知三角函数值求角的大小.求出直线的斜率是解题的关键.2.【答案】C【解析】解:由抛物线方程为x2=−2y,可得抛物线的焦点在y轴负半轴上,则其准线方程为y=p2,∵2p=2,∴p=1,p2=12,则抛物线的直线方程为y=12.故选:C.直接由抛物线方程可得其准线方程.本题考查抛物线的简单性质,考查抛物线直线方程的求法,是基础题.3.【答案】B【解析】解:∵n⊥α,若“m⊂α”,则“n⊥m”.反之不成立,可能m//α.∴n⊥m,则“m⊂α”是“n⊥α”的必要不充分条件.故选:B.由n⊥α,“m⊂α”,利用线面垂直的性质可得:“n⊥m”.反之不成立,可能m//α或m⊂α.本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.4.【答案】B【解析】【分析】本题考查两直线垂直的定义、考查判断线面的位置关系时常借助常见图形中的边面的位置关系得到启示.通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为90°;判断出B对;通过举常见的图形中的边、面的关系说明命题错误.【解答】解:对于A,通过常见的图形正方体,从同一个顶点出发的三条棱两两垂直,A错;对于B,∵l1⊥l2,∴l1,l2所成的角是90°,又∵l2//l3∴l1,l3所成的角是90°∴l1⊥l3,B对;对于C,例如三棱柱中的三侧棱平行,但不共面,故C错;对于D,例如三棱锥的三侧棱共点,但不共面,故D错.故选:B.5.【答案】D【解析】解:∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√5,∴ca =√5,∴ba=2,∴双曲线的渐近线方程为y=±2x,故选:D.由题意可得ca =√5,从而可得ba=2,直接写出渐近线方程即可.本题考查了双曲线的简单性质,属于基础题.6.【答案】D【解析】解:由题意,圆锥的体积V=13πr2ℎ,设球的半径为R,则43πR3=13πr2ℎ,得R=√r2ℎ43.故选:D.设球的半径为R,由圆锥的体积等于球的体积列式求得球的半径.本题考查圆锥与球的体积公式,是基础的计算题.7.【答案】B【解析】【分析】本题考查两条平行线间的距离公式,注意平行线的系数对应相等是易错点.由题意可知两条直线平行,直接利用平行线的距离公式求解即可.【解答】解:因为3x+4y−10=0与6x+8y+5=0是平行线,即3x+4y−10=0与3x+4y+52=0所以|PQ|的最小值d=|−10−5 2 |√32+42=52.故选:B.8.【答案】C【解析】解:对于A,直线a,b⊂α,直线m,n⊂β,若a//m,b//n,则α与β平行或相交,故A错误;对于B,直线a,b⊂α,直线m,n⊂β,若m⊥a,n⊥b,则α与β相交,但不一定垂直,故B错误;对于C,a//m,b//n,直线m,n⊂β,所以a//β,b//β,又a,b相交,直线a,b⊂α,所以α//β,故C正确;对于D,如图所示,在正方体ABCD−A1B1C1D1中,a,b相交,m⊥a,n⊥b,但平面α与β不垂直,故D错误.故选:C.结合直线与直线位置关系,直线与平面的位置关系,平面与平面的位置关系,对选项逐一判断即可.本题主要考查空间中直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系的判断,属于中档题.9.【答案】B【解析】解:由抛物线的方程可得F(32,0),准线方程为:x=−32,过点P作PM⊥准线,垂足为M,点B在抛物线内部,由抛物线的定义可得|PF|=|PM|,当B,P,M三点共线即PB//x轴时,|PF|+|PB|取得最小值,此时点P的纵坐标为y P=y B=2,所以x P=y p26=46=23,所以点P的坐标为(23,2),故选:B.求出抛物线的准线方程,过点P作PM⊥准线,垂足为M,显然当B,P,M三点共线即PB//x轴时,|PF|+|PB|取得最小值,进而可以求解.本题考查了抛物线的定义以及几何性质,涉及到求解线段和的最小值问题,考查了学生的运算转化能力,属于中档题.10.【答案】A【解析】解:根据题意,圆C1:x2+y2−6x+4y+12=0,即(x−3)2+(y+2)2=1,其圆心为(3,−2),半径r=1,圆C2:(x−7)2+(y−1)2=36,其圆心为(7,1),半径R=6,则两圆的圆心距|C1C2|=√16+9=5,则有|C1C2|=R−r,两圆内切,故选:A.根据题意,由圆的方程求出两圆的圆心和半径,求出圆心距|C1C2|,分析可得|C1C2|=R−r,由圆与圆的位置关系即可得答案.本题考查圆与圆的位置关系,涉及圆的一般方程,属于基础题.11.【答案】B【解析】解:设AB ,CD 的中点分别为O′,O ,两解OO′,AO ,AE ,∵E 是CD⏜的中点,∴OE ⊥CD , ∵OO′⊥平面CDE ,∴OO′⊥OE ,∴OE ⊥平面ABCD ,故∠OAE 为直线AE 与平面ABCD 所成的角,∵OO′=2,O′A =1,∴AO =√5, 又OE =2,∴AE =√AO 2+OE 2=3,∴sin∠OAE =OE AE =23.故选:B .设CD 中点为O ,可证OE ⊥平面ABCD ,在Rt △AOE 中计算sin∠OAE 即可. 本题考查了圆台的结构特征,线面垂直的判定与线面角的计算,属于中档题. 12.【答案】C【解析】解:设F 1(−c,0),F 2(c,0),则由已知可设点P 的坐标为(−c,y),代入椭圆方程可得:y =±b 2a , 不妨设点P 在第二象限,则P(−c,b 2a ), 所以直线PF 2的斜率为k = b 2a−0−c−c =−b 22ac =−34, 即2b 2=3ac ,又a 2=b 2+c 2,所以2e 2+3e −2=0,解得e =12或−2(舍去),所以椭圆的离心率为12,故选:C .设出椭圆的左右焦点的坐标,并根据已知求出点P 的坐标,再由直线PF 2的斜率建立等式关系,进而可以求解.本题考查了椭圆的性质,考查了学生的运算转化能力,属于基础题. 13.【答案】(0,±√5)【解析】解:根据题意,双曲线y 23−x 22=1,其焦点在y 轴上,且a =√3,b =√2,则c =√3+2=√5,则其焦点坐标为(0,±√5). 故答案为:(0,±√5). 根据题意,由双曲线的方程分析可得该双曲线的焦点位置以及a 、b 的值,计算可得c 的值,进而有双曲线的焦点坐标公式计算可得答案.本题考查双曲线的标准方程,涉及双曲线的焦点坐标,注意由双曲线的标准方程分析其焦点位置,是基础题.14.【答案】√33【解析】解:以D 为原点,建立空间直角坐标系,设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱长为2,则M(2,0,1),N(0,1,2),B(2,2,0),C(0,2,0),MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,0), 设MN 与BC 所成角为θ,∴MN 与BC 所成角的余弦值为:cosθ=|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√6⋅2=2√6,∴MN 与BC 所成角的正弦值为:sinθ=√1−(2√6)2=√33. 故答案为:√33. 以D 为原点,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出MN 与BC 所成角的正弦值.本题考查异面直线所成角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.15.【答案】2【解析】解:圆C :(x −2)2+(y −1)2=r 2(r >0)的圆心坐标C(2,1),半径为r ,C 到x +y −5=0的距离d =√2=√2,又直线l :x +y −5=0与圆C :(x −2)2+(y −1)2=r 2(r >0)相交所得的弦长为2√2,∴r 2=(√2)2+(√2)2=4,即r =2(r >0).故答案为:2.由圆的方程求得圆心坐标,再由点到直线的距离公式求得弦心距,然后利用垂径定理列式求解r 的值. 本题考查直线与圆的位置关系,训练了利用垂径定理求弦长,是基础题.16.【答案】144【解析】解:设球的半径为r ,则4πr 2=81π,解得r =92,设正四棱柱的底面边长为a ,则正四棱柱的体对角线为√a 2+a 2+72=2r =9,解得a =4,∴正四棱柱的表面积为S =2×42+4×4×7=144,故答案为:144.由已知计算球的半径,根据正四棱柱的体对角线等于球的直径求出棱柱的底面边长,再计算表面积. 本题考查了球与棱柱的位置关系,几何体的体积与表面积计算,属于基础题.17.【答案】解:若曲线x25+y 2m+2=1是焦点在y 轴上的椭圆, 则m +2>5,即m >3,即p :m >3,若曲线x 23+y 22−m =1是焦点在x 轴上的双曲线,则2−m <0得m >2,即q :m >2,若命题“p ∧q ”为假命题,命题“p ∨q ”为真命题,则p ,q 一个为真命题,一个为假命题,若p 真q 假,则{m >3m ≤2,此时无解, 若p 假q 真,则{m ≤3m >2,得2<m ≤3,即实数m 的取值范围是(2,3].【解析】根据椭圆和双曲线的定义,求出命题p ,q 为真命题的等价条件,结合复合命题真假关系进行求解即可.本题主要考查复合命题真假关系的应用,求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键. 18.【答案】解:(1)根据题意,要求圆的圆心在直线2x −y −3=0上,则设圆心C(a,2a −3),半径为r ,则圆的方程为(x −a)2+(y −2a +3)2=r 2,把点A(5,2)和点B(3,−2)的坐标代入方程,得(5−a)2+(2−2a +3)2=r 2 ①,(3−a)2+(−2−2a +3)2=r 2 ②,由①②可得:a =2,r 2=10故所求的圆的方程为(x −2)2+(y −1)2=10;(2)根据题意,所求的圆的方程为(x −2)2+(y −1)2=10;点D(−1,2)满足(−1−2)2+(2−1)2=10,则D 在圆上,k DC =2−1−1−2=−13, 则切线的斜率k =−1k DC =3,故切线的方程为:y −2=3(x +1),即3x −y +5=0.【解析】(1)根据题意,设要求圆的圆心C(a,2a −3),半径为r ,可得要求圆的方程为(x −a)2+(y −2a +3)2=r 2,将A 、B 的坐标代入,解可得a 、r 的值,即可得答案,(2)由圆的方程可得D 在圆上,求出k DC 的值,由切线的性质可得切线的斜率k ,由直线的点斜式方程分析可得答案.本题考查直线与圆的位置关系,涉及圆的方程和切线方程的计算,属于基础题.19.【答案】解:(1)证明:∵在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中,CC 1⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD , ∴BD ⊥CC 1,∵底面ABCD 是梯形,AB//CD ,AB ⊥AD ,CD =2AB =2AD .设AB =1,则BD =BC =√12+12=√2,∴BD 2+BC 2=CD 2,∴BD ⊥BC ,∵CC 1∩BC =C ,CC 1⊂平面BCC 1,BC ⊂平面BCC 1,∴BD ⊥平面BCC 1.(2)假设在线段C 1D 1上存在一点E ,使AE//面BC 1D .证明如下:以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴,建立空间直角坐标系,设AB =1,设E(0,b ,c),则A(1,0,0),D(0,0,0),B(1,1,0),C 1(0,2,c),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,b ,c),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,c),设平面BDC 1的法向量n⃗ =(x,y ,z), 则{n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0n ⃗ ⋅DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y +cz =0,取x =1,得n ⃗ =(1,−1,2c ), ∵AE//面BC 1D ,∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−1−b +2=0,解得b =1.∵在线段C 1D 1上存在一点E ,使AE//面BC 1D ,点E 是线段C 1D 1的中点.【解析】(1)推导出BD ⊥CC 1,BD ⊥BC ,由此能证明BD ⊥平面BCC 1.(2)以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出在线段C 1D 1上存在一点E ,使AE//面BC 1D ,点E 是线段C 1D 1的中点.本题考查线面垂直的证明,考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查空间想象能力,是中档题.20.【答案】解:(1)设所求抛物线为y 2=2px(p >0),代入点(1,−2),得p =2.∴抛物线方程为y 2=4x ;(2)由(1)知F(1,0),代入直线l 的方程得k =2.∴l 的方程为y =x −2,联立方程:{y =x −2y 2=4x,消去y 得x 2−8x +4=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=8.∵AB 过焦点F ,∴|AB|=x 1+x 2+2=10.【解析】(1)设出抛物线方程,代入点的坐标求得p ,则抛物线方程可求;(2)由直线l 过抛物线焦点求得k ,得到直线方程,联立直线与抛物线方程,利用韦达定理,结合抛物线的焦点弦长公式求解.本题考查抛物线方程的求法,考查直线与抛物线的位置关系的应用,考查计算能力,是中档题.21.【答案】(1)证明:PD ⊥平面ABCD ,BE ⊂平面ABCD ⇒PD ⊥BE , 四边形ABCD 为菱形,∠BCD =60°⇒△BDC 是正三角形,E 为CD 的中点⇒BE ⊥CD ,又DP ∩DC =D ,DP ∪DC ⊂平面PCD ⇒BE ⊥平面PCD ,BE ⊂平面PBE ⇒平面PBE ⊥平面PCD .(2)解:取AB 中点F ,连接FD ,显然DF 、DC 、DP 两两垂直,所以可建立空间直角坐标系如图所示,设菱形ABCD 边长为2a ,根据已知可得各点坐标如下:D(0,0,0)、B(a √3,a ,0)、C(0,2a ,0)、P(0,0,2a);所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a √3,a ,−2a)、PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2a ,−2a); 设平面PBC 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ,z),则m ⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =0; 所以{a √3x +ay −2az =02ay −2az =0,令z =√3,m ⃗⃗⃗ =(1,√3,√3); 取平面PDC 的一个法向量为n⃗ =(1,0,0); 设二面角B −PC −D 所成角为θ,由图中可知θ为锐角,所以cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||=1⋅√7=√77, 所以二面角B −PC −D 所成角的余弦值为√77.【解析】(1)根据平面与平面垂直的判定定理证明;(2)把二面角计算问题转化为空间向量问题.本题考查了四棱锥P −ABCD 的性质,考查了面面垂直的判定定理,考查了二面角的计算问题,属于中档题.22.【答案】解:(1)由条件得{c a =√7412⋅2a ⋅b =12,解得a =4,b =3, 所以椭圆方程为x 216+y 29=1;(2)设P(x 0,y 0),由题意直线PA ,PB 的斜率均存在,则PA :y =y 0x 0+4(x +4)①,PB :y =y 0x 0−4(x −4)②, ∴M(0,4y 0x 0+4),N(0,−4y 0x0−4), 则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−16y 02x 02−16. 因为P 在椭圆上,所以有x 0216+y 029=1,则y 02=−916(x 02−16), 所以:OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =9.【解析】(1)由已知椭圆的离心率以及三角形PAB 的性质即可求解;(2)设出点P 的坐标,并代入椭圆方程,然后设出直线PA ,PB 的方程,由此可得点M ,N 的坐标,再求出向量OM ,ON 的数量积,进而可以求解.本题考查了椭圆的方程和性质,涉及到向量数量积的运算,属于中档题.。
安徽省合肥市六校2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题文
安徽省合肥市六校2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 文(考试时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
每小题只有一个正确答案,请把正确答案涂在答题卡上)1. 直线l 的方程为22(1)y x +=-,则( )A.直线l 过点(2,2)-,斜率为12 B. 直线l 过点(2,2)-,斜率为12C. 直线l 过点(1,2)-,斜率为2D. 直线l 过点(1,2)-,斜率为22.双曲线22145x y -=的离心率是( )A.2 B. 32 C. 2 D.943. 如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积为( )A.3B.4C.5D.64. 已知空间两点(2,1,3),(4,2,3)A B ---,则A B 、间的距离是( ) A .7 B .8 C .9 D .105. 双曲线2294360x y -+=的一条渐近线的方程为( )A.940x y -=B.490x y -=C.320x y +=D.230x y -= 6. 已知圆22(7)(4)9x y -++=与圆22(5)(6)9x y ++-=关于直线l 对称 ,则直线l 的方程是( )A.01165=-+y xB.0156=--y xC.01156=-+y xD.0165=+-y x 7.已知圆221:2310C x y x y ++++=,圆222:43360C x y x y ++--=,则圆1C 和圆2C 的位置关系为( )A.相切B.内含C.外离D.相交8. “12m =-”是“直线2(1)10m x y --+=与直线2(1)10x m y +--=互相垂直”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 9.下列命题是真命题的是( )A.“若>a b ,则22>a b ”的逆命题B.“若αβ=,则sin sin αβ=”的否定C. “若,a b 都是偶数,则+a b 是偶数”的否命题D. “若函数(),()f x g x 都是R 上的奇函数,则()()+f x g x 是R 上的奇函数”的逆否命题 10.已知抛物线22(0)y px p =>焦点为F ,直线l 过点F 与抛物线交于两点,A B ,与y 轴交于(0,)2pM ,若||8AB =,则抛物线的准线方程为( ) A.2y =- B. 1y =- C. 2x =- D.1x =-11.已知两个平面垂直,下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线 ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 ③一个平面内任一条直线必垂直于另一个平面④在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确命题的个数为A.0B.1C.2D.312.已知正方形ABCD 的边长为4,,E F 分别为边,AB BC 上的点,且3AE BF ==.将,AED CFD ∆∆分别沿ED 和FD 折起,使点A 和C 重合于点P ,则三棱锥P EFD -的外接球表面积为( )A. 26πB. 13πC.3D.3二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.命题“2000,10x R x x ∃∈--≤”的否定为: .14.焦点在x 轴上,离心率12e =,且过的椭圆的标准方程为 .15.已知定点)0,3(B ,点A 在圆4)1(22=++y x 上运动,则线段AB 中点M 的轨迹方程是 .16.已知(3,0)A -,(3,0)B ,点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动,则22PB PA +的最小值是 .三、解答题(本大题共6小题,共70分。
19-20学年安徽省合肥六中高二上学期期末数学试卷 (含答案解析)
19-20 学年安徽省合肥六中高二上学期期末数学试卷一、选择题(本大题共 12 小题,共 60.0 分) 1. 若集合 ==+ 2)}, =< 1},则 ∩ =A. B. − 2 < < 0} − 2 < < 1}− 2 ≤ < 0} C.D.− 2 ≤ < 1}2. 已知直线 ⊥平面 ,直线 ⊂平面 ,有下列命题:⇒ ⊥ ,⊥ ⇒⇒ ⊥ ⊥ ⇒正确的命题是( )A. B. C. D. ①与 ②③与④②与④①与③3. 若直线 : ++ 6 = 0与直线 : + −+ 5 = 0垂直,则实数 的值是( )a 12B. C. D. A. 2312 124. 已知双曲线 2 −2= 1的一个焦点与抛物线=的焦点相同,则双曲线的渐近线方程为( )25B. C. D. A. √55= ± 2√5= ± √5= ±√= ± 525. 下列命题错误的是( )A. B. 命题“若 2 < 1,则−1 < < 1”的逆否命题是“若 ≥ 1或 ≤ −1,则 2 ≥ 1”1 < 0,则 : 1 ≥ 0若 : pC. D. ∈ ∈ 命题 ;存在 p,使得 2 + + 1 < 0,则;任意 ,使得 2 + + 1 ≥ 00 0 0“2 <2”是“< ”的充分不必要条件6. 在△中,三内角 、 、 成等差数列,则A B C= ( )B. C. D. A. 12√32√22√33+ ≥ 3, 7. 若变量 , 满足约束条件{x y− ≥ −1,,则 = 的最大值为( ) − ≤ 3,D. A. B. C. 12544 28. 已知 > 0, > 0, + = 2,则 = + 的最小值是(1 4 )B. C. D.4A. 972529. 定义在 R 上的奇函数的值为( )满足 + 4) =,并且当 ∈ [0,1]时,= 2 − 1,则210)B. C. D. A. 35352525− − 10. 如图是三棱锥 − 的三视图,则该三棱锥外接球的表面积为( )A.B.C.D.11. 函数=+的零点为( )A. C.B. D. −2和 1 (1 , 0)(−2 , 0)和(1 , 0) 112. 若抛物线=,过其焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A ,B 两点,则+的最小值为( )2 A. B. C. D. 693 + 2√23 − 2√2二、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分) 13. 已知数列}满足14. 如图,在四棱锥 −· =− 1, = 2,则 =________.1 2019 中,底面ABC D 是矩形, ⊥底面 ABC D ,M ,N分别为 AB ,PC 的中点, 为______ .=15. 已知双曲线 C : 线 B O2 22 2= 1 > 0, > 0),点 A 、B 在双曲线 C 的左支上,O 为坐标原点,直−与双曲线的右支交于点若直线 AB 与 A M 的斜率分别为 3 和 1,则双曲线的离心率为______.,又16. 函数= 3,则定义域为 ,对任意 x , ∈+都有______ .三、解答题(本大题共 6 小题,共 70.0 分)=+=+17. △的内角 , , 的对边分别为 , , ,已知s in( + ) = 8sinA B C a b c 2 2(1)求 cos ; B (2)若 + = 6,△面积为 2,求 .b18. 已知直线 : − + 3 = 0被圆 :( − ) + ( − 2) = 4( > 0)截得的弦长为2 2,求l C 2 2 √ (Ⅰ 的值;(Ⅱ)求过点(3,5)并与圆 相切的切线方程.C 19. + 2是 和 的等差中项.已知数列 }为等比数列, = 4,232 4 (1)求数列 }的通项公式;(2)设=− 1,求数列+ }的前 项和 .n 220. , ),2, <已知过抛物线 2 => 0)的焦点,斜率为2√2的直线交抛物线于1 1212)两点,且= 9.(1)求该抛物线的方程;为坐标原点, 为抛物线上一点,若⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求 的值.C =+ 21. 如图 1,在直角梯形 中,= 90°, , = 4, == 2, 为线段 MAB C D AB的中点.将△ (Ⅰ)求证:沿 折起,使平面 ⊥平面 ABC ,得到几何体 −,如图 2 所示.A C ⊥平面 AC D ;− 的余弦值.(Ⅱ)求二面角 −22. 1.设过点2已知椭圆 : +=2 2 >> 0)的两焦点分别为 , ,离心率为 的直线 被椭lC 1 2 222圆 截得的线段为 ,当 ⊥ 轴时,RS= 3C (Ⅰ)求椭圆 的标准方程; C (Ⅱ)已知点,证明:当直线 变化时,直线 l 与 TS TR的斜率之和为定值.-------- 答案与解析 --------1.答案:A解析:本题考查交集的求法,考查交集定义、不等式性质等基知识,考查运算求解能力,是基础题.先分别求出集合A,B,由此能求出∩.解:易知=于是∩=故选A.=+2)}=>−2},=<0}.−2<<0}.2.答案:D解析:解:∵⊥,∵⊥,⊥,∴,∴⊥,又直线⊂,故有⊥,即①正确;,或⊂,此时l与m可能平行,相交或异面,即②错误;∵⊥,,∴⊥,又⊂,故有⊥,即③正确.∵⊥,⊥,∴又⊂,此时与可能相交可能平行,故④错误;故选:D.本题应逐个判断:①④需用熟知的定理即线线垂直,面面垂直来说明,②③可举出反例来即可.本题考查直线的平行于垂直关系,熟练运用性质定理是解决问题的关键,属基础题.3.答案:A解析:本题考查直线的一般式方程和垂直关系,属基础题.由直线的垂直关系可得⋅1+−1)=0,解方程可得.+5=0垂直,解:∵直线:++6=0与直线:+−12−1)=0,解得=,2∴⋅1+3故选A.4.答案:C本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题,同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性 考查,由已知条件求出双曲线的一个焦点为(3,0),可得 + 5 = 9,求出 = 4,由此能求出双曲线 的渐近线方程. 解:∵抛物线2= ∴双曲线的一个焦点为(3,0),即 = 3. = 1可得的焦点为(3,0),2 − 2双曲线 5∴ + 5 = 9, ∴= 4,∴双曲线的渐近线方程为: = ± √5 .2故选 C .5.答案:B解析:解:命题“若 2 < 1,则−1 < < 1”的逆否命题是“若 ≥ 1或 ≤ −1,则 2 ≥ 1”,故 A正确; 1< 0,则: 1 ≥ 0或 = −1,故 B 错误.若 p :命题 p ;存在 ∈ ,使得 2 + + 1 < 0,则;任意 ∈ ,使得 2 + + 1 ≥ 0,故 C 正确;0 0 0⋅1<⋅1由 2 <2,可 得 2 2 ,即 < ,反之,由 < ,不一定有2 <2,如2= 0.22∴“<2”是“< ”的充分不必要条件,故 D 正确.2 故选:B .直接写出命题的逆否命题判断 A ;写出命题的否定判断 B ;直接写出特称命题的否定判断 C ;由充分 必要条件的判定方法判断 D .本题考查命题的真假判断与应用,考查了命题的否定和逆否命题,对于选项B 的判断极易出错,是 基础题.6.答案:B本题主要考查了等差数列的性质的简单应用,属于基础试题.由题意可得+=,结合三角形的内角和可求B,进而可求s inB.解:由题意可得,+=∵++=180°,,∴=60°,故选B.=√3,27.答案:B解析:本题考查线性规划的应用,属于中档题.作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,利用数形结合即可得到结论.解:作出变量x,y满足约束条件对应的平面区域如图:由目标函数=,可化为=,表示平面区域的点与原点连线的斜率,由图象可知当P位于A时,直线A O的斜率最大.+=3−=−1由解得,=2,1−0所以目标函数的最大值为=故选B.8.答案:A解析:本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质,属于基础题.利用“乘1法”和基本不等式即可得出.解:∵>0,>0,+=2,14114∴=+=(+2+=1(1+4++)⩾1(5+2√⋅)=9,22224当且仅当=,即=,=时等号成立,33故选A.9.答案:A解析:本题考查奇函数的性质,函数的周期性,以及指数、对数的运算性质的综合应用,属于中档题.由+4)=化简后求出函数的周期,利用奇函数的性质、函数的周期性、对数的运算性质化简和转化解:∵210),代入已知的解析式由指数的运算性质求值即可.+4)=,则函数的周期是4,,∵2<25<3,25<1,∴0<3−又为奇函数,且当∈[0,1]时,=2−1,故即10)=−3.25故选:A.10.答案:D解析:解:如图所示,该几何体为三棱锥−=2,=1.把此三棱锥补成一个长方体,,⊥底面ABC,,=设该三棱锥外接球的半径为R,则可得2=9,2=22+22+12,∴=.2故选:D.如图所示,该几何体为三棱锥−棱锥补成一个长方体,即可得出该三棱锥外接球的半径.,⊥底面ABC,⊥,==2,=1.把此三本题考查了三棱柱的三视图、球的表面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.11.答案:D解析:本题考查了函数的零点,属于基础题.可以根据解:由=0可以得出答案.=0得+=0,因为>0,所以+2>0,所以=0,解得=1,故选D.12.答案:B解析:解:抛物线的焦点,设直线AB的方程为=+1.=2联立方程组+1,得2−2++1=0.=2 , ),2 , ),则 2 1 162= 1.∴ 2=16设2 2.1 2122 4 412 + 1, =2 + 1 = 4 + 1.由抛物线的性质得 =1 242 14∴+=2+ 1 + 2( 4 + 1) = 3 +2 + 8 ≥3 + 2√2.114 2 42 11故选: .B设直线方程为 =+ 1,联立方程组得出 , 两点坐标的关系,根据抛物线的性质得出A B+关于 , 两点坐标的式子,使用基本不等式得出最小值.A B本题考查了抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,属于中档题.13.答案:−1解析:本题考查数列的递推关系式的应用,考查转化思想以及计算能力.利用数列的递推关系式,求出数列的前几项,得到数列的周期,然后求解即可. 解:数列 }满足 = 2,=−1= 1 − 1,1 = 1 可得 ,22= 1 − 1 = −1 ,3412= 1 − 1 = 2,−1…所以数列的周期为 3. 则 === −1.2019 672×3+33故答案为−1.14.答案:√63解析:本题考查点到平面的距离的求法,考查学生的计算能力,点 到平面 A 的距离转化为 到平面EP M N 的距离是关键,属于中档题.P M N 取 的中点 ,连接 , ,证明 E AE NE ,可得点 到平面 A 的距离等于 到平面 E 的P M N P D P M N 距离,由 = ,可得点 到平面 A的距离.P M N解:取的中点,连接,,如图,E AE NEP D∵四棱锥−中,底面是矩形,,分别为M N,AB P C的中点,AB C D∴∴∴,=,是平行四边形,,∴点到平面的距离等于到平面E的距离,设为,P M N hA P M N=5,△∴中,=23,=5,√√√=1×2√3×√2=√6,2由=,1×√6ℎ=1×1×1×2×2,可得:332∴ℎ=√6.3故答案为:√6.315.答案:2解析:解:设,则直线与双曲线的右支交于点.B O设,),可得直线AB的斜率为000直线的斜率为;A M022222−2,∴2022===3×1=322222∴=√1故答案为:222=2,本题考查了双曲线的离心率,考查了转化思想,属于中档题.16.答案:1解析:解:∵函数,对任意,∈都有=,x∴∴====3 =1故答案为:1根据函数定义域为,对任意,∈都有=,可把逐步变形,最后x用表示,就可求出的值.本题考查了抽象函数的性质,做题时要善于发现规律.17.答案:解:(1)∵s in()=8sin2,2∴=4(1−,又∵s in2∴16(1−∴cos2=1,cos2=1,−1)=0,2−∴=15.17 =(2)由(1)可知,817∵∴=1⋅=2,2=17,21715∴=−=−2×2×2222217=−15=−2−15=36−17−15=4,22∴=2.解析:本题考查了三角形的内角和定理,三角形的面积公式,二倍角公式和同角的三角函数的关系,属于中档题(1)利用三角形的内角和定理可知=−,再利用诱导公式化简,利用降幂公式化,结合s in 2 + cos 2 = 1,求出 cosB ,简= (2)由(1)可知,利用面积公式求出 ,再利用余弦定理即可求出 . ac b8 17 18.答案:解:(Ⅰ)依题意可得圆心2),半径 = 2,||||,= =则圆心到直线 : −+ 3 = 0的距离 l √12+(−1)2 √22由勾股定理可知 2√2 2,代入化简得 + 1| = 2,解 得 = 1或 = −3,又 > 0,所 以 = 1;+ ( ) = 2 2(Ⅱ)由(Ⅰ)知圆 : − 1) + − 2) = 4,又(3,5)在圆外,C 2 2 ∴ ①当切线方程的斜率存在时,设方程为 − 5 = − 3),由圆心到切线的距离 = = 2可解得= 5 , 切线方程为 ∴−+ 45 = 0,12②当过(3,5)斜率不存在,易知直线 = 3与圆相切, 综合①②可知切线方程为−+ 45 = 0或 = 3.解析:本题考查直线与圆的位置关系的应用,点到直线的距离公式的应用,考查计算能力. (Ⅰ)求出圆心2),半径 = 2,圆心到直线 : − + 3 = 0的距离,通过勾股定理求解即可. (Ⅱ)判断点与圆的位置关系,通过①当切线方程的斜率存在时,设方程为 − 5 =l− 3),由圆心到切线的距离 = 求解即可;②当过(3,5)斜率不存在,判断直线 = 3与圆是否相切,推出 结果.19.答案:解:(1)设数列 }的公比为 q ,因为 = 4,所以 =, =3,2 3 4 因为 + 2是 和 的等差中项,所以 + 2) =+ .3 24 324 即+ 2) = 4 +2,化简得 2−因为公比 ≠ 0,所以 = 2, = 0, 所以 == 4 ⋅ 2 − 1 ==2 , ∈ ∗); 2= 22− 1 =− 1).− 1.2所以+= 2 +前 项和= (2 + 4 + ⋯+ 2 ) + (1 + 3 + ⋯ +− 1)n=+1(1+=22+.22解析:(1)设等比数列的公比为,由等比数列的通项公式和等差数列的中项性质,解方程可得公比,q即可得到所求通项公式;(2)求得=1=221= 1.+=2+1).由数列的分组求和,结2合等差数列和等比数列的求和公式,化简计算可得和.本题考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查数列的分组求和,以及方程思想和运算能力,属于中档题.20.),答案:解:(1)直线的方程是=2√2AB2与2=联立,从而有+2=0,2所以+=.124由抛物线定义得=++=+=9,124所以=4,从而抛物线方程是2=.(2)由于=4,则+=0,22即2+4=0,从而=1,=4,12于是=2√2,=4√2,12从而设22),√2),,)=(1,2√2)+√,),则⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=√2) 3333=+1,4√2√2),又2=3,即[2√1)]=+1),23即1)2=+1,解得=0或=2.解析:本题考查抛物线的简单性质,考查了数形结合的解题思想方法,训练了向量在求解圆锥曲线问题中的应用,是中档题.(1)由题意求得焦点坐标,得到直线方程,和抛物线方程联立,利用弦长公式求得p,则抛物线方程可求;由(1)求出A,B的坐标结合⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(2)=∴⊥平面分)另解:在图1中,可得2,故AC⊥⊥面ABC,面∩面(Ⅱ)建立空间直角坐标系−=22,=√从而2+2=∵面=,⊂面ABC,从而⊥平面AC D如图所示,则√2,0),√2,0,0),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(√2,√2,0),√2)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗分=(√2,0,√2)(8)设⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=为面C D M的法向量,1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅=0即{√+√=0==则{1,解得{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅=0√+√=01令=−1,可得⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,1,1)1又⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,0)为面A C D的一个法向量2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1√33∴cos<⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗>=12==12|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|√312∴二面角−−的余弦值为√3.(12分)3解析:(Ⅰ)要证⊥平面AC D,只需证明BC垂直平面AC D内的两条相交直线AC、O D即可;(Ⅱ)建立空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,利用向量的数量积,求二面角−−的余弦值.本题考查直线与平面的存在的判定,二面角的求法,考查逻辑思维能力和空间想象能力,是中档题.22. = 1 答案:解:(Ⅰ)由椭圆的离心率 = ,则 = ,将 = 代入椭圆方程,22 2= 3,解得: = ± , =由2 = 2 + 2,则= 2, = 3, = 1,√ ∴椭圆的标准方程为 2 +2= 1;43(Ⅱ)证明:当直线 垂直与 轴时,显然直线 与 TS TR的斜率之和为 0, lx 当直线 不垂直与 轴时,设直线 的方程为 = − 1),, ), , ),l x l 1 122 = − 1)− 12 = 0,整理得:(3 + 2 −2+2+2 −12 = 0, 2+ 2 2 △=− 4(3 +− 12) =+ 1 > 0恒成立,24 22 +=2, =2−12,121222+ =+由, , 的斜率存在,TR TS 1 21−42−4 由 , 两点的直线 =R S− 1),故 = − 1), = − 1),1 12 21−4) =1 2 1 则 2)+8],12 212−4)1 2−4)由 − + ) + 8 = 2 ×2−12− 5 ×2 + 8 = 0,121222∴+ = 0,与 的斜率之和为 0,∴直线 TS TR 综上所述,直线 与 TS TR的斜率之和为为定值,定值为 0.2= 3,且= 2 + 2,即可求得 和 的值,求得椭圆方程;解析:(Ⅰ)由题意可知: = ,2a b (Ⅱ)分类讨论,当直线 不垂直与 轴时,设直线方程,代入椭圆方程,由韦达定理及直线的斜率公 l x 式,即可求得+= 0,即可证明直线 TS 与 TR 的斜率之和为定值.本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理,直线的斜率公 式,考查计算能力,属于中档题.解析:本题考查抛物线的简单性质,考查了数形结合的解题思想方法,训练了向量在求解圆锥曲线 问题中的应用,是中档题.(1)由题意求得焦点坐标,得到直线方程,和抛物线方程联立,利用弦长公式求得p ,则抛物线方程 可求;由(1)求出 A ,B 的坐标结合⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,求出 C 的坐标,代入抛物线方程求得 值.(2) =21.2 = =√2,故 A C ⊥取 AC 中点 O 连接 D O ,则 ⊥ ,又面面=,∴⊥又 ⊥,∩ = ,∴⊥平面分)另解:在图 1 中,可得 2,故 AC ⊥⊥面 ABC ,面 ∩面(Ⅱ)建立空间直角坐标系 − = 2 2,= √ 从而 2 +2 =∵面= , ⊂面 ABC ,从而 ⊥平面 AC D如图所示,则√2, 0), √2, 0,0), ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (√2, √2, 0),√2) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分= (√2, 0, √2)(8 )设⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 为面 C D M 的法向量, 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ = 0即{√ + √ = 0 = =则{ 1 ,解得{ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ = 0 √ + √ = 0 1 令 = −1,可得⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1,1,1) 1又⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0,1,0)为面 A C D 的一个法向量 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1 √3 3 ∴ cos < ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >= 1 2 = = 1 2 | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | √3 1 2∴二面角 −− 的余弦值为√3 . (12分)3解析:(Ⅰ)要证 ⊥平面 AC D ,只需证明 BC 垂直平面 AC D 内的两条相交直线 AC 、O D 即可;(Ⅱ)建立空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,利用向量的数量积,求二面角 − − 的余弦值.本题考查直线与平面的存在的判定,二面角的求法,考查逻辑思维能力和空间想象能力,是中档题.22. = 1 答案:解:(Ⅰ)由椭圆的离心率 = ,则 = ,将 = 代入椭圆方程,22 2= 3,解得: = ± , =由2 = 2 + 2,则= 2, = 3, = 1,√ ∴椭圆的标准方程为 2 +2= 1;43(Ⅱ)证明:当直线 垂直与 轴时,显然直线 与 TS TR的斜率之和为 0, lx 当直线 不垂直与 轴时,设直线 的方程为 = − 1),, ), , ),l x l 1 122 = − 1)− 12 = 0,整理得:(3 + 2 −2+2+2 −12 = 0, 2+ 2 2 △=− 4(3 +− 12) =+ 1 > 0恒成立,24 22 +=2, =2−12,121222+ =+由, , 的斜率存在,TR TS 1 21−42−4 由 , 两点的直线 =R S− 1),故 = − 1), = − 1),1 12 21−4) =1 2 1 则 2)+8],12 212−4)1 2−4)由 − + ) + 8 = 2 ×2−12− 5 ×2 + 8 = 0,121222∴+ = 0,与 的斜率之和为 0,∴直线 TS TR 综上所述,直线 与 TS TR的斜率之和为为定值,定值为 0.2= 3,且= 2 + 2,即可求得 和 的值,求得椭圆方程;解析:(Ⅰ)由题意可知: = ,2a b (Ⅱ)分类讨论,当直线 不垂直与 轴时,设直线方程,代入椭圆方程,由韦达定理及直线的斜率公 l x 式,即可求得+= 0,即可证明直线 TS 与 TR 的斜率之和为定值.本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理,直线的斜率公 式,考查计算能力,属于中档题.。
安徽省合肥市庐阳区合肥六中、阜阳一中等四校2019-2020学年高二上学期期末数学(理)试题(教师版)
2019-2020学年第一学期高二期末联考数学(理)参考答案第Ⅰ卷(选择题 共60分)一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|124}xA x =<≤,(){|ln 1}B x y x ==-,则()A B ⋂=n n n nA. {|01}x x <<B. {|12}x x <≤C. {|02}x x <≤D. {|02}x x <<【答案】B 【解析】 【分析】先分别求出集合A ,B ,由此能求出A B ⋂.【详解】解:Q 集合{|124}{|02}xA x x x =<≤=<≤,(){}{|ln 1}1B x y x x x ==-=, {|12}A B x x ∴⋂=<≤.故选:B .【点睛】本题主要考查交集的求法,考查交集定义、不等式性质等基知识,考查运算求解能力,是基础题. 2.已知直线l 、m ,平面α、β,且l α⊥,m β⊂,下列命题中正确的是( )A. 若αβ∥,则l m ⊥B. 若l m ⊥,则αβ∥C. 若αβ⊥,则l m PD. 若l m P ,则αβ∥【答案】A 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定与性质逐个判断,同时结合长方体举反例即可.【详解】画出如图长方体.对A, 若αβ∥,则因为l α⊥,故l β⊥,又m β⊂,所以l m ⊥,故A 正确.对B,当l 为AE ,m 为AB ,面α为ABCD ,β为面ABFE 时,满足l α⊥,m β⊂,l m ⊥, 但αβ∥不成立.故B 错误.对C, 当l 为AE ,m 为AB ,面α为ABCD ,β为面ABFE 时, 满足l α⊥,m β⊂,αβ⊥,但l m P 不成立.故C 错误.对D, 当l 为AE ,m 为BF ,面α为ABCD ,β为面ABFE 时, 满足l α⊥,m β⊂,l m P ,但αβ∥不成立.故D 错误. 故选:A【点睛】本题主要考查平行垂直的判断,可直接利用线面垂直的方法进行判定,或者在长方体中举出反例即可.属于基础题型.3.若直线1:260l x ay ++=与直线2:(4)50l a x ay -++=垂直,则实数a 的值是( ) A. 2 B. 24,C. 4-D. 2,-4【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知()2240a a -+=,求实数a 的值.【详解】由题意可知()2240a a -+=整理为:2280a a +-= , 解得:2a =或4a =- 故选:D【点睛】本题考查根据两条直线垂直求参数意在考查基本公式和基本概念,属于基础题型,若11y k x b =+和22y k x b =+互相垂直,则121k k =-,若1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=互相垂直,则12120A A B B +=.4.已知椭圆E :221112x y +=与双曲线C :22215x y a -=(0a >,0b >)有相同的焦点,则双曲线C 的渐近线方程为( )A. y x =B. y x =C. 5y x =±D. 2y x =±【答案】D 【解析】 【分析】求出椭圆焦点坐标,即为双曲线焦点坐标,再由双曲线中,,a b c 的关系求得a 后可得渐近线方程.【详解】椭圆E 的焦点为()3,0±.故22354a =-=.双曲线C 的渐近线方程为y x =. 故选D .【点睛】本题考查椭圆与双曲线的标准方程,考查其几何性质.属于基础题. 5.下列结论中错误的是( )A. “﹣2<m <3”是方程22132x y m m +=-+表示椭圆”的必要不充分条件B. 命题p :0x R ∃∈,使得200220x x ++≤的否定:p ⌝2,220x R x x ∀∈++≤C. 命题“若0m >,则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是真命题D. 命题“若220m n +=,则0m =且0n =”的否命题是“若220m n +≠,则0m ≠或0n ≠” 【答案】B 【解析】 【分析】逐一判断选项,A.当方程表示椭圆时,求m 的范围,再判断是否是必要非充分条件;B.根据特称命题的否定形式直接判断;C.利用原命题和逆否命题的等价性判断;D.根据否命题的形式判断.【详解】A.当方程表示椭圆时,302032m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩,解得:23m -<<,且12m ≠,设112,,322A ⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭U ,()2,3B =-,A B ⊂Q∴ “﹣2<m <3”是方程22132x y m m +=-+表示椭圆”的必要不充分条件,故正确;B.根据特称命题的否定形式可知p ⌝:x R ∀∈,2220x x ++>,故错误;C.方程20x x m +-=有实根,则140m ∆=+≥,解得:14m ≥-,所以“若0m >,则方程20x x m +-=有实根”是真命题,原命题和逆否命题等价,所以其逆否命题也是真命题,故正确; D.根据原命题与否命题的形式可判断是正确. 故选:B【点睛】本题考查判断命题的真假,重点考查简易逻辑的相关基础知识,属于基础题型.6.ABC ∆的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c若6,a b ==,,,B A C 成等差数列,则B =( ) A.6π B.56π C.6π或56π D.23π【答案】A 【解析】 【分析】B ,A ,C 成等差数列,可得2A =B +C =π﹣A ,解得A .利用正弦定理可得sin B bsinAa=,即可得出. 【详解】∵B ,A ,C 成等差数列, ∴2A =B +C =π﹣A , 解得A 3π=.则sinB1332sinbsinAaπ===, 又a >b ,∴B 为锐角. ∴B 6π=.故选:A .【点睛】本题考查了正弦定理、三角函数求值、等差数列的性质、三角形内角和定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.7.设变量x ,y 满足约束条件0024236x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩,则43z x y =+的最大值是( )A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用z 的几何意义利用数形结合分析即可得到结论.【详解】由约束条件作出其所确定的平面区域(阴影部分), 因为43z x y =+,所以4+33z y x =-, 平移直线4+33z y x =-,由图象可知当直线4+33zy x =-经过点A 时, 目标函数43z x y =+取得最大值,由24236x y x y +=⎧⎨+=⎩,解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩,即3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭, 即341392z =⨯+⨯=, 故z 的最大值为9.故选C .【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键.要求熟练掌握常见目标函数的几何意义.8.已知0x >,0y >,428x y =g ,则142x y+的最小值是( ). A. 3 B.94 C.4615D. 9【答案】A 【解析】 【分析】已知条件变形为23x y +=,再根据()141142232x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭,展开利用基本不等式求最值. 【详解】由已知结合指数运算性质可得228x y +=,所以23x y +=,0,0x y >>从而14114181()(2)553232323y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝, 当且仅当82y xx y=时等号成立,即4y x =,又23x y += 解得:12x =,2y =. 故选:A【点睛】本题考查利用基本不等式求最值,意在考查变形和计算能力,属于基础题型.9.定义在R 上的函数()f x 满足()(),(2)(2)f x f x f x f x -=--=+,且(1,0)x ∈-时,1()25xf x =+,则2(log 20)f =( ) A. 1- B. 45-C. 1D.45【答案】A 【解析】由()()f x f x -=-可得函数()f x 为奇函数,由()()22f x f x -=+可得(4)()f x f x +=,故函数的周期为4.所以225(log 20)(4log )4f f =+25(log )4f =2254(log )(log )45f f =--=-,因为241log 05-<<,所以24(log )5f 24log 5125=+41155=+=.故2(log 20)1f =-,选A . 点睛:根据()()()(),22f x f x f x f x -=--=+得到函数()f x 为奇函数和周期函数是解题的关键,然后根据对数的运算性质将问题转化到区间()1,0-内解决.10.在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑,已知鳖臑P ABC -的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为( )A. 41πB. 16πC. 25πD. 64π【答案】A 【解析】 【分析】几何体复原为底面是直角三角形,一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥,扩展为长方体,长方体的对角线的长,就是外接球的直径,然后求其的表面积. 【详解】解:由三视图还原原几何体如图,该几何体为三棱锥,底面是直角三角形,PA ⊥底面ABC .则BC PC ⊥.扩展为长方体, 它的对角线的PB 162541+=该三棱锥的外接球的表面积为:2414)π⋅=41π 故选:A【点睛】本题考查三视图,几何体的外接球的表面积,考查空间想象能力,计算能力,是基础题. 11.已知函数2()(2)f x x m x m =+--,()()f x g x x=,且函数()2y f x =-是偶函数,若函数()()()22222log 49log 4y g x k x =++⋅-+恰好有三个零点,则该函数的零点是( ) A. 1,0,1- B. 2,0,2-C. 2,0,1-D. 1,0,2-.【答案】B 【解析】 【分析】由函数()2y f x =-是偶函数,得出()y f x =关于直线2x =-对称,求出m ,即可求出()g x 的解析式,()()()22222log 49log 4y g x k x =++⋅-+为偶函数,恰好有三个零点,可得0x =为其零点,代入求出k 的值,令()22log 4,2t x t =+≥进而求出该函数的零点.【详解】函数()2y f x =-是偶函数,所以()(2)2f x f x --=-()y f x ∴=关于关于直线2x =-对称,222,6()462m m f x x x -∴-=-∴=∴=+-,()64g x x x∴=-+; 设()()()22222()log 49log 4y h x g x k x ==++⋅-+ ()(),()h x h x h x -=∴Q 为偶函数,()()()22222()log 49log 4h x g x k x =++⋅-+恰好有三个零点, 故必有一个零点为0,(0)(2)960h g k k ∴=+-=-=,6k =,令()22log 4,2t x t =+≥则126()950y g t t t t=+-=+-=整理得, 2560t t -+=,解得2t =或3t =,当2t =时,0x =;当3t =时,()222log 43,48,2x x x +=+=∴=±,∴所求函数的零点为2,0,2-.故选:B【点睛】本题考查函数的对称性.函数解析式,以及利用函数的性质求零点问题,考查计算能力,是一道较为综合的题.12.若直线2y kx =-与抛物线28y x =交于,A B 两个不同的点,抛物线的焦点为F ,且,3,AF BF 成等差数列,则k = ( )1B. 1C. 1D. 【答案】D 【解析】 【分析】设1122,,()(),A x y B x y .由228y kx y x =-⎧⎨=⎩得()224240k x k x -++=,由韦达定理得1224(2)k x x k ++=,因为直线2y kx =-与抛物线28y x =交于,A B 两个不同的点,所以>0∆即1k >-, 由抛物线的性质可知11222,222p pAF x x BF x x =+=+=+=+,再结合条件有122x x +=,进而得而出答案. 【详解】设1122,,()(),A x y B x y .由228y kx y x=-⎧⎨=⎩消去y ,得()224240k x k x -++=,故()()22162166410k k k ∆=+-=+>,解得1k >-,且1224(2)k x x k++=. 由11222,222p pAF x x BF x x =+=+=+=+,且,3,AF BF 成等差数列, 得12226+++=x x ,得122x x +=, 所以24(2)2+=k k,解得1=±k 1k >-,故=k , 故选:D【点睛】圆锥曲线与直线相交问题是高考的重要考点,解题的一般方法是设出交点坐标,将直线方程与圆锥曲线方程联立,再通过韦达定理结合题意求解。
2019-2020学年安徽省合肥市六校高二上学期期末考试语文试题 word版
安徽省合肥市六校2019-2020学年高二上学期期末考试语文试卷(考试时间:150 分钟满分:150 分)命题学校:1.答题前,请务必将答题卷上的相关信息填写清楚。
2.本试卷分第 I 卷(阅读题)和第Ⅱ卷(表达题)两部分,共 150 分。
考试时间 150 分钟。
第Ⅰ卷阅读题一、现代文阅读(36 分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题,9 分)阅读下面的文字,完成 1~3 题。
①央视新闻频道近期推出“新春唱响《我和我的祖国》”系列快闪节目之后,一场场爱国歌曲快闪活动在祖国的大江南北流行开来,各行各业的青年,利用新兴的媒体与艺术形态歌唱祖国、祝福祖国,优美的旋律在各地飘荡,爱国的激情在人们心中沸腾。
②快闪类型多样,先后出现过离散型、游戏型、政治型、商业型等不同种类。
其内容或是一种娱乐狂欢,或是表达对日常生活的批判,抑或是宣传某种新观念、新产品。
学者们对其评价也是态度各异。
批评者认为它肤浅幼稚,只是纯粹的社交性游戏而缺乏严肃理性的实践目标;指责它干扰城市正常秩序,增加城市治理成本;甚至担心快闪族被未知组织者利用,从而引发社会混乱。
赞赏者则认为,快闪降低了社会参与的门槛,创造了一种平等民主的社交形式;它以戏剧化的方式重塑了人们的城市空间体验,并拓展了公共表达的形式。
③爱国歌曲快闪活动合理借鉴了快闪亚文化“情境创设”的理念和充满活力的形式,并通过有效的策划和组织为其注入了深沉的内容和情感,提升了审美品格,展现了亚文化参与构建主流话语的无限可能。
④注入意义,内容主流化。
有别于快闪亚文化的无意义传统,爱国歌曲快闪活动以新中国成立 70 周年为背景,是一份献给祖国的特別礼赞。
所唱曲目虽多为老歌,但因其爱国情感浓烈、社会普及度高,且经过全新编排,更能直达人心、引发共鸣。
活动在娱乐性、可近性上获得了青年的认同,同时也突破了理论界对其肤浅性、破坏性的指责,以轻盈的姿态为爱国主旋律注入了一丝清新的活力。
⑤精心策划,形式审美化。
2019-2020学年人教A版安徽省合肥六中、阜阳一中、淮北一中四校联考高二第一学期期末数学理科试卷 解析版
2019-2020学年第一学期高二(上)期末数学理科试卷一、选择题(本题共12小题)1.已知集合A={x|1<2x≤4},B={x|y=ln(x﹣1)},则A∩B=()A.{x|0<x<1} B.{x|1<x≤2} C.{x|0<x≤2} D.{x|0<x<2} 2.已知直线l,m,平面α,β,且l⊥α,m⊂β,下列四个命题中是真命题的是()A.若α∥β,则l⊥m B.若l⊥m,则α∥βC.若α⊥β,则l∥m D.若l⊥m,则α⊥β3.若直线l1:2x+ay+6=0与直线l2:(a﹣4)x+ay+5=0垂直,则实数a的值是()A.2 B.﹣2或4 C.﹣4 D.﹣4或24.已知椭圆E:与双曲线C:(a>0,b>0)有相同的焦点,则双曲线C的渐近线方程为()A.B.C.D.5.下列结论中错误的是()A.“﹣2<m<3”是方程表示椭圆”的必要不充分条件B.命题p:∃x0∈R,使得x02+2x0+2≤0的否定¬p:∀x∈R,x2+2x+2≤0C.命题“若m>0,则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题是真命题D.命题“若m2+n2=0,则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0,则m≠0或n≠0”6.△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c若a=6,b=2,B,A,C成等差数列,则B=()A.B.C.或D.7.设变量x,y满足约束条件,则z=4x+3y的最大值是()A.7 B.8 C.9 D.108.已知x>0,y>0,4x•2y=8,则的最小值是()A.3 B.C.D.99.定义在R上的函数f(x)满足f(﹣x)=﹣f(x),f(x﹣2)=f(x+2),且x∈(﹣1,0)时,f(x)=2x+,则f(log220)=()A.﹣1 B.C.1 D.﹣10.在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑,已知鳖臑P﹣ABC 的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的外接球的表面积为(单位:cm2)()A.41πB.16πC.25πD.64π11.已知函数f(x)=x2+(m﹣2)x﹣m,g(x)=,且函数y=f(x﹣2)是偶函数,若函数y=g(log2(x2+4))+k•﹣9恰好有三个零点,则该函数的零点是()A.﹣1,0,1 B.﹣2,0,2 C.﹣2,0,1 D.﹣1,0,2 12.若直线y=kx﹣2与抛物线y2=8x交于A,B两个不同的点,抛物线的焦点为F,且|AF|,3,|BF|成等差数列,则k=()A.±1 B.1﹣C.1±D.1+二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请将答案填写在答题卷相应位置上.13.已知数列{a n}中,a1=,a n=1﹣(n≥2),则a2020的值是14.在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中,四边形ABCD为菱形,∠DAB=60°,DM⊥PA,PA=PD=AB=4,M为BC中点.则点M到平面PBD的距离是.15.设A、B分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右顶点,P是双曲线上不同于A、B的一点,直线AP、BP的斜率分别为m、n,则当取最小值时,双曲线的离心率为.16.设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x﹣1)若对任意x∈(0,m],都有,则m的取值范围是.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=4﹣4cos B.(1)求;(2)若△ABC的面积为2,求△ABC周长的最小值.18.已知圆C经过点A(2,﹣1),和直线x+y=1相切,且圆心在直线y=﹣2x上.(1)求圆C的方程;(2)已知直线l经过(2,0)点,并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程.19.已知等比数列{a n}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项(1)求数列{a n}通项公式;(2)求数列{}的前n项和T n.20.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B (x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值.21.如图①,在直角梯形ABCD中,AD=1,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,点E是BC边的中点,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AE,AC,DE,得到如图②所示的几何体.(1)求证:AB⊥平面ADC;(2)若AC与平面ABD所成角的正切值为,求二面角B﹣AD﹣E的余弦值.22.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,短轴的一个端点为P,△PF1F2内切圆的半径为,设过点F2的直线l与被椭圆C截得的线段为RS,当l⊥x轴时,|RS|=3.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若点M(0,m),(﹣b<m<b),过点M的任一直线与椭圆C相交于两点A、B,y 轴上是否存在点N(0,n)使∠ANM=∠BNM恒成立?若存在,判断m、n应满足关系;若不存在,说明理由.(3)在(2)条件下m=1时,求△ABN面积的最大值.参考答案一、选择题(本题共12小题)1.已知集合A={x|1<2x≤4},B={x|y=ln(x﹣1)},则A∩B=()A.{x|0<x<1} B.{x|1<x≤2} C.{x|0<x≤2} D.{x|0<x<2} 【分析】先分别求出集合A,B,由此能求出A∩B.解:∵集合A={x|1<2x≤4}={x|0<x≤2},B={x|y=ln(x﹣1)}={x|x>1},∴A∩B={x|1<x≤2}.故选:B.2.已知直线l,m,平面α,β,且l⊥α,m⊂β,下列四个命题中是真命题的是()A.若α∥β,则l⊥m B.若l⊥m,则α∥βC.若α⊥β,则l∥m D.若l⊥m,则α⊥β【分析】利用直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系逐一判断,成立的证明,不成立的可举出反例.解:∵l⊥α,α∥β,∴l⊥β,又∵m⊂β,∴l⊥m,故A为真命题.若l⊥m,l⊥α,则m∥α或m⊂α,又∵m⊂β,∴α与β可能平行也可能相交,故B 为假命题.若α⊥β,l⊥α,l可能平行β,也可能在β内,又由m⊂β,则l与m可能平行,可能相交,也可能异面,故C为假命题;若l⊥m,l⊥α,则m∥α或m⊂α,又由m⊂β,则α与β可能平行,可能相交,位置不确定,故D为假命题故选:A.3.若直线l1:2x+ay+6=0与直线l2:(a﹣4)x+ay+5=0垂直,则实数a的值是()A.2 B.﹣2或4 C.﹣4 D.﹣4或2【分析】利用直线垂直的性质求解.解:由直线垂直的条件可知,2(a﹣4)+a•a=0,解可得,a=﹣4或a=2.故选:D.4.已知椭圆E:与双曲线C:(a>0,b>0)有相同的焦点,则双曲线C的渐近线方程为()A.B.C.D.【分析】利用已知条件求出a,然后求解双曲线的渐近线方程即可.解:椭圆E的焦点为(±3,0).故a2=32﹣5=4.双曲线C:,双曲线C的渐近线方程为.故选:D.5.下列结论中错误的是()A.“﹣2<m<3”是方程表示椭圆”的必要不充分条件B.命题p:∃x0∈R,使得x02+2x0+2≤0的否定¬p:∀x∈R,x2+2x+2≤0C.命题“若m>0,则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题是真命题D.命题“若m2+n2=0,则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0,则m≠0或n≠0”【分析】由方程表示椭圆求出m的范围判断A;写出特称命题的否定判断B;由原命题与其逆否命题共真假判断C;写出原命题的否命题判断D.解:若方程表示椭圆,则,即﹣2<m<3且m.∴“﹣2<m<3”是方程表示椭圆”的必要不充分条件,故A正确;命题p:∃x0∈R,使得x02+2x0+2≤0的否定¬p:∀x∈R,x2+2x+2>0,故B错误;当m>0时,△=1+4m>0,∴命题“若m>0,则方程x2+x﹣m=0有实根”是真命题,其逆否命题是真命题,故C正确;命题“若m2+n2=0,则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0,则m≠0或n≠0”,故D正确.∴错误的结论是B.故选:B.6.△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c若a=6,b=2,B,A,C成等差数列,则B=()A.B.C.或D.【分析】由B,A,C成等差数列,利用三角形内角和定理求出A的值,再利用正弦定理求出sin B和B的值.解:△ABC中,由B,A,C成等差数列,则2A=B+C=π﹣A,解得A=;所以sin B===,又a>b,所以B为锐角.所以B=.故选:A.7.设变量x,y满足约束条件,则z=4x+3y的最大值是()A.7 B.8 C.9 D.10【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义利用数形结合即可得到结论.解:由约束条件作出其所确定的平面区域(阴影部分),平移直线z=4x+3y,由图象可知当直线z=4x+3y经过点A时,目标函数z=4x+3y取得最大值,由,解得,即A(),即z=4××3=9,故z的最大值为9.故选:C.8.已知x>0,y>0,4x•2y=8,则的最小值是()A.3 B.C.D.9【分析】由已知结合指数运算性质可得2x+y=3,从而,展开后利用基本不等式可得解解:∵x>0,y>0,4x•2y=8,∴2x+y=3,∴=≥,当且仅当,即,y=1时取等号,∴的最小值为3.故选:A.9.定义在R上的函数f(x)满足f(﹣x)=﹣f(x),f(x﹣2)=f(x+2),且x∈(﹣1,0)时,f(x)=2x+,则f(log220)=()A.﹣1 B.C.1 D.﹣【分析】由已知得函数f(x)为奇函数,函数f(x)为周期为4是周期函数,4<log220<5,f(log220)=﹣f(log2),由f(log2)=1,能求出f(log220)=﹣1.解:∵定义在R上的函数f(x)满足f(﹣x)=﹣f(x),∴函数f(x)为奇函数又∵f(x﹣2)=f(x+2)∴函数f(x)为周期为4是周期函数又∵log232>log220>log216∴4<log220<5∴f(log220)=f(log220﹣4)=f(log2)=﹣f(﹣log2)=﹣f(log2)又∵x∈(﹣1,0)时,f(x)=2x+,∴f(log2)=1故f(log220)=﹣1.故选:A.10.在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑,已知鳖臑P﹣ABC 的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的外接球的表面积为(单位:cm2)()A.41πB.16πC.25πD.64π【分析】首先把三视图转换为几何体,进一步求出几何体的外接球的半径和表面积.解:根据几何体的三视图转换为几何体为:该几何体为三棱锥,底面是直角三角形,PA⊥底面ABC.则BC⊥PC.放入长方体,求长方体外接球即可,设外接球的半径为R,所以(2R)2=42+42+32=41,所以S=4πR2=41π.故选:A.11.已知函数f(x)=x2+(m﹣2)x﹣m,g(x)=,且函数y=f(x﹣2)是偶函数,若函数y=g(log2(x2+4))+k•﹣9恰好有三个零点,则该函数的零点是()A.﹣1,0,1 B.﹣2,0,2 C.﹣2,0,1 D.﹣1,0,2【分析】(1)由函数y=f(x﹣2)是偶函数,得出y=f(x)关于直线x=﹣2对称,求出m,即可求出g(x)的解析式;(2)为偶函数,恰好有三个零点,可得x=0为其零点,代入求出k的值,令进而求出该函数的零点.解:函数y=f(x﹣2)是偶函数,所以f(﹣x﹣2)=f(x﹣2)∴y=f(x)关于关于直线x=﹣2对称,∴,∴m=6∴f(x)=x2+4x﹣6,∴;设,∵h(﹣x)=h(x),∴h(x)为偶函数,恰好有三个零点,故必有一个零点为0,∴h(0)=g(2)+k﹣9=k﹣6=0,k=6,令,则整理得,t2﹣5t+6=0,解得t=2或t=3,当t=2时,x=0;当t=3时,,∴x=±2,∴所求函数的零点为﹣2,0,2.故选:B.12.若直线y=kx﹣2与抛物线y2=8x交于A,B两个不同的点,抛物线的焦点为F,且|AF|,3,|BF|成等差数列,则k=()A.±1 B.1﹣C.1±D.1+【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2).由得k2x2﹣4(k+2)x+4=0,由韦达定理得x1+x2=,因为直线y=kx﹣2与抛物线y2=8x交于A,B两个不同的点,所以△>0即k>﹣1,由抛物线的性质可知|AF|=x1+=x1+2,=x2+2,再结合条件有x1+x2=2,进而得而出答案.解:设A(x1,y1),B(x2,y2).由消去y,得k2x2﹣4(k+2)x+4=0,故△=16(k+2)2﹣16k2=64(1+k)>0,解得k>﹣1,且x1+x2=.由|AF|=x1++2,且|AF|,3,|BF|成等差数列,得x1+2+x2+2=6,得x1+x2=2,所以=2,解得k=1±又k>﹣1,故k=1+,故选:D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请将答案填写在答题卷相应位置上.13.已知数列{a n}中,a1=,a n=1﹣(n≥2),则a2020的值是【分析】利用数列的递推关系式求出数列的前几项,得到数列的周期,然后求解即可.解:数列{a n}中,a1=,a n=1﹣(n≥2),可得a2=﹣3;a3=;a4=;所以数列的周期为3,a2020=a673×3+1=a1=.故答案为:.14.在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中,四边形ABCD为菱形,∠DAB=60°,DM⊥PA,PA=PD=AB=4,M为BC中点.则点M到平面PBD的距离是.【分析】由题意得DM⊥AD,DM⊥PA,且PA∩AD=A,可得DM⊥平面PAD,故而平面PAD ⊥平面ABCD;根据V M﹣PBD=V P﹣BDM即可求出M到平面PBD的距离.解:∵四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°,∴△BCD是等边三角形,又M是BC的中点,∴DM⊥BC,又BC∥AD,∴DM⊥AD,又DM⊥PA,PA∩AD=A,∴DM⊥平面PAD,又DM⊂平面ABCD,∴平面PAD⊥平面ABCD.取AD的中点H,连接PH,BH,∵PA=PD=AB=4,AB=BD=AD=4,∴PH⊥AD,且,由平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PH⊥平面ABCD,故PH⊥BH,∴,又PD=BD=4,∴,设M到平面PBD的距离为h,则.又,∴,解得.∴点M到平面PBD的距离为.故答案为:.15.设A、B分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右顶点,P是双曲线上不同于A、B的一点,直线AP、BP的斜率分别为m、n,则当取最小值时,双曲线的离心率为.【分析】先根据点的关系确定mn,再根据基本不等式确定最小值,最后根据最小值取法确定双曲线的离心率.解:设P(x1,y1),则,因此=,当且仅当时取等号.所以离心率是.故答案为:.16.设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x﹣1)若对任意x∈(0,m],都有,则m的取值范围是.【分析】因为f(x+1)=2f(x),∴f(x)=2f(x﹣1),分段求解析式,可得结论解:∵f(x+1)=2f(x),∴f(x)=2f(x﹣1).∵x∈(0,1]时,f(x)=x(x﹣1);∴x∈(1,2]时,x﹣1∈(0,1],f(x)=2f(x﹣1)=2(x﹣1)(x﹣2);当x∈(0,1]时,;当x∈(1,2]时,,由解得,若对任意x∈(0,m],都有,则.所以m的取值范围是,故答案为:(0,].三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=4﹣4cos B.(1)求;(2)若△ABC的面积为2,求△ABC周长的最小值.【分析】(1)由三角形内角和定理与二倍角余弦、正弦公式,和同角的三角函数关系,即可求得tan的值;(2)由tan的值,利用半角公式求出cos B、sin B的值,再根据三角形面积公式和余弦定理以及基本不等式,即可求得△ABC周长的最小值.解:(1)△ABC中,sin(A+C)=4﹣4cos B,由A+B+C=π,及二倍角余弦公式可得sin(π﹣B)=4(1﹣cos B),即sin B=8sin2;所以,所以;(2)由,得cos B====,所以B∈(0,),所以sin B===,所以;又S△ABC=2,所以;由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2ac cos B,所以,(当且仅当a=c时取等号);所以,即△ABC周长的最小值为+.18.已知圆C经过点A(2,﹣1),和直线x+y=1相切,且圆心在直线y=﹣2x上.(1)求圆C的方程;(2)已知直线l经过(2,0)点,并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程.【分析】(1)利用圆心到直线的距离,求出a,然后求解圆的半径,得到圆的方程.(2)①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,此时直线l被圆C截得的弦长为2,满足条件.②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x﹣2),利用,解得k=,然后求解直线方程.解:(1)设圆心的坐标为C(a,﹣2a),则=.化简,得a2﹣2a+1=0,解得a=1.所以C点坐标为(1,﹣2),半径r=|AC|==.故圆C的方程为(x﹣1)2+(y+2)2=2.(2)①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,此时直线l被圆C截得的弦长为2,满足条件.②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x﹣2),即kx﹣y﹣2k=0由题意得,解得k=,则直线l的方程为y=(x﹣2).综上所述,直线l的方程为x=2或3x﹣4y﹣6=0.19.已知等比数列{a n}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项(1)求数列{a n}通项公式;(2)求数列{}的前n项和T n.【分析】(1)由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式,解方程可得公比q,进而得到所求通项公式;(2)求得,由数列的裂项相消求和,化简计算可得所求和.解:(1)由a4+2是a3,a5的等差中项得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8,由a3+a5=20得,因为q>1,所以q=2.所以;(2)记,则,所以=.20.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B (x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值.【分析】(1)由题意求得焦点坐标,得到直线方程,和抛物线方程联立,利用弦长公式求得p,则抛物线方程可求;(2)由(1)求出A,B的坐标结合=+λ,求出C的坐标,代入抛物线方程求得λ值.解:(1)依题意可知抛物线的焦点坐标为(,0),故直线AB的方程为y=2x﹣p,联立,可得4x2﹣5px+p2=0.∵x1<x2,p>0,△=25p2﹣16p2=9p2>0,解得,x2=p.∴经过抛物线焦点的弦|AB|=x1+x2+p=p=9,解得p=4.∴抛物线方程为y2=8x;(2)由(1)知,x1=1,x2=4,代入直线y=2x﹣4,可求得,,即A(1,﹣2),B(4,4),∴=+λ=(1,﹣2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ﹣2),∴C(4λ+1,4λ﹣2),∵C点在抛物线上,故,解得:λ=0或λ=2.21.如图①,在直角梯形ABCD中,AD=1,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,点E是BC边的中点,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AE,AC,DE,得到如图②所示的几何体.(1)求证:AB⊥平面ADC;(2)若AC与平面ABD所成角的正切值为,求二面角B﹣AD﹣E的余弦值.【分析】(1)利用平面ABD⊥平面BCD,结合BD⊥DC,推出DC⊥平面ABD.得到DC⊥AB,结合AD⊥AB,且即可证明AB⊥平面ADC.(2)说明∠DAC为AC与平面ABD所成角.以O为坐标原点OB,OG,OA分别为x、y、z 轴非负半轴建立空间直角坐标系如图所示,求出面ABD法向量,面DAE法向量,面角B ﹣AD﹣E是锐角,利用空间向量的数量积求解所求二面角的余弦值即可.【解答】(1)证明:因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BD⊥DC,DC ⊂平面BCD,所以DC⊥平面ABD.因为AB⊂平面ABD,所以DC⊥AB,又因为AD⊥AB,且DC∩AD=D,所以AB⊥平面ADC.(2)解:由(1)知DC⊥平面ABD,所以∠DAC为AC与平面ABD所成角.依题意得tan∠DAC==,因为AD=1,所以CD=,设AB=x(x>0),则BD=,因为△ABD∽△DCB,所以=,即,解得x=,故AB=,BD=2.过A作AO⊥BD于O,则AO⊥平面BDC,过O作OG∥DC交BC于G,以O为坐标原点OB,OG,OA分别为x、y、z轴非负半轴建立空间直角坐标系如图所示面ABD法向量可取,DO=,OA=D(,0,0)A(0,0,),,,所以,设面DAE法向量为则取,.又二面角B﹣AD﹣E是锐角,所以所求二面角的余弦值为.22.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,短轴的一个端点为P,△PF1F2内切圆的半径为,设过点F2的直线l与被椭圆C截得的线段为RS,当l⊥x轴时,|RS|=3.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若点M(0,m),(﹣b<m<b),过点M的任一直线与椭圆C相交于两点A、B,y 轴上是否存在点N(0,n)使∠ANM=∠BNM恒成立?若存在,判断m、n应满足关系;若不存在,说明理由.(3)在(2)条件下m=1时,求△ABN面积的最大值.【分析】(1)由内切圆的性质,推出离心率,将x=c代入+=1,转化求解a=2,b=,得到椭圆C的标准方程.(2)①当AB⊥x轴时,可知∠ANM=∠BNM=0,②当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m.联立方程消去y得,设A(x1,y1),B(x2,y2),利用韦达定理求解k AN+k BN==0.对任意k∈R恒成立.得到mn=3且m≠0.m=0时由(*)式知不存在点N符合题意,推出结果.(3)由(2)得n=3M(0,1)、N(0,3)设直线AB的方程为y=kx+1.由⇒(3+4k2)x2+8kx﹣8=0设A(x1,y1),B(x2,y2),利用韦达定理以及三角形的面积公式,利用基本不等式求解最值即可.解:(1)由内切圆的性质,得×2c×b=×(2a+2c)×,得=.将x=c代入+=1,得y=±,所以=3.又a2=b2+c2,所以a=2,b=,故椭圆C的标准方程为+=1.(2)①当AB⊥x轴时,可知∠ANM=∠BNM=0,②当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m.联立方程消去y得,(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0.(,)设A(x1,y1),B(x2,y2),则,x1x2=.假设存在N(0,n)则k AN+k BN====0.(*),对任意k∈R恒成立.所以mn=3且m≠0.m=0时由(*)式知不存在点N符合题意,综上:m=0时不存在,时存在点N(0,n).mn=3.(3)由(2)得n=3M(0,1)、N(0,3)设直线AB的方程为y=kx+1.由⇒(3+4k2)x2+8kx﹣8=0设A(x1,y1),B(x2,y2),则,x1x2=.=,令t=2k2+1,则t≥1,,当且仅当t=1,k=0时取的最大值.所以△ABN面积的最大值为.。
安徽省“庐巢六校联盟”2019_2020学年高二数学上学期第二次段考试题理(含解析)
安徽省“庐巢六校联盟”2019-2020学年高二数学上学期第二次段考试题 理(含解析)第Ⅰ卷(选择题60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知点(3,1,4)A --,()3,5,10B -,则线段AB 的中点M 的坐标为( ) A. ()0,4,6- B. ()0,2,3- C. (0,2,3) D. ()0,2,6-【答案】B 【解析】 【分析】利用中点坐标公式求解即可.【详解】解:因为点(3,1,4)A --,()3,5,10B -, 线段AB 的中点M 的坐标为()0,2,3-, 故选:B.【点睛】本题考查中点坐标公式,是基础题.2.如果直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直,则实数a =( ) A. 1 B. 2-C. 23- D. 13-【答案】B 【解析】 【分析】由直线的垂直关系可得()112a ⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭,解方程可得结果.【详解】直线210ax y ++=的斜率为2a -, 直线20x y +-=的斜率为1-,直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直,()112a ⎛⎫∴-⨯-=- ⎪⎝⎭,解得2a =-,故选B. 【点睛】对直线位置关系的考查是热点命题方向之一,这类问题以简单题为主,主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系:在斜率存在的前提下,(1)1212||l l k k ⇔= ;(2)12121l l k k ⊥⇔⋅=-,这类问题尽管简单却容易出错,特别是容易遗忘斜率不存在的情况,这一点一定不能掉以轻心.3.在空间四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 上分别取E ,F ,G ,H 四点,如EF 与HG 交于点M ,那么 ( ) A. M 一定在直线AC 上 B. M 一定在直线BD 上C. M 可能在直线AC 上,也可能在直线BD 上D. M 既不在直线AC 上,也不在直线BD 上 【答案】A 【解析】如图,因为EF∩HG=M,所以M∈EF,M∈HG,又EF ⊂平面ABC ,HG ⊂平面ADC , 故M∈平面ABC ,M∈平面ADC , 所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC. 选A.点睛:证明点在线上常用方法先找出两个平面,然后确定点是这两个平面的公共点,再确定直线是这两个平面的交线。
2019-2020学年安徽省合肥市庐阳区四校高二上学期期末数学(文)试题(解析版)
2019-2020学年安徽省合肥市庐阳区合肥六中、合肥八中、阜阳一中、淮北一中四校高二上学期期末数学(文)试题一、单选题1.已知集合{|124}x A x =<≤,(){|ln 1}B x y x ==-,则()A B ⋂=A .{|01}x x <<B .{|12}x x <≤C .{|02}x x <≤D .{|02}x x <<【答案】B【解析】先分别求出集合A ,B ,由此能求出A B ⋂. 【详解】 解:集合{|124}{|02}xA x x x =<≤=<≤,(){}{|ln 1}1B x y x x x ==-=, {|12}A B x x ∴⋂=<≤.故选:B . 【点睛】本题主要考查交集的求法,考查交集定义、不等式性质等基知识,考查运算求解能力,是基础题. 2.抛物线28x y =-的准线方程为A .x =2B .x =-2 C.y =2 D .y =-2 【答案】C【解析】本题考查抛物线的性质。
点拨:准线方程为2p y =。
解答:根据抛物线方程的特征,28p =,4p =准线方程为2y =,故选C 。
3.下列结论中错误的是( )A .命题“若220m n +=,则0m =且0n =”的否命题是“若220m n +≠,则0m ≠或0n ≠”B .命题0:p x R ∃∈,使得200220x x ++≤的否定为2,220x R x x ∀∈++≤C .命题“若0m >,则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是真命题D .若2()4f x x x =-+,则使()0f x <的解是4x >或0x <【答案】B【解析】利用四种命题的否命题判断A 的正误;命题的否定判断B 的正误;四种命题的逆否关系判断C 正误,利用二次不等式解集判断D 正误 【详解】“若m 2+n 2=0,则m =0且n =0”的否命题是“若m 2+n 2≠0,则m ≠0或n ≠0”,满足命题的否命题的形式,A 正确;命题0x R ∃∈,使得200220x x ++≤的正确否定2,220x R x x ∀∈++>, B 正确;命题“若m >0,则方程x 2+x ﹣m =0,△=1+4m >0,故原命题是真命题,则逆否命题是真命题,故C 准确 利用二次不等式解法若2()4f x x x =-+,则使()0f x <的解是4x >或0x <,D 准确故选:B 【点睛】本题主要考查命题的真假判断,以及四种命题的真假关系的判断,比较基础.4.若直线1:260l x ay ++=与直线2:(4)50l a x ay -++=垂直,则实数a 的值是( ) A .2 B .2-或4C .4-D .4-或2【答案】D【解析】利用相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出. 【详解】∵1:260l x ay ++=与直线2:(4)50l a x ay -++=垂直, ∴2(4)0a a a -+= 解得a =4-或2. 故选:D . 【点睛】本题考查了相互垂直的直线与斜率之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.5.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数,且当0x >时,()21x f x =+,则12log 16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A .15-B .15C .17-D .17【答案】C【解析】由1216f log ⎛⎫= ⎪⎝⎭f (﹣4)=﹣f (4),结合已知代入即可求解.【详解】y =f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x >0时,f (x )=2x +1,则1216f log ⎛⎫= ⎪⎝⎭f (﹣4)=﹣f (4)=﹣17.故选:C . 【点睛】本题主要考查了利用奇函数定义求解函数值,属于基础试题.6.ABC ∆的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c若6,a b ==,,,B A C 成等差数列,则B =( ) A .6π B .56π C .6π或56πD .23π【答案】A【解析】B ,A ,C 成等差数列,可得2A =B +C =π﹣A ,解得A .利用正弦定理可得sin B bsinAa=,即可得出.【详解】∵B ,A ,C 成等差数列, ∴2A =B +C =π﹣A , 解得A 3π=.则sin B31332sinbsinAaπ===, 又a >b ,∴B 为锐角. ∴B 6π=.故选:A . 【点睛】本题考查了正弦定理、三角函数求值、等差数列的性质、三角形内角和定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.7.已知圆C :22820x y x m ++-+=与直线10x +=相交于,A B 两点.若ABC ∆为正三角形,则实数m 的值为( ).A .10-B .11-C .12D .11【答案】A【解析】根据题意,将圆C 的方程变形为标准方程,分析其圆心与半径,求出圆心到直线的距离d ,由直线与圆的位置关系分析可得圆心C 到直线的距离d =,解可得m 的值,即可得答案. 【详解】圆C :22820x y x m ++-+=化为标准方程是()22414x y m ++=+;则圆心()4,0C -,半径为r =14m >-); 所以圆心C到直线10x ++=的距离为d ==2=,解得10m =-. 故选:A 【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用,涉及圆的弦长公式的应用,关键是掌握圆的标准方程的形式.8.使函数11()11mx f x x x x ⎧->⎪=⎨⎪-+≤⎩,,满足:对任意的12x x ≠,都有12()()f x f x ≠”的充分不必要条件为( )A .02m <<B .102m <<或1m <- C .11m -<< D .1m >或0m <【答案】B【解析】分情况讨论11()11mx f x x x x ⎧->⎪=⎨⎪-+≤⎩,,在R 上单调减及()1m g x x =-在()1,+∞单调增结合分段函数单调性求解充要条件再判断即可 【详解】当01m <≤时,()1mg x x=-在()1,+∞上递减,()1h x x =-+在(),1-∞递减,且()()()11,g h f x ≤∴在(),-∞+∞上递减,若()0,m g x <在()1,+∞上递减,()h x 在(),1-∞上递增,()()0,0,g x h x <≥∴任意12x x ≠,都有()()12f x f x ≠,当0,m =不合题意,故函数11()11mx f x xx x ⎧->⎪=⎨⎪-+≤⎩,,满足:对任意的12x x ≠,都有12()()f x f x ≠”的充分必要条件为01m <≤或0,m <则102m <<或1m <-是充分不必要条件 故选:B 【点睛】本题考查分段函数的单调性,考查分类讨论思想,准确判断每段函数的单调性是关键,是中档题9.已知直线20y ax -+=及两点(1,1)(3,2)P Q -、,若直线与线段PQ 相交,则实数a 的取值范围是( ) A .3a ≤-或43a ≥ B .43a ≤-或3a ≥ C .433a -≤≤D .433a -≤≤【答案】A【解析】确定直线系恒过的定点,画出图形,即可利用直线的斜率求出a 的范围. 【详解】因为直线-20y ax +=过定点()0,2A -,根据题意画出几何图形如下图所示:因为(1,1)(3,2)P Q -、 则()12320APk --==---,()224303AQ k --==-若直线2y ax =-与线段PQ 相交,斜率为433a a ≤-≥或. 故选:A 【点睛】本题考查恒过定点的直线系方程的应用,直线与直线的位置关系,考查数形结合与计算能力. 10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,22n n S a =-,若存在两项,n m a a ,使得64n m a a ⋅=,则12m n+的最小值为( )A .123+B .1C .3+D .75【答案】B【解析】运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得a n =2n.求得m +n =6,1216m n +=(m +n )(12m n+)16=(32n m m n ++),运用基本不等式,检验等号成立的条件,即可得到所求最小值.【详解】S n =2a n ﹣2,可得a 1=S 1=2a 1﹣2,即a 1=2, n ≥2时,S n ﹣1=2a n ﹣1﹣2,又S n =2a n ﹣2,相减可得a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣2a n ﹣1,即a n =2a n ﹣1, {a n }是首项为2,公比为2的等比数列.所以a n =2n.a m a n =64,即2m •2n =64, 得m +n =6,所以1216m n +=(m +n )(12m n +)16=(32n m m n ++)16≥(),当且仅当2n mm n=时取等号,即为m 6=,n 12=-因为m 、n 取整数,所以均值不等式等号条件取不到,则1216m n +>(,验证可得,当m =2,n =4,或m =3,n =3,,12m n+取得最小值为1.故选:B . 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法,注意运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式,考查基本不等式的运用,注意检验等号成立的条件,考查化简运算能力,属于中档题.11.在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑,已知鳖臑P ABC -的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为( )A .41πB .16πC .25πD .64π【答案】A【解析】几何体复原为底面是直角三角形,一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥,扩展为长方体,长方体的对角线的长,就是外接球的直径,然后求其的表面积. 【详解】解:由三视图还原原几何体如图,该几何体为三棱锥,底面是直角三角形,PA ⊥底面ABC .则BC PC ⊥.扩展为长方体, 它的对角线的PB=该三棱锥的外接球的表面积为:242π⋅=41π 故选:A 【点睛】本题考查三视图,几何体的外接球的表面积,考查空间想象能力,计算能力,是基础题.12.设,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点,P 是双曲线上不同于,A B 的一点,直线,AP BP 的斜率分别为,m n,则当3b a +取最小值时,双曲线的离心率为( ) ABC.3D【答案】D【解析】由题意求得直线AP 及PB 斜率,可得mn 22b a=,再根据基本不等式可得a 2=3b 2=3(c 2﹣a 2),即可求出 【详解】设11(,)P x y ,则 22111222111y y y b mn x a x a x a a =⋅==+--,因此3b a+3b a a b =+≥= 当且仅当223a b =时,3e =. 故选:D 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,基本不等式,考查计算能力,属于中档题.二、填空题13.若x ,y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩,则32z x y =+的最大值为_____________.【答案】6【解析】首先根据题中所给的约束条件,画出相应的可行域,再将目标函数化成斜截式3122y x z =-+,之后在图中画出直线32y x =-,在上下移动的过程中,结合12z 的几何意义,可以发现直线3122y x z =-+过B点时取得最大值,联立方程组,求得点B 的坐标代入目标函数解析式,求得最大值. 【详解】根据题中所给的约束条件,画出其对应的可行域,如图所示:由32z x y =+,可得3122y x z =-+, 画出直线32y x =-,将其上下移动, 结合2z的几何意义,可知当直线3122y x z =-+在y 轴截距最大时,z 取得最大值, 由220x y y --=⎧⎨=⎩,解得(2,0)B ,此时max 3206z =⨯+=,故答案为6.点睛:该题考查的是有关线性规划的问题,在求解的过程中,首先需要正确画出约束条件对应的可行域,之后根据目标函数的形式,判断z 的几何意义,之后画出一条直线,上下平移,判断哪个点是最优解,从而联立方程组,求得最优解的坐标,代入求值,要明确目标函数的形式大体上有三种:斜率型、截距型、距离型;根据不同的形式,应用相应的方法求解.14.已知数列{}n a 中,114a =,111(2)nn a n a -=-≥,则2020a 的值是____________ 【答案】14【解析】利用数列的递推关系式求出数列的前几项,得到数列的周期,然后求解即可. 【详解】 数列{}()1111124n n n a a a n a -==-≥,,, 可得a 2=﹣3;a 343=;a 414=;所以数列的周期为3, a 2020=a 673×3+1=a 114=.故答案为:14.【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用,求解数列的周期是解题的关键,是基本知识的考查.15.已知()f x 在R 上连续可导,()f x '为其导函数,且()2(0)xf x e f x '+=⋅,则()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为________________ 【答案】1y x =-+【解析】求导得斜率,利用点斜式求解直线方程 【详解】由题意, 2()(0)x f x e f '+'=,所以0(0)(0)(02)12f e f f +='+''=, 因此(0)1f '=-,所以()2xf x e x =-,易知切线为1y x =-+故答案为:1y x =-+ 【点睛】本题考查导数的几何意义,考查切线方程求法,是基础题16.已知函数22,0()( 2.718)ln ,0ex ex x f x e xx x⎧+≤⎪==⎨>⎪⎩,若关于x 的方程()(0)f x a a =≤有3个不同的实数解123,,x x x ,则123x x x ++的取值范围是____________【答案】1(2,1]e-+-【解析】通过求导,画出函数()f x 的图象,由二次函数对称性得122x x +=-,求得31,1x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦即可求解 【详解】 当()'21ln 0,x x fx x->=,()()''0,0;,0;x e f x x e f x <<<>> 画出函数()f x 的图象如图,设123x x x <<,由二次函数对称性得122x x +=-,二次函数的最低点处(1)f e -=-,1ln1()1e f e e e ==-,(1)0f =31,1x e ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦123x x x ∴++∈1(2,1]e -+-.故答案为:1(2,1]e-+-【点睛】本题考查根的存在性与根的个数判断,考查利用导数求函数的最值,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.三、解答题17.已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若530S =,且124,,a a a 成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若1(1)(1)n n n b a a =-+,求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)2n a n =;(2)21nn + 【解析】1)直接利用已知条件利用等差数列通项公式及求和公式,结合等比中项求出数列的通项公式. (2)利用(1)的通项公式,裂项相消求出数列的和. 【详解】(1)根据{}n a 为等差数列,0d ≠.前n 项和为n S ,且530S =,即130510a d =+,①∵124,,a a a 成等比数列.可得:2214a a a =⋅.∴2111()(3)a d a a d +=+②由①②解得:122a d =⎧⎨=⎩,∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =(2)由()()n n 111n b a a =-+,即()()12n 12n 1n b =-+=11122n 12n 1⎛⎫- ⎪-+⎝⎭.那么:数列{}n b 的前n 项和12n n T b b b =+++111111(1)23352121n n =-+-++--+ =21nn +. 【点睛】本题考查等差数列及等比数列的通项公式,考查裂项相消求和,是基础题18.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若2222sin ac B a c b =+-. (1)求角B 的大小;(2)若=2ab 最小时,ABC ∆的周长. 【答案】(1)4π;(2)【解析】(1)根据余弦定理,结合角正切,进行化简即可求角B 的大小; (2)利用余弦定理结合化简为2222b c c =-+,结合二次函数求最值 【详解】(1)由2212sin 2ac B a c =+-得:2222sin 2cos ac B a c b ac B =+-=, 即:sin cos B B =.∴tan 1B =,又()0,B π∈,∴4B π=.(2)由2222cos b a c ac B =+-,当a =得:2222bc c =-+,∴当1c =时,b 有最小值为1, ∴此时,周长为【点睛】本题考查余弦定理解三角形,考查二次函数求最值,考查转化能力,是基础题19.已知四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为等腰梯形,AD BC ∥,1PA AD AB CD ====,2BC =,PB PD ==(1)证明:AC ⊥平面PAB ;(2)过PA 的平面交BC 于点E ,若平面PAE 把四棱锥P ABCD -分成体积相等的两部分,求此时三棱锥E PBD -的体积.【答案】(1)见解析;(2)38【解析】(1)推导PA AB ⊥及PA AD ⊥,证明PA ⊥平面ABCD ,结合AC AB ⊥即可证明 (2)设BE a =,等体积转化12P ABE P ABCD V V --=求得32a =,再利用13E PBD P BED BED V V S PA --∆==⋅求解 【详解】(1)证明:在等腰梯形ABCD ,//1AD BC AD AB CD ===,,2BC = 易得:60ABC ∠=︒在ABC ∆中,2222cos 3AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠= 则有222AB AC BC +=AC AB ∴⊥在PAB ∆中,1PA AB PB ===,PA AB ∴⊥同理,在PAD ∆中,PA AD ∴⊥AB AD A ∴=PA ABCD ∴⊥平面又PA ABCD PA AC AC ABCD ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭平面平面即AC AB AC AC PA AB PA A ⊥⎫⎪⇒⊥⊥⎬⎪⋂=⎭平面PAB . (2)在梯形ABCD 中,设BE a =,1122P ABE P ABCD ABE ABCD V V S S --∆∴=∴= ()1sin 42BC AD h AB BE ABE +⨯∴⨯⨯∠=,而3sin 60h AB ==即32a ∴=322111133E PBD P BED BED V V S PA --∆∴==⋅=⨯⨯=故三棱锥E PBD - 【点睛】本题考查直线与平面垂直判定定理的应用,考查椎体体积,考查空间想象能力以及计算能力,是中档题20.已知圆221:(1)1C x y -+=,动圆2C 在y 轴右侧,与圆1C 相外切且与y 轴相切(1)求动圆2C 的圆心轨迹E 的方程;(2)已知点(2,2)M ,Q 为圆1C 上一点,P 为轨迹E 上一点,求PM PQ +的最小值. 【答案】(1)24(0)y x x =>;(2)2【解析】(1)设圆心2(,)C x y 根据动圆2C 与圆(x ﹣1)2+y 2=1外切,且与y 轴相切.建立关系可得轨迹C 的方程(2)利用不等式11PM PQ PC PM +≥-+,将1PC 转化为到准线的距离d 即可求解 【详解】(1)设2(,)C x y ,由题可知,动圆2C 在y 轴右侧(0)x ≠,且与圆1C 相外切,则有:121C C x =+1x =+解得24(0)y x x =>(2)设(,)P m n ,11PM PQ PC PM +≥-+,由(1)可知,点P 在轨迹E 上,则可将1PC 转化为到准线的距离d ,111312PM PQ PC PM d PM ∴+≥-+=-+≥-= 所以,PM PQ +的最小值为2. 【点睛】本题考查抛物线的定义求轨迹方程,考查抛物线求最值,熟练运用抛物线定义转化是关键,是中档题21.如图所示,曲线C 由部分椭圆1C :22221(0,0)y x a b y a b+=>>≥和部分抛物线2C :21(0)y x y =-+≤连接而成,1C 与2C 的公共点为A ,B ,其中1C 所在椭圆的离心率为2.(Ⅰ)求a ,b 的值;(Ⅱ)过点B 的直线l 与1C ,2C 分别交于点P ,Q (P ,Q ,A ,B 中任意两点均不重合),若AP AQ ⊥,求直线l 的方程. 【答案】(Ⅰ)2,1a b ==;(Ⅱ)440x y +-=. 【解析】(Ⅰ)在抛物线方程中,令0y =,求出A ,B 坐标,再由离心率的公式和,,a b c 之间的关系,求出,a b ; (Ⅱ)由(Ⅰ)可求出横轴上方的椭圆方程,由题意可知:过点B 的直线l 存在斜率且不能为零,故设直线方程为1(0)x my m =+≠,代入椭圆1C 、抛物线2C 方程中,求出P ,Q 两点坐标,由向量垂直条件,可得等式,求出m 的值,进而求出直线l 的方程. 【详解】(Ⅰ)因为21(0)y x y =-+≤,所以0y =,即1x =±,因此(1,0),(1,0)A B -,代入椭圆方程中,得1b =,由2c a =以及 2221a c b -==,可得a =所以1a b ==;(Ⅱ)由(Ⅰ)可求出横轴上方的椭圆方程为:2222(0)y x y +=…,由题意可知:过点B 的直线l 存在斜率且不能为零,故设直线方程为1(0)x my m =+≠,代入椭圆1C 得:()222140m y my ++=,故可得点P 的坐标为:222124,1212m m m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,显然0m <,同理将1(0)x my m =+≠代入抛物线2C 方程中,得2220m y y my ++=,故可求得Q 的坐标为:22221,m m m m m ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭,AP AQ ⊥222222122141101212m m m m m AP AQ m m m m ⎛⎫⎛⎫---+-∴⋅=+⋅+-⋅= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭,2820m m +=,解得14m =-,符合0m <,故直线l 的方程为:440x y +-=.【点睛】本题考查了椭圆方程的性质,直线与椭圆、抛物线的位置关系,考查了数学运算能力. 22.已知函数()ln f x ax a x =--. (1)讨论函数()f x 的单调性;(2)当=1a ,函数()()g x xf x =,证明:()g x 存在唯一的极大值点0x ,且()014g x <. 【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】(1)求导,讨论a ≤0和a>0 时f ′(x )的正负确定单调性(2)求导g ′(x )=2x ﹣2﹣lnx ,构造新函数t (x )=2x ﹣2﹣lnx ,求导利用零点存在定理得g (x )必存在唯一极大值点x 0,且2x 0﹣2﹣lnx 0=0,结合g (x 0)20x =-x 0﹣x 0lnx 0整理为二次函数证明即可【详解】(1)解:因为f (x )=ax ﹣a ﹣lnx (x >0), 求导:f ′(x )=a 1x-. 则当a ≤0时f ′(x )<0,即y =f (x )在(0,+∞)上单调递减, 当a>0时,f ′(x )<0 , 0<x 1a<,f ′(x )>0则 x 1a >所以,y =f (x )在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.综上,当a ≤0时,y =f (x )在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,y =f (x )在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.(2)证明:由(1)可知g (x )=x 2﹣x ﹣xlnx ,g ′(x )=2x ﹣2﹣lnx ,令g ′(x )=0,可得2x ﹣2﹣lnx =0,记t (x )=2x ﹣2﹣lnx ,则t ′(x )=21x-, 令t ′(x )=0,解得:x 12=, 所以t (x )在区间(0,12)上单调递减,在(12,+∞)上单调递增, 所以t (x )min =t (12)=ln 2﹣1<0,t (21e)=220e >, t (1)=0从而t (x )=0有两解,即g ′(x )=0存在两根x 0,1,则g ′(x )在(0,x 0)上为正、在(x 0,1)上为负、在(1,+∞)上为正, 所以g (x )必存在唯一极大值点x 0,且2x 0﹣2﹣lnx 0=0,所以g (x 0)20x =-x 0﹣x 0lnx 020x =-x 0+2x 0﹣220x =x 020x -,由x 012<可知g (x 0)<(x 020x -)max 2111224=-+=;【点睛】本题考查函数的单调性与导数,考查零点存在定理的应用,考查构造函数的思想,准确利用零点存在定理代换为二次函数最值是关键,是中档题。
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安徽省合肥市六校2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 文(考试时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
每小题只有一个正确答案,请把正确答案涂在答题卡上)1. 直线l 的方程为22(1)y x +=-,则( )A.直线l 过点(2,2)-,斜率为12 B. 直线l 过点(2,2)-,斜率为12C. 直线l 过点(1,2)-,斜率为2D. 直线l 过点(1,2)-,斜率为22.双曲线22145x y -=的离心率是( )A.2 B. 32 C. 2 D.943. 如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积为( )A.3B.4C.5D.64. 已知空间两点(2,1,3),(4,2,3)A B ---,则A B 、间的距离是( ) A .7 B .8 C .9 D .105. 双曲线2294360x y -+=的一条渐近线的方程为( )A.940x y -=B.490x y -=C.320x y +=D.230x y -= 6. 已知圆22(7)(4)9x y -++=与圆22(5)(6)9x y ++-=关于直线l 对称 ,则直线l 的方程是( )A.01165=-+y xB.0156=--y xC.01156=-+y xD.0165=+-y x 7.已知圆221:2310C x y x y ++++=,圆222:43360C x y x y ++--=,则圆1C 和圆2C 的位置关系为( )A.相切B.内含C.外离D.相交8. “12m =-”是“直线2(1)10m x y --+=与直线2(1)10x m y +--=互相垂直”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 9.下列命题是真命题的是( )A.“若>a b ,则22>a b ”的逆命题B.“若αβ=,则sin sin αβ=”的否定C. “若,a b 都是偶数,则+a b 是偶数”的否命题D. “若函数(),()f x g x 都是R 上的奇函数,则()()+f x g x 是R 上的奇函数”的逆否命题 10.已知抛物线22(0)y px p =>焦点为F ,直线l 过点F 与抛物线交于两点,A B ,与y 轴交于(0,)2pM ,若||8AB =,则抛物线的准线方程为( ) A.2y =- B. 1y =- C. 2x =- D.1x =-11.已知两个平面垂直,下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线 ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 ③一个平面内任一条直线必垂直于另一个平面④在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确命题的个数为A.0B.1C.2D.312.已知正方形ABCD 的边长为4,,E F 分别为边,AB BC 上的点,且3AE BF ==.将,AED CFD ∆∆分别沿ED 和FD 折起,使点A 和C 重合于点P ,则三棱锥P EFD -的外接球表面积为( )A. 26πB. 13πC.3D.3二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.命题“2000,10x R x x ∃∈--≤”的否定为: .14.焦点在x 轴上,离心率12e =,且过的椭圆的标准方程为 .15.已知定点)0,3(B ,点A 在圆4)1(22=++y x 上运动,则线段AB 中点M 的轨迹方程是 .16.已知(3,0)A -,(3,0)B ,点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动,则22PB PA +的最小值是 .三、解答题(本大题共6小题,共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分12分)如图,正方体1111ABCD A B C D -中 (1)求证:1AC DB ⊥ (2)求证:1DB ⊥平面1ACD18. (本小题满分10分)设抛物线的顶点为O ,经过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点,B C ,经过抛物线上一点P 垂直于对称轴的直线和对称轴交于点M ,设C 1B1D1A1DCBA||BC a =,||MP b =,||OM c =,求证:,,a b c 成等比数列.19. (本小题满分12分)已知ABC ∆的顶点C (2,-8),直线AB 的方程为211y x =-+,AC 边上的高BH 所在直线的方程为320x y ++=(1)求顶点A 和B 的坐标;(2)求ABC ∆外接圆的一般方程.20. (本小题满分12分)已知点1212),(,233P P 是椭圆C :22221x y a b +=上两点. (1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l 的斜率为1,直线l 与圆221x y +=相切,且与椭圆C 交于点,A B ,求线段AB 的长.21. (本小题满分12分)如图,四棱锥P ABCD -中,侧面PAB 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,12AB BC AD ==,090BAD ABC ∠=∠=, E 是PD 的中点.(1)证明:直线CE ∥平面PAB ;(2) 若PCD ∆P ABCD -的体积P ABCD V -.22. (本小题满分12分)已知抛物线C :26y x =,直线l :230x +-=与x 轴交于点F ,与抛物线C 的准线交于点M ,过点M 作x 轴的平行线交抛物线C 于点N . (1)求FMN ∆的面积;(2)过F 的直线交抛物线C 于,A B 两点,设AF FB λ=u u u r u u u r,3(,0)2D -,当1[,3]2λ∈时,求DA DB ⋅u u u r u u u r的取值范围.数学试卷(文科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.2,10x R x x ∀∈--> 14. 221129x y += 15.22(1)1x y -+= 16.36三、解答题(本大题共6小题,共70分。
) 17.证明:(1)连结BD 、11B D1DD ⊥Q 平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD1DD ∴⊥AC ………………………………2分 又AC BD ⊥,1BD DD D ⋂=,1BD DD ⊂、平面11DBB DAC ∴⊥平面11DBB D ,又1DB ⊂平面11DBB D …………4分 1AC DB ∴⊥………………………………6分(2)由1AC DB ⊥,即1DB AC ⊥同理可得11DB AD ⊥,……………………9分 又1AD AC A ⋂=,1,AD AC ⊂平面1ACD 1DB ∴⊥平面1ACD(其他解法参照赋分)18. 证明:以抛物线的顶点为O 坐标原点,对称轴为x 的平面直角坐标系, 设抛物线方程为22(0)y px p =>,则焦点(,0)2pF ,…4分∵BC ⊥x 轴,∴(,),(,)22p pB pC p -…………………6分∴||2BC p a == ………………………………7分 又∵PM ⊥x 轴于点M ,||MP b =,||OM c =, ∴(,)(,)P c b c b -或,………………………………8分 ∵P 在抛物线上, ∴22b pc =, ………………………………9分∴2b ac =即,,a b c 成等比数列. ………………………………10分(其他解法参照赋分)19. 解:(1)由211320y x x y =-+⎧⎨++=⎩可得顶点(7,3)B -,………………………………1分又因为AC BH ⊥得,13BH k =- ………………………………2分 所以设AC 的方程为3y x b =+, ………………………………3分 将C (2,-8)代入得14b =- ………………………………4 由211314y x y x =-+⎧⎨=-⎩可得顶点为A (5,1) ………………………………5分 所以A 和B 的坐标分别为(5,1)和(7,-3) ………………………………6分C 1B1D1A1D CBA(2)设ABC ∆的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=,…………………7分将A(5,1)、B (7,-3)和C (2,-8)三点的坐标分 别代入得52607358028680D E F D E F D E F +++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩则有4612D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩………………………………11分所以ABC ∆的外接圆的一般方程为2246120x y x y +-+-=.………………12分.(其他解法参照赋分)20. 解:(1)设椭圆C 的方程为:221mx ny +=, ………………………………1分点1212),(,233P P 是椭圆C :221mx ny +=上两点,则131448199m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩………………………………3分解得:1,14m n ==,………………………………5分故椭圆C 的方程为:2214x y +=.………………………………6分(2)∵直线l 的斜率为1,故设直线l 的方程为:y x m =+即0x y m -+=,1122(,),(,)A x y B x y………………………………7分∵直线l与圆221x y +=相切,∴212m =⇒=, ………………………………8分 由22225844014y x m x mx m x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩,即25840x mx ++=………………9分∴12128545m x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩………………………………10分∴12|||AB x x =-==. ………………………………12分(其他解法参照赋分)21. 解:(1)取PA 的中点F ,连FE FB 、, E Q 是PD 的中点,∴FE //=12AD , ………………………………2分D又BC //=12AD∴FE //=BC∴四边形EFBC 是平行四边形…………………………4分 CE ∴∥BF又CE ⊄平面PAB ,BF ⊂平面PAB ………………5分 ∴CE ∥平面PAB ………………………6分(2)在平面PAB 内作PO AB ⊥于O ,不妨设122AB BC AD x ===,则4AD x = 由PAB ∆是等边三角形,则2PA PB x ==,O 为AB 的中点,3PO x =………………………………7分Q 平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAB ⋂平面ABCD AB =,PO ⊂平面PAB又BC AB ⊥,AD AB ⊥,BC 、AD ⊂平面ABCD ;PO AB ⊥,PO ⊂平面PAB ∴BC 、AD ⊥平面PAB ;PO ⊥平面ABCD ………………………………8分 ∴BC PB ⊥,AD ⊥PA ………………………………9分∴22PC x =,25PD x = ………………………………10分 取AD 的中点M ,连CM ,可得CMD ∆为等腰直角三角形,090CMD ∠= ∴2CM MD x ==,则22CD x =,PC CD =,3CE x =∴2115152PCD S PD CE x ∆=⋅==,即1x =………………………………11分∴11111()2(24)32333232P ABCD ABCD V S PO AB BC AD PO -=⋅=⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅=.………………………………12分 (其他解法参照赋分)22. 解:抛物线C :26y x =的焦点为3(,0)2,准线为直线32x =-,……1分 又直线l :22330x y +-=与x 轴交于点3(,0)2F ,……2分∴26y x =的焦点为3(,0)2F , ……3分由已知和抛物线定义得NM NF =,且30NMF ∠=o ,31(,3),(,3)22M N -, ……4分∴120,2MNF MN ∠==o, ……5分∴FMN ∆的面积1sin12032S MN NF =⋅=o.…………………6分(2)由(1)知,抛物线C 的方程为26y x =,设221212(,),(,)66y y A y B y ,由AF FB λ=u u u r u u u r 得12221222121233(,)(,)332662()2662y y y y y y y y λλλ-=⎧⎪--=-⇒⎨-=-⎪⎩,…………8分不妨设20y >,故21y y ==-,………………………………9分∴1233,22x x λλ== ∴11221212123339(,)(,)()2224DA DB x y x y x x x x y y ⋅=+⋅+=++++u u u r u u u r919()42λλ=+-,1[,3]2λ∈………………………………11分 ∴当1λ=时,DA DB ⋅u u u r u u u r 最小为0;当3λ=时,DA DB ⋅u u u r u u u r最大为3,即DA DB ⋅u u u r u u u r的取值范围是[0,3].………………………………12分(其他解法参照赋分)。