江苏专用版2018_2019学年高中数学4.2.2第2课时圆锥曲线的极坐标方程及应用学案苏

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2018-2019学年高一数学苏教版必修四课件：第2章 2.1 圆锥曲线

定点F 叫的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，
PF＝d ，其中 d 为
做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线
点 P 到 l 的距离
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到两定点 F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之和为 10 的动点的轨迹是椭圆．( ) )
(2)在双曲线定义中，若去掉“绝对值”，其轨迹不是双曲线．( (3)在抛物线定义中，“F 不在 l 上”可以省略．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
[合作探究· 攻重难]
椭圆的定义及应用
(1)已知△ABC 中，A(0，－3)，B(0,3)，且△ABC 的周长为 16，试确定顶点 C 的轨迹； (2)已知 F1，F2 为椭圆的两焦点，直线 AB 过点 F1，交椭圆于 A，B 两点，若椭圆上任一点 P 满足 PF1＋PF2＝5，求△ABF2 的周长.
第 2章
圆锥曲线与方程
2.1 圆锥曲线
学习目标：1.通过用平面截圆锥面，经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义．(重点、难点)2.通过用平面截圆锥面，感受、了解双曲线的定义．(难点)
[自主预习· 探新知]
教材整理圆锥曲线
阅读教材 P27～P28 例 1 以上内容，完成下列问题． 1．用平面截圆锥面能得到的曲线图形是两条相交直线、圆、椭圆、
双曲线
、抛物线．
2．设 P 为圆锥曲线上任意一点，常数为 2a(a>0)．定义(自然语言) 平面内到两个定点 F1， F2 的距离的和等于常数(大椭圆于 F1F2 )的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1 ，F2
焦距
PF1＋PF2

[推荐学习]2018_2019学年高中数学学业分层测评6圆锥曲线的极坐标方程及应用苏教版选修4_4

学业分层测评(六) 圆锥曲线的极坐标方程及应用(建议用时：45分钟)[学业达标]1．过椭圆x 225＋y 29＝1的左焦点引一条直线与椭圆自上而下交于A 、B 两点，若FA ＝2FB ，求直线l 的斜率．【解】椭圆x 225＋y 29＝1中，a ＝5，b ＝3，c ＝4，所以e ＝45，p ＝b 2c ＝94.取椭圆的左焦点为极点，x 轴正方向为极轴正方向，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为ρ＝45×941－45cos θ＝95－4cos θ.设A (ρ1，θ)、B (ρ2，π＋θ)．由题设得ρ1＝2ρ2.于是95－4cos θ＝2×95＋4cos θ，解得cos θ＝512，所以tan θ＝1195，即直线l 的斜率为1195.2．已知椭圆方程为ρ＝165－3cos θ，过左焦点引弦AB ，已知AB ＝8，求△AOB 的面积．【解】如图，设A (ρ1，θ)、B (ρ2，θ＋π)．所以ρ1＋ρ2＝165－3cos θ＋165＋3cos θ＝16025－9cos 2θ. 因为AB ＝8，所以16025－9cos 2θ＝8，所以cos 2θ＝59，sin θ＝23.由椭圆方程知e ＝c a ＝35，b 2c ＝163，则c ＝3. S △AOB ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12OF ·ρ1·sin θ＋12OF ·ρ2·sin θ＝8.3．如图424，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的弦AB 与x 轴斜交，M 为AB 的中点，MN ⊥AB ，并交对称轴于N .图424求证：MN 2＝AF ·BF .【证明】取F 为极点，Fx 为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为ρ＝p1－cos θ.设A (ρ1，θ)、B (ρ2，θ＋π)，则AF ·BF ＝p1－cos θ·p1＋cos θ＝p 2sin 2θ. 不妨设0＜θ＜π2，则MF ＝12(ρ1－ρ2)＝12(p 1－cos θ－p 1＋cos θ)＝p cos θsin 2θ. 所以MN ＝MF ·tan θ ＝p cos θsin 2θtan θ＝psin θ. 所以MN 2＝AF ·BF .4．如图425，已知圆F ：x 2＋y 2－4x ＝0，抛物线G 的顶点是坐标系的原点，焦点是已知圆的圆心F ，过圆心且倾斜角为θ的直线l 与抛物线G 、圆F 从上至下顺次交于A 、B 、C 、D 四点．图425(1)当直线的斜率为2时，求AB ＋CD ；(2)当θ为何值时，AB ＋CD 有最小值？并求这个最小值．【解】圆F ：x 2＋y 2－4x ＝0的圆心坐标为(2,0)，半径为2，所以抛物线的焦点到准线的距离为4.以圆心F 为极点，Fx 为极轴建立极坐标系．则圆F 的坐标方程为ρ＝2，抛物线G 的极坐标方程为ρ＝41－cos θ.设A (ρ1，θ)、D (ρ2，θ＋π)，所以AB ＝AF －2，CD ＝FD －2，即AB ＋CD ＝AF ＋FD －4＝ρ1＋ρ2－4＝41－cos θ＋41－θ＋π－4＝41－cos θ＋41＋cos θ－4＝81－cos 2θ－4＝8sin 2θ－4. (1)由题意，得tan θ＝2，所以sin 2θ＝45.所以AB ＋CD ＝8sin 2θ－4＝6.(2)AB ＋CD ＝8sin 2θ－4，当sin 2θ＝1，即θ＝π2时△ABF 2的面积取到最小值4.5．已知抛物线ρ＝p1－cos θ，过焦点作互相垂直的极径FA 、FB ，求△FAB 的面积的最小值．【解】设A (ρ1，θ)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2，则 ρ1＝p 1－cos θ，ρ2＝p 1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝p1＋sin θ.△FAB 的面积为S ＝12ρ1ρ2＝12·p 1－cos θ·p1＋sin θ＝p 2－cosθ1＋sinθ＝p 2－cos θ＋sin θ－sin θcos θ.设t ＝sin θ－cos θ，则sin θcos θ＝1－t22.所以1－cos θ＋sin θ－sin θcos θ＝1＋t －1－t 22＝12(t ＋1)2.又t ＝sin θ－cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4∈[－2，2]，所以当t ＝2，即θ＝3π4时，△FAB 的面积S 有最小值p21＋22.6．已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，点P 为椭圆短轴的一个顶点，且∠F 1PF 2＝90°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若直线l 过左焦点F 1与椭圆交于A 、B 两点，且△ABF 2的面积的最大值为12，求椭圆C 的方程．【导学号：98990017】【解】 (1)因为∠F 1PF 2＝90°，所以PF 21＋PF 22＝F 1F 22，即a 2＋a 2＝4c 2.所以e ＝c a ＝22. (2)以椭圆的左焦点F 1为极点，Fx 为极轴建立极坐标系，设椭圆的方程为ρ＝22p 1－22cos θ＝p2－cos θ.设A (ρ1，θ)、B (ρ2，θ＋π)，则AB ＝AF ＋FB ＝ρ1＋ρ2 ＝p2－cos θ＋p2－θ＋π＝p2－cos θ＋p2＋cos θ＝22p2－cos 2θ. 因为F 1F 2＝2c ，所以△ABF 2的边AB 上的高h 为2c |sin θ|，△ABF 2的面积S ＝12·AB ·h＝22pc |sin θ|2－cos 2θ＝22pc |sin θ|1＋sin 2θ＝22pc1|sin θ|＋|sin θ|.因为1|sin θ|＋|sin θ|≥2，所以当|sin θ|＝1，即θ＝π2或θ＝3π2时S 取到最大值．所以当l 过左焦点且垂直于极轴时，△ABF 2的面积取到最大值2pc ，所以2pc ＝12，即b 2＝6 2.故a 2－c 2＝6 2.又ca ＝22，所以a 2＝122，c 2＝6 2. 所求椭圆的方程为 x 2122＋y 262＝1. 7．已知椭圆x 224＋y 216＝1，直线l ：x 12＋y8＝1，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于R ，又点Q 在OP 上，且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．【解】如图，以O 为极点，Ox 为极轴，建立极坐标系，则：椭圆的极坐标方程为ρ2＝482cos 2θ＋3sin 2θ，直线l 的极坐标方程ρ＝242cos θ＋3sin θ.由于点Q 、R 、P 在同一射线上，可设点Q 、R 、P 的极坐标分别为(ρ，θ)、(ρ1，θ)、(ρ2，θ)，依题意，得ρ21＝482cos θ＋3sin θ，① ρ2＝242cos θ＋3sin θ.②由|OQ |·|OP |＝|OR |2得ρ·ρ2＝ρ21(ρ≠0)．将①②代入，得ρ·242cos θ＋3sin θ＝482cos 2θ＋3sin 2θ，则ρ＝4cos θ＋6sin θ2cos 2θ＋3sin 2θ(ρ≠0)．这就是点Q 的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程，得2x 2＋3y 2＝4x ＋6y ，即x －252＋y －253＝1(x 、y 不同时为0)．∴点Q 的轨迹为以(1,1)为中心，长轴平行于x 轴，长、短半轴长分别为102，153的椭圆(去掉坐标原点)．[能力提升]8．建立极坐标系证明：已知半圆直径|AB |＝2r (r ＞0)，半圆外一条直线l 与AB 所在直线垂直相交于点T ，并且|AT |＝2a (2a ＜r2)．若半圆上相异两点M ，N 到l 的距离|MP |、|NQ |满足|MP |：|MA |＝|NQ |：|NA |＝1，则|MA |＋|NA |＝|AB |.【证明】法一以A 为极点，射线AB 为极轴建立直角坐标系，则半圆的极坐标方程为ρ＝2r cos θ，设M (ρ1，θ1)，N (ρ2，θ2)，则ρ1＝2r cos θ1，ρ2＝2r cos θ2，又|MP |＝2a ＋ρ1cos θ1＝2a ＋2r cos 2θ1， |NQ |＝2a ＋ρ2cos θ2＝2a ＋2r cos 2θ2， ∴|MP |＝2a ＋2r cos 2θ1＝2r cos θ1， |NQ |＝2a ＋2r cos 2θ2＝2r cos θ2，∴cos θ1，cos θ2是方程r cos 2θ－r cos θ＋a ＝0的两个根，由韦达定理：cos θ1＋cos θ2＝1，|MA |＋|NA |＝2r cos θ1＋2r cos θ2＝2r ＝|AB |.法二以A 为极点，射线AB 为极轴建立直角坐标系，则半圆的极坐标方程为ρ＝2r cos θ，设M (ρ1，θ1)，N (ρ2，θ2)，又由题意知，M (ρ1，θ1)，N (ρ2，θ2)在抛物线ρ＝2a1－cos θ上，∴2r cos θ＝2a 1－cos θ，r cos 2θ－r cos θ＋a ＝0，∴cos θ1，cos θ2是方程r cos 2θ－r cos θ＋a ＝0的两个根，由韦达定理：cos θ1＋cos θ2＝1，得|MA |＋|NA |＝2r cos θ1＋2r cos θ2＝2r ＝|AB |.。

苏教版高中数学选修4-4课件 4.2.2 圆锥曲线的统一极坐标方程及应用(2)课件

线的离心率．如果该常数不是 1，一定要将其转化为 1，再去
课
堂互动
判别，例如方程 ρ＝2－c4os θ的离心率不是 1，其不表示抛物
课时作
探
业
究
线，将方程变形为
ρ＝1－412×co12s
，则 θ
e＝12，表示椭圆．
菜单
SJ ·数学选修4-4
课
2．我们由曲线的直角坐标方程很容易知道它是哪种曲当
前
当堂
自
双
主导学
例1
已知 A、B 为椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)上两点，
基达标
OA⊥OB(O 为原点)．
课堂互
求证：O1A2＋O1B2为定值．
课时
动
作
探
业
究
菜单
SJ ·数学选修4-4
课
当
前自
堂
【自主解答】以 O 为极点，x 轴正方向为极轴，长度双
主
基
导学
单位不变建立极坐标系，则 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，代入ax22＋by22
SJ ·数学选修4-4
课
当
前自
第 2 课时圆锥曲线的统一极坐标方程及应用
堂双
主
基
导
达
学
课前自主导学
标
1.掌握极坐标系中圆锥曲线的方程．
课
2.会求简单的圆锥曲线的极坐标方程．
堂互
课标解读 3.感受在极坐标系中椭圆、双曲线、抛物线方程的
课时
动
作
探究
完美统一.
业
菜单
SJ ·数学选修4-4
课堂
用抛物线的极坐标方程，求直线 l 的倾斜角．

高中数学第一章常见曲线的极坐标方程第2课时圆锥曲线的极坐标方程及应用学案苏教版

圆锥曲线的极坐标方程及应用1．掌握极坐标系中圆锥曲线的方程． 2．会求简单的圆锥曲线的极坐标方程．3．感受在极坐标系中椭圆、双曲线、抛物线方程的完美统一．[基础·初探]圆锥曲线的统一极坐标方程 ρ＝ep1－e cos θ，(***)其中p 为焦点到相应准线的距离，称为焦准距．当0＜e ＜1时，方程ρ＝ep1－e cos θ表示椭圆；当e ＝1时，方程(***)为ρ＝p1－cos θ，表示抛物线；当e ＞1时，方程ρ＝ep1－e cos θ表示双曲线，其中ρ∈R .[思考·探究]1．用圆锥曲线统一极坐标方程的标准形式判别圆锥曲线需注意什么？【提示】应注意统一极坐标方程的标准形式，只有方程右边分母中的常数为1时，cos θ的系数的绝对值才表示曲线的离心率．如果该常数不是1，一定要将其转化为1，再去判别，例如方程ρ＝42－cos θ的离心率不是1，其不表示抛物线，将方程变形为ρ＝4×121－12cos θ，则e ＝12，表示椭圆．2．我们由曲线的直角坐标方程很容易知道它是哪种曲线，那如何由曲线的极坐标方程确定其是哪一种曲线呢？【提示】如果对简单的直线和圆的极坐标方程及圆锥曲线统一的极坐标方程熟练的话，可由其判断，否则一般是将其化成直角坐标方程再判断其是哪种曲线．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问4：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________已知A 、B 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上两点，OA ⊥OB (O 为原点)．求证：1OA2＋1OB 2为定值．【自主解答】以O 为极点，x 轴正方向为极轴，长度单位不变建立极坐标系，则x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1中得1ρ2＝cos 2θa 2＋sin 2θb 2.设A (ρ1，α)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，α±π2.1OA2＋1OB2＝1ρ21＋1ρ22＝1a 2＋1b2(为定值)． [再练一题]1．本例条件不变，试求△AOB 面积的最大值和最小值．【解】由例题解析得，S △AOB ＝12ρ1ρ2，而ρ1＝ab a 2sin 2α＋b 2cos 2α，ρ2＝aba 2cos 2α＋b 2sin 2α，∴S △AOB ＝12·a 2b 2a 2sin 2α＋b 2cos 2αa 2cos 2α＋b 2sin 2α＝12·a 2b 2b 2＋c 2sin 2αa 2－c 2sin 2α＝12a 2b 2－c 4⎝⎛⎭⎪⎫sin 2α－122＋a 2b 2＋14c4∴当sin 2α＝1时，(S △AOB )max ＝12ab ；∴当sin 2α＝12时，(S△AOB )min ＝a 2b2a 2＋b2.过双曲线x 24－y 25＝1的右焦点，引倾斜角为π3的直线，交双曲线于A 、B两点，求AB .【思路探究】求出双曲线极坐标方程，得出A 、B 两点极坐标，进而求AB . 【自主解答】双曲线x 24－y 25＝1中，a ＝2，b ＝5，c ＝3，所以e ＝32，p ＝b 2c ＝53.取双曲线的右焦点为极点，x 轴正方向为极轴正方向建立极坐标系，则双曲线的极坐标方程为ρ＝ep1－e cos θ.代入数据并化简，得ρ＝52－3cos θ.设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π＋π3，于是AB ＝|ρ1＋ρ2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪52－3cos π3＋52－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝807.应用圆锥曲线的极坐标方程求过焦点(极点)的弦长非常方便．椭圆和抛物线中，该弦长都表示为ρ1＋ρ2，而双曲线中，弦长的一般形式是|ρ1＋ρ2|.[再练一题]2．已知双曲线的极坐标方程是ρ＝94－5cos θ，求双曲线的实轴长、虚轴长和准线方程．【解】双曲线方程ρ＝94－5cos θ可以化为ρ＝54×951－54cos θ，所以e ＝54，p ＝95.设c ＝5r ，a ＝4r ，则b 2＝c 2－a 2＝9r 2.由p ＝b 2c ＝95，得r ＝1.所以2a ＝8,2b ＝6.所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为6.准线方程ρcos θ＝－p ，即ρcos θ＝－95；或ρcos θ＝－p －2a2c ，即ρcos θ＝－415.(1)以F 为极点，x 轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程； (2)过F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若AB ＝16，运用抛物线的极坐标方程，求直线l 的倾斜角．【自主解答】 (1)极坐标方程为ρ＝21－cos θ.(2)设A (ρ1，θ)，B (ρ2，π＋θ)．AB ＝ρ1＋ρ2＝21－cos θ＋21－π＋θ＝4sin 2θ＝16，即sin 2θ＝14得sin θ＝±12. 故l 的倾斜角为π6或56π.[再练一题]3．平面直角坐标系中，有一定点F (2,0)和一条定直线l ：x ＝－2.求与定点F 的距离和定直线l 的距离的比等于常数12的点的轨迹的极坐标方程．【导学号：98990015】【解】过定点F 作定直线l 的垂线，垂足为K ，以F 为极点，FK 的反向延长线Fx 为极轴，建立极坐标系．由题意，设所求极坐标方程为ρ＝ep1－e cos θ，∵定点F (2,0)，定直线l ：x ＝－2， ∴p 为F 点到直线l 的距离，为2－(－2)＝4. 又∵常数12＝e ，∴所求点的轨迹的极坐标方程为ρ＝ep 1－e cos θ＝12×41－12cos θ，即ρ＝42－cos θ.[真题链接赏析](教材第33页习题4.2第10题)我国自行研制的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，轨道的近地点和远地点分别为439 km 和2 384 km.若地球半径取6 378 km ，试写出卫星运行轨道的极坐标方程．已知双曲线的极坐标方程为ρ＝31－2cos θ，过极点作直线与它交于A ，B两点，且AB ＝6，求直线AB 的极坐标方程．【命题意图】本题主要考查圆锥曲线的统一极坐标方程和直线的极坐标方程．【解】设直线AB 的极坐标方程为θ＝θ1，A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ1＋π)．则ρ1＝31－2cos θ1，ρ2＝31－θ1＋π＝31＋2cos θ1. AB ＝|ρ1＋ρ2|＝|31－2cos θ1＋31＋2cos θ1|＝|61－4cos 2θ1|＝6， ∴11－4cos 2θ1＝±1. ∴cos θ1＝0或cos θ1＝±22. 故直线AB 的极坐标方程为θ＝π2或θ＝π4或θ＝3π4.1．抛物线ρ＝41－cos θ(ρ＞0)的准线方程为______．【答案】 ρcos θ＝－42．设椭圆的极坐标方程是ρ＝42－λcos θ，则λ的取值范围是________．【导学号：98990016】【解析】 ρ＝42－λcos θ＝21－λ2cos θ，所以离心率e ＝λ2，由0＜λ2＜1，得λ∈(0,2)．【答案】 (0,2)3．椭圆ρ＝42－cos θ的焦距是________．【答案】 834．双曲线ρ＝42－3cos θ的焦点到准线的距离为________．【答案】 43我还有这些不足：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________。

2018_2019学年江苏高中数学4.1.2极坐标系学案苏教版

4.1.2 极坐标系1．了解极坐标系．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置．3．体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．[基础·初探]1．极坐标系(1)在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．(2)设M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM 为终边所成的角．那么，每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．有序实数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．约定ρ＝0时，极角θ可取任意角．(3)如果(ρ，θ)是点M 的极坐标，那么(ρ，θ＋2k π)或(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)(k ∈Z )都可以看成点M 的极坐标．2．极坐标与直角坐标的互化以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图413所示)，平面内任一点M 的直角坐标(x ，y )与极坐标(ρ，θ)可以互化，公式是：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x图413通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0,0≤θ＜2π.[思考·探究]1．建立极坐标系需要哪几个要素？【提示】建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可．2．为什么点的极坐标不惟一？【提示】根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z )．3．将直角坐标化为极坐标时如何确定ρ和θ的值？【提示】由ρ2＝x 2＋y 2求ρ时，ρ不取负值；由tan θ＝yx(x ≠0)确定θ时，根据点(x ，y )所在的象限取得最小正角．当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝y x按上述方法确定．当x ＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：(1)当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；(2)当 x ＝0，y ＞0时，可取θ＝π2；(3)当x ＝0，y ＜0时，可取θ＝3π2.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________＜2π)．图414【自主解答】对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，7π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π4，E ()9，0，F (3，π)，G ⎝⎛⎭⎪⎫9，3π2.[再练一题]1．已知边长为a 的正六边形ABCDEF ，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标．【导学号：98990003】【解】以正六边形中心O 为极点，OC 所在直线为极轴建立如图所示的极坐标系．由正六边形性质得：C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，43π)，B (a ，53π) 或C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，－2π3)，B (a ，－π3).在极坐标系中，求与点M (3，－3)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标．【自主解答】极坐标系中点M (ρ，θ)关于极轴对称的点的极坐标为M ′(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )，利用这个规律可得对称点的坐标为(3,2k π＋π3)(k ∈Z )．[再练一题]2．在极坐标系中，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π6(限定ρ＞0，0≤θ＜2π)．(1)点A 关于极轴对称的点的极坐标是________； (2)点A 关于极点对称的点的极坐标是________． (3)点A 关于直线θ＝π2对称的点的极坐标是________．【解析】通过作图如图可求解为【答案】 (1)(3，11π6) (2)(3，7π6) (3)(3，5π6)(1)把点M 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫8，3化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)．【自主解答】 (1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43，因此，点M 的直角坐标是(－4,43)．(2)ρ＝62＋－22＝22，tan θ＝－26＝－33，又因为点P 在第四象限且0≤θ≤2π，得θ＝11π6.因此，点P 的极坐标为(22，11π6)．[再练一题]3．(1)把点A 的极坐标(2，7π6)化成直角坐标； (2)把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．【解】 (1)x ＝2cos 7π6＝－3，y ＝2sin7π6＝－1，故点A 的直角坐标为(－3，－1)． (2)ρ＝12＋－32＝2，tan θ＝－31＝－ 3.又因为点P 在第四象限且0≤θ＜2π，得θ＝5π3.因此点P 的极坐标是(2，5π3)．在极坐标系中，已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，求A 、B 两点之间的距离．【思路探究】将点的极坐标化为直角坐标，在用两点间距离公式求解．【自主解答】对于A (3，－π3)，x ＝3cos(－π3)＝32；y ＝3sin(－π3)＝－332， ∴A (32，－332)．对于B (1，2π3)，x ＝1×cos 2π3＝－12，y ＝1×sin 2π3＝32，∴B (－12，32)．∵AB ＝32＋122＋－332－322＝4＋12＝4，∴A 、B 两点之间的距离为4.有些问题在用极坐标表示时没有现成的解法，但在直角坐标系中却是一个常见的问题．因此，换一个坐标系，把极坐标系中的元素换成直角坐标系中的元素，问题就可以迎刃而解了．如果题目要求用极坐标作答，那么解完再用极坐标表示就行了．[再练一题]4．在极坐标系中，已知三点：A (4,0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π2、C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，π6.(1)求直线AB 与极轴所成的角；(2)若A 、B 、C 三点在一条直线上，求ρ的值．【解】 (1)点A 的直角坐标为(4,0)，点B 的直角坐标为(0，－4)，直线AB 在直角坐标系中的方程为x －y ＝4.故直线AB 与x 轴所成角为π4.(2)点C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32ρ，12ρ，代入直线方程得32ρ－12ρ＝4，解得ρ＝83－1＝4(3＋1)．[真题链接赏析](教材第17页习题4.1第6题)将下列各点的极坐标化为直角坐标：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，11π6，(5，π)，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－3π2， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－42，3π4.已知下列各点的直角坐标，求它们的极坐标．(1)A (3，3)；(2)B (－2，－23)； (3)C (0，－2)；(4)D (3,0)．【命题意图】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，属基础题．【解】 (1)由题意可知：ρ＝32＋32＝23，tan θ＝33，所以θ＝π6，所以点A 的极坐标为(23，π6)． (2)ρ＝－2＋－232＝4，tan θ＝－23－2＝3，又由于θ为第三象限角，故θ＝43π，所以B 点的极坐标为(4，43π)．(3)ρ＝02＋－2＝2.θ为32π，θ在y 轴负半轴上，所以点C 的极坐标为(2，32π)．(4)ρ＝32＋02＝3，tan θ＝03＝0，故θ＝0.所以D 点的极坐标为(3,0)．1．点P (－2,2)的极坐标(θ∈[0,2π))为________．【解析】由ρ＝x 2＋y 2＝－2＋22＝22，tan θ＝2－2＝－1，∵P 点在第二象限内，∴θ＝3π4，∴ρ的极坐标为(22，3π4)．【答案】 (22，3π4) 2．在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点是________．【导学号：98990004】【解析】极径为ρ，极角为θ，θ关于极轴对称的角为负角－θ，故所求的点为(ρ，－θ)．【答案】 (ρ，－θ)3．将极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2化为直角坐标为________．【解析】 x ＝ρcos θ＝2cos 32π＝0，y ＝ρsin θ＝2sin 32π＝－2，故直角坐标为(0，－2)．【答案】 (0，－2)4．已知A ，B 的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π12，则A 和B 之间的距离等于________．【解析】由余弦定理得AB＝ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2θ1－θ2＝32＋－2－－π4－π12＝9＋9＋93＝18＋9 3 ＝36＋322. 【答案】36＋322我还有这些不足：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________。

江苏专用高中数学学业测评6圆锥曲线的极坐标方程及应用苏教版选修4-4(2021年整理)

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学业分层测评（六) 圆锥曲线的极坐标方程及应用(建议用时：45分钟)[学业达标]1．过椭圆错误!＋错误!＝1的左焦点引一条直线与椭圆自上而下交于A、B两点，若FA＝2FB，求直线l的斜率．【解】椭圆错误!＋错误!＝1中，a＝5，b＝3，c＝4，所以e＝错误!，p＝错误!＝错误!。

取椭圆的左焦点为极点，x轴正方向为极轴正方向，建立极坐标系,则椭圆的极坐标方程为ρ＝错误!＝错误!.设A（ρ1，θ)、B(ρ2,π＋θ)．由题设得ρ1＝2ρ2。

于是错误!＝2×错误!，解得cos θ＝错误!，所以tan θ＝错误!，即直线l的斜率为错误!.2．已知椭圆方程为ρ＝错误!，过左焦点引弦AB,已知AB＝8,求△AOB的面积．【解】如图，设A（ρ1，θ)、B（ρ,θ＋π）．2所以ρ1＋ρ2＝错误!＋错误!＝错误!.因为AB＝8，所以错误!＝8，所以cos2θ＝错误!,sin θ＝错误!.由椭圆方程知e＝错误!＝错误!，错误!＝错误!，则c＝3。

S＝S△AOF＋S△BOF＝错误!OF·ρ1·sin θ＋错误!OF·ρ2·sin θ＝8。

(江苏专用版)20182019学年高中数学学业分层测评4曲线极坐标方程意义苏教版选修44

学业分层测评(四)曲线的极坐标方程的意义(建议用时：45分钟)[学业达标]1．将以下曲线的直角坐标方程化为极坐标方程：射线y＝3x(x≤0)；圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)．【解】(1)将＝ρcosθ，＝ρsinθ代入＝3，x得ρsinθ＝3ρcosθ，π4π∴tanθ＝3，∴θ＝3或θ＝3.4π又x≤0，∴ρcosθ≤0，∴θ＝3∴射线y＝3x(x≤0)的极坐标方程为4π(ρ≥0)．θ＝3( 2)将＝ρcosθ，＝ρsinθ代入2＋2＋2＝0，得y x2cos2θ＋ρ2sin2θ＋2aρcosθ＝0，即ρ(ρ＋2a cosθ)＝0，∴ρ＝－2a cosθ，∴圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标方程为＝－2acosθ.2．分别将以下极坐标方程化为直角坐标方程：52(1 )ρ＝cosθ；(2)ρ＝tanθ.【解】(1)由ρcosθ＝5，得x＝5.2y222( 2)x＋y ＝x(x≠0)，即x(x＋y)－y＝0(x≠0)．又在极坐标方程ρ＝tanθ中，极点(0,0)也满足方程，即曲线过原点，所以直角坐标方程是22－y＝0.x(x＋y)3．曲线C的极坐标方程为πρ＝6cosθ，曲线C的极坐标方程为θ＝4(ρ∈R)，12曲线C1，C2相交于A，B两点．把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；求弦AB的长度．【导学号：98990011】【解】(1)曲线C2：θ＝π(ρ∈R)表示直线y＝x；4曲线1：ρ＝6cosθ化为直角坐标方程，即2＋2＝6，即(－3)2＋2＝9.C x(2)因为圆心C1(3,0)到直线的距离d＝，r＝3，所以弦长AB＝32.ππ4．求点A2，到直线l：ρsinθ－6＝－2的距离．【解】(2，π)的直角坐标为(1，3)，31l：ρsin(θ－6)＝－2，ρ(2sinθ－2cosθ)＝－2.即：x－3y－4＝0.故(1，3)到：－3－4＝0的距离为|1－3－4|＝3.A y12＋325．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcosπ分别为与轴，轴的交点．θ－＝1，、3M写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．【解】(1)由ρcos(θ－π)＝1得ρ(cosθ＋3sinθ)＝1，32即＋3＝2，y当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．2323π当θ＝时，ρ＝3，所以N(32)．∵M的直角坐标为(2,0)，2N的直角坐标为(0，33)．∴P的直角坐标为(1，3)，323P的极坐标为(3，6)．所以直线OP的极坐标方程为πθ＝6(ρ∈R)．6．在平面直角坐标系中，点A(3,0)，P是圆x2＋y2＝1上的一个动点，且∠AOP的平分线交PA于Q点，求Q点的轨迹方程．【解】以圆心O为极点，x轴正方向为极轴，建立极坐标系，设Q(ρ，θ)，P(1,2θ)．因为S△OAQ＋S△OQP＝S△OAP. 1即2·3·ρ·sin1θ＋2·1·ρ·sinθ1·3·1·sin2θ.23整理得：ρ＝2cosθ.7．在极坐标系中，圆 C：ρ＝10cosθ和直线l：3ρcosθ－4ρsinθ－30＝0相交于A、B两点，求线段AB的长．【解】分别将圆和直线的极坐标方程化为直角坐标方程：圆：2＋2＝10，即Cx x(x－5)2＋y2＝25，圆心C(5,0) ；直线l：3x－4y－30＝0，因为圆心C到直线l的距离d＝|15－0－30|＝3，所以AB＝5225－d2＝8.[能力提升]π8．在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q是曲线ρ＝12cosθ－6上的动点，试求PQ的最大值．【解】∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsinθ，x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36.又∵ρ＝12cos(θ－π)，62π∴ρ＝12ρ(cosθcos6＋sinθsin6)，∴x2＋y2－63x－6y＝0，∴(x－33)2＋(y－3)2＝36.∴PQ的最大值为6＋6＋223＋3＝18.。

江苏省西亭高级中学高中数学《4.2.2常见曲线的极坐标

江苏省西亭高级中学高中数学选修4-4《4.2.2常见曲线的极坐标方程（1）》教案教学目标：理解曲线的极坐标方程概念，掌握直线的极坐标方程．教学重点：曲线的极坐标方程的概念，根据条件求直线的极坐标方程．教学难点：直线的一般极坐标方程及其应用．教学过程：一、问题情境：1．思考：在平面直角坐标系中⑴过点(3,0)且与x 轴垂直的直线方程为 x =3 ;过点(3,3)且与x 轴垂直的直线方程为x =3 ． ⑵过点（a ,b ）且垂直于x 轴的直线方程为__x =a__归纳特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可以取任意值．2．怎样求曲线的极坐标方程？与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点Ｐ的坐标ρ与θ之间的关系，然后列出方程ϕ(ρ,θ)=0 ，再化简并讨论．二、新知探究：探究：求过极点，倾角为4π的射线的极坐标方程．分析：如图，所求的射线上任一点的极角都是4π，其极径可以取任意的非负数．故所求直线的极坐标方程为(0)4πθρ=≥思考： 1．求过极点，倾角为54π的射线的极坐标方程．易得5(0)4θπρ=≥ 2．求过极点，倾角为4π的直线的极坐标方程．544或πθθπ== 和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成．原因在哪？0ρ≥为了弥补这个不足，可以考虑允许通径可以取全体实数．则上面的直线的极坐标方程可以表示为： ()4R πθρ=∈ 或5()4R θπρ=∈ 三、建构数学设点P 的极坐标为(ρ0,θ0,) ，直线l 过点P 且与极轴所成的角为a ,求直线l 的极坐标方程．解：如图，设点M(ρ,θ) 为直线上除点P 外的任意一点，连接OM ，在△MOP 中有OP sin sin OM OMP OPM =∠∠00sin()sin()∴=--ρραθαθ 00sin()sin()-=-ραθραθ显然点P 的坐标也是它的解．o x M P α0θρ0ρ00sin()sin()-=-ραθραθ表示过00ρθ（，），倾斜角为α的直线的极坐标方程．四、数学应用：例1 按下列条件写出直线的极坐标方程：(1)A(6)(2)B(5)(3)C(8)62(4)D(23,0)3ππππ经过极点和点，的直线；5经过点，，且垂直于极轴的直线；经过点，，且平行于极轴的直线；经过点，且倾斜角为的直线.（详细解答过程见教材P22）总结：求直线的极坐标方程步骤⑴据题意画出草图；⑵设点M(ρ,θ) 是直线上任意一点；⑶连接MO ；⑷根据几何条件建立关于 ρ,θ 的方程，并化简；⑸检验并确认所得的方程即为所求．五、课堂练习：1．已知点P 的极坐标为),1(π，那么过点P 且垂直于极轴的直线极坐标方程．2．直角方程与极坐标方程互化（1）θρcos -= （2）θρtan 2= (3))(43R ∈=ρπρ3．直线l 经过)2,3(πM 且该直线到极轴所成角为4π，求此直线l 的极坐标方程．把前面所讲特殊直线用此通式来验证．4．在极坐标系中，求适合下列条件的直线的极坐标方程：（1）过极点，倾斜角是3π的直线；（2）过点)3,2(π，并且和极轴垂直的直线．六、回顾小结：直线的几种极坐标方程1．过极点2．过某个定点，且垂直于极轴3．过某个定点，且与极轴成一定的角度七、课后作业：1．过点）（42,π，且平行于极轴的直线的极坐标方程为．2．直线2cos =θρ关于直线4πθ=对称的直线的极坐标方程为________________3．把下列极坐标方程化为直角坐标方程：2sin =θρ；（2）θρsin 2=．4．求下列直线的倾斜角：)(65R ∈=ρπθ；（2）1)4sin(=-πθρ． 5．已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ，则点)47,2(πA 到这条直线的距离． 6．点）（3,4πM 到直线2)3cos(=-πθρ上的点的距离的最小值．7．直线αθ=和直线1)sin(=-αθρ的位置关系是．8．在极坐标系中，点)3,4(πM 到直线4)sin cos 2(:=+θθρl 的距离=d ．9．在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线θρcos =于A 、B 两点，则=AB ．。

2019学年高中数学 4.2.2 第2课时圆锥曲线的极坐标方程及应用学案苏教版选修4-4

第2课时圆锥曲线的极坐标方程及应用1．掌握极坐标系中圆锥曲线的方程． 2．会求简单的圆锥曲线的极坐标方程．3．感受在极坐标系中椭圆、双曲线、抛物线方程的完美统一．[基础·初探]圆锥曲线的统一极坐标方程 ρ＝ep1－e cos θ，(***)其中p 为焦点到相应准线的距离，称为焦准距．当0＜e ＜1时，方程ρ＝ep1－e cos θ表示椭圆；当e ＝1时，方程(***)为ρ＝p1－cos θ，表示抛物线；当e ＞1时，方程ρ＝ep1－e cos θ表示双曲线，其中ρ∈R .[思考·探究]1．用圆锥曲线统一极坐标方程的标准形式判别圆锥曲线需注意什么？【提示】应注意统一极坐标方程的标准形式，只有方程右边分母中的常数为1时，cos θ的系数的绝对值才表示曲线的离心率．如果该常数不是1，一定要将其转化为1，再去判别，例如方程ρ＝42－cos θ的离心率不是1，其不表示抛物线，将方程变形为ρ＝4×121－12cos θ，则e ＝12，表示椭圆．2．我们由曲线的直角坐标方程很容易知道它是哪种曲线，那如何由曲线的极坐标方程确定其是哪一种曲线呢？【提示】如果对简单的直线和圆的极坐标方程及圆锥曲线统一的极坐标方程熟练的话，可由其判断，否则一般是将其化成直角坐标方程再判断其是哪种曲线．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问4：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________已知A 、B 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上两点，OA ⊥OB (O 为原点)．求证：1OA2＋1OB 2为定值．【自主解答】以O 为极点，x 轴正方向为极轴，长度单位不变建立极坐标系，则x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1中得1ρ2＝cos 2θa 2＋sin 2θb 2.设A (ρ1，α)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，α±π2.1OA2＋1OB2＝1ρ21＋1ρ22＝1a 2＋1b2(为定值)． [再练一题]1．本例条件不变，试求△AOB 面积的最大值和最小值．【解】由例题解析得，S △AOB ＝12ρ1ρ2，而ρ1＝ab a 2sin 2α＋b 2cos 2α，ρ2＝aba 2cos 2α＋b 2sin 2α，∴S △AOB ＝12·a 2b 2a 2sin 2α＋b 2cos 2αa 2cos 2α＋b 2sin 2α＝12·a 2b 2b 2＋c 2sin 2αa 2－c 2sin 2α＝12a 2b 2－c 4⎝⎛⎭⎪⎫sin 2α－122＋a 2b 2＋14c4∴当sin 2α＝1时，(S △AOB )max ＝12ab ；∴当sin 2α＝12时，(S△AOB )min ＝a 2b2a 2＋b2.过双曲线x 24－y 25＝1的右焦点，引倾斜角为π3的直线，交双曲线于A 、B两点，求AB .【思路探究】求出双曲线极坐标方程，得出A 、B 两点极坐标，进而求AB . 【自主解答】双曲线x 24－y 25＝1中，a ＝2，b ＝5，c ＝3，所以e ＝32，p ＝b 2c ＝53.取双曲线的右焦点为极点，x 轴正方向为极轴正方向建立极坐标系，则双曲线的极坐标方程为ρ＝ep1－e cos θ.代入数据并化简，得ρ＝52－3cos θ.设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π＋π3，于是AB ＝|ρ1＋ρ2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪52－3cos π3＋52－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝807.应用圆锥曲线的极坐标方程求过焦点(极点)的弦长非常方便．椭圆和抛物线中，该弦长都表示为ρ1＋ρ2，而双曲线中，弦长的一般形式是|ρ1＋ρ2|.[再练一题]2．已知双曲线的极坐标方程是ρ＝94－5cos θ，求双曲线的实轴长、虚轴长和准线方程．【解】双曲线方程ρ＝94－5cos θ可以化为ρ＝54×951－54cos θ，所以e ＝54，p ＝95.设c ＝5r ，a ＝4r ，则b 2＝c 2－a 2＝9r 2.由p ＝b 2c ＝95，得r ＝1.所以2a ＝8,2b ＝6.所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为6.准线方程ρcos θ＝－p ，即ρcos θ＝－95；或ρcos θ＝－p －2a2c ，即ρcos θ＝－415.(1)以F 为极点，x 轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程； (2)过F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若AB ＝16，运用抛物线的极坐标方程，求直线l 的倾斜角．【自主解答】 (1)极坐标方程为ρ＝21－cos θ.(2)设A (ρ1，θ)，B (ρ2，π＋θ)．AB ＝ρ1＋ρ2＝21－cos θ＋21－π＋θ＝4sin 2θ＝16，即sin 2θ＝14得sin θ＝±12. 故l 的倾斜角为π6或56π.[再练一题]3．平面直角坐标系中，有一定点F (2,0)和一条定直线l ：x ＝－2.求与定点F 的距离和定直线l 的距离的比等于常数12的点的轨迹的极坐标方程．【导学号：98990015】【解】过定点F 作定直线l 的垂线，垂足为K ，以F 为极点，FK 的反向延长线Fx 为极轴，建立极坐标系．由题意，设所求极坐标方程为ρ＝ep1－e cos θ，∵定点F (2,0)，定直线l ：x ＝－2， ∴p 为F 点到直线l 的距离，为2－(－2)＝4. 又∵常数12＝e ，∴所求点的轨迹的极坐标方程为ρ＝ep 1－e cos θ＝12×41－12cos θ，即ρ＝42－cos θ.[真题链接赏析](教材第33页习题4.2第10题)我国自行研制的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，轨道的近地点和远地点分别为439 km 和2 384 km.若地球半径取6 378 km ，试写出卫星运行轨道的极坐标方程．已知双曲线的极坐标方程为ρ＝31－2cos θ，过极点作直线与它交于A ，B两点，且AB ＝6，求直线AB 的极坐标方程．【命题意图】本题主要考查圆锥曲线的统一极坐标方程和直线的极坐标方程．【解】设直线AB 的极坐标方程为θ＝θ1，A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ1＋π)．则ρ1＝31－2cos θ1，ρ2＝31－θ1＋π＝31＋2cos θ1. AB ＝|ρ1＋ρ2|＝|31－2cos θ1＋31＋2cos θ1|＝|61－4cos 2θ1|＝6， ∴11－4cos 2θ1＝±1. ∴cos θ1＝0或cos θ1＝±22. 故直线AB 的极坐标方程为θ＝π2或θ＝π4或θ＝3π4.1．抛物线ρ＝41－cos θ(ρ＞0)的准线方程为______．【答案】 ρcos θ＝－42．设椭圆的极坐标方程是ρ＝42－λcos θ，则λ的取值范围是________．【导学号：98990016】【解析】 ρ＝42－λcos θ＝21－λ2cos θ，所以离心率e ＝λ2，由0＜λ2＜1，得λ∈(0,2)．【答案】 (0,2)3．椭圆ρ＝42－cos θ的焦距是________．【答案】 834．双曲线ρ＝42－3cos θ的焦点到准线的距离为________．【答案】 43我还有这些不足：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________。

苏教版数学高一苏教版选修4-4学案 4.2.2 常见曲线的极坐标方程(3)

选修4－4坐标系与参数方程 4.2.2常见曲线的极坐标方程（3）编写人：编号：学习目标了解极坐标系中圆锥曲线的方程。

学习过程：一、预习：问题：设定点F 到定直线的距离为p ，求到定点F 和定直线的距离之比为常数e 的点的轨迹的极坐标方程.归纳：圆锥曲线的极坐标方程：练习：1．经过极点，且倾斜角是6的直线的极坐标方程是 . 2．以极点为圆心，5为半径的圆的极坐标方程是 . 3、焦点到准线的距离是3，离心率为32的椭圆的极坐标方程是 . 4、焦点到准线的距离是5，离心率为2的双曲线的极坐标方程是 .二、课堂训练：例1．2003年10月15—17日，我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射并按预定方案安全、准确的返回地球，它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭圆，椭圆的近地点（离地面最近的点）和远地点（离地面最远的点）距离地面分别为200km 和350km ，然后进入距地面约343km 的圆形轨道。

若地球半径取6378km ，试写出神舟五号航天飞船运行的椭圆轨道的极坐标方程。

例2、求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数。

课堂练习1、曲线θρcos 21-=的直角坐标方程是 .2、曲线)(cos 213R ∈-=ρθρ的直角坐标方程是 .3、极坐标方程θρcos 24-=表示的曲线是 .4、极坐标方程θρcos 225-=表示的曲线是 .三、课后巩固：1、椭圆θρcos 3516-=的长轴长为 .2、抛物线θρcos 14-=的准线的极坐标方程为 .3、过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点F 作倾斜角为600的直线交椭圆于A 、B 两点，若FB FA 2=，求椭圆的离心率.4、极坐标方程θρcos 234-=所表示的曲线是 . 5、极坐标方程52sin 42=θρ所表示的曲线是 .6、已知椭圆的极坐标方程是θρcos 235-=，那么它的短轴长是 .7、求下列两曲线的交点坐标。

苏教版高二数学选修4-4 4.2 曲线的极坐标方程学案

4．1．曲线的极坐标方程一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f (ρ，θ)＝0；并且极坐标适合方程f (ρ，θ)＝0的点都在曲线上，那么这个方程称为曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线．2．求曲线的极坐标方程的基本步骤 (1)建系：建立适当的极坐标系； (2)设点：在曲线上任取一点P (ρ，θ)；(3)列式：根据曲线上点所满足的条件写出等式；(4)化简：用极坐标ρ，θ表示上述等式，并化简得极坐标方程； (5)证明：证明所得的方程是曲线的极坐标方程． 3．直线的极坐标方程(1)若直线l 经过点M (ρ0，θ0)，且直线l 的倾斜角为α，则此直线的极坐标方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． (2)几种常见直线的极坐标方程：4．圆的极坐标方程(1)若圆心的坐标为M (ρ0，θ0)，圆的半径为r ，则圆的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.(2)几种常见圆的极坐标方程：[对应学生用书P12][例1] 设P ⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 经过P 点且与极轴所成的角为3π4，求直线l 的极坐标方程． [思路点拨] 取直线上任意点M (ρ，θ)，构造三角形求OM .[精解详析] 如图，设M (ρ，θ)为直线l 上除P 点外的任意一点，连接OM ，OP ，该直线交Ox 于点A ，则有OM ＝ρ，OP ＝2，∠xAM ＝3π4，∠OPM ＝π2，∠MOP ＝θ－π4，所以有OM cos ∠MOP ＝OP ，即ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，显然P 点也在这条直线上．所以直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. 求平面曲线的极坐标方程，就是要找极径ρ和极角θ之间的关系，常用解三角形(正弦定理、余弦定理及直角三角形的边角关系)的知识来建立ρ、θ之间的关系．1．已知动点M 到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为e ，求点M 的极坐标方程．解：过点F 作直线l 的垂线，垂足为，以点F 为极点，F 的反向延长线Fx为极轴，建立极坐标系(如图)．设M (ρ，θ)是曲线上任意一点，连接MF ，作MA ⊥l ，MB ⊥Fx ，垂足分别为A ，B ，那么MFMA＝e .设点F 到直线l 的距离为F ＝p . 由MF ＝ρ，MA ＝B ＝p ＋ρcos θ，[对应学生用书P12]得ρp ＋ρcos θ＝e ，即ρ＝ep1－e cos θ.2．从极点O 作圆ρ＝2a cos θ的弦OM ，求各弦的中点P 的轨迹方程．解：设P 点的极坐标是(ρ，θ)，M 的极坐标是(ρ1，θ1)． ∵点M 在圆ρ＝2a cos θ上， ∴ρ1＝2a cos θ1. ∵P 是OM 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2ρ，θ1＝θ. 将它代入ρ1＝2a cos θ1得2ρ＝2a cos θ，故P 的轨迹方程是ρ＝a cos θ.[例2] 求过点A (1,0)且倾斜角为π4的直线的极坐标方程．[思路点拨] 法一：按照求极坐标方程的步骤建系、设点、坐标化可求．法二：先求直角方程，再将互化公式代入可得.[精解详析] 法一：如图，设M (ρ，θ)(ρ≥0)为直线上除点A 以外的任意一点，则∠xAM ＝π4，∠OAM ＝3π4，∠OMA ＝π4－θ，在△OAM 中，由正弦定理得OM sin ∠OAM ＝OA sin ∠OMA ，即ρsin3π4＝1sin ⎝⎛⎭⎫π4－θ，所以ρsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝22，即ρ⎝⎛⎭⎫sin π4cos θ－cos π4sin θ＝22，化简，得ρ(cos θ－sin θ)＝1，经检验点A (1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1.法二：以极点O 为直角坐标原点，极轴为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，直线的斜率＝tan π4＝1，直线方程为y ＝x －1，将y ＝ρsin θ，x ＝ρcos θ(ρ≥0)代入上式，得 ρsin θ＝ρcos θ－1，所以ρ(cos θ－sin θ)＝1.求直线的极坐标方程的一般方法为：在直线上设M (ρ，θ)为任意一点，连接OM ，构造出含有OM 的三角形，再利用三角形知识求OM ，即把OM 用θ表示，这就是我们所需求的ρ与θ的关系，即为直线的极坐标方程，也可先求出直角坐标方程，再变换为极坐标方程．3．求满足下列条件的直线的极坐标方程： (1)过点⎝⎛⎭⎫－2，π3且与极轴平行； (2)过点⎝⎛⎭⎫－2，－π3且与极轴垂直； (3)过极点且与极轴成π3角．解：(1)点⎝⎛⎭⎫－2，π3与点⎝⎛⎭⎫2，4π3相同，所以过点⎝⎛⎭⎫2，4π3且与极轴平行的直线极坐标方程为ρsin θ＝－ 3. (2)点⎝⎛⎭⎫－2，－π3与点⎝⎛⎭⎫2，2π3相同，所以过点⎝⎛⎭⎫2，2π3且与极轴垂直的直线极坐标方程为ρcos θ＝－1. (3)过极点且与极轴成π3的角的直线方程为θ＝π3.4．求过点(－2,3)，且斜率为2的直线的极坐标方程．解：由题意可知，直线的直角坐标方程为y －3＝2(x ＋2)，即2x －y ＋7＝0.设M (ρ，θ)为直线上任意一点，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入2x －y ＋7＝0得2ρcos θ－ρsin θ＋7＝0.故所求的极坐标方程为2ρcos θ－ρsin θ＋7＝0.[例3] 求圆心在A ⎝⎭⎫2，3π2，并且过极点的圆的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程． [思路点拨] 设P (ρ，θ)是圆上任意一点，结合图形，构造三角形后可求解．[精解详析] 如图，设P (ρ，θ)为圆上除O 、B 外的任意一点，连接OP ，PB ，则有OB＝4，OP ＝ρ，∠POB ＝⎪⎪⎪⎪θ－3π2，∠BPO ＝π2，从而△BOP 为直角三角形，所以有OP ＝OB cos ∠POB ，即ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－3π2＝－4sin θ.点O (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫4，3π2也适合此方程．故所求圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ. 化为直角坐标方程为x 2＋y 2＋4y ＝0.求与圆有关的极坐标方程时，关键是找出曲线上点满足的几何条件，转化为解三角形问题，从而建立ρ、θ满足的关系式即方程，也可先求直角坐标方程，再化为极坐标方程．5．求满足下列条件的圆的极坐标方程： (1)半径为4，在极坐标系中圆心坐标为(4，π)； (2)在直角坐标系中，圆心为(－1,1)，且过原点．解：(1)因为ρ2＝4sin(θ－90°)＝－4cos θ，所以圆的极坐标方程为ρ＝－8cos θ.(2)因为圆的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2，即x 2＋y 2＝－2(x －y )．由坐标变换公式，得ρ2＝－2(ρcos θ－ρsin θ)，所以圆的极坐标方程为ρ＝2(sin θ－cos θ)．6．求以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的极坐标方程．解：如图所示，设圆心为C (1,1)，P (ρ，θ)为圆上任意一点，过C 作CD ⊥OP 于点D ，∵CO ＝CP ，∴OP ＝2DO . 在Rt △CDO 中，∠DOC ＝θ－1， ∴DO ＝cos(θ－1)．∴OP ＝2cos(θ－1)，因此圆的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－1)．1．将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化．[对应学生用书P14](1)y 2＋x 2－2x －1＝0；(2)ρ＝12－cos θ.解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入原方程，得ρ2－2ρcos θ－1＝0.(2)由ρ＝12－cos θ得2ρ－ρcos θ＝1，所以2ρ＝ρcos θ＋1，令x ＝ρcos θ，ρ2＝x 2＋y 2，得2x 2＋y 2＝x ＋1，两边平方整理得3x 2＋4y 2－2x －1＝0.2．(北京高考改编)在极坐标系中，求点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离．解：极坐标系中点⎝⎛⎭⎫2，π6对应直角坐标系中坐标为(3，1)，极坐标系直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线方程为y ＝2，所以距离为1.3．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1，解得a ＝－8或a ＝2.故a 的值为－8或2.4．极坐标方程(ρ－2)⎝⎛⎭⎫θ－π3＝0(ρ≥0)表示的图形是什么？解：由(ρ－2)⎝⎛⎭⎫θ－π3＝0(ρ≥0)，得ρ＝2或者θ＝π3(ρ≥0)，其中前者表示的图形是圆，后者表示的图形是一条射线．5．(安徽高考改编)在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线的方程．解：由ρ＝2cos θ可得x 2＋y 2＝2x ⇒(x －1)2＋y 2＝1，所以圆的圆心为(1,0)，半径为1，与x 轴垂直的圆的切线方程分别是x ＝0，x ＝2，在以原点为极点的极坐标系中，与之对应的方程是θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2.6．(天津高考改编)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，求CP 的长．解：如图，由圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ知OC ＝2，又因为点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，P 的直角坐标为(2,23)，所以OP ＝4，∠POC ＝π3，在△POC 中，由余弦定理得CP 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC ·cos π3＝16＋4－2×4×2×12＝12，所以CP ＝2 3.7．在极坐标系中，O 为极点，求过圆C ：ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3的圆心C 且与直线OC 垂直的直线l 的极坐标方程．解：圆心C 的坐标为⎝⎛⎭⎫3，π3，设直线l 上任意一点P (ρ，θ)，则有ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝3. 故直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝3. 8．在极坐标系中，点O (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)求以OB 为直径的圆C 的直角坐标方程；(2)若直线l 的极坐标方程为ρcos A ＋ρsin A ＝4，判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)设P (ρ，θ)是所求圆C 上任意一点，因为OB 为直径，所以∠OPB ＝π2，所以OP＝OB cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，即ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，化为直角坐标方程，得x 2＋y 2－2x －2y ＝0. (2)圆C 的圆心为C (1,1)，半径r ＝2，直线l 的直角坐标方程为x ＋y －4＝0，所以圆心到直线l 距离d ＝|1＋1－4|12＋12＝2＝r .故直线与圆C 相切．。